高考数学专题复习讲练测——专题六复数专题复习讲练 1 复数的性质

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高考数学专题复习讲练测——专题六复数专题复习讲练 1 复数的性质

§ 1 复数的性质一、复习要点1．复数的有关概念和性质：（1）两个复数相等的充要条件；（2）复数是实数或纯虚数的充要条件；（3）互为共轭的两个复数的性质；（4）复数的辐角和模的性质．2．复数运算中的几个常用结论：（1）（1±ｉ）２＝±2ｉ，（1＋ｉ）／（1－ｉ）＝ｉ，（1－ｉ）／（1＋ｉ）＝－ｉ；（2）ｉｎ＋ｉｎ＋１＋ｉｎ＋２＋ｉｎ＋3＝0（ｎ∈Ｚ）；（3）设ω＝－（1／2）±（／2）ｉ，则ω3ｎ＝1；（1／ω）＝；ωｎ＋ωｎ＋１＋ωｎ＋２＝0（ｎ∈Ｚ）．3．复习中应把握好的几个要点：（1）复数的性质较多，在复习中，应尽量启发学生自己思考．要引导学生适时、恰当、准确地运用性质解题，培养自觉应用性质解题的习惯，以达到解题突破口的合理选择．（2）应注意解题后的反思．反思解题时用到复数的何种性质，采用的是什么数学思想方法，寻求不同的解法，并且比较各种解法的优劣，进一步优化解题过程，提高学生的解题速度和解题能力．二、例题讲解例1 （1）已知ａ，ｂ∈Ｒ，且ｂ＜0，ｚ１＝ａ＋ｂｉ，ｚ２＝ｂ－ａｉ，ａｒｇｚ１＝θ，则ａｒｇｚ２等于（）．Ａ．π－θＢ．（π／2）＋θＣ．θ－（π／2）Ｄ．（3π／2）－θ（2）复数（2＋2ｉ）４／（1－ｉ）５等于（）．Ａ．1＋ｉＢ．－1＋ｉＣ．1－ｉＤ．－1－ｉ讲解：（1）显然ｚ１与ｚ２有联系，欲把ａｒｇｚ２用ａｒｇｚ１表示，当找出ｚ２与ｚ１的运算联系．仔细分析，得ｚ２＝－ｉｚ１．∴ａｒｇｚ２＝θ－（π／2），选Ｃ．（2）本题结合了复数的乘方运算和除法运算，由于2＋2ｉ与1－ｉ的辐角均为特殊角，一个自然的思路是：先利用复数的三角式求得（2＋2ｉ）４＝－2６，（1－ｉ）５＝2４（1＋ｉ），∴原式＝－[4／（1＋ｉ）]＝－1＋ｉ，选Ｂ．若认真思考一下选项，发现4个选项所给复数的对应点分别位于4个不同象限，则想到：只需算辐角，便能把正确选项分离出来．∵2＋2ｉ的一个辐角是θ１＝π／4，1－ｉ的一个辐角是θ２＝－（π／3），∴所求复数的一个辐角为θ＝4θ１－5θ２＝π＋（5π／3）＝2π＋（2π／3），位于第二象限．故排除Ａ、Ｃ、Ｄ，选Ｂ．例2 设复数ｚ＝－＋ｉ，记ｕ＝（4／ｚ）３．（1）求复数ｕ的三角形式；（2）如果（ａ／ｚ）＋（ｂ／ｕ）＝ｚ＋2ｕ，求实数ａ、ｂ的值．讲解：这道题的两问是有联系的．第（1）问最容易想到将ｚ＝－＋ｉ代入ｕ＝（4／ｚ）３后，先得到ｕ的代数式，再化成三角形式，但是要将（4／ｚ）３化成标准的代数形式是相当麻烦的，也易出错．事实上，要求ｕ的三角形式，只要求得｜ｕ｜及ａｒｇｕ即可．注意到复数有关性质就不难得解．第（2）问是先将ｕ和ｚ代入化简后，得到带有ａ、ｂ的复数代数恒等式，由复数相等的充要条件得关于ａ、ｂ的方程组，再解方程组即可．（1）∵｜ｚ｜＝＝2，∴｜ｕ｜＝｜（4／ｚ）３｜＝（4／｜ｚ｜）３＝2．令ａｒｇｚ＝θ，则ｃｏｓθ＝－（／2）＝－（／2），ｓｉｎθ＝1／2，∴θ＝（5π／6），从而ａｒｇｕ＝－（5π／6）×3＋4π＝3π／2．∴ｕ的三角形式为ｕ＝2（ｃｏｓ（3π／2）＋ｉｓｉｎ（3π／2））．（2）由（1）知，ｕ＝－2ｉ，代入（ａ／ｚ）＋（ｂ／ｕ）＝ｚ＋2ｕ，得－（／8）ａ－（（／8）ａ－（／4）ｂ）ｉ＝－－3ｉ．由复数相等的充要条件，得方程组（／8）ａ＝，（／8）ａ－（／4）ｂ＝3．解得ａ＝8，ｂ＝－8．例3 已知复数ｚ１、ｚ２满足｜ｚ１｜＝｜ｚ２｜＝1，且｜ｚ１－ｚ２｜＝．（1）求｜ｚ１＋ｚ２｜的值；（2）求证（ｚ１／ｚ２）２＜0；（3）求证对于任意实数a ，恒有｜ｚ１－ａｚ２｜＝｜ｚ１＋ａｚ２｜．讲解：（1）题除用代数式和三角式求解外，若注意到复数的性质ｚ·＝｜ｚ｜２，则由｜ｚ１｜＝｜ｚ２｜＝1，得ｚ１１＝ｚ２２＝1，这时只要将｜ｚ１－ｚ２｜与｜ｚ１＋ｚ２｜分别改写成与即可．由ｚ１１＝ｚ２２＝1及（ｚ１－ｚ２）＝2，得ｚ１２＋ｚ２１＝0．∴ （ｚ１＋ｚ２）（ｚ１＋２）＝｜ｚ１｜２＋｜ｚ２｜２＋ｚ１２＋ｚ２１＝2，故｜ｚ１＋ｚ２｜＝．此题也可利用复数加减法的几何意义求解．（留给读者自己去完成）（2）若（ｚ１／ｚ２）＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），则（ｚ１／ｚ２）２＝ａ２－ｂ２＋2ａｂｉ，要证（ｚ１／ｚ２）２＜0，即证ａ２－ｂ２+2ａｂｉ∈Ｒ－， ∴ ａｂ＝0，但ｚ１≠0，∴ （ｚ１／ｚ２）≠0，∴ 只能是ａ＝0．∴ 要证原命题，只要证（ｚ１／ｚ２）是纯虚数即可．因此，首先要在已知等式｜ｚ１－ｚ２｜＝中变出（ｚ１／ｚ２）．∵ ｜ｚ１－ｚ２｜＝，｜ｚ２｜＝1，∴ （｜ｚ１－ｚ２｜）／｜ｚ２｜＝，即｜（ｚ１／ｚ２）－1｜＝．∴ （（ｚ１／ｚ２）－1）（＝2，即（（ｚ１／ｚ２）－1）（（１／２）－1）＝2，也即（ｚ１１／ｚ２２）－（ｚ１／ｚ２）－（１／２）＝1．∴ （ｚ１／ｚ２）＋＝0．设（ｚ１／ｚ２）＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），上式化为（ａ＋ｂｉ）＋（ａ－ｂｉ）＝0，即ａ＝0．又∵ ｚ１≠0，∴ ａ、ｂ不能全为零，∴ ｂ≠0．则（ｚ１／ｚ２）＝ｂｉ（ｂ∈Ｒ，ｂ≠0）． ∴ （ｚ１／ｚ２）２＝－ｂ２＜0．若注意到｜ｚ１＋ｚ２｜＝｜ｚ１－ｚ２｜及ｚ１与ｚ２加减法的几何意义，不难得出｜ｚ１＋ｚ２｜与｜ｚ１－ｚ２｜恰为同一平行四边形的两条对角线长，而已知恰是此平行四边形为正方形的条件，则会得出简解．（请读者证明，并加以比较）（3）利用复数性质｜ｚ｜２＝ｚ·证左、右两边等于同一个值即可．（留给读者完成）三、专题训练 1．已知复数ｚ＝＋ｉ，则ａｒｇ（1／ｚ）是（）．Ａ．π／6Ｂ．11π／6Ｃ．π／3Ｄ．5π／32．已知ｚ１＝－（1／2）＋（／2）ｉ，ｚ２＝－（1／2）－（／2）ｉ，并且＝ｉ，那么ｎ可以取（）．Ａ．6Ｂ．8Ｃ．1Ｄ．123．复数ｚ１＝3＋ｉ，ｚ２＝ａ－ｉ，ｚ＝ｚ１·ｚ２，则是实数与是纯虚数的充要条件分别是（）．Ａ．ａ＝3与ａ＝－（1／3）Ｂ．ａ＝－（1／3）与ａ＝3Ｃ．ａ＝3与ａ＝（1／3）Ｄ．ａ＝（1／3）与ａ＝34．（（1－ｉ）６／（－1－ｉ）３）＋（（1＋ｉ）／（1－ｉ））３的值等于（）．Ａ．0Ｂ．2ｉＣ．－2ｉＤ．ｉ5．已知ｉ＝－－ｉ，则｜ｚ｜＝________，ａｒｇｚ＝________．6．已知关于x的实系数方程x２-2ax+a２-4a+4=0的两虚根分别为x１、x２,且|x１|+|x２|=3,则a的值为________．7．给出下列命题：①a,b∈R，且a=b是（a-b）+（a+b）i为纯虚数的充要条件；②ｚ１、ｚ２为复数，ｚ１-ｚ２＞0是ｚ１＞ｚ２的必要条件；③复数z的辐角主值为θ是z２的辐角主值为2θ的充分条件；④非零复数ｚ１、ｚ２对应的向量与垂直的充要条件是ｚ１=ki·ｚ２（k∈R，且k≠0）．其中正确命题的序号为________．8．设复数ｚ１、ｚ２、ｚ３满足ｚ１２＋ｚ３ｚ１＋ｚ３ｚ２＝0，且ｚｉ≠0（ｉ＝1，2，3），求ａｒｇ（ｚ１＋ｚ３／ｚ２＋ｚ３）．9．设非零复数z的辐角主值为（3π／4），且z３+2（z２-zi）是实数．（1）求复数z；（2）若w＝ｃｏｓθ＋isinθ（0≤θ≤2π），求|z-w|的最大值与最小值．10．设ｚ１，ｚ２∈Ｃ，w＝ｚ１ｚ２＋ｚ２ｚ1，ｕ＝ｚ１ｚ1＋ｚ２２．问w与ｕ能否比较大小．如果能，比较它们的大小；如果不能，说明理由．。

高三复数总复习知识点、经典例题、习题

复数一．基本知识【1】复数的基本概念（1）形如a + 的数叫做复数（其中a，b R ）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即i 2 1 . 其中a 叫做复数的实部， b 叫做虚部实数：当 b = 0 时复数a + 为实数虚数：当b 0 时的复数 a + 为虚数；纯虚数：当 a = 0 且b（2））两个复数相等的定义：0 时的复数 a + 为纯虚数a bi c di a c且b d（其中，a，b，c，d，R）特别地a bi 0 a b 0（3））共轭复数：z a bi 的共轭记作z a bi ；（4））复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi ，对应点坐标为p a, b ；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi ，把【2】复数的基本运算z a 2b2 叫做复数z 的模；设z1 a1b1i ，z2a2 b2 i（1））加法：z1z2a1 a2b1 b2 i ；（2））减法：z1z2a1a2b1b2i ；（3））乘法：z1 z2 a1a2 b1b2 a2 b1a1b2 i 特别z z a2 b 2 。

（4））幂运算：i1i i 2 1 i 3i i 4 1 i 5i i 6 1【3】复数的化简z c dia bi（a, b是均不为0 的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：z c di c di a bi ac bd ad bc ia bi a bi a bi a 2 b2对于z c dia ba bi0 ，当 c da b时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为z c dia bixi 进一步建立方程求解二．例题分析【例1】已知z a 1 b 4 i ，求（1））当a, b 为何值时z 为实数（2））当a, b 为何值时z 为纯虚数（3））当a, b 为何值时z 为虚数（4））当a, b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。

【变式1】若复数z ( x21) ( x 1)i 为纯虚数，则实数x 的值为A． 1 B ．0 C 1 D ．1或1【变式2】求实数m 的值，使复数别是：( m 22m 3) (m23m 4) i 分（1）实数。

高三复数的知识点归纳总结

高三复数的知识点归纳总结复数是数学中的一个重要概念，它在高中数学中被广泛研究和应用。

掌握复数知识对于理解和解决各类数学问题具有重要意义。

在高三阶段，学生需要对复数的基本概念、运算规则以及与其他数学知识的联系有较为深入的了解。

本文将对高三阶段复数的相关知识点进行归纳总结。

1. 复数的定义和性质复数是由实数和虚数组成的数。

其中，实数部分与虚数部分分别用虚数单位i表示，虚数单位i的平方为-1。

复数可以表示为 a+bi 的形式，其中a为实部，b为虚部。

复数包含了实数，并且可以在复平面上进行表示。

复数的共轭、模、幂等性质是复数运算的重要基础。

2. 复数的四则运算复数的加减法与实数的加减法类似，分别对实部和虚部进行运算。

复数的乘法可以使用分配律展开计算，利用虚数单位i的平方性质化简计算。

复数的除法可以通过乘以共轭形式，并结合有理化等技巧化简问题。

四则运算的结果仍为复数，需要对结果进行合并和化简。

3. 复数的模与论证复数的模是复数到原点的距离，也是复数自身的绝对值。

根据复数的定义，模的计算公式为√(a^2 + b^2)，其中a和b分别为实部和虚部。

复数的模具有非负性、三角不等式等性质。

通过模也可以计算复数的幂，利用三角函数的定义，可以将复数表示为模与辐角的形式，其中辐角表示复数与正实轴的夹角。

4. 复数与二次函数复数与二次函数之间存在着密切的联系。

对于二次函数的解，当判别式为负时，存在共轭的复数解；当判别式为零时，存在重根的解；当判别式为正时，存在两个不同的实数解。

在解二次函数问题时，通过运用复数知识可以得到更全面的解释和解答。

5. 复数平面与向量复数平面也称为阿尔及利亚平面，它由实轴和虚轴构成。

复数可以在复数平面上表示为点，复数的加减乘除运算可以通过复数平面上的几何对应关系进行解释和理解。

复数的模可以表示为原点到该复数所对应的点的距离。

复数还可以和向量一一对应，在复数平面上的几何运算可以转化为向量上的运算。

2024届高考数学学业水平测试复习专题六第22讲复数的概念和运算课件

(4)提醒：|z|的几何意义：令 z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝ x2＋y2，由此可知表示复数 z 的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2| 的几何意义是复平面内表示复数 z1，z2 的两点之间的距离．
3．复数的运算
(1)(2023·全国甲卷)若复数(a＋i)(1－ai)＝2，a∈R，则
2．复数的几何意义
(1)复数z＝4＋3i(其中i为虚数单位)，则z在复平面上对应
的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)(2023·新高考卷Ⅱ)在复平面内，(1＋3i)·(3－i)对应的点位于
()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(3)已知m∈R，若复数z＝m(3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点
所以aa－＋bb＝＝12，，解得 a＝32，b＝12. 故选 A. (4)因为 i2＝－1，i5＝i，所以 z＝1＋2＋i2＋i i5 ＝2＋i i ＝1－2i，所以－z ＝1＋2i. 故选 B.
答案：(1)C (2)D (3)A (4)B 剖析：复数四则运算的解题策略 (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算． (2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化． (3)在含有 z，－z ，|z|中至少两个的复数方程中，可设 z＝a＋bi，a， b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于 a，b 的方程组，求出 a，b，从而得出复数 z.
专题六复数
第22讲复数的概念和运算
1．复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做实部，b

高考数学复数部分专题训练

高考数学复数部分专题训练在高考数学中，复数是一个重要的知识点。

复数的概念、运算以及在几何中的应用等内容，虽然相对独立，但在解题中却有着独特的作用。

接下来，我们将对高考数学复数部分进行一次深入的专题训练。

一、复数的基本概念复数是形如＼（a ＋ bi\）的数，其中＼（a\）和＼（b\）都是实数，＼（i\）是虚数单位，满足＼（i^2 ＝－1\）。

实数＼（a\）被称为实部，记作＼（Re(z)＼）；实数＼（b\）被称为虚部，记作＼（Im(z)＼）。

例如，＼（3 ＋ 2i\）是一个复数，其中实部是＼（3\），虚部是＼（2\）。

复数的模＼（｜z|＼）定义为＼（＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼），例如＼（｜3 ＋ 2i| ＝＼sqrt{3^2 ＋ 2^2} ＝＼sqrt{13}＼）。

复数的共轭复数记作＼（＼overline{z} ＼），对于复数＼（z ＝ a ＋ bi\），其共轭复数为＼（＼overline{z} ＝ a bi\）。

二、复数的运算1、加法和减法两个复数＼（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\）的和差为：＼（z_1 ＋ z_2 ＝（a_1 ＋ a_2) ＋（b_1 ＋ b_2)i\）＼（z_1 z_2 ＝（a_1 a_2) ＋（b_1 b_2)i\）例如：＼（（3 ＋ 2i) ＋（1 4i) ＝ 4 2i\），＼（（3 ＋ 2i) （1 4i) ＝ 2 ＋ 6i\）2、乘法＼（（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i\）例如：＼（（2 ＋ 3i)（1 2i) ＝ 2 4i ＋ 3i 6i^2 ＝ 8 i\）3、除法＼（＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di} ＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋di)（c di)｝＝＼frac{（ac ＋ bd) ＋（bc ad)i}｛c^2 ＋ d^2}＼）例如：＼（＼frac{1 ＋ 2i}｛1 i} ＝＼frac{（1 ＋ 2i)（1 ＋ i)｝｛（1 i)（1 ＋ i)｝＝＼frac{－1 ＋ 3i}｛2} ＝＼frac{1}｛2} ＋＼frac{3}｛2}i\）三、复数在几何中的应用复数可以与平面直角坐标系中的点一一对应，实部＼（a\）对应＼（x\）轴坐标，虚部＼（b\）对应＼（y\）轴坐标。

高考数学复数专题复习(专题训练) 百度文库

A． B．3C． D．
11．在复平面内，已知平行四边形顶点，，分别表示，，则点对应的复数的共轭复数为（）
A． B． C． D．
12．若复数满足，则（）
A． B． C． D．
13．已知复数满足，则的虚部是（）
A．-1B．1C． D．
14．若复数，i是虚数单位，则（）
A．0B． C．1D．215．题目文件丢失！
【详解】
因为
，
所以，
所以复数在复平面上的对应点位于第三象限，
故选：C.
7．A
【分析】
根据，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解.
A．纯虚数的共轭复数是 B．若，则
C．若，则与互为共轭复数D．若，则与互为共轭复数
29．对任意，，，下列结论成立的是（）
A．当m，时，有
B．当，时，若，则且
C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且
D．的充要条件是
30．已知复数，下列结论正确的是（）
A．“ ”是“ 为纯虚数”的充分不必要条件
一、复数选择题
1．是虚数单位，复数（）
A． B． C． D．
2．已知复数为纯虚数，则实数（）
A．-1B．0C．1D．0或1
3．在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．若复数，则（）
A． B． C． D．
5．已知复数满足，则复数对应的点在（）上
二、多选题
16．已知复数 (i为虚数单位)，则下列说法错误的是（）
A．z的实部为2B．z的虚部为1C． D．
17．已知复数（其中为虚数单位）下列说法正确的是（）

高中数学复数知识点及练习

【1】复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部。

实数：当b = 0时复数a + b i 为实数；虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数（2）两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b =；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1）加法：()()121212z z a a b b i +=+++；（2）减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3）乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。

（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-【3】复数的化简c diz a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc ic di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+【例1】若复数()312a iz a R i +=∈-（i 为虚数单位），(1)若z 为实数，求a 的值 (2)当z 为纯虚数，求a 的值。

【变式1】设a 是实数，且112a ii -++是实数，求a 的值。

高考数学专题复习讲练测——专题六复数专题复习讲练2复数的应用

高考数学专题复习讲练测——专题六复数专题复习讲练2复数的应用第一篇：高考数学专题复习讲练测——专题六复数专题复习讲练 2 复数的应用§2 复数的应用一、复习要点复数的三角形式、复数及其运算的几何意义是数形结合的桥梁，是应用复数知识解题的主要结合点．在系统复习的基础上，本轮复习应把握以下几点：1．《考试说明》对复数的应用没有提出特别要求，复习时只介绍一些简单应用，切忌随意拔高．2．使学生在思想上明确：（1）应用复数可以证明三角恒等式，求反三角函数的和；（2）应用复数可以证明不等式；（3）应用复数可以解决解析几何问题；（4）应用复数可以证明平面几何问题．3．熟练掌握并应用复平面内的：（1）两点间的距离公式；（2）过原点的射线、直线方程；（3）线段垂直平分线的方程；（4）圆的方程；（5）椭圆的方程．4．本节复习的重点应放在复数运算的几何意义及复数与三角、复数与几何的简单综合问题上．二、例题讲解例1（1）已知复数ｚ１＝3－ｉ，｜ｚ２｜＝2，则｜ｚ１＋ｚ２｜的最大值是（）．Ａ．Ｂ．5Ｃ．2＋Ｄ．2＋2－2（2）已知复数ｚ满足｜ｚ－1｜＝｜ｚ－3｜且ａｒｇ（ｚ－ｉ）＝π／4，则ｚ等于________．讲解：（1）本题的条件容易使我们联想到复数及运算的几何意义，首选数形结合的方法来解答．在复平面中，方程｜ｚ２｜＝2的图形是以原点为圆心、半径为2的圆，而｜ｚ１＋ｚ２｜＝｜ｚ２－（－ｚ１）｜表示ｚ２与－ｚ１所对应的两点P２与Ｐ１间的距离，即线段Ｐ１Ｐ２的长，如图6-1所示．显然当Ｐ１Ｐ２经过原点时，线段Ｐ１Ｐ２最长，其值为2＋．∴ 选Ｃ．图6-1本题亦可选用代数方法解答，把ｚ２用三角式表示后，则关于复数模的条件最值问题便转化为三角函数的无条件最值问题．运用三角恒等变形方法和弦函数的值域性质即得结论．简解如下：设ｚ２＝2（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）（0≤θ＜2π），则｜ｚ１＋ｚ２｜＝｜2ｃｏｓθ＋3＋ｉ（2ｓｉｎθ＋1）｜２２＝（2ｃｏｓθ＋3）＋（2ｓｉｎθ＋1）＝14＋4≤14＋4ｓｉｎ（θ＋φ）＝（1＋）．２２２当ｓｉｎ（θ＋φ）＝1时，等号成立．∴ ｜ｚ１＋ｚ２｜的最大值为2＋，选Ｃ．图6-2（2）显然用数形结合方法解答最为适宜．方程｜ｚ－1｜＝｜ｚ－3｜的图形是复平面中以实数1和3所对应的点为端点的线段的垂直平分线；而方程ａｒｇ（ｚ－ｉ）＝（π／4）的图形，是复平面中以复数ｉ所对应的点为端点，倾斜角为（π／4）的射线，如图6-2所示．故射线与垂直平分线的交点所对应的复数即为所求，即ｚ＝2＋3ｉ．例2已知复数ｚ１＝ｃｏｓα＋ｉｓｉｎα，ｚ２＝ｋ（ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ），ｚ３＝（2－ｋ）（ｃｏｓγ＋ｉｓｉｎγ），且满足ｚ１＋ｚ２＋ｚ３＝0．问ｋ为何值时，ｃｏｓ（β－γ）分别取最大值、最小值（0＜ｋ＜2）．讲解：本例是复数与三角关系的问题，利用虚实转化思想，由ｚ１＋ｚ２＋ｚ３＝0，应用复数相等的充要条件，可转化为三角条件最值问题．则有解法1．由ｚ１＋ｚ２＋ｚ３＝0，得ｃｏｓα＋ｋｃｏｓβ＋（2－ｋ）ｃｏｓγ＝0，ｓｉｎα＋ｋｓｉｎβ＋（2－ｋ）ｓｉｎγ＝ｋｃｏｓβ＋（2－ｋ）ｃｏｓγ＝－ｃｏｓα，ｋｓｉｎβ＋（2－ｋ）ｓｉｎγ＝－ｓｉｎα．①＋②，得ｃｏｓ（β－γ）＝（2ｋ－4ｋ＋3／2ｋ（ｋ－2））＝1＋[3／2ｋ（ｋ－2）]．若注意到复数的性质，可以考虑利用整体思想求解，则有解法2．由ｚ１＋ｚ２＋ｚ３＝0，得｜ｚ２＋ｚ３｜＝｜ｚ１｜，两边平方，得｜ｚ２＋ｚ３｜＝｜ｚ１｜，∴（ｚ２＋ｚ３）（２２２２２２２① ② ＋３）＝1，３即｜ｚ２｜＋｜ｚ３｜＋ｚ２注意到ｚ２２３２＋２ｚ３＝1．＋２２ｚ３＝2｜ｚ２｜·｜ｚ３｜ｃｏｓ（β－γ），则ｋ＋（2－ｋ）＋2ｋ（2－k）ｃｏｓ（β－γ）＝1．∴ ｃｏｓ（β－γ）＝（2ｋ－4ｋ＋3）／（2ｋ－4ｋ）．若注意到复数及其运算的几何意义，则可以考虑利用数形结合的思想求解，从而有解法3．∵ ｜ｚ２－ｚ３｜＝2（｜ｚ２｜＋｜ｚ３｜）－｜ｚ２＋ｚ３｜＝2（｜ｚ２｜＋｜ｚ３｜）－｜ｚ１｜，而且注意到复平面内的余弦定理：ｃｏｓ（β－γ）＝（｜ｚ２｜＋｜ｚ３｜－｜ｚ２－ｚ３｜／2｜ｚ２｜·｜ｚ３｜），∴ ｃｏｓ（β－γ）＝（2ｋ－4ｋ＋3）／（2ｋ－4ｋ）．上面三种不同的解法是在三种不同的基本思想启迪下得到的．这正是灵活运用基本数学思想的具体体现，应予足够重视．下面完成此题的解答．令ｙ＝ｆ（ｋ）＝1＋（3／2ｋ（ｋ－2））＝1－（3／2ｋ（2－ｋ））（0＜ｋ＜2）≤1－（3／2·（（ｋ＋2－ｋ／2）））＝－（1／2）．∵ ｜ｃｏｓ（β－γ）｜≤1，∴ －1≤ｙ≤－（1／2）．由ｙｍａｘ＝－（1／2），得1＋（3／2ｋ（ｋ－2））＝－（1／2）ｋ＝1；由ｙｍｉｎ＝－1，得1＋（3／2ｋ（ｋ－2））＝－1ｋ＝（1／2）或（3／2）．所以当ｋ＝1时，ｃｏｓ（β－γ）取最大值－（1／2）；当ｋ＝（1／2）或（3／2）时，ｃｏｓ（β－γ）取最小值－1．此题实际上只是以复数作为载体，求给条件的余弦函数的最值，进而又转化为求条件分式函数的最值．运用了均值不等式，也可利用判别式法求上述分式函数的最值．（留给读者自己完成）例3 设复平面内两点A、B对应的复数分别为α、β，且｜α－2｜＝1，β＋（1＋ｉ）α＝0，O为原点．试求△ＡＯＢ面积的最大值和最小值，并且求相应的复数α、β．讲解：由三角形面积公式Ｓ＝（1／2）｜ＯＡ｜·｜ＯＢ｜·ｓｉｎ∠ＡＯＢ知，只要求得｜ＯＡ｜、｜ＯＢ｜及∠ＡＯＢ的值就行了．由复数的几何意义知，｜ＯＡ｜＝｜α｜，｜ＯＢ｜＝｜β｜；由复数乘法的几何意义可求得∠ＡＯＢ的值．于是有如下解法：由β＋（1＋ｉ）α＝0，得β＝－（1＋ｉ）α．∴ ｜β｜＝β＝｜α｜，２２２２２２２２２２２２２２２（ｃｏｓ（5π／4）＋ｉｓｉｎ（5π／4））α．由乘法的几何意义及三角形内角的范围知∠ＡＯＢ＝（3π／4），∴ Ｓ△ＡＯＢ＝（1／2）｜α｜·｜β｜ｓｉｎ（3π／4）＝（1／2）｜α｜．又∵ ｜α－2｜＝1，∴ 可设α＝2＋ｃｏｓφ＋ｉｓｉｎφ，则｜α｜＝∴ Ｓ△ＡＯＢ＝（1／2）（5＋4ｃｏｓφ）．当ｃｏｓφ＝－1，即α＝1，β＝－1－ｉ时，Ｓｍｉｎ＝（1／2）；当ｃｏｓφ＝1，即α＝3，β＝－3－3ｉ时，Ｓｍａｘ＝（9／2）．若明确｜α－2｜＝1是以（2，0）为圆心，1为半径的圆的复数方程时，可画出图形，由图形的直观性可立即得出结果．①在由｜ｚ－ａ｜＝ｒ（ａ∈Ｒ）求｜ｚ｜的最值时，可作出ｚ＝ａ＋ｒ（ｃｏｓα＋ｉｓｉｎα）的巧妙变换，即可将求复数模的最值转化为求三角函数式的最值，然后利用三角函数的有界性求解；，２②若能注意到复平面内一些特殊曲线的方程，画出图形后就可简化求解过程．三、专题训练1．在复平面中设复数－3＋3ｉ对应的点是P，以原点为极点，实轴正半轴为极轴，建立极坐标系．那么点P的极坐标是（）．Ａ．（Ｂ．（－3，（3π／4）），（5π／4））Ｃ．（3，（5π／4））Ｄ．（－3，（3π／4））2．设ｚ１＝－1，ｚ２＝（1／2）＋（／2）ｉ，则ｚ１、ｚ２、、所对应的点：①在单位圆１２上；②它们是正方形的顶点；③它们关于y轴对称；④它们可构成正三角形．以上说法中，正确的只有（）．Ａ．①Ｂ．③Ｃ．①③Ｄ．①④3．设复数ｚ＝ｓｉｎ（π／6）＋ｉｃｏｓ（π／6），若ｚｎ＝Ａ．3Ｂ．4Ｃ．5Ｄ．64．已知等边三角形ABC的面积等于虚轴正半轴上，则向量，若把三角形放到复平面中，使A点重合于原点，AB边落在，则自然数ｎ的最小值是（）．所对应的复数是（）．Ａ．1＋Ｂ．1－Ｃ．Ｄ．±ｉｉ＋ｉ＋ｉ２5．设复数ｚ＝ｃｏｓθ＋（2－ｓｉｎθ）ｉ，当θ∈（－（π／2），（π／2））时，复数ｚ在复平面内对应点的轨迹的方程是________．6．设复数z在复平面内对应的点为Z，将点Z绕坐标原点按逆时针方向旋转（π／4），再沿实轴正方向平移1个单位，向上平移1个单位，得到点ｚ１．若点ｚ１与点Z重合，则复数z的值等于________．7．已知辐角分别为θ１、θ２的复数ｚ１、ｚ２满足ｚ１＋ｚ２＝5ｉ，｜ｚ１·ｚ２｜＝14，则ｃｏｓ（θ１－θ２）的最大值是________．8．设O为复平面的原点，A、B为单位圆上两点，A、B所对应的复数分别为ｚ１、ｚ２，ｚ１、ｚ２的辐角主值分别为α、β.若△AOB的重心G对应的复数为（1／3）+（1／15）i，求tg（α+β）．9．如图6-3，B是半圆O上的动点，OB=1,OA=2,△ABC是等腰直角三角形，BC为斜边，建立适当的坐标系，利用复数求点B对应何复数时，O、C两点距离最大，并求此最大值．图6-310．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数ｚＯ、ｚＡ、ｚＢ、ｚＣ依次是0、2＋（ａ／2）ｉ、－2ａ＋3ｉ、－ｂ＋ａｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），求平行四边形OABC的面积．第二篇：复数复习1．若复数(a2－4a＋3)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值是．2．已知M＝{1,2，(a－1)＋(b－5)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，实数a与b的值分别是．z2－2z3．已知复数z＝1－i． z－14．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G 是三角形ABCAG的重心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的GD四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面AO的距离都相等”，则＝． OM5．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b＞0”类比推出“若a，b∈C，则a－b ＞0⇒a＞b”．其中类比得到的结论正确的序号为．6．已知复数z1＝4＋2i，z2＝k＋i，且z1·z2是实数，则实数k＝________．7．＝68．复数z1＝数a的值．119．在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若＋a＋bb＋c＝3，试问A、B、C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若a＋b＋c32(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若z1＋z2是实数，求实a＋51－a2＋23，33＋＝84＋4815，…，若156＋b(a，b均为实数)，则猜测a＝________，b＝________． b成等差数列，请给出证明．解答：1．a＝3⎧⎪a＝42．⎨⎪b＝5⎩z2－2z－222i3．＝＝2i z－1－ii－14．①②6，此时易知313点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等积法有r341366666＝⇒r＝，故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM＝343123124＝3.4125．【解析】如图设正四面体的棱长为1，则易知其高AM6．k＝27． 6 358．【解析】 z1＋z2＝32＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i a＋51－a32⎫⎛＝a＋51－a＋[(a2－10)＋(2a－5)]i ⎝⎭＝a－13(a2＋2a－15)i.(a＋5)(a－1)∵z1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0.解得a＝－5或a＝3.∵分母a ＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.9．【证明】A、B、C成等差数列，下面用综合法给出证明：113∵＝ a＋bb＋ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c∴3，a＋bb＋cca∴＝1，a＋bb＋c∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC 中，由余弦定理，得a2＋c2－b2ac1cos B＝，2ac2ac2∵0°＜B＜180° ∴B＝60°.∴A＋C＝2B＝120°，∴A、B、C成等差数列．第三篇：2014届高考英语复习讲练测完形填空102014届高考英语复习讲练测：完形填空10In the clinic, I asked if Michael could be retested, so the specialist tested him again.To my __36__, it was the same ter that evening, I _37_ told Frank what I had learned that day.After talking it over, we agree that we knew our _38_ much better than an IQ(智商)test.We _39_ that Michael’s score must have been a __40___ and we should treat him ___41___ as usual.We moved to Indiana in 1962, and Michael studied at Concordia High School in the same year.He got _42 _ grades in the school, especially _43_ biology and chemistry, which was a great comfort.Michael _44_ Indiana University in 1965 as a pre-medical student, soon afterwards, his teachers permitted him to take more courses than _45_.In 1968, he was accepted by the School of Medicine, Yale University.On graduation day in 1972, Frank and I _46_ the ceremony(典礼)at Yale.After the ceremony, we told Michael about the _47_ IQ score he got when he was six.Since that day, Michael sometimes would look at us and say _48_, “My dear mom and dad never told me that I couldn’t be a doctor, not until after I graduated from medical school!” It is h is special way of thanking us for the _49_ we had in him.Interestingly, Michael then _50_ another IQ test.We went to the same clinic where he had _51_ the test eighteen years before.This time Michael scored 126, an increase of 36 points.A result like that was supposed to be _52_.Children often do as _53_ as what adults, particularly parents and teachers, _54_ of them.That is, tell a child he is “ _55_”, and he may play the role of a foolish child.36.A.joyB.surpriseB.fearfullyB.sonC.dislikeD.disappointmentD.hopefully 37.A.tearfully38.A.student39.A.argued40.A.jokeC.cheerfullyC.friendC.decidedD.doctorB.realizedD.understood B.mistakeC.warningD wonder.41.A.specially 42.A.poor43.A.inB.strictlyC.naturallyD.carefullyB.goodC.averageD.standardD.forD.enteredB.about B.choseC.of44.A.visited45.A.allowed46.A.missed47.A.highC.passedC.requiredB.described B.heldD.offeredC.delayedD.attendedB.sameC.lowD.differentD.jokingly D.delightD.prepared for48.A.curiously 49.A.faithB.eagerlyB.interestC.calmlyC.pride50.A.looked for B.asked for 51.A.receivedB.accepted52.A.imperfectC.waited foranizedD.discussedD.unsatisfactoryB.impossibleC.uncertain53.A.honestly B.much54.A.hear55.A.wiseC.wellD.bravelyD.speakB.learnC.expectB.rudeC.shyD.stupid答案36.D37.A38.B39.C40.B41.C42.B43.A44.D45.C46.D47.C48.D49.A50 .B51.A52.B53.C54.C55.DIt's fourteen years since I left the Philippines to live with my family in the USA.A month ago, while on summer vacation back in my motherland, I learned a lesson from mosquito(蚊子)bites.Right before36Kennedy Airport in New York, my grandma37me of the behavior of the native mosquitoes around the38like me.She said, “There's an old saying—the39you stay away from the motherland, the sweeter your blood40to the mosquitoes.” Not41it, I replied, “Grandmaaaa, that's just an old wives' tale!”Well, less than a week42my arrival in Manila, I was already carpeted with a43of mosquito bites.I took many measures to keep myself from being44, but they all proved te one45in my cousin's home, I couldn't bear the46of the bites.Hoping to find some comfort, I47my cousin, who wassleeping peacefully in the bed next to mine.Unhappy for being48she said, “There is nothing you can do.Go back to sleep.”With a few turn s, she slept again.Enviously(妒嫉地)49her sleep, I hoped a big mosquito would50on her face.However, the mosquitoes would just lightly dance around her forehead and fly away quickly, never biting her.Amazed(惊奇的), I ran to others'51, only to find they were all sleeping52as the same thing occurred again and again.From those bites, I came to53my grandma's silly tale.From then on, I've always tried to keep a(n)54mind about those strange old wives' tales55they do have some truth to them.36.A.leavingB.passingfinding37.A.persuadedB.remindedC.warnedrmedD.C.visitingD.38.A.studentsB.foreignersC.passengersvisitors39.A.earlier40.A.growsremainsB.longerC.soonerter B.goesC.flowsD.41.A.expectingB.understandingC.recognizingD.beli eving 42.A.afterB.beforeC.whenD.asD.43.A.shadeB.pileC.cloudblanket44.A.touchedB.bittenC.defeatedD.discovered45.A.morningB.afternoon46.A.noiseB.hiteffect47.A.woke upB.shouted atC.looked fordropped on48.A.blamedB.interruptedC.movedfrightened49.A.havingC.eveningD.night C.painD.D.D.B.watchingC.makingD.helpingndB.flyC.fallD.wait51.A.housesB.flatsC.roomsD.homes52.A.joyfullyB.anxiouslyworriedly53.A.tellB.knowC.rememberD.acceptC.soundlesslyD.54.A.openB.activeC.clear55.A.andB.soC.because答案36.A37.C38.D39.B40.A41.D42.A43.D44.B45.D46.C47.A48.B49.B50 .A51.C52.C53.D54.A55.CD.honest D.until第四篇：2014届高考英语复习讲练测教案52014届高考英语复习讲练测：教案5 1．persuade vt.说服，劝服，使相信persuade sb.to do sth.＝persuade sb.into doing sth.说服某人做某事 persuade sb.not to do sth.＝persuade sb.out of doing sth.说服某人不做某事persuade sb.of sth.说服某人信服某事persuade sb.＋thatclause 使某人相信……He persuaded me to study hard.＝He persuaded me into studying hard.他说服我努力学习。

高考数学复数专题复习(专题训练)

一、复数选择题1．在复平面内，复数534ii-（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（） A ．()3,4B ．()4,3-C ．43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．43,55⎛⎫-⎪⎝⎭2．若复数(1)()(i a i i -+是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（） A ．2 B ．1 C ．0D ．1-3．设复数(,)z a bi a R b R =+∈∈，它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，且有1z =，则a b +=（）A ．-1B ．0C ．1D ．24．若复数z 为纯虚数，且()373z i m i -=+，则实数m 的值为（） A ．97-B ．7C ．97D ．7-5．若复数()()24z i i =--，则z =（） A ．76i --B ．76-+iC ．76i -D ．76i +6．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是1z ，2z ，则12z z -=（）A 2B ．2C ．2D ．87．若复数z 满足()322iz i i -+=+，则复数z 的虚部为（） A ．35B ．35i -C ．35D ．35i8．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ⋅④zz，其结果一定是实数的是（） A ．①②B ．②④C ．②③D ．①③9．已知复数z 满足22z z =，则复数z 在复平面内对应的点(),x y （） A ．恒在实轴上 B ．恒在虚轴上C ．恒在直线y x =上D ．恒在直线y x=-上10．若1i iz ，则2z z i ⋅-=（）A ．B ．4C ．D ．811．在复平面内，已知平行四边形OABC 顶点O ，A ，C 分别表示25-+i ，32i +，则点B 对应的复数的共轭复数为（） A ．17i -B ．16i -C ．16i --D ．17i --12．复数()()212z i i =-+，则z 的共轭复数z =（） A ．43i + B ．34i - C ．34i + D ．43i - 13．已知i 是虚数单位，2i z i ⋅=+，则复数z 的共轭复数的模是（）A ．5BC D ．314．设复数z 满足(1)2i z -=，则z ＝（）A ．1 BC D ．215．若复数11iz i，i 是虚数单位，则z =（） A ．0B ．12C ．1D ．2二、多选题16．已知复数Z 在复平面上对应的向量(1,2),OZ =-则（） A ．z =-1+2iB ．|z |=5C ．12z i =+D ．5z z ⋅=17．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是（）A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =18．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（） A ．0B ．2-C ．2iD ．2i -19．已知复数122z =-，则下列结论正确的有（）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+20．已知复数122z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（）． A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =21．下面是关于复数21iz =-+（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（） A ．||2z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i +D ．z 的虚部为1-22．已知i 为虚数单位，复数322iz i+=-，则以下真命题的是（） A ．z 的共轭复数为4755i - B ．z 的虚部为75i C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限23．已知复数1z =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数zw z=，则下列结论正确的有（）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 的虚部为2i 24．已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限25．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）．A ．234i i i i 0+++=B ．3i 1i +>+C ．若()2z=12i +，则复平面内z 对应的点位于第四象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 26．下列命题中，正确的是（） A ．复数的模总是非负数B ．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C ．如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D ．相等的向量对应着相等的复数27．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝2i ，则下列关于复数z 的结论正确的是（）A ．||z =B ．复数z 的共轭复数为z ＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根28．已知复数12ω=-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（）A ．1ω=B ．2ω的虚部为C ．31ω=-D ．1ω在复平面内对应的点在第四象限29．已知复数()(()()211z m m m i m R =-+-∈，则下列说法正确的是（）A ．若0m =，则共轭复数1z =-B ．若复数2z =，则mC ．若复数z 为纯虚数，则1m =±D ．若0m =，则2420z z ++= 30．设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是( )A ．|z |=B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为12i -+D ．复数z 在复平面内对应的点在直线2y x =-上【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．D 【分析】运用复数除法的运算法则化简复数的表示，最后选出答案即可. 【详解】因为，所以在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点的坐标为. 故选：D 解析：D 【分析】运用复数除法的运算法则化简复数534ii-的表示，最后选出答案即可. 【详解】因为55(34)15204334(34)(34)2555i i i i i i i i ⋅+-===-+--+，所以在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：D2．D 【分析】由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解．【详解】，它为纯虚数，则，解得．故选：D ．解析：D【分析】由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解．【详解】2(1)()1(1)i a i a i ai i a a i -+=+--=++-，它为纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，解得1a =-．故选：D ．3．C 【分析】根据复数的几何意义得．【详解】∵它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴，又，∴， ∴．故选：C ．解析：C 【分析】根据复数的几何意义得,a b ．【详解】∵z 它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴0a =，又1z =，∴1b =， ∴1a b +=．故选：C ．4．B 【分析】先求出，再解不等式组即得解. 【详解】依题意，，因为复数为纯虚数，故，解得. 故选：B 【点睛】易错点睛：复数为纯虚数的充要条件是且，不要只写.本题不能只写出，还要写上.解析：B 【分析】先求出321795858m m z i -+=+，再解不等式组3210790m m -=⎧⎨+≠⎩即得解.【详解】依题意，()()()()3373321793737375858m i i m i m m z i i i i +++-+===+--+，因为复数z 为纯虚数，故3210790m m -=⎧⎨+≠⎩，解得7m =.故选：B 【点睛】易错点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数的充要条件是0a =且0b ≠，不要只写0b ≠.本题不能只写出790m +≠，还要写上3210m -=.5．D 【分析】由复数乘法运算求得，根据共轭复数定义可求得结果. 【详解】，. 故选：.解析：D 【分析】由复数乘法运算求得z ，根据共轭复数定义可求得结果. 【详解】()()2248676z i i i i i =--=-+=-，76z i ∴=+.故选：D .6．B 【分析】根据复数的几何意义，求两个复数，再计算复数的模. 【详解】由图象可知，，则，故. 故选:B.解析：B 【分析】根据复数的几何意义，求两个复数，再计算复数的模. 【详解】由图象可知1z i =，22z i =-，则1222z z i -=-+，故12|22|z z i -=-+== 故选:B .7．A 【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出，再由复数的定义得结论．【详解】由题意，得，其虚部为，故选：A.解析：A 【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出z ，再由复数的定义得结论．【详解】由题意，得()()()()()23343313343434552i i ii z ii i i i ----====-++-+，其虚部为35，故选：A.8．D 【分析】设，则，利用复数的运算判断. 【详解】设，则，故，，，. 故选：D.解析：D 【分析】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，利用复数的运算判断. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，故2z z a R +=∈，2z z bi -=，22222z a bi a b abiz a bi a b +-+==-+，22z z a b ⋅=+∈R . 故选：D.9．A【分析】先由题意得到，然后分别计算和，再根据得到关于，的方程组并求解，从而可得结果．【详解】由复数在复平面内对应的点为得，则，，根据得，得，.所以复数在复平面内对应的点恒在实轴上，故解析：A 【分析】先由题意得到z x yi =+，然后分别计算2z 和2z ，再根据22z z =得到关于x ，y 的方程组并求解，从而可得结果．【详解】由复数z 在复平面内对应的点为(),x y 得z x yi =+，则2222z x y xyi =-+，222z x y =+，根据22z z =得222220x y x y xy ⎧-=+⎨=⎩，得0y =，x ∈R .所以复数z 在复平面内对应的点(),x y 恒在实轴上，故选：A ．10．A 【分析】化简复数，求共轭复数，利用复数的模的定义得．【详解】因为，所以，所以故选：A解析：A 【分析】化简复数z ，求共轭复数z ，利用复数的模的定义得2i z z --．【详解】因为1111i z i i i+==+=-，所以1z i =+，所以()()211222z z i i i i i ⋅-=-+-=-= 故选：A11．A 【分析】根据复数的几何意义得出坐标，由平行四边形得点坐标，即得点对应复数，从而到共轭复数．【详解】由题意，设，∵是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同， ∴，即，∴点对应是，共轭复数为．解析：A 【分析】根据复数的几何意义得出,A C 坐标，由平行四边形得B 点坐标，即得B 点对应复数，从而到共轭复数．【详解】由题意(2,5),(3,2)A C -，设(,)B x y ，∵OABC 是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同， ∴023052x y +=-+⎧⎨+=+⎩，即17x y =⎧⎨=⎩，∴B 点对应是17i +，共轭复数为17i -．故选：A ．12．D 【分析】由复数的四则运算求出，即可写出其共轭复数. 【详解】 ∴，故选：D解析：D 【分析】由复数的四则运算求出z ，即可写出其共轭复数z . 【详解】2(2)(12)24243z i i i i i i =-+=-+-=+∴43z i =-，故选：D13．C 【分析】首先求出复数的共轭复数，再求模长即可. 【详解】据题意，得，所以的共轭复数是，所以. 故选：C.解析：C 【分析】首先求出复数z 的共轭复数，再求模长即可. 【详解】据题意，得22(2)12121i i i iz i i i ++-+====--，所以z 的共轭复数是12i +，所以z =. 故选：C.14．B 【分析】由复数除法求得，再由模的运算求得模．【详解】由题意，∴．故选：B ．解析：B 【分析】由复数除法求得z ，再由模的运算求得模．【详解】由题意22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，∴z == 故选：B ．15．C 【分析】由复数除法求出，再由模计算．【详解】由已知，所以．故选：C ．解析：C 【分析】由复数除法求出z ，再由模计算．【详解】由已知21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以1z i =-=．故选：C ．二、多选题16．AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量，所以，，|z|=，，故选：AD解析：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，得到复数12z i =-+，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，所以12z i =-+，12z i =--，|z 5z z ⋅=，故选：AD17．AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数，所以z 的虚部为1，，故AC 错误，BD 正确.故选：AC解析：AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =故AC 错误，BD 正确.故选：AC18．ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令z a bi =+代入已知等式，列方程组求解即可知z 的可能值.【详解】令z a bi =+代入22||0z z +=，得：2220a b abi -+=，∴22020a b ab ⎧⎪-+=⎨=⎪⎩，解得0,0a b =⎧⎨=⎩或0,2a b =⎧⎨=⎩或0,2,a b =⎧⎨=-⎩ ∴0z =或2z i =或2z i =-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.19．ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为11131222244z z i ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()2020633644311122z z z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.20．BCD【分析】计算出，即可进行判断.【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD【分析】计算出23,,,z z z z ，即可进行判断.【详解】122z =-+， 221313i i=22z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222222z ，故C 正确； 2213122z，故D 正确.故选：BCD.本题考查复数的相关计算，属于基础题.21．BD【分析】把分子分母同时乘以，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】解：，，A错误；，B正确；z的共轭复数为，C错误；z的虚部为，D正确.故选：BD.【点解析：BD【分析】把21iz=-+分子分母同时乘以1i--，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】解：22(1)11(1)(1)iz ii i i--===---+-+--，||z∴=A错误；22iz=，B正确；z的共轭复数为1i-+，C错误；z的虚部为1-，D正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查复数除法的基本运算、复数的基本概念，属于基础题. 22．AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项. 【详解】，故，故A正确.的虚部为，故B错，，故C错，在复平面内对应的点为，故D正确.故选：AD.本题考解析：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】()()32232474725555i i i i i z i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，355z ==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.23．ABC【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.【详解】对选项由题得.所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC【分析】对选项,A 求出1=2w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-221=422w -+∴===-+.所以复数w 对应的点为1(2-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确；对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 所以选项D 错误. 故选：ABC【点睛】本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.24．BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数，所以其虚部为，即A 错误；，故B 正确；解析：BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数1z i =+，所以其虚部为1，即A 错误；z ==B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.25．AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简，得出，从而判断D.【详解】，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；，则，解析：AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简11z z -=+，得出0x =，从而判断D.【详解】234110i i i i i i +++=--+=，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；()221424341z i i i i =++=+-+=，则34z i =--，其对应复平面的点的坐标为(3,4)--，位于第三象限，则C 错误；令,,z x yi x y R =+∈，|1||1z z -=+∣，=，解得0x =则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线，D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于中档题.26．ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数，对于A ，，故A 正确．对于B ，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与解析：ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，对于A ，0z =≥，故A 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内以原点为起点的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B 正确．对于C ，如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C 错．对于D ，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈对应的向量的坐标为(),a b ，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．27．ABCD【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝解析：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝2i ，所以21i z i =-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+，所以||z ==A 正确；所以1i z =--，故B 正确；由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确；因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=，所以D 正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.28．AB【分析】求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意，所以A 选项正确；，虚部为，所以B 选项正确；，所以C 选项错误；，对应点为，在第三象限，故D 选项错误.故选解析：AB【分析】求得ω、2ω的虚部、3ω、1ω对应点所在的象限，由此判断正确选项. 【详解】依题意1ω==，所以A 选项正确；2211312242422ω⎛⎫=-+=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭，虚部为，所以B 选项正确；22321111222222ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫=⋅=--⋅-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 选项错误；221111222212ω---====--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对应点为1,2⎛- ⎝⎭，在第三象限，故D 选项错误. 故选：AB【点睛】本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.29．BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，时，，则，故A 错误；对于B ，若复数，则满足，解得，故B 正确；对于C ，若复数z 为纯虚数，则满足，解得，解析：BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，0m =时，1z =-，则1z =-，故A 错误；对于B ，若复数2z =，则满足(()21210m m m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得m ，故B 正确；对于C ，若复数z为纯虚数，则满足(()21010m m m ⎧-=⎪⎨--≠⎪⎩，解得1m =-，故C 错误；对于D ，若0m =，则1z =-+，()()221420412z z ++=+--+=+，故D 正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查对复数相关概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基础题.30．AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】,A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为,C 正确;复数z 在复平面内对解析：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】||z ==A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2y x =-上,D 不正确.故选:AC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。

高考数学复数专题复习(专题训练)doc

一、复数选择题1．设复数(,)z a bi a R b R =+∈∈，它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，且有1z =，则a b +=（）A ．-1B ．0C ．1D ．22．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．在复平面内复数Z=i （1﹣2i ）对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．已知复数31i z i -=，则z 的虚部为（） A ．1B ．1-C ．iD ．i - 5．已知复数21i z i =-，则复数z 在复平面内对应点所在象限为（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．复数z 满足12i z i ⋅=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）A B C ．3 D ．5 7．已知i 为虚数单位，复数12i 1i z +=-，则复数z 在复平面上的对应点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．已知复数1z i i =+-（i 为虚数单位），则z =（）A ．1B ．iC iD i 9．已知复数()211i z i-=+，则z =（） A ．1i -- B ．1i -+C ．1i +D ．1i - 10．若复数()41i 34i z +=+，则z =（）A ．45B ．35C ．25D ．511．设复数z 满足41i z i =+，则z 的共轭复数z 在复平面内的对应点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 12．已知i 是虚数单位，a 为实数，且3i 1i 2i a -=-+，则a ＝（） A ．2 B ．1 C ．-2 D ．-113．已知i 是虚数单位，2i z i ⋅=+，则复数z 的共轭复数的模是（）A ．5BCD ．314．已知i 是虚数单位，设11i z i ，则复数2z +对应的点位于复平面（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 15．设复数满足(12)i z i +=，则||z =（）A ．15BCD ．5二、多选题16．下面是关于复数21i z =-+的四个命题，其中真命题是（）A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-17．（多选题）已知集合{},n M m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（）A ．()()11i i -+B ．11i i -+C ．11i i +-D ．()21i - 18．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（）A ．0P 点的坐标为(1,2)B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为219．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（）A ．若复数z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈C ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z = 20．设复数z 满足1z i z +=，则下列说法错误的是（） A ．z 为纯虚数 B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z =21．已知复数12ω=-（i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（）A ．2ωω=B ．31ω=-C ．210ωω++=D ．ωω>22．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）．A ．234i i i i 0+++=B ．3i 1i +>+C ．若()2z=12i +，则复平面内z 对应的点位于第四象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线23．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s n n n z i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（）A ．22z z =B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，12z =D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数24．下列命题中，正确的是（）A ．复数的模总是非负数B ．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C ．如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D ．相等的向量对应着相等的复数25．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（）A ．3||5z =B ．12i 5z +=-C ．复数z 的实部为1-D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限 26．以下为真命题的是（）A ．纯虚数z 的共轭复数等于z -B ．若120z z +=，则12z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数27．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（）A ．z 的虚部为1-B ．||z =C ．2z 为纯虚数D ．z 的共轭复数为1i --28．以下命题正确的是（） A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '= 29．对任意1z ，2z ，z C ∈，下列结论成立的是（）A ．当m ，*n N ∈时，有m n m n z z z +=B ．当1z ，2zC ∈时，若22120z z +=，则10z =且20z = C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且22||||z z z z ==⋅D ．12z z =的充要条件是12=z z30．已知复数z ，下列结论正确的是（）A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件C ．“z z =”是“z 为实数”的充要条件D ．“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．C【分析】根据复数的几何意义得．【详解】∵它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴，又，∴，∴．故选：C ．解析：C【分析】根据复数的几何意义得,a b ．【详解】∵z 它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴0a =，又1z =，∴1b =， ∴1a b +=．故选：C ．2．D【分析】先由复数的运算化简复数z ，再运用复数的几何表示可得选项.【详解】由已知得，所以复数z在复平面上所对应的点为，在第四象限，故选：D.解析：D【分析】先由复数的运算化简复数z，再运用复数的几何表示可得选项.【详解】由已知得()()()()312317171+21+212555i ii iz ii i i----====--，所以复数z在复平面上所对应的点为17,55⎛⎫-⎪⎝⎭，在第四象限，故选：D.3．A【解析】试题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．解：∵复数Z=i（1﹣2i）=2+i∵复数Z的实部2＞0，虚解析：A【解析】试题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．解：∵复数Z=i（1﹣2i）=2+i∵复数Z的实部2＞0，虚部1＞0∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限故选A点评：本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，是解答本题的关键．4．B【分析】化简复数，可得，结合选项得出答案．【详解】则，的虚部为故选：B解析：B【分析】化简复数z ，可得z ，结合选项得出答案．【详解】()311==11i i z i i i i i--=-=+- 则1z i =-，z 的虚部为1-故选：B5．B【分析】对复数进行化简，再得到在复平面内对应点所在的象限.【详解】，在复平面内对应点为，在第二象限.故选：B.解析：B【分析】对复数z 进行化简，再得到z 在复平面内对应点所在的象限.【详解】21i z i =-()()()2111i i i i +=+-()1+1+i i i ==-，z 在复平面内对应点为()1,1-，在第二象限. 故选：B.6．D【分析】求出复数，然后由乘法法则计算．【详解】由题意，．故选：D ．解析：D【分析】求出复数z ，然后由乘法法则计算z z ⋅．【详解】由题意12122i z i i i-==-+=--， 22(2)(2)(2)5z z i i i ⋅=---+=--=．故选：D ．7．C【分析】利用复数的除法法则化简，再求的共轭复数，即可得出结果.【详解】因为，所以，所以复数在复平面上的对应点位于第三象限，故选：C.解析：C【分析】利用复数的除法法则化简z ，再求z 的共轭复数，即可得出结果.【详解】因为212(12)(1)11i i i z i i +++==-- 1322i =-+，所以1322z i =--，所以复数z 在复平面上的对应点13(,)22--位于第三象限，故选：C. 8．D【分析】先对化简，求出，从而可求出【详解】解：因为，所以，故选：D解析：D【分析】先对1z i i =+-化简，求出z ，从而可求出z【详解】解：因为1z i i i i =+-==，所以z i =，故选：D 9．B【分析】根据复数的除法运算法则求出复数，然后根据共轭复数的概念即可得解.由题意可得，则.故答案为：B解析：B【分析】根据复数的除法运算法则求出复数z ，然后根据共轭复数的概念即可得解.【详解】由题意可得()()()()()212111111i i i z i i i ii i ---===--=--++-，则1z i =-+. 故答案为：B 10．A【分析】首先化简复数，再计算求模.【详解】，.故选：A解析：A【分析】首先化简复数z ，再计算求模.【详解】()()()2242112434343434i i i z i i i i ⎡⎤++⎣⎦====-++++ ()()()()43443412163434252525i i i i i --=-=-=-++-，45z ∴==. 故选：A 11．D【分析】先对化简，从而可求出共轭复数，再利用复数的几何意义可得答案【详解】解：因为，所以，所以共轭复数在复平面内的对应点位于第四象限，解析：D【分析】先对41i z i=+化简，从而可求出共轭复数z ，再利用复数的几何意义可得答案【详解】解：因为244(1)4(1)=2(1)22221(1)(1)2i i i i i z i i i i i i i i --===-=-=+++-，所以22z i =-，所以共轭复数z 在复平面内的对应点位于第四象限，故选：D12．B【分析】可得，即得.【详解】由，得a ＝1.故选：B ．解析：B【分析】可得3(2)(1)3ai i i i -=+-=-，即得1a =.【详解】由23(2)(1)223ai i i i i i i -=+-=-+-=-，得a ＝1.故选：B ． 13．C【分析】首先求出复数的共轭复数，再求模长即可.【详解】据题意，得，所以的共轭复数是，所以.故选：C.解析：C【分析】首先求出复数z 的共轭复数，再求模长即可.【详解】据题意，得22(2)12121i i i i z i i i ++-+====--，所以z 的共轭复数是12i +，所以z =.14．A【分析】由复数的除法求出，然后得出，由复数的几何意义得结果.【详解】由已知，，对应点为，在第一象限，故选：A.解析：A【分析】由复数的除法求出z i =-，然后得出2z +，由复数的几何意义得结果.【详解】由已知(1)(1)(1)(1)i i z i i i --==-+-， 222z i i +=-+=+，对应点为(2,1)，在第一象限，故选：A.15．B【分析】利用复数除法运算求得，再求得.【详解】依题意，所以.故选：B解析：B【分析】利用复数除法运算求得z ，再求得z .【详解】依题意()()()12221121212555i i i i z i i i i -+====+++-，所以5z == 故选：B二、多选题16．ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项.【详解】，，故A 正确；，故B 正确；的共轭复数为，故C 正确；的虚部为，故D 正确；故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法解析：ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项.【详解】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题.17．BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+；选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-；选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 18．ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C 选项的正确解析：ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出z ，利用|1|||z z i -=-，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z 点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性.【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确；复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确；易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距2=，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题.19．AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++，因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.20．AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.21．AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵所以，∴，故A 正确，，故B 错误，，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC.【点睛】本题主要考查复数的有关概念解析：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.解：∵12ω=-所以122ω=--，∴213142422ωω=--=--=，故A 正确，32111312244ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误，21111022ωω++=--++=，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC .【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．22．AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简，得出，从而判断D.【详解】，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；，则，解析：AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简11z z -=+，得出0x =，从而判断D.【详解】234110i i i i i i +++=--+=，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；()221424341z i i i i =++=+-+=，则34z i =--，其对应复平面的点的坐标为(3,4)--，位于第三象限，则C 错误；令,,z x yi x y R =+∈，|1||1z z -=+∣，=，解得0x =则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线，D 正确；故选：AD本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于中档题.23．AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确；对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 3322z i ππ=+=+，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+，取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.24．ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数，对于A ，，故A 正确．对于B ，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与解析：ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，对于A ，0z =≥，故A 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内以原点为起点的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B 正确．对于C ，如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C 错．对于D ，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈对应的向量的坐标为(),a b ，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．25．BD【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.【详解】因为复数满足，所以所以，故A 错误；，故B 正确；复数的实部为，故C 错误；复数对应复平面上的点在第二象限解析：BD【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=，所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以5z ==，故A 错误； 1255z i =--，故B 正确；复数z 的实部为15- ，故C 错误；复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题. 26．AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若为纯虚数，可设，则，即纯虚数的共轭复数等于，故A 正确；对于B解析：AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若z 为纯虚数，可设()0z bi b =≠，则z bi z =-=-，即纯虚数z 的共轭复数等于z -，故A 正确；对于B ，由120z z +=，得出12z z =-，可设11z i =+，则21z i =--，则21z i =-+，此时12z z ≠，故B 错误；对于C ，设12,z a bi z c di =+=+，则()()12a c b d i R z z =++++∈，则0b d +=，但,a c 不一定相等，所以1z 与2z 不一定互为共轭复数，故C 错误；对于D ，120z z -=，则12z z =，则1z 与2z 互为共轭复数，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考查与复数有关的命题的真假性，考查复数的基本概念和运算，涉及实数、纯虚数和共轭复数的定义，属于基础题. 27．ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为，对于A ：的虚部为，正确；对于B ：模长，正确；对于C ：因为，故为纯虚数，解析：ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简z 后得：1z i =-，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为()()()2122211i 1i 12i i z i i --====-++-，对于A ：z 的虚部为1-，正确；对于B ：模长z =对于C ：因为22(1)2z i i =-=-，故2z 为纯虚数，正确；对于D ：z 的共轭复数为1i +，错误.故选：ABC .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.28．AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥，此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x x x ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 29．AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取，进行判断；D 中的必要不充分条件是.【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取，；，满足，但且不解析：AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取11z =，2z i =进行判断；D 中12z z =的必要不充分条件是12=z z .【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取11z =，；2z i =，满足22120z z +=，但10z =且20z =不成立，B 错误；由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C 正确；由12z z =能推出12=z z ，但12||||z z =推不出12z z =，因此12z z =的必要不充分条件是12=z z ，D 错误. 故选：AC【点睛】本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题.30．BC【分析】设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设，则，则，若，则，，若，则不为纯虚数，所以，“”是“为纯虚数”必要不充分解析：BC【分析】设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数，所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件；若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要条件；22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选：BC.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.。

高考数学复数专题复习(专题训练)百度文库

一、复数选择题1．若复数(1)()(i a i i -+是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（） A ．2 B ．1 C ．0D ．1-2．复数()1z i i =⋅+在复平面上对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知i 为虚数单位，则复数23ii -+的虚部是（） A ．35B ．35i -C ．15-D ．15i -4．已知复数21iz i=-，则复数z 在复平面内对应点所在象限为（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．设()2211z i i=+++，则||z =（）A B ．1C ．2D6．设复数2i1iz =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知复数202111i z i-=+，则z 的虚部是（）A ．1-B ．i -C ．1D ．i8．若复数2i1ia -+（a ∈R ）为纯虚数，则1i a -=（）A B C ．3D ．59．已知复数z 满足202122z i i i+=+-+，则复数z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知复数z 的共轭复数212iz i-=+，i 是虚数单位，则复数z 的虚部是（） A ．1B ．-1C ．iD ．i -11．复数11z =，2z 由向量1OZ 绕原点O 逆时针方向旋转3π而得到.则21arg()2z z -的值为（） A ．6πB ．3π C ．23π D ．43π12．复数2ii -的实部与虚部之和为（） A ．35 B ．15- C ．15D ．3513．设a +∈R ，复数()()()242121i i z ai ++=-，若1z =，则a =（）A ．10B ．9C ．8D ．7 14．已知i 是虚数单位，2i z i ⋅=+，则复数z 的共轭复数的模是（）A ．5 BC D ．315．复数22(1)1i i-+=-（） A ．1+iB ．-1+iC ．1-iD ．-1-i二、多选题16．若复数351iz i-=-，则（）A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限 17．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是（） A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z =18．若复数z 满足()234z i i +=+（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（）A ．z 的虚部为3B ．z =C ．z 的共轭复数为23i +D ．z 是第三象限的点19．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为12- 20．下列说法正确的是（） A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件21．已知i 为虚数单位，复数322iz i+=-，则以下真命题的是（） A ．z 的共轭复数为4755i - B ．z 的虚部为75i C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限22．已知复数1z =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数zw z=，则下列结论正确的有（）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 的虚部为2i 23．下列结论正确的是（）A ．已知相关变量(),x y 满足回归方程ˆ9.49.1yx =+，则该方程相应于点（2，29）的残差为1.1B ．在两个变量y 与x 的回归模型中，用相关指数2R 刻画回归的效果，2R 的值越大，模型的拟合效果越好C ．若复数1z i =+，则2z =D ．若命题p ：0x R ∃∈，20010x x -+<，则p ⌝：x R ∀∈，210x x -+≥24．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（） A ．若12z z =，则12=z z B ．若12=z z ，则12z z =C ．若12z z >则12z z >D ．若12z z >，则12z z >25．已知复数122,2z i z i =-=则（） A ．2z 是纯虚数 B ．12z z -对应的点位于第二象限C ．123z z +=D ．12z z =26．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（） A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122-C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为227．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nnnz i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（） A ．22z z = B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，122z =- D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数28．给出下列命题，其中是真命题的是（） A ．纯虚数z 的共轭复数是z -B ．若120z z -=，则21z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数 29．已知复数z ，下列结论正确的是（） A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件 B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件 C ．“z z =”是“z 为实数”的充要条件 D ．“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件 30．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( ) A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y == B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．D 【分析】由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解．【详解】，它为纯虚数，则，解得．故选：D ．解析：D【分析】由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解．【详解】2(1)()1(1)i a i a i ai i a a i -+=+--=++-，它为纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，解得1a =-．故选：D ．2．B 【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解. 【详解】因为复数，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限故选：B解析：B 【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解. 【详解】因为复数()11z i i i =⋅+=-+，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限故选：B3．A 【分析】先由复数的除法运算化简复数，再由复数的概念，即可得出其虚部. 【详解】因为，所以其虚部是. 故选：A.解析：A 【分析】先由复数的除法运算化简复数23ii-+，再由复数的概念，即可得出其虚部. 【详解】因为22(3)26133(3)(3)1055i i i i i i i i -----===--++-，所以其虚部是35. 故选：A.4．B 【分析】对复数进行化简，再得到在复平面内对应点所在的象限. 【详解】，在复平面内对应点为，在第二象限. 故选：B.解析：B 【分析】对复数z 进行化简，再得到z 在复平面内对应点所在的象限. 【详解】21i z i =-()()()2111i i i i +=+-()1+1+i i i ==-，z 在复平面内对应点为()1,1-，在第二象限. 故选：B.5．D 【分析】利用复数的乘除法运算法则将化简，然后求解．【详解】因为，所以，则．故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，解析：D 【分析】利用复数的乘除法运算法则将z 化简，然后求解||z ．【详解】因为()()()()2221211*********i z i i i i i i i i i -=++=+++=-++-=+++-，所以1z i =-，则z = 故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，需要给分子分母同乘以分母的共轭复数然后化简．6．D 【分析】先求出，再求出，直接得复数在复平面内对应的点【详解】因为，所以，在复平面内对应点，位于第四象限. 故选：D解析：D 【分析】先求出z ，再求出z ，直接得复数z 在复平面内对应的点【详解】因为211i z i i==++，所以1z i -=-，z 在复平面内对应点()1,1-，位于第四象限.故选：D7．C 【分析】求出，即可得出，求出虚部. 【详解】，，其虚部是1. 故选：C.解析：C 【分析】求出z ，即可得出z ，求出虚部. 【详解】()()()220211i 1i i 1i 1i 1i z --===-++-，i z ∴=，其虚部是1.故选：C.8．B 【分析】把给出的复数化简，然后由实部等于0，虚部不等于0求解a 的值，最后代入模的公式求模. 【详解】由复数（）为纯虚数，则，则所以故选：B解析：B 【分析】把给出的复数化简，然后由实部等于0，虚部不等于0求解a 的值，最后代入模的公式求模. 【详解】由()()()()()()21i 2221112a i a a ia i i i i ----+-==++- 复数2i1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则202202a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩ ，则2a =所以112ai i -=-=故选：B9．C 【分析】由已知得到，然后利用复数的乘法运算法则计算，利用复数的周期性算出的值，最后利用复数的几何意义可得结果．【详解】由题可得，，所以复数在复平面内对应的点为，在第三象限，故选：C ．解析：C 【分析】由已知得到2021(2)(2)i i iz -++-=，然后利用复数的乘法运算法则计算(2)(2)i i -++，利用复数n i 的周期性算出2021i 的值，最后利用复数的几何意义可得结果．【详解】由题可得，2021(2)(2)5i z i ii -+=+-=--，所以复数z 在复平面内对应的点为(5,1)--，在第三象限，故选：C ．10．A 【分析】先化简，由此求得，进而求得的虚部. 【详解】，所以，则的虚部为. 故选：A解析：A 【分析】先化简z ，由此求得z ，进而求得z 的虚部. 【详解】()()()()212251212125i i i iz i i i i ----====-++-，所以zi ，则z 的虚部为1.故选：A11．C 【分析】写出复数的三角形式，绕原点逆时针方向旋转得到复数的三角形式，从而求得的三角形式得解. 【详解】 ,,所以复数在第二象限，设幅角为，故选：C 【点睛】在复平面内运用复数的三解析：C 【分析】写出复数11z =的三角形式1cos 0sin 0z i =+，绕原点O 逆时针方向旋转3π得到复数2z 的三角形式，从而求得212z z -的三角形式得解. 【详解】11z =,1cos 0sin 0z i ∴=+,121(cossin )332Z i O OZ ππ=+=2111()2222z z i --∴=+所以复数在第二象限，设幅角为θ，tan θ=23πθ∴=故选：C 【点睛】在复平面内运用复数的三角形式是求得幅角的关键.12．C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，的实部与虚部之和为. 故选：C 【点睛】易错点睛：复数的虚部是，不是.解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】()()()2+1212222+555i i i i i i i i -+===-+--，2i i ∴-的实部与虚部之和为121555-+=. 故选：C 【点睛】易错点睛：复数z a bi =+的虚部是b ，不是bi .13．D 【分析】根据复数的模的性质求模，然后可解得．【详解】解：，解得. 故选：D ．【点睛】本题考查复数的模，掌握模的性质是解题关键．设复数，则，模的性质：，，．解析：D【分析】根据复数的模的性质求模，然后可解得a ．【详解】解：()()()()24242422221212501111i i i i aai ai++++====+--，解得7a =. 故选：D ．【点睛】本题考查复数的模，掌握模的性质是解题关键．设复数(,)z a bi a b R =+∈，则z =模的性质：1212z z z z =，(*)n n z z n N =∈，1122z z z z =． 14．C【分析】首先求出复数的共轭复数，再求模长即可.【详解】据题意，得，所以的共轭复数是，所以.故选：C.解析：C【分析】首先求出复数z 的共轭复数，再求模长即可.【详解】据题意，得22(2)12121i i i i z i i i ++-+====--，所以z 的共轭复数是12i +，所以z =.故选：C.15．C【分析】直接根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得；【详解】解：故选：C解析：C【分析】直接根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得；【详解】解：22(1)1i i-+- ()()()()2211211i i i i i +=-++-+ 12i i =+-1i =-故选：C二、多选题16．AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】解：，，z 的实部为4，虚部为，则相差5，z 对应的坐标为，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正解析：AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】解：()()()()351358241112i i i i z i i i i -+--====---+，z ∴==z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确，故选：AD.17．AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.18．BC【分析】利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD.【点睛】本题考解析：BC【分析】利用复数的除法求出复数z ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】()234z i i +=+，34232i z i i+∴=-=-+，所以，复数z 的虚部为3-，z =共轭复数为23i +，复数z 在复平面对应的点在第四象限.故选：BD.【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.19．BC【分析】由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC【分析】由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项.【详解】因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误；当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.20．AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B 错误；当时解析：AD【分析】由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确；故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.21．AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】，故，故A 正确.的虚部为，故B 错，，故C 错，在复平面内对应的点为，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考解析：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】()()32232474725555i i i i i z i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，355z ==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.22．ABC【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.【详解】对选项由题得.所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC【分析】对选项,A 求出1=22w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 的虚部为2,判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-1=2w ∴===-.所以复数w 对应的点为1(,22-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确；对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 的虚部为2,所以选项D 错误. 故选：ABC【点睛】本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.23．ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ，根据相关指数的性质判断B ，根据复数的模长公式判断C ，根据否定的定义判断D.【详解】当时，，则该方程相应于点（2，29）的残差为，则A 正确；在两个变量解析：ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ，根据相关指数的性质判断B ，根据复数的模长公式判断C ，根据否定的定义判断D.【详解】当2x =时，ˆ9.429.127.9y=⨯+=，则该方程相应于点（2，29）的残差为2927.9 1.1-=，则A 正确；在两个变量y 与x 的回归模型中，2R 的值越大，模型的拟合效果越好，则B 正确；1z i =-，z ==C 错误；由否定的定义可知，D 正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查了残差的计算，求复数的模，特称命题的否定，属于中档题. 24．BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小解析：BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确；当两个复数的模相等时，复数不一定相等，比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的；因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确；故选：BCD.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.25．AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，对应的解析：AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算12z z +及12z z ，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，1223z z i -=-对应的点位于第四象限，故B 错；对于C 选项，122+=+z z i ，则12z z +==，故C 错；对于D 选项，()122224z z i i i ⋅=-⋅=+，则12z z ==D 正确.故选：AD【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单. 26．ACD【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】∴选项A ：为纯虚数，有可得，故正确选项B解析：ACD【分析】首先应用复数的乘法得2(12)z a a i =-++，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确故选：ACD【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围27．AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确；对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 332z i ππ=+=+，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+，取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.28．AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D.根据，得到，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭解析：AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若120z z -=，则12z z =，1z 与2z 关系分实数和虚数判断.C.若12z z +∈R ，分12,z z 可能均为实数和1z 与2z 的虚部互为相反数分析判断.D. 根据120z z -=，得到12z z =，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B ．若120z z -=，则12z z =，当12,z z 均为实数时，则有21z z =，当1z ，2z 是虚数时，21≠z z ，所以B 是假命题；C ．若12z z +∈R ，则12,z z 可能均为实数，但不一定相等，或1z 与2z 的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C 是假命题；D. 若120z z -=，则12z z =，所以1z 与2z 互为共轭复数，故D 是真命题.故选：AD【点睛】本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 29．BC【分析】设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设，则，则，若，则，，若，则不为纯虚数，所以，“”是“为纯虚数”必要不充分解析：BC【分析】设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数，所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件；若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要条件；22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选：BC.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.30．BD【分析】选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.故选:BD .【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.。

高考数学复数专题复习(专题训练)

一、复数选择题1．已知复数2z i =-，若i 为虚数单位，则1iz+=（） A ．3155i + B ．1355i + C ．113i +D ．13i +2．i =（）A ．i -B ．iC i -D i3．212ii+=-（） A ．1B ．−1C ．i -D ．i4．若复数z 为纯虚数，且()373z i m i -=+，则实数m 的值为（）A ．97-B ．7C ．97D ．7-5．在复平面内复数Z=i （1﹣2i ）对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．若复数()()24z i i =--，则z =（） A ．76i -- B ．76-+iC ．76i -D ．76i +7．复数312iz i=-的虚部是（） A ．65i -B ．35iC ．35D ．65-8．已知i 为虚数单位，若复数()12iz a R a i+=∈+为纯虚数，则z a +=（）A B ．3C ．5D ．9．已知复数202111i z i-=+，则z 的虚部是（）A ．1-B ．i -C ．1D ．i10．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ⋅④zz，其结果一定是实数的是（） A ．①②B ．②④C ．②③D ．①③11．设复数z 满足方程4z z z z ⋅+⋅=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z 的实部为，则z 为（）A ．1BC ．2D ．412．复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．若()()324z i i =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．设21iz i+=-，则z 的虚部为（） A ．12B ．12-C ．32D ．32-15．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a ib i i+=+，则复数a bi -的模等于（）A BC D二、多选题16．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是（）A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =17．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是（）A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-18．已知复数122z =-，则下列结论正确的有（）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+19．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（）． A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =20．设复数z 满足1z iz+=，则下列说法错误的是（） A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．z =21．若复数z 满足()234z i i +=+（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（）A ．z 的虚部为3B ．z =C ．z 的共轭复数为23i +D ．z 是第三象限的点22．已知复数z 满足2724z i =--，在复平面内，复数z 对应的点可能在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限23．已知i 为虚数单位，复数322iz i+=-，则以下真命题的是（） A ．z 的共轭复数为4755i - B ．z 的虚部为75i C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限24．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（） A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =- D ．对任意的复数z ，都有20z25．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（）A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122-C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为226．下列命题中，正确的是（） A ．复数的模总是非负数B ．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C ．如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D ．相等的向量对应着相等的复数27．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝2i ，则下列关于复数z 的结论正确的是（）A ．||z =B ．复数z 的共轭复数为z ＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根 28．以下为真命题的是（） A ．纯虚数z 的共轭复数等于z -B ．若120z z +=，则12z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数 29．已知复数z ，下列结论正确的是（） A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件 B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件 C ．“z z =”是“z 为实数”的充要条件D ．“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件30．已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),且1a b +=,下列命题正确的是( ) A ．z 不可能为纯虚数 B ．若z 的共轭复数为z ,且z z =,则z 是实数C ．若||z z =,则z 是实数D ．||z 可以等于12【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．B 【分析】利用复数的除法法则可化简，即可得解. 【详解】，. 故选：B. 解析：B 【分析】利用复数的除法法则可化简1iz+，即可得解. 【详解】2z i =-，()()()()12111313222555i i i i i i z i i i +++++∴====+--+. 故选：B.2．B 【分析】由复数除法运算直接计算即可. 【详解】 . 故选：B.解析：B 【分析】由复数除法运算直接计算即可. 【详解】()211ii i i++==--.故选：B.3．D 【分析】利用复数的除法运算即可求解. 【详解】，故选：D解析：D 【分析】利用复数的除法运算即可求解. 【详解】()()()()2221222255121212145i i i i i ii i i i i +++++====--+-，故选：D4．B 【分析】先求出，再解不等式组即得解. 【详解】依题意，，因为复数为纯虚数，故，解得. 故选：B 【点睛】易错点睛：复数为纯虚数的充要条件是且，不要只写.本题不能只写出，还要写上.解析：B 【分析】先求出321795858m m z i -+=+，再解不等式组3210790m m -=⎧⎨+≠⎩即得解. 【详解】依题意，()()()()3373321793737375858m i i m i m m z i i i i +++-+===+--+，因为复数z 为纯虚数，故3210790m m -=⎧⎨+≠⎩，解得7m =.故选：B 【点睛】易错点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数的充要条件是0a =且0b ≠，不要只写0b ≠.本题不能只写出790m +≠，还要写上3210m -=.5．A 【解析】试题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z 化为a=bi （a ，b ∈R ）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．解：∵复数Z=i （1﹣2i ）=2+i ∵复数Z 的实部2＞0，虚解析：A 【解析】试题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z 化为a=bi （a ，b ∈R ）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．解：∵复数Z=i （1﹣2i ）=2+i ∵复数Z 的实部2＞0，虚部1＞0 ∴复数Z 在复平面内对应的点位于第一象限故选A点评：本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z 化为a=bi （a ，b ∈R ）的形式，是解答本题的关键．6．D 【分析】由复数乘法运算求得，根据共轭复数定义可求得结果. 【详解】，. 故选：.解析：D 【分析】由复数乘法运算求得z ，根据共轭复数定义可求得结果. 【详解】()()2248676z i i i i i =--=-+=-，76z i ∴=+.故选：D .7．C 【分析】由复数除法法则计算出后可得其虚部．【详解】因为，所以复数z 的虚部是．故选：C ．【分析】由复数除法法则计算出z 后可得其虚部．【详解】因为33(12)366312(12)(12)555i i i i i i i i +-===-+--+，所以复数z 的虚部是35．故选：C ．8．A 【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得，.进而求得复数,再根据模的定义即可求得【详解】由复数为纯虚数，则，解得则，所以，所以故选：A解析：A 【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得a ，.进而求得复数z ,再根据模的定义即可求得z a + 【详解】()()()()()()2221222121122111i a i a a i a i i a z a i a i a i a a a +-++--++====+++-+++由复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则222012101a a a a +⎧=⎪⎪+⎨-⎪≠⎪+⎩，解得2a =-则z i =- ，所以2z a i +=--，所以z a += 故选：A9．C 【分析】求出，即可得出，求出虚部. 【详解】，，其虚部是1.解析：C 【分析】求出z ，即可得出z ，求出虚部. 【详解】()()()220211i 1i i 1i 1i 1i z --===-++-，i z ∴=，其虚部是1.故选：C.10．D 【分析】设，则，利用复数的运算判断. 【详解】设，则，故，，，. 故选：D.解析：D 【分析】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，利用复数的运算判断. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，故2z z a R +=∈，2z z bi -=，22222z a bi a b abi z a bi a b +-+==-+，22z z a b ⋅=+∈R . 故选：D.11．B 【分析】由题意，设复数，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果. 【详解】因为的实部为，所以可设复数，则其共轭复数为，又，所以由，可得，即，因此. 故选：B.解析：B 【分析】由题意，设复数(),z yi x R y R =∈∈，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可【详解】因为z，所以可设复数(),z yi x R y R =∈∈，则其共轭复数为z yi =，又z z =，所以由4z z z z ⋅+⋅=，可得()4z z z ⋅+=，即4z ⋅=，因此z =故选：B.12．B 【分析】先设复数，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果. 【详解】设复数，由得，所以，解得，因为时，不能满足，舍去；故，所以，其对应的解析：B 【分析】先设复数(),z x yi x R y R =+∈∈，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出,x y ，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果. 【详解】设复数(),z x yi x R y R =+∈∈，由22z z i +=得222x yi i +=，所以2022x y ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，解得31x y ⎧=±⎪⎨⎪=⎩，因为31x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，不能满足20x =，舍去；故1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩z i =+，其对应的点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭位于第二象限，故选：B.13．D 【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果. 【详解】，则复数对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D ．解析：D 【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果. 【详解】()()324(2)(4)76z i i i i i =+-=--=-，则复数z 对应的点的坐标为()7,6-，位于第四象限．故选：D ．14．C 【分析】根据复数的除法运算，先化简复数，即可得出结果. 【详解】因为，所以其虚部为. 故选：C.解析：C 【分析】根据复数的除法运算，先化简复数，即可得出结果. 【详解】因为()()()()21223113111222i i i i z i i i i ++++-====+--+，所以其虚部为32. 故选：C.15．C 【分析】首先根据复数相等得到，，再求的模即可. 【详解】因为，所以，. 所以. 故选：C【分析】首先根据复数相等得到1a =-，2b =，再求a bi -的模即可.【详解】因为()21a i b i i bi +=+=-+，所以1a =-，2b =.所以12a bi i -=--== 故选：C 二、多选题16．AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数，所以z 的虚部为1，，故AC 错误，BD 正确.故选：AC解析：AC 【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =故AC 错误，BD 正确.故选：AC17．ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项.【详解】，，故A 正确；，故B 正确；的共轭复数为，故C 正确；的虚部为，故D 正确；故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法解析：ABCD先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项.【详解】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题.18．ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD 【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为22112222z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，12z =，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222z z z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.【分析】计算出，即可进行判断.【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD【分析】计算出23,,,z z z z ，即可进行判断.【详解】122z =-+， 221313i i=2222z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222222z ，故C 正确； 2213122z，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.20．AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.21．BC【分析】利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD.【点睛】本题考解析：BC【分析】利用复数的除法求出复数z ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】()234z i i +=+，34232i z i i+∴=-=-+，所以，复数z 的虚部为3-，z =共轭复数为23i +，复数z 在复平面对应的点在第四象限.故选：BD.【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.22．BD【分析】先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数，则，所以，则，解得或，因此或，所以对应的点为或，因此复解析：BD【分析】先设复数(),z a bi a b R =+∈，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z ，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，则2222724z a abi b i =+-=--，所以2222724z a abi b i =+-=--，则227224a b ab ⎧-=-⎨=-⎩，解得34a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩，因此34z i =-或34z i =-+，所以对应的点为()3,4-或()3,4-，因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限.故选：BD.【点睛】本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.23．AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】，故，故A 正确.的虚部为，故B 错，，故C 错，在复平面内对应的点为，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考解析：AD先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】()()32232474725555i i i i i z i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，3z ==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.24．AB【分析】求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误；对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题．【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】∴选项A ：为纯虚数，有可得，故正确选项B解析：ACD【分析】首先应用复数的乘法得2(12)z a a i =-++，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确故选：ACD【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围26．ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数，对于A ，，故A 正确．对于B ，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与解析：ABD根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，对于A ，0z =≥，故A 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内以原点为起点的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B 正确．对于C ，如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C 错．对于D ，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈对应的向量的坐标为(),a b ，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．27．ABCD【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝解析：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝2i ，所以21i z i =-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+，所以||z ==A 正确；所以1i z =--，故B 正确；由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确；因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=，所以D 正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题. 28．AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若为纯虚数，可设，则，即纯虚数的共轭复数等于，故A 正确；对于B解析：AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若z 为纯虚数，可设()0z bi b =≠，则z bi z =-=-，即纯虚数z 的共轭复数等于z -，故A 正确；对于B ，由120z z +=，得出12z z =-，可设11z i =+，则21z i =--，则21z i =-+，此时12z z ≠，故B 错误；对于C ，设12,z a bi z c di =+=+，则()()12a c b d i R z z =++++∈，则0b d +=，但,a c 不一定相等，所以1z 与2z 不一定互为共轭复数，故C 错误；对于D ，120z z -=，则12z z =，则1z 与2z 互为共轭复数，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考查与复数有关的命题的真假性，考查复数的基本概念和运算，涉及实数、纯虚数和共轭复数的定义，属于基础题. 29．BC【分析】设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设，则，则，若，则，，若，则不为纯虚数，所以，“”是“为纯虚数”必要不充分解析：BC【分析】设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数，所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件；若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要条件；22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选：BC.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.30．BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当时,,此时为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为,且,则,因此,B 正确;由是实数,且知,z 是实数,C 正确;由解析：BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当0a =时,1b =,此时z i 为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为z ,且z z =,则a bi a bi +=-,因此0b =,B 正确;由||z 是实数,且||z z =知,z 是实数,C 正确;由1||2z =得2214a b +=,又1a b +=,因此28830a a -+=,64483320∆=-⨯⨯=-<,无解,即||z 不可以等于12,D 错误.故选：BC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。

高考数学复数专题复习(专题训练)百度文库

一、复数选择题1．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭2．若20212zi i =+，则z =（）A ．12i -+B ．12i --C ．12i -D ．12i +3．若复数()()24z i i =--，则z =（）A ．76i --B ．76-+iC ．76i -D ．76i + 4．设()2211z i i =+++，则||z =（）A B ．1 C ．2 D5．若复数z 满足()322i z i i -+=+，则复数z 的虚部为（） A ．35 B ．35i - C ．35D ．35i 6．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ⋅④z z ，其结果一定是实数的是（）A ．①②B ．②④C ．②③D ．①③ 8．复数12i z i=+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ⋅+=（）A B ．2 C ．10 D10．复数112z i =+，21z i =+（i 为虚数单位），则12z z ⋅虚部等于（）． A ．1- B ．3 C ．3i D ．i -11．在复平面内，已知平行四边形OABC 顶点O ，A ，C 分别表示25-+i ，32i +，则点B 对应的复数的共轭复数为（）A ．17i -B ．16i -C ．16i --D ．17i --12．已知复数z 满足()1+243i z i =+，则z 的虚部是（）A ．-1B ．1C ．i -D ．i13．设复数202011i z i+=-（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为（）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限 14．若复数11i z i ，i 是虚数单位，则z =（） A ．0B ．12C ．1D ．215．题目文件丢失！二、多选题16．下面是关于复数21i z =-+的四个命题，其中真命题是（）A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1- 17．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（）A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =18．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（）A ．0P 点的坐标为(1,2)B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为219．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（）A ．若复数z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈C ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z =20．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（）． A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z = 21．设复数z 满足1z iz +=，则下列说法错误的是（） A ．z 为纯虚数 B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z = 22．已知复数z 满足2724z i =--，在复平面内，复数z 对应的点可能在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 23．复数z 满足233232i z i i+⋅+=-，则下列说法正确的是（）A ．z 的实部为3-B ．z 的虚部为2C ．32z i =-D ．||z =24．若复数z 满足()1z i i +=，则（） A ．1z i =-+B ．z 的实部为1C ．1z i =+D ．22z i =25．已知复数1z =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数z w z =，则下列结论正确的有（）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 26．下列关于复数的说法，其中正确的是（）A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称27．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（）A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122- C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为2 28．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z += 29．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（）A ．z 的虚部为1-B ．||z =C ．2z 为纯虚数D ．z 的共轭复数为1i --30．已知复数z ，下列结论正确的是（）A．“0z z+=”是“z为纯虚数”的充分不必要条件B．“0z z+=”是“z为纯虚数”的必要不充分条件C．“z z=”是“z为实数”的充要条件D．“z z⋅∈R”是“z为实数”的充分不必要条件【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．D【分析】运用复数除法的运算法则化简复数的表示，最后选出答案即可. 【详解】因为，所以在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点的坐标为.故选：D解析：D【分析】运用复数除法的运算法则化简复数534ii-的表示，最后选出答案即可.【详解】因为55(34)15204334(34)(34)2555i i i iii i i⋅+-===-+--+，所以在复平面内，复数534ii-（i为虚数单位）对应的点的坐标为43,55⎛⎫-⎪⎝⎭.故选：D2．C【分析】根据复数单位的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可. 【详解】由已知可得，所以.故选：C解析：C【分析】根据复数单位i的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可.【详解】由已知可得202150541222(2)21121i i i i i i z i i i i i i ⨯+++++⋅-======-⋅-，所以12z i =-. 故选：C 3．D【分析】由复数乘法运算求得，根据共轭复数定义可求得结果.【详解】，.故选：.解析：D【分析】由复数乘法运算求得z ，根据共轭复数定义可求得结果.【详解】()()2248676z i i i i i =--=-+=-，76z i ∴=+.故选：D .4．D【分析】利用复数的乘除法运算法则将化简，然后求解．【详解】因为，所以，则．故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，解析：D【分析】利用复数的乘除法运算法则将z 化简，然后求解||z ．【详解】因为()()()()2221211211211111i z i i i i i i i i i -=++=+++=-++-=+++-，所以1z i =-，则z =故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，需要给分子分母同乘以分母的共轭复数然后化简．5．A【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出，再由复数的定义得结论．【详解】由题意，得，其虚部为，故选：A.解析：A【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出z ，再由复数的定义得结论．【详解】由题意，得()()()()()23343313343434552i i ii z i i i i i ----====-++-+，其虚部为35，故选：A. 6．B【分析】先求解出复数，然后根据复数的几何意义判断.【详解】因为，所以，故对应的点位于复平面内第二象限.故选：B.【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计解析：B【分析】先求解出复数z ，然后根据复数的几何意义判断.【详解】因为(1)2z i i -=，所以()212112i i i z i i +===-+-，故z 对应的点位于复平面内第二象限.故选：B.【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计算复数的除法时，注意分子分母同乘以分母的共轭复数.7．D设，则，利用复数的运算判断.【详解】设，则，故，，，.故选：D.解析：D【分析】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，利用复数的运算判断.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，故2z z a R +=∈，2z z bi -=，22222z a bi a b abi z a bi a b+-+==-+，22z z a b ⋅=+∈R . 故选：D.8．A【分析】对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果.【详解】由，知在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A.【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题解析：A【分析】对复数z 进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果.【详解】由()()()122112121255i i i z i i i i -===+++-，知在复平面内对应的点21,55⎛⎫⎪⎝⎭位于第一象限，故选：A.【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题.9．D求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案.【详解】因为，所以，，所以，故选:D.解析：D【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案.【详解】因为1z i =+，所以1z i =-，12z i +=+，所以()()()1123z z i i i ⋅+=-⋅+=-==故选:D.10．B【分析】化简，利用定义可得的虚部．【详解】则的虚部等于故选：B解析：B【分析】化简12z z ⋅，利用定义可得12z z ⋅的虚部．【详解】()()1212113z z i i i ⋅=+⋅+=-+则12z z ⋅的虚部等于3故选：B11．A【分析】根据复数的几何意义得出坐标，由平行四边形得点坐标，即得点对应复数，从而到共轭复数．【详解】由题意，设，∵是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同，∴，即，∴点对应是，共轭复数为．解析：A【分析】根据复数的几何意义得出,A C 坐标，由平行四边形得B 点坐标，即得B 点对应复数，从而到共轭复数．【详解】由题意(2,5),(3,2)A C -，设(,)B x y ，∵OABC 是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同，∴023052x y +=-+⎧⎨+=+⎩，即17x y =⎧⎨=⎩，∴B 点对应是17i +，共轭复数为17i -．故选：A ．12．B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得，则答案可求．【详解】由，得，，则的虚部是1．故选：．解析：B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得z ，则答案可求．【详解】由(12)43i z i +=+，得43(43)(12)105212(12)(12)5i i i i z i i i i ++--====-++-， ∴2z i =+，则z 的虚部是1．故选：B ．13．A【分析】根据复数的运算，先将化简，求出，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】因为，所以，其在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：A.解析：A【分析】根据复数的运算，先将z 化简，求出z ，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】因为()()()()4202050550512111121111111i i i z i i i i i i i ++++======+-----+，所以1z i =-，其在复平面内对应的点为()1,1-，位于第四象限.故选：A.14．C【分析】由复数除法求出，再由模计算．【详解】由已知，所以．故选：C ．解析：C【分析】由复数除法求出z ，再由模计算．【详解】由已知21(1)21(1)(1)2i i i z i i i i ---====-++-，所以1z i =-=．故选：C ．15．无二、多选题16．ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项.【详解】，，故A 正确；，故B 正确；的共轭复数为，故C 正确；的虚部为，故D 正确；故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法解析：ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项.【详解】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题.17．CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题. 18．ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C 选项的正确解析：ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出z ，利用|1|||z z i -=-，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z 点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性.【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确；复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确；易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距2=，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题. 19．AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++，因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.20．BCD【分析】计算出，即可进行判断.【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD【分析】计算出23,,,z z z z ，即可进行判断.【详解】122z =-+， 221313i i=2222z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222222z ，故C 正确； 2213122z ，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.21．AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.22．BD【分析】先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数，则，所以，则，解得或，因此或，所以对应的点为或，因此复解析：BD【分析】先设复数(),z a bi a b R =+∈，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z ，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，则2222724z a abi b i =+-=--，所以2222724z a abi b i =+-=--，则227224a b ab ⎧-=-⎨=-⎩，解得34a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩，因此34z i =-或34z i =-+，所以对应的点为()3,4-或()3,4-，因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限.故选：BD.【点睛】本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.23．AD【分析】由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】解：由知，，即，所以的实部为，A 正确；的虚部为-2，B 错误；，C 错误；，D 正确；故选:A解析：AD【分析】由已知可求出32z i =--，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】解：由233232i z i i +⋅+=-知，232332i z i i +⋅=--，即()()()2233232232313i i i z i i ---=-=+ 39263213i i --==--，所以z 的实部为3-，A 正确；z 的虚部为-2，B 错误；32z i =-+，C 错误；||z ==D 正确；故选:AD.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的概念，考查了共轭复数的求解，考查了复数模的求解，属于基础题.24．BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由，得，所以z 的实部为1，，，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭解析：BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由()1z i i +=，得2(1)2(1)1(1)(1)2i i z i i i --====-+-，所以z 的实部为1，1z i =+，22z i =-，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题25．ABC【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.【详解】对选项由题得.所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC【分析】对选项,A 求出1=2w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-221=422w -+∴===-+.所以复数w 对应的点为1(2-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确；对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 所以选项D 错误. 故选：ABC【点睛】本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.26．AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确；对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．27．ACD【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】∴选项A ：为纯虚数，有可得，故正确选项B解析：ACD【分析】首先应用复数的乘法得2(12)z a a i =-++，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确故选：ACD【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围28．ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-；因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102z z ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题． 29．ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为，对于A ：的虚部为，正确；对于B ：模长，正确；对于C ：因为，故为纯虚数，解析：ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简z 后得：1z i =-，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为()()()2122211i 1i 12i i z i i --====-++-，对于A ：z 的虚部为1-，正确；对于B ：模长z =对于C ：因为22(1)2z i i =-=-，故2z 为纯虚数，正确；对于D ：z 的共轭复数为1i +，错误.故选：ABC .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.30．BC【分析】设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设，则，则，若，则，，若，则不为纯虚数，所以，“”是“为纯虚数”必要不充分解析：BC【分析】设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数，所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件；若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要条件；22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选：BC.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.。

高考复数专题复习

复数【考纲解读】 1．复数的概念① 理解复数的基本概念．② 理解复数相等的充要条件． ③ 了解复数的代数表示法及其几何意义． 2．复数的四则运算① 会进行复数代数形式的四则运算．② 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.复数是历年来高考重点内容之一,经常以选择题与填空题形式考查,难度不大，在考查复数的概念及运算的同时，又考查转化与化归思想等数学思想，以及分析问题与解决问题的能力.2.20XX 年的高考将会继续保持稳定,坚持复数的相关概念及其运算,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1.复数的有关概念 (1)复数的概念形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数． (2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ；b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的四则运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 (1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；(4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝a ＋b ic －d ic ＋d i c －d i＝ac ＋bd ＋bc －ad i c 2＋d 2(c ＋d i≠0)．【例题精析】考点一复数的有关概念例1. (20XX 年高考陕西卷文科4)设,R a b ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数iba +为纯虚数”的（）A ．充分不必要条件 B 。

高考数学二轮复习专题6.1.1 复数精练理

专题六自选模块第1讲 “复数与导数”模块第1课时复数(建议用时：40分钟)一、选择题1．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 (2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，对应的点为(3，－4)，位于第四象限，故选D. 答案 D2．(2015·湖北卷)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( )．A ．iB ．－iC ．1D ．－1 解析法一 i 607＝i4×151＋3＝i 3＝－i ，其共轭复数为i.故选A.法二 i 607＝i 608i ＝i 4×152i ＝1i ＝－i ，其共轭复数为i.故选A.答案 A3．设复数z ＝(3－4i)(1＋2i)，则复数z 的虚部为( )．A ．－2B ．2C ．－2iD ．2i解析 z ＝(3－4i)(1＋2i)＝11＋2i ，所以复数z 的虚部为2. 答案 B4．(2015·山东卷)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )．A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析 ∵z1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i. 答案 A5．(2015·新课标全国Ⅱ卷)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( )．A ．－1B ．0C ．1D ．2解析因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B. 答案 B 6.⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 014＝( )．A ．－iB ．iC ．－1D ．1解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 014＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－i 21＋i 1－i 2 014＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2i 2 2 014＝(－i)2 104＝i2 014＝i4×503＋2＝－1.答案 C7．(2015·四川卷)设i 是虚数单位，则复数i 3－2i＝( )．A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i 解析 i 3－2i ＝－i －2i i 2＝－i ＋2i ＝i.选C.答案 C8．方程x 2＋6x ＋13＝0的一个根是( )．A ．－3＋2iB ．3＋2iC ．－2＋3iD ．2＋3i解析法一 x ＝－6±36－522＝－3±2i.法二令x ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，∴(a ＋b i)2＋6(a ＋b i)＋13＝0，即a 2－b 2＋6a ＋13＋(2ab ＋6b )i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＋6a ＋13＝0，2ab ＋6b ＝0，解得a ＝－3，b ＝±2，即x ＝－3±2i. 答案 A 二、填空题9．设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________．解析 ∵z ＝(2－i)2＝3－4i ，∴|z |＝32＋－42＝5.答案 510.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝________. 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i －2i 2＝1. 答案 111．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，则m ＝________.解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，解得m ＝－2.答案－212．(2015·重庆卷)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________.解析由|a ＋b i|＝3得a 2＋b 2＝3，即a 2＋b 2＝3，所以(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 答案 3 三、解答题13．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R )，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵z 1·z 2∈R .∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.14．当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i ，(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z 对应的点在复平面内的第二象限．解 (1)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0，解得m ＝－2.(2)若z 为虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0，解得m ≠－2且m ≠－3.(3)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0，m 2－m －6m ＋3＝0，解得m ＝3.(4)若z 对应的点在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＜0，m 2＋5m ＋6＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－3或－2＜m ＜3，m ＜－3或m ＞－2，∴m ＜－3或－2＜m ＜3.15.如图，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →所表示的复数，BC →所表示的复数； (2)对角线CA →所表示的复数； (3)求B 点对应的复数．解 (1)AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. (2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.。

2023年高考数学一轮复习精讲精练(新高考专用)专题61：复数(练习版)

专题61：复数1、复数的定义：设i 为方程21x =-的根，i 称为虚数单位，形如()a bi a b R +∈、的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用C 来表示.a 为实部，b 为虚部 2．复数集整数有理数实数(0)分数复数(,)无理数(无限不循环小数)纯虚数(0)虚数(0)非纯虚数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩例1：1．虚数单位i ：它的平方等于_______. 2．（2020·全国·高考真题（理））复数113i-的虚部是（） A ．310-B ．110-C ．110D ．310举一反三1．（2020·江苏·高考真题）已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____. 2．（2019·江苏·高考真题）已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____.3.复数的几何意义对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。

因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。

例2：1．（2021·（） A ．第一象限 D ．第四象限2．（2020·北京·(1,2)，则i z ⋅=（）．A ．12i +D ．2i --举一反三1．（2019·全国·z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（2019·全国·高考真题（理））设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=4. 两个复数相等的定义：a bi c di a c +=+⇔=且b d =（其中a b c d R ∈，，，，）特别地，00a bi a b +=⇔==.例3：1．（2022·全国·高考真题（理））已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（） A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-举一反三1．（2022·浙江·高考真题）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（） A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==2．（2022·全国·高考真题（文））设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（） A ．1,1a b ==-B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-5.复数的四则运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1）加法：()()121212z z a a b b i +=+++，即实部与实部相加，虚部与虚部相加；例4：设21=-z x i ，21=-+z xi ，x ∈R ，若12z z +为纯虚数，则实数x 的值为（）. A ．1-B ．0C ．1D ．1或1-举一反三（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -（2）减法：()()121212z z a a b b i -=-+-，即实部与实部相减，虚部与虚部相减；例5：（2022·山东聊城·三模）若复数z 满足3i z z +=，则复数z 的虚部为（） A ．32B ．32-C ．3i 2D ．3i 2-2．（2022·上海交大附中模拟预测）已知1z 、2C z ∈，且12i z =+，234z i =-（其中i 为虚数单位），则12z z -=____________．举一反三1．（2022·江苏·徐州市第七中学模拟预测）已知复数213i z z -=+，其中i 是虚数单位，则z =（） A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --2．（2022·上海奉贤·二模）已知11i z =+，223i z =+（其中i 为虚数单位），则__12z z +=________.（3）乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ ，特别22z z a b ⋅=+；例6：1．（2022·全国·高考真题）(22i)(12i)+-=（） A ．24i -+B ．24i --C ．62i +D ．62i -举一反三1．（2019·北京·高考真题（理））已知复数z =2+i ，则z z ⋅=AB C ．3D ．5（4）除法c diz a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：()()22ac bd ad bc ic di c di a bi z a bi a bi a bi a b++-++-==⋅=++-+；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

高考数学复数专题复习(专题训练) 百度文库

一、复数选择题1．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（） A ．()3,4B ．()4,3-C ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2．复数3(23)i +（其中i 为虚数单位）的虚部为（）A ．9iB ．46i -C ．9D ．46-3．设复数(,)z a bi a R b R =+∈∈，它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，且有1z =，则a b +=（）A ．-1B ．0C ．1D ．24．若复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为（）A ．5B C ．D ．5i 5．已知复数31i z i -=，则z 的虚部为（） A ．1B ．1-C ．iD ．i - 6．已知复数21i z i =-，则复数z 在复平面内对应点所在象限为（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．已知复数z 满足()311z i i +=-，则复数z 对应的点在（）上A ．直线12y x =-B ．直线12y x =C ．直线12x =-D ．直线12y 8．已知复数1z i i =+-（i 为虚数单位），则z =（）A ．1B ．iC iD i 9．设复数2i 1i z =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．复数12i z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 11．若()()324z ii =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 12．设复数z 满足41i z i =+，则z 的共轭复数z 在复平面内的对应点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限13．设a +∈R ，复数()()()242121i i z ai ++=-，若1z =，则a =（） A ．10 B ．9C ．8D ．7 14．已知i 是虚数单位，设复数22i a bi i -+=+，其中,a b ∈R ，则+a b 的值为（） A ．75 B ．75- C ．15 D ．15- 15．设复数z 满足(1)2i z -=，则z ＝（）A ．1BCD ．2二、多选题16．已知复数Z 在复平面上对应的向量(1,2),OZ =-则（）A ．z =-1+2iB ．|z |=5C ．12z i =+D ．5z z ⋅=17．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是（）A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =18．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 19．下列四个命题中，真命题为（）A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足1R z ∈，则z R ∈C ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z =20．（多选题）已知集合{},n M m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（）A ．()()11i i -+B ．11i i -+C ．11i i +-D ．()21i - 21．设复数z 满足1z i z +=，则下列说法错误的是（） A ．z 为纯虚数 B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z = 22．已知复数z 满足2724z i =--，在复平面内，复数z 对应的点可能在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 23．下列说法正确的是（）A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件24．已知复数1z =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数z w z =，则下列结论正确的有（）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 25．若复数z 满足(1i)3i z +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（）A ．|z |=B ．z 的实部是2C ．z 的虚部是1D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限26．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z += 27．下面四个命题，其中错误的命题是（） A ．0比i -大B ．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭复数C ．1x yi i +=+的充要条件为1x y ==D ．任何纯虚数的平方都是负实数28．已知复数z 满足23z z iz ai ⋅+=+，a R ∈，则实数a 的值可能是（） A ．1 B ．4- C ．0D ．5 29．已知复数z ，下列结论正确的是（）A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件C ．“z z =”是“z 为实数”的充要条件D ．“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件30．已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),且1a b +=,下列命题正确的是( ) A ．z 不可能为纯虚数B ．若z 的共轭复数为z ,且z z =,则z 是实数C ．若||z z =,则z 是实数D ．||z 可以等于12【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．D【分析】运用复数除法的运算法则化简复数的表示，最后选出答案即可.【详解】因为，所以在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点的坐标为.故选：D解析：D【分析】运用复数除法的运算法则化简复数534i i-的表示，最后选出答案即可. 【详解】因为55(34)15204334(34)(34)2555i i i i i i i i ⋅+-===-+--+，所以在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：D2．C【分析】应用复数相乘的运算法则计算即可.【详解】解：所以的虚部为9.故选：C.解析：C【分析】应用复数相乘的运算法则计算即可.【详解】解：()()()32351223469i i i i +=-++=-+所以()323i +的虚部为9.故选：C. 3．C【分析】根据复数的几何意义得．【详解】∵它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴，又，∴，∴．故选：C ．解析：C【分析】根据复数的几何意义得,a b ．【详解】∵z 它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴0a =，又1z =，∴1b =， ∴1a b +=．故选：C ．4．B【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模.【详解】，所以，故选：B解析：B【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模.【详解】(2)21z i i i =+=-，所以|z |=故选：B5．B【分析】化简复数，可得，结合选项得出答案．【详解】则，的虚部为故选：B解析：B化简复数z ，可得z ，结合选项得出答案．【详解】()311==11i i z i i i i i--=-=+- 则1z i =-，z 的虚部为1-故选：B6．B【分析】对复数进行化简，再得到在复平面内对应点所在的象限.【详解】，在复平面内对应点为，在第二象限.故选：B.解析：B【分析】对复数z 进行化简，再得到z 在复平面内对应点所在的象限.【详解】21i z i=-()()()2111i i i i +=+-()1+1+i i i ==-，z 在复平面内对应点为()1,1-，在第二象限. 故选：B.7．C【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可.【详解】解：因为，所以复数对应的点是，所以在直线上.故选：C.【点睛】本题考查复数的乘方和除法运解析：C【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可.【详解】解：因为33111(1)1(1)2(1)2i i z i i z i i --+=-⇔===-+-，所以复数z 对应的点是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以在直线12x =-上.【点睛】本题考查复数的乘方和除法运算，复数的坐标表示，属基础题.注意：()()()()()3211i 12121i i i i i +=++=-+=-. 8．D 【分析】先对化简，求出，从而可求出【详解】解：因为，所以，故选：D解析：D【分析】先对1z i i =+-化简，求出z ，从而可求出z【详解】解：因为1z i i i i =+-==，所以z i =，故选：D 9．D【分析】先求出，再求出，直接得复数在复平面内对应的点【详解】因为，所以，在复平面内对应点，位于第四象限.故选：D解析：D【分析】先求出z ，再求出z ，直接得复数z 在复平面内对应的点【详解】因为211i z i i ==++，所以1z i -=-，z 在复平面内对应点()1,1-，位于第四象限. 故选：D10．A【分析】对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果.【详解】由，知在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A.【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题解析：A【分析】对复数z 进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果.【详解】由()()()122112121255i i i z i i i i -===+++-，知在复平面内对应的点21,55⎛⎫ ⎪⎝⎭位于第一象限，故选：A.【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题.11．D【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果.【详解】，则复数对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D ．解析：D【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果.【详解】()()324(2)(4)76z i i i i i =+-=--=-，则复数z 对应的点的坐标为()7,6-，位于第四象限．故选：D ． 12．D【分析】先对化简，从而可求出共轭复数，再利用复数的几何意义可得答案【详解】解：因为，所以，所以共轭复数在复平面内的对应点位于第四象限，故选：D解析：D【分析】先对41i z i=+化简，从而可求出共轭复数z ，再利用复数的几何意义可得答案【详解】解：因为244(1)4(1)=2(1)22221(1)(1)2i i i i i z i i i i i i i i --===-=-=+++-，所以22z i =-，所以共轭复数z 在复平面内的对应点位于第四象限，故选：D13．D【分析】根据复数的模的性质求模，然后可解得．【详解】解：，解得.故选：D ．【点睛】本题考查复数的模，掌握模的性质是解题关键．设复数，则，模的性质：，，．解析：D【分析】根据复数的模的性质求模，然后可解得a ．【详解】解：()()()()24242422221212501111i i i i a ai ai ++++====+--，解得7a =. 故选：D ．【点睛】本题考查复数的模，掌握模的性质是解题关键．设复数(,)z a bi a b R =+∈，则z =模的性质：1212z z z z =，(*)n n z z n N =∈，1122z z z z =． 14．D【分析】先化简，求出的值即得解.【详解】，所以.故选：D解析：D【分析】先化简345i a bi -+=，求出,a b 的值即得解. 【详解】 22(2)342(2)(2)5i i i a bi i i i ---+===++-，所以341,,555a b a b ==-∴+=-. 故选：D 15．B【分析】由复数除法求得，再由模的运算求得模．【详解】由题意，∴．故选：B ．解析：B【分析】由复数除法求得z ，再由模的运算求得模．【详解】由题意22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，∴z == 故选：B ．二、多选题16．AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量，所以，，|z|=，，解析：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，得到复数12z i =-+，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，所以12z i =-+，12z i =--，|z 5z z ⋅=，故选：AD17．AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数，所以z 的虚部为1，，故AC 错误，BD 正确.故选：AC解析：AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =故AC 错误，BD 正确.故选：AC18．BC【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC【分析】分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z ，利用复数的概念可判断D 选项的正误.对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈；当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-，所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC. 19．AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数满足，设，其中，则，则选项A 正确；对选项B ，若复数满足，设，其中，且，则，则选项B 正确；对选项C ，若复数满足，设解析：AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数z 满足z R ∈，设z a =，其中a R ∈，则z R ∈，则选项A 正确；对选项B ，若复数z 满足1R z ∈，设1a z =，其中a R ∈，且0a ≠，则1z R a=∈，则选项B 正确；对选项C ，若复数z 满足2z ∈R ，设z i ，则21z R =-∈，但z i R =∉，则选项C 错误；对选项D ，若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，设1z i =，2z i =，则121z z ⋅=-∈R ，而21z i z =-≠，则选项D 错误；故答案选：AB【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.20．BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+；选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-；选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.21．AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.22．BD【分析】先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数，则，所以，则，解得或，因此或，所以对应的点为或，解析：BD【分析】先设复数(),z a bi a b R =+∈，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z ，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，则2222724z a abi b i =+-=--，所以2222724z a abi b i =+-=--，则227224a b ab ⎧-=-⎨=-⎩，解得34a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩，因此34z i =-或34z i =-+，所以对应的点为()3,4-或()3,4-，因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限.故选：BD.【点睛】本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.23．AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B 错误；当时解析：AD【分析】由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确；故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.24．ABC【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.【详解】对选项由题得.所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC【分析】对选项,A 求出1=22w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 的虚部为2,判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-1=2w ∴===-.所以复数w 对应的点为1(,22-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确；对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 所以选项D 错误. 故选：ABC【点睛】本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.25．ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数，根据共轭复数概念得到，即可判断.【详解】，，，故选项正确，的实部是，故选项正确，的虚部是，故选项错误，复解析：ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z ，根据共轭复数概念得到z ，即可判断.【详解】(1i)3i z +=+，()()()()3134221112i i i i z i i i i +-+-∴====-++-，z ∴==，故选项A 正确，z 的实部是2，故选项B 正确，z 的虚部是1-，故选项C 错误，复数2z i =+在复平面内对应的点为()2,1，在第一象限，故选项D 正确.故选：ABD .【点睛】本题主要考查的是复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示及几何意义，是基础题.26．ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-；因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102z z ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题． 27．ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，解析：ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，A 选项错误；对于B 选项，()()123i i ++-=，但1i +与2i -不互为共轭复数，B 选项错误；对于C 选项，由于1x yi i +=+，且x 、y 不一定是实数，若取x i =，y i =-，则1x yi i +=+，C 选项错误；对于D 选项，任取纯虚数()0,ai a a R ≠∈，则()220ai a =-<，D 选项正确.故选：ABC.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及共轭复数的概念、复数相等以及复数的计算，属于基础题.28．ABC【分析】设，从而有，利用消元法得到关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设，∴，∴，∴，解得：，∴实数的值可能是.故选：ABC.【点解析：ABC【分析】设z x yi =+，从而有222()3x y i x yi ai ++-=+，利用消元法得到关于y 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设z x yi =+，∴222()3x y i x yi ai ++-=+， ∴222223,23042,x y y a y y x a ⎧++=⇒++-=⎨=⎩， ∴244(3)04a ∆=--≥，解得：44a -≤≤， ∴实数a 的值可能是1,4,0-.故选：ABC.【点睛】本题考查复数的四则运算、模的运算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.29．BC【分析】设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设，则，则，若，则，，若，则不为纯虚数，所以，“”是“为纯虚数”必要不充分解析：BC【分析】设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数，所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件；若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要条件；22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选：BC.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.30．BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当时,,此时为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为,且,则,因此,B 正确;由是实数,且知,z 是实数,C 正确;由解析：BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当0a =时,1b =,此时z i 为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为z ,且z z =,则a bi a bi +=-,因此0b =,B 正确;由||z 是实数,且||z z =知,z 是实数,C 正确;由1||2z =得2214a b +=,又1a b +=,因此28830a a -+=,64483320∆=-⨯⨯=-<,无解,即||z 不可以等于12,D 错误. 故选：BC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。

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§ 1 复数的性质
一、复习要点
1．复数的有关概念和性质：
（1）两个复数相等的充要条件；
（2）复数是实数或纯虚数的充要条件；
（3）互为共轭的两个复数的性质；
（4）复数的辐角和模的性质．
2．复数运算中的几个常用结论：
（1）（1±ｉ）２＝±2ｉ，（1＋ｉ）／（1－ｉ）＝ｉ，（1－ｉ）／（1＋ｉ）＝－ｉ；
（2）ｉｎ＋ｉｎ＋１＋ｉｎ＋２＋ｉｎ＋3＝0（ｎ∈Ｚ）；
（3）设ω＝－（1／2）±（／2）ｉ，则ω3ｎ＝1；（1／ω）＝；ωｎ＋ωｎ＋１＋ωｎ＋２＝0（ｎ∈Ｚ）．
3．复习中应把握好的几个要点：
（1）复数的性质较多，在复习中，应尽量启发学生自己思考．要引导学生适时、恰当、准确地运用性质解题，培养自觉应用性质解题的习惯，以达到解题突破口的合理选择．
（2）应注意解题后的反思．反思解题时用到复数的何种性质，采用的是什么数学思想方法，寻求不同的解法，并且比较各种解法的优劣，进一步优化解题过程，提高学生的解题速度和解题能力．
二、例题讲解
例1（1）已知ａ，ｂ∈Ｒ，且ｂ＜0，ｚ１＝ａ＋ｂｉ，ｚ２＝ｂ－ａｉ，ａｒｇｚ１＝θ，则ａｒｇｚ２等于（）．
Ａ．π－θ
Ｂ．（π／2）＋θ
Ｃ．θ－（π／2）
Ｄ．（3π／2）－θ
（2）复数（2＋2ｉ）４／（1－ｉ）５等于（）．
Ａ．1＋ｉ
Ｂ．－1＋ｉ
Ｃ．1－ｉ
Ｄ．－1－ｉ
讲解：（1）显然ｚ１与ｚ２有联系，欲把ａｒｇｚ２用ａｒｇｚ１表示，当找出ｚ２与ｚ１的运算联系．仔细分析，得ｚ２＝－ｉｚ１．∴ａｒｇｚ２＝θ－（π／2），选Ｃ．
（2）本题结合了复数的乘方运算和除法运算，由于2＋2ｉ与1－ｉ的辐角均为特殊角，一个自然的思路是：先利用复数的三角式求得（2＋2ｉ）４＝－2６，（1－ｉ）５＝2４（1＋ｉ），∴原式＝－[4／（1＋ｉ）]＝－1＋ｉ，选Ｂ．
若认真思考一下选项，发现4个选项所给复数的对应点分别位于4个不同象限，则想到：只需算辐角，便能把正确选项分离出来．
∵2＋2ｉ的一个辐角是θ１＝π／4，1－ｉ的一个辐角是θ２＝－（π／3），∴所求复数的一个辐角为θ＝4θ１－5θ２＝π＋（5π／3）＝2π＋（2π／3），位于第二象限．故排除Ａ、Ｃ、Ｄ，选Ｂ．
例2设复数ｚ＝－＋ｉ，记ｕ＝（4／ｚ）３．
（1）求复数ｕ的三角形式；
（2）如果（ａ／ｚ）＋（ｂ／ｕ）＝ｚ＋2ｕ，求实数ａ、ｂ的值．
讲解：这道题的两问是有联系的．第（1）问最容易想到将ｚ＝－＋ｉ代入ｕ＝（4／ｚ）３后，先得到ｕ的代数式，再化成三角形式，但是要将（4／ｚ）３化成标准的代数形式是相当麻烦的，也易出错．事实上，要求ｕ的三角形式，只要求得｜ｕ｜及ａｒｇｕ即可．注意到复数有关性质就不难得解．第（2）问是先将ｕ和ｚ代入化简后，得到带有ａ、ｂ的复数代数恒等式，由复数相等的充要条件得关于ａ、ｂ的方程组，再解方程组即可．
（1）∵｜ｚ｜＝＝2，
∴｜ｕ｜＝｜（4／ｚ）３｜＝（4／｜ｚ｜）３＝2．
令ａｒｇｚ＝θ，则
ｃｏｓθ＝－（／2）＝－（／2），ｓｉｎθ＝1／2，
θ＝（5π／6），从而ａｒｇｕ＝－（5π／6）×3＋4π＝3π／2．
∴ｕ的三角形式为
ｕ＝
2（ｃｏｓ（3π／2）＋ｉｓｉｎ（3π／2））．
（2）由（1）知，ｕ＝－2ｉ，代入（ａ／ｚ）＋（ｂ／ｕ）＝ｚ＋2ｕ，得
－（／8）ａ－（（／8）ａ－（／4）ｂ）ｉ＝－－3ｉ．
由复数相等的充要条件，得方程组
（／8）ａ＝，
（／8）ａ－（／4）ｂ＝3．
解得ａ＝8，ｂ＝－8．
例3 已知复数ｚ１、ｚ２满足｜ｚ１｜＝｜ｚ２｜＝1，且｜ｚ１－ｚ２｜＝．
（1）求｜ｚ１＋ｚ２｜的值；
（2）求证（ｚ１／ｚ２）２＜0；
（3）求证对于任意实数a，恒有｜ｚ１－ａｚ２｜＝｜ｚ１＋ａｚ２｜．
讲解：（1）题除用代数式和三角式求解外，若注意到复数的性质ｚ·＝｜ｚ｜２，则由｜ｚ１｜＝｜
ｚ２｜＝1，得ｚ１
１
＝ｚ２
２
＝1，这时只要将｜ｚ１－ｚ２｜与｜ｚ１＋ｚ２｜分别改写成
与
即可．由ｚ１１
＝ｚ２
２
＝1及（ｚ１－ｚ２）
＝2，得
ｚ１
２
＋ｚ２１
＝0．
∴ （ｚ１＋ｚ２）（ｚ１
＋
２
）＝｜ｚ１｜２＋｜ｚ２｜２
＋ｚ１
２
＋ｚ２
１
＝2，
故｜ｚ１＋ｚ２｜＝
．
此题也可利用复数加减法的几何意义求解．（留给读者自己去完成）
（2）若（ｚ１／ｚ２）＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），则（ｚ１／ｚ２）２
＝ａ２
－ｂ２
＋2ａｂｉ，要证（ｚ
１
／ｚ２）２＜0，即证ａ２－ｂ２+2ａｂｉ∈Ｒ－
，
ａｂ＝0，但ｚ１≠0，∴ （ｚ１／ｚ２）≠0，∴ 只
能是ａ＝0．∴ 要证原命题，只要证（ｚ１／ｚ２）是纯虚数即可．因此，首先要在已知等式｜ｚ１－ｚ２｜＝
中变出（ｚ１／ｚ２）．
∵ ｜ｚ１－ｚ２｜＝
，｜ｚ２｜＝1，
∴ （｜ｚ１－ｚ２｜）／｜ｚ２｜＝
，即｜（ｚ１／ｚ２）－1｜＝
．
∴ （（ｚ１／ｚ２）－1）（＝2，即
（（ｚ１／ｚ２）－1）（（１
／
２
）－1）＝2，
也即（ｚ１
１
／ｚ２
２
）－（ｚ１／ｚ２）－（１
／
２
）＝1．
∴ （ｚ１／ｚ２）＋＝0．
设（ｚ１／ｚ２）＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），上式化为（ａ＋ｂｉ）＋（ａ－ｂｉ）＝0，即ａ＝0．又∵ ｚ１≠0，∴ ａ、ｂ不能全为零，∴ ｂ≠0．则（ｚ１／ｚ２）＝ｂｉ（ｂ∈Ｒ，ｂ≠0）． ∴ （ｚ１／ｚ２）２
＝－ｂ２
＜0．
若注意到｜ｚ１＋ｚ２｜＝｜ｚ１－ｚ２｜及ｚ１与ｚ２加减法的几何意义，不难得出｜ｚ１＋ｚ２｜与｜ｚ
１
－ｚ２｜恰为同一平行四边形的两条对角线长，而已知恰是此平行四边形为正方形的条件，则会得出简
解．（请读者证明，并加以比较）（3）利用复数性质｜ｚ｜２
＝ｚ·证左、右两边等于同一个值即可．（留给读者完成）
三、专题训练 1．已知复数ｚ＝＋
ｉ，则ａｒｇ（1／ｚ）是（）．
Ａ．π／6
Ｂ．11π／6 Ｃ．π／3
Ｄ．5π／3
2．已知ｚ１＝－（1／2）＋（／2）ｉ，ｚ２＝－（1／2）－（／2）ｉ，并且＝ｉ，那么ｎ可以取（）．
Ａ．6
Ｂ．8
Ｃ．1
Ｄ．12
3．复数ｚ１＝3＋ｉ，ｚ２＝ａ－ｉ，ｚ＝ｚ１·ｚ２，则是实数与是纯虚数的充要条件分别是（）．
Ａ．ａ＝3与ａ＝－（1／3）
Ｂ．ａ＝－（1／3）与ａ＝3
Ｃ．ａ＝3与ａ＝（1／3）
Ｄ．ａ＝（1／3）与ａ＝3
4．（（1－ｉ）６／（－1－ｉ）３）＋（（1＋ｉ）／（1－ｉ））３的值等于（）．
Ａ．0
Ｂ．2ｉ
Ｃ．－2ｉ
Ｄ．ｉ
5．已知ｉ＝－－ｉ，则｜ｚ｜＝________，ａｒｇｚ＝________．
6．已知关于x的实系数方程x２-2ax+a２-4a+4=0的两虚根分别为x１、x２,且|x１|+|x２|=3,则a的值为________．
7．给出下列命题：
a,b∈R，且a=b是（a-b）+（a+b）i为纯虚数的充要条件；
ｚ１、ｚ２为复数，ｚ１-ｚ２＞0是ｚ１＞ｚ２的必要条件；
复数z的辐角主值为θ是z２的辐角主值为2θ的充分条件；④非零复数ｚ１、ｚ２对应的向量
与垂直的充要条件是ｚ１=ki·ｚ２（k∈R，且k≠0）．
其中正确命题的序号为________．
8．设复数ｚ１、ｚ２、ｚ３满足ｚ１２＋ｚ３ｚ１＋ｚ３ｚ２＝0，且ｚｉ≠0（ｉ＝1，2，3），求ａｒｇ（ｚ１＋ｚ３／ｚ２＋ｚ３）．
9．设非零复数z的辐角主值为（3π／4），且z３+2（z２-zi）是实数．
（1）求复数z；
（2）若w＝ｃｏｓθ＋isinθ（0≤θ≤2π），求|z-w|的最大值与最小值．
10．设ｚ１，ｚ２∈Ｃ，w＝ｚ１ｚ２＋ｚ２ｚ1，ｕ＝ｚ１ｚ1＋ｚ２２．问w与ｕ能否比较大小．如果能，比较它们的大小；如果不能，说明理由．。

高考数学专题复习讲练测——专题六 复数 专题复习讲练 1 复数的性质