3-3泰勒公式
泰勒公式算根号
泰勒公式算根号摘要：一、泰勒公式简介1.泰勒公式定义2.泰勒公式在数学中的应用二、泰勒公式算根号1.泰勒公式与根号运算关系2.利用泰勒公式计算根号的具体步骤3.计算实例与结果分析三、泰勒公式算根号的实际应用1.在工程计算中的应用2.在科学研究中的应用3.在日常生活中的应用四、总结1.泰勒公式算根号的优缺点2.适用范围与局限性3.未来发展趋势与展望正文：一、泰勒公式简介泰勒公式（Taylor formula），又称泰勒展开式，是由英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor）在18 世纪初提出的一种数学公式。
泰勒公式可以用来表示一个可微函数在某一点附近的值，通过该点的函数值、导数值和高阶导数值的有限和。
泰勒公式在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。
二、泰勒公式算根号1.泰勒公式与根号运算关系泰勒公式可以看作是一个幂级数，通过选取合适的阶数，可以用来逼近许多常见函数。
在计算根号运算时，我们可以利用泰勒公式将根号内的数进行展开，然后通过求和得到近似值。
2.利用泰勒公式计算根号的具体步骤（1）选择一个合适的点，如0 点，作为泰勒公式的展开点。
（2）计算函数在该点的各阶导数值，如f(0)、f"(0)、f""(0) 等。
（3）根据泰勒公式，写出函数在展开点附近的幂级数展开式。
（4）将根号内的数替换为展开式，求和得到近似值。
3.计算实例与结果分析以计算根号2 为例，假设我们选择0 点作为泰勒公式的展开点，那么根据泰勒公式，有：f(x) ≈ f(0) + f"(0)x + f""(0)x^2/2! + f"""(0)x^3/3! + ...将x=1 代入上式，得到：f(1) ≈ f(0) + f"(0) + f""(0)/2! + f"""(0)/3! + ...由于f(x)=x^(1/2)，我们可以得到：f(0) = 0，f"(0) = 1/2，f""(0) = -1/2，f"""(0) = 1/6，...将各阶导数值代入上式，得到：1 ≈ 0 + 1/2 - 1/2 + 1/6 - 1/6 + ...通过求和，我们可以得到根号2 的近似值为1.41421356...，与实际值非常接近。
泰勒公式arccos
泰勒公式arccos【原创实用版】目录1.泰勒公式简介2.反余弦函数（arccos）的定义3.泰勒公式在 arccos 函数中的应用4.结论正文1.泰勒公式简介泰勒公式，是微积分学中的一种重要公式，它用于表示一个可微函数在某一点附近的近似值。
泰勒公式的基本形式为：f(x) ≈ f(a) + f"(a)(x-a) + f""(a)(x-a)^2 / 2! +...+ f^n(a)(x-a)^n / n!，其中 f(x) 为函数在 x 点的值，f"(a)、f""(a) 等表示函数在 a 点的各阶导数值。
2.反余弦函数（arccos）的定义反余弦函数（arccos），在数学中通常表示为 arccos x，是反三角函数的一种。
它的值域为 [0, π]，定义域为 [-1, 1]。
当给定一个在 [-1, 1] 之间的实数 x 时，arccos x 表示在单位圆上与 x 对应的角度。
换句话说，arccos x 是使得 cos(θ) = x 的θ值。
3.泰勒公式在 arccos 函数中的应用由于 arccos 函数是反三角函数，不能直接通过代数方法求导。
但是，我们可以借助泰勒公式来求解 arccos 函数在某一点附近的导数值。
具体来说，我们可以将 arccos 函数展开为泰勒级数，然后通过求导得到所需导数值。
arccos x 的泰勒级数展开为：π/2 - [π/2 + x - 1/2 * (x^3 - x^5) / 3! + (x^5 - x^7) / 5! - (x^7 - x^9) / 7! +...]，其中 x ∈ [-1,1]。
通过对上式求导，我们可以得到 arccos x 的导数为：-sin(arccos x) / √(1 - x^2)。
4.结论泰勒公式在反余弦函数（arccos）的求导过程中发挥了重要作用。
通过将 arccos 函数展开为泰勒级数，我们可以方便地求得函数在某一点附近的导数值。
常用十个泰勒展开公式
常用十个泰勒绽开公式常用bai泰勒绽开公式如下：1、due^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……zhi+x^n/n!+……2、daoln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。
(-∞<x<∞)4、cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+……(-∞<x<∞)5、arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)6、arccos x = π- ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……) (|x|<1)7、arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)8、sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+……(-∞<x<∞)9、cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)10、arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - ……(|x|<1)11、arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)扩展资料：数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其四周取值的公式。
假如函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的状况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。
D3_3Talyor公式
k
函数f (x) 在 x0 处n阶Taylor多项式与函数f (x) 在 x0 处零至n阶导数相等。
k f ( x0 ) k k . 即 满足 Pn ( x0 ) f ( x0 ) 1 k n. 则 ak k!
2） 若n次多项式 Pn ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n
n 1
n 1
lim f
lim
x x0
n 1
( x) Tn ( x) n ! x x0
n n
f
n
( x) Tn ( x ) f n!
( x0 ) Tn ( x0 ) 0 n!
机动 目录 上页 下页 返回 结束
n
定理 3（Larange) 设函数f (x) 在区间I有n+1阶
f
k
( x0 ) Tn ( x0 ) 0 k 0,1, , n
k
, 法则就得到 接连 n 1 次使用 LHospital
计算
( x) Tn ( x) n ! x x0
n 1
x x0
lim
f ( x) Tn ( x )
x x0
或 即
f ( x) Tn ( x) o x x0 Rn ( x) o x x0
n
n
（2）称（ # ）为带Peano型余项的Taylor公式。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
证明 注意到Tn ( x) 为函数f (x) 在x0处n阶Taylor多项式，故
北京理工大学工科数学分析3-3泰勒(Taylor)公式
(2n)!
x2 x3 ln(1 x) x
(1)n
x n1
o( x n1 )
23
n1
1 1 x x2 xn o( xn ) 1 x
(1 x)m 1 mx m(m 1) x2 2!
m(m 1) (m n 1) xn o( xn ) n!
例1. f ( x) ln(1 sin2 x) 在 x 0 的展开式到 x4 次项；
解：ln(1 sin2 x) sin2 x 1 sin4 x o(sin4 x)
2
x
x3 3!
o(
x3
2 )
1[ 2
x
o(
x)]4
o(
x4)
x2 5 x4 o( x4 ) 6
§3 泰勒(Taylor)公式
❖ 局部泰勒展开式(Taylor expension) ❖ Lagrange 余项的泰勒公式(Taylor’s
formula)
问题的提出
1. 设 f ( x) 在 x0 处连续，则有
f ( x) f ( x0 )
[ f ( x) f ( x0 ) ]
2. 设 f ( x) 在 x0 处可导，则有 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
2! 4! 6!
x2
e2
1
x2
1
x4
1
x6
o( x6 )
2 2! 4 3! 8
f ( x) 1 x4 7 x6 o( x6 ) 12 360
常用十个泰勒展开公式
常用十个泰勒展开公式常用泰勒展开公式如下：1、e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。
(-∞<x<∞)4、cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)5、arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)6、arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1)7、arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)8、sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+…… (-∞<x<∞)9、cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)10、arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - …… (|x|<1)11、arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。
最新3-3泰勒公式汇总
3-3泰勒公式教 学 内 容一、问题的提出1.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处连续,则有 «Skip Record If...» [«Skip Record If...»]2.设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处可导,则有«Skip Record If...»«Skip Record If...»例如, 当«Skip Record If...»很小时, «Skip Record If...» , «Skip Record If...» （如下图）不足: 1、精确度不高；2、误差不能估计。
问题: 寻找函数«Skip Record If...»,使得«Skip Record If...»误差 «Skip Record If...» 可估计设函数«Skip Record If...»在含有«Skip Record If...»的开区间«Skip Record If...»内具有直到«Skip Record If...»阶导数,«Skip Record If...»为多项式函数«Skip Record If...»误差 «Skip Record If...»二、«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的确定分析:1.若在«Skip Record If...»点相交«Skip Record If...»2.若有相同的切线«Skip Record If...»3.若弯曲方向相同«Skip Record If...» «Skip Record If...»近似程度越来越好 xe y =xy +=1o x e y =o xy =)1ln(x y +=。
泰勒公式
泰勒公式百科名片泰勒公式在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
目录公式定义证明1.麦克劳林展开式2.麦克劳林展开式的应用泰勒展开式1.原理2.余项泰勒简介1.简介公式定义泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。
）证明我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。
设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。
3-3泰勒公式
在x0处可微的充要条件: f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 ) 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺 佩亚诺(Peano) 余项 . 公式 ③ 称为 阶泰勒公式的佩亚诺
+ o[(x − x0 ) ] ④
* 可以证明 可以证明:
式必须有直到n+1阶导数 阶导数 式成立, ④ 式成立 但①式必须有直到
麦克劳林
•麦克劳林,Maclaurin(1698-1746), 是18世纪英国最具有 影响的数学家之一。 • 1719年Maclaurin在访问伦敦时见到了Newton，从 此便成为了Newton的门生。他在1742年撰写的名著 《流数论》是最早为Newton流数方法做出了系统逻辑 阐述的著作。他以熟练的几何方法和穷竭法论证了流数 学说，还把级数作为求积分的方法，并独立于Cauchy 以几何形式给出了无穷级数收敛的积分判别法。他得到 数学分析中著名的Maclaurin级数展开式，并用待定系 数法给予证明。
2. 余项估计 称为余项) 称为余项 令 Rn (x) = f (x) − pn (x)(称为余项 , 则有
( ′ Rn (x0 ) = Rn (x0 ) =L= Rnn) (x0 ) = 0
Rn (x) (x − x0 )n+1 ′ Rn (ξ1) Rn (x) − Rn (x0 ) (ξ1 在x0 与x 之 ) 间 = = n n+1 (x − x0 ) − 0 (n +1)(ξ1 − x0 ) ′ ′′ Rn (ξ1) − Rn (x0 ) ′ Rn (ξ2 ) (ξ2 在x0 与 = = n 间 (n +1)(ξ1 − x0 ) − 0 (n +1)n(ξ2 − x0 )n−1 ξ1 之 )
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用本文将介绍泰勒公式在数学分析中的应用。
泰勒公式是一种重要的工具，可以用于近似计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面。
本文将重点讨论泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。
2.泰勒公式泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。
它可以分为带有拉格朗日余项、皮亚诺型余项、积分型余项和柯西型余项的泰勒公式。
这些不同类型的泰勒公式可以用于不同的问题求解。
2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式具有拉格朗日余项的泰勒公式是最常用的一种泰勒公式。
它可以将一个函数展开为一个幂级数，其中每一项的系数都与函数的导数有关。
这个公式的余项是一个拉格朗日型余项，可以用来估计函数在某个点的误差。
2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式带有皮亚诺型余项的泰勒公式是一种更精确的泰勒公式。
它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。
2.3带有积分型余项的泰勒公式带有积分型余项的泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。
它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。
2.4带有柯西型余项的泰勒公式带有柯西型余项的泰勒公式是一种将函数展开为幂级数的方法。
它可以用来估计函数在某个点的误差，并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。
3.泰勒公式的应用泰勒公式在数学分析中有广泛的应用。
本文将介绍泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。
3.1利用泰勒公式求未定式的极限利用泰勒公式可以求解一些未定式的极限。
例如，可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数，并利用级数的性质求解未定式的极限。
3.2利用泰勒公式判断敛散性泰勒公式可以用来判断一些级数的敛散性。
例如，可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数，并利用级数的性质判断级数是否收敛。
3.3利用泰勒公式证明中值问题泰勒公式可以用来证明一些中值问题。
常见函数泰勒公式展开式大全
常见函数泰勒公式展开式大全函数的泰勒公式是数学中非常重要的工具之一。
它可以将一个函数在某一点附近展开成一列无穷级数，从而方便我们进行更深入的研究和计算。
在数学中，常见的函数泰勒公式展开式包括：1. 指数函数的泰勒展开式：e^x = 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + (x^4)/4! + ...2. 正余弦函数的泰勒展开式：cos(x) = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ...sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...3. 自然对数函数的泰勒展开式：ln(1+x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ...4. 幂函数的泰勒展开式：(1+x)^n = 1 + nx + (n(n-1)x^2)/2! + (n(n-1)(n-2)x^3)/3! + ...5. 反正切函数的泰勒展开式：arctan(x) = x - (x^3)/3 + (x^5)/5 - (x^7)/7 + ...这些展开式在数学和工程领域中被广泛应用。
它们可以用于近似计算，求解微分方程，以及研究函数的性质和行为。
泰勒公式展开式的精确性取决于展开点的选择和展开的级数项的截断。
一般来说，如果函数在展开点附近具有光滑的性质，那么展开式的精度会更高。
但是，需要注意的是，展开式并不一定在整个定义域都收敛，所以在具体应用中需要注意选择合适的展开点和级数项截断。
总之，泰勒公式展开式是一种非常有用的数学工具，可以帮助我们更好地理解和研究各种函数。
熟练掌握这些常见函数的泰勒展开式，将有助于我们在数学和科学领域中进行更精确的计算和分析。
【泰勒展开】常见泰勒公式大全
【泰勒展开】常见泰勒公式大全几个常见的泰勒公式(x\rightarrow0) ：sinx = x -\frac{x^3}{6} +o(x^3)\qquad \qquad \quad \ \ arcsinx=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)cosx=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)\qquad \quad arccosx=? [1]tanx = x +\frac{x^3}{3}+o(x^3)\qquad \qquad \quad \ arctanx=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3) \qquad ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2)另外\begin{align} &对于 (1+x)^{\alpha}=1+\alphax+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2) \\&\text{当}\alpha =\frac{1}{2}\text{，则}\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+o\left( x^2 \right) \\ &\text{当}\alpha =\frac{1}{3}\text{，则}\sqrt[3]{1+x}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}x^2+o\left( x^2 \right) \end{align}习题中常见(x \rightarrow 0) ：\begin{align} tanx - sinx &= \frac{1}{2}x^3+o(x^3)\\ x - sinx &= \frac{1}{6}x^3+o(x^3)\\ arcsinx - x &=\frac{1}{6}x^3+o(x^3)\\ tanx - x &=\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\\ x-arctanx&=\frac{1}{3}x^3+o(x^3) \end{align}即有\begin{align*} tanx - sinx &\sim \frac{1}{2}x^3\\ x - sinx &\sim \frac{1}{6}x^3\\ arcsinx - x &\sim\frac{1}{6}x^3\\ tanx - x &\sim \frac{1}{3}x^3\\ x-arctanx &\sim\frac{1}{3}x^3 \end{align*}还可以得到(x\rightarrow0) ：\begin{align} x-\ln \left( 1+x \right) \,&\sim\frac{x^2}{2} \\ e^x-1-x\,&\sim \frac{x^2}{2} \\ 1-\cos ^ax\ &\sim \frac{ax^2}{2} \\ f\left( x \right)^{g\left( x \right)}-1 &\sim g\left( x \right)\left[ f\left( x \right) -1 \right] \qquad \left( 当f\left( x \right) \rightarrow 1\text{且}f\left( x\right) ^{g\left( x \right)}\rightarrow 1 \right)\end{align}注：上述四结论来自：有时还会用到\left( 1+x \right) ^{\frac{1}{x}}=e-\frac{e}{2}x+\frac{11e}{24}{x^2}+o\left( x^2 \right) [2]一般地\begin{align} e^{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} =1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!} x^{n}+\cdots \\ \ sinx&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}=x-\frac{x^{3}}{3 !} +\frac{x^{5}}{5!} -\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}+\cdots\\ \ cos x&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n) !}x^{2 n}=1-\frac{x^{2}}{2!} +\frac{x^{4}}{4!} -\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{2n}+\cdots \\ \ ln(1+x)&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1}x^{n+1}=x-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x^{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{n+1} x^{n+1}+\cdots, x \in(-1,1] \\ \frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n}+\cdots, x \in(-1,1) \\ \frac{1}{1+x} &= \sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n} = 1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots+(-1)^{n} x^{n}+\cdots, x\in(-1,1) \\ (1+x)^{\alpha} &= 1+\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n} = 1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !}x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1) \ldots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n}+\cdots, x \in(-1,1) \\ \arctan x &=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2\pi+1} = x-\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{5}x^{5}+\cdots+\frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}+\cdots, x \in[-1,1] \\ \end{align}{\LARGE \begin{align} \arcsin x &= \sum_{n =0}^{\infty} \frac{(2 n!)x^{2n+1}}{4^{n}(n !)^{2}(2n+1)} = x+\frac{1}{6} x^{3}+\frac{3}{40}x^{5}+\frac{5}{112} x^{7}+\frac{35}{1152}x^{2}+\cdots+\frac{(2 n) !}{4^{n}(n !)^{2}(2 n+1)}x^{2 n+1}+\cdots, x \in(-1,1) \\ \tan x &= \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2 n) !} x^{2n-1} = x+\frac{1}{3} x^{3}+\frac{2}{15}x^{5}+\frac{17}{315} x^{7}+\frac{62}{2835}x^{9}+\frac{1382}{155925} x^{11}+\frac{21844}{6081075} x^{13}+\frac{929569}{} x^{15}+\cdots ,x \in(-1,1) \\ \sec x &= \sum_{\pi = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}E_{2n} x^{2 n}}{(2 n) !} = 1+\frac{1}{2} x^{2}+\frac{5}{24} x^{4}+\frac{61}{720} x^{6}+\cdots, x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\\ \csc x &=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 2\left(2^{2\mathrm{n}-1}-1\right) B_{2n}}{(2 n) !} x^{2 x-1} =\frac{1}{x}+\frac{1}{6} x+\frac{7}{360}x^{3}+\frac{31}{15120} x^{5}+\frac{127}{604800}x^{7}+\frac{73}{3421440} x^{2}+\frac{1414477}{}x^{11}+\cdots, x \in(0, \pi)\\ \cot x &= \sum_{n =0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 2^{2n} B_{2n}}{(2 n) !}x^{2 n-1} = \frac{1}{x}-\frac{1}{3} x-\frac{1}{45}x^{3}-\frac{2}{945} x^{5}-\cdots, x \in(0, \pi)\end{align}}相关链接：1.^利用arccosx = pi/2 - arcsinx即可得出。
常见泰勒公式展开式大全
常见泰勒公式展开式大全泰勒公式，又称为克里拉耶泰勒公式，是一种非常有用的数学公式，可以用于求解一元函数的极限问题。
更具体点，可以用它对函数进行无穷多次展开，从而求出其展开式及其对应的前几项的值。
几何意义上，它可以表示为点（极限）的切线，表达的是最接近极限的线段。
那么，什么是泰勒公式展开式呢？它可以定义为代数多项式，可以用一般形式来表达：P(x) = f(x) + f'(x)*x + f''(x)*x^2/2 + f'''(x)*x^3/6 + ...其中，f(x)为指定函数，f'(x)表示函数的一阶导数，f''(x)表示函数的二阶导数，以此类推。
所以，泰勒公式展开式可以由指定函数的各个阶数导数及其乘以相应阶数的次幂组合而成。
下面，我们就常见的泰勒公式展开式进行分类总结：1、erf(x)的展开式：erf(x) = 2x*sqrt(pi) / (2x*sqrt(pi) + e^(-x^2)).2、sin(x)的展开式：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...3、cos(x)的展开式：cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...4、exp(x)的展开式：exp(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ...5、ctan(x)的展开式：ctan(x) = x + x^3/3 + 2*x^5/15 + 17*x^7/315 + ...以上为常见泰勒公式展开式大全，也可以对各种复杂的函数采用泰勒公式来进行展开，但此时的展开式往往会出现非常复杂且准确度较低的情况，因此多采用数值计算，比如欧拉法、拉格朗日法等方法来求解。
D3_3泰勒.pdf
二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用— 应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒 ( Taylor )公式第三章特点:)(01x p ′)(0x f =)(0x f ′=一、泰勒公式的建立)(x f xy)(x f y =o))(()(000x x x f x f −′+≈)(1x p 以直代曲0x )(1x p )(01x p 在微分应用中已知近似公式 :需要解决的问题如何提高精度 ?如何估计误差 ?xx 的一次多项式1. 求 n 次近似多项式要求:,)(x p n )(0!212x p a n′′=,)(0x f ′′=,L )(0)(!1x p a n n n n =)(0)(x fn =故=)(x p n )(0x f ))((00x x x f −′+L +!21!1n n n x x x f ))((00)(−+!1n 200))((x x x f −′′+!21令=)(x p n 则=′)(x p n =′′)(x p n L L L L n a n !=)()(x p n n )(00x p a n =,)(0x f =,)()(00x f x p n =)(01x p a n ′=,)(0x f ′=1a )(202x x a −+10)(−−++n n x x a n L 2!2a 20)()1(−−−++n n x x a n n L ,)()(00x f x p n ′=′)()(,0)(0)(x f x p n n n =L 0a nn x x a x x a x x a )()()(020201−++−+−+L)0(之间与在n x ξξ )( )(10+−=n n x x x R )(2)1( )(0)(x n R n n n n −+=ξξL 2. 余项估计)()()(x p x f x R n n −=令(称为余项) ,)(0x R n )(0x R n′=0)(0)(===x R n n L 10)()(+−n n x x x R n n x n R ))(1()(011−+′=ξξ ))(1( )(011n n x n R −+′=ξξ1022)()1()(−−+′′=n n x n n R ξξL=!)1()()1(+=+n R n n ξ则有)(0x R n −0−)(0x R n ′−0−)(0)(x R n n −0−x )01(之间与在x x ξ)102(之间与在ξξx)()()(x p x f x R n n −=10)()(+−n n x x x R !)1()()1(+=+n R n n ξ)0(之间与在x x ξ,0)()1(=+x p n n Q10)1()(!)1()()(++−+=n n n x x n fx R ξ)()()1()1(x fx R n n n ++=∴时的某邻域内当在M x f x n ≤+)()1(0)0(之间与在x x ξ1!)1()(+−+≤n n x x n M x R )())(()(00x x x x o x R nn →−=∴公式 ① 称为的 n 阶泰勒公式 .)(x f 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .泰勒中值定理 :内具有的某开区间在包含若),()(0b a x x f 1+n 直到阶的导数 ,),(b a x ∈时, 有=)(x f )(0x f ))((00x x x f −′+200)(!2)(x x x f −′′+L+n n x x n x f )(!)(00)(−+)(x R n +①其中10)1()(!)1()()(++−+=n n n x x n fx R ξ②则当)0(之间与在x x ξ公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano Peano)) 余项 .在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为L+=)(x f )(0x f ))((00x x x f −′+200)(!2)(x x x f −′′+n n x x n x f )(!)(00)(−+])[(0n x x o −+])[()(0nn x x o x R −=注意到③④* 可以证明:阶的导数有直到在点n x x f 0)(④ 式成立特例:(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为=)(x f )(0x f ))((0x x f −′+ξ(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理=)(x f )(0x f ))((00x x x f −′+20)(!2)(x x f −′′+ξ可见≈)(x f )(0x f ))((00x x x f −′+201)(!2)()(x x f x R −′′=ξ误差=)(x f )(0x f ))((00x x x f −′+L +10)1()(!)1()(++−++n n x x n f ξ200)(!2)(x x x f −′′+n n x x n x f )(!)(00)(−+fd )0(之间与在x x ξ)0(之间与在x x ξ)0(之间与在x x ξ)0(之间与在x x ξ称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .,)10(,00<<==θθξx x 则有=)(x f )0(f x f )0(′+L +1)1(!)1()(++++n n x n x f θ2!2)0(x f ′′+nn xn f !)0()(+在泰勒公式中若取=)(x f )(0x f ))((00x x x f −′+L +10)1()(!)1()(++−++n n x x n f ξ200)(!2)(x x x f −′′+n n x x n x f)(!)(00)(−+)0(之间与在x x ξ≈)(x f )0(f x f )0(′+L +,)()1(M x fn ≤+则有误差估计式1!)1()(++≤n n x n M x R 2!2)0(x f ′′+nn x n f !)0()(+若在公式成立的区间上由此得近似公式二、几个初等函数的麦克劳林公式xe xf =)()1(,)()(xk e x f =Q),2,1(1)0()(L ==k fk xe ∴1=x +!33x +L +!n xn+)(x R n +!22x +其中=)(x R n !)1(+n )10(<<θ1+n x xe θ)sin(+x xx f sin )()2(==)()(x f k Q x sin ∴x =!33x −!55x +!)12(12−+−m x m )(2x R m +其中=)(2x R m )sin(212πθ++m x 2π⋅k 2sin )0()(πk f k =⎩⎨⎧=m k 2=,012−=m k ,)1(1−−m ),2,1(L =m L −1)1(−−m )10(<<θ12+m x!)12(+m )cos()1(x m θ−!)2(2m x m+xx f cos )()3(=类似可得x cos 1=!22x −!44x +)(12x R m ++其中=+)(12x R m !)22(+m )cos()1(1x m θ+−)10(<<θL +m )1(−22+m x)1()1()()4(−>+=x x x f α=)()(x f k Qα)1(x +∴1=x α+2x n x )(x R n +其中=)(x R n 11)1(!)1()()1(+−−++−−n n xx n n αθαααL )10(<<θkx k −++−−αααα)1)(1()1(L )1()1()0()(+−−=k fk αααL L+),2,1(L =k !2 +)1(−αα!n +)1()1(+−−n αααL)1()1ln()()5(−>+=x x x f 已知)1ln(x +x =22x −33x +nx n+)(x R n +其中=)(x R n 11)1(1)1(++++−n n n x xn θ)10(<<θL −1)1(−−n 类似可得=)()(x f k kk x k )1(!)1()1(1+−−−),2,1(L =k三、泰勒公式的应用1. 在近似计算中的应用误差1!)1()(++≤n n x n M x R M 为)()1(x fn +在包含 0 , x 的某区间上的上界.需解问题的类型:1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.≈)(x f )0(f x f )0(′+L +2!2)0(x f ′′+nn xn f !)0()(+已知例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过.106−解:xe !)1(++n x e θ1+n x 令 x = 1 , 得e )10(!)1(!1!2111<<++++++=θθn en L )10(<<θ由于,30<<<e e θ欲使)1(n R !)1(3+<n 610−<由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因此e !91!2111++++≈L 718281.2=x e 1=x +!33x +L +!n x n +!22x +的麦克劳林公式为说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入到小数点后 6 位,则各项舍入误差之和不超过,105.076−××总误差为6105.07−××610−+6105−×<这时得到的近似值不能保证误差不超过.106−因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .e !91!2111++++≈L例2. 用近似公式!21cos 2xx −≈计算 cos x 的近似值,使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.解:近似公式的误差)cos(!4)(43x xx R θ=244x ≤令005.0244≤x解得588.0≤x 即当588.0≤x 时, 由给定的近似公式计算的结果能准确到 0.005 .2. 利用泰勒公式求极限例3. 求.43443lim 20xx x x −−++→解:由于x 4312+=43+x 21)1(43x +[] 2=)(14321x ⋅+⋅+!21)1(2121−243)(x )(2x o +用洛必塔法则不方便 !2x 用泰勒公式将分子展到项,11)1(!)1()()1(+−−++−−+n n x x n n αθαααL n x ! n +)1()1(+−−n αααL α)1(x +1=x α+2x L +!2 +)1(−αα)10(<<θx 34−21)1(243x −=2=20 lim xx →=∴原式)(2216921x o x +⋅−329−=x 43−)(2216941x o x +⋅−2=x 43+)(2216941x o x +⋅−11)1(!)1()()1(+−−++−−+n n x x n n αθαααL n x !n +)1()1(+−−n αααL α)1(x +1=x α+2x L +!2 +)1(−αα)10(<<θ3. 利用泰勒公式证明不等式例4. 证明).0(82112>−+>+x xx x 证:21)1(1x x +=+Q21x +=2)121(21!21x −⋅+325)1)(221)(121(21!31xx −+−−⋅+θ)10(<<θ3225)1(161821x x x x −++−+=θ)0(82112>−+>+∴x x x x内容小结1. 泰勒公式其中余项))((0nx x o −=当00=x 时为麦克劳林公式 .=)(x f )(0x f ))((00x x x f −′+200)(!2)(x x x f −′′+L+n n x x n x f )(!)(00)(−+)(x R n +10)1()(!)1()()(++−+=n n n x x n fx R ξ)0(之间与在x x ξ2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P140 ~ P142 ),x e ,)1ln(x +,sin x ,cos x α)1(x +3. 泰勒公式的应用(1) 近似计算(3) 其他应用求极限 , 证明不等式 等.(2) 利用多项式逼近函数 , x sin 例如4224642024612!)12()1(9!917!715!513!311sin −−−−+++−+−=n n x xx x x x x n L )(2nx o +!33x x y −=!5!353x x x y +−=!7!5!3753x xx x y −+−=xy sin =x y =xsin 泰勒多项式逼近12!)12()1(9!917!715!513!311sin −−−−+++−+−=n n x xx x x x x n L )(2nx o +xsin 4224642246xy sin =!9!7!5!39753x x x xx y +−+−=!11!9!7!5!3119753x x x x x x y −+−+−=泰勒多项式逼近思考与练习计算.3cos 2lim 402xx ex x −+→)(!2114422x o x x e x +++=Q )(!4!21cos 542x o x x x ++−=)()!412!21(3cos 2442x o x x e x +⋅+=−+∴127)(lim 4441270=+=→xx o x x 解:原式作业P143 1 ;4 ; 5 ; 7 ; 8;10(1),(2)泰勒(1685–1731)英国数学家,他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一 , 重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《线性透视论》(1719)他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 .他是有限差分理论的奠基人 .麦克劳林(1698–1746)英国数学家,著作有:《流数论》(1742)《有机几何学》(1720)《代数论》(1742)在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的麦克劳林级数 .,]1,0[)(上具有三阶连续导数在设函数x f ,0)(,2)1(,1)0(21=′==f f f .24)(,≥′′ξξf 使一点=)(x f )(21之间与在其中x ζ,]1,0[∈x 由题设对证:备用题 1.321))((!31−′′′+x f ζ)(21f221)(−x )(!2121f ′′+))((2121−′+x f有)(21f =221)(−x )(!2121f ′′+321))((!31−′′′+x f ζ内至少存在证明)1,0(且得分别令,1,0=x)),0((211∈ζ)(21f=))1,((212∈ζ3211)(!3)(−′′′+ζf 3212)(!3)(ζf ′′′+)0(1f =)(21f =22121)(!2)(−′′+f )1(2f =22121)(!2)(f ′′+=1下式减上式 , 得[])()(48112ζζf f ′′−′′[])()(48112ζζf f ′′+′′≤)(241ξf ′′≤)10(<<ξ令))(,)((max )(12ζζξf f f ′′′′=′′24)(≥′′ξfe )10(!)1(!1!2111<<++++++=θθn en L 两边同乘 n !e n != 整数 +)10(1<<+θθn e假设 e 为有理数qp( p , q 为正整数) ,则当时,q n ≥等式左边为整数;矛盾 !2. 证明 e 为无理数 .证:2≥n 时,当故 e 为无理数 .等式右边不可能为整数.。
3-3s 泰勒公式
如果当x (a,b)时,f(n+1)( x) M
f ( n 1) ( ) M n 1 n 1 Rn ( x) ( x x0 ) x x0 (n 1)! (n 1)! 而
x x0 ( x
lim
Rn ( x) x0 )
n
0
故 当x x0时, Rn ( x) 是比( x x0 ) n高阶的无穷小，
[1 ( x 1) ( x 1) ( x 1) ] o[(x 1) ]
2 3 3
例2 写出
解：
f ( x) 阶麦克劳林公式 e x的n .
f ' ( x) f ' ' ( x) f ( n ) ( x) e x f (0) f ' (0) f ' ' (0) f
所以
1 x 1 f (0) x
1 1 f (0) x 2 f ( ) x3 2! 3!
(0 1)
5 1 1 2 1 1 x x (1 ) 2 x3 2 8 16
R2 ( x)
x3 16(1 )
5 2
1 16
(n)
(0) 1
f ( n 1) (x) ex 2 n x x x e ex 1 x x n 1 2! n! (n 1)!
(0 1)
x ex e n 1 Rn ( x) x n 1 x (n 1)! (n 1)!
(0 1)
可得
( x0 ) f ( x0 ), pn ,
(n) pn ( x0 ) f ( n ) ( x0 )
对（3.3.1）式求各阶导数，然后分别代入以上等式，
大学一年级上学期-微积分课后练习及答案-3-3泰勒公式
f (−1) = −1 ， f ′(−1) = −1 ， f ′′(−1) = −2 ， f ′′′(−1) = −3! ，… f (n) (−1) = −n! ，
所以
f (x) =
1 x
在点
x0
= −1 处的带拉格朗日余项的泰勒公式为
1 x
=
−[1 +
(x
+
1) +
(x
+ 1)2
+
... +
(x
+ 1)n ] +
2．求下列函数在点 x0 处的带皮亚诺余项的泰勒公式.
(1)
f ( x) = xe− x2 ， x = 0 0
解：因为 e x
= 1+
x+ 1!
x2 2!
+L+
xn n!
+ o( x n ) ，所以
xe − x2
=
x⎜⎜⎝⎛1 +
− x2 1!
+
(− x2 )2 2!
+L +
(− x2 )n n!
+
o((− x 2 )n )⎟⎟⎠⎞
第 3 章 微分中值定理及其应用 第 3 节 泰勒公式 2/8
《微积分 A》习题解答
=
x−
x3 1!
+
x5 2!
+ L + (−1)n
x 2n+1 n!
+ o( x 2n+1 )
(2) f ( x) = ln x ， x0 = 1
解： ln x = ln(1 + ( x − 1))
1+
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f (x) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
( 在 x0与 x 之间)
f ( ) ( x x0 ) 2 f (x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2! ( 在 x0与 x 之间) 可见 df 误差 ( 在 x0 与 x 之间)
1 n ! f ( n) ( x0 )( x x0 ) n
2. 余项估计
令 Rn ( x) f ( x) pn ( x) (称为余项) , 则有
Rn ( x) ( x x0 ) n1 Rn (1 ) Rn ( x) Rn ( x0 ) (1 在 x0 与 x 之间) n n1 (n 1)(1 x0 ) ( x x0 ) 0 Rn (1 ) Rn ( x0 ) Rn ( 2 ) ( 2 在 x0 与 n (n 1)(1 x0 ) 0 (n 1)n( 2 x0 ) n1 1 之间)
n an ( x x0 ) n1 a1 2a2 ( x x0 )
( pnn) ( x) a0 pn ( x0 ) f ( x0 ) ,
1 a2 2! pn ( x0 )
2 !a2 n(n 1)an ( x x0 ) n!an a1 pn ( x0 ) f ( x0 ) ,
3 6 10 Rn (1) (n 1) ! 由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此 1 1 e 11 2.718282 2! 9!
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说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
1 1 本例 e 1 1 2! 9!
( ( Rnn ) ( x0 ) Rnn1) ( ) ( 在 x0 与 n 之间) x (n 1) 2( n x0 ) 0 (n 1) !
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( Rn ( x0 ) Rn ( x0 ) Rnn ) ( x0 ) 0
(0 1)
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π f ( x) sin( x k ) 2 k 2m π 0, (k ) (m 1, 2 ,) f (0) sin k 2 (1) m1 , k 2m 1
(k )
x 2 m1 x3 x5 sin x x (1) m1 R2m ( x) (2m 1) ! 3! 5!
其中 R2 m ( x)
麦克劳林公式
sin() mx 2 1)π) 2 m1 (1 cos(m x 2 (0 1) x (2m 1) !
f (0) 2 f ( n ) (0) n x x f (0) f (0) x n! 2! (0 1)
y
y f (x)
p1 ( x)
特点:
f ( x0 ) f ( x0 )
如何提高精度 ?
如何估计误差 ?
O
x0 x
以直代曲
x
需要解决的问题
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1. 求 n 次近似多项式 令 则
要求:
2 n
pn (x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 ) an ( x x0 ) pn (x) pn (x)
f (0) 2 f ( n ) (0) n x x f (0) f (0) x n! 2!
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(0 1)
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f ( k ) ( x) ( 1)( k 1)(1 x) k
(k 1, 2 ,) f ( k ) (0) ( 1)( k 1) ( 1) 2 (1 x) 1 x x 2! ( 1)( n 1) x n Rn (x) n! ( 1)( n) (1 x) n1 x n1 其中 Rn (x) (n 1) ! (0 1)
第三章
第三节 泰勒公式
目的－用多项式近似表示函数
应用 理论分析
近似计算
一、泰勒公式的建立 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
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一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
f (x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
x 的一次多项式
(n) Rn ( n )
Rn ( x) f ( x) pn ( x)
( 在 x0 与 x 之间)
( ( pnn1) ( x) 0 , Rnn1) ( x) f ( n1) ( x)
Rn ( x)
f ( n1) ( ) (n 1) !
( x x0 ) n1 ( 在 x0 与 x 之间)
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三、泰勒公式的应用
1. 在近似计算中的应用
f (0) 2 f ( n ) (0) n x f (x) f (0) f (0) x x 2! n! M n 1 x 误差 Rn ( x) (n 1) !
( n1) ( x) 在包含 0 , x 的某区间上的上界. M为 f
麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束
由此得近似公式
二、几个初等函数的麦克劳林公式
( x) e ,
x
f
(k )
f ( k ) (0) 1 (k 1, 2 ,)
x 2 x3 xn ex 1 x Rn (x) 2 ! 3! n!
其中
麦克劳林公式
f (0) 2 f ( n ) (0) n x x f (0) f (0) x n! 2!
需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.
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例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 解: 已知 的麦克劳林公式为 x 2 x3 xn ex 1 x 2 ! 3! n! (0 1) 令x=1,得 1 1 e 11 (0 1) 2! n ! (n 1) ! 由于 0 e e 3 , 欲使
计算 cos x 的近似值,
使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.
解: 近似公式的误差
令
解得
x x R3 ( x) cos( x) 24 4! 4 x 0.005 24 x 0.588
4
4
即当 x 0.588 时, 由给定的近似公式计算的结果 能准确到 0.005 .
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在泰勒公式中若取 x0 0, 记 x (0 1) , 则有 f (0) 2 f ( n ) (0) n x x f (0) f (0) x 2! n!
称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .
f (0) 2 f ( n ) (0) n f (x) f (0) f (0) x x x f ( x0 ) 2 n)! x 2! f (x) f ( x0 ) f ( x0 )( x 10 ) ( x x0 (n ) 若在公式成立的区间上 f ( x) 2 ! , 则有误差估计式 M f ( n ) ( x0 ) f ( n1) ( ) n 1 ( x x0 ) n M n 1 ( x x0 ) n ! Rn ( x) (n x ) ! 1 ( 在 x0 与 x 之间) (n 1) !
麦克劳林公式
f (0) 2 f ( n ) (0) n x x f (0) f (0) x n! 2! (0 1)
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已知 f 因此可得
(k )
( x) (1)
k 1
(k 1)! (k 1, 2 ,) k (1 x)
1 2!
n2
1 2!
1 1 ( n) f ( x0 ) , , an n! pn ( x0 ) n ! f ( n) ( x0 )
故 pn (x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
f ( x0 )( x x0 ) 2
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类似可得
x2 x4 x 2m cos x 1 (1) m R2m1 ( x) 2! 4! ( 2 m) !
其中
(1) m1 cos( x) 2 m 2 R2m1 ( x) x (2m 2) !
(0 1)
麦克劳林公式
当在 x0 的某邻域内 f ( n1) ( x) M 时 M n 1 Rn ( x) x x0 (n 1)! n Rn ( x) o(( x x0 ) ) ( x x0 )
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泰勒(Taylor)中值定理 :
时, 有 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! (n) f ( x0 ) n ( x x0 ) Rn (x) ① n! 其中 Rn ( x) 阶的导数 , 则当
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过 7 0.5 10 , 总误差限为 7 0.5 106 10 6 5 106 这时得到的近似值不能保证误差不超过 10 6. 因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .
6
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