大学物理第15章机械波

b
2 ya ( x, t ) 0.01 cos( 20t x) 0.01 cos( 20t 10x) 2 0.2 2 yb ( x, t ) 0.01 cos( 20t


2
10x)
再次提醒大家小心，根据波形曲线判断某点的振动相位，必须考 虑波动传播方向。
第四篇
波动与光学
§15.2
行波
平面简谐波 波动方程
相位在质点与质点之间相互传播的波动称为行波。
波动方程 描述一列波中任意质点任一时刻的振动过程的方程称为波 动方程。 平面简谐波的传播特点决定了介质中各点的振动频率相同，对于无 吸收的均匀介质中传播的平面波，各质点的振幅也相同。不同的只是振 动的相位：沿着传播方向相位依次落后；同一波面上的质点具有相同的 相位，因此只要知道了一条波线上波的传播规律，就可以知道整个平面 波的传播规律。下图表示了一条波线的两振动质点。 从时间上B点的振动要落后A点（振动的时间差）：
第四篇
波动与光学
四、波阵面和波射线
波面 波动过程中，振动相位相同的点组成 的曲面称为波面，也称为同相面。
波阵面 走在最前面的波面，即振动区域的外边 界称为波阵面，也称做波前。 平面波 球面波 波射线 波面是平面的波称为平面波。 波面是球面的波称为球面波。 描述波的传播方向的有向曲线称为波射线，简称波线。 发散波 球面波 汇聚波 波射线沿波源为中心半径向内的球面波称为汇聚波。 波射线沿波源为中心半径向外的球面波称为发散波。


第四篇
波动与光学
周期
T
一个完整波通过波线上一点所需要的时间称为波的周期。 一个完整波通过这一点，该处的质点将进行一次全振动， 所以波的周期就是该质点的振动周期，也即是所有振动质 点的振动周期。 周期的倒数称为频率，即单位时间内通过波线上一点的完整波 数目，也等于振动质点的振动频率。 单位时间内振动的相位在波线上传播的距离称为波速。 波速的实质是相位的传播速度，称为相速度。波速由介 质的弹性和惯性确定，与波源无关。
同时传播到B点的距离为0.07m
x
O
x u 0.06 m / s t
(2) 确定振动特征量
B
y / cm
10
B
uT 0.12 m
u 7
x / cm
A 0.1m
2
3 2
5 A
别忘记t=0.5s
6
第四篇
波动与光学
A振动状态方程为
y A (t ) 0.1 cos( t
F
F G ( N / m2 ) S
切变变形能产生横波，吉它弦就属于此类变形。

F
第四篇
波动与光学
F
3.体变变形 体变模量
B
体变应力与体应变的比 值称为体变模量。
FV B ( N / m2 ) S V
体变变形能产生纵波，部分产生地震 的岩层就属于此类变形。 4.弹性变形与波速 ①固体中的横波波速：
总体上，波动方程可写为（正负号分别是反行波和正行波）：
x y x, t A cos t u
y ( x, t ) A cos( t 2

x)
第四篇
波动与光学
2.波形曲线 在波动方程中含有两个自变量，当时刻一定时，方程给出此时刻整个 波线上所有质点位置的一幅快照；而当坐标一定时，方程就给出了给定位 置质点的谐振过程。
ES F l k l l
ES k l
2
弹性势能密度 单位体积柱体在长变时的弹性势能为：
1 1 ES 1 2 1 2 1 l wp k l l E 2 V 2 l V 2 l
2.切变变形 切变模量
G
切变应力与切应变的比值称为切变模量。
a
y ( m)
0.01
振动方程为

2
)
u
x ( m)
0 .2
b平面波的振动周期,振幅与a平面波 相同，只需确定初相：


2 yb (t ) 0.01 cos( 20t
振动方程为
b

2
)
第四篇
波动与光学
y ( m)
0.01
波动方程还需确定波长，从b图中可知
0.2m
u
x ( m)
0 .2
l l t T u
A点和B点的相位差：
u
l
A
B
2 l 2 t T l T
第四篇
波动与光学
一、平面简谐波的波动方程
1.波动方程的导出 对于沿着x轴正方向传播的正行波， 假设坐标原点o处的谐振方程为：
y
u
O
P
yo t A cos t
y ( m)
0.01
y ( m)
0.01
u
x ( m)
0 .2
t (s)
0 .1
a
b
第四篇
波动与光学
直接读出振动特征量:
解
y ( m)
0.01
t (s)
0 .1
A 0.01m T 0.1 s 20 (rad / s)


2 ya (t ) 0.01 cos( 20t
一、机械波产生的条件
要产生机械波，以下两个条件缺一不可： 波源 弹性介质
即首先振动的物体，是波的激发源。 即传播波动的媒介。
第四篇
波动与光学
二、机械波的传播
1.传播过程
t0
t T 4
T 2 3T 4
t t
t T
①波源首先发生振动，具有振动的初始能量。 ②质点之间的相互作用力使得振动向周围质点扩散，类似于强迫振动。 ③波动最后在所有介质区域内产生，能量在质点之间不断流动。

6
)
10
y / cm
u
B
(3) 确定波动方程
5 A
7
x / cm
2 y ( x, t ) 0.1 cos( t x) 6 0.12

第四篇
波动与光学
例3、有a, b两列平面波，a波沿着x正向传播，b波沿着x轴负向传播。两 列波的振幅，周期和波长都相等。a波在x=0处质点的振动曲线为左边图 形，b波在t=0时刻的波形如右边图所示, （1）求平面波a, b在x=0处的振动方程； （2）写出平面波a, b的波动方程。
2 y 1 2 y 2 2 2 x u t
这就是一维谐波满足的微分关系。
第四篇
波动与光学
2.三维波动方程
2 y 1 2 y 2 2 2 x u t
其实，由于任意波动过程都可以分解为不同频率的谐波的迭加，每个 谐波都具有此种形式的微分关系，因而上式可称为一维波动微分方程。
第四篇 2.传播特征
波动与光学
1) 各点振动的周期与波源相同，是同频振动。 2) 质点并未“随波逐流”，波的传播不是质点的传播，而是振动状态 的传播。
3) “上游”的质点依次带动“下游”的质点振动，沿波的传播方向振 动相位依此落后。
4) 同相点所对应的质点的振动状态完全相同。 5) 振动速度与传播速度不同。 波动只是振动状态(相位)的传播，介质本身并不随波迁移。波动 是能量传播的过程，而非介质传播的过程。
例2、已知一沿x轴正向传播的平面简谐波在t=0.5s时的波形如图所示， 周期T=2s,
（1）求简谐波的波长；
（2）写出A点振动方程； （3）写出该波的波动方程。
y / cm
10
B
u 7
x / cm
5 A
第四篇
波动与光学
A
解 (1) 画出振动矢量图 A振动状态传播到B点花费时间
T 2 7 t 6
u
m V
V x
x y ( x , t ) A cos[ ( t )] 质元波动方程： u x v ( x , t ) A sin[ ( t )] 质元速度为： u
S
第四篇
波动与光学
1 1 x 2 2 2 2 质点动能为： Ek (m)v V A sin [ (t )] 2 2 u
则相距O为x的P点的振动：
x
x 在时间上落后：t u
x y ( x, t ) A cos[ (t ) ] u
在相位上落后：

2

x
y ( x, t ) A cos( t
2

x)
第四篇
波动与光学
对于沿着x轴负方向传播的逆行波，结果应为：
x y x, t A cos t u 2 y ( x, t ) A cos( t x) 2 x x 在时间上超前： t 在相位上超前： u
F
F
F
u u
G

E
③弦线中的横波波速：
u
F

B
②固体中的纵波波速：

④流体中的纵波波速：
u

第四篇
波动与光学
⑤声速： 声音是典型的纵波。
根据气动理论及热力学，声速按照如下公式计算：
p u


叫做气体的比热容比
RT
M mol
1.4 1.013 105 m s 1 1.293 331m s 1
第四篇
波动与光学
§15.1
波动
机械波的产生与传播
振动状态(相位）的传播称为波动，简称波。
机械波 在介质中传播的若是机械振动，就称为机械波。 电磁波 在空间中传播的若是电磁振动，就称为电磁波。 机械波与电磁波虽然本质不同，但都具有波动的共同特征，如：有 波动传播的速度，能产生反射、折射、干涉、衍射等现象。简谐波是波 动理论的基础，一切复杂波动过程都可以看做是多个简谐波的迭加。