第一节 数及其运算
2.1《有理数》
1.写出下列各数中的正数________、负数 _____、整数_______、分数_______.
-15，+6，-2，-0.9,1，，0，3，0.63， -4.95,56%。
2.正整数、______和_____统称整数； _______和_____统称分数；整数和分数 统称_______．
A、正数、0、负数统称为有理数 B、分数和整数统称为有理数 C、正有理数、负有理数统称为有理数 D、以上都不对
3.所有正数组成正数集合，所有负数组成负数集
合．把下面的有理数填入它属于的集合的圈内：
-17，3 ，3.1415，0.107，- 1，-23 ，63%，- 22
0.2．5……
3
7
正数集合 负数集合 整数集合 分数集合
3、有理数的分类方法不是唯一的，可以按整数和 分数分成两大类，也可以按正有理数、零、负有 理数分成三大类。
4、我学得怎样？
２、＋１３５０米表示高于海平面１３５０米， 低于海平面２００米，记作 －２００ 。
３、如果上升１０米记作＋１０米，那么下降１２ 米，记作 －12 。
４、如果规定向西走３０米记作＋３０米，那么 －４０米，表示 向东走了40米 。
必做题
5.如果零上5记作+5,那么零下3 记作 －3 .
6.某仓库运进面粉7.5吨记作+7.5,那么运出3.8吨,
问题：你能对有理数进行分类吗？
方法1：按定义分类：
整数
分数
正整数 零
负整数
正分数 负分数
有理数：整数和分数统称为有理数
问题3：你还能对有理数进行分类吗？
方法2：按性质符号分类：
正有理数 零
负有理数
正整数 正分数 负整数 负分数
数学 运算 运算 结果
数学运算运算结果关于数学运算及其结果数学是一门既有深度又有广度的学科，它涵盖了各种数学概念、方法和运算。
数学运算是数学中最基础的部分，通过不同的运算符和规则，我们可以进行各种数值的处理和计算。
本文将逐步介绍数学运算及其结果。
第一节：加法运算加法是最基本的数学运算之一，它用来将两个或多个数值相加。
例如，将3和4相加，得到的结果是7。
在数学中，我们用加号（+）表示加法运算。
加法运算的结果称为和。
第二节：减法运算减法是加法的逆运算，用来计算两个数值之间的差值。
例如，15减去8，得到的结果是7。
在数学中，我们用减号（-）表示减法运算。
减法运算的结果称为差。
第三节：乘法运算乘法是通过重复的加法实现的一种运算，它用来计算两个或多个数值的乘积。
例如，将4乘以5，得到的结果是20。
在数学中，我们用乘号（×）表示乘法运算。
乘法运算的结果称为积。
第四节：除法运算除法是乘法的逆运算，它用来计算两个数值之间的商。
例如，将20除以4，得到的结果是5。
在数学中，我们用除号（÷）表示除法运算。
除法运算的结果称为商。
第五节：幂运算幂运算是一种重复乘法的运算，它用于计算一个数值的某个次幂。
例如，3的2次幂等于9，表示为3²=9。
在数学中，我们用乘法运算符的上标形式表示幂运算。
幂运算的结果称为幂。
第六节：根号运算根号运算是幂运算的逆运算，它用来计算一个数值的根。
例如，根号9等于3，表示为√9=3。
在数学中，我们用根号符号（√）表示根号运算。
根号运算的结果称为根。
第七节：括号运算括号运算用于改变运算的优先级和顺序。
在数学中，括号可以分为圆括号（），方括号[]和花括号{}。
通过使用括号，我们可以改变运算的顺序，保证得出正确的结果。
第八节：运算优先级在进行多个运算时，为了保证得出正确的结果，我们需要遵守一定的运算优先级。
一般而言，先进行括号运算，然后是幂运算、乘法和除法运算，最后是加法和减法运算。
同时，如果存在相同优先级的运算，从左到右进行运算。
数的运算人教版各年级主要内容
数的运算人教版各年级主要内容
数的运算人教版各年级主要内容如下：
一年级。
20以内的加减法和认识图形。
二年级。
100以内的加减法和表内乘除法。
三年级。
万以内的加法和减法、倍的认识、多位数乘一位数、分数的初步认识、四边形、年月日、小数的初步认识、可能性、数学广角等。
四年级。
大数的认识、角的度量、三位数乘两位数、平行四边形和梯形、除数是两位数的除法、统计、数学广角等。
五年级。
小数乘法和除法、简易方程、观察物体、多边形的面积、统计与可能性、数学广角等。
六年级。
分数乘法和除法、比和比例、圆、百分数等。
人教版小学数学数的运算知识点汇总
四则运算关系
பைடு நூலகம்
加法
一个加数 = 和－另一个加数
减法
被减数 = 差 + 减数 减数 = 被减数 － 差
乘法
一个因数 = 积 ÷ 另一个因数
除法
被除数 = 商 × 除数 除数 = 被除数 ÷ 商
两个规律
一、除法的商不变规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不 变。 二、乘法的积不变规律：如果一个因数乘几，另一个因数则除以几，那么它们的 积不变。
数量关系
单价×数量=总价 总价÷数量=单价 总价÷单价=数量
工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作时间=工作效率 工作总量÷工作效率=工作时间
速度×时间=路程 路程÷时间=速度 路程÷速度=时间
速度和×相遇时间=路程 路程÷相遇时间=速度和 路程÷速度和=相遇时间
集合论第1章集合及其运算
集合论与图论以前学习的高等数学（数学分析）都是连续函数，而计算机是离散型结构，所以它所研究的对象应是离散型的。
因此，做为计算机理论的核心课程《离散数学》就显然非常重要，计算机专业学生必须开设此课程。
目的：培养学生抽象思维和逻辑思维的能力要求：概念第一，正确使用概念进行正确的推理。
特点：抽象，概念多；与其它课程不同，不是以计算为主，而是以推理论证为主；比较难。
内容：⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩集合映射集合论关系无穷集合图的基本概念树和割集离散数学图 论 连通度和匹配平面图的欧拉公式和图的着色有向图近世代数数理逻辑形式语言与自动机可计算理论等等离散：不考虑实数的性质，只考虑有限或可数的整数。
因此可用归纳法。
第一篇集合论集合论是德国数学家康托（Cantor）在1874年建立的，它是现代数学的基础，在当今数学中每个对象本质上都是集合。
有时我们说：“数学能嵌套在集合论中”其含义就是指数学的一些对象如：数、函数、线、面等都可以用集合来定义。
换句话说，数学的各个分支在本质上都是研究这种或那种对象的集合。
例如：几何学——研究点、线、面的集合；数学分析——连续函数的集合；代数——研究数的集合以及在此集合上定义有关运算的集合等等。
因此，把集合论作为现代各种数学的基础是有道理的，也是合适的。
集合论的特点：（1）研究的对象十分广泛：数、图形或其它任何客体都可以作为研究的对象。
（2）因为它研究的对象是如此广泛，为了便于研究必须寻找对象的共性，而要做到这一点，就必须进行抽象。
（3）在抽象化的基础上，可用统一的方法来研究和处理集合论的各类问题。
第一章 集合及其运算§1集合的基本概念在日常生活中，经常会遇到“集合”的概念，例如：所有中国人的组成的集合；坐标面上的有点的集合，自然数集，实数集，全世界无产者等等。
集合是集合论中最基本的概念，所以很难给出精确的定义。
因此，我们把“集合”作为原始的概念给出非形式定义，只给予一种描述说明这个概念的含义。
第三章 第一节 导数的概念及运算、定积分
第三章导数及其应用第一节导数的概念及运算、定积分[考纲要求]1．了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．3．能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝x的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．5．了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数．6．了解定积分的概念，了解微积分基本定理的含义．突破点一导数的运算[基本知识]1．导数的概念称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率li mΔx→0ΔyΔx＝li mΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li mΔx→0ΔyΔx＝li mΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.称函数f′(x)＝li mΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝ln x f ′(x )＝1x 基本初等函数 导函数 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0，a ≠1) f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a3.导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎡⎦⎤f xg x ′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′的计算结果相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题1．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 答案：－x sin x2．已知f (x )＝13－8x ＋2x 2，f ′(x 0)＝4，则x 0＝________. 解析：∵f ′(x )＝－8＋4x ， ∴f ′(x 0)＝－8＋4x 0＝4，解得x 0＝3. 答案：33．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22， 得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x . ∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1. 答案：1[典例感悟]1．已知函数f (x )＝xe x ，则其导函数f ′(x )＝( )A.1＋xe xB.1－x e xC ．1＋xD ．1－x解析：选B 函数f (x )＝xe x ，则其导函数f ′(x )＝e x －x e x e 2x ＝1－x ex ，故选B.2．(2019·枣庄三中质检)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．1C ．－1D ．e解析：选C 由题可得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x ，则f ′(1)＝2f ′(1)＋1，解得f ′(1)＝－1，所以选C.3．函数f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2，则其导函数f ′(x )＝________.解析：∵f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π) ＝－12x sin 4x ，∴f ′(x )＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .答案：－12sin 4x －2x cos 4x[方法技巧]导数运算的常见形式及其求解方法1．设f (x )＝x (2 019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 020，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 019＋ln x ＋1＝2 020＋ln x ，由f ′(x 0)＝2 020，得2 020＋ln x 0＝2 020，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.2．(2019·长沙长郡中学一模)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析： 选C f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′，所以f ′(0)＝a 1a 2a 3…a 8＝(a 1a 8)4＝(2×4)4＝212.故选C.突破点二 导数的几何意义[基本知识]函数f (x )在点x 0处 的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．特别地，如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的切线垂直于x 轴，则此时导数f ′(x 0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x ＝x 0.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( ) (2)求曲线过点P 的切线时P 点一定是切点．( ) 答案：(1)√ (2)× 二、填空题1．已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R)，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________.解析：由题意，得f ′(x )＝a ln x ＋a ，所以f ′(1)＝a ，因为函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，所以a ＝2，又f (1)＝b ，则2×1－b ＝0，所以b ＝2，故a ＋b ＝4.答案：42．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________． 解析：∵y ′＝1x ln 2，∴切线的斜率k ＝1ln 2，∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)，∴所求三角形的面积S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2＝12log 2e.答案：12log 2e3．设函数f (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为9x ＋y －1＝0，则曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为________．解析：由已知得g ′(1)＝－9，g (1)＝－8， 又f ′(x )＝12g ′⎝⎛⎭⎫x 2＋2x ， ∴f ′(2)＝12g ′(1)＋4＝－92＋4＝－12，f (2)＝g (1)＋4＝－4，∴所求切线方程为y ＋4＝－12(x －2)，即x ＋2y ＋6＝0.答案：x ＋2y ＋6＝0[全析考法]考法一 求切线方程“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的曲线的切线方程”是不相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点．曲线在某点处的切线，若有，则只有一条；曲线过某点的切线往往不止一条．切线与曲线的公共点不一定只有一个．[例1] 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5， ∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0， 解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. [方法技巧]求切线方程问题的2种类型及方法(1)求“在”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)处的切线方程：点P (x 0，y 0)为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)求“过”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)的切线方程：切线经过点P ，点P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：①设切点A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)；②根据题意知点P (x 0，y 0)在切线上，点A (x 1，y 1)在曲线y ＝f (x )上，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，求出切点A (x 1，y 1)，代入方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，化简即得所求的切线方程．考法二求切点坐标[例2](2019·柳州一模)已知函数f(x)＝e2x－1，直线l过点(0，－e)且与曲线y＝f(x)相切，则切点的横坐标为()A．1B．－1C．2 D．e－1[解析]设切点为(x0，e2x0－1)，∵f′(x)＝2e2x－1，∴2e2x0－1＝e2x0－1＋ex0，化简得2x0－1＝e2－2x0.令y＝2x－1－e2－2x，则y′＝2＋2e2－2x>0.∵x＝1时，y＝0，∴x0＝1.故选A.[答案] A[方法技巧]求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．考法三 求参数值或范围[例3] (1)已知函数f (x )＝a ln x ＋bx 2的图象在点P (1，1)处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3(2)(2019·乐山调研)已知曲线f (x )＝e 2x －2e x ＋ax －1存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫3，72 B ．(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，72 D ．(0,3)[解析] (1)由已知可得P (1,1)在函数f (x )的图象上， 所以f (1)＝1，即a ln 1＋b ×12＝1，解得b ＝1， 所以f (x )＝a ln x ＋x 2， 故f ′(x )＝ax ＋2x .则函数f (x )的图象在点P (1,1)处的切线的斜率k ＝f ′(1)＝a ＋2， 因为切线与直线x －y ＋1＝0垂直， 所以a ＋2＝－1，即a ＝－3. (2)由题得f ′(x )＝2e 2x －2e x ＋a ，则方程2e 2x －2e x ＋a ＝3有两个不同的正解， 令t ＝e x (t >0)，且g (t )＝2t 2－2t ＋a －3，则由图像可知，有g(0)>0且Δ>0，即a－3>0且4－8(a－3)>0，解得3<a<72.故选A.[答案](1)D(2)A[方法技巧]利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．[提醒](1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．[集训冲关]1.[考法一](2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y ＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A．y＝－2x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝x解析：选D∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.2.[考法二]曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为()A．(1,3) B．(－1,3)C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3)解析：选C f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.3.[考法三]设曲线f(x)＝－e x－x(e为自然对数的底数)上任意一点的切线为l1，总存在曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为()A ．[－1,2]B ．[3，＋∞)C.⎣⎡⎦⎤－23，13D.⎣⎡⎦⎤－13，23 解析：选D f ′(x )＝－e x －1，∵e x ＋1>1，∴1e x ＋1∈(0,1)．又g ′(x )＝3a －2sin x ， ∵－2sin x ∈[－2,2]，∴3a －2sin x ∈[－2＋3a,2＋3a ]，要使曲线f (x )上任意一点的切线l 1，总存在曲线g (x )上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23.故选D.4.[考法三](2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________.解析：∵y ′＝(ax ＋a ＋1)e x ，∴当x ＝0时，y ′＝a ＋1， ∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 答案：－3突破点三 定积分的计算及应用[基本知识]1．定积分的定义一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f(x)d x.2．定积分的相关概念在⎠⎛ab f(x)d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)d x 叫做被积式．3．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf(x)d x ＝k ⎠⎛ab f(x)d x(k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x)±f 2(x)]d x ＝⎠⎛a b f 1(x)d x±⎠⎛ab f 2(x)d x ；(3)⎠⎛ab f(x)d x ＝⎠⎛ac f(x)dx ＋⎠⎛cb f(x)dx (其中a<c<b)．4．微积分基本定理如果f(x)是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x)＝f(x)，那么⎠⎛ab f(x)d x ＝F(b)－F(a)．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，我们常常把F(b)－F(a)记为F(x)b a，即⎠⎛ab f(x)dx ＝F(x)b a＝F(b)－F(a)．5．定积分与曲边梯形面积的关系6.做变速运动的物体在时间[a ，b]上所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a ，b]上的定积分，即s ＝⎠⎛ab v (t )d t .具体步骤为：（1）找出速度函数v ＝v (t )，作出图形． （2）观察v ＝v (t )的图形是否满足v (t )≥0.（3）若v (t )≥0，则相应的时间段[a ，b ]上的路程为s ＝⎠⎛ab v (t )d t ；若v (t )<0，则相应的时间段[a ，b]上的路程为s ＝⎪⎪⎪⎪⎠⎛ab v (t )d t ＝－⎠⎛ab v (t )d t .[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形的面积，其值为正．( )(2)一物体在变力F (x )作用下，沿与F (x )相同方向从x ＝a 移到x ＝b 时力F (x )所做的功是⎠⎛ab F (x )d x .( )答案：(1)× (2)√ 二、填空题1．⎠⎜⎛0π2 (－2sin x )dx ＝________.解析：由定积分的概念及微积分基本定理，得⎠⎜⎛0π2(－2sin x )d x ＝2co s x ⎪⎪⎪π20＝－2.答案：－22.⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝________. 解析：⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫x ＋1x dx ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x |e 1＝e 22＋1－12＝e 2＋12.答案：e 2＋123．定积分⎠⎛0416－x 2d x ＝________.解析：令y ＝16－x 2，则x 2＋y 2＝16(y ≥0)，所以点(x ，y)的轨迹为半圆，⎠⎛0416－x 2dx 表示以原点为圆心、4为半径的圆面积的14，所以⎠⎛0416－x 2dx ＝14×π×42＝4π.答案：4π4．(2019·运城中学月考)曲线f(x)＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，54π与x 轴围成的图形的面积为________．解析：对于f(x)＝sin x ，当x ∈[0，π]时，f(x)≥0，当x ∈⎝⎛⎦⎤π，54π时，f(x)<0， 则所求面积S ＝⎠⎛0πsin x d x ＋⎠⎛π5π4(－sin x )d x ＝－cos x |π0＋cos x ⎪⎪⎪5π4π＝2＋⎝⎛⎭⎫－22＋1＝3－22. 答案：3－225．汽车以v ＝3t ＋2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是________m.解析：s ＝∫21(3t ＋2)d t ＝⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t |21 ＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m)． 答案：132[全析考法]考法一利用微积分基本定理求定积分[例1] (1)(2019·广德中学期中)⎠⎛01(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1(2)(2019·河南师大附中月考)若⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x ＝( )A ．0 B.π4－12 C.π4－14D.π2－1 (3)(2019·宜春中学一模)计算⎠⎛-43|x ＋2|d x ＝________.[解析] (1)⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e ＋1)－(1＋0)＝e.故选B.(2) ⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x ＝⎠⎜⎛0π2⎝⎛⎭⎫12－12cos x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x ⎪⎪⎪⎪π2＝π4－12.故选B. (3) ⎠⎛-43|x ＋2|d x ＝－⎠⎛－4－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛-23 (x ＋2)d x ＝－⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x |－2－4＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x |3－2＝292. [答案] (1)B (2)B (3)292[方法技巧]利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数． 考法二利用定积分的几何意义求定积分[例2](2019·银川一中月考)若⎠⎛m－2－x2－2x d x＝π2，则m等于()A．－1 B．0C．1 D．2[解析]由定积分的几何意义可知，原题即为求函数y＝－x2－2x与x轴在区间[－2，m]上围成图形面积的大小，而函数y＝－x2－2x的图象是以(－1,0)为圆心，以1为半径在x轴上方的半圆，它的面积为12×π×12＝π2，即为题目所求面积，而m为函数y＝－x2－2x与x轴的另一个交点的横坐标，由图形(图略)可得m＝0.[答案] B[方法技巧]利用定积分几何意义求定积分的策略当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形形状规则，面积易求时，利用定积分的几何意义求定积分．考法三利用定积分求平面图形的面积[例3] (2019·襄阳四中期中)由曲线y ＝1－1－x 2，y ＝－x 2＋2x 所围成图形的面积为________．[解析] 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－1－x 2，y ＝－x 2＋2x 得交点为(0,0)，(1,1)，如图，∴S ＝⎠⎛01(－x 2＋2x )d x －⎠⎛01(1－1－x 2)d x ，⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2|10＝23. ⎠⎛01(1－1－x 2)d x ＝x |10－⎠⎛011－x 2d x＝1－⎠⎛011－x 2d x ，而⎠⎛011－x 2d x 表示单位圆x 2＋y 2＝1在第一象限内的部分的面积，∴⎠⎛011－x 2d x ＝π4，∴S ＝23－1＋π4＝π4－13.[答案]π4－13[方法技巧]利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； (4)计算定积分，写出答案．考法四 定积分在物理中的应用[例4] (2019·武汉调研)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2[解析] 由v (t )＝7－3t ＋251＋t＝0，可得t ＝4( t ＝－83舍去 )，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝[ 7t －32t 2＋25ln(1＋t ) ]| 40＝4＋25ln 5.[答案] C [方法技巧]定积分在物理中的2个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝∫ba v (t )d t .(2)变力做功，一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝∫ba F (x )d x .[集训冲关]1.[考法一]⎠⎛24(x 2＋x 3－30)d x ＝( )A ．56B ．28 C.563D ．14解析：选C ⎠⎛24(x 2＋x 3－30)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋14x 4－30x |42＝13×(43－23)＋14×(44－24)－30×(4－2)＝563.故选C. 2.[考法三]由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13B.310C.14D.15解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝13.故选A.3.[考法二]⎠⎛02(4－x 2＋x )d x 的值等于________．解析：⎠⎛02(4－x 2＋x )d x ＝⎠⎛024－x 2d x ＋⎠⎛02x d x ，其中⎠⎛024－x 2d x 表示半径为2的圆的面积的14，⎠⎛024－x 2d x ＝14π×22＝π，⎠⎛02x d x ＝12x 2|20＝2，因此原式等于π＋2. 答案：π＋24.[考法四]一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________J.解析：由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5x 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42 ＝5×2＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36(J)． 答案：36[课时跟踪检测][A 级 保分题——准做快做达标]1．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.2．(2019·南阳期末)若f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，则⎠⎛03f(x)d x ＝( )A ．16B ．54C ．－24D ．－18解析：选D 由已知得f ′(x)＝2x ＋2f ′(2)，令x ＝2，得f ′(2)＝4＋2f ′(2)，解得f ′(2)＝－4，所以f(x)＝x 2－8x ＋3，所以⎠⎛03f(x)dx ＝⎠⎛03(x 2－8x ＋3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－4x 2＋3x |30＝－18.故选D .3．(2019·珠海期末)曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°解析：选B 由题意知点(1,3)在曲线y ＝x 3－2x ＋4上．∵y ＝x 3－2x ＋4，∴y ′＝3x 2－2，根据导数的几何意义，可知曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1，∴曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为45°.故选B .4．(2019·青岛模拟)已知f 1(x)＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x)是f n (x)的导函数，即f 2(x)＝f 1′(x)，f 3(x)＝f 2′(x)，…，f n ＋1(x)＝f n ′(x)，n ∈N *，则f 2 018(x )＝( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析：选C ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，…，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 018＝4×504＋2，∴f 2 018(x )＝f 2(x )＝－sin x ＋cos x ，故选C.5．(2019·山东省实验中学一模)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)解析：选Df ′(x )＝3x 2＋2ax ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋2ax 0＝－1，x 0＋f (x 0)＝0，f (x 0)＝x 3＋ax 20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，x 0＝1，f (x 0)＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，x 0＝－1，f (x 0)＝1，故选D.6．(2019·湖北黄石二中一模)若直线y ＝kx ＋2是函数f (x )＝x 3－x 2－3x －1图象的一条切线，则k ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C 直线y ＝kx ＋2过(0,2)，f ′(x )＝3x 2－2x －3，设切点为(x 0，y 0)，故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2x 0－3)(x －x 0)，将(0,2)代入切线方程并结合y 0＝x 30－x 20－3x 0－1，解得x 0＝－1，y 0＝0，代入y ＝kx ＋2，解得k ＝2.7．(2019·银川一中月考)设函数f (x )＝3sin θ3x 3＋cos θ2x 2＋4x －1，θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π6，则导数f ′(－1)的取值范围是( )A ．[3,4＋3]B ．[3,6]C ．[4－3，6]D ．[4－3，4＋3]解析：选B 求导得f ′(x )＝3x 2sin θ＋x cos θ＋4，将x ＝－1代入导函数，得 f ′(－1)＝3sin θ－cos θ＋4＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋4，由θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π6，可得θ－π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，∴2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋4∈[3,6]．故选B. 8．(2019·巴蜀中学模拟)已知曲线y ＝2xx －1在点P (2,4)处的切线与直线l 平行且距离为25，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋y ＋2＝0B ．2x ＋y ＋2＝0或2x ＋y －18＝0C ．2x －y －18＝0D ．2x －y ＋2＝0或2x －y －18＝0解析：选B y ′＝2(x －1)－2x (x －1)2＝－2(x －1)2，y ′|x ＝2＝－2(2－1)2＝－2，因此k l ＝－2，设直线l 方程为y ＝－2x ＋b ，即2x ＋y －b ＝0，由题意得|2×2＋4－b |5＝25，解得b ＝18或b ＝－2，所以直线l 的方程为2x ＋y －18＝0或2x ＋y ＋2＝0.故选B.9．(2019·成都双流区模拟)过曲线y ＝x 2－2x ＋3上一点P 作曲线的切线，若切点P 的横坐标的取值范围是⎣⎡⎦⎤1，32，则切线的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π2 B.⎣⎡⎦⎤0，π4 C ．[0，π)D.⎣⎡⎭⎫3π4，π 解析：选B 因为y ′＝2x －2,1≤x ≤32，所以0≤2x －2≤1.设切线的倾斜角为α，则0≤tan α≤1.因为0≤α≤π，所以0≤α≤π4，故选B.10．(2019·广东七校联考)函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致是( )解析：选A 法一：由题意，得f ′(x )＝cos x ＋x (－sin x )＝cos x －x sin x ，f ′(－x )＝f ′(x )，所以f ′(x )为偶函数．又f ′(0)＝1，所以排除C 、D ；令g (x )＝f ′(x )＝cos x －x sin x ，则g ′(x )＝－x cos x －2sin x ，易知g ′(0)＝0，且当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2时，g ′(x )<0，f ′(x )单调递减，当x ∈⎝⎛⎦⎤－π2，0时，g ′(x )>0，f ′(x )单调递增，所以f ′(x )在x ＝0处取得极大值，排除选项B.故选A.法二：由题意，得f ′(x )＝cos x ＋x (－sin x )＝cos x －x sin x ，又f ′(0)＝1，所以排除C ，D ；当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2时，y ＝cos x 单调递减，对于y ＝x sin x ，y ′＝x cos x ＋sin x >0，则y ＝ x sin x 单调递增，则f ′(x )＝cos x －x sin x 在⎝⎛⎦⎤0，π2上单调递减．故选A. 11．(2019·天津耀华中学一模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x <0，cos x ，0≤x ≤π2，则f (x )与x 轴围成封闭图形的面积为________．解析：S ＝⎠⎛-10(x ＋1)d x ＋⎠⎜⎛0π2cos x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x |0－1＋sin x ⎪⎪⎪⎪π20＝12＋1＝32.答案：3212．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为______________． 解析：因为y ′＝2x ，y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2. 答案：y ＝2x －213．(2019·石家庄二中月考)已知函数f (x )＝1x ，g (x )＝x 2.若直线l 与曲线f (x )，g (x )都相切，则直线l 的斜率为________．解析：因为f (x )＝1x ，所以f ′(x )＝－1x 2，设曲线f (x )与l 切于点⎝⎛⎭⎫x 1，1x 1，则切线斜率k ＝－1x 21，故切线方程为y －1x 1＝－1x 21(x －x 1)，即y ＝－1x 21x ＋2x 1.与g (x )＝x 2联立，得x 2＋1x 21x －2x 1＝0.因为直线l 与曲线g (x )相切，所以⎝⎛⎭⎫1x 212－4⎝⎛⎭⎫－2x 1＝0，解得x 1＝－12，故斜率k ＝－1x 21＝－4.答案：－414．(2019·淄博六中期末)曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离为________．解析：设曲线上过点P (x 0，y 0)的切线平行于直线2x －y ＋3＝0，即斜率是2，则 y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1，所以y 0＝0，即点P (1,0)．又点P 到直线2x －y ＋3＝0的距离为|2－0＋3|22＋(－1)2＝5，所以曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5. 答案： 515．(2019·孝感高中期中)已知函数f (x )＝x 3－x . (1)求曲线y ＝f (x )在点M (1,0)处的切线方程；(2)如果过点(1，b )可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数b 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－1，∴f ′(1)＝2.故切线方程为y －0＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)设切点为(x 0，x 30－x 0)，则切线方程为y －(x 30－x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 又切线过点(1，b )，所以(3x 20－1)(1－x 0)＋x 30－x 0＝b ， 即2x 30－3x 20＋b ＋1＝0.由题意，上述关于x 0的方程有三个不同的实数解． 记g (x )＝2x 3－3x 2＋b ＋1，则g (x )有三个不同的零点，而g ′(x )＝6x (x －1)，令g ′(x )＝0得x ＝0或x ＝1，则结合图像可知g (0)g (1)<0即可，可得b ∈(－1,0)．16．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，所以⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)是定值，理由如下：设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由f ′(x )＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.[B 级 难度题——适情自主选做]1.(2019·山西八校联考)如图，矩形OABC 中曲线的方程分别是y ＝sin x ，y ＝cos x ．A ( π2，0 )，C (0,1)，在矩形OABC 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.4(3－1)πB.4(2－1)πC ．4(3－1)πD ．4(2－1)π解析：选B 由题可知图中阴影部分的面积S ＝2⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＝2(sin x ＋ cosx ) ⎪⎪⎪⎪π4＝2(2－1)，易知矩形OABC 的面积为π2，所以在矩形OABC 内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为4(2－1)π，故选B.2．(2019·蚌埠质检)已知函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫a －1e x ，曲线y ＝f (x )上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是( )A ．(－e 2，＋∞)B ．(－e 2,0) C.⎝⎛⎭⎫－1e 2，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－1e 2，0 解析：选D ∵曲线y ＝f (x )上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，∴f ′(x )＝a ＋(x －1)e －x ＝0有两个不同的解，即a ＝(1－x )e －x 有两个不同的解．设y ＝(1－x )e －x ，则y ′＝(x －2)e －x ，∴当x <2时，y ′<0，当x >2时，y ′>0，则y ＝(1－x )e －x 在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴x ＝2时，函数y 取得极小值－e －2.又∵当x >2时总有y ＝(1－x )e －x <0且f (0)＝1>0，∴可得实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1e 2，0.故选D. 3．(2019·山东名校调研)已知曲线y ＝e x＋a与y ＝x 2恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围是( )A ．[2ln 2－2，＋∞)B ．(2ln 2，＋∞)C ．(－∞，2ln 2－2]D ．(－∞，2ln 2－2)解析：选D 由题意可设直线y ＝kx ＋b (k >0)为它们的公切线，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝x2可得x 2－kx －b ＝0，由Δ＝0，得k 2＋4b ＝0 ①.由y ＝e x ＋a 求导可得y ＝e x ＋a ，令e x ＋a ＝k ，可得x ＝ln k －a ，∴切点坐标为(ln k －a ，k ln k －ak ＋b )，代入y ＝e x ＋a 可得k ＝k ln k －ak ＋b ②.联立①②可得k 2＋4k ＋4ak －4k ln k ＝0，化简得4＋4a ＝4ln k －k .令g (k )＝4ln k －k ，则g ′(k )＝4k －1，令g ′(k )＝0，得k ＝4，令g ′(k )>0，得0<k <4，令g ′(k )<0，得k >4.∴g (k )在(0,4)内单调递增，在(4，＋∞)内单调递减，∴g (k )max ＝g (4)＝4ln 4－4，且k →0时，g (k )→－∞，k→＋∞时，g(k)→－∞.∵有两条公切线，∴方程4＋4a＝4ln k－k有两解，∴4＋4a<4ln 4－4，∴a<2ln 2－2.故选D.。
第一章第一节《实数及其运算》
第一章数与式第一节实数及其运算一．选择题1．﹣sin60°的倒数为（）A．﹣2B．C．﹣D．﹣2．的平方根是（）A．±9B．9C．3D．±33．花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000037毫克，已知1克＝1000毫克，那么0.000037毫克可用科学记数法表示为（）A．3.7×10﹣5克B．3.7×10﹣6克C．37×10﹣7克D．3.7×10﹣8克4．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b5．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，实数x满足条件a≤x≤b，则下列选项中的x 值，不满足条件的是（）A．B．C．3﹣D．﹣|﹣|6．将14465000元，用科学记数法表示（保留3个有效数字）（）A．1.45×107B．1.44×107C．1.40×107D．0.145×1087．用四舍五入法对“145762”取近似数，要求精确到千位，下列表示正确的是（）A．1.5×105B．1.46×105C．1.458×105D．15万8．近似数1.23×103精确到（）A．百分位B．十分位C．个位D．十位9．下面是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为16时，输出的数值为（）A．3B．﹣1C．3或﹣1D．710．实数a在数轴上的位置如图所示，则﹣化简后为（）A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定11．2009年，面对国际金融危机影响的严峻挑战，安徽整体经济运行企稳早、回升快，保持了平稳较快增长的良好头．初步核算，全年安徽全省生产总值10052.9亿元，按可比价格计算，比上年增长12.9%，连续6年保持两位数增长．生产总值10052.9亿元用科学记数法表示并保留三个有效数字为（）A．1.00×1013B．0.101×1013C．1.01×1011D．1.01×1012 12．近日，记者从潍坊市统计局获悉，2016年第一季度潍坊全市实现生产总值1256.77亿元，将1256.77亿用科学记数法可表示为（精确到百亿位）（）A．1.2×1011B．1.3×1011C．1.26×1011D．0.13×1012 13．在|﹣2|，20，2﹣1，这四个数中，最大的数是（）A．|﹣2|B．20C．2﹣1D．14．的立方根是（）A．﹣1B．0C．1D．±115．利用教材中的计算器依次按键下：则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（）A．2.5B．2.6C．2.8D．2.916．用教材中的计算器依次按键如下，显示的结果在数轴上对应点的位置介于（）之间．A．B与C B．C与D C．E与F D．A与B17．一次抽奖活动特等奖的中奖率为，把用科学记数法表示为（）A．5×10﹣4B．5×10﹣5C．2×10﹣4D．2×10﹣518．实数m，n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（）A．m＞n B．﹣n＞|m|C．﹣m＞|n|D．|m|＜|n|19．实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）20．下列各数：0，，﹣，，﹣，﹣2，，|1﹣|，，．0.10010001…（两个1之间依次多1个0）中，整数有，有理数有，无理数有．21．若与（y+4）2互为相反数，则x+y的平方根为．22．用教材中的计算器进行计算，开机后依次按下，把显示结果输入如图的程序中，则输出的结果是．23．6﹣的整数部分是．24．的算术平方根的平方根是．25．|x﹣3|＝3﹣x，则x的取值范围是．26．如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是﹣4和2，点C是线段AB的中点，则点C 所表示的数是．27．数轴上有两个实数a，b，且a＞0，b＜0，a+b＜0，则四个数a，b，﹣a，﹣b的大小关系为（用“＜”号连接）．三．解答题（共3小题）28．计算：（﹣1）2019+（﹣2）﹣2+（3.14﹣π）0﹣4cos30°+|2﹣|29．计算：（﹣）﹣2+2cos30°﹣|1﹣|+（π﹣2019）0．30．计算：（﹣1）2019+（﹣）﹣2+|﹣2|+3tan30°．。
中考复习数与式课件 第一节 实数及其运算
第一节 实数及其运算
真题演练
命题点一 实数的有关概念
1.(2020河南)2的相反数是 ( A )
A.-2 B.- 1 C. 1 D.2
2
2
解析 2的相反数是-2.故选A.
2.(2019河南)- 1 的绝对值是 ( B )
2
A.- 1 B. 1 C.2 D.-2
2
2
解析 负数的绝对值是它的相反数,所以 1 = 1 ,故选B.
a,a 0;
|a|=0,a 0;
a,a 0.
温馨提示 因为一个数的绝对值是数轴上表示该数的点到原点的距离,所以
一个数的绝对值不可能为负数,即|a|≥0.
5.平方根、算术平方根、立方根
名称
定义
性质
平方根
如果x2=a(a≥0),那么x就叫做a 的平方根,记作± a
正数的平方根有两个,它们互为 相反数 ; 负数 没有
平方根;0的平方根是 0
算术平 方根
如果x2=a(x≥0,a≥0),那么x就叫 0的算术平方根是0 做a的算术平方根,记作 a
立方根
若x3=a,则x就叫做a的立方根,记 作 3a
正数有一个 正的 立方根; 0的立方根是0;负数有一个
负的 立方根
易错警示 平方根与算术平方根的概念混淆 填空: 1.4的算术平方根是 2 . 2.2的平方根是 ± 2 . 3.(-3)2的平方根是 ±3 .
15.(2019河南)成人每天维生素D的摄入量约为0.000 004 6克.数据“0.000 004 6”
用科学记数法表示为( C )
A.46×10-7
B.4.6×10-7
C.4.6×10-6 D.0.46×10-5
导数的概念及导数的几何意义
<<高等数学>>教案课型：讲授章节第二章导数与微分第一节导数及其运算 1·导数的概念及导数的几何意义教学目的：1、理解导数定义，能够运用定义求解简单函数的导数2、了解导数的几何意义，会求曲线在某点的切线和法线方程3、掌握可导与连续的关系，判别函数在某点的可导性与连续性教学重点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学难点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学过程：1、简介微积分的组成，微分与积分的区别2、引入导数概念3、给出导数定义（1）函数在某点导数的定义（2）函数在某区间导数的定义（3）单侧导数的定义4、求导数举例5、导数的几何意义6、求切线和法线方程举例7、可导与连续的关系8、举例判别函数在某点处的连续性和可导性9、课堂小结10、布置作业§1 导数及其运算一、 导数的概念1、导数的引入设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s f (t ),求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值000)()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令tt 0®0, 取比值00)()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即0)()(limt t t f t f v t t --=→,这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2、导数的定义从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限:00)()(lim 0x x x f x f x x --→.令x x x 0, 则y f (x 0x )f (x 0) f (x )f (x 0), x ®x 0相当于x ®0, 于是00)()(lim0x x x f x f x x --→ 成为 x yx ∆∆→∆0lim或xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000.导数的定义 设函数y f (x )在点x 0及其近旁有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量x时, 相应地函数y 取得增量y f (x 0x )f (x 0)， 如果当x ®0时，xy∆∆的极限存在, 则称这个极限为函数y f (x )在点x 0处的导数, 记作,0()f x , 即xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00000,也可记作0|x x y =',0 x x dx dy =或0)(x x dx x df =. 函数f (x )在点x 0处有导数（即极限xyx ∆∆→∆0lim 存在），有时也说成f (x )在点x 0可导.如果极限x yx ∆∆→∆0lim不存在, 就说函数yf (x )在点x 0处不可导.如果不可导的原因是由于x ®0时,xy∆∆®∞也往往说函数y f (x )在点x 0处的导数为无穷大. 导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有 hx f h x f x f h )()(lim)(0000-+='→00)()(lim)(0x x x f x f x f x x --='→.在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.如果函数y f (x )在开区间（a ，b ）内的每一点都可导, 就称函数y=f (x )在开区间（a ，b ）内可导, 这时, 对于开区间（a ，b ）内的任一点x , 都对应着一个确定的导数,()f x . 这样就构成了一个以（a ，b ）为定义域的新函数, 这个新函数叫做原来函数f (x )的导函数, 简称导数，记作)(x f ',y ',dx dy , 或dxx df )(. 即 )(x f '=x yx ∆∆→∆0lim或xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000f ¢(x 0)与f ¢(x )之间的关系:函数f (x )在点x 0处的导数f ¢(x )就是导函数f ¢(x )在点x x 0处的函数值, 即0)()(0x x x f x f ='='.导函数f ¢(x )简称导数, 而f ¢(x 0)是f (x )在x 0处的导数或导数f ¢(x )在x 0处的值. 左右导数: 所列极限存在, 则定义 f (x )在0x 的左导数:0,()fx -=lim 0x -∆→00()()f x x f x x +∆-∆; f (x )在0x 的右导数:0,()fx +=lim 0x +∆→00()()f x x f x x+∆-∆. 左导数和右导数统称为单侧导数.导数与左右导数的关系函数f (x )在点x 0处可导的充分必要条件是左导数左导数f ¢(x 0) 和右导数f ¢(x 0)都存在且相等. 如果函数f (x )在开区间(a , b )内可导, 且右导数f ¢(a ) 和左导数f ¢(b )都存在, 就说f (x )有闭区间[a , b ]上可导. .3、求导数举例例1．求函数f (x )C （C 为常数）的导数.解: hx f h x f x f h )()(lim )(0-+='→0lim 0=-=→h C C h . 即(C ) ¢0.例2 求xx f 1)(=的导数解 h xh x h x f h x f x f h h 11lim )()(lim )(00-+=-+='→→2001)(1lim )(limx x h x x h x h h h h -=+-=+-=→→例3 求x x f =)(的导数 解 hx h x h x f h x f x f h h -+=-+='→→00lim )()(lim)( xx h x x h x h h h h 211lim )(lim00=++=++=→→例2．求函数f (x )x n(n 为正整数)在x a 处的导数. 解: f ¢(a )a x a f x f ax --=→)()(lima x a x n n a x --=→lim ax →=lim (x n 1ax n2× × ×a n 1)nan 1.把以上结果中的a 换成x 得 f ¢(x )nx n 1, 即 (x n )¢nx n 1. (C )¢=0, 21)1(x x -=', xx 21)(=', 1)(-⋅='μμμx x .更一般地, 有(x )¢x 1, 其中为常数.例3．求函数f (x )sin x 的导数. 解: f ¢(x )hx f h x f h )()(lim-+=→h x h x h sin )sin(lim 0-+=→ 2sin )2cos(21lim0hh x h h +⋅=→ x h hh x h cos 22sin )2cos(lim 0=⋅+=→.即 (sin x )¢cos x .用类似的方法, 可求得 (cos x )¢sin x . 例4．求函数f (x ) a x (a >0, a ¹1) 的导数. 解: f ¢(x )h x f h x f h )()(lim 0-+=→ha a x h x h -=+→0lim h a a h h x 1lim 0-=→t a h =-1令)1(log lim0t t a a t x +→ a a ea x a xln log 1==. 特别地有(e x)e x.例5．求函数f (x )log a x (a >0, a ¹1) 的导数.解: hx h x h x f h x f x f a a h h log )(log lim )()(lim)(00-+=-+='→→ h xa h a h a h xh x x h h x x x h x h )1(log lim 1)1(log lim 1)(log 1lim 000+=+=+=→→→ a x e x a ln 1log 1==.解:h xh x x f a a h log )(log lim)(0-+='→)1(log 1lim 0xh h a h +=→h xa h x h x )1(log lim 10+=→ax e x a ln 1log 1==.即 a x x a ln 1)(log ='. :特殊地 xx 1)(ln ='. a x x a ln 1)(log ='xx 1)(ln ='.例6．求函数f (x )x |在x 0处的导数.解: 1||lim )0()0(lim )0(00-==-+='--→→-h h hf h f f h h , 1||lim )0()0(lim )0(00==-+='++→→+h h hf h f f h h ,因为f ¢(0)¹ f ¢(0), 所以函数f (x )|x |在x 0处不可导.二、导数的几何意义设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线.设曲线C 就是函数y f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为0000)()(tan x x x f x f x x y y --=--=ϕ, 其中为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x ®x 0. 如果当x ® 0时, 上式的极限存在, 设为k , 即00)()(lim 0x x x f x f k x x --=→存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k tan ,其中是切线MT 的倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线.函数y f (x )在点x 0处的导数f ¢(x 0)在几何上表示曲线y f (x )在点M (x 0, f (x 0))处的切线的斜率, 即f ¢(x 0)tan , 其中是切线的倾角.如果y f (x )在点x 0处的导数为无穷大, 这时曲线y f (x )的割线以垂直于x 轴的直线x x 0为极限位置, 即曲线y f (x )在点M (x 0, f (x 0))处具有垂直于x 轴的切线x x 0. : 由直线的点斜式方程, 可知曲线y f (x )在点M (x 0, y 0)处的切线方程为 y y 0f ¢(x 0)(x x 0).过切点M (x 0, y 0)且与切线垂直的直线叫做曲线y f (x )在点M 处的法线如果f ¢(x 0)¹0, 法线的斜率为)(10x f '-, 从而法线方程为 )()(1000x x x f y y -'-=-.例8. 求等边双曲线xy 1=在点)2 ,21(处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程. 解: 21x y -=', 所求切线及法线的斜率分别为 4)1(2121-=-==x x k , 41112=-=k k .所求切线方程为)21(42--=-x y , 即4x y 40.所求法线方程为)21(412-=-x y , 即2x 8y 150.例9 求曲线x x y =的通过点(0, -4)的切线方程. 解 设切点的横坐标为x 0 则切线的斜率为0212302323)()(0x x x x f x x =='='=. 于是所求切线的方程可设为 )(230000x x x x x y -=-. 根据题目要求, 点(0, -4)在切线上, 因此 )0(2340000x x x x -=--, 解之得x 0=4. 于是所求切线的方程为 )4(42344-=-x y 即3x y 40三、函数的可导性与连续性的关系定理1 如果函数y f (x )在点x 处可导, 则函数在该点必连续.设函数y f (x )在点x 0 处可导, 即)(lim 00x f xyx '=∆∆→∆存在. 则00)(lim lim limlim 00000=⋅'=∆⋅∆∆=∆⋅∆∆=∆→∆→∆→∆→∆x f x x y x x y y x x x x .这就是说, 函数y f(x)在点x0处是连续的.另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.例7．函数3)(xxf=在区间(, )内连续, 但在点x0处不可导. 这是因为函数在点x0处导数为无穷大h fhfh )0()0(lim0-+→+∞=-=→hhhlim3.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
初中数学 数与式 知识点 考点 思维导图 实数及其运算 整式 分式 二次根式
分式的加减法／ 异分母的分式相加减，先通分，变成同分母的分
４、参数法∶当已经条件形如工－上＝三，所要求值的代数式
是一个含ｘ，ｙ，ｚ，ａ，ｂ，ｃ，而又不易化简的分式
时，通常设 艺－为＝三＊（ｋ就是我们所说的参数），
分式
＼式，然后相加减，ｂ即 ４ｄ± 二ｂ＝ｄａｄ ，ｂｂｄｃ＿ ａｄｂ±ｄｂｃ
运算顺序
作商法 ＝１ｅａ＝ｂ（ａ＞０，ｂ＞０）
＜１ｅａ＜ｂ
（４） （ａｂ）ｃ＝ａ（ｂｃ）； ｎ（５）ａ（ｂ＋ｃ）＝ａｂ＋ａｃ
分级∶加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方和开方是三级运算．
三级运算的顺序是三、二、一、（如果有括号，先算括号内的；如
果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种
运算，都要注意先定符号后运算．）
学习误区
合并同类项
系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数 ＿不变叫做合并同类项．
整式的加减 就是合并同类项，遇到括号，一般先去掉括号，去 括号的方法是∶＋（ａ＋ｂ－ｃ）＝ａ＋ｂ－ｃ；－（ａ＋ｂ－ｃ）＝－ａ－ｂ＋ｃ．
知能提升
整式有关概念
总并华结 梳知理识
整式 幂的运算法则 的运算 整式的乘法
中Ａ，Ｂ，Ｍ／都是整式，特别要注意整式Ｍ的值不等于零．
２、分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何
两个，分式的值不变如－－＝－为＝号，再如一ｂａ
知能提升
分式的概念
并总华结
知识
梳理
式子表述 告Ａ部告告（ｕ２０，如为整式）
基本性质
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，
即号±８ａ±ｏ，
３、分式有意义的条件是分母不为０；分式无意义的条件是
数学七年级第一节课优质课数的分类及运算规律
数学七年级第一节课优质课数的分类及运算规律数学作为一门重要的学科，对培养学生的逻辑思维和数学素养具有重要意义。
在七年级的第一节数学课中，教师通常会介绍数的基础知识，包括数的分类及运算规律。
本文将探讨数的分类和运算规律，为同学们提供一篇优质的数学课文章。
一、数的分类数的分类是我们学习数学的第一步。
数可以按照不同的特征进行分类，主要有自然数、整数、有理数和无理数四大类。
1. 自然数：自然数是最基本的数，包括正整数和零。
自然数是用来计数的，用表示为N。
2. 整数：整数是自然数的扩展，包括自然数和负整数。
整数用表示为Z。
3. 有理数：有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数。
有理数用表示为Q。
4. 无理数：无理数是无法用两个整数的比值表示的数，主要包括无限不循环小数等。
无理数用表示为R-Q。
二、数的运算规律数的运算规律是学习数学的重要内容，包括加法、减法、乘法和除法的运算法则。
1. 加法规律：（1）交换律：对于任意两个数a和b，a+b=b+a（a、b为任意实数）。
（2）结合律：对于任意三个数a、b和c，(a+b)+c=a+(b+c)（a、b、c为任意实数）。
（3）零元素：对于任意数a，a+0=0+a=a。
2. 减法规律：减法是加法的逆运算，例如a-b可以看作a+(-b)。
因此，减法的规律与加法类似。
3. 乘法规律：（1）交换律：对于任意两个数a和b，a×b=b×a（a、b为任意实数）。
（2）结合律：对于任意三个数a、b和c，(a×b)×c=a×(b×c)（a、b、c为任意实数）。
（3）单位元素：对于任意数a，a×1=1×a=a。
4. 除法规律：除法是乘法的逆运算，例如a÷b可以看作a×(1/b)。
因此，除法的规律与乘法类似。
三、数的应用数的分类和运算规律在日常生活和各行各业中都有广泛的应用。
比如，在商业中我们经常会用到乘法和除法来计算商品的价格和折扣；在科学研究中，数的运算规律也被广泛运用，比如在物理学中的力的合成和分解等。
第一节 实数及其运算
15. (2013曲靖卷10题3分)若a＝1.9×105，b＝9.1×104，则a___＞_____b(填“<”或“>”)．
16. (2016曲靖卷4题4分)实数a、b在数轴上的点的位置如图所示，则下列结论正确的 是( A )
A. |a|＜|b|
B. a＞b
第16题图
C. a＜－b
D. |a|＞|b|
命题点 4 实数的大小比较（省卷2012.10，昆明卷2018.1，曲靖卷4考）
13. (2018昆明卷1题3分)在实数－3，0，1中，最大的数是____1____．
14. (2012省卷10题3分)写出一个大于2且小于4的无理数：_π_(_或___5_或___3__9_，__答__案__不__唯__一__)．
＝3.(5分)
25. (2015昆明卷15题5分)计算： 9 ＋(－1)2015＋(6－π)0－(－ 1 )－2.
2
解：原式＝3－1＋1－4(3分)
＝－1.(5分)
拓展训练
26. 计算：3－2－(π－2020)0＋|2－ 3 |＋tan60°.
解：原式＝ 1 －1＋2－ 9
3
3Hale Waihona Puke ＝ 10 . 9考点特训营
＝3 2 2＋3－1
＝2 2 ＋2.(6分)
23. (2019省卷15题6分)计算：32＋(π－5)0－ 4 ＋(－1)－1. 解：原式＝9＋1－2－1(4分)
＝7.(6分)
24. (2018曲靖卷15题5分)计算：－(－2)＋(π－3.14)0＋ 3
27＋(－ 1 )－1.
第一章有理数及其运算 第一节有理数
第二章有理数及其运算1.有理数一、学生起点分析：本节内容是在学生已经掌握了正整数、正分数和零的认知结构基础上，通过解决实际问题，发现数不够用，从而引出负数，进而将数的范围扩大到了有理数.本节是本章的出发点、是基础，它对于后面知识的学习起着决定性的作用.二、学习任务分析：要求学生会判断一个数是正数还是负数，能应用正负数表示生活中具有相反意义的量，同时也力图使学生在学习的过程中具备自主探索、交流合作的能力。
三、教学目标知识与技能：1.借助生活中的实例，理解有理数的含义，体会负数引入的必要性和有理书应用的广泛性.2.会判断一个数是正数还是负数，能应用正负数表示生活中具有相反意义的量.过程与方法：通过观察、思考，培养学生对问题分析抽象概括能力，培养学生的“数感”，渗透分类讨论思想。
情感态度与价值观：通过有趣的富有挑战性的生活中的实际问题，激发学生学习的兴趣和探索知识的欲望，培养学生学习的自信心和探索精神.通过小组活动培养学生合作精神。
四、教学过程设计：环节一：创设情境,引入课题内容：复习小学学习过的数，然后根据同学们都比较熟悉的温度有零上温度和零下温度，及珠穆朗玛峰和吐鲁番的海拔高度来创设情境以致提出问题：数不够用了！学过的数:目的：利用多媒体课件展示同学们以前学习过的数，这样设计一方面使学生迅速进入到上课的状态，另一方面回顾了本节课所需的预备知识，做好了铺垫.环节二：小组合作，探索新知内容：请同学们根据课本第23页计算某班两个代表队举行知识竞赛得分情况，创设一个便于学生动手、动脑、主动探索的求知情境，然后进行小组合作讨论.得出新知，完成表格。
目的：让学生之间互相交流，大胆发挥自己的想象力，找出问题的答案.环节三：再次合作，得出新知活动内容：教师组织学生进行第二次分组讨论交流，找出生活中见过的带“-”号的数.通过对生活实际中的一些量的表示，体会正负数表示的是两个具有相反意义的量。
目的：让学生通过交流感受到以前学过的数不能表示具有相反意义的量，数不够用了；有了负数，利用正负数可以表示生活中许多具有相反意义的量。
初等数学研究教案
初等数学研究教案第一节：整数及其运算一、整数整数是由正整数、负整数和0组成的数集。
我们通常用Z表示整数集。
正整数：1，2，3，4，5，...负整数：-1，-2，-3，-4，-5，...零：0整数的四则运算法则：1. 加法运算法则对于任意整数a、b和c，有以下性质：（1）交换律：a + b = b + a（2）结合律：(a + b) + c = a + (b + c)（3）加法单位元：a + 0 = a（4）加法逆元：a + (-a) = 02. 减法运算法则对于任意整数a、b和c，有以下性质：（1）a - b = a + (-b)（2）a - b = a + (-b) = (-b) + a（3）a - b = 0的解是唯一的，即a = b3. 乘法运算法则对于任意整数a、b和c，有以下性质：（1）交换律：a * b = b * a（2）结合律：(a * b) * c = a * (b * c)（3）乘法单位元：a * 1 = a（4）乘法逆元：对于任意非零整数a，存在一个整数b，使得a * b = 1，b称为a的乘法逆元。
4. 除法运算法则对于任意整数a、b和c（其中b≠0），有以下性质：（1）a ÷ b = a * (1 / b)（2）a ÷ b = a * (1 / b) = (1 / b) * a（3）对于非零整数a，a ÷ a = 1（4）对于非零整数a，a ÷ 1 = a（5）乘法逆元的应用：若a/b = c，则a = b * c二、整数的应用整数在生活中的应用极为广泛，下面以几个例子来说明其应用情况。
1. 温度计温度计用于测量温度，常见的温标有摄氏度和华氏度。
整数在温度计上的运用使得我们能够准确地判断温度的高低和进行温度的比较。
2. 银行存款利息银行存款利息的计算也需要用到整数。
例如，如果你有1000元存款，年利率为5%，那么一年后你的存款将增加50元。
2025年高考数学总复习课件19第三章第一节导数的概念及运算
(2)求f ′(x0)时，可先求f (x0)，再求f ′(x0)．( × )
(3)曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．( × )
第一节
导数的概念及运算
必备知识
落实“四基”
2．已知函数f (x)在x＝x0处的导数为12，则 lim
变化的方向，其大小|f ′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线
越“陡峭”．
第一节
导数的概念及运算
必备知识
落实“四基”
核心考点
提升“四能”
自查自测
知识点二 导数的运算
1．(多选题)(教材改编题)下列导数的运算中正确的是( ABD )
A．(3x)′＝3x ln 3
x sin x－ cos x
导数的概念及运算
考向3
必备知识
落实“四基”
核心考点
提升“四能”
课时质量评价
求参数的值或取值范围
【例3】(1)(2024·江门模拟)若曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0
－sin x
f ′(x)＝_________
f (x)＝cos x
f (x)＝ex
f (x)＝ax(a>0，且a≠1)
f (x)＝ln x
f (x)＝log x(a>0，且a≠1)
ex
f ′(x)＝____
ax ln a
f ′(x)＝_________
1
f ′(x)＝____
x
1
x ln a
f ′(x)＝____
在点(0，f (0))处的切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1.
中班数学教案数概念与运算
中班数学教案数概念与运算中班数学教案：数概念与运算引言：数学是我们生活中不可或缺的一部分，它贯穿了我们生活的方方面面。
在中班阶段，培养孩子对数学的兴趣和认识其基本概念与运算是非常重要的。
通过合理的教学安排和创造性的教学方法，我们能够帮助孩子们建立坚实的数学基础，为将来的学习打下基石。
概念篇：1. 自然数的认识在中班，我们可以通过教具和游戏的方式，让孩子们认识自然数。
例如，让孩子们排队或画一行小人，让他们逐个数数，从而学会自然数的概念。
我们还可以进行小组活动，让孩子们观察身边的物体，了解物体的数量并使用自然数进行表示。
2. 数字的认识数字是数学的基础，因此在中班需要让孩子们正确地认识数字。
我们可以通过数数竞赛、数字拼图、数字配对等多种方法来帮助孩子们认识数字，并将其与相应数量的物体进行对应。
3. 形状的认识形状是数学中的一个重要概念，通过教具和绘画，我们可以帮助孩子们认识不同的形状。
例如，我们可以使用木块或磁贴来组合成不同形状，并让孩子们观察和触摸，从而帮助他们认识形状。
运算篇：1. 加法的学习加法是数学中最基本的运算之一。
在中班，我们可以通过故事、游戏和实际生活中的情境来教授加法运算。
例如，我们可以使用水果或玩具等物品让孩子们进行加法运算，帮助他们理解加法的概念和运算规则。
2. 减法的学习减法是加法的逆运算，同样也是中班阶段需要学习掌握的基本运算。
我们可以通过教具和绘画，让孩子们理解减法的意义和运算规则。
例如，我们可以使用拼图或贴纸进行减法练习，帮助孩子们掌握减法运算的方法。
3. 比较和排序比较和排序是数学中的基本概念和运算。
在中班，我们可以通过游戏和实际生活中的情境来教授比较和排序的方法。
例如，我们可以将不同大小的水果放在一起，让孩子们观察并按照大小进行排序，从而帮助他们学会比较和排序的方法。
总结：通过合理的教学安排和创造性的教学方法，我们可以帮助中班孩子们建立数学概念与运算的基础。
在教学过程中，我们可以结合教具、游戏和实际情境等多种方法，激发孩子们对数学的兴趣，并培养他们对数学的认知能力。
数与运算
第一章数与运算第一节整数及其运算小学知识回顾一、认识整数1、自然数用来表述物体个数的1，2，3，4，5，6，7，8，9……叫做自然数。
2、整数零和自然数叫做整数（1）计数单位整数的计数单位为个（一）、十、百、千、万、十万……（2）读法从高位到低位，一级一级地读。
读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。
每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。
写法从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。
（3）比较大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。
二整数的加、减法1、加法的定义（1）定义：把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
特别地：a+0=a ，0+a=a ，0+0=0（2）加法定义的推论:a+b≥a，a+b≥b2、加法的运算性质（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a 。
（2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c) 。
（3）加法交换律和加法结合律推广到若干个数相加：若干个数相加，任意交换加数的位置，或选取其中任意几个加数作为一组先加起来，再与其他加数相加，它们的和不变。
3、减法的定义（1）定义：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。
记作a-b=c 特别地：当b=a时，c=0；当b=0时，c=a；当a=b=0时，c=0.（2）减法定义的推广：（a-b）+b=a；（c+a）-a=c4、减法的运算性质（1）a-(b+c) =a-b-c（2）a-(b-c) = a-b+c 或a-(b-c) = a +c-b三、加减法的相互关系：加法和减法互为逆运算。
1、加数＋加数＝和一个加数＝和－另一个加数2、被减数－加数＝差被减数＝差＋减数减数＝被减数－差利用这样的关系，可求未知数x例一：x+37=54解：x =54-37=17例二：87-x=63解：x=87-63X=24例三：x-87=63解：x =63+87X=150四、整数的乘除法1、乘法的定义（1）定义b(大于1的整数)个相同的加数a相加的和是c叫做a与b的积，记作：C=a+a+a+……+a（b个）求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法，记作：a×b=c也可以记作b×a=c；特别地，当b=1时，c=a；当b=0时，c=0.（2）几个数的积abcd=[(ab)c]d2、乘法的运算性质（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。
幼儿园数学教案：数字概念与简单算术运算
幼儿园数学教案：数字概念与简单算术运算概述本教案旨在帮助幼儿园的孩子建立起数字概念和掌握简单的算术运算。
通过创意性的游戏和活动，鼓励幼儿们积极参与，并以趣味的方式来学习数学。
教学目标•建立数字概念：认识数字0-10，并理解它们的顺序关系。
•掌握计数技巧：能够按顺序准确地计数物品。
•了解基本加法和减法：能够使用物体进行简单的加法和减法运算。
教学流程第一课：认识数字0-51.引导幼儿们观察老师展示的数字卡片，说明每个数字代表什么意思。
2.手指着每个数字卡片，让幼儿们一起大声说出对应的数字名称。
3.刷新记忆：利用各种玩具和贴纸，让孩子们找出某个特定数量的东西，并将其与相应的数字联系起来。
例如，找到5个小球并将其放置在数字“5”旁边。
第二课：数字6-10的顺序1.回顾前一课学过的数字0-5，并扩展到数字6-10。
2.利用数数歌曲和手指比划，让孩子们按照正确的顺序说出数字6-10。
3.活动时间：将幼儿分成小组，给每组分发一副数字牌，要求他们按照正确的顺序排列起来。
第一组完成的小朋友会得到奖励。
第三课：计数物品1.将不同类型的小物品放在幼儿面前，例如彩色积木、玩具车等。
2.让幼儿将每个物品逐个拿起来并用手指点出相应的数量，并语言表达出来。
3.活动时间：将物品混合放置在一个篮子里，请幼儿快速准确地数出篮子里有多少物品。
第四课：加法运算1.引导幼儿了解加法运算符号“+”和等号“=”的含义。
2.示范教学：使用玩具或图片等可视化教具进行简单加法运算。
例如：“我有3个苹果，再加上2个橘子，一共是多少？”3.调整难度：逐渐增加数字的大小和复杂度，让孩子们逐渐掌握更高级的加法运算。
第五课：减法运算1.引导幼儿了解减法运算符号“-”和等号“=”的含义。
2.示范教学：使用玩具或图片等可视化教具进行简单减法运算。
例如：“我有5个苹果，吃掉2个，还剩下多少？”3.调整难度：逐渐增加数字的大小和复杂度，让孩子们逐渐掌握更高级的减法运算。
第一节++导数的概念及其运算讲义-2025届高三数学一轮复习
第一节 导数的概念及其运算【课标要求】了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达， 体会导数的内涵与思想。
体会极限思想。
通过函数图象直观理解导数的几何意义,能根据导数定义求函数y=c,y=x ,x y x y x y ===,,32的导数,能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(f(ax+b) 的导数。
会使用导数公式表.教学目标：1.了解导数的概念,理解导数的几何意义；2.掌握基本初等函数的导数，能够用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，理解简单的复合函数的导数。
教学重点：导数的运算及导数的几何意义。
教学难点：正确求导及曲线切线的理解教学过程：环节1：知识检测2.已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)1．某市一天12小时内的气温变化图如图所示，则在区间[0,4]内温度的平均变化率为________℃/h.D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)环节2：知识梳理1.函数的平均变化率及其意义（1）函数y=f(x)在区间[]21x x 的平均变化率： 平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212（2）函数y ＝f (x )的平均变化率反映了函数f (x )在区间[]21x x 上的变化快慢， （3）函数y ＝f (x )的图象在点A(()()()()2211,,,x f x B x f x A 割线的斜率，是曲线倾斜程度的“数量化”。
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第一节 数及其运算
本节的主要内容包括实数的概念、性质、法则和运算的方法，对运算能力的要求要关注运算法则的理解，包括有理数和实数的运算、n 次根式和指数式的运算
一、主要知识点
实数及其运算是中学教学的一个重要而又基础的内容，重要是实数的性质。
本专题还包括根式、指数式的一些运算.这会联系到整式的运算法则以及一些数学思想方法.
二、典型例题
例1：已知.042)1(2=+-+-+y x y x 求3x+5y 的值.
例2：在实数范围内计算下式的值32)1(2±±---=
x y .
例3：若a 、b 、c 为实数，222∏+-=b a A ,322∏+-=c b B ，6
22∏+-=a c C 证明：A 、B 、C 中至少有一个值大于零.
例4：计算2
22
22013201220142012201320132014201220142013⨯-⨯-⨯-⨯+.
例5：化简：18211+.
例6：已知：,23+=x ,23-=y 求x 2-5xy+y 2的值.
例7：观察下列分母有理化的计算：,12121
-=+,23231
-=+
,343
41
-=+,45451-=+…从计算结果中找出规律，并利用这一规律来计算：)12014)(2013
20141341
231121
(+++++++++ .
例8：对于任意实数x 、y ，定义运算“*”为x*y=x+y+xy ，则运算* （ ）
A.满足交换律，但不满足结合律
B.不满足交换律，但满足交结合律
C.既不满足交换律，也不满足结合律
D.既满足交换律，又满足结合律
三、自我训练
A 组
（一） 选择题
1.化简二次根式2
2a a a +-的结果是（ ） A.2--a B. 2---a C. 2-a D. 2--a
2.对于正实数a 与b ，定义新运算“*”如下：a*b=
b a ab +则4*（4*4）等于（ ） A.1 B.2 C. 34 D. 4
3 3.某同学设计了一个关于实数运算的程序：输入一个数后，输出的数总比该数的平方小1，若按照此程序输入2014后，输出的结果应为（ ）
A. 2011
B. 2012
C. 2013
D. 2014 4. )0(≠ab ab
ab 的所有可能的值是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个
（二）填空题
5．设实数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示，化简=-+---b c c a a b .
6.若a<b ，则b x a x -+-的最小值为 .
7.计算：)5.043
13()81448(---= . 8.已知：a<0，化简22)1(4)1(4a
a a a -+-+-= . 9.对于下列判断：
①坐标平面上的点与全体实数一一对应；
②横坐标为0的点在x 轴上；
③总坐标小于0的点一定在x 轴的下方；
④到x 轴、y 轴距离相等的点一定满足横坐标等于纵坐标；
⑤若直线l//x 轴，则l 上的点的横坐标一定相同.
其中所有错误判断的序号是 .
10.请你规定一种适合任意非零实数a 、b 的新运算“a ◎b ”，使得下列算式成立：
1◎2=2◎1=3，（-3）◎（-4）=（-4）◎（-3）=67-，（-3）◎5=5◎（-3）=,
154-… 你规定的新运算a ◎b= （用的一个代数式表示）.
11.要使等式4262-+-=-x x x 成立，则x 的取值范围是 .
12.已知1=+b a ，且2b a m a -+
=，2b a n b --=,其中m 、n 均为有理数，则m 2+n 2的值为 .
（三）解答题
13.已知
01132=--++b b a ，求a 3+b 3和a 2-ab+b 2的值.
14.化简：)02(2222222222>>
----+-b a b a b a b a a b a .
15.已知3819-的整数部分为x ，小数部分为y ，试求y
y x 1+
+得值.
16.阅读理解题
（1）判断下列3个式子是否正确： ①
5
141541-=⨯ ( ) ②6
151651-=⨯ ( ) ③7161761-=⨯ ( ) （2）根据上述结论，计算：
;90
12011216121++++
（3）计算：;256
11281641321161814121+++++++
B 组
1.已知(p 2+q 2)s 2-2q(p+r)s+q 2+r 2=0，求证：q 2=pr.
2.已知x 、y 为实数，若规定x*y=4xy
（1）求2*4;
（2）若x*x+2*x-2*4=0，求x 的值；
（3）若不论x 是什么实数，总有a*x=x ，求a 的值.
3.已知对任意给定的正整数，存在整数，使得，求证：满足条件的数对是唯一的
4.阅读下面材料，并解答下列各题：
在形如的式子中，我们已经研究过两种情况：
①已知a 和b ，求N ，这是乘方运算；②已知b 和N ，求a ，这是开方运算；
现在我们研究第三种情况：已知a 和N ，求b ，我们把这种运算叫做对数运算。
定义：如果（a ＞0，a≠1，N ＞0），则b 叫做以a 为底N 的对数，记作： ，
例如：求，因为＝8，所以=3；又比如∵ ，∴ .
1.根据定义计算： ①＝＿＿＿＿；②= ；③如果，那么x ＝ 。
2.设则(a ＞0,a≠1,M 、N 均为正数),
∵，∴∴，
即
这是对数运算的重要性质之一，进一步，我们还可以得出：
＝ .（其中M1、M2、M3、……、M n均为正数，a ＞0，a≠1）
3.请你猜想： (a＞0,a≠1,M、N均为正数).。