2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷与解析word(文科)
【黑龙江省哈尔滨市三中】2017年高考一模数学(文科)试卷-答案
18．解：（Ⅰ）如果在被调查的老人中随机抽查一名，那么抽到积极锻炼身体的老人的概率是118612P+==，（Ⅱ）根据数表，计算观测值222()50(181967)11.53810.828()()()()25252426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯， 对照数表知，有99％的把握认为老人的身体健康状况与积极锻炼身体有关．19．解：（Ⅰ）连结AF 交BE 于O ，则O 为AF 中点，设G 为AC 中点，连结OG ，DG ，∴OG CF ∥，且12OG CF =． 由已知DE CF ∥，且12DE CF =． ∴DE OG ∥,且DE OG =，∴四边形DEOG 为平行四边形．∴EO DG ∥，即BE DG ∥．∵BE ACD ⊄平面,DG ACD ⊂平面,∴BE ACD ∥平面．（Ⅱ）∵CF DE ∥，∴CF ACD ∥平面，∴点C 到平面ACD 的距离和点F 到平面ACD 的距离相等，均为2．∴三棱锥的B ACD -体积111222123323B ACD E ACDC ADE ADE V V V S ---===⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△． 20．解：（Ⅰ）由题可知(0,)2P F ，则该直线方程为：2P y x =+， 代入22(0)x py p =>得：2220x py p --=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则有122x x p +=，∵||8MN =，∴128y y p ++=，即38p p +=，解得2p =∴抛物线的方程为：24x y =；（Ⅱ）设2(,)4t A t ，则E 在点A 处的切线方程为224t t y x =-，(,0)2t P ，22242(,)44t t B t t ++， 直线AB 的方程是2414t y x t-=+， ∴(0,1)C221||42OBC t S t =≤+△,当且仅当2t =±时，取得等号， ∴OBC △面积的最大值为12． 21．证明：（Ⅰ）当1a =时，函数()ln ()g x x y f x x==，[选修4-4：坐标系与参数方程][选修4-5：不等式选讲] 23．解：（Ⅰ）由|2||1|5x x ++-≥．得：2215x x ≤-⎧⎨--≥⎩可得：3x ≤-或21215x x -<<⎧⎨--≥⎩，可得x ∈∅或1215x x ≥⎧⎨+≥⎩，可得2x ≥ 解得：2x ≥或3x ≤-，∴不等式的解集是{|23}x x x ≥≤-或；（Ⅱ）2|2||1|2x x m m ++-≥-，若x ∀∈R ，使得不等式的解集为R ，|2||1|3x x ++-≥，当21x -≤≤时取等号，可得232m m ≥-，解得：13m -≤≤．实数m 的取值范围：[1,3]-．黑龙江省哈尔滨市2017年三中高考一模数学（文科）试卷解析一、选择题1．【分析】分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可．【解答】解：A={x|x2+x-2＜0}={x|(x+2)(x-1)＜0}={x|-2＜x＜1}，={x|-1＜x＜1且x≠0}，则A∩B=(-1，0)∪(0，1)，故选：D．2．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：在复平面内，复数==对应的点位于第一象限．故选：A．3．【分析】利用等比数列的通项公式求出公比，由此能求出a7的值．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，a1=1，a4=8，∴，即8=q3，解得q=2，a7==1×26=64．故选：A．4．【分析】先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后s的值找出规律，从而得出结论．【解答】解：根据题意可知该循环体运行4次第一次：s=2，i=4＜10，第二次：s=8，i=6＜10，第三次：s=48，i=8＜10，第四次：s=384，s=10≥10，结束循环，输出结果S=384，故选：C．5．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，联立，解得：A(3，3)，化目标函数z=x+3y为y=-+，由图可知，当直线y=-+过A时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z=3+3×3=12．故选：C．6．【分析】该几何体为正八面体，即两个全等的正四棱锥，棱长为1，棱锥的高为，即可求出体积．【解答】解：该几何体为正八面体，即两个全等的正四棱锥，棱长为1，棱锥的高为，所以，其体积为：2×（1×1）×=，故选：A．7．【分析】先把函数化成y=Asin(ωx+φ)的形式，再根据三角函数单调区间的求法可得答案．【解答】解：f（x）=sinwx+coswx=2sin(wx+)，(w＞0)．∵f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f(x)的一个周期，∴=π，w=2．F(x)=2sin(2x+)．故其单调增区间应满足2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z．kπ-≤x≤kπ+,,故选：C．8．【分析】由题意，可由函数的性质得出f(x)为[﹣1，0]上是减函数，再由函数的周期性即可得出f(x)为[3，4]上的减函数，由此证明充分性，再由f(x)为[3，4]上的减函数结合周期性即可得出f(x)为[﹣1，0]上是减函数，再由函数是偶函数即可得出f(x)为[0，1]上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项．【解答】解：∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴若f(x)为[0，1]上的增函数，则f(x)为[﹣1，0]上是减函数，又∵f(x)是定义在R上的以2为周期的函数，且[3，4]与[-1，0]相差两个周期，∴两区间上的单调性一致，所以可以得出f(x)为[3，4]上的减函数，故充分性成立．若f(x)为[3，4]上的减函数，同样由函数周期性可得出f(x)为[-1，0]上是减函数，再由函数是偶函数可得出f(x)为[0，1]上的增函数，故必要性成立．综上，“f(x)为[0，1]上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减函数”的充要条件．故选：D．9．【分析】根据题意，得出•=0，⊥；求出||=，利用平面向量数量积的夹角公式求出夹角的大小．【解答】解：非零向量满足，∴=，∴•=0，∴⊥；画出图形如图所示；∴||=，∴(+)•(-)=-=12-=-2，∴cos＜+，-＞===-，∴与的夹角为．故选：C．10．【分析】渐近线方程y=±2x，当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点，由此能求出此直线的斜率的取值范围．【解答】解：双曲线的渐近线方程y=±2x，当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点（因为双曲线正在与渐近线无限接近中），那么在斜率是[-2，2]两条直线之间的所有直线中，都与双曲线右支只有一个交点．此直线的斜率的取值范围[-2，2]．故选：D．11．【分析】设球心为O，求出AD=2，BD=2，设AC∩BD=E，则BE=，OP=OB=R，设OE=x，则OB2=BE2+OE2=2+x2，过O作线段OH⊥平面PAD于H点，H是垂足，PO2=OH2+PH2=1+(-x)2，由此能求出球半径R，由此能求出此球的表面积．【解答】解：设球心为O，如图，∵△PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=60°，∴AD=2，BD==2，设AC∩BD=E，则BE=，∵点P，A，B，C，D都在同一个球面上，∴OP=OB=R，设OE=x，在Rt△BOE中，OB2=BE2+OE2=2+x2，过O作线段OH⊥平面PAD于H点，H是垂足，∵O点到面PAD的距离与点E到平面PAD的距离相等，∴OH=1，∴在Rt△POH中，PO2=OH2+PH2=1+(-x)2=x2-2+4，∴2+x2=x2-2+4，解得x=，∴R=，∴此球的表面积S=4πR2=4π×=．故选：B．12．【分析】设M(x，y)，由⇒cx+by=c2，…①，由，cy-bx=bc…②由①②得x=，y=，…③把③代入椭圆得a4c2+4c6=a6⇒2c3=b3+bc2，c3-b3=bc2-c3，⇒(c-b）(b2+bc+2c2)=0⇒b=c．【解答】解：设M(x，y)，∵∴，⇒⇒即OA⊥MF⇒cx+by=c2，…①，因为，共线，cy-bx=bc…②由①②得x=，y=，…③把③代入椭圆得a4c2+4c6=a6⇒2c3=b3+bc2，c3-b3=bc2-c3，⇒(c-b)(b2+bc+2c2)=0⇒b=c⇒a=，椭圆的离心率e=．故选：A．二、填空题13．【分析】利用等差数列通项公式直接求解．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a1+a13=4，∴S13==．故答案为：26．14．【分析】先求出成绩在[16，18]的学生的频率，由此能求出成绩在[16，18]的学生人数．【解答】解：频率分布直方图中，从左到右的5个小矩形的面积之比为1：3：7：6：3，∴成绩在[16，18]的学生的频率为：=0.45，∴成绩在[16，18]的学生人数是：480×0.45=216．故答案为：216．15．【分析】根据题意，依据题意中“除k取余法”的算法，分析可得89=12×7+5，12=1×7+5，1=0×7+1，则有89=155(7)，即可得答案．【解答】解：根据题意，89=12×7+5，12=1×7+5，1=0×7+1，则89=155(7)，即89化为七进制数为155(7)，故答案为：155(7)．16．【分析】关于x的不等式(e x-a)x-e x+2a＜0可化为(x-1)e x＜a(x-2)；设f(x)=(x-1)e x，g(x)=a(x-2)，其中a＜；利用导数判断单调性、求出f(x)的最值，画出f(x)、g(x)的图象，结合图象得出不等式的解集中有且只有两个整数时a的取值范围．【解答】解：当a时，关于x的不等式(e x-a)x-e x+2a＜0可化为e x(x-1)-a(x-2)＜0，即(x-1）e x＜a(x-2)；设f(x)=(x-1)e x，g(x)=a(x-2)，其中a＜；∴f′(x)=e x+(x-1)e x=xe x，令f′(x)=0，解得x=0；∴x＞0时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；x＜0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；∴x=0时f(x)取得最小值为f(0)=-1；g(x)=a(x-2)是过定点(2，0)的直线；画出f(x)、g(x)的图象如图所示；要使不等式的解集中有且只有两个整数值，∵a＜，当x=0时y=-1，满足条件，0是整数解；当x=-1时，f(-1)=-2e-1；当x=-2时，f(x)=-3e-2，此时=＞a，不等式有两个整数解为-1和0，∴实数a的取值范围是(，)．故答案为：(，）．三、解答题17．【分析】（Ⅰ）根据题意，由正弦定理可以将(c-2a)cosB+bcosC=0整理变形可得2sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC，又由三角函数的和差公式可得2sinA•cosB=sin(B+C)，进而可得2sinA•cosB=sinA，即cosB=，由B的范围可得B的值．（Ⅱ）根据题意，由正弦定理可得b的值，同时可得a+c=2(sinA+sinC)，由三角函数的和差公式变形可得a+c=2sin(C+)，结合C的范围，计算可得a+c的范围，由b的值，即可得答案．18．【分析】（Ⅰ）根据数表，计算对应的概率值即可；（Ⅱ）根据数表，计算观测值，对照临界值表即可得出结论．19．【分析】（Ⅰ）连结AF交BE于O，则O为AF中点，设G为AC中点，连结OG，DG，推导出四边形DEOG为平行四边形，则BE∥DG，由此能证明BE∥平面ACD．（Ⅱ）点C到平面ACD的距离和点F到平面ACD的距离相等，均为2，从而三棱锥的B-ACD体积V B-ACD=V E-ACD=V C-ADE，由此能求出结果．20．【分析】（Ⅰ）过点F且斜率为1的直线代入抛物线，利用|MN|=8，可得y1+y2+p=8，即可求抛物线C的方程；（Ⅱ）求出直线AB的方程是y=x+1，C(0，1)，可得S△OBC=||≤，即可求△OBC面积的最大值．21．【分析】（Ⅰ）当a=1时，求导数，求出切线的斜率，即可求函数y=在点(1，0)处的切线方程；（Ⅱ）设函数G(x)=a(x2-x)-lnx，且G(1)=0，分类讨论，即可，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（Ⅰ）t=代入直线l的参数方程求出M(0，2)，从而求出点M的极坐标，由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）联立直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程得，由此利用韦达定理能求出的值．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）求出f(x)的最小值，问题转化为3≥m2-2m，解出m即可．11/ 11。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2017届高三第三次模拟考试数学(文)试题(含解析)
2017 三模文科数学答案一、 选择题ABCBB BABCD DB二、 填空题13.27 14.y x e =-- 15.PA PB PE PC PD PF⋅⋅⋅⋅ 16. 2017 三、 解答题 17.（1）3x π=是函数()sin 2cos 2f x m x x =-的一条对称轴()3f π⇒=m ⇒=分 ()2sin(2)6f x x π⇒=- ⇒增区间：,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦………………………………………………6分 （2）()2f B =sin(2)163B B ππ⇒-=⇒=又b =2sin ,2sin 2sin()3a A c C A π===+2sin sin(+)236c a A A A ππ⇒-=--………………………………………….8分 210,(,)sin(),1366262A A A πππππ⎛⎫⎛⎫∈⇒-∈-⇒-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)6A π⎛⇒-∈ ⎝，即2c a ⎛⇒-∈ ⎝……………………..12分 18.（1）0.30a = ……………………………………4分（2）10.060.040.020.88P =---= ……………………………………8分（3）(0.880.85)0.300.1-÷=30.1 2.9x =-= ……………………………………12分19（1）延长三棱台ABC FED -的三条侧棱，设交点为S1=2λ时M 为FA 的中点， 设CD 中点为R ，连,,MR MQ RQ梯形ACDF 中，中位线//MR AC ，又,MR ABC AC ABC ⊄⊂平面平面 所以//MR ABC 平面；CDN 中，中位线//QR CN ，又,QR ABC CN ABC ⊄⊂平面平面所以//QR ABC 平面又MR QR R = 且,MR MQR QR MQR ⊂⊂平面平面所以//MQR ABC 平面平面所以//MQ ABC 平面………………………………………………4分（2）设AB 中点为H ，连,SH AH ，在SAH 中作//MO AH 且交SH 于点O ， ()()BCDE ABC BCDE SBC ABC BCDE SBC BC AH AH ABC AH BC ⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭平面平面即平面平面即平面SBC(即平面) 平面 又//MO AH ，所以()MO SBC D ⊥平面，所以()MO M SBC D MO =为到平面的距离， 且MCO ∠为直线MC 与平面BCD 所成角……………………………………………8分()()ABC BCDE SBC ABC BCDE SBC BC CD CD BCDE CD BC ⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭平面平面即平面平面即平面ABC 平面 AC ABC ⊂平面，所以CD AC ⊥，Rt SAC 中//,1,2,1DF AC DF AC CD ===3344MO SM M AH SA ==⇒=⇒为FA 的中点,CF SA CF ⇒⊥==CM ⇒=sin 20MO Rt MCO MCO MC ∠== 中 ……………………………………………12分 直线MC 与平面BCD所成角的正弦值为20 20.（1）21290PF Q PFQF ∠=⇒ 为矩形1221FF PQ c ⇒==⇒= 1221212PF F PF Q S S PF PF ==⇒⋅=又122PF PF a +=，得222,1a b == 椭圆方程：2212x y += ……………………………………….4分 （2）222221(21)42(1)02x y k x kmx m y kx m ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩22212122242(1)8(21),,2121km m k m x x x x k k --⇒=+-+==++ ………………………….6分 1122(,1)(,1)0AM AN x y x y ⇒=--=23210m m ⇒--=……………………………………….10分又直线不经过(0,1)A ，所以1m ≠，13m =-，定点1(0,)3-…………………………12分 21.（1）1a =时，111()ln ,()x x f x e x f x e x--'=+=+ 设111()ln 21,()2x x g x e x x g x e x--'=+-+=+- 111222111(),1,1,01,()0x x x g x e x e g x e x x x ---''''=->><<=-> ()(1,)g x '+∞在递增，又(1)0,1()0g x g x ''=∴>>时()(1,)g x +∞在递增，1,()(1)0x g x g >>=时，即ln 210x e x x +-+> 1,x >时ln 21x e x x +>-，即()21f x x >-……………………………………….6分（2）若存在0,x e ≥使00()2ln f x x <，即00ln x a e x -<即存在0,x e ≥使00ln x ae e x >. 设()ln xe h x x=（x e ≥），则21()(ln )ln x e h x x x x '=- 设2111ln ,0u x u x x x '=-=+>，1ln u x x=-在[),e +∞递增 110x e u e==->时,，所以0u >在[),e +∞恒成立， ()0h x '>在[),e +∞恒成立，所以()h x [),e +∞递增,x e ≥时min ()()e h x h e e ==需a e e e a e >⇒>……………………………………….12分。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2017届高三第三次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
2017年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 已知集合(){}{}2|ln 2,|340M x y x N x x x ==-=--≤，则=N MA. )2,1[-B. ]2,1[-C. ]1,4[-D. ]4,1[-2.()211i i-+的虚部为A ．iB ．1-C ．i -D ．13. 已知向量,a b 满足1,2,3,⋅===a b a b 则a b -=A .B . 6C .D . 54. 已知,x y 满足：020xx y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，若目标函数z ax y =+取最大值时的最优解有无数多个，则实数a 的值是A. 0B. 1-C. 1±D. 15. 椭圆22:143x y C +=与双曲线2222:1(,0)x y E a b a b-=>有相同的焦点，且两曲线的离 心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为A ．21B ．2C ．3D ．26. 一个几何体的三视图如右图所示， 则该几何体的体积为A ．323B ．503C ．643D ．8037.《孙子算经》是我国古代的数学著作,其卷下中 有类似如下的问题：“今有方物一束，外周一 匝有四十枚，问积几何？”如右图是解决该问 题的程序框图，若设每层外周枚数为a ，则输 出的结果为A ． 81B ．74C ． 121D ．1698. 已知函数2()2(2)55f x f x x x =--+-,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方 程为A. y x =B. 23y x =-+C. 34y x =-+D. 2y x =-9. 一条光线从点(1,1)-射出，经y 轴反射后与圆22(2)1-+=x y 相交，则入射光线所 在直线的斜率的取值范围为A . 3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B . 30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C . 3,04⎛⎫-⎪⎝⎭D . 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 在拍毕业照时，六个同学排成一排照相，要求其中一对好友甲和乙相邻，且同学丙 不能和甲相邻的概率为A .115B .215C .415D .1511. 正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在底面BCD 内的射影，则异面 直线BM 与AO 所成角的余弦值为A ．6 B. 3C.4D ．512. 定义在R 上的可导函数()f x ，其导函数记为()f x '，满足()()()221f x f x x +-=-，且当1x ≤时，恒有()2f x x '+<．若()()3132f m f m m --≥-，则实数m 的取 值范围是 A .(],1-∞ B .1,13⎛⎤- ⎥⎝⎦C .[)1,+∞D .1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2017年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 知()()()()234401234(21)1111x a a x a x a x a x +=++++++++，则1234a a a a +++的值是 ．14. 函数2cos 2y x x =-的图象可由函数2sin(2)6y x π=+的图象至少向右平移 个单位长度得到． 15. 下列共有四个命题：（1）命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“x x R x 31,2<+∈∀”； （2）在回归分析中，相关指数2R 为0.96的模型比2R 为0.84的模型拟合效果好；（3）,,a b R ∈11:,:0,p a b q b a <<<则p 是q 的充分不必要条件；（4）已知幂函数2()(33)mf x m m x =-+为偶函数，则(2)4f -=. 其中正确的序号为 .（写出所有正确命题的序号）16. 已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对应边分别为,,c a b ,且2ABC S ∆=. 则使得 22sin sin sin sin B C m B C +=成立的实数m 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()1121,2,n n n S S a n n N *--=++≥∈，且13a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求证：121111...1112n a a a +++<+++.18.（本小题满分12分）为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后，得到如下的22⨯列联表：（Ⅰ）请完成上面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；（Ⅱ）（i ） 按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足 120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足 15小时的人数是X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；（ii ） 若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这 些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差.附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.（本小题满分12分）如图所示的几何体是由棱台111ABC A B C -和棱锥11D AA C C -拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，1BB ⊥平面ABCD ，11122BB A B ==．（Ⅰ）求证：平面1AB C ⊥平面1BB D ； （Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线)0(2:2>=p px y G ，过焦点F 的动直线l 与抛物线交于,A B 两点，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）当直线l 的倾斜角为4π时，||16AB =．求抛物线G 的方程； （Ⅱ） 对于（Ⅰ）问中的抛物线G ，是否存在x 轴上一定点N ，使得||2||AB MN - 为定值，若存在求出点N 的坐标及定值，若不存在说明理由.21．（本小题满分12分）（0a >且1a ≠）为定义域上的增函数，()'f x 是函数()f x 的导数，且()'f x 的最小值小于等于0. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设函数32()()4ln 63g x f x x x x =--+，且12()()0g x g x +=，求证：122x x +≥请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）已知曲线C的参数方程为12x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）设 12:,:63l l ππθθ==，若12l l 、与曲线C 相交于异于原点的两点A B 、，求AOB ∆的面积. .23.（本小题满分10分） 设函数4()1,(0)f x x a x a a=+++->. （Ⅰ）证明：()5f x ≥；（Ⅱ）若(1)6f <成立，求实数a 的取值范围.2017年哈三中第三次高考模拟考试答案1.A2.B3.C4.D5.D6.D7.C8.A9.C 10.C 11.B 12.D 13.0 14.6π15.(2)(4) 16.[]2,4 17. （本小题满分12分）（Ⅰ）由题意121n n a a -=+()2,n n N *≥∈()1121n n a a -∴+=+ …………………………………..3分又114a +=1142n n a -∴+=⨯………………………………………………5分121n n a +∴=-……………………………………………………6分（Ⅱ）112n n a ++=，∴111n a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是首项为14，公比为12的等比数列， 因此1211111142 (111112)nn a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++=+++-…………………………………9分11122n ⎛⎫=-⎪⎝⎭……………………………………………………………………………..11分 12<…………………………………………………………………………………………….12分 18. （本小题满分12分） （Ⅰ）…………………………………………………………………………………………………………………………………….2分2245(1516104)7.287 6.63525201926K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ ∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关” ………..……..4分 （Ⅱ）（i ）由分层抽样知大于等于120分的有5人，不足120分的有4人……….5分 X 的可能取值为0,1,2,3,4………………………………………………………………………6分()4164200C P X C ==，()134164201C C P X C ⋅==，()224164202C C P X C ⋅==， ()314164203C C P X C ⋅==，()444204C P X C ==…………………………8分 （ii ）设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，这些人中周做题时间不少于15小时的人数为随机变量Y ，……………………………………..9分由题意可知()20,0.6YB ，……………………………………………..10分故()12,E Y =………………………………………………………………………11分() 4.8D Y =………………………………………………………………………..12分19．（本小题满分12分）（Ⅰ）∵1BB ⊥平面ABCD ∴1BB ⊥AC在菱形ABCD 中，BD ⊥AC 又1BD BB B ⋂= ∴AC ⊥平面1BB D………………………………2分∵AC ⊂平面1AB C ∴平面1AB C ⊥平面1BB D ………………4分（Ⅱ）连接BD 、AC 交于点O ，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OD 为y 轴，如图建立空间直角坐标系. ...... (5)1(0,1,0),(0,1,0),(0,1,2),B D B A --11111,2)22B A BA A =⇒-，同理11(,2C -131(,2)2BA =,(0,2,0)BD =,11(,2BC =-设平面1A BD 的法向量),,(z y x n =∴10BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则(n =- …… …… ……8分 设平面DCF 的法向量),,(z y x =10BD m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则m = ………………11分设二面角11A BD C --为θ，13cos 19m n m n θ⋅== ……… ……12分 20．（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意知(,0)2p F 设直线l 的方程为()2p x ty t R =+∈ ，221212(,),(,)22y y A y B y p p ……………………..1分 由 222y px p x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 得：2220y pty p --=222440p t p ∆=+> 212122,y y pt y y p +==-…………………… 2分2||2(1)AB p t ==+ …………….4分 当直线l 倾斜角为4π 时，1t =， ||416AB p == ，得4p = ， 所以抛物线G 的方程为28y x =. …………………………….6分（2）假设在x 轴上存在点(,0)N a 使得||2||AB MN -为定值.由（1）知2||8(1)AB t =+ …………………………………………7分 212()2422M t x y y t =++=+ ，4M y t = ，即2(42,4)M t t +………….8分 若满足题意22||2(4)MN t k ==+ ………10分, 即222403282(2)t k a k a k ⎧+≥⎪-=⎨⎪-=⎩解得3,1a k == ，此时||2||6AB MN -=综上在x 轴上存在点(3,0)N 使得||2||AB MN -为定值6………………….12分 注:其它做法酌情给分21．（本小题满分12分）（Ⅰ）21()23ln f x x x x a'=-+，……………………………………………………1分 由()f x 为增函数可得，()0f x '≥恒成立，则由2321123023ln ln x x x x x a a-+≥⇒-≥-，设32()23m x x x =-，则2()66m x x x '=-，若由()()610m x x x '=->和()()610m x x x '=-<可知, ()m x 在()0,1上减，在()1,+∞上增，在1处取得极小值即最小值，所以min ()=(1)1m x m =-，所以11ln a -≥-，11ln a ≤， 当1a >时，易知a e ≤，当01a <<时，则10ln a <，这与11ln a≤矛盾， 从而不能使得()0f x '≥恒成立，所以a e ≤………………………………………3分 由min ()0f x '≤可得，21230ln x x x a -+≤，即32123ln x x a -≤-， 由之前讨论可知，11ln a-≤-， 当10a >>时，11ln a-≤-恒成立， 当1a >时，11ln 1ln ln ln a a e a e a≥⇒≥⇒≥⇒≥， 综上a e =...................................................................................................................6分 （II ）32322323()ln 4ln 6=3ln 63232g x x x x x x x x x x =-+--+--+， 因为12()()0g x g x +=， 所以22111222333ln 6+3ln 6=022x x x x x x ⎛⎫--+--+ ⎪⎝⎭， 所以()()2212121233ln()602x x x x x x -+-++= ()()21212121212ln()202x x x x x x x x ⎡⎤-+--++=⎢⎥⎣⎦()()2121212121ln()202x x x x x x x x -++-++= 所以()()21212121212ln()2x x x x x x x x -+++=-，…………………………………………………..9分 令12=x x t ，()ln g t t t =-，11()1t g t t t-'=-=， ()g t 在()0,1上增，在()1,+∞上减，()(1)1g t g ≤=-，所以()()212121212x x x x -+++≤-，整理得()()21212420x x x x +-+-≥，解得122x x +≥122x x +≤（舍），所以122x x +≥……………………………………………………………………………………….. 12分22.选做题（本小题满分10分）( Ⅰ)曲线C 的普通方程为5)2(122=-+-y x ）（， ……………………………… 2分 将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入得：θθρsin 4cos 2+= ………………………4分4358sin 21+=∠=∆AOB OB OAS AOB …………………………………… 10分 23. 选做题（本小题满分10分）514241)(,0=+⋅≥++≥∴>aa a a x f a …………………………………. 5分①② ……………………………………………………………………………………………9分综上，实数a 的取值范围是)4,1( ………………………… 10分。
哈尔滨市第三中学2017届高三第三次模拟考试数学(理)试题 及答案
2017年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 已知集合(){}{}2|ln 2,|340M x y x N x x x ==-=--≤，则=N MA.)2,1[-B.]2,1[-C.]1,4[- D. ]4,1[-2.()211i i-+的虚部为A ．iB ．1-C ．i -D ．13. 已知向量,a b 满足1,2,3,⋅===a b ab 则a b -=A .B . 6C .D . 54. 已知,x y 满足：020x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，若目标函数z ax y =+取最大值时的最优解有无数多个，则实数a 的值是A. 0B.1- C. 1±D. 15. 椭圆22:143x y C +=与双曲线2222:1(,0)x y E a b a b-=>有相同的焦点，且两曲线的离 心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为A ．21 BCD6. 一个几何体的三视图如右图所示， 则该几何体的体积为A ．323B ．503 C ．643D ．8037.《孙子算经》是我国古代的数学著作,其卷下中 有类似如下的问题：“今有方物一束，外周一 匝有四十枚，问积几何？”如右图是解决该问 题的程序框图，若设每层外周枚数为a ，则输 出的结果为A ． 81B ．74C ．121D ．1698. 已知函数2()2(2)55f x f x x x =--+-,则曲线y =程为A. y x =B. 23y x =-+C. 34y x=-+D. 2y x =-9. 一条光线从点(1,1)-射出，经y 轴反射后与圆22(2)1-+=x y 相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围为A .3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B . 30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C . 3,04⎛⎫-⎪⎝⎭D . 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 在拍毕业照时，六个同学排成一排照相，要求其中一对好友甲和乙相邻，且同学丙 不能和甲相邻的概率为A .115B .215C .415D .1511. 正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在底面BCD 内的射影，则异面 直线BM 与AO 所成角的余弦值为A ．6B.3C.4 D ．512. 定义在R 上的可导函数()f x ，其导函数记为()f x '，满足()()()221f x f x x +-=-，且当1x ≤时，恒有()2f x x '+<．若()()3132f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是 A .(],1-∞B .1,13⎛⎤- ⎥⎝⎦C .[)1,+∞D .1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2017年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 知()()()()234401234(21)1111x a a x a x a x a x +=++++++++，则1234a a a a +++的值是 ．14. 函数2cos2y x x -的图象可由函数2sin(2)6y x π=+的图象至少向右平移 个单位长度得到． 15. 下列共有四个命题：（1）命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“x x R x 31,2<+∈∀”；（2）在回归分析中，相关指数2R 为0.96的模型比2R 为0.84的模型拟合效果好；（3）,,a b R ∈11:,:0,p a b q b a<<<则p 是q 的充分不必要条件； （4）已知幂函数2()(33)m f x m m x =-+为偶函数，则(2)4f -=.其中正确的序号为 .（写出所有正确命题的序号） 16. 已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对应边分别为,,c a b ,且2ABC S ∆=. 则使得 22sin sin sin sin B C m B C +=成立的实数m 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()1121,2,nn n SS a n n N *--=++≥∈，且13a =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求证：121111 (1112)n a a a +++<+++.18.（本小题满分12分）为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后，得到如下的22⨯列联表：（Ⅰ）请完成上面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；（Ⅱ）（i ） 按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足 120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）； （ii ） 若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这 些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差.附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.（本小题满分12分）如图所示的几何体是由棱台111ABC A B C -和棱锥11D AAC C -拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，1BB ⊥平面ABCD ，11122BB A B ==．（Ⅰ）求证：平面1AB C ⊥平面1BB D ； （Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值．20．（本小题满分12分） 已知抛物线)0(2:2>=p px y G ，过焦点F 的动直线l 与抛物线交于,A B 两点，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）当直线l 的倾斜角为4π时，||16AB =．求抛物线G 的方程； （Ⅱ） 对于（Ⅰ）问中的抛物线G ，是否存在x 轴上一定点N，使得||2||AB MN -为定值，若存在求出点N 的坐标及定值，若不存在说明理由.21（0a >且1a ≠）为定义域上的增函数，()'f x 是函数()f x 的导数，且()'f x 的最小值小于等于0.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设函数32()()4ln 63g x f x x x x =--+，且12()()0g x gx +=， 求证：122x x +≥请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）已知曲线C 的参数方程为12x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩(α为参数)，以直角坐标系原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）设 12:,:63l l ππθθ==，若12l l 、与曲线C 相交于异于原点的两点A B 、，求AOB ∆的面积. .23.（本小题满分10分）设函数4()1,(0)f x x a x a a=+++->. （Ⅰ）证明：()5f x ≥；（Ⅱ）若(1)6f <成立，求实数a 的取值范围.2017年哈三中第三次高考模拟考试答案1.A2.B3.C4.D5.D6.D7.C8.A9.C 10.C 11.B 12.D 13.0 14.6π 15.(2)(4) 16.[]2,417. （本小题满分12分） （Ⅰ）由题意121nn a a -=+()2,n n N *≥∈()1121n n a a -∴+=+ …………………………………..3分又114a +=1142n n a -∴+=⨯………………………………………………5分 121n n a +∴=-……………………………………………………6分（Ⅱ）112n na ++=，∴111n a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是首项为14，公比为12的等比数列，因此1211111142 (111112)n n a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++=+++-…………………………………9分11122n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………..11分 12<…………………………………………………………………………………………….12分 18. （本小题满分12分） （Ⅰ）…………………………………………………………………………………………………………………………………….2分2245(1516104)7.287 6.63525201926K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ ∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关” ………..……..4分 （Ⅱ）（i ）由分层抽样知大于等于120分的有5人，不足120分的有4人……….5分 X 的可能取值为0,1,2,3,4………………………………………………………………………6分()4164200C P X C ==，()134164201C C P X C ⋅==，()224164202C C P X C ⋅==， ()314164203C C P X C ⋅==，()444204C P X C ==…………………………8分 （ii ）设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，这些人中周做题时间不少于15小时的人数为随机变量Y ，……………………………………..9分 由题意可知()20,0.6Y B ，……………………………………………..10分故()12,EY =………………………………………………………………………11分() 4.8D Y =………………………………………………………………………..12分19．（本小题满分12分）（Ⅰ）∵1BB ⊥平面ABCD ∴1BB ⊥AC在菱形ABCD 中，BD ⊥AC 又1BD BB B ⋂= ∴AC ⊥平面1BB D………………………………2分∵AC ⊂平面1AB C ∴平面1AB C ⊥平面1BB D ………………4分（Ⅱ）连接BD 、AC 交于点O ，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OD 为y 轴，如图建立空间直角坐标系. …… ……5分1(0,1,0),(0,1,0),(0,1,2),B D B A --11111,2)22B A BA A =⇒-，同理11(,2C -131(,2)2BA =,(0,2,0)BD =,11(,2BC =-设平面1A BD 的法向量),,(z y x =∴10BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则(n =- …… …… ……8分 设平面DCF 的法向量),,(z y x =10BD m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则m = ………………11分 设二面角11A BD C --为θ，13cos 19m n m nθ⋅==……… ……12分 20．（本小题满分12分） （Ⅰ）由题意知(,0)2p F 设直线l 的方程为()2px ty t R =+∈ ，221212(,),(,)22y y A y B y p p ……………………..1分由 222y pxp x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 得：2220y pty p --=222440p t p ∆=+> 212122,y y pt y y p +==-…………………… 2分2||2(1)AB p t ==+ …………….4分当直线l 倾斜角为4π时，1t =， ||416AB p == ，得4p = ， 所以抛物线G 的方程为28y x =. …………………………….6分（2）假设在x 轴上存在点(,0)N a 使得||2||AB MN -为定值. 由（1）知2||8(1)AB t=+ …………………………………………7分212()2422M tx y y t =++=+ ，4M y t = ，即2(42,4)M t t +………….8分 若满足题意22||2(4)MN t k ==+ ………10分,即222403282(2)t k a k a k ⎧+≥⎪-=⎨⎪-=⎩解得3,1a k == ，此时||2||6AB MN -= 综上在x 轴上存在点(3,0)N 使得||2||AB MN -为定值6………………….12分 注:其它做法酌情给分21．（本小题满分12分）（Ⅰ）21()23ln f x x x x a '=-+，……………………………………………………1分由()f x 为增函数可得，()0f x '≥恒成立，则由2321123023ln ln x x x x x a a -+≥⇒-≥-，设32()23m x x x =-，则2()66m x x x '=-，若由()()610m x x x '=->和()()610m x x x '=-<可知,()m x 在()0,1上减，在()1,+∞上增，在1处取得极小值即最小值，所以min ()=(1)1m x m =-，所以11ln a -≥-，11ln a ≤，当1a >时，易知a e ≤，当01a <<时，则10ln a <，这与11ln a ≤矛盾，从而不能使得()0f x '≥恒成立，所以a e ≤………………………………………3分 由min ()0f x '≤可得，21230ln x x x a -+≤，即32123ln x x a -≤-，由之前讨论可知，11ln a -≤-，当10a >>时，11ln a -≤-恒成立，当1a >时，11ln 1ln ln ln a a e a e a ≥⇒≥⇒≥⇒≥，综上a e =...................................................................................................................6分 （II ）32322323()ln 4ln 6=3ln 63232g x x x x x x x x x x =-+--+--+，因为12()()0g x g x +=，所以22111222333ln 6+3ln 6=022x x x x x x ⎛⎫--+--+ ⎪⎝⎭，所以()()2212121233ln()602x x x x x x -+-++=()()21212121212ln()202x x x x x x x x ⎡⎤-+--++=⎢⎥⎣⎦()()2121212121ln()202x x x x x x x x -++-++=所以()()21212121212ln()2x x x x x x x x -+++=-，…………………………………………………..9分令12=x x t ，()ln g t t t =-，11()1tg t t t -'=-=，()g t 在()0,1上增，在()1,+∞上减，()(1)1g t g ≤=-，所以()()212121212x x x x -+++≤-，整理得()()21212420x x x x +-+-≥，解得122x x +≥122x x +≤（舍），所以122x x +≥……………………………………………………………………………………….. 12分22.选做题（本小题满分10分）( Ⅰ)曲线C 的普通方程为5)2(122=-+-y x ）（， ……………………………… 2分将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入得：θθρsin 4cos 2+= ………………………4分4358sin 21+=∠=∆AOB OB OA SAOB …………………………………… 10分23. 选做题（本小题满分10分）514241)(,0=+⋅≥++≥∴>a a a a x f a …………………………………. 5分①②……………………………………………………………………………………………9分综上，实数a的取值范围是)4,1(………………………… 10分。
2017年黑龙江省哈尔滨三中高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A＝{x|x2+x﹣2＜0}，集合，则A∩B＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）2．（5分）在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）在等比数列{a n}中，a1＝1，a4＝8，则a7＝（）A．64B．32C．16D．124．（5分）如果执行下面的程序框图，那么输出的结果s为（）A．8B．48C．384D．3865．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+3y的最大值等于（）A．0B．C．12D．276．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）＝sin wx+cos wx（w＞0），y＝f（x）的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z B．[kπ+，kπ+]，k∈ZC．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ+，kπ+]，k∈Z8．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的（）A．既不充分也不必要的条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．充要条件9．（5分）已知非零向量满足，则与的夹角为（）A．B．C．D．10．（5分）过双曲线的右焦点且斜率为k的直线，与双曲线的右支只有一个公共点，则实数k的范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．[0，2]C．D．[﹣2，2]11．（5分）若△P AD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，P A＝PD＝AB＝2，∠APD＝60°，若点P，A，B，C，D都在同一个球面上，则此球的表面积为（）A．πB．πC．πD．π12．（5分）已知椭圆，点A（c，b），右焦点F（c，0），椭圆上存在一点M，使得，且，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a13＝4，则S13．14．（5分）某年级480名学生在一次面米测试中，成绩全部介于13秒和18秒之间，将测试结果分成5组，如图为其频率分布直方图，如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1：3：7：6：3，那么成绩在[16，18]的学生人数是．15．（5分）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，“满几进一”就是几进制，不同进制之间可以相互转化，例如把十进制的89转化为二进制，根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除89得商，然后取余数，具体计算方法如下：这种算法叫做“除二取把以上各步所得余数从下到上排列，得到89＝1011001（2）余法”，上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的方法，称为“除k 取余法”，那么用“除k取余法”把89化为七进制数为．16．（5分）当a时，关于x的不等式（e x﹣a）x﹣e x+2a＜0的解集中有且只有两个整数值，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，其外接圆半径为1，（c﹣2a）cos B+b cos C＝0．（1）求角B的大小；（2）求△ABC周长的取值范围．18．（12分）某社区对社区内50名70岁以上老人的身体健康状况和对平时锻炼身体的积极性进行了调查，统计数据如表所示：（1）如果在被调查的老人中随机抽查一名，那么抽到积极锻炼身体的老人的概率是多少？抽到不积极锻炼身体且健康状况一般的老人的概率是多少？（2）试运用独立性检验思想方法判断能否有99%的把握说老人的身体健康状况与锻炼身体的积极性有关．（参考如表）参考公式：．19．（12分）已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，BC＝2AB＝4，AD＝3，F为BC中点，EF∥AB，EF与AD交于点E，沿EF将四边形EFCD 折起，使得平面ABFE⊥平面EFCD，连接AD，BC，AC．（1）求证：BE∥平面ACD；（2）求三棱锥的B﹣ACD体积．20．（12分）已知抛物线E：x2＝2py（p＞0），其焦点为F，过F且斜率为1的直线被抛物线截得的弦长为8．（1）求抛物线E的方程；（2）设A为E上一动点（异于原点），E在点A处的切线交x轴于点P，原点O 关于直线PF的对称点为点B，直线AB与y轴交于点C，求△OBC面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝ax，g（x）＝lnx，（a∈R）（1）当a＝1时，求函数y＝在点（1，0）处的切线方程；（2）若在[1，+∞）上不等式xf（x﹣1）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ（1）若l的参数方程中的t＝时，得到M点，求M的极坐标和曲线C的直角坐标方程；（2）若点P（1，1），l和曲线C交于A，B两点，求．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥5的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥m2﹣2m的解集为R，求实数m的取值范围．2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A＝{x|x2+x﹣2＜0}，集合，则A∩B＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）【解答】解：A＝{x|x2+x﹣2＜0}＝{x|（x+2）（x﹣1）＜0}＝{x|﹣2＜x＜1}，＝{x|﹣1＜x＜1且x≠0}，则A∩B＝（﹣1，0）∪（0，1），故选：D．2．（5分）在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：在复平面内，复数＝＝对应的点位于第一象限．故选：A．3．（5分）在等比数列{a n}中，a1＝1，a4＝8，则a7＝（）A．64B．32C．16D．12【解答】解：∵在等比数列{a n}中，a1＝1，a4＝8，∴，即8＝q3，解得q＝2，a7＝＝1×26＝64．故选：A．4．（5分）如果执行下面的程序框图，那么输出的结果s为（）A．8B．48C．384D．386【解答】解：根据题意可知该循环体运行4次第一次：s＝2，i＝4＜10，第二次：s＝8，i＝6＜10，第三次：s＝48，i＝8＜10，第四次：s＝384，s＝10≥10，结束循环，输出结果S＝384，故选：C．5．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+3y的最大值等于（）A．0B．C．12D．27【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，联立，解得：A（3，3），化目标函数z＝x+3y为y＝﹣+，由图可知，当直线y＝﹣+过A时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z＝3+3×3＝12．故选：C．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：该几何体为正八面体，即两个全等的正四棱锥，棱长为1，棱锥的高为，所以，其体积为：2×（1×1）×＝，故选：A．7．（5分）已知函数f（x）＝sin wx+cos wx（w＞0），y＝f（x）的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z B．[kπ+，kπ+]，k∈ZC．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ+，kπ+]，k∈Z【解答】解：f（x）＝sin wx+cos wx＝2sin（wx+），（w＞0）．∵f（x）的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f（x）的一个周期，∴＝π，w＝2．f（x）＝2sin（2x+）．故其单调增区间应满足2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z．kπ﹣≤x≤kπ+，故选：C．8．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的（）A．既不充分也不必要的条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．充要条件【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴若f（x）为[0，1]上的增函数，则f（x）为[﹣1，0]上是减函数，又∵f（x）是定义在R上的以2为周期的函数，且[3，4]与[﹣1，0]相差两个周期，∴两区间上的单调性一致，所以可以得出f（x）为[3，4]上的减函数，故充分性成立．若f（x）为[3，4]上的减函数，同样由函数周期性可得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数是偶函数可得出f（x）为[0，1]上的增函数，故必要性成立．综上，“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的充要条件．故选：D．9．（5分）已知非零向量满足，则与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：非零向量满足，∴＝，∴•＝0，∴⊥；画出图形如图所示；∴||＝，∴（+）•（﹣）＝﹣＝12﹣＝﹣2，∴cos＜+，﹣＞＝＝＝﹣，∵+与﹣夹角的取值范围为[0，π]，∴与的夹角为．故选：C．10．（5分）过双曲线的右焦点且斜率为k的直线，与双曲线的右支只有一个公共点，则实数k的范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．[0，2]C．D．[﹣2，2]【解答】解：双曲线的渐近线方程y＝±2x，当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点（因为双曲线正在与渐近线无限接近中），那么在斜率是[﹣2，2]两条直线之间的所有直线中，都与双曲线右支只有一个交点．此直线的斜率的取值范围[﹣2，2]．故选：D．11．（5分）若△P AD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，P A＝PD＝AB ＝2，∠APD＝60°，若点P，A，B，C，D都在同一个球面上，则此球的表面积为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：设球心为O，如图，∵△P AD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，P A＝PD＝AB＝2，∠APD ＝60°，∴AD＝2，BD＝＝2，设AC∩BD＝E，则BE＝，∵点P，A，B，C，D都在同一个球面上，∴OP＝OB＝R，设OE＝x，在Rt△BOE中，OB2＝BE2+OE2＝2+x2，过O作线段OH⊥平面P AD于H点，H是垂足，∵O点到面P AD的距离与点E到平面P AD的距离相等，∴OH＝1，∴在Rt△POH中，PO2＝OH2+PH2＝1+（﹣x）2＝x2﹣2+4，∴2+x2＝x2﹣2+4，解得x＝，∴R＝，∴此球的表面积S＝4πR2＝4π×＝．故选：B．12．（5分）已知椭圆，点A（c，b），右焦点F（c，0），椭圆上存在一点M，使得，且，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设M（x，y），∵∴，⇒⇒即OA⊥MF⇒cx+by＝c2，…①.，因为，共线，cy﹣bx＝bc…②由①②得x＝，y＝，…③把③代入椭圆得a4c2+4c6＝a6⇒2c3＝b3+bc2，c3﹣b3＝bc2﹣c3，⇒（c﹣b）（b2+bc+2c2）＝0⇒b＝c⇒a＝，椭圆的离心率e＝．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a13＝4，则S1326．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a1+a13＝4，∴S13＝＝．故答案为：26．14．（5分）某年级480名学生在一次面米测试中，成绩全部介于13秒和18秒之间，将测试结果分成5组，如图为其频率分布直方图，如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1：3：7：6：3，那么成绩在[16，18]的学生人数是216．【解答】解：频率分布直方图中，从左到右的5个小矩形的面积之比为1：3：7：6：3，∴成绩在[16，18]的学生的频率为：＝0.45，∴成绩在[16，18]的学生人数是：480×0.45＝216． 故答案为：216．15．（5分）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，“满几进一”就是几进制，不同进制之间可以相互转化，例如把十进制的89转化为二进制，根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除89得商，然后取余数，具体计算方法如下：把以上各步所得余数从下到上排列，得到89＝1011001（2）这种算法叫做“除二取余法”，上述方法也可以推广为把十进制数化为k 进制数的方法，称为“除k 取余法”，那么用“除k 取余法”把89化为七进制数为 155（7） ． 【解答】解：根据题意，89＝12×7+5， 12＝1×7+5， 1＝0×7+1，则89＝155（7），即89化为七进制数为155（7）， 故答案为：155（7）． 16．（5分）当a时，关于x 的不等式（e x ﹣a ）x ﹣e x +2a ＜0的解集中有且只有两个整数值，则实数a 的取值范围是 [，） ．【解答】解：当a时，关于x 的不等式（e x ﹣a ）x ﹣e x +2a ＜0可化为e x （x ﹣1）﹣a （x ﹣2）＜0， 即（x ﹣1）e x ＜a （x ﹣2）； 设f （x ）＝（x ﹣1）e x ，g （x ）＝a （x ﹣2），其中a ＜；∴f′（x）＝e x+（x﹣1）e x＝xe x，令f′（x）＝0，解得x＝0；∴x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；∴x＝0时f（x）取得最小值为f（0）＝﹣1；g（x）＝a（x﹣2）是过定点（2，0）的直线；画出f（x）、g（x）的图象如图所示；要使不等式的解集中有且只有两个整数值，∴，∴，解≤a＜，∴实数a的取值范围是[，）．故答案为：[，）．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，其外接圆半径为1，（c﹣2a）cos B+b cos C＝0．（1）求角B的大小；（2）求△ABC周长的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，（2a﹣c）cos B＝b cos C，由正弦定理得：（2sin A﹣sin C）cos B＝sin B cos C，即2sin A•cos B﹣sin C•cos B＝sin B cos C变形可得：2sin A•cos B＝sin C•cos B+sin B cos C∴2sin A•cos B＝sin（B+C）∵在△ABC中，sin（B+C）＝sin A∴2sin A•cos B＝sin A，即cos B＝，则B＝；（2）根据题意，由（1）可得B＝，sin B＝，又由正弦定理b＝2R sin B＝，a＝2R sin A＝2sin A，c＝2R sin C＝2sin C；则a+c＝2（sin A+sin C）＝2[sin（﹣C）+sin C]＝2[cos C+sin C]＝2sin （C+），又由0＜C＜，则＜C+＜，则有＜sin（C+）≤1，故＜a+c≤2，则有2＜a+b+c≤3，即△ABC周长的取值范围为（2，3]．18．（12分）某社区对社区内50名70岁以上老人的身体健康状况和对平时锻炼身体的积极性进行了调查，统计数据如表所示：（1）如果在被调查的老人中随机抽查一名，那么抽到积极锻炼身体的老人的概率是多少？抽到不积极锻炼身体且健康状况一般的老人的概率是多少？（2）试运用独立性检验思想方法判断能否有99%的把握说老人的身体健康状况与锻炼身体的积极性有关．（参考如表）参考公式：．【解答】解：（1）如果在被调查的老人中随机抽查一名， 那么抽到积极锻炼身体的老人的概率是P 1＝＝，抽到不积极锻炼身体且健康状况一般的老人的概率是P 2＝；（2）根据数表，计算观测值＝≈11.538＞6.635，对照数表知，有99%的把握认为老人的身体健康状况与积极锻炼身体有关． 19．（12分）已知四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，BC ＝2AB ＝4，AD ＝3，F 为BC 中点，EF ∥AB ，EF 与AD 交于点E ，沿EF 将四边形EFCD 折起，使得平面ABFE ⊥平面EFCD ，连接AD ，BC ，AC ． （1）求证：BE ∥平面ACD ； （2）求三棱锥的B ﹣ACD 体积．【解答】证明：（1）连结AF 交BE 于O ， 则O 为AF 中点，设G 为AC 中点，连结OG ，DG ，则OG ∥CF ，且OG ＝CF ． 由已知DE ∥CF ，且DE ＝CF ．∴DE ∥OG ，且DE ＝OG ，∴四边形DEOG 为平行四边形． ∴EO ∥DG ，即BE ∥DG ．∵BE ⊄平面ACD ，DG ⊂平面ACD ， ∴BE ∥平面ACD ．解：（2）∵CF ∥DE ，∴CF ∥平面AED ，∴点C 到平面ACD 的距离和点F 到平面ACD 的距离相等，均为2． ∴三棱锥的B ﹣ACD 体积V B ﹣ACD ＝V E ﹣ACD ＝V C ﹣ADE ＝＝．20．（12分）已知抛物线E ：x 2＝2py （p ＞0），其焦点为F ，过F 且斜率为1的直线被抛物线截得的弦长为8． （1）求抛物线E 的方程；（2）设A 为E 上一动点（异于原点），E 在点A 处的切线交x 轴于点P ，原点O 关于直线PF 的对称点为点B ，直线AB 与y 轴交于点C ，求△OBC 面积的最大值．【解答】解：（1）由题可知F （0，），则该直线方程为：y ＝x +， 代入x 2＝2py （p ＞0）得：x 2﹣2px ﹣p 2＝0， 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则有x 1+x 2＝2p ， ∵|MN |＝8，∴y 1+y 2+p ＝8，即3p +p ＝8，解得p ＝2 ∴抛物线的方程为：x 2＝4y ； （2）设A （t ，），则E 在点A 处的切线方程为y ＝x ﹣，P （，0），B（，），直线AB 的方程是y ＝x +1，∴C （0，1）S △OBC ＝||≤，当且仅当t ＝±2时，取得等号，所以△OBC 面积的最大值为．21．（12分）已知函数f（x）＝ax，g（x）＝lnx，（a∈R）（1）当a＝1时，求函数y＝在点（1，0）处的切线方程；（2）若在[1，+∞）上不等式xf（x﹣1）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，函数y＝＝，∴y′＝，∴x＝1时，y′＝1，∴函数y＝在点（1，0）处的切线方程为y＝x﹣1；（2）设函数G（x）＝a（x2﹣x）﹣lnx，且G（1）＝0．G′（x）＝①当a≤0时，有G（2）＝2a﹣ln2＜0，不成立，②当a＜0时，（i）a≥1时，G′（x）＝，当x≥1时，G′（x）≥所以G（x）在（0，+∞）上是单调增函数，所以G（x）≥G（1）＝0（ii）0＜a＜1时，设h（x）＝2ax2﹣ax﹣1，h（1）＝a﹣1＜0，所以存在x0，使得x∈（1，0）时，h（x）＜0，∴G′（x）＜0，G（x）＜G（1）＝0不成立综上所述a≥1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ（1）若l的参数方程中的t＝时，得到M点，求M的极坐标和曲线C的直角坐标方程；（2）若点P（1，1），l和曲线C交于A，B两点，求．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），l的参数方程中的t＝时，得到M点，∴点M的直角坐标为M（0，2），∴，，∴点M的极坐标为M（2，），∵曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ，即ρ2＝6ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2﹣6x+y2＝0．（2）联立直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程得：，则，∴＝＝＝＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥5的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥m2﹣2m的解集为R，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由|x+2|+|x﹣1|≥5．得：可得：x≤﹣3或，可得x∈∅或，可得x≥2解得：x≥2或x≤﹣3，故不等式的解集是{x|x≥2或x≤﹣3}；（2）|x+2|+|x﹣1|≥m2﹣2m，若∀x∈R，使得不等式的解集为R，|x+2|+|x﹣1|≥3，当﹣2≤x≤1时取等号，可得3≥m2﹣2m，解得：﹣1≤m≤3．实数m的取值范围：[﹣1，3]．第21页（共21页）。
哈尔滨2017年高三第三次模拟考试数学试题(文)含答案
2017年高三第三次模拟考试文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设复数满足（是虚数单位），则（ ）z ()12z ii ⋅+=i z =B.2C.1 2.，，则（ ）(){}lg 1A x y x ==-{B y y ==A B = A. B. C. D.[]0,2(]1,2[)1,2(]1,43.已知的值为（ ）cos sin αα-=sin 2αA. B. C.D.1818-7878-4.已知实数，满足，则的取值范围为（ ）x y 3232310y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≤z x y =+A. B. C. D.[]0,3[]2,7[]3,7[]2,05.已知，，，则是的（ ）π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭:sin p x x ＜2:sin q x x ＜p q A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入，分别为18,27，则输出的（ ）a b a =A.0 B.9 C.18 D.54第6题7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. 8343第7题8.直线与交于，两点，若，则的()20x y m m +=＞22:5O x y += A B 2OA OB AB + ＞m 取值范围是（ ）A. B. C. D.())(9.已知函数，在随机取一个实数，则的概率为（ ()2sin 213f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦a ()0f a ＞）A. B. C. D.5623121310.已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足P ABC —ABC ∆BA BC ==，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（）π2ABC ∠=A. B.C. D.8π16π16π332π311.双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上一点，且()222210,0x y a b a b -=＞＞1F 2F P ，若，则双曲线离心率的取值范围是（ ）120PF PF = 12ππ,126PF F ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦A. B. C. D.1⎡⎤+⎣⎦1⎡⎤+⎣⎦⎤⎦1⎤+⎦12.函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若()f x ()0,+∞()f x '，且，则不等式的解集为（ ）()()()1x x f x f x e x '+=- ()20f =()0f x ＜A. B. C. D.()0,1()0,2()1,2()2,+∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）.13.某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则______.x x =14.已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点()f x 0x ＞()ln f x x x x =-()y f x =处的切线方程为______.()(),e f e --15.平面上，点、为射线上的两点，点、为射线上的两点，则有A C PM B D PN （其中、分别为、的面积）；空间中，点、为PAB PCD S PA PB S PC PD ∆∆= PAB S ∆PCD S ∆PAB ∆PCD ∆A C 射线上的两点，点、为射线上的两点，点、为射线上的两点，则有PM B D PN E F PL ______（其中、分别为四面体、的体积）.P ABE P CDF V V --=P ABE V -P CDF V -P ABE —P CDF —16.方程的解称为函数的不动点，若有唯一不动点，且数列()f x x =()f x ()1axf x x =+满足，，则______.{}n a 11a =111n n f a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭2017a =三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知直线是函数的图象的一条对称轴.π3x =()sin 2cos 2f x m x x =-（Ⅰ）求函数的单调递增区间；()f x（Ⅱ）设中角，，，所对的边分别为，，，若，且，ABC ∆A B C a b c ()2f B =b =求的取值范围.2ca -18.（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分x x 按平价收费，超过的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年x 100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，，分[)0,0.5[)0.5,1 [)4,4.5成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求直方图中的值；a （Ⅱ）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取3人，记这3人中月均用水量不低于3吨的人数为，求的分布列与数学期望.X X （Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值（精确x x 到0.01），并说明理由.19.（本小题满分12分）如图，在棱台中，与分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC FED -DEF ∆ABC ∆平面，四边形为直角梯形，，，为中点，ABC ⊥BCDE BCDE BC CD ⊥1CD =N AB .(),0AM AF R λλλ=∈ ＞（Ⅰ）设中点为，，求证：平面；ND Q 12λ=MQ ∥ABC（Ⅱ）若到平面，求直线与平面所成角的正弦值.M BCD MC BCD20.（本小题满分12分）椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆中心的弦满()222210x y a b a b +=＞＞()1,0F c -()2,0F c PQ 足，，且的面积为1.2PQ =290PF Q ∠=︒2PF Q ∆（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线不经过点，且与椭圆交于，两点，若以为直径的圆经过点，l ()0,1A M N MN A 求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.l 21.（本小题满分12分）已知函数.()ln x a f x e x -=+（Ⅰ）若，求证：当时，；1a =1x ＞()21f x x -＞（Ⅱ）若存在，使，求实数的取值范围.0x e ≥()002ln f x x ＜a 请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极点为直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线x ，（为参数）.1:1C ρ=21:1x C y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t （Ⅰ）求曲线上的点到电线距离的最小值；1C 2C （Ⅱ）若把上各点的横坐标都扩大原来为原来的21C 曲线.设，曲线与交于，两点，求.1C '()1,1P -2C 1C 'A B PA PB +23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知，.x y R ∈（Ⅰ）若，满足，，求证：；x y 132x y -＜126x y +＜310x ＜（Ⅱ）求证：.44331628x y x y xy ++≥2017 三模文科数学答案、、选择题ABCBB BABCD DB、、填空题13.2714. 15. 16. 2017y x e =--PA PB PE PC PD PF ⋅⋅⋅⋅、、解答题17.（1）是函数的一条对称轴3x π=()sin 2cos 2f x m x x =-或 ……………………………………..3分(3f π⇒=m ⇒=()2sin(2)6f x x π⇒=-增区间：………………………………………………6分⇒,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）()2f B =sin(2163B B ππ⇒-=⇒=又，由正弦定理得：b =2sin ,2sin 2sin(3a A c C A π===+………………………………………….82sin sin(+)236c a A A A ππ⇒-=--分210,(,)sin(),1366262A A A πππππ⎛⎫⎛⎫∈⇒-∈-⇒-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即 (12)分)6A π⎛⇒-∈⎝2c a ⎛⇒-∈ ⎝18.（1） ……………………………………4分0.30a =（2） ……………………………………8分10.060.040.020.88P =---=（3）(0.880.85)0.300.1-÷= ……………………………………12分30.1 2.9x =-=19（1）延长三棱台的三条侧棱，设交点为ABC FED -S时为的中点，1=2λM FA 设中点为，连CD R ,,MR MQ RQ梯形中，中位线，又ACDF //MR AC ,MR ABC AC ABC⊄⊂平面平面所以；//MR ABC 平面中，中位线，又CDN //QR CN ,QR ABC CN ABC⊄⊂平面平面所以//QR ABC 平面又且MR QR R = ,MR MQR QR MQR⊂⊂平面平面所以//MQR ABC平面平面所以………………………………………………4分//MQ ABC 平面（2）设中点为，连，在中作且交于点，AB H ,SH AH SAH //MO AH SH O ()()BCDE ABC BCDE SBC ABC BCDE SBC BC AH AH ABC AH BC ⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭平面平面即平面平面即平面S B C (即平面) 平面 又，所以，//MO AH ()MO SBC D ⊥平面所以()MO M SBC D MO =为到平面的距离，且为直线与平面所成角……………………………………………8分MCO ∠MC BCD ()()ABC BCDE SBC ABC BCDE SBC BC CD CD BCDE CD BC ⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭平面平面即平面平面即平面A B C 平面 ，所以，中AC ABC ⊂平面CD AC ⊥Rt SAC //,1,2,1DF AC DF AC CD ===3344MO SM M AH SA ==⇒=⇒为FA的中点,CF SA CF ⇒⊥==CM ⇒=……………………………………………12分sin MO Rt MCO MCO MC ∠== 中直线与平面MC BCD20.（1）为矩形21290PF Q PF QF ∠=⇒ 1221F F PQ c ⇒==⇒=1221212PF F PF Q S S PF PF ==⇒⋅= 又，得122PF PF a +=222,1a b ==椭圆方程： ……………………………………….4分2212x y +=（2）222221(21)42(1)02x y k x kmx m y kx m ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩………………………….6分22212122242(1)8(21),,2121km m k m x x x x k k --⇒=+-+==++ 1122(,1)(,1)0AM AN x y x y ⇒=--= ……………………………………….10分23210m m ⇒--=又直线不经过，所以，，定点…………………………12(0,1)A 1m ≠13m =-1(0,)3-分21.（1）时，1a =111()ln ,()x x f x e x f x e x --'=+=+设111()ln 21,()2x x g x e x x g x e x--'=+-+=+-111222111(),1,1,01,()0x x x g x e x e g x e x x x ---''''=->><<=->递增，又()(1,)g x '+∞在(1)0,1()0g x g x ''=∴>>时递增，，即()(1,)g x +∞在1,()(1)0x g x g >>=时ln 210x e x x +-+>，即……………………………………….6分1,x >时ln 21x e x x +>-()21f x x >-（2）若存在使，即0,x e ≥00()2ln f x x <00ln x a e x -<即存在使.0,x e ≥00ln x ae e x >设（），则()ln x e h x x =x e ≥21()(ln )ln x e h x x x x'=-设，在递增2111ln ,0u x u x x x '=-=+>1ln u x x=-[),e +∞，所以在恒成立，110x e u e==->时,0u >[),e +∞在恒成立，所以递增()0h x '>[),e +∞()h x [),e +∞时,x e ≥min ()()eh x h e e ==需……………………………………….12分a e e e a e >⇒>22．（1），圆心为，半径为；221:1C x y +=(0,0)1--------2分2:2C y x =+圆心到直线距离--------3分d ==所以上的点到.--------5分1C 2C 1（2）伸缩变换为，所以--------7分2x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩221:143x y C '''+=将和联立，得.因为--------8分2C 1C '27100t +-=120t t <分1212||||||||||PA PB t t t t ∴+=+=-=23（1）()()()()11352332233223262x x y x y x y x y =-++≤-++<⋅+⋅= ---------------5分310x ∴<（2）证明：()()()()()()()()()4433333322222221628282282242230x y x y xy x x y y x y x y x y x y x xy y x y x xy y y +-+=---=--=-++⎡⎤=-+++≥⎣⎦------10分。
2017年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试文科数学试卷(含答案)
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 设 a 0, b ，若 a b 2，则
4 1 的最小值为 a b 1
·3·2 x cos 2 x 的图象可由函数 y 2sin(2 x 移 个单位长度得到．
2017 年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试
数学试卷（文史类）
考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟． （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （ 2） 选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字 体工整, 字迹清楚； （3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草 稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
a 40 ?
是
S Sa n n 1
输出 S
A． 81 C． 121
B． 74 D． 169
a 8n 8
结束
（第 7 题图） 8. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 S n ，且 a1 a5 14 ， S9 27 ，则使得 S n 取最 小值时的 n 为 A.
1 的概率为 2 3 4
D.
1 6
B.
2 5
C.
1 4
11. 已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，若任意的 x 0 ，都有 f x 2 f x ， 当 x 0,1 时， f x 2 1 ，则 f 2017 f 2018
（Ⅰ）求数列 an 的通项公式； （Ⅱ）求证：
黑龙江省哈尔滨市第三中学2017届高三第一次模拟考试数学(理)试题
黑龙江省哈尔滨市第三中学2017届高三第一次模拟考试数学(理)试题2017年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（文科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1.若集合{}2|20A x x x =+-<，集合21|1B x x⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则A B =IA. ()1,2-B. ()(),11,-∞-+∞UC. ()1,1-D.()()1,00,1-U2.在复平面内，复数21ii--（i 是虚数单位）对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限 3.在等差数列{}na 中，2436aa +=，则数列{}na 的前5项和5S 的值为A. 108B. 90C. 72D. 244.执行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为A. 8B. 48C. 384D. 38405.若实数,x y 满足约束条件029y y xy x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤-+⎩，则3z x y =+的最大值等于A. 0B. 92C. 12D.27 6. 已知函数()()()3sin cos 0,f x x x y f x ωωω=+>=的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是A.5,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. 511,.1212k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C. 2,.63k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D.,.36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.23B.3C.3D.438.下列结论中正确的个数是①“3x π=”是“1sin 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭”的充分不必要条件； ②若a b >，则22am bm >；③命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定是“,sin 1x R x ∀∈>”；④函数()cos f x x x=在[)0,+∞内有且仅有两个零点.A. 1B. 2C. 3D. 49.已知非零向量,a b r r 满足2,1a b a b a +=-==r r r r r，则a b +r r 与a b-r r的夹角为A. 6πB. 3πC. 23πD.56π10.将A,B,C,D,E 五名同学分到四个不同的班级，每班至少至少一名学生，则A,B 被分到同一个班级的概率为A. 35B. 25C. 15D.110 11.若PAD ∆所在平面与矩形ABCD 所在的平面相互垂直，2,60PA PD AB APD ===∠=o若点,,,PA B C D 都在同一个球面上，则此球的表面积为 A.253πB.283π C.282127πD.2127π12.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点(),A c b ，右焦点(),0F c ，椭圆上存在一点M ，使得OM OA OF OA⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r，且()OM OF tOA t R +=∈u u u u r u u u r u u u r，则该椭圆的离心率为A. 22B. 32C.33D. 23二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设等比数列{}na 中，141,8a a ==，则7a = .14.62x x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为 .15.进位制是人们为了计数和运算的方便而约定的记数系统.”满几近一为就是几位制，不同进制之间可以相互转化，例如把十进制的89转化为二进制，根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除89得商，然后取余数，具体计算方法如下：把以上各步所得的余数从下到上排列，得到89=1011001（2）这种算法叫做“除二取余法”，上述方法也可以推广为把十进制数化为k 进制数的方法，称为“除k 取余法”，那么用把“除k 取余法”化为七进制数为 .16. 当12a <时，关于x 的不等式()20xx e a e a --+<的解集中有且只有两个整数值，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分） 在ABC∆中，,,a b c分别为角,,A B C的对边，()-+=,其外接圆的半径为1.c a B b C2cos cos0（1）求角B的大小；（2）求ABC∆周长的取值范围.18.（本题满分12分）某电子元件厂对一批新产品的使用寿命进行检验，并且厂家规定使用寿命在[]300,500为合格品，适用寿命超过500小时为优质品，质检科抽取了一部分产品做样本，经检测统计后，绘制出来该产品使用寿命的频率分布直方图（如图）.（1）根据频率分布直方图估计该厂产品为合格品或优等品的概率，并估计该批产品的平均使用寿命；（2）从这批产品中，采取随机抽样的方法每次抽取一件产品，抽取4次，若以上述频率作为概率，记随机变量X为抽出的优质品的个数，列出X的分布列，并求出其数学期望.19.（本题满分12分）已知四边形ABCD为直角梯形，⊥===,F为BC的中点，//,,24,3AD BC AB BC BC AB ADEF//AB,EF与AD交于点E，沿EF将四边形EFCD折起，连接AD,BC,AC.（1）求证：BE//平面ACD;（2）若平面ABFE⊥平面EFCD（Ⅰ）求二面角B-AC-D的大小（Ⅱ）线段AC上是否存在点P，使FP⊥平面ACD，若存在，求出AP的值，若不存在，请说明理由..AC20.（本题满分12分）已知抛物线()2=>，其焦点为F,过F且斜率E x py p:20为1的直线被抛物线截得的弦长为8.（1）求抛物线E的方程；（2）设A为E上的一动点（异于原点），E在点A处的切线交x轴于点P，原点O关于直线PF的对称为点B，直线AB与y轴交与点C,求OBC∆面积的最大值.21.（本题满分12分）已知函数()()(),ln .f x ax g x x a R ==∈（1）若函数()y f x =与()y g x =的图象在()0,+∞上有两个不同的交点，求实数a 的取值范围；（2）若在[)1,+∞上不等式()()1xf x g x -≥恒成立，求实数a的取值范围（3）证明：对于[)1,x ∈+∞时，任意0t >，不等式22lnx t tx t t x++->恒成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分.22.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为212212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为6cos .ρθ=（1）若直线l的参数方程中2t=的时，得到M点，求M的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若点()1,1+.P，l和曲线C交于A,B两点，求11PA PB23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2 1.f x x x=++-（1）求不等式()5f x≥的解集；（2）若关于x的不等式()22≥-的解集为R,求实f x m m数m的取值范围.。
2020届黑龙江省哈尔滨市三中2017级高三下学期3月模拟考试数学(文)试卷及解析
2020届黑龙江省哈尔滨市三中2017级高三下学期3月模拟考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|1},{3,2,1,0,1}A x x B =>-=---,则A B =( )A. {1,0,1}-B. {0,1}C. (]1,1-D. ∅【答案】B【解析】利用交集定义直接求解． 【详解】集合{}1A x x =-,{3,2,1,B =---0,1},{}0,1A B ∴⋂=．故选：B ．2.设2iz i +=,则||z =( )C. 2D. 5【答案】B【解析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．【详解】()22212i iiz i i i ++===-,则z ==,故选：B ．3.已知向量||1,||2,3a b a b ==⋅=,则向量a 与向量b 的夹角为( )A. 6πB. 4πC. 3πD. 23π【答案】A【解析】 根据条件及向量夹角的余弦公式即可得出3cos ,2a b =,然后根据向量夹角的范围即可求出夹角的大小． 【详解】1,2,3a b a b ==⋅=, 3cos ,2a b ∴=,且0,a b π≤≤, ∴向量,a b 的夹角为6π． 故选：A ．4.函数()(0)a f x x x =≥,()log a g x x =,则()f x 与()g x 的图象可能为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】取特殊值,利用排除法即得解．【详解】当12a =时,()()12,f x x g x log x ==,选项B 符合． 故选：B ．5.已知双曲线22145x y -=的右焦点为F ,过点F 作一条直线与其中一条渐近线垂直,垂足为,A O 为坐标原点,则OAF S ∆=( )A. 3B. 35C. 255。
【黑龙江省哈尔滨三中】2017届高三上学期期末文科数学试卷-答案
11111111(1)()()2323522121n T n n =-+-+⋯+--+， 111111(1)23352121n n =-+-+⋯+--+， 11(1)221n =-+， 21n n =+， 即数列11{}n n a a +前n 项和21n n T n =+， 19．解：（1）AD DE ⊥Q ，ADE BCDE ⊥平面平面，ADE BCDE DE =I 平面平面，AD BCDE ∴⊥平面，AD BC ∴⊥，又CD BC ⊥Q ，AD CD D =I ，BC ACD ∴⊥平面，又BC ABC ⊂Q 平面，ABC ACD ∴⊥平面平面（2）ABC αQ 平面∥平面，设平面ACD 与平面α的交线为MQ ，MQ AC ∴∥，又Q M 是CD 的中点，∴Q 是AD 的中点；同理：设平面BCDE 与平面α的交线为MNMN BC ∴∥，又Q M 是CD 的中点，∴N 为BE 的中点；同理：平面ABE 的交线NP AB ∥，P 为AE 的中点，连接PQ 即为平面α与平面ADE 的交线，故平面α与四棱锥A BCDE -各个面的交线所围成多边形是图中的四边形MNPQ ，由于PQ DE ∥，DE MN ∥，故PQ MN ∥，根据（1）BC AC ⊥，由MN BC ∥，MQ AC ∥，故MQ MN ⊥，即四边形MNPQ 是直角梯形．设CM a =，则2MQ a =，3MN a =，PQ a =，4BC a =，22AC a =，故四边形MNPQ 的面积是232222a a a a +⨯=，三角形ABC 的面积是21422422a a a ⨯⨯=，故平面α与四棱锥A BCDE -各个面的交线所围成多边形的面积与三角形ABC 的面积之比为1:2． 20．解：（Ⅰ）由已知(6,0)Q ，1F B QB ⊥，1|46|QF c c ==+，所以2c =．在1Rt F BQ △中，2F 为线段1F Q 的中点，黑龙江省哈尔滨三中2017届高三上学期期末文科数学试卷解析1．【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合M，N，由此利用交集定义能求出M∩N．【解答】解：∵集合M={﹣1，0，1}，N={x|（x+2）（x﹣1）＜0}={x|﹣2＜x＜1}，∴M∩N={﹣1，0}．故选：A．2．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n==6，再求出2球都是红球包含的基本事件个数m==1，由此能求出2球都是红球的概率．【解答】解：袋中装有2个红球和2个白球，随机抽取2个球，基本事件总数n==6，2球都是红球包含的基本事件个数m==1，2球都是红球的概率为p==．故选：B．3．【考点】轨迹方程．【分析】由题意得，点P到直线y=1的距离和它到点（0，﹣1）的距离相等，故点P的轨迹是以点（0，﹣1）为焦点，以直线y=1为准线的抛物线，可得轨迹方程．【解答】解：∵点P到直线y=3的距离比到点F（0，﹣1）的距离大2，∴点P到直线y=1的距离和它到点（0，﹣1）的距离相等，故点P的轨迹是以点（0，﹣1）为焦点，以直线y=1为准线的抛物线，方程为x2=﹣4y．故选：D．4．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在①中，m与n相交、平行或异面；在②中，α与β相交或平行；在③中，由面面垂直的判断定理得α⊥β；在④中，m与n异面或平行．【解答】解：由三个不同的平面α，β，γ，三条不重合的直线m，n，l，知：在①中，若m⊥l，n⊥l，则m与n相交、平行或异面，故①错误；在②中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故②错误；在③中，若m⊥α，m∥n，n⊂β，则由面面垂直的判断定理得α⊥β，故③正确；在④中，若m∥α，α∩β=n，则m与n异面或平行，故④错误．故选：A．5．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据⊥时•=0，求出x的值，再计算﹣的模长．【解答】解：=（x，2），=（﹣2，1），⊥，∴•=﹣2x+2=0，解得x=1，∴﹣=（1+2，2﹣1）=（3，1），∴|﹣|==．故选：C．6．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据余弦函数性质可判断A，举反例a=b=c=0可判断B，由命题的真假可判断C，根据特称命题的否定是全称命题，借助全称命题写出命题的否定形式可判断D．【解答】解：对于A，根据余弦函数的单调性可知，若A＞B，则cosA＜cosB，故A正确；对于B，取a=b=c=0，显然满足b2=ac，但不满足b是a，c的等比中项，故B错误；对于C，若命题p与p∧q为真，则q一定为真命题，故C正确；对于D，∵特称命题的否定是全称命题，∴￢p：∃x∈（0，+∞），lnx≥x﹣1，故D正确．∴说法错误的是：B．故选：B．7．【分析】由题意可得：a1+a2+a3=4，a n﹣2+a n﹣1+a n=7，可得3（a1+a n）=4+7，再利用求和公式即可得出．【解答】解：由题意可得：a1+a2+a3=4，a n﹣2+a n﹣1+a n=7，∴3（a1+a n）=4+7，∴a1+a n=，∴S n==22，∴，解得n=12．故选：A．8．【考点】球的体积和表面积；简单空间图形的三视图．【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的体积．【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r==，球的体积πr3=π．故选：B．9．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知利用两角和的正切函数公式可求tanα，进而利用两角差的正切函数公式即可计算得解．【解答】解：∵，∴==，解得：tanα=，∴===﹣．故选：B．10.【考点】直线与圆的位置关系．【分析】S四边形PACB=S△PAC+S△PBC，当|PC|取最小值时，|PA|=|PB|取最小值，即S△PAC=S△PBC取最小值，此时，CP⊥l由此利用四边形PACB面积的最小值，即可得出结论．．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2=1，则圆心为C（1，﹣2），半径为1，则直线与圆相离，如图，S四边形PACB=S△PAC+S△PBC而S△PAC=|PA|•|CA|=|PA|，S△PBC=|PB|•|CB|=|PB|，又|PA|=|PB|=，∴当|PC|取最小值时，|PA|=|PB|取最小值，即S△PAC=S△PBC取最小值，此时，CP⊥l，四边形PACB面积的最小值为，S△PAC=S△PBC=，∴|PA|=2，∴|CP|=3，∴=3，∵k＞0，∴k=3．故选A．11．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得到z的最值，再由z=2x+y的最大值是最小值的2倍列式求得a值．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，联立，得A（a，a），联立，得B（1，1），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知z max=2×1+1=3，z min=2a+a=3a，由6a=3，得a=．故选：D．12．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出P的坐标，得出切线方程，求出三角形F1PF2的内切圆的半径、直线F1M的方程，联立求出N的横坐标，即可得出结论．【解答】解：联立两曲线方程，消去y可得x=，设P（x0，y0），直线l的方程为=1①，设三角形F1PF2的内切圆的半径为r，则由等面积可得=（4+）r，∴r==y M②，直线F1M的方程为y=（x+）③，联立①②③，化简可得x=6，∴x N=2，∵x M=1，∴x M+x N=3故选：C．13．【考点】模拟方法估计概率．【分析】设阴影部分的面积为S，则，即可得出结论．【解答】解：由题意，符合几何概型，故设阴影部分的面积为S，则，∴S=．故答案为．14．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用椭圆的性质可得其长轴的端点、焦点，进而得到双曲线的c，a，b，即可得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：椭圆长轴端点为（﹣4，0），（4，0），焦点为（﹣3，0），（3，0），∴对于双曲线中，c=4，a=3，得b=，∴双曲线的渐近线方程为：，故答案为．15．【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵0＜a=0.20.3＜0.20=1，b=log0.23＜log0.21=0，c=log0.24＜log0.23=b，∴c＜a＜B．故答案为：c＜a＜B．16．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出p的值，再设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为E，F，过B作AE的垂线BC，在三角形ABC中，∠BAC等于直线AB的倾斜角，其正切值即为K值，利用在直角三角形ABC中，求出tan ∠BAC，得出直线AB的斜率，即可得出结论．【解答】解：∵，∴由抛物线的性质，可得=1，∴p=2．如图，设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为E，F，过B作AE的垂线BC，在三角形ABC中，∠BAC等于直线AB的倾斜角，其正切值即为K值，设|BF|=n，∵|AF|=2|BF|，∴|AF|=2n，根据抛物线的定义得：|AE|=2n，|BF|=n，∴|AC|=n，在直角三角形ABC中，tan∠BAC==2，∴直线l的方程为y=2（x﹣1）．故答案为y=2（x﹣1）．17．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2cos（C+）=0，由余弦函数的性质，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（II）由余弦定理可得b的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．18．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由4S n=a n+12+2a n+1+1，当n≥2时，4S n﹣1=a n2+2a n+1，两式相减得：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，则a n﹣a n﹣1=2，由等差数列通项公式即可求得a n；（2）==（﹣），采用裂项法即可求得数列前n项和为T n．19．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】（1）AD⊥DE，平面ADE⊥平面BCDE，根据两个平面垂直的性质定理得AD⊥平面BCDE，所以AD⊥BC，又CD⊥BC，根据线面垂直的判定定理BC⊥平面ACD，BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD（2）由于平面α∥平面ABC，故平面ACD与平面α的交线MQ∥AC，M是CD的中点，故Q是AD的中点；同理平面BCDE与平面α的交线MN∥BC，N为BE的中点；平面ABE的交线NP∥AB，P为AE的中点，连接PQ即为平面α与平面ADE的交线，故平面α与四棱锥A﹣BCDE各个面的交线所围成多边形就是四边形MNPQ，进一步观察可知四边形MNPQ是直角梯形，进而由比例关系可以求得截面面积与△ABC的面积之比．20.【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由已知Q（6，0），F1B⊥QB，|QF1|=4c=6+c，解得c=2．在Rt△F1BQ中，|BF2|=2c=a，所以a=4，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设l：y=kx+4（k＞0），M（x1，y1），N（x2，y2），取MN的中点为E（x0，y0）．假设存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形，联立⊂（4k2+3）x2+32kx+16=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围．21．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）先求导，根据导数求出函数的最值，问题即可解决，（Ⅱ）欲证明不等式成立，从图象分析可先证＜f′（x）＜，分别构造函数，根据导数和函数的单调性和最值关系即可证明22．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式．【分析】（1）将直线化成普通方程，可得它是经过原点且倾斜角为的直线，由此不难得到直线l的极坐标方程；（2）将直线l的极坐标方程代入曲线C极坐标方程，可得关于ρ的一元二次方程，然后可以用根与系数的关系结合配方法，可以得到AB的长度．23．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）分类讨论求出函数的最小值，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）分类讨论解不等式即可．。
2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数，则（）A．z的实部为1B．z的虚部为﹣iC．z的虚部为﹣1D．z的共轭复数为1+i2．（5分）已知集合A＝{0，2，4，6}，B＝{n∈N|2n＜8}，则集合A∩B的子集个数为（）A．8B．7C．6D．43．（5分）对于平面α和不重合的两条直线m、n，下列选项中正确的是（）A．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nB．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αD．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α4．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则z＝x﹣3y的最小值（）A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣85．（5分）在区间中随机取一个实数k，则事件“直线y＝kx与圆（x﹣3）2+y2＝1相交”发生的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n＝（）A．5B．4C．3D．27．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．10B．20C．40D．608．（5分）已知sin（﹣α）＝，则sin（﹣2α）＝（）A．B．C．D．9．（5分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）＝，称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题：①f（f（x））＝1；②函数f（x）是偶函数；③任意一个非零有理数T，f（x+T）＝f（x）对任意x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是（）A．4B．3C．2D．110．（5分）“关于x的方程x2﹣mx+n＝0有两个正根”是“方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）已知函数，，若f（x），g（x）图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y＝x对称，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．12．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c（c＞0），抛物线y2＝2cx的准线交双曲线左支于A，B两点，且∠AOB＝120°（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）如图，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是．14．（5分）以模型y＝ce kx（e为自然对数的底）去拟合一组数据时，为了求出回归直线方程，设z＝lny，其变换后得到线性回归方程为z＝0.4x+2，则c＝．15．（5分）在△ABC中，已知c＝2，若sin2A+sin2B﹣sin A sin B＝sin2C，则a+b的取值范围．16．（5分）已知函数f（x）定义域为R，若存在常数f（x），使对所有实数都成立，则称函数f（x）为“期望函数”，给出下列函数：①f（x）＝x2②f（x）＝xe x ③④其中函数f（x）为“期望函数”的是．（写出所有正确选项的序号）三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1＝3，a n+1＝2S n+3（n∈N）（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n＝（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（10分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的概率；（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：①若该销售商店内有6辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选两辆车，求这两车辆中恰好有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌的二手车，求一辆车盈利的平均值．19．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，已知PD⊥平面ABCD，PD＝AD，点M为线段P A上任意一点（不含端点），点N在线段BD上，且PM＝DN．（1）求证：直线MN∥平面PCD；（2）若PD＝2，M为线段P A中点，求三棱锥P﹣MNB的体积．20．（10分）已知圆O：x2+y2＝4与x轴交于A，B两点，点M为圆O上异于A，B的任意一点，圆O在点M处的切线与圆O在点A，B处的切线分别交于C，D，直线AD和BC 交于点P，设P点的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）曲线E与y轴正半轴交点为H，则曲线E是否存在直角顶点为H的内接等腰直角三角形Rt△GHK，若存在，求出所有满足条件的Rt△GHK的两条直角边所在直线的方程，若不存在，请说明理由．21．（10分）已知函数f（x）＝x2﹣2x+mlnx（m∈R），．（1）求函数f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），求g（x1﹣x2）的最小值．22．（10分）圆锥曲线C的极坐标方程为：ρ2（1+sin2θ）＝2．（1）以极点为原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程，并求曲线C在直角坐标系下的焦点坐标以及在极坐标系下的焦点坐标；（2）直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），若曲线C上的点M到直线l的距离最大，求点M的坐标（直角坐标和极坐标均可）．23．（10分）（1）已知对于任意非零实数a和b，不等式|3a+b|+|a﹣b|≥|a|（|x﹣1|+|x+1|）恒成立，试求实数x的取值范围；（2）已知不等式|2x﹣1|＜1的解集为M，若a，b∈M，试比较+1与的大小．（并说明理由）2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数，则（）A．z的实部为1B．z的虚部为﹣iC．z的虚部为﹣1D．z的共轭复数为1+i【解答】解：复数＝＝﹣1﹣i，∴z的虚部为﹣1．故选：C．2．（5分）已知集合A＝{0，2，4，6}，B＝{n∈N|2n＜8}，则集合A∩B的子集个数为（）A．8B．7C．6D．4【解答】解：∵集合A＝{0，2，4，6}，B＝{n∈N|2n＜8}＝{0，1，2}，∴集合A∩B＝{0，2}，∴集合A∩B的子集个数为n＝22＝4．故选：D．3．（5分）对于平面α和不重合的两条直线m、n，下列选项中正确的是（）A．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nB．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αD．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α【解答】解：A答案中：如果m⊂α，n∥α，则m∥n或m与n异面，又由m、n共面，那么m∥n，故A正确；B答案中：如果m⊂α，n与α相交，那么m、n相交或m、n是异面直线，故B答案错误；C答案中：如果m⊂α，n⊄α，当m、n是异面直线时，则n与α可能平行，也可能相交，故C答案错误；D答案中：如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α或n⊂α故D答案错误；故选：A．4．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则z＝x﹣3y的最小值（）A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣8【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，由图可知目标函数在点（﹣2，2）取最小值﹣8故选：D．5．（5分）在区间中随机取一个实数k，则事件“直线y＝kx与圆（x﹣3）2+y2＝1相交”发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：圆（x﹣3）2+y2＝1的圆心为（3，0），半径为1．要使直线y＝kx与圆（x﹣3）2+y2＝1相交，则圆心到直线y＝kx的距离＜1，解得﹣＜k＜．在区间中随机取一个实数k，则事件“直线y＝kx与圆（x﹣2）2+y2＝1相交”发生的概率为＝．故选：B．6．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n＝（）A．5B．4C．3D．2【解答】解：当n＝1时，a＝，b＝4，满足进行循环的条件，当n＝2时，a＝，b＝8满足进行循环的条件，当n＝3时，a＝，b＝16满足进行循环的条件，当n＝4时，a＝，b＝32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选：B．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．10B．20C．40D．60【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱截去一个同底等高的三棱锥的组合体，故几何体的体积V＝（1﹣）Sh＝××3×4×5＝20，故选：B．8．（5分）已知sin（﹣α）＝，则sin（﹣2α）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵sin（﹣α）＝cos[﹣（﹣α）]＝cos（+α）＝，∴sin（﹣2α）＝cos[﹣（﹣2α）]＝cos[2（+α）]＝2cos2（+α）﹣1＝2×﹣1＝﹣．故选：A．9．（5分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）＝，称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题：①f（f（x））＝1；②函数f（x）是偶函数；③任意一个非零有理数T，f（x+T）＝f（x）对任意x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：①∵当x为有理数时，f（x）＝1；当x为无理数时，f（x）＝0，∴当x为有理数时，ff（（x））＝f（1）＝1；当x为无理数时，f（f（x））＝f（0）＝1，即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））＝1，故①正确；②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）＝f（x），故②正确；③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）＝f（x）对x∈R恒成立，故③正确；④取x1＝﹣，x2＝0，x3＝，可得f（x1）＝0，f（x2）＝1，f（x3）＝0，∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．即真命题的个数是4个，故选：A．10．（5分）“关于x的方程x2﹣mx+n＝0有两个正根”是“方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：关于x的方程x2﹣mx+n＝0有两个正根，则．方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆，则．上述两个不等式组相互推不出．∴关于x的方程x2﹣mx+n＝0有两个正根”是“方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆”的既不充分也不必要条件．故选：D．11．（5分）已知函数，，若f（x），g（x）图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y＝x对称，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，函数，，若f（x），g（x）图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线y＝x对称可得：，解得：﹣2≤x≤2．根据反函数的性质，可得﹣2≤f（x）≤2，即﹣2≤kx≤2，∵0＜x≤e，∴≤k≤，解得：．故选：B．12．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c（c＞0），抛物线y2＝2cx的准线交双曲线左支于A，B两点，且∠AOB＝120°（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【解答】解：由题意，A（﹣，c），代入双曲线方程，可得﹣＝1，整理可得e4﹣8e2+4＝0，∵e＞1，∴e＝+1，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）如图，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是144．【解答】解：由题意a＝12×12＝144．故答案为：144．14．（5分）以模型y＝ce kx（e为自然对数的底）去拟合一组数据时，为了求出回归直线方程，设z＝lny，其变换后得到线性回归方程为z＝0.4x+2，则c＝e2．【解答】解：∵y＝ce kx，∴两边取对数，可得lny＝ln（ce kx）＝lnc+lne kx＝lnc+kx，令z＝lny，可得z＝lnc+kx，∵z＝0.4x+2∴lnc＝2，∴c＝e2．故答案为：e215．（5分）在△ABC中，已知c＝2，若sin2A+sin2B﹣sin A sin B＝sin2C，则a+b的取值范围（2，4]．【解答】解：∵sin2A+sin2B﹣sin A sin B＝sin2C，由余弦定理可得：a2+b2﹣ab＝c2，可得cos C＝＝，C∈（0，π），∴C＝．由正弦定理可得：＝＝，∴a＝sin A，b＝sin B，B＝﹣A．则a+b＝sin A+sin B＝sin A+sin（﹣A）＝4sin，A∈，∴∈，∴sin∈，∴a+b∈（2，4]．故答案为：（2，4]．16．（5分）已知函数f（x）定义域为R，若存在常数f（x），使对所有实数都成立，则称函数f（x）为“期望函数”，给出下列函数：①f（x）＝x2②f（x）＝xe x③④其中函数f（x）为“期望函数”的是③④．（写出所有正确选项的序号）【解答】解：对于①：假设函数f（x）为“期望函数“，则|f（x）|＝x2≤|x|，当x＝0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2017|x|，因此不存在k＞0，使得x≠0成立，因此假设不正确，即函数f（x）不是“期望函数”；对于②：同理①可得②也不是“期望函数”；对于③：假设函数f（x）为“期望函数“，则则|f（x）|＝，当x＝0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2017×＝，∴k≥．∴存在常数k＞0，使对所有实数都成立，∴③是“期望函数”；对于④，假设函数f（x）为“期望函数“，则|f（x）|＝，当x＝0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2017×，k≥2017，．∴存在常数k＞0，使对所有实数都成立，∴④是“期望函数”；故答案为：③④．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1＝3，a n+1＝2S n+3（n∈N）（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n＝（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（I）∵a n+1＝2S n+3，∴当n≥2时，a n＝2S n﹣1+3，∴a n+1﹣a n＝2（S n﹣S n﹣1）＝2a n，化为a n+1＝3a n．∴数列{a n}是等比数列，首项为3，公比为3．∴a n＝3n．（II）b n＝（2n﹣1）a n＝（2n﹣1）•3n，∴数列{b n}的前n项和T n＝3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）•3n，3T n＝32+3×33+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1，∴﹣2T n＝3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1＝﹣3﹣（2n﹣1）•3n+1＝（2﹣2n）•3n+1﹣6，∴T n＝（n﹣1）•3n+1+3．18．（10分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的概率；（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：①若该销售商店内有6辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选两辆车，求这两车辆中恰好有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌的二手车，求一辆车盈利的平均值．【解答】解：（1）一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的频率为P＝．（2）①由统计数据可知，该销售商店内的六辆该品牌车龄已满三年的二手车有两辆事故车，设为b1，b2，四辆非事故车设为a1，a2，a3，a4，从六辆车中随机挑选两辆车共有：（b1，b2），（b1，a1），（b1，a2），（b1，a3），（b1，a4），（b2，a1），（b2，a2），（b2，a3），（b2，a4），（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a2，a3），（a2，a4），（a3，a4），总共15种情况，其中两辆车恰好有一辆事故车共有（b1，a1），（b1，a2），（b1，a3），（b1，a4），（b2，a1），（b2，a2），（b2，a3），（b2，a4），共8种情况，所以该顾客在店内随机挑选的两辆车恰好有一辆事故车的概率为P＝．②由统计数据可知，该销售商一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40辆，非事故车80辆，所以一辆车盈利的平均值为[（﹣5000）×40+10000×80]＝5000元．19．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，已知PD⊥平面ABCD，PD＝AD，点M为线段P A上任意一点（不含端点），点N在线段BD上，且PM＝DN．（1）求证：直线MN∥平面PCD；（2）若PD＝2，M为线段P A中点，求三棱锥P﹣MNB的体积．【解答】证明：（1）延长AN，交CD于点G，连结PG，由相似知，∴MN∥PG，∵MN⊄平面PCD，PG⊂平面PCD，∴直线MN∥平面PCD．解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则M（1，0，1），N（1，1，0），P（0，0，2），B（2，2，0），＝（1，0，﹣1），＝（1，1，﹣2），＝（2，2，﹣2），设平面PNB的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，0），点M到平面PBN的距离d＝＝，S△PNB＝＝＝，∴三棱锥P﹣MNB的体积V P﹣MNB＝V M﹣PBN＝＝＝．20．（10分）已知圆O：x2+y2＝4与x轴交于A，B两点，点M为圆O上异于A，B的任意一点，圆O在点M处的切线与圆O在点A，B处的切线分别交于C，D，直线AD和BC 交于点P，设P点的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）曲线E与y轴正半轴交点为H，则曲线E是否存在直角顶点为H的内接等腰直角三角形Rt△GHK，若存在，求出所有满足条件的Rt△GHK的两条直角边所在直线的方程，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设M（x0，y0），则M处的切线为x0x+y0y＝4，则，，则P：，则E：＝1（y≠0），曲线E的方程＝1（y≠0）；（Ⅱ）由于直线GH不与坐标轴平行或垂直，可设l GH：y＝kx+1，则l KH：y＝﹣x+1，联立，整理得（1+4k2）x2+8kx＝0，由于△＞0恒成立，设两个根为x1，x2，则丨GH丨＝|，同理，丨HK丨＝，|由丨GH丨＝丨HK丨知：|k|（k2+4）＝4k2+1，得：①k＞0时，得（k﹣1）（k2﹣3k+1）＝0得：k＝1或k＝②k＜0时，得（k+1）（k2+3k+1）＝0得：k＝﹣1或k＝综上，共分三种情况两条直角边所在直线方程为：y＝±x+1；两条直角边所在直线方程为：y＝x+1；两条直角边所在直线方程为：y＝x+1．21．（10分）已知函数f（x）＝x2﹣2x+mlnx（m∈R），．（1）求函数f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），求g（x1﹣x2）的最小值．【解答】解：（1）函数y＝f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2x﹣2+＝，令f′（x）＝0并结合定义域得2x2﹣2x+m＞0，△＝4﹣8m，令△＝0，解得：m＝，由f′（x）＝0，解得：x＝或x＝，故①，单调递增，单调递减，单调递增；②m≤0，单调递减，单调递增；③，（0，+∞）单调递增；（Ⅱ）f′（x）＝2x﹣2+＝（x＞0），令f′（x）＝0，得2x2﹣2x+m＝0①，∵f（x）存在两个极值点x1，x2，（x1＜x2），∴方程①在（0，+∞）上有两个不等实根x1，x2，∴⇔0＜m＜，且x1+x2，＝1，0＜x1＜，x1﹣x2＝x1﹣（1﹣x1）＝2x1﹣1∈（﹣1，0），g′（x）＝（x+）e x，当x∈（﹣1，﹣）时，g′（x）＜0，当x∈（﹣，0）时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣1，﹣）上是减函数，g（x）在（﹣，0）上是增函数，∴g（x1﹣x2）的最小值为g（﹣）＝﹣．22．（10分）圆锥曲线C的极坐标方程为：ρ2（1+sin2θ）＝2．（1）以极点为原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程，并求曲线C在直角坐标系下的焦点坐标以及在极坐标系下的焦点坐标；（2）直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），若曲线C上的点M到直线l的距离最大，求点M的坐标（直角坐标和极坐标均可）．【解答】解：（1）∵圆锥曲线C的极坐标方程为：ρ2（1+sin2θ）＝2，∴曲线C的直角坐标方程：x2+y2+y2＝2，化为，焦点直角坐标：F1（﹣1，0），F2（1，0）焦点极坐标：F1（1，π），F2（1，0）．（2）∵直线l的极坐标方程为β＝（ρ∈R），∴直线l的直角坐标方程为y＝，曲线C的参数方程为，（0≤θ＜2π），设M（），则M到直线的距离d＝＝，∴sin（θ+α）＝1时，曲线C上的点M到直线l的距离最大，此时解得sinθ＝，cosθ＝﹣；sinθ＝﹣，cosθ＝．或23．（10分）（1）已知对于任意非零实数a和b，不等式|3a+b|+|a﹣b|≥|a|（|x﹣1|+|x+1|）恒成立，试求实数x的取值范围；（2）已知不等式|2x﹣1|＜1的解集为M，若a，b∈M，试比较+1与的大小．（并说明理由）【解答】（Ⅰ）解：|3a+b|+|a﹣b|≥|3a+b+a﹣b|＝4|a|，当且仅当（3a+b）（a﹣b）≥0时取等号，只需：4|a|≥|a|（|x+1|+|x﹣1|），由于a≠0，只需|x+1|+|x﹣1|≤4，表示数轴上的点与﹣1，1的距离之和小于等于4，所以：x的取值范围为：[﹣2，2]；（Ⅱ）解得：M＝（0，1），a∈M，b∈M知：＞0，即．。
黑龙江省哈尔滨市2017届高三数学第三次模拟考试试题 理
黑龙江省哈尔滨市2017届高三数学第三次模拟考试试题 理考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 已知集合(){}{}2|ln 2,|340M x y x N x x x ==-=--≤，则=N MA. )2,1[-B. ]2,1[-C. ]1,4[-D. ]4,1[-2.()211i i-+的虚部为A ．iB ．1-C ．i -D ．13. 已知向量,a b 满足1,2,3,⋅===a b a b 则a b -=A .B . 6C .D . 54. 已知,x y 满足：020x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，若目标函数z ax y =+取最大值时的最优解有无数多个，则实数a 的值是A. 0B. 1-C. 1±D. 15. 椭圆22:143x y C +=与双曲线2222:1(,0)x y E a b a b-=>有相同的焦点，且两曲线的离 心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为A ．21B ．2C ．3D ．26. 一个几何体的三视图如右图所示， 则该几何体的体积为A ．323B ．503C ．643D ．8037.《孙子算经》是我国古代的数学著作,其卷下中 有类似如下的问题：“今有方物一束，外周一 匝有四十枚，问积几何？”如右图是解决该问 题的程序框图，若设每层外周枚数为a ，则输 出的结果为A ． 81B ．74C ． 121D ．1698. 已知函数2()2(2)55f x f x x x =--+-,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方 程为A. y x =B. 23y x =-+C. 34y x =-+D. 2y x =-9. 一条光线从点(1,1)-射出，经y 轴反射后与圆22(2)1-+=x y 相交，则入射光线所 在直线的斜率的取值范围为A . 3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B . 30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C . 3,04⎛⎫-⎪⎝⎭D . 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 在拍毕业照时，六个同学排成一排照相，要求其中一对好友甲和乙相邻，且同学丙 不能和甲相邻的概率为A .115B .215C .415D .1511. 正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在底面BCD 内的射影，则异面 直线BM 与AO 所成角的余弦值为A ．6 B. 3C.4 D ．512. 定义在R 上的可导函数()f x ，其导函数记为()f x '，满足()()()221f x f x x +-=-，且当1x ≤时，恒有()2f x x '+<．若()()3132f m f m m --≥-，则实数m 的取 值范围是 A.(],1-∞B.1,13⎛⎤- ⎥⎝⎦C.[)1,+∞D.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2017年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 知()()()()234401234(21)1111x a a x a x a x a x +=++++++++，则1234a a a a +++的值是 ．14.函数2cos 2y x x =-的图象可由函数2sin(2)6y x π=+的图象至少向右平移 个单位长度得到． 15. 下列共有四个命题：（1）命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“x x R x 31,2<+∈∀”； （2）在回归分析中，相关指数2R 为0.96的模型比2R 为0.84的模型拟合效果好；（3）,,a b R ∈11:,:0,p a b q b a <<<则p 是q 的充分不必要条件；（4）已知幂函数2()(33)mf x m m x =-+为偶函数，则(2)4f -=. 其中正确的序号为 .（写出所有正确命题的序号） 16. 已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对应边分别为,,c a b ,且2ABC S ∆=. 则使得 22sin sin sin sin B C m B C +=成立的实数m 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()1121,2,n n n S S a n n N *--=++≥∈，且13a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：121111 (1112)n a a a +++<+++.18.（本小题满分12分）为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后，得到如下的22⨯列联表：（Ⅰ）请完成上面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；（Ⅱ）（i ） 按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足 120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足 15小时的人数是X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；（ii ） 若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这 些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差.附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.（本小题满分12分）如图所示的几何体是由棱台111ABC A B C -和棱锥11D AA C C -拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，1BB ⊥平面ABCD ，11122BB A B ==．（Ⅰ）求证：平面1AB C ⊥平面1BB D ； （Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线)0(2:2>=p px y G ，过焦点F 的动直线l 与抛物线交于,A B 两点，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）当直线l 的倾斜角为4π时，||16AB =．求抛物线G 的方程； （Ⅱ） 对于（Ⅰ）问中的抛物线G ，是否存在x 轴上一定点N ，使得||2||AB MN - 为定值，若存在求出点N 的坐标及定值，若不存在说明理由.21．（本小题满分12分）（0a >且1a ≠）为定义域上的增函数，()'f x 是函数()f x 的导数，且()'f x 的最小值小于等于0. （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）设函数32()()4ln 63g x f x x x x =--+，且12()()0g x g x +=，求证：122x x +≥请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）已知曲线C的参数方程为12x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）设 12:,:63l l ππθθ==，若12l l 、与曲线C 相交于异于原点的两点A B 、，求AOB ∆的面积. .23.（本小题满分10分） 设函数4()1,(0)f x x a x a a=+++->. （Ⅰ）证明：()5f x ≥；（Ⅱ）若(1)6f <成立，求实数a 的取值范围.2017年哈三中第三次高考模拟考试答案1.A2.B3.C4.D5.D6.D7.C8.A9.C 10.C 11.B 12.D 13.0 14.6π15.(2)(4) 16.[]2,4 17. （本小题满分12分）（Ⅰ）由题意121n n a a -=+()2,n n N *≥∈()1121n n a a -∴+=+ …………………………………..3分又114a +=1142n n a -∴+=⨯………………………………………………5分121n n a +∴=-……………………………………………………6分（Ⅱ）112n n a ++=，∴111n a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是首项为14，公比为12的等比数列， 因此1211111142 (111112)nn a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++=+++-…………………………………9分11122n⎛⎫=- ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………..11分12< (12)分18. （本小题满分12分） （Ⅰ）…………………………….2分2245(1516104)7.287 6.63525201926K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ ∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关” ………..……..4分（Ⅱ）（i ）由分层抽样知大于等于120分的有5人，不足120分的有4人……….5分 X 的可能取值为0,1,2,3,4………………………………………………………………………6分()4164200C P X C ==，()134164201C C P X C ⋅==，()224164202C C P X C ⋅==， ()314164203C C P X C ⋅==，()444204C P X C ==…………………………8分 （ii ）设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，这些人中周做题时间不少于15小时的人数为随机变量Y ，……………………………………..9分由题意可知()20,0.6YB ，……………………………………………..10分故()12,E Y =………………………………………………………………………11分() 4.8D Y = (12)分19．（本小题满分12分）（Ⅰ）∵1BB ⊥平面ABCD ∴1BB ⊥AC在菱形ABCD 中，BD ⊥AC 又1BD BB B ⋂= ∴AC ⊥平面1BB D………………………………2分∵AC ⊂平面1AB C ∴平面1AB C ⊥平面1BB D ………………4分（Ⅱ）连接BD 、AC 交于点O ，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OD 为y 轴，如图建立空间直角坐标系. …… ……5分1(0,1,0),(0,1,0),(0,1,2),B D B A --11111,2)22B A BA A =⇒-，同理11(,2)2C - 131(,2)2BA =,(0,2,0)BD =,11(,2)2BC =- 设平面1A BD 的法向量),,(z y x =∴10BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则(n =- …… …… ……8分 设平面DCF 的法向量),,(z y x =100BD m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则m = ………………11分 设二面角11A BD C --为θ，13cos 19m n m n θ⋅== ……… ……12分 20．（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意知(,0)2p F 设直线l 的方程为()2p x ty t R =+∈ ， 221212(,),(,)22y y A y B y pp ……………………..1分 由 222y px p x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 得：2220y pty p --= 222440p t p ∆=+> 212122,y y pt y y p +==-…………………… 2分2||2(1)AB p t ==+ …………….4分 当直线l 倾斜角为4π 时，1t =， ||416AB p == ，得4p = ， 所以抛物线G 的方程为28y x =. (6)分（2）假设在x 轴上存在点(,0)N a 使得||2||AB MN -为定值.由（1）知2||8(1)A B t =+ (7)分 212()2422M t x y y t =++=+ ，4M y t = ，即2(42,4)M t t +………….8分若满足题意22||2(4)MN t k ==+ ………10分, 即222403282(2)t k a k a k ⎧+≥⎪-=⎨⎪-=⎩解得3,1a k == ，此时||2||6AB MN -=综上在x 轴上存在点(3,0)N 使得||2||AB MN -为定值6………………….12分注:其它做法酌情给分21．（本小题满分12分） （Ⅰ）21()23ln f x x x x a'=-+，……………………………………………………1分 由()f x 为增函数可得，()0f x '≥恒成立， 则由2321123023ln ln x x x x x a a -+≥⇒-≥-， 设32()23m x x x =-，则2()66m x x x '=-，若由()()610m x x x '=->和()()610m x x x '=-<可知,()m x 在()0,1上减，在()1,+∞上增，在1处取得极小值即最小值，所以min ()=(1)1m x m =-，所以11ln a -≥-，11ln a ≤， 当1a >时，易知a e ≤，当01a <<时，则10ln a <，这与11ln a≤矛盾， 从而不能使得()0f x '≥恒成立，所以a e ≤………………………………………3分 由min ()0f x '≤可得，21230ln x x x a -+≤，即32123ln x x a -≤-， 由之前讨论可知，11ln a-≤-， 当10a >>时，11ln a-≤-恒成立， 当1a >时，11ln 1ln ln ln a a e a e a≥⇒≥⇒≥⇒≥， 综上a e =...................................................................................................................6分（II ）32322323()ln 4ln 6=3ln 63232g x x x x x x x x x x =-+--+--+， 因为12()()0g x g x +=， 所以22111222333ln 6+3ln 6=022x x x x x x ⎛⎫--+--+ ⎪⎝⎭， 所以()()2212121233ln()602x x x x x x -+-++= ()()21212121212ln()202x x x x x x x x ⎡⎤-+--++=⎢⎥⎣⎦()()2121212121ln()202x x x x x x x x -++-++= 所以()()212122x x -+，…………………………………………………..9分 令12=x x t ，()ln g t t t =-，11()1t g t t t-'=-=， ()g t 在()0,1上增，在()1,+∞上减，()(1)1g t g ≤=-，所以()()212121212x x x x -+++≤-， 整理得()()21212420x x x x +-+-≥，解得122x x +≥122x x +≤（舍），所以122x x +≥得证……………………………………………………………………………………….. 12分22.选做题（本小题满分10分）( Ⅰ)曲线C 的普通方程为5)2(122=-+-y x ）（， ……………………………… 2分 将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入得：θθρsin 4cos 2+= ………………………4分4358sin 21+=∠=∆AOB OB OA SAOB …………………………………… 10分23. 选做题（本小题满分10分）514241)(,0=+⋅≥++≥∴>aa a a x f a …………………………………. 5分①② ……………………………………………………………………………………………9分综上，实数a 的取值范围是)4,1( ………………………… 10分。
【黑龙江省哈尔滨市第三中学】2017年第二次高考模拟数学(文科)试卷
黑龙江省哈尔滨市第三中学2017年第二次高考模拟数学（文科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数21iz =-+，则（ ） A ．z 的模为2 B ．z 的虚部为1-C ．z 的实部为1D ．z 的共轭复数为1i +2．已知集合{0,2,4,6}A =，{|28}n B n =∈N ＜，则集合A B I 的子集个数为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．43．对于平面α和不重合的两条直线m ，n ，下列选项中正确的是（ ） A ．如果m α⊂，n α∥，m ，n 共面，那么m n ∥ B ．如果m α⊂，n 与α相交，那么m ，n 是异面直线 C ．如果m α⊂，n α⊄，m ，n 是异面直线，那么n α∥ D ．如果m α⊥，n m ⊥，n α∥那么n α∥4．设变量x ，y 满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，则3z x y =-的最小值为（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-5．在区间[2,2]-中随机取一个实数k ，则事件“直线y kx =与圆22(x 3)1y -+=相交”发生的概率为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．186．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n =（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．57．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．608．已知π1sin()33α-=，则πsin(2)6α-=（ ） A ．79-B ．79C ．79±D ．29-9．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数1,()0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题： ①(())1f f x =； ②函数()f x 是偶函数；③对于任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x ∈R 恒成立；④存在三个点11(,())A f x x ，22(,())B x f x ，33(,())C x f x 使得ABC △为等边三角形； 其中真命题的个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．110．“关于x 的方程20x mx n -+=有两个正根”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知函数()f x kx =（1[,e]e x ∈），21()()exg x =若()f x ，()g x 图像上分别存在点M ，N ，使得M ，N 关于直线y x =对称，则实数k 的取值范围为（ ）A ．1[,e]e -B ．2[,2e]e -C ．3[,3e]e-D ．2(,2e)e-12．已知双曲线22221x y a b-=（0a ＞，0b ＞）的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c （0c ＞），抛物线22y cx=的准线交双曲线左支于A ，B 两点，且120AOB ∠=︒，其中O 为原点，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．12+C ．13+D ．15+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．如图，根据图中数构成的规律，a 所表示的数是________．（1）求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的概率；（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：①若该销售商店内有6辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选两辆车，求这两量车中恰好有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进1200辆（车龄已满三年）该品牌的二手车，求一辆车盈利的平均值．19．如图，四棱锥P ABCD -底面为正方形，已知PD ABCD ⊥平面，PD AD =，点M 为线段PA 上任意一点（不含端点），点N 在线段BD 上，且PM DN =． （1）求证：直线MN PCD ∥平面；（2）若2PD =，M 为线段PA 中点，求三棱锥P MNB -的体积20.已知圆22:4O x y +=与x 轴交于,A B 两点，点M 为圆O 上异于,A B 的任意一点，圆O 在点M 处的切线与圆O 在点,A B 处的切线分别交于,C D ，直线AD 和BC 交于点P ，设P 点的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）曲线E 与y 轴正半轴交点为H ，则曲线E 是否存在直角顶点为H 的内接等腰直角三角形Rt GHK △，若存在，求出所有满足条件的Rt GHK △的两条直角边所在直线的方程，若不存在，请说明理由．21．已知函数23()2ln (),()()e 4x f x x x m x m g x x =-+∈=-R ． （1）求函数()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1212,()x x x x ＜，求12()g x x -的最小值．。
黑龙江省哈尔滨市高三数学第三次模拟考试试题 理
黑龙江省哈尔滨市2017届高三数学第三次模拟考试试题 理考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 已知集合(){}{}2|ln 2,|340M x y x N x x x ==-=--≤，则=N M IA. )2,1[-B. ]2,1[-C. ]1,4[-D. ]4,1[-2.()211i i-+的虚部为A ．iB ．1-C ．i -D ．13. 已知向量,a b 满足1,2,3,⋅===a b a b 则a b -=A .B . 6C .D . 54. 已知,x y 满足：020x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，若目标函数z ax y =+取最大值时的最优解有无数多个，则实数a 的值是A. 0B. 1-C. 1±D. 15. 椭圆22:143x y C +=与双曲线2222:1(,0)x y E a b a b-=>有相同的焦点，且两曲线的离 心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为A ．21B．2 C．3 D．26. 一个几何体的三视图如右图所示， 则该几何体的体积为A ．323B ．503C ．643D ．8037.《孙子算经》是我国古代的数学著作,其卷下中 有类似如下的问题：“今有方物一束，外周一 匝有四十枚，问积几何？”如右图是解决该问 题的程序框图，若设每层外周枚数为a ，则输 出的结果为A ． 81B ．74C ． 121D ．1698. 已知函数2()2(2)55f x f x x x =--+-,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方 程为A. y x =B. 23y x =-+C. 34y x =-+D. 2y x =-9. 一条光线从点(1,1)-射出，经y 轴反射后与圆22(2)1-+=x y 相交，则入射光线所 在直线的斜率的取值范围为A . 3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B . 30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C . 3,04⎛⎫-⎪⎝⎭D . 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 在拍毕业照时，六个同学排成一排照相，要求其中一对好友甲和乙相邻，且同学丙 不能和甲相邻的概率为A .115B .215C .415D .1511. 正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在底面BCD 内的射影，则异面 直线BM 与AO 所成角的余弦值为A ．6 B. 3C.4 D ．512. 定义在R 上的可导函数()f x ，其导函数记为()f x '，满足()()()221f x f x x +-=-，且当1x ≤时，恒有()2f x x '+<．若()()3132f m f m m --≥-，则实数m 的取 值范围是 A.(],1-∞B.1,13⎛⎤- ⎥⎝⎦C.[)1,+∞D.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2017年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（理工类） 第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 知()()()()234401234(21)1111x a a x a x a x a x +=++++++++，则1234a a a a +++的值是 ．14.函数2cos 2y x x =-的图象可由函数2sin(2)6y x π=+的图象至少向右平移 个单位长度得到． 15. 下列共有四个命题：（1）命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“x x R x 31,2<+∈∀”； （2）在回归分析中，相关指数2R 为0.96的模型比2R 为0.84的模型拟合效果好；（3）,,a b R ∈11:,:0,p a b q b a <<<则p 是q 的充分不必要条件；（4）已知幂函数2()(33)mf x m m x =-+为偶函数，则(2)4f -=. 其中正确的序号为 .（写出所有正确命题的序号） 16. 已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对应边分别为,,c a b ,且2ABC S ∆=. 则使得 22sin sin sin sin B C m B C +=成立的实数m 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()1121,2,n n n S S a n n N *--=++≥∈，且13a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求证：121111...1112n a a a +++<+++.18.（本小题满分12分）为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后，得到如下的22⨯列联表：（Ⅰ）请完成上面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；（Ⅱ）（i ） 按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足 120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足 15小时的人数是X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；（ii ） 若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这 些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差.附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.（本小题满分12分）如图所示的几何体是由棱台111ABC A B C -和棱锥11D AA C C -拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，1BB ⊥平面ABCD ，11122BB A B ==．（Ⅰ）求证：平面1AB C ⊥平面1BB D ； （Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线)0(2:2>=p px y G ，过焦点F 的动直线l 与抛物线交于,A B 两点，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）当直线l 的倾斜角为4π时，||16AB =．求抛物线G 的方程； （Ⅱ） 对于（Ⅰ）问中的抛物线G ，是否存在x 轴上一定点N ，使得||2||AB MN - 为定值，若存在求出点N 的坐标及定值，若不存在说明理由.21．（本小题满分12分）（0a >且1a ≠）为定义域上的增函数，()'f x 是函数()f x 的导数，且()'f x 的最小值小于等于0. （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）设函数32()()4ln 63g x f x x x x =--+，且12()()0g x g x +=，求证：122x x +≥请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）已知曲线C的参数方程为12x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）设 12:,:63l l ππθθ==，若12l l 、与曲线C 相交于异于原点的两点A B 、，求AOB ∆的面积. .23.（本小题满分10分） 设函数4()1,(0)f x x a x a a=+++->. （Ⅰ）证明：()5f x ≥；（Ⅱ）若(1)6f <成立，求实数a 的取值范围.2017年哈三中第三次高考模拟考试答案1.A2.B3.C4.D5.D6.D7.C8.A9.C 10.C 11.B 12.D 13.0 14.6π15.(2)(4) 16.[]2,4 17. （本小题满分12分）（Ⅰ）由题意121n n a a -=+()2,n n N *≥∈()1121n n a a -∴+=+ …………………………………..3分又114a +=1142n n a -∴+=⨯………………………………………………5分121n n a +∴=-……………………………………………………6分（Ⅱ）112n n a ++=，∴111n a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是首项为14，公比为12的等比数列， 因此1211111142 (111112)nn a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++=+++-…………………………………9分11122n⎛⎫=- ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………..11分12< (12)分18. （本小题满分12分） （Ⅰ）…………………………….2分Q 2245(1516104)7.287 6.63525201926K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ ∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关” ………..……..4分（Ⅱ）（i ）由分层抽样知大于等于120分的有5人，不足120分的有4人……….5分 X 的可能取值为0,1,2,3,4………………………………………………………………………6分()4164200C P X C ==，()134164201C C P X C ⋅==，()224164202C C P X C ⋅==， ()314164203C C P X C ⋅==，()444204C P X C ==…………………………8分 （ii ）设从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，这些人中周做题时间不少于15小时的人数为随机变量Y ，……………………………………..9分由题意可知()20,0.6Y B :，……………………………………………..10分 故()12,E Y =………………………………………………………………………11分() 4.8D Y = (12)分19．（本小题满分12分）（Ⅰ）∵1BB ⊥平面ABCD ∴1BB ⊥AC在菱形ABCD 中，BD ⊥AC 又1BD BB B ⋂= ∴AC ⊥平面1BB D………………………………2分∵AC ⊂平面1AB C ∴平面1AB C ⊥平面1BB D ………………4分（Ⅱ）连接BD 、AC 交于点O ，以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OD 为y 轴，如图建立空间直角坐标系. ...... (5)1(0,1,0),(0,1,0),(0,1,2),B D B A --11111,2)22B A BA A =⇒-u u u u r u u u r ，同理11(,2C -11,2)2BA =u u u r ,(0,2,0)BD =u u u r ,11(,2BC =u u u u r 设平面1A BD 的法向量),,(z y x n =∴10BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r ru u u r r ，则(n =-r …… …… ……8分 设平面DCF 的法向量),,(z y x =100BD m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u u r u r，则m =u r ………………11分 设二面角11A BD C --为θ，13cos 19m n m n θ⋅==u u r r ……… ……12分 20．（本小题满分12分） （Ⅰ）由题意知(,0)2p F 设直线l 的方程为()2p x ty t R =+∈ ， 221212(,),(,)22y y A y B y pp ……………………..1分 由 222y px p x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 得：2220y pty p --= 222440p t p ∆=+> 212122,y y pt y y p +==- …………………… 2分2||2(1)AB p t ==+ …………….4分 当直线l 倾斜角为4π 时，1t =， ||416AB p == ，得4p = ， 所以抛物线G 的方程为28y x =. (6)分（2）假设在x 轴上存在点(,0)N a 使得||2||AB MN -为定值.由（1）知2||8(1)AB t =+ …………………………………………7分 212()2422M t x y y t =++=+ ，4M y t = ，即2(42,4)M t t + ………….8分若满足题意22||2(4)MN t k ==+ ………10分, 即222403282(2)t k a k a k ⎧+≥⎪-=⎨⎪-=⎩解得3,1a k == ，此时||2||6AB MN -=综上在x 轴上存在点(3,0)N 使得||2||AB MN -为定值6………………….12分注:其它做法酌情给分21．（本小题满分12分） （Ⅰ）21()23ln f x x x x a'=-+，……………………………………………………1分 由()f x 为增函数可得，()0f x '≥恒成立， 则由2321123023ln ln x x x x x a a -+≥⇒-≥-， 设32()23m x x x =-，则2()66m x x x '=-，若由()()610m x x x '=->和()()610m x x x '=-<可知,()m x 在()0,1上减，在()1,+∞上增，在1处取得极小值即最小值，所以min ()=(1)1m x m =-，所以11ln a -≥-，11ln a ≤， 当1a >时，易知a e ≤，当01a <<时，则10ln a <，这与11ln a≤矛盾， 从而不能使得()0f x '≥恒成立，所以a e ≤………………………………………3分 由min ()0f x '≤可得，21230ln x x x a -+≤，即32123ln x x a -≤-， 由之前讨论可知，11ln a-≤-， 当10a >>时，11ln a-≤-恒成立， 当1a >时，11ln 1ln ln ln a a e a e a≥⇒≥⇒≥⇒≥， 综上a e =...................................................................................................................6分（II ）32322323()ln 4ln 6=3ln 63232g x x x x x x x x x x =-+--+--+， 因为12()()0g x g x +=， 所以22111222333ln 6+3ln 6=022x x x x x x ⎛⎫--+--+ ⎪⎝⎭， 所以()()2212121233ln()602x x x x x x -+-++= ()()21212121212ln()202x x x x x x x x ⎡⎤-+--++=⎢⎥⎣⎦()()2121212121ln()202x x x x x x x x -++-++= 所以()()21212121212ln()2x x x x x x x x -+++=-，…………………………………………………..9分令12=x x t ，()ln g t t t =-，11()1t g t t t-'=-=， ()g t 在()0,1上增，在()1,+∞上减，()(1)1g t g ≤=-，所以()()212121212x x x x -+++≤-， 整理得()()21212420x x x x +-+-≥，解得122x x +≥122x x +≤（舍），所以122x x +≥得证……………………………………………………………………………………….. 12分22.选做题（本小题满分10分）( Ⅰ)曲线C 的普通方程为5)2(122=-+-y x ）（， ……………………………… 2分 将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入得：θθρsin 4cos 2+= ………………………4分4358sin 21+=∠=∆AOB OB OA S AOB…………………………………… 10分23. 选做题（本小题满分10分）514241)(,0=+⋅≥++≥∴>aa a a x f a Θ …………………………………. 5分①② ……………………………………………………………………………………………9分综上，实数a 的取值范围是)4,1( ………………………… 10分。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2017届高三四模文科数学试题(图片版)含答案
四模文科数学答案一、选择题：1—12:ACAAD ADBDC BC 二、填空题 13.12ln -； 14。
3； 15.n n ； 16. ），（∞+3三、解答题17.解:（Ⅰ）由正弦定理和已知条件,2223ac b ac +-=所以3cos 2B =. 因为()0,B π∈，所以6B π=...。
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6分（Ⅱ)由条件。
由()()525cos sin 55A C A C -=⇒-=。
设AD x =，则CD x =，11BD x=-，在ABD∆中，由正弦定理得sin sin BD ADBAD B=∠。
故1145512525x xx -=⇒=-。
所以455AD DC ==-..。
..。
...。
...。
(12)18.解：（Ⅰ）10712523=-=C C P ;…………………………。
4分（Ⅱ）325^-=x y ；…………………………。
.9分（III)16=x 时,37^=y ，种子发芽数为37 ………………………….。
12分19。
解：（Ⅰ)因为FB //,ED ⊂ED 平面,EAD ⊄FB 平面EAD，所以FB //平面EAD同理BC //平面EAD , …………………………。
3分又⊂=⋂FB B BC FB ,平面EAD ，BC ⊂平面EAD , 所以平面FBC /平面EAD 又⊂FC 平面FBC，所以FC//平面EAD………………………….6分（Ⅱ）设O BD AC =⋂，易证⊥FO AO ，又BD AO ⊥，O BD FO =⋂,⊆FO 平面BDEF ,⊆BD 平面BDEF，所以⊥AO 平面BDEF , ………10分 又3=AO ,所以距离为3， (12)20．解:（Ⅰ）椭圆的标准方程为13422=+x y …………………………。
4 （Ⅱ）设点M ()11,y x ，N ()22,y x⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y x y ，有0416)43(222=+++k ky y k有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+43443162221221k k y y k k y y 且()40043162562222<<⇒>+-=∆k k k k …..……….。
2017届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三四模数学(文)试题(解析版)
2017届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三四模数学（文）试题一、单选题1．若复数12z i =+，则复数z 的模等于（ ） AB ．2 CD【答案】A【解析】因为1+2z i =，所以||z =，应选答案A 。
2．设集合2{|log (1)}A x y x ==-，{|B y y ==，则A B =（ ）A ．(0,2]B ．(1,2)C ．(1,)+∞D ．(1,2]【答案】C【解析】因为{}1,{|0}A x x B y y ==≥，所以{|1}AB x x =>，应选答案C 。
3．已知数列{}n a ，那么“对于任意的*n N ∈，点(,)n n P n a 都在曲线3x y =上”是“数列{}n a 为等比数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若“对于任意的*n N ∈，点(),n n P n a 都在曲线3xy =上”，则113,3n n n n a a ++==，13n na a +=，所以“数列{}n a 为等比数列”，是充分条件；反之，若“数列{}n a 为等比数列”，取2nn a =，则“对于任意的*n N ∈，点(),n n P n a 不在曲线3xy =上”，即是不必要条件，故应选答案A 。
4．对于平面α和不重合的两条直线,m n ，下列选项中正确的是（ ） A ．如果m α⊂， //n α， ,m n 共面，那么//m n B ．如果m α⊂， n 与α相交，那么,m n 是异面直线 C ．如果m α⊂， n α⊄， ,m n 是异面直线，那么//n α D ．如果m α⊥， n m ⊥，那么//n α 【答案】A【解析】由线面平行的性质定理，可知A 正确，B 选项中，n 可以与m 相交，C 选项中，直线n 可以与平面α相交，D 选项中，n 可以在平面α。
所以选A.5．设12,e e 是不共线的向量，12a e ke =+，12b ke e =+，若a 与b 共线，则实数k 为（ ） A ．0 B ．-1C ．-2D ．±1【答案】D【解析】由题设存在实数t ，使得a tb =，即12121{kt e ke tke te k t=+=+⇒=，解之得1k =±，应选答案D 。
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2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合M={x|y=ln（2﹣x）}，N={x|x2﹣3x﹣4≤0}，则M∩N=（）A．[﹣1，2）B．[﹣1，2]C．[﹣4，1]D．[﹣1，4]2．（5分）的虚部为（）A．i B．﹣1 C．﹣i D．13．（5分）已知向量，满足•=1，||=2，||=3，则|﹣|=（）A． B．6 C． D．54．（5分）已知x，y满足：，若（1，1）是目标函数z=ax+y（a＞0）取最大值时的唯一最优解，则实数a取值的集合是（）A．{1}B．（0，1） C．（0，1]D．（1，+∞）5．（5分）已知直线过点（﹣1，﹣1），且与圆（x﹣2）2+y2=1相交于两个不同的点，则该直线的斜率的取值范围为（）A．B． C．D．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）《孙子算经》是我国古代的数学著作，其卷下中有类似如下的问题：“今有方物一束，外周一匝有四十枚，问积几何？”如右图是解决该问题的程序框图，若设每层外周枚数为a，则输出的结果为（）A．81 B．74 C．121 D．1698．（5分）已知等差数列{a n}的前n项为S n，且a1+a5=﹣14，S9=﹣27，则使得S n 取最小值时的n为（）A．1 B．6 C．7 D．6或79．（5分）椭圆与双曲线有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）在区间[0，1]上随机取两个数x和y，则的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若任意的x≥0，都有f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，则f（﹣2017）+f（2018）=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．212．（5分）正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与AO所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．（5分）设a＞0，b＞1，若a+b=2，则+的最小值为．14．（5分）函数y=sin2x﹣cos2x的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）下列共有四个命题：（1）命题“”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”；（2）在回归分析中，相关指数R2为0.96的模型比R2为0.84的模型拟合效果好；（3）a，b∈R，，则p是q的充分不必要条件；（4）已知幂函数f（x）=（m2﹣3m+3）x m为偶函数，则f（﹣2）=4．其中正确的序号为．（写出所有正确命题的序号）16．（5分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且．则使得sin2B+sin2C=msinBsinC成立的实数m的最大值是．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足，且a1=3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：．18．（12分）为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后，得到如下的2×2列联表：（Ⅰ）请完成上面的2×2列联表，并判断在“犯错误概率不超过0.01”的前提下，能否认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间有相关关系”；（Ⅱ）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，若在上述9名学生中随机抽取2人，求至少1人分数不足120分的概率．附：19．（12分）如图所示的几何体是由棱台ABC﹣A1B1C1和棱锥D﹣AA1C1C拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，BB1⊥平面ABCD，BB1=2A1B1=2．（）（Ⅰ）求证：平面AB1C⊥平面BB1D；（Ⅱ）求该组合体的体积．20．（12分）已知抛物线G：y2=2px（p＞0），过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M．（1）当直线l的倾斜角为时，|AB|=16．求抛物线G的方程；（2）对于（1）问中的抛物线G，若点N（3，0），求证：|AB|﹣2|MN|为定值，并求出该定值．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣x2+log a x，（a＞0且a≠1）为定义域上的增函数，f'（x）是函数f（x）的导数，且f'（x）的最小值小于等于0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设函数，且g（x 1）+g（x2）=0，求证：．请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分. 22．（10分）已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）设l1：θ=，若l1、l2与曲线C相交于异于原点的两点A、B，求△AOB的面积．23．设函数．（Ⅰ）证明：f（x）≥5；（Ⅱ）若f（1）＜6成立，求实数a的取值范围．2017年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2017•佳木斯三模）已知集合M={x|y=ln（2﹣x）}，N={x|x2﹣3x﹣4≤0}，则M∩N=（）A．[﹣1，2）B．[﹣1，2]C．[﹣4，1]D．[﹣1，4]【解答】解：M={x|y=ln（2﹣x）}={x|x＜2}，N={x|x2﹣3x﹣4≤0}={x|﹣1≤x≤4}，则M∩N={x|﹣1≤x＜2}，故选：A．2．（5分）（2017•道里区校级三模）的虚部为（）A．i B．﹣1 C．﹣i D．1【解答】解：==﹣i（1﹣i）=﹣1﹣i的虚部为﹣1．故选：B．3．（5分）（2017•佳木斯三模）已知向量，满足•=1，||=2，||=3，则|﹣|=（）A． B．6 C． D．5【解答】解：向量，满足•=1，||=2，||=3，∴=﹣2+=22﹣2×1+32=11，∴|﹣|=．故选：C．4．（5分）（2017•道里区校级三模）已知x，y满足：，若（1，1）是目标函数z=ax+y（a＞0）取最大值时的唯一最优解，则实数a取值的集合是（）A．{1}B．（0，1） C．（0，1]D．（1，+∞）【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），化目标函数z=ax+y（a＞0）为y=﹣ax+z，∵目标函数z=ax+y（a＞0）取最大值时有唯一最优解，∴﹣a＜﹣1，即a＞1．∴实数a取值的集合是（1，+∞）．故选：D．5．（5分）（2017•道里区校级三模）已知直线过点（﹣1，﹣1），且与圆（x﹣2）2+y2=1相交于两个不同的点，则该直线的斜率的取值范围为（）A．B． C．D．【解答】解：当直线的斜率不存在时，直线方程为x=﹣1，此时圆心C（2，0）到直线的距离d=3＞1，直线与圆没有交点，不成立；当直线的斜率存在时，设直线方程为y+1=k（x+1），即kx﹣y+k﹣1=0，圆心C（2，0）到直线的距离d==＜1，解得0＜k＜，∴该直线的斜率的取值范围为（0，）．故选：D．6．（5分）（2017•道里区校级三模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图还原几何体如图，是底面为等腰直角三角形的直三棱柱截去一个三棱锥．直三棱柱的体积为．截去的三棱锥的体积为．∴几何体的体积为32﹣．故选：D．7．（5分）（2017•道里区校级三模）《孙子算经》是我国古代的数学著作，其卷下中有类似如下的问题：“今有方物一束，外周一匝有四十枚，问积几何？”如右图是解决该问题的程序框图，若设每层外周枚数为a，则输出的结果为（）A．81 B．74 C．121 D．169【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，S=0，n=1满足条件a≤40，执行循环体，S=1，n=2，a=8满足条件a≤40，执行循环体，S=9，n=3，a=16满足条件a≤40，执行循环体，S=25，n=4，a=24满足条件a≤40，执行循环体，S=49，n=5，a=32满足条件a≤40，执行循环体，S=81，n=6，a=40满足条件a≤40，执行循环体，S=121，n=7，a=48不满足条件a≤40，退出循环，输出S的值为121．故选：C．8．（5分）（2017•道里区校级三模）已知等差数列{a n}的前n项为S n，且a1+a5=﹣14，S9=﹣27，则使得S n取最小值时的n为（）A．1 B．6 C．7 D．6或7【解答】解：设等差数列{a n}的公差是d，∵a1+a5=﹣14，S9=﹣27，∴2a1+4d=﹣14，即a1+2d=﹣7，①S9==9（a1+4d）=﹣27，即a1+4d=﹣3，②联立①②得到：a1=﹣11，d=2．故有a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣13．令a n≤0，可解得n≤，由此知，数列的前6项为负项．故S n取最小值时，n等于6．故选：B．9．（5分）（2017•佳木斯三模）椭圆与双曲线有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆的焦点坐标（±1，0），离心率为：，双曲线的焦点（±1，0），c=1，双曲线的离心率为2．可知a=，则b=，双曲线渐近线y=±的倾斜角的正弦值为：．故选：D．10．（5分）（2017•道里区校级三模）在区间[0，1]上随机取两个数x和y，则的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：在区间[0，1]上随机选取两个数x和y，对应的区间为边长为1 的正方形，面积为1，在此条件下满足y≥|x﹣|的区域面积为1﹣2×××=故所求概率为，故选：C．11．（5分）（2017•道里区校级三模）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若任意的x≥0，都有f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，则f（﹣2017）+f（2018）=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2【解答】解：任意的x≥0，都有f（x+2）=﹣f（x），可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），函数的周期为4，函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，则f（﹣2017）+f（2018）=f（2017）+f（2018）=f（1）+f（2）=f（1）﹣f（0）=2﹣1+1﹣1=1．故选：A．12．（5分）（2017•佳木斯三模）正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与AO所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：取BC中点E，DC中点F，连结DE、BF，则由题意得DE∩BF=O，取OD中点N，连结MN，则MN∥AO，∴∠BMN是异面直线BM与AO所成角（或所成角的补角），设正四面体ABCD的棱长为2，由BM=DE=，OD=，∴AO==，∴MN=，∵O是点A在底面BCD内的射影，MN∥AO，∴MN⊥平面BCD，∴cos∠BMN===，∴异面直线BM与AO所成角的余弦值为．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．（5分）（2017•道里区校级三模）设a＞0，b＞1，若a+b=2，则+的最小值为9．【解答】解：∵a＞0，b＞1，且a+b=2，∴b﹣1＞0且a+（b﹣1）=1，∴+=（+）[a+（b﹣1）]=5++≥5+2=9，当且仅当=时取等号，结合a+（b﹣1）=1可解得a=且b=，故所求最小值为9故答案为：914．（5分）（2017•佳木斯三模）函数y=sin2x﹣cos2x的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：函数y=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）．由函数=2sin[2（x+）]的图象向右平移，可得2sin[2（x+﹣）]=2sin（2x﹣）故答案为．15．（5分）（2017•道里区校级三模）下列共有四个命题：（1）命题“”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”；（2）在回归分析中，相关指数R2为0.96的模型比R2为0.84的模型拟合效果好；（3）a，b∈R，，则p是q的充分不必要条件；（4）已知幂函数f（x）=（m2﹣3m+3）x m为偶函数，则f（﹣2）=4．其中正确的序号为（2）（4）．（写出所有正确命题的序号）【解答】解：（1）命题“”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，故错误；（2）在回归分析中，由定义可知，相关指数绝对值越接近1，相关性越强，相关指数R2为0.96的模型比R2为0.84的模型拟合效果好，故正确；（3）a，b∈R，，则p是q的必要不充分条件，故错误；（4）已知幂函数f（x）=（m2﹣3m+3）x m为偶函数，∴m2﹣3m+3=1，∴m=2，或m=1（舍去）则f（﹣2）=4．故正确．故答案为（2），（4）．16．（5分）（2017•道里区校级三模）已知△ABC的三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且．则使得sin2B+sin2C=msinBsinC成立的实数m 的最大值是4．【解答】解：∵sin2B+sin2C=msinBsinC，∴b2+c2=bcm，∴m=，∵=bcsinA，∴a2=，∴cosA==﹣=﹣sinA，∴m=2cosA+2sinA=4sin（A+），∴当sin（A+）=1即A=时，m取得最大值4．故答案为4．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）（2017•道里区校级三模）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足，且a1=3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：．【解答】（Ⅰ）解：由题意可得：…..（3分）累加得∴…（5分）∴…（6分）（Ⅱ）证明：，∴是首项为，公比为的等比数列，因此…（9分）=…..（11分）…．（12分）18．（12分）（2017•道里区校级三模）为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后，得到如下的2×2列联表：（Ⅰ）请完成上面的2×2列联表，并判断在“犯错误概率不超过0.01”的前提下，能否认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间有相关关系”；（Ⅱ）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，若在上述9名学生中随机抽取2人，求至少1人分数不足120分的概率． 附：【解答】解：（Ⅰ）…．（2分）∵∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”…..…..（6分）（Ⅱ）（i）由分层抽样知大于等于120分的有5人，设为a，b，c，d，e；不足120分的有4人，设为x，y，z，m…．（7分）所有基本事件为36个：（a，b）（a，c）（a，d）（a，e）（a，x）（a，y）（a，z）（a，m）（b，c）（b，d）（b，e）（b，x）（b，y）（b，z）（b，m）（c，d）（c，e）（c，x）（c，y）（c，z）（c，m）（d，e）（d，x）（d，y）（e，x）（e，y）（e，z）（e，m）（d，z）（d，m）（x，y）（x，z）（x，m）（y，z）（y，m）（z，m）…（8分）设至少一人分数不足120分为事件A，则A中包含26个基本事件：（a，z）（a，m）（b，x）（b，y）（b，z）（b，m）（c，x）（a，x）（a，y）（c，y）（c，z）（c，m）（d，x）（d，y）（e，x）（e，y）（e，z）（e，m）（d，z）（d，m）（x，y）（x，z）（x，m）（y，z）（y，m）（z，m）…..（10分）∴…..（12分）19．（12分）（2017•道里区校级三模）如图所示的几何体是由棱台ABC﹣A1B1C1和棱锥D﹣AA1C1C拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，BB1⊥平面ABCD，BB1=2A1B1=2．（）（Ⅰ）求证：平面AB1C⊥平面BB1D；（Ⅱ）求该组合体的体积．【解答】解：（Ⅰ）∵BB1⊥平面ABCD∴BB1⊥AC在菱形ABCD中，BD⊥AC又BD∩BB1=B，∴AC⊥平面BB1D…（2分）∵AC⊂平面AB1C，∴平面AB1C⊥平面BB1D…（4分）（Ⅱ），则…（6分）∴=…（8分），由知，…（10分）故组合体体积为…（12分）20．（12分）（2017•道里区校级三模）已知抛物线G：y2=2px（p＞0），过焦点F 的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M．（1）当直线l的倾斜角为时，|AB|=16．求抛物线G的方程；（2）对于（1）问中的抛物线G，若点N（3，0），求证：|AB|﹣2|MN|为定值，并求出该定值．【解答】解：（1）抛物线G：y2=2px（p＞0），知，设直线l的方程为，，由得：y2﹣2pty﹣p2=0，△=4p2t2+4p2＞0，显然成立．可得，（y1﹣y2）2=（y1+y2）2﹣4y1y2=4p2t2+4p2，（﹣）2=（y1﹣y2）2•（y1+y2）2=t2（4p2t2+4p2），可得．当直线l倾斜角为时，t=1，|AB|=4p=16，得p=4，所以抛物线G的方程为y2=8x．（2）证明：由（1）知|AB|=8（t2+1），M为线段AB的中点，且y1+y2=8t，可得，y M=4t，即M（4t2+2，4t），又N（3，0），若满足题意，此时|AB|﹣2|MN|=8（t2+1）﹣8t2﹣2=6．综上|AB|﹣2|MN|为定值6．21．（12分）（2017•道里区校级三模）已知函数f（x）=x3﹣x2+log a x，（a＞0且a≠1）为定义域上的增函数，f'（x）是函数f（x）的导数，且f'（x）的最小值小于等于0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设函数，且g（x 1）+g（x2）=0，求证：．【解答】（Ⅰ）解：，由f（x）为增函数可得，f'（x）≥0恒成立，即，得，设m（x）=2x3﹣3x2，则m'（x）=6x2﹣6x（x＞0），由m'（x）=6x（x﹣1）＞0，得x＞1，由m'（x）=6x（x﹣1）＜0，得0＜x＜1．∴m（x）在（0，1）上减，在（1，+∞）上增，在1处取得极小值即最小值，∴m（x）min=m（1）=﹣1，则，即，当a＞1时，易知a≤e，当0＜a＜1时，则，这与矛盾，从而不能使得f'（x）≥0恒成立，∴a≤e；由f'（x）min≤0可得，，即，由之前讨论可知，，当1＞a＞0时，恒成立，当a＞1时，由1≥，得a≥e，综上a=e；（Ⅱ）证明：，∵g（x1）+g（x2）=0，∴，∴，即，则∴，令x1x2=t，g（t）=lnt﹣t，则，g（t）在（0，1）上增，在（1，+∞）上减，g（t）≤g （1）=﹣1，∴，整理得，解得或（舍），∴．请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分. 22．（10分）（2017•道里区校级三模）已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）设l1：θ=，若l1、l2与曲线C相交于异于原点的两点A、B，求△AOB的面积．【解答】选做题（本小题满分10分）解：（Ⅰ）曲线C的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，…（2分）将代入得：ρ=2cosθ+4sinθ…（4分）（Ⅱ）由，解得…（6分），解得…（8分）…（10分）23．（2017•道里区校级三模）设函数．（Ⅰ）证明：f（x）≥5；（Ⅱ）若f（1）＜6成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，∴…．（5分）（Ⅱ）由f（1）＜6得：，∵a＞0，∴，…（7分）①当a≥4时，不等式无解；②当a＜4时，不等式，即，a＞1，所以1＜a＜4…（9分）综上，实数a的取值范围是（1，4）…（10分）参与本试卷答题和审题的老师有：刘老师；沂蒙松；742048；sxs123；zlzhan；w3239003；海燕；qiss；whgcn；lincy；左杰；洋洋；zhczcb；lcb001；陈高数；双曲线（排名不分先后）菁优网2017年6月4日赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。