2019届高三上学期期末考试数学(理)试题及答案解析

高三上学期 期末考试
数学试卷（理科）
一、选择题（每题5分，共60分） 1．设R U =，⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤≤-
+==2121,12x x y y M ，错误！未找到引用源。

(){}
x x y x N 3lg 2+==，则()N M C U ⋂ =（ ）错误！未找到引用源。

.
A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

2、抛物线y x 82-=的准线方程是( )
A. 321=
x B. 32
1
=y C. 2x = D. 2=y 3、已知动点与定点)0,1(M 、)0,3(N ,满足：2=-PN PM ，则点的轨迹是（ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线 4、等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S 等于（ ） A ．66 B ． 99 C ．144 D ．297 5、已知βα,都是锐角，13
5
cos ,54sin ==
βα，则=-)sin(αβ（ ） A ．6516-
B. 6516
C.6556-
D.65
56
6、设错误！未找到引用源。

b a ,是两条不同直线，βα,错误！未找到引用源。

是两个不同平面，,,βα⊥⊂b a 错误！未找到引用源。

则βα//错误！未找到引用源。

是b a ⊥的（ ）条件.
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分又不必要
7、在错误！未找到引用源。

中，错误！未找到引用源。

为错误！未找到引用源。

的三等分点，则错误！未找到引用源。

. A.
98 错误！未找到引用源。

B. 9
10 错误！未找到引用源。

C. 925错误！未找到引用源。

D. 9
16错误！未找到引用源。

8、已知点错误！未找到引用源。

均在球错误！未找到引用源。

上，错误！未找到引用源。

，若三棱锥错误！未找到引用源。

体积的最大值为
4
3
3，
则球错误！未找到引用源。

的表面积为（ ）.
A. 错误！未找到引用源。

B. π16
C.π12 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

9、设一个几何体三视图如图所示，则该几何体体积为（ ）. A ．
3
16
错误！未找到引用源。

B. 3
20 C.
215 D. 2
13 10、设R n m ∈,，若直线()()0211=-+++y n x m 错误！未找到引用源。

与圆()()1112
2
=-+-y x 相切， 则n m +的取值范围是（ ）.
A ．错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

11、已知函数4
3),0,(cos sin )(π
=∈≠-=x R x a b a x b x a x f 在常数，处取得最小值， 则函数)4
(
x f y -=π
是（ ）
A. 偶函数且它的图像关于点)0,(π对称
B. 偶函数且它的图像关于点)0,2
3(π
对称 C. 奇函数且它的图像关于点)0,2
3(
π
对称 D. 奇函数且它的图像关于点)0,(π对称 12、已知()x f 为偶函数，且错误！未找到引用源。

()()4-=x f x f ，在区间错误！未找到引用源。

[]
2,0上，()⎪⎩
⎪⎨⎧≤<+≤≤+--=-21,2210,52
32x x x x x f x x 错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

()a x g x +⎪⎭⎫
⎝⎛=21， 若()()()x g x f x F -=恰好有4个零点，则a 的取值范围是（ ） . A.⎪⎭⎫
⎝⎛819,
2 B.()3,2 C.⎥⎦
⎤ ⎝⎛819,2 D.(]3,2 二、填空题（每题5分，共20分）
13、已知{}n a 是等比数列，n S 是n a 的前n 项和，若,6,4
3
5421=+=
+a a a a 错误！未找到引用源。

，则=6S 错误！未找到引用源。

__________.
14、椭圆C 的中心在原点，焦点在轴，若椭圆的离心率为
2
1
，且它的一个顶点恰好是抛物线y x 382=错
误！未找到引用源。

的焦点，则椭圆的标准方程为______________.
15、设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的两条渐近线分别交于点B A ,,若
点)0,(m P 满足PB PA =，则该双曲线的离心率是________．
16、下列命题中:
(1)4a =，0
30A =，若ABC ∆唯一确定，则04b <≤．
(2)若点(1,1)在圆2240x y mx y ++-+=外，则的取值范围是()5,-+∞；
(3)若曲线
22
141x y k k
+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是)4,(),1(--∞+∞U ； (4)将函数)3
2cos(π
-
=x y )(R x ∈的图象向左平移
3
π
个单位，得到函数x y 2cos =的图象． (5)已知双曲线方程为12
2
2
=-y x ，则过点)1,1(P 可以作一条直线l 与双曲线交于B A ,两点，使点是线段AB 的中点.正确的是 (填序号)
三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、已知函数()12++-=x a x x f ，
（1）当1=a 时，解不等式()3<x f ；（2）若()x f 的最小值为1，求：a 的值。

18、已知函数())6
2sin(cos 22
π
-
+=x x x f
（1）求函数()x f 的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x 的取值集合； （2）已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2,2
3
=+=c b A f ，求实数a 的取值范围。

19、已知数列{}n a 中，,11=a 其前n 项和为n S ，且满足)2(,1
222
≥-=n S S a n n
n
（1）求证：数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n S 1是等差数列；
（2）求：前n 项和公式n S ； （3）证明：当2≥n 时，2
31...3121321<++++n S n S S S 。

20、(本小题满分12分）如图,在四棱锥ABCD P -中, 平面
⊥
PAD 平面
ABCD
,
AB ∥,DC PA PD =,已,102==DC AB 83
4
==
AD BD (1) 设M 是PC 上的一点,求证:平面⊥MBD 平面PAD ;
(2) 当三角形PAD 为正三角形时，点M 在线段PC （不含线段端点）上的什么位置时，
二面角M AD P --的大小为3
π。

21、（本小题满分12分）已知21,F F 是椭圆14
22
2=+y x 的两焦点，是椭圆在第一象限弧上一点，且满足 121=⋅PF 过点作倾斜角互补的两条直线PB PA 、分别交椭圆于B A ,两点，
1）求点坐标;
2）求证:直线AB 的斜率为定值; 3）求PAB ∆面积的最大值.
22、已知函数()⎩⎨⎧≥<+-=1
,ln 1
,23x x a x x x x f
（1）当1≥a 时，求()x f 在[]e ,0（e 为自然对数的底数）上的最大值；
（2）对任意的正实数a ，问：曲线()x f y =上是否存在两点P,Q ，使得POQ ∆(O 为坐标原点)是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？
高三上末理数答案 CDDBBA BBDADA
463;1121622=+y x ;2
5
;(3)
17、（1）（-1，1） （2）a=0或a=-4
18、（1）Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-,6,3ππππ；()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x x f ,6,2max ππ （2）[)2,1∈a
19、121
-=n S n
20、134=λ或13
9
=λ
21、（1）P （1，2） （2）2=AB k
（3）,2max =S 22、（1）()a x f =max
（2）存在。