第五讲 定积分的微元法 定积分在几何中的应用(一).

第五讲 定积分的微元法 定积分在几何中的应用（一）
一、定积分的微元法
由引入定积分概念的两个实例不难看出，可用定积分所求的量A 具有以下三个特点：
1、量A 是分布在区间],[b a 上的整体量，即A 与区间],[b a 有关，在],[b a 上连续分布。

2、量A 具有可加性，即整体量等与部分量的和：1n
i i A A ==∆∑；
3、量A 在区间],[b a 上的分布是非均匀的。

现在来讨论如何用定积分解决一些实际问题。

复习求曲边梯形面积的方法，给出微元法的概念。

设)(x f 在区间],[b a 上连续，且0)(≥x f ，求以曲线)(x f y =为曲边的],[b a 上的曲边梯形的面积A ．把这个面积A 表示为定积分⎰=b
a dx x f A )(，求面积A 的思路是“分割、取近似、求和、取极限”即：
1、分割 将],[b a 分成n 个小区间，相应地把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，其面积记作),,2,1(n i A i =∆，则∑=∆=n
i i A A 1；
2、取近似 计算每个小区间上面积i A ∆的近似值i i i x f A ∆≈∆)(ξ
)(1n i i x x ≤≤-ξ；
3、求和 求和得A 的近似值∑=∆≈n
i i i x f A 1
)(ξ；
4、取极限 取极限得⎰∑=∆==→b
a n
i i i dx x f x f A )()(lim 1
ξλ．
为了以后使用方便，为],[b a ，
1、无限细分，化整为零
细分区间],[b a ，从中任取一小区间],[dx x x +
（dx x =∆），并求出相应于这个小区间的部分量A ∆()A f x dx ∆≈；
2、连续求和，积零为整
在0dx →时，将A ∆从a 到b 连续求和，则有：(b
a A f =⎰由于A 与区间],[
b a 有关，且在],[b a 上限函数的定义则有：()()x
a A x f x dx =⎰，从而，
()()()x
a
dA dA x d f x dx f x dx ===⎰，()()b
b
b
a
a
a
A dA dA x f x dx ===⎰⎰⎰；
由此不难看出，()f x dx 实际上就是量A 在点x 出的微分，将()dA f x dx =称为量A 的微元，上述方法称为微元分析法，简称为微元法。

二、定积分在几何中的应用 （一）平面图形的面积
1、直角坐标系下面积的计算
1、当平面图形是由曲线)(x f 及直线x a =、x b =、0y =所围成时； 当()0f x ≥时，()b
a
A f x dx =⎰； 当()0f x ≤时，()b
a
A f x dx =-⎰；
o ()2y ϕ
c
d
a
b ()11y f x =
()22y f x =
o
y
x
o
o
y
x x x x y
y
o
()()()()b
c
d
b
a
a
c
d
A f x dx f x dx f x dx f x dx ==-+⎰⎰⎰⎰.
2、当平面图形是由曲线()11y f x =、()22y f x =及直线x a =、x b =所围成时；
若12y y <时，则有：()()()()2121b
a
a
a
A f x f x dx f x dx f x dx =-=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰
一般地，
()()21b
a
A f x f x dx =-⎰()()()()()()122112c
d
b
a
c
d
f x f x dx f x f x dx f x f x dx =-+-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰
3、当平面图形是由曲线()11x f y =、()22x f y =及直线y c =、y d =所围成时； 则：()()21d
c A y y dy ϕϕ=-⎡⎤⎣⎦⎰.
例1、计算由两条抛物线x y =2和2x y =所围平面图形的面积。

()1y ϕ
x
例2、计算抛物线x y 22=与圆228x y +=所围平面图形的面积。

例3、计算抛物线x y 22=与直线4=-y x 所围平面图形的面积。

2、曲线方程为参数方程的平面图形面积的计算
设曲线的参数方程为：()()
[],x t t y t ϕαβψ=⎧⎪∈⎨=⎪⎩，则： ()()()()A t d t t t dt ββ
α
α
ψϕψϕ'==⎰⎰.
例4、计算摆线()()
sin 1cos x a t t y a t =-⎧⎪⎨=-⎪⎩的一拱与x 轴围成的平面图形的面积。

例5、求椭圆()cos 0,0sin x a t
a b x b t =⎧>>⎨=⎩
围成的平面图形的面积。

O
θ+d θ θ
α β ()r θ
x
O
o ()1cos r a θ=+
x
a
2a
o
y
x
y
x
o
第六讲 §5.2 定积分在几何中的应用（二）
3、极坐标下面积的计算
设曲线的极坐标方程为：()r r θ=，
αθβ≤≤；求由曲线()r r θ=及射线θα=、θβ=围成的曲边扇形的面积。

用微元法先求出曲边扇形面积的微元。

将
细分区间[],αβ，从中任取一小区间[],d θθθ+，
该区间上对应的小曲边扇形近似的看作圆弧扇形， 从而可得面积的微元： ()212
dA r d θθ=.
于是：()212
A r d β
αθθ=⎰21
2r d β
αθ=⎰.
例1、求心形线()()1cos 0r a a θ=+>围成图形的面积。

解：由图形的对称性，其面积等于极轴上方面积1A 的2倍，
于是，()2
222100
13221cos 24A A r d a d a π
π
θθθπ===+=⎰⎰.
例2、求圆()2cos 0r a a θ=>的面积。

例3、求双纽线()22cos20r a a θ=>围成图形的面积。

解：令0r =可得，4
π
θ=
，由图形的对称性，
其面积等于位于第一象限部分面积的4倍。

4
4
2
222
4
00
142cos 2sin 22A r d a d a a ππ
πθθθθ
====⎰⎰.
()y f x =
二、旋转体的体积
由连续曲线)(x f y =，
x 轴及直线b x a x ==,所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所形成的几何体称为旋转体。

求此旋转体的体积V ．
先求几何体的体积微元。

细分区间[],a b ，从中任取一小区间[],x x dx +，在此小区间上，将所对应的小旋转体近似的看作以)(x f y =为底半径，dx 小圆柱体，从而可得：()2dV f x dx π=. 于是：()2
2
b
b
b
a
a
a
V dV f x dx y dx ππ===⎰⎰⎰.
类似的可求出由连续曲线()x y ϕ=、y y c =、y d =围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积V ．
()2
dV y dy πϕ
=； ()2
2d d d
c
c
c
V dV y dy x dy πϕπ===⎰⎰⎰.
例4、求由抛物线x x y ,2=轴及直线2,0==x x 所围成的平面图形绕x 轴旋转，求所形成的旋转体的体积．
例5、求椭圆22
221x y a b
+=分别绕x 轴和y 轴旋转所形成的旋转体的体积V .
例6、求底半径为r ，高为h 的圆锥体的体积。