广东省东莞市南开实验学校2015-2016学年高二下学期期初考试理数试题(解析版)

广东省东莞市南开实验学校2015-2016学年高二下学期期初考试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若'0()3f x =-，则=--+→h)h x (f )h x (f lim000h （ ）A ．3-B ．6-C ．9-D ．12- 【答案】B 【解析】 试题分析：()'0000()()lim26h f x h f x h f x h→+--==-考点：导数的定义2.'0()0=f x 是函数()f x 在点0x 处取极值的（ ） A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：由函数()f x 在点0x 处取极值可得'0()0=f x 成立，反之不成立，所以'0()0=f x 是函数()f x 在点0x 处取极值的必要不充分条件 考点：函数导数与极值3.已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ） A12B 1C 2D 3 【答案】D 【解析】试题分析：2'133ln 42x y x y x x=-∴=-，设切点横坐标为0x 000131322x x x ∴-=∴=考点：导数的几何意义4.函数3239y x x x =--(22)x -<<有（ ）A ．极大值5，无极小值B ．极小值﹣27，无极大值C ．极大值5，极小值﹣27D ．极大值5，极小值﹣11 【答案】A 【解析】试题分析：()()32'239369331y x x x y x x x x =--∴=--=-+，所以增区间为()2,1--，减区间为()1,2-，所以当1x =-时有极大值5y =，无极小值考点：函数导数与极值5.2mπ-=⎰，则m 等于（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：令y =得()2211x y ++=，圆的圆心为()1,0,1r -=，圆的面积为π，结合定积分的几何意义可知定积分表示的图形为半圆，所以0m = 考点：6.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．14 B ．15 C ．16 D ．17【答案】C 【解析】试题分析：由三角形面积为12，3120022|33x ==⎰，所以阴影部分面积为211326-=，所求概率为11616P ==考点：定积分及几何概型概率7.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设的内容应为（ ） A ．假设至少有一个钝角 B ．假设至少有两个钝角C ．假设没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 【答案】B 【解析】试题分析：反证法证明时首先假设所要证明的结论的反面成立，因此假设内容为：假设至少有两个钝角 考点：反证法8.设函数f (x)在定义域内可导，y = f (x)的图象如图所示，则导函数y =f ′(x)的图象可能是( )【答案】D 【解析】试题分析：由图象得：x ＜0时，f （x ）递减，∴f ′（x ）＜0，x ＞0时，f （x ）先递增再递减又递增，∴f ′（x ）先正再负又正 故选：D考点：利用导数研究函数的单调性9.已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式2'()3(2)ln =++f x x xf x ，则'(2)f 的值等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．49-D ．49 【答案】C 【解析】试题分析：()()()()2'''''11()3(2)ln 23224322f x x xf x fx x f f f x =++∴=++∴=++()'924f ∴=-考点：函数求导数 10.已知()'fx 是奇函数()f x 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()'0xf x f x ->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．()(),10,1-∞- B ．()()1,01,-+∞ C ．()()1,00,1- D ．()(),11,-∞-+∞【答案】B 【解析】试题分析：()()()()()'''20000xf x f x f x xf x f x x x ->⎡⎤->∴>∴>⎢⎥⎣⎦，设()()()f x g x g x x =∴在()0,+∞上递增，由奇函数()f x 可知()g x 是偶函数()()()11101f g g -∴-===-，结合函数()g x 图像可知1,1x x <->时()0g x >，当11x -<<时()0g x <，所以()0f x >成立的x 的取值范围是()()1,01,-+∞考点：函数导数与函数单调性11.给出命题：若,a b 是正常数，且,,(0,),a b x y ≠∈+∞则222()a b a b x y x y ++≥+ (当且仅当a bx y=时等号成立)．根据上面命题，可以得到函数291()((0,))122f x x x x =+∈-的最小值及取最小值时的x 值分别为（ ） A．11+132 B．11+15C ．25，132D ．25，15 【答案】D 【解析】试题分析：依题意可知()2912f x x x=+≥-312x=-时，即15x =时上式取等号，最小值为25 考点：函数的最值及其几何意义12.设函数()f x =(21)xe x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（ ） (A)[-32e ，1） (B)[- 32e ，34错误！未找到引用源。

） (C)[ 32e ，34） (D)[ 32e，1） 【答案】D 【解析】试题分析：设()()21,xg x ex y ax a =-=-，由题意知存在唯一的整数0x 使得()0g x 在直线y ax a =-的下方， ∵()()()'21221xx x g x ex e e x =-+=+，∴当12x <-时，g ′（x ）＜0，当12x >-时，g ′（x ）＞0， ∴当12x =-时，g （x ）取最小值122e --，当x=0时，g （0）=-1，当x=1时，g （1）=e ＞0， 直线y=ax-a 恒过定点（1，0）且斜率为a ， 故-a ＞g （0）=-1且()113g ea a --=-≥--，解得312a e≤< 考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知)(x f 为一次函数，且10()2()f x x f t dt =+⎰，则)(x f =【答案】1x - 【解析】试题分析：：∵f （x ）为一次函数，且10()2()f x x f t dt =+⎰，∴设f （x ）=x+b 则()121001122|222b x b dx x bx b ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰，解得：b=-1∴f （x ）=x-1 考点：定积分；函数解析式的求解及常用方法14.已知函数2)(23-=+++=x c bx ax x x f 在处取得极值，并且它的图象与直线33+-=x y 在点（1，0）处相切，则函数)(x f 的表达式为【答案】68)(23+-+=x x x x f 【解析】 试题分析：：∵()'232fx x ax b =++，∴()()()2'232220f a b -=-+-+=，化简得：12-4a+b=0 ①又f ′（1）=3+2a+b=-3 ②联立①②得：a=1，b=-8 又f （x ）过点（1，0）代入得c=6．∴68)(23+-+=x x x x f 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数在某点取得极值的条件 15.已知函数1()sin 2f x x x =-，则()f x 在[]0,π上的值域为【答案】62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦考点：函数导数与最值16.设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则ϕ= ； 【答案】6π【解析】试题分析：()()))))f x f x ϕϕϕϕ⎤'+=++=-+-+⎦)6πϕ=-+-，函数为奇函数，所以066k ππϕπϕπϕ-=<<∴=考点：三角函数性质三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分11分）求由曲线22y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积(画出图形)。

【答案】1 【解析】试题分析：因为所求区域均为曲边梯形，所以使用定积分方可求解，用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间试题解析：如图阴影部分为所求面积解方程组21322==⎩⎨⎧=+=x x xy x y 或可得 ⎰⎰+-+-+=∴21212)2(33)2(x x xdx x S12)2323(01)2323(3223x x x x x x --+-+==1所以所求图形的面积为1。

考点：定积分及几何意义 18.（本小题满分11分）用分析法证明：若0a >12+≥++a a. 【答案】详见解析 【解析】12≥++a a成立的充分条件，一直分析到使不等式成立的充分条件显然具备，从而不等式得证12a a+≥+. ∵0a >，∴两边均大于零，因此只需证：2212a a ⎫⎛≥++⎪ ⎪⎝⎭只需证：2222111422a a a a a a ⎫+++≥+++++⎪⎭1a a ⎫≥+⎪⎭只需证：222211122a a a a ⎛⎫+≥++ ⎪⎝⎭即证：2212a a +≥，它显然成立，∴原不等式成立. 考点：不等式证明 19.(本题满分12分)已知函数b ax x x x f +++=23)(.(I)当1-=a 时,求函数)(x f 的单调递增区间;(Ⅱ)若函数()f x 的图象与直线y ax =恰有两个不同的公共点，求实数b 的值. 【答案】(I) (),1-∞-, 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(Ⅱ) 427b =-或0b =.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求原函数的导数，根据f ′（x ）＞0求得的区间是单调增区间，f ′（x ）＜0求得的区间是单调减区间，即可；（Ⅱ）利用导数求得原函数的极值，最后要使()32g x x x b =++的其图象和x 轴恰有2个交点，得到关于b 的方程，从而求实数b 的值试题解析：(Ⅰ) 1a =-时()32f x x x x b =+-+,所以()()()2'321131f x x x x x =+-=+-,令()'0f x >得1x <-或13x >;所以函数()f x 在(),1-∞-, 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内是增函数. (Ⅱ) 函数)(x f 的图象与直线ax y =恰有两个不同的公共点,等价于()0f x ax -=有两个不等的实根.令()()32g x f x ax x x b =-=++,所以()()2'3232g x x x x x =+=+令()'0g x >得23x <-或0x >;令()'0g x <得203x -<<. 所以函数()g x 在2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和()0,+∞上单调递增;在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减. 所以23x =-时函数()g x 取得极大值为24327g b ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭;当0x =时函数()g x 取得极小值为()0g b =. 由数形结合分析可知240327g b ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭或()00g b ==. 所以427b =-或0b =. 考点：利用导数研究函数的单调性 20.（本小题满分12分）一出租车每小时耗油的费用与其车速的立方成正比，当车速为h km /80时，该车耗油的费用为元8/h, 其他费用为12元/h.甲乙两地的公路里程为160km ，在不考虑其他因素的前提下，为了使该车开往乙地 的总费用最低，该车的车速应当确定为多少公里/小时？【答案】)/km h 【解析】试题分析：先确定每小时耗油的费用与其车速的立方的关系式，再列出总费用函数解析式，利用导数的方法，即可求得结论试题解析：设这辆出租车得车速为/vkm h ，耗油的费用为A 元/h 由甲地开往乙地需要得时间为th,总费用为B 元 依题意，得3A kv = 80v =时，8A =160=tv t A B )12(+=即21920400v B v=+ 23220020019201920200v v v v B ⨯-=-='令'0B =即 319202000v -⨯=得)/v km h = 11分答：为了使这辆出租车由甲地开往乙地得总费用最低， 该车得速度应确定为)/km h 考点：导数在最大值、最小值问题中的应用 21.（本小题满分12分）已知函数bx x a x f +=ln )(的图象在点()3,1-处的切线的方程为12--=x y 。