大学物理第10章稳恒磁场

与电场类似，电流密度在电流区域形成分布，可以用电流线描 述，某点电流线的方向为电流方向，疏密程度表示电流大小。 比I更精确描述电流的分布。 S1和S2的电流密度一样吗？
第三篇
5 电流强度与电流密度
电 磁 学
已知电流密度j，求过某面积元dS的电流dI怎么解？
dI j dS jdS cos dS dS en dI j dS
B
Fmax qv
F
m
qv B

单位：特斯拉 Tesla 高斯 Gauss = 10-4 T 地球表面磁场0.6高斯
显然磁感应强度在空间构成矢量场。
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电 磁 学
三、运动电荷的磁场（运动速度远小于光速）
静电场理论告诉我们，一个电荷电量为q 的点电荷在空间中某一点P 所 激发的电场强度 E 为
毕奥－萨伐尔(Biot-Savart)根据电流磁作用的实验 结果分析得出，电流元产生磁场的规律称为毕奥 －萨伐尔定律。拉普拉斯后来用解析运算推导出 了我们现在看到的公式。
0 Idl er dB 4 r 2
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电 磁 学
真空中电流元 Idl 在某点产生的磁场强度的大小，与电流元的大小成正 比，与电流元到P点的距离平方成反比，且与电流元和（电流元到P点的） 矢径间的夹角的正弦成正比
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四、毕奥-萨伐尔定律
1、电流元的引入
电 磁 学
在静电学中求电场强度的思路是：q→ dq → dE→ E 。为了计算一 根通电导线产生的磁场，我们遵循类似思路：I→ Idl→ dB → B 。
Idl
2、定律内容
I
电流与线元之积称为电流元， 这是一个矢量；电流元的方向 —电流的方向。大小为Idl。
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电流场的一个重要性质就是其连续性，其实质是电荷守恒定律。在电流场 内任取闭合曲面S，则其电流密度通量应等于曲面内电荷的变化率，即：

S
dq j dS dt
单位时间内通过闭合 曲面向外流出的电荷 等于此时间内闭合曲 面里电荷的减少。
稳恒电流指各处电流密度不随时间发生变化的的电流称为稳恒电流，均 匀电流是指电流密度处处相同电流，二者是不同的两个概念。对于稳恒 电流，电流场不随时间变化的，意味着空间各处没有电荷增减，即：
请注意方向 问题r指?
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3、说明
电 磁 学
0 Idl er dB 4 r 2
1 B-S定律是在实验的基础上抽象出来的，不能由实验直接证明（电 流元无法单独存在），但是由该定律出发得出的一些结果能很好地与 实验符合。 2 dB的方向由Idl 与位移矢量确定，即用右手螺旋法则确定；
dQ qn vdt dS dI qnvdS dt dt dI qnv 电流密度为 j dS 写成矢量式子 j qnv
dS
q
P vdt
j
v
即电流密度等于该点电荷密度、运动 速度的积。此式具有更直观而广泛物 理意义，可作为电流密度的定义式。
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三、电流连续性方程
dU dI R
dU Edl dl dl R dS dS
dI EdS
dI j E dS
j E
这就是欧姆定律的微分形式。
E j
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一、磁场
电 磁 学
§10.2 磁场 磁感应强度
历史上人们很早就发现天然磁石能够吸引铁、钴 和镍等金属。1820年丹麦物理学家奥斯特(Osterd)在 实验中最早发现了电流的磁效应：通电导线附近的小 磁针会发生偏转。随着后续试验的发展，电流和磁场 的关系得到了阐明。 电 流 电 流
知道了导体截面每一点上的电流密度j，也就知道了通过截面的总电流
积分得到：
I j dS
S
即某一曲面的电流强度等于对该曲面的电流密 度通量。
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二、电流密度与载流子漂移速度的关系
漂移速度是指载流子平均的定向移动速度。它是无规则热运动在 定向电场驱动与固体晶格阻碍的平衡效果。可以简单认为电子做匀速 运动。 假定导体中载流子的数密度n ;每个载流子的电量为q，漂移速度为v。 考虑dt时间间隔内，P点附近的电流
3 电流强度
dq I dt
单位：安培(A)，库仑/秒
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4 电流密度
电 磁 学
S1和S2的电流强度一样吗？ 电荷流动的情况一样吗？
I
在导体某一截面上各点可以定义电流密度矢量 j，它的方向为该 点处电流的方向, 它的大小等于单位时间内该点附近垂直与电荷运动 方向的单位截面上所通过的电量。
dI j en dS
3 B-S定律是求解电流磁场的基本公式，利用该定律与磁场叠加原理， 原则上可以求解任何稳恒载流导线产生的磁感应强度。
0 Idl er B dB 4 r 2
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五、毕奥-萨伐尔定律的应用
解题步骤
1. 2. 选取合适的电流元——根据已知电流的分布与待求场点的位置； 选取合适的坐标系——要根据电流的分布与磁场分布的的特点来 写出电流元产生的磁感应强度——根据毕奥－萨伐尔定律； 计算磁感应强度的分布——叠加原理；
dq 0 dt


S
j dS 0
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四、欧姆定律的微分形式
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显然，电流场中任意电流元的运动速度应当与该处电场强度成正比。 即电流密度 j 应随电场强度 E 的增强而变大。 在导线内选取长为dl， 截面积为dS的柱体，j与dS 垂直。导线的电导率为 ， 电阻为R。由欧姆定律： dU dS dl 若考虑方向，则有：
为轴的同心圆环。
3 磁场具有叠加原理。（如果空间有若干个电流，那么它们产生的磁场 可由各个单独的电流激发磁场的叠加）
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例1：氢原子核外电子在中心处产生的磁感应 强度？
例2：两个分别带q1和q2电量的电荷绕着连线上面一点O旋转， q1距离O点为r1， q2距离O点为r2。要使O点的磁感应强度为 零，求q1和q2应该满足的关系？
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半无限长载流直导线端面上一点的磁场：
I P
1

2
, 2
0 I B 4a
a
半无限长载流直导线的磁场：
1 ; 2
0 I B (cos 1) 4a
I

a
P
长载流直导线延长线上某点的磁场
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例2：有一半径为R的载流圆环，通有电流为I，求圆环轴线上一点P 的磁 感应强度B。 解：建立图示坐标系，将圆环 分割为无限多个电流元，任意 两个关于x轴对称的电流元在轴 线上一点产生的磁感应强度关 于x轴对称，且大小相等，因此 整个载流圆环在轴线上一点的 磁场沿x轴方向 。
Bo Bab Bbc Bcd
规定向里为正向，
a
Bo Bab Bbc
R
0 I 0 I 4R 4 R
1 1 4R
b
c
o
d
0 I
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例4 求半径为R，总长度为L，单位长度上的匝数为 n 的密绕螺线管在其 轴线上一点 P 的磁场。 长度为 dl 内的各匝圆 线圈的总效果，是一匝圆 电流线圈的 n dl 倍。
0 Idl er dB 4 r 2
推导过程如下： 一个运动电荷的磁场为 Bq 电流元中载流子数目 nSdl 电流元产生磁场
0 qv er 4 r 2
e r 为电流元指向场点的单位矢量。
0 (nqv ) Sdl er 0 Idl er dB nSdl Bq 2 4 r 4 r 2
磁
运动电荷 运动电荷
场
磁 铁 磁 铁
运动电荷在周围空间将同时产生电场与磁场，电场、 磁场统称为电磁场。
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二、磁感应强度
电 磁 学
与电场强度E 荷q 以速率v 通过磁场中某点 时，受到的磁力与速度（方向、大小）有 关：磁力总与速度垂直，且当速度方向变 化时，磁力大小变化，有最大、最小磁力 对应的特定方向。 磁感应强度：描述磁场中某点磁场性质的基本物理量，称为磁感应强度。 大小由下式给出。方向为该点小磁针N极所指的方向。
选取坐标系，其目的是要使数学运算简单；
3. 4.
5.
一般说来，需要将磁感应强度的矢量积分变为标量积分（如可以
分别求Bx, By 和Bz的大小） ，并选取合适的积分变量，来统一积分变量。
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例1．求有限长载流直导线激发的磁场。电流为I,场点到P点的距离为a。 解：取图示电流元Idl，以过场点P、且垂直于导线水平向右为x轴，沿 导线竖直向上为y轴。由B—S定律有
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一、电流、电流密度
1 载流子
电 磁 学
§10.1 稳恒电流
大量电荷定向移动会形成电流。在物体内能够自由移动 的带电粒子称为载流子。
在金属中是电子；在半导体中是电子或空穴；在电解质 溶液中是正负离子；
2 电流的方向 正电荷移动的方向定义为电流的方向。电流的方向与 自由电子移动的方向是相反的，它们产生的宏观电磁 效应是相同的。 单位时间内通过导体某一截面的电量，叫做电流强度。 它是表示电流强弱的物理量(标量)，用 I 表示。电流强 度也是国际单位制的基本量。
0 Idl sin dB 4 r2
由于所有电流元和相应的位矢总是在 xoy平面内，所以，所有电流元激发 的磁场方向相同，垂直屏面向里。总 磁场的大小为
2

B
L
0 Idl sin 4 r2
o
1

P
统一积分变量为θ
a
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