高一第二中期数学试题

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高一数学第二学期期中考试试卷含答案(word版)

第二学期期中考试高一数学试题试题分值 150分时间 120分钟一、选择题1、集合}{01032<-+=x x x A ，}{410<+<=x x B ，则)(B C A R ⋂＝（）A 、}{21<<-x x B 、}{3215≤<-≤≤-x x x 或C 、}{15-≤<-x xD 、}{15-≤≤-x x2、已知135sin =α，α是第一象限角，则cos(π)α-的值为（） A.513-B.513C.1213-3、在等差数列{}n a 中，已知112n a n =-，则使前n 项和n S 最大的n 值为（） A.4 B.5 C.6 D.74、在ABC ∆中，内角C B A 、、所对的边为c b a 、、， 60B =，4a =，其面积S =，则c =（）A.15B.16C.20D.5、已知平面向量→a , →b 满足|→a |=1，|→b |=2，且（→a +→b ）⊥→a ，则→a ，→b 的夹角为A 、23π B 、2π C 、3π D 、6π6、在ABC ∆中，内角C B A 、、所对的边为c b a 、、， 4,30a b A ===，则B =（）A.60°B.60°或120°C.30°D.30°或150° 7、等比数列{}n a 的前m 项和为4，前2m 项和为12，则它的前3m 项和是（） A.28 B.48 C.36 D.52 8、已知等差数列}{n a 的前15项之和为154π，则789tan()a a a ++=（） A. 33B. 3C. 1-D. 19、在△ABC 中，2,1AB AC AM AM +==，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（） A ．94 Ｂ．34 Ｃ．－34 Ｄ．－9410、已知))()(()(b a b x a x x f >--=其中，若)(x f 的图象如右图所示：则b a x g x+=)(的图象是（）xyA 1OxyB 1OxyC1OxyD1O11、在△ABC 中，内角C B A 、、所对的边为c b a 、、，若222c a b ab ≤+-，则C 的取值范围为（） A.(0,]3πB.[,)6ππC.[,)3ππD.(0,]6π12、已知等差数列{}n a 满足2222699678sin cos sin cos 1sin()a a a a a a -=+，公差(1,0)d ∈-，当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则该数列首项1a 的取值范围为（）A.43(,)32ππ B.43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.74(,)63ππD.74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题13、若3sin 5x =，则cos 2x =__________． 14、在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan =+，给出以下四个论断：①1tan tan =B A ； ② 1sin sin 3A B <+≤1cos sin 22=+B A ；④C B A 222sin cos cos =+其中正确的序号是____________xy-11O15、在矩形ABCD 中，AB=2BC ，M 、N 分别是AB 和CD 的中点，在以A 、B 、C 、D 、M 、N 为起点和终点的所有向量中，相等的非零向量共有对.16.对于实数b a ,，定义运算⎩⎨⎧>-≤-=⊗⊗11:""b a b b a a b a ，设函数)()2()(22x x x x f -⊗-=，若函数c x f y -=)(的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________. 三、解答题17. (本小题满分10分)已知等差数列{}n a 满足：3710,26a a ==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）请问88是数列{}n a 中的项吗？若是，请指出它是哪一项；若不是，请说明理由．18. (本小题满分12分) 已知向量(cos ,1)2x m =-，2(3sin ,cos )22x x n =，设函数1()2f x m n =⋅+．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调区间．NCDAB19. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，递增的等比数列{}n b 满足：142318,32b b b b +=⋅=．（1）求数列{}{}n n a b 、的通项公式；（2）若*,N n n n c a b n =⋅∈，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20.(本小题满分12分)在ABC ∆中，内角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足()2cos cos a c B b C -=．（1）求B 的值；（2）若3=b ，求c a 21-的取值范围．21、（12分）要将两种大小不同的钢板截成A B C 、、三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A B C 、、三种规格的成品分别15，18，27块，各截这两种钢板多少张可得所需A B C 、、三种规格的成品，且使所用钢板张数最少？213112C 规格B 规格A 规格第一种钢板第二种钢板规格类型钢板类型22、（本小题满分12分）已知函数）（Z ∈=++-m x x f m m322)(为偶函数，且)5()3(f f <. （1）求m 的值，并确定)(x f 的解析式.（2）若)1,0]()([log ≠>-=a a ax x f y a 且在区间[]3,2上为增函数，求实数a 的取值范围 .第二学期期中考试高一理科数学试题试题分值 150分时间 120分钟命题教师侯思超一、选择题1、C2、C3、B4、C.5、A 、6、B.7、A8、C.9、Ｄ． 10、A 11、A.12、A.二、填空题 13、72514、②④ 15、2416. )43,1(]2,(----∞ 三、解答题 17.解析：（1）依题意知73416,4d a a d =-=∴=【3分】()3342n a a n d n ∴=+-=-【5分】（2）令*454588,4288,,N .22n a n n =-==∉即所以所以88不是数列{}n a 中的项.【10分】 18.解析：（1）依题意得()sin()6f x x π=-，【4分】 ()2f x T π∴=最小正周期为【6分】(2)由22262k x k πππππ-≤-≤+解得22233k x k ππππ-≤≤+，从而可得函数()f x 的单调递增区间是：2[2,2],33k k k Z ππππ-+∈【9分】由322262k x k πππππ+≤-≤+解得252233k x k ππππ+≤≤+，从而可得函数()f x 的单调递减区间是：25[2,2],33k k k Z ππππ++∈【12分】19.解析：（1）当2n ≥时，()()221313111312222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎢⎥⎣⎦111,2n a S ===又时符合，所以31n a n =-【3分】 2314b b b b =，14,b b ∴方程218320x x -+=的两根， 41b b >又，所以解得142,16b b ==34182b q q b ∴==∴=112n n n b b q -∴=⋅=【6分】（2）31,2n n n a n b =-=，则n (31)2n C n =-⋅1234225282112(31)2n n T n ∴=⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅234512225282112(31)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅将两式相减得：12341=22+32+2+2+2)(31)2-------------------------------------------8n n n T n +⋅--⋅-（分2112(12)43(31)212n n n -+⎡⎤-=+--⋅⎢⎥-⎣⎦1(34)28n n +=-+⋅-【10分】所以1=(34)28n n T n +-⋅+.【12分】20.解析：（1）由已知()2cos cos a c B b C -= 得()2sin sin cos sin cos A C B B C -= 【3分】化简得1cos 2B =【5分】故3B π=．【6分】（2）由正弦定理32sin sin sin 3a c bA C B====，得2sin ,2sin a A c C ==，故122sin sin 2sin sin 2333sin cos 3226a c A C A A A A A ππ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 【9分】因为203A π<<，所以662A πππ-<-< 【10分】所以133sin (,3)262a c A π⎛⎫-=-∈- ⎪⎝⎭【12分】 21、解：设所需第一种钢板x 张，第一种钢板y 张，共需截这两种钢板z 张，则目标函数为z x y =+约束条件为21521832700x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ 【3分】可行域如下图2x+y =15x +3y=27x +2y=18xy =-x(185,395)yM 【5分】把z x y =+变形为v ，得到斜率为1-，在y 轴上截距为z 的一组平行直线，由上图可知，当直线z x y=+经过可行域上的点M 时，截距z 最小，解方程组327215x y x y +=⎧⎨+=⎩得点1839,55M ⎛⎫⎪⎝⎭，由于1839,55都不是整数，而此问题中最优解(),x y 中，,x y 必须都是整数，所以点1839,55M ⎛⎫⎪⎝⎭不是最优解。

高一数学第二学期期中考试试卷含答案(共5套)

高一下学期期中考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．某质检人员从编号为1～100这100件产品中，依次抽出号码为3,13,23，…，93的产品进行检验，则这样的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．系统抽样C ．分层抽样D ．以上都不对 2．将八进制数135(8)化为二进制数为( ) A ．1 110 101(2) B ．1 010 101(2) C ．1 111 001(2)D ．1 011 101(2)3．某产品在某零售摊位上的零售价x (元)与每天的销售量y (个)统计如下表：据上表可得回归直线方程a ˆx b ˆy ˆ+=中的b ˆ＝－4，据此模型预计零售价定为16元时，销售量为( )A ．48B ．45C ．50D ．514．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )A ．55.2,3.6B ．55.2,56.4C ．64.8,63.6D ．64.8,3.65．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )A ．8B ．11C ．16D ．106.如图是一算法的程序框图，若输出结果为S ＝720，则在判断框中应填入的条件是( )A ．k ≤6B ．k ≤7C ．k ≤8D ．k ≤97.两人的各科成绩如茎叶图所示，则下列说法不正确的是（）A ．甲、乙两人的各科平均分相同B ．甲的中位数是83，乙的中位数是85C ．甲各科成绩比乙各科成绩稳定D ．甲的众数是89，乙的众数为878.sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( ) A ．1 B ．2sin 2α C ．0 D ．29.利用秦九韶算法求f (x )＝x 5＋x 3＋x 2＋x ＋1当x ＝3时的值为( ) A ．121 B ．283 C ．321 D ．23910．如图，矩形长为8，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为( ) A ．7.68 B ．8.68 C ．16.32D ．17.3211.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b ∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )A. 91B. 92C. 187D.9412.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=21（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为32π，弦长为m 340的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（）平方米.（其中3≈π，73.13≈） A ． 15 B ． 16 C ． 17 D ． 18第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归方程：y ∧＝0.234x ＋0.521.由回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元． 14．已知sin(π4＋α)＝32，则sin(3π4－α)的值为________． 15.在抛掷一颗骰子的试验中，事件A 表示“不大于4的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件B A Y 发生的概率为________．(B 表示B 的对立事件)16．设函数y ＝f (x )在区间[0,1]上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y ＝f (x )及直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成部分的面积S .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得到S 的近似值为________．二、解答题（17题10分，其余均12分）17.(10分) 已知|x|≤2，|y|≤2，点P 的坐标为(x ，y)，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．18．(12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y 关于x 的线性回归方程a ˆx b ˆyˆ+= (3)试预测加工10个零件需要多少小时？(注：b ∧＝∑ni ＝1x i y i －n x － y －∑n i ＝1x i 2－n x －2，a ∧＝y －－b ∧ x －)零件的个数x(个)2345加工的时间y(小时) 2.5 3 4 4.519．(12分)已知α是第三象限角，f (α)＝()()()α-π-•α-π-α-•α-π•α-πsin tan tan )2cos()sin((1)化简f (α)；(2)若⎪⎭⎫ ⎝⎛π-α23cos ＝15，求f (α)的值；20．(12分)某校为了解高三年级学生的数学学习情况，在一次数学考试后随机抽取n 名学生的数学成绩，制成如下所示的频率分布表.(1)求a ，b ，n 的值；(2)若从第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名与老师面谈，求第三组中至少有1名学生被抽到与老师面谈的概率．21．（12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m,将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求n≥m+2的概率.22．（12分）在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小组的频数是40.(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)求这两个班参赛的学生人数是多少？(3)求这两个班参赛学生的成绩的中位数.高一下期期中考试数学试题答案一、选择题B D B D A B D D BCD B二、填空题13. 0.234 14.3215.32 16.N1N三、解答题（17题10分，其余均12分）17.解：如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤9的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P1＝14π×224×4＝π16.18.解：(1)散点图如图．(2)由表中数据得∑4i＝1x i y i＝52.5，x －＝3.5，y －＝3.5，∑4i ＝1x i 2＝54. ∴b ∧＝0.7，∴a ∧＝1.05. ∴y ∧＝0.7x ＋1.05.(3)将x ＝10代入回归直线方程，得y ∧＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)． ∴预测加工10个零件需要8.05小时．19．解：(1)f (α)＝＝－sin α·cos α·tan α－tan α·sin α＝cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－sin α，又cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－32π＝15，∴sin α＝－15.又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－265.20.解：(1)由表中数据，得5n ＝0.05，a n ＝0.35，20n＝b ，解得n ＝100，a ＝35，b＝0.20.(2)由题意，得第三、四、五组分别抽取的学生人数为3060×6＝3，2060×6＝2，1060×6＝1.第三组的3名学生记为a 1，a 2，a 3，第四组的2名学生记为b 1，b 2，第五组的1名学生记为c ，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同情况，分别为{a 1，a 2}，{a 1，a 3}，{a 1，b 1}，{a 1，b 2}，{a 1，c }，{a 2，a 3}，{a 2，b 1}，{a 2，b 2}，{a 2，c }，{a 3，b 1}，{a 3，b 2}，{a 3，c }，{b 1，b 2}，{b 1，c }，{b 2，c }．其中第三组的3名学生均未被抽到的情况共有3种，分别为{b 1，b 2}，{b 1，c }，{b 2，c }．故第三组中至少有1名学生被抽到与老师面谈的概率为1－315＝45.21解：（1）p=3162(2)先从袋中随机取一个球，记下编号m,放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号n,可能的结果为（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）共16个，满足条件的事件为（1,3）（1,4）（2,4）共3个所以n ≥m+2的概率为p=16322．解：(1)各小组的频率之和为 1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05.∴第二小组的频率为：1．00－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40. ∴落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高＝频率组距＝0.4010＝0.04.则补全的直方图如图所示．(2)设九年级两个班参赛的学生人数为x 人．∵第二小组的频数为40人，频率为0.40，∴40x＝0.40，解得x＝100(人)．所以九年级两个班参赛的学生人数为100人．(3)∵（0.03+0.04）×10>0.5所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内．设中位数为x则0.03×10+（x-59.5）×0.04=0.5得x=64.5高一下学期期中数学考试试卷(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合，，则( )A． B． C． D．2．( )A．0 B．1 C．2 D.43．若，则下列结论正确的是( )A． B．C． D．4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A．B．C．D．5．函数的定义域是( )A． B． C． D．6．函数过定点( )A． B． C． D．7．已知，，，则＝( )A． B． C． D．8．已知函数为幂函数，则实数的值为( )A．或 B．或 C． D．9．已知函数，若，则实数等于( )A ．2 B. 45 C ．12 D ．910．若，则函数与的图象可能是下列四个选项中的( )11．已知是定义在上的奇函数，当时，,则当时，( )AB ．C ．D ．12．若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使得的的取值范围是( ) A ．B ． C. D ．第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．设集合，集合，若，则实数14．若，则＝15．如果函数，的增减性相同，则的取值范围是.16．已知是方程的两个根，则的值是.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)计算下列各式的值（式中字母都是正数）：（1）；（2）已知，求的值.18．(本小题满分12分)已知集合，．（1）若，求；（2）⊆，求的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数+2.（1）求在区间上的最大值和最小值；（2）若在上是单调函数，求的取值范围.20．(本小题满分12分)已知函数是R上的奇函数，(1)求的值；(2)先判断的单调性，再证明．21．(本小题满分12分)已知函数，．(1)求函数的定义域；(2)讨论不等式中的取值范围．22．(本小题满分12分)若二次函数满足且. （1）求的解析式；（2）若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围.高一下学期期中考试试卷数学时量：120分钟总分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．3x cos y =是( )A ．周期为π6的奇函数B ．周期为3π的奇函数C ．周期为π6的偶函数D ．周期为3π的偶函数2.已知sin α＝41，则cos 2α的值为( )A ．21B ．87- C.21- D.873．已知平面向量()()3,2,4,1==→→b a ，则向量=+→→b a 5251（）A ．()1,2B ．()5,3 C.()3,5 D.()2,14.已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－4，m )，且a ⊥b ，则m ＝( )A ．4B ．2C ．－4D ．－25．为得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=33sin πx y 的图象，只需将函数y ＝sin 3x 的图象( )A ．向左平移9π个长度单位B ．向右平移9π个长度单位C ．向左平移3π个长度单位D ．向右平移3π个长度单位6.设a ＝(8，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(2,3)，则(a ＋2b )·c 等于( )A ．(4,18)B ．22C ．－6 D.(18,4)7.已知a ·b ＝122，|a |＝4，a 与b 的夹角为45°，则|b |为( )A ．12 A ．3 C ．6 D ．98.若－π2＜α＜0，则点P (sin α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9.已知α∠的终边经过点()31P ，，则=αsin ( )A ．21 B ．10103C ．31D ．3310．若=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+2,32032sin ππππx x f x x ，，求)32(πf =（） A.0 B.23C.21 D.1 11．已知2tan -=α，则αααα22cos sin cos sin 3-的值是( ) A ．2- B ． 3 C ．2 D ．3- 12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，则AB →·AC→等于( )A ．－3B ．－6C ．9D ．6 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知AB →＝(2，7)，AC →＝(－5,8)，则BC →＝__________________.14．函数()()()R x x x x f ∈-=cos sin 2的最小正周期为________，最大值为________． 15．设a ＝(5,-2)，b ＝(6,2)，则2|a |2－12a ·b ＝______________.16．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝5，则tan β的值为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（10分）已知()ππθθ2,,53cos ∈=，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin πθ以及⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πθ的值．18.（10分）设函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin 2πωx x f ，0>ω，最小正周期为2π. (1)求()0f .(2)求()x f 的解析式.(3)求()x f 的单调递增区间．19.（12分）已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,3)，c ＝(5,2)．(1)求6a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)若(a ＋k c )//(2b －a )，求实数k . 20. （12分）已知23παπ<<，211-tan tan -=αα.(1)求αtan 的值。

安徽省六安市毛坦厂中年高一下学期第二次段考(期中)数学试题(解析版)

高一年级第二次段考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数为纯虚数，则实数m 的值为（）()1iz m m m =-+A. B. 1C. 1或D. 或01-1-1-【答案】B 【解析】【分析】根据纯虚数的定义求解.【详解】因为z 是纯虚数，所以，解得．()100 m m m ⎧-=⎨≠⎩1m =故选：B ．2. 设集合，，全集，则（） {}20A x x =-≥{}2280B x x x =--<U =R U B A ⋃=ðA. B. ()4,+∞(),4-∞C. D.[)4,+∞(],4-∞-【答案】B 【解析】【分析】解不等式可求得集合，由补集和并集定义可求得结果. ,A B 【详解】由得：，则，； 20x -≥2x ≥[)2,A =+∞(),2U A ∴=-∞ð由得：，则，. 2280x x --<24-<<x ()2,4B =-(),4U B A ∴=-∞ ð故选：B.3. 已知，则的值为（）tan 2α=6sin cos 3sin 2cos αααα+-A. B. C.D. 4-134134-134±【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用同角三角函数之间的关系即可求得结果. 【详解】由，分子分母同时除以，可得：tan 2α=6sin cos 3sin 2cos αααα+-cos α.6sin cos 6tan 1621133sin 2cos 3tan 23224αααααα++⨯+===--⨯-4. 下列说法错误的是（） A. 球体是旋转体B. 圆柱的母线平行于轴C. 斜棱柱的侧面中没有矩形D. 用平面截正棱锥所得的棱台叫做正棱台【答案】C 【解析】【分析】利用球体的定义判断；利用圆柱的结构特征判断；举例说明判断；利用正棱台的定义判A B C 断.D 【详解】因球体是半圆面绕其直径所在的直线旋转一周所得几何体，即球体是旋转体，A 正确；由圆柱的结构特征知，圆柱的母线平行于圆柱的轴，垂直于其底面，正确； B 如图，斜平行六面体中，若平面， 1111ABCD A B C D -AD ⊥11ABB A 则侧面四边形是矩形，错误；11ADD A C由正棱台的定义知：用平面截正棱锥所得的棱台叫做正棱台，正确. D 故选：C5. 方程的解所在的一个区间是（） lg 3x x +=A. B.C.D.()0,1()1,2()2,3()3,4【答案】C 【解析】【分析】令，由零点存在定理判断区间 ()lg 3f x x x =+-【详解】令，则单调递增，()lg 3f x x x =+-()f x 由，， ()22lg 23lg 210f =+-=-<()33lg 33lg 30f =+-=>∴方程的解所在一个区间是．lg 3x x +=()2,36. 若，则（） 0x <1x x+A. 有最小值 B. 有最大值 2-2-C. 有最小值2 D. 有最大值2【答案】B 【解析】【分析】运用基本不等式求解即可. 【详解】因为，则， 0x <0x ->所以，当且仅当即：时取等号. 1()()2x x -+≥=-1x x -=-=1x -所以，当且仅当时取等号. 12x x+≤-=1x -故选：B.7. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知，且，则3cos cos A aC c=222a c b -=b =（） A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据正弦定理及余弦定理可求解. 【详解】，即为3c cos A ＝a cos C ， 3cos cos A aC c=即有3c a ， 2222b c a bc+-⋅=2222a b c ab +-⋅即有a 2﹣c 2b 2， 12=又a 2﹣c 2＝2b ，则2b b 2， 12=解得b ＝4．故选：A ．8. 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动(m)y (s)t sin()(0,π)y t ωϕωϕ=+><过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则1t 2t ()31230t t t t <<<122t t +=235t t +=在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（）A.B.C. 1D.1s 32s 3s 4s 3【答案】C 【解析】【分析】先根据周期求出，再解不等式，得到的范围即得解.2π3ω=2πsin 0.53t ϕ⎛⎫+> ⎪⎝⎭t 【详解】因为，，，所以，又，所以， 122t t +=235t t +=31t t T -=3T =2πT ω=2π3ω=则，由可得， 2πsin 3y t ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0.5y >2πsin 0.53t ϕ⎛⎫+> ⎪⎝⎭所以， π2π5π2π2π,Z 636k t k k ϕ+<+<+∈所以，故，135333,Z 42π42πk t k k ϕϕ+-<<-+∈531333142π42πk k ϕϕ⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为1s ．故选：C .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设、是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基底的是（）1e 2e a bA. ，B. ，12a e e =+ 1b e = 122a e e =+ 121142b e e =+C. ，D. ，12a e e =-+ 12b e e =-r u r u r 122a e e =-r u r u r124b e e =-+ 【答案】ABD 【解析】【分析】根据平面基底向量的概念逐项分析判断.【详解】因为、是平面内两个不共线的向量，则有：1e 2e对于A ：设，即，显然不成立， a b λ=121e e e λ+= 即不能用表示，故，不共线，所以A 符合；a b a b对于B ：设，即，a b λ= 1212121124242e e e e e e λλλ⎛⎫== ⎪⎝⎭+++u r u r ur u r u r u r 则，无解，2412λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即不能用表示，所以，不共线，故B 符合； a b a b对于C ：，故，共线，所以C 不符合；a b =- a b对于D ：设，即，a b λ=()121212244e e e e e e λλλ--+-+==u r u r u r u r u r u r 则，无解，142λλ-=⎧⎨=-⎩即不能用表示，故，不共线，所以D 符合．a b a b故选：ABD ．10. 已知复数在复平面内对应的点为P ，则下列结论正确的是（） 13i z =-A. 点P 的坐标为 B. C.D. z 的虚部为()1,3-13i z =+2z =3i 【答案】AB 【解析】【分析】利用复数的几何意义及共轭复数的定义，结合复数的模公式及复数的概念即可求解. 【详解】复数在复平面内对应的点为，故A 正确；13i z =-()1,3P -因为，所以，故B 正确；13i z =-13i z=+C 错误；z ==的虚部为，故D 错误．13i z =-3-故选：AB ．11. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0ϕϕ>ϕ的值可以是（）A.B.C.D.π12π32π37π12【答案】AD 【解析】【分析】根据三角函数图象的平移变换求出变换后的解析式，再根据所得图象关于原点对称，即可求出答案.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ϕπsin 226y x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭象，该图象关于原点对称，所以， π2π,6k k ϕ-=∈Z 即，所以的值可以是，．ππ,212k k ϕ=+∈Z ϕπ127π12故选：AD ．12. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列条件能判断ABC 是钝角三角形的有A A （）A. B.cos cos a A b B =2AB BC a ⋅=C.D.sin sin sin a b Cc b A B-=++cos cos b C c B b +=【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，由，利用正弦定理和二倍角正弦公式判断；对于B ，由cos cos a A b B =判断；对于C ，利用正弦定理和余弦定理判断；对于D ，由cos 2AB BC ac B a ⋅=-=，利用正弦定理和两角和的正弦公式判断.cos cos b C c B b +=【详解】对于A ，由及正弦定理，可得，即cos cos a A b B =sin cos sin cos A A B B =sin 2sin 2A B =，所以或，所以或，所以ABC 是等腰三角形或直角三角形，22A B =22A B π+=A B =2A B π+=A 故A 不能判断；对于B ，由，得，则B 为钝角，故B 能判断； cos 2AB BC ac B a ⋅=-=cos 0B <对于C ，由正弦定理，得，则，，故C 能判断；a b c c b a b -=++222b c a bc +-=-1cos 2A =-23A π=对于D ，由及正弦定理化边为角．可知，即cos cos b C c B b +=sin cos sin cos sin B C C B B +=，因为A ，B 为ABC 的内角，所以A ＝B ，所以ABC 是等腰三角形，故D 不能判断．sin sin A B =A A 故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知某扇形的半径为1，圆心角为，则该扇形的面积为______. π6【答案】π12【解析】【分析】直接根据扇形的面积公式可求出结果. 【详解】该扇形的面积为. 2211ππ122612S r α==⨯⨯=故答案为：π1214. 已知，，请写出一个使为假命题的实数的值，______．0:p x ∃∈R 200430x ax -+<p a =a【答案】0（答案不唯一）【解析】【分析】利用命题的否定来找到一个满足条件即可.【详解】由题意，，为真命题， :p x ⌝∀∈R 2430x ax -+≥当时，恒成立，满足题意， 0a =224330x ax x -+=+≥故答案为：0（答案不唯一）. 15. 已知幂函数的图象在上单调递减，则的取值为______.()()()22231a a f x a a xa --=+-∈R (0,)+∞a 【答案】 1【解析】【分析】利用幂函数定义得，解得或，再分别代入检验函数的单调性，即可得211a a +-=1a =2a =-解.【详解】由幂函数定义得，解得或，211a a +-=1a =2a =-当时，，利用幂函数性质知：在上单调递减；1a =4()f x x -=()f x (0,)+∞当时，，利用幂函数性质知：在上单调递增，不符题意舍去.2a =-5()f x x =()f x (0,)+∞综上，的取值为. a 1故答案为：.116. 如图，在中，，点P 为边BC 上的一动点，则的最小值为ABC A 3BC BA BC =⋅=PA PC ⋅ ___________.【答案】 1-【解析】【分析】设，，用、表示、，再计算的最小值．BP BC λ= []0,1λ∈BC BA PA PCPA PC ⋅ 【详解】由题意，设，，BP BC λ=[]0,1λ∈所以，.PA PB BA BP BA BC BA λ=+=-+=-+ ()1PC BC λ=-又，，3BC =3BA BC ⋅=所以()()()()2111PA PC BC BA BC BC BA BC λλλλλ⋅=-+⋅-=--+-⋅()()229319123λλλλλ=-+-=-+，22913λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭当时，取得最小值.23λ=PA PC ⋅ 1-故答案为：.1-四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，. π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1cos 3α=（1）求的值；tan α（2）求的值.πcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2.【解析】【分析】（1）根据已知可求出，进而即可得出答案； sin α=（2）根据两角和的余弦公式，即可得出结果. 【小问1详解】因为，所以， π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 0α>所以sin α===所以.sin tan cos ααα===【小问2详解】由（1）得，，， 1cos 3α=sin α=则πππcos cos cos sin sin 333ααα⎛⎫+=⋅-⋅ ⎪⎝⎭1132=⨯-=18. 已知，．()1,2a = (1,1)b =-（1）若与垂直，求k 的值； 2a b + ka b -（2）若为与的夹角，求的值． θ2a b + a b -θ【答案】（1）；0k =（2）. π4θ=【解析】【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合垂直的坐标表示求解作答. （2）利用向量夹角的坐标表示计算作答. 【小问1详解】因为，，则，，()1,2a = (1,1)b =-()23,3a b += ()1,21ka b k k -=-+ 依题意，，解得， (2)()3(1)3(21)90a b kab k k k +⋅-=-++==0k =所以. 0k =【小问2详解】由（1）知，，，则，，()23,3a b +=(0,3)a b -=|2|a b +== ||3a b -= 因此，而， 3033cos 2a b a b θ⨯+⨯===+- []0,θπ∈所以. π4θ=19.已知二次函数.2()2(1)4f x x a x =--+（1）若为偶函数，求在上的值域；()f x ()f x [3,1]-（2）当时，恒成立，求实数a 的取值范围. [1,2]x ∈()f x ax >【答案】（1）[4,13]（2） (,2)-∞【解析】【分析】（1）函数为二次函数，其对称轴为x ＝a −1．由f （x ）为偶函数，可得a 2()2(1)4f x x a x =--+＝1，再利用二次函数的单调性判断函数f （x ）在[−1，3]上的值域；（2）f （x ）＞ax 恒成立可转化为恒成立，可以先将参数单独提出来，再利用均值2(32)40x a x --+>不等式判断的范围即可．24+x x【小问1详解】根据题意，函数为二次函数，其对称轴为. 2()2(1)4f x x a x =--+1x a =-若为偶函数，则，解得，()f x 10a -=1a =则，又由，则有，2()4f x x =+31x -……4()13f x ……即函数的值域为. ()f x [4,13]【小问2详解】由题意知时，恒成立，即.[1,2]x ∈()f x ax >2(32)40x a x --+>所以恒成立，2432x a x+-<因为，所以，当且仅当，即时等号成立.[1,2]x ∈2444x x x x +=+=…4x x =2x =所以，解得，所以a 的取值范围是. 324a -<2a <(,2)-∞20. 已知函数.()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求函数的单调区间；()f x（2）求函数在上的单调减区间；()f x []π,π-（3）求函数在区间上的最小值和最大值.()f x ππ,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】（1）的单调递增区间为； ()f x ()3πππ,πZ 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦单调递减区间为； ()π5ππ,πZ 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）和 7π3π,88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦π,85π8⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3），. ()min f x =()max f x =【解析】【分析】（1）根据解析式及诱导公式，先将化为正，再将放在的单调区间内，即可ωπ24x -cos y x =求得的单调区间；()f x （2）由（1）得的单调递减区间，令，求得递减区间，再由即可得出结()f x 1k =-0k =[]π,πx ∈-果；（3）先由，求出的范围，再求出的范围，进而得到的范围，即ππ,42x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π24x -πcos 24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 可得最值. 【小问1详解】由题知，()ππ2244f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，，得，， πππ2π242x k k -≤≤-Z k ∈3ππππ88k x k -≤≤+Z k ∈令，，得，，π2π22ππ4k x k ≤-≤+Z k ∈π5πππ88k x k +≤≤+Z k ∈故的单调递增区间为； ()f x ()3πππ,πZ 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦单调递减区间为； ()π5ππ,πZ 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】由（1）可得的单调递减区间为， ()f x ()π5ππ,πZ 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦令，在单调递减， 1k =-()f x 7π3π,88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦令，在单调递减， 0k =()f x π,85π8⎡⎤⎢⎥⎣⎦因为，所以在上的单调减区间是和；[]π,πx ∈-()f x []π,π-7π3π,88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦π,85π8⎡⎤⎢⎥⎣⎦【小问3详解】由题知，()ππ2244f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，， ππ,42x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦3ππ3π2444x -≤-≤根据图象性质可知：， cos y x =πcos 24x ⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， π24x ⎡⎛⎫-∈⎢⎪⎝⎭⎣故当或即或时，，π3π244x -=3π4-π2x =π4-()min f x =当即时，. π204x -=π8x =()max f x =21. 对于定义在D 上的函数，如果存在实数，使得，那么称是函数的一个不动()f x 0x ()00f x x =0x ()f x 点.已知函数.11221()log 4(1)224x x a f x a a --⎡⎤=⋅--++⎢⎥⎣⎦（1）若，求的不动点；0a =()f x （2）若函数恰有两个不动点，，且，求正数a 的取值范围. ()f x 1x 2x 120x x <<【答案】（1）1-（2）12a <<【解析】【分析】（1）由题设，令结合对数的性质求解即可. 121()log (24x f x -=+()f x x =（2）由题设可得，令问题化为，即2112()202224x x a a a +⋅-⋅++=21x t =>211(02224a a a t t +-++=方程在上有两个根，根据对应二次函数性质列不等式组求参数范围. (1,)+∞【小问1详解】由题设，定义域为R ，若，即， 121()log (2)4x f x -=+()f x x =1221log (2)log 24x x -+=所以，可得，故是的不动点. 11224x x -+==1x -1-()f x 【小问2详解】令，且， 112221()log [4(1)2]log 224x x x a f x a a x --=⋅--++==,()0x ∈+∞所以，整理得， 11214(1)2224x x x a a a --⋅--++=2112()202224x x a a a +⋅-⋅++=令，则，即方程在上有两个不相等的根，且， 21x t =>211()02224a a a t t +-++=(1,)+∞0a >若开口向上且对称轴，211()()2224a a a g t t t +=-++1122t a=+，则，故2211122(1)Δ04211(1)02224a a a a a a a g ⎧+>⎪⎪+⎪=-->⎨⎪+⎪=-++>⎪⎩0112a a a ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪>⎪⎩12a <<22. 如图，某小区有一块空地，其中AB =50，AC =50，∠BAC =90°，小区物业拟在中间挖一个小池ABC A 塘，E ，F 在边BC 上（E ，F 不与B ，C 重合，且E 在B ，F 之间），且. AEF △π4EAF ∠=（1）若EF 的值；BE =（2）为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小.设，试确定的值，使得AEF △EAB θ∠=θ的面积取得最小值，并求出面积的最小值.AEF △AEF △【答案】（1（2）)12501-【解析】【分析】（1）在中，利用余弦定理、正弦定理求得，在中，利用正弦定理结EAB A sin θ=ACF △合三角恒等变换可求，即可得结果；CF （2）利用正弦定理用表示，再结合条件得到θ,AE AF AEF S =△的性质求最值即可.【小问1详解】由题意可得，BC ==设，则， π0,4EAB θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭ππ,42FAC AFC θθ∠=-∠=+在中，由余弦定理， EAB A 2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅⋅∠则，即，(222502501700AE=+-⨯⨯=AE =由正弦定理，可得， sin sin BE AE EAB ABE=∠∠sin sin BE ABE EAB AE ⋅∠∠===即，可得， πsin 0,4θθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭cos θ==在中，ACF△πππsin sin sin cos cos sin 444FAC θθθ⎛⎫∠=-=-==⎪⎝⎭，πsin sin cos 2AFC θθ⎛⎫∠=+= ⎪⎝⎭由正弦定理，可得sin sin CF ACFAC AFC=∠∠sin sin AC FAC CF AFC ⋅∠===∠故MN BC BE CF =--=-=故EF【小问2详解】设，则， π0,4EAB θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭3ππ,42AEB AFC θθ∠=-∠=+由正弦定理，可得，sin sin AB AEAEB ABE =∠∠sin 3π3πsin 44AB ABE AE AEB⋅∠===∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在中，由正弦定理，可得， ACF △sin sin AF ACACF AFC =∠∠sin πsin 2AC ACF AF AFC⋅∠===∠ ⎪⎝⎭故的面积AEF△11sin 3π224AEF S AE AF EAF =⋅⋅∠= ⎪⎝⎭A ，26251250sin cos cos sin 2cos 21θθθθθ====+++∵，∴， π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π2,444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πsin 214θ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭∴，当且仅当，即时，等号成)12501AEF S =≥=△πsin 214θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π8θ=立，故面积的最小值.AEF △)12501-。

安徽省马鞍山市第二中学2023-2024学年高一下学期期中素质测试数学试题(含答案)

马鞍山市第二中学2023-2024学年高一下学期期中素质测试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知直线和平面，则“”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（）A ．2B ．C ．3D ．3．长方体的一个顶点上三条棱长为，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A ．B ．C ．D ．4．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus ）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知，若，则（）A ．BCD5．在中，若，且，那么一定是（）A．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形6．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的3倍，，则下列说法正确的,a b ,,a b ααα⊄∥a b ∥a α∥A B C D ''''ABCD 22A D B C '=''='1A B ''=ABCD 345、、50π200π2,,AB BC CD AB BC AC CD ===⊥⊥DB AB AC λμ=+λμ+=ABC △sin cos a B A =sin 2sin cos C A B =ABC △1AA 15AA =π2AD BC 2CD =是（）A ．曲池的表面积为B．曲池的体积为C ．曲池的表面积为D ．曲池的体积为7．已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（）A ．BC ．D ．8．已知的内角所对的边分别为，，且的周长为（）A ．B．CD ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．复数与的积是纯虚数，则需满足下列哪些条件（）A ．B ．C ．D ．10．在中，是边上靠近的三等分点，则下列说法正确的是（）A ．B ．C ．D ．11．已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（）107π+10π32014π+15πABC △O 2,OA OC OA OB OA OBOC OC AB ⋅+⋅=+⋅= ABBC14BCBC14BC-ABC △,,A B C ),,sin sin sin a b c A C B -=2252cos a c ac B =+ABC △ABC △6+443+i a b +i c d +ac bd=ac bd≠bc ad=-bc ad≠-ABC △2,3,60,AB AC A D ∠===BC B 1233AD AC AB=+ ABD S =△AD =2214AD A AC CBB ⋅=- O 2AB =C OA ．B ．的最大值为6C．D ．满足的点只有一个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量满足，则______．13．设复数满足，则______．14．已知是表面积为的球体表面上四点，若的体积为长度的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．16．（15分）已知复数，并且．（1）若为虚数，求的取值范围；（2）求的取值范围．17．（15分）已知分别是三个内角．2BA BO ⋅= AB AC ⋅[]0,4OC AB AO --∈0AB AC ⋅=C ,a b 1,2,,60a b a b ===a b -= 12,z z 12122,i z z z z ==-=+12z z +=,,,A B C D 20π4,2,AB AC BC ===A BCD -CD 111ABC A B C -AB BC ⊥12,,,AB BC BB M N P ===11,,A B AC BC MN ∥11BCC B B PMN -()()()()2124i ,2cos 3sin i ,z m mm R zR θλθλθ=+-∈=++∈12z z =1z m λ,,a b c ABC △,,A B C sin cos A a C b c +=+（1）求；（2）若，将射线和分别绕点顺时针旋转，旋转后相交于点（如图所示），且，求．18．（17分）如图，在中，已知，是中点，是上靠近的三等分点，相交于点．（1），求的值；（2）求的余弦值．19．（17分）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式．②方程（为正整数）有个不同的复数根；（1）求证：（2）设，求；（3）试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合．马鞍山二中高一下学期期中检测数学答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A 4BC =BA CA ,BC 15,30D 30DBC ∠=AD ABC △2,6AB AC ==60,BAC M ∠=BC N AC A ,AM BN P AP mAB nAC =+m n +MPN ∠i z a b =+()cos isin r θθ+r z θx OZOZ i z a b =+()cos isin r θθ+i z a b =+1nx =n n ()()()()111222121212cos isin cos isin cos isin r r r r θθθθθθθθ⎡⎤+⋅+=+++⎣⎦12ω=-2024ω61x =x题号12345678答案ACCBDCCA二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ADABCAB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．1213．14．11．【详解】A 选项，圆半径为2，弦，故为等边三角形，取的中点，连接，则，由数量积公式及投影向量可得，A 正确；选项，过点作平行于，交圆与点，过点作，交延长线于点，连接，则四边形为菱形，由投影向量可知，当点与点重合时，取得最大值，此时，故的最大值为，B 正确；C 选项，，因为四边形为菱形，所以，且，因为为定值，故当与平行且方向相同时，取得最大值，最大值为，当与平行且方向相反时，取得最小值，最小值为，O 2AB =ABO △AB D OD OD AB ⊥2BA BO BA BD ⋅=⋅=B O OE AB E E EG AB ⊥G EB OABEC E AB AC ⋅123DG AD DG =+=+=AB AC ⋅ 236AB AG ⋅=⨯=OC AB AO OC OA BA --=++OABE OA BA EA += 2EA MA ==2OC =OC EA OC AB AO --2+OC EA OC AB AO --2-故，C 错误；D 选项，因为点为圆上任意一点，故当重合时，，又当时，满足，故满足的点有2个，D 错误．故选：AB14．【详解】由球的表面积为，可得球的半径，，则外接圆的半径为．设到平面的距离为，则，解得，则点与平面在球心的异侧．设球心到平面的距离为，则，设在球的截面圆所在的平面为，故球心到平面的距离为2，．设在平面上的投影为，当最长时最长，则，故．故答案为：2OC AB AO ⎡⎤--∈+⎣⎦C O ,C A 0AB AC ⋅=AC AB ⊥0AB AC ⋅=0AB AC ⋅=C 20π4,2,R AB AC BC ====222π1,,222ABC AB AC BC ACB S ∠∴=+∴=∴=⨯=△ABC △122AB =D ABC h 13h ⨯⨯=3h =>ABC O ABC d 11d OO ===D αα1=D ABC E CE CD max 213CE =+=CD =四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）（1）直三棱柱中，为的中点，所以，且，因为分别的中点，，，四边形为平行四边形，，又平面平面，故平面（2）因为直三棱柱，则平面平面，因为平面，则点到底面的距离即为点到底面的距离，又因为底面，则点到底面的距离即为长，又因为分别为的中点，且，则16．（本小题满分15分）111ABC A B C -M 11A B 1111122B M A B AB ==1B M AB ∥ ,P N ,BC AC 1,2PN AB PN AB ∴=∥11,PN B M PN B M ∴=∥∴1B MNP 1MN B P ∴∥MN ⊄ 111,B C CB B P ⊂11B C CB MN ∥11B C CB111ABC A B C -ABC ∥111A B C M ∈111A B C M ABC 1B ABC 1BB ⊥ABC 1B ABC 1BB ,N P ,AC BC AB BC ⊥111111123323B PMN M PBN PBN V V S BB --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△（1），且（2）消去可得．17．（本小题满分15分）（1，因为，所以，，因为，所以，因此．（2）由（1）可知，由题意可知，而，所以，[]2cos 2,2m θ=∈- ()22,2m m ≠±∴∈-12z z = 243sin 2cos m m λθθ⎧-=+∴⎨=⎩m 2223944cos 3sin 4sin 3sin 4sin 816λθθθθθ⎛⎫=--=-=--⎪⎝⎭91sin 1,,716θλ⎡⎤-≤≤∴∈-⎢⎥⎣⎦sin cos sin sin cos sin sin A a C b c C A A C B C+=+⇒+=+()sin sin cos sin sin C A A C A C Cπ⇒+=--+()sin sin cos sin sin C A A C A C C⇒+=++sin sin cos sin cos cos sin sin C A A C A C A C C ⇒+=++sin cos sin sin C A A C C ⇒=+()0,πC ∈sin 0C ≠sin cos sin sin πn cos 12sin 16C A A C C A A A ⎛⎫=+⇒=+⇒-= ⎪⎝⎭1sin 62πA ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭()0,πA ∈5ππ,66π6A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭663πππA A -=⇒=π3A =,126ππABD ACD ∠∠==π6DBC ∠=5π5π7ππ4341212612ππππABC ACB BCD ∠∠∠=⇒=--=⇒=+=，在中，由正弦定理可知：在中，由正弦定理可知：在中，由余弦定理可知：18．（本小题满分17分）（1）设则，且则解得，故．（2）易知则；；所以19．（本小题满分17分）（1）证明：（2）依题意，，7ππ6124ππBDC ∠⇒=--=ABC△sin sin 3π4πBC AC AC =⇒=⇒=DBC △1sin sin 462ππBC CD CDCD =⇒=⇒=DAC △AD ==,AP AM BP BNλλ==1122AP AM AB AC λλλ==+ ()113AP AB BP AB BN AB ACμμμ=+=+=-+ 1223λμλμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1234λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12m n +=111223AM AB AC BN AB AC =+=-+；1122A AC M AB =+= 123BN AB AC =-+=2AM BN ⋅= cos cos ,AM BN AM BN AM NM N B P ∠⋅===()()111222cos isin cos isin r r θθθθ+⋅+()1212121212cos cos sin sin cos sin sin cos i r r θθθθθθθθ⎡⎤=-++⎣⎦()()121212cos isin r r θθθθ⎡⎤=+++⎣⎦12π2πcos isin233ω=-+=+所以．（3）设，则，因此，解得，由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为，因此对应的依次为，所以所求的集合是202420242π2π40484048π4π4πcos isin cosisin cos isin 333333πω⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭cos isin x θθ=+()66cos isin cos6isin61x θθθθ=+=+=sin60,cos61,62π,k k Z θθθ===∈π,3k k Z θ=∈0,1,2,3,4,5k =θ2π4π5π0,,,π,,333π3x 11111,1,2222-+---11111,1,2222⎧⎫⎪⎪+---⎨⎬⎪⎪⎩⎭。

浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷 Word版含解析

数学试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 的值为（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得.【详解】.故选：A2. 已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为的正方形，则原图形的面积为（）AB. C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由斜二测画法的规则得到平面图形，即可得到原图形的面积.【详解】依题意不妨令直观图如下所示：.()21i (1i)+-22i-22i--22i+22i-+()()21i 1i +-()()221i 12i i =+-+()2i 1i 22i =-+=-1则还原直观图为原图形，如图所示，因为，所以，还原回原图形后，，，所以原图形面积为故选：B3. 已知在中，，则（）A.B.C.或D.【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理计算可得.【详解】由正弦定理，即又，所以或.故选：C4. 已知圆柱的底面直径和高均为2，则该圆柱的表面积为（）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】1O A ''=O B ''=1OA O A ''==2OB O B ''==1⨯=ABC π2,6AB AC C ===B =π43π4π43π4π2sin sin c b C B=2πsin 6=sin B =5π06B <<π4B =3π4B =4π6π8π16π【分析】根据圆柱的表面积公式计算可得.【详解】依题意圆柱的底面半径，高，所以圆柱的表面积.故选：B5. 已知正方形的边长为，点满足，则（）A. 4 B. 5 C. 6 D. 8【答案】C 【解析】【分析】建立平面直角坐标系并写出各点坐标，根据题意求相应向量的坐标，再根据数量积的坐标运算进行求解即可.【详解】建立坐标系如图，正方形的边长为2，则，，，可得，点满足，所以．故选：C.6. 以下说法正确的是（）A. 是平面外的一条直线，则过且与平行的平面有且只有一个B. 若夹在两个平面间的三条平行线段长度相等，则这两个平面平行C. 平面内不共线的三点到平面的距离相等，则D. 空间中三点构成边长为2的正三角形，则与这三点距离均为1的平面恰有两个【答案】D 【解析】【分析】当与相交时，不存在过且与平行的平面，即可判断A ；举例说明即可判断1r =2h =222π2π2π12π126πS r rh =+=⨯+⨯⨯=ABCD 2P ()12AP AC AD =+ AP AC ⋅=u u u r u u u rABCD ()0,0A ()2,2C ()0,2D ()()2,2,0,2AC AD ==P ()()11,22AP AC AD =+= 12226AP AC ⋅=⨯+⨯=a αa ααβα//β,,A B C a αa αBC ；满足条件的平面有两个，且在的异侧，即可判断D.【详解】A ：当与相交时，不存在过且与平行的平面，故A 错误；B ：三条平行线段共面时，两平面可能相交也可能平行，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行，故B 错误；C ：当与相交时，也存在平面内不共线的三点到平面的距离相等，故C 错误；D ：空间中三点构成边长为2的正三角形，与这三点距离均为1的平面恰有两个，且这两个平面分别在的异侧，故D 正确.故选：D7. 已知满足，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】由余弦定理结合平面向量数量积化简得，再利用基本不等式求解．【详解】已知满足，设、、对应的边分别为，，，则，即，则，当且仅当时取等号，即故选：D ．8. 已知正四棱锥的内切球半径为，则当四棱锥的体积最小时，它的高为（）ABC a αa ααβαβ,,A B C ABC ABC 345CA CB BA BC AB AC ⋅+⋅=⋅cos A 35452221123a b c =+ABC 345CA CB BA BC AB AC ⋅+⋅=⋅AB AC BC c b a 222222222345222a b c a c b b c a ab ac bc ab ac bc+-+-+-⨯⨯+⨯⨯=⨯2221123a b c =+222221223cos 22b cb c a A bc bc ++-==≥=221223b c =cos A P ABCD -r P ABCD -A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】设正四棱锥底面边长为2a ，，高为h ，根据正四棱锥的结构特征结合三角形相似推出，表示出棱锥的体积，结合导数确定棱锥体积最小时，由此即可求得答案.【详解】如图，设正四棱锥的底面的中心为F ，内切球球心为O ，则O 在四棱锥的高上，设内切球与侧面相切于点G ，设E 为的中点，连接，则G 在上，且，则∽，设正四棱锥的底面边长为2a ，，高为h ，则，故四棱锥的体积为，则，当时，，V 在上单调递减，当时，，V 在上单调递增，故时，V 取得最小值，此时，的3r 4r 5rP ABCD -()a r ≠2222a rh a r =-a =P ABCD -PFPBC BC PE PE OG PE ⊥Rt PGO Rt PFE△P ABCD -()a r >r a =2222a rh a r =-P ABCD -222422224428333a h a a r r a V a r a r==⨯=⨯--()32222282(2)3r a a r V a r -=-'⨯r a <<0V '<()r a >0V '>),∞+a =3244r h r r==故选：C二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 以下关于向量的说法正确的有（）A. B. 若，则C. D. 若，则【答案】BC 【解析】【分析】由平面向量数量积的运算，结合向量共线及垂直逐一判断即可．【详解】对于选项A ，当，，均为非零向量时，不妨设，，则，，即选项A 错误；对于选项B ，若，两边平方化简得，则，即选项B 正确；对于选项C ，，即选项C 正确；对于选项D ，若，若，则与的位置关系无法确定，即选项D 错误．故选：BC ．10. 已知为复数，，则以下说法正确的有（）A.B. ()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ a b a b +=- 0a b ⋅= 3||a a a a ⋅⋅=a //,b b //c a //cabca b ⊥ //b c ()0a b c ⋅⋅= ()0a b c ⋅⋅≠||||a b a b +=-40a b ⋅= 0a b ⋅=3||||a a a a ⋅⋅=//,//a b b c0b =a c12,z z 120z z ≠1122||||||z z z z =1212||||||z z z z +=+C.互为共轭复数D. 若，则的最大值为6【答案】ACD 【解析】【分析】利用复数代数形式的四则运算，结合复数模、共轭复数的意义计算判断AC ；举例说明判断B ；利用复数的几何意义求出最大值判断D.【详解】设复数，对于A ，，，A 正确；对于B ，取，则，B 错误；对于C，，，互为共轭复数，C 正确；对于D ，在复平面内，是表示复数的点的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆，是上述圆上的点与复数对应点的距离，而点，的最大值为，D 正确.故选：ACD11. 如图，在菱形中，分别为的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内.在翻折的过程中，下列结论正确的有（）1122,z z z z 1||1z =1|34i |z -+222212121211212212,,,,,R,00i i ,z x z x x y y y x y y x y x =+=≠++∈+≠111112212122112222222222222222i (i)(i)i i (i)(i)z x y x y x y x x y y x y x y z x y x y x y x y x y ++-+-===+++-++1212||||||z z z z ====12i,i z z ==-1212||||||20,z z z z +==+111122121212212222222222222212i (i)(i)i i (i)(i)x y x y x y x x z y y x y x y x y x y x y x y x y z --++-===+--+++1121221121212122122222222222222222()i i z x x y y x y x y x x y y x y x y z x y x y x y x y +-+-=-=+++++1122,z z z z 1||1z =1z 11|34i ||(34i)|z z -+=--34i -(3,4)-(3,4)-5=1|34i |z -+516+=ABCD ,M N ,BC CD ABCD AC D ABCA. 平面B. 异面直线与所成角为定值C. 设菱形边长为，当二面角为时，三棱锥的外接球表面积为D. 若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则的取值范围是【答案】ABC 【解析】【分析】据题意，证得，证得平面，可判定A 正确；证得平面，证得，得到，可判定B 正确；取的中心，设外接球的球心为，根据球的截面圆的性质，求得外接球半径为，可判定C 正确；分为直角和钝角时，结合在线段的关系，结合，可判定D 错误．【详解】对于A ，∵，分别为菱形的边，的中点，∴，又平面，平面，∴平面，故A 正确；对于B ，取中点，连接，如图，则，，平面，∴平面，而平面，∴，∴，即异面直线与所成的角为90°，B 正确；MN //ABDAC MN ABCD ,60a CDA ∠= D AC B --120 D ABC -27π3a AD BC ABC ∠π0,4⎛⎫⎪⎝⎭//MN BD //MN ABD AC ⊥BDO AC BD ⊥AC MN ⊥,ABC BCD 12,O O O R =ABC ∠H CB DB DO OB <+M N ABCD BC CD //MN BD MN ⊄ABD BD ⊂ABD //MN ABD AC O ,DO BO ,DO AC BO AC ⊥⊥BO DO O = ,BO DO ⊂BDO AC ⊥BDO BD ⊂BDO AC BD ⊥AC MN ⊥MN AC对于C ，取的中心，设外接球的球心为，连接平面，平面，连接，并延长交于点，因为的边长为，可得，则，又因为，当二面角为时，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，即外接球半径为，所以外接球的表面积为，所以C 正确；对于D ，过作，垂足为，若为锐角，在线段上；若为直角，则与重合；若为钝角，则在线段的延长线上，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，因为，所以平面，因为平面，所以，若为直角，与重合，所以，在中，因为，所以不可能成立，即为直角不可能成立；若为钝角，在线段的延长线上，则在菱形中，为锐角，由于立体图中，所以立体图中一定小于平面图中的，所以为锐角，，故点在线段上与H 在线段的延长线上矛盾，,ABC BCD 12,O O O 1OO ⊥ABC 2OO ⊥BCD 1BO 1BO AC E ABCa BE a=11,BO O E ==60CDA ∠=︒D AC B --120︒160∠=︒OEO 1OEO 111tan 602OO O E a ==1OO BOB ==R =2274ππ3S R a ==A AH BC ⊥H ABC ∠H BC ABC ∠HB ABC ∠H CB AD BC AH BC ⊥BC⊥AHD HD ⊂AHD CB HD ⊥ABC ∠H B CB BD ⊥CBD △CB CD =CB BD ⊥ABC ∠ABC ∠H CB ABCD DCB ∠DB DO OB <+DCB ∠DCB ∠DCB ∠CB HD ⊥H BC CB因此不可能是钝角；综上,的取值范围是，所以D 错误．故选：ABC .【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法：（1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；（2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；（3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若复数满足，则的虚部为__________.【答案】1【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，即可求得答案.【详解】由，得，故的虚部为1，故答案为：113. 已知向量，则与夹角相同的单位向量为__________.【答案】或．【解析】【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示及模长得x ,y 的关系式即可求解．【详解】设与、夹角相同的单位向量，ABC ∠ABC ∠π0,2⎛⎫⎪⎝⎭z ()1i 13i z +=+z ()1i 13i z +=+()()()()13i 1i 13i 42i2i 1i 1i 1i 2z +-++====+++-z ()()2,1,2,1a b ==- a b ､(1,0)(1,0)-ab (,)e x y =，因为，所以或．故答案为：或．14. 如图所示，在棱长为的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角正切值的最大值为__________.【解析】【分析】在正方体上“堆叠”一个与之全等的正方体，连接、，设在平面的射影为，连接，则即为直线与平面所成角，在平面上的射影为，求出点的轨迹，再结合平面几何的性质即可得解．【详解】如图所示，在正方体上“堆叠”一个与之全等的正方体，连接、，易知四边形是菱形，设在平面的射影为，由正三棱锥可知，点是△的外心，，则，=0y =221x y +=1x ==1x -(1,0)(1,0)-a 1111ABCD A B C D -P 11BA C 1B P =1D P 11BAC 1111ABCD A B C D -11112222A B C D A B C D -12C D 12A D 1B 11BA C 1O 2O P 12D PO ∠1D P 11BA C 1D 211D AC 2O P 1111ABCD A B C D -11112222A B C D A B C D -12C D 12A D 211D A BC 1B 11BA C 1O 111B A BC -1O 11BA C 1111A B BC A C ===11212BA C S ==由，得，所以，再结合，得，从而的轨迹是（平面上）以为圆心，为半径的圆，记为圆，同理，在平面（即平面上的射影为的外心，连接，则在平面上的射影为，进而即为直线与平面所成角，记，则，其中为定值，而对于，由圆的几何知识可知，当运动到线段且与圆相交时，取得最小值，记相交于Q ,易知，则，此时．．【点睛】关键点点睛:本题考查空间中点的轨迹及线面角，关键111111B A BC B A B C V V --=2311111332B O a ⋅=⨯⨯11B O =1B P =1O P ==P 11BA C 1O r =1O 1D 211D AC 11)BA C 2O 211D A C △2O P 1D P 11BA C 2O P 12D PO ∠1D P 11BA C 12D PO θ∠=122tan D O O P θ=1211D O B O ==2O P P 1211O O AC ⊥1O 2O P 1211,O O AC 1213O Q O Q ===212O P O O r =-==tan θ=是确定在平面上的轨迹为圆.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知复数，且是实数.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）或，（2）【解析】【分析】（1）首先化简，根据为实数得到，再由余弦函数的性质计算可得；（2）由（1）可得，即可得到，再根据复数乘方法则计算可得.【小问1详解】因为，所以，因为是实数，所以，则，所以或，，解得或，.【小问2详解】当，时，若为偶数，则若为奇数，则，所以；的P 11BA C ()sin i cos21,R z θθθ=++∈2i z-θ3z ππ3k θ=+2ππ3k θ=+Z k ∈3i z =2i z -2i z -1cos 22θ=-sin θz ()sin i cos21z θθ=++()()2i 2sin i cos21i 2sin i 2cos 21z θθθθ⎡⎤-=++-=++⎣⎦2i z -2cos 210θ+=1cos 22θ=-22π2π3k θ=+42π2π3k θ=+Z k ∈ππ3k θ=+2ππ3k θ=+Z k ∈ππ3k θ=+Z k ∈k ππsin sin πsin 33k θ⎛⎫=+==⎪⎝⎭k ππsin sin πsin 33k θ⎛⎫=+=-=⎪⎝⎭sin θ=同理当，时，，又，所以当，则；当，则；故.16. 如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足.（1）若，证明：平面；（2）连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围.【答案】（1）证明见解析2ππ3k θ=+Z k ∈sin θ=1cos 22θ=-sin θ=1i 2z =+323111i i i 222z ⎫⎫⎫=+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭11i i 22⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭sin θ=1i 2z =+323111i i i 222z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11i i 22⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3i z =ABCD A B C D -''''2,,E F ,A B B C ''''GB G B B λ=''12λ=//EG D AC 'BD M BD //D M 'EFG 1,12λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦D M '（2）【解析】【分析】（1）连接，依题意可得为的中点，从而得到，再由正方体的性质得到，从而得到，即可得证；（2）求出和时的长度，即可得到的取值范围.【小问1详解】连接，因为为的中点，当时即，所以为的中点，所以，又且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】当时为的中点，连接交于点，连接，连接交于点，取的中点，连接、，因为分别为的中点，所以，则为的中点，所以，又且，所以为平行四边形，所以，所以，又平面，平面平面，平面，所以，所以和重合，A B 'G BB '//EG A B '//A B D C ''//EG D C '12λ=1λ=D M 'D M 'A B 'E A B ''12λ=12B G B B ''= G BB '//EG A B '//A D BC ''=A D BC ''A D CB ''//A B D C ''//EG D C 'EG ⊄D AC 'D C '⊂D AC '//EG D AC '12λ=G BB 'B D ''EF H H G A C ''B D ''1O BD 2O 1BO 2D O ',E F ,A B B C ''''//EF A C ''H 1B O '1//HG BO 21//BO D O '21BO D O '=21O BD O '12//BO D O '2//GH D O '//D M 'EFG D DBB '' EFG GH =D M '⊂D DBB ''//D M GH 'M 2O又，此时，当时与点重合，在上取点使得，连接，由前述说明可知为的中点，则，又，所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，所以综上可得当时，求长度的取值范围为.17. 设三个内角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）设为锐角三角形，是边的中点，求的取值范围.【答案】（1）BD==D M =='1λ=G B DB M 14DM DB =D M 'H 1B O '34D H D B '''=34BM DB =D H BM '=//D B BD ''D HBM '//D M HB 'HB ⊂EFG D M '⊄EFG //D M 'EFG D M ='1,12λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦D M 'ABC ,,A B C ,,a b c ()22cos sin sin sin b A C c B C b +=+A c ABC = D AC DB AC ⋅π3A =（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理，转化求解即可．（2）由正弦定理求解的范围，结合向量的数量积，推出的表达式，然后求解范围即可．【小问1详解】因为，所以利用正弦定理可得，又为三角形内角，，所以，可得，因为，所以；【小问2详解】；，则，又为锐角三角形，则，得，则，故,，即，二次函数的开口向下，对称轴为，,3(3,)8-A AC AC 2(2cos sin )sinsin b A C c BC b +=+2sin (2cos sin )sin sin sin sin B A C C BC B +=+B sin 0B >22cos sin sin sin 1A C C C +=+1cos 2A =(0,π)A ∈π3A =c =π3A=sin sin abA B==1πsin 2233sin sin 2tan C C C b C C C ⎫⎛⎫+⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭====ABC π022ππ032C B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩ππ62C <<tan C >32tan b C =211π()||||cos223DB AC CA AB AC AC AB AC ⋅=+⋅=-+⋅ 2211|22AC AC b =-+=- ()212f b b =-+b =在单调递减，故的取值范围,，即．18.如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，.（1）证明：平面平面；（2）若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）设，连接，即可证明、，从而得到平面，即可得证；（2）过点作交于点，即可证明平面，则即为与平面所成的角，即可求出作交于点，连接，即可证明平面，从而得到即为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得.【小问1详解】设，连接，因为为正方形，所以且为的中点，又，所以，()f b DB AC ⋅ (f f 3(3,)8-P ABCD -2PB PD =PBD ⊥PAC 1PA =PA ABCD π4P BC A --AC BD O = OP AC BD ⊥OP BD ⊥BD ⊥PAC P PH AC ⊥AC H PH ⊥ABCD PAH ∠PA ABCD AH PH ==H HE BC ⊥BC E PE BC⊥PHE PEH ∠P BC A --AC BD O = OP ABCD AC BD ⊥O BD PB PD =OP BD ⊥又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】在平面中过点作交于点，因为平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，所以即为与平面所成的角，即，又，所以，过点作交于点，连接，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以即为二面角的平面角，又，所以因为为正方形，所以，则，所以，解得，又平面，平面，所以，AC OP O = ,AC OP ⊂PAC BD ⊥PAC BD ⊂PBD PBD ⊥PAC PAC P PH AC ⊥AC H BD ⊥PAC PH ⊂PAC BD PH ⊥AC BD O = ,AC BD ⊂ABCD PH ⊥ABCD PAH ∠PA ABCD π4PAH ∠=1PA =AH PH ==H HE BC ⊥BC E PE PH ⊥ABCD BC ⊂ABCD PH BC ⊥PH HE H =I ,PH HE ⊂PHE BC ⊥PHE PE ⊂PHE BC PE ⊥PEH ∠P BC A --AC ==CH ==ABCD AB BC ⊥//AB HE CH EHAC AB =2EH =32EH =PH ⊥ABCD EH ⊂ABCD PH EH ⊥所以，所以所以二面角.19. 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点､棱､面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，，可以得到顶点数.（1）已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数；（2）证明：个顶点的凸多面体，至多有条棱；（3）已知正多面体各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值.【答案】（1）（2）证明见解析（3）的PE ===sin PEH ∠==P BC A --2n e f -+=n e f 12,6e f ==8n =n 36n -906,12,30【解析】【分析】（1）设此足球有个正五边形，分别得顶点与棱数，再利用欧拉公式解得的值.（2）当凸多面体每个面均为三角形时，棱数最多，此时棱数与面数有关系.（3）设正多面体每个顶点有条棱，每个面都是正边形，根据欧拉公式列出表达式，再由得不等式，分类取值即可.【小问1详解】设足球有个正五边形，则有个正六边形，足球的顶点，棱数，由欧拉公式得，解得，即此足球中有个面为正五边形，所以此足球的棱数.【小问2详解】由个顶点的凸多面体，其面数尽可能多，那么相当于每一个面尽可能均为三角形，当棱数最多时，该凸多面体每一个面均为三角形，此时，即，又，即，解得，故个顶点的凸多面体，至多有条棱.【小问3详解】设正多面体每个顶点有条棱，每个面都是正边形，则此多面体棱数，，即，由欧拉公式，得，所以，即，即，所以，m m 32e f =p q 220q p qp +->m 32m -()56323m m n +-=()56322m m e +-=()()5632563232232m m m m +-+--+=12m =12()5632902m m e +-==n 32f e =23f e =2n e f -+=223e n e -+=36e n =-n 36n -p q 22qf pn e ==,3p q ≥pn f q =2n e f -+=422q n q p qp=+-220q p qp +->1112q p +>1111112236p q >-≥-=6p <当时，，所以，，；当时，，所以，，；当时，，所以，，；综上：棱数可能为.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，讨研得点与棱、点与面、棱与面的数量之间的关系，从而得解.3p =6q <3,4,5q =4,8,20n =6,12,30e =4p =4q <3q =6n =12e =5p =103q <3q =12n =30e =6,12,30。

2023-2024学年河南省南阳市高一下册期中数学试题(含解析)

2023-2024学年河南省南阳市高一下册期中数学试题一、单选题1．14πsin 3=（）A B ．12-C ．12D 【正确答案】D【分析】根据给定条件，利用诱导公式结合特殊角的三角函数值计算作答.【详解】14π2π2πππsin sin(4π)sin sin(πsin 33333=+==-==故选：D2．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且30A =︒，3,4a b ==，则满足条件的三角形有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【正确答案】C【分析】根据sin b A 与,a b 的大小判断可得.【详解】因为30A =︒，3,4a b ==，1sin 422b A =⨯=，所以sin b A a b <<，所以满足条件的三角形有2个.故选：C3．若α为第三象限角且()3sin π5α-=-，则πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．45-B ．35-C ．35D ．45【正确答案】B【分析】利用诱导公式化简可得所求代数式的值.【详解】因为()3sin πsin 5αα-==-，则π3cos sin 25αα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭.故选：B.4．下列说法正确的是（）A ．斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．若向量,a b 满足a b > 且,a b 同向，则a b>C ．若P A B ，，三点满足3OP OA OB =+，则P A B ，，三点共线D ．将钟表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为π3【正确答案】A【分析】根据象限角的概念判断A ，利用向量的定义以及共线定理判断B,C ，利用任意角的定义判断D.【详解】因为斜三角形的内角是锐角或钝角，且锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，所以A 正确；因为两个向量不能比较大小，所以B 错误；由3OP OA OB =+ ，可得1341+=≠，根据向量的共线定理可知，P A B ，，三点不共线，所以C 错误；将钟表的分针拨快10分钟，则顺时针旋转了60 ，所以分针转过的角的弧度数为π3-，所以D 错误，故选:A.5．将函数()cos 3y x φ=+的图象沿x 轴向左平移12π个单位后，得到的函数的图象关于原点对称，则ϕ的一个可能值为（）A ．712π-B ．4π-C ．4πD ．512π【正确答案】C【分析】先求平移后的函数解析式，然后根据对称性求解可得.【详解】将函数()cos 3y x φ=+的图象沿x 轴向左平移12π个单位后的函数为cos 3(cos(3)124y x x ϕϕππ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，因为cos(3)4y x ϕπ=++的图像关于原点对称，所以π42k ππϕ+=+，即π4k πϕ=+，当0k =时，4πϕ=.故选：C6．已知函数()()tan f x A x ωϕ=+π02ϕϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭,，()y f x =的部分图象如图，则7π24f ⎛⎫=⎪⎝⎭（）A ．23B 3C ．33-D ．3【正确答案】C【分析】由图象可求得π2T =，2ω=.然后根据3π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合ϕ的取值即可推出π4ϕ=，根据()01f =，求出1A =，即可得出()πtan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.然后将7π24x =代入，即可得出答案.【详解】由图象可知，3πππ8842T -==，所以π2T =.由ππ2T ω==可得，2ω=，所以()()tan 2f x A x ϕ=+.又3π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以3πtan 04A ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3ππ,4k k ϕ+=∈Z ，所以3ππ,4k k ϕ=-+∈Z .因为π2ϕ<，所以π4ϕ=，()πtan 24f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又()01f =，所以πtan 14A A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1A =，所以()πtan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以7π7ππ5π3tan 2tan 2424463f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.7．在ABC 中，1,90AC BC C ==∠=︒．P 为AB 边上的动点，则PB PC ⋅的取值范围是（）A ．1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,28⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【正确答案】B【分析】以C 为坐标原点建立合理直角坐标系，求出直线AB 所在直线方程为1y x =-+，设(),1P t t -+，得到231248PB PC t ⎛⎫⋅=-- ⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求出其值域.【详解】以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴，y轴，建立直角坐标系，则()()0,1,1,0A B ，直线AB 所在直线方程为1y x =-+，设(),1P t t -+，[]0,1t ∈，则()1,1PB t t =-- ，(),1PC t t =--，()()223111248PB PC t t t t ⎛⎫⋅=--+-=-- ⎪⎝⎭ ，当0=t 时，()max1PB PC ⋅= ，当3t 4=时，()min18PB PC⋅=-，故其取值范围为1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：B.8．在锐角三角形ABC 中，下列结论正确的是（）A ．()() cos cos cos sin CB >B ．()() cos sin cos cos A B >C ．()()cos sin cos cos C B >D ．()()cos sin cos cos A A >【正确答案】A 【分析】利用2B C π+>，即022C B ππ<-<<，结合余弦函数的单调性可判断ABC ，取特值可判断D.【详解】因为ABC 为锐角三角形，所以2B C π+>，所以022C B ππ<-<<，所以1sin sin()cos 02B C C π>>-=>所以()() cos cos cos sin C B >，故A 正确；同理，1sin cos 0A B >>>，所以cos(sin )cos(cos )A B <，故B 错误；同上，1sin cos 0C B >>>，所以()()cos sin cos cos C B <，故C 错误；又4A π=时，cos(sin )cos(cos )44ππ=，故D 错误.故选：A二、多选题9．下列四个命题为真命题的是（）A ．若向量a 、b 、c ，满足//a b r r ，//b c，则//a cr r B ．若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则a 、b可作为平面向量的一组基底C ．若向量()5,0a = ，()4,3b = ，则a 在b 上的投影向量为1612,55⎛⎫⎪⎝⎭D ．若向量m 、n满足2m = ，3n = ，3m n ⋅=，则m n += 【正确答案】BC【分析】取0b =，可判断A 选项；利用基底的概念可判断B 选项；利用投影向量的概念可判断C 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若0b = 且//a b r r ，//b c ，则a 、c不一定共线，A 错；对于B 选项，若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则()1623⨯≠⨯-，则a 、b不共线，所以，a 、b可作为平面向量的一组基底，B 对；对于C 选项，因为向量()5,0a = ，()4,3b = ，所以，a 在b上的投影向量为()2220cos ,4,325b a b a b a a b a b b b a b b⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅1612,55⎛⎫= ⎪⎝⎭，C 对；对于D 选项，因为向量m 、n满足2m = ，3n = ，3m n ⋅= ，则m n +，D 错.故选：BC.10．已知函数()()11sin cos sin cos 22f x x x x x =+--，则下面结论正确的是（）A ．()f x 的对称轴为()ππ4x k k =+∈Z B ．()f x 的最小正周期为2πC ．() fx ，最小值为1-D ．()f x 在π5π,44⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减【正确答案】ABC【分析】化简函数()f x 的解析式，作出函数()f x 的图象，逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为πsin cos 4x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，当()π2π2ππ4k x k k ≤-≤+∈Z 时，即当()π5π2π2π44k x k k +≤≤+∈Z 时，sin cos 0x x -≥，即sin cos x x ≥，此时，()()()11sin cos sin cos cos 22f x x x x x x =+--=；当()π2ππ2π4k x k k -≤-≤∈Z 时，即当()3ππ2π2π44k x k k -≤≤+∈Z 时，sin cos 0x x -≤，即sin cos x x ≤，此时，()()()11sin cos cos sin sin 22x x x x f x x =+--=.所以，()()3ππsin ,2π2π44π5πcos ,2π2π44x k x k f x k x k x k ⎧-≤≤+⎪⎪=∈⎨⎪+<<+⎪⎩Z .作出函数()f x的图象如下图中实线所示：对于A 选项，由图可知，函数()f x 的图象关于直线3π4x =-、π4x =、5π4x =对称，对任意的k ∈Z ，π1ππ1ππ2πsin 2πcos 2πsin 2πcos 2π2222222f k x k x k x k x kx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-++--+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()1111cos sin cos sin sin cos sin cos 2222x x x x x x x x f x =+--=+--=，所以，函数()f x 的对称轴为()ππ4x k k =+∈Z ，A 对；对于B 选项，对任意的x ∈R ，()()()()()112πsin 2πcos 2πsin 2πcos 2π22f x x x x x +=+++-+++⎡⎤⎣⎦()()11sin cos sin cos 22x x x x f x =+--=，结合图象可知，函数()f x 为周期函数，且最小正周期为2π，B 对；对于C 选项，由A 选项可知，函数()f x 的对称轴为()ππ4x k k =+∈Z ，且该函数的最小正周期为2π，要求函数()f x 的最大值和最小值，只需求出函数()f x 在π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，因为函数()f x 在π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以，当π5π,44x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，()()min πcos π1f x f ===-，因为ππsin 442f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，5π5ππsin sin 4442f ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，所以，()max π4f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭因此，()f x 的最大值为2，最小值为1-，C 对；对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 在π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，D 错.故选：ABC.关键点点睛：本题考查函数的基本性质，解题的关键在于化简函数解析式，结合函数的图象进行判断.11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是ABC 内一点，BOC 、AOC 、AOB 的面积分别为A S 、B S 、C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.设O 是锐角ABC 内的一点，BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠分别是ABC 的三个内角，以下命题正确的有（）A ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =B ．2OA OB == ，5π6AOB ∠=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S = C ．若O 为ABC 的内心，3450OA OB OC ++= ，则π2C ∠=D ．若O 为ABC 的重心，则0OA OB OC ++=【正确答案】ACD【分析】利用“奔驰定理”可判断A 选项；求出C S ，结合“奔驰定理”可判断B 选项；利用“奔驰定理”可得出::a b c 的值，结合勾股定理可判断C 选项；利用重心的几何性质结合“奔驰定理”可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为230OA OB OC ++=，由“奔驰定理”可知::1:2:3A B C S S S =，A对；对于B 选项，由2OA OB == ，5π6AOB ∠=，可知1225π6in1s 2C S =⨯⨯⨯=，又2340OA OB OC ++=，所以::2:3:4A B C S S S =，由1C S =可得，12A S =，34B S =，所以1391244C ABC A B S S S S ++==++= ，B 错；对于C 选项，若O 为ABC 的内心，3450OA OB OC ++=，则::3:4:5A B C S S S =，又111::::::222A B C ar br cr a b c S S S ==（r 为ABC 内切圆半径），所以，222a b c +=，故π2C ∠=，C 对；对于D 选项，如下图所示，因为O 为ABC 的重心，延长CO 交AB 于点D ，则D 为AB 的中点，所以，2OC OD =，12AOD BOD C S S S ==△△，且12AOD B S S =△，12BOD A S S =△，所以，A B C S S S ==，由“奔驰定理”可得0OA OB OC ++=，D 对.故选：ACD.12．已知函数()() sin (0)f x x ωϕω=+>，且()f x 在区间2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则下列结论正确的有（）A ．() f x 的最小正周期是π3B ．若2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．若π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象与()f x 的图象重合，则满足条件的ω有且仅有1个D ．若π6ϕ=-，则ω的取值范围是[]221,24,5⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦【正确答案】BCD【分析】利用单调区间长度不超过周期的一半，求出周期范围即可判断A ；根据中心对称求值即可判断B ；利用函数平移求出6k ω=()k ∈Z ，再结合A 选项即可判断C ；结合已知单调区间得出ω范围后即可判断D ．【详解】对于A ，因为函数()f x 在区间2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以5π2ππ2636T ≥-=，所以()f x 的最小正周期π3T ≥，即()f x 的最小正周期的最小值为π3，故A 错误；对于B ，由2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的图像关于点3π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，所以3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，由π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象与()f x 的图象重合，则π3为函数()f x 的周期或周期的倍数，所以2ππ3k ω⨯=，所以6k ω=()k ∈Z ，再结合A 选项知π3T ≥，所以2π6T ω=≤，又0ω>，所以06ω<≤，所以6ω=，即满足条件的ω有且仅有1个，故C 正确；对于D ，由题意可知2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭为()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减区间的子集，所以2πππ2π3625ππ3π2π662k k ωω⎧-≥+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，其中k ∈Z ，解得123125k k ω+≤≤+()k ∈Z ，当0k =时，12ω≤≤，当1k =时，2245ω≤≤，故ω的取值范围是22[1,2]4,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确．故选：BCD ．思路点睛：本题考查正弦型函数的奇偶性、单调性、周期性等知识的综合应用；求解此类问题的基本思路是采用整体对应的方式，将x ωϕ+看作一个整体，对应正弦函数的图象和性质来研究正弦型函数的性质．三、填空题13．请写出终边落在射线y =()0x ≥上的一个角___________(用弧度制表示).【正确答案】π3（满足π2π,3k k +∈Z 即可，答案不唯一）【分析】写出射线上一点，根据三角函数的定义，可求得tan θ=.【详解】设θ的终边落在射线y =()0x ≥上，则θ为第一象限角，取y =()0x ≥上的一个点(A ，根据三角函数的定义可得，tan 1θ==又θ为第一象限角，所以π2π,3k k θ=+∈Z ，取0k =，可得π3θ=.故答案为.π314．在平行四边形ABCD 中，点M 为AB 的中点，点N 在BD 上，M N C ，，三点共线，若DN NB λ=，则λ=_______________.【正确答案】2【分析】由已知可推得，11NB DB λ=+.结合图象及已知，用,AB AD 表示出111211MN AB AD λλ⎛⎫ ⎪++⎝⎭=-+ 以及12MC AB AD =+ .然后根据三点共线，得出μ∃∈R ，有MN MC μ=.然后列出方程组，即可求出答案.【详解】取基底{},AB AD ，由图可知DB AB AD =-，因为DN NB λ=，所以()1B D DN N B B N λ=++= ，所以11NB DB λ=+ ，显然1λ≠-.又M 是AB 的中点，所以12MB AB =，所以MN MB BN MB NB =+=- ()11112211AB DB AB AB AD λλ=-=-+-+112111AB AD λλ=⎛⎫ ⎪++⎝⎭-+ .又12MC MB BC AB AD =+=+ ，M N C ，，三点共线，所以μ∃∈R ，有MN MC μ=，即1112211AB AD AB AD λμμλ-⎫+⎛ ⎪++⎝+⎭= .因为,AB AD 不共线，所以有1121211μλμλ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得213λμ=⎧⎪⎨=⎪⎩.故答案为.215．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数s (6)6co y a A x π⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦（x =1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为___________℃.【正确答案】20.5/412【分析】根据题意列出方程组，求出a ，A ，求出年中12个月的平均气温与月份的关系，将x ＝10代入求出10月份的平均气温值．【详解】据题意得28A a =+，18A a =-+解得5A =，23a =所以235cos (6)6y x π⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦令10x =得2235cos (106)235cos20.563y ππ⎡⎤=+-=+=⎢⎥⎣⎦.故20.5四、双空题16．H 为ABC 所在平面内一点，且满足222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ |则点H 为ABC 的_________心.若7AB = ,5AC =uuu r ，π3C =，则AH AC ⋅= ___________【正确答案】垂5【分析】由平面向量数量积的运算性质可得出HC AB ⊥，同理可得HA BC ⊥，HB AC ⊥，结合垂心的定义可得出结论；由平面向量数量积的运算性质可求出AB AC ⋅uu u r uuu r的值，再利用垂心的几何性质结合平面向量数量积的运算性质可求得AH AC ⋅的值.【详解】因为222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ ，则2222HA CB HB CA +=+ ，即2222HA HB CA CB -=- ，即()()()()HA HB HA HB CA CB CA CB -⋅+=-⋅+ ，即()()BA HA HB BA CA CB ⋅+=⋅+ ，即()()20BA HA CA HB CB BA HA AC HB BC BA HC ⋅-+-=⋅+++=⋅= ，所以，HC AB ⊥，同理可得HA BC ⊥，HB AC ⊥，故点H 为ABC 的垂心，因为()222222π22cos3AB CB CACB CA CA CB CB CA CA CB =-=+-⋅=+-⋅ 252549CB CB =-+= ，即25240CB CB --=，因为0CB ≥ ，解得8CB =，因此，()222224925264CB AB ACAB AC AB AC AB AC =-=+-⋅=+-⋅=，解得5AB AC ⋅=，因此，()5AH AC AB BH AC AB AC BH AC AB AC ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=.故垂；5.五、解答题17．已知向量a ，b满足2a = ，3b = .(1)若//a b ，求a b ⋅ ;(2)若a 与b的夹角为60︒，求()()2a b a b -⋅+ .【正确答案】(1)6或6-(2)2【分析】（1）分为a ，b方向相同，以及方向相反，分别计算，即可得出答案；（2）根据数量积的定义求出3a b ⋅=，然后根据数量积的运算律，展开即可得出答案.【详解】（1）若a ，b方向相同，则236a b a b ⋅=⋅=⨯= ；若a ，b方向相反，则236a b a b ⋅=-⋅=-⨯=- .（2）由已知可得，1cos 602332a b a b ⋅=⋅=⨯⨯︒= ，所以()()22222222332a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=⨯+-= .18．某同学用“五点作图法”画函数()()(sin >02f x A x πωϕωϕ=+<，在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：(1)请将上表数据补充完整，并求出函数()f x 的解析式；(2)若()()f x m m =∈R 在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上有两根，求m 的取值范围.【正确答案】(1)表格见解析，()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)【分析】（1）根据表格数据可得A 和周期，然后可得ω，带点可得ϕ；（2）令24t x π=+，将问题转化为sin t =[,]44t π5π∈上有两个根，然后根据正弦函数的性质求解可得.【详解】（1）补充表格:最小值为可知A =又12522882T ωππππ=⋅=-=，故2ω=再根据五点作图法，可得282ϕππ⋅+=，得4πϕ=，故()2.4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)令24t x π=+，则[,]44t π5π∈所以()f x =m t m =在[,]44t π5π∈上有两个根.即sint =[,]44t π5π∈上有两个根.由sin y t =在[,]44t π5π∈的图像和性质可得：12<,所以1m ≤<故实数m 的取值范围为19．已知向量()1,2cos a x =，()sin ,cos b x x = ．(1)求a r的取值范围；(2)求a b ⋅的最大值．【正确答案】(1)⎡⎣(2)178【分析】（1）依题意先求出a = ，再结合cos x 的二次式即可求得a r 的取值范围；（2）依题意先求出21172sin 48a b x ⎛⎫⋅=--+ ⎪⎝⎭ ，再结合sin x 的二次式即可求得a b ⋅ 的最大值．【详解】（1）因为()1,2cos a x = ，所以a = 又cos 1x ≤，则20cos 1x ≤≤，所以2114cos 5x ≤+≤，所以a ⎡=⎣ ．（2）因为()1,2cos a x =，()sin ,cos b x x = ，则222117sin 2cos 22sin sin 2sin 48a b x x x x x ⎛⎫⋅=+=-+=--+ ⎪⎝⎭，所以当1sin 4x =时，a b ⋅ 取得最大值，且最大值为178．20．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为3a =，5b =，7c =.（1）求ABC 的三个角中最大角的大小；（2）秦九韶是我国古代最有成就的数学家之一，被美国著名科学史家萨顿赞誉“秦九韶是他那个民族，他那个时代，并且确实也是那个时代最伟大的数学家之一”.他的数学巨著《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是有世界意义的重要贡献；他提出的三斜求积术S =.试用余弦定理推导该公式，并用该公式求ABC 的面积.【正确答案】（1）120︒；（2）4.（1）根据大边对大角得到C 为最大角，利用余弦定理求出cos C 的值，即可确定出C 的度数；（2）利用三角形面积公式1sin 2S ac B =，以及22sin cos 1B B +=，且222cos 2a c b B ac+-=，从而证明结论的成立，代入3a =、5b =、7c =即可求出三角形ABC 面积．【详解】（1）∵3a =、5b =、7c =∴角C 最大.由余弦定理得：2222223571cos 22352a b c C ac +-+-==-⨯⨯，又角C 为ABC 内角，∴120C =︒.（2）在ABC 中，1sin 2S ac B =∵22sin cos 1B B +=，且222cos 2a c b B ac+-=∴111sin 222S ac B ====.当3a =、5b =、7c =时，154S =，即ABC .此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题.21．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),e b c =，()sin ,sin f C B = ，() ,g c a b a =--．(1)若e f，求证：ABC 为等腰三角形；(2)若e g ⊥ ，2a =，π3A =求ABC 的面积．【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据题意得到sin sin b B c C =，再根据正弦定理可得到²²b c =，进而即可证明结论；（2）根据题意化简整理可得到bc b c =+，再根据余弦定理即可得到4bc =，进而即可求得ABC 的面积．【详解】（1）因为(),e b c = ，()sin ,sin f C B = ，且e f ，所以sin sin b B c C =，由正弦定理可得22b cb c R R⋅=⋅，所以²²b c =，所以ABC 为等腰三角形．（2）因为(),e b c =，(),g c a b a =-- ，且e g ⊥ ，所以()()(),,20b c c a b a bc a b c ⋅--=-+=，又2a =，则bc b c =+，因为2a =，π3A =，则由余弦定理可得22π42cos3b c bc =+-，解得4bc =，所以ABC 的面积为11sin 4222ABC S bc A ==⨯⨯=22．已知函数()()π2cos 20).2f x x ωϕωϕ=++<<<<，请在下面的三个条件中任选两个解答问题.①函数()f x 的图像过点(0；②函数()f x 的图像关于点12⎛ ⎝对称；③函数()f x 相邻两个对称轴之间距离为2.(1)求函数()f x 的解析式；(2)当()2,0a ∈-时，是否存在实数a 满足不等式()322f a f a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭？若存在，求出a 的范围，若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)()ππ2cos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)存在，35,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】对于小问(1)，由图像过(0可以求ϕ的值，由函数()f x 相邻两个对称轴之间距离可以求ω的值，结合上述两个条件之一，再由函数()f x 的图像关于点12⎛ ⎝对称可以求ω或ϕ的值.对于小问(2)，由轴对称的性质把不等式()322f a f a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭转化为()221124a a ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭进行求解.【详解】（1）选择①②:因为函数()f x 的图像过点(0，所以()02cos f ϕ=+，解得cos 2ϕ=，因为π02ϕ<<，所以π4ϕ=，因为函数()f x 的图像关于点12⎛ ⎝对称，则()1πππZ 242k k ω⨯+=+∈，可得()π2πZ 2k k ω=+∈，因为02ω<<，所以π02k ω==，，所以()ππ2cos 24f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭选择①③:若函数()f x 的图像过点(所以()02cos f ϕ=+，解得cos ϕ=02πϕ<<，所以4πϕ=因为函数()f x 相邻两个对称轴之间距离为2，所以22T =，所以2π44T ω==，，解得.π2=ω所以()ππ2cos 24f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭选择②③:因为函数()f x 相邻两个对称轴之间距离为2，所以22T =，所以2π44T ω==，，解得.π2=ω若函数()f x 的图像关于点12⎛ ⎝对称，则()π1ππZ 222k k ϕ⨯+=+∈可得()ππZ 4k k ϕ=+∈，因为02πϕ<<所以π04k ϕ==，，所以()ππ2cos 24f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)当()2,0a ∈-时，3532,222a ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，令53,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()πππ,π24x +∈-，记ππ24x m +=，则()12π3πππ3ππ2πππ,π,2242444m a a m a ⎛⎫⎛⎫=++=+∈-=+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()322cos 2f a f a y m ⎛⎫+>= ⎪⎝⎭，()π,πm ∈-轴对称，所以m m <₁₂，即ππππ24a a +<+，所以()221124a a ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，即()()21228150,23650a a a a ++<++<，解得：3526a -<<-所以实数a 的范围是.35,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭。

高一数学第二学期期中综合测试(含参考答案1)

高一数学第二学期期中综合测试一、选择题：二、填空题：11、562 12、63 13、0 1 <=101 i=i+2 14、103三、解答题：（1）原式 21212123234tan30sin 60cos 30cos 3sin)45tan()303603sin()603603cos()301807cos()37sin(=+⨯+⨯=+︒︒+︒=++︒-︒⨯︒-︒⨯-︒+︒⨯--=ππππππ (2)παπ223<<αααααααααααααααsin 2sin cos 1sin cos 1cos 1)cos 1(cos 1)cos 1()cos 1)(cos 1()cos 1()cos 1)(cos 1()cos 1(222222-=+---=-++--=+-++-+-=∴原式16、（1）这是系统抽样。

（2），S ，Sx x ，，S，Sx ，x 2222005.002.01010乙甲乙甲乙甲乙甲>=====----乙车床稳定。

18、（1）设射中10环为事件A ，射中7环为事件B ，则A 与B 为互斥事件，事件射中10环或7环为AUB ，因此P （AUB ）=P （A ）+P （B ）=0.21+0.28=0.49（2）射中环数低于7环（记为事件E ）的对立事件是射中环数大于或等于7环（记为事件F ），即射中7环、8环、9环、或10环，由于他们彼此互斥，故P (F)=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97 从而有P (E)=1-P (F)=1-0.97=0.03 答：（1）射中10环或7环的概率为0.49；（2）射中的环数低于7环的概率为0.03。

17、程序框图如下：程序如下：INPUT “x=”;xIF x<=4 THEN y=2*x ELSEIF x<=8 THEN y=8 ELSE y=2*(12-x) END IFEND IF PRINT y END19、（1）略；（2）5.6641=∑=i i i y x ，∑==41286i ix ，5.4_=x ，5.3_=y ，7.0=b ，35.0=a回归方程：35.07.0^+=x y ；（3）19.65吨。

高一数学中期试题及答案

高一数学中期试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 已知函数f(x) = 2x + 1，g(x) = x^2 - 2x，那么f(g(1))的值是（）A. 0B. 1C. 2D. 33. 集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，那么A∩B的结果是（）A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3, 4}4. 直线y = 3x + 2与x轴的交点坐标是（）A. (0, 2)B. (-2/3, 0)C. (2/3, 0)D. (0, -2)5. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的最小值是（）A. -1B. 0C. 1D. 36. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，那么a5的值是（）A. 17B. 14C. 11D. 87. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，其圆心坐标是（）A. (3, 4)B. (-3, -4)C. (3, -4)D. (-3, 4)8. 函数y = ln(x)的定义域是（）A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)9. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 1，公比q = 2，那么b4的值是（）A. 8B. 16C. 32D. 6410. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的值域是（）A. [-2, 2]B. [-√2, √2]C. [-1, 1]D. [0, 2]二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 - 6x + 9的对称轴方程是 _ 。

2. 已知函数f(x) = 1/x，当x = 2时，f(x)的值是 _ 。

3. 集合{1, 2, 3, 4, 5}中，元素2的补集是 _ 。

浙江省杭州2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷含答案

杭州2023学年第二学期高一年级期中考数学试卷命题高一数学组校审高一数学组（答案在最后）本试卷共150分考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()()1,2,4,,a b x a b==⊥ ，则x =（）A.8- B.8C.2- D.2【答案】C 【解析】【分析】根据题意由420a b x ⋅=+=，即可得解.【详解】由()()1,2,4,,a b x a b ==⊥，可得()()1,24,420a b x x ⋅=⋅=+=，所以2x =-.故选：C2.已知i 为虚数单位，若复数()2ii 1i z -=+，则（）A.复数z 为31i 22- B.z 2=C.复数z 虚部为1i2- D.在复平面内z 对应的点位于第二象限【答案】B 【解析】【分析】将复数z 利用复数的四则运算转化为i a b +的形式，逐项判断即可.【详解】()()()()()2i 1i 2i 2i3i 31i i 1i 1i 1i 1i 222z -------=====--+-+-+--对于A ，31i 22z =-+，故A 错误；对于B ，2z ==，故B 正确；对于C ，复数z 虚部为12-，故C 错误；对于D ，复数z 在复平面内对应的点是31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限，故D 错误.故选：B.3.在ABC 中，30,1A BC =︒=，则ABC 外接圆的直径为（）A.3B.12C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理有：122sin sin 30BC R A ===︒，解得：1R =，所以ABC 外接圆的直径为22R =.故选：C4.设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下面说法正确的是（）A.若αβ⊥，αγ⊥，则//βγB.若αβ⊥，//m α，则m β⊥C.若m α⊥，//m β，则αβ⊥D.若//m n ，n ⊂α，则//m α【答案】C 【解析】【分析】由线面、面面的位置关系，结合平面的基本性质、面面垂直的判定等判断各选项的正误.【详解】A ：由αβ⊥，αγ⊥，则//βγ或,βγ相交，错误；B ：由αβ⊥，//m α，则//m β或m β⊂或,m β相交，错误；C ：由//m β，则存在直线l β⊂且//l m ，而m α⊥则l α⊥，根据面面垂直的判定易知αβ⊥，正确；D ：由//m n ，n ⊂α，则//m α或m α⊂，错误.故选：C5.在平行四边形ABCD 中，2233AE AB CF CD == ，，G 为EF 的中点，则DG =（）A.1122AD AB -B.1122AB AD -C.3142AD AB - D.3142AB AD -【答案】B 【解析】【分析】根据题意和平面向量的线性运算即可得出结果.【详解】()1111112111·2222323622DG DE DF DA AE DC AD AB AB AB AD ⎛⎫=+=++=-++=- ⎪⎝⎭．故选：B.6.在正四面体S ABC -中，M 是SC 的中点，N 是SB 的中点，则异面直线BM 与AN 夹角的余弦值为（）A.16B.13C.2D.2【答案】A 【解析】【分析】取SM 的中点E ，连接EN ，AN ，ANE ∠或其补角即为异面直线BM 与AN 所成的角，在ASE △中，利用余弦定理求出AE 的长，再在ANE 中，利用余弦定理的推论求出cos ANE ∠即可.【详解】取SM 的中点E ，连接EN ，AN ， N 是SB 的中点，∴//EN MB ，12EN MB =，∴ANE ∠或其补角即为异面直线BM 与AN 所成的角，设正四面体的棱长为4，M 是SC 的中点，N 是SB 的中点，SAB △和SBC △均为正三角形，∴BM SC ⊥，AN SB ⊥，且BM AN ==，∴EN =，在ASE △中，22212cos 161241132AE SA SE SA SE ASE =+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，在ANE中，2221cos 26AN NE AE ANE AN NE +-∠===⋅⋅，∴异面直线BM 与AN 夹角的余弦值为16.故选：A.7.在三棱柱111ABC A B C -中，E 是AB 的中点，F 是AC 靠近点A 的三等分点，平面1EFB 将三棱柱分成体积分别为()1212,>V V V V 的两部分，则12V V 等于（）A.53B.74 C.85D.117【答案】D 【解析】【分析】取FC 的中点M ，11A C 上靠近1C 的一个三等分点D ，连接1B D ，MD ，MB ，FD ，证明1//EF B D ，112EF B D =，进而证明多面体11AEF A B D -为三棱台，设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，AC a =，B 到AC 的距离为b ，分别求出11AEF A B D V -和11EFCB B DC V -即可.【详解】取FC 的中点M ，11A C 上靠近1C 的一个三等分点D ，连接1BD ，MD ，MB ，FD ，F 是AC 靠近点A 的三等分点，∴M 是AC 靠近点C 的三等分点，三棱柱111ABC A B C -，∴1//DC MC ，1DC MC =，∴11////MD CC BB ，11MD CC BB ==，∴四边形1BMDB 是平行四边形，∴1//B D BM ，1B D BM =，E 是AB 的中点，F 是AM 的中点，∴1////EF BM B D ，11122EF BM B D ==，∴1,,,E F D B 四点共面，11//AE A B ，1112AE A B =，11//AF A C ，1113AF A C =，∴多面体11AEF A B D -为三棱台，设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，AC a =，B 到AC 的距离为b ，则11112ABC A B C V abh -=，111123212AEF S a b ab =⋅⋅=，11121233A B D S a b ab =⋅⋅=，∴111117312336AEF A B DV ab ab h abh -⎛=+= ⎝，∴1111111171123636EFCB B DC AEF A C B ABC A D B V V V abh abh abh ---=-=-=， 12V V >，∴11136V abh =，2736V abh =，∴121111367736abhV V abh ==.故选：D.8.已知球O 的直径2SC =，A ，B 是球O 的球面上两点，π3ASC BSC ASB ∠=∠=∠=，则三棱锥S ABC -的体积为（）A.6B.3C.2D.【答案】A 【解析】【分析】依题意可得90SAC SBC ∠=∠=︒，即可求出SA 、SB 、AB ，求出SAB △外接圆的半径，利用勾股定理求出球心O 到平面SAB 的距离d ，从而得到点C 到平面SAB 的距离，最后根据锥体的体积公式计算可得.【详解】解：因为2SC =为球O 的直径，A ，B 是球O 的球面上两点，所以90SAC SBC ∠=∠=︒，又2SC =，π3ASC BSC ASB ∠=∠=∠=，所以πsin3AC BC SC ==⋅=，πcos 13SA SB SC ==⋅=，所以SAB △为等边三角形且1AB =，设SAB △的外接圆的半径为r，则12π3sin3r ==，所以33r =，则球心O 到平面SAB的距离3d ==，所以点C 到平面SAB 的距离2623h d ==，又1πsin 234SAB S SA SB =⋅=，所以1134363S S ABC C SAB AB V S h V --⋅=⨯=⨯==.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数1z ，2z 则下列结论正确的有（）A.2211z z = B.1212z z z z ⋅=⋅C.1212z z z z =⋅ D.22||z z z z =【答案】BCD 【解析】【分析】设1i z a b =+，2i z c d =+，a ，b ，c ，R d ∈，对于A ，分别计算21z 和21z ，即可判断；对于B ，由共轭复数及乘法运算即可判断；对于C ，由复数的乘法及模的运算即可判断；对于D ，由共轭复数及复数的除法即可判断.【详解】设1i z a b =+，2i z c d =+，a ，b ，c ，R d ∈，所以()22221i 2i z a b a b ab =+=-+，22221z ab ==+，所以2211≠z z ，故选项A 不正确；因为()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++，所以()()21i z b z ac d ad bc ⋅=--+，()()()()12i i i z z c d ac bd a b ad bc ⋅-=--+=-，所以1212z z z z ⋅=⋅，故选项B 正确；()()()()12i i i a b c d ac bd a z d bc z ++=-==++=，12z z ⋅==所以1212z z z z =⋅，故选项C 正确；()()()22222i i 2ii i i a b z a b a b ab a b a b a b a b z ++-+===--++，()()22222222i 2i ||a b za b ab z a b +-+==+，所以22||z z z z =，故选项D 正确；故选：BCD .10.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A.若a b b c ⋅=⋅ ，则a c= B.若向量()2,1a = ，()3,1b =- ，则向量a 在向量b 上的投影向量为12b-C.非零向量a 和b满足a b a b ==-r r r r ，则a 与a b + 的夹角为60︒D.点()1,3A ，()4,1B -，与向量AB 同方向的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BD 【解析】【分析】A 选项，可以变形计算得到0b = 或0a c -=，或()b ac ⊥- ；B 选项，利用投影向量计算公式计算；C 选项，根据模长相等判断出以a ，b 为边对应的四边形为菱形，且a ，b 夹角为60︒，从而得到a与a b +的夹角；D 选项，利用公式求解以一个向量同方向单位向量.【详解】A 选项：若··,a b b c =即有()·0c b a -= ，则0b = 或0a c -=，或()b ac ⊥- ，故A 错；B 选项：()2,1a = ，()3,1b =- ，则·5a b =- ，b == 所以向量a 在向量b 上的投影向量为2·51102b a b b b b -==-，故B 正确．C 选项：非零向量a 和b 满足a a b b ==-，以a ，b为边对应的四边形为菱形，且a ，b夹角为60︒则a与a b +的夹角为30︒，故C 错；D 选项：点()1,3A ，()4,1B -，()3,4AB =-，可得与向量AB同方向的单位向量为34,55AB AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故D 正确．故选：BD ．11.在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为线段1BD 上的动点（含端点），则（）A.存在点M ，使得CM ⊥平面1A DBB.存在点M ，使得//CM 平面1A DBC.不存在点M ，使得直线1C M 平面1A DB 所成的角为30︒D.不存在点M ，使得直线1C M 平面1A DB 所成的角为45︒【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式、法向量的性质逐一判断即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()()()()1110,0,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,1,1,0,0,1C B A D D A C 设11D M D B λ=，则()(1,,1)[0,1]M λλλλ--∈，设平面1A DB 的法向量为(),,n x y z =，()()()11,1,0,1,0,1,1,,1DB BA CM λλλ=-==--，则有10000n DB x y x z n BA ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩ ，()1,1,1n =-，假设存在点M ，使得CM ⊥平面1A DB ，所以有//CM n，所以有11111λλλ--==-，方程无解，因此假设不成立，因此选项A 不正确；假设存在点M ，使得CM ∥平面1A DB ，所以有0110CM n CM n λλλ⊥⇒⋅=⇒-+-+=，解得0[0,1]λ=∈，所以假设成立，因此选项B 正确；假设存在点M ，使得直线1C M 与平面1A DB 所成的角为30︒，()11,,C M λλλ=--，所以有1111sin 30cos ,2C M n C M n C M n︒⋅=〈〉==⋅，解得705λ-=<，715λ+=>，所以假设不成立，故选项C 正确；假设存在点M ，使得直线1C M 与平面1A DB 所成的角为45︒，()11,,C M λλλ=--，所以有111sin 45cos ,2C M n C M n C M n︒⋅=〈〉==⋅ ，解得53207λ-=<，53217λ+=>，所以假设不成立，故选项D 正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.复数z 满足1z =，i 是虚数单位，则i z +的最大值为_______．【答案】2【解析】【分析】设复数()i ,R z a b a b =+∈，由已知得221a b +=，所以11b -≤≤，又i z +=，即可求解.【详解】设复数()i ,R z a b a b =+∈，因为1z =1=，即221a b +=，所以()i 1i z a b +=++===，因为221a b +=，所以11b -≤≤，当1b =时，i z +最大，即i z +的最大值为2.故答案为：2.13.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos sin 2a C C b c +=+．则角A =_______．【答案】2π3【解析】【分析】利用正弦定理边化角，再利用辅助角公式求解即可.【详解】 πA B C ++=，()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C ∴=+=+，cos sin 2a C C b c +=+,由正弦定理得sin cos sin sin 2sin A C A C B C +=+，即n s i in i s o i o c s c sin s 2s n o c s s n A C A C CA C A C +++=∴sin cos sin 2sin A C A C C =+，()0,πC ∈，sin 0C ∴≠，∴cos 2A A =+，∴2πcos 2si n 6in A A A -⎛⎫= ⎪⎝⎭=-，∴πsin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,πA ∈ ，∴ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴ππ62A -=，解得2π3A =.故答案为：2π3.14.正四面体-P ABC 的棱长为1，L ，M ，N 分别为棱PA ，PB ，PC 的中点，则该正四面体的外接球被平面LMN 所截得的截面面积为_______．【答案】π3##1π3【解析】【分析】设E 为ABC 的中心，连接PE ，与平面LMN 交于点F ，可知12PF PE =，设O 为正四面体-P ABC外接球的球心，则O 在PE 上，连接OC ，EC ，可得33EC =，3PE =，设正四面体-P ABC 外接球的半径为R ，由222OC OE EC =+可得R 的值，正四面体的外接球被平面LMN 所截得的截面图形为圆，设该圆的半径为r ，由222R OF r =+即可求解.【详解】设E 为ABC 的中心，连接PE ，与平面LMN 交于点F ，则PE ⊥平面ABC ，PF ⊥平面LMN ，由题意可知平面//ABC 平面LMN ，且12PF PE =，设O 为正四面体-P ABC 外接球的球心，则O 在PE 上，连接OC ，EC ，因为E 为正三角形ABC 的中心，所以21233EC =⨯⨯=，在Rt PEC 中，3PE ===，所以126PF PE ==，设正四面体-P ABC 外接球的半径为R ，则222OC OE EC =+，即()222R PE R EC =-+，解得4R =，所以6664612OF PO PF =-=-=，正四面体的外接球被平面LMN 所截得的截面图形为圆，设该圆的半径为r ，则222R OF r =+，所以3r =，所以截面圆的面积为2ππ3r =.故答案为：π3.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在某海域A 处的巡逻船发现南偏东60︒方向，相距a 海里的B 处有一可疑船只，此可疑船只正沿东偏北30︒（以B 点为坐标原点，正东，正北方向分别为x 轴，y 轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行．巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发t 小时后，可疑船只所在位置的横坐标为bt ．若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向．．．．追击，则恰好1小时与可疑船只相遇．（1）求a ，b 的值；（2）若巡逻船以/小时的速度进行追击拦截，能否拦截成功？若能，求出拦截时间；若不能，请说明理由．【答案】（1）15a b ==（2）能够拦截成功拦截，时间为2小时【解析】【分析】（1）设1小时后两船相遇于点C ，根据ABC 关于y 轴对称，且,120AB BC a ABC ==∠=︒，即可求解；（2）设t 小时后两船相遇于点D ，利用余弦定理列出方程，即可求解.【小问1详解】若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，设1小时后两船相遇于点C ，如图所示，则AC x ∥轴，30AC =，且ABC 关于y 轴对称，所以,120AB BC a ABC ==∠=︒，所以1515cos30a b ==︒==︒.【小问2详解】若巡逻船以/小时进行追击，设t 小时后两船相遇于点D ，如图所示，则120ABD ∠=︒，15cos30t BD ==︒，AD =，AB =，因为2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-⋅∠，可得2221))22⎛⎫=+-⨯⨯-⎪⎝⎭，整理得23440t t --=，解得2t =或23t =-（舍去），所以能够拦截成功拦截时间为2小时.16.（1）若()1,1a = ，()1,2b = 求()()2a b a b -⋅- ；（2）若a ，b 为单位向量，a ，b 的夹角为60 ，求12a b - 和函数()f x a xb =- ，x ∈R 的最小值；（3）请在以下三个结论中任选一个用向量方法．．．．证明．①直径所对的圆周角是直角；②平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；③三角形的三条中线交于一点．【答案】（1）3（2）1322a b -=，最小值为2（3）证明见详解【解析】【分析】（1）由()21,3a b -=-- ，()0,1a b -=- ，利用向量数量积的坐标运算求解即可；（2）由a ，b 为单位向量，所以1a = ，1b =，12a b -= 求解即可，由()f x a xb =-= （3）选①，设AB 为圆O 的直径，点C 在圆上，由AO BO =- ，AO OC = ，计算0AC BC ⋅= 即可；选②，作平行四边形ABCD ，根据AC AB AD =+ ，BD AD AB =- ，两式分别完全平方求解即可；选③，设AD ，CE 相交于一点1G ，可证得123AG AD = ，设AD ，BF 相交于一点2G ，同理可得223AG AD = ，即可得证.【详解】（1）因为()1,1a = ，()1,2b = ，所以()()()21,121,21,3a b -=-=-- ，()()()1,11,20,1a b -=-=- ，所以()()()()210313a b a b -⋅-=-⨯+-⨯-= ；（2）因为a ，b 为单位向量，所以1a = ，1b =，12a b -==2==，()f x a xb =-===，所以当12x =时，函数()f x a xb =-的最小值为2；选①：设AB 为圆O 的直径，点C 在圆上，证明：π2ACB ∠=.要证π2ACB ∠=，即证0AC BC ⋅= ，由AO BO =- ，AO OC = ，所以()()2AC BC AO OC BO OC AO BO AO OC OC BO OC ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+ 220AO AO OC OC AO OC =-+⋅-⋅+= ，故⊥ AC BC ，所以π2ACB ∠=，所以直径所对的圆周角是直角；选②：在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 为对角线，证明：222222AC BD AB DC AD BC+=+++ .根据条件作出图形，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB DC = ，AD BC = ，AC AB AD =+ ，所以()22222AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+ ，因为BD AD AB =- ，所以()22222BD AD AB AD AD AB AB =-=-⋅+ ，所以2222222222AC BD AB AD AB DC AD BC +=+=+++ ，即平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；选③：在ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AB ，AC 的中点，证明：AD ，CE ，BF 相交于一点.由题意作出图形，设AC a = ，BC b =，则AB CB CA b a =-=-+ ，12AD AC CD a b =+=- ，12BF BC CF b a =+=- ，设AD ，CE 相交于一点1G ，()101AG AD λλ=<< ，()101BG BF μμ=<< ，则11122AG AD a b a b λλλλ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭ ，11122BG BF b a b a μμμμ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭ ，又()1111122AG AB BG a b b a b a μμμμ⎛⎫=+=-+-=-+- ⎪⎝⎭，所以112112λμλμ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得23λ=，23μ=，所以123AG AD = ，再设AD ，BF 相交于一点2G ，同理可证得223AG AD = ，即1G ，2G 重合，即AD ，CE ，BF 相交于一点，所以三角形的三条中线交于一点.17.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2,2sin 3sin2c b A C ==.（1）求sin C ；（2）若ABC 的面积为372，求AB 边上的中线CD 的长.【答案】（1）4（2【解析】【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出结果；（2）利用三角形面积公式，及（1）的相关结论，再结合平面向量的四边形法则，利用向量的线性表示出CD ，最后利用求模公式即可求AB 边上的中线CD 的长.【小问1详解】因为2sin 3sin2A C =，所以2sin 6sin cos A C C =，所以26cos a c C =，即3cos a c C =，所以cos 3a C c=，由余弦定理及2c b =得：2222222243cos 222a b c a b b a b C ab ab ab+-+--===，又cos 36a a C c b==，所以222232926a b a a b ab b-=⇒=，即322a =，所以2cos 664b a C b b ===，所以sin 4C ===.【小问2详解】由24211sin 2ABC S ab C ab ===，所以ab =，由（1）2a b =，所以2,b a ==，因为CD 为AB 边上的中线，所以()12CD CA CB =+ ，所以()222124CD CA CB CA CB =++⋅ ()2212cos 4b a ab C =⨯++14182244⎛⎫=⨯++⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭7=，所以CD =所以AB 边上的中线CD 的长为：.18.（注意：本题若用向量解法将会适当扣分．．．．．．．．．．．．．．）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA PB =，DA DB ==，点E ，F 分别为AB 和PB 的中点，2AB =，1PD PE ==．（1）证明：CF PE ⊥；（2）求平面PAD 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）求直线CF 与平面PDE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）7（3）2【解析】【分析】（1）取PE 的中点H ，连接HD ，HF ，证明,,,H F C D 四点共面，再利用线线垂直证明PE ⊥平面DHFC ，即可证明CF PE ⊥；（2）取PD 的中点N ，连接AN ，BN ，得到AN PD ⊥，BN PD ⊥，进而得到ANB ∠为平面PAD 与平面PBD 所成的角，在ANB 中，利用余弦定理的推论即可求解；（3）取DC 上靠近C 的一个四等分点，连接HM ，证明//CF MH ，再证明DC ⊥平面PDE ，得到MHD ∠为直线CF 与平面PDE 所成的角，即可求解.【小问1详解】取PE 的中点H ，连接HD ，HF ，点E ，F 分别为AB 和PB 的中点，底面ABCD 是平行四边形，∴////HF AB DC ，111244HF EB AB DC ===，∴,,,H F C D 四点共面， DA DB ==，2AB =，∴ADB 为等腰直角三角形，∴1DE =， 1PD PE ==，∴PDE △为等边三角形，∴DH PE ⊥， PA PB =，E 为AB 的中点，∴PE AB ⊥，∴PE DC ⊥， DH DC D ⋂=，,DH DC ⊂平面DHFC ，∴PE ⊥平面DHFC ，CF⊂平面DHFC ，∴PE CF ⊥；【小问2详解】取PD 的中点N ，连接AN ，BN ，PA PB =，1PE=，2AB =，PE AB ⊥，∴PA PB ==，DA DB ==，1PD =，∴AN PD ⊥，BN PD ⊥，2AN BN ∴==，∴ANB ∠即为平面PAD 与平面PBD 所成的角，在ANB 中，222774144cos 2722AN BN AB ANB AN BN +-+-∠==-⋅⋅，∴sin 7ANB ∠==，∴平面PAD 与平面PBD所成角的正弦值为7；【小问3详解】取DC 上靠近C 的一个四等分点，连接HM ，由（1）知，////HF AB DC ，111244HF EB AB DC ===，∴//HF MC ，HF MC =，∴//CF MH ，∴直线MH 与平面PDE 所成的角即为直线CF 与平面PDE 所成的角， PA PB =，DA DB ==，E 为AB 的中点，∴PE AB ⊥，DE AB ⊥， PE DE E = ，,PE DE ⊂平面PDE ，∴AB ⊥平面PDE ，∴DC ⊥平面PDE ，∴MHD ∠为直线MH 与平面PDE 所成的角， 32DM =，2DH =，∴HM =，∴32sin 2DM MHD HM ∠===，∴直线CF 与平面PDE所成角的正弦值为2.19.凸多面体的顶点数V ，面数F ，棱数E 之间有很多有趣的性质．例如三棱锥的每个顶点处有3条棱，每条棱与2个顶点连接，故32V E =；三棱锥每个面有3条棱，相邻两个面之间有一条公共棱，故32F E =；凸多面体的欧拉公式：2V F E +-=等等．各个面都是全等的正多边形的凸几何体叫做正多面体．例如，四个面都是正三角形的三棱锥是正四面体，六个面都是正方形的四棱柱是正方体．由正多面体每个面的中心构成的几何体显然也是正多面体，把二者称为对偶正多面体．例如由正四面体四个面的中心构成正四面体，所以正四面体的对偶是本身．试根据以上信息解决以下问题．（1）若正四面体和正方体的表面积相等，试比较二者体积的大小；（2）足球表面是由12个正五边形和20个正六边形构成，求足球的棱数和顶点数．（3）试求正多面体的个数，并证明；（4）若所有正多面体的表面积都相等，求体积最大的正多面体是正多少面体？（给出结论即可）．【答案】（1）正方体的体积大于正四面体的体积（2）顶点数为60个，棱数为90.（3）证明见解析（4）结论见解析【解析】【分析】（1）设正四面体的棱长为a ，正方体的棱长为b ，其表面积都为S ，根据棱锥和棱柱的体积公式，分别求得正四面体和正方体的体积，即可得到答案.（2）假设足球由x 个正五边形和y 个正六边形构成，得到35,,52V x F x y E x y ==+=+，代入欧拉公式得到24x y -=，结合53x y =，求得,x y 的值，即可求解；（3）假设正多面体的每个面都是正n 边形，且每个顶点出发的棱数为m ，结合欧拉公式，化简得到1212m n +>，再由3,3m n ≥≥，结合列举法，即可求解；【小问1详解】解：设正四面体的棱长为a ，正方体的棱长为b ，其表面积都为S ，可得244a S ⨯=，且26b S =，解得a b ==，则正四面体的高为33h a ==，所以正四面体的体积为31136223431212V a a a =⨯⨯==正方体的体积为32V b ==，因为()321V =，()322216S V =，可得()()2212V V <，所以12V V <，即正方体的体积大于正四面体的体积.【小问2详解】解：假设足球由x 个正五边形（黑色）和y 个正六边形构成，可得35,,52V x F x y E x y ==+=+，代入欧拉公式得35()(5)22x x y x y ++-+=，即122x y -=，即24x y -=，另一方面，所有正五边形的边数之和为53x y =，联立方程组2453x y x y-=⎧⎨=⎩，解得12,20x y ==，所以足球的顶点数为60V =个，棱数为90E =.【小问3详解】解：假设正多面体的每个面都是正n 边形，且每个顶点出发的棱数为m ，可得2E nF mV ==，则22,E E V F m n ==，代入欧拉公式，可得222E E E m n +-=，即1212E m n +=+，所以1212m n +>，结合3,3m n ≥≥，可得,m n 至少一个是3，所以所有可能的正整数解(,)m n 为(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3)，即有正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体，共有5种.【小问4详解】解：若所有正多面体的表面积都相等，此时正二十面体的体积最大.。

高一数学第二学期期中考试试卷含答案

第二学期高一年级期中测试卷数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分为150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，四个选项中，只有一项符合要求） 1. 直线310x y +-=的倾斜角为( ) A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒2. 已知非零向量a ，b 满足：()1,1a =，1b =，()a b b -⊥，则向量a ，b 的夹角大小为（） A ．6π B ．4π C ．3πD ．2π3. 在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与“1件次品2件正品”互斥而不对立的事件是( )A ．3件正品B ．至少有一件正品C ．至少有一件次品D ．3件正品或2件次品1件正品4、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．400，40B ．200，10C ．400，80D ．200，205. 直线与平行，则的值等于( ) A ．-1或3 B ．1或3 C ．-3 D ．-16. 圆A :224210x y x y +--+=与圆B :222610x y x y ++++= 的位置关系是( ) A ．相交 B ．内切 C ．外切 D ．内含7. 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =（）A ．1233AD AB - B ．2133AD AB + C ．2133AD AB - D ．1233AD AB +8. 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1，点数之和大于5的概率记为p 2，点数之和为偶数的概率记为p 3，则（）A ．p 1＜p 2＜p 3B ．p 2＜p 1＜p 3C ．p 1＜p 3＜p 2D ．p 3＜p 1＜p 29. △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a.b.c ，若，则△ABC 为( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形10.如图，在ABC 中，45B =︒，D 是BC 边上一点，27,6,4AD AC DC ===，则AB 的长为( ) A ．2 B 、36 C ．33 D ．3211. 已知圆C 的圆心是直线10x y ++=与直线10x y --=的交点，直线3410x y +-=与圆C 相交于A ，B 两点，且=6AB ，则圆C 的方程为（）A ．22(1)10x y ++= B ．22(1)10x y ++= C ．221()10x y +-=D ．22(1)10x y +-=12. 在ABC ∆中，已知2224(a b c S S +-=为ABC ∆的面积)，若c 2=,则2a b -的取值范围是( ) A ．()0,2 B ．()1,0- C ．()1,2- D ．()2,2-第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知向量a ，b 满足|a | =1， |b | = 2，| a - 2b |=13 ，则a 与b 的夹角为______.14. 已知定点()0,4A -，点P 是圆224x y +=上的动点，则AP 的中点C 的轨迹方程__________．15. 如图，某建筑物的高度300BC m =，一架无人机Q 上的仪器观测到建筑物顶部C 的仰角为15︒，地面某处A 的俯角为45︒，且60BAC ∠=︒，则此无人机距离地面的高度PQ 为________m16．关于x 29(3)4x k x -=-+有两个不同的实数解时,实数k 的取值范围是_______三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2023-2024学年河北省石家庄二中高一下学期期中数学试题

2023-2024学年河北省石家庄二中高一下学期期中数学试题1.已知i是虚数单位，复数，则的虚部为（）A．1B．2C．i D．2.若为的边的中点，则（）A．B．C．D．3.在中，内角满足，则的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形4.下列命题中正确的是（）A．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥B．棱柱的面中，至少有两个面互相平行C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台D．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥5.当复数z满足时，则的最小值是（）A．3B．4C．5D．66.已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，满足，，PA为球O的直径，且，则点P到底面ABC的距离为（）A．4B．C．D．7.已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．8.已知的三个内角A、B、C满足，当的值最大时，的值为（）A．2B．1C．D．9.已知i为虚数单位，以下说法正确的是（）A．复数在复平面对应的点在第一象限B．若复数，满足，则C．为纯虚数，则实数D．复数z满足，则10.下列说法中正确的是（）A．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底B．若平面向量，，则在上的投影向量是C．两个非零向量，，若，则与垂直D．已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为11.已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（）A．的取值范围是B．若D是AC边上的一点，且，，则的面积的最大值为C．若三角形是锐角三角形，则的取值范围是D．若三角形是锐角三角形，BD平分交AC于点D，且，则的最小值为12.向量，，且，则________．13.如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB到达C点，则细绳的最短长度为________．14.已知点在所在的平面内，则下列各结论正确的个数是________．①若为的垂心，．则②若为边长为2的正三角形，则的最小值为③若，则动点的轨迹经的外心④若为的重心，过点的直线分别与、交于、两点，若，，则15.已知向量，满足，，．(1)求的值；(2)求向量与的夹角的余弦值．16.如图，正方体的棱长为，是的中点．(1)证明：平面；(2)设与交点为，求三棱锥的体积．17.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．(1)求角；(2)若，，求的周长．18.（1）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡角为的观礼台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部B的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一水平面上，若国歌播放的时间约为50秒，升旗手应以约多大的速度匀速升旗？（2）为绘制海底地貌图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得，，，，同时测得海里．求C，D之间的距离．19.如图，直角中，点M，N在斜边BC上（M，N异于B，C，且N在M，C之间）.（1）若AM是角A的平分线，，且，求三角形ABC的面积；（2）已知，，，设.①若，求MN的长；②求面积的最小值.。

2023-2024学年河北省石家庄市高一下册期中数学试题(含解析)

2023-2024学年河北省石家庄市高一下册期中数学试题一、单选题1．复数12i 55z =--的虚部为（）A ．2i5B ．2i5-C ．25D ．25-【正确答案】D【分析】根据复数虚部的定义即可得解.【详解】复数12i 55z =--的虚部为25-.故选：D.2．已知幂函数()y f x =的图象经过点，则13log (3)f 的值是（）A ．13-B ．1C ．13D ．-1【正确答案】A【分析】设()a f x x =，代入点的坐标求得a ，然后再计算函数值．【详解】()a f x x =，则由题意和13(3)33a f ===，13a =，∴1311133311log (3)log 3log 333f ===-．故选：A ．本题考查幂函数的定义，考查对数的运算，属于基础题．3．在ABC ∆中，sin sin A B =是ABC ∆为等腰三角形的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【详解】因为ABC ∆中，sin sin A B =，则A=B ，那么ABC ∆为等腰三角形，反之，不一定成立，故sin sin A B =是ABC ∆为等腰三角形的充分不必要条件，选A4．四边形ADEH 由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令EAD α=∠，FAD β∠=，则()tan βα-=（）A ．1B ．43C ．17D ．76【正确答案】C【分析】由正切函数的定义即可求得11tan ,tan 32αβ==，再根据正切的和差公式即可求解.【详解】依题意，设正方形的边长为1，根据正切函数的定义有：11tan ,tan 32αβ==，所以()11tan tan 123tan 111tan tan 7132βαβααβ---===++⨯.故选：C.5．如图是函数()H x 图像的一部分，设函数()cos f x x =，()1g x x =+，则()H x 可以表示为（）A ．()()f x g x +B ．()()f x g x -C ．()()⋅f x g xD ．()()f xg x 【正确答案】D【分析】根据图象特征取特值分析排除.【详解】由图象可得：()01H =，但()()10100f g =-=-，故B 不符合；()π0H <，但()()ππ1π1π0f g =-++=>+，故A 不符合；()2π1H <，但()()()12π21πππ2121f g =⨯+=+>，故C 不符合；故选：D.6．2023年3月25日，石家庄市第一中学科研综合楼建筑工地中的基坑己基本竣工，“基坑”是在基础设计位置按基底标高和基础平面尺寸所开挖的土坑.如图，某同学为测量深9m 基坑中塔吊的高度MN ，在塔吊的正北方向为星华楼，其高AB 约为17m ，在地面上点C 处（,,B C D 三点位于地平线处）测得星华楼顶部A 、塔吊项部M 的仰角分别为30︒和45︒，在A 处测得塔吊顶部M 的仰角为15︒，则塔吊的高度MN 约为（）A ．34mB ．43mC ．52mD ．74m【正确答案】B【分析】在Rt ABC △中，求出AC ，在ACM △中，利用正弦定理求出MC ，再在Rt MCD △中，求出MD 即可.【详解】由题意，在Rt ABC △中，30,17ACB AB ∠=︒=，则34AC =，在ACM △中，105,45ACM CAM ∠=︒∠=︒，则30AMC ∠=︒，因为sin sin AC MCAMN CAM=∠∠，所以34212MC ==在Rt MCD △中，45MCD ∠=︒，则sin 342MD MC MCD =⋅∠==，所以43m MN MD DN =+=.故选：B.7．如图在ABC 中，90ABC ∠=︒，F 为AB 中点，3CE =，8CB =，12AB =，则EA EB ⋅=（）A ．15-B ．13-C ．13D ．15【正确答案】C【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积；【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则(12,0)A ，(0,0)B ，(0,8)C ，(6,0)F ，又3CE =，8CB =，12AB =，则10CF ，即310CE FC =，即710FE FC =，则()()9286,67710100,8,55BE BF FC ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭，则,552851EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，928,55EB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，则25281355951EA EB ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选：C ．8．已知锐角ABC 的内角,,A B C的对边分别为,,a b c ，若a 223b c bc +-=，则ABC 面积的取值范围是（）A ．⎝⎦B ．⎝⎭C ．⎝⎭D ．⎝⎦【正确答案】A【分析】结合式子223b c bc +-=的特点，联系余弦定理，以及a =ABC的面积，sin(2)264ABC S B π=-+，结合三角函数的图像求出范围.【详解】由于a =，223b c bc +-=，2221cos 22b c a A bc +-==，且(0,)A π∈，所以3A π=，那么外接圆半径为112=，2121sin 2sin 2sin()(cos sin )243223311sin cos sin 2cos 2)2422122))26ABC S bc A B B B B B B B B B B B B B ππ==⋅⋅-=+=+=+-=-+-+ 由于02262032B B B πππππ⎧<<⎪⎪⇒<<⎨⎪<-<⎪⎩，所以52666B πππ<-<，1sin(2126B π<-≤，故24ABC S <≤△.故选：A.二、多选题9．已知i 是虚数单位，则下列说法正确的有（）A ．3i i=-B ．“0a =”是“复数i(,R)a b a b +∈是纯虚数”的必要不充分条件C ．若复数i(R)z a a =+∈，且||2z =，则a =D ．若复数z 满足232i z z +=-，则复数12z i =-【正确答案】ABD【分析】根据虚数单位的幂的性质运算可得A 正确；根据纯虚数的定义，结合充分、必要条件的概念可判定B 正确；利用复数的模的计算公式求解，可判定C 错误；根据共轭复数的概念和复数相等的条件可以求解，得到D 正确.【详解】32i i i i =⋅=-,故A 正确；当0a =时，若0b =复数i=0a b +是实数，不是虚数，更不是纯虚数，故充分性不成立；当i(,R)a b a b +∈是纯虚数，则0a =且0b ≠，故必要性成立，所以B 正确；复数i(R)z a a =+∈，且||2z ==，则a =，故C 错误；设i(,R)z a b a b =+∈，则i z a b =-，所以由232i z z +=-得()2i i 3i 32i a b a b a b ++-=+=-，∴1,2a b ==-，则复数12z i =-，故D 正确.故选：ABD10．已知2()sin 22cos 1f x x x =+-，下列结论错误的是（）A ．函数()f x 在区间3ππ,88⎡⎤-⎢⎣⎦上是减函数B ．点3π,08⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C ．函数()f x的图象可以由函数2y x =的图象向左平移π4个单位长度得到D ．若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的值域为⎡-⎣【正确答案】BD【分析】根据降幂公式及辅助角公式化简()f x 的解析式，再根据三角函数单调性、对称性、三角函数图象变换、值域逐一分析判断即可.【详解】2()sin 22cos o πsin 2c s 2241f x x x x x x ⎛⎫=++ ⎪=+-⎝⎭，对于A ，3πππππ288242x x -≤≤⇒-≤+≤，所以()f x 在区间3ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，A 错误；对于B ，因为3π3ππsin sin π0844f ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点3π,08⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心，B 正确；对于C ，2y x =的图象向左平移π4个单位长度得到：()ππ22242y x x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，C 选项错误；对于D ，由πππ5π0,2,2444x x ⎡⎤⎡⎤∈⇒+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则()ππsin 2,2424x f x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡+∈=+∈-⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎝⎭⎝⎭⎣⎦，D 选项正确.故选：BD.11．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S 现有△ABC 满足sin :sin :sin 2:3:A B C =，且ABC S =△，请判断下列命题正确的是（）A ．△ABC 周长为5B ．3C π=C ．△ABC 的外接圆半径为3D ．△ABC 中线CD 的长为2【正确答案】BC【分析】由题设及正弦定理得::2:a b c =a 、b 、c 判断A 的正误；应用余弦定理求角C ，正弦定理求外接圆的半径，作DE AC ⊥应用勾股定理求CD .【详解】由题设及正弦定理知：::2:a b c =2,3,a x b x c ===且0x >，26S ==2x =，所以4,6,a b c ===ABC 周长为10+A 错误；2221cos 22a b c C ab +-==，又0C π<<，则3C π=，B 正确；△ABC 的外接圆半径为2sin c R C ==C 正确；如下图，过D 作DE AC ⊥，由题设知：162ADC S DE ==⨯⋅ ，则DE =又2cAD =，可得2AE =，故4CE =，所以CD ==D 错误.故选：BC12．已知函数()()2ln 1,143,1x x f x x x x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 在[]0,2上单调递减B ．函数()f x 的值域是[)1,-+∞C ．若方程()f x a =有5个解，则a 的取值范围为()0,3D ．若函数()f x a -有3个不同的零点()123123,,x x x x x x <<，则12311x x x ++的取值范围为(),3-∞-【正确答案】BCD【分析】AB 选项，画出()f x 的图象，数形结合得到函数的单调性和值域，得到A 错误，B 正确；C 选项，方程()f x a =有5个解，转化为()y f x =与y a =有5个交点，数形结合得到a 的取值范围；D 选项，由零点个数得到14x <-，由对数函数的性质得到()23230x x x x -+=，从而求出12311x x x ++的取值范围.【详解】()()()()222ln 1,2ln 1,12ln 1,143,143,0143,0x x x x x x f x x x x x x x x x x ⎧-≥⎪⎧--<<->⎪⎪==⎨⎨-+≤-+<≤⎪⎪⎩⎪++≤⎩，画出()f x 的图象，如下：A 选项，函数()f x 在[]0,1和(]1,2上单调递减，不能说在[]0,2上单调递减，A 错误；B 选项，函数()f x 在2x =-处取得最小值为1-，故值域是[)1,-+∞，B 正确；C 选项，若方程()f x a =有5个解，则要满足()y f x =与y a =有5个交点，故0<<3a ，所以a 的取值范围为()0,3，C 正确；D 选项，若函数()f x a -有3个不同的零点()123123,,x x x x x x <<，则()3,a ∈+∞，令211433x x ++>，解得：14x <-，又()()23ln 1ln 1x x --=-，因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，解得：32111x x =--，即()23230x x x x -+=，()231112323111,3x x x x x x x x x ++-=++∈∞+-=，故12311x x x ++的取值范围为(),3-∞-.故选：BCD 方法点睛：函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.三、填空题13．已知tan 3α=，则cos cos()22sin πααπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=______.【正确答案】13【分析】先根据诱导公式化简，再弦化切，即可求解.【详解】解：因为tan 3α=，所以cos cos()sin cos tan 1122sin 2sin 2tan 3πααπαααααα⎛⎫-++ ⎪--⎝⎭===，故1314．已知△ABC 是边长为3的正三角形，则AB BC ⋅=______．【正确答案】92-/ 4.5-【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.【详解】()2AB BC AB AC AB AB AC AB⋅=⋅-=⋅- 299cos 60922AB AB AC =⋅⋅︒-=-=- .故92-15．已知复数z 满足(2i)34i z +=+（i 为虚数单位），则z =______．【分析】根据复数的除法运算和模的定义求解.【详解】由(2i)34i z +=+得()()()()34i 2i 34i 105i2i 2i 2i 2i 5z +-++====+++-，所以z =故答案为:16．如图，ABC 中点,D E 是线段BC 上两个动点，且AD AE xAB y AC +=+ ，则9x yxy+的最小值为______．【正确答案】8【分析】设AD mAB nAC =+uuu r uu u r uuu r ，AE AB AC λμ=+ ，由B ，D ，E ，C 共线可得2x y +=，再利用乘“1”法求解最值.【详解】设AD mAB nAC =+uuu r uu u r uuu r ，AE AB AC λμ=+ ，B ，D ，E ，C 共线，1m n ∴+=，1λμ+=．AD AE xAB y AC +=+，则2x y +=，点D ，E 是线段BC 上两个动点，0x ∴>，0y >．∴991191191()()(10)(1028222x y y x x y xy x y x y x y +=+=++=+++则9x y xy+的最小值为8．故8．由向量共线定理的推论得到2x y +=是解题关键，乘“1”法求解最值是基本不等式求最值的常用方法..四、解答题17．已知复数()22341i z a a a =+-+-，其中i 为虚数单位，a ∈R .(1)若z 为纯虚数，求a 的值；(2)若z 在复平面内对应的点在第二象限，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)4-(2)(4-，1)-【分析】（1）根据纯虚数的定义列方程组求解；（2）利用复数对应点所在的象限得到复数的实部和虚部的正负，得到不等式组求解即可.【详解】（1）由()22341i z a a a =+-+-是纯虚数，可得2234010a a a ⎧+-=⎨-≠⎩，解得4a =-.（2）由已知得2234010a a a ⎧+-<⎨->⎩，解得41a -<<-，实数a 的取值范围是(4-，1)-.18．已知向量,a b 满足||1,||2a b == .(1)若||a b +=，求|23|a b - 的值；(2)若()0a a b ⋅-= ，求,a b 的夹角.【正确答案】(1)(2)π3【分析】（1）将条件平方后，利用向量的数量积的运算求得向量,a b 的数量积，进而求得223a b - ，从而得到|23|a b - 的值；（2）根据条件利用向量的数量积的运算求得1cos ,2a b =，进而得解.【详解】（1）由||a b += 两边平方得2225a b a b ++⋅= ，又||1,||2a b == ，代入得0a b ⋅= ，所以222234912a b a b a b -=+-⋅ 4194040=⨯+⨯-=，所以|23|a b -= （2）2()cos ,12cos ,0a a b a a b a b a b ⋅-=-⋅=-= ，∴1cos ,2a b =，又∵[],0,π∈ a b ，∴π,3a b = .19．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量(1,)m a = ，(,cos cos )n a b C c B =+ ，且m n ∥.(1)求a ；(2)若π,3A ABC = ABC 的周长.【正确答案】(1)1(2)3【分析】(1)根据向量平行，再结合正弦定理，即可求出a.(2)先根据面积公式求出1bc =，再结合余弦定理，即可求解.【详解】（1）解：因为m n ∥，所以2cos cos b C c B a +=，根据正弦定理得，sin cos sin cos sin B C C B a A +=,即()sin sin B C a A +=，即sin sin A a A =,又()0,π,sin 0A A ∈≠，所以1a =.（2）1πsin 234ABC S bc == ,所以1bc =根据余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-,即()()2222133b c bc b c bc b c =+-=+-=+-，所以2b c +=，所以ABC 的周长为3a b c ++=.20．某企业新研发了一款产品，通过对这款产品的销售情况调查发现：该产品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格()R x （单位：元）与时间x （单位：天）的函数关系近似满足10()10R x x =+，该产品的日销售量()P x （单位：个）与时间x 部分数据如下表所示：x51015202530()P x 105110115120115110(1)现提供两种函数模型：①()e bx P x a =；②()20P x a x b =-+，请你根据上表中的数据特征，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该产品的日销售量()P x 与时间x 的函数关系，并求出该函数的解析式；(2)求该产品的日销售总收入()()*130,Q x x x ≤≤∈N （单位：元）的最小值.（注：日销售总收入=日销售价格⨯日销售量）【正确答案】(1)()20P x a x b =-+，()*()2012130,0P x x x x =-+≤≤∈-N (2)34103元【分析】（1）根据表格数据，()P x 的函数值关于20x =对称，故选择()20P x a x b =-+合适，代入值求出参数a 、b 的值，即可得解；（2）首先求出()Q x 的解析式，再分*120,N x x ≤≤∈、*2030,N x x <≤∈两种情况讨论，利用基本不等式及函数的单调性求出函数的最小值.【详解】（1）解：根据表格数据，()P x 的函数值关于20x =对称，故选择()20P x a x b =-+合适，又(5)52015105P a b a b =-+=+=，(10)102010110P a b a b =-+=+=，解得1,120a b =-=，故()20120P x x =--+，验证均满足，所以()*()2012130,0P x x x x =-+≤≤∈-N .（2）解：()10()()()(1020120Q x P x R x x x=⋅=+⋅--+**1000101010,120,N 1400101390,2030,N x x x x x x x x ⎧++≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-++<≤∈⎪⎩，当*120,N x x ≤≤∈时，1000()10101010101210Q x x x =++=≥，当且仅当100010x x=，即10x =时等号成立；当*2030,N x x <≤∈时，140010139()0Q x x x -++=在(]20,30上单调递减，故最小值为14003410300139030(30)3Q -++==.综上所述：当30x =时，()Q x 有最小值为34103元.21．已知函数211()sin cos 1)cos cos 222f x x x x x =⋅---.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)将函数()f x 的图象上每一点的横坐标伸长原来的两倍，纵坐标保持不变，得到函数()g x 的图象，若方程()02m g x +=在[0,π]x ∈上有两个不相等的实数解12,x x ，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.(2)(2,m ∈-【分析】(1)利用三角恒等变换化简()f x 的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，求得()f x 的单调增区间；(2)由函数()sin y A ωx φ=+的图像伸缩变换求得()g x 的解析式，再利用正弦函数化简，求出m 的取值范围.【详解】（1）())21sin cos sin 21cos 222f x x x x x x =⋅=-+1πsin 22sin 222232x x x ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭因此()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，Z k ∈，解得()f x 的单调递增区间为：π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.（2）由题意得()π3sin 32g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则方程()302m g x ++=可化简为π33πsin sin 032232m m x x +⎛⎫⎛⎫--+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即πsin 32m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令π3t x =-，[]0,πx ∈ ，则π2π,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，设sin y t =，由图像可知，方程()302m g x ++=在[]0,πx ∈上要有两个不相等的实数解1x ，2x 3122m ⇔≤-<即23m -<≤-,即(2,3m ∈-22．已知定义在R 上的奇函数12()2x x m f x n+-+=+，（其中,m n 为常数）.(1)求实数,m n 的值；(2)求不等式()1()04f f x f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的解集.【正确答案】(1)1m =，2n =(2)()2,log 3-∞【分析】（1）根据函数是定义在R 上的奇函数，可得()00f =，()()11f f -=-，即可得解；（2）先利用定义法判断函数的单调性，再根据函数的奇偶性及单调性解不等式即可.【详解】（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，即102m n-+=+，所以1m =，经检验符合题意，故121()2x x f x n+-+=+，由()()11f f -=-，得1121214n n-+-+=-++，解得2n =，经检验，符合题意，所以1m =，2n =；（2）由（1）得12111()22221x x x f x +-+==-+++，令12x x <，则()()()()12211221112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++，因为12x x <，所以12120,10,102222x x x x -<+>+>，所以()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以函数()f x 在R 上为减函数，由函数为奇函数，得不等式()1()04f f x f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即为()1()4f f x f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，所以()14f x >-，即1211224x x +-+>-+，整理得23x <，所以2log 3x <，所以不等式()1()04f f x f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的解集为()2,log 3-∞.关键点点睛：根据函数为奇函数，将不等式()1()04f f x f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭转化为()1()4f f x f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭是解决本题的关键.。

安徽省合肥市高一下学期期中考试数学试题(解析版)

一、单选题1．若复数为纯虚数，则实数的值为（）()242i z a a =-+-a A ．2 B ．2或 C ． D ．2-2-4-【答案】C【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式计算作答.【详解】因为复数为纯虚数，则有，解得，()242i z a a =-+-24020a a ⎧-=⎨-≠⎩2a =-所以实数的值为. a 2-故选：C2．在中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且，则的形状为ABC A 2cos c a B =ABC A （） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形【答案】A【分析】已知条件用正弦定理边化角，由展开后化简得，可得出等()sin sin C A B =+tan tan A B =腰三角形的结论.【详解】，由正弦定理，得， 2cos c a B =()sin sin 2sin cos C A B A B =+=即 sin cos cos sin 2sin cos ,A B A B A B +=∴，可得， sin cos cos sin A B A B =tan tan A B =又，∴， 0π,0πA B <<<<A B =则的形状为等腰三角形. ABC A 故选：A.3．某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（） 120︒A ．BC ．D 【答案】D【分析】求出扇形的弧长，进而求出圆锥的底面半径，由勾股定理得到圆锥的高，利用圆锥体积公式求解即可.【详解】因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形， 120︒所以该扇形的弧长为， 120π32π180⨯=设圆锥的底面半径为，则，解得：，r 2π2πr =1r =因为圆锥的母线长为3，所以圆锥的高为 h =该圆锥的体积为.2211ππ133r h =⨯⨯=故选：D4．中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知，B 的大ABC A π4A =a =b =小为（） A ．B ．C ．或 D ．或π6π3π65π6π32π3【答案】D【分析】根据正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin sin a B b A B B =⇒==由于,，所以或, ()0,πB ∈b a >B =π32π3故选：D5．设点P 为内一点，且，则（） ABC ∆220PA PB PC ++=:ABP ABC S S ∆∆=A ．B ．C ．D ．15251413【答案】A【分析】设AB 的中点是点D ，由题得，所以点P 是CD 上靠近点D 的五等分点，即14PD PC =- 得解.【详解】设AB 的中点是点D ，∵，122PA PB PD PC +==- ∴，14PD PC =- ∴点P 是CD 上靠近点D 的五等分点，∴的面积为的面积的.ABP ∆ABC ∆15故选：A【点睛】本题主要考查向量的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．如图，在长方体中，已知，，E 为的中点，则异面直1111ABCD A B C D -2AB BC ==15AA =11B C 线BD 与CE 所成角的余弦值为（）A B C D 【答案】C【分析】根据异面直线所成角的定义，利用几何法找到所成角，结合余弦定理即可求解.【详解】取的中点F ，连接EF ，CF ，，易知，所以为异面直线BD 11C D 11B D 11EF B D BD ∥∥CEF ∠与CE 所成的角或其补角.因为1112EF B D ==CE CF ====余弦定理得. 222cos 2EF EC CF CEF EF EC +-∠====⋅故选：C7．在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相ABCD A B C D -''''等、高为1的“刍童”，其中，“刍童”外接球的表面积为22AB A B ''==2BC B C ''==（）A ．B ．C D ．20π20π3【答案】A【分析】根据刍童的几何性可知外接球的球心在四棱台上下底面中心连线上，设球心为O ，根据几何关系求出外接球半径即可求其表面积．【详解】如图，连接AC 、BD 、、，设AC ∩BD ＝M ，∩＝N ，连接MN ．A C ''B D ''AC ''BD ''∵棱台侧棱相等，∴易知其外接球球心在线段MN 所在直线上，设外接球球心为ABCD A B C D -''''O ，如图当球心在线段MN 延长线上时，易得，MC ＝2，，， 4AC ===2A C ''===1NC '=MN ＝1，由得，，即OC OC '=2222NC ON OM MC '+=+，()()2222141141OM MN OM OM OM OM ++=+⇒++=+⇒=故OC ＝ OC ==∴外接球表面积为．24π20π⋅=如图当球心在线段MN 上时，由得，，即OC OC '=2222NC ON OM MC '+=+舍去，()()2222141141MN OM OM OM OM OM +-=+⇒+-=+⇒=-故选：A【点睛】关键点睛：利用刍童的几何性确定外接球的球心是解题的关键.8．如图，直角的斜边长为2，，且点分别在轴，轴正半轴上滑动，点ABC ∆BC 30C ∠=︒,B C x y 在线段的右上方．设，（），记，，分别考A BC OA xOB yOC =+ ,x y ∈R M OA OC =⋅N x y =+查的所有运算结果，则,M NA ．有最小值，有最大值B ．有最大值，有最小值 M N M NC ．有最大值，有最大值D ．有最小值，有最小值M N M N 【答案】B【分析】设，用表示出，根据的取值范围，利用三角函数恒等变换化简OCB α∠=α,M N α,M N ，进而求得最值的情况.,M N【详解】依题意，所以.设，则30,2,90BCA BC A ∠==∠= 1AC AB ==OCB α∠=，所以，，所30,090ABx αα∠=+<< ()())30,sin 30Aαα++ ()()2sin ,0,0,2cos B C αα以，当时，取得最大值()()12cos sin 30sin 2302M OA OC ααα==+=++⋅23090,30αα+== M 为. 13122+=，所以，所以OA xOB yOC =+ ()sin 302cos x y αα+==时，有最小值为()sin 302cos N x y αα+=+=+1=290,45αα== N故选B. 1+【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.二、多选题 9．下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（） 21iz =-A ．z 的虚部为1 B ． 22i z =C ．z 的共轭复数为 D ．1i -+2z =【答案】AB【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可结合选项逐一求解.【详解】,故虚部为1，共轭复数为， ()()()21i 21i 1i 1i 1i z +===+--+1i -=，故AB 正确，CD 错误， ()221i 2i z =+=故选：AB10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（）ABCDEFA ．B ．AC AE BF -= 32AE AC AD += C ． D ．在上的投影向量为AF AB CB CD ⋅=⋅ AD AB AB 【答案】BCD【分析】对A ，利用向量的减法和相反向量即可判断；对B ，根据向量的加法平行四边形法则即可判断；对C ，利用平面向量的数量积运算即可判断；对D ，利用向量的几何意义的知识即可判断．【详解】连接，与交于点，如图所示，,,,,,AE AC AD BF BD CE CE AD H 对于A ：，显然由图可得与为相反向量，故A 错误；AC AE AC EA EC -=+= EC BF对于B ：由图易得，直线平分角，且为正三角形，根据平行四边形法AE AC =AD EAC ∠ACE △则有，与共线且同方向， 2AC AE AH += AH AD易知，均为含角的直角三角形， EDH A AEH △π6，即， 3AH DH = 所以， 34AD AH DH DH DH DH =+=+= 又因为，故，26AH DH =232AH AD = 故，故B 正确；32AE AC AD +=对于C ：设正六边形的边长为，ABCDEF a 则，， 22π1cos 32AF AB AF AB a ⋅=⋅=- 22π1cos 32CB CD CB CD a ⋅=⋅=-所以，故C 正确； AF AB CB CD ⋅=⋅对于D ：易知，则在上的投影向量为，故D 正确， π2ABD ∠=AD AB AB故选：BCD ．11．有一个三棱锥，其中一个面为边长为2的正三角形，有两个面为等腰直角三角形，则该几何体的体积可能是（）A B C D 【答案】BCD【分析】分三种情况讨论，作出图形，确定三棱锥中每条棱的长度，即可求出其体积. 【详解】如图所示：①若平面，为边长为2的正三角形，，，都是等腰直角三AB ⊥BCD BCD △2AB =ABD △ABC A角形，满足题目条件，故其体积；11222sin 6032V =⨯⨯⨯⨯⨯︒=②若平面，为边长为2的正三角形，,，都是等腰直角三AB ⊥BCD ACD A AB ABD △ABC A角形，满足题目条件，故其体积1132V ==③若为边长为2的正三角形，，都是等腰直角三角形，BCD △ABD △ABC A，中点，因为，而2AB BC CD AD ====AC =AC E BE AC ⊥，所以，即有平面，故其体积为222DE B D E B +=BE DE ⊥BE ⊥ACD 112232V =⨯⨯=；故选：BCD12．如图，已知的内接四边形中，，，，下列说法正确的O A ABCD 2AB =6BC =4AD CD ==是（）A ．四边形的面积为BABCD C ．D ．过作交于点，则4BO CD ⋅=-D DF BC ⊥BC F 10DO DF ⋅=【答案】BCD【分析】A 选项，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出，，进而求出1cos 7D =-1cos 7B =，利用面积公式进行求解；B 选项，在A 选项基础上，由正弦定理求出外接圆直径；Csin ,sin B D 选项，作出辅助线，利用数量积的几何意义进行求解；D 选项，结合A 选项和C 选项中的结论，先求出∠DOF 的正弦与余弦值，再利用向量数量积公式进行计算.【详解】对于A ，连接，在中，，，AC ACD A 21616cos 32AC D +-=2436cos 24AC B +-=由于，所以，故，πB D +=cos cos 0B D +=22324003224AC AC --+=解得，22567AC =所以，，所以1cos 7D =-1cos 7B=sinsin B D ===故 11sin 2622ABCS AB BC B =⋅=⨯⨯=A 11sin 4422ADC S AD DC D=⋅=⨯⨯=A 故四边形，故A 错误；ABCD+=对于B ，设外接圆半径为，则 R 2sin AC R B ===B 正确；对于C ，连接，过点O 作OG ⊥CD 于点F ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，则由垂径定理得：BD ，122CG CD ==由于，所以，即，πA C +=cos cos 0A C +=22416163601648BD BD +-+-+=解得，所以，所以，且，BD =1cos 2C =π3C =1cos 632CE BC C =⋅=⨯=所以，即在向量上的投影长为1，且与反向，321EF =-= BO CD EG CD故，故C 正确； 4BO CD EG CD ⋅=-⋅=-对于D ，由C 选项可知：，故， π3C =sin 604DF CD =⋅︒== 30CDF ∠=︒因为，由对称性可知：DO 为∠ADC 的平分线，故，AD CD =1302ODF ADC ∠=∠-︒由A 选项可知：，显然为锐角，1cos 7ADC ∠=-12ADC ∠故 1cos 2ADC ∠==1sin 2ADC ∠==所以1cos cos 302ODF ADC ⎛⎫∠=∠-︒ ⎪⎝⎭11cos cos30sin sin 3022ADC ADC =∠⋅︒+∠⋅︒=所以，故D 正确.cos 10DO DF DO ODF DF ∠==⋅=⋅故选：BCD三、填空题13．已知向量，，若，则________．()2,4a =r (),3b m = a b ⊥m =【答案】6-【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可； 0a b ⋅=【详解】因为，且，()2,4a =r (),3b m = a b ⊥所以，解得.2430a b m ⋅=⨯+⨯=6m =-故答案为：6-14．若复数所对应复平面内的点在第二象限，则实数的取值范围为________； ()16z m i i =++m 【答案】60m -<<【分析】先化成复数代数形式得点坐标，再根据条件列不等式解得实数的取值范围.m 【详解】因为对应复平面内的点为，又复数所对应复平面()6z m m i =++6m m +，()16z m i i =++内的点在第二象限，所以 06060m m m <⎧∴-<<⎨+>⎩【点睛】本题重点考查复数的概念，属于基本题.复数的实部为、虚部为、模为(,)a bi a b R +∈a b、对应点为、共轭为(,)a b .-a bi 15．已知，是边AB 上一定点，满足，且对于AB 上任一点P ，恒有ABC A 0P 014P B AB =．若，，则的面积为________．00PB PC P B P C ⋅≥⋅ π3A =4AC = ABC A【答案】【分析】建立直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算公式，结合二次函数的性质、三角形面积公式进行求解即可.【详解】以所在的直线为横轴，以线段的中垂线为纵轴建立如图所示的直角坐标系，AB AB设，，，因为，所以， ()40AB t t =>()2,0A t -()2,0B t 014P B AB =()0,0P t设，，(),C a b ()(),022P x t x t -≤≤，()()()()002,0,,,,0,,PB t x PC a x b P B t P C a t b =-=-==-由，()()()()2200220PB PC P B P C t x a x t a t x x a t at t ⋅≥⋅⇒--≥-⇒-+++≥设，该二次函数的对称轴为：， ()()222f x x x a t at =-++22a tx +=当时，即， 222a tx t +=<-6a t <-则有，所以无实数解，()()222042203f t t t a t at t a t -≥⇒++++≥⇒≥-当时，即， 222a tx t +=>2a t >则有，所以无实数解，()()22204220f t t t a t at t a t ≥⇒-+++≥⇒≤当时，即， 2222a tt t +-≤≤62t a t -≤≤则有，而，所以，()()2222400a t at t a ∆=-+-+≤⇒≤⎡⎤⎣⎦20a ≥0a =显然此时在纵轴，而，所以该三角形为等边三角形，()0,C bπ3A =故的面积为ABCA 1442⨯⨯=故答案为：【点睛】关键点睛：建立合适的直角坐标系，利用二次函数对称轴与区间的位置关系关系分类讨论是解题的关键.16．我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异．意思是：夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，若截面积相等，则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是：夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为k ，则两个几何体的体积比也为k ．已知线段AB 长为4，直线l 过点A 且与AB 垂直，以B 为圆心，以1为半径的圆绕l 旋转一周，得到环体；以A ，B 分别为上M 下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体N ；过AB 且与l 垂直的平面为，平面，且距β//αβ离为h ，若平面截圆柱体N 所得截面面积为，平面截环体所得截面面积为，我们可以α1S αM 2S 求出的比值，进而求出环体体积为________． 12S S M【答案】28π【分析】画出示意图的截面，结合图形可得和的值，进而求出圆柱的体积，乘以，可得环1S 2S 2π体的体积，得到答案.M 【详解】画出示意图，可得，14S ==222ππS r r=-外内其中，，(224r =外(224r=内故，即， 21π2πS S ==1212πS S =环体体积为.M 22π2π4π8πV =⨯=柱故答案为：28π四、解答题17．如图所示，在中D 、F 分别是BC 、AC 的中点，，，．ABC A 23AE AD = AB a =AC b =(1)用，表示向量，； a bAD BF (2)求证：B ，E ，F 三点共线．【答案】(1)，()12AD a b =+ 12BF b a =-(2)证明见解析【分析】（1）由向量的线性运算法则求解；（2）用，表示向量、，证明它们共线即可得证．a bBF BE【详解】（1）∵，，D ，F 分别是BC ，AC 的中点， AB a =AC b = ∴，()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB a b =+=+=+-=+ ，12BF AF AB b a =-=- （2）由（1），，∴1233BE b a =- 12BF b a =-1312322332BF b a b a BE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∴与共线，又∵与有公共点B ，BF BE BF BE故B ，E ，F 三点共线．18．在中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且． ABC A 222a b c +=+(1)求C ； (2)若，求A ． tan 2tan B a cC c-=【答案】(1) 45C =︒(2) 75A =︒【分析】（1）由余弦定理即可求解，（2）利用正弦定理边角互化，结合两角和的正弦公式即可得，进而可求解. 60B =︒【详解】（1）∵，∴，∴， 222a b c +=2222a b c ab +-=cos C =由于C 是三角形内角，∴． 45C =︒（2）由正弦定理可得， tan 22sin sin tan sin B a c A CC c C--==∴sin cos 2sin sin cos sin sin B C A CB C C-=∴，∴， sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=∴，∴． ()sin 2sin cos B C A B +=sin(π)sin 2sin cos A A A B ==-∵，∴， sin 0A ≠1cos 2B =由于B 是三角形内角，∴，则．60B =︒180456075A ︒-︒-︒==︒19．如图，数轴的交点为，夹角为，与轴､轴正向同向的单位向量分别是.由平面,x y O θx y 21,e e向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，OP(),x y 12OP xe ye =+ 我们把叫做点在斜坐标系中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标）.(),x y P xOy xOy(1)若为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标；90,OP θ=OP 1e120 P(2)若，点的坐标为，求向量与的夹角的余弦值.45θ= P (OP 1e【答案】(1) 1,2⎛- ⎝【分析】（1）时，坐标系为平面直角坐标系，设点利用求出，再90θ=xOy (),P x y 112⋅=- OP e x 利用模长公式计算可得答案；（2）根据向量的模长公式计算可得答案.， 12==OP e e 1⋅ OP e 【详解】（1）当时，坐标系为平面直角坐标系，90θ= xOy 设点，则有，而，(),P x y (),OP x y =u u u r()111,0,e OP e x =⋅=又，所以，又因， 111cos1202OP e OP e ⋅=⋅⋅=-12x =-1OP ==解得的坐标是； y =P 1,2⎛- ⎝（2）依题意夹角为， 21,e e 12121245,cos45⋅=⋅==e e e e OP e e12OP e e ∴====，()2111121121cos ,2OP e OP e OP e e e e e e e αα⋅=⋅⋅=⋅=+⋅=+⋅=2,cos αα==20．如图所示，在四棱锥中，平面，，E 是的中点． P ABCD -//BC PAD 12BC AD =PD（1）求证：；//BC AD（2）若M 是线段上一动点，则线段上是否存在点N ，使平面？说明理由． CE AD //MN PAB 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析. 【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明；（2）取中点N ，连接，，根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明． AD CN EN 【详解】证明：（1）在四棱锥中，平面，平面， P ABCD -//BC PAD BC ⊂ABCD 平面平面， ABCD ⋂PAD AD =∴，//BC AD （2）线段存在点N ，使得平面，理由如下：AD //MN PAB取中点N ，连接，， AD CN EN ∵E ，N 分别为，的中点， PD AD ∴，//EN PA ∵平面，平面， EN ⊄PAB PA ⊂PAB ∴平面，//EN PAB 取AP 中点F,连结EF,BF ，，且， //EF AN =EF AN 因为，， //BC AD 12BC AD =所以，且， //BC EF =BC EF 所以四边形BCEF 为平行四边形，所以.//CE BF 又面PAB ，面PAB ，所以平面； CE ⊄BF ⊂//CE PAB 又， CE EN E = ∴平面平面，//CEN PAB ∵M 是上的动点，平面， CE MN ⊂CEN ∴平面PAB ，//MN ∴线段存在点N ，使得MN ∥平面．AD PAB21．合肥一中云上农舍有三处苗圃，分别位于图中的三个顶点，已知,ABC A AB AC ==．为了解决三个苗圃的灌溉问题，现要在区域内（不包括边界）且与B ,C 等距的40m BC =ABC A一点O 处建立一个蓄水池，并铺设管道OA 、OB 、OC ．(1)设，记铺设的管道总长度为，请将y 表示为的函数； OBC θ∠=m y θ(2)当管道总长取最小值时，求的值． θ【答案】(1)()202sin π200cos 4y θθθ-⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭(2) π6θ=【分析】（1）根据锐角三角函数即可表示，，进而可求解， 20cos BO θ=20sin cos OD θθ=（2）利用，结合三角函数的最值可得. 2sin cos k θθ-=k【详解】（1）由于,在的垂直平分线上， AB AC ==,OB OC O =∴BC AD 若设，则, ∴ OBC θ∠=20cos BO θ=20sin cos OD θθ=20sin 20cos OA θθ=-则；()202sin 202020tan 2200cos cos 4y θπθθθθ-⎛⎫=-+⨯=+<< ⎪⎝⎭（2）令得 2sin cos k θθ-=2cos sin k θθ=+≤故，又，故23k ≥0k >k ≥min 2020y =+此时：得2sin cos θθ-=πsin 2sin 23θθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭πsin 13θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又，故,故π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ32θ+=π6θ=22．数学史上著名的波尔约-格维也纳定理：任意两个面积相等的多边形，它们可以通过相互拼接得到．它由法卡斯·波尔约（FarksBolyai ）和保罗·格维也纳（PaulGerwien ）两位数学家分别在1833年和1835年给出证明．现在我们来尝试用平面图形拼接空间图形，使它们的全面积都与原平面图形的面积相等：（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1、图2），其中图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥；图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形（阴影部分），其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成14一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底．(1)试比较图1与图2剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；(2)如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请仿照图2设计剪拼方案，用虚线标示在图3中，并作简要说明．【答案】(1) 柱锥V V >(2)答案见解析【分析】（1）根据题中的操作过程，结合棱锥、棱锥的体积进行求解比较即可；（2）根据题中操作过程，结合三角形内心的性质、直三棱柱的定义进行操作即可. 【详解】（1）依上面剪拼方法，有．柱锥V V >推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正如图所示：在正四面体中，高，DO ===在图2一顶处的四边形中，如图所示：直三棱柱高， ()π11tan tan 21622PN PMN MN =∠⋅=⨯⨯-==， 13V V h h ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭柱锥柱锥0=>∴．柱锥V V >（2）如图，分别连接三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，再将三个四边形拼成上底即可得到直三棱柱．。

2023-2024学年河南省平顶山市叶县高一下册期中数学试题(含解析)

2023-2024学年河南省平顶山市叶县高一下册期中数学试题一、单选题1．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1,60,2a B c ==︒=，则b =（）A ．1B C D【正确答案】D【分析】直接由余弦定理可得答案.【详解】由余弦定理可得22212cos 1421232b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=所以b =故选：D2．已知i 是虚数单位，设复数2021i 1z =+，则z 的虚部为（）A ．1B ．1-C ．iD ．-i【正确答案】A【分析】根据虚数单位的定义，化简复数即可得出答案.【详解】根据虚数单位i 的定义可知：24i 1i 1=-=，2021i 11iz =+=+所以z 的虚部为1，选项A 正确，选项BCD 错误.故选：A.3．若a b，均为非零向量，则“·a b a b = ”是“a 与b 共线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据向量数量积得cos ,a b a b a b ⋅=⋅ ，则有,0a b =，此时共线，则正向可以推出，反之，,a b还可能是π，则反向无法推出，即可得到答案.【详解】cos ,a b a b a b ⋅=⋅ ，||||a b a b ⋅= 则cos ,1a b = ，[],0,πa b ∈ ，则,0a b = ，此时//a b .当//a b时，,a b 还可能是π，此时a b a b ⋅=- ，故“a b a b ⋅= ”是“//a b ”的充分而不必要条件，故选：A.4．如图，A O B '''V 表示水平放置的AOB 的直观图.点B '在x '轴上，A O ''和x '轴垂直，且2A O ''=，则AOB 的边OB 上的高为（）A ．2B ．C ．D ．4【正确答案】C【分析】作//A C x '''轴，交y '轴于C '，根据勾股定理求出O C ''=，再利用直观图性质即可求出答案.【详解】如图，作//A C x '''轴，交y '轴于C '，由已知得2A C O A ''''==，则O C ''=在直角坐标系xOy 的y 轴上取C 点，使得2OC O C ''==，则AOB 的边OB 上的高为.故选：C.5．设非零向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模sin a b a b θ⨯=，若()2,0a =r ，(b = ，则a b ⨯= （）A ．2B ．CD ．1【正确答案】B【分析】根据()2,0a =r，(b = ，利用数量积运算求得夹角，进而得到夹角的正弦值，再代入公式sin a b a b θ⨯= 求解.【详解】 ()2,0a =r，(b = ，2a ∴=，2b = ，2cos 214a b a b θ⋅∴===⋅，则sin 2θ=，∴sin 22a b a b θ⨯==⨯= 故选：B .6．已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos c a B =，则ABC 一定为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【正确答案】B【分析】运用正弦定理化简边角关系，从而判断三角形的形状.【详解】根据题意，2cos c a B =，结合正弦定理可得：sin 2sin cos C A B =，又三角形中()sin sin C A B =+()sin 2sin cos A B A B ∴+=，化简计算得：()sin 0B A -=由三角形中，00B A B A ππ<<<<∴=，ABC ∴ 必定为等腰三角形，选项B 正确，选项ACD 错误故选：B.7．若非零向量32,2b a c b c a =-==，则a 与b的夹角余弦值为（）A ．34B ．14C ．34-D ．14-【正确答案】D【分析】根据题意设a 与b的夹角为θ，且a t = ，则2b c t ==，由32b a c =-可得222491612t t t a c=+-⋅，变形可得274a c t ⋅= ，由此求出ab ⋅ 的值，结合数量积的计算公式可得答案.【详解】根据题意设a 与b的夹角为θ，且a t = ，则2b c t ==，又由32b a c=-，则()2232b a c =-，即222491612t t t a c =+-⋅ ，变形可得274a c t ⋅= ，则有()2222713232322a b a a c a a c t t t ⋅=⋅-=-⋅=-=- ，所以1cos 4a b a bθ⋅==- .故选：D8．如图正三棱柱ABC A B C '''-2，一只蚂蚁要从顶点A 沿三棱柱的表面爬到顶点C '，若侧面AA C C ''紧贴墙面（不能通行），则爬行的最短路程是（）A B ．2C ．4D【正确答案】A【分析】将侧面ABB A ''与BCC B ''展开，在展开图中，连接AC '求解即可.【详解】将侧面ABB A ''与BCC B ''展开，如图：连接AC '，则4AC '==.将侧面ABB A ''与'AC B''展开，如图：连接AC '，则()22332232()132AC '=+-⨯⨯⨯-=故选：A9．已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为（）．A ．86πB ．46πC ．33πD ．22π3【正确答案】C【分析】由条件底面积和侧面积建立方程，求出圆锥的底面半径和侧棱，再求出高，然后再求体积.【详解】设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r ，h ，l ，则2,2,r rl ππππ⎧=⎨=⎩解得1,2.r l =⎧⎨=⎩所以3h =圆锥的体积211313333V Sh ππ==⨯⨯=故选：C10．a 和b 是异面直线，P a ∉且P b ∉，则过点P 与,a b 都相交的直线（）A ．不存在B ．无数条C ．唯一一条D ．最多一条【正确答案】D由点P 和直线a 确定一平面，利用直线与平面的位置关系判断．【详解】∵P a ∉，∴由点P 和直线a 确定一平面α，,a b 是异面直线，则直线b 与平面α可能相交可能平行，若//b α，则过P 直线不可能同时与,a b 都相交，若b 与α相交，则过交点与P 的直线与a 相交或平行，∴过点P 与,a b 都相交的直线最多只有一条．故选：D ．二、多选题11．已知i 是虚数单位，下列说法正确的是（）A ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈B ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈C ．若复数2i1iz =+，则z 的值为2D ．若复数z 满足i 3i z z +=-，则||z 的最小值为1【正确答案】BD【分析】A 举反例判断；B 根据复数代数形式证明判断；C 计算复数模判断；D 根据Z 点轨迹方程判断．【详解】解：对于A ，当i z =时，21z R =-∈，但i z =∉R ，所以A 错；对于B ，设i z a b =+，(,)a R b R ∈∈，因为z R ∈，所以0b =，于是i z a b a =-=∈R ，所以B 对；对于C ，因为2i1iz =+，所以|2i |||2|1i |z =≠+，所以C 错；对于D ，设i z x y =+，(,)x R y R ∈∈，由|i ||3i |z z +=-=理得1y =，即|i ||3i |z z +=-的轨迹是直线1y =，所以||z 的最小值为点(0,0)到直线1y =的距离，即min ||1z =，所以D 对．故选：BD ．12．下列说法正确的是（）A ．在ABC 中，若0AB BC ⋅>，则ABC 为锐角三角形B ．若(3,4),(1,2)a b ==-，则a 在b方向上的投影向量为(1,2)-C ．若(1,)(2,2)a k b ，==，且a b + 与a 共线，则a b⊥D ．设M 是ABC 所在平面内一点，且330,22MB MA MC ++=uuu r uuu r uuu r r 则4ABCMACS S =V V 【正确答案】BD【分析】A 根据向量数量积为负，确定其夹角为钝角，从而判断；B 求向量投影判断；C 用反证法判断；D 用向量加法几何意义判断．【详解】解：对于A ，因为0AB BC ⋅> ，所以0BA BC ⋅<uu r uu u r ，于是2B π∠>，所以ABC 为钝角三角形，所以A 错；对于B ，因为(3,4),(1,2)a b ==-，则a 在b 方向上的投影向量为25(1,2)(1,2)5||||||a b b a b b b b b ⋅⋅⋅=⋅=⋅-=- ，所以B 对；对于C ，假设C 对，则a b ⊥，从而220a b k ⋅=+= ，于是1k =-，所以(3,1)a b += 与(1,1)a =- 不共线，所以与ab +与a共线矛盾，所以C 错；对于D ，取AC 中点D ，连接MB 、MD ，延长MD 到N ，使MD DN =，连接AN 、CN ，则四边形ANCM 为平行四边形，于是1()2MD MA MC =+ ，又因为33022MB MA MC ++=，所以11()23MD MA MC MB =+=- ，所以B 、M 、D 共线，且14MD BD =，所以4ABC MACS S =V V ，所以D 对．故选：BD．三、填空题13．复数z 的共轭复数为z ，已知26i z z -=（i 是虚数单位），则z =______【正确答案】2i【分析】设()i ,z x y x y R =+∈，可得i z x y =-，代入条件根据复数相等可得答案.【详解】设()i ,z x y x y R =+∈，则i z x y =-则()()22i i 6iz z x y x y -=+--=即3i 6i x y +=，所以036x y =⎧⎨=⎩，即02x y =⎧⎨=⎩所以2i z =故2i14．在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，2,1AB AC AD ===，则ABC 的面积为______【分析】由已知可得到12AD AB AC →→→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进一步222124AD AB AC AB AC →→→→→⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭，进而通过平面向量数量积的定义求出cos BAC ∠，再求出sin BAC ∠，最后利用面积公式得到答案.【详解】由题意，12AD AB AC →→→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以222124AD AB AC AB AC →→→→→⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭，因为2,1AB AC AD ===，所以()113422cos cos4BAC BAC =++⨯∠⇒∠=sin4BAC ∠==，所以ABC 的面积为12244=.故答案为15．“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜（如图，其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，设球冠底的半径为r ，球冠的高为h ，则球的半径R =______________．【正确答案】222h r h+【分析】作出图形，可知球心到截面圆的距离为R h -，利用勾股定理列等式可求得R .【详解】如下图所示：球心到截面圆的距离为R h -，由勾股定理可得()222R h r R -+=，化简得222r h Rh +=，解得222r h R h +=.故答案为.222h r h+四、解答题16．已知i 是虚数单位，设复数121i,2i()z z m m R =+=-∈.（1）若12z z 为纯虚数，求m 的值；（2）若21z z 在复平面上对应的点位于第三象限，求m 的取值范围.【正确答案】（1）2m =-（2）()2,2-【分析】（1）利用复数的乘法运算、纯虚数的定义即可得出答案.（2）利用复数的除法运算、复数在复平面上对应的点的坐标即可得出答案.【详解】由复数121i,2i()z z m m R =+=-∈则()()()121i 2i 22i m m z m z =+-=++-，由12z z 为纯虚数所以2020m m +=⎧⎨-≠⎩，所以2m =-（2）()()()()()212i 1i 22i 2i 1i 1i 1i 2m m m z m z ----+-===++-由21z z 在复平面上对应的点位于第三象限所以202202m m -⎧<⎪⎪⎨+⎪-<⎪⎩，解得22m -<<m 的取值范围：()2,2-17．已知单位向量12e e ，的夹角60︒，向量1221a e e b e te t R =+=-∈，，.（1）若//a b，求t 的值；（2）若2t =，求向量a b，的夹角.【正确答案】（1）1t =-；（2）23π.【分析】（1）根据题意，设a kb =，又12,e e 不共线，根据系数关系，列出方程，即可求出t的值；（2）根据题意，设向量,a b的夹角为θ；由数量积的计算公式可得b 、a r 以及a b ⋅ ，又由cos a ba bθ⋅=⋅，即可求出结果．【详解】（1）根据题意，向量1221a e e b e te =+=-r u r u r r u r u r,，若//a b，设a kb = ，则有()()122112e e k e te kte ke +=-=-+u r u r u r u r u r u r ，则有11kt k =-⎧⎨=⎩，解可得1t =-；（2）根据题意，设向量,a b的夹角为θ；若2t =，则212b e e =-，所以()222221212124cos 604523b e e e e e e =-=-⋅︒+=-=r u r u r u r u r u r u r ，所以b = ，又12a e e =+，则()22221212122cos 601113a e e e e e e =+=++⋅︒=++=r u r u r u r u r u r u r，所以a =又()()22122121121322cos 601222a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=--︒=--=-r r u r u r u r u r u r u r u r u r ，所以312cos 2a ba bθ-⋅==-⋅r r r r ，又由0θπ≤≤，所以23πθ=；故向量,a b 的夹角为23π．本题考查了平面向量共线定理和平面向量数量积的计算，涉及向量模、夹角的计算公式，属于基础题．18．已知函数2()cos 22f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.（1）求函数f （x ）的单调性；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a =c ＝1，求△ABC 的面积.【正确答案】（1）在5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单调递增，在511,1212k k ππππ⎛⎤++ ⎥⎝⎦上单调递减，k ∈Z ；（2（1）利用二倍角公式逆应用和辅助角公式化简整理，求单调区间即可；（2）求出A 角，利用正弦定理得C 角和B 角，再由1sin 2ABC S ac B ∆=计算即可.【详解】解：（1）())sin 21cos 2sin 222sin 23f x x x x x x π⎛⎫=++==- ⎪⎝⎭，由222232k x k πππππ--+，得51212k x k ππππ-+，k ∈Z ；由3222232k x k πππππ+<-+，得5111212k x k ππππ+<+，k ∈Z .故f （x ）在5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单调递增，在511,1212k k ππππ⎛⎤++ ⎥⎝⎦上单调递减，k ∈Z ；（2）2sin 23A f A π⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 3A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵A ∈（0，π），∴33A ππ-=，即23A π=，由正弦定理得，sin sin a c A C =1sin 2C =，解得1sin 2C =，∴6C π=或56π，当C ＝56π时，A +C ＞π，舍去，所以6C π=，故6B π=，∴111sin 1222ABC S ac B ∆==⨯=.本题考查了三角恒等变换、三角函数单调区间和解三角形的综合应用，属于中档题.19．如图，在平面四边形ABCD 中，2,AC CD AD BC BC CA ====⊥.（1）求BA BD ⋅的值；（2）若BD mBA nBC =+，求m n +的值【正确答案】（1）6；（2）22+.【分析】（1）由已知得ACD 是边长为2等边三角形，ACB △是直角边长为2等腰直角三角形，45BAC ∠=，60CAD ∠=o，所以BA BD BA BA BA AD ⋅=⋅+⋅ ，由数量积公式可得答案；（2）取AC 的中点E ，连接DE 得//BC DE ，2DE CB=，所以12BD CD CB CA =-=-，又()BD mCA n m CB =-+可得答案.【详解】（1）因为2AC CD AD BC ====，所以ACD 是边长为2等边三角形，因为BC CA ⊥，所以ACB △是直角边长为2等腰直角三角形，且BA =，45BAC ∠= ，60CAD ∠=o ，所以()BA BD BA BA AD BA BA BA AD⋅=⋅+=⋅+⋅(()()2cos 180604584530BA AD =+⋅--=++1826222⎫=+⨯⨯=⎪⎪⎭.（2）取AC 的中点E ，连接DE ，则AC ED ⊥，所以//BC DE ，在DEC Rt △中，cos 30DE CD =⨯=DE =，所以1122222BD CD CB CE ED CB CA CB CB CA CB =-=+-=--=-，又()()BD mBA nBC m CA CB nCB mCA n m CB =+=--=-+，所以1,2m n m =+=n =所以n m +=20．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，在条件①222()(cos cos )a b c a B b A abc +-⋅+=，条件②sin cos()6c A a C π=-这两个条件中任选一个作为已知条件，解决以下问题.（1）若c =ABC 的外接圆直径；（2）若ABC ∆的周长为6，求边c 的取值范围.【正确答案】（1）2（2）[)2,3【分析】（1）选择①：结合正弦定理和已知条件，推出a 2+b 2﹣c 2＝ab ，再由由余弦定理，求得3C π=，然后由2sin cR C=可得解；选择②：利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角差的余弦公式、同角三角函数的商数关系，求得3C π=，然后由2sin cR C=可得解；（2）由（1）知3C π=，由正弦定理，知,sin a A b B =，结合两角差的正弦公式、辅助角公式，推出612sin()6c A π=++，然后根据正弦函数的图象与性质，得解．【详解】解：（1）选择①：由正弦定理知，sin a A ＝sin b B ＝sin c C，∵()()222cos cos a b c a B b A abc+-⋅+=∴()()222sin cos sin cos sin a b c A B B Aab C +-⋅+=∴()()222sin sin a b c A B ab C +-⋅+=，即()222sin sin a b c C ab C +-⋅=，∵sin C ≠0，所以222a b c ab +-=，由余弦定理知，cos C ＝2222a b c ab+-＝122ab ab =，又0C π<<∴3C π=，由2sin cR C=，知2Rsin 32，∴R ＝1，∴△ABC 的外接圆直径为2．选择②：由正弦定理知，sin aA ＝sin c C，∵sin cos()6c A a C π=-，∴sin C sin A ＝sin A cos 6C π⎛⎫-⎪⎝⎭，∵sin A ≠0，∴sin C ＝cos 6C π⎛⎫-⎪⎝⎭，∴1sin sin 22C C C =+，即sin CC ，∴tan C ＝sin cos CC∵0C π<<∴3C π=，由2R ＝sin cC，知2Rsin 32，∴R ＝1，∴△ABC 的外接圆直径为2．（2）由（1）知，3C π=，由正弦定理知，sin a A ＝sin bB ＝sin cC ＝sin 3cπ∴aA ，bsin B ，∵△ABC 的周长为6，所以())266sin sin 6sin sin 3c a b A B A A π⎤⎛⎫=-+=-+=-+- ⎪⎥⎝⎭⎦16sin cos sin 62sin226A A A c A π⎡⎤⎛⎫=-++=-+⎥ ⎪⎝⎭⎦∴c ＝612sin()6A π++，∵20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴A +5,666πππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以[)2,3c ∈．21．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为（1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.【正确答案】（1）3π；（2）98π.（1）先由圆的周长公式求出圆锥的底面圆的半径，再求圆锥的底面积；（2）圆柱的高1OO h =，OD r =，再由11AO D △AOB 求出,h r 的关系式，进而得出圆柱的侧面积，再结合二次函数的性质以及圆柱的体积公式求解即可.【详解】解：（1）沿母线AB 剪开，侧展图如图所示：设OB R =，在半圆⊙A 中，AB =弧长'BB =，这是圆锥的底面周长，所以2R π=，所以R =，故圆锥的底面积为23S R ππ==圆锥；（2）设圆柱的高1OO h =，OD r =，在Rt AOB 中，3AO =，11AO D △AOB ，所以111AO O D AO OB=，即33h -=3h =，222(3)()S rh r r ππ===-圆柱侧面积，222r π⎛=--+ ⎝⎭，所以，当2r =，32h =时，圆柱的侧面积最大，此时298V r h ππ==圆柱.关键点睛：在第一问中，关键是由圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等，从而求出圆锥底面圆的半径.五、单选题22．函数1()ln 1f x x x =++的定义域是（）A ．(1,0)-B ．(1,)-+∞C ．(0,)+∞D ．,1(1,)∞∞--⋃-+（）【正确答案】C【分析】由解析式有意义列不等式求x 的取值范围即可.【详解】因为1()ln 1f x x x =++有意义，所以0,10x x >+≠，解不等式可得0x >，所以函数1()ln 1f x x x =++的定义域是(0,)+∞，故选：C.23．已知点()tan ,cos P αα在第三象限，则角α的终边位置在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】B【分析】由P 所在的象限有tan 0,cos 0αα<<，即可判断α所在的象限.【详解】因为点()tan ,cos P αα在第三象限，所以tan 0,cos 0αα<<，由tan 0α<，可得角α的终边在第二、四象限，由cos 0α<，可得角α的终边在第二、三象限或x 轴非正半轴上，所以角α终边位置在第二象限，故选：B.24．设0.73a =，0.7log 0.8b =，3tan 4c π=，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c a b<<【正确答案】A【分析】由指数函数，对数函数单调性分析a 和b 与1和0的关系，由正切函数性质分析c 与1和0的关系，即可得出答案.【详解】0.70331a =>=，即1a >，0.70.7log 0.8log 0.71b =<=，且0.70.7log 0.8log 00b =>=，即01b <<，由正切函数性质可知3tan 04c π=<，即0c <，故c b a <<，故选：A.25．函数()22log f x x x =-+的零点所在的区间为（）A ．()01，B ．()12，C ．()23，D ．()34，【正确答案】B【分析】判断函数的单调性，计算区间端点处函数值，由局零点存在定理即可判断答案.【详解】函数()22log f x x x =-+,0x >是单调递增函数，当0x +→时，()f x →-∞，2(1)1,(2)10,(3)1log 30,(4)40f f f f =-=>=+>=>，故(1)(2)0f f ⋅<故函数的零点所在的区间为()12，，故选：B26．奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()132xf x =+，则()2023f =（）A ．72-B ．32C ．72D ．552【正确答案】A【分析】由()(4)f x f x =+，可得到函数()f x 的周期是4，利用函数的周期性和奇偶性，将()2023f 转化为()1f -，代入函数解析式求解即可.【详解】解：已知奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，()f x ∴是以4为周期的奇函数，又当()0,2x ∈时，()132xf x =+，()()()()1172023311322f f f f ⎛⎫∴==-=-=-+=- ⎪⎝⎭，故选：A.27．已知函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>），若()f x 在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则ω的取值范围是（）A ．5[,4)2B ．5[,)2+∞C ．511[,22D ．5[,4]2【正确答案】A 【分析】求出π3x ω+的范围，数形结合得到关于2ππ33ω+的范围，求出ω的取值范围.【详解】2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0ω>，则ππ2ππ,3333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，故[)2ππ2π,3π33ω+∈，解得.5[,4)2ω∈故选：A六、多选题28．下列命题为真命题的是（）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b >>，则22a b >C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若0a b <<，则11a b>【正确答案】BD【分析】利用不等式的运算法则与性质即可求解.【详解】对于A ：当0c =，22ac bc =，故A 错误；对于B ： 0a b >>，∴22a b >，故B 正确；对于C ：当2a =-，1b =-时，则24a =，2ab =，21b =，则22a ab b >>，故C 错误；对于D ： 0a b <<，∴11a b>，故D 正确；故选：BD.29．下列说法正确的是（）A ．命题3:0,0p x x ∀>>的否定为.30,0x x ∃>≤B ．2()lg f x x =与()2lg g x x =为同一函数C ．若幂函数()y f x =的图象过点，则(9)2f =D ．函数2x y =和2log y x =的图象关于直线y x =对称【正确答案】AD【分析】根据全称量词的否定是存在量词，可知A 正确；根据两个函数的定义域不同，可知B 不正确；利用待定系数法求出()f x 的解析式，再根据解析式求出(9)f ，可知C 不正确；根据函数2x y =与2log y x =互为反函数，可知D 正确.【详解】对于A ，命题3:0,0p x x ∀>>的否定为：30,0x x ∃>≤，故A 正确；对于B ，2()lg f x x =与()2lg g x x =的定义域不同，所以不为同一函数，故B 不正确；对于C ，设()f x x α=，则(2)2a f ==，所以12α=，所以12(9)93f ==，故C 不正确；对于D ，函数2x y =与2log y x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，故D 正确.故选：AD30．已知函数()sin(3)f x x ϕ=+22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象【正确答案】AC利用()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线4x π=对称，即可求出ϕ的值，从而得出()f x 的解析式，再利用三角函数的性质逐一判断四个选项即可.【详解】因为()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线4x π=对称，所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈，得4k πϕπ=-+，Z k ∈，因为22ππϕ-<<，所以0,4k πϕ==-，所以()sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，对于A ：sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数成立，故选项A正确；对于B ：123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，30,434x ππ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦-，函数()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数；故选项B不正确；对于C ：因为()max 1f x =，()min 1f x =-，又因为()()122f x f x -=，所以12x x -的最小值为半个周期，即21323ππ⨯=，故选项C 正确；对于D ：函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到()sin 3sin 3sin 344y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选项D 不正确；故选：AC本题主要考查了利用三角函数的对称轴求函数解析式，考查了三角函数平移变换、三角函数的周期、单调性、最值，属于中档题七、填空题31．已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<的图象如图所示.则函数()f x 的解析式为_________.【正确答案】()2sin(2)3f x x π=+【分析】根据最值可求A ，根据周期可求ω，代入特殊值可求ϕ.【详解】由图可知，2A =， 313341234T πππ=-=，∴T π=， 2T ππω==，∴2ω=，又0ω>，∴2ω=.∴()()()2sin 2,0f x x ϕϕπ=+≤<，当3x π=时，()222sin 02333f k k Z πππϕϕππ⎛⎫⎛⎫=+=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，解得3πϕ=.故答案为.()2sin(2)3f x x π=+32．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧 AB 的长度为π，则该勒洛三角形的面积为___________.【正确答案】92π-【分析】计算出等边ABC 的边长，计算出由弧 AB 与AB 所围成的弓形的面积，进而可求得勒洛三角形的面积.【详解】设等边三角形ABC 的边长为a ，则3a ππ=，解得3a =，所以，由弧 AB 与AB所围成的弓形的面积为22211939sin 323236424a a ππππ⨯-⨯=⨯-=-，所以该勒洛三角形的面积332S π⎛=⨯= ⎝⎭.故答案为.92π-八、解答题33．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点M 的坐标为03(,)5y ，且3(,2)2παπ∈.(1)求sin α的值；(2)求9cos()cos(23sin()tan()2ππααπααπ-+++⋅-）的值.【正确答案】(1)45-(2)14【分析】（1）由三角函数的定义与三角函数的象限符号即可求解；（2）由同角三角函数的关系即可求解.【详解】（1）∵角α的终边与单位圆的交点为M 03(,)5y ∴35=cos α∵3(,2)2παπ∈∴sin 0α<∴4sin 5α==-.（2）原式cos sin cos sin 1tan cos tan sin tan ααααααααα--++===-⋅又∵sin tan s 43co ααα==-∴原式4113443-==-34．某居民小区欲在一块空地上建一面积为21200m 的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：m ），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？【正确答案】设计矩形停车场南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，人行通道占地面积最小5282m ．【分析】设矩形停车场南北侧边长为m x ，则其东西侧边长为1200xm ，人行通道占地面积为1200(6)81200S x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，再由基本不等式可得答案.【详解】设矩形停车场南北侧边长为()m 0x x >，则其东西侧边长为1200xm ，人行通道占地面积为()212007200681200848m S x x x x ⎛⎫=++-=++ ⎪⎝⎭，由均值不等式，得2720084848224048528m S x x =++≥=⨯+=，当且仅当72008x x =，即30m x =时，2min 528m S =，此时120040m x =．所以，设计矩形停车场南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，人行通道占地面积最小528m 2．35．已知函数()()2f x x ax b a b R =+-∈，．(1)若1b =-，且函数()f x 有零点，求实数a 的取值范围；(2)当1b a =-时，解关于x 的不等式()0f x ≤；(3)若正数a b ，满足43a b+≤，且对于任意的[)()10x f x ∈+∞≥，，恒成立，求实数a b ，的值．【正确答案】(1)(,2][2,)-∞-+∞ ；(2)2a <时[1,1]a --；2a =时{}1-；2a >时[1,1]a --；(3)1,2a b ==；【分析】(1)由240a ∆=-≥可得结果；(2)1b a =-时，()21f x x ax a =++-()()11x x a =++-，分三种情况讨论，分别利用一元二次不等式的解法求解即可；(3)[)1x ∈+∞，时()0f x ≥恒成立，当且仅当()10f ≥，即10a b +-≥，即1a b ≥-，由43a b+≤，可得43a b ≤-，则413b b -≤-，解不等式即可的结果．【详解】(1)1b =-时，()21f x x ax =++，由函数()f x 有零点，可得240a ∆=-≥，即2a ≤-或2a ≥；(2)1b a =-时，()21f x x ax a =++-()()11x x a =++-，当11a -<-即2a <时，()0f x ≤的解集为[]11a --，，当11a -=-即2a =时，()0f x ≤的解集为{}1-，当11a ->-即2a >时，()0f x ≤的解集为[]11a --，；(3)二次函数()f x 开口响上，对称轴2a x =-，由2a >可得()f x 在[)1+∞，单调递增，[)1x ∈+∞，时()0f x ≥恒成立，当且仅当()10f ≥，即10ab +-≥，即1a b ≥-，由43a b +≤，可得43a b≤-，则413b b-≤-，由0>可得2440b b -+≤，即()220b -≤，则2b =，此时11a ≤≤，则1a =．本题主要考查函数的零点、一元二次不等式的解法、二次函数的性质以及分类讨论思想的应用，属于中档题．分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点．充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中．36．设函数()212x xa f x =+-(a 为实数).(1)当0a =时，求方程1|()|2f x =的实数解；(2)当1a =-时，存在[1,2]t ∈使不等式22(2)(2)0f t t f t k --->成立，求k 的范围；【正确答案】(1)=1x -或23log 2x =(2)(3,)+∞【分析】（1）代入得1|()|2f x =，解出x 值即可；（2）根据复合函数单调性得1()212x x f x =--在R 上单调递增，转化为2222t t t k ->-，则()2min 2k t t >+，求出右边最小值即可.【详解】（1）当0a =时，()21x f x =-，则1|()|2f x =⇔1212x -=-或1212x -=，⇔=1x -或23log 2x =.（2）当1a =-时，1()212x x f x =--，因为2x y =在(,)-∞+∞上单调递增，12xy =在(,)-∞+∞上单调递减，所以1()212x x f x =--在R 上单调递增.因为存在[1,2]t ∈，使不等式22(2)(2)0f t t f t k --->成立，所以22(2)(2)f t t f t k ->-，所以2222t t t k ->-，所以只需()2min 2k t t >+，又当[1,2]t ∈时，()22211t t t +=+-，则当1t =时，()22min 21213t t +=+⨯=，所以3k >，.即k的取值范围为(3,)。

安徽省高一下学期期中考试数学试题(特培班)(解析版)

第二学期期中教学质量检测高一数学试卷A 卷考试时间：120分钟；总分：150分一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知a 为实数,i 为虚数单位,若复数为纯虚数,则复数在复平面内对应的234(4)z a a a i =--+-a ai -点位于 A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据纯虚数的知识求得，由此求得在复平面内对应的点所在的象限.a a ai -【详解】∵复数为纯虚数, 234(4)z a a a i =--+-2340,40,a a a ⎧--=∴⎨-≠⎩41,4,a a a ==-⎧∴⎨≠⎩或,∴复数,在复平面内对应的点的坐标为,位于第二象限.1a ∴=-1a ai i -=-+(1,1)-故选：B.【点睛】本小题主要考查纯虚数的概念，考查复数对应点所在象限，属于基础题.2. 已知角的终边经过点，且（） α()2P x ，cos α=x =A. B.C.D.4-2-24【答案】A 【解析】【分析】根据余弦函数的定义即可求解.【详解】解：由题意，，，OP =cos α=又，cos α=0x < =，4x ∴=-故选：A.3. 若，则（） tan (π)3θ+=2cos sin cos θθθ+=A. B. C.D.25-35-3525【答案】D 【解析】【分析】结合诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】，tan (π)tan 3θθ+== 2222cos sin cos cos sin cos cos sin θθθθθθθθ++=+.221tan 1321tan 135θθ++===++故选：D4. 已知是平面内两个不共线的向量，，且12,e e()12121242,,1AB e e BC e e CD e e λλ=+=-+=+- 三点共线，则（）,,A C D λ=A.B. 2C. 4D.1214【答案】D 【解析】【分析】由，求出向量，根据平面向量共线定理，设，从而列出关于AC AB BC =+ ACAC CD μ= λ和的方程组即可求解．μ【详解】解：，， 1242AB e e =+ 12BC e e λ=-+ ， ∴123(2)AC AB BC e e λ=+=++，，三点共线，A C D 设，即， ∴AC CD μ=1212123(2)(1)(1)e e e e e e λμλμμλ⎡⎤++=+-=+-⎣⎦ ，解得．∴32(1)μλμλ=⎧⎨+=-⎩314μλ=⎧⎪⎨=⎪⎩故选：D ．5. 已知为虚数单位，且复数满足，则的值为（）i z ()201912z i i +=+12z i ++A.B.C.D.122【答案】B 【解析】【分析】首先根据题意得到，再带入，计算模长即可.1322z i =-12z i ++【详解】因为，()201931222z i ii i +=+=+=-所以. 22(2)(1)22131(1)(1)222i i i i i i z i i i i -----+====-++-11311=122222z i i i i ++-++=-==故选：B【点睛】本题主要考查复数的模长，同时考查了复数的运算，属于简单题. 6. 若，则（） π2cos 63a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 26a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A. B. C.D.19-19【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因， π2cos()63a +=则. 22π21sin(2)sin[(2)]cos 2()2cos ()12()16236639ππππαααα-=-+=+=+-=⨯-=-故选：A7. 水车（如图1）是一种圆形灌溉工具，它是古代中国劳动人民充分利用水力发展出来的一种运转机械．根据文献记载，水车大约出现于东汉时期．水车作为中国农耕文化的重要组成部分，体现了中华民族的创造力，为水利研究史提供了见证．图2是一个水车的示意图，它的半径为2m ，其中心（即圆心）O 距水面1m ．如果水车每60s 逆时针转1圈，在水车轮边缘上取一点P ，我们知道在水车匀速转动时，P 点距水面的高度h （单位：m ）是一个变量，它是关于时间t （单位：s ）的函数．为了方便，不妨从P 点位于水车与水面交点Q 时开始计时（），则我们可以建立函数关系式0=t ()()sin h t A t k ωϕ=++（其中，，）来反映h 随t 变化的周期规律．下面说法中正确的是（） 0A >0ω>π02ϕ-<<A. 函数的最小正周期为40 ()h tB.()ππ2sin 1303h t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭C. 当时，水车P 点离水面最高 40t =D. 当时，水车P 点距水面2m 150t =【答案】D 【解析】【分析】先求出，．对于选项A ：直接求出的最小正周期；()ππ2sin 1306h t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭[)0,t ∈+∞()h t 对于选项B ：由解析式直接判断；对于选项C ：直接带入求出，即可判断；对于选项D ：直接()400h =带入即可求出．【详解】依题意可知，水车转动的角速度（rad/s ）， 2ππ6030ω==由，，解得，， 21A k +=+21A k -+=-+2A =1k =由，得．又，则， ()0sin 2sin 10h A k ϕϕ=+=+=1sin 2ϕ=-π02ϕ-<<π6ϕ=-所以，．()ππ2sin 1306h t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭[)0,t ∈+∞对于选项A ：函数的最小正周期为60．所以A 错误； ()h t 对于选项B ：，所以B 错误；()ππ2sin 1306h t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭对于选项C ：，所以C 错误；()ππ402sin 4010306h ⎛⎫=⨯-+=⎪⎝⎭对于选项D ：，所以D 正确．()ππ1502sin 15012306h ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭故选：D ．8. 设函数在区间上单调，且，当时，()()sin f x A x ωθ=+ππ62⎡⎤⎢⎥⎣⎦，π2ππ236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭π12x =取到最大值，若将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍得到函数的图象，()f x 2()f x 2()g x 则不等式的解集为（） ()1g x >A.B.ππ2π2π62k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，，ππ2π2π32k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，，C.D.ππ2π2π63k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，，ππ2π2π33k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，，【答案】A 【解析】【分析】根据函数的对称性和周期公式以及函数的单调性，并利用函数性质求解不等式即可. 【详解】函数的最大值为，2， ()()2sin f x x ωϕ∴=+在区间上单调，()f x ππ62⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以， πππ2263T ≥-=即，2π3T ≥， 2π2π3ω∴≥即，03ω<≤，π2π23f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 是函数的对称轴， 7π12x ∴=， ππ26f f⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是函数的对称中心，π03⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 2π3T ≥和是函数相邻的对称轴和对称中心， 7π12x ∴=π03⎛⎫⎪⎝⎭，即， 2π17ππ4123ω⨯=-得，2ω=当时，取到最大值， π12x =()f x 2，ππ22π122k ϕ∴⨯+=+k ∈Z ，π2π3k k ϕ=+∈Z ，当时，，0k =π3ϕ=，()π2sin 23f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭根据题意可知， ()π2sin 3g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()ππ112sin 1sin 332g x x x ⎛⎫⎛⎫∴>⇔+>⇔+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，. ππ5π2π2π636k x k ∴+<+<+k ∈Z 解得：，．ππ2π2π62k x k -+<<+k ∈Z 的解集是．()1g x ∴>ππ2π2π62k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，，故选：．A 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9. 已知，，则下列结论中正确的是（）()4,3a =r()23,18a b += A.13b =B.16a b ⋅= C. 与共线的一个单位向量是 a34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 在上的投影向量是a b 1613b【答案】AB【解析】【分析】根据向量线性运算的坐标表示求出，求模即可判断A ，计算数量积判断B ，求的同向或反b →a →向的单位向量判断C ，根据向量的射影向量计算判断D.【详解】设，则，(,)b x y →=()23,18(8,6)(,)(8,6)a b x y x y +==+=++所以，即，5,12x y =-=(5,12)b →=-所以，故A 正确；13b == ，故B 正确；(4,3)(5,12)203616a b →→⋅=⋅-=-+=与共线的一个单位向量为，故C 错误； a43(,)55||aa →→±=±在上的投影向量为，故D 错误. a b 21616169||||||a b b b b b b b →→→→→→→→⋅⋅==故选：AB10. 已知，，则下列结论正确的是（） ()0,πx ∈2sin cos 3x x +=-A. B. πsin 4x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭5sin 29x=-C. D.sin cos x x -=1tan 0x -<<【答案】ABD 【解析】【分析】辅助角公式化简已知，即可得出A 项；由已知可得，，展开即可得出B ()24sin cos 9x x +=项；先得出，根据已知可得，开方即可判断C 项；根据()29s s 4n co 1i x x -=sin cos 0x x ->，结合三角函数的符号，即可推出，进而得出，即可得2sin cos 03x x +=-<sincos x x<tan 1x <出D项.【详解】对于A 项，因为， sin cosx x x x ⎫+=+⎪⎪⎭π243x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭所以，故A 项正确； πsin 4x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭对于B 项，由已知可得，， ()24sin cos 9x x +=即，224sin cos 2sin cos 1sin 29x x x x x ++=+=所以，，故B 项正确；5sin 29x =-对于C 项，. ()2229s s in c 2o 14sin cos 2in cos s 1sin x x x x x x x +-=-=-=由已知，，可知，所以， 2sin cos 3x x +=-()0,πx ∈π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin cos 0x x ->所以，，故C 项错误； sin cos x x -=对于D 项，因为，，，所以， 2sin cos 03x x +=-<sin 0x >cos 0x <sin cos x x <所以，. sin tan 1cos xx x=<又，所以，故D 项正确. tan 0x <1tan 0x -<<故选：ABD.11. 已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（） ,,a b c ABC A ,,A B C A. 若是锐角三角形，则 ABC A sin cos A B >B. 若，则是等腰三角形 cos cos a A b B =ABC A C. 若，则是等腰三角形 cos cos b C c B b +=ABC A D. 若是等边三角形，则 ABC A cos cos cos a b cA B C==【答案】ACD 【解析】【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质可判断A ，由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可判断B ，由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断C ，利用正弦定理化边为角结合同角三角函数基本关系可判断D.【详解】对于A ，因为是锐角三角形，所以，所以，即ABC A 2A B π+>sin sin 2A B π⎛⎫>- ⎪⎝⎭，故A 正确；sin cos A B >对于B ，由及正弦定理，可得，即，所以cos cos a A b B =sin cos sin cos A A B B =sin 2sin 2A B =或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B 错22A B =22A B π+=A B =2A B π+=ABC A误；对于C ，由及正弦定理化边为角，可知，即cos cos b C c B b +=sin cos sin cos sin B C C B B +=，因为为的内角，所以，所以是等腰三角形，故C 正确；sin sin A B =,A B ABC A A B =ABC A 对于D ，由是等边三角形，所以，所以，由正弦定理ABC A A B C ==tan tan tan A B C ==，故D 正确. cos cos cos a b cA B C==故选：ACD.12. 己知函数，有以下结论，则说法正确的为（） ()sin cos f x x x =π3π,22x ⎡∈-⎤⎢⎥⎣⎦A. 的图象关于直线轴对称 ()f x yB. 在区间上单调递减()f x 3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 的一个对称中心是 ()f x π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 的最大值为()f x 12【答案】BD 【解析】【分析】分别就，时化简解析式，并作出图象，观察图象可判断ABC ,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π3π,22x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()f x 是否正确；对D ：求出当时的最大值即可. ,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【详解】当时，，,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()1sin cos sin cos sin 22f x x x x x x ===当时，，π3π,22x ⎛⎤∈⎥⎝⎦()1sin cos sin cos sin 22f x x x x x x ==-=-作出函数的图象如图：()f x则函数关于轴不对称，故A 错误，y区间的中点坐标为，区间的中点坐标为， π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π43ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦5π4则在区间上单调递减，故B 正确，()f x 3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦由图象知关于对称，故C 错误， ()f x π2x =当时，，当时，取得最大值，,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[]2π,πx ∈-π22x =()f x 12由图象知关于对称，故当时，最大值也是，故D 正确. ()f x π2x =π3π,22x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()f x 12故选：BD ．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知扇形的面积为4cm ，该扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为______cm ． 212【答案】10 【解析】【详解】，故周长为.故答案为：10 2211114,4,422222S r r r l r αα==⋅⋅====⋅=210l r +=14. 求值：__________． ()cos 40110︒︒=【答案】1 【解析】【分析】利用三角函数切化弦，辅助角公式与诱导公式求解即可.【详解】 ()sin10cos 40110cos 401cos 40cos10︒⎛⎫︒︒=︒=︒ ⎪︒⎝⎭ ()2sin 30cos10cos30sin102sin40sin80cos 40cos40cos10cos10cos10︒︒+︒︒︒︒=⨯︒=⨯︒=︒︒︒．()sin 9010cos101cos10cos10︒-︒︒===︒︒故答案为：．115. 已知函数，则下列说法正确的是__________填序号()1πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()①的周期是()f x π;②的值域是，且 ()f x {|y y ∈R 0};y ≠③直线是函数图象的一条对称轴 5π3x =()f x ④的单调递减区间是， ()f x 2ππ2π,2π33k k ⎛⎤-+ ⎥⎝⎦.k ∈Z 【答案】④ 【解析】【详解】函数的周期与的周期相同，即，错误； ①()1πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∣∣1πtan 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π2π12=①函数的值域明显是非负，错误；②②对称轴的横坐标是函数零点或不在定义域内，因为，错误；③5π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭③函数的单调递减区间满足，， ④()f x π1πππ226k x k -+<-≤k ∈Z ，正确， 2ππ2π2π33k x k k ∴-+<≤+∈Z ，④故答案为：．④16. 在△ABC 中，角A，B ，C 的对边分别是a ，b ，C .且满足.且△ABC 为锐角三222,4a b c ab b +=+=角形，则△ABC 面积的取值范围为________. 【答案】【解析】【分析】由余弦定理求出角，，要求△ABC 面积的取值范围，只需求出边取值范C 1sin 2ABC S ab C =A a 围，根据正弦定理，将用角表示，结合范围，即可求解.a B B【详解】,2222221,cos 22a b c a b c ab C ab ++=-+==，0,3C C ππ<<∴=由正弦定理得， 4sin sin sin a b A B B==所以4sin()322sin B a B π+==+=+又△ABC 为锐角三角形，,022032πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩B B得1,tan 62tan B B Bππ<<><<所以，. 28a <<1sin 2ABC S ab C==∈△故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知向量，满足，，.a b||1a = ||3b = (2)()6a b a b -⋅+=- （1）求与夹角的余弦值；a bθ（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.2a b + a kb -k 【答案】(1)；(2). 1cos 3θ=113(,)(,2211-∞-⋃-【解析】【分析】(1)利用平面向量数量积运算法则结合已知求出即可得解；a b ⋅(2)先求出，然后由此数量积大于0及与不共线即可作答.(2)()b kb a a +⋅- 2a b + a kb -【详解】(1)因，，则，即有，||1a = ||3b = 22(2)()276a b a b a b a b a b -⋅+=-+⋅=-+⋅=- 1a b ⋅=所以； 1cos 3||||a b a b θ⋅==⋅(2)由(1)知，22(2)()22311b kb a ka b a b kb a k a +⋅-=-⋅+⋅-=- 因与的夹角为锐角，于是得且与不共线，2a b + a kb - (2)()0a a b kb +⋅-> 2a b + a kb -从而得，即， 3110k ->311k <当与共线时，，即，而与不共线，则，2a b + a kb - 210k +=12k =-2a b + a kb - 12k ≠-于是有且， 311k <12k ≠-所以实数的取值范围是. k 113(,(,)2211-∞-⋃-18. 已知为锐角，，． αβ，1tan 2α=()cos αβ+=（1）求的值； cos 2α（2）求的值． αβ-【答案】（1）；（2）.3cos 25α=4παβ-=-【解析】【分析】（1）由于，所以代值求解即可； 222222cos sin 1tan cos 2cos sin 1tan ααααααα--==++（2）由求出的值，从而可求出的值，而()cos αβ+=()sin αβ+()tan αβ+，进而可求得结果()()()()tan 2tan tan tan 21tan 2tan ααβαβααβααβ-+-=-+=⎡⎤⎣⎦+⋅+【详解】（1） 22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ααααααα---====+++（2）因为为锐角，所以，， αβ，()0αβπ+∈，22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，又，所以， ()cos αβ+=()sin αβ+===，()()()sin tan 7cos αβαβαβ++===-+又，22tan 4tan 21tan 3ααα==-所以()()()()tan 2tan tan tan 21tan 2tan ααβαβααβααβ-+-=-+=⎡⎤⎣⎦+⋅+47314173+==--⨯因为，所以.22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，4παβ-=-19. 在中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且满. ABC A 22sin cos 212B CA ++=（1）求角A 的大小；（2）若，，求的周长.a =3BA AC ⋅=-ABC A 【答案】（1）；（2）.3π5+【解析】【分析】（1）由二倍角的余弦公式和特殊角的三角函数值，可得所求值；（2）由向量的数量积的定义和余弦定理，结合配方法，整理可得所求的周长．【详解】（1）， 22sincos 212B CA ++=即为， cos()cos 20BC A +-=可得， 22cos cos 10A A +-=解得舍去），1cos (12A =-由，可得；0A π<<3A π=（2），即为， 3BA AC ⋅=- 2πcos 33cb =-可得，6bc =由， ()22222cos 27a b c bc A b c bc bc =+-=+--=可得，5b c +==则的周长为.ABC A 5a b c ++=+【点睛】关键点睛：利用数量积与余弦定理构建方程组，通过整体思想得到结果.20. 在三角形中，，D 是线段上一点，且，F 为线段ABC 2,1,2AB AC ACD π==∠=BC 12BD DC =上一点．AB（1）若，求的值；AD xAB y AC =+x y -（2）求的取值范围； CF FA ⋅【答案】（1），（2） 1313,16⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据平面向量基本定理，由题中条件，得到，从而可求出的值，2133AD AB AC =+,x y 进而可求得的值；x y -（2）根据题意先求出，设，再由平面向量数量积运算，即可求得结果,3CAB BC π∠==AF x =【详解】解：（1）因为，所以，12BD DC = 1()2AD AB AC AD -=-得，2133AD AB AC =+ 因为，所以，AD xAB y AC =+ 21,33x y ==所以，13x y -=（2）因为在三角形中，，ABC 2,1,2AB AC ACD π==∠=所以，,3CAB BC π∠==所以，()CF FA CA AF FA CA FA AF FA ⋅=+⋅=⋅+⋅ ，由题意得，AF x =[0,2]x ∈所以， 2cos CF FA CA FA AF FA CA FA CAB AF ⋅=⋅+⋅=⋅∠- ， 221112416x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭因为，所以，[0,2]x ∈21113,41616x ⎛⎫⎡⎤--+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以的取值范围为 CF FA ⋅ 13,16⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21. 已知函数，()2sin cos 2sin f x x x a x a b =-+++[0,]2x π∈5() 1.f x ≤≤-（1）求常数，的值. a b （2）若，设，且求的单调区间 0a >π()(2g x f x =+()1g x >()g x 【答案】（1），或，b=-5；2a =-1b =2a =（2）单调递增区间为：，递减区间为：. π(π,π()6k k k Z ⎫+∈⎪⎭(πππ,π)63k k k Z ++∈【解析】【分析】（1）化简后，根据的最值讨论的范围，然后列方程求解即可；()f x ()f x a （2）根据求出，从而求出的解集，在解集范围内求出的单调区间即可. ()f x ()g x ()1g x >()g x 【小问1详解】()2sin 2sin cos 2sin i cos 22π=2s n(2)26f x x a x a ba bx x a x a b x a =--+=+++++-++因为，所以，[0,]2x π∈ππ7π2[,666x +∈因此当时，当时，函数有最小值，即， 0a >ππ262x +=2255a a b b -++=-⇒=-当时，函数有最大值，即，而，解得； π7π266x +=12()212a ab -⋅-++==5b -2a =当时，当时，函数有最大值，即， a<0ππ262x +=2211a a b b -++=⇒=当时，函数有最小值，即，而，解得， π7π266x +=12(252a ab -⋅-++=-1b =2a =-所以，或，； 2a =-1b =2a ==5b -【小问2详解】因为，所以，，即， 0a >2a ==5b -()π4sin(2)16f x x =-+-，()ππ()4sin(2)126g x f x x =+=+-由得：()1g x >，π1ππ5πsin(22π22π()62666x k x k k Z +>⇒+<+<+∈当时，函数单调递增，πππ2π22π()262k x k k -<+<+∈Z 而， ππ5π2π22π()666k x k k Z +<+<+∈所以当时，函数单调递增，πππ2π22π()662k x k k Z +<+<+∈即时，函数单调递增，πππ()6k x k k Z <<+∈当时，函数单调递减， ππ3π2π22π()262k x k k Z +<+<+∈而， ππ5π2π22π()666k x k k Z +<+<+∈所以时， ππ5π2π22π()266k x k k Z +<+<+∈即时，函数单调递减，ππππ()63k x k k Z +<<+∈故函数的单调递增区间为：，递减区间为：. π(π,π()6k k k Z ⎫+∈⎪⎭(πππ,π)()63k k k Z ++∈22. 杭州市为迎接2022年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE ，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料，工具和配件．所以项目设计需要预留出BD ，BE 为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），ED ，DC ，CB ，BA ，AE 为赛道，． 2,,8km 34BCD BAE CBD CD DE ππ∠=∠=∠===（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE 的长度； ①；②712∠=CDE π3cos 5DBE ∠=（2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE 最长（即最大），最长值为多+BA AE 少？【答案】（1）答案见解析；（2【解析】【分析】(1)在中，利用正弦定理，可求得BD =6. BCD △选①：先由三角形的内角和可得∠BDC =，从而知为直角三角形，然后由勾股定理，得解;12πBDE △选②：在中，由余弦定理可得关于BE 的方程，解之即可. BDE △(2)在中，结合余弦定理和基本不等式，即可得解.ABE A 【详解】（1）在中，由正弦定理知，BCD △sin sin BD CD BCD CBD=∠∠2sin 3BD π∴=6BD =，选①：，， 2,34BCD CBD ππ∠=∠= 2()(3412BDC BCD CBD πππππ∴∠=-∠+∠=-+=，712122BDE CDE BDCπππ∴∠=∠-∠=-=在中，；Rt BDE ∆10BE ===若选②，在中，由余弦定理知，，化简BDE △cos DBE ∠=2222BD BE DE BD BE +-⋅222368526BE BE+-∴=⨯⨯得，解得或（舍负）， 2536BE BE --1400=10BE =145-故服务通道BE 的长度；10BE =（2）在中，由余弦定理知，，ABE A 2222cos BE BA AE BA AE BAE =+-⋅⋅∠，22100BA AE BA AE ∴=++⋅，即，当且仅当2()100BA AE BA AE ∴+-⋅=22()()1004BA AE BA AE BA AE ++-=⋅≤BA AE =时，等号成立，此时，． 23()1004BA AE +=+BA AE 【点睛】关键点睛：本题主要考查解三角形的实际应用，还涉及利用基本不等式解决最值问题，熟练掌握正弦定理、余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.。

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静宁一中2008——2009学年度第二学期高一级期中考试题（卷）
数学
命题人：罗丰校题人：赵佰学
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，将每小题唯一正确的被选项
填在规定的空格处。

）
1、函数4
4
cos sin y x x =-的最小正周期是（） A ．
2
π
B ． π
C ． 2π
D ． 4π 2．函数2sin 46y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象的两条相邻对称轴间的距离为（） A ．
8π B ．4π C ．2π
D ．π 3．已知3,sin 24
a π
θπθ<<=，则sin cos θθ+等于（）
A
B ．
C ．
D ．
4．与
cos 2tan 4α
πα⎛⎫- ⎪⎝⎭
相等的是（）
A ．sin α
B ．cos α
C ．1cos2α+
D ．1sin 2α+ 5．已知3
sin 45
x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2x 的值为（） A ．
1925 B ．1625 C ．1425 D ．725 6．（文）余弦函数的图象的一个对称中心是（） A ．0,
2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．,02π⎛⎫
⎪⎝⎭ C ．().1π- D ．()2,1π （理）函数(
)2
21f x x x =+图象的一个对称中心是（）
A ．,08π⎛⎫-
⎪⎝⎭ B ．,18π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,18π⎛⎫
⎪⎝⎭
7．在ABC ∆中，若sin sin cos cos A B A B <，则ABC ∆是（）
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．锐角三角形
D ．等腰三角形 8．（文）半径为１的圆的内接矩形的最大面积为（）
A ．2
B ．1
C
D ．2
（理）已知半径为1，圆心角为3
π
的扇形，则一边在半径上的扇形的内接矩形的最大面积为（）
A ．
6 B C ． D ．6
π 9．函数()12
log sin 2cos 2y x x =+的单调递增区间为（）
A ．()3,8
8k k k Z π
πππ⎡⎫+
+
∈⎪⎢⎣
⎭ B ．(),88k k k Z ππππ⎛
⎤-+∈
⎥⎝⎦
C ．()5,8
8k k k Z π
πππ⎡
⎤+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
D ．()3,8
8k k k Z π
πππ⎛⎫
-
+
∈ ⎪⎝
⎭
10．设2
6
sin10cos10,22cos 142,a b c =+=-=
，则,,a b c 的大小关系为（）
A ．b c a >>
B ．c a b >>
C ．a c b >>
D ．c b a >> 11．（文）要得到函数sin 23y x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象，只要将函数sin 2y x =的图象（）
A ．向左平移
6π个单位 B ．向右平移6π
个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3
π
个单位
（理）将函数()5sin 3y x =-的周期扩大到原来的2倍,再将函数图象向右平移
3
π
个单
位,得到函数解析式是( ) A.335sin 22y x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
B. 35cos 2y x =
C.5sin 66y x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭ D. 73sin 102y x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
12．(文)为使方程2
cos sin 002
x x a x π
-+=<≤
在内有解，则a 的取值范围是（）
A ．11a -≤≤
B ．11a -<<
C ．10a -≤<
D ．5
4
a ≤-
（理）
已知不等式2cos 0444x x x m +-≤对于任意的566
x ππ
-≤≤ 恒成立，则实数m 的取值范围是（）
A
．m ≥ B
．m ≤ C
．m ≤ D
．m ≤≤
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题
后的横线上）
13．函数(lg 2cos y x =的定义域为。

14．已知()113cos ,cos ,07142
π
ααββα=-=<<<且，则β= 。

15．已知5cos 20,sin ,4413cos 4x x x x π
ππ⎛⎫<<
-= ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪
⎝⎭
则的值为。

16．（文）关于函数()()sin f x x ϕ=+有以下命题:①对任意的ϕ，()f x 都是非奇非偶函数；②存在ϕ，使()f x 是奇函数；③对任意的ϕ，()f x 都不是偶函数。

其中一个假命题的序号是__________，因为当ϕ=_________时，该命题的结论不成立。

（理）关于函数()cos 213f x x π⎛
⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
有下列结论：
①．点5,012π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
是函数()f x 图象的一个对称中心； ②．直线3
x π
=
是函数()f x 图象的一条对称轴；
③．函数()f x 的最小正周期是π； ④．将函数()f x 的图象向右平移
6
π
个单位后对应的函数是偶函数。

其中所有正确结论的序号是。

三、解答题：（本大题共70分）
17．（10分）已知()35
,0,tan ,cos 2
2413
π
π
απβαβα<<<<
=--=，求sin β的值。

18．（12分）求函数()2
2
cos 4cos sin 3sin ,
,2f x x x x x x ππ⎡⎤
=--∈⎢⎥⎣⎦
的最大值，
最小值。

19．（12分）设,,A B C 是ABC ∆的三内角，且lgsin 0x =，又sin ,sin B C 是关于x
的方程)
2
4210x x k -+=的两根，求实数k 的值。

20．（12分）已知函数()cos2sin cos 2f x a x x x a b =--++的定义域为R ，
值域为[]5,1-，求常数,a b 的值。

21（12分）已知函数()()sin 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫
=+>><∈ ⎪⎝⎭
在一个
周期内的图象如图所示
⑴．求函数()f x 的解析式。

⑵．设()()12cos 2g x f x x =，求512g π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值。

22．（12分）已知定义在R 上的函数()()sin cos 0f x a x b x ωωω=+>的周期为π，且对一切x R ∈，都有()412f x f π⎛⎫
≤= ⎪⎝⎭。

⑴．求函数()f x 的表达式。

⑵．若()6g x f x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，求函数()g x 的单调增区间。