2016年秋季学期新版北师大版期九年级数学上册期中考复习试卷5
北师大版九年级上册数学期中考试试题及答案
北师大版九年级上册数学期中考试试卷一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（）A．3(x+1)2=-2(x+1)B．2x2-3x=2(x-1)2C．ax2+bx+c=0D．94+x-2=02．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断3．用配方法解方程y2-94y-1=0，正确的是（）A．（y-94）2=134，y=94B．（y-32）2=134，y=32C．（y-32）2=134，y=32D．（y-98）2=14564，y=984．如图，下列条件能使平行四边形ABCD是菱形的为（）①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．A．①③B．②③C．③④D．①5．下列命题中错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．对角线相等的四边形是矩形C．矩形的对角线相等D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形6．根据下列表格的对应值：x… 6.17 6.18 6.19 6.20…ax2＋bx＋c…－0.02－0.010.010.04…判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的取值范围是（）A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.207．若关于x的方程x2﹣x+a=0有实根，则a的值可以是（）A．2B．1C．0.5D．0.258．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，已知ΔABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（）A．10B．15C．20D．309．如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9m，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长为（）A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm10．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF 沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N，有下列四个结论：①DF=CF；DEF，其中，将正确结论的序号全部选②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△对的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④二、填空题11．一个口袋中有3个红球、7个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是_______．12．某种水果的原价为15元/箱，经过连续两次增长后的售价为30元/箱．设平均每次增长的百分率为x ，根据题意列方程是________．13．若关于x 的一元二次方程x 2-mx-n=0有一个根是2，则2m+n=_______．14．已知方程（x-3）（x+m ）=0与方程x 2-2x-3=0的解完全相同，则m=______．15．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程()()240x x --=的一个根，则这个三角形的周长是__________．16．如图，在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条宽度相等的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，则可列方程为____．17．如图，正方形ABCD 中，AB=6，G 是BC 的中点．将△ABG 沿AG 对折至△AFG ，延长GF 交DC 于点E ，则DE 的长是___．18．M 为矩形ABCD 中AD 的中点，P 为BC 上一点，PE ⊥MC ，PF ⊥MB ，当AB 、BC 满足_________时，四边形PEMF 为矩形．三、解答题19．解方程：(用适当的方法解方程)（1）解方程：x 2﹣6x+2=0．（2）（2x+5）-3x （2x+5）=020．列方程解应用题某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果衬衫每降价5元，商场平均每天就可多售出10件．（1）如果衬衫每降价4元，则商场平均每天可盈利多少元？（2）若商场平均每天要想盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？21．已知关于x的一元二次方程3x2+ax-2=0．（1）若该方程的一个根为-2，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．22．如图，在正方形ABCD中，E为CD上点，F为BC延长线上一点，CE=CF，（1）猜想线段BE与DF的关系，并证明你的结论．（2）连接EF，若∠BED=120°，求∠EFD的度数．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）24．如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AC＝FD，∠CEF＝90°.(1)求证：△ABF≌△DEC；(2)求证：四边形BCEF是矩形.25．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．26．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD；（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10,求直角梯形ABCD的面积．参考答案1．A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义，必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，据此将选项中的方程化成一般形式后，再判断即可．【详解】解：∵方程()()23121x x +=-+化简后得：23850x x ++=，∴是一元二次方程；方程()222321x x x -=-化简后得：20x -=，∴是一元一次方程；∵方程20ax bx c ++=中，当0a =时，∴是一元一次方程；∵方程9420x +-=化简后得：104x +=，∴是一元一次方程；综上所述，只有A 选项是一元二次方程；故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式，熟悉相关定义，将方程化成一般式，是解题的关键．2．B【解析】【分析】把a=1，b=-2，c=1代入△=b 2-4ac ，然后计算△，最后根据计算结果判断方程根的情况．【详解】解：∵a=1，b=-2，c=1，∴△=b 2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，∴方程有两个相等的实数根．故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式△=b 2-4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．3．D【解析】【分析】方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，变形后开方即可求出解．【详解】解：y 2-94y-1=0，方程移项得：y 2-94y=1，配方得：y 2-94y+8164=1+8164，即（y-98）2=14564，则y-98=±8∴y=98±8，故选：D ．【点睛】此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4．A【解析】【分析】根据菱形的判定定理以及所给条件证明平行四边形ABCD 是菱形，菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可．【详解】解：①▱ABCD 中，AC ⊥BD ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD 是菱形；故①正确；②▱ABCD 中，∠BAD ＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD 是矩形，而不能判定▱ABCD 是菱形；故②错误；③▱ABCD 中，AB ＝BC ，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD 是菱形；故③正确；④▱ABCD 中，AC ＝BD ，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD 是矩形，而不能判定▱ABCD 是菱形；故④错误．故正确的为①③故选：A ．【点睛】此题考查了菱形的判定与矩形的判定定理．此题难度不大，注意掌握菱形的判定定理是解此题的关键．5．B【解析】【分析】根据平行四边形的性质和判定、矩形的性质和判定逐个判断即可求解．【详解】解：平行四边形的对边相等，故A 正确；对角线相等的四边形不一定是矩形，也可能是等腰梯形，故B 错误；矩形的对角线相等，故C 正确；两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故D 正确．故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、矩形的性质和判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．6．C【解析】【分析】根据在6.18和6.19之间有一个值能使ax 2+bx+c 的值为0，于是可判断方程ax 2+bx+c=0一个解x 的范围．【详解】解：由2y ax bx c =++，得 6.17x >时y 随x 的增大而增大，得 6.18x =时，0.01y =-，6.19x =时，0.01y =，∴20ax bx c ++=的一个解x 的取值范围是6.18 6.19x <<，故选：C ．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，解答此题的关键是利用函数的增减性．7．D【解析】【详解】∵关于x 的方程式x 2﹣x+a=0有实根，∴△=（﹣1）2﹣4a≥0，解得a≤0.25．故选D ．8．C【解析】【分析】依题意，依据菱形对角线的性质可得，菱形ABCD 中，AC 平分角120BAD ∠=︒，然后可知ABC ∆为等边三角形，可得5AB =，即可求解；【详解】解：由题知，在菱形ABCD 中，AB BC CD AD ===，AC 为菱形的对角线，依据菱形对角线的性质可得，AC 平分角BAD ∠，∴60BAC ∠=︒；又AB BC CD AD ===，∴ABC ∆为等边三角形，又因为ABC ∆的周长为15；∴5AB BC AC ===；∴菱形ABCD 的周长为：20；故选：C【点睛】本题主要考查菱形的基本性质，属于基础性应用，关键在结合三角形的性质进行实际计算；9．D【解析】【分析】由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可.【详解】由折叠的性质得：BE＝DE，设DE长为xcm，则AE＝(9﹣x)cm，BE＝xcm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，根据勾股定理得：AE2+AB2＝BE2，即(9﹣x)2+32＝x2，解得：x＝5，即DE长为5cm，故选：D.【点睛】此题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解题的关键．10．B【解析】【分析】根据矩形与折叠性质得出DF=MF，根据角平分线性质得出CF=MF，可判断①，利用等角余角性质得出∠BFM=∠BFC，再证∠BFE=∠BFN即可判断②，证明△DEF≌△CNF可判断③，推出BM=3EM即可判断④．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BCD=90°，由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，即FM⊥BE，CF⊥BC，DF=MF．∵BF平分∠EBC，∴CF=MF．∴DF=CF．故①正确，符合题意．∵∠BFM=90°﹣∠EBF，∠BFC=90°﹣∠CBF，∴∠BFM=∠BFC．∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，∴∠BFE=∠BFN．∵∠BFE+∠BFN=180°，∴∠BFE=90°，即BF⊥EN．故②正确，符合题意．∵在△DEF和△CNF中，易由ASA得△DEF≌△CNF，∴EF=FN．∴BE=BN．但无法求得△BEN各角的度数，∴△BEN不一定是等边三角形．故③错误，不符合题意．∵∠BEM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，∴BM=BC=AD=2DE=2EM．∴BM=3EM．∴S△BE F=3S△EMF=3S△DEF．故④正确，符合题意．综上所述，正确的结论是①②④．故选B．【点睛】本题考查矩形性质，角平分线性质，线段中点，折叠性质，三角形全等判定与性质，掌握矩形性质，角平分线性质，线段中点，折叠性质，三角形全等判定与性质是解题关键．11．7 10【解析】【分析】由一个口袋中有3个红球，7个白球，这些球除色外都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：∵一个口袋中有3个红球，7个白球，这些球除色外都相同，∴从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是：77 3710=+，故答案为：710．【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12．()215130x +=【解析】【分析】设平均每次涨价的百分率为x ，利用经过两次涨价后的价格=原价(1⨯+涨价的百分率）2，即可得出关于x 的一元二次方程，据此求解即可．【详解】解：设平均每次涨价的百分率为x ，依题意得：()215130x +=．故答案为：()215130x +=．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．4【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义把2x =代入20x mx n --=得到420m n --=得24m n +=，然后利用整体代入的方法进行计算．【详解】把2x =代入方程20x mx n --=得：420m n --=，即24m n +=，故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．14．1【解析】【分析】利用因式分解法把方程x2-2x-3=0变形，根据解完全相同可求m值．【详解】解：把方程x2-2x-3=0左边因式分解得，（x-3）（x+1）=0，∵方程（x-3）（x+m）=0与方程x2-2x-3=0的解完全相同，∴m=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法解方程．15．13【解析】【分析】解方程（x-4）（x-2）=0，根据三角形三边的关系得到三角形第三边的长为4，然后计算三角形的周长．【详解】解：（x-4）（x-2）=0，x-4=0或x-2=0，所以x1=4，x2=2，因为2+3＜6，所以x=2舍去，所以三角形第三边的长为4，所以三角形的周长=3+6+4=13，故答案为：13．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法．先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．16．(80+2x)(50+2x)=5400【解析】【分析】整个挂图的面积=挂图的长×挂图的宽=（原矩形风景画的长+2x）×（原矩形风景画的宽+2x），列出方程即可．【详解】解：∵挂图的长为80+2x，宽为50+2x，∴可列方程为(80+2x)(50+2x)=5400．故答案为：(80+2x)(50+2x)=5400．【点睛】本题考查了用一元二次方程解决实际问题，用x的代数式表示挂图的长和宽是解题的关键．17．2【解析】【分析】连接AE，由折叠的性质可得AF=AB=AD，BG=GF，易证Rt△ADE≌Rt△AFE，得到DE=EF，设DE=x，在Rt△CEG中利用勾股定理建立方程求解．【详解】如图所示，连接AE，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD=AD=6，∠B=∠C=∠D=90°∵G为BC的中点∴BG=GC=3由折叠的性质可得AF=AB=6，BG=GF=3，在Rt△ADE和Rt△AFE中，∵AE=AE，AF=AD=6∴Rt △ADE ≌Rt △AFE （HL ）∴DE=EF设DE=EF=x ，则EC=6-x在Rt △CEG 中，GC 2+EC 2=GE 2，即()()222363x x +-=+解得2x =故答案为：2．【点睛】本题考查正方形中的折叠问题，利用正方形的性质证明DE=EF ，然后利用勾股定理建立方程是解题的关键．18．12AB BC =##2BC AB=【解析】【详解】∵在矩形ABCD 中，M 为AD 边的中点，AB=12BC ，∴AB=DC=AM=MD ，∠A=∠D=90°，∴∠ABM=∠MCD=45°，∴∠BMC=90°，又∵PE ⊥MC ，PF ⊥MB ，∴∠PFM=∠PEM=90°，∴四边形PEMF 是矩形．故答案为：AB=12BC ．19．（1）x1，x 2（2）x 1=-52，x 2=13．【解析】【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：（1）x 2﹣6x+2=0，移项得：x 2-6x=-2，配方得：x 2-6x+9=-2+9，即（x-3）2=7，开方得：，∴原方程的解是：x 1，x 2；（2）（2x+5）-3x （2x+5）=0，∴（2x+5）（1-3x ）=0，∴2x+5=0或1-3x =0，∴x 1=-52，x 2=13．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．（1）1008元；（2）20元【解析】【分析】（1）根据题意可得，降价4元，每天就可多售出的件数是：41085⨯=(件)，再利用衬衣平均每天售出的件数⨯每件盈利=每天销售这种衬衣利润，直接求解即可；（2）设每件衬衫应降价x 元，则每天就可多售出的件数是2x ，利用衬衣平均每天售出的件数⨯每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程，然后解答即可．【详解】解：（1）根据题意可得，降价4元，每天就可多售出的件数是：41085⨯=(件)，则，商场平均每天可盈利：()()2084041008+⨯-=(元)；（2）设每件衬衫应降价x 元，则每天就可多售出的件数是2x ，依题意得()()202401200x x +-=，解得120x =，210x =，因为尽快减少库存，所以取120x =答：若商场每件衬衫降价4元，商场每天可盈利1008元，每件衫应降价20元，商场平均每天要想盈利1200元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，能根据平均每天售出的件数⨯每件盈利=每天销售的利润计算，是解题关键．21．（1）a=5，x=13；（2）见解析【解析】【分析】（1）解：设方程的另一根为t ，利用根与系数的关系得到-2+t=3a -，-2t=23-，然后通过解方程组可得到a 和t 的值；（2）先计算判别式的值得到Δ=a 2-4×3×(-2)=a 2+24，然后利用非负数的性质得到Δ＞0，则根据判别式的意义可判断不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【详解】（1）解：设方程的另一根为t ，根据题意得-2+t=3a -，-2t=23-所以解得t=13，所以a=5；（2）证明：Δ=a 2-4×3×(-2)=a 2+24∴Δ＞0，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=b a-，x 1x 2=c a．也考查了根的判别式．22．（1）BE=DF ，BE ⊥DF ，证明见解析；（2）∠EFD 的度数是15°．【解析】【分析】（1）可利用边角边证明BE、DF所在的两个直角三角形全等，进而证明这两条线段相等且垂直；（2）由（1）中的全等可得∠DFC=∠BEC=60°，易得∠CFE=45°，相减即可得到所求角的度数．【详解】解：（1）BE=DF．BE⊥DF，理由如下：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCD=∠DCF=90°，又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF，∴BE=DF，∠EBC=∠FDC，延长BE交DF于点G，∵∠BEC=∠DEG，∴∠DGE=∠BCE=90°，∴BE=DF．BE⊥DF；（2）∵△BCE≌△DCF，∠BED=120°，∴∠BEC=60°，∴∠DFC=∠BEC=60°，∵∠DCF=90°，CE=CF，∴∠CFE=45°，∴∠EFD=∠DFC-∠CFE=15°．【点睛】本题综合考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质．用到的知识点为：考查两条线段的大小关系，一般考虑相等，证明这两条线段所在的三角形的全等是常用的方法．23．（1）见解析；（2）菱形，理由见解析；（3）∠A＝45°．【解析】【分析】（1）根据∠ACB=90°，DE⊥BC可得DE//AC，即可证明四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得结论；（2）根据直角三角形斜边中线的性质可得AD＝BD=CD，可得BD=CE，根据AB//MN可证明BECD是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得结论；（3）根据正方形的性质可得∠CBD=45°，根据∠ACB=90°可得△ABC为等腰直角三角形，可得答案．【详解】（1）∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD．（2）四边形BECD是菱形，理由如下：∵D为AB中点，∠ACB＝90°，∴AD＝BD=CD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵BD=CD，∴四边形BECD是菱形．（3）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形，理由如下：由（2）可知，四边形BECD是菱形，∴∠BDC=90°时，四边形BECD 是正方形，∴∠CBD ＝45°，∵∠ACB=90°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴当△ABC 是等腰直角三角形时，四边形BECD 是正方形．24．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)首先根据AB ∥DE 得到∠A ＝∠D ，然后利用SAS 定理判定全等即可；(2)首先判定四边形BCEF 为平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形为矩形判定矩形即可.【详解】证明：(1)∵AB ∥DE ，∴∠A ＝∠D ，∵AC ＝FD ，∴AC ﹣CF ＝DF ﹣CF ，即AF ＝CD ，在△ABF 与△DEC 中，AF DC A D AB DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△DEC(SAS)；(2)∵△ABF ≌△DEC ，∴EC ＝BF ，∠ECD ＝∠BFA ，∴∠ECF ＝∠BFC ，∴EC ∥BF ，∴四边形BCEF 是平行四边形，∵∠CEF ＝90°，∴平行四边形BCEF 是矩形.25．（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积不能达到170m 2．【解析】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.【详解】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，根据题意得：x(32﹣2x)=126，解得：x1=7，x2=9，∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据题意得：y(36﹣2y)=170，整理得：y2﹣18y+85=0．∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．26．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）108.【解析】（1）根据正方形的性质，可直接证明△CBE≌△CDF，从而得出CE=CF；（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，根据（1）知∠BCE=∠DCF，即可证明∠ECF=∠BCD=90°，根据∠GCE=45°，得∠GCF=∠GCE=45°，利用全等三角形的判定方法得出△ECG≌△FCG，即GE=GF，即可得出答案GE=DF+GD=BE+GD；（3）过C作CF⊥AD的延长线于点F．则四边形ABCF是正方形，设DF=x，则AD=12-x，根据（2）可得：DE=BE+DF=4+x，在直角△ADE中利用勾股定理即可求解.【详解】（1）如图1，在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF，∴CE=CF；（2）如图，延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°，∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG，∴GE=GF，∴GE=DF+GD=BE+GD；（3）如图：过点C作CF⊥AD于F，∵AD∥BC，∠B＝90°，∴∠A＝90°，∵∠A＝∠B＝90°，FC⊥AD，∴四边形ABCF是矩形，且AB＝BC＝12，∴四边形ABCF是正方形，∴AF＝12，由（2）可得DE＝DF＋BE，∴DE＝4＋DF，在△ADE中，AE2＋DA2＝DE2，∴（12−4）2＋（12−DF）2＝（4＋DF）2，∴DF＝6，∴AD＝6，∴S四边形ABCD ＝12(AD＋BC)×AB＝12×(6＋12)×12＝108．。
北师大版九年级上册数学期中考试试题含答案解析
北师大版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．方程x（x+6）＝0的解是（）A．1x＝0或2x＝﹣6 B．1x＝0或2x＝6 C．x＝0 D．1x＝2x＝﹣6 2．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对角线互相平分3．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，则菱形的边长AB 等于（）A．5 B．6 C D．104．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣2＝0 B．x+2y＝1C．3x+1x＝4 D．2x（x﹣1）＝2x2+35．已知等腰三角形的两边是一元二次方程27100x x-+=的两根，则此三角形的周长是A．12 B．9 C．9或12 D．156．现有两个可以自由转动的转盘，每个转盘分成三个相同的扇形，涂色情况如图所示，指针的位置固定，同时转动两个转盘，则转盘停止后指针指向同种颜色区域的概率是（）A．19B．16C．23D．137．兰州某制造厂七月份生产零件20万个，第三季度生产零件2880万个，如果每月的增长率x相同，则可列方程是（）A ．20（1+x ）2＝2880B ．20+20（1+x ）2＝2880C ．20+20（1+x ）+20（1+x ）2＝2880D ．20+20（1+x ）+20（1+2x ）＝2880 8．如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．75°B ．60°C ．55°D ．45°9．若方程x 2﹣5x ﹣1＝0的两根为x 1、x 2，则1211+x x 的值为（ ） A ．5 B ．15 C ．﹣5 D ．15- 10．如图，点P 是矩形ABCD 的边上一动点，矩形两边长AB 、BC 长分别为15和20，那么P 到矩形两条对角线AC 和BD 的距离之和是（ ）A ．6B ．12C ．24D ．不能确定二、填空题 11．一元二次方程3x 2﹣5x ＝﹣3二次项系数是___，一次项系数是___，常数项是____． 12．已知一正方形的对角线长为4，则正方形的面积为________．13．若关于x 的方程21(1)7a a x +--＝0是一元二次方程，则a ＝____．14．若关于x 的一元二次方程2210kx x ++=有两个实数根，则k 的取值范围是________． 15．如图，在矩形ABCD 中，对角线相交于点O ，∠AOD ＝120°，AB ＝2.5，则这个矩形对角线的长为_____．16．若一元二次方程220190ax bx --=有一根为1x =-，则a b +=_________．17．如图，正方形ABCD 的对角线AC 是菱形AEFC 的一边，则∠FAB 等于______．18．袋子中有8个白球和若干个黑球，小华从袋中任意摸出一球，记下颜色后放回袋中，摇匀后又摸出一球，再记下颜色，做了100次后，共有32次摸出白球，据此估计袋中黑球有________个.三、解答题19．解下列方程：（1）3x 2+8x ﹣3＝0（用配方法）（2）4x 2+1＝4x （用公式法）（3）2（x ﹣3）2＝x 2﹣9（用因式分解法）（4）x 2+5x ﹣6＝0（用适当的方法）20．一个直角三角形的斜边长15cm ，一条直角边比另一条直角边长3cm ．求两条直角边的长度．21．现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a ★b ＝a 2﹣3a +b ．如：3★5＝32﹣3×3+5，若x ★2＝6，试求实数x 的值．22．已知方程2+-=的一根是2，求它的另一根及k的值．560x kx23．已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB OA＝2，OB＝1，求证：□ABCD是菱形．24．在一幅长90cm、宽40cm的风景画的四周外围上有一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金边的宽应该是多少？25．如图，在□ABCD中，E，F分别为边AB和CD的中点，连接DE，BF，且AB=2AD=4．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）当四边形DEBF为菱形时，求出该菱形的面积；26．某批发市场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张赢利0.3元，为了尽快减少库存，摊主决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0.05元，那么平均每天可多售出200张．摊主要想平均每天赢利180元，每张贺年卡应降价多少元？27．如图，在ABC 中，,,AB AC AD BC =⊥垂足为点,D AN 是ABC 外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ．()1求证：四边形ADCE 为矩形；()2当ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．参考答案1．A【解析】方程利用因式分解法求解即可．【详解】解：方程x （x +6）＝0，可得x ＝0或x +6＝0，解得：x 1＝0，x 2＝﹣6，故选A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．C【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可.【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选C．【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．3．D【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝12AC，OB＝12BD，AC⊥BD，∵AC＝16，BD＝12，∴OA＝8，OB＝6，∴AB＝22OA OB＝10，即菱形ABCD的边长是10．故选D．【点睛】本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键．4．A【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【详解】A、x2﹣2＝0是一元二次方程，符合题意；B、x+2y＝1是二元一次方程，不符合题意；C、3x+1x＝4不是整式方程，不符合题意；D、方程整理得：2x+3＝0是一元一次方程，不符合题意.故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．5．A【解析】【分析】用因式分解法求出方程的两个根分别是2和5，由三角形的三边关系可知2为底，5为腰，可以求出三角形的周长．【详解】解：27100x x-+=（x−2）（x−5）＝0∴x1＝2，x2＝5．∵三角形是等腰三角形，必须满足三角形三边的关系，∴腰长是5，底边是2，周长为：5＋5＋2＝12．故选A．【点睛】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根，然后根据三角形三边的关系，确定三角形的周长．6．A【分析】列举出所有情况，看转盘停止后指针指向同种颜色区域的情况数占总情况数的多少即可．【详解】解：如图共9种情况，转盘停止后指针指向同种颜色区域的情况数是1，所以概率为19．故选A．【点睛】考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的易错点．7．C【分析】根据7月份的表示出8月和九月的产量即可列出方程．【详解】解：∵七月份生产零件20万个，设该厂八九月份平均每月的增长率为x，∴八月份的产量为20（1+x）万个，九月份的产量为20（1+x）2万个，∴20+20（1+x）+20（1+x）2＝2880，故选C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确增长率问题中的数量关系，能分别将8、9月份的产量表示出来，难度不大．8．B【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和定理得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝12（180°﹣150°）＝15°，∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°；故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 9．C【分析】根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=5、x 1x 2=-1，将其代入1211+x x ＝1212x x x x +中即可求出结论． 【详解】∵方程x 2﹣5x ﹣1＝0的两根为x 1、x 2，∴x 1+x 2＝5，x 1x 2＝﹣1， ∴1211+x x ＝1212x x x x +＝﹣5． 故选C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-b a 、两根之积等于c a 是解题的关键． 10．B【分析】由矩形ABCD 可得：S △AOD =14S 矩形ABCD ，又由AB=15，BC=20，可求得AC 的长，则可求得OA 与OD 的长，又由S △AOD =S △APO +S △DPO =12OA•PE+12OD•PF ，代入数值即可求得结果． 【详解】连接OP ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ，OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，∠ABC ＝90°， S △AOD ＝14S 矩形ABCD ， ∴OA ＝OD ＝12AC ，∵AB ＝15，BC ＝20，∴AC 25，S △AOD ＝14S 矩形ABCD ＝14×15×20＝75， ∴OA ＝OD ＝252， ∴S △AOD ＝S △APO +S △DPO ＝12OA •PE +12OD •PF ＝12OA •（PE +PF ）＝12×252（PE +PF ）＝75， ∴PE +PF ＝12．∴点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是12．故选B ．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积．熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．11．3， ﹣5， 3．【分析】一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0）的a 、b 、c 分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【详解】解：一元二次方程3x 2﹣5x +3＝0，其中二次项系数是 3，一次项系数是﹣5，常数项是 3， 故答案为3，﹣5，3．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0），注意先将方程化成一般形式．12．8【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【详解】 解：正方形的面积211416822=⨯=⨯= 故答案为8．【点睛】本题考查了正方形的性质，熟记正方形的面积的求解方法是解题的关键．13．﹣1．【分析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a 的值．【详解】解：∵关于x 的方程（a ﹣1）xa 2+1﹣7＝0是一元二次方程，∴a 2+1＝2，且a ﹣1≠0，解得，a ＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx+c=0（且a≠0）．14．1k ≤且0k ≠【解析】【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b 2-4ac≥0，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【详解】∵关于x 的一元二次方程kx 2+2x+1=0有两个实数根，∴△=b 2-4ac=4-4k≥0且k≠0，解得：k≤1且k≠0，故答案为k≤1且k≠0．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．15．5．【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB=12AC ，根据邻补角的定义求出∠AOB ，然后判断出△AOB 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OA=AB ，然后求解即可．【详解】解：在矩形ABCD 中，AC ＝BD ，OA ＝OB ＝12AC ， ∵∠AOD ＝120°，∴∠AOB ＝180°﹣∠AOD ＝180°﹣120°＝60°，∴△AOB 是等边三角形，∴OA ＝AB ＝2.5，∴BD ＝AC ＝2OA ＝2×2.5＝5．故答案为5．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记矩形的对角线互相平分且相等，证明三角形是等边三角形是解题的关键．16．2019【分析】直接把x ＝−1代入一元二次方程220190ax bx --=中即可得到a ＋b 的值．【详解】解：把x ＝−1代入一元二次方程220190ax bx --=得20190a b +-=，所以a ＋b ＝2019．故答案为2019．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．17．22.5°【解析】试题分析：先根据正方形的对角线平分一组对角求出∠BAC 的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求解.解：∵AC 是正方形的对角线，∴∠BAC=×90°=45°，∵AF 是菱形AEFC 的对角线，∴∠FAB=∠BAC=×45°=22.5°．考点：正方形、菱形的性质点评：特殊四边形的性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.18．17【解析】【分析】100次中共有32次摸出白球，则可求摸到白球的概率，据此求袋中黑球个数.【详解】设黑球有m个，根据已知可列出8 8m +=32100，m=17，所以黑球有17个.【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，熟练掌握这一点是解题的关键.19．（1）x＝13或x＝﹣3；（2）122x x==；（3）x＝3或x＝9；（4）x＝﹣6或x＝1．【分析】（1）根据配方法解方程的步骤依次计算可得；（2）根据公式法求解可得；（3）利用因式分解法求解可得；（4）利用因式分解法求解可得．【详解】（1）∵3x2+8x＝3，∴x2+83x＝1，则x2+83x+169＝1+169，即（x+43）2＝259，则x+43＝±53，解得x＝13或x＝﹣3；（2）整理得4x2﹣4x+1＝0，∵a＝4，b＝﹣4，c＝1，∴△＝（﹣4）2﹣4×4×1＝0，则x＝402±＝2，122x x∴==；（3）∵2（x﹣3）2＝（x+3）（x﹣3），∴（x﹣3）（x﹣9）＝0，则x﹣3＝0或x﹣9＝0，解得x＝3或x＝9；（4）∵x2+5x﹣6＝0，∴（x+6）（x﹣1）＝0，则x+6＝0或x﹣1＝0，解得x＝﹣6或x＝1．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．较短的直角边为9cm，则另一条直角边为12cm．【分析】设较短的直角边为xcm，则另一条直角边为（x+3）cm，再根据勾股定理求出x的值即可．【详解】解：设较短的直角边为xcm，则另一条直角边为（x+3）cm，由题意，得x2+（x+3）2＝152，解得x＝9或x＝﹣12（舍去）则x+3＝9+3＝12（cm）．答：较短的直角边为9cm，则另一条直角边为12cm．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．21．x＝﹣1或4【分析】利用题中的新定义化简，计算求出x 的值即可．【详解】根据题中的新定义得：x 2﹣3x +2＝6，即（x ﹣4）（x +1）＝0，解得：x ＝﹣1或4．【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键．22．135x =-，7k =-． 【分析】把x 1=2代入已知方程，列出关于k 的一元一次方程，通过解方程求得k 的值；由根与系数的关系来求方程的另一根．【详解】设它的另一根为1x ，根据题意得125k x +=-，1625x ⨯=-， 解得135x =-，7k =-． 【点睛】考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根与系数的关系, 熟记公式1212,,b c x x x x a a+=-=是解决本题的关键.23．见解析.【分析】根据利用勾股定理的逆定理可证明∠AOB=90°，得出AC ⊥BD ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得解．【详解】证明：在△AOB 中，AB OA ＝2，OB ＝1，∴AO 2+OB 2＝22+1＝5，又∵AB 22＝5，∴AO 2+OB 2＝AB 2，∴∠AOB ＝90°，∴AC ⊥BD ；∵四边形ABCD 是平行四边形，∴▱ABCD 是菱形．【点睛】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及勾股定理逆定理的应用，关键是根据AB 、AO 、BO 的长度证明∠AOB=90°．24．5cm【分析】设金边的宽度为xcm ，则整个挂画的长为（90+2x ）cm ，宽为（40+2x ）cm ．就可以表示出整个挂画的面积，由风景画的面积是整个挂图面积的72%建立方程求出其解即可．【详解】设金边的宽度为xcm ，则整个挂画的长为（90+2x ）cm ，宽为（40+2x ）cm ．由题意得：（90+2x ）（40+2x ）×72%＝90×40 解得：x 1＝﹣70（舍去），x 2＝5．答：金边的宽应该是5cm ．【点睛】本题考查了矩形的面积公式的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据风景画的面积是整个挂图面积的72%来建立方程是关键．25．（1）证明见试题解析；（2）【解析】试题分析：（1）首先根据平行四边形的性质可得AD=BC ，∠A=∠C ，再加上条件AE=CF 可利用SAS 证明△AED ≌△CFB ；（2）作FM ⊥AB 于M ，可以得到△BFC 是等边三角形，得到∠FBM=60°，再求出菱形的高FM ，从而得到菱形的面积．解答：证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，∠A=∠C ，在△ADE 和△CBF 中，∵AD=BC ，∠A=∠C ，AE=CF ，∴△AED ≌△CFB （SAS ）； （2）作FM ⊥AB 于M ，在菱形DEBF 中，BE=BF=12AB=1422⨯=，∵CF=12CD=1422⨯=，BC=AD=12AB=2，∴CF=BC=BF ，∴△BFC 是等边三角形，∴∠BFC=60°，∵ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠MBF=∠BFC=60°，∴∠FBM=30°，∴MB=12BF=1，∴∴菱形DEBF的面积=BE•FM=2=考点：1．全等三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．26．每张贺年卡应降价0.1元【分析】由题意可知：（原来每张贺年卡盈利-降价的价格）×（原来售出的张数+增加的张数）=180，把相关数值代入求解即可．【详解】解：设每张贺年卡应降价x 元，现在的利润是（0.3﹣x ）元，则商城多售出200x ÷0.05＝4000x 张．（0.3﹣x ）（500+4000x ）＝180，整理得400x 2﹣70x +3＝0，（40x ﹣3）（10x ﹣1）＝0，解得x 1＝340，x 2＝0.1， ∵为了尽快减少库存，∴x ＝0.1．答：每张贺年卡应降价0.1元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用；得到每降价x 元多卖出的贺年卡张数是解决本题的难点；根据利润得到相应的等量关系是解决本题的关键．27．（1）证明见解析；（2）当ABC 满足90BAC ∠=︒时，四边形ADCE 是一个正方形，证明见解析．【分析】（1）先根据等腰三角形的三线合一可得BAD CAD ∠=∠，再根据角平分线的定义可得MAE CAE ∠=∠，从而可得90DAE ∠=︒，然后根据垂直的定义可得90ADC AEC ∠=∠=︒，最后根据矩形的判定即可得证；（2）先根据等腰直角三角形的性质可得45ACB B ∠=∠=︒，再根据直角三角形的性质可得45CAD ACD ∠=∠=︒，然后根据等腰三角形的定义可得CD AD =，最后根据正方形的判定即可得．【详解】（1）在ABC 中，,=⊥AB AC AD BC ，12BAD CAD BAC ∴∠=∠=∠（等腰三角形的三线合一）， AN 是ABC 外角CAM ∠的平分线，12MAE CA CA E M ∴∠∠=∠=， 11118090222DAE CAD CAE BA CA C M ∴∠=∠+∠=∠+=⨯︒=∠︒， 又,AD BC CE AN ⊥⊥，90ADC AEC ∴∠=∠=︒，∴四边形ADCE 为矩形；（2）当ABC 满足90BAC ∠=︒时，四边形ADCE 是一个正方形，证明如下：,90AB AC BAC ∠==︒，45ACB B ∴∠=∠=︒，AD BC ⊥，45CAD ACD ∴∠=∠=︒，CD AD ∴=，四边形ADCE 为矩形，∴矩形ADCE 是正方形，故当90BAC ∠=︒时，四边形ADCE 是一个正方形．【点睛】本题考查了正方形与矩形的判定、等腰三角形的三线合一、角平分线的定义等知识点，熟练掌握正方形与矩形的判定方法是解题关键．。
新北师大版九年级数学上册期中考试题及答案【完整版】
新北师大版九年级数学上册期中考试题及答案【完整版】班级： 姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．若分式211x x -+的值为0，则x 的值为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．±12．若a ≠b ，且22410,410a a b b -+=-+=则221111a b +++的值为（ ） A ．14B ．1C ．.4D ．33．关于x 的方程32211x mx x -=+++无解，则m 的值为（ ） A ．﹣5 B ．﹣8 C ．﹣2 D ．54．若x 取整数，则使分式6321x x +-的值为整数的x 值有（ ） A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个5．已知a m =3，a n =4，则a m+n 的值为（ ） A ．7B ．12C ．D ．6．已知直线y 1=kx+1（k ＜0）与直线y 2=mx （m ＞0）的交点坐标为（12，12m ），则不等式组mx ﹣2＜kx+1＜mx 的解集为（ ） A ．x>12 B ．12<x<32 C ．x<32 D ．0<x<327．如图，点B ，C ，D 在⊙O 上，若∠BCD ＝130°，则∠BOD 的度数是（ ）A ．50°B ．60°C ．80°D ．100°8．如图，一次函数y 1＝x ＋b 与一次函数y 2＝kx ＋4的图象交于点P （1，3），则关于x 的不等式x ＋b ＞kx ＋4的解集是（ ）A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜19．如图，一把直尺，60︒的直角三角板和光盘如图摆放，A为60︒角与直尺交点，3AB=,则光盘的直径是（）A．3 B．33C．6D．6310．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC，若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（）A．25°B．27.5°C．30°D．35°二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）164__________．2．分解因式：3x－x=__________．+=__________．3．已知a、b为两个连续的整数，且11<<，则a ba b4．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加__________m.5．如图，点A ，B 是反比例函数y=kx（x ＞0）图象上的两点，过点A ，B 分别作AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，连接OA ，BC ，已知点C （2，0），BD=2，S △BCD =3，则S △AOC =__________．6．已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =，其部分图象如图所示，下列说法中：①0abc <；②0a b c -+<；③30a c +=；④当13x 时，0y >，正确的是__________（填写序号）．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解方程：311(1)(2)x x x x -=--+2．已知A -B =7a 2-7ab ，且B =-4a 2+6ab +7． （1）求A 等于多少？（2）若|a +1|+（b -2）2=0，求A 的值．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B （3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D 竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．5．某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A：篮球 B：乒乓球C：羽毛球 D：足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有人；（2）请你将条形统计图（2）补充完整；（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）甲乙丙丁甲﹣﹣﹣（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）乙（甲，乙）﹣﹣﹣（丙，乙）（丁，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）﹣﹣﹣（丁，丙）丁（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）﹣﹣﹣6．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、B2、B3、A4、B5、B6、B7、D8、C9、D10、D二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、2、x（x+1）（x－1）3、74、5、5．6、①③④．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、原方程无解.2、（1）3a2-ab+7；（2）12.3、（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M 的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），4、河宽为17米5、解：（1）200．（2）补全图形，如图所示：（3）列表如下：∵所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有2种，∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为21P126==．6、（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．。
北师大版九年级数学上册期中试题及答案。
2015——2016 学年度第一学期期中考试九年级数学试题说明：1． 选择题答案用铅笔涂在答题卡上，如不用答题卡，请将答案填在题后的口琴格里. 2． 填空题、解答题不得用铅笔或红色笔填写. 3． 考试时，不允许使用科学计算器.一、选择题（每题3分，共36分）下列各小题都给出了四个选项，其中只有一项是符合题目要求的，请将符合要求的选项前面的字母代号填写在下面的答题栏内. 注意可以用各种不同的方法来解决你面前的选择题哦!1． 若2(1)10x +-=，则x 的值等于 A ．1± B ．2±C ．0或2D ．0或2- 2．下列方程中有实数根的是A.x 2＋2x ＋3=0B.x 2＋1=0C.x 2＋3x ＋1=0D.111x x x =-- 3.为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，则下列方程正确的是 Ａ．225003600x =Ｂ．22500(1)3600x +=Ｃ．22500(1%)3600x +=Ｄ．22500(1)2500(1)3600x x +++=4．如图，在平面四边形ABCD 中，CE AB ⊥，E 为垂足．如果125A =∠，则B C E =∠ Ａ．55Ｂ．35Ｃ．25Ｄ．305．下列命题中，错误的是BA ．矩形的对角线互相平分且相等B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．等腰梯形的两条对角线相等D ．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等6.如图(1)放置的一个机器零件，若其主视图如图(2)，则其俯视图是DAEBCDDCBA7.小明拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地面上形成的投影不可能．．．是B8．如图，在四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AD BC ，的中点，G H ，分别是BD AC ，的中点，AB CD ，满足什么条件时，四边形EGFH 是菱形．AA.AB=CDB.AB//CD c.AB_/CD D.AB=CD AB//CD9．如图，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为DA.4cmB.6cmC.8cmD.10cm10.如图，在△ABC 中，∠ACB =110º，AC =AE ，BC =BD ，则∠DCE 的度数为 D A.20ºB.25ºC.30ºD.35ºA B CD( 2)( 1)ABCOE11.在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ， AB ⊥BC ，E 是CD 的中点，且AB ＝AD ＋BC ，△ABE 是BA.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.等边三角形 12．如图，在直角坐标系中，直线y=6-x 与函数y=x4(x>0)的图像相交于点 A 、B ，设点A 的坐标为(x 1，，y 1)，那么长为x 1,宽为y 1的矩形面积和周长分别为A ．4，12B ．8，12C ．4，6D ．8，6二、填空题(本题共6小题,每小题3分,共18分) 只要求在答题卷相应的位置上填写最后结果.开动你的脑筋, 大家都在为你加油啊!13．“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是 .14.如果022=--m x x 有两个相等的实数根，那么022=--mx x 的两根和是 ---. 15．菱形的一个内角是120º，边长是6cm ，则这个菱形的面积是16．已知梯形的两底边长分别为6和8，一腰长为7，则另一腰长a 的取值范围为 ．17．如图，将R t △ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90° 到△A /B /C /的位置，已知斜边AB =10cm ，BC =6cm ， 设A /B /的中点是M ，连接AM ，则AM = cm 。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．方程x（x+2）＝0的根是（）A．x＝2B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣2D．x1＝0，x2＝2 2．随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这个骰子向上的一面点数是奇数的概率为（）A．12B．13C．14D．153．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（）A．18B．C．36D．4．如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（）A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG=52GC D．EG=2GC5．一元二次方程x（x﹣3）=0的根是（）A．0B．3C．0和3D．1和36．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．1B C．2D17．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．给出以下结论：①DG＝DF；②四边形EFDG是菱形；③EG2＝12GF×AF；④当AG＝6，EG＝BE）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④8．某校文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每位同学都把自己的图书向本组其他成员增送一本，全组共互赠了1260本书，设全组共有x名同学，依题意，可列出方程为A．x(x﹣1)＝1260B．x(x+1)＝1260C．2x(x﹣1)＝1260D．12x(x﹣1)＝12609．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠DHO＝20°，则∠ADC的度数是（）A．120°B．130°C．140°D．150°10．下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．二、填空题11．方程23530x x-=-的一次项系数是__________.12．已知23a cb d==，若b+d≠0，则a cb d++＝_____．13．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于7”的概率是_____. 14．已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF，分别交AD 、BC 于点E 、F ，则AE 的长为__________cm ．15．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边DCE ，则AEC 的度数是__________．16．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形对角线交于点O ，连接OC ，已知AC ＝3，OC ＝，则另一直角边BC 的长为_____．三、解答题17．解下列方程（1）2x 2﹣4x ﹣3＝0（2）（x ﹣1）2＝（1﹣x ）18．已知关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋2bx ＋(a －c)＝0，其中a ，b ，c 分别为△ABC 三边的长．(1)如果x ＝－1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由．19．袋中装有除数字不同其它都相同的六个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，5，6．（1）从袋中摸出一个小球，求小球上数字小于3的概率；（2）将标有1，2，3数字的小球取出放入另外一个袋中，分别从两袋中各摸出一个小球，求数字之和为偶数的概率．（要求用列表法或画树状图求解）20．在矩形ABCD 中,点E 在BC 上,AE AD =,DF ⊥AE ，垂足为F .（1）求证.DF AB=（2）若30FDC ∠=︒,且4AB =,求AD .21．某商店从厂家以每件18元购进一批商品出售，若每件售价为a 元，则可售出（320﹣10a ）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的25%，若商店要想获得400元利润，则售价应定为每件多少元？需售出这种商品多少件？22．在 ABCD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF ＝BE ，连接AF ，BF.（1）求证：四边形BFDE 是矩形；（2）若CF ＝3，BF ＝4，DF ＝5，求证：AF 平分∠DAB.23．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD=∠B ．（1）求证：AC•CD=CP•BP ；（2）若AB=10，BC=12，当PD ∥AB 时，求BP 的长．24．如图，△ABC 在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为A （0，3）、B （3、4）、C （2，2）（网格中每个正方形的边长是1个单位长度）．（1）以点B为位似中心，在网格内画出△A′BC′，使△A′BC′与△ABC位似，且位似比为2：1，则点C′的坐标是______；（2）△A′BC′的面积是_______平方单位；（3）在x轴上找出点P，使得点P到B与点A距离之和最小，请直接写出P点的坐标．25．如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD 于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若3DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）参考答案1．C【解析】【分析】本题可根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．【详解】解：x（x+2）＝0，∴x＝0或x+2＝0，解得x1＝0，x2＝﹣2．故选：C．【点睛】此题考查解一元二次方程，正确掌握解方程的方法及能依据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键．2．A【解析】【详解】试题解析：∵骰子六个面中奇数为1，3，5，∴P(向上一面为奇数)31. 62 ==故选A.3．B【解析】【详解】过点A作AE⊥BC于E，如图，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，∴∠BAE=30°，∵AE⊥BC，∴AE=∴菱形ABCD的面积是6⨯=，故选B．4．B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到答案．【详解】∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，∴31EG DFGC FB＝＝=3．故选B．【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．根据平行线分线段成比例定理解答是解题的关键．5．C【解析】【详解】试题分析：x=0或x﹣3=0，所以x1=0，x2=3．故选C．考点：因式分解法解一元二次方程6．B【解析】【分析】先根据四边形ABCD是菱形可知，AD∥BC，由∠A=120°可知∠B=60°，作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，PC，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，再在Rt△BCP′中利用锐角三角函数的定义求出P′C的长即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵∠A=120°，∴∠B=180°-∠A=180°-120°=60°，作点P 关于直线BD 的对称点P′，连接P′Q ，P′C ，则P′Q 的长即为PK+QK 的最小值，由图可知，当点Q 与点C 重合，CP′⊥AB 时PK+QK 的值最小，在Rt △BCP′中，∵BC=AB=2，∠B=60°，∴sin 2P Q CP BC B ''==⋅=⨯故选B ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7．D【解析】【分析】先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG ，从而得到GD=DF ，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF ，连接DE ，交AF 于点O ．由菱形的性质可知GF ⊥DE ，OG=OF=12GF ，接下来，证明△DOF ∽△ADF ，由相似三角形的性质可证明DF 2=FO•AF ，于是可得到GE 、AF 、FG 的数量关系，过点G 作GH ⊥DC ，垂足为H ．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF 中依据勾股定理可求得AD 的长，然后再证明△FGH ∽△FAD ，利用相似三角形的性质可求得GH 的长，最后依据BE=AD-GH 求解即可．【详解】解：∵GE ∥DF ，∴∠EGF ＝∠DFG ．∵由翻折的性质可知：GD ＝GE ，DF ＝EF ，∠DGF ＝∠EGF ，∴∠DGF ＝∠DFG ．∴GD ＝DF ．故①正确；∴DG ＝GE ＝DF ＝EF ．∴四边形EFDG 为菱形，故②正确；如图1所示：连接DE ，交AF 于点O ．∵四边形EFDG 为菱形，∴GF ⊥DE ，OG ＝OF ＝12GF ．∵∠DOF ＝∠ADF ＝90°，∠OFD ＝∠DFA ，∴△DOF ∽△ADF ．∴DFAF ＝OFDF ，即DF 2＝FO•AF ．∵FO ＝12GF ，DF ＝EG ，∴EG 2＝12GF•AF ．故③正确；如图2所示：过点G 作GH ⊥DC ，垂足为H ．∵EG 2＝12GF•AF ，AG ＝6，EG ＝∴20＝12FG （FG+6），整理得：FG 2+6FG ﹣40＝0．解得：FG ＝4，FG ＝﹣10（舍去）．∵DF ＝GE ＝AF ＝10，∴AD ＝∵GH ⊥DC ，AD ⊥DC ，∴GH ∥AD ．∴△FGH ∽△FAD ．∴GHAD＝FGAF410，∴GH，∴BE＝AD﹣GH＝故选：D．【点睛】本题考查了四边形与三角形的综合应用，掌握矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题②的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题④的关键．8．A【解析】【分析】设全组共有x名同学，那么每名同学要赠送(x﹣1)本，那么总共送x(x﹣1)本，据此可得出方程.【详解】设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是（x﹣1）本；则总共送出的图书为x(x﹣1)；又知实际互赠了1260本图书，∴x(x﹣1)＝1260；故选：A.【点睛】此题考查列一元二次方程，本题弄清每名同学送出的图书是（x-1）本是解题的关键．9．C【解析】【分析】由四边形ABCD是菱形，可得OB＝OD，AC⊥BD，又由DH⊥AB，∠DHO＝20°，可求得∠OHB的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得△OBH是等腰三角形，继而求得∠ABD的度数，然后求得∠ADC的度数．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，AC⊥BD，∠ADC＝∠ABC，∵DH⊥AB，∴OH＝OB＝12 BD，∵∠DHO＝20°，∴∠OHB＝90°﹣∠DHO＝70°，∴∠ABD＝∠OHB＝70°，∴∠ADC＝∠ABC＝2∠ABD＝140°，故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质，证得△OBH是等腰三角形是关键．10．B【解析】【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．【详解】解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为，所以三边之比为1：2A、三角形的三边分别为2，，三边之比为3，故本选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，1：2C、三角形的三边分别为2，32：3D44，故本选项错误．故选：B．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，属于基础题，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键，难度一般．11．-5【解析】【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；b叫做一次项系数，c叫做常数项可得答案．【详解】方程3x2﹣5x﹣3=0的一次项系数是﹣5．故答案为：﹣5．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．12．23【解析】【分析】分别设a=2m，c=2n，根据23a cb d==可用m、n表示出b、d，代入所给代数式即可得答案.【详解】设a=2m，c=2n，∵23a cb d==，∴b=3m，d=3n，∴a cb d++=2m2n3m3n++=23，故答案为：2 3【点睛】本题考查等比性质的应用，若a c kb d==，则a cb d++=k，熟练掌握等比性质是解题关键.13．15 36【解析】【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出“两枚骰子的点数和小于7”的结果数，然后根据概率公式求解.【详解】画树状图为：共有36种等可能的结果数，其中“两枚骰子的点数和小于7”的结果数为15，所以“两枚骰子的点数和小于7”的概率15 36；故答案为：15 36 .【点睛】此题考查列表法与画树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图.14．7 8【解析】【详解】连接EB，∵BD垂直平分EF，∴ED=EB，设AE=xcm，则DE=EB=（4﹣x）cm，在Rt△AEB中，AE2+AB2=BE2，即：x2+32=（4﹣x）2，解得：x=78故答案为78cm ．15．45︒【解析】【分析】先求出AED ∠的度数，即可求出AEC ∠.【详解】解：由题意可得，,90,60AD DC DE ADC EDC DEC ︒︒==∠=∠=∠=，,150AD DE ADE ADC EDC ︒=∠=∠+∠= 180150152AED DAE ︒︒︒-∴∠=∠==45AEC CED AED ︒∴∠=∠-∠=故答案为45︒【点睛】本题考查了等腰与等边三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，等边三角行的三条边都相等，三个角都相等，灵活应用等腰及等边三角形的性质是解题的关键.16．9【解析】【分析】过O 作OF ⊥BC ，过A 作AM ⊥OF ，根据正方形的性质得出∠AOB=90°，OA=OB ，求出∠BOF=∠OAM ，根据AAS 证△AOM ≌△BOF ，推出AM=OF ，OM=FB ，求出四边形ACFM 为矩形，推出AM=CF ，AC=MF=3，得出等腰三角形三角形OCF ，根据勾股定理求出CF=OF=6，求出BF ，即可求出答案．【详解】解：过O 作OF ⊥BC 于F ，过A 作AM ⊥OF 于M ，∵∠ACB ＝90°，∴∠AMO ＝∠OFB ＝90°，∠ACB ＝∠CFM ＝∠AMF ＝90°，∴四边形ACFM 是矩形，∴AM ＝CF ，AC ＝MF ＝3，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠AOM+∠BOF＝90°，又∵∠AMO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BOF＝∠OAM，在△AOM和△OBF中0AM BOF AMO OFB OA0B∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOM≌△OBF（AAS），∴AM＝OF，OM＝FB，∴OF＝CF，∵∠CFO＝90°，∴△CFO是等腰直角三角形，∵OC＝，由勾股定理得：CF＝OF＝6，∴BF＝OM＝OF﹣FM＝6﹣3＝3，∴BC＝6+3＝9．故答案为：9．【点睛】本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力.17．（1）x1x2（2）x1＝1，x2＝0．【解析】【分析】（1）利用公式法解方程即可；（2）先移项，利用因式分解法解方程即可.【详解】（1）∵a ＝2，b ＝﹣4，c ＝﹣3，∴△＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣3）＝40＞0，则x 22，即x 1＝22+，x 2＝22；（2）（x ﹣1）2＝（1-x ），（x ﹣1）2+（x ﹣1）＝0，（x ﹣1）•x ＝0，解得：x 1＝1，x 2＝0．【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、公式法、因式分解法、配方法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键.18．（1）△ABC 是等腰三角形，理由见解析；（2）△ABC 是直角三角形.理由见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）由方程解的定义把x=﹣1代入方程得到a ﹣b=0，即a=b ，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC 是等腰三角形；（2）由判别式的意义得到△=0，整理得222a b c =+，然后由勾股定理的逆定理得到△ABC 是直角三角形．试题解析：解：（1）△ABC 是等腰三角形．理由如下：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c ）×1﹣2b+（a ﹣c ）=0，∴a+c ﹣2b+a ﹣c=0，∴a ﹣b=0，∴a=b ，∴△ABC 是等腰三角形；（2）△ABC 是直角三角形．理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴△=2(2)4()()0b a c a c -+-=，∴2224440b a c -+=，∴222a b c =+，∴△ABC 是直角三角形．考点：1．根的判别式；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理的逆定理．19．（1）13；（2）49．【解析】【分析】（1）先列出摸出一个小球的所有可能的结果，再找出小球上数字小于3的结果，然后利用概率公式求解即可；（2）先用表格列出从两袋中摸出小球的所有可能的结果，再计算两个小球数字之和，从而得出数字之和为偶数的结果，然后利用概率公式计算即可．【详解】（1）依题意，从袋中摸出一个小球的结果有6种，即1,2,3,4,5,6，它们每一种出现的可能性相等其中，小球上数字小于3的结果有2种，即1,2故小球上数字小于3的概率为2163 P==；（2）依题意，用列表法列出从两袋中摸出小球的所有可能的结果如下：4561（1,4）（1,5）（1,6）2（2,4）（2,5）（2,6）3（3,4）（3,5）（3,6）其中，数字之和为偶数的结果有4种，即(1,5),(2,4),(2,6),(3,5)故两个小球上数字之和为偶数的概率为49 P=．【点睛】本题考查了简单事件的概率计算、利用列举法求概率，依据题意，正确列出事件的所有可能的结果是解题关键．20．（1）证明见解析；（2）8【解析】【分析】（1）利用“AAS”证△ADF≌△EAB即可得；（2）由∠ADF+∠FDC=90°、∠DAF+∠ADF=90°得∠FDC=∠DAF=30°，据此知AD=2DF，根据DF=AB可得答案．【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAF，又∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，∴∠DFA=∠B，又∵AD=EA，∴△ADF≌△EAB，∴DF=AB．（2）∵∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠FDC=∠DAF=30°，∴AD=2DF，∵DF=AB，∴AD=2AB=8．【点睛】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质．21．每件商品的售价应定为22元，需要卖出这种商品100件．【解析】【分析】可根据关键语“若每件售价x元，则每件盈利（x-18）元，则可卖出（320-10x）件”，根据每件的盈利×销售的件数=获利，即可列出方程求解．【详解】解：设每件商品的售价定为x元，则（x﹣18）（320﹣10x）＝400，整理得x2﹣50x+616＝0，∴x1＝22，x2＝28∵18（1+25%）＝22.5，而28＞22.5∴x＝22．卖出商品的件数为320﹣10×22＝100．答：每件商品的售价应定为22元，需要卖出这种商品100件．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题时可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．22．（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定，即可证明；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，即可证明．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．23．（1）证明见解析；（2）253.【解析】【分析】（1）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到BP ABCD CP=，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴BP AB CD CP=，∴AB•CD=CP•BP．∵AB=AC，∴AC•CD=CP•BP；（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴BA BP BC BA=．∵AB=10，BC=12，∴101210BP =，∴BP=253．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP 转化为证明AB•CD=CP•BP 是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C 进而得到△BAP ∽△BCA 是解决第（2）小题的关键．24．（1）（1，0）；（2）10；（3）（97，0）．【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质得出对应点位置，即可得出答案；（2）利用勾股定理逆定理可得△A′BC′是直角三角形，利用三角形面积公式求出△A′BC′面积即可；（3）作A 关于y 轴的对称点A″，连接A″B ，交x 轴于点P ，根据对称性质可得A″B 即为PA+PB 的最小值，根据A″和B 点坐标可得直线A″B 的解析式，令y=0即可得P 点坐标.【详解】（1）如图所示：C′（1，0）；故答案为：（1，0）；（2）∵A′B 2=62+22=40，A′C′2=42+22=20，C′B 2=42+22=20，∴A′B 2=A′C′2+C′B 2，∴△A′BC′是直角三角形，∴△A′BC′的面积是：1210平方单位；故答案为：10（3）作A 关于y 轴的对称点A″，连接A″B ，交x 轴于点P ，∴PA=PA″，∴PA″+PB=PA+PB=BA″，即为PA+PB 的最小值，设A″B 直线解析式为：y ＝kx+b ，把（3，4），（0，﹣3），代入得：343k bb+=⎧⎨=-⎩，解得：733 kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故A″B直线解析式为：y＝73x﹣3，当y＝0时，x＝9 7，故P（97，0）．【点睛】本题考查位似变换以及坐标与图形的性质、待定系数法求一次函数解析式及轴对称的性质，正确得出对应点的坐标是解题关键.25．（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论；（2）由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，然后利用三角函数求得CF的长，继而求得答案．【详解】（1）∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF=CF ，AE=CE ，OA=OC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AFO=∠CEO ，在△AOF 和△COE 中，{AFO CEOAOF COEOA OC∠=∠∠=∠=∴△AOF ≌△COE （AAS ），∴AF=CE ，∴AF=CF=CE=AE ，∴四边形AECF 是菱形；（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴在Rt △CDF 中，cos ∠DCF=CDCF ，∠DCF=30°，∴CF=cos 30CD︒=2，∵四边形AECF 是菱形，∴CE=CF=2，∴四边形AECF 是的面积为：。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷含答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（）A ．2230x x --=B ．2210x y --=C ．()270x x x -+=D ．20ax bx c ++=2．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ：EC ＝1：2，AE 与BD 相交于点F ，若S △BEF ＝2，则S △ABD ＝（）A ．24B ．25C ．26D ．233．若方程（a-2）x²+ax-3=0是关于x 的一元二次方程，则a 的取值范围是（）A ．a≥2且a≠2B ．a≥0且a≠2C ．a≥2D ．a≠24．如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 是BD 上两点，BM DN =，连接AM 、MC 、CN 、NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是（）A ．12OM AC =B ．MB MO =C ．BD AC ⊥D ．AMB CND∠=∠5．如图，菱形ABCD 的面积为120cm 2，正方形AECF 的面积为50cm 2，则AB 的长为（）A ．9cmB ．12cmC ．13cmD ．15cm6ABCD 中，30B ∠=︒，过点A 作AE BC ⊥于点E ，现将△ABE沿直线AE 翻折至△AFE 的位置，AF 与CD 交于点G .则CG 等于（）A 1B ．1C ．12D ．27．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的概率是0.2，则估计盒子中大约有红球（）A ．12个B ．16个C ．20个D ．25个8．如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=4．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G 、H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（）A ．B ．C ．5D ．69．如图，在ABCD 中，CD=2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为DC 的中点，连接EF 、BF ，下列结论：①∠ABC=2∠ABF ；②EF=BF ；③S 四边形DEBC =2S △EFB ；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，若AC ＝8，CE ＝12，BD ＝6，则BF 的值是（）A ．14B ．15C ．16D ．1711．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF=45°，AE 、AF 分别交BD 于M 、N ，连按EN 、EF ，有以下结论：①△ABM ∽△NEM ；②△AEN 是等腰直角三角形；③当AE=AF 时，2BEEC=④BE+DF=EF ；⑤若点F 是DC 的中点，则CE 23=CB ．其中正确的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．512．如图，四边形ABCD 和A′B′C′D′是以点O 为位似中心的位似图形，若OA ：OA′＝2：3，则四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′的面积比为（）A ．4：9B ．2：5C ．2：3D二、填空题13．已知菱形的周长为24，较大的内角为120°，则菱形的较长的对角线长为_____．14．方程x 2＝2x 的解是_______．15．在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点坐标分别是(0O ，0)，(8A ，0)，(8B ，6)，(0C ，6)，已知矩形111OA B C 与矩形OABC 位似，位似中心为坐标原点O ，位似比为12，则点1B 的坐标是______．16．如图，矩形纸片ABCD ，BC=10，AB=8，E 是边CD 上一点，连接AE 、折叠该纸片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上，若DE=5，则GE 的长为____．三、解答题17．解方程：①2x 2﹣4x ﹣3＝0；②5（x+1）2＝7（x+1）．18．（1）解方程(3)30x x x -+-=；（2）解方程2220x x --=；(3)已知a≠0，b≠0，a≠b 且x=1是方程ax²+bx-10=0的一个解，求2222a b a b--的值.19．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为边BC 上一点，以AB ，BD 为邻边作平行四边形ABDE ，连接AD ，EC ．（1）求证：△ADC ≌△ECD ；（2）当点D 在什么位置时，四边形ADCE 是矩形，请说明理由．20．某超市准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为每个50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个，设每个定价增加x 元，（1）当定价增加5元时，获利是多少元？（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？21．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 在边AB 上，连接CD ，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90°至CE 位置，连接AE（1）求证：AB ⊥AE ；（2）若BC 2=AD•AB ，求证：四边形ADCE 为正方形．22．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x的值.23．已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，（1）证明ABDF是平行四边形；（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长．24．已知如图，矩形ABCD的周长为64，AB=12，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于E、F，连接AF、CE、EF，且EF与AC相交于点O．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）求S△ABF 与S△AEF的比值．25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点B 出发，沿BA方向匀速运动，速度为4cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？（2）当t 为何值时，△EPQ 为等腰三角形？参考答案1．A 【解析】【详解】试题解析：A 、符合一元二次方程的定义，正确；B 、方程含有两个未知数，错误；C 、原方程可化为-7x=0，是一元一次方程，错误；D 、方程二次项系数可能为0，错误．故选A ．考点：一元二次方程的定义．2．A 【解析】【分析】已知平行四边形ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ：EC ＝1：2，可知△BEF ∽△ADF 得出相似比1==3BE BF EF AD DF AF =，所以211(39S BEF S ADF ==V V 得出18S ADF =V 根据2S BEF =V ，在△BEF 中，把EF 作为底边，在三角形ABF 中，把AF 作为底边，高相等，面积比即是底边的比，即13S BEF EF S ABF AF ==V V ，得出6S ABF =V ，S ABD S ABF S ADF =+V V V 求得答案．【详解】在平行四边形ABCD 中AD=BC ，AD ∥BC ∴△BEF ∽△ADF ，∴1==3BE BF EF AD DF AF =∴211(39S BEF S ADF ==V V ∵2S BEF =V ∴18S ADF =V 在△BEF 中，把EF 作为底边，在三角形ABF 中，把AF 作为底边，高相等，面积比即是底边的比，即13S BEF EF S ABF AF ==V V ∴6S ABF =V 且18S ADF =V ∴61824S ABD S ABF S ADF =+=+=V V V 故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理和性质，如果两个三角形相似，面积比就等于相似比的平方，可以作为求解三角形面积的方法.3．D 【解析】【分析】根据一元二次方程的定义得到a-2≠0，由此求得a 的取值范围．【详解】解：依题意得：a-2≠0，解得a≠2．故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．4．A 【解析】【分析】由平行四边形的性质可知：OA OC =，OB OD =，再证明OM ON =即可证明四边形AMCN 是平行四边形．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA OC =，OB OD =，∵对角线BD 上的两点M 、N 满足BM DN =，∴OB BM OD DN -=-，即OM ON =，∴四边形AMCN 是平行四边形，∵12OM AC =，∴MN AC =，∴四边形AMCN 是矩形．故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5．C 【解析】【分析】根据正方形的面积求出AC 的长，根据菱形的面积求出BD 的长,再利用菱形的对角线互相垂直平分计算菱形的边长．【详解】解：因为正方形AECF 的面积为50cm 2，所以AC=10cm=因为菱形ABCD 的面积为120cm 2，所以BD=21202410cm ⨯=所以菱形的边长=13cm 故选C ．【点睛】此题考查正方形和菱形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．6．A 【解析】【分析】在Rt △ABE 中，∠B=30°，BE=32，根据△ABE 沿直线AE 翻折至△AFE 的位置可知BF=3，结合菱形ABCD 32，则利用菱形对边平行即CG ∥AB ，再根据平行线段成比例可得CG CFAB BF ==求得1【详解】∵∠B=30°，AE ⊥BC∴AE=2，BE=32∴BF=3，32，则又∵CG ∥AB ∴CG CFAB BF=33=解得1.【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线段成比例，图形的翻折，解本题的关键是通过利用菱形对边平行发现与要求线段CG 与其他线段成比例的关系.7．B 【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】解：设盒子中有红球x 个，由题意可得：44x +=0.2，解得：x=16，故选B ．．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的概率得到相应的等量关系8．C 【解析】【详解】连接EF 交AC 于点M ，由四边形EGFH 为菱形可得FM=EM ，EF ⊥AC ；利用“AAS 或ASA”易证△FMC ≌△EMA ，根据全等三角形的性质可得AM=MC ；在Rt △ABC 中，由勾股定理求得AC=tan ∠BAC=12BC AB =；在Rt △AME 中，AM=12AC=，tan ∠BAC=12EM AM =可得Rt △AME 中，由勾股定理求得AE=5．故答案选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数．9．D 【解析】【分析】如图延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H 连接FH ．证明△DFE ≌△FCG 得EF=FG ，BE ⊥BG ，四边形BCFH 是菱形即可解决问题.【详解】解：如图延长EF交BC的延长线于点G，取AB的中点H，连接FH．∵CD=2AD，DF=FC，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，∵S△DFE=S△CFG，=S△EBG=2S△BEF，故③正确，∴S四边形DEBC∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选D．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．10．B【解析】【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：∵a∥b∥c，AC＝8，CE＝12，BD＝6，∴AC BD AE BF=,即86=812BF +，解得：=15BF，故选：B.【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．11．C【解析】【分析】①如图，证明△AMN ∽△BME 和△AMB ∽△NME ，②利用相似三角形的性质可得∠NAE=∠AEN=45°，则△AEN 是等腰直角三角形可作判断；③先证明CE=CF ，假设正方形边长为1，设CE=x ，则BE=1-x ，表示AC 的长为AO+OC 可作判断；④如图3，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH ，证明△AEF ≌△AEH （SAS ），则EF=EH=BE+BH=BE+DF ，可作判断；⑤如图4中，设正方形的边长为2a ，则DF=CF=a ，，想办法求出BE ，EC 即可判断．【详解】如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°．∵∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME ，∴△AMN ∽△BME ，∴AM MN BM EN =，∴AM BM MN EN=，∵∠AMB=∠EMN ，∴△AMB ∽△NME ，故①正确，∴∠AEN=∠ABD=45°，∴∠NAE=∠AEN=45°，∴△AEN 是等腰直角三角形，故②正确，在△ABE 和△ADF 中，∵90AB AD ABE ADF AE AF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △ADF(HL)，∴BE=DF ．∵BC=CD ，∴CE=CF ，假设正方形边长为1，设CE=x ，则BE=1﹣x ，如图2，连接AC ，交EF 于H ，∵AE=AF ，CE=CF ，∴AC 是EF 的垂直平分线，∴AC ⊥EF ，OE=OF ，Rt △CEF 中，OC 12=EF 22=，在△EAF 中，∠EAO=∠FAO=22.5°=∠BAE=22.5°，∴OE=BE ．∵AE=AE ，∴Rt △ABE ≌Rt △AOE(HL)，∴AO=AB=1，∴AC 2==AO+OC ，∴122+x 2=∴x=22-，∴1222222BE EC -==-③如图3，∴将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH ，则AF=AH ，∠DAF=∠BAH ．∵∠EAF=45°=∠DAF+∠BAE=∠HAE ．∵∠ABE=∠ABH=90°，∴H 、B 、E 三点共线，在△AEF 和△AEH 中，AE AE FAE HAE AF AH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AEH(SAS)，∴EF=EH=BE+BH=BE+DF ，故④正确，如图4中，设正方形的边长为2a ，则DF=CF=a ，AF =a，∵DF ∥AB ，∴12FN DF AN AB ==，∴AN=NE 23=AF =a ，∴AE =3=a ，∴BE 23=a ，∴EC 43=a 23=BC ，故⑤正确．故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题．12．A【解析】【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．【详解】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′＝2：3，∴DA：D′A′＝OA：OA′＝2：3，∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：4：9，故选：A．【点睛】本题是对相似图形的考查，熟练掌握多边形相似的性质是解决本题的关键.13．【解析】【分析】由菱形的性质可得AB=6，AC⊥BD，BD=2OB，由直角三角形的性质可得AO=1，由勾股定理可求BO的长，即可得BD的长．【详解】解：如图所示：∵菱形ABCD的周长为24，∴AB=6，AC⊥BD，BD=2OB，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠ABO=12∠ABC=30°，∴AO=3，∴∴BD=故答案为：.【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．14．x 1＝0，x 2＝2【解析】【分析】先移项得到x 2﹣2x ＝0，再把方程左边进行因式分解得到x （x ﹣2）＝0，方程转化为两个一元一次方程：x ＝0或x ﹣2＝0，即可得到原方程的解为x 1＝0，x 2＝2．【详解】解：∵x 2﹣2x ＝0，∴x （x ﹣2）＝0，∴x ＝0或x ﹣2＝0，∴x 1＝0，x 2＝2．故答案为：x 1＝0，x 2＝2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并能够根据方程的特征灵活选用合适的方法解答是解题的关键．15．()4,3或()4,3--【解析】【分析】由矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 位似，位似中心为坐标原点O ，位似比为12，又由点B 的坐标为（8，6），即可求得答案．【详解】解：如图，∵矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 位似，位似中心为坐标原点O ，位似比为12，∴点B 1的坐标是：（4，3）或（-4，-3）．故答案为：（4，3）或（-4，-3）．【点睛】本题考查了位似图形的性质，注意位似图形是特殊的相似图形，注意数形结合思想的应用．16．955．【解析】【分析】由勾股定理求出AE 的长，证明△ABH ∽△EAD ，得出AH AB DE AE =求出AH 的长，得出AG 的长，即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD 为矩形，∴AB=CD=8，AD=BC=10，∠BAD=∠D=90°，∴AE 2222105AD DE =+=+=5由折叠及轴对称的性质可知，△ABF ≌△GBF ，BF 垂直平分AG ，∴BF ⊥AE ，AH=GH ，∴∠BAH+∠ABH=90°，又∵∠FAH+∠BAH=90°，∴∠ABH=∠FAH ，∴△ABH ∽△EAD ，∴AH AB DE AE =，即555AH =解得：AH 855=∴AG=2AH 1655=，∴GE=AE ﹣55555=．【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折变换的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．17．①x 1＝22，x 2＝22；②x 1＝﹣1，x 2＝25．【解析】【分析】①直接利用一元二次方程的求根公式，求方程的解；②先移项得到5（x+1）2﹣7（x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程，即可求解．【详解】①2x 2﹣4x ﹣3＝0，a ＝2，b ＝﹣4，c ＝﹣3，∴△＝b 2﹣4ac ＝16﹣4×2×（﹣3）＝40，∴2b x a -±==，∴x 1x 2；②5（x+1）2﹣7（x+1）＝0，（x+1）（5x+5﹣7）＝0，x+1＝0或5x+5﹣7＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝25．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握公式法和因式分解法解一元二次方程，是解题的关键．18．（1）123,1x x ==-；（2）1211x x ==（3）5.【解析】【分析】（1）提公因式因式分解后可解；（2）把方程左边化为完全平方式的形式，再利用直接开方法求出x 的值即可；（3）把x=1代入方程求得a+b=10，然后将其整体代入化简后的分式并求值．【详解】解：（1）因式分解得(3)(1)0x x -+=，∴123,1x x ==-；（2）∵原方程可化为（x-1）2=3，1x ∴-=1x ∴=±1211x x ∴==（3）解：∵x=1是方程ax²+bx-10=0的根，∴a+b=10，∴225222a b a b a b -+==-,故答案是：5.【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法是解题关键．19．（1）证明见解析；（2）点D 在BC 的中点上时，四边形ADCE 是矩形．【解析】【分析】（1）利用等边对等角以及平行四边形的性质可以证得∠EDC=∠ACB ，则易证△ADC ≌△ECD ，利用全等三角形的对应边相等即可证得；（2）根据平行四边形性质推出AE=BD=CD ，AE ∥CD ，得出平行四边形，根据AC=DE 推出即可．【详解】解：（1）证明：∵AB=AC ，∴∠B=∠ACB ，又∵▱ABDE 中，AB=DE ，AB ∥DE ，∴∠B=∠EDC=∠ACB ，AC=DE ，在△ADC 和△ECD 中，{EDC=ACB DC=CDAC DE=∠∠，∴△ADC ≌△ECD （SAS ）．（2）点D 在BC 的中点上时，四边形ADCE 是矩形，∵四边形ABDE 是平行四边形，∴AE=BD ，AE ∥BC ，∵D 为边长中点，∴BD=CD ，∴AE=CD ，AE ∥CD ，∴四边形ADCE是平行四边形，∵△ADC≌△ECD，∴AC=DE，∴四边形ADCE是矩形，即点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形．考点：平行四边形的性质；等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定的应用．20．（1）5250元；（2）当定价为70元时利润达到6000元，此时的进货量为200个【解析】【分析】（1）根据利润＝每件商品利润×销售量，列式即可求解；（2）总利润＝每件商品利润×销售量，销售量为400﹣10x，列方程求解，根据题意取舍；【详解】（1）定价增加5元即为：50+5=55元时，销售量为：400-10×5=350获利为：（50+5﹣40）（400﹣5×10）＝5250元（2）设每个定价增加x元，根据题意（x+10）（400﹣10x）＝6000，整理得：x2﹣30x+200＝0解得，x1＝10，x2＝20，∵要使进货量较少，∴x＝20，∴定价为50+20＝70元，进货量为：400﹣10x＝400﹣200＝200．当定价为70元时利润达到6000元，此时的进货量为200个．【点睛】本题是一元二次方程的实际应用问题，现列出关于x的关系式，求解一元二次方程，根据条件对x值取舍，确定最终符合题意的答案.21．（1）根据旋转的性质得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根据“SAS”可判断△BCD≌△ACE，则∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到结论．（2）由于BC=AC，则AC2=AD•AB，根据相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，则∠CDA=∠BCA=90°，可判断四边形ADCE为矩形，利用CD=CE可判断四边形ADCE为正方形．【分析】（1）根据旋转的性质得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根据“SAS”可判断△BCD≌△ACE，则∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到结论.（2）由于BC=AC，则AC2=AD•AB，根据相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，则∠CDA=∠BCA=90°，可判断四边形ADCE为矩形，利用CD=CE可判断四边形ADCE为正方形.【详解】证明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠BAC=45°∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，∴∠DCE=90°，CD=CE∵∠ACB=90°，∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，即∠BCD=∠ACE∵在△BCD和△ACE中，BC AC {BCD ACE CD CE=∠=∠=，∴△BCD≌△ACE（SAS）∴∠B=∠CAE=45°∴∠BAE=45°+45°=90°∴AB⊥AE（2）∵BC2=AD•AB，BC=AC，∴AC2=AD•AB∴AC AD AB AC=∵∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB∴∠CDA=∠BCA=90°∵∠DAE=90°，∠DCE=90°，∴四边形ADCE为矩形∴四边形ADCE 为正方形.22．（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7.【解析】【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克,b 元/千克.由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩解之得：108a b =⎧⎨=⎩答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克（2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-=解之得：12x =，27x =经检验，12x =，27x =均符合题意答：x 的值为2或7.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.23．（1）证明见解析；（2）485．【解析】【分析】（1）先证得△ADB ≌△CDB 求得∠BCD=∠BAD ，从而得到∠ADF=∠BAD ，所以AB ∥FD ，因为BD ⊥AC ，AF ⊥AC ，所以AF ∥BD ，即可证得．（2）先证得平行四边形是菱形，然后根据勾股定理即可求得．【详解】（1）证明：∵BD 垂直平分AC ，∴AB=BC ，AD=DC ，在△ADB 与△CDB 中，AB BC AD DC DB DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CDB （SSS ）∴∠BCD=∠BAD ，∵∠BCD=∠ADF ，∴∠BAD=∠ADF ，∴AB ∥FD ，∵BD ⊥AC ，AF ⊥AC ，∴AF ∥BD ，∴四边形ABDF 是平行四边形，（2）解：∵四边形ABDF 是平行四边形，AF=DF=5，∴▱ABDF 是菱形，∴AB=BD=5，∵AD=6，设BE=x ，则DE=5-x ，∴AB 2-BE 2=AD 2-DE 2，即52-x 2=62-（5-x ）2解得：x=75，∴245AE =，∴AC=2AE=485．考点：1．平行四边形的判定；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理．24．（1）证明见解析；（2）8：17．【解析】【分析】（1）根据SSS 证明△AOE ≌△COF ，根据全等得出OE=OF ，推出四边形是平行四边形，再根据EF ⊥AC 即可推出四边形是菱形；（2）由（1）知S △AEF =S △ACF ，再分别求得S △ABF 与S △AEF 的面积即可得到其比值．【详解】∴AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF．∵EF垂直平分AC，∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE=OF，∴四边形AFEC是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AFEC是菱形；（2）∵△AOE≌△COF，∴S△AEF=S△ACF∵S△ABF=3BF，S△AEF=3FC，∴S△ABF：S△AEF=BF：FC．∵矩形ABCD的周长为64，AB=12，∴BC=20，设FC=x，则AF=x，BF=20﹣x在Rt△ABF中，由勾股定理122+(20﹣x)2=x2解得：x68 5 =，BF32 5 =，∴S△ABF：S△AEF=BF：FC=8：17．【点睛】此题主要考查了矩形的性质、线段的垂直平分线性质、菱形的判定以及勾股定理等知识的综合应用．熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．25．（1）4114s或4013s；（2）t＝1或3或207或196秒【解析】【分析】（1）①当PQ⊥AB时，△PQE是直角三角形．证明△PQE∽△ACB，将PE、QE用时间t 表示，由三角形对应线段成比例的性质即可求出t值；②当PQ⊥DE时，证明△PQE∽△DAE，（2）分三种情形讨论，①当点Q在线段BE上时，EP＝EQ；②当点Q在线段AE上时，EQ＝EP；③当点Q在线段AE上时，EQ＝QP；④当点Q在线段AE上时，PQ＝EP，分别列出方程即可解决问题．【详解】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝16cm，∴AB20cm．∵D、E分别是AC、AB的中点．∴AD＝DC＝6cm，AE＝EB＝10cm，DE∥BC且DE＝12BC＝8cm，①如图1中，PQ⊥AB时，∵∠PQB＝∠ADE＝90°，∠AED＝∠PEQ，∴△PQE∽△ADE，∴PE QE AE DE=，由题意得：PE＝8﹣2t，QE＝4t﹣10，即82410 108t t--=，解得t＝41 14；②如图2中，当PQ⊥DE时，△PQE∽△DAE，∴PE QE ED AE=，∴82410 810t t--=，∴t＝40 13，∴当t为4114s或4013s时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似．（2）①如图3中，当点Q在线段BE上时，由EP＝EQ，可得8﹣2t＝10﹣4t，t＝1．②如图4中，当点Q在线段AE上时，由EQ＝EP，可得8﹣2t＝4t﹣10，解得t＝3．③如图5中，当点Q在线段AE上时，由EQ＝QP，可得12（8﹣2t）：（4t﹣10）＝4：5，解得t＝20 7．④如图6中，当点Q在线段AE上时，由PQ＝EP，可得12（4t﹣10）：（8﹣2t）＝4：5，解得t＝19 6．综上所述，t＝1或3或207或196秒时，△PQE是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质及等腰三角形的判定，注意分类讨论，灵活的用含t的代数式表示线段的长度是解题的关键.。
20212016学年度北师大版九年级上期中考试数学试题及答案
2015—2016学年度九年级第一学期期中考试数学试卷考试时刻120分钟；试卷总分100分※ 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效。
一、选择题(每题2分，共16分)一、以下方程，是一元二次方程的是（ ） ①3x 2+x=20，②2x 2-3xy+4=0，③x 2-1x =4，④x 2=0，⑤x 2-3x+3=0 A ．①② B ．①④⑤ C ．①③④ D ．①②④⑤二、已知1=x 是方程022=++ax x 的一个根，那么方程的另一个根为（ ） A ．2 B ．2- C ．3 D ．3- 3、观看以下表格，一元二次方程21.1x x -=的一个近似解是（ ）x1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.92x x - 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71A ．0.11B ．1.6C ．1.7D ．1.194、如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠DAB =60°，那么对角线BD 的长是 （ ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．234题图5题图a b cA B C DEF mn6题图5、如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 别离交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，那么BF 等于（ ） A ． 7 B ． 7.5C ． 8D ． 8.56、某小组做“用频率估量概率”的实验时，统计了某一结果显现的频率，绘制了如下图的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）A ．在“石头、剪子、布”的游戏中，小明随机出的是“剪子”B ．一副去掉大、小王的一般扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C ．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D ．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是47、如图，矩形ABCG(AB<BC)与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，∠APE 的极点在线段BD 上移动，使∠APE 为直角的点P 的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38、如图，边长必然的正方形ABCD ，Q 为CD 上一个动点，AQ 交BD 于点M ，过M 作MN ⊥AQ 交BC 于点N ，作NP ⊥BD 于点P ，连接NQ ，以下结论：①AM=MN ；②MP=BD ；③BN+DQ=NQ ；④为定值．其中必然成立的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④7题图11题图8题图二、填空题（每题2分，共16分)9、()x x 6542=+-化成一样形式是____________，其中一次项系数是___________10、抽屉里有２只黑色和１只白色的袜子，它们混在一路，随意抽出两只恰好配成一双的概率是 ___________ 11、如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.现在，竹竿与这一点距离相距6m ，与树相距15m ，那么树的高度为_____________m 。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷附答案详解
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列命题中，真命题是（ ）A ．两条对角线垂直的四边形是菱形B ．对角线垂直且相等的四边形是正方形C ．两条对角线相等的四边形是矩形D ．两条对角线相等的平行四边形是矩形 2．如图，菱形ABCD 中，B 60∠=，AB=4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．173．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 A ．k ＞1 B ．k ＜1 C ．k ＞1且k≠0 D ．k ＜1且k≠0 4．一个袋子里装有8个球，其中6个黄球2个红球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出一个红球的概率是（ ） A ．18 B ．16 C ．14 D ．345．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份 平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）A 、250(1+x)=182B ．50+50(1+x)+250(1+x)=182C 、50(1+2x)＝182D ．50+50(1+x)(1+2x)=1826．矩形具有而菱形不具有的性质是( )A ．对角线相等B ．两组对边分别平行C ．对角线互相平分D ．两组对角分别相等7．顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是( )A ．等腰梯形B ．正方形C ．平行四边形D ．矩形 8．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -= 9．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ）①AC BD ⊥；②90BAD ∠=；③AB BC =；④AC BD =．A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③二、填空题 10．已知菱形ABCD 的面积是12cm 2，对角线AC ＝4cm ，则菱形的边长是______cm ． 11．方程(x ＋2)(x －1)=0的解为___________________．12．已知23m p n q ==(n+q≠0)，则m p n q++＝_______________． 13．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知∠AOD=120°，AB=2.5，则AC 的长为 。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列说法错误的是（）A ．对角线互相垂直的平行四边形是矩形B ．矩形的对角线相等C ．对角线相等的菱形是正方形D ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形2．一个菱形的两条对角线分别为4和5，则这个菱形的面积是（）A ．8B ．10C ．15D ．203．在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，34ADB ∠=︒，则BAO ∠的度数是A ．46°B ．54°C ．56°D ．60°4．如图，公路AC 、BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开，若测得AB 的长为3.2km ，则M ，C 之间的距离是（）A ．0.8kmB ．1.6kmC ．2.0kmD ．3.2km 5．用配方法解方程2640x x ++=时，原方程变形为（）A ．2(3)9x +=B ．2(3)13x +=C ．2(3)5x +=D ．2(3)4x +=6．一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是﹣2，﹣1，0，1．卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．347．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程2680x x -+=的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A ．2B ．4C ．8D ．2或48．某地一家餐厅新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x ，则x 满足的方程是（）A ．5000（1+x ）＝6050B ．5000（1+2x ）＝6050C ．5000（1﹣x ）2＝6050D ．5000（1+x ）2＝60509．如图矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，CE 垂直平分DO ，AB 1=，则BE 等于（）A ．32B ．43C ．23D ．210．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则PBQ 周长的最小值为（）AB ．3C 1D ．二、填空题11．一元二次方程()211x x +=+的根是_____．12．若关于x 的方程21(1)7a a x +--＝0是一元二次方程，则a ＝____．13．x 2﹣4x+1＝（x ﹣2）2﹣______．14．如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，试添加一个条件：___，使得平行四边形ABCD 为菱形．15．若关于x 的一元二次方程2(1)10k x x -++=有实数根，则k 的最大整数值是_________．16．一个袋子中6个红球，若干白球，它们除颜色外完全相同，现在经过大量重复的摸球试验发现，摸出一个球是白球的频率稳定在0.4附近，则袋子中白球有_____个．17．如图，正方形ABCD 的对角线BD 是菱形BEFD 的一边，菱形BEFD 的对角线BF 交CD 于点P ，则∠FPC 的度数是______．18．如图，在Rt ABC 中，90A ∠= ，AB=6，BC=10，P 是BC 边上的一点，作PE 垂直AB ，PF 垂直AC ，垂足分别为E 、F ，求EF 的最小值是_____．三、解答题19．用适当的方法解方程：(1)x 2+2x ﹣1＝0；（用配方法）(2)3x 2﹣5x+1＝0；（用公式法）(3)3（2x+1）2＝4x+2；（用因式分解法）(4)3x 2+5x ＝3x+3．（选择适当的方法）20．“一方有难，八方支援”．四川汶川大地震牵动着全国人民的心，我市某医院准备从甲、乙、丙三位医生和A 、B 两名护士中选取一位医生和一名护士支援汶川．（1）若随机选一位医生和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果；（2）求恰好选中医生甲和护士A 的概率．21．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，AC ∥BE ，CE ∥BD ．(1)求∠DBC 的度数；(2)求证：四边形OBEC 是矩形．22．如图，在正方形ABCD 中，点P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F．（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数．23．某公园内有一块长30m，宽20m的矩形空地，准备将其建成一个矩形花坛，要求在花坛中修建三条长方形的矩形小道（如图），剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为532m2，那么小道的宽度应为多少米？（注：所有小道宽度相等）24．某服装专卖店在销售中发现，一款衬衫每件进价为70元，销售价为100元时，每天可售出20件，今年受“疫情”影响，为尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么平均可多售出2件．试问：每件衬衫降价多少元时，平均每天赢利750元？25．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△AFE≌△DBE；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF是不是菱形？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．参考答案1．A【解析】根据特殊平行四边形的性质判断即可；【详解】经过判断，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A错误；B、C、D均正确；故答案选A．【点睛】本题主要考查了特殊平行四边形的判定，准确判断是解题的关键．2．B【解析】【分析】根据菱形的面积计算公式计算即可；【详解】∵菱形的两条对角线分别为4和5，∴菱形的面积14510 2=⨯⨯=；故答案选B．【点睛】本题主要考查了菱形的面积计算，准确计算是解题的关键．3．C【解析】【分析】由矩形的性质得∠BAD＝90°，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，AC＝BD，则OA＝OD，由等腰三角形的性质得∠OAD＝∠ADB＝34°，进而得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，AC＝BD，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADB＝34°，∴∠BAO＝90°−∠OAD＝90°−34°＝56°；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．4．B【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=12AB，代入求出即可．【详解】∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∵M为AB的中点，∴CM=12 AB，∵AB=3.2km，∴CM=1.6km，故选：B．【点睛】此题考查直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=12AB是解题的关键．5．C【解析】【分析】方程整理后，配方得到结果，即可做出判断．【详解】解：方程配方得：x2+6x+5+4-5=0，即（x+3）2=5．故选：C．【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．6．B【解析】【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图如下：由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果有4种，所以抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率为412=13，故选B．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．7．A【解析】【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．【详解】解：x2－6x+8=0（x－4）（x－2）=0解得：x=4或x=2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，所以三角形的底边长为2，故选：A．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．8．D【解析】【分析】根据开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元列方程即可得到结论．【详解】解：设每天的增长率为x ，依题意，得：5000（1+x ）2＝6050．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．A【解析】【分析】根据矩形的性质可证明ODC ，OAB 都是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求出OE 的长，即可的答案；【详解】四边形ABCD 是矩形，OA OB OD OC ∴===，CE 垂直平分相等OD ，CO CD ∴=，OC OD CD ∴==，OCD ，AOB 都是等边三角形，OB AB OD 1∴===，OE DE ==12OD=12，13BE 122∴=+=，【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判断和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．C【解析】【分析】由于点B 与点D 关于AC 对称，所以如果连接DQ ，交AC 于点P ，那么PBQ 的周长最小，此时PBQ 的周长BP PQ BQ DQ BQ.=++=+在Rt CDQ 中，由勾股定理先计算出DQ 的长度，再得出结果即可．【详解】连接DQ ，交AC 于点P ，连接PB 、BD ，BD 交AC 于O ．四边形ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，BO OD =，CD 2cm =，∴点B 与点D 关于AC 对称，BP DP ∴=，BP PQ DP PQ DQ ∴+=+=．在Rt CDQ 中，DQ ===，PBQ ∴的周长的最小值为：BP PQ BQ DQ BQ 1++=+=+．故选C ．【点睛】此题考查轴对称问题，根据两点之间线段最短，确定点P 的位置是解题关键．11．10x =，21x =-【分析】利用因式分解法求解可得．【详解】解：2(1)1x x +=+ ，2(1)(1)0x x ∴+-+=，则(1)0x x +=，0x ∴=或10x +=，解得10x =，21x =-，故答案为：10x =，21x =-．12．﹣1．【解析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a 的值．【详解】解：∵关于x 的方程（a ﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程，∴a 2+1＝2，且a ﹣1≠0，解得，a ＝﹣1．故答案为﹣1．13．3【解析】利用配方法的步骤整理即可．【详解】解：x 2﹣4x+1＝x 2﹣4x+4﹣3＝（x ﹣2）2﹣3，故答案为3，14．AD=DC （答案不唯一）【详解】由四边形ABCD 是平行四边形，添加AD=DC ，根据邻边相等的平行四边形是菱形的判定，可使得平行四边形ABCD 为菱形；添加AC ⊥BD ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定，可使得平行四边形ABCD 为菱形．故答案为：AD=DC （答案不唯一）．15．0【解析】关于x 的一元二次方程2(1)10k x x -++=有实数根，则△=240b a -≥，且k-1≠0，求出k 的取值范围即可解决本题.【详解】解：关于x 的一元二次方程2(1)10k x x -++=有实数根，则()=1410k 10△--≥⎧⎪⎨-≠⎪⎩k ，解得：54k ≤且k≠1，则k 的最大整数值为；0，故答案为：0.16．4【解析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】设袋子中白球有x 个，由题意得，6x x+＝0.4，解得：x ＝4，经检验x=4是原方程的解故袋子中白球有4个，故答案为：4．17．112.5°【解析】利用正方形的性质得到90BCD ∠︒＝，45CBD ∠︒＝，再根据菱形的性质得BF 平分,EBD ∠，所以22.5CBP ∠︒＝，然后根据三角形外角性质计算∠FPC 的度数．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，90BCD ∴∠︒＝，45CBD ∠︒＝，∵四边形BEFD 为菱形，∴BF 平分∠EBD ，22.5CBP ∴∠︒＝，22.590112.5FPC PBC BCP ∴∠∠∠︒︒︒＝＋＝＋＝．故答案为：112.5︒．18．4.8【解析】根据已知得出四边形AEPF 是矩形，得出EF=AP ，要使EF 最小，只要AP 最小即可，根据垂线段最短得出即可．【详解】解：连接AP ，∵∠BAC=90°，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴∠BAC=∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形AFPE 是矩形，∴EF=AP ，要使EF 最小，只要AP 最小即可，过A 作AP ⊥BC 于P ，此时AP 最小，在Rt △BAC 中，∠BAC=90°，BC=10，AB=6，由勾股定理得：AC=8，由三角形面积公式得：116810AP 22⨯⨯=⨯⋅，∴AP=4.8，即EF=4.8，故答案为：4.8．【点睛】本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理以及垂线段最短的应用．19．(1)x1＝﹣x 2＝﹣1(2)x 1x 2(3)x 1＝﹣12，x 2＝﹣16(4)1211,33x x --==【解析】【分析】（1）根据配方法求解即可；（2）根据公式法求解即可；（3）根据因式分解法求解即可；（4）根据公式法求解即可；(1)解：x 2+2x ﹣1＝0，x 2+2x ＝1，x 2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2，∴x+1＝，∴x 1＝﹣x 2＝﹣1(2)解：3x 2﹣5x+1＝0，∵a ＝3，b ＝﹣5，c ＝1，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×3×1＝13＞0，则x即x 1＝56，x 2＝56-；(3)解：3（2x+1）2＝4x+2，3（2x+1）2﹣2（2x+1）＝0，（2x+1）[3（2x+1）﹣2]＝0，2x+1＝0或6x+1＝0，x 1＝﹣12，x 2＝﹣16．(4)解：3x 2+5x ＝3x+3，3x 2+2x-3=0∵a ＝3，b ＝2，c ＝-3，∴Δ＝22﹣4×3×（﹣3）＝40＞0，∴x ＝223-±⨯＝13-，∴x 1＝13-+，x 2【点睛】本题考查解一元二次方程的解法，熟练掌握解法解一元二次方程的方法：配方法、公式法、因式分三种方法是解题的关键．20．（1）详见解析；（2）16【解析】（1）利用用树状图（或列表法）列举出所有情况；（2）让恰好选中医生甲和护士A 的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】解：（1）用列表法或树状图表示所有可能结果如下：护士医生A B 甲（甲，)A （甲，)B 乙（乙，)A （乙，)B丙（丙，)A（丙，)B（2）因为共有6种等可能的结果，其中恰好选中医生甲和护士A的有1种，所以P（恰好选中医生甲和护士1)6A=．（3分）【点睛】本题考查的是用列表法或者用树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题的关键是还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．（1）30°（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，得到对边平行，且BD为角平分线，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出∠BDC度数；（2）由四边形ABCD是菱形，得到对角线互相垂直，利用两组对边平行的四边形是平行四边形，再利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证．【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠DBC=12∠ABC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC：∠BAD=1：2，∴∠ABC=60°，∴∠BDC=12∠ABC=30°;（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC ⊥BD ，即∠BOC=90°，∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴BE ∥OC ，CE ∥OB ，∴四边形OBEC 是平行四边形，则四边形OBEC 是矩形．【点睛】此题考查了矩形的判定，菱形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．22．（1）见解析；（2）90°【解析】【分析】（1）由四边形ABCD 是正方形，BD 是正方形ABCD 的对角线，得AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ＝45°，利用SAS 可证得△ABP ≌△CBP 即可证明PC ＝PE ．（2）由△ABP ≌△CBP ，得∠BAP ＝∠BCP ，从而得∠DAP ＝∠DCP ，再由PA ＝PE 即可证出∠DCP ＝∠E ，进而可证出∠CPE ＝∠EDF ＝90°．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，BD 是正方形ABCD 的对角线，∴AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ＝45°，在△ABP 和△CBP 中，=AB BC ABP CBP PB PB =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△ABP ≌△CBP （SAS ），∴PA ＝PC ，∵PA ＝PE ，∴PC ＝PE ，（2）解：由（1）知，△ABP ≌△CBP ，∴∠BAP ＝∠BCP ，∴∠DAP ＝∠DCP ，∵PA ＝PE ，∴∠DAP ＝∠E ，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD，∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPE＝∠EDF＝90°．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．23．小道进出口的宽度应为1米．【解析】【分析】观察图形可知，种植花草的地方拼凑起来可以得到一个新矩形，设小道进出口的宽度为x 米，则新矩形的长是（30﹣2x）m，宽是（20﹣x）m，根据面积公式列方程，求解即可．【详解】设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532，整理，得x2﹣35x+34＝0，解得，x1＝1，x2＝34．∵34＞20（不合题意，舍去），∴x＝1．答：小道进出口的宽度应为1米．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题关键是根据题中的等量关系列方程，注意根据实际意义对求得的根进行取舍．24．每件衬衫降价15元时，平均每天赢利750元【解析】【分析】设每件衬衫降价x元，则平均每天可售出（20+2x）件，再写出单件利润的表达式（100﹣70﹣x），两者乘积为总利润，解方程，根据题意对根进行取舍，即可求出答案．【详解】设每件衬衫降价x元，则平均每天可售出（20+2x）件，依题意，得：（100﹣70﹣x）（20+2x）＝750，整理，得：x 2﹣20x+75＝0，解得：x 1＝5，x 2＝15．∵尽快减少库存，∴x ＝15．答：每件衬衫降价15元时，平均每天赢利750元．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题关键是根据题中的等量关系列方程，注意根据题意对求得的根进行取舍．25．（1）证明见解析；（2）四边形ADCF 是菱形，证明见解析【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠AFE=∠DBE ，然后利用AAS 判定△AFE ≌△DBE 即可；（2）首先证明四边形ADCF 是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD ，进而可得四边形ADCF 是菱形．【详解】(1）证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE=∠DBE ，∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ，在△AFE 和△DBE 中，AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFE ≌△DBE （AAS ）；（2）解：四边形ADCF 是菱形，理由如下：∵△AFE ≌△DBE ，∴AF=BD ，∵AD 是斜边BC 的中线，∴BD=DC∴AF=DC ．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，∴AD=12BC=DC，∴平行四边形ADCF是菱形．。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷含答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题(共36分)1．(本题3分)如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一个不相同的几何体是（）A．①②B．②③C．②④D．③④2．(本题3分)将如图所示的Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体的主视图（正视图）是（）A．B．C．D．3．(本题3分)在如图所示的图形中，形状相同的是（）A．图①与图②B．图②与图③C．图②与图④D．图①与图④4．(本题3分)如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为()A ．3B ．3或43C ．3或34D ．435．(本题3分)如图，DE 是△ABC 的中位线，延长DE 至F 使EF=DE ，连接CF ，则CEF BCED S S 四边形：的值为（）A ．1：3B ．2：3C ．1：4D ．2：56．(本题3分)如图，菱形ABCD 中，点M ，N 在AC 上，ME ⊥AD ，NF ⊥AB ．若NF =NM=2，ME =3，则AN =A ．3B ．4C ．5D ．67．(本题3分)如图，是由6个棱长为1个单位的正方体摆放而成的，将正方体A 向右平移2个单位，向后平移1个单位后，所得几何体的视图（）A ．主视图改变，俯视图改变B ．主视图不变，俯视图不变C ．主视图不变，俯视图改变D ．主视图改变，俯视图不变8．(本题3分)如图所示，在长为8cm ，宽为4cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是()A ．2cm 2B ．4cm 2C ．8cm 2D ．16cm 29．(本题3分)如图，等腰ABC 中，腰AB a =，A 36∠= ，ABC ∠的平分线交AC 于D ，BCD ∠的平分线交BD 于E ．设51k 2=，则DE =（）A ．k 2aB ．k 3aC ．2ak D ．3ak 10．(本题3分)某几何组合体的主视图和左视图为同一个视图，如图所示，则该几何组合体的俯视图不可能是（）A ．B ．C ．D ．11．(本题3分)已知a 、b 为一元二次方程2290x x +-=的两个根，那么2a a b +-的值为（）A ．11B ．0C ．7D ．-712．(本题3分)四边形ABCD 是面积为1的正方形；点P 为正方形内一点，且△PBC 为正三角形，那么△PBD 的面积是（）A ．3+1B ．3−1C ．3−2D ．3+2二、填空题(共15分)13．(本题3分)如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AD ＝1，BC ＝3，△AOD 的面积为3，则△BOC 的面积为__________．14．(本题3分)如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为_______cm2．（结果可保留根号）15．(本题3分)如图，点D、E分别在AB、AC上，且∠ABC＝∠AED．若DE＝4，AE＝5，BC ＝8，则AB的长为________16．(本题3分)如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是____．17．(本题3分)△ABC中，D、E分别是边AB与AC的中点，BC=4，下面四个结论：①DE=2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4；④△ADE的周长与△ABC 的周长之比为1：4；其中正确的有_____．（只填序号）三、解答题(共69分)18．(本题7分)如图，PN BC ∥；AD BC ⊥，交PN 于点E ，交BC 于点D ．（1）若12AP PB =，218cm ABC S =△，求APN S △的值.（2）若1=2APN PBCN S S 四边形△，求AE AD的值.（3）若15BC =cm ，10AD =cm ，且PN ED x ==cm ，求x 的值.19．(本题7分)四张形状相同的卡片如图，将卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，小明先随机抽取一张卡片，记下数字为x ；小亮再随机抽一张卡片，记下数字为y.两人在此基础上共同协商一个游戏规则：当x y >时小明获胜，否则小亮获胜.（1）若小明抽出的卡片不放回，求小明获胜的概率.（2）若小明抽出的卡片放回后小亮再随机抽取，问他们制定的游戏规则公平吗？请说明理由.20．(本题7分)用小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中字母表示在该位置小立方体的个数，请解答下列问题：（1）求,,a b c 的值；（2）这个几何体最少有几个小立方体搭成，最多有几个小立方体搭成；（3）当2,1,2d e f ===时画出这个几何体的左视图.21．(本题8分)如图，现有一物体CD 在路灯AB 的灯泡（图上点A 处）的照射下，影子顶端正好落在墙脚的点Q 处.已知路灯AB 距物体CD 7.5m ，物体CD 的高为3m ，其影子长为5m.假如另有一高6m 的物体EF 在路灯AB 与物体CD 之间，EF 距路灯AB 2.9m ，问物体EF 的影子是否会落在墙PQ 上.22．(本题8分)（2013衡阳）如图，P 为正方形ABCD 的边AD 上的一个动点，AE ⊥BP ，CF ⊥BP ，垂足分别为点E 、F ，已知AD ＝4．证明：AE 2＋CF 2的值是一个常数．23．(本题8分)如图，在ABC 中，90B ∠=︒，6AB =cm ，3BC =cm ，点P 从点A 开始沿着AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动.如果点P 、点Q 分别从点A 、点B 同时出发，只要点P 、点Q 有一点到达△ABC 的顶点便同时停止运动，经过多长时间，点P 、点Q 之间的距离等于？24．(本题8分)如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 交BD 于点E ，点F ，M 分别是AB ，BC 的中点，BN 平分∠ABE 交AM 于点N ，AB ＝AC ＝BD ．连接MF ，NF ．（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．25．(本题8分)如图，一天早上，小张正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一水塔DC，可过了一会抬头一看，水塔不见了.他心里很是纳闷.经过了解，教学楼、水塔的高分别是20m和30m，它们之间的距离为30m，小张身高为1.6.m.小张要想看到水塔；他与教学楼之间的距离至少应有多少米？26．(本题8分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE（1）求证：AB⊥AE；（2）若BC2=AD•AB，求证：四边形ADCE为正方形．参考答案1．B2．D3．D4．B5．A6．B7．C8．C9．B10．C11．A12．B13．27．14．（+360）．15．1016．1617．①②③18．（1）22cm APN S =△（2）3AE AD =；（3）6.19．（1）12；（2）不公平.20．（1）a=3,b=1,c=1.（2）9个，11个.（3）详见解析21．物体EF 的影子会落在墙PQ 上.22．见解析23．0.4s24．（1）见解析；（2）见解析.25．小张与教学楼的距离至少应有55.2米.26．（1）根据旋转的性质得到∠DCE=90°，CD=CE ，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE ，然后根据“SAS”可判断△BCD ≌△ACE ，则∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到结论．（2）由于BC=AC，则AC2=AD•AB，根据相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，则∠CDA=∠BCA=90°，可判断四边形ADCE为矩形，利用CD=CE可判断四边形ADCE为正方形．。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．方程x（x+5）=0的根是（）A．x=5B．x=﹣5C．x1=0，x2=5D．x1=0，x2=﹣5 2．关于菱形的性质，下列叙述不正确的是（）A．菱形的四条边都相等B．菱形的四个角都相等C．菱形的对角线互相垂直D．菱形的对角线互相平分3．在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，若CD＝5，AC＝8，则BC的长为A．3B．4C．5D．64．一元二次方程25x2+20x＝﹣4的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根5．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机模出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有78次摸到红球，则口袋中白球的个数大约有（）A．7个B．8个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD：DB＝1：2，下列结论中错误的是（）A．19ADEABCSS=VVB．31DEBC=C．AD AEBD CE=D．AD▪AB＝AE▪AC7．在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为：O(0，0)，A(1，2)，B(0，3)，以O 为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若B点的对应点B′的坐标为(0，﹣6)，则A点的对应点A′坐标为()A．(﹣2，﹣4)B．(﹣4，﹣2)C．(﹣1，﹣4)D．(1，﹣4)8．如图，已知点O为△ABC的AC边上的中点，连接BO并延长到D，使得OD＝OB，要使四边形ABCD为矩形，△ABC中需添加的条件是（）A．AB＝BC B．∠ABC＝90°C．∠BAC＝45°D．∠BCA＝45°9．从n边形的一个顶点出发，可以作（n﹣3）条对角线，若一个多边形共有35条对角线，则该多边形的边数是（）A．13B．10C．8D．710．如图，线段AB，CD相交于点E，连接AC，BD，添加下列条件不能使△ACE与△BDE 相似的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠D C．AE CEDE BE=D．AE ACBE BD=二、填空题11．若13a cb d==（b+d+3≠0），则13a cb d++++＝_____．12．从长为3,5,7,10的四条线段中任意选取三条作为边,能构成三角形的概率是__________.13．用一条长30cm的绳子围成一个面积为60cm2的长方形，设长方形的长为xcm，则可列方程为_____．14．如图，四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，且点E、F在对角线AC上，点G、H分别在边CD、AD上，若AB＝6cm，则正方形EFGH的面积为_____．15．如图，点P为矩形ABCD的AB边上一动点，将△ADP沿着DP折叠，点A落在点A'处，连接CA'，已知AB＝10，AD＝6，若以点P，B，C，A'为端点的线段（不再另外连接线段）构成的图形为直角三角形或特殊的平行四边形时，AP的长为_____．16．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是AB中点，连接CE，交BD于点F，若EF ＝1，则CF的长是_____．三、解答题17．解方程（1）x（x﹣3）＝x﹣3（2）（x+1）（x﹣3）＝2x+518．三张形状、大小、质地相同并标有数字0，1，2的卡片，将卡片洗匀后，背面朝上放在桌上，若第一次任意抽取一张（不放回），第二次再抽取一张，用列表法或树状图求两次所抽取卡片上的数字恰好是方程x2﹣2x＝0的两根的概率．19．如图，AB表示一个窗户的高，AE和BD表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC＝1.2m．已知某一时刻BC在地面的影长CD＝1.8m，AC在地面的影长CE＝4.8m，求窗户的高度．20．如图，在矩形ABCD中，BC＝10，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为E，BE＝3DE，求CE的长．21．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，且E为AD的中点，FC ＝3DF，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为8，求△BEG的面积．22．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？23．如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，延长CD到F，使得DF＝DE，连接AF．AF 与CE之间有怎样的关系？请说明理由．24．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．参考答案1．D【分析】方程利用两因式相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.【详解】解：方程x(x+5)=0,可得x=0或x+5=0,解得:1x=0,或2x=-5.故选D.【点睛】本题主要考查解一元二次方程-因式分解法.2．B【分析】根据菱形的性质判断即可．【详解】解：A、菱形的四条边都相等，正确不符合题意；B、菱形的四个角不一定相等，错误符合题意；C、菱形的对角线互相垂直，正确不符合题意；D、菱形的对角线互相平分，正确不符合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查对菱形的性质及判定的理解，关键是根据菱形的性质解答．3．D【分析】依据直角三角形的斜边上中线的性质，即可得到AB的长，再根据勾股定理，即可得到BC 的长．【详解】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴AB＝2CD＝2×5＝10，∴Rt△ABC中，BC6，故选：D．【点睛】此题主要考查了直角三角形的斜边上中线的性质，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．4．A【分析】根据根的判别式即可求出答案．【详解】解：原方程化为：25x2+20x+4＝0，∴△＝202﹣16×25＝0，故选：A．【点睛】此题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的判别式，本题属于基础题型．5．C【分析】根据利用频率估计概率可估计摸到红球的概率，再求出摸到白球的概率，进一步即可求出结果.【详解】解：∵共摸了100次球，发现有78次摸到红球，∴摸到红球的概率估计为0.78，∴摸到白球的概率估计为0.22，∴口袋中白球的个数大约10×0.22≈2个．故选：C．【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，属于常考题型，掌握计算的方法是关键.6．D【分析】由DE∥BC，AD：DB＝1：2，可得△ADE∽△ABC，推出13 DE ADBC AB==，211,39ADE ABC S AD AE BD ECS ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，由此即可判断错误的结论．【详解】解：∵DE ∥BC ，AD ：DB ＝1：2，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE AD BC AB =＝13，AD AE BD EC=，21139ADE ABC S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，∴A 、B 、C 正确，故选：D ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．7．A【分析】利用已知对应点的坐标变化规律得出位似比为1：2，则可求A'坐标．【详解】解：∵△OA′B′与△OAB 关于O （0，0）成位似图形，且若B （0，3）的对应点B′的坐标为（0，-6），∴OB ：OB'=1：2=OA ：OA'∵A （1，2），∴A'（-2，-4）故选A ．【点睛】此题主要考查了位似变换与坐标与图形的性质，得出位似比是解题关键.8．B【分析】由题意可证四边形ABCD 是平行四边形，由矩形的判定可求解．【详解】解：∵点O为△ABC的AC边上的中点，∴AO＝CO，且OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵有一个角为直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，∴添加条件为∠ABC＝90°，故选：B．【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握矩形的判定是本题的关键．9．B【分析】利用多边形对角线条数公式得出关于n的方程，进而求出即可．【详解】解：由题意可得：12n（n﹣3）＝35，解得：n1＝﹣7（不合题意舍去），n2＝10，答：这个多边形的边的条数是10条．故选B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及多边形的对角线，正确利用多边形对角线公式得出等式是解题关键．10．D【分析】要使△ACE∽△BDE，只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可，而对应边所夹的角则必是其相等的角，否则不能得到其相似．【详解】解：由图可得，∠AEC＝∠BED，所以要使△ACE∽△BED，只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可，所以题中选项A、B、C均符合题意，而D选项中AC与AE的夹角并不是∠AEC，所以其不能判定两个三角形相似．故选：D．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定问题，能够熟练掌握．11．1 3．【分析】利用等比的性质求解．【详解】解：∵13a cb d==（b+d+3≠0），∴13a cb d++++＝13．故答案为1 3．【点睛】此题考查了比例线段：灵活应用比例的性质进行计算．12．1 2【分析】列举出所有等可能的情况数，找出能构成三角形的情况数，即可求出所求概率．【详解】从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，所有等可能情况有：3，5，7；3，5，10；3，7，10；5，7，10，共4种，其中能构成三角形的情况有：3，5，7；5，7，10，共2种，则P（能构成三角形）=21 42 =，故答案为1 2．【点睛】此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系，其中概率=所求情况数与总情况数之比．13．x（15﹣x）＝60．【分析】根据长方形的周长可以用x表示宽的值，然后根据面积公式即可列出方程．【详解】解：设长方形的长为xcm ，则宽为（15﹣x ）cm ，根据面积为60cm 2可得：x （15﹣x ）＝60，故答案为x （15﹣x ）＝60．【点睛】此题考查了一元二次方程的运用，要掌握运用长方形的面积计算公式S=ab 来解题的方法．14．8．【分析】根据正方形的性质和等腰直角三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，AB ＝6cm ，∴∠DAC ＝∠ACD ＝45°，AC AB ＝，∵四边形EFGH 为正方形，∴∠HEF ＝∠GFE ＝90°，∴∠AEH ＝∠CFG ＝90°，∴△AEH 与△CFG 是等腰直角三角形，∴AE ＝EH ，CF ＝FG ，∵HE ＝EF ＝FG ，∴EF ＝13AC ＝，∴正方形EFGH 的面积为（）2＝8，故答案为8．【点睛】此题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．15．2或6．【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质，矩形的性质和勾股定理可求解．【详解】解：如图1，当点A '落在CD 上，∵将△ADP 沿着DP 折叠，点A 落在点A '处，∴AP ＝A 'P ，AD ＝A 'D ，∠DAP ＝∠DA 'P ＝90°，∴∠PA 'C ＝90°，且∠B ＝∠C ＝90°，∴四边形PBCA '是矩形，∴BC ＝A 'P ＝AP ＝6，∴当AP ＝6时，四边形PBCA '是矩形，如图2，当点P ，点A '，点C 共线，∵将△ADP 沿着DP 折叠，点A 落在点A '处，∴AP ＝A 'P ，AD ＝A 'D ＝6，∠DAP ＝∠DA 'P ＝90°，∴A 'C 22CD A D '-10036-＝8，∴PC ＝8+A 'P ＝8+AP ，∵PC 2＝PB 2+BC 2，∴（8+AP ）2＝（10﹣AP ）2+36，∴AP ＝2，故答案为2或6．【点睛】此题考查了翻折变换，矩形的判定和性质，勾股定理，利用分类讨论解决是本题的关键．16．2【分析】利用平行四边形的性质得到AB=CD，AB∥CD，则BE=12AB=12CD，再证明△BEF∽△DCF，然后利用相似比可计算出CF的长．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵点E是AB中点，∴BE12=AB12=CD，∵BE∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴12 EF BECF CD==，∴CF＝2EF＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件．17．（1）x1＝3，x2＝1；（2）x1＝x2＝2﹣【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）先将方程整理为一般式，再利用公式法求解可得．【详解】解：（1）∵x（x﹣3）＝x﹣3，∴x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（x﹣1）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，解得x1＝3，x2＝1；（2）将方程整理为一般式得x2﹣4x﹣8＝0，∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣8，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣8）＝48＞0，∴x ＝4432＝则x 1＝2+2x 2＝2﹣2．【点睛】此题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．13．【分析】根据一元二次方程的根的求解方法，找出符合的数，即可根据概率公式求解．此题是需要两步完成的事件，所以采用列表法或树状图法都比较简单．注意此题属于不放回实验．【详解】解：画树状图如下：由树状图知共有6种等可能结果，其中是方程x 2﹣2x ＝0的两根为0和2，则所抽取卡片上的数字恰好是方程x 2﹣2x ＝0的两根的概率为26＝13．【点睛】此题考查了一元二次方程的解法与列表法或树状图法求概率．列表法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，列举法适合于两步完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．窗户的高度AB 是2.4m ．【分析】阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线BD 与AE 仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出AB 的长，即窗户的高度．【详解】解：∵BD ∥AE ，∴△CBD ∽△CAE ，∴BCAC＝CDCE，∴1.2AC＝1.84.8，∴AC＝3.6，∴AB＝AC﹣BC＝2.4m，∴窗户的高度AB是2.4m．【点睛】此题考查相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例，建立适当的数学模型来解决问题．20．5.【分析】由矩形的性质得出OC＝OB＝OD，得出∠OBC＝∠OCB，由已知条件得出OE＝DE，∠BEC ＝90°，由线段垂直平分线的性质得出OC＝CD，得出△OCD为等边三角形，因此∠OCD＝60°，由三角形的外角性质得出∠EBC＝30°，由含30°角的直角三角形的性质即可得出CE 的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝12AC，OB＝12BD，AC＝BD，∴OC＝OB＝OD，∴∠OBC＝∠OCB，∵CE⊥BD，BE＝3ED，∴OE＝DE，∠BEC＝90°，∴OC＝CD，∴OC＝OD＝CD，∴△OCD为等边三角形，∴∠OCD＝60°，∴∠EBC＝30°，∴CE＝12BC＝12×10＝5．【点睛】此题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．21．（1）详见解析；（2）80．【分析】（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．（2）证明△BAE∽△GEB，利用ABGE＝AEEB，求出EG即可解决问题．【详解】（1）证明：设正方形的边长为4a．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4a，∠A＝∠D＝90°，∵AE＝ED＝2a，DF＝a，CF＝3a，∴BADE＝2，AEDF＝2，∴ABDE＝AEDF，∴△ABE∽△DEF．（2）解：∵△ABE∽△DEF，∴∠AEB＝∠EFD，∵∠EFD+∠DEF＝90°，∴∠AEB+∠DEF＝90°，∴∠BEF＝90°，∵AB＝8，AE＝4，∠A＝90°，∴BE＝∵AE∥∥BG，∴∠AEB＝∠EBG，∵∠A＝∠BEG＝90°，∴△BAE∽△GEB，∴ABGE＝AEEB，∴8E G∴EG ＝∴EG ＝，∴S △BEG ＝12•BE •EG ＝1280．【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．（1）20%；（2）每千克应涨价5元．【分析】（1）设每次下降的百分率为x ，根据相等关系列出方程，可求每次下降的百分率；（2）设涨价y 元（0＜y ≤8），根据总盈余＝每千克盈余×数量，可列方程，可求解．【详解】解：（1）设每次下降的百分率为x根据题意得：50（1﹣x ）2＝32解得：x 1＝0.2，x 2＝1.8（不合题意舍去）答：每次下降20%（2）设涨价y 元（0＜y ≤8）6000＝（10+y ）（500﹣20y ）解得：y 1＝5，y 2＝10（不合题意舍去）答：每千克应涨价5元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程，解答即可．23．AF ＝CE ，AF ⊥CE ，证明详见解析【分析】延长CE 交AF 于G ，根据全等三角形的性质得到AF ＝CE ，∠FAD ＝∠DCE ，根据余角的性质即可得到结论．【详解】解：AF ＝CE ，AF ⊥CE ，理由：延长CE 交AF 于G，在正方形ABCD 中，∵∠ADC ＝90°，∴∠AFF ＝90°，在△ADF 与△CDE 中，AD CD ADC ADF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△CDE ，∴AF ＝CE ，∠FAD ＝∠DCE ，∵∠ADF ＝90°，∴∠DAF +∠F ＝90°∴∠FCG +∠F ＝90°，∴∠CGF ＝90°，∴AF ⊥AE ．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．24．（1）t 为5秒时，△BDE 的面积为7.5cm 2；（2）存在时间t 为5013或8013秒时，使得△BDE 与△ABC 相似．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形BDE 边BE 的高即可求解；（2）根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可．【详解】解：（1）分别过点D 、A 作DF ⊥BC 、AG ⊥BC ，垂足为F 、G 如图∴DF ∥AG ，DF AG ＝BD AB∵AB ＝AC ＝10，BC ＝16∴BG ＝8，∴AG ＝6．∵AD ＝BE ＝t ，∴BD ＝10﹣t ，∴DF 6＝1010t -解得DF ＝35（10﹣t ）∵S △BDE ＝12BE •DF ＝7.5∴35（10﹣t ）•t ＝15解得t ＝5．答：t 为5秒时，△BDE 的面积为7.5cm 2．（2）存在．理由如下：①当BE ＝DE 时，△BDE 与△BCA ，∴BE AB ＝BD BC 即10t ＝1016t -，解得t ＝5013，②当BD ＝DE 时，△BDE 与△BAC ，BE BC ＝BD AB 即16t ＝1010t -，解得t ＝8013．答：存在时间t 为5013或8013秒时，使得△BDE 与△ABC 相似．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形．。
北师大版九年级上册数学期中考试试题附答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题附答案北师大版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题1.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A。
AB=ADB。
AC⊥BDC。
AC=BDD。
AD=CD2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为（）A。
2B。
3C。
3√3D。
2√33.用配方法解一元二次方程x^2-4x=5时，此方程可变形为（）A。
(x+2)^2=9B。
(x-2)^2=9C。
(x+2)^2=25D。
(x-2)^2=254.下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A。
x^2+3x-4=0B。
2x^3-3x-5=0C。
x+2=1/2D。
x^2+1=2x5.若代数式2x^2-5x与代数式x^2-6的值相等，则x的值是（）A。
-1或6B。
1或-6C。
2或3D。
-2或-36.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于5的概率为（）A。
1/6B。
1/3C。
1/2D。
2/37.2、3、4四个班，某校九年级共有80名学生，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到1班和2班的概率是（）A。
1/8B。
1/6C。
3/8D。
1/28.一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（）A。
1/4B。
1/3C。
1/2D。
3/49.某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年均增长率为多少？设该公司这两年缴税的年均增长率为x,根据题意，下列所列的方程正确的是（）A。
40+x^2=48.4B。
40(1+x^2)=48.4C。
40(1-x)^2=48.4D。
40(1+x)^2=48.410.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（）A。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷带答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．AD=CD2．一元二次方程x2﹣6x+5=0配方后可化为（）A．（x﹣3）2=﹣14B．（x+3）2=﹣14C．（x﹣3）2=4D．（x+3）2=43．用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，是指（）A．连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次B．连续抛掷100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次C．抛掷2n次硬币，恰好有n次“正面朝上”D．抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.54．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（）A．1B．﹣3C．3D．4相似5．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中ABC的是（）A．B．C．D．6．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为（）A．36°B．30°C．27°D．18°7．如图，DE 是 ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB ＝90°，若AB ＝5，BC ＝8，则EF 的长为（）A ．2.5B ．1.5C ．4D ．58．如图，在正三角形ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且13AD AC ＝，AE=BE ，则有（）A ．△AED ∽△BEDB ．△AED ∽△CBDC ．△AED ∽△ABDD ．△BAD ∽△BCD9．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为（）A ．x （x+1）＝28B ．12x （x ﹣1）＝28C ．x （x ﹣1）＝28D ．x （x+1）＝2810．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若AB=2，∠ABC=60°，则BD 的长为（）A ．2B ．3C D ．二、填空题11．一元二次方程x 2=x 的解为_____．12．为保护环境，法库县掀起“爱绿护绿”热潮，经过两年时间，绿地面积增加了21%，则这两年的绿地面积的平均增长率是___．13．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x 2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是_____．14．如果小强将镖随意投中如图所示的正方形木板，那么镖落在阴影部分的概率为_____15．如图，菱形ABCD 的两条对角线长分别为AC ＝6，BD ＝8，点P 是BC 边上的一动点，则AP 的最小值为__．16．如图，正方形ABCD 中，AB 6=，点E 在边CD 上，且CD 3DE =，将ADE 沿AE 对折至AFE. 延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF.下列结论：ABG ①≌AFG ；BG GC ②=；AG //CF ③；GCF ④是等边三角形，其中正确结论有______．三、解答题17．解方程：（1）3（x ﹣3）＝5x （x ﹣3）；（2）（x+1）（x ﹣1）+2（x+3）＝13．18．先化简，再求值：2226m m m+-÷（m+3+53m -），其中m 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的根．19．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边EF=，测得边DF离地面的高度 1.5m40cmDE=，20cmCD m，求树AB的高度．AC=，8=20．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6．E为BC上一点，ED平分∠AEC，求：点A到DE的距离．21．在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有(m，n)可能的结果；（2）若m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？22．如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB AD=，对角线AC，BD交于点O，AC平分⊥交AB的延长线于点E，连接OE．∠，过点C作CE ABBAD（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB=2BD=，求OE的长．23．如图，已知菱形ABCD，延长AB到E，使BE＝2AB，连接EC并延长交AD的延长线于点F．（1）图中共有哪几对相似三角形？请直接写出结论；（2）若菱形ABCD的边长为3，求AF的长．24．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？25．如图1，正方形ABCD的边长为a，E为边CD上一动点（点E与点C、D不重合），连接AE交对角线BD于点P，过点P作PF⊥AE交BC于点F．（1）求证：PA＝PF；（2）如图2，过点F作FQ⊥BD于Q，在点E的运动过程中，PQ的长度是否发生变化？若不变，求出PQ的长；若变化，请说明变化规律．（3）请写出线段AB、BF、BP之间满足的数量关系，不必说明理由．参考答案1．C 【解析】菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，判定定理有：定理1：四边都相等的四边形是菱形．定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．根据菱形的定义和判定定理即可作出判断，【详解】A 选项：根据菱形的定义可得，当AB=AD 时▱ABCD 是菱形，本选项正确；B 选项：根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，▱ABCD 是菱形，本选项正确；C 选项：对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，除非是正方形，本选项错误；D 选项：根据菱形的定义可得，当AD=CD 时▱ABCD 是菱形，本选项正确；故选C 【点睛】本题考查了菱形的判定定理，正确记忆定义和判定定理是关键.2．C 【解析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．【详解】移项得：265x x -=-，配方得：26959x x -+=-+，即2(3)4x -=．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成2()x m n +=的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．3．D 【解析】【分析】利用“大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率”．【详解】解：连续抛掷2n 次不一定正好正面向上和反面向上的次数各一半，故A 、B 、C 错误，抛掷n 次，当n 越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握利用“大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率”．4．C 【解析】【分析】设方程的另一个解为x 1，根据两根之和等于﹣ba，即可得出关于x 1的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】设方程的另一个解为x 1，根据题意得：﹣1+x 1=2，解得：x 1=3，故选C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣b a、两根之积等于ca是解题的关键．5．B 【解析】【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解．【详解】解：由题意得：AB =AC 2BC =、A1ABC 的三边对应边不成比例关系，不符合题意；B，11，∴对应边成比例，符合题意；C，3，与△ABC 的三边对应边不成比例关系，不符合题意；D2，与△ABC 的三边对应边不成比例关系，不符合题意；故选B ．【点晴】此题主要考查相似三角形的判定和勾股定理，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．6．B 【解析】【分析】根据已知条件可得ADE ∠以及EDC ∠的度数，然后求出ODC 各角的度数便可求出BDE ∠．【详解】解：在矩形ABCD 中，90ADC ∠=︒，∵2ADE EDC ∠=∠，∴60ADE ∠=︒，30EDC ∠=︒，∵DE AC ⊥，∴903060DCE ∠=︒-︒=︒，∵OD OC =，∴60ODC OCD ∠=∠=︒，∴60DOC ∠=︒，∴9030BDE DOC ∠=︒-∠=︒．故选：B ．【点睛】题目主要考查矩形的性质，三角形内角和及等腰三角形的性质，理解题意，综合运用各个性质是解题关键．7．B【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得1 2.52DF AB==，再利用三角形中位线定理可得DE＝4，进而可得答案．【详解】解：∵D为AB中点，∠AFB＝90°，AB＝5，∴1 2.52DF AB==，∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，∴DE＝4，∴EF＝4﹣2.5＝1.5，故选：B．【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质和三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．8．B【解析】【分析】本题可以采用排除法，即根据已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，13 ADAC＝，AE=BE，我们可以分别得到：△AED、△BCD为锐角三角形，△BED、△ABD为钝角三角形，然后根据锐角三角形不可能与钝角三角形相似排除错误答案，得到正确答案．【详解】解：由已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，13ADAC＝，AE=BE，易判断出：△AED为一个锐角三角形，△BED为一个钝角三角形，故A错误；△ABD也是一个钝角三角形，故C也错误；但△BCD为一个锐角三角形，故D也错误；故选：B．【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于可以直接根据相似三角形的定义，大小不同，形状相同，排除错误答案，得到正确结论．9．B【解析】【分析】球队总数×每支球队需赛的场数÷2＝4×7，把相关数值代入即可．【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：12x（x﹣1）＝4×7．故选：B．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程．10．D【解析】【详解】分析：首先根据菱形的性质知AC垂直平分BD，再证出△ABC是正三角形，由三角函数求出BO，即可求出BD的长．详解：∵四边形ABCD菱形，∴AC⊥BD，BD=2BO，∵∠ABC=60°，∴△ABC是正三角形，∴∠BAO=60°，∴∴故选D．点睛：本题主要考查解直角三角形和菱形的性质的知识点，解答本题的关键是熟记菱形的对角线垂直平分，本题难度一般．11．x1=0，x2=1．【解析】【分析】首先把x移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案．【详解】解：x2=x，移项得：x2﹣x=0，∴x（x﹣1）=0，x=0或x﹣1=0，∴x1=0，x2=1．故答案为x1=0，x2=1．12．10%【解析】【分析】设这两年的绿地面积的平均增长率是x，利用经过两年时间后绿地的面积＝绿地的原面积×（1+这两年的绿地面积的平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设这两年的绿地面积的平均增长率是x，依题意得：（1+x）2＝1+21%，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．故答案为：10%．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于能够正确理解题意列出方程求解．13．13【解析】【分析】先求出方程的两根，然后根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．【详解】解：x2﹣6x+8＝0，(x﹣2)(x﹣4)＝0，x﹣2＝0，x﹣4＝0，x1＝2，x2＝4，当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去，当x＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝13，故答案为：13．14．1 9【详解】解：观察这个图可知，阴影部分能够拼成4个小正方形，图中共有36个小正方形，∵阴影部分的面积：整个图形的面积=4:36=1 9，∴镖落在阴影部分的概率为19 P=，故答案为：1 9 .15．4.8【解析】由垂线段最短，可得AP⊥BC时，AP有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC的长，由菱形的面积公式可求解．【详解】设AC与BD的交点为O，∵点P是BC边上的一动点，∴AP⊥BC时，AP有最小值，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝12AC＝3，BO＝DO＝12BD＝4，∴5 BC===，∵12ABCD S AC BD BC AP =⨯⨯=⨯菱形，∴24 4.85AP ==，故答案为：4.8．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，确定当AP ⊥BC 时，AP 有最小值是本题关键．16．①②③【解析】【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证ABG ≌AFG ；在直角ECG 中，根据勾股定理可证BG GC =；通过证明AGB AGF GFC GCF ∠∠∠∠===，由平行线的判定可得AG //CF ；由于BG CG =，得到tan AGB 2∠=，求得AGB 60∠≠ ，根据平行线的性质得到FCG AGB 60∠∠=≠ ，求得GCF 不是等边三角形；【详解】四边形ABCD 是正方形，将ADE 沿AE 对折至AFE ，AB AD AF ∴==，在ABG 与AFG 中，90AB AF B AFG AG AG =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，ABG ≌AFG ；故①正确，1EF DE CD 23=== ，设BG FG x ==，则CG 6x =-，在直角ECG 中，根据勾股定理，得222(6x)4(x 2)-+=+，解得x 3=，BG 363GC ∴==-=；故②正确，CG BG GF == ，FGC ∴是等腰三角形，GFC GCF ∠∠=，又AGB AGF ∠∠=，AGB AGF 180FGC GFC GCF ∠∠∠∠∠+=-=+ ，AGB AGF GFC GCF ∠∠∠∠∴===，AG //CF ∴；故③正确，BG CG = ，1BG AB 2∴=，tan AGB 2∠∴=，AGB 60 ∠∴≠，AG //CF ，FCG AGB 60∠∠∴=≠ ，GCF ∴ 不是等边三角形；故④错误．综上所述：正确结论有①②③，故答案为①②③．【点睛】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想应用．17．（1）x 1＝3，x 2＝35；（2）x 1＝﹣4，x 2＝2【解析】【分析】（1）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得；（2）先整理成一般式，再利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得．【详解】解：（1）∵3（x ﹣3）＝5x （x ﹣3），∴3（x ﹣3）﹣5x （x ﹣3）＝0，则（x ﹣3）（3﹣5x ）＝0，∴x ﹣3＝0或3﹣5x ＝0，解得x 1＝3，x 2＝35；（2）整理成一般式，得：x 2+2x ﹣8＝0，∴（x+4）（x ﹣2）＝0，则x+4＝0或x ﹣2＝0，解得x 1＝﹣4，x 2＝2．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方法，选择适当的方法可使计算变的简便．18．12(2)m m -，12【解析】【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，利用因式分解法解出方程，根据分式有意义的条件得到m 的值，把m 的值代入计算，即可得解．【详解】解：2253263m m m m m +⎛⎫÷++ --⎝⎭，()2295233m m m m m +-+=÷--，()()()232322m m m m m m +-=⨯-+-，()122m m =-，解方程2210x x --=得：11x =，21x =，∴当1m =时，原式12==；当1m =时，原式12==；∴求值为12．【点睛】题目主要考查分式的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．19．树高5.5m ．【解析】【分析】先判定△DEF 和△DBC 相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC 的长，再加上AC 即可得解．【详解】解：在△DEF 和△DCB 中，D D DEF DCB ∠∠⎧⎨∠∠⎩＝＝，∴△DEF ∽△DCB ，∴DE EF DC CB =，即40208CB=解得BC=4，∵AC=1.5m ，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m ，即树高5.5m ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△DEF 和△DBC 相似是解题的关键．20．【解析】【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义证明∠ADE ＝∠AED ，根据等角对等边，即可求得AE 的长，在直角△ABE 中，利用勾股定理求得BE 的长．【详解】解：在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝BC ＝10，AB ＝CD ＝6．∠B ＝∠C ＝90°，∴∠ADE ＝∠CED ，∵ED 平分∠AEC ，∴∠AED ＝∠CED ，∴∠AED ＝∠ADE ，∴AD ＝AE ＝10，在Rt △ABE 中，根据勾股定理，得BE8，∴EC＝BC﹣BE＝10﹣8＝2，在Rt△DCE中，根据勾股定理，得DE＝设点A到DE的距离为h，则12AD•CD＝12DE•h，∴h＝．答：点A到DE的距离为．【点睛】本题考查勾股定理的综合应用，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义三角形面积公式及勾股定理是解题关键．21．（1）见解析；（2）小明获胜的概率大，见解析【解析】【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有4个，m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，然后根据概率公式求解．【详解】（1）树状图如图所示：所有(m，n)可能的结果有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)共12种结果；（2）∵m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解，∴m＝2，n＝3，或m＝3，n＝2，由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有4个（包括m ＝n ＝2，和m ＝n ＝3两种情况），m ，n 都不是方程x 2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，小明获胜的概率为41=123，小利获胜的概率为21=126，∴小明获胜的概率大．22．（1）证明见解析；（2）OE=2．【解析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．（2）根据菱形的性质和勾股定理求出2OA ==，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．【详解】（1）证明：∵AB//CD ，∴CAB ACD ∠=∠，∵AC 平分BAD ∠，∴CAB CAD ∠=∠，∴CAD ACD ∠=∠，∴AD CD =，又∵AD AB =，∴AB CD =，又∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵AB AD =，∴ABCD 是菱形．（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 交于点O ，∴AC BD ⊥，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==，∴112OB BD ==，在Rt △AOB 中，90AOB ∠=︒，∴2OA ==，∵CE AB ⊥，∴90AEC ∠=︒，在Rt △AEC 中，90AEC ∠=︒，O 为AC 中点，∴122OE AC OA ===．23．（1）有3对相似三角形，分别为：DFC AFE ∽，BCE AFE ∽，DFC BCE ∽；（2）92AF =．【解析】（1）由菱形的性质：∥DC AE ，BC AD ∥，进而证明：~DFC AFE ，~BCE AFE ，DFC BCE ∽；（2）由（1）可知：DFC AFE ∽，利用相似三角形的性质和已知条件即可求出DF 的长，进而求出AF 的长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴∥DC AE ，BC AD ∥，∴~DFC AFE ，~BCE AFE ，∴DFC BCE ∽，故：有3对相似三角形，分别为：DFC AFE ∽，BCE AFE ∽，DFC BCE ∽；（2）∵DFC AFE ∽，∴DF DC AF AE=，∵2BE AB ＝，3AB ＝，∴6BE =，9AE =，∴339DF DF =+，∴32DF =，∴39322AF AD DF =+=+=．24．（1）100+200x ；（2）1【解析】（1）销售量=原来销售量+增加销售量，列式即可得到结论；（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可得到结论．【详解】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是100+0.1x ×20=100+200x 斤；故答案为：100+200x ；（2）根据题意得：(42)(100200)300x x --+=，解得：x=12或x=1，∵每天至少售出260斤，∴100+200x≥260，∴x≥0.8，∴x=1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．25．（1）见解析；（2）PQ 的长不变，见解析；（3）AB+BF PB【解析】（1）连接PC ，由正方形的性质得到AB BC =，ABP CBP ∠=∠，然后依据全等三角形的判定定理证明APB CPB ≌，由全等三角形的性质可知PA PC =，PCB PAB ∠=∠，接下来利用四边形的内角和为360°可证明PFC PCF ∠=∠，于是得到PF PC =，故此可证明PF PA =；（2）连接AC 交BD 于点O ，依据正方形的性质可知AOB 为等腰直角三角形，于是可求得AO 的长，接下来，证明APO PFQ ≌，依据全等三角形的性质可得到PQ AO =；（3）过点P 作PM AB ⊥，PN BC ⊥，垂足分别为M ，N ，首先证明PBN 为等腰直角三角形于是得到BN PN +=，由角平分线的性质可得到PM PN =，然后再依据直角三角形全等的证明方法证明PAM PFN ≌可得到FN AM =，PM PN =，于是将AB BF +可转化为BN PN +的长．【详解】解：（1）证明：连接PC ，如图所示：∵ABCD 为正方形，∴AB BC =，ABP CBP ∠=∠，在APB 和CPB 中，AB BCABP CBP BP BP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴APB CPB ≌，∴PA PC =，PCB PAB ∠=∠，∵90ABF APF ∠=∠=︒，∴180PAB PFB ∠+∠=︒．∵180PFC PFB ∠+∠=︒，∴PFC PAB ∠=∠．∴PFC PCF ∠=∠．∴PF PC =，∴PF PA =；（2）PQ 的长不变．理由：连接AC 交BD 于点O，如图所示：∵PF AE ⊥，∴90APO FPQ ∠+∠=︒．∵FQ BD ⊥，∴90PFQ FPQ ∠+∠=︒．∴APO PFQ ∠=∠．又∵四边形ABCD 为正方形，∴90AOP PQF ∠=∠=︒，2AO =．在APO 和PFQ 中，AOP PQFAPO PFQ AP PF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴APO PFQ ≌．∴2PQ AO a ==；（3）如图所示：过点P 作PM AB ⊥，PN BC ⊥，垂足分别为M ，N ．∵四边形ABCD 为正方形，∴45PBN ∠=︒．∵PN BN ⊥，∴2BN PN BP ==，∴BN PN +=．∵BD 平分ABC ∠，PM AB ⊥，PN BC ⊥，∴PM PN =．在RT PAM 和RT PFN 中，PA PF PM PN =⎧⎨=⎩，∴PAM PFN ≌．∴AM FN =．∵90MBN BNP BMP ∠=∠=∠=︒，∴MB PN =．∴AB BF AM MB BF FN BF PN BN PN +=++=++=+=．【点睛】题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，等腰三角形的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些性质定理是解题关键．。
北师大版九年级上册数学期中测试卷及答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题（带答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：92．一个布袋里装有3个红球、2个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，则摸出的球是白球的概率是（）A．B．C．D．3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形4．对一元二次方程x2﹣ax=3进行配方时，两边同时加上（）A．）2B．C．D．a25．已知x：y=3：2，则下列各式中不正确的是（）A．B．C．D．6．在一个不透明的袋中，有若干个白色乒乓球和4个黄色乒乓球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在40%，那么，估计袋中白色乒乓球的个数为（）A．6 B．8 C．10 D．127．如图，△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，DE=4，则BC的值为（）A．24 B．12 C．8 D．68．若方程3（x﹣7）（x﹣2）=k的根是7和2，则k的值为（）A．0 B．2 C．7 D．2或79．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°10．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=2二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共211．一元二次方程x2+2x+a=0有实根，则a的取值范围是．12．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是cm2．13．如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是米．14．某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是．15．在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为．16．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的面积为．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．8分）解方程：（1）x2﹣3x=0（2）3x2+2x﹣5=0．18．8分）如图，在已知的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，若A，B两点的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，3）．（1）以点O为位似中心，与△ABC位似的△A1B1C1满足A1B1：AB=2：1，请在网格内画出△A1B1C1；（2）A1的坐标是，C1的坐标是．19．8分）如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．20．（8分）如图，某校在开展积极培育和践行社会主义核心价值观的活动中，小光同学将自己需要加强的“文明”、“友善”、“法治”、“诚信”的价值取向文字分别贴在4张质地、大小完全一样的硬纸板上，制成卡片，随时提醒自己要做个遵纪守法的好学生．小光同学还把卡片编成一道数学题考同桌小亮：将这4张卡片洗匀后背面朝上放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取另一张卡片，让小亮同学用列表法或画树状图法，求出两次抽到卡片上的文字含有“文明”、“诚信”价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．21．8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣2）2=3m﹣1有两个不相等的实数根，求m的取值范围．22．10分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E 为AB的中点，连接CE，连接DE交AC于F．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）若AD=4，AB=6，求的值．23．（10分）某超市在销售中发现：“宝宝乐”牌童装进价为60元，当定价为100元时，平均每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：如果每件童装降价5元，那么平均每天就可多售出10件，要想平均每天盈利1200元，那么每件童装应该降价多少元？24．（12分）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作后，余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，例如：如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．（1）理解与判断：邻边长分别为1和3的平行四边形是阶准菱形；邻边长分别为3和4的平行四边形是阶准菱形；（2）操作、探究与计算：①已知▱ABCD的邻边长分别为2，a（a＞2），且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；②已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=7b+r，b=4r，请写出▱ABCD是几阶准菱形．25．1如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：（1）求证：△BEF∽△DCB；（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．A；2．C；3．D；4．A；5．D；6．A；7．B；8．A；9．D；10．B；二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共211．a≤1； 12．20； 13．18； 14．25%； 15．5； 16．；三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．18．19．20．21．22．23．24．25．北师大版九年级上册数学期中考试试题（带答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：92．一个布袋里装有3个红球、2个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，则摸出的球是白球的概率是（）A．B．C．D．3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形4．对一元二次方程x2﹣ax=3进行配方时，两边同时加上（）A．）2 B．C．D．a25．已知x：y=3：2，则下列各式中不正确的是（）A．B．C．D．6．在一个不透明的袋中，有若干个白色乒乓球和4个黄色乒乓球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在40%，那么，估计袋中白色乒乓球的个数为（）A．6 B．8 C．10 D．127．如图，△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，DE=4，则BC的值为（）A．24 B．12 C．8 D．68．若方程3（x﹣7）（x﹣2）=k的根是7和2，则k的值为（）A．0 B．2 C．7 D．2或79．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°10．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=2二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共211．一元二次方程x2+2x+a=0有实根，则a的取值范围是．12．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是cm2．13．如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是米．14．某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是．15．在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为．16．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的面积为．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．8分）解方程：（1）x2﹣3x=0（2）3x2+2x﹣5=0．18．8分）如图，在已知的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，若A，B两点的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，3）．（1）以点O为位似中心，与△ABC位似的△A1B1C1满足A1B1：AB=2：1，请在网格内画出△A1B1C1；（2）A1的坐标是，C1的坐标是．19．8分）如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．20．（8分）如图，某校在开展积极培育和践行社会主义核心价值观的活动中，小光同学将自己需要加强的“文明”、“友善”、“法治”、“诚信”的价值取向文字分别贴在4张质地、大小完全一样的硬纸板上，制成卡片，随时提醒自己要做个遵纪守法的好学生．小光同学还把卡片编成一道数学题考同桌小亮：将这4张卡片洗匀后背面朝上放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取另一张卡片，让小亮同学用列表法或画树状图法，求出两次抽到卡片上的文字含有“文明”、“诚信”价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．21．8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣2）2=3m﹣1有两个不相等的实数根，求m的取值范围．22．10分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E 为AB的中点，连接CE，连接DE交AC于F．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）若AD=4，AB=6，求的值．23．（10分）某超市在销售中发现：“宝宝乐”牌童装进价为60元，当定价为100元时，平均每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：如果每件童装降价5元，那么平均每天就可多售出10件，要想平均每天盈利1200元，那么每件童装应该降价多少元？24．（12分）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作后，余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，例如：如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．（1）理解与判断：邻边长分别为1和3的平行四边形是阶准菱形；邻边长分别为3和4的平行四边形是阶准菱形；（2）操作、探究与计算：①已知▱ABCD的邻边长分别为2，a（a＞2），且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；②已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=7b+r，b=4r，请写出▱ABCD是几阶准菱形．25．1如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：（1）求证：△BEF∽△DCB；（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．A；2．C；3．D；4．A；5．D；6．A；7．B；8．A；9．D；10．B；二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共211．a≤1； 12．20； 13．18； 14．25%； 15．5； 16．；三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．18．19．20．21．22．23．24．25．数学学习——了解每道题中蕴含的规律对于很多中学生来讲,数学似乎都是他们的“硬伤”。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷含答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．若x 2﹣3x 的值等于零，则x 的值为（）A ．﹣3B ．0C ．0或3D ．0或﹣32．若234a b c==，a ﹣b+c ＝18，则a 的值为（）A ．11B ．12C ．13D ．143．若两个等腰直角三角形斜边的比是1：3，则它们的面积比是（）A ．1：4B ．1：6C ．1：9D ．1：104．三角形两边的长是2和4，第三边的长是方程x 2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为（）A ．11B ．13C ．11或13D ．以上都不对5．如图，P 是直角△ABC 斜边AB 上任意一点（A ，B 两点除外），过点P 作一条直线，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线可以作（）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条6．如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，BE ＝CF ＝2，CE 与DF 交于点H ，点G 为DE 的中点，连接GH ，则GH 的长为（）AB C ．4.5D ．4.37．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，在DC 的延长线上取一点E ，连接OE 交BC 于点F ，若AB ＝4，BC ＝6，CE ＝1，则CF 的长为（）AB ．1.5C D ．18．如图，在正方形ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E 、F ，连接BD 、DP ，BD 与CF 交于点H ．下列结论：①CF ＝2AE ；②△DFP ∽△BPH ；③DP 2＝PH•PC ；④PE ：BC ＝（3）：3．正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题9．一个不透明的口袋中装有10个黑球和若干个白球，小球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一球记下颜色，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，由此估计口袋中白球的个数约为_____个．10．已知线段AB ＝4cm ，C 是AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC ＝_____．11．若关于y 的一元二次方程24334ky y y --=+有实根，则k 的取值范围是______12．如图，矩形ABCD 的两条对角线AC ，BD 交于点O ，∠AOB ＝60°，AB ＝3，则矩形的周长为_____．13．如图，菱形ABCD 的周长为16cm ，BC 的垂直平分线EF 经过点A ，则对角线BD 长为_____________cm ．14．某超市第二季度的营业额为200万元，第四季度的营业额为288万元．如果每季度营业额的平均增长率相同，那么每季度的平均增长率为_____．15．如图，正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为_____．16．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为_____．三、解答题17．计算：（1）3x2+3＝7x；（用配方法解方程）（2）4y（3﹣y）＝（y﹣3）2．18．如图在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，顶点坐标分别为：A（﹣2，0），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．（1）做出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在y轴右侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的相似比是2：1；（3）若M（x，y）是线段AB上一点，则点M关于y轴对称的对应点M1的坐标为．19．为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛．（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是______；（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．20．某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？21．如图，△ABC中，AB＝AC，D、F分别为BC、AC的中点，连接DF并延长到点E，使DF＝FE，连接AE、AD、CE．（1）求证：四边形AECD是矩形．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECD是正方形，并说明理由．22．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上一点，且△ACE 是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝a，求四边形ABCD的面积．23．如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s 的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的2 9；（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．24．如图，过矩形ABCD（AD＞AB）的对角线AC的中点O作AC的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，分别连接AF和CE．（1）判断四边形AFCE是什么特殊四边形，并证明；（2）过点E作AD的垂线交AC于点P，求证：2AE2＝AC•AP．25．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．①求证：△AOC1≌△BOD1；②请直接写出AC1与BD1的位置关系；（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC＝3，BD＝5，设AC1＝kBD1．判断AC1与BD1的位置关系，请说明理由，并求出k的值．（3）如图3，若四边形ABCD 是平行四边形，AC ＝6，BD ＝12，连接DD 1，设AC 1＝kBD 1．请直接写出k 的值和AC 12+（kDD 1）2的值．参考答案1．C 【解析】根据题意得出x 2﹣3x ＝0，再利用因式分解法求解即可．【详解】解：根据题意，得：x 2﹣3x ＝0，∴x （x ﹣3）＝0，则x ＝0或x ﹣3＝0，解得x 1＝0，x 2＝3，则x 的值为：0或3．故选：C ．2．B 【解析】设234a b c==＝k ，则可利用k 分别表示a 、b 、c ，再利用a ﹣b+c ＝18，所以2k ﹣3k+4k ＝18，然后解k 的方程，从而得到a 的值．【详解】解：设234a b c==＝k ，∴a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，∵a ﹣b+c ＝18，∴2k ﹣3k+4k ＝18，解得k ＝6，∴a ＝2×6＝12故选：B ．3．C 【解析】根据相似三角形的判定与性质即可得出答案．【详解】解：如图，△ABC 与△DEF 都为等腰直角三角形，且EF ：AB ＝1：3，则△ABC ∽△EFD ，∴21(9EFD ABC S EF S AB ∆∆==，故选：C ．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．4．A 【解析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，最后求出三角形的周长即可．【详解】解：解方程x2﹣12x+35＝0得：x＝7或5，当三角形的三边为2，4，7时，2+4＜7，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形；当三角形的三边为2，4，5时，符合三角形的三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长是2+4+5＝11；综合上述：三角形的周长是11，故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键．5．B【解析】根据已知及相似三角形的判定方法（或平行线截线段成比例）进行分析，从而得到最后答案．【详解】解：如图，过点P可作PE∥BC或PE″∥AC，∴△APE∽△ABC、△PBE″∽△ABC；过点P还可作PE′⊥AB，可得：∠EPA＝∠C＝90°，∠A＝∠A∴△APE∽△ACB；∴满足这样条件的直线的作法共有3种．故选：B6．A【解析】根据正方形的四条边都相等可得BC＝DC，每一个角都是直角可得∠B＝∠DCF＝90°，然后利用“边角边”证明△CBE≌△DCF，得∠BCE＝∠CDF，进一步得∠DHC＝∠DHE＝90°，从而知GH ＝12DE ，利用勾股定理求出DE 的长即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝∠DCF ＝90°，BC ＝DC ，在△CBE 和△DCF 中，BC CC B DCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CBE ≌△DCF （SAS ），∴∠BCE ＝∠CDF ，∵∠BCE+∠DCH ＝90°，∴∠CDF+∠DCH ＝90°，∴∠DHC ＝∠DHE ＝90°，∵点G 为DE 的中点，∴GH ＝12DE ，∵AD ＝AB ＝6，AE ＝AB ﹣BE ＝6﹣2＝4，∴DE ===∴GH故选A ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．7．D 【解析】【分析】过O 作OM ∥BC 交CD 于M ，根据平行四边形的性质得到BO ＝DO ，CD ＝AB ＝4，AD ＝BC ＝6，根据三角形的中位线的性质得到CM ＝12CD ＝2，OM ＝12BC ＝3，通过△CFE ∽△MOE ，根据相似三角形的性质得到CF CE OM EM=，代入数据即可得到结论．【详解】解：过O作OM∥BC交CD于M，在▱ABCD中，BO＝DO，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，∴CM＝12CD＝2，OM＝12BC＝3，∵OM∥CF，∴△CFE∽△MOE，∴CFOM＝CEEM，即1 33 CF，∴CF＝1．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题．8．D【解析】【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．【详解】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，在正方形ABCD中，∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠DCF＝30°，∴BE＝2AE，∵AD∥BC，∴∠FEP＝∠PBC，∠EFP＝∠PCB，∵∠EPF＝∠BPC，∴∠FEP＝∠EFP＝∠EPF＝60°，∴△EFP是等边三角形，∴BE＝CF，∴CF＝2AE，故①正确；∵PC＝CD，∠PCD＝30°，∴∠PDC＝75°，∴∠FDP＝15°，∵∠DBA＝45°，∴∠PBD＝15°，∴∠FDP＝∠PBD，∵∠DFP＝∠BPC＝60°，∴△DFP∽△BPH，故②正确；∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴DP PH PC DP，∴DP2＝PH•PC，故③正确；∵∠ABE＝30°，∠A＝90°，∴AE，∵∠DCF＝30°，∴DF，∴EF＝AE+DF﹣BC﹣BC，∴FE：BC＝（3）：3，∵EF＝PE，∴PE：BC＝（3）：3，故④正确，综上，四个选项都正确，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．9．20【解析】【分析】先由频率＝频数÷数据总数计算出频率，再由题意列出方程求解即可．【详解】解：摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是50150＝13，设口袋中大约有x个白球，则1010x+＝13，解得x＝20，经检验x＝20是原方程的解，估计口袋中白球的个数约为20个．故答案为：20．【点睛】本题考查了用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是得到关于黑球的概率的等量关系．10．2##2-+【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，知AC是较长线段；所以AC AB，代入数据即可得出AC 的长度．【详解】解：由于C为线段AB＝4的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC ＝12AB ＝12-×4＝2．故答案为：．【点睛】本题考查了黄金分割问题，理解黄金分割点的概念．要求熟记黄金比的值．11．74k ≥-且0k ≠【解析】【分析】先将方程化为一般形式2770--=ky y ，根据方程有实数根得到.【详解】∵24334ky y y --=+,∴2770--=ky y ∵一元二次方程有实根，∴∆0≥，且0k ≠，∴49+28k 0≥，解得74k ≥-，故答案为：74k ≥-且0k ≠.12．6+6+【解析】根据矩形性质得出AD ＝BC ，AB ＝CD ，∠BAD ＝90°，OA ＝OC ＝12AC ，BO ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD ，推出OA ＝OB ＝OC ＝OD ，得出等边三角形AOB ，求出BD ，根据勾股定理求出AD 即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，OA ＝OC ＝12AC ，BO ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD ，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∵∠AOB＝60°，OB＝OA，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝3，∴OA＝OB＝AB＝3，∴BD＝2OB＝6，在Rt△BAD中，AB＝3，BD＝6，由勾股定理得：AD＝∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝∴矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD＝故答案为：13．【详解】试题分析：连接AC，∵菱形ABCD的周长为16cm，∴AB=4cm，AC⊥BD，∵BC的垂直平分线EF经过点A，∴AC=AB=4cm，∴OA=12AC=2cm，∴，∴．故答案为考点：菱形的性质；线段垂直平分线的性质．14．20%【解析】先设增长率为x，那么第四季度的营业额可表示为200（1+x）2，已知第四季度营业额为288万元，即可列出方程，从而求解．【详解】解：设每季度的平均增长率为x，根据题意得：200（1+x ）2＝288，解得：x ＝﹣2.2（不合题意舍去），x ＝0.2，则每季度的平均增长率是20%．故答案为：20%15．【解析】由正方形的对称性可知，PB ＝PD ，当B 、P 、E 共线时PD+PE 最小，求出BE 即可．【详解】解：∵正方形中B 与D 关于AC 对称，∴PB ＝PD ，∴PD+PE ＝PB+PE ＝BE ，此时PD+PE 最小，∵正方形ABCD 的面积为18，△ABE 是等边三角形，∴BE ＝，∴PD+PE 最小值是故答案为：．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．16．（14）n-1【解析】【详解】试题分析：已知第一个矩形的面积为1；第二个矩形的面积为原来的（14）2-1=14；第三个矩形的面积是（14）3-1=116；…故第n 个矩形的面积为：11()4n -．考点：1.矩形的性质；2.菱形的性质．17．（1）1x =2x =；（2）13y =，235y =【解析】【分析】（1）先移项，再方程两边都除以3，再根据完全平方公式配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．【详解】解：（1）3x 2+3＝7x ，移项，得3x 2﹣7x ＝﹣3，除以3，得x 2﹣73x ＝﹣1，配方，得x 2﹣73x+（76）2＝﹣1+（76）2，即（x ﹣76）2＝1336，开方，得x ﹣76＝，解得：x 1，x 2＝76；（2）4y （3﹣y ）＝（y ﹣3）2，移项，得﹣4y （y ﹣3）﹣（y ﹣3）2＝0，（y ﹣3）（﹣4y ﹣y+3）＝0，y ﹣3＝0或﹣4y ﹣y+3＝0，解得：y 1＝3，235y =．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并根据方程的特征选用合适的方法是解题的关键．18．（1）见解析；（2）见解析；（3）(,)x y 【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A ，B ，C 的对应点A 1，B 1，C 1即可；（2）利用位似变换的性质分别作出A ，B ，C 的对应点A 2，B 2，C 2即可；（3）利用轴对称的性质求解即可．【详解】解：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如图，△A 2B 2C 2即为所求；（3）若M （x ，y ）是线段AB 上一点，则点M 关于y 轴对称的对应点M 1的坐标为（﹣x ，y ）．．【点睛】本题考查作图-位似变换，作图-轴对称变换，作图-相似变换等知识，解题的关键是掌握轴对称变换，位似变换的性质，属于中考常考题型．19．（1）13；（2）23【解析】【分析】（1）由一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中女生乙的有1种，即可求得答案；（2）先求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：（1）∵已确定女生甲参加比赛，再从其余3名同学中随机选取1名有3种结果，其中恰好选中女生乙的只有1种，∴恰好选中乙的概率为13；故答案为：13；（2）分别用字母A ，B 表示女生，C ，D 表示男生画树状如下：4人任选2人共有12种等可能结果，其中1名女生和1名男生有8种，∴P （1女1男）82123==．答：所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是23．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．【解析】【分析】设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．【详解】解：设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x 元，由题意，得(360280)(560)7200x x --+=，解得：18x =，260x =．有利于减少库存，x∴=．60答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．【点睛】本题考查了销售问题的数量关系利润=售价-进价的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解题的关键是根据销售问题的数量关系建立方程．21．（1）见解析；（2）∠BAC＝90°，理由见解析【解析】【分析】（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AECD是平行四边形，进而理由等腰三角形的性质得出∠ADB＝90°，即可得出答案；（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD＝BD＝CD，进而利用正方形的判定得出即可．【详解】（1）证明：∵D、F分别为BC、AC的中点，使DF＝FE，∴CF＝FA，∴四边形AECD是平行四边形，∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴平行四边形AECD是矩形；（2）解：当∠BAC＝90°时，四边形AECD是正方形，理由如下：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的中线，∴AD＝BD＝CD，∵四边形AECD是矩形，∴矩形AECD是正方形．【点睛】此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形和矩形的判定是解题关键．22．（1）见解析；（2）正方形ABCD的面积为2a【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得EO ⊥AC ，即BD ⊥AC ，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论；（2）证明菱形ABCD 是正方形，即可得出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝OC ，∵△ACE 是等边三角形，∴EO ⊥AC （三线合一），即BD ⊥AC ，∴▱ABCD 是菱形；（2）解：∵△ACE 是等边三角形，∴∠EAC ＝60°由（1）知，EO ⊥AC ，AO ＝OC∴∠AEO ＝∠OEC ＝30°，△AOE 是直角三角形，∵∠AED ＝2∠EAD ，∴∠EAD ＝15°，∴∠DAO ＝∠EAO ﹣∠EAD ＝45°，∵▱ABCD 是菱形，∴∠BAD ＝2∠DAO ＝90°，∴菱形ABCD 是正方形，∴正方形ABCD 的面积＝AB 2＝a 2．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识，证明四边形ABCD 为菱形是解题的关键．23．（1）14t =，22t =；（2）t ＝3或245【解析】【分析】（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值．【详解】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，∴△AMN的面积＝12AN•AM＝12×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2，∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm∴△ABD的面积为12AB•AD＝12×6×12＝36，∵△AMN的面积是△ABD面积的2 9，∴6t﹣t2＝236 9⨯，∴t2﹣6t+8＝0，解得t1＝4，t2＝2，答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的2 9；（2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，若△AMN∽△ABD，则有AM ANAB AD=，即122612t t-=，解得t＝3，若△AMN∽△ADB，则有AM ANAD AB=，即122126t t-=，解得t＝24 5，答：当t＝3或245时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键．24．（1）四边形AFCE是菱形，见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由过矩形ABCD （AD ＞AB ）的对角线AC 的中点O 作AC 的垂直平分线EF ，易证得△AOE ≌△COF ，即可得EO ＝FO ，则可证得四边形AFCE 是平行四边形，又由EF ⊥AC ，可得四边形AFCE 是菱形；（2）由∠AEP ＝∠AOE ＝90°，∠EAP ＝∠OAE ，可证得△AOE ∽△AEP ，又由相似三角形的对应边成比例，即可证得2AE 2＝AC•AP ．【详解】证明：（1）四边形AFCE 是菱形．理由：由已知可知：AO ＝CO ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠FCO ，∠AEO ＝∠CFO ，在△AOE 和△COF 中，EAO FCO AEO CFO AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△COF （AAS ），∴EO ＝FO ，∴四边形AFCE 是平行四边形，∵AC ⊥EF ，∴四边形AFCE 是菱形；（2）∵∠AEP ＝∠AOE ＝90°，∠EAP ＝∠OAE ，∴△AOE ∽△AEP ，∴AO AE ＝AE AP，∴AE 2＝AO•AP ，又AC ＝2AO ，∴2AE 2＝AC•AP ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的性质、菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握数形结合思想的应用．25．（1）①见解析；②AC 1⊥BD 1；（2）AC 1⊥BD 1，见解析，35k =；（3）12k =，2211()36AC kDD +=【解析】【分析】（1）①由“SAS”可证△AOC 1≌△BOD 1；②由全等三角形的性质可得∠OBD 1＝∠OAC 1，可证点A ，点B ，点O ，点P 四点共圆，可得结论；（2）由菱形的性质可得OC ＝OA ＝12AC ，OD ＝OB ＝12BD ，AC ⊥BD ，由旋转的性质可得OC 1＝OC ，OD 1＝OD ，∠COC 1＝∠DOD 1，通过证明△AOC 1∽△BOD 1，可得∠OAC 1＝∠OBD 1，由余角的性质可证AC 1⊥BD 1，由比例式可求k 的值；（3）与（2）一样可证明△AOC 1∽△BOD 1，可得11112122AC AC OA AC BD OB BD BD ====，可求k 的值，由旋转的性质可得OD 1＝OD ＝OB ，可证△BDD 1为直角三角形，由勾股定理可求解．【详解】证明：（1）①如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴OC ＝OA ＝OD ＝OB ，AC ⊥BD ，∴∠AOB ＝∠COD ＝90°，∵△COD 绕点O 按逆时针方向旋转得到△C 1OD 1，∴OC 1＝OC ，OD 1＝OD ，∠COC 1＝∠DOD 1，∴OC 1＝OD 1，∠AOC 1＝∠BOD 1＝90°+∠AOD 1，在△AOC 1和△BOD 1中，1111OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC 1≌△BOD 1（SAS ）；②AC 1⊥BD 1；理由如下：∵△AOC 1≌△BOD 1，∴∠OBD 1＝∠OAC 1，∴点A ，点B ，点O ，点P 四点共圆，∴∠APB ＝∠AOB ＝90°，∴AC 1⊥BD 1；（2）AC 1⊥BD 1，理由如下：如图2，∵四边形ABCD 是菱形，∴OC ＝OA ＝12AC ，OD ＝OB ＝12BD ，AC ⊥BD ，∴∠AOB ＝∠COD ＝90°，∵△COD 绕点O 按逆时针方向旋转得到△C 1OD 1，∴OC 1＝OC ，OD 1＝OD ，∠COC 1＝∠DOD 1，∴OC 1＝OA ，OD 1＝OB ，∠AOC 1＝∠BOD 1，∴11OCOA OD OB=，∴△AOC 1∽△BOD 1，∴∠OAC 1＝∠OBD 1，又∵∠AOB ＝90°，∴∠OAB+∠ABP+∠OBD 1＝90°，∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1＝90°，∴∠APB ＝90°∴AC 1⊥BD 1；∵△AOC 1∽△BOD 1，∴11132152AC AC OA AC BD OB BD BD ====，∴k ＝35；（3）如图3，与（2）一样可证明△AOC 1∽△BOD 1，∴11112122AC AC OA AC BD OB BD BD ====，∴k ＝12；∵△COD 绕点O 按逆时针方向旋转得到△C 1OD 1，∴OD 1＝OD ，而OD ＝OB ，∴OD 1＝OB ＝OD ，1111,BD O OBD DD O ODD ∠=∠∠=∠，∴1111BD O DD O OBD ODD ∠+∠=∠+∠，∴190BD D ∠=︒，∴△BDD 1为直角三角形，在Rt △BDD 1中，BD 12+DD 12＝BD 2＝144，∴（2AC 1）2+DD 12＝144，∴AC 12+（kDD 1）2＝36．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，图形的旋转，圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．。
新北师大版九年级数学上册期中五校联考.doc
新北师大版九年级数学上册期中五校联考考试时间：90分钟第一部分 选择题（本部分共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出4个选项，其中只有一个正确） 1.方程x 2=4x 的解是（ ）A ． x=4B ． x=2C ． x=4或x=0D ． x=0 2.矩形的面积一定，则它的长和宽的关系是（ ）A ． 正比例函数B ． 一次函数C ． 反比例函数D ． 二次函数 3.如图，下列条件不能判定△ADB ∽△ABC 的是（ ） A ．∠ABD=∠ACB B ．∠ADB=∠ABC C ．AB 2=AD•AC D ．AD ABAB BC4.用配方法解方程x 2-4x-2=0,变形后为（ ）A.（x-2）2=6 B.（x-4）2= 6 C.（x-2）2= 2 D.（x+2）2=65.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是（ ） A ． 24 B ． 18 C ． 16 D ． 66.关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋2=0的根的情况是（ ） A 、有两个不相等的实数根 B 、有两个相等的实数根 C 、无实数根 D 、有无实数根，无法判断 7. 在同一直角坐标系中，函数y=xk与y=kx+3的图像大致是（ ）A B C D 8.如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE ∥AC ，若 S △BDE ：S △CDE =1：3，则S △DOE ：S △AOC 的值为（ ）A ．13B ．14C ．19D ．1169.顺次连结一个四边形各边中点所得的四边形必定是( )。
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形. 10．如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，位似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD ．若B （1，0），则点C 的坐标为（ ）A ．（1，2）B ．（1，1）C ．（，）D ．（2，1）11.如图，下列一束束“鲜花”都是由一定数量形状相同且边长为1的菱形按照一定规律组 成，其中第①个图形含边长为1的菱形3个，第②个图形含边长为1的菱形6个，第③个图形含边长为1的菱形10个，... ...，按此规律，则第⑦个图形中含边长为1的菱形的个数为（ ）第3题图第8题图第10题图A.36B.38C.34D.28 12题图12.如图，在x 轴的上方，直角∠BOA绕原点O 按顺时针方向旋转，若∠BOA 的两边分别与函数y =﹣、y =的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 的大小的变化趋势为（ ）A ．逐渐变小B ．逐渐变大C ．无法确定D ．保持不变第二部分 非选择题二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）13.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为_____． 14.已知，粉笔盒里有4支红色粉笔和n 支白色粉笔，每支粉笔除颜 色外均相同，现从中任取一支粉笔，取出红色粉笔的概率是n2， 则n ＝ 。
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期中检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为( C )
A.15
B.25
C.35
D.45
2．方程x 2－3x －6＝0的根的情况是( A )
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法确定
3．矩形具有而菱形不具有的性质是( B )
A ．两组对边分别平行且相等
B ．对角线相等
C ．相邻两角互补
D ．两组对角分别相等
4．下列条件中能使平行四边形ABCD 为菱形的是( A )
①AC ⊥BD ；②∠BAD ＝90°；③AB ＝BC ；④AC ＝BD .
A ．①③
B ．②③
C ．③④
D ．①②③
5．一元二次方程x 2－3x －1＝0的两实数根是x 1，x 2，则x 1＋x 2－x 1·x 2的值是( A )
A ．4
B ．2
C ．－2
D ．－4
6．要从小强、小华和小林三人中随机选两人作为旗手，则小强和小林同时入选的概率是( B )
A.23
B.13
C.12
D.16
7．某种商品的原价为36元/盒，经过连续两次降价后的售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x ，根据题意所列方程正确的是( C )
A ．36(1－x )2＝36－25
B ．36(1－2x )＝25
C ．36(1－x )2＝25
D ．36(1－x 2)＝25
8．若实数x ，y 满足(x 2＋y 2＋1)(x 2＋y 2－2)＝0，则x 2＋y 2的值是( B )
A ．1
B ．2
C ．2或－1
D ．－2或－1
9．关于x 的一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0有两个实根，则实数k 的取值范围是( C )
A ．k ≤1
B ．k <1
C ．k ≤1且k ≠0
D ．k <1且k ≠0
10．如图，在菱形ABCD 中，点E 是AB 边上一点，且∠A ＝∠EDF ＝60°，有下列结
论：①AE ＝BF ；②△DEF 是等边三角形；③△BEF 是等腰三角形；④∠ADE ＝∠BEF.其中结论正确的个数是( A )
A ．3个
B ．4个
C ．1个
D ．2个
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．关于x 的方程x 2＋mx －6＝0有一根为2，则另一根是__－3__，m ＝__1__．
12．在一个不透明的口袋中装有仅颜色不同的红、白两种小球，其中红球3个，白球n
个，若从袋中任取一个球，摸出白球的概率是45
，则n ＝__12__． 13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12
AC ，BC ＝3，则OB ＝__1__． 14．如图，某小区规划在一个长30 m ，宽20 m 的长方形ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积
都为78 m 2，那么通道的宽应设计成多少m ？设通道的宽为x m ，由题意列得方程__(30－2x )(20－x )＝6×78__．
,第13题图) ,第14题图)
,第15题图)
15．如图，是一个菱形衣挂的平面示意图，每个菱形的边长为16 cm ，当锐角∠CAD ＝
60°时，把这个衣挂固定在墙上，两个钉子CE 之间的距离是结果保留根号)
16．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号1，2，3，4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和等于4的概率是__316
__． 三、解答题(共72分)
17．(10分)解方程：
(1)－12
x 2－3x ＋6＝0； (2)x ＋5＝x 2－25. x 1＝－3＋21，x 2＝－3－21 x 1＝－5，x 2＝6
18．(10分)如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等．小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用下列游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．
列表略．所有等可能的情况有9种，其中两数之积为偶数的情况有5种，两数之积为奇
数的情况有4种，∴P (小明获胜)＝59，P (小华获胜)＝49.∵59＞49
，∴该游戏不公平
19．(10分)现有5个质地、大小完全相同的小球上分别标有数字－1，－2，1，2，3.先将标有数字－2，1，3的小球放在第一个不透明的盒子里，再将其余小球放在第二个不透明的盒子里．现分别从这两个盒子里各随机取出一个小球．
(1)请利用列表或画树状图的方法表示取出的两个小球上的数字之和所有可能的结果；
(2)求取出两个小球上的数字之和等于0的概率．
(1)树状图如图所示：
(2)由树状图可知所有可能出现的结果共有6种，∴P (和为0)＝26＝13
20．(10分)如图，四边形ABCD 是矩形，把矩形沿AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 与DC 的交点为O ，连接DE.
(1)求证：△ADE ≌△CED ；
(2)求证：DE ∥AC.
(1)∵ 四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD.又∵AC 是折痕，∴BC ＝CE ＝AD ，
AB ＝AE ＝CD.又DE ＝ED ，∴△ADE ≌△CED (2)∵△ADE ≌△CED ，∴∠EDC ＝∠DEA.又∵△ACE 与△ACB 关于AC 所在直线对称，∴∠OAC ＝∠CAB.又∵∠OCA ＝∠CAB ，∴∠OAC ＝∠OCA.∵∠DOE ＝∠AOC ，∴2∠OAC ＝2∠DEA ，∴∠OAC ＝∠DEA ，∴DE ∥AC
21．(10分)在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝12 cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm /s 的速度运动，同时点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm /s 的速度运动，P ，Q 两点分别到达B ，C 两点后停止移动，那么几秒后△PBQ 的面积是5 cm 2?
设x 秒后△PBQ 的面积为5 cm 2，则12(6－x )·2x ＝5，解得x 1＝1，x 2＝5.答：1秒或5秒后，△PBQ 的面积是5 cm 2
22．(10分)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500 kg ，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10 kg .针对这种水产品的销售情况，请回答以下问题：
(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和销售利润；
(2)商店想在月销售成本不超过10 000元的情况下，使月销售利润达到8 000元，销售单价应定为多少？
(1)450 kg 6 750元 (2)设销售单价为x 元，则(x －40)[500－10(x －50)]＝8 000，解得x 1＝60，x 2＝80，当x ＝60时，月销售成本超过了10 000元，应舍去．因此，销售单价为每千克80元
23．(12分)猜想与证明：
如图①摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ，使B ，C ，G 三点在一条直线上，CE
在边CD 上，连接AF ，若点M 为AF 的中点，连接DM ，ME ，试猜想DM 与ME 的关系，并证明你的结论．
拓展与延伸：
(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，其他条件不变，则DM 和ME 的关系为__DM ＝ME __；
(2)如图②摆放正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，使点F 在边CD 上，点M 仍为AF 的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．
证明：如图①，延长EM 交AD 于点H ，
∵四边形ABCD 和ECGF 是矩形，∴AD ∥EF ，∴∠EFM ＝∠HAM ，又∵∠FME ＝
∠AMH ，FM ＝AM ，∴在△FME 和△AMH 中，⎩⎨⎧∠EFM ＝∠HAM ，
FM ＝AM ，∠FME ＝∠AMH ，
∴△FME ≌△
AMH (ASA )∴HM ＝EM.在Rt △HDE 中，HM ＝EM ，∴DM ＝HM ＝ME ，∴DM ＝ME
(1)DM ＝ME (2)如图②，连接AE ，∵四边形ABCD 和ECGF 是正方形，∴∠FCE ＝45°，∠FCA ＝45°，∴AE 和EC 在同一条直线上，在Rt △ADF 中，AM ＝MF ，∴DM ＝AM ＝MF ，在Rt △AEF 中，AM ＝MF ，∴AM ＝MF ＝ME ，∴DM ＝ME。