切线长
切线长定理
例2 如图，△ABC的内切 圆⊙O与BC,CA,AB分别 相切于点D,E,F,且AB=9， A BC=14， E F CA=13， . 求AF,BD, C D B CE的长.
O
练习：如图，已知 0 Rt△ABC中，∠C=90 ， I是它的内心，BC=6， AC=8. (1)求∠AIB的度数； （2）求内切圆与外接圆的 C 半径. I A B
A
P
经过圆外一点作圆的切 线，这点和切点之间的线 段的长， 叫做这点到圆的 切线长。
思考：
A
O
P
切线长定理：从圆外一点可 以引圆的两条切线，它们的 切线长相等，这一点和圆心 的连线平分两条切线的夹角.
B
例1：已知AB是⊙O的直径， CB.CD是切线，切点为B、D. 求证（1）△OCB≌△OCD, (2)OC⊥BD,OC∥AD.
C
D A
O
B
练习：如图，AB和AC分别 切⊙O于B、C,AB=50， DE是⊙O的切线，与AB、 AC分别交于D、E, B D 求△ADE的周长？
A E
O
C
思考：一张三角形的铁皮， 如何在它上面截下一块 圆 形的用料，并且使圆的面 积尽可能大呢？ A B
C
三角形的内切圆
A
与三角形三边都 相切的圆叫做 B C 三角形的内切圆， 内切圆的圆心是三角形三 条角平分线的交点， 叫做三角形的内心
切线长定理—知识讲解(基础)
切线长定理—知识讲解（基础）【学习目标】1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点诠释：切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.要点二、切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.要点三、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：名称 确定方法 图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC ；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA 、OB 、OC 分别平分 ∠BAC 、∠ABC 、∠ACB ； (3)内心在三角形内部.【典型例题】类型一、切线长定理1．如图，PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C ，⊙O 的半径长为6 cm ，PO ＝10 cm ，求△PDE 的周长．【答案与解析】连结OA ，则OA ⊥AP ．在Rt △POA 中，PA ＝22OA OP -＝22610-＝8（cm ）． 由切线长定理，得EA ＝EC ，CD ＝BD ，PA ＝PB ， ∴ △PDE 的周长为PE ＋DE ＋PD ＝PE ＋EC ＋DC ＋PD ，＝PE ＋EA ＋PD ＋DB ＝PA ＋PB ＝16（cm ）．【总结升华】本题考查切线长定理、切线的性质、勾股定理．注意：在有关圆的切线长的计算中，往往利用切线长定理进行线段的转换．【高清ID 号： 356967 关联的位置名称（播放点名称）：方法总结及例题1-2】2． 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于D ，E 为BC 中点.求证：DE 是⊙O 切线.【答案与解析】连结OD 、CD ，AC 是直径，∴OA=OC=OD ，∴∠OCD=∠ODC ， ∠ADC=90°，∴△CDB 是直角三角形.∵E 是BC 的中点，∴DE=EB=EC ，∴∠ECD=∠EDC ，∠ECD+∠OCD=90°， ∴∠EDC+∠ODC=90°，即OD ⊥ED ， ∴DE 是⊙O 切线.【总结升华】自然连接OD ，可证OD ⊥DE. 举一反三：【变式】已知：如图，⊙O 为ABC ∆的外接圆，BC 为⊙O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分CBF ∠，过点A 作AD BF ⊥于点D .求证：DA 为⊙O 的切线.OFD CBA3421OFD CBA【答案】连接AO .∵ AO BO =，∴ 23∠=∠.∵ BA CBF ∠平分，∴ 12∠=∠. ∴ 31∠=∠ . ∴ DB ∥AO .∵ AD DB ⊥,∴ 90BDA ∠=︒.∴ 90DAO ∠=︒. ∵ AO 是⊙O 半径，∴ DA 为⊙O 的切线.类型二、三角形的内切圆3．已知：如图，△ABC的三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．【答案与解析】设内切圆与三角形的三边AB、AC、BC分别交于D、E、F，连接OE、 OF、OD、AO、BO、CO.∴△ABC=△AO B+△AO C+△BO C=12r(a+b+c).【总结升华】考虑把△ABC的面积分割成3个以圆的半径为高的三角形面积的和，从而求出△ABC的面积.举一反三：【高清ID号：356967 关联的位置名称（播放点名称）：切线长定理及例3】【变式】已知如图，△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，求△ABC的内切圆⊙O的半径r.【答案】连结OA、OB、OC，∵△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，∴AB=5.则S△AOB+S△COB+S△AOC=S△ABC，即11115+4+3=34=1 2222r r r r ⨯⨯⨯⨯⨯，类型三、与相切有关的计算与证明4．如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆交AD于F，交BC于G，延长BA交圆于E.（1）若ED与⊙A相切，试判断GD与⊙A的位置关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件不变的情况下，若GC＝CD＝5，求AD的长.G FEDCBA【答案与解析】（1）结论：GD 与O 相切证明：连接AG ∵点G 、E 在圆上， ∴AG AE =∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥ ∴123B ∠=∠∠=∠，∵AB AG =，∴3B ∠=∠，∴12∠=∠ 在AED ∆和AGD ∆12AE AGAD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AED AGD ∆∆≌，∴AED AGD ∠=∠ ∵ED 与A 相切∴90AED ∠=︒，∴90AGD ∠=︒ ∴AG DG ⊥∴GD 与A 相切（2）∵5GC CD ==，四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB DC =，45∠=∠，5AB AG ==∵AD BC ∥，∴46∠=∠，∴1562B ∠=∠=∠∴226∠=∠ ，∴630∠=︒ ∴10AD =.【总结升华】本题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题，但是依然考察的是如何将所有条件放在最基本的三角形中求解的能力.判断出DG 与圆相切不难，难点在于如何证明.第二问则不难，重点在于如何利用角度的倍分关系来判断直角三角形中的特殊角度，从而求解.654321GF EDCBA。
切线长定理及应用
切线长定理及应用切线长定理是指在一个圆上，从圆外一点引出两条直线与圆相切，这两条直线的切线长相等。
这是一个非常重要的几何定理，其应用广泛，并被用于解决各种与圆相关的问题。
下面我将详细解释切线长定理及其应用。
首先，我们来证明切线长定理。
考虑一个圆C和直线L1与L2，L1和L2分别与圆C相切于点A和点B。
我们需要证明切线长AP等于切线长BP。
假设圆C的半径为r，圆心为O。
连接OA和OB，与切线AP和BP相交于点C 和点D。
根据切线与半径的性质，我们可以发现∠OAB = ∠OBA = 90度（因为OA和OB分别是切线AP和BP所在直线上的半径）。
因此，三角形OAB是等腰直角三角形，所以OA = OB = r。
另外，我们注意到OC = OD （根据切线与直径的性质），以及O为圆心，所以OC = OD = r。
因此，我们可以得出OC = OD = r，OA = OB = r，根据SSS（边-边-边）准则，三角形OAC和三角形OBD是全等的三角形。
根据全等三角形的定义，对应的角相等，因此∠OCA = ∠ODB。
又因为∠OCA =∠OAB（根据直角三角形性质），所以∠OAB = ∠ODB。
考虑直角三角形AOB和三角形BOC，他们共有角∠OBA和∠OAB。
又根据三角形内角和为180度的性质，我们知道∠OAB + ∠OBA + ∠OBA + ∠OCB = 180度（∠OBA + ∠OBA是两个直角）。
将前面得到的∠OAB = ∠OBA代入，我们可以得到2∠OBA + ∠OCB = 180度。
注意到∠OCB是圆心角，且∠BOA是圆周角，如果我们将∠OCB表示为α，将∠BOA表示为β，根据圆周角和圆心角的关系，我们知道α= 2β。
将α= 2β代入之前的等式，我们得到2∠OBA + 2∠OBA = 180度，化简之后得到4∠OBA = 180度，即∠OBA = 45度。
现在，考虑三角形OAB。
我们可以知道∠OAB = 45度，且OB = OA = r。
切线长及切线长定理
BC相切于点E，AB丄BC， DC丄
O
BC，AB=3 cm，CD=1cm， 则S四边形ABCD=______．
D BEC
4、如图,已知⊙O的半径为3厘米，PO＝6厘米，
PA，PB分别切⊙O于A，B，则PA＝_______，
∠APB＝_____
A
P O
B 5、已知：在△ABC中，BC＝14厘米，
AC＝9厘米，AB＝13厘米，它的内切
则有OA⊥PA，OB⊥PB. 又∵OA=OB，OP=OP
P
.∴△AOP≌△BOP.
∴PA=PB，
∠OAP=∠OPB.
A ●O
B
及时归纳：
切线长：从圆外一点到切点的线段长。
A
切线长定理
O
从圆外一点引圆的两条切线，
它们的切线长相等，这一点与 P 圆心的连线平分这两条切线的
B
夹角。
交流与探究： 由证明过程,你还能发现那些新的结论?
P
在弧AB上任取一点C，过点C作⊙O 的切线，分别交PA、PB于点D、E。
DA
CO EB
试证：⑴ △PDE的周长是定值; PA+PB
⑵ ∠DOE的大小是定说出∠DOE的度数吗？
例题欣赏
例1.已知，如图，AB是⊙O的直径，C是 AB延长线上一点，CD切⊙O于点D， DE⊥AB于E．
我们已经学过切线的判定方法有哪些？ 切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点； ②直线到圆心的距离等于该圆的半径； ③切线的判定定理．
探究1.已知:如图,P是⊙O外一点,过点P作⊙O的切
线，能做几条？
观察猜想, PA,PB都是⊙O的切线,A,B是切点. 你能 的出什么结论？
证明：连接OA、OB，
圆曲线切线长公式
圆曲线切线长公式
在几何学中，圆曲线的切线长是曲线在某一点的切线长度。
在道路设计和施工等许多领域，圆曲线切线长是一个重要的参数。
本文将介绍圆曲线切线长的计算公式。
首先，我们需要知道圆曲线的半径R和圆心角θ。
圆心角通常用弧度表示，它描述了曲线偏离直线的程度。
圆曲线切线长的计算公式为：T=R×θ
其中T为圆曲线切线长，R为圆曲线半径，θ为圆心角（弧度）。
这个公式简单明了，易于理解和应用。
为了更好地理解这个公式，我们可以看一个具体的例子。
假设一条道路转弯处的圆曲线半径为30米，圆心角为60度（弧度），那么圆曲线切线长就是：T=30×(60/180)π=10π≈31.4米
这个结果告诉我们，在这个转弯处，道路的直线部分应该至少有31.4米的长度，才能平滑地过渡到圆曲线上。
在实际应用中，圆曲线切线长的计算还需要考虑其他因素，如道路宽度、车辆速度、交通流量等。
因此，在设计道路时，我们需要根据实际情况对圆曲线切线长进行精细化计算，以确保道路的安全性和舒适性。
总之，圆曲线切线长的计算公式是T=R×θ，其中T为圆曲线切线长，R为圆曲线半径，θ为圆心角（弧度）。
这个公式简单实用，是道路设计中的重要工具。
切线长定理及其应用
切线长定理及其应用知识点一 切线长定义及切线长定理1. 切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和 之间的线段长叫作这点到圆的切线长.注意切线长和切线的区别和联系:切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。
2. 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，即PA=PB.推论：（1）△PAB 是等腰三角形；（2）OP 平分△APB ，即△APO=△BPO ；（3）弧AM=弧BM ；（4）在Rt OAP ∆和Rt OBP ∆中，由AB OP ⊥，可通过相似得相关结论；如：222222,,OA OB OE OP AP BP PE PO AE BE OE EP ==⋅==⋅==⋅（5）图中全等的三角形有对，分别是：题型一 切线长定理的直接应用【例1】如图所示，△O 的半径为3cm ，点P 和圆心O 的距离为6cm ，经过点P 的两条切线与△O 切于点E 、F ，求这两条切线的夹角及切线长.【例2】如图，P A 、PB 、DE 分别切△O 于A 、B 、C ，△O 的半径长为6 cm ，PO ＝10 cm ，求△PDE 的周长．【例3】如图所示，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为__________.【过关练习】1.如图所示，PA、PB是△O的切线，A、B为切点，△OAB=30°.（1）求△APB的度数.（2）当OA=3时，求AP的长.2.如图所示，已知PA、PB、DE分别切O于A、B、C三点，△O的半径为5cm，△PED的周长为24cm，△APB=50°.求：（1）PO的长；（2）△EOD的度数.3.如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,AB ⊥BC,以BC 为直径的△O 与AD 相切,点E 为AD 的中点,下列结论正确的个数是( )(1)AB+CD=AD;(2)DCE ABE BCE S S S △△△+=; (3)241BC CD AB =⋅; (4)∠ABE=∠DCE. A.1B.2C.3D.4知识点二 圆外切四边形1、四边形的内切圆定义：四边形的四条边都与圆相切，把这个四边形叫作圆外切四边形，把这个圆叫作圆的内切圆.2、圆外切四边形的性质：圆外切四边形两组对边之和.（如图，即AB +CD =AD +BC ） 题型一 四边形的内切圆计算【例1】已知四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 与△O 相切于P 、Q 、M 、N ，求证：AB+CD=AD+BC 。
道路切线长计算公式
道路切线长计算公式
摘要：
一、道路切线长的概念及意义
二、切线长计算公式的基本原理
三、切线长计算公式的具体应用
四、切线长计算公式的实际案例分析
五、结论
正文：
一、道路切线长的概念及意义
道路切线长是指在道路的转弯处，从转弯点的切线方向到曲线起点或终点的距离。
切线长对于道路的设计和维护有着重要的意义，因为它直接影响到道路的行车安全和舒适度。
在道路设计中，合理的切线长可以保证车辆在转弯时能够平稳地通过，减少事故的发生；在道路维护中，切线长的变化可以反映出道路磨损的情况，为道路的维修提供依据。
二、切线长计算公式的基本原理
切线长计算公式的基本原理是利用圆的性质，通过圆心角和半径的关系来计算切线长。
在计算切线长时，一般会先确定圆的半径和圆心角，然后利用三角函数关系式计算出切线长。
三、切线长计算公式的具体应用
在实际应用中，切线长计算公式可以帮助工程师设计出合理的道路曲线，以保证道路的安全性和舒适度。
例如，当道路的半径变化时，切线长也会随之
变化，这时可以通过切线长计算公式来调整曲线的形状，以保证切线长的稳定。
四、切线长计算公式的实际案例分析
假设一条道路的半径为R，圆心角为α，则根据切线长计算公式，切线长L 可以计算如下：
L = R * tan(α/2)
在这个公式中，R 表示圆的半径，α表示圆心角，tan 表示正切函数。
通过这个公式，可以计算出任意半径和圆心角下的切线长。
五、结论
总的来说，切线长计算公式是道路设计中非常重要的工具，可以帮助工程师设计出合理的道路曲线，以保证道路的安全性和舒适度。
切线长定理结论
切线长定理结论切线长定理，也称为外接角定理，是解决与圆相关问题的一个重要定理。
它描述了一个圆外部一点到圆的切线的两个切点连线的长的平方等于从此点到这两个切点的两个切线的切线段的乘积。
切线长定理对于解决与圆相关的几何问题非常有用，例如计算切线与半径的关系等。
切线长定理的结论可以形式化地表述如下：给定一个圆C，半径为r，圆心为O，外部一点P到圆C的切点分别为A和B，切线APB的长的平方等于PA和PB的乘积，即PA^2 = PB^2。
具体来说，设点P到切线APB的切点A和B的距离分别为x和y，则有：(x+y)^2 = x^2 * y^2这就是切线长定理的核心结论。
为了证明切线长定理，我们可以利用几何转化和同阶几何关系。
设圆C的半径为r，切线APB上的点Q到圆心O的距离为d，可以利用OQ=√(d^2 + r^2)，以及齐次方程的性质，则有：d^2 + r^2 = PA * PB同样地，设点P到切点A和B的距离分别为x和y，则可以用x+y=d, xy=r^2，将上述方程代入之前的等式，得到：(x+y)^2 = x^2 * y^2此即切线长定理的证明过程。
在解决几何问题时，切线长定理能够帮助我们快速求解一些未知的长度关系，例如确定一个点到圆的切线的长度等。
它是解决与圆相关问题的一个重要工具，对于提高几何问题的解题效率和准确性具有重要意义。
总结来说，切线长定理是解决与圆相关问题的一个重要定理，描述了一个点到圆的切线的两个切点连线的长的平方等于从此点到这两个切点的两个切线的切线段的乘积。
它在解决几何问题时起着重要作用，能够帮助我们快速求解未知的长度关系，提高几何问题的解题效率和准确性。
因此，熟练掌握切线长定理对于学生学习几何学和解决实际问题具有重要意义。
切线长定理
A
O C
B
6． △ABC的内切圆半径为 r ， △ABC的周长为 l ，求△ABC的面积． （提 示：设内心为O，连接OA、OB、OC．） 解：连接OA、OB、OC，则
1 1 S= AB × r + AC × r + 1 BC × rA 2 2 2
= =
1 2 1 2
(AB +AC+BC) × r lr
三角形内切圆的圆心．
（即三角形三条角平分线的交点）
随堂练习
1． 已知⊙O的半径为5cm，点O到直线a的距 离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是________; 相交 直线a与⊙O的公共点个数是_______ 两个 ．
2． 已知⊙O的直径是11cm，点O到直线a的距 离是5.5cm，则⊙O与直线a的位置关系是 ______， 直线 a与⊙O的公共点个数是_______．一个 相切
3． 已知⊙O的直径为10cm，点O到直线a的 相离 距离为7cm，则⊙O与直线a的位置关系是 _______; 直线a与⊙O的公共点个数是____ 零 ．
4． 直线m上一点A到圆心O的距离等于⊙O的 相切或相交． 半径，则直线m与⊙O的位置关系是____________
5． △ABC中，∠ ABC=50°∠ACB= 75 °，点O是⊙O的内心，求∠ BOC的度数． 解：∵点O是⊙O的内心 ∴∠OBC=1/2∠ABC=25° ∠OCB=1/2∠ACB=37.5° ∴∠BOC=180°－25°－37.5° =117角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆． 三角形的内心 三角形内切圆的圆心． （即三角形三条角平分线的交点） O B A
C
定理证明
求证：三角形三条角平分线的交点是内切圆的 圆心． A D F O B E C
切线长定理
（1）写出图中所有的垂直关系；
（2）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA的长. E A P
O
C B
D
2、如图，AC为⊙O的直径，PA、PB分别切 ⊙O于点A、B，OP交⊙O于点M，连结BC。 (1)若OA=3cm, ∠APB=60°，则PA=______. (2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明。
A
O
·
B
·
切线长定理 从圆 外一点可以引圆的 两条切线，它们的 P 切线长相等且这一 点和圆心的连线平 分两条切线的夹角。
已知：如图，P为⊙ O外一点，PA、PB为 ⊙ O的切线，A、B为切点，连结PO 则 PA PB, APO BPO
例1 如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、 B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P 到⊙O的切线长为8CM，求Δ PDE的周长。
A
O P
M B
C
知识回顾 切线长： 从圆外一点引圆的切线，这个点与切点 间的线段的长称为切线长。
切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们 的切线长相等。这一点和圆心的连线平分这 两条切线的夹角并且垂直两切点的连线。
思考题 以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有一 个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别交 AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周长 是否会因K点的变动而变化？为什么？ A D E
A P
O C D
（1）图中互相垂直的关系 3 有 对，分别是 OA PA, OB PB, OP AB B
（2）图中的直角三角形有 6 等腰三角形有 2 个，分别是
个，分别是
（3）图中全等三角形
3
对，分别是
《切线长定理》
与其他几何定理的区别
切线长定理是一个关于圆的定理，而其他几 何定理可能涉及不同的图形和结构。
05
切线长定理的现实意义和 价值
在教育中的意义和价值
要点一
强化几何概念的理解
切线长定理是几何学中的基本定理之一，对于学生理解 几何概念，尤其是与圆和切线相关的概念有重要帮助。
要点二
培养逻辑推理能力
通过证明和应用切线长定理，可以培养学生的逻辑推理 和证明能力，提高其思维严谨性。
切线长定理在其他领域的应用
物理学
在物理学中，切线长定理可以用于解决与 速度、加速度和力相关的物理问题。
工程学
在工程学中，切线长定理可以用于解决与 图形、结构和力学相关的设计问题。
与其他数学定理的关系和区别
与圆的性质定理的关系
切线长定理是圆的性质定理的一个推论，它 可以用于证明其他与圆有关的定理。
评价
切线长定理是几何学中的基础定理之一，它揭示了圆的 切线与半径之间的关系，为解决许多几何问题提供了重 要的工具。
未来研究的方向和展望
研究方向
在未来的研究中，可以进一步探讨切线长定理的应用，例如在三角函数、极坐标 系、光学、工程等领域的应用。同时，可以研究切线长定理与其他几何定理之间 的联系和区别。
展望
随着科学技术的发展，几何学的研究和应用将会更加深入和广泛。未来可以期待 在应用领域取得更多的突破，例如在计算机图形学、机械设计、建筑设计等领域 的应用。同时，对于切线长定理本身的研究也可以进一步深化和完善。
感谢您的观看
THANKS
在工程学中的应用
设计中的黄金分割原理 建筑学中的结构分析和优化
机械工程中的传动和润滑系统设计
04
切线长定理的推广和扩展
切线长定理
理解切线长定理，熟练掌握它的应用
预习内容：
1.过圆外一点向圆引切线,可引几条? 为什 么? 2.什么叫切线长? 回事? 切线与切线长是不是一
3.切线长定理的内容是什么?
已知⊙o及⊙o外的一点P，PA与⊙o相切于A 点，连接OA、OP，如果将⊙o沿直线OP翻折， 存在一点与A点重合吗？
A
∵ PA、PB切⊙O于 点A,B ∴ PA=PB O P
A
∠APO=∠BPO
B
1、如图，PM、PN都是圆O的切线，则
（1）图中相等的线段有 OM=ON PM=PN
（2）图中相等的角有
∠ MPO= ∠ NPO ∠ POM= ∠ PON
∠ OMP= ∠ ONP
3、如图，PA、PB分别切⊙O于 点A、B，点E是⊙O上一点， 且∠AEB=60°,则∠ P= 60° 度．
1、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。 PO交⊙O于E点 （1）若PB=12，PO=13，则AO=____ （2）若PO=10，AO=6， 则PB=____ （3）若PA=4，AO=3，PO=____PE=_____. （4）若PA=4，PE=2，则AO=____.
1.已知：如图, AD，AE分别是⊙O的 切线，D，E为切点，BC切⊙O于F，交 AD，AE于点B，C，若AD=8cm, 求：△ABC的周长 解: ∵AD、AE是⊙O的切线
课本P100 练习1 练习2
名称 外心： 三角形 外接圆 的圆心
确定方法
三角形三边 中垂线的交 点
图形
A
性质
1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三 角形的内部．
o
C B
内心： 三角形 内切圆 的圆心
三角形三条 角平分线的 交点
切线长定理
数学探究 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线 段的长叫做切线长。 A
· O ·
B
·
P
切线长和切线的区别和联系: 切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上 的一条线段的长，可以度量。
· O ·
B
A
·
P
切线长定理： 从圆外一点可以 引圆的两条切线， 它们的切线长相 等，这一点和圆 心的连线平分两 条切线的夹角。
A O F B E D P
4、如图，在梯形ABCD中，AD//BC， AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于 E．已知AB=8，边BC比AD大6， 求边AD、BC的长。
A D E O
B
C
数学探究 思考：连结AB，则AB与PO有怎样的位置关系？ 为什么？ 你还能得出什么结论？ A
· O ·E
B
O B C
变式：△ABC中,∠ A=40°，点O是△ABC的内 心，求∠ BOC的度数。
已知：四边形ABCD的边 AB，BC，CD，DA 和圆O分别相切于L，M，N，P。探索圆外 切四边形边的关系。
（1）找出图中所有相等的线段 D N C P AD+BC O M （2）填空：AB+CBD
●
O
2S r . abc
1 S r a b c . 2
B
E
┓
C
1.边长为3、4、5的三角形的内切圆 的半径为——
2. 边长为5、5、6的三角形的内切圆 的半径为—— 3. 已知:△ABC的面积S=4cm,周长 等于 10cm.求内切圆⊙O的半径r.
知识拓展 2.已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线， PC、PD是小圆的两条切线，A、B、C、D为 切点。求证：AC=BD A C O· D P B
切线长计算公式 检核
切线长计算公式检核在几何学中，切线是指与曲线相切的直线。
计算切线的长度是几何学中的重要问题之一。
本文将介绍切线长的计算公式，并进行检核。
1. 切线长计算公式在平面几何中，切线长的计算公式可以通过以下步骤得到：步骤一：确定曲线上的一点，称为点P。
步骤二：确定从点P出发的切线与曲线的交点，称为点Q。
步骤三：计算切线的斜率。
切线的斜率可以通过求曲线在点P处的导数得到。
步骤四：利用点斜式或两点式，写出切线的方程。
切线的方程可以表示为y = mx + b，其中m为切线的斜率，b为切线与坐标轴的交点。
步骤五：计算切线的长度。
切线的长度可以通过计算点P和点Q之间的距离得到。
2. 切线长计算的检核为了验证切线长计算公式的准确性，我们可以通过以下实例进行检核。
假设有一条曲线，其方程为y = x^2，我们要计算曲线在点(2, 4)处的切线长。
步骤一：确定点P为(2, 4)。
步骤二：计算曲线在点P处的斜率。
对方程y = x^2求导，得到dy/dx = 2x。
将x值代入，得到斜率m = 2 * 2 = 4。
步骤三：写出切线的方程。
由于切线经过点P(2, 4)，其方程可以表示为y = 4x + b。
将点P代入，得到4 = 4 * 2 + b，解得b = -4。
步骤四：切线的方程为y = 4x - 4。
步骤五：计算切线的长度。
切线与曲线的交点为点Q，我们可以通过联立方程y = x^2和y = 4x - 4，求得交点坐标为(2, 0)。
计算点P(2, 4)和点Q(2, 0)之间的距离，得到切线长为4。
通过以上计算，我们验证了切线长计算公式的准确性。
3. 结论本文介绍了切线长的计算公式，并通过实例进行了检核。
在计算切线长时，需要确定曲线上的点，计算切线的斜率，写出切线的方程，以及计算切线的长度。
通过正确应用切线长的计算公式，我们可以准确地计算任意曲线在特定点处的切线长度。
总结起来，切线长的计算是几何学中的重要知识，通过本文的介绍和检核，我们可以更好地理解和应用切线长计算公式。
道路切线长计算公式
道路切线长计算公式道路切线长是指道路中心线在某一特定点处的切线与地面之间的距离。
在道路设计和施工中，切线长的计算至关重要，因为它直接影响到道路的线形、宽度和通行能力。
下面我们将介绍道路切线的计算公式及其应用。
一、道路切线长的定义与作用道路切线长是指从道路中心线到地面之间的垂直距离。
它在道路设计中具有重要作用，可以帮助我们调整道路的线形，使道路更加平滑、舒适。
此外，切线长还与道路的宽度、坡度等参数密切相关，影响着道路的通行能力和安全性。
二、道路切线长的计算公式道路切线长的计算公式为：切线长= （道路中心线高程- 地面高程）/ sin(道路坡度角）其中，道路中心线高程是指道路中心线在某一特定点的高程；地面高程是指道路所在地的地面高程；道路坡度角是指道路中心线与地面的夹角。
三、计算实例与步骤假设某道路中心线高程为10米，地面高程为8米，道路坡度为3%，我们可以按照以下步骤计算切线长：1.计算道路坡度角：tan(道路坡度角) = 道路坡度，得到道路坡度角约为1.74°。
2.计算切线长：切线长= （10 - 8）/ sin(1.74°) ≈ 0.97米。
四、注意事项1.在计算切线长时，应注意确保道路中心线高程、地面高程和道路坡度的准确性。
2.计算结果需根据实际情况进行调整，以满足道路设计要求和通行需求。
3.在道路设计和施工过程中，切线长的计算结果应与其他道路参数相互校核，以确保道路的整体性能。
通过以上介绍，我们可以看到道路切线长在道路设计中的重要性。
掌握切线长的计算方法，有助于我们更好地规划和管理城市道路，提高道路通行能力和安全性。
道路切线长计算公式
道路切线长计算公式【原创实用版】目录一、道路切线长的概念二、切线长计算公式1.圆的切线长计算公式2.三角形的切线长计算公式3.切线方位角计算公式三、弯沉值计算公式1.市政道路弯沉值计算公式四、总结正文一、道路切线长的概念道路切线长是指在道路的曲线部分，从曲线起点到曲线终点，沿着曲线的切线方向所经过的路程长度。
在道路设计与施工中，切线长的计算是一个重要的环节，因为它直接影响到道路的行车性能和安全。
二、切线长计算公式1.圆的切线长计算公式在圆曲线部分，切线长可以通过以下公式计算：切线长 = 圆的半径×圆心角的正切值其中，圆心角是指圆曲线对应的中心角，可以用度数表示。
在实际应用中，通常需要将角度转换为弧度进行计算。
2.三角形的切线长计算公式在三角形曲线部分，切线长可以通过以下公式计算：切线长 = √(p - r)其中，p 是指三角形的半周长，r 是指三角形的内切圆半径。
3.切线方位角计算公式切线方位角是指切线与参考方向之间的夹角，可以用以下公式计算：切线方位角 = arctg(a/2)其中，a 是指圆曲线的半径。
三、弯沉值计算公式弯沉值是指道路在车辆荷载作用下产生的弯曲变形，通常用毫米表示。
在市政道路设计中，弯沉值的计算公式如下：弯沉值 = (终读数 - 初读数) × 2 / (220 - 180) × 280 × 0.01 其中，终读数是指道路在车辆荷载作用后的读数，初读数是指道路在车辆荷载作用前的读数。
四、总结本文介绍了道路切线长的概念以及切线长、切线方位角的计算公式，同时给出了市政道路弯沉值的计算公式。
切线长定理
课前回顾
前面我们学习了切线的定义、判别定理及 性质。 从圆外一点可以引出圆的两条切线
切线长定义
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点的线段 长叫这点到圆的切线长，即线段PA.
A
. O
B 可以作出两条切线长，分别为线段PA,PB
P
切线与切线长的不同
1.切线是一条与圆相切的直线,是不可度量的。
2.切线长是切线上某一点与切点间的线段长， 是可度量的。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线所成夹角。 几何语言表示：PA、PB分别切圆o与A、B
证明 ：如右图所示，分别过圆O的A、B
两点作两条切线相较于P点。 ∴圆的半径相等，所以OA=OB ∴OA、OB为过圆O的切线 ∵∠OAP=∠OBP=90゜ ∵OP为Rt△AOP和Rt△BOP的公共边 OA=OB OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
P
• O
A
证明：∵PA.PB是☉O的切线，A.B为切点 ∴PA=PB ∠OPA=∠OPB ∴PC=PC ∴△PCA≌△PCB ∴AC=BC 结论：AC=BC
课后作业
1.课后习题 2.A组第2.3题
谢 谢
例题精讲
A O B
P
F E
练习
B O• A M P
如图，若连接两切点A.B，AB交OP与点M, 能得出什么结论？ 证明：∴PA.PB是☉O的切线，A.B为切点 ∴PA=PB ∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角 的平分线 ∴OP垂直平分AB 结论：OP垂直平分AB
B C
如图，若延长PO交☉O于点C,连接CA.CB, 能得到什么结论？
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●
2、已知：如图， P为⊙ O外一点， PA， PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直 径．求证：AC∥OP．
C A
O
P
B
2、已知：如图， P为⊙ O外一点， PA， PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直 径．求证：AC∥OP．
C A
O
P
B
如图：从⊙O外的定点P作⊙O的两 条切线，分别切⊙O于点A和B，在 弧AB上任取一点C，过点C作⊙O的 切线，分别交PA、PB于点D、E.且 ∠P=40°, PA=6.
D
求:⑴ 求△PDE的周长.
(2)求∠DOE的度数.
C
E
O
C 。 O A P
思考：由切线长定 理可以得出哪些结 论？
(1)写出图中所有的垂直关系； (2)写出图中所有的全等三角形； (3)写出图中所有的等腰三角形．
练习 1、如图,已知⊙O的半径为3cm， PO＝6cm，PA，PB分别切⊙O于A，B， （1）PA＝ . （2）若PO交⊙O于点Q，直线CD切⊙O 于点Q，交PA、PB于点C、D，则 △PCD的周长是______ A
探究 : 1 、切线长的概念． 经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之 经过平面上的已知点作已知圆的切线，会有怎 间的线段的长叫做这点到圆的切线长. 样的情形呢？
如 图 ， 线 段 PA ， PB的长就是点P到 ⊙O的切线长．
O P
A
O
O B
P
A
P
比一比
O
A
P
B
切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点 分别是圆外一点和切点，可以度量。
B A
I
●
C
3 、已知：在△ ABC 中， BC ＝ 14 厘米， AC＝9厘米，AB＝13厘米，它的内切圆I 分别和 BC ， AC ， AB 相切于点 D ， E ， F ， 求AF，BD和CE的长
A F B D I E C
●
想一想
A
反思：在解决有关圆的 切线长问题时，往往需 要我们构建基本图形。
2.切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这 一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角． A
∵ PA、PB分别切
⊙O于A、B.
∴
O
P
PA = PB ∠OPA=∠OPB
B
切线长定理为证明线段相等，角相等， 弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌 握并能灵活应用。
如图：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为 切点。 B
O
。
P B
（1）分别连结圆心和切点
（2）连结两切点 （3）连结圆心和圆外一点
通过这节课的复习，你有什么收获或体会？
关于切线长定理，你还有什么不明白的问题？
下课了!
结束寄语 先相信你自己,然后别人才会相信你!
A
b
C
c r
a
B
直角三角形的两直角边分 别是5cm,12cm 则其内切 圆的半径为______。
已知⊙o及⊙o外的一点P，PA与⊙o相切于A点， 连接OA、OP，如果将⊙o沿直线OP翻折，存在轴对称性，存在与 A点重合 你能发现OA与PA，OB PA、 PB所在的直线分别是⊙ o两条切线。 的一点 ，且落在圆，连接 OB，则它 与B PB 之间的关系吗？ 也是⊙o的一条半径。
证一证
请证明你所发现的结论。 PA = PB
∠OPA=∠OPB
O B P
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
试用文字语言 叙述你所发现 ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) 的结论
∵ OA=OB，OP=OP
∴ PA = PB
∠OPA=∠OPB
如图：从⊙O外的定点P作⊙O的两 条切线，分别切⊙O于点A和B，在 弧AB上任取一点C，过点C作⊙O的 切线，分别交PA、PB于点D、E.且 ∠P=40°, PA=6.
D
求:⑴ 求△PDE的周长.
(2)求∠DOE的度数.
C
E
O
1.已知：△ABC的内切圆分别和BC、 AC、AB相切于点D、E、F， ∠DIE=120°,∠EIF=130°.求 △ABC的三个内角的度数.
C
O Q D B
P
2、已知：如图， P为⊙ O外一点， PA， PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直 径．求证：AC∥OP．
C A
O
P
B
问题：如图为一张三角形铁皮,如何在它 上面截一个面积最大的圆形铁皮? 与三角形各边都相切的圆叫 做三角形的内切圆. 三角形的内切圆的圆心叫做 这个三角形的内心. 三角形的内心是三角形三条内 角平分线的交点.这个三角形 叫做这个圆的外切三角形.