九年级数学下册2.2.4二次函数的图象与性质教案(新版)北师大版
2.2 二次函数的图象与性质二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 课件 初中数学北师大版九年级下册
2
(2)抛物线 y=- (x+3) 的开口向下,对称轴为直线 x=-3,顶点坐标为
(-3,0).
6.已知抛物线y=a(x-h)2向右平移4个单位长度后,所得的图象与抛物
线y=-2(x-5)2 重合,求a,h的值.
解:抛物线y=-2(x-5)2的顶点坐标为(5,0).把点(5,0)向左平移4个单
函数图象如图所示.
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0),函数有最
小值0,
当x>3时,y随x的增大而增大;当x<3时,y随x的增大而减小.
1.将二次函数y=-3x 2 的图象平移后,得到二次函数y=-3(x-1) 2 的图
象,平移方法正确的是(
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
而减小.
新知应用
2
1.已知抛物线 y=a(x+m) (m 为常数)的顶点在 y 轴的右侧,且 am<0,则
此图象的开口方向 向上 .
2
2.画出函数 y= (x-3) 的图象,并说出此函数的性质(开口方向、对称
轴、顶点坐标、最值、增减性).
解:当x=0或x=6时,y=4.5;当y=0时,x=3;当x=1或x=5时,y=2.
新知应用
1.在平面直角坐标平面内,把二次函数y=(x+1)2的图象向左平移2个
单位长度,那么图象平移后的函数表达式是( D )
A.y=(x+1)2-2
B.y=(x-1)2
C.y=(x+1)2+2
D.y=(x+3)2
2.函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x2的图象向 左
数学北师大版九年级下册《二次函数的图象与性质(第二课时)》教学设计
北师大版数学九年级下册第二章第2节《二次函数的图象与性质（第二课时）》教学设计陕西师范大学附属中学马翠一、教材分析二次函数的图象—抛物线是人们最熟悉的曲线之一，生活中的应用非常广泛。
本节课是北师大版数学九年级下册第二章二次函数第2节二次函数的图象与性质的第二课时。
该内容属于《全日制义务教育课程标准（2011版）》中的“数与代数”领域，是在已经学习了二次函数定义、探究了y=±x2图象基础上，进一步探究函数y=ax2与y=ax2+c的图象与性质，既是前面所学知识的延续，又是探究其他二次函数图象的基础，起到了承上启下的作用。
二次函数的核心内容是它的概念和图象特征，本节课开始研究a、c对函数图象的影响，对后期研究一般的二次函数从方法和内容上有着重要的铺垫和打基础作用。
对二次函数图象的研究，充分体现了数形结合思想，通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质. 在以前学习的一次函数和反比例函数中都有所体现，结合本节课的内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解。
从列表、解析式、图象三方面理解函数，分析a，c的影响，反应了研究函数图象的基本方法。
因此，学好本节课，将为今后的数学学习，尤其是函数学习，奠定坚实的基础。
二、学情分析学生的知识技能基础：在此之前，学生已掌握一次函数和反比例函数的图象和性质，并刚刚学习了二次函数的基本概念，能利用描点法画抛物线的图象；对于抛物线的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标有所了解；能够根据图象认识和理解二次函数的性质。
学生的图形计算器基础：学生通过培训已经初步掌握了HP Prime图形计算器的使用，对图形计算器的运用熟悉，且有浓厚的学习兴趣。
学生活动经验基础：九年级学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，开始有了数学抽象思维和一定的分析、归纳内能力，具备本节课的认知心理基础。
该阶段的学生几何直观能力也有了很大发展，教学中应深入浅出地引导分析，利用HP Prime图形计算器和几何画板相结合可以使学生更清晰的观察和认识图形，充分理解与归纳。
最新北师大版九年级数学下册《二次函数的图象与性质》优质教学课件
解：y＝(x－4)2－15
开口向上，顶点坐标为(4，－15)
对称轴为直线 x＝4
类型2：a＝1，b为奇数
5．(例2)求抛物线y＝x2＋x＋1的顶点坐标．
解：∵y＝x2＋x＋1
1
1
2
＝x ＋x＋ 4 ＋1－
4
3
1
2
＝(x ＋x＋ )＋
1 4 3 4
＝(x＋ 2 )2＋ 4
（3）对称轴为直线x=1.25,顶点坐标为（1.25，-1.125）.
（4）对称轴为直线x=0.75,顶点坐标为（0.75，9.375）.
【例题】
如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的
直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=
9
400
表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称．
y/m
10
桥面
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛
物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
那是怎样平移的呢？
只要将表达式右边进行配方就可以知道了.
y=3x2-6x+5
=3(x-1)2+2
配方后的表达式通常称为配方
式或顶点式
y 3x 6 x 5
2
3(x 2x) 5
,-3).
.
(2)画抛物线 y=ax2+bx+c 的草图,
(4)若抛物线与 x 轴的两个交点为 A,B,与 y 轴的交点为 C,求 S△ABC.
= (x2+2x+1)- - = (x+1)2-3,∴抛物线的顶点
4a
要确定五点,即①开口方向;②对
数学初三北师大版2二次函数的图象与性质教案
数学初三北师大版 2 二次函数的图象与性质教案教材分析：本节是九年级下册（北师大版）第二章的内容，是为学生进行数学爱好活动以及把握二次函数上下左右平移的规律而安排的，目的是培养学生探究发觉、归纳总结的数学素养，开拓学生的知识视野。
学生前面差不多学过二次函数图像的画法，它对解决本节课的问题有一定的关心。
尽管这些内容没有在教材中安排，然而它今后与高中数学知识相结合对培养学生数形结合数学思想的形成有专门好的促进作用。
通过让学生经历动手操作、合作交流、观看归纳的过程，总结出二次函数图像平移时解析式的变化规律，体验数学活动的乐趣与成功的欢乐，从而促进学生对二次函数图像平移的明白得，激发学生学习数学的爱好。
教学目标：1.知识与技能目标（1）经历操作、观看、观赏、合作交流的过程，逐步认识二次函数图像平移的存在与解析式之间的联系。
（2）通过操作、交流、探究、观看、归纳的过程，总结出二次函数图像平移过程中二次函数解析式的变化规律。
2.过程与方法目标本微课我充分利用了多媒体教学的手段，利用powerpoint，《几何画板》这两种软件制作了课件，专门是《几何画板》软件的应用，画出了标准、动画形式的二次函数的图像，让抽象思维不强的学生，更加形象的结合图形，分析说出二次函数的有关平移规律与性质，充分表达了“数形结合”的数学思想。
让学生有观看，有摸索，有讨论，有练习，充分调动了学生的学习爱好，从而为高效率、高质量地上好下一节课作好了充分的预备。
使学生经历自己探究、观看、归纳、概括等过程，以及同学间的交流与合作，进一步进展同学们的空间观念，发觉函数y=a(x+h) ²+k的图像在平移过程中k、h的变化规律，从而了解数形结合的数学思想对学习数学的重要性。
.情感与态度目标（1）通过同学们的操作实践、观看发觉、概括归纳，体验数学的内在美，感受成功的欢乐，培养学生的创新能力。
（2）通过同学们的亲自操作与实践，感受“生活中处处有数学”，让学生乐学数学，激发他们学习数学的爱好。
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.2 《二次函数的图象和性质(第四课时)》课件
负半轴上，所以不与x轴相交；函数y＝
3 2
x2－1与y＝
3 (x－1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同，
2
因为对称轴和顶点的位置不同，所以抛物线的位置不同；
抛物线y＝
1 2
x
1 2
2
的顶点坐标为
1 2
，0
；抛物线y＝
1 2
x+
1 2
2
的对称轴是直线x＝－
1 2
.
总结
知2－讲
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二 次函数的性质，画出图象进行判断．
y 1 (x 1)2 …
2
-2 -0.5
0 -0.5
-2 -4.5 -8 …
y 1 (x 1)2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
2
y
画出二次函数 y = - 1 ( x + 1)2
与
y= -
1(x-
2 1)2 的图像,
2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
知识点 1 二次函数y=a(x-h)2的图象
知1－导
议一议
二次函数y= 1 (x-1)2的图象与二次函数y= 1 x2
2
2
的图象有什么关系？
类似地，你能发现二次函数y= 1 (x+1)2的图象与
二次函数y=
1
2 (x-1)2的图象有什么关系吗？
2
知1－导
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
的开口方向、对称
轴、顶点坐标、增减性和最值?
(2)抛物线
y= -
1(x2
1)2
九年级下册《二次函数的图像和性质》第三课时说课稿
学生通过上一环节的作图、观察、比较、归纳、交流讨论等过程， 已经积累了一些方法和经验，所以此环节由学生自己独立完成：
（1）作出二次函数的图象；
（2）观察、思考完成“想一想”
（3）一学生展示，其他同学与老师评价、完善。
Ⅳ.自主探索、小组互学、展学提升：
学生在前面作图、观察、思考、交流讨论的基础上，完成“猜一 猜”，然后师生共同利用计算机进行验证。最后，学生在交流讨论的基
（1）开口___________；
（2）对称轴是___________；
（3）顶点坐标是___________；
（4）当时，随的增大而___________；
当时，随的增大而___________；
（5）函数图象有___________点，函数有___________值；
当_____时，取得__________值____.
九年级下册《二次函数的图像和性质》第三课时 说课稿
九年级下册《二次函数的图像和性质》第三课时说课稿
一、教材及学情分析
《二次函数的图像与性质》是北师大版九年级下册第二章第二节 的内容，在学生已经学习过一次函数（包括正比例函数）、反比例函数 的图像与性质，以及会建立二次函数模型和理解二次函数的有关概念的 基础上进行的，它既是前面所学知识的应用、拓展，是对前面所学一次 函数、反比例函数图像与性质的一次升华，又是今后学习《确定二次函 数的表达式》《二次函数的应用》、《二次函数与一元二次方程》的预 备知识，又是学生高中阶段数学学习的基础知识，它在教材中起着非常 重要的作用。另外，本节课最大特点，是结合图形来研究二次函数的性 质，这充分体现了一个很重要的数学思想——数形结合数学思想。因 此，这一节课，无论是在知识上，还是对学生动手能力培养上都有着十 分重要的作用。
北师大版九年级数学下册课件 2.2 第4课时 二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质
∴ 当x＞－2时，y随x的增大而减小．
四、课堂小结
配方法
b 2 4ac b 2
y a( x )
2a
4a
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
(顶点式)
公式法
b 4ac b2
顶点： ( ,
)
2a
4a
b
对称轴： x
2a
五、当堂达标检测
议一议：二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质是怎样的？
2
b
4
ac
b
)
二次函数y=ax2+bx+c的图象：顶点坐标(- ，
2a
4a
（a>0）
O
y
x b
2a
（a<0）
最大值
x
最小值
O
y x b
2a
x
二、自主合作，探究新知
知识要点
函数
开口方向
对称轴
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
= + + (＞0)
轴是直线=1，顶点坐标为(1,4).
(2) y=2x2-12x+8；
(2) y = 2x2－12x+8
= 2(x2－6x)+8
= 2(x2－6x+9-9)+8
= 2(x2－6x+9)－18+8
= 2(x－3)2－10
∴二次函数y=2x2－12x+8的对称轴
是直线=3，顶点坐标为(3,-10).
二、自主合作，探究新知
数学北师大版九年级下册第二章二次函数图像和性质教案
2.2二次函数的图像和性质（第二课时）教学目标知识与技能1、能作出2ax y =和c ax y +=2的图像||，并研究它们的性质.2、比较2ax y =和c ax y +=2的图像与2x y =的异同.理解a 与c 对二次函数图像的影响. 过程与方法1、经历探索二次函数2ax y =和c ax y +=2的图像的作法和性质的过程||，进一步获得将表格、表达式、图像三者联系起来的经验.2、通过比较2ax y =||， c ax y +=2与2x y =的图像和性质的比较||，培养学生的比较、鉴别能力.情感、态度与价值观让学生积极投身于数学学习活动中||，有助于培养他们的好奇心与求知欲.经过自己的努力得出的结论||，不仅使他们记忆犹新||，还能建立自信心.由学生自己思考在经过合作交流完成的数学活动||，不仅能使学生学到知识||，还能使他们互相增进友谊.教学重点、难点教学重点：描点法画出二次函数c ax y +=2的图象||，理解二次函数c ax y +=2的性质||，理解函数c ax y +=2与函数2ax y =的相互关系是教学重点会用描||。
教学难点：正确理解二次函数c ax y +=2的性质||，理解抛物线c ax y +=2与抛物线2ax y =的关系是教学的难点||。
关键：掌握2ax y =和c ax y +=2的图像与2x y =的异同.理解a 与c 对二次函数图像的影响. 突破方法： 根据设问层层深入逐个破解||，然后进行类比、归纳、总结的探索模式学习||，最后得出2ax y =和c ax y +=2的图像与2x y =的异同及a 与c 对二次函数图像的影响教学准备:教师准备：多媒体课件（用于展示操作过程||，引导讨论||，出示答案）．学生准备：课前预习||，两张坐标纸画图工具．教学过程(一)创设问题情景||，引入新课知识回顾：1．二次函数2x y =的图象是____||，它的开口向_____||，顶点坐标是_____；对称轴是______||，在对称轴的左侧||，y 随x 的增大而______||，在对称轴的右侧||，y 随x 的增大而______||，函数2ax y =与x ＝______时||，取最______值||，其最______值是______||。
【核心素养】北师大版九年级数学下册2.2 第1课时 二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质 教案
2.2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y = x2和y =－x2的图象与性质教学内容第1课时二次函数y = x2和y =－x2的图象与性质课时1核心素养目标1.能够利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.2.能作出二次函数y=x2的图象，并能够比较与y=x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系.3.经历画二次函数y=x2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.4.培养学生数形结合的思想，积累数学经验，为后续学习服务.知识目标1．会用描点法画出形如y＝x2和y＝－x2的二次函数图象，理解抛物线的概念；2.通过观察图象能说出二次函数y＝x2和y＝－x2的图象特征和性质，并会应用．教学重点会用描点法画出形如y＝x2和y＝－x2的二次函数图象，理解抛物线的概念教学难点通过观察图象能说出二次函数y＝x2和y＝－x2的图象特征和性质，并会应用教学准备课件教学过程主要师生活动设计意图一、情境导入二、探究新知三、当堂练习，巩固所学一、创设情境，导入新知1.你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？①一次函数y = kx + b (k≠0)2. 通常怎样画一个函数的图象？列表、描点、连线.二、小组合作，探究概念和性质知识点一：二次函数y=x2和y= -x2的图象和性质合作探究你会用描点法画二次函数y = x2的图象吗?师生活动：师生一起完成画图，教师先出示表格，由学生说出x对应的y值，再描点、连线.教师强调在连线时，注意要用平滑的曲线连线，不能直接用线段把点与点之间连接.1.列表：在y = x2中自变量x可以是任意实数，设计意图：通过创设问题情景，引导学生复习描点法，复习借助图象分析性质的过程中注意分类讨论、由特殊到一般的解决问题的方法，为学习二次函数的图象奠定基础.设计意图：通过让学生自主填表，启发学生观察表达式的特点，调动学生的思维. 体现启发式教学，让每位学生都参与到学习过程中，加深学生对知识的理解，充分调动学生学习的积极性.设计意图：让学生思考和交流对函数性质的认识,并积累从图象的角度研究函数性质的经验.设计意图：类比研究y=x2图形性质的方法研究y= －x2的图形性质，让学生初步体会二次函数系数与函数性质的关系，同时体会这两个图象是关于中列表表示几组对应值：2. 描点：根据表中x，y的数值在坐标平面中描点(x，y)3. 连线：如图，再用光滑的曲线顺次连接各点，就得到y = x2的图象．观察思考问题1 你能描述图象的形状吗？二次函数y = x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.问题2 图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？有，(0，0).问题3 当x < 0 时，随着x值的增大，y值如何变化？当x > 0 时呢？当x < 0 时，y随x的增大而减小；当x > 0 时，y随x的增大而增大.问题4 当x取何值时，y的值最小？最小值是什么？x = 0 时，y min= 0.问题5 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案.合作探究做一做：画出函数y = －x2的图象，并仿照y = x2的性质说出y = －x2有哪些性质？师生活动：学生亲自动手操作，画出函数图象，然心对称.设计意图：培养学生归纳、整理知识的意识.注意将图象与表达式进行联系，让学生理解知识点.设计意图：巩固所学知识，加深对二次函数增减性的理解.设计意图：让学生自主探究，培养自主学习、独立思考的习惯，加深对二次函数的性质的理解，培养数形结合思想.设计意图：考查学生对二次函数图象的性质的掌握.设计意图：考查学生求解二次函数的表达式和画图的能力.后小组讨论、交流得出答案.1.图象是一条开口向下的抛物线.2. 当x < 0 时，y随x的增大而增大；当x > 0 时，y随x的增大而减小；当x = 0 时，ymax = 0.3.抛物线关于y轴对称.4. 顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最高点.要点归纳典例精析例1若点A(-3，y1)，B(-2，y2) 是二次函数y = -x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是___y2＞y1___.例1变式若点A(-1，y1)，B(2，y2) 是二次函数y = -x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是___y1＞y2___.师生活动：学生独立思考并作答.例2已知：如图，直线y＝3x＋4 与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．师生活动：学生独立思考并作答，选一名学生板书.教师巡视.三、当堂练习，巩固所学1. 两条抛物线y = x2与y = -x2在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（）A. 顶点坐标均为(0，0)B. 对称轴均为x = 0C. 开口都向上第1课时二次函数y = x2和y =－x2的图象与性质。
九年级下册《二次函数的图像与性质》数学教案
九年级下册《二次函数的图像与性质》数学教案标题：九年级下册《二次函数的图像与性质》数学教案
一、教学目标
1. 知识目标：理解并掌握二次函数的概念、图像及其性质。
2. 技能目标：能够通过描点法绘制二次函数图像，通过观察图像判断函数的性质。
3. 情感态度价值观目标：培养学生分析问题、解决问题的能力，提高他们对数学的兴趣。
二、教学重难点
1. 教学重点：理解和掌握二次函数的图像和性质。
2. 教学难点：通过图像理解和应用二次函数的性质。
三、教学方法
采用启发式教学法、讲授法和实践操作法相结合的方式进行教学。
四、教学过程
1. 导入新课：通过复习一次函数的知识，引导学生思考如何将一次函数推广到二次函数，激发学生的学习兴趣。
2. 新课讲解：
(1) 二次函数的概念和表达式；
(2) 二次函数的图像：a>0, a=0, a<0三种情况下的图像特征；
(3) 二次函数的性质：顶点坐标、对称轴、开口方向等。
3. 实践操作：让学生分组合作，通过描点法绘制不同类型的二次函数图像，并讨论其性质。
4. 总结反馈：教师总结本节课的主要内容，对学生的表现进行反馈。
五、作业布置
设计一些习题，包括画图题和计算题，以帮助学生巩固所学知识。
六、教学反思
在教学结束后，反思本节课的教学效果，找出存在的问题，以便改进。
北师大版九年级下册数学2.2.3：二次函数图像与性质 教案设计
1.温故引新在同一坐标系内画出 2ax y =、21y ax =+ 的图象2ax y = 向上平移1个单位长度 21y ax =+2.新课讲解 (1)做一做在直角坐标系中做出22(1)y x =-的图像(2)议一议22y x = 向 平移 个单位 22(1)y x =+ 22y x = 向 平移 个单位 22(1)y x =-(2)想一想○1二次函数图像平移的方法 左加右减 上加下减 ○2二次函数的图像有哪些性质？3.巩固练习 随堂练习4.拓展提高1)若抛物线y=-x 2向左平移2个单位,再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是________2)如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得到抛物线y=2x 2？3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平移得到抛物线y=2(x+2)2-1？ 4)若抛物线y=2(x-1)2+3沿x 轴方向平移后,经过(3,5),平移后的抛物线的解析式是______.5.作业设计 习题 第1题、第2题6.课堂反思学生在想一想的环节中,可能猜想的结果或许很多，老师不要急于表态，而是要引导学生画图验证，从而使学生经历猜想、验证等数学活动，形成自己对本节课重点内容的理解和有效的学习策略，有利于培养学生的数学直觉和感悟能力，加深对数学学习的体验，进一步突破重难点.在学生的探究过程中,教师要注意引导学生进行图象和图象之间的比较、表达式和表达式之间的比较，建立图象和表达式之间的联系, 是否理解表达式的变化将引起图象的何种变化，或者图象的变化将要引起表达式的何种变化. 要引导学生从感性认识上升到理性认识.五、教学策略选择与信息技术融合的设计教师活动预设学生活动 设计意图 在同一坐标系内画出2ax y =、21y ax =+ 的图象 2ax y = 21y ax =+向上平移1个单位长度回顾上一节课所学内容，过渡到新课学习。
在直角坐标系中做出22(1)y x =-的图像锻炼学生绘做二次函数的图像的能力并为下一环节的图像对比做准备。
北师大版九年级下册第二章二次函数2.2 二次函数的图象与性质(第1课时) 教学设计
第二章 二次函数《二次函数的图象与性质（第1课时）》一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在前面已经学习过一次函数、反比例函数，经历过探索、分析和建立两个变量之间的一次函数、反比例函数关系的过程，并学会了用描点法画函数图象的方法.在本章第一节课中，又学习了二次函数的概念，经历了探索和表示二次函数关系的过程，获得了用二次函数表示变量之间关系的体验.学生活动经验基础：在学习一次函数、反比例函数过程中，学会了用描点法画函数图象的方法，学生已具备了一定的作图能力，并经历了利用一次函数、反比例函数图象探索函数性质的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数形结合的必要性和重要性，获得了一些探究函数图象和性质的数学活动经验基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.二、教学任务分析教科书基于学生对二次函数的概念认识，提出了本课的具体学习任务：能利用描点法画函数2x y ±=的图象，并能根据图象认识和理解二次函数2x y ±=的性质.为此，本节课的教学目标是：知识与技能1．能够利用描点法画函数2x y =的图象，能根据图象认识和理解二次函数2x y =的性质．2．猜想并能作出2x y -=的图象，能比较它与2x y =的图象的异同． 过程与方法1．经历探索二次函数2x y =的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．2．由函数2x y =的图象及性质，对比地学习2x y -=的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．情感与态度1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．教学重点：作出函数2x ±的图象，并根据图象认识和理解二次函数2x y ±=的性质.教学难点：由2x y =的图象及性质对比地学习2x y -=的图象及性质，并能比较出它们的异同点.教学过程分析（一）创设问题情境，引入新课［师］我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征.知道正比例函数的图象是过原点的一条直线.一般地一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是双曲线.上节课我们学习了二次函数的一般形式为c bx ax y ++=2（其中c b a 、、均为常数且0≠a ）.那么它的图象是否也为直线或双曲线呢？本节课我们将一起来研究有关问题.（二）新课讲解1、作函数2x y =的图象［师］一次函数的图象是一条直线.二次函数的图象是什么形状呢？让我们先看最简单的二次函数2x y =.大家还记得画函数图象的一般步骤吗？［生］记得. 列表，描点，连线.［师］非常正确，下面就请同学们跟我按上面的步骤作出2x y =的图象.（1）列表：（2）在直角坐标系中描点.（3）用光滑的曲线连结各点，便得到函数图象.［师］同学们有没有什么疑惑？们都是直接用直线来连接各点的，我这里画出的是折线图，难道不对吗？［师］这个问题提得好.二次函数图象是到底用直线连接还是用光滑的曲线来连接更为合理呢？不知同学们考虑这个问题没有：列表时我们取的点都是整数点，在整数点之间还有许多小数的点并未取，如自变量1与2之间还有无数个小数，假设我们把点取得更多一些我们就能看出二次函数图象的真正面貌了.不妨取20个点试试，再取50个点试试.[生]老师，我明白了，取的点足够多时我们就能看出其本来面貌的.2、议一议对于二次函数2x y =的图象，（1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.（2）图象与x 轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？（3）当0<x 时，随着值的增大，的值如何变化？当0>x 时呢？（4）当x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请找出几对对称点，并与同伴进行交流.［生］（1）图象的形状是一条曲线，就像抛出的物体所进行的路线的倒影.（2）图象与x 轴有交点，交于原点，交点坐标就是（0，0）.（3）当0<x 时，图象在y 轴的左侧随着x 值的增大，y 的值逐渐减小；当0>x 时，图象在y 轴的右侧，随着x 值的增大，y 的值逐渐增大.（4）观察图象可知，当x=0时，y 的值最小，最小值为0.（5）观察图象是轴对称图形，它的对称轴是y 轴，从刚才的列表中可找到对应点（-1，1）和（1，1）；（-2，4）和（2，4）；（-3，9）和（3，9）.［师］大家分析判断能力很棒，下面我们系统地总结一下.3、2x y =的图象的性质［师］二次函数________2的图象是一条x y =，它的开口________,且关于______对称.对称轴与抛物线的交点是抛物线的________,它是图象的_________.同学们在补充一下：［生］（1）最低点坐标是（0，0）.（2）在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大.（3）图象与x 轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）.（4）因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x ＝0时，y 最小值＝0.4、做一做PPT 显示：2x y -=二次函数图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象.它与二次函数2x y =的图象有什么关系？与同伴进行交流.［师］请大家按照画图的步骤作出函数2x y -=的图象.［生］2x y -=的图象如右图：形状还是抛物线，只是它的开口方向向下，它与2x y =的图象形状相同，方向相反，这两个图形可以看作是关于x［师］下面我们试着讨论2x y -=的图象的性质.［生］（1）抛物线的开口方向是向下.（2）它的图象有最高点，最高点坐标是（0，0）.（3）它是轴对称图形，对称轴是y 轴.在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小.（4）图象与x 轴有交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最高点，坐标为（0，0）.（5）因为图象有最高点，所以函数有最大值，当0=x 时，y 最大值＝0.［师］大家总结得非常棒.5、2x y =函数与的2x y -=图象的比较.我们观察函数2x y =与2x y -=的图象，并对图象的性质作系统的研究，现在我们再来比较一下它们的图象的异同点.（1）、开口方向不同，2x y =开口向上，2x y -=开口向下.（2）、函数值随自变量增大的变化趋势不同，在2x y =图象上，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 着的增大而减小，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大.在2x y -=的图象上正好相反.（3）、在2x y =中y 有最小值，即0=x 时，y 最小值＝0；在2x y -=中，y 有最大值.即当0=x 时，y 最大值＝0.（4）、2x y =有最低点，2x y -=有最高点.相同点：（1）、图象都是抛物线.（2）、图象都与x 轴交于点（0，0）.（3）、图象都关于y 轴对称.联系：它们的图象关于x 轴对称.6、思考拓展.［师］从上面的比较中，还有没有什么问题要提出来？［生］从2x y =和2x y -=两个二次函数的解析式来比较，只是相差一个符号，而图象的张口方向却正好相反.那么二次函数的图象的开口方向到底跟什么有关呢？［师］很善于思考.我们现在来看这几个二次函数的图象22x y =、23x y =（二次项系数均为正值），再来看另几个二次函数图象22x y -=、23x y -=（二次项系数均为负值），你们发现了什么规律？［生1］原来二次项系数为正时，抛物线开口朝上，二次项系数为负时，抛物线开口朝下.［生2]老师，我还发现从二次项系数的绝对值来看，绝对值越大，开口越小，绝对值越小，开口越大.［师］说得非常好，对于2ax y =这类二次函数来说，a 与其张口大小、张口方向都有关系.（并就本节整体内容进行总结，并给学生以感想的时间.）（三）布置作业设计思路：先通过列表描点连线初步得到2x y =的图象，进而通过增加满足函数的点数感悟此函数的真正图象，并通过观察图象来了解2x y =函数图象的性质特征.利用相同办法同时研究2x y -=图象的性质，并对两函数进行对比，体会造成图象不同的原因，并进而引发学生产生是不是二次函数二次项系数a 为正开口向上、二次项系数为负开口向下的疑问并画图验证，而由此又生发出a 的绝对值对其张口大小的思考，教师通过课件解惑并归纳.。
初三数学下册(北师大版)《2. 2 二次函数的图象与性质(1)》【教案匹配版】最新中小学课程
)
A. = 2 和 = − 2 有共同的顶点和对称轴
B. = 2 和 = − 2 开口方向相反
C. = 2 和 = − 2 都是关于轴成轴对称
D. 点A（-3，9）在 = 2 ，也在 = − 2
1.二次函数y=x²的图象顶
（0，0）
点是___________，对称
【复习引入】
你还记得学习过哪些函数吗？
一次函数、反比例函数
怎么研究这些函数？
1.解析式
2.图象
3.性质
4.应用
1.解析式
一次函数：
y=kx+b
（k,b为常数， k≠0）
反比例函数：
y=
（k为常数，k≠0）
画一个函数图象的基本步骤是什么？
描点法：
1.列表
2.描点
3.连线
2.图象
一次函数的图象是一条直线，
反比例函数的图象是双曲线.
y
y
0
一次函数图象
x
0
反比例函数图象
x
二次函数的解析式：
y=ax²+bx+c （a,b,c为常数，a ≠0）
【讲授新课】
想一想，动手画一画：
能否用描点法，画出二次函数y=x²的图象呢？
y=x²的图像
描点法：列表→描点→连线
1.列表：选择适当的x值，并计算相应的y值.
…
5 25
( , )
2 4
y=x²
顶点：抛物线的对
称轴与抛物线的交
点是抛物线的顶点.
y=x²
归纳：
1.一条抛物线
2.开口向上
3.关于y轴（直线x=0）对称
4.有顶点（0，0），
九年级数学下册 第二章 二次函数教案 (新版)北师大版 教案
第二章 二次函数一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在前面几节课已经学习过并能够独立作出一个二次函数的图像，掌握了二次函数y =ax 2和y=ax 2+c 的一般性质。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了二次函数y=ax 2和y=ax 2+c 的性质的探索过程，在探究过程中体会到了由特殊到一般的辩证规律，积累了解决数学问题的经验和方法。
学生愿意动手操作，乐于和同伴交流意见，形成不同的意见，积极参加探索解决问题的活动，在活动中感受数学的严密性、严谨性。
同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析第2.4节将讨论一般形式的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象和性质。
它和学生前面几节课学习的2ax y =、c ax y +=2的图象之间有什么区别和联系？如何在已经学习过的类型上通过变化学习新的类型？如何探索一般二次函数的性质等等都是这一节需要关注的。
具体的，本节课的教学目标是：知识与技能1．能够作出y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 的图象，并能够理解它与y=ax 2的图象的关系，理解a,h 和k 对二次函数图像的影响。
2．能正确说出y=a (x-h )2+k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过程与方法1．经历探索二次函数y=a (x-h )2+k 的图象的作法和性质的过程。
情感态度与价值观1．在小组活动中体会合作与交流的重要性。
2．进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识。
教学难点：理解y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 的图象与y=ax 2的图象的关系，理解a 、h 和k 对二次函数图像的影响。
教学重点：y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 与y=ax 2的图象的关系，y=a (x-h )2+k 的图象性质三、教学过程分析本课设计了5个教学环节：复习引入、合作探究、练习提高、课堂小结、布置作业。
2.2.4北师大版九年级数学下册课件第二章第二节二次函数的图象和性质第四课时二次函数y=ax2+bx+c图象和性质
函数表达式
开口方 向
a>0, 开口 向上; a<0, 开口 向下.
对称轴
y轴(直线x 0)
y轴(直线x 0)
顶点坐标
y ax2 y ax2 c
y ax h
2 2
( 0 ,0 ) ( 0, c ) ( h ,0 ) (h , k )
直 线x h
⑴.钢缆的最低点到桥面的距离是少？你是怎样计算的？与同伴 交流. 可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆 的最低点到桥面的距离;
y 0.0225 x2 0.9x 10
4000 2 0.0225 x 40x 9 桥面 -5 0 5 4000 2 2 2 0.0225 x 40x 20 20 9 400 2 0.0225 x 20 9
y 0.0225 x2 0.9x 10 y/m 10
x/m
这条抛物线的顶点坐标 是 20,1.
x 20 1. 0.0225
2
由此可知桥面最低点到 桥面的距离是 1m.
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的？与同伴 交流. 想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗?
增减性
在对称轴的左侧,y随 着x的增大而增大. 在 对称轴的右侧, y随着 x的增大而减小.
最值
b 当x 时, 2a 4ac b 2 最小值为 4a
b 当x 时, 2a 4ac b 2 最大值为 4a
随堂练习
1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1 ). y = 5 ( x -1) 2 ; 2. y 2x2 12x 3 3. y 5x2 8x 319;
北师版数学九年级下册《2.2 二次函数的图象与性质》第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
y = ax2 + k
y = a(x - h )2 左右平移， 括号内左加右减.
上下 平移
y = ax2
左右 平移
二次项系数 a 不变.
练一练 1.请回答抛物线 y = 4(x－3)2＋7 由抛物线 y = 4x2 怎 样平移得到?
由抛物线向上平移 7 个单位再向右平移 3 个单位得到的. 2. 如果一条抛物线的形状与 y 1 x2 2 形状相
y
y
yy
Ox O
x
Ox O x
2. 请说出二次函数 y = -2x 2的开口方向、顶点坐标、 对称轴及最值？
向上平移3个单位 y = -2x2+3
3. 把 y = -2x2 的图象 向左平移2个单位
y = -2(x+2)2
4. 请猜测一下，二次函数 y = -2(x+2)2+3 的图象是否 可以由 y = -2x2 平移得到？学完本课时你就会明白.
当 x = h 时，y最大值=k
当 x＞h 时，y 随 x 的 增大而减小；x＜h 时， y 随 x 的增大而增大.
顶点式
y
a
x
h2
k
a
0
h 0, k 0 y ax2
h 0, k 0 y ax2 k
k
0,
h
0
y
a
x
h2
典例精析
例1. 已知二次函数 y＝a(x－1)2－c 的图象如图所示， 则一次函数 y＝ax＋c 的大致图象可能是( A )
-3 -4
-5 -6 -7 -8 -9
y 1 (x 1)2 1 2
-10
y 1 (x 1)2 1 2
要点归纳 二次函数 y = ax2 与 y = a(x-h)2+k 的关系
九年级数学下册 第2章 二次函数复习教案 (新版)北师大版 教案
教
学
目
标
知识与技能目标
过程与方法目标
情感与态度目标
1．通过对本章知识的梳理，使学生深刻理解二次函数的概念、图象与性质。
2．能灵活运用二次函数的概念与性质解决有关数学问题。
通过练习掌握基本知识和基本技能，体会不同的数学思想方法解决实际问题
积极参与交流，并积极发表意见，体验与他人交流合作的重要性。
二、典型题型
1.函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
4、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。
(1)、当x为何值时，y随x的增大而增大;
教学重点
二次函数的概念、图象与性质
教学难点
二次函数图象与性质的运用
教 学 过 程
教学内容设计
个性补充
一、知识回顾
1．归纳: 知识结构
教学内容设计
个性补充
3.二次函数关系式的三种表示方式：
一般式、
顶点式、
两根式、y=a（x－m）（x-n）
4．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的特征与系数a，b，c，的关系：
(2)、当x为何值时，y<0。
(3)、求它的解析式和顶点坐标
三、练习
四、小结作业教源自札记
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处理方式：让学生口答二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 设计意图：通过此题组，回顾如何根据二次函数的顶点式，确定二次函数图象的开口方 向、对称轴和顶点坐标.为下步确定一般式的二次函数图象的性质做准备. 活动内容 2：导入新课 我们发现， 根据二次函数的顶点式很容易确定二次函数图象的开口方向、 对称轴和顶点 坐标． 如果给你一个一般形式的二次函数 y 2 x 2 8x 7 ，你还能确定其图象的开口方向、对 称轴和顶点坐标吗？如何确定？ 【教师板书课题：2.2 二次函数的图象与性质（4）】 处理方式：给学生抛出问题，让学生联想到化成顶点式解决此题. 设计意图： 学生有了从顶点式确定二次函数图象性质的经验， 教师直接抛出一个一般式 的二次函数，并提出问题，在对比中激发学生的探究欲望． 二、探究学习，获取新知
教师规范：
3
解：这里 a
9 9 b , c 10, 400, 10
9 b ∴－ =－ 10 = －20， 9 2a 2 400
b 2 4ac b 2 ) ，其图 2a 4a
象的对称轴是直线 x 做一做
b b 4ac b 2 （- , ). ，顶点坐标是 2a 2a 4a
你能利用二次函数的顶点坐标公式再次确定上面
二次函数图象的顶 点坐标公式
“钢缆的最低点”问题的答案吗？ 处理方式：引导学生依据二次函数图象顶点坐标公式的特点，尝试用公式法进行计算， 并口述解题思路. 设计意图：由于少部分学生对配方法的步骤掌握仍有些困难，因此，在探讨顶点坐标公 式后，让学生直接再利用公式法确定问题的答案，这样，既可以巩固公式法求二次函数图象 的对称轴和顶点坐标，也可以让部分学生恢复解题的自信.
1
活动内容 1：用配方法确定二次函数 y=ax +bx+c 图象的对称轴和顶点坐标 例1 求二次函数 y 2 x 2 8x 7 图象的对称轴和顶点坐标.
2
处理方式：学生对比一般式和顶点式的形式特点，将一般式通过配方化成顶点式，从而 确定二次函数图象的对称轴、顶点坐标.一生板演后，师生共同规范解题过程.当然，还有部 分同学对配方的过程有些淡忘，可以引导学生小组交流、合作，完成对配方法过程的理解. 学生板演，教师规范： 解： y 2 x 2 8x 7
2
处理方式：学生对比以上数字系数的配方过程，完成此例，教师用多媒体进一步强化. 设计意图： 学生已基本熟练配方法求数字系数的二次函数图象的对称轴及顶点坐标， 对
y=ax2+bx+c 的配方过程学生通过类比可以顺利的完成.在此过程中，应引导学生明确“特殊
到一般”的转化思想，提升学生解决问题的能力.由于本例对学生来说分式化简和顶点符号 的确定是难点，所以，教师用多媒体示范解题过程就显得尤为重要. 教师强调：二次函数 y ax2 bx c 通过配方可化为 y a ( x
2
程.由于本题的系数是分数，学生在配方的过程中可能会产生困难，教师应给学生足够的思 考和交流的时间. 设计意图：通过这一实际问题的解决，进一步熟练配方法的过程，同时掌握用函数知识 解决实际问题的一般思路，提高学生的建构能力.由于本题的系数都是分数，学生会感到配 方法的不便之处，从而为二次函数图象的顶点坐标公式创设一个良好的探究氛围. 导语：我们发现，由于配方法的步骤较多，且容易出现系数的错误，有没有更简单易行 的方法确定二次函数图象的对称轴与顶点坐标呢？ 活动内容 3：用配方法确定二次函数 y=ax +bx+c 图象的顶点坐标公式 例2 求二次函数 y ax2 bx c 图象的对称轴和顶点坐标.
左 面 的 一 条抛 物 线 可以用 y
9 2 9 x x 10 表 400 10
Байду номын сангаас
示，而且左右两条抛物线关于 y 轴对称． (1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少? (2)两条钢缆最低点之间的距离是多少? 处理方式：先给学生 1 分钟时间审题， 让学生将实际问题转化为数学问题， 即求抛物线 的顶点纵坐标和顶点横坐标绝对值的 2 倍.然后让学生板书解题过程，并说明自己的思考过
课题：2.2.4 二次函数的图象与性质
教学目标： 1．能够熟练运用配方法确定二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 2．体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性． 3．能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题. 教学重、难点： 重点：运用配方法或二次函数图象的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题． 难点：把数学问题与实际问题相联系的过程． 课前准备：多媒体课件、检测小卷（学生用）． 教学过程： 一、创设情境，导入新课 活动内容 1：知识回顾 说出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：
2 （x 2 4 x） 7
（提取二次项系数） （配方：括号内加上再减去一次项系数一半的平方）
2 （x 2 4 x 4 - 4 ） 7
2 2 （x - 2 ） -8 7
2 2 （x - 2 ） -1 .
（整理）
设计意图：学生在解一元二次方程时，已有了配方的经验，因此，学生完全可以独立的 类比方程的配方进行代数式的配方.教师只需要大胆放手给学生时间和空间，让学生板书并 说明自己的想法. 做一做 确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
（ 1 ）y 3x 2 6 x 7 ；
（ 2 ）y 2x 2 12x 8 。
处理方式：学生板演解题过程，师生共同评价，并对配方过程进行强化. 设计意图： 配方法是确定二次函数图象的对称轴和顶点坐标的常用方法之一， 由于学生 在配方的过程和计算上容易出错，所以利用此题组让学生熟练配方的过程，同时，为下步确 定二次函数图象的顶点坐标公式做准备. 活动内容 2：用配方法解决与二次函数有关的实际问题 做一做 如图所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中的直角坐标系，