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根与系数关系式习题精选

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专题根与系数的关系含答案

专题根与系数的关系含答案

专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-2m-1x+m-2=0．1当m取何值时;方程有两个不相等的实数根；2若x1、x2为方程的两个不等实数根;且满足x12+x22-x1x2=2;求m的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．1求证：此方程有两个不相等的实数根；2设此方程的两个根分别为x1;x2;其中x1＜x2．若2x1=x2+1;求m的值．例3．已知关于x的方程mx2+4-3mx+2m-8=0m＞0．1求证：方程有两个不相等的实数根；2设方程的两个根分别为x1、x2x1＜x2;若n=x2-x1-m;且点B m;n在x轴上;求m的值．.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2m+1x+m2+5=0有两个不相等的实数根．1求m的取值范围；2若原方程的两个实数根为x1、x2;且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2;求m的值．例5.已知关于x的方程x2-2k+1x+4k-=0．1求证：无论k取什么实数值;这个方程总有实数根；2能否找到一个实数k;使方程的两实数根互为相反数若能找到;求出k 的值；若不能;请说明理由．3当等腰三角形ABC的边长a=4;另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时;求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-m+2x+2=0m≠0．1求证：方程总有两个实数根；2已知方程有两个不相等的实数根α;β;满足+=1;求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=01若方程有两个实数根;求m的范围；2若方程的两个实数根为x1和x2;且x1+3x2=3;求m的值．3若方程的两个实数根为x1和x2;且x12-x22=0;求m的值．3.已知关于x的方程x2+m-3x-m2m-3=01证明：无论m为何值方程都有两个实数根；2是否存在正数m;使方程的两个实数根的平方和等于26 若存在;求出满足条件的正数m的值；若不存在;请说明理由．4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0k为常数．1求证：方程有两个不相等的实数根；2设x1、x2为方程的两个实数根;且2x1+x2=14;试求出方程的两个实数根和k的值．5.已知关于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．1求k的取值范围；2若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3;求k的值．6.已知关于x的一元二次方程x2-m-2x+m-3=01求证：无论m取什么实数时;这个方程总有两个不相等的实数根；2如果方程的两个实数根为x1;x2;且2x1+x2=m+1;求m的值．7.已知关于x的一元二次方程a-1x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3．1求a的值及方程的另一个根；2如果一个等腰三角形底和腰不相等的三边长都是这个方程的根;求这个三角形的周长．8.设x1;x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根;当a为何值时;x12+x22有最小值最小值是多少专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.解：1∵方程有两个不相等的实数根;例2.∴△=b2-4ac=-2m-12-4mm-2=4m+1＞0;例3.解得：m＞-;∵二次项系数≠0;∴m≠0;例4.∴当m＞-且m≠0时;方程有两个不相等的实数根；例5.2∵x1、x2为方程的两个不等实数根;例6.∴x1+x2=;x1x2=;例7.∴x12+x22-x1x2=x1+x22-3x1x2=2-=2;例8.解得：m1=+1;m2=-+1舍去；∴m=+1．例9.例10.解：1∵△=-4m2-44m2-9=36＞0;例11.∴此方程有两个不相等的实数根；例12.2∵x==2m±3;例13.∴x1=2m-3;x2=2m+3;例14.∵2x1=x2+1;∴22m-3=2m+3+1;例15.∴m=5．例16.例17.解：1∵△=4-3m2-4m2m-8;例18.=m2+8m+16=m+42例19.又∵m＞0∴m+42＞0即△＞0例20.∴方程有两个不相等的实数根；例21.2∵方程的两个根分别为x1、x2x1＜x2;例22.∴x1+x2=-;x1x2=;例23.n=x2-x1-m;且点B m;n在x轴上;例24.∴x2-x1-m=-m=-m=0; 例25.解得：m=-2;m=4;例26.∵m＞0;∴m=4．例27..解：1∵方程x2-2m+1x+m2+5=0有两个不相等的实数根;例28.∴△=-2m+12-4m2+5=8m-16＞0;解得：m＞2．例29.2∵原方程的两个实数根为x1、x2;例30.∴x1+x2=2m+1;x1x2=m2+5．例31.∵m＞2;例32.∴x1+x2=2m+1＞0;x1x2=m2+5＞0;例33.∴x1＞0、x2＞0．例34.∵x12+x22=-2x1x2=|x1|+|x2|+2x1x2;例35.∴4m+12-2m2+5=2m+1+2m2+5;即6m-18=0;例36.解得：m=3．例37.例38.证明：1∵△=2k+12-16k-=2k-32≥0;例39.∴方程总有实根；例40.解：2∵两实数根互为相反数;例41.∴x1+x2=2k+1=0;解得k=-0.5；例42.3①当b=c时;则△=0;例43.即2k-32=0;∴k=;例44.方程可化为x2-4x+4=0;∴x1=x2=2;而b=c=2;∴b+c=4=a不适合题意舍去；例45.②当b=a=4;则42-42k+1+4k-=0;例46.∴k=;例47.方程化为x2-6x+8=0;解得x1=4;x2=2;例48.∴c=2;C△ABC=10;例49.当c=a=4时;同理得b=2;∴C△ABC=10;例50.综上所述;△ABC的周长为10．例51.训练1.1证明：∵方程mx2-m+2x+2=0m≠0是一元二次方程;∴△=m+22-8m=m2+4m+4-8m=m2-4m+4=m-22≥0;∴方程总有两个实数根；2解：∵方程有两个不相等的实数根α;β;∴由根与系数的关系可得α+β=;αβ=;∵+=1;∴==1;解得m=0;∵m≠0;∴m无解．2.解：1∵方程x2-2x+m=0有两个实数根;∴△=-22-4m≥0;解得m≤1；2由两根关系可知;x1+x2=2;x1x2=m;解方程组;解得;∴m=x1x2=×=；3∵x12-x22=0;∴x1+x2x1-x2=0;∵x1+x2=2≠0;∴x1-x2=0;∴方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根;∴△=-22-4m=0;解得m=1．3.1证明：∵关于x的方程x2+m-3x-m2m-3=0的判别式△=m-32+4m2m-3=9m-12≥0;∴无论m为何值方程都有两个实数根；2解：设方程的两个实数根为x1、x2;则x1+x2=-m-3;x1×x2=-m2m-3;令x12+x22=26;得：x1+x22-2x1x2=m-32+2m2m-3=26;整理;得5m2-12m-17=0;解这个方程得;m=或m=-1;所以存在正数m=;使得方程的两个实数根的平方和等于26．4.1证明：在方程x2-6x-k2=0中;△=-62-4×1×-k2=4k2+36≥36;∴方程有两个不相等的实数根．2解：∵x1、x2为方程的两个实数根;∴x1+x2=6①;x1x2=-k2;∵2x1+x2=14②;联立①②成方程组;解之得：;∴x1x2=-k2=-16;∴k=±4．5.解：1∵原方程有两个不相等的实数根;∴△=-2k-32-4k2+1=4k2-12k+9-4k2-4=-12k+5＞0;解得：k＜；2∵k＜;∴x1+x2=2k-3＜0;又∵x1x2=k2+1＞0;∴x1＜0;x2＜0;∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-x1+x2=-2k+3;∵|x1|+|x2|=2|x1x2|-3;∴-2k+3=2k2+2-3;即k2+k-2=0;∴k1=1;k2=-2;又∵k＜;∴k=-2．6.解：1∵△=m-22-4×m-3=m-32+3＞0;∴无论m取什么实数值;这个方程总有两个不相等的实数根；2解：x1+x2=m-2;2x1+x2=x1+x1+x2=m+1;∴x1=m+1+2-m=3;把x1代入方程有：9-3m-2+m-3=0解得m=．7.解：1将x=3代入方程中;得：9a-1-15+4a-2=0;解得：a=2;∴原方程为x2-5x+6=x-2x-3=0;解得：x1=2;x2=3．∴a的值为2;方程的另一个根为x=2．2结合1可知等腰三角形的腰可以为2或3;∴C=2+2+3=7或C=3+3+2=8．∴三角形的周长为8或7．8..解：∵△=2a2-4a2+4a-2≥0;∴又∵x1+x2=-2a;x1x2=a2+4a-2．∴x12+x22=x1+x22-2x1x2=2a-22-4．设y=2a-22-4;根据二次函数的性质．∵∴当时;x12+x22的值最小．此时;即最小值为．。

关于根与系数关系的题及答案

关于根与系数关系的题及答案

一、基本知识原理设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1 ，x2 ，则有根与系数的关系：x1 +x2 = -(b/a)；x1 x2 =c/a ；根与方程的关系：ax12+bx1+c=0 ，ax22+bx2+c=0 。

二、解题方法与策略对于中考数学中这种常见填空题型，出题方式一般是，条件中直接告诉方程有两个根，但通常不会告诉这两个根的具体值，就算你用求根公式可以解出根的具体值，看起来非常繁琐，也不利于求解。

所以，对于这种题目我们的解题方法与策略是：（1）运用根与系数的关系，先求出方程两个根的和与积；（2）对方程进行适当变形，使二次项转化为一次项或常数；或对所求代数表达式进行适当的变形，使其变为含有两根的和或积的形式；（3）代入两个根的和与积，或者代入根与方程的关系，进行计算，问题便迎刃而解。

三、例题详解例1、已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于解：由题意可知：a2﹣2a＝2020，（对方程进行适当的变形，使高次项转化为一次项或常数）由根与系数的关系可知：a+b＝2，（根据方程求出两个根的和）∴原式＝a2﹣2a+2a+2b﹣3 （对所求代数表达式进行适当的变形，使表达式中含有两根之和的形式；）＝2020+2（a+b）﹣3＝2020+2×2﹣3＝2021例2、一个直角三角形的两条直角边的长度恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是.例4、已知关于x的方程x2-4x+k-1=0的两根之差等于6，那么k ．解：设方程的两根为a、b，∴a+b=4 , ab = k-1（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab = 42 -4(k-1)=36解得：k=-4例5、设m、n是一元二次方程x2-2018x+1=0的两个实数根，则代数式2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 的值为（）解：由已知得m+n = 2018 , mn=1（先求出方程两个根的和与积）m2+n2 =(m+n)2 -2mn = 20182 -2 （利用和与积化简高次项为常数）∴2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 （对所求代数表达式进行适当的变形）= 2017(m2+n2) + n2 -2018n-2017×20182= 2017( 20182 -2)-1-2017×20182= -4035。

初中根与系数的关系复习题 附答案

初中根与系数的关系复习题 附答案

10．已知关于 x 的方程（m-2）x2-（m-1）x+m=0． （1）请你选取一个合适的整数 m，使方程有两个有理数根，并求出这两个根； （2）当 m＞0，且 m2-2m＜0 时，讨论方程的实数根的情况．
11．（2013•平谷区一模）已知关于 m 的一元二次方程 2x2+mx-1=0． （1）判定方程根的情况； （2）设 m 为整数，方程的两个根都大于 -1 且小于
b a a b
3 ，那么它的另一个根是为
3
是关于 x 的方程 x2-4x+c=0 的一个根，则 c 的值是
7．已知关于 x 的方程 2x2-mx-6=0 的一个根 2，则 m=
，另一个根为
8．若 x1，x2 是方程 3x2-|x|-4=0 的两根，则
x1 x 2 1 的值 x1 x 2
9．方程 x2-3x+1=0 中的两根分别为 a 、b，则代数式 a 2-4 a -b 的值为
2
2
18．已知 x1，x2 是方程 x2-2x-2=0 的两实数根，不解方程求下列各式的值： （1）
2 2 x1 x 2
；
（2）
1 1 x1 x 2
19． 已知关于 x 的方程 x
2
x2 的积是两根和的两倍， ①求 m 的值； (2m 3) x m 2 6 0 的两根 ，求 a b 的值．
23．要在一个长 10m，宽 8m 的院子中沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的 30%， 试求这花圃的宽度．
24．某电热器经过两次降价后，利润由 20 元降到 5 元，已知降价前该产品的利润率是 25%，解答下列问 题： （1）求这种电热器的进价； （2）求经过两次降价后的售价； （3）求每次降价的平均降价率？（精确到 1%）

根与系数关系经典习题

根与系数关系经典习题

一.填空题X2—7X+ 2 = 0的两个根,那么Xi+X2=1.如果%、%是方程2 2 22 .一元二次方程x2-3x-5 = 0的两根分别为x i、X2,那么X i +X2的值是o3 .假设方程X2 -2X+k =0的两根的倒数和是8,那么卜二.3二.选择题1 .以下方程中,两实数根之和等于2的方程是〔〕I / _ ----- .A. x2+2x-3=0B.x2-2x + 3 = 0C. 2x2-2x-3=0D. 3x2-6X+1=02 .如果一元二次方程X2 +3x-2 =0的两个根为Xp x2,那么X1+x2与X1X2的值分别为〔〕A. 3, 2B. -3, -2C. 3, -2D. -3, 23 .如果方程2x2 -6x+3=0的两个实数根分别为X、",那么X1X2的值是〔〕A. 3B. -3C. - 3D. 3—2 24.如果X、X2是方程X2-3X+1 = 0的两个根,那么二十1的值等于〔〕X1 X2A. - 3B. 3C. 1D. - 13 325 .关于x的方程x -〔k+2〕x+6-k-0有两个相等的正实数根,那么k的值是〔〕■■, I ;A. 2B. - 10C. 2 或-10D. 2 V?\ \ '1\ V'"一二一：6 .假设方程x2 -8x+m = 0两实数根的平方差为16,那么m的值等于〔〕I i y「'J I1A. 3B. 5C. 15D. - 157 .如果％、X2是两个不相等的实数,且满足X12 - 2x1 = 1 , x22 -2x2=1,那么X1X2等于〔〕A. 2B. -2C. 1D. - 18 .对于任意实数m,关于x的方程〔m2+1〕x2-2mx + 〔m2+4〕 = 0一定〔〕A.有两个正的实数根B.有两个负的实数根C.有一个正实数根、一个负实数根D.没有实数根三.解做题1 .关于x的方程x2-〔k-1〕x + k+1 =0的两上实数根的平方和等于4,求实数k的值.2 .一元二次方程x2-2x+m-1=0〔1〕当m取何值时,方程有两个不相等的实数根？(2)设x1、乂2是方程的两个实数根,且满足x12+x1x2 = 1 ,求m的值.2 1 23 .关于x的万程x -(k+1)x+ —k +1=04(1) k取什么值时,方程有两个实数根？(2)如果方程的两个实数根x1、x2满足|x"= x2 ,求k的值.4 .关于x的一元二次方程ax2+ x - a = 0(a 0 0)(1)求证：对于任意非零实数a,该方程包有两个异号的实数根；(2)设x1、乂2是方程的两个实数根,假设|x1| + |x2|=4,求a的值. I / ---------- .一元二次方程根与系数的关系知识考点：掌握一元二次方程根与系数的关系,并会根据条件和根与系数的关系不解方程确定相关的方程和未知的系数值.精典例题：2【例1】关于x的万程2x +kx — 4 =10的一个根是一2,那么方程的另一根是；k =.分析：设另一根为x1,由根与系数的关系可建立关于x1和k的方程组,解之即得.一5答案：一,—12【例2】x1、x2是方程2x2—3x—5=0的两个根,不解方程,求以下代数式的值：,八 2 , 2 | 2 」-2 -(1)x1 +x2(2) |x1 -x2(3) x1 +3x2-3x2a 1 I ,1 J2 2 . . 2 1略解：(1) x1 +x2 =(x1+x2) —2x1x2=7 一4-i 匚Z~~T2 I c 1(2) x1 -x2= 4(x1 +x2) -4x1x2= 3一2,2 2 2 1 _ _ 1(3)原式=(x〔+x2)+(2x2 -3x2) = 7 — + 5 = 12 —4 4【例3】关于x的方程x2 +2(m +2)x +m2 -5 =0有两个实数根,并且这两个根的平方和比这两个根的积大16,求m的值.2 2分析：有实数根,那么0,且x1 +x2 = x1x2 +16 ,联立解得m的值.略解：依题意有：.__ __ _ ______ 9由①②③解得：m = —1或m = -15 ,又由④可知m >4m = 一15 舍去,故m = -1探索与创新：【问题一】x1、x2是关于x的一元二次方程4x2+4(m—1)x+m2 = 0的两个非零实数根,问：*1与*2能否同号？欢送阅读假设能同号请求出相应的 m 的取值范围；假设不能同号,请说明理由.1 ,12略解：由△ = -32m +16)0得 mW —.x 1+x 2= -m +1, x 1 x 2= — m >02 4X 1与x 2可能同号,分两种情况讨论:X1 + X 2 > 0 - 一,解得m < 1且m ,0 x 1x 2 > 0±4,又 k <0:存在整数k 的值为一2、一3、- 5A,有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根2,假设方程kX 2—6X + 1 = 0有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是1 1 3 .设X 1、X 2是万程3X 2+ 4X —5=0的两根, X 1 X 2⑵假设 X1 <0, X 2 < 0, X + X 2 < 0 那么1 X 1X 2 0 … - 1,一 ,解得m > 1与m 0 —相矛盾 2 综上所述：当 m < 1且m ,0时,方程的两根同号. 2 2 一 . 【问题一】X 1、X 2是一元二次方程4kX —4kX +k +1 = 0的两个实数根. (1) . ... .. ..................................................... 3 是否存在头数k ,使〔2X 1 -X 2〕〔X 1 —2X 2〕=——成立？假设存在,求出k 的值；假设不存在,请说明理由. 2 (2) 求使 '+至_ 2的值为整数的实数 k 的整数值. X 2 X 1 略解: (1)由 k ,0和0= k <0 d k 1 X 1 +X 2 =1, X 1X 2 = -------------------- 4k 2 人 • • (2x 1 - X 2)(X 1 -2x 2)= 2(X 1 X 2) - 9X 1X 2 ..9 .一 k =—,而 k <0 5 :不存在： ⑵X1 X 2 十红 _2=(X 1 +X 2)2 .4 4 … 4 —,要使— --------- 的值为整数,而k 为整数,k+1只能取土 1、±2、 X 1 X 1X 2 C .只有一个实数根D.没有实数根 (1)假设 X1 >0, X 2 >0, 那么〕 次方程X 2 -2x -1 =0的根的情况为〔4 .关于 x 的方程 2x 2 + (n2 —9)x+m+ 1=0,当 m=时,两根互为倒数；当m=时,两根互为相反数. 5 .假设X i =$3-2是二次方程x 2+ ax+1 = 0的一个根,那么a=,该方程的另一个根X 2 =. 6 .设 x i, x 2是方程 2x 2+ 4x —3=0 的两个根,那么(x i+1)(x 2+1)=, x ； + x 22=, 1 1 、2一 十 — —? (x 1 — x 2) _.x 1 x 27 .当c= ___________ 时,关于x 的方程2x 2+8x+c = 0有实数根.(填一个符合要求的数即可)I / --------- -- .8 .关于x 的方程x 2—(a + 2)x+a - 2b = 0的判另1J 式等于0,且x=g ■是方程的根,那么a + b 的值 为.9 .a, b 是关于x 的方程x 2-(2k+1)x+k(k+1) =0的两个实数根,那么a 2+b 2的最小值是10 .a , P 是关于x 的一元二次方程x 2 +(2m+3)x + m 2 =0的两个不相等的实数根,且满足11 .................. 一 = -1,那么m 的值是() a P D . -3 或 1X, & ,那么 x ；x 2 +x 1x 22 的值是( D . —1 312.(泸州)假设关于x 的一元二次方程x 2.-2x+m=0没有实数根,那么实数 m 的取值范围是(A . m<l跟踪练习：一、填空题：2 — 11 1、设x 1、x 2是方程x — 4x +2=0的两根,那么① + = x 1 x2 一、一一 22、以方程2x 2 -x -4 = 0的两根的倒数为根的一元二次方程是23、万程x -mx +45 =0的两实根差的平万为144,那么m =.4、方程x 2 —3x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是 , m 的值是2 26、x 1、x 2是方程x 2 -3x +1 =0的两根,那么4x 1 +12x 2 +11的值为.A . 3 或—1B . 3C . 1 11. 一元二次方程x 2 -3x+1=0的两个根分别是1A. 3 B . -3 C .— 3 [② x 1 -x 2 [③国 +1)(x 2+1)=欢送阅读二、选择题:21、如果万程x十mx =1的两个实根互为相反数,那么m的值为〔〕A、0B、一1C、1D、± 12 「b f -小小…、2、ab,0,方程ax +bx +c = 0的系数满足一i =ac,那么万程的两根之比为〔〕<2；A、0 ： 1B、1 ： 1C、1 ： 2D、2 ： 32 24、菱形ABCD的边长是5,两条对角线交于O点,且AO、BO的长分别是关于x的万程：x +〔2m — 1〕x + m +3 = 0的根, 那么m的值为〔〕A、- 3B、5C、5 或—3D、—5或3三、解做题：、一21、证实：方程x2—1997x+1997 =0无整数根. 2 22、关于x的方程x +3x+a =0的两个实数根的倒数和等于3,关于x的方程〔k —1〕x +3x —2a = 0有实根,且k为k -1正整数,求代数式--------- 的值.k -22 23、关于x的万程x -〔1 -2a〕x +a -3 = 0 ……①有两个不相等的实数根,且关于x的万程2x2——2x+2a —1=0……②没有实数根,问：a取什么整数时,方程①有整数解？. . … 2 一. 八 2 一一4、关于x的万程x — 2〔m+1〕x+m —3=0〔D当m取何值时,方程有两个不相等的实数根？2 〔2〕设x「x2是万程的两根,且〔x1 +x2〕-〔x1 + x2〕-12 = 0 ,求m的值.i 产J F 1 I , I\ \ xI . F ；、一. 2 ........... 一.. .、一.. .、2 _ ____ __ 5、关于x的方程kx +〔2k —1〕x+k —1 =0只有整数根,且关于y的一元二次方程〔k—1〕y — 3y + m = 0的两个实\ \ . । \ 卜二二一二’ 数根为y1、y2.〔1〕当k为整数时,确定k的值.I I 2 2〔2〕在〔1〕的条件下,假设m = 2,求y1 +y2的值. 2 26、X I、x2是关于x的一元二次方程4x +4〔m-1〕x + m =0的两个非零实根,问：x1、x2能否同号？假设能同号,请求出相应m的取值范围；假设不能同号,请说明理由.7 .设关于x的方程kx2—〔2卜+1伙+卜=0的两实数根为X I、X2,,假设上+也=17,求k的值. x2x1 48 .关于x的一元二次方程x2m -1 〕x+m+2 = 0 .〔1〕假设方程有两个相等的实数根,求m的值；(2)假设方程的两实数根之积等于m2—9m+2,求“希百的值.-J/-。

根与系数关系 题

根与系数关系 题

一. 填空题1. 如果x x 12、是方程x x 2720-+=的两个根，那么x x 12+=____________。

2. 已知一元二次方程x x 2350--=的两根分别为x x 12、，那么x x 1222+的值是_________。

3. 若方程x x k 220-+=的两根的倒数和是83，则k =____________。

二. 选择题1. 下列方程中，两实数根之和等于2的方程是（ ） A.x x 2230+-= B. x x 2230-+= C. 22302x x --= D.36102x x -+=2. 如果一元二次方程x x 2320+-=的两个根为x x 12、，那么x x 12+与x x 12的值分别为（ ） A. 3，2B. --32，C. 32，-D. -32，3. 如果方程26302x x -+=的两个实数根分别为x x 12、，那么x x 12的值是（ ） A. 3B. -3C. -32D.324. 如果x x 12、是方程x x 2310-+=的两个根，那么1112x x +的值等于（ ） A. -3B. 3C. 13D. -135. 已知关于x 的方程x k x k 2260-++-=()有两个相等的正实数根，则k 的值是（ ） A. 2B. -10C. 2或-10D. 256. 若方程x x m 280-+=两实数根的平方差为16，则m 的值等于（ ） A. 3B. 5C. 15D. -157. 如果x x 12、是两个不相等的实数，且满足x x 12121-=，x x 22221-=，那么x x 12等于（ ） A. 2B. -2C. 1D. -18. 对于任意实数m ，关于x 的方程()()m x mx m 2221240+-++=一定（ ） A. 有两个正的实数根B. 有两个负的实数根 C. 有一个正实数根、一个负实数根D. 没有实数根 三. 解答题1. 已知关于x 的方程x k x k 2110--++=()的两上实数根的平方和等于4，求实数k 的值。

(完整版)一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)

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一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）一．选择题（共22小题）1．（2014•宜宾）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（ ）　A ．x2+3x﹣2=0B．x2﹣3x+2=0C．x2﹣2x+3=0D．x2+3x+2=02．（2014•昆明）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于（ ）　A ．﹣4B．﹣1C．1D．43．（2014•玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（ ）　A ．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在4．（2014•南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ）　A ．10B．9C．7D．55．（2014•贵港）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是（ ）　A ．﹣10B．10C．﹣6D．﹣16．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（ ）　A ．﹣1或5B．1C．5D．﹣17．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ）　A ．α+β=﹣1B．αβ=﹣1C．α2+β2=3D．+=﹣18．（2014•威海）方程x2﹣（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（ ）　A ．﹣2或3B．3C．﹣2D．﹣3或2i mA ．2B ．1C ．﹣1D ．0　10．（2014•黄冈样卷）设a ，b 是方程x 2+x ﹣2015=0的两个实数根，则a 2+2a+b 的值为（ ）　A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015　11．（2014•江西模拟）一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0与3x 2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（ ）　A．﹣6B ．6C ．3D．﹣3　12．（2014•峨眉山市二模）已知x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（ ）　A ．19B ．18C ．15D ．13　13．（2014•陵县模拟）已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是（ ）　A ．a=﹣3，b=1B ．a=3，b=1C ．a=﹣，b=﹣1D ．a=﹣，b=1　14．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x 2﹣5x ﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（ ）　A．﹣1B ．9C ．23D ．27　15．（2013•桂林）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+a ﹣1=0有两根为x 1和x 2，且x 12﹣x 1x 2=0，则a 的值是（ ）A ．a=1B ．a=1或a=﹣2C ．a=2D ．a=1或a=216．（2013•天河区二模）已知一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=（ ）A ．4B ．3C ．﹣4D．﹣3　17．（2013•青神县一模）已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．　18．（2012•莱芜）已知m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（ ）A 9B ．±3C ．3D 5ei n re 19．（2012•天门）如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为（ ）　A ．3B ．﹣3C ．13D．﹣13　20．（2011•锦江区模拟）若方程x 2﹣3x ﹣2=0的两实根为x 1、x 2，则（x 1+2）（x 2+2）的值为（ ）　A．﹣4B ．6C ．8D ．12　21．（2011•鄂州模拟）已知p 2﹣p ﹣1=0，1﹣q ﹣q 2=0，且pq ≠1，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．D ．22．（2010•滨湖区一模）若△ABC 的一边a 为4，另两边b 、c 分别满足b 2﹣5b+6=0，c 2﹣5c+6=0，则△ABC 的周长为（ ）　A ．9B ．10C ．9或10D ．8或9或10二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x 的方程x 2+（k ﹣2）x+k 2=0的两根互为倒数，则k=　_________　．24．（2014•呼和浩特）已知m ，n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，则m 2﹣mn+3m+n=　_________　．25．（2014•广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为　_________　．　26．（2014•桂林）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+k 2﹣2=0的两根为x 1和x 2，且（x 1﹣2）（x 1﹣x 2）=0，则k 的值是　_________　．　三．解答题（共4小题）27．（2014•泸州）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣2（m+1）x+m 2+5=0的两实数根．（1）若（x 1﹣1）（x 2﹣1）=28，求m 的值；（2）已知等腰△ABC 的一边长为7，若x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．　28．（2014•日照二模）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，其满足29．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．　30．（2001•苏州）已知关于x 的一元二次方程，（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．（2014•宜宾）若关于x 的一元二次方程的两个根为x 1=1，x 2=2，则这个方程是（ ）　A ．x 2+3x ﹣2=0B ．x 2﹣3x+2=0C ．x 2﹣2x+3=0D ．x 2+3x+2=0考点：根与系数的关系．分析：解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．解答：解：两个根为x 1=1，x 2=2则两根的和是3，积是2．A 、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B 、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C 、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D 、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，故选：B ．点评：验算时要注意方程中各项系数的正负．　2．（2014•昆明）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1=0的两个实数根，则x 1•x 2等于（ ）　A．﹣4B ．﹣1C ．1D ．4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：直接根据根与系数的关系求解．解答：解：根据韦达定理得x 1•x 2=1．故选：C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．3．（2014•玉林）x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+m ﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m 使+=0成立？则正确的结论是（ ）　A ．m=0时成立B ．m=2时成立C ．m=0或2时成立D ．不存在分析：先由一元二次方程根与系数的关系得出，x 1+x 2=m ，x 1x 2=m ﹣2．假设存在实数m 使+=0成立，则=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+m ﹣2=0的两个实数根，∴x 1+x 2=m ，x 1x 2=m ﹣2．假设存在实数m 使+=0成立，则=0，∴=0，∴m=0．当m=0时，方程x 2﹣mx+m ﹣2=0即为x 2﹣2=0，此时△=8＞0，∴m=0符合题意．故选：A ．点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x 1，x 2是方程x 2+px+q=0的两根时，那么x 1+x 2=﹣p ，x 1x 2=q ．4．（2014•南昌）若α，β是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ）　A ．10B ．9C ．7D ．5考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣3，则将所求的代数式变形为（α+β）2﹣2αβ，将其整体代入即可求值．解答：解：∵α，β是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个实数根，∴α+β=2，αβ=﹣3，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣3）=10．故选：A ．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．（2014•贵港）若关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0的两个实数根分别为x 1=﹣2，x 2=4，则b+c 的值是（ ）　A．﹣10B ．10C ．﹣6D．﹣1分析：根据根与系数的关系得到﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，解得b=﹣2，c=﹣8∴b+c=﹣10．故选：A．点评：此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=．　6．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（ ）　A ．﹣1或5B．1C．5D．﹣1考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a，x1•x2=2a，由于x12+x22=5，变形得到（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，则a2﹣4a﹣5=0，然后解方程，满足△≥0的a的值为所求．解答：解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=a，x1•x2=2a，∵x12+x22=5，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，∴a2﹣4a﹣5=0，∴a1=5，a2=﹣1，∵△=a2﹣8a≥0，∴a=﹣1．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．7．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ）　A ．α+β=﹣1B．αβ=﹣1C．α2+β2=3D．+=﹣1考点：根与系数的关系．分析：先根据根与系数的关系得到α+β=﹣1，αβ=﹣1，再利用完全平方公式变形α2+β2得到（α+β）2﹣2αβ，利用通分变形+得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断．解答：解：根据题意得α+β=﹣1，αβ=﹣1．所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=3；+===1．故选：D ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．8．（2014•威海）方程x 2﹣（m+6）x+m 2=0有两个相等的实数根，且满足x 1+x 2=x 1x 2，则m 的值是（ ）　A．﹣2或3B ．3C ．﹣2D．﹣3或2考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：判别式法．分析：根据根与系数的关系有：x 1+x 2=m+6，x 1x 2=m 2，再根据x 1+x 2=x 1x 2得到m 的方程，解方程即可，进一步由方程x 2﹣（m+6）+m 2=0有两个相等的实数根得出b 2﹣4ac=0，求得m 的值，由相同的解解决问题．解答：解：∵x 1+x 2=m+6，x 1x 2=m 2，x 1+x 2=x 1x 2，∴m+6=m 2，解得m=3或m=﹣2，∵方程x 2﹣（m+6）x+m 2=0有两个相等的实数根，∴△=b 2﹣4ac=（m+6）2﹣4m 2=﹣3m 2+12m+36=0解得m=6或m=﹣2∴m=﹣2．故选：C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式△=b 2﹣4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．9．（2014•长沙模拟）若关于x 的一元二次方程x 2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（ ）A 2B ．1C ．D 0考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．解答：解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的两个根，由韦达定理，得x1•x2=2，即﹣2x2=2，解得，x2=﹣1．即方程的另一个根是﹣1．故选C．点评：此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．10．（2014•黄冈样卷）设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）　A ．2012B．2013C．2014D．2015考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，则a2+2a+b变形为a+b+2015，再根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．解答：解：∵a是方程x2+x﹣2015=0的根，∴a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，∴a2+2a+b=a+b+2015，∵a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=a+b+2015=﹣1+2015=2014．故选C．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．11．（2014•江西模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（ ）　A ．﹣6B．6C．3D．﹣3e t 分析：由一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0和3x 2﹣11x+6=0先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系，即可直接得出答案．解答：解：由一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0，∵△=4+16=20＞0，∴x 1x 2=﹣3，由一元二次方程3x 2﹣11x+6=0，∵△=121﹣4×3×6=49＞0，∴x 1x 2=2∴﹣3×2=﹣6故选A ．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式．　12．（2014•峨眉山市二模）已知x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（ ）　A ．19B ．18C ．15D ．13考点：根与系数的关系；二次函数的最值．分析：根据x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+（k 2+3k+5）=0的两个实根，由△≥0即可求出k 的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．解答：解：由方程有实根，得△≥0，即（k ﹣2）2﹣4（k 2+3k+5）≥0所以 3k 2+16k+16≤0，所以 （3k+4）（k+4）≤0解得﹣4≤k ≤﹣．又由x 1+x 2=k ﹣2，x 1•x 2=k 2+3k+5，得x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=（k ﹣2）2﹣2（k 2+3k+5）=﹣k 2﹣10k ﹣6=19﹣（k+5）2，当k=﹣4时，x 12+x 22取最大值18．故选：B ．点评：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据△≥0先求出k 的取值范围再根据根与系数的关系进行求解．13．（2014•陵县模拟）已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是（ ）　A ．a=﹣3，b=1B ．a=3，b=1C ．a=﹣，b=﹣1D ．a=﹣，b=1考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系得到得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，即﹣2a=3，b=1，然后解一次方程即可．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，所以﹣2a=3，b=1，解得a=﹣，b=1．故选D．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．14．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（ ）　A ．﹣1B．9C．23D．27考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系α+β=﹣，αβ=，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．解答：解：∵α，β是方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=5，αβ=﹣2，又∵α2+αβ+β2=（α+β）2﹣βα，∴α2+αβ+β2=52+2=27；故选D．点评：此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1x2=．15．（2013•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，则a的值是（ ）　A ．a=1B．a=1或a=﹣2C．a=2D．a=1或a=2考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：根据x12﹣x1x2=0可以求得x1=0或者x1=x2，所以①把x1=0代入原方程可以求得a=1；②利用根的判别式等于0来求a的值．解答：解：解x12﹣x1x2=0，得x1=0，或x1=x2，①把x1=0代入已知方程，得t i me an dAl l t h i ng sa ﹣1=0，解得：a=1；②当x 1=x 2时，△=4﹣4（a ﹣1）=0，即8﹣4a=0，解得：a=2．综上所述，a=1或a=2．故选：D ．点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于0来求a 的另一值．16．（2013•天河区二模）已知一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=（ ）　A ．4B ．3C ．﹣4D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，直接利用x 1+x 2=﹣求出即可．解答：解：∵一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，∴x 1+x 2=﹣=4．故选A ．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键．　17．（2013•青神县一模）已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则的值等于（ ）　A ．B ．C ．D ．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到m+n=，mn=﹣，再变形+得到，然后利用整体思想计算．解答：解：根据题意得m+n=，mn=﹣，所以+===﹣．故选D ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．18．（2012•莱芜）已知m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（ ）　A 9B ．±3C ．3D5i e dl l t h i ng si nt he i rb a re go od fo s ．．考点：根与系数的关系；二次根式的化简求值．专题：整体思想．分析：根据一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=1，再变形得，然后把m+n=﹣2，mn=1整体代入计算即可．解答：解：∵m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴====3．故选C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．也考查了二次根式的化简求值．19．（2012•天门）如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为（ ）　A ．3B ．﹣3C ．13D．﹣13考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：利用根与系数的关系求得x 1x 2=a ，x 1+x 2=﹣4，然后将其代入x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=0列出关于a的方程，通过解方程即可求得a 的值．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x 1x 2=a ，x 1+x 2=﹣4，∴x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=a ﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a+3=0，解得，a=﹣3；故选B ．点评：本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．　20．（2011•锦江区模拟）若方程x 2﹣3x ﹣2=0的两实根为x 1、x 2，则（x 1+2）（x 2+2）的值为（ ）　A．﹣4B ．6C ．8D ．12考点：根与系数的关系．分析：根据（x 1+2）（x 2+2）=x 1x 2+2x 1+2x 2+4=x 1x 2+2（x 1+x 2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．解答：解：∵x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣2=0的两个实数根．thingsintheirbeingareg∴x1+x2=3，x1•x2=﹣2．又∵（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4．将x1+x2=3、x1•x2=﹣2代入，得（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4=（﹣2）+2×3+4=8．故选C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21．（2011•鄂州模拟）已知p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，则的值为（ ）　A．1B．2C．D．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先把1﹣q﹣q2=0变形为，然后结合p2﹣p﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系可以得到p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值．解答：解：由p2﹣p﹣1=0和1﹣q﹣q2=0，可知p≠0，q≠0，又∵pq≠1，∴，∴由方程1﹣q﹣q2=0的两边都除以q2得：，∴p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，则由韦达定理，得p+=1，∴=p+=1．故选A．点评：本题考查了根与系数的关系．首先把1﹣q﹣q2=0变形为是解题的关键，然后利用根与系数的关系就可以求出所求代数式的值．22．（2010•滨湖区一模）若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC的周长为（ ）　A．9B．10C．9或10D．8或9或10考点：根与系数的关系；三角形三边关系．专题：压轴题．分析：由于两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，根据根与系数的关系可以得到b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，由此即可求出△ABC的一边a为4周长．解答：解：∵两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，∴b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，∴b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，①若b=c，则b=c=3或b=c=2，但2+2=4，所以三角形不成立，故b=c=3．∴△ABC的周长为4+3+3=10或4+2+2②若b≠c，∴△ABC的周长为4+5=9．故选C．点评：此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来，利用根与系数的关系来三角形的周长．此题要注意分类讨论．二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=　﹣1　．考点：根与系数的关系．专题：判别式法．分析：根据已知和根与系数的关系x1x2=得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k的值．解答：解：∵x1x2=k2，两根互为倒数，∴k2=1，解得k=1或﹣1；∵方程有两个实数根，△＞0，∴当k=1时，△＜0，舍去，故k的值为﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了根与系数的关系，根据x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣，x1x2=进行求解．24．（2014•呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=　8　．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：常规题型．Array分析：根据m+n=﹣=﹣2，m•n=﹣5，直接求出m、n即可解题．解答：解：∵m 、n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，∴mn=﹣5，m+n=﹣2，∵m 2+2m ﹣5=0∴m 2=5﹣2mm 2﹣mn+3m+n=（5﹣2m ）﹣（﹣5）+3m+n =10+m+n =10﹣2=8故答案为：8．点评：此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m 和n 的值是解决问题的关键．　25．（2014•广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为 ．考点：根与系数的关系；二次函数的最值．专题：判别式法．分析：由题意可得△=b 2﹣4ac ≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根，则△=b 2﹣4ac=4m 2﹣4（m 2+3m ﹣2）=8﹣12m ≥0，∴m ≤，∵x 1（x 2+x 1）+x 22=（x 2+x 1）2﹣x 1x 2=（﹣2m ）2﹣（m 2+3m ﹣2）=3m 2﹣3m+2=3（m 2﹣m+﹣）+2=3（m ﹣）2 +；∴当m=时，有最小值；∵＜，∴m=成立；∴最小值为；故答案为：．点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．26．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是　﹣2或﹣　．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：先由（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，得出x1﹣2=0或x1﹣x2=0，再分两种情况进行讨论：①如果x1﹣2=0，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，解方程求出k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么将x1+x2=﹣（2k+1），x1x2=k2﹣2代入可求出k的值，再根据判别式进行检验．解答：解：∵（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，∴x1﹣2=0或x1﹣x2=0．①如果x1﹣2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣2）=4k+9=0，解得k=﹣．又∵△=（2k+1）2﹣4（k2﹣2）≥0．解得：k≥﹣．所以k的值为﹣2或﹣．故答案为：﹣2或﹣．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．三．解答题（共4小题）27．（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：代数几何综合题．分析：（1）利用（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，求得m的值即可；（2）分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．解答：解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根，∴x1+x2=2（m+1），x1•x2=m2+5，∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，解得：m=﹣4或m=6；当m=﹣4时原方程无解，∴m=6；（2）①当7为底边时，此时方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=0，解得：m=2，∴方程变为x2﹣6x+9=0，解得：x1=x2=3，∵3+3＜7，∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1=7，代入方程得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或15∵7+7＜15，不能组成三角形；当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17．点评：本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．28．（2014•日照二模）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80．求实数a 的所有可能值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：根据△的意义由一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根得到△≥0，即（3a ﹣1）2﹣4（2a 2﹣1）=a 2﹣6a+5≥0，根据根与系数的关系得到x 1+x 2=﹣（3a ﹣1），x 1•x 2=2a 2﹣1，由（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80变形得到3（x 1+x 2）2﹣16x 1x 2=﹣80，于是有3（3a ﹣1）2﹣16（2a 2﹣1）=﹣80，解方程得到a=3或a=﹣，然后代入△验算即可得到实数a 的值．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，∴△≥0，即（3a ﹣1）2﹣4（2a 2﹣1）=a 2﹣6a+5≥0所以a ≥5或a ≤1．…（3分）∴x 1+x 2=﹣（3a ﹣1），x 1•x 2=2a 2﹣1，∵（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80，即3（x 12+x 22）﹣10x 1x 2=﹣80，∴3（x 1+x 2）2﹣16x 1x 2=﹣80，∴3（3a ﹣1）2﹣16（2a 2﹣1）=﹣80，整理得，5a 2+18a ﹣99=0，∴（5a+33）（a ﹣3）=0，解得a=3或a=﹣，当a=3时，△=9﹣6×3+5=﹣4＜0，故舍去，当a=﹣时，△=（﹣）2﹣6×（﹣）+6=（）2+6×+6＞0，∴实数a 的值为﹣点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：如果方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．29．（2013•孝感）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+k 2+2k=0有两个实数根x 1，x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k 使得x 1•x 2﹣x 12﹣x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo r考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：（1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k 的不等式[﹣（2k+1）]2﹣4（k 2+2k ）≥0，通过解该不等式即可求得k 的取值范围；（2）假设存在实数k 使得≥0成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得k 的值．解答：解：（1）∵原方程有两个实数根，∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k 2+2k ）≥0，∴4k 2+4k+1﹣4k 2﹣8k ≥0∴1﹣4k ≥0，∴k ≤．∴当k ≤时，原方程有两个实数根． （2）假设存在实数k 使得≥0成立．∵x 1，x 2是原方程的两根，∴．由≥0，得≥0．∴3（k 2+2k ）﹣（2k+1）2≥0，整理得：﹣（k ﹣1）2≥0，∴只有当k=1时，上式才能成立．又∵由（1）知k ≤，∴不存在实数k 使得≥0成立．点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．30．（2001•苏州）已知关于x 的一元二次方程，（1）求证：不论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x 1、x 2是方程的两个根，且x 12﹣2kx 1+2x 1x 2=5，求k 的值．n ga re go od fo rs 考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：（1）已知关于x 的一元二次方程，∴△=（﹣2k ）2﹣4×（k 2﹣2）=2k 2+8，∵2k 2+8＞0恒成立，∴不论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）∵x 1、x 2是方程的两个根，∴x 1+x 2=2k ，x 1•x 2=k 2﹣2，∴x 12﹣2kx 1+2x 1x 2=x 12﹣（x 1+x 2）x 1+2x 1x 2=x 1x 2=k 2﹣2=5，解得k=±．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。

根与系数的关系练习题

根与系数的关系练习题

根与系数的关系练习题一元二次方程根与系数的关系1、如果方程ax2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。

2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；2111x x +；x 21+x 22= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。

3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是。

4、如果关于x 的一元二次方程x2+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根是，a 的值为。

5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。

6、已知方程2x2+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。

7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p= 。

8、已知方程x2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。

9、已知关于x 的一元二次方程(a2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。

10、已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且x 1+x 2=－2，则m= ，(x 1+x 2)21x x ?= 。

11、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为。

12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为。

13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为。

(其中二次项系数为1)14、已知关于x 的一元二次方程x2－2(m －1)x+m 2=0。

若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。

15、已知方程x2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。

16、已知关于x 的方程x2－3x+k=0的两根立方和为0，则k=17、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1、x 2，且43x 1x 121-=+，则m= 。

根与系数关系例题附答案

根与系数关系例题附答案

根与系数关系专练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知α，β方程x 2+3x ﹣8＝0的两个实数根，则为x 1、x 2，则α2+β2的值为（ ） A ．﹣7 B ．25 C ．17 D ．1【答案】B 【分析】根据韦达定理可得α＋β＝-3，αβ＝-8，再根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：∵α，β方程x 2+3x ﹣8＝0的两个实数根， ∴α＋β＝-3，αβ＝-8，∴α2+β2=（α＋β）2-2αβ＝9+16=25， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，则x 1＋x 2＝−b a，x 1x 2＝c a ．2．一元二次方程240x kx +-=的一个根是1x =-，则另一个根是（ ） A ．4 B ．-1 C ．-3 D ．-2【答案】A 【分析】设方程的另一个根为m ，由根与系数的关系即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m ， 则有m ×（-1）=-4， 解得：m =4． 故选：A ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之积等于ca是解题的关键．3．已知,m n 是方程2310x x +-=的两根，则24m m n ++的值为（ ）A ．2-B ．2C ．3-D ．4【答案】A 【分析】,m n 是方程2310x x +-=的两根,则有2310m m +-=，3m n +=-，将原式变形代入求解即可． 【详解】解：∵,m n 是方程2310x x +-=的两根 ∴2310m m +-=，3m n +=- ∴231m m +=∴22+4+=3=132m m n m m m n +++-=- 故选：A 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及方程解的定义，根据所对应的代数式进行适当的变形是解题关键．4．若x 1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则x 12﹣2017x 1﹣2018x 2的值为（ ） A ．2020 B ．2019 C ．2018 D ．2017【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得21110x x +-=，根与系数的关系求得12x x +1=-，代入求解即可． 【详解】x1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，∴21110x x +-=，12x x +1=-，()()2111220181201812019x x x x ∴=+-+=-⨯-=原式．故选B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 5．已知实数a ，b 满足a ≠b ，且a 2－4a ＝b 2－4b ＝2，则a 2＋b 2的值为（ ） A ．16 B ．20 C ．25 D ．30【答案】B 【分析】根据题意可得则,a b 为2x 4x 2-=的两根，进而根据一元二次方程根与系数的关系以及完全平方公式的变形求值即可． 【详解】242a a -=，242b b -=，则,a b 为2x 4x 2-=的两根 2420x x --=， 4,2a b ab ∴+==-，()222216420a b a b ab ∴+=+-=+=，故选B 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，理解,a b 为2x 4x 2-=的两根是解题的关键．6．等腰三角形三边长分别为a 、b 、4，且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +k +2＝0的两根，则k 的值为（ ） A ．30 B ．34或30C ．36或30D ．34【答案】D 【分析】分三种情况讨论，①当a =4时，②当b =4时，③当a=b 时；结合一元二次方程根与系数的关系即可求解； 【详解】解：当4a =时，440448b -=<<+=时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 412b ∴+=， 8b ∴=不符合；当4b =时，440448a -=<<+=，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 412a ∴+=，8a ∴=不符合；当a b =时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 1222a b ∴==， 6a b ∴==，236k ab ∴+==，34k ∴=； 故选D ． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合一元二次方程根与系数的关系和三角形三边关系进行解题是关键． 7．方程2x 2+（k +1）x －6=0的两根和是－2，则k 的值是（ ） A ．k =3 B ．k =－ 3 C ．k =0 D ．k =1【答案】A 【分析】设方程22(1)60x k x ++-=的两根分别为1x ，2x ，则由题意得12122k x x ++=-=-，解方程即可． 【详解】解：设方程22(1)60x k x ++-=的两根分别为1x ，2x ， ∵方程22(1)60x k x ++-=的两根之和是-2， ∴12122k x x ++=-=-， ∴3k =， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 8．点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上，且a ，b 是关于的一元二次方程260x x m -+=的两根，则点A 坐标是（ ）A ．（1，9）B ．92,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．（3，3）D ．（-3，-3）【答案】C 【分析】根据点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上，可得9ab = ，再利用一元二次方程根与系数的关系，可得ab m =，从而得到9m = ，然后解出方程，即可求解． 【详解】解：∵点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上， ∴9ab = ，∵a ，b 是关于的一元二次方程260x x m -+=的两根， ∴ab m =， ∴9m = ，∴方程260x x m -+=为2690x x -+=， 解得：123x x == ， 即3a b == ， ∴点A 坐标是()3,3 ． 故选：C 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．二、填空题9．设a ，b 是方程x 2＋x ﹣2021＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为____． 【答案】2020 【分析】由于a 2＋2a ＋b ＝（a 2＋a ）＋（a ＋b ），故根据方程的解的意义，求得（a 2＋a ）的值，由根与系数的关系得到（a ＋b ）的值，即可求解． 【详解】解：∵a ，b 是方程x 2＋x −2021＝0的两个实数根， ∴a 2＋a −2021＝0，即a 2＋a ＝2021，a ＋b ＝ba-＝−1，∴a 2＋2a ＋b ＝a 2＋a ＋a ＋b ＝2021−1＝2020， 故答案为：2020． 【点睛】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．10．若方程x 2﹣3x +1＝0的两根是x 1，x 2，则x 1（1+x 2）+x 2的值为___． 【答案】4 【分析】根据根与系数的关系可得出x 1+x 2＝3、x 1x 2＝1，将其代入x 1（1+x 2）+x 2＝（x 1+x 2）+x 1x 2中即可求出结论． 【详解】解：∵方程x 2﹣3x +1＝0的两根是x 1，x 2， ∴x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1，∴x 1（1+x 2）+x 2＝x 1+x 1x 2+x 2＝（x 1+x 2）+x 1x 2＝3+1＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-b a、两根之积等于ca 是解题的关键．11．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根，则（a +1）（b +1）的值为_______． 【答案】-2021 【分析】首先根据一元二次方程根与系数的关系得出1,2021a b ab +=-=-，然后整体代入求解即可． 【详解】∵a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根， 1,2021a b ab ∴+=-=-，()()()()1112021112021a b ab a b ∴++=+++=-+-+=-，故答案为：-2021． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是关键．12．已知方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，则x 1+x 2﹣x 1x 2的值为_________． 【答案】23【分析】根据一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系可得x 1+x 2＝13，x 1x 2＝13-，再将它们代入x 1+x 2﹣x 1x 2，计算即可． 【详解】解：∵方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，∴x 1+x 2＝13，x 1x 2＝13-，∴x 1+x 2﹣x 1x 2＝13﹣1()3-＝23．故答案为：23．【点睛】本题考查了根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝﹣b a，x 1•x 2＝ca ．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．也考查了一元二次方程的解的定义．13．设x 1，x 2是方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个实数根，则4x 12+4x 1﹣2x 2的值为 ______． 【答案】11 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到2x 12＝﹣3x 1+4，则4x 12+4x 1﹣2x 2化为﹣2（x 1+x 2）+8，再根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝﹣32，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵x 1是方程2x 2+3x ﹣4＝0的根， ∴2x 12+3x 1﹣4＝0， ∴2x 12＝﹣3x 1+4，∴4x 12+4x 1﹣2x 2＝2（﹣3x 1+4）+4x 1﹣2x 2＝﹣2（x 1+x 2）+8， ∵x 1，x 2是方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝﹣32，∴4x 12+4x 1﹣2x 2＝﹣2（x 1+x 2）+8＝﹣2×（﹣32）+8＝11．故答案为:11． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根，则12bx x a +=-，12c x x a=．14．设α、β是方程x 2+2x ﹣2021＝0的两根，则α2+3α+β的值为______． 【答案】2019 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α-2021=0，则α2+2α=2021，于是α2+3α+β可化为2021+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β=-2，然后利用整体代入的方法计算求解即可． 【详解】解：根据题意知，α2+2α﹣2021＝0，即α2+2α＝2021． 又∵α+β＝﹣2．所以α2+3α+β＝α2+2α+（α+β）＝2021﹣2＝2019． 故答案是：2019． 【点睛】此题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，1212,b cx x x x a a+=-=，也考查了一元二次方程的解．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解以及根与系数的关系．三、解答题15．已知关于x 的方程240x x m -+=的一个根为2+ （1）求m 的值及方程的另一个根； （2）设方程的两个根为1x ，2x ，求20212022121x xx +的值．【答案】（1）m =1，（2）4 【分析】（1）设方程的另一个根为a ，则由根与系数的关系得：a ，（a =m ，求出即可．（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x 1+x 2=4，x 1•x 2=1，根据积的乘方把原式变形，代入计算即可． 【详解】解：（1）设方程的另一个根为a ，则由根与系数的关系得：a ，（a =m ，解得：a m =1，即m =1，方程的另一个根为 （2）x 1，x 2是方程x 2-4x +1=0的两个根， 则x 1+x 2=4，x 1•x 2=1，∴x 12021x 22022+x 1=（x 1x 2）2021x 2+x 1=x 2+x 1=4． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的应用，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=ba -，x 1x 2=c a ，反过来也成立．16．已知关于x 的方程221(2)04x m x m --+=有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由．【答案】（1）m ＜1；（2）不存在；理由见解析． 【分析】（1）由题意根的判别式大于0即可求解；（2）根据互为相反数的两数和等于0得方程，求解并判断即可． 【详解】解：（1）∵关于x 的方程221(2)04x m x m --+=有两个不相等的实数根，∴Δ=（m -2）2-2144m ⨯ ＞0即：4-4m ＞0 m ＜1（2）由题意，x 1+x 2=()214m ---=4m -8， 若方程两实数根互为相反数，则4m -8=0， 解得，m =2， 因为m ＜1，所以m =2时，原方程没有实数根，所以不存在实数，使方程两实数根互为相反数． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系．（2）易错，只关注求m 的值而忽略m 的范围．17．定义：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个实数根为12,x x （12x x <），分别以12,x x 为横坐标和纵坐标得到点M （12,x x ），则称点M 为该一元二次方程的奇特点． （1）若方程为x 2=3x ，写出该一元二次方程的奇特点M 的坐标；（2）若关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +1）x +2m ＝0（m ＜0）的奇特点为M ，过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m 的值； （3）是否存在b ，c ，使得不论k （k ≠0）为何值，关于x 的一元二次方程x 2+bx +c ＝0的奇特点M 始终在直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）上，若存在请算出b ，c 的值，若不存在请说明理由．【答案】（1）()0,3 ；（2）12m =- ；（3）存在，148,33b c ==【分析】（1）先解出一元二次方程，再根据奇特点M 的定义，即可求解；（2）先解出一元二次方程，再根据奇特点M 的定义，可得奇特点M 的坐标为()2,1m ，再由过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，可得到关于m 的方程，解出即可；（3）将直线解析式变形，可得直线过定点2,43⎛⎫⎪⎝⎭，从而得到一元二次方程x 2+bx +c ＝0的两个根为122,43x x == ，即可求解．【详解】解：（1）23x x = ，整理得： 230x x -=，即()30x x -=，解得：120,3x x == ， ∴奇特点M 的坐标为()0,3 ； （2）x 2﹣（2m +1）x +2m ＝0， ∴()()210x m x --= ， 解得：122,1x m x == ， ∵m ＜0， ∴21m < ，∴奇特点M 的坐标为()2,1m ，∵过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形， ∴21m -= ，解得：12m =- ；（3）存在，理由如下：∵()()322324y kx k k x =--=-+ ，∴当320x -= ，即23x =时，4y = ， ∴直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）过定点2,43⎛⎫⎪⎝⎭ ，∵一元二次方程x 2+bx +c ＝0的奇特点M 始终在直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）上，一元二次方程x 2+bx +c ＝0的两个根为122,43x x == ， ∴224,433b c +=-⨯= ， 解得：148,33b c == ． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正方形的性质，一次函数的性质，理解新定义是解题的关键．18．已知方程2x ﹣（m ﹣3）x ﹣3m ＝0有一个根为4，求它的另一个根．【答案】﹣3【分析】直接把4代入方程即可求得m 的值，然后利用根与系数关系求另一个根即可．【详解】解：把4代入已知方程得：24﹣4（m ﹣3）﹣3m ＝0，解得m ＝4，∴两根之积为﹣3m ＝﹣12，∴另一个根为：﹣12÷4＝﹣3．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数关系定理，熟练掌握根与系数关系定理是解题的关键．19．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：（1）(31)10x x --=； （2）(25)(1)7x x x ++=+．【答案】（1）1213x x +=，1213x x =-；（2）123x x +=-，121x x =-． 【分析】将原式整理为一元二次方程一般式，然后根据根与系数的关系：1212,b c x x x x a a+=-⋅=，求解即可．【详解】解：（1）原式整理为：2310x x --=，∴3,1,1a b c ==-=-， ∴1213b x x a +=-=，1213c x x a ⋅==-； （2）原式整理为：2310x x +-=，∴1,3,1a b c ===-， ∴123b x x a +=-=-，121c x x a⋅==-． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．20．求下列方程两个根的和与积：（1）25100x x --=； （2）22710x x ++=；（3）23125x x -=+； （4）(1)37x x x -=+．【答案】（1）125x x +=，x x ⋅=-1210；（2）1272x x +=-，1212x x ⋅=；（3）1223x x +=，122x x ⋅=-；（4）124x x +=，x x ⋅=-127 【分析】（1）直接根据根与系数的关系求解；（2）直接根据根与系数的关系求解；（3）先把方程化为一般式为23260x x --=，然后根据根与系数的关系求解； （4）先把方程化为一般式为2470x x --=，然后根据根与系数的关系求解．【详解】解：（1）设方程的两根为1x ，2x ，则125x x +=，x x ⋅=-1210 ．（2）设方程的两根为1x ，2x ，则1272x x +=-，1212x x ⋅=． （3）原方程化为23260x x --=，设方程的两根为1x ，2x ，则1223x x +=，122x x ⋅=-． （4）原方程化为2470x x --=，设方程的两根为1x ，2x ，则124x x +=，x x ⋅=-127．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1＋x 2＝−b a，x 1x 2＝c a ． 21．根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根12,x x 的和与积： （1）26150x x --=（2）23790x x +-=（3）2514x x -=【答案】（1）12126,15x x x x +==-；（2）12127,33x x x x +=-=-；（3）121251,44x x x x +== 【分析】（1）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案； （2）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案； （3）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵26150x x --=，∴1a =，6b =-，15c =-， ∴126b x x a +=-=，1215c x x a==-； （2）∵23790x x +-=，∴3a =，7b =，9c =-， ∴1273b x x a +=-=-，123c x x a==-； （3）∵2514x x -=，即24510x x -+=∴4a =，5b =-，1c =， ∴1254b x x a +=-=，1214c x x a ==． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根于系数的关系．22．已知1x ，2x 是一元二次方程22210x x m -++=的两个实数根．（1）求实数m 的取值范围；（2）如果1x ，2x 满足不等式2121246()x x x x +>+，且m 为整数，求m 的值．【答案】（1）12m；（2）1-或0 【分析】（1）由题意得一元二次方程判别式Δ≥0，进而求解．（2）由根与系数的关系用含m 的代数式表示12x x +与12x x ⋅，进而求解．【详解】解：（1）方程22210x x m -++=有两个实数根，∴Δ0，即2(2)42(1)0m --⨯+， 解得12m ， ∴实数m 的取值范围是12m； （2）1x ，2x 是一元二次方程22210x x m -++=的两个实数根，121x x ∴+=，121(1)2x x m ⋅=+，2121246()x x x x +>+，2146(1)12m ∴+⨯+>， 解得2m >-， 12m 且m 为整数， m ∴的值为1-或0．【点睛】本题考查一元二次的判别式及根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程根的情况与Δ的关系，掌握12b x x a +=-，12c x x a=． 23．已知关于x 的方程 (k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0．（1）证明：无论k 取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）是否存在实数k ，使方程两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值，如不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）不存在符合条件的实数k ，理由见解析【分析】（1）根据方程各项的系数结合根的判别式即可得出Δ=4k 2+5＞0，由此可得出无论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程(k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0的两根分别为x 1、x 2，利用根与系数的关系结合x 1、x 2互为相反数，可得出关于k 的方程，解之即可求出k 值，再由（1）中k 的取值范围，即可得出不存在符合条件的k 值．【详解】（1）证明：Δ=(2k 2+1)2-4×(k 2+1)×(k 2-1) =4k 4+4k 2+1-4k 4+4=4k 2+5，∴k 2+1＞0，4k 2+5＞0，∴无论k 为何值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）不存在符合条件的实数k ，理由如下：设方程(k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0的两根分别为x 1、x 2，由根与系数关系得：x 1+x 2=-22211k k ++． ∵x 1、x 2互为相反数，∴x 1+x 2=0，即-222101k k +=+， ∵k 2≥0，∴2k 2+1≥1，∴不存在符合条件的k 值．【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义、相反数以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据非负数的性质得到根的判别式Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系结合x 1、x 2互为相反数，求出k 值．24．关于x 的方程2210x x k -++=的两个实数根是1x ，2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为整数，且满足12124x x x x +-<，求k 的值．【答案】（1）0k ≤；（2）2k =-，1-，0【分析】（1）根据“方程2210x x k -++=有两个实数根，”可得0∆≥，即可求解；（2）根据“k 为整数，且满足12124x x x x +-<，”可得3k >-，结合（1）0k ≤，即可求解．【详解】解：（1）∵方程2210x x k -++=有两个实数根，∴0∆≥，即()244410b ac k -=-+≥，解得0k ≤；（2）∵122x x +=，121x x k =+，∴214k --<，由（1）0k ≤，可得30k -<≤，∵k 为整数，∴2k =-，1-，0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的判别式24b ac ∆=-，根与系数的关系12b x x a+=-，12c x x a =是解题的关键．。

根与系数的关系(韦达定理)练习题

根与系数的关系(韦达定理)练习题

.一元二次方程根与系数的关系练习题一．选择题（共14小题）1．下列一元二次方程中，两根之和为2的是（）A．x2﹣x+2=0 B．x2﹣2x+2=0 C．x2﹣x﹣2=0 D．2x2﹣4x+1=02．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（）A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=03．（2011•锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6C．8D．124．（2007•泰安）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根，则2x12﹣2x1+x22+3的值是（）A．19 B．15 C．11 D．35．（2006•贺州）已知a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则a2﹣ab+4a的值是（）A．6B．0C．7D．﹣16．（1997•天津）若一元二次方程x2﹣ax﹣2a=0的两根之和为4a﹣3，则两根之积为（）A．2B．﹣2 C．﹣6或2 D．6或﹣27．已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍．则（）A．3n2=16m2B．3m2=16n C．m=3n D．n=3m28．a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，则（a2+ma+7）（b2+mb+7）=（）A．365 B．245 C．210 D．1759．在斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，则m的值为（）A．﹣4 B．4C．8或﹣4 D．810．设m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（）A．2008 B．2009 C．2010 D．201111．设x1、x2是二次方程x2+x﹣3=0的两个根，那么x13﹣4x22+19的值等于（）A．﹣4 B．8C．6D．012．m，n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根，则（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）的值是（）A．2007 B．2008 C．2009 D．201013．已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣1=0两个实数根，则（x12﹣x1﹣1）（x22﹣x2﹣1）的值为（）A．0B．4C．﹣1 D．﹣414．设m，n是方程x2﹣x﹣2012=0的两个实数根，则m2+n的值为（）A．1006 B．2011 C．2012 D．2013二．填空题（共5小题）15．若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为_________．16若关于x的一元二次方程x2+x﹣3=0的两根为x1，x2，则2x1+2x2+x1x2=_________．17．已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是_________．18．一元二次方程2x2+3x﹣1=0和x2﹣5x+7=0所有实数根的和为_________．19．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为_________．三．解答题（共11小题）20．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根α、β满足，求m 的值．21．是否存在实数m，使关于x的方程2x2+mx+5=0的两实根的平方的倒数和等于？若存在，求出m；若不存在，说明理由．22．已知关于x的方程kx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，则当k为何值时，方程两根之比为1：3？23．已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两个根，求m的值．24．实数k为何值时，方程x2+（2k﹣1）x+1+k2=0的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根．25．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k=0的两个实数根x1、x2满足x1﹣x2=2，试求k的值．26．已知x1、x2是方程x2﹣kx+k（k+4）=0的两个根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）=，求k的值．27．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．28．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．29．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．30．已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的两个实根．（1）求实数m的取值范围；（2）如果m满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为整数．求m的值．一元二次方程要与系数的关系练习题参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．下列一元二次方程中，两根之和为2的是（）A．x2﹣x+2=0 B．x2﹣2x+2=0 C．x2﹣x﹣2=0 D．2x2﹣4x+1=0考点：根与系数的关系．专题：方程思想．分析：利用一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=﹣对以下选项进行一一验证并作出正确的选择．解答：解：A、∵x1+x2=1；故本选项错误；B、∵△=4﹣8=﹣4＜0，所以本方程无根；故本选项错误；C、∵x1+x2=1；故本选项错误；D、∵x1+x2=2；故本选项正确；故选D．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解答该题时，需注意，一元二次方程的根与系数的关系是在原方程有实数解的情况下成立的．2．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（）A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0考点：根与系数的关系．分析：利用根与系数的关系求解即可．解答：解：小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，两根之和正确，故设这个一元二次方程的两根是α、β，可得：α•β=﹣6，α+β=﹣3，那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0，故选：B．点评：此题主要考查了根与系数的关系，若x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，则有x1+x2=﹣，x1x2=．3．（2011•锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6C．8D．12考点：根与系数的关系．分析：根据（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．解答：解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根．∴x1+x2=3，x1•x2=﹣2．又∵（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4．将x1+x2=3、x1•x2=﹣2代入，得（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4=（﹣2）+2×3+4=8．故选C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．4．（2007•泰安）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根，则代数式2x12﹣2x1+x22+3的值是（）A．19 B．15 C．11 D．3考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：欲求2x12﹣2x1+x22+3的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根．∴x12﹣2x1=4，x1x2=﹣4，x1+x2=2．∴2x12﹣2x1+x22+3=x12﹣2x1+x12+x22+3=x12﹣2x1+（x1+x2）2﹣2x1x2+3=4+4+8+3=19．故选A．点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．（2006•贺州）已知a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则a2﹣ab+4a的值是（）A．6B．0C．7D．﹣1考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：由a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，可以得到如下四个等式：a2+4a﹣3=0，b2+4b﹣3=0，a+b=﹣4，ab=﹣3；再根据问题的需要，灵活变形．解答：解：把a代入方程可得a2+4a=3，根据根与系数的关系可得ab=﹣3．∴a2﹣ab+4a=a2+4a﹣ab=3﹣（﹣3）=6．故选A点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要利用解的定义找一个关于a、b的相等关系，再根据根与系数的关系求出ab的值，把所求的代数式化成已知条件的形式，代入数值计算即可．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．6．（1997•天津）若一元二次方程x2﹣ax﹣2a=0的两根之和为4a﹣3，则两根之积为（）A．2B．﹣2 C．﹣6或2 D．6或﹣2考点：根与系数的关系．专题：方程思想．分析：由两根之和的值建立关于a的方程，求出a的值后，再根据一元二次方程根与系数的关系求两根之积．解答：解；由题意知x1+x2=a=4a﹣3，∴a=1，∴x1x2=﹣2a=﹣2．故选B．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，在列方程时要注意各系数的数值与正负，避免出现错误．7．已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍．则（）A．3n2=16m2B．3m2=16n C．m=3n D．n=3m2考点：根与系数的关系．分析：设方程的一个根为a，则另一个根为3a，然后利用根与系数的关系得到两根与m、n之间的关系，整理即可得到正确的答案；解答：解：∵方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍，∴设一根为a，则另一根为3a，由根与系数的关系，得：a•3a=n，a+3a=﹣m，整理得：3m2=16n，故选B．点评：本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练记忆根与系数的关系，难度不大．8．a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，则（a2+ma+7）（b2+mb+7）=（）A．365 B．245 C．210 D．175考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：根据一元二次方程的解的意义，知a、b满足方程x2+（m﹣5）x+7=0①，又由韦达定理知a•b=7②；所以，根据①②来求代数式（a2+ma+7）（b2+mb+7）的值，并作出选择即可．解答：解：∵a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，∴a、b满足方程x2+（m﹣5）x+7=0，∴a2+ma+7﹣5a=0，即a2+ma+7=5a；b2+mb+7﹣5b=0，即b2+mb+7=5b；又由韦达定理，知a•b=7；∴（a2+ma+7）（b2+mb+7）=25a•b=25×7=175．故选D．点评：本题综合考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．求代数式（a2+ma+7）（b2+mb+7）的值时，采用了根与系数的关系与代数式变形相结合的解题方法．9．在斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，则m的值为（）A．﹣4 B．4C．8或﹣4 D．8考点：根与系数的关系；勾股定理．分析：根据勾股定理求的a2+b2=25，即a2+b2=（a+b）2﹣2ab①，然后根据根与系数的关系求的a+b=m﹣1②ab=m+4③；最后由①②③联立方程组，即可求得m的值．解答：解：∵斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b，∴a2+b2=25，又∵a2+b2=（a+b）2﹣2ab，∴（a+b）2﹣2ab=25，①∵a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，∴a+b=m﹣1，②ab=m+4，③由①②③，解得m=﹣4，或m=8；当m=﹣4时，ab=0，∴a=0或b=0，（不合题意）∴m=8；故选D．点评：本题综合考查了根与系数的关系、勾股定理的应用．解答此题时，需注意作为三角形的两边a、b均不为零这一条件．10．设m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（）A．2008 B．2009 C．2010 D．2011考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：由于m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n=﹣1，并且m2+m﹣2012=0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果解答：解：∵m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，∴m+n=﹣1，并且m2+m﹣2012=0，∴m2+m=2011，∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2012﹣1=2011．故选D．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．11．设x1、x2是二次方程x2+x﹣3=0的两个根，那么x13﹣4x22+19的值等于（）A．﹣4 B．8C．6D．0考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先利用根的定义使多项式降次，对代数式进行化简，然后根据根与系数的关系代入计算．解答：解：由题意有x12+x1﹣3=0，x22+x2﹣3=0，即x12=3﹣x1，x22=3﹣x2，所以x13﹣4x22+19=x1（3﹣x1）﹣4（3﹣x2）+19=3x1﹣x12+4x2+7=3x1﹣（3﹣x1）+4x2+7=4（x1+x2）+4，又根据根与系数的关系知道x1+x2=﹣1，所以原式=4×（﹣1）+4=0．故选D．点评：本题考查根与系数的关系和代数式的化简．求出x1、x2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如x12=3﹣x1，x22=3﹣x2．12．m，n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根，则代数式（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）的值是（）A．2007 B．2008 C．2009 D．2010考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．分析：首先根据方程的解的定义，得m2﹣2008m+2009=0，n2﹣2008n+2009=0，则有m2﹣2007m=m﹣2009，n2﹣2007n=n﹣2009，再根据根与系数的关系，得mn=2009，进行求解．解答：解：∵m，n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根，∴m2﹣2008m+2009=0，n2﹣2008n+2009=0，mn=2009．∴（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）=（m﹣2009+2009）（n﹣2009+2009）=mn=2009．故选C．点评：此题综合运用了方程的解的定义和根与系数的关系．13．已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣1=0两个实数根，则（x12﹣x1﹣1）（x22﹣x2﹣1）的值为（）A．0B．4C．﹣1 D．﹣4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据一元二次方程的解的定义，将x1、x2分别代入原方程，求得x12=﹣x1+1、x22=﹣x2+1；然后根据根与系数的关系求得x1x2=﹣1；最后将其代入所求的代数式求值即可．解答：解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣1=0两个实数根，∴x12+x1﹣1=0，即x12=﹣x1+1；x22+x2﹣1=0，即x22=﹣x2+1；又根据韦达定理知x1•x2=﹣1∴（x12﹣x1﹣1）（x22﹣x2﹣1）=﹣2x1•（﹣2x2）=4x1•x2=﹣4；故选D．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．14．设m，n是方程x2﹣x﹣2012=0的两个实数根，则m2+n的值为（）A．1006 B．2011 C．2012 D．2013考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．分析：利用一元二次方程解的定义，将x=m代入已知方程求得m2=m+2012；然后根据根与系数的关系知m+n=1；最后将m2、m+n的值代入所求的代数式求值即可．解答：解：∵m，n是方程x2﹣x﹣2012=0的两个实数根，∴m2﹣m﹣2012=0，即m2=m+2012；又由韦达定理知，m+n=1，∴m2+n=m+n+2012=1+2012=2013；故选D．点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解．正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．二．填空题（共5小题）15．（2014•广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为．考点：根与系数的关系；二次函数的最值．专题：判别式法．分析：由题意可得△=b2﹣4ac≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根，则△=b2﹣4ac=4m2﹣4（m2+3m﹣2）=8﹣12m≥0，∴m≤，∵x1（x2+x1）+x22=（x2+x1）2﹣x1x2=（﹣2m）2﹣（m2+3m﹣2）=3m2﹣3m+2=3（m2﹣m+﹣）+2=3（m﹣）2+；∴当m=时，有最小值；∵＜，∴m=成立；∴最小值为；故答案为：．点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．16．（2013•江阴市一模）若关于x的一元二次方程x2+x﹣3=0的两根为x1，x2，则2x1+2x2+x1x2=﹣5．考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系列式计算即可求出x1+x2与x1•x2的值，再整体代入即可求解．解答：解：根据根与系数的关系可得，x1•x2=﹣1，x1+x2=﹣23．则2x1+2x2+x1x2=2（x1+x2）+x1x2=﹣2﹣3=﹣5．故答案为：﹣5．点评：本题主要考查了一元二次方程的解和根与系数的关系等知识，在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．17．已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是1．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：先根据根与系数的关系，根据x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，即可得到关于a的方程，求出a的值．解答：解：根据一元二次方程的根与系数的关系知：x1+x2=2a，x1x2=a2﹣2a+2．x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2a）2﹣2（a2﹣2a+2）=2a2+4a﹣4=2．解a2+2a﹣3=0，得a1=﹣3，a2=1．又方程有两实数根，△≥0即（2a）2﹣4（a2﹣2a+2）≥0．解得a≥1．∴a=﹣3舍去．∴a=1．点评：应用了根与系数的关系得到方程两根的和与两根的积，根据两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，即可把求a的值的问题转化为方程求解的问题．18．一元二次方程2x2+3x﹣1=0和x2﹣5x+7=0所有实数根的和为﹣．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系可知，两根之和等于﹣，两根之积等于，由两个一元二次方程分别找出a，b和c的值，计算出两根之和，然后再把所有的根相加即可求出所求的值．解答：解：由2x2+3x﹣1=0，得到：a=2，b=3，c=﹣1，∵b2﹣4ac=9+8=17＞0，即方程有两个不等的实数根，设两根分别为x1和x2，则x1+x2=﹣；由x2﹣5x+7=0，找出a=1，b=﹣5，c=7，∵b2﹣4ac=25﹣28=﹣3＜0，∴此方程没有实数根．综上，两方程所有的实数根的和为﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，是一道基础题．学生必须掌握利用根与系数关系的前提是根的判别式大于等于0即方程有实数根．19．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为﹣4．考点：根与系数的关系．分析：由m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，得出m+n=3，mn=a，整理（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，整体代入求得a的数值即可．解答：解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，∴m+n=3，mn=a，∵（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，∴mn﹣（m+n）+1=﹣6即a﹣3+1=﹣6解得a=﹣4．故答案为：﹣4．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．三．解答题（共11小题）20．（2004•重庆）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根α、β满足，求m的值．考点：根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式．分析：首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系可以求得方程的根的和与积，将转化为关于m的方程，求出m的值并检验．解答：解：由判别式大于零，得（2m﹣3）2﹣4m2＞0，解得m＜．∵即．∴α+β=αβ．又α+β=﹣（2m﹣3），αβ=m2．代入上式得3﹣2m=m2．解之得m1=﹣3，m2=1．∵m2=1＞，故舍去．∴m=﹣3．点评：本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系的综合运用．21．（1998•内江）是否存在实数m，使关于x的方程2x2+mx+5=0的两实根的平方的倒数和等于？若存在，求出m；若不存在，说明理由．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：根据根与系数的关系，两实根的平方的倒数和．即可确定m的取值情况．解答：解：设原方程的两根为x1、x2，则有：，∴．又∵，∴m2﹣20=29，解得m=±7，∴△=m2﹣4×2×5=m2﹣40=（±7）2﹣40=9＞0∴存在实数±7，使关于原方程的两实根的平方的倒数和等于．点评：利用根与系数的关系和根的判别式来解决．容易出现的错误是忽视所求的m的值是否满足判别式△．22．已知关于x的方程kx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，则当k为何值时，方程两根之比为1：3？考点：根与系数的关系．分析：利用一元二次方程根与系数的关系可得：，不妨设x1：x2=1：3，则可得x2=3x1，分别代入两个式子，即可求出k的值，再利用一元二次方程根的判别式进行取舍即可．解答：解：由根与系数的关系可得：，不妨设x1：x2=1：3，则可分别代入上面两个式子，消去x1和x2，整理得：4k2﹣k=0，解得k=0或k=，当k=0时，显然不合题意，当k=时，其判别式△=1≥0，所以当k=时，方程两根之比为1：3．点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系得到关于k的方程，注意检验是否满足判别式大于0．23．已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两个根，求m的值．考点：根与系数的关系；勾股定理．分析：先利用一元二次方程根与系数的关系得：a+b=2m﹣1，ab=4（m﹣1），再由勾股定理可得a2+b2=52，即（a+b）2﹣2ab=25，把上面可得关于m的方程，解出m的值，再利用一元二次方程根的判别式满足大于或等于0及实际问题对所求m的值进行取舍即可．解答：解：由一元二次方程根与系数的关系得：a+b=2m﹣1，ab=4（m﹣1），再由勾股定理可得a2+b2=52，即（a+b）2﹣2ab=25，把上面两个式子代入可得关于m的方程：（2m﹣1）2﹣8（m﹣1）=25，整理可得：m2﹣3m﹣4=0，解得m=4或m=﹣1，当m=4或m=﹣1一元二次方程的判别式都大于0，但当m=﹣1时，ab=﹣8，不合题意（a，b为三角形的边长，所以不能为负数），所以m=4．点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及勾股定理的应用，解题的关键是得出关于m的方程进行求解，容易忽略实际问题所满足的条件而导致错误．24．实数k为何值时，方程x2+（2k﹣1）x+1+k2=0的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：利用一元二次方程根与系数的关系表示出两实根的平方和，得到一个关于k的二次函数，求出取得最小值时k的值，再利用根的判别式进行验证．解答：解：设方程的两根分别为x1和x2，由一元二次方程根与系数的关系可得：，令y=，则y==（2k﹣1）2﹣2（1+k2）=2k2﹣4k﹣1=2（k﹣1）2﹣3，其为开口向上的二次函数，当k=1时，有最小值，但当k=1时，一元二次方程的判别式为△=﹣7＜0，所以没有满足△≥0的k的值，所以该题目无解．点评：本题主要考查地一元二次方程根与系数的关系，解题时容易忽略还需要满足一元二次方程有实数根．25．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k=0的两个实数根x1、x2满足x1﹣x2=2，试求k的值．考点：根与系数的关系；解一元二次方程-配方法；根的判别式．分析：先根据根与系数的关系，可求出x1+x2，x1•x2的值，再结合x1﹣x2=2，可求出k的值，再利用根的判别式，可求出k的取值范围，从而确定k的值．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣=﹣（2k﹣1），x1•x2==﹣2k，又∵x1﹣x2=2，∴（x1﹣x2）2=22，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4，∴（2k﹣1）2﹣4（﹣2k）=4，∴（2k+1）2=4，∴k1=，k2=﹣，又∵△=（2k﹣1）2﹣4×1×（﹣2k）=（2k+1）2，方程有两个不等的实数根，∴（2k+1）2＞0，∴k≠﹣，∴k1=，k2=﹣．点评：一元二次方程的两个根x1、x2具有这样的关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．26．已知x1、x2是方程x2﹣kx+k（k+4）=0的两个根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）=，求k的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：（x1﹣1）（x2﹣1）=，即x1x2﹣（x1+x2）+1=，根据一元二次方程中根与系数的关系可以表示出两个根的和与积，代入x1x2﹣（x1+x2）+1=，即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．解答：解：∵x1+x2=k，x1x2=k（k+4），∵（x1﹣1）（x2﹣1）=，∴x1x2﹣（x1+x2）+1=，∴k（k+4）﹣k+1=，解得k=±3，当k=3时，方程为x2﹣3x+=0，△=9﹣21＜0，不合题意舍去；当k=﹣3时，方程为x2+3x﹣=0，△=9+3＞0，符合题意．故所求k的值为﹣3．点评：本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．注意运用根与系数的关系的前提条件是：一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式△≥0．27．（2011•南充）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．考点：根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式组．专题：代数综合题；压轴题．分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围；（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2﹣x1x2＜﹣1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．解答：解：（1）∵方程有实数根，∴△=22﹣4（k+1）≥0，（2分）解得k≤0．故K的取值范（4分）围是k≤0．（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1（5分）x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣（k+1）．由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2．（6分）又由（1）k≤0，∴﹣2＜k≤0．（7分）∵k为整数，∴k的值为﹣1和0．（8分）点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，一定要注意其前提是此方程的判别式△≥0．28．（2012•怀化）已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：根据根与系数的关系求得x1x2=，x1+x2=﹣；根据一元二次方程的根的判别式求得a的取值范围；（1）将已知等式变形为x1x2=4+（x2+x1），即=4+，通过解该关于a的方程即可求得a的值；（2）根据限制性条件“（x1+1）（x2+1）为负整数”求得a的取值范围，然后在取值范围内取a的整数值．解答：解：∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴由根与系数的关系可知，x1x2=，x1+x2=﹣；∵一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0有两个实数根，∴△=4a2﹣4（a﹣6）•a≥0，且a﹣6≠0，解得，a≥0，且a≠6；（1）∵﹣x1+x1x2=4+x2，∴x1x2=4+（x1+x2），即=4﹣，解得，a=24＞0；∴存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立，a的值是24；（2）∵（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=﹣+1=﹣，∴当（x1+1）（x2+1）为负整数时，a﹣6＞0，且a﹣6是6的约数，∴a﹣6=6，a﹣6=3，a﹣6=2，a﹣6=1，∴a=12，9，8，7；∴使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7．点评：本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式．注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数）的二次项系数a≠0．29．（2010•东莞）已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：（1）一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，△≥0，把系数代入可求m的范围；（2）利用两根关系，已知x1+x2=2结合x1+3x2=3，先求x1、x2，再求m．解答：解：（1）∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m≥0，解得m≤1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1•x2=m，解方程组，解得，∴m=x1•x2=．点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，两根关系的运用，要求熟练掌握．30．（2005•福州）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的两个实根．（1）求实数m的取值范围；（2）如果m满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为整数．求m的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数m的取值范围；（2）利用根与系数的关系，不等式7+4x1x2＞x12+x22，即（x1+x2）2﹣6x1x2﹣7＜0．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=1，x1x2=．代入整理后的不等式，即可求得m的值．解答：解：（1）∵a=2，b=﹣2，c=m+1．∴△=（﹣2）2﹣4×2×（m+1）=﹣4﹣8m．当﹣4﹣8m≥0，即m≤﹣时．方程有两个实数根．（2）整理不等式7+4x1x2＞x12+x22，得（x1+x2）2﹣6x1x2﹣7＜0．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=1，x1x2=．代入整理后的不等式得1﹣3（m+1）﹣7＜0，解得m＞﹣3．又∵m≤﹣，且m为整数．∴m的值为﹣2，﹣1．点评：一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，且a≠0，b2﹣4ac≥0），根与系数的关系是：x1+x2=，x1x2=．选择是难，更何况是心灵选择。

初中数学一元二次方程的根与系数关系基础过关专项训练题(精选100道习题 附答案详解)

初中数学一元二次方程的根与系数关系基础过关专项训练题(精选100道习题 附答案详解)

初中数学一元二次方程的根与系数关系基础过关专项训练题（精选100道习题 附答案详解）1．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-6x- 15=0的两个根，则x 1+x 2等于( )A ．-6B ．6C ．-15D ．152．关于的方程220x ax a -+=的两根的平方和是5，则a 的值是( )A ．-1或5B ．1C ．5D ．-13．已知一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 中,其中真命题有( )①若a+b+c=0，则240b ac -≥；②若方程20ax bx c ++=两根为−1和2，则2a+c=0；③若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 4．一元二次方程x 2+x ﹣1=0的两根分别为x 1，x 2，则1211x x +=（ ） A ．12 B ．1 CD5．若α，β是方程x 2﹣2x ﹣2=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．76．若m 、n 是一元二次方程x 2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-mn 的值是（ ） A ．-7 B ．7 C ．3 D ．-37．若方程224()0x m x m +-+=的两个根互为相反数，则m 等于（ ） A ． 2- B ．2 C ．2± D ．48．已知m 、n是方程210++=x 的两根，（ ） A ．9 B ．3± C ．3 D ．59．定义运算：a ⋆b=2ab ．若a ，b 是方程x 2+x-m=0(m ＞0)的两个根，则(a+1)⋆a -(b+1)⋆b 的值为（ ）A ．0B ．2C ．4mD ．-4m10．关于x 的一元二次方程()22a 1x 2x 30--+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．2a 3>B ．2a 3>且1a 2≠C ．2a 3<D ．2a 3<且1a 2≠ 11．若x x的方程20x m -+=的一个根，则方程的另一个根是（ ）A ．9B ．4C ．D ．12．下列方程中，满足两个实数根的和等于3的方程是（ ）A ．2x 2+6x ﹣5=0B ．2x 2﹣3x ﹣5=0C ．2x 2﹣6x+5=0D ．2x 2﹣6x ﹣5=0 13．设α、β是方程 220120x x ++=的两个实数根，则 22ααβ++的值为（ ） A ．－2014 B ．2014 C ．2013 D ．－2013 14．已知α、β满足5αβ+=，且6αβ=，则以α、β为两根的一元二次方程是（ ）A ．x 2+5x+6=0B ．x 2-5x+6=0C ．x 2-5x-6=0D ．x 2+5x-6=0 15．如果a ，b 是两个不相等的实数，且满足220151a a -=，220151b b -=，那么ab 等于（ ）A ．2015B ．－2015C ．1D ．－116．若a 2+1＝5a ，b 2+1＝5b ，且a ≠b ，则a +b 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣5D ．517．已知一元二次方程x 2+6x +c ＝0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）A ．﹣2B ．﹣3C ．﹣4D ．﹣818．若关于x 的方程x 2-bx +6=0的一根是x =2，则另一根是（ ）A ．x =-3B ．x =-2C ．x =2D ．x =319．关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+（2m ﹣1）x +m ﹣2＝0有两个不相等的正实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞34B ．m ＞34且m ≠2C ．﹣12＜m ＜2D ．54＜m ＜2 20．已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ）A ．-2B ．2C ．-3D ．321．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个根，则x 12﹣x 1+x 2的值为（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．2 D ．322．已知关于x 的方程x 2+3x +a =0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）A ．5B ．﹣1C ．2D ．﹣523．方程（m ﹣2）x 2+mx ﹣1＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（ ） A ．任何实数． B ．m≠0 C ．m≠2 D ．m≠﹣2 24．关于x 的一元二次方程x 2+2x+k+1=0的两个实根x 1，x 2，满足x 1+x 2﹣x 1x 2＜﹣1，则k 的取值范围在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．25．若12x x 、是一元二次方程2320x x ++=的两个实数根，则2212x x +的值为（ ）A ．13-B ．1-C ．5D ．1326．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋ax －2b ＝0的两个实数根，且x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1，则b a 的值是( )A ．B ．－C ．4D ．－127．若关于x 的一元二次方程22120x x m ++-=有两个实数根，且这两个实数根之积为负数，则实数m 的取值范围是( )A ．0m ≥B ．12m >C ．102m <<D ．102m ≤< 28．若1x 、2x 是一元二次方程2750x x -+=的两根，则1211+x x 的值是（ ） A ．75 B ．75- C ．57 D ．57- 29．一元二次方程x 2-2x-3=0的根为（ ）A ．x 1=1，x 2=3B ．x 1=-1，x 2=3C ．x 1=-1，x 2=-3D ．x 1=1，x 2=-330．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足12111x x +=-，则m 的值是（ ） A ．3 B ．3或-1 C ．1 D ．-3或1 31．已知a 2﹣6a ﹣5＝0和b 2﹣6b ﹣5＝0中，a ≠b ，则11a b+的值是__． 32．已知一元二次方程x 2－4x －3＝0的两根为m ，n ，则2m －mn ＋2n = ． 33．已知一元二次方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两个实数根为x 1，x 2，则（x 1+1）（x 2+1）的值是_____．34．关于x 的230x ax a --=的一个根是2x =-，则它的另一个根是___．35．关于x 一元二次方程240x mx +-=的一个根为1x =-，则另一个根为x =__________．36．若1x ，2x 是一元二次方程220x x +-=的两个实数根，则1211x x ⋅=__________． 37．一元二次方程2420x x -+=的两根为1x ,2x ,则2111242x x x x -+的值为____________ .38．设a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则()()11a b --的值为_____． 39．方程22310x x +-=的两个根为1x 、2x ，则1211+x x 的值等于______． 40．如图，直线y ＝34-x +6与反比例函数y ＝k x（k ＞0）的图象交于点M 、N ，与x 轴、y 轴分别交于点B 、A ，作ME ⊥x 轴于点E ，NF ⊥x 轴于点F ，过点E 、F 分别作EG ∥AB ，FH ∥AB ，分别交y 轴于点G 、H ，ME 交HF 于点K ，若四边形MKFN 和四边形HGEK 的面积和为12，则k 的值为_____．41．已知关于x 方程x 2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为_____． 42．方程22430x x +-=和2230x x -+=的所有的根的和等于____．43．设1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为______．44．若方程2x 2-x =1的两个实数根为12,x x ，则2212x x +=_______________45．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个根，则x 12﹣x 1+x 2的值为_____． 46．若一元二次方程x （x ﹣2）＝6的两个实数根分别为m ，n ，则m 2n+mn 2的值为_____. 47．方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的两个根的乘积为___________．48．若菱形的两条对角线长分别是方程210240x x -+=的两实根，则菱形的面积为_____．49．已知方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，则2212x x +的值等于___________________50．已知关于x 的方程x 2+(m +1)x +m 2=0的两根互为倒数，则m =__________．51．一元二次方程x 2－4x －3＝0的两个根之和为________.52．已知一元二次方程x 2﹣6x +9＝0的两根为x 1、x 2，则x 1•x 2＝_______．53．一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的解是x 1、x 2（x 1＜x 2），则x 1﹣x 2=_____．54．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x 2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是______.55．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋a ＝0的两个实数根，且2212x x -＝10，则a ＝__________56．一元二次方程250x x c -+=有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c 是整数，则c=_____．（只需填一个）．57．若关于x 的方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根是－2和1，则n m 的值为_____.58．方程 22()60x m x m ++=-有两个相等的实数根，且满足1212x x x x +=，则 m 的值是_________．59．已知关于的方程两个根是互为相反数，则的值为________．60．已知a ，b 是方程x 2+2017x +2=0的两个根，则（2+2019a +a 2）（2+2019b +b 2）的值为______．61．设m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x ﹣2018=0的两个实数根，则m 2+3m+n=______． 62．已知关于x 的方程x 2﹣2x ﹣6＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝_____．63．若方程x 2﹣4x ﹣1=0的两根为x 1，x 2，则x 1•x 2﹣x 1﹣x 2=_____．64．若一元二次方程x 2+px ﹣2＝0的一个根为2，则p ＝_____，另一个根是_____． 65．若1x 、2x 是方程22x 2mx m m 10-+--=的两个实数根，且x 1+x 2=1-x 1⋅x 2，则 m 的值为________. 66．若α、β是一元二次方程x 2+2x ﹣3＝0的两个不相等的根，则α2﹣2β的值是_____． 67．若方程22310x x --=的两根为1x 、2x ，则1211+x x 的值为_______________ 68．关于x 的方程2x 2＋(m 2－9)x ＋m ＋1＝0两根互为相反数，则m ＝_____． 69．设m ，n 是一元二次方程x 2＋2x －7＝0的两个根，则m 2＋3m ＋n ＝_______. 70．若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为___．71．已知关于x 的方程()222100()x m x m a +-+=≠有两个根12,x x ． （1）求m 的取值范围；（2）当21120x x x +=时，求m 的值． 72．关于x 的一元二次方程()22x 2m 1x m 10+-+-=有两个不相等的实数根1x ，2x ． ()1求实数m 的取值范围；()2是否存在实数m ，使得12x x 0=成立？如果存在，求出m 的值，如果不存在，请说明理由．73．已知关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x 1，x 2是原方程的两根，且1222x x -=，求m 的值，并求出此时方程的两根． 74．关于x 的一元二次方程x 2+kx ﹣6＝0的一个根是3，求它的另一个根和k 的值． 75．已知关于x 的一元二次方程()22110x m x m +++-=，若方程的一个根为2，求m 的值和方程的另一个根.76．已知关于的一元二次方程：. (1)求证：对于任意实数，方程都有实数根；(2)当为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由.77．用一根长22cm 的铁丝，（1）能否围成面积是30cm 2的矩形？如果能，求出矩形的边长，如果不能说明理由； （2）能否围成面积是32cm 2的矩形？如果能，求出矩形的边长，如果不能说明理由； （3）请探索能围成的矩形面积的最大值是多少 cm 2？78．已知1x 、2x 是方程22510x x -+=的两个实数根，求下列各式的值：（1）221212x x x x +；（2）2212x x +． 79．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +k +1＝0．（1）若方程没有实数根，求k 的取值范围；（2）若方程有两实数根为x 1和x 2，且x 12﹣x 1x 2＝0，求k 的值．80．阅读理解，并回答问题：若 12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个实数根，则有()()212++=--ax bx c a x x x x ．即221212()ax bx c ax a x x x ax x ++=-++，于是12()b a x x =-+，12c ax x =，由此可得一元二次方程的根与系数关系：12b x x a+=-，12c x x a=，这就是我们众所周知的韦达定理． (1)已知 m ， n 是方程21000x x --=的两个实数根，不解方程求22m n +的值；(2)若123,,x x x 是关于 x 的方程2(2)x x t -=的三个实数根，且123x x x <<． ① 122331x x x x x x ++的值；②求31x x -的最大值．81．已知关于x 的一元二次方程x 2-2kx+12k 2-2=0. (1)求证:不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.(2)设x 1,x 2是方程的根,且 x 12-2kx 1+2x 1x 2=5,求k 的值.82．当k 为何值时，方程x 2﹣6x+k ﹣1＝0，（1）两根相等；（2）有一根为0．83．关于x 的一元二次方程()21210m x mx m --++= （1）求证：方程总有两个不相等的实数根。

专题根与系数的关系含答案

专题根与系数的关系含答案

数的关系含文档编制序号:IKK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于X的方程也左-（2z5-l）x+m-2=（）.（1）当也取何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若益、Ah为方程的两个不等实数根，且满足盘疔2,求也的值. 例2.已知关于X的方程f -4血Y+4力-9二0.（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为益，X],其中Xi<X2.若2為二上+1,求?也的值.例3.已知关于X的方程zttY「+ （4-3也）屮2矿8二0 （7»>0）.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个根分别为広、xz（爲<圧），若rrxdm,且点B （也,27?）在X轴上，求也的值.例4.已知关于A■的一元二次方程：x'-2 （盼1）卅力+5二0有两个不相等的实数根.（1）求也的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为益、X],且满足盘+应'二|益| + |则+2爲疋，求也的值.例5.已知关于X的方程（2A+1）卅4 （以）=0.（1）求证：无论A取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出 *的值；若不能，请说明理由.（3）当等腰三角形ABC的边长沪4,另W边的长方、C恰好是这个方程的两根时，求△AEC的周长.训练，1.已知关于A■的方程血（加*2）屮2二0 5工0）.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）已知方程有W个不相等的实数根a , P,满足-+-=1,求也的值.2.已知一元二次方程（1）若方程有两个实数根，求也的范围；（2）若方程的两个实数根为X】和也，且及+3疔3,求加的值.（3）若方程的两个实数根为和血且盘-应‘二0,求加的值.3. 已知关于/的方程;f+（.01-3） x-m （2Z 9-3） =0（1） 证明：无论也为何值方程都有两个实数根；（2） 是否存在正数血使方程的两个实数根的平方和等于26?若存在，求 出满足条件的正数刃的值；若不存在，请说明理由.4. 已知关于龙的一元二次方程-6尸F 二0 （A ■为常数）.（1） 求证：方程有两个不相等的实数根；（2） 设益、疋为方程的两个实数根，且2馅+XF 14,试求出方程的两个实数 根和k 的值.5. 已知关于左的方程+-（2肛3）屮F+1二0有两个不相等的实数根為、X ：.（1） 求*的取值范围：（2） 若益、必满足\xi.\ + \xz\=2 X 必-3,求A 的值.6. 己知关于/的一元二次方程yL （277-2 ） A+4zr3=02（1） 求证：无论也取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2） 如果方程的两个实数根为益，血 且2xi+Ai ：二卅1,求也的值.7. 已知关于龙的一元二次方程（旷1） Y-5卅4旷2二0的一个根为A =3.（1）求臼的值及方程的另一个根；（2）如果一个等腰三角形（底和腰不相 等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长• 8.设為，应是关于X 的一元二次方程Z+2$x+才+4旷2二0的两实根，当盘为何 值时，*1+石有最小值最小值是多少专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系/. A=Z/-4a<?=[- (2zzrl) ]'-4z9 (矿2)二4硏1>0,解得：加＞7，T 二次项系数H0, •••azHO,/・•・当血＞冷且也H0时，方程有两个不相等的实数根;—2 — 9X1+X2=- - ，X\X2 ~-：Xi, 例1. 解：（1）・・・方程有两个不相等的实数根,例2. 例3. 例5. （2）・・51、疋为方程的两个不等实数根,( Xi+Xz ) 2-3乂疋=( ~ —— 2,例& 解得J 位处（舍去）；:解：（1）•••△= （-4加）2-4 （4力-9） =36>0, 例10.二此方程有两个不相等的实数根;例H.例12.•••為=2也-3,必=2加"3,例13. A 2 （2沪3） =2时3+1,例14.例15.解：（1）：•△= （4-3刃）--4/n（2/3-8）,例16.二力+8肘 16=（血4）■例17.乂T加>0・・・（时4） '>0即△>（）例18.•••方程有两个不相等的实数根;例19.（2） V方程的两个根分别为X】.疋（拓V疋），例20.7— $ 0 —a /. Xi+X2=-- , XiX：=例21.77=上-X1-切，且点B （刃，n）在X轴上,例22.例23.解得J沪-2,沪4,例24.例25.•解：（1）T方程Y-2 （於1） W+5=0有两个不相等的实数根，例26.•••△=[-2 （加4） ]M （力+5） =8矿 16>0,解得：7Z?>2. 例27.（2） V原方程的两个实数根为屋、d例28./. &+必=2 （於 1），X\X手金+5.例29.例30.•••&+疋=2 （M1） >0,益尼=2卄5>0,例31.X2>Q.2 + F - 4 2 工）—><口-异0证明：（1） •••△= （2A+1） -16 （4® = （243） '20,•\Xi+X2=2k+l=Qt 解得 A=-0. 5；方程可化为y-4x+4=0，/.X I =X2=2»而b=c=2, •:決c=4二a 不适合题意 舍去:例42.②当 Ka=4,贝 1J4L4 （2A+1） +4 （4彳）=0,c=a=4时，同理得辰2, •••C AABC =10,综上所述，△ABC 的周长为10. 训练 1. (1)证明；T 方程血；-(加"2)屮2=0 (也工0)是一元二次方程, •:△二（时2） L8/ZF 力+4卅4-8沪加-4肘4=（矿2） 'NO, •:方程总有两个实数根:(2)解：T 方程有两个不相等的实数根a , P, •:由根与系数的关系可得a+B=上，aP=A+2丁二子 1,例32. */ 打+卅=（2 + 抡二 I Xi ； +:卫 I +2*必,例33. A4 （zzr^l ） '-2 （力+5） =2 （研1） +2 （力+5）,即 6zzrl8=0, 例34.例35.例36. •••方程总有实根;例37. 解：(2) V 两实数根互为相反数, 例38. 例39. (3)①当d=c 时，则△=()， 例40. 即（243） -=0, : 例41. 例43. ・・・碍,例44. 方程化为Y-6A +8=0,解得益=4，必二2,例45. ««c^2» C AAK ^ 10,例46.2•解：(1) V方程Y-2卅沪0有两个实数根,•••△= (-2 )二4心0,(2)由两根关系可知，X1+疋=2，X'XFiB、2 + 2=2解方程组；+ 5 2= 3 解得［•5^ 7 5••/ZFX片?X 話；(3)*/Xi-Xz-^»/. (X1+X2) (X1-X2) =0, T X I+X2=2 HO, •: Xi-x：=0，•••方程左-2屮ZZF O有两个相等的实数根,/. A= (-2) 2-4/ZF O,解得/n=i.3. (1)证明J T关于/的方程Y+ (矿3) x-m (2沪3) =0的判别式^=(沪 3) '+4刃(2矿3) =9 (zrl) -$0, •••无论刃为何值方程都有两个实数根;(2)解：设方程的两个实数根为XI. XA 则Xi+X2=-(沪3) , X1X xF-iB (2zzr 3), 令屛+疋2=26，得；(xi+js^) '-2x^2=(沪3) "+2/ff (2矿3) =26, 整理，得5力T2/zrl7=0,解这个方程得， Zff= ¥或沪T,所以存在正数沪#,使得方程的两个实数根的平方和等于26.4.(1)证明：在方程 Y-6尸应0 中，△= (-6) MXIX=4"+36N36,•:方程有两个不相等的实数根.(2)解:*2为方程的两个实数根,•：益+疋二6①，X\X亍一丘,联立①②成方程组｛/:+二寫解之得： 1 = 82= -2'•"必二一斤二-⑹/.A=±4,5•解：(1) V原方程有两个不相等的实数根,•:△二[- (2^-3) ]M (j^+l) =4J^-12対9-4F-4A12A+5>0, 解得：备(2)•：Xi+&=243 VO,乂 Tx昂=A^+l>0,•: ! xj +1 xj =-Xi-A5=-( X1+X2) =-2k+3,T I xj +1X』=21X1X21 -3•••-2奸3=2p+2-3,即/c+k-2=Q.•:血=1,妒一2,:冷一2・6•解：(1) •••△= (zr2) MX (妇3)=(沪3) -+3>0.•:无论刃取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根;2 加+疋=A^+ (xi+xz) =/zrH,把必代入方程有:9-3 (沪2) +”3=07•解：（1）将#3代入方程中，得：9 （旷1） -15+4旷2=0, 解得J a=2.•:原方程为*・-5屮6二（#2）（尸3） =0, 解得 J -¥1=2, X2=3.••，的值为2,方程的另一个根为A=2・（2）结合（1）可知等腰三角形的腰可以为2或3, AC=2+2+3=7或C=3+3+2=& •••三角形的周长为S或7.8..«-： VA=(2a)M(aM^2)丸，二三乂 T Xi+x2=-2a, X必二£+4a-2./. Xi'+-^'= (Xi+Xz) '-2x必=2 (旷2) 2-4 •设尸2 （旷2） =4,根据二次函数的性质•V <22当=£时，*』+疋2的值最小.此时f+討2（^-4=2,即最小值为右。

根与系数的关系练习题

根与系数的关系练习题

一元二次方程根与系数的关系习题主编：闫老师[准备知识回顾]：1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 。

2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=∆（1） 当0>∆时，方程有两个不相等的实数根。

（2） 当0=∆时，方程有两个相等的实数根。

（3） 当0<∆时，方程没有实数根。

反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；方程没有实数根，则 。

[韦达定理相关知识]1若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x 和，那么=+21x x ，=•21x x 。

我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。

2、如果一元二次方程02=++q px x 的两个根是21x x 和，则=+21x x ，=•21x x 。

3、以21x x 和为根的一元二次方程（二次项系数为1）是0)(21212=•++-x x x x x x4、在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，有一根为0，则=c ；有一根为1，则=++c b a ；有一根为1-，则=+-c b a ；若两根互为倒数,则=c ；若两根互为相反数，则=b 。

5、二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式c bx ax ++2的因式时，如果可用公式求出方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和，那么))((212x x x x a c bx ax --=++．如果方程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解.[基础运用]例1：已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1，则另一个根是 ，=k 。

解：变式训练：1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根，则另一根和k 的值分别是多少？2、方程062=--kx x 的两个根都是整数，则k 的值是多少？例2：设21x x 和是方程03422=-+x x ，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值：（1）2221x x + （2）)1)(1(21++x x （3）2111x x + （4）221)(x x -变式训练：1、已知关于x 的方程01032=+-k x x 有实数根，求满足下列条件的k 值：（1）有两个实数根。

初中数学专题：根与系数的关系【十大题型】(举一反三)

初中数学专题：根与系数的关系【十大题型】(举一反三)

专题1.4 根与系数的关系【十大题型】【苏科版】【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】 (1)【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】 (1)【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】 (2)【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】 (2)【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】 (3)【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 (3)【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】 (4)【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】 (4)【题型9 根与系数关系中的新定义问题】 (5)【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 (5)【知识点一元二次方程的根与系数的关系】若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，．注意它的使用条件为，，.【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（2023春·广东广州·九年级统考期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（）A．B．C．1 D．7【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（）A．B．C．D．【变式1-2】（2023·上海·九年级假期作业）已知a，b是方程的两个根，则的值．【变式1-3】（2023春·九年级单元测试）已知、是方程的两根，且，则的值为．【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】【例2】（2023春·浙江·九年级专题练习）设α、β是方程的两个实数根，则的值为（）A．－2014 B．2014 C．2013 D．－2013【变式2-1】（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为()A．B．C．D．【变式2-2】（2023·江西萍乡·校考模拟预测）若、是一元二次方程的两个根，则的值是．【变式2-3】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）已知和是方程的两个根，则的值为（）A．B．2021 C．D．2023【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】【例3】（2023春·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）若p、q是方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为．【变式3-1】（2023春·山东日照·九年级统考期末）已知，是方程的两个根，则代数的值为．【变式3-2】（2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知、是方程的两根，则的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10（2023春·九年级课时练习）已知，是方程的两根，则代数式【变式3-3】的值是（）A．B．C．D．【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】【例4】（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（）A．4 B．8 C．12 D．16【变式4-1】（2023·上海·九年级校考期中）已知关于x的方程的两根为满足：，求实数k的值【变式4-2】（2023春·广东佛山·九年级校考阶段练习）方程的两个实数根互为相反数，则的值是．【变式4-3】（2023春·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若、是关于的方程的两个不相等的实数根，且，则的值为．【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】【例5】（2023春·江苏南京·九年级专题练习）关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）A．有两个相异正根B．有两个相异负根C．有一个正根和一个负根D．无实数根【变式5-1】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）方程根的符号是（）A．两根一正一负 B．两根都是负数C．两根都是正数D．无法确定【变式5-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的负实根D．只有一个实数根【变式5-3】（2023·九年级统考课时练习）已知，，，则方程的根的情况是（）.A．有两个负根B．两根异号且正根绝对值较大C．有两个正根D．两根异号且负根绝对值较大【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】【例6】（2023·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜，则m的取值范围为多少？【变式6-1】（2023·山东日照·日照港中学统考二模）已知关于x的一元二次方程的实数根，满足，则m的取值范围是．【变式6-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，，则k的取值范围是（）A．B．C．D．且【变式6-3】（2023春·九年级单元测试）设关于的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是．【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】【例7】（2023·陕西西安·校考二模）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则的值为（）A．﹣402 B．C．D．【变式7-1】（2023春·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知，则的最小值是（）．A．6 B．3 C．-3 D．0【变式7-2】（2023·山东德州·统考一模）已知互不相等的三个实数a、b、c满足，，求的值．【变式7-3】（2023春·江苏·九年级专题练习）设，，，为互不相等的实数，且，，则的值为（）A．-1 B．1 C．0 D．0.5【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】【例8】（2023春·浙江·九年级期中）若关于x的一元二次方程的一个根为m，则方程（）（）的两根分别是（）．A．，B．，C．，D．，【变式8-1】（2023春·江西萍乡·九年级统考期中）有两个一元二次方程：：；：，其中，以下四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是【变式8-2】（2023春·安徽合肥·九年级校考期末）关于x的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（）A．p是正数，q是负数B．＜C．q是正数，p是负数D．【变式8-3】（2023春·九年级单元测试）一元二次方程；，其中，，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则是方程N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是，其中正确的结论是（）A．①③B．①②③C．①②④D．①③④【题型9 根与系数关系中的新定义问题】【例9】（2023春·山东日照·九年级日照市田家炳实验中学校考阶段练习）定义：如果实数a、b、c满足a²+b²=c²，那么我们称一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)为“勾股”方程；二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)为“勾股”函数．(1)理解：下列方程是“勾股”方程的有．①x²-1=0；②-；③；④4x²+3x=5(2)探究：若m、n是“勾股”方程ax²+bx+c=0 的两个实数根，试探究m、n之间的数量关系．【变式9-1】（2023春·河南安阳·九年级校联考期中）定义运算：．若a，b是方程的两根，则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．与m有关【变式9-2】（2023春·广东揭阳·九年级校联考阶段练习）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求的值．【变式9-3】（2023春·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）已知：、是一元二次方程的两个实数根，设，，．根据根的定义，有、，将两式相加，得，于是根据以上信息，解答下列问题．(1)求、的值，并利用一元二次方程根与系数关系，求出的值．(2)猜想：当时，、、之间满足的数量关系，并证明你的猜想．【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】【例10】（2023春·广东广州·九年级广州白云广雅实验学校校考阶段练习）已知关于x的方程有两实数根，，(1)若，求k的值．(2)是否存在实数k满足，若存在请求出k的值，若不存在请说明理由．【变式10-1】（2023春·黑龙江大庆·九年级统考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围．(2)若两个实数根分别是，，且，求m的值．【变式10-2】（2023·安徽·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则．【变式10-3】（2023·浙江·九年级假期作业）已知，关于x的方程有两个实数根．(1)求k的取值范围．(2)若方程的两实根为，且满足，求k的值．(3)当k为何值时，式子有最小值，并求出该最小值．专题1.4 根与系数的关系【十大题型】【苏科版】【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】 (1)【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】 (1)【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】 (2)【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】 (2)【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】 (3)【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 (3)【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】 (4)【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】 (4)【题型9 根与系数关系中的新定义问题】 (5)【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 (5)【知识点一元二次方程的根与系数的关系】若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，．注意它的使用条件为，，.【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（2023春·广东广州·九年级统考期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（）A．B．C．1 D．7【答案】D【分析】利用两根之和为，两根之积为，计算即可．【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根，∴，，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系的公式．【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后将分式化简，代入即可求解．【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式1-2】（2023·上海·九年级假期作业）已知a，b是方程的两个根，则的值．【答案】【分析】由根与系数关系知，，即知a＜0，b＜0，化简原式，所以原式故答案为：﹣14．【详解】解：∵a，b是方程的两个根，∴，，∴a＜0，b＜0，∴∴原式故答案为：﹣14．【点睛】本题主要考查根与系数关系、完全平方公式变形及二次根式的运算及化简；能够根据a,b的关系式确定其取值范围，进而准确处理二次根式的运算及化简是解题的关键．【变式1-3】（2023春·九年级单元测试）已知、是方程的两根，且，则的值为．【答案】【分析】由题意可得，，然后代入所求式子计算即可.【详解】解：∵、是方程的两根，∴，，∵，∴，∴；故答案为：.【点睛】本题考查了一元二次方程的求解、根与系数的关系以及二次根式的混合运算，熟练掌握一元二次方程的相关知识、正确计算是解题的关键.【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】【例2】（2023春·浙江·九年级专题练习）设α、β是方程的两个实数根，则的值为（）A．－2014 B．2014 C．2013 D．－2013【答案】D【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到x2+x+2012=0，即α2+α=-2012，则α2+2α+可化为α2+α+α+β=-2012+α+β，然后利用根与系数的关系得到α+β=-1，再利用整体代入的方法计算即可．【详解】∵α是方程x2+x+2012=0的根，∴α2+α+2012=0，即α2+α=-2012，∴α2+2α+β=α2+α+α+β=-2012+α+β，∵α，β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，∴α+β=-1，∴α2+2α+β=-2012-1=-2013．故选D．【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．【变式2-1】（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为()A．B．C．D．【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的定义可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式即可求解．【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，得出，是解题的关键．【变式2-2】（2023·江西萍乡·校考模拟预测）若、是一元二次方程的两个根，则的值是．【答案】6【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，由根的定义可得，代入即可得答案．【详解】∵，，∴．故答案为：6【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及方程根的概念．【变式2-3】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）已知和是方程的两个根，则的值为（）A．B．2021 C．D．2023【答案】A【分析】由和是方程的两个根，根据根于系数关系可得，，，由一元二次方程根的定义可得，，即可求解；【详解】和是方程的两个根，，，，，故选A．【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键．【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】【例3】（2023春·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）若p、q是方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为．【答案】【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体思想计算即可．【详解】∵若p、q是方程的两个不相等的实数根，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解，利用整体思想降次消元是解题的关键．【变式3-1】（2023春·山东日照·九年级统考期末）已知，是方程的两个根，则代数的值为．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义，得，，，，再代入降次求值即可．【详解】解：由题意，得，，，，，，原式，，，=．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，整式的化简求值，本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．【变式3-2】（2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知、是方程的两根，则的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得出，，，，再对所求式子变形整理，求出答案即可．【详解】解：∵、是方程的两根，∴，，，，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，若一元二次方程（a、b、c 为常数，）的两根为，，则，．（2023春·九年级课时练习）已知，是方程的两根，则代数式【变式3-3】的值是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值．【详解】∵a与b是方程的两根∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0∴a2=a+1，b2=b+1∵，同理：∴故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键．【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】【例4】（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为、，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．【变式4-1】（2023·上海·九年级校考期中）已知关于x的方程的两根为满足：，求实数k的值【答案】【分析】利用根的判别式求出k的取值范围，利用根与系数的关系求出，，代入，即可求得k的值.【详解】解：∵关于x的方程的两根为∴解得：，∵∴代入，得：解得：∵∴【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.【变式4-2】（2023春·广东佛山·九年级校考阶段练习）方程的两个实数根互为相反数，则的值是．【答案】【分析】设方程的两根分别为，，根据根与系数的关系得到，解得，然后分别计算，最后确定．【详解】解：设方程的两根分别为，，∵方程的两个实数根互为相反数，，∴，解得，当，方程变为：，＜，方程没有实数根，所以舍去；当，方程变为：，＞，方程有两个不相等的实数根；∴．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程（，，，为常数）根与系数的关系：若方程的两根分别为，，则；．也考查了一元二次方程的根的判别式：当＞，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当＜，方程没有实数根．【变式4-3】（2023春·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若、是关于的方程的两个不相等的实数根，且，则的值为．【答案】3【分析】根据根与系数的关系得到，，再根据得到，解方程求出k的值，最后用根的判别式验证是否符合题意即可．【详解】解：∵、是关于的方程的两个不相等的实数根，∴，，∵，∴，即，∴，∴，解得或，又∵方程有两个不相等的实数根，∴，∴，∴，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】【例5】（2023春·江苏南京·九年级专题练习）关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）A．有两个相异正根B．有两个相异负根C．有一个正根和一个负根D．无实数根【答案】C【分析】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：由题意得：方程可化为，∴，∴该方程有两个不相等的实数根，设该方程的两个根为，则根据根与系数的关系可知：，∴该方程的两个根为一正一负，故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．【变式5-1】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）方程根的符号是（）A．两根一正一负 B．两根都是负数C．两根都是正数D．无法确定【答案】C【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分析求解．【详解】解：的两根分别为，，则，，∴方程的两根同号，且两根都是正数，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程的两根，满足，是解题关键．【变式5-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的负实根D．只有一个实数根【答案】C【分析】首先根据根的判别式，结合三角形三边关系，得出方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系，判断出两根之和和两根之积的符号，即可作出判断．【详解】解：在方程中，可得：，∵a、b、c是的三条边的长，∴，，．，即，∴，∴，∴方程有两个不相等的实数根，又∵两根的和是，两根的积是，∴方程有两个不等的负实根．故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，解本题的关键在熟练掌握根据一元二次方程根与系数的关系，判断出方程有两个不等的负实根．【变式5-3】（2023·九年级统考课时练习）已知，，，则方程的根的情况是（）.A．有两个负根B．两根异号且正根绝对值较大C．有两个正根D．两根异号且负根绝对值较大【答案】D【分析】先计算=b2+4ac，由a＜0，b＞0，c＜0，得到＞0，然后根据判别式的意义得到方程有两个实数根．设方程两根为x1，x2．由得到方程有异号两实数根，再由得到负根的绝对值大．【详解】=（﹣b）2﹣4•a•（﹣c）=b2+4ac．∵a＜0，b＞0，c＜0，∴b2＞0，ac＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．设方程两根为x1，x2．∵，∴方程有异号两实数根．∵，∴负根的绝对值大．故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式和根与系数的关系．当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根．【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】【例6】（2023·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜，则m的取值范围为多少？【答案】﹣2＜m＜1或3＜m＜7【分析】由方程有两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于m的不等式，解不等式即可得出m的取值范围，结合根与系数的关系可得出关于m的不等式，解不等式可得出答案．【详解】解：∵方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＝﹣﹣4×＞0，整理得：，即，根据乘法法则得：或，解前一不等式组得：m＞3；解后一不等式组得：m＞1，∴原不等式的解集为：m＞3或m＜1；由题意得x1+x8＝＝（4﹣m）＞﹣3，解得m＜7；∵x1x2＝，解得m＞﹣2．综上所述，﹣2＜m＜1或3＜m＜7．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，根据题意得出关于m的不等式是解题的关键【变式6-1】（2023·山东日照·日照港中学统考二模）已知关于x的一元二次方程的实数根，满足，则m的取值范围是．【答案】【分析】根据根的判别式Δ≥0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．【详解】解：由题意得：，所以，依题意得：，解得4＜m≤5．故答案是：4＜m≤5．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．【变式6-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，，则k的取值范围是（）A．B．C．D．且【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．根据，，可得，结合，从而最后确定的取值范围．【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，∵，，∴又∵，∴，解得：，综上，的取值范围为：．故选：C．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，关键是得到．【变式6-3】（2023春·九年级单元测试）设关于的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是．【答案】【分析】由方程有两个不相等的实数根利用根的判别式Δ＞0，可得出a的取值范围，利用根与系数的关系可得出，，由可得出，展开代入后可得出a的不等式，解之即可求出a取值范围．【详解】解：方程有两个不相等的实数根，，解得：，，，，，，，，即，当时，解得（舍去）；当时，解得，又，的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合，找出关于a的不等式是解题的关键．【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】【例7】（2023·陕西西安·校考二模）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则的值为（）A．﹣402 B．C．D．【答案】C【详解】将9n2+2010n+5=0方程两边同除以n2，变形得：5×（）2+2010×+9=0，又5m2+2010m+9=0，∴m与为方程5x2+2010x+9=0的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m•==．故选：C．【变式7-1】（2023春·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知，则的最小值是（）．A．6 B．3 C．-3 D．0【答案】A【分析】由已知得m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，根据根与系数的关系得到m＋n ＝2a，mn＝2，再根据完全平方公式展开化简，利用二次函数的性质解决问题．【详解】解：∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，∴m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，∴m＋n＝2a，mn＝2，∴(m－1)2＋(n－1)2＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2＝4a2－4－4a＋2＝4(a－)2－3，∵a≥2，∴当a＝2时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值，∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(2－)2－3＝6，故选A．【点睛】本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．【变式7-2】（2023·山东德州·统考一模）已知互不相等的三个实数a、b、c满足，，求的值．【答案】﹣2【分析】将已知的两等式去分母得到关系式a2+3a+c=0和b2+3b+c=0，把a、b看成方程x2+3x+c=0的两根，由根与系数的关系得到a+b=﹣3，ab=c，所求式子变形后，把a+b=﹣3，ab=c代入，即可求出值．【详解】由=﹣a﹣3得：a2+3a+c=0①；由=﹣b﹣3得：b2+3b+c=0②；∵a≠b，∴a、b可以看成方程x2+3x+c=0的两根，∴a+b=﹣3，ab=c；∴+﹣=====﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的加减运算，灵活变换已知等式是解答本题的关键．【变式7-3】（2023春·江苏·九年级专题练习）设，，，为互不相等的实数，且，，则的值为（）A．-1 B．1 C．0 D．0.5【答案】A【分析】把看作以上方程的两个不同的根，可得，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可【详解】解：，，看作以上方程的两个不同的根，即是方程的两根，故，即故选A【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键．【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】【例8】（2023春·浙江·九年级期中）若关于x的一元二次方程的一个根为m，则方程（）（）的两根分别是（）．A．，B．，C．，D．，【答案】A【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程的另一个根，设，根据方程的根代入求值即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程的一个根为m，设方程另一根为n，∴，解得：，设，方程（）（）变形为，由一元二次方程的根可得，，，∴，，∴，，故答案为：A．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及换元法解一元二次方程，解题的关键是用换元法变形方程代入求解．【变式8-1】（2023春·江西萍乡·九年级统考期中）有两个一元二次方程：：；：，其中，以下四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根。

专题根与系数的关系含答案图文稿

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专题根与系数的关系含答案文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-（2m-1）x+m-2=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2为方程的两个不等实数根，且满足x12+x22-x1x2=2，求m的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求?m的值．例3．已知关于x的方程mx2+（4-3m）x+2m-8=0（m＞0）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个根分别为x1、x2（x1＜x2），若n=x2-x1-12m，且点B（m，n）在x轴上，求m的值．.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2，求m 的值．例5.已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-12）=0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β，满足1α+1α=1，求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=0（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1和x2，且x1+3x2=3，求m的值．（3）若方程的两个实数根为x1和x2，且x12-x22=0，求m的值．3.已知关于x 的方程x 2+（m -3）x -m （2m -3）=0 （1）证明：无论m 为何值方程都有两个实数根；（2）是否存在正数m ，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m 的值；若不存在，请说明理由．4.已知关于x 的一元二次方程x 2-6x -k 2=0（k 为常数）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x 1、x 2为方程的两个实数根，且2x 1+x 2=14，试求出方程的两个实数根和k 的值．5.已知关于x 的方程x 2-（2k -3）x +k 2+1=0有两个不相等的实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；（2）若x 1、x 2满足|x 1|+|x 2|=2|x 1x 2|-3，求k 的值．6.已知关于x 的一元二次方程x 2-（m -2）x +12m -3=0（1）求证：无论m 取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1+x 2=m +1，求m 的值．7.已知关于x 的一元二次方程（a -1）x 2-5x +4a -2=0的一个根为x =3．（1）求a 的值及方程的另一个根；（2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．8.设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+2ax +a 2+4a -2=0的两实根，当a 为何值时，x 12+x 22有最小值最小值是多少专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 例1. 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， 例2. ∴△=b 2-4ac =[-（2m -1）]2-4m （m -2）=4m +1＞0， 例3. 解得：m ＞-14，∵二次项系数≠0，∴m ≠0，例4. ∴当m ＞-14且m ≠0时，方程有两个不相等的实数根； 例5. （2）∵x 1、x 2为方程的两个不等实数根， 例6. ∴x 1+x 2=2α−1α，x 1x 2=α−2α， 例7. ∴x 12+x 22-x 1x 2=（x 1+x 2）2-3x 1x 2=（2α−1α）2-3(α−2)α=2，例8. 解得：m 1=√2+1，m 2=-√2+1（舍去）；∴m =√2+1．例9. 解：（1）∵△=（-4m ）2-4（4m 2-9）=36＞0， 例10. ∴此方程有两个不相等的实数根； 例11. （2）∵x =4α±√362=2m ±3， 例12. ∴x 1=2m -3，x 2=2m +3，例13. ∵2x 1=x 2+1，∴2（2m -3）=2m +3+1，例14. ∴m =5．例15. 解：（1）∵△=（4-3m ）2-4m （2m -8）， 例16. =m 2+8m +16=（m +4）2例17. 又∵m ＞0∴（m +4）2＞0即△＞0 例18. ∴方程有两个不相等的实数根；例19. （2）∵方程的两个根分别为x 1、x 2（x 1＜x 2）， 例20. ∴x 1+x 2=-4−3αα，x 1x 2=2α−8α， 例21. n =x 2-x 1-12m ，且点B （m ，n ）在x 轴上， 例22. ∴x 2-x 1-12m =√(α1+α2)2−4α2α1-12m =√(4−3αα)2−4×2α−8α-12m =0， 例23. 解得：m =-2，m =4，例24. ∵m ＞0，∴m =4．例25. .解：（1）∵方程x 2-2（m +1）x +m 2+5=0有两个不相等的实数根， 例26. ∴△=[-2（m +1）]2-4（m 2+5）=8m -16＞0，解得：m ＞2． 例27. （2）∵原方程的两个实数根为x 1、x 2， 例28. ∴x 1+x 2=2（m +1），x 1x 2=m 2+5． 例29. ∵m ＞2，例30. ∴x 1+x 2=2（m +1）＞0，x 1x 2=m 2+5＞0， 例31. ∴x 1＞0、x 2＞0．例32. ∵x 12+x 22=(α1+α2)2-2x 1x 2=|x 1|+|x 2|+2x 1x 2，例33. ∴4（m +1）2-2（m 2+5）=2（m +1）+2（m 2+5），即6m -18=0，例34. 解得：m =3．例35. 证明：（1）∵△=（2k +1）2-16（k -12）=（2k -3）2≥0， 例36. ∴方程总有实根；例37. 解：（2）∵两实数根互为相反数， 例38. ∴x 1+x 2=2k +1=0，解得k =-0.5； 例39. （3）①当b =c 时，则△=0， 例40. 即（2k -3）2=0，∴k =32，例41. 方程可化为x 2-4x +4=0，∴x 1=x 2=2，而b =c =2，∴b +c =4=a 不适合题意舍去；例42. ②当b =a =4，则42-4（2k +1）+4（k -12）=0， 例43. ∴k =52，例44. 方程化为x 2-6x +8=0，解得x 1=4，x 2=2， 例45. ∴c =2，C △ABC =10，例46. 当c =a =4时，同理得b =2，∴C △ABC =10，综上所述，△ABC 的周长为10． 训练1.（1）证明：∵方程mx 2-（m +2）x +2=0（m ≠0）是一元二次方程， ∴△=（m +2）2-8m =m 2+4m +4-8m =m 2-4m +4=（m -2）2≥0， ∴方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有两个不相等的实数根α，β， ∴由根与系数的关系可得α+β=α+2α，αβ=2α， ∵1α+1α=1，∴α+2α2α=α+22=1，解得m=0，∵m≠0，∴m无解．2.解：（1）∵方程x2-2x+m=0有两个实数根，∴△=（-2）2-4m≥0，解得m≤1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1x2=m，解方程组{α1+α2=2α1+3α2=3，解得{α1=32α2=12，∴m=x1x2=32×12=34；（3）∵x12-x22=0，∴（x1+x2）（x1-x2）=0，∵x1+x2=2≠0，∴x1-x2=0，∴方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=（-2）2-4m=0，解得m=1．3.（1）证明：∵关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0的判别式△=（m-3）2+4m（2m-3）=9（m-1）2≥0，∴无论m为何值方程都有两个实数根；（2）解：设方程的两个实数根为x1、x2，则x1+x2=-（m-3），x1×x2=-m（2m-3），令x12+x22=26，得：（x1+x2）2-2x1x2=（m-3）2+2m（2m-3）=26，整理，得5m2-12m-17=0，解这个方程得，m =175或m =-1，所以存在正数m =175，使得方程的两个实数根的平方和等于26． 4.（1）证明：在方程x 2-6x -k 2=0中，△=（-6）2-4×1×（-k 2）=4k 2+36≥36，∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x 1、x 2为方程的两个实数根， ∴x 1+x 2=6①，x 1x 2=-k 2， ∵2x 1+x 2=14②， 联立①②成方程组{α1+α2=62α1+α2=14，解之得：{α1=8α2=−2，∴x 1x 2=-k 2=-16， ∴k =±4．5.解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=[-（2k -3）]2-4（k 2+1）=4k 2-12k +9-4k 2-4=-12k +5＞0， 解得：k ＜512； （2）∵k ＜512， ∴x 1+x 2=2k -3＜0， 又∵x 1x 2=k 2+1＞0， ∴x 1＜0，x 2＜0，∴|x 1|+|x 2|=-x 1-x 2=-（x 1+x 2）=-2k +3， ∵|x 1|+|x 2|=2|x 1x 2|-3， ∴-2k +3=2k 2+2-3，即k 2+k -2=0， ∴k 1=1，k 2=-2， 又∵k ＜512，∴k=-2．6.解：（1）∵△=（m-2）2-4×（12m-3）=（m-3）2+3＞0，∴无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）解：x1+x2=m-2，2x1+x2=x1+（x1+x2）=m+1，∴x1=m+1+2-m=3，把x1代入方程有：9-3（m-2）+12m-3=0解得m=245．7.解：（1）将x=3代入方程中，得：9（a-1）-15+4a-2=0，解得：a=2，∴原方程为x2-5x+6=（x-2）（x-3）=0，解得：x1=2，x2=3．∴a的值为2，方程的另一个根为x=2．（2）结合（1）可知等腰三角形的腰可以为2或3，∴C=2+2+3=7或C=3+3+2=8．∴三角形的周长为8或7．8..解：∵△=（2a）2-4（a2+4a-2）≥0，∴α≤12又∵x1+x2=-2a，x1x2=a2+4a-2．∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=2（a-2）2-4．设y=2（a-2）2-4，根据二次函数的性质．∵α≤12∴当α=12时，x12+x22的值最小．此时α12+α22=2(12−2)2−4=12，即最小值为12．。

根与系数关系练习题

根与系数关系练习题

根与系数关系练习题根与系数关系练习题在代数学中，根与系数之间的关系是一个重要的概念。

通过解方程，我们可以发现根与系数之间存在一定的关联。

本文将通过一些练习题来探讨根与系数之间的关系，并帮助读者更好地理解这一概念。

首先，让我们考虑一个简单的一元二次方程：ax^2 + bx + c = 0。

其中，a、b 和c分别是方程的系数。

我们的目标是找到方程的根。

假设方程有两个不同的实数根x1和x2。

根据二次方程的求根公式，我们可以得到：x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a)x2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a)从上述公式中，我们可以观察到一些有趣的现象。

首先，根的值与系数的值有关。

当a、b和c的值变化时，方程的根也会相应地变化。

例如，当a的值增加时，根的值会如何变化呢？让我们考虑一个具体的例子。

假设我们有一个方程x^2 - 5x + 6 = 0。

通过观察系数的值，我们可以发现a = 1，b = -5，c = 6。

根据求根公式，我们可以计算出方程的两个根为x1 = 3和x2 = 2。

现在，让我们将a的值增加到2，即方程变为2x^2 - 5x + 6 = 0。

通过计算，我们可以发现方程的两个根变为x1 = 1.5和x2 = 2。

从中我们可以看出，当a的值增加时，方程的根也会相应地变化。

除了a的值，b和c的值也会对方程的根产生影响。

例如，当b的值增加时，方程的根会如何变化呢？让我们考虑一个新的例子：x^2 - 4x + 4 = 0。

通过观察系数的值，我们可以发现a = 1，b = -4，c = 4。

根据求根公式，我们可以计算出方程的两个根为x1 = 2和x2 = 2。

现在，让我们将b的值增加到6，即方程变为x^2 - 10x + 4 = 0。

通过计算，我们可以发现方程的两个根变为x1 = 9.53和x2 = 0.47。

从中我们可以看出，当b的值增加时，方程的根也会相应地变化。

初二数学根与系数的关系练习题 2

初二数学根与系数的关系练习题 2

初二数学根与系数的关系练习题 2初二数学根与系数的关系练习题--2关于初等二元二次方程根与系数关系的练习[准备知识回顾]：1、一元二次方程ax2？bx？C0（a？0）的根公式是bb24ac2x(b4ac0)。

2A2。

一元二次方程AX2？bx？C0（a？0）根的判别式是：？？b2？4ac（1）当??0时，方程有两个不相等的实数根。

（2）当??0时，方程有两个相等的实数根。

（3）当??0时，方程没有实数根。

相反：如果方程有两个不相等的实根，那么；如果方程有两个相等的实根，那么；如果方程没有真正的根，那么。

[关于威达定理的知识]一若一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有两个实数根x1和x2，那么x1？x2x1？x2我们称这两个结论为一元论二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。

2.如果一元二次方程x2？二甲苯？Q如果0的两个根是X1和X2，那么X1？x2x1？x23、以x1和x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2?(x1?x2)x?x1?x2?04、在一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)中，有一根为0，则c?；有一根为1，则a?b?c?；有一根为?1，则a?b?c?；若两根互为倒数,则c?；若两根互为相反数，则b?。

5、二次三项式的因式分解(公式法)分解二次三项式AX2？bx？如果方程可以通过公式得到ax2?bx?c?0(a?0)的两个根x1和x2，那么ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2)．如果方程AX2？bx？C0（a？0）没有根，那么这个二次三项式AX2？bx？C.不能拆卸[基本应用]例1：已知方程3x2?(k?1)x?2?0的一个根是1，则另一个根是，k?。

解：变体培训：1、已知x??1是方程3x2?2x?k?0的一个根，则另一根和k的值分别是多少？2、方程x2?kx?6?0的两个根都是整数，则k的值是多少？例2：设X1和X2为方程2x2？4x？3.0，使用根和系数之间的关系来查找以下公式的值：（1）x1?x2（2）(x1?1)(x2?1)（3）2211? （4）（x1？X2）2x1x2变型培训：1、已知关于x的方程3x2?10x?k?0有实数根，求满足下列条件的k值：（1）有两个实数根。

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根与系数关系式习题精选
一、填空题与选择题：
1、若一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______.
2、一元二次方程0132=--x x 与032=--x x 的所有实数根的和等于____.
3、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为 。

(其中二次项系数为1)
4、已知a a -=12，b b -=12，且b a ≠，则=--)1)(1(b a ．
5、已知关于x 的方程0142=-+-k x x 的两根之差等于6，那么=k ______
6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）
A 、、3 C 、6 D 、9
7、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程048142=+-x x 的一根, 则这个三角形的周长为
( ) A.11 B.17
C.17或19
D.19 二、解答题：
8、设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）)3)(3(21--x x ；
（2）2221)1()1(+++x x
（3）
112112+++x x x x （4）||21x x -
（5）)31)(31(1221x x x x ++
（6）3231x x +
（7）
21x x
9、已知1x ，2x 是关于x 的方程012)2(222=-++-m x m x 的两个实根，且满足022
21=-x x ，求m 的值；
10、已知方程0122=++mx x 的两实根是21x x 和，方程02=+-n mx x 的两实根是71+x 和72+x ，求m 和n 的值。

11、已知关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比它们的积大21，求m 的值.
12、解方程0242=+-x x ，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的根分别是原方程各根的倒数。

13、m 为何值时，关于x 的一元二次方程0)5()1(22=-++--m m x m x 的两个根互为倒数；
14、在解方程02=++q px x 时，小张看错了p ，解得方程的根为1与3-；小王看错了q, 解得方程的根为4与2-。

这个方程的根应该是什么？
15、已知关于x 的方程01)1(2=-+++b x a x 的两根之比是3:2，判别式的值为1，求方程的根．
16、已知一元二次方程021102=++-a x x 。

（1）当a 为何值时，方程有一正、一负两个根？
（2）此方程会有两个负根吗？为什么？
17、已知m ，n 是一元二次方程0522=--x x 的两个实数根，求m n m 23222++的值。

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