第3章三角函数解三角形第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例知能训练轻松闯关理北师大版
余弦定理和正弦定理的应用
余弦定理和正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是初中数学中非常重要的定理，它们在解决三角形相关问题时起到了至关重要的作用。
在本文中，我将为大家详细介绍余弦定理和正弦定理的应用，并通过实例来说明它们的实用性和重要性。
一、余弦定理的应用余弦定理是用来求解三角形的边长或角度的定理。
它的数学表达式为：c² = a²+ b² - 2abcosC，其中a、b、c为三角形的边长，C为夹角。
1. 求解三角形的边长假设我们已知一个三角形的两边和它们之间的夹角，想要求解第三边的长度。
这时，我们可以利用余弦定理来解决这个问题。
例如，已知一个三角形的两边长分别为5cm和8cm，夹角为60°，我们可以利用余弦定理来计算第三边的长度。
根据余弦定理，我们可以得到c² = 5² + 8² - 2×5×8×cos60°，即c² = 25 + 64 -80cos60°。
进一步计算可得c² = 89 - 80cos60°，再开方可得c ≈ 2.92cm。
因此，这个三角形的第三边长约为2.92cm。
2. 求解三角形的角度除了求解边长外，余弦定理还可以用来求解三角形的角度。
例如，已知一个三角形的三边长分别为3cm、4cm和5cm，我们可以利用余弦定理来计算它的夹角。
根据余弦定理，我们可以得到cosC = (3² + 4² - 5²) / (2×3×4)，即cosC = (9 + 16 - 25) / 24。
计算可得cosC = 0，因此C的值为90°。
通过以上两个例子，我们可以看到余弦定理在求解三角形边长和角度时的实用性和重要性。
它为我们解决各种三角形相关问题提供了有力的工具。
二、正弦定理的应用正弦定理是用来求解三角形的边长或角度的定理。
正、余弦定理及应用举例
02
余弦定理
定义与性质
定义
余弦定理是三角形中的重要定理，它 描述了三角形三边与其对应角的余弦 值之间的关系。
性质
余弦定理具有对称性，即交换任意两 边及其对应的角，定理仍然成立。此 外，余弦定理还可以用来判断三角形 的形状。
证明方法
证明方法一
利用向量的数量积和向量模长的性质来 证明余弦定理。
VS
定理应用举例
总结词
正弦定理在解决三角形问题中具有广泛的应用，例如求三角形边长、角度等。
详细描述
利用正弦定理，我们可以解决许多三角形问题，例如求三角形的边长、角度等。例如，已知三角形的 两边及其夹角，我们可以利用正弦定理求出第三边的长度。此外，正弦定理还可以用于判断三角形的 解的个数和类型，以及解决一些几何作图问题。
正、余弦定理及应用 举例
目录
• 正弦定理 • 余弦定理 • 正、余弦定理的综合应用 • 正、余弦定理的扩展与推广 • 正、余弦定理在数学竞赛中的应用
01
正弦定理
定义与性质
总结词
正弦定理是三角形中一个基本的定理 ，它描述了三角形边长和对应角的正 弦值之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意 一边与其对应的角的正弦值的比等于 三角形外接圆的直径，也等于其他两 边与它们的对应角的正弦值的比。
证明方法二
通过作高线，将三角形转化为直角三角形 ，再利用勾股定理来证明余弦定理。
定理应用举例
应用一
已知三角形的两边及其夹角，求第三边。
应用二
判断三角形的形状。例如，如果一个三角形中存在两个角相等，则 这个三角形是等腰三角形。
应用三
解决一些实际问题，如测量、工程设计等。例如，在测量中，可以 利用余弦定理来计算两点之间的距离。
余弦定理和正弦定理的应用
余弦定理和正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是解决三角形问题中常用的数学定理。
它们可以帮助我们求解三角形的边长、角度和面积等。
本文将分别介绍余弦定理和正弦定理的应用，并通过实例来说明它们的具体使用方法。
一、余弦定理的应用余弦定理是一个用来描述三角形边长和夹角之间关系的定理。
在任意三角形ABC中，假设边长分别为a、b、c，而对应的夹角为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2ab·cosC1. 求解三角形边长假设我们已知一个三角形的两个边长a和b，以及它们夹角C的大小。
我们可以通过余弦定理来求解第三个边长c。
例如，已知三角形ABC中，边AB的长度为5，边AC的长度为8，而夹角B的大小为60度。
按照余弦定理，我们可以用下式来计算边BC的长度：BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cosB代入具体数值，即可求得：BC² = 5² + 8² - 2·5·8·cos60°BC² = 25 + 64 - 80·0.5BC² = 89 - 40BC² = 49BC = √49 = 7因此，边BC的长度为7。
2. 求解三角形夹角在某些情况下，我们已知三角形的三个边长，但需要求解其中一个夹角的大小。
余弦定理同样可以解决这个问题。
例如，已知三角形ABC的边长分别为a=4、b=7、c=9。
我们想要求解夹角C的大小。
根据余弦定理，我们可以得到：c² = a² + b² - 2ab·cosC代入具体数值，我们可以得到：9² = 4² + 7² - 2·4·7·cosC81 = 16 + 49 - 56·cosC16 + 49 - 81 = 56·cosC-16 = 56·cosCcosC = -16 / 56 = -0.2857由于余弦函数的定义域为[-1, 1]，该结果无解，即无法构成三角形。
正弦定理与余弦定理的应用
正弦定理与余弦定理的应用正弦定理和余弦定理是中学数学中重要的几何定理，它们在解决三角形相关问题时起着关键作用。
本文将以实际例子为基础，详细介绍正弦定理和余弦定理的应用。
一、正弦定理的应用正弦定理是解决三角形边长和角度之间关系的重要工具。
它的表达式为：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，其中$a$、$b$、$c$分别为三角形的边长，$A$、$B$、$C$为对应的角度。
例子一：已知三角形$ABC$中，$AB=5$，$BC=8$，$\angle B=45^\circ$，求$\angle A$和$\angle C$的大小。
解析：根据正弦定理可得：$\frac{5}{\sin A}=\frac{8}{\sin 45^\circ}$。
通过求解可得$\sin A=\frac{5\sin 45^\circ}{8}$，进而得到$\angle A=\sin^{-1}\left(\frac{5\sin 45^\circ}{8}\right)$。
同理，可以求得$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B$。
通过计算可得$\angle A\approx 28.07^\circ$，$\angle C\approx106.93^\circ$。
例子二：已知三角形$ABC$中，$AB=6$，$BC=9$，$\angle A=30^\circ$，求$AC$的长度。
解析：根据正弦定理可得：$\frac{6}{\sin 30^\circ}=\frac{AC}{\sin C}$。
通过求解可得$\sin C=\frac{AC\sin 30^\circ}{6}$，进而得到$AC=\frac{6\sin C}{\sin30^\circ}$。
由于$\sin C=\sin (180^\circ-\angle A-\angle B)$，可以通过计算得到$AC\approx 10.39$。
三角函数解三角形正弦定理和余弦定理课件理ppt
深入学习三角函数理论和应用 探索三角函数在各个领域的前沿应用
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进而可以求解该角的度数。
解三角形实例解析
举一个具体的例子，说明如何使用 余弦定理解三角形。
VS
通过分析例子，展示余弦定理在解 三角形中的应用和重要性。
05
三角函数在解三角形中的 应用
三角函数在解直角三角形中的应用
定义和分类
介绍三角函数的定义和分 类，包括正弦、余弦、正 切等。
定理和公式
讲解如何使用三角函数定 理和公式来解直角三角形 ，例如勾股定理、锐角三 角函数公式等。
06
课程总结与展望
课程重点回顾
正弦定理和余弦定理的证明方法 三角函数在几何学、工程和物理等领域的应用
三角形解法的实际应用 解三角形方法的优缺点比较
解三角形方法的比较与选择
基于正弦定理和余弦定理的解法比较 基于角度和边长的解法比较
解法的选择依据：精度要求、计算复杂度、应用场景等
未来学习展望与挑战
解三角形是三角函 数中的重要内容， 是解决实际问题的 基础
课程目标
掌握三角函数的定义、性质和基本 运算
掌握正弦定理和余弦定理的推导和 证明方法
掌握解三角形的方法和技巧，能够 解决实际问题
能够利用正弦定理和余弦定理解决 解三角形中的问题
课程大纲
• 第一部分：三角函数基础知识 • 三角函数的定义和性质 • 三角函数的恒等变换 • 三角函数的图像和性质 • 第二部分：解三角形方法与技巧 • 解直角三角形的方法与技巧 • 解斜三角形的方法与技巧 • 解多边形的方法与技巧 • 第三部分：正弦定理和余弦定理的推导和证明方法 • 正弦定理的推导和证明方法 • 余弦定理的推导和证明方法 • 正弦定理和余弦定理的应用实例解析 • 第四部分：综合练习与提高 • 解三角形与正弦定理和余弦定理的综合练习 • 解三角形在实际问题中的应用实例解析
三角函数正弦定理余弦定理及解三角形课件pptx
在物理学中的应用
三角函数可以用于描述周期性运动、振动、波动等物理现象。
在数学中的应用
三角函数可以用于求解一些代数方程的解，解决一些数形结合的问题。
三角函数的应用
03
正弦定理
三角形中任意一边的平方等于其他两边平方的和与这两边夹角的正弦的乘积的两倍，即$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\sin A$
表述中的重点
余弦定理是一个关于三角形边角关系的恒等式，可以通过已知两边和其中一边的对角解出其他边角
余弦定理的表述
已知三角形的三条边a、b、c，可以使用余弦定理求出三角形中每个角的角度
已知三边求角度
已知三角形两条边及其夹角，可以使用余弦定理求出第三条边的长度
已知两边及其夹角求第三边
用余弦定理解决三角形问题
xx年xx月xx日
三角函数正弦定理余弦定理及解三角形课件pptx
contents
目录
引言三角函数正弦定理余弦定理解三角形三角函数与生活小结与展望
01
引言
三角函数是数学中的基础内容之一，具有广泛的应用价值。
本课程以三角函数为背景，介绍正弦定理、余弦定理及解三角形的相关知识。
课程简介
使学生掌握正弦定理、余弦定理的推导及证明方法。
余弦定理
通过实例讲解了解三角形的基本方法，包括利用正弦定理、余弦定理、勾股定理等方法进行求解。
解三角形
下一步学习计划与展望
需要进一步掌握三角函数的应用，如三角函数在几何、物理等学科中的应用。
深入理解三角函数
提升解题能力
学习三角函数图像
学习三角函数的变换
需要多做练习题，掌握解三角形的技巧和方法，提高解题能力和速度。
三角函数解三角形正弦定理和余弦定理课件文
三角函数解三角形正弦定理和余弦定理课件文ppt xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•引言•三角函数的定义与性质•正弦定理和余弦定理的证明•解三角形的思路和方法•经典例题解析•结论与展望01引言课程背景课程名称：三角函数解三角形正弦定理和余弦定理课件所属学科：数学涉及内容：三角函数、解三角形、正弦定理、余弦定理理解三角函数的概念、性质及基本公式；掌握解三角形的方法和步骤；提高学生分析问题和解决问题的能力。
熟悉正弦定理和余弦定理的应用；三角函数的概念及基本公式；解三角形的几种常见方法；余弦定理的证明及应用。
正弦定理的证明及应用；02三角函数的定义与性质三角函数的定义正弦函数(sine function)定义为直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比值。
余弦函数(cosine function)定义为直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比值。
正切函数(tangent function)定义为直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值。
正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期是2π。
三角函数的性质周期性正弦函数的振幅是1，余弦函数的振幅是-1。
振幅正弦函数和余弦函数的相位差是π/2。
相位1三角函数的应用23利用正弦定理和余弦定理可以解决一些角度和边长的问题。
解三角形三角函数在信号处理中有着广泛的应用，例如正弦波、余弦波、方波等都是信号处理的常用波形。
信号处理在物理和工程中，三角函数也有着广泛的应用，例如机械振动、电磁波、电路等分析中都离不开三角函数。
物理和工程03正弦定理和余弦定理的证明三角形中任意两边长度与其中一边的对角正弦值乘积相等证明过程通过几何和三角函数方法，利用三角形面积公式进行推导三角形中任意两边长度和它们夹角的余弦值相等证明过程通过作辅助线，将三角形分解为两个直角三角形，再利用勾股定理进行推导正弦定理和余弦定理的应用已知三角形三个角度和一条边，求其他两条边解三角形已知三条边长度，判断三角形形状判断三角形形状已知两边及其夹角，求第三边或其他角度三角形计算在工程、航海、气象等领域有广泛应用实际应用04解三角形的思路和方法解三角形的基本思路直接应用正弦定理或余弦定理，解出未知量；利用三角形面积公式、海伦公式等，求出未知量；利用三角形的内角和定理、正弦定理或余弦定理，求出未知量；根据已知条件，利用三角形内角和定理等基本定理，求出未知量；直接应用正弦定理或余弦定理，解出未知量；直接法利用三角形内角和定理等基本定理，求出未知量；消元法根据已知条件，不断迭代，最终求出未知量；迭代法采用优化算法，如梯度下降法等，求解未知量；优化算法解三角形的方法解三角形的步骤收集已知条件，确定未知量；按照选择的公式或定理，进行计算求解；根据已知条件，选择合适的定理或公式，如正弦定理、余弦定理、海伦公式等；对所求的解进行验证，保证求解的正确性；05经典例题解析总结词在已知一个三角形的两边及其夹角的情况下，如何求解该三角形的第三边、高度等元素。
高三数学第三章第8课时精品课件
AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120° ＝700， ∴AC＝10 7(km)．
目录
4．已知两灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，它们相
对观察站C的方位角分别为40°和120°，则在灯塔A处测 得灯塔B的方位角是________． 解析：如图所示，由题意知∠ACB＝80°， 又∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°.
目录
【解】 在△ABD 中，设 BD＝x m. 则 BA2＝BD2＋AD2－2BD· cos∠BDA， AD· 即 1402＝x2＋1002－2×100×x×cos 60° ， 整理得 x2－100x－9600＝0， 解得 x1＝160，x2＝－60(舍去)， 故 BD＝160 m. 在△BCD 中，由正弦定理得： BC BD ＝ ， sin∠CDB sin∠BCD 又 AD⊥CD，∴∠CDB＝30° ， 160 ∴BC＝ · 30° sin ＝80 2≈113(m)． sin 135° 即两景点 B 与 C 之间的距离约为 113 m.
目录
【名师点评】
要利用正、余弦定理解决问题，需
目录
2.实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角
上方 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线________的角
下方 叫仰角，在水平线______的角叫俯角(如图①)．
目录
(2)方位角 北 从指______方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)．
目录
思考探究 1．仰角、俯角、方位角有何区别？ 提示：三者的参照不同．仰角与俯角是相对于水平线而 言的，而方位角是相对于正北方向而言的．
目录
BM 解析：由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得 sin90° －α m mcos α ＝ ， 解得 BM＝ ， 要使该船没有触礁危险需 sinα－β sinα－β mcos αcos β 满足 BMsin(90° －β)＝ >n，所以当 α 与 β 的关系 sinα－β 满足 mcos αcos β>nsin(α－β)时，该船没有触礁危险．
正弦、余弦定理与应用
正弦、余弦定理与应用正弦、余弦定理是解决三角形中各边和角关系的重要工具。
在几何学和三角学中，它们被广泛应用于测量和计算问题。
本文将介绍正弦、余弦定理的概念及其应用，并通过实例展示其有效性。
一、正弦定理正弦定理是解决三角形中边和角之间关系的定理。
对于任意三角形ABC，其三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC正弦定理的应用可以帮助我们求解未知边或未知角。
例如，给定一个三角形的两边长度和它们之间的夹角，我们可以通过正弦定理计算出第三边的长度。
例如，假设三角形ABC，已知边AB的长度为5，边AC的长度为7，夹角BAC的大小为30°。
应用正弦定理，我们可以得到：5/sin30° = 7/sinBAC通过代入数值并解方程，我们可以求得角BAC的大小。
正弦定理使我们能够通过已知边长和夹角大小来计算其他边长和角度。
二、余弦定理余弦定理是另一个用于三角形中边和角之间关系的定理。
对于任意三角形ABC，其三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2abcosC通过余弦定理，我们可以计算三角形中的边长或角度。
例如，已知三角形ABC的两边长度分别为3和4，夹角C的大小为60°，我们可以通过余弦定理计算第三边的长度。
应用余弦定理，我们可以得到：c² = 3² + 4² - 2*3*4*cos60°通过计算，我们可以求得第三边的长度c。
余弦定理在解决三角形中边和角关系时非常有用，特别是当仅已知两边和它们之间的夹角时。
三、应用案例正弦、余弦定理广泛应用于测量和计算相关问题。
以下是一些实际应用案例：1. 三角测量：正弦、余弦定理可以用于三角形测量中。
例如，在地理测量中，通过测量三角形的边长和角度可以确定地球上两点之间的距离。
第三章三角函数、解三角形 第八节 正弦定理和余弦定理的应用
[自主解答] (1)在△ABC 中，因为 cos A＝ 5 4 所以 sin A＝ ，sin C＝ ， 13 5 从而 sin B＝sin[π－ (A＋ C)]＝ sin(A＋C) ＝sin Acos C＋ cos Asin C＝
三、考点分析，把脉高考 12 3
， cos C＝ ， 13 5
5 3 12 4 63 × ＋ × ＝ . 13 5 13 5 65
2 2 2
200(37t2－70t＋50)． 1 040 因为 0≤t≤ ，即 0≤t≤8， 130 35 故当 t＝ (min)时，甲、乙两游客距离最短． 37
三、考点分析，把脉高考
BC AC AC 1 260 5 (3)由正弦定理 ＝ ，得 BC＝ ×sin A＝ × ＝ sin A sin B sin B 63 13 65 500(m)． 乙从 B 出发时，甲已走了 50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走 710 m 才能到达 C.设乙步行的速度为 v m/min， 500 710 1 250 625 由题意得－3≤ － ≤3，解得 ≤v≤ ， v 50 43 14 所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行
AB AC 由正弦定理 ＝ ，得 sin C sin B AC 1 260 4 AB＝ ×sin C＝ × ＝1 040(m)． sin B 63 5 65 所以索道 AB 的长为 1 040 m.
三、考点分析，把脉高考
(2)假设乙出发 t 分钟后，甲、乙两游客距离为 d，此时， 甲行走了(100＋50t)m，乙距离 A 处 130t m， 所以由余弦定理得 12 d ＝ (100 ＋ 50t) ＋ (130t) － 2×130t×(100 ＋ 50t)× ＝ 13
三角函数解三角形正弦定理余弦定理的应用举例课件理ppt
理解正弦定理、余弦定理及其应用。 理解解三角形的基本原理和方法。
回顾学习目标及收获
通过对三角函数、正弦定理、余弦定理等知识的 学习，掌握其基本概念和应用方法。
熟悉解三角形的基本步骤和技巧，能够解决一些 实际问题。
了解三角函数在数学、物理、工程等学科中的应 用，拓宽知识面和视野。
利用正弦定理和余弦定理解决一般三角形问题
确定三角形形状
通过已知一般三角形中两边及其夹角或两角及其夹边，利用正弦定理、余弦 定理可确定该三角形的形状（如等边、等腰或直角三角形）。
求解三角形中其他元素
当已知一般三角形中一些元素（如两边及其夹角或三边），利用正弦定理、 余弦定理可求解出三角形中其他元素（如角度、高度等）。
三角函数解三角形正弦定理余弦定 理的应用举例课件理ppt
xx年xx月xx日
目 录
• 引言 • 基础知识复习 • 应用举例 • 案例分析 • 实践练习 • 总结与回顾
01
引言
课程背景
三角函数是数学中 的基础知识之一
本课件重点介绍三 角函数在解三角形 方面的应用
三角函数在解三角 形、测量学、振动 分析等领域有着广 泛的应用
THANKS
学习目标
掌握正弦定理、余弦定理的推 导及证明过程
会用正弦定理、余弦定理解决 解三角形的实际问题
掌握解三角形的计算技巧和规 律
课程大纲
余弦定理的推导及证明
用余弦定理解决解三角形问题
正弦定理的推导及证明
用正弦定理解决解三角形问题
解三角形的计算技巧和规律总结
02
基础知识复习
三角函数的定义
三角函数是研究三角形性质的重要工具，包括正弦、余弦和正切等函数 。
2017高考理科数学一轮复习课件：第3章 三角函数、解三角形 第8讲
规范解答——正、余弦定理的应用
(本题满分 12 分)(2015·高考浙江卷)在△ABC 中，内
角
A，B，C
所对的边分别是
a，b，c.已知
π A＝ ，
b2－
a2
4
＝1c2. 2
(1)求 tan C 的值；
(2)若△ABC 的面积为 3，求 b 的值．
第二十六页，编辑于星期六：二十二点 二分。
π
(1)
第十八页，编辑于星期六：二十二点 二分。
2.(2016·吉安模拟)要测量底部不能到达的电视 塔 AB 的高度，在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45°，在 D 点 测得塔顶 A 的仰角是 30°，并测得水平面上的∠BCD＝ 120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为___4_0____m.
第十九页，编辑于星期六：二十二点 二分。
第三页，编辑于星期六：二十二点 二分。
3．方向角 相对于某一正方向 的角(如图③ )．
(1)北偏东 α：指从正北方向顺时针旋转 α 到达目标方向． (2)东北方向：指北偏东 45°. (3)其他 方向角类似．
第四页，编辑于星期六：二十二点 二分。
1．辨明两个易误点 (1)易混淆方位角与方向角概念：方位角是指正北方向与目标 方向线(按顺时针)之间的夹角，而方向角是正北或正南方向 线与目标方向线所成的锐角． (2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据 (原始数据)，少用间接求出的量．
第十六页，编辑于星期六：二十二点 二分。
[解析]由题意，在△ABC 中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180° －75°＝105°，故∠ACB＝45°. 又 AB＝600 m，故由正弦定理得sin64050°＝sinB3C0°，解得 BC＝300 2 m. 在 Rt△BCD 中，CD＝BC·tan 30°＝300 2× 33＝100 6 (m)．
高考数学 第三章 第八节 正弦定理、余弦定理的应用举
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标
点之间的位置关系.( )
（4）方位角大小的范围是［0,2π)，方向角大小的范围一般
是［0, ）. ( )
2
(5)仰角、俯角、方位角的主要区别在于参照物不同.( )
【解析】（1）正确.如 S 1 absin 即C 为1边aha, 上的高.
5
B 2 5
5
C 5
5
D 2 5
5
【解析】选D.由已知得 AC b 5,AB c 2,
S
ABC
得，2
2
1 bcsin A 2 ,
2
2
即 1 5 2 sin故A 2 , sin A 5 .
2
2
5
cos A 1 sin2A 2 5 . 5
3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等， 灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°， 则灯塔A在灯塔B的方向为( ) (A)北偏西5° (B)北偏西10° (C)北偏西15° (D)北偏西20°
【规范解答】（1）选B.由 OA OB O可C知 O0，为△ABC的重
心，故
S
OBC
1S 3
ABC ,
由 AB AC得c2·bcos ∠BAC=2,
(4)坡角与坡度： ①坡角:坡面与水平面所成的二面角的 度数(如图④，角θ为坡角)； ②坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比 (如图④，i为坡度).坡度又称为坡比.
3.用正、余弦定理解应用题的一般步骤 （1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理 清所给量之间的关系. （2）根据题意画出示意图，将实际问题转化为解三角形的问 题. （3）选择正弦定理或余弦定理解三角形. （4）将三角形的解还原为实际问题，解题时要注意实际问题 中的单位、近似计算等要求.
2021年高考数学 第三章 第8课时 正弦定理和余弦定理的应用举例知能演练轻松闯关 新人教A版
2021年高考数学 第三章 第8课时 正弦定理和余弦定理的应用举例知能演练轻松闯关 新人教A 版1．(xx·河南郑州模拟)已知A 、B 两地的距离为10 km ，B 、C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为( )A ．10 kmB ．10 3 kmC ．10 5 kmD ．107 km解析：选D ．如图所示，由余弦定理可得：AC 2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC ＝107(km )．2. 两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D ．由条件及图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.3．(xx·高考天津卷)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A ．1010B ．105C ．31010D ．55解析：选C ．由余弦定理可得AC ＝BA 2＋BC 2－2BA·BCcos∠ABC ＝2＋9－2×2×3×22＝5，于是由正弦定理可得BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC，于是sin ∠BAC ＝3×225＝31010.4．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km /h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km )( )A ．11.4B ．6.6C ．6.5D ．5.6 解析：选B ．∵AB ＝1 000×1 000×160＝50 0003m ，∴BC ＝AB sin 45°·sin 30°＝50 00032m .∴航线离山顶h ＝50 00032×sin 75°≈11.4 km .∴山高为18－11.4＝6.6 km .5．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里解析：选A ．如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝102(海里)．6. 如图，一艘船上午9∶30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 2 n mile .此船的航速是________n mile /h .解析：设航速为v n mile /h ，在△AB S 中AB ＝12v ，B S ＝82，∠B S A ＝45°，由正弦定理得82sin 30°＝12v sin 45°，则v ＝32.答案：327. (xx·高考福建卷)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．解析：∵sin∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD)＝cos ∠BAD ＝223，∴在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB·ADcos∠BAD ，∴BD 2＝18＋9－2×32×3×223＝3，∴BD ＝ 3. 答案： 38．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m .解析：如图，OM ＝A O tan 45°＝30(m )，O N ＝A O tan 30°＝33×30＝103(m )，在△MO N 中，由余弦定理得，M N ＝ 900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m )． 答案：10 39．如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A ，B ，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°，且AB ＝100 m ．求该河段的宽度．解：∵∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°， ∴∠ACB ＝180°－∠CAB －∠CBA ＝60°.由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠CAB，∴BC ＝ABsin 75°sin 60°.如图，过点B 作BD 垂直于对岸，垂足为D ，则BD 的长就是该河段的宽度．在R t △BDC 中，∵∠BCD ＝∠CBA ＝45°，sin ∠BCD ＝BDBC，∴BD ＝BCsin 45°＝ABsin 75°sin 60°·sin 45°＝100×6＋2432×22＝50（3＋3）3 m ，∴该河段的宽度为50（3＋3）3m .10. (xx·高考课标全国卷Ⅰ)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠B P C ＝90°.(1)若P B ＝12，求P A ；(2)若∠A P B ＝150°，求tan ∠P BA ．解：(1)由已知得∠P BC ＝60°，所以∠P BA ＝30°. 在△P BA 中，由余弦定理得P A 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74，故P A ＝72. (2)设∠P BA ＝α，由已知得P B ＝sin α.在△P BA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin （30°－α），化简得3cos α＝4sin α，所以tan α＝34，即tan ∠P BA ＝34.[能力提升]1．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m 解析：选A ．设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝h ，AB＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m .2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为( )A ．1762海里/时 B ．34 6 海里/时C ．1722海里/时 D ．34 2 海里/时解析：选A ．如图，由题意知∠MP N ＝75°＋45°＝120°，∠P N M ＝45°. 在△PM N 中，由正弦定理，得M N sin 120°＝PMsin 45°，∴M N ＝68×3222＝346(海里)．又由M 到N 所用时间为 14－10＝4(小时)，∴船的航行速度v ＝3464＝1726(海里/时)．3．(xx·河南郑州模拟)在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________．解析：如图，由已知可得∠BAC ＝30°，∠CAD ＝30°，∴∠BCA ＝60°，∠ACD ＝30°，∠ADC ＝120°.又AB ＝200 m ，∴AC ＝4003 3 m .在△ACD 中，由余弦定理得，AC 2＝2CD 2－2CD 2·cos 120°＝3CD 2，∴CD ＝13 AC ＝4003 (m )．答案：4003m4．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶 4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km .解析：如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠DAC ＝60°，∠CB M ＝15°， ∴∠M AB ＝30°，∠A M B ＝45°.在△A M B 中，由正弦定理，得60sin 45°＝B Msin 30°，解得B M ＝30 2. 答案：30 25．在海岸A 处，发现北偏东45°方向、距离A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船；在A 处北偏西75°方向、距离A 处2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？解：如图，设缉私船t 小时后在D 处追上走私船，则有CD ＝103t ，BD ＝10t .在△ABC 中，AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°. 利用余弦定理可得BC ＝ 6. 由正弦定理，得sin ∠ABC ＝AC BC sin ∠BAC ＝26×32＝22，得∠ABC ＝45°，即BC 与正北方向垂直．于是∠CBD ＝120°. 在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BDsin ∠CBDCD＝10t ·sin 120°103t ＝12，得∠BCD ＝30°，∴∠BDC ＝30°. 又CD sin 120°＝BC sin 30°，103t 3＝6，得t ＝610.所以缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船，最少要花610小时． 6．(选做题)(xx·高考江苏卷) 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m /min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为130 m /min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长．(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C)]＝sin(A ＋C)＝sin Acos C ＋cos Asin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B ，得AB ＝AC sin B ·sin C＝1 2606365×45＝1 040(m )．所以索道AB 的长为1 040 m .(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ， 此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t2－70t ＋50)．由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ，得BC ＝AC sin B ·sin A＝1 2606365×513＝500(m )．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m )，还需走710 m 才能到达C ． 设乙步行的速度为v m /min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在[1 25043，62514](单位：m /min)范围内．•D21890 5582 喂31628 7B8C 箌 Nm23760 5CD0 峐D40196 9D04 鴄24931 6163 慣V27610 6BDA 毚24653 604D 恍36902 9026 逦。
第八节正弦定理和余弦定理的应用
方位角
从某点的指北方向线起 按顺时针方向到目标方 向线之间的夹角叫做方 位角．方位角θ的范围 是0°≤θ<360°
图形表示
过基础小题
课 堂 考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
“课后·三维演练”见“课时跟踪检测（二十四）” 普通高中、重点高中共用作业
第八节正弦定理和余弦 定理的应用
2020/8/14
课前·双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
课堂·考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
课后·三维演练
分层训练，梯度设计，及时查漏补缺
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 前 双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
过基 础知 识
术语名称
术语意义
仰角与 俯角
在目标视线与水平视线 所成的角中，目标视线 在水平视线上方的叫做 仰角，目标视线在水平 视线下方的叫做俯角
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第8讲 正弦定理和余弦定理的应用举例1.两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( ) A ．北偏东10° B ．北偏西10° C ．南偏东80° D ．南偏西80°解析：选D.由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．(2016·郑州模拟)已知A 、B 两地间的距离为10 km ，B 、C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( ) A ．10 km B ．10 3 km C ．10 5 km D ．107 km 解析：选D.如图所示，由余弦定理可得：AC 2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700， 所以AC ＝107(km)．3．(2016·唐山模拟)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝2BC ＝2CD ，则cos ∠DAC ＝( )A.1010B.31010 C.55D.255解析：选 B.由已知条件可得图形，如图所示，设CD ＝a ，在△ACD 中，CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC ×cos ∠DAC ，所以a 2＝(2a )2＋(5a )2－2×2a ×5a ×cos ∠DAC ， 所以cos ∠DAC ＝31010.4．(2016·淮北质检)如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 解析：选B.依题意可得AD ＝2010(m)，AC ＝305(m)，又CD ＝50(m)，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22， 又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°. 5．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/h解析：选B.设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2. 6．(2014·高考四川卷)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m解析：选C.如图，在△ACD 中，∠CAD ＝90°－30°＝60°，AD ＝60 m ，所以CD ＝AD ·tan 60° ＝603(m)．在△ABD 中，∠BAD ＝90°－75°＝15°，所以BD ＝AD ·tan 15°＝60(2－3)(m)． 所以BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3) ＝120(3－1)(m)．7．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75°，距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为______海里/小时．解析：由题意知，在△PMN 中，PM ＝68海里，∠MPN ＝75°＋45°＝120°，∠MNP ＝45°.由正弦定理，得MNsin 120°＝68sin 45°，解得MN ＝346海里，故这只船航行的速度为3464海里/小时＝1762海里/小时．答案：17628．某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________km.解析：由题意知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.由正弦定理知BS sin 30°＝AB sin 45°，所以BS ＝AB ·sin 30°sin 45°＝3 2.答案：3 29．(2016·佛山一模)如图，为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离，观察者找到一个点C ，从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B 、C ；并测量得到：CD ＝2，CE ＝23，∠D ＝45°，∠ACD ＝105°，∠ACB ＝48.19°，∠BCE ＝75°，∠E ＝60°，则A 、B 两点之间的距离为________.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 48.19°取23 解析：依题意知，在△ACD 中，∠A ＝30°，由正弦定理得AC ＝CD sin 45°sin 30°＝22，在△BCE中，∠CBE ＝45°，由正弦定理得BC ＝CE sin 60°sin 45°＝32，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝10， 所以AB ＝10，即A 、B 两点之间的距离为10. 答案：1010．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.解析：根据题图，AC ＝100 2 m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得AC sin 45°＝AMsin 60°⇒AM ＝100 3 m.在△AMN 中，MNAM＝sin 60°，所以MN ＝1003×32＝150(m)． 答案：15011.某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D .求AB 的长度．解：在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝82＋52－AB 22×8×5.在△ABD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝72＋72－AB 22×7×7.由∠C ＝∠D 得cos C ＝cos D ，解得AB ＝7，所以AB 的长度为7米． 12．(2016·贵阳监测考试)如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD ＝3，cos B ＝33. (1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长． 解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos B ＝33， 所以cos D ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝－13.因为∠D ∈(0，π)， 所以sin D ＝1－cos 2D ＝223. 因为AD ＝1，CD ＝3，所以△ACD 的面积S ＝12AD ·CD ·sin D ＝12×1×3×223＝ 2.(2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ＝12，所以AC ＝2 3. 因为BC ＝23，AC sin B ＝ABsin ∠ACB，所以23sin B ＝AB sin （π－2B ）＝AB sin 2B ＝AB 2sin B cos B ＝AB 233sin B sin B ，所以AB ＝4.。