2017年高考数学(文)-换元法(测)-专题练习(二)
2017年高考数学真题合集(含解析)
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2017年全国高考卷文科数学试题及答案详细解析(选择、填空、解答全解全析) 精品
2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)解析版本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题 (1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =（M N ）Ið（A ）{}12， （B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4 【命题意图】本题主要考查集合交并补运算.【解析】{2,3},(){1,4}U M N C M N =∴=【答案】D(2)函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥ 【命题意图】本题主要考查反函数的求法.【解析】由0)y x =≥反解得24y x =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥.【答案】B(3)设向量,a b 满足||||1a b == ,12a b ⋅=-r r ,则2a b +=（A（B（C（D【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+= ,所以2a b +=【答案】B(4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3 【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5. 【答案】C(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,只需由P a b ⇒>,且由a b >不能推出P ,可采用逐项验证的方法，对A ，由1a b +＞，且1b b +>，所以a b >，但a b >时，并不能得到1a b +＞，故答案为A 。
2017年山东成人高考专升本高等数学(二)真题及答案
2017年山东成人高考专升本高等数学(二)真题及答案一、选择题：1－10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将近选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上。
确答案：A【解析】根据函数的连续性立即得出结果【点评】这是计算极限最常见的题型。
在教学中一直被高度重视。
正确答案：【解析】使用基本初等函数求导公式【点评】基本初等函数求导公式是历年必考的内容，我们要求考生必须牢记。
正确答案：C【解析】使用基本初等函数求导公式【点评】基本初等函数求导公式是历年必考的内容，我们要求考生必须牢记。
【答案】D【解析】本题考查一阶求导简单题，根据前两个求导公式选D正确答案：D【解析】如果知道基本初等函数则易知答案；也能根据导数的符号确定【点评】这是判断函数单调性比较简单的题型。
正确答案：A【解析】基本积分公式【点评】这是每年都有的题目。
【点评】用定积分计算平面图形面积在历年考试中，只有一两年未考。
应当也一直是教学的重点正确答案：C【解析】变上限定积分求导【点评】这类问题一直是考试的热点。
正确答案：D【解析】把x看成常数，对y求偏导【点评】本题属于基本题目，是年年考试都有的内容【点评】古典概型问题的特点是，只要做过一次再做就不难了。
二、填空题：11－20小题，每小题4分，共40分，把答案写在答题卡相应题号后。
【解析】直接代公式即可。
【点评】又一种典型的极限问题，考试的频率很高。
【答案】0【解析】考查极限将1代入即可，【点评】极限的简单计算。
【点评】这道题有点难度，以往试题也少见。
【解析】求二阶导数并令等于零。
解方程。
题目已经说明是拐点，就无需再判断【点评】本题是一般的常见题型，难度不大。
【解析】先求一阶导数，再求二阶【点评】基本题目。
正确答案：2【解析】求出函数在x=0处的导数即可【点评】考查导数的几何意义，因为不是求切线方程所以更简单了。
【点评】这题有些难度。
很多人不一定能看出头一步。
2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标2卷精编版)-附答案解析
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。
附：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
20．设O为坐标原点，动点M在椭圆C 上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足 .
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点 在直线 上，且 .证明：过点P且垂直于OQ的直线 过C的左焦点F.
zmin＝－12－3＝－15.
故选：A
【点睛】
此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目标函数表示的直线求得最值.
8．D
【解析】
由 >0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，
令t= ，则y=lnt，
∵x∈(−∞,−2)时,t= 为减函数；
x∈(4,+∞)时,t= 为增函数；
y=lnt为增函数，
15．长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________.
16． 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 ________．
17．已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， .
（1）若 ，求 的通项公式；
（2）若 ，求 .
18．四棱锥 中，侧面 为等边三角形且垂直于底面 ,
（1）证明：直线 平面 ;
（2）若△ 面积为 ，求四棱锥 的体积.
19．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）,其频率分布直方图如下：
（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
高考数学二轮导数专题复习——第二十二节 双变量问题之换元法与主元法-原卷版
第二十二节 双变量问题之换元法与主元法知识与方法1．换元法：将要证明的不等式或目标代数式通过变形成关于12x x 的整体结构，通过将12x x 换元成t 把问题化归成单变量问题来处理，这一方法也称为“齐次换元”.2.主元法：要证明的不等式或目标代数式中含有1x 和2x 两个变量，将其中一个变量看成主元，另一个变量看成次元，将主元换成x ，构造函数研究问题.典型例题【例1】已知函数()ln f x x x =.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设0b a >>，证明：()()()()ln 2f a a b f a b f b ++>+-. 【例2】已知函数()2ln f x x x ax =-()a ∈R . （1）若()f x 存在单调递增区间，求a 的取值范围；（2）若1x ，2x 是()f x 的两个不同的极值点，证明：123ln ln 1x x +>-. 【例3】已知函数()()ln ln ax f x e x x=-（1）当a e =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当a e >时，证明：()()1f x a e <-.强化训练1．设a 和bln ln 2a b a ba b -+<<-. 2．已知函数()x f x e =，()ln g x x =（1）若直线1y kx =+与()g x 的图象相切，求实数k 的值； （2）设a b <，比较()()2f a f b +与()()f b f a b a--的大小，并说明理由.3．已知函数()()2ln 2f x a x x x x =-+-，其中a ∈R . （1）当2a e =-时，求()f x 的极值；（2）当0a >，120x x >>时，证明：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫''-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4．设函数()()()2ln 12f x x a x x =+--，其中0a ≠.（1）当12a =时，证明：()f x 有且仅有一个零点； （2）在函数()y f x =的图象上是否存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，使得线段AB 中点的横坐标0x 与直线AB 的斜率k 之间满足()0k f x '=?若存在，求出0x ；若不存在，说明理由.。
2017年普通高等学校招生全国统一考试 数学 函数
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学函数部分目录2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）(全国卷Ⅰ) (1)2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）(全国卷Ⅰ) (3)2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）(全国卷Ⅱ) (3)2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）(全国卷Ⅱ) (5)2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）(全国卷Ⅲ) (8)2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）(全国卷Ⅲ) (10)2017年普通高等学校招生全国统一考试数学(上海卷) (13)2017年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷) (15)2017年普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江卷) (17)2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）(山东卷) (19)2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）(山东卷) (22)2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）(天津卷) (24)2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）(天津卷) (26)2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷） (28)2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷） (29)2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）(全国卷Ⅰ)1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]9．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 211．设xyz 为正数，且235x y z==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为23sin aA（1）求sin B sin C;（2）若6cos B cos C=1，a=3，求△ABC的周长.21.（12分）已知函数)f x（a e2x+(a﹣2) e x﹣x.（1）讨论()f x的单调性；（2）若()f x有两个零点，求a的取值范围.23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）(全国卷Ⅰ)1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ B ．A B =∅ C ．A B 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．A B=R8．.函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为9．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0,2）单调递增B ．()f x 在（0,2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1,0）对称14．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为_________________________. 15．已知π(0)2a ∈，,tan α=2，则πcos ()4α-=__________。
换元法-高考理科数学解题方法练习题
方法二换元法1.练高考1. 【2017课标3，理11】已知函数有唯一零点，则a=A．B．C．D．1【答案】C【解析】函数的零点满足，设，则，当时，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，设，当时，函数取得最小值，2. 【2017课标1，理11】设x、y、z为正数，且，则A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z【答案】D【解析】令，则，，∴，则，，则，故选D.3. 【2017浙江，15】已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】4.【2017课标II，理】已知函数，且。
(1)求；(2)证明：存在唯一的极大值点，且。
【答案】(1)；(2)证明略。
【解析】（2）由（1）知，。
设，则。
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增。
5.【2017课标3，理21】已知函数 .（1）若，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，求m的最小值. 【答案】(1)；(2)【解析】试题分析：(1)由原函数与导函数的关系可得x=a是在的唯一最小值点，列方程解得；(2)利用题意结合(1)的结论对不等式进行放缩，求得，结合可知实数的最小值为6.【2016高考山东理数】平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.（I）求椭圆C的方程；（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.（i）求证：点M在定直线上;（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（i）见解析；（ii）的最大值为，此时点的坐标为【解析】（Ⅰ）由题意知，可得：.因为抛物线的焦点为，所以，所以椭圆C的方程为.（Ⅱ）（i）设，由可得，所以直线的斜率为，因此直线的方程为，即.设，联立方程得，由，得且，因此,将其代入得，因为，所以直线方程为.联立方程，得点的纵坐标为，即点在定直线上.（ii）由（i）知直线方程为，令得，所以，又，所以，，所以，令，则，当，即时，取得最大值，此时，满足，所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.2.练模拟1.已知函数，其在区间上单调递增，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，则，在区间上单调递增，转化为在上单调递增，又，当时，在恒成立，必有，可求得；当时，在恒成立，必有，与矛盾，所以此时不存在.故选C.2.不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】原不等式等价于,设解得.即,故选C.3.【2018届内蒙古赤峰市高三上学期期末】若,且,则__________．【答案】【解析】令，则.∵∴∴原式可化为，即∴，即∴∴故答案为.4.点在椭圆上，则点到直线的最大距离和最小距离分别为 .【答案】，．【解析】由于点在椭圆上，可设，则，即，所以当时，；当时，．5.【2018届上海市长宁、嘉定区高三一模】已知函数．（1）求证：函数是偶函数；（2）设，求关于的函数在时的值域的表达式；（3）若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析（2）（3）．【解析】试题分析：（1）判断定义域是否关于原点对称，计算判断其与的关系；（2）令，故，换元得，转化为二次函数，分类讨论求其最值即可；（3））由，得，即恒成立，求其最值即可.试题解析：（1）函数的定义域为，对任意，，所以，函数是偶函数．（2），令，因为，所以，故，原函数可化为，，图像的对称轴为直线，当时，函数在时是增函数，值域为；当时，函数在时是减函数，在时是增函数，值域为．综上，（3）由，得，当时，，所以，所以，所以， 恒成立．令，则， ，由，得，所以， ．所以， ，即的取值范围为．3.练原创1．若f (ln x )＝3x ＋4，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝3ln xB ．f (x )＝3ln x ＋4C ．f (x )＝3e xD ．f (x )＝3e x＋4【答案】D【解析】令ln x ＝t ，则x ＝e t，故f (t )＝3e t＋4，得f (x )＝3e x ＋4，故选D. 2．已知点A 是椭圆25x2＋9y2＝1上的一个动点，点P 在线段OA 的延长线上，且·＝48，则点P 的横坐标的最大值为( )A ．18B ．15C ．10 D.215【答案】C3.已知在数列中，，当时，其前项和满足. (Ⅰ) 求的表达式；(Ⅱ) 设，数列的前项和．证明【答案】 (1);(2)见解析.【解析】(1)当时，代入，得，由于，所以令=，则=2，所以是首项为，公差为2的等差数列∴，即，所以(2)∴所以4. 已知函数．（1）求证：函数的图象与轴恒有公共点；（2）当时，求函数的定义域；（3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围．【答案】（1）．(2)当时，；时，（3）.【解析】（1）图象与轴恒有公共点．(2)要使函数有意义，需满足，即，当时，；时，（3）时，，令，是偶函数，只要讨论时函数图象与函数图象有两个公共点即可，以下只讨论时的情形图象恒过点，函数图象对称轴，①时，根据函数图象，与图象只有一个公共点，不符题意，舍去；②且时，单调递减，最大值为，图象与无交点，不符题意，舍去；③且时，只要最大值即可，解得；综上.。
2017年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5 分）设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{2，3，4} D．{1，3，4} 2．（5分）（1+i）（2+i）=（）A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i3．（5分）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．4．（5 分）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（）A．⊥B．||=|| C．∥D．||＞||5．（5 分）若a＞1，则双曲线﹣y2=1 的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，2）C．（1，）D．（1，2）6．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π7．（5 分）设x，y 满足约束条件，则z=2x+y 的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．98．（5 分）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）9．（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩10．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A．2 B．3 C．4 D．511．（5 分）从分别写有1，2，3，4，5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．B．C．D．12．（5 分）过抛物线C：y2=4x 的焦点F，且斜率为的直线交C 于点M（M 在x 轴上方），l为C 的准线，点N 在l 上，且MN⊥l，则M 到直线NF 的距离为（）A．B．2C．2D．3二、填空题，本题共4 小题，每小题5 分，共20 分13．（5 分）函数f（x）=2cosx+sinx 的最大值为．14．（5 分）已知函数f（x）是定义在R 上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f （x）=2x3+x2，则f（2）=．15．（5 分）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为．16．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=．三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17 至21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60 分．17．（12 分）已知等差数列{a n}的前n 项和为S n，等比数列{b n}的前n 项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．18．（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．（1）证明：直线BC∥平面PAD；（2）若△PCD 面积为2，求四棱锥P﹣ABCD 的体积．19．（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg 箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．附：P（K2≥K）0.050 0.010 0.001K 3.841 6.635 10.828K2=．20．（12 分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C：+y2=1 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N，点P 满足= ．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x=﹣3 上，且•=1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F．21．（12 分）设函数f（x）=（1﹣x2）e x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0 时，f（x）≤ax+1，求a 的取值范围．选考题：共10 分。
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文(全国卷2,含答案)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}{}123234A B ==，，， ，，， 则=ABA. {}123,4，，B. {}123，，C. {}234，，D. {}134，， 2.（1+i ）（2+i ）=A.1-iB. 1+3iC. 3+iD.3+3i 3.函数()fx =πsin （2x+）3的最小正周期为A.4πB.2πC. πD. 2π4.设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则A a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a5.若a ＞1，则双曲线x y a=222-1的离心率的取值范围是A. ∞）B. ）C. （1D. 12（，）6.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A.90πB.63πC.42πD.36π7.设x 、y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩。
则2z x y =+ 的最小值是A. -15B.-9C. 1 D 98.函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是A.(-∞,-2)B. (-∞,-1)C.(1, +∞)D. (4, +∞)9.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则A.乙可以知道两人的成绩B.丁可能知道两人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩 10.执行右面的程序框图，如果输入的a =-1，则输出的S=A.2B.3C.4D.511.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.110 B.15 C.310D.2512.过抛物线C:y 2=4x 的焦点F 的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l,则M 到直线NF 的距离为A. B.二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.函数()cos sin =2+fx x x 的最大值为 .14.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ()-，0∈∞时，()322=+f x x x ,则()2=f15.长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 16.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B=三、解答题：共70分。
高考数学命题热点名师解密：专题(02)函数问题的解题规律(文)(含答案)
专题02 函数问题的解题规律一、函数问题的解题规律解题技巧及注意事项1.定义域陷阱2.抽象函数的隐含条件陷阱3.定义域和值域为全体实数陷阱4.还原后新参数范围陷阱5.参数范围漏解陷阱6.函数求和中的倒序求和问题7.分段函数问题8.函数的解析式求法9.恒成立问题求参数范围问题10.任意存在问题二．知识点【学习目标】1．了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式；2．在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数；3．了解简单的分段函数，并能简单应用；4．掌握求函数定义域及解析式的基本方法．【知识要点】1．函数的概念设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然{f(x)|x∈A}⊆B.2．映射的概念设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A 到集合B的映射．3．函数的特点①函数是一种特殊的映射，它是由一个集合到另一个集合的映射；②函数包括定义域A、值域B和对应法则f，简称函数的三要素；③关键是对应法则．4．函数的表示法函数的表示法：图示法、解析法．5．判断两个函数为同一个函数的方法两个函数的定义域和对应法则完全相同(当值域未指明时)，则这两个函数相等．6．分段函数若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子表示函数，这种形式的函数叫分段函数．注意：不要把分段函数误认为是多个函数，它是一个整体，分段处理后，最后写成一个函数表达式．三．典例分析及变式训练（一）定义域陷阱例1. 【曲靖一中2019模拟】已知，若函数在（﹣3，﹣2）上为减函数，且函数=在上有最大值，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由在上为减函数，可得；由在上有最大值，可得，综上可得结果,.【解析】在上为减函数，，且在上恒成立，，，又在上有最大值，且在上单调递增，在上单调递减，且，，解得，综上所述，，故选A.【点评】本题主要考查对数函数的单调性、复合函数的单调性、分段函数的单调性，以及利用单调性求函数最值，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题. 判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.故答案为：D.练习2．已知函数则__________．【答案】1008【解析】分析：由关系，可类比等差数列一次类推求值即可.详解：函数，则，故答案为：1008.点睛：可类比“等差数列”或函数周期性来处理.（七）分段函数问题例7．【河北省廊坊市2019届高三上学期第三次联考】若函数在上是单调函数，且存在负的零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】通过函数的单调性及存在负的零点，列出不等式，化简即可．【详解】当时，,所以函数在上只能是单调递增函数，又存在负的零点，而当时，f(0)=1+a，当时，f（0）=3a-2，0<3a-21+a，解得.故选B.【点评】本题考查分段函数的应用，考查分类讨论思想，转化思想以及计算能力．练习1.已知函数，则f（1）- f（9）=（）A．﹣1 B．﹣2 C． 6 D． 7【答案】A【解析】利用分段函数，分别求出和的值，然后作差得到结果.【详解】依题意得，，所以，故选.【点评】本小题主要考查利用分段函数求函数值，只需要将自变量代入对应的函数段，来求得相应的函数值.属于基础题.练习2．已知,那么等于( )A． 2 B． 3 C． 4 D． 5【答案】A【解析】将逐步化为,再利用分段函数第一段求解.【详解】由分段函数第二段解析式可知，，继而,由分段函数第一段解析式，，故选A.【点睛】本题考查分段函数求函数值，要确定好自变量的取值范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念.（八）函数的解析式求法例8. （1）已f ()=，求f(x)的解析式.（2）．已知y =f(x)是一次函数，且有f [f(x)]=9x＋8，求此一次函数的解析式【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用换元法即可求解；（2）已知函数是一次函数，可设函数解析式为f(x)=ax＋b，再利用待定系数法列出关于a、b的方程组即可求解出a、b的值.【详解】（1）设(x≠0且x≠1)（2）设f(x)=ax＋b，则f[f(x)]=af(x)＋b=a(ax＋b)＋b=a2x＋ab＋b=9x＋8或所以函数的解析式为.【点睛】本题考查函数解析式的求解，解题中应用了换元法和待定系数法，待定系数法的主要思想是构造方程（组），对运算能力要求相对较高，属于中档题.练习1.(1) 已知是一次函数,且满足求 ;(2) 判断函数的奇偶性.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）用待定系数法求一次函数解析式.（2）结合分段函数的性质，分别判断各定义域区间内， f（-x）与f（x）的关系，即可判断函数奇偶性.【点评】本题考查了待定系数法求一次函数，考查了函数的奇偶性的判断，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.再结合分段函数的分段区间，以及对应的解析式，判断关系式f（-x）=f(x)或f（-x）=-f（x）是否成立.练习2．已知函数对一切实数x，y都有f（x+y)﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）已知a，b∈R，当时，求不等式f（x）+3＜2x+a恒成立的a的集合A．【答案】（1）f（0）=﹣2（2）f（x）=x2+x﹣2（3）【解析】（1）令，可得，再根据可得；（2）在条件中的等式中，令，可得，再根据可得所求的解析式；（3）由条件可得当时不等式x2﹣x+1＜a恒成立，根据二次函数的知识求出函数上的值域即可得到的范围．【详解】（1）根据题意，在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中，令x=﹣1，y=1，可得，又，∴．（2）在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中，令y=0，则f（x）﹣f（0）=x（x+1）又，∴．（3）不等式f（x）+3＜2x+a等价于x2+x﹣2+3＜2x+a，即x2﹣x+1＜a．由当时不等式f（x）+3＜2x+a恒成立，可得当时不等式x2﹣x+1＜a恒成立．设，则在上单调递减，∴，∴．∴．【点评】（1）解决抽象函数（解析式未知的函数）问题的原则有两个：一是合理运用赋值的方法；二是解题时要运用条件中所给的函数的性质．（2）解答恒成立问题时，一般采用分离参数的方法，将问题转化为求具体函数最值的方法求解，若函数的最值不存在，则可用函数值域的端点值来代替．练习3.如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）【答案】B【解析】当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，CD=x，则AD=2-x，∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2-x，∴EM=x-（2-x）=2x-2，∴S△ENM=（2x-2）2=2（x-1）2，∴y=x2-2（x-1）2=-x2+4x-2=-（x-2）2+2，∴y=．故选B．练习4.如图，李老师早晨出门锻炼，一段时间内沿⊙M的半圆形M→A→C→B→M路径匀速慢跑，那么李老师离出发点M的距离与时间x之间的函数关系的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，得从M到A距离在增加，由A经B到C与M的距离都是半径，由B到M距离逐渐减少，故选D.（九）恒成立问题求参数范围问题例9. 【湖北省武汉市第六中学2018-2019学年调研数学试题】若函数的定义域为，值域为，则的取值范围A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数的定义域、值域结合函数单调性求出的取值范围【详解】由函数的对称轴为且函数图像开口向上则函数在上单调递减，在上单调递增，当且仅当处取得最小值由值域可知，故在上函数单调递增，在处取得最大值故，解得综上所述，故选【点睛】本题在知道函数的定义域与值域后求参量的取值范围，在解答题目时结合函数的单调性判定取值域的情况。
2017年高考真题全国2卷文科数学(附答案解析)
uuur uuur uuur BA= λ AC ⇔ OA=
1
uuur OB +
1+ λ
λ
uuur OC .
1+ λ
(2)向量垂直： a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0 ⇔ x1x2 + y1 y2 = 0 .
(3)向量运算： a ± b = (x1 ± x2 , y1 ± y2 ), a2 = | a |2 , a ⋅ b = | a | ⋅ | b | cos a, b .
y=lnt 为增函数，
故函数 f(x)=ln( x2 − 2x − 8 )的单调递增区间是(4,+∞)，
故选 D.
点睛：形如 y = f ( g ( x)) 的函数为 y = g ( x) , y = f ( x) 的复合函数， y = g ( x) 为内层函
数, y = f ( x) 为外层函数.
简称为“同增异减”. 9．A 【解析】 【分析】 根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一 分析可得出结果. 【详解】 因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好， 又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良 好， 又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩， 又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩. 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A. 【点睛】 本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思 想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题. 10．B 【解析】 【详解】
2 （1）证明：直线 BC / / 平面 PAD ; （2）若△ PCD 面积为 2 7 ，求四棱锥 P − ABCD 的体积.
2017学年高考数学年(理)换元法(讲)专题练习(二)答案
2017年高考数学（理）参数法（练）专题练习（七）一．练高考1．已知平面向量a ，b ，1=a ，2=b ，1=a b ．若e 为平面单位向量，则+a e b e 的最大值是___________．2．如图，已知点0,01,0(0)((,))1O A B -，，，P 是曲线y =上一个动点，则OP BA 的取值范围是_________．3．已知a ∈R ，函数21()log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围； （3）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．二．练模拟1．数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==-≥，则该数列的通项n a =（ ）A ．23n -B ．21n -C ．32n -D ．12n - 2．函数π()sin(2)4f x x =-在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A ．-1B ．C ．0D 3．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为（ ）A ．4003mBCD ．2003m 4．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M ，N 两点．设直线l 是抛物线C 的切线，且l MN ∥，P 为l 上一点，则PM PN 的最小值为___________．5．设各项均为正数的数列{}n a 的前项和为n S ，满足21=4+43n n a S n +-，且2514,,a a a 恰好是等比数列{}n b 的n前三项．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）记数列{}n b 的前项和为n T ，若对任意的n *∈N ，3362n T k n ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭恒成立，求实数k 的取值范围．三．练原创1．已知三角形ABC 的三边长,,a b c 成等差数列，且22284a b c ++=，则实数b 的取值范围是（ ） A．( B．( C．( D．⎡⎣2．若实数,x y 满足关系式：44log (2)log (2)1x y x y ++-=，则||||x y -的最小值为（ ）A ．2 BC ．1- D．3．若实数,x y 满足关系式：44log (2)log (2)1x y x y ++-=，则||||x y -的最小值为（ ）A ．2 BC ．1- D．4．若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是_____________．n。
2017年高考数学(文)-换元法(练)-专题练习(二)-答案
当 时， ，
（3） 时， ，令 ， 是偶函数，只要讨论 时函数图像与函数 图像有两个公共点即可，以下只讨论 时的情形 图像恒过 点， 函数图像对称轴
① 时，根据函数图像， 图像只有一个公共点，不符题意，舍去；
② 且 时， 单调递减，最大值1，图像与 无交点，不符题意，舍去；
∴ ，即 ，所以
（2）
∴ 所以
4.
2017年高考数学（文）专题练习（二）
换元法（练）
答案
一．练高考
1二．练模拟
1．C
2．C
3．C
4． ， ．
5．
三．练原创
1．D
2．C
3．解：（Ⅰ）当 时， 代入 ，得 ，
由于 ，所以 ，令 ，则
所以 是首项为1，公差为2的等差数列，所以 ，所以
（2）
，所以
4．解：
（1） ， 图像与 轴恒有公共点
③ 且 时，只要 最大值 即可，解得 ；
综上
2017年高考数学（文）专题练习（二）
换元法（练）
解析
1．练高考
1． 2．
【解析】由题意知 ，最小值为 ．
令 ，则 ，
当 时， 的最小值为 ，所以“ ”能推出“ 的最小值与 的最小值相等”；
当 时， 的最小值为0， 的最小值也为0，所以“ 的最小值与 的最小值相等”不能推出“ ”．故选A．
4．
5．
【解析】
设 分别是 的中点，
，所以由正弦定理得 ，
，设 ，结合 ，由 可得 ．
，故答案为 ．
3．
【解析】令lnx＝t，则x＝et，故f(t)＝3et＋4，得f(x)＝3ex＋4，故选D．
2．
数列递推公式的九种方法
求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一. 一、作差求和法例1 在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a 312123-+=a a 413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=.二、作商求和法例2 设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为：)]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0 ∵n n a a ++1＞0，11+=+n na a n n 则,43,32,21342312===a a a a a a ……，n n a a n n 11-=- 逐项相乘得：na a n 11=，即n a =n 1. 三、换元法例3 已知数列{n a }，其中913,3421==a a ，且当n ≥3时，)(31211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）.解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为：}{,3121n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31.故n n n n b b )31()31(91)31(2211==⋅=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：nn a )31(2123-=.例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。
【金版教程】2017届高考文科数学(全国通用)二轮适考素能特训：专题2-3-2三角恒等变换与解三角形
一、选择题1．[2016·合肥质检]sin18°sin78°－cos162°cos78°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.32 D.12答案 D 解析sin18°sin78°－cos162°cos78°＝sin18°sin78°＋cos18°·cos78°＝cos(78°－18°)＝cos60°＝12，故选D.2．[2016·广西质检]已知π2<α<π，3sin2α＝2cos α，则cos(α－π)等于( )A.23B.64C.223D.326答案 C解析 由3sin2α＝2cos α得sin α＝13.因为π2<α<π，所以cos(α－π)＝－cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223. 3．[2016·郑州质检]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 3cos B＝asin A ，则cos B ＝( ) A ．－12 B.12 C ．－32 D.32答案 B解析 由正弦定理知sin B 3cos B＝sin A sin A ＝1，即tan B ＝3，所以B ＝π3，所以cos B ＝cos π3＝12，故选B.4．[2016·武汉调研]据气象部门预报，在距离某码头正西方向400 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向东北方向移动，距风暴中心300 km 以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为( )A ．9 hB ．10 hC ．11 hD ．12 h答案 B解析 记码头为点O ，热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴到达B 点位置，在△OAB 中，OA ＝400，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得4002＋400t 2－2×20t ×400×22≤3002，即t 2－202t ＋175≤0，解得102－5≤t ≤102＋5，所以所求时间为102＋5－102＋5＝10(h)，故选B.5．[2016·云南统测]已知△ABC 的内角A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c ，sin A ＋2sin B ＝2sin C ，b ＝3，当内角C 最大时，△ABC 的面积等于( )A.9＋334 B.6＋324 C.326－24 D.36－324答案 A解析 根据正弦定理及sin A ＋2sin B ＝2sin C 得a ＋2b ＝2c ，c＝a ＋322，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9－a 2＋62a ＋1846a＝a 8＋34a －24≥2a 8·34a －24＝6－24，当且仅当a 8＝34a ，即a ＝6时，等号成立，此时sin C ＝6＋24，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×3×6＋24＝9＋334.6．[2016·郑州质量预测]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.334B.736C.213D.334或736答案 D解析 sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A ，sin(B －A )＝sin B cos A －cos B sin A ，sin2A ＝2sin A cos A ，sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin2A ，即2sin B cos A ＝6sin A cos A .当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，又c ＝7，得b ＝213.由三角形面积公式知S ＝12bc ＝736；当cos A ≠0时，由2sin B cos A ＝6sin A cos A 可得sin B ＝3sin A ，根据正弦定理可知b ＝3a ，再由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－76a 2＝cos π3＝12，可得a ＝1，b ＝3，所以此时三角形的面积为S ＝12ab sin C ＝334.综上可得三角形的面积为736或334，所以选D.二、填空题7．已知tan α，tan β是lg (6x 2－5x ＋2)＝0的两个实根，则tan(α＋β)＝________.答案 1解析 lg (6x 2－5x ＋2)＝0⇒6x 2－5x ＋1＝0，∴tan α＋tan β＝56，tan α·tan β＝16，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1. 8．[2016·贵阳监测]在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别是a 、b 、c ，若sin 2B2＝c －a2c ，则△ABC 的形状一定是________．答案 直角三角形解析 由题意，得1－cos B 2＝c －a 2c ，即cos B ＝ac ，又由余弦定理，得a c ＝a 2＋c 2－b22ac ，整理，得a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 为直角三角形．9．[2016·西安质检]已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，若△ABC 的面积为453，则△ABC 外接圆的半径为________．答案 14解析 因为a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，所以可设a ＝7k ，b ＝5k ，c ＝3k (k >0)，由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(5k )2＋(3k )2－(7k )22×5k ×3k ＝－12.因为A 是△ABC 的内角，所以sin A ＝1－cos 2A ＝32，因为△ABC的面积为453，所以12bc sin A ＝453，即12×5k ×3k ×32＝453，解得k ＝2 3.由正弦定理asin A ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)，即2R ＝7k sin A ＝14332，解得R ＝14，所以△ABC 外接圆半径为14.三、解答题10．[2016·重庆测试]在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos2B ＋C2＋sin2A ＝1.(1)求A ；(2)设a ＝23－2，△ABC 的面积为2，求b ＋c 的值． 解 (1)由2cos 2B ＋C2＋sin2A ＝1可得，21＋cos (B ＋C )2＋2sin A cos A ＝1，所以1＋cos(π－A )＋2sin A cos A ＝1，故2sin A cos A －cos A ＝0. 因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ≠0，故sin A ＝12， 从而A ＝π6.(2)因为△ABC 的面积为12bc sin A ＝14bc ＝2，所以bc ＝8.因为A ＝π6，故cos A ＝32，由余弦定理可知，b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝3bc .又a ＝23－2，所以(b ＋c )2＝b 2＋c 2＋2bc ＝(2＋3)bc ＋a 2＝8×(2＋3)＋(23－2)2＝32.故b ＋c ＝32＝4 2.11．[2016·武汉调研]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cos C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值． 解 (1)证明：在△ABC 中，cos B ＝－cos(A ＋C )． 由已知，得(1－sin 2B )－cos(A ＋C )＝1－cos A cos C ， ∴－sin 2B －(cos A cos C －sin A sin C )＝－cos A cos C ， 化简，得sin 2B ＝sin A sin C .由正弦定理，得b 2＝ac ， ∴a ，b ，c 成等比数列． (2)由(1)及题设条件，得ac ＝4.则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12， 当且仅当a ＝c 时，等号成立． ∵0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ≤ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32. ∴S △ABC ＝12ac sin B ≤12×4×32＝ 3. ∴△ABC 的面积的最大值为 3.12．[2016·济宁模拟]已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x 4，记f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的值；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (2A )的取值范围．解 (1)f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，因为f (x )＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.(2)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0， 所以cos B ＝12，又0<B <π2，所以B ＝π3. 则A ＋C ＝23π，A ＝23π－C ，又0<C <π2， 则π6<A <π2，得π3<A ＋π6<2π3，所以32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1又因为f (2A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋12，故函数f (2A )的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤3＋12，32.典题例证[2016·天津高考]已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ( x －⎭⎪⎫π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性.[规范解答] (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎭⎬xx ≠π2＋k π，k ∈Z .f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3 ＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin2x ＋3(1－cos2x )－ 3 ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪ －π12＋k π≤x ≤5π12＋⎭⎬⎫k π，k ∈Z . 易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.模型归纳利用y ＝sin x (y ＝cos x )的图象及性质解决三角函数性质的模型示意图如下：典题例证△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长.[规范解答] (1)由已知及正弦定理得， 2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3. (2)由已知，12ab sin C ＝332. 又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7. 模型归纳利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意图如下：。
2017学年高考数学年(文)换元法(练)专题练习(二)
由
x1
(2)
16k 2 12 3 4k 2
得
x1
2(3 4k 2 ) 3 4k 2
，故 |
AM
|
1 k2
12 1 k 2 | x1 2 | 3 4k 2
．
由题设直线ANFra bibliotek的方程为
y
1 k
(x
2)
，故同理可得
|
AN
12k 1 k 2 | 4 3k 2
．
由2|
由
y x 1
x
2
4y
，得
x2
4x
4
0
，所以
x1
x2
4,
x1x2
4 ，所以
y1
y2
6,
y1 y2
1．设
P(m, m
1)
，
则 PM (x1 m, y1 m 1) ， PN (x2 m, y2 m 1) ， 所 以 PM PN (x1 m)(x2 m) ＋
(
x
x2y 0 2 y)(x 2 y)
4
⇒
x x2
2 4
y y2
0 4
，即
x2-4y2=4，即
x2 -y2=1，表示焦点在 x 轴 4
上的双曲线，曲线关于 x 轴、y 轴、原点都是对称的．由函数的图象的对称性知，只考虑 y≥0 的情况即可， 因为 x＞0，所以只须求 x-y 的最小值．令 x-y=u 代入 x2-4y2=4 中，有 3y2-2uy+（4-u2）=0，∵y∈R，∴△
高考数学 考前解题基本方法二 换元法
二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,π2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>0和α∈[0,π2 ]。
Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
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3 2 2 4
B．
3 2
C． 2
D．
3 8
| 2 x 1|, x 1 2 10．已知 m R ，函数 f ( x) ， g ( x) x 2 x 2m 1 ，若函数 y f ( g ( x)) m 有 6 个零 log ( x 1), x 1 2
） B．
2 4 二、填空题
A．
3 4
C．
2 2
D．
3 3
13．方程 log2 (9x 1 5) log 2 (3x 1 2) 2 的解为________． 14．已知函数 f ( x) | x 2 2 x 1| ，若 a b 1 ，且 f (a) f (b) ，则 ab a b 的取值范围________． 15．若存在 x0 [1,1] 使得不等式 | 4x0 a 2x0 1| 2x0 1 成立，则实数 a 的取值范围是________．
2/3
16．已知 f ( x) ， g ( x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且 f ( x) g ( x) ( ) x ．若存在 x0 [ ,1] ，使 得等式 af ( x0 ) g (2 x0 ) 2 成立，则实数 a 的取值范围是________． 三、解答题 17．已知 A、B 分别在射线 CM、CN（不含端点 C）上运动， MCN 的边分别是 a、b、c． （Ⅰ）若 a、b、c 依次成等差数列，且公差为 2．求 c 的值； （Ⅱ）若 c 3 ， ABC ，试用 表示△ABC 的周长，并求周长的最大值．
点，则实数 m 的取值范围是（ ）
3 A． 0, 5
3 3 B． , 5 4
3 C． ,1 4
D． (1,3)
11．已知函数 f ( x) x3 x sinx ，当 0, 时，恒有 f (cos2 2msin ) f (2m 2) 0 成立，则实 数
恒成立，求 的取值范围．
3/3
1/3
A． 2, +
B．
5,+
3 3+1 ,+ C． D． 2
5+1,+
π 上的 2
8．函数 f x sin 2 x 最小值为（ A． ） B．
π π 的图像向左平移 个单位后关于原点对称，则函数 f ( x) 在 0, 2 6
π 2
1 的取值范围（ 15
）
A． ,
1 2
B． , 2
1
C． ,
1 2
Байду номын сангаас
D． ,
1 2
12．已知椭圆 离心率是（
x2 y 2 1(a b 0) 的左焦点 F (c,0) 关于直线 bx cy 0 的对称点 M 在椭圆上，则椭圆的 a 2 b2
4．已知函数 f ( x)＝4x t 2x t 1 在区间 (0, ) 上的图像恒在 x 轴上方，则实数 t 的取值范围是（ A． (2 2 2, ) C． (0,2 2 2) 5．已知 x, y 满足 A．3 B． (,2 2 2) D． (2 2 2,8)
1 2
1 2
2π ，在△ABC 中，角 A、B、C 所对 3
M
A
N 18．已知数列 an 中， a1 1, an 1 （1）求 an 的通项公式 an ；
n （2） 数列 bn 满足 bn (3 1)
B
C
an ( n N ) ． an 3
n n n an ， 数列 bn 的前 n 项和为 Tn ， 若不等式 (1) Tn n 1 对一切 n N n 2 2
A．2
B．1
C．
3 2
1 2
）
3．若函数 f ( x) a 2 x 与 g ( x) 4x a 1 的图像有交点，则 a 的取值范围是（ A． a 2 2 2 或 a 2 2 2 C． 1 a 2 2 2 B． a 1 D． a 2 2 2
）
x2 y 2 ） 1 ，则 z x y 的最大值为（ 16 9 B．4 C．5 D．6
6．设正实数 x, y, z 满足 x2 -3xy+4 y 2 -z＝0 ，则当
2 1 2 xy 取得最大值时， 的最大值为（ x y z z
D．3
）
A．0
B．1
C．
9 4
7．如图，等腰梯形 ABCD 中， AB∥CD 且 AB 2 ， AD 1 ， DC 2 x x 0,1 ．以 A，B 为焦点，且过 点 D 的双曲线的离心率为 e1 ， 以 C , D 为焦点， 且过点 A 的椭圆的离心率为 e2 ， 则 e1 e2 的取值范围为 （ ）
3 2
1 2
C．
1 2
D．
3 2
9．已知圆 O1 ： ( x 2)2 y 2 16 和圆 O2 ： x 2 y 2 r 2 (0 r 2) ，动圆 M 与圆 O1 和圆 O2 都相切，动圆 M 圆心 M 的轨迹为两个椭圆，设这两个椭圆的离心率分别为 e1 和 e2 (e1 e2 ) ，则 e1 2e2 的最小值为（ A． ）
2017 年高考数学（文）专题练习（二） 换元法（测）
一、选择题 1．已知 f ( x3 )＝lgx( x 0) ，则 f (4) 的值为（ A． 2lg2 B． lg2 ） D． lg4 ） D．
1 3
C． lg2
2 3
2 3
x 2．方程 log 1 ( a 2 ) 2 x 有解，则 a 的最小值为（ 2