2014届高三一轮数学(理)复习第32讲等比数列的概念及基本运算
高三 一轮复习 等比数列 教案
等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n ＝q .(2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.1．在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.2．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误． [试一试]1．在1和9之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的和为________．2．(2014·徐州摸底)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝18，S 3＝26，则{a n }的公比q ＝________.1．等比数列的三种判定方法(1)定义：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(2)通项公式：a n ＝cq n －1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． 2．等比数列的常见性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(2)若数列{a n }、{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }、⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 、{a 2n }、{a n ·b n}、⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn (λ≠0)仍然是等比数列；(3)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k ；(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列． 3．求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和的公式中联系着五个量：a 1，q ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在解题中根据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ；在判断等比数列单调性时，也必须对a 1与q 分类讨论．[练一练]1．(2010·江苏高考)函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．2．已知数列{a n }是公比q ≠±1的等比数列，则在{a n ＋a n ＋1}，{a n ＋1－a n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1，{na n }这四个数列中，是等比数列的有________个． 答案：3考点一等比数列的基本运算1.(2013·盐城三调)在等比数列{a n }中，若a 2＝－2，a 6＝－32，则a 4＝________.2．(2014·扬州模拟)已知等比数列{a n }中，公比q >1，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则a 2 013＋a 2 014a 2 011＋a 2 012＝________.3．设等比数列{a n}的公比q<1，前n项和为S n，已知a3＝2，S4＝5S2，求{a n}的通项公式．[类题通法]1．对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用．2．在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比q是否等于1进行判断和讨论．考点二等比数列的判定与证明[典例]已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＋S n＝n.(1)设c n＝a n－1，求证：{c n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式．在本例条件下，若数列{b n}满足b1＝a1，b n＝a n－a n－(n≥2), 证明{b n}是等比数列.1证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可． [针对训练]已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a (a ≠0)，a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n(其中p 为非零常数，n ∈N *)．(1)判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是不是等比数列； (2)求a n .考点三等比数列的性质[典例] (1)(2014·苏州期末)在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7＝－8，则a 2a 8＝________.(2)(2014·盐城二模)若等比数列{a n }满足a m －3＝4且a m a m －4＝a 24(m ∈N *且 m >4)，则a 1a 5的值为________．等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． [针对训练]1．(2014·苏北四市调研)已知在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝12，a 3＋a 4＝1，则a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝________.2．(2014·南京二模)已知等比数列{a n }的公比q >0，a 2＝1，a m ＋2＋a m ＋1＝6a m ，则{a n }的前4项和是________．[课堂练通考点]1．(2014·南京学情调研)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，S n 为其前n 项和，则S 4a 4＝________.2．(2014·连云港期末)在正项等比数列{a n }中，a 3a 11＝16，则log 2a 2＋log 2a 12＝________.3．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋2a 2＝3，a 24＝4a 3a 7，则数列{a n }的通项公式为________．4．已知数列{a n }是等比数列，a 1，a 2，a 3依次位于下表中第一行，第二行，第三行中的某一格内，又11。
2014届高考一轮复习数学基础知识数列(新人教A版)Word版
高中数学第三章数列考试内容：数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题．§03. 数列知识要点1. ⑴等差、等比数列：⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：①②2()③(为常数).⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：①②(，)①注①：i. ，是a、b、c成等比的双非条件，即a、b、c等比数列.ii. （ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.iii. →为a、b、c等比数列的必要不充分.iv. 且→为a、b、c等比数列的充要.注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.③(为非零常数).④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.⑷数列{}的前项和与通项的关系：[注]：①（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若不为0，则是等差数列充分条件）.②等差{}前n项和→可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件.③非零．．常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍；②若等差数列的项数为2，则；③若等差数列的项数为，则，且，.3. 常用公式：①1+2+3 …+n =②③[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…；5，55，555，….4. 等比数列的前项和公式的常见应用题：⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为. 其中第年产量为，且过年后总产量为：⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元. 因此，第二年年初可存款： =.⑶分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；为年利率. ()()()()()()()()1111111 (1112)1-++=⇒-+=+⇒++++++=+--m mm mm m mr r ar x r r x r a x r x r x r x r a 5. 数列常见的几种形式：⑴（p 、q 为二阶常数）用特证根方法求解.具体步骤：①写出特征方程（对应，x 对应），并设二根②若可设，若可设；③由初始值确定. ⑵（P 、r 为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n 转化为的形式，再用特征根方法求；④（公式法），由确定. ①转化等差，等比：. ②选代法： .③用特征方程求解：. ④由选代法推导结果：. 6. 几种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前项和为，在时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法： 一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数.2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证为同一常数。
【高考复习方案 】2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第32讲 数列的综合应用
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第32讲
数列的综合应用
• 点 面 讲 考 向
[ 思考流程 ] 条件：给出满足一定条件的数列 {an} 和 {bn}．目标：(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)求参数的取值 范围．方法：(1)先求数列{an}的公比，即可求数列{an}的通 bn n－1 项公式，通过 Tn＝n bn，推出 ＝ ，利用累乘法求出 bn－1 n＋1
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第32讲
数列的综合应用
► 探究点一
等差等比数列的综合问题
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例 1 [2013· 宁波二模] 设公比大于零的等比数列{an}的 1，S4＝5S2，数列{bn}的前 n 项和为 点 前 n 项和为 Sn，且 a1＝ 面 Tn，满足 b1＝1，Tn＝n2bn，n∈N*. 讲 (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 考 (2)设 cn＝(Sn＋1)(nbn－λ)，若数列{cn}是递减数列，求实 向 数 λ 的取值范围．
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第32讲
数列的综合应用
3＋（－1）n 解：(1)因为 dn＝ ， 2
• 点 面 讲 考 向
3×2n 所以 an＝d1＋d2＋d3＋„＋d2n＝ 2 ＝3n. 故数列{an}的通项公式为 an＝3n. 因为 b2， b4 为方程 x2－20x＋64＝0 的两个不相等的实 数根， 所以 b2＋b4＝20， b2 · b4＝64.又数列{bn}的公比大于 1， 解得 b2＝4，b4＝16，故 q＝2，a1＝2，所以数列{bn}的通 项公式为 bn＝2n.
2 ＝ ， n（n＋1） 2 所以 bn＝ ，当 n＝1 时也满足． n（n＋1） 2 故数列{bn}的通项公式为 bn＝ . n（n＋1）
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第32讲
高中数学等比数列知识点总结
《高中数学等比数列知识点总结》在高中数学的学习中，等比数列是一个重要的知识点。
它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还为其他学科的学习提供了重要的数学工具。
本文将对高中数学等比数列的知识点进行全面总结。
一、等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
例如：数列 2，4，8，16，32……就是一个等比数列，公比 q= 2。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式为\(a_n = a_1q^{n - 1}\)，其中\(a_n\)表示数列的第 n 项，\(a_1\)表示数列的首项，q 表示公比。
1. 推导过程- 设等比数列\(\{ a_{n}\}\)的首项为\(a_1\)，公比为 q。
- 则\(a_{2}=a_{1}q\)，\(a_{3}=a_{2}q = a_{1}q^{2}\)，\(a_{4}=a_{3}q = a_{1}q^{3}\)……- 由此可归纳出等比数列的通项公式\(a_n = a_1q^{n -1}\)。
2. 通项公式的应用- 已知等比数列的首项和公比，可以求出数列的任意一项。
- 已知等比数列的任意两项，可以求出公比和其他项。
三、等比中项如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。
1. 等比中项的性质- \(G^{2}=ab\)。
- 若\(a\)，\(b\)同号，则等比中项有两个，且互为相反数。
2. 应用举例- 已知两个数的积和其中一个数，可以求出另一个数的等比中项。
四、等比数列的前 n 项和公式等比数列的前 n 项和公式为\(S_{n}=\begin{cases}na_{1},(q = 1)\\\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1- q},(q\neq1)\end{cases}\)。
《等比数列的概念》课件
03
等比数列的应用
等比数列在数学中的应用
解题技巧
等比数列是数学中常见的数列类型， 它在解决数学问题时具有广泛的应用 。例如，在求解一些复杂数学问题时 ，可以利用等比数列的性质简化计算 过程。
公式推导
等比数列的通项公式和求和公式在数 学中经常被用来推导其他公式或解决 一些复杂的数学问题。这些公式是等 比数列应用的基石，能够提供解决问 题的有效途径。
等比数列的公比
总结词
表示等比数列中任意两项的比值
详细描述
等比数列的公比是任意两项的比值，通常用字母 q 表示。公比是等比数列中相 隔一项的两个数的比值，即 a_n/a_(n-1)。公比反映了等比数列中每一项与前一 项的比值。
等比数列的项数与项的关系
总结词
表示等比数列中项数与项的关系
详细描述
在等比数列中，任意一项的值可以用首项、公比和项数来表 示。例如，第 n 项的值可以用 a_n=a_1×q^(n-1) 来表示， 其中 a_1 是首项，q 是公比，n 是项数。这个公式揭示了等 比数列中项数与项的关系。
《等比数列的概念》ppt课件
目录 Contents
• 等比数列的定义 • 等比数列的性质 • 等比数列的应用 • 练习题与答案
01
等比数列的定义
等比数列的文字定义
总结词：简洁明了
详细描述：等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项之间的比值都相等 。
等比数列的数学符号定义
总结词：专业严谨
详细描述：等比数列通常表示为 a_n，其中 a 是首项，r 是公比，n 是项数。其数学定义是 a_n = a * r^(n-1)，其中 r ≠ 0。
等比数列与等差数列的区别
总结词：对比分析
高考数学一轮总复习 第32讲 等差、等比数列的概念及基本运算考点集训 理 新人教A版
考点集训(三十二) 第32讲 等差、等比数列的概念及基本运算1．给出下列等式：①a n ＋1－a n ＝p (p 为常数，n ∈N *)；②2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)；③a n＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)，则无穷数列{a n }为等差数列的充要条件是A ．①B ．①③C ．①②D ．①②③2．已知数列a ，a (1－a )，a (1－a )2，…构成等比数列，则实数a 满足A ．a ≠1B ．a ≠0或a ≠1C ．a ≠0D ．a ≠0且a ≠13．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝A ．8B ．7C ．6D ．54．设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则 A ．S n ＝2a n －1 B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n5．等比数列{a n }的公比q ＞0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝__________．6．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝__________．7．已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．8．在数列{a n }中，a 1＝1，3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)．(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列； (2)求数列{a n }的通项；(3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．9．设数列{a n}的前n项和为S n，且满足2a n－S n＝1，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)在数列{a n}的任意相邻两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列{b n}；a n 和a n＋1两项之间插入n个数，使这n＋2个数构成等差数列，求b2 015的值；(3)对于(2)中的数列{b n}，若b m＝a n，试求b1＋b2＋b3＋…＋b m.(用n表示)第32讲 等差、等比数列的概念及基本运算【考点集训】1．D 2.D 3.D 4.D 5.152 6.327．【解析】(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4.当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2.(2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n<60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n[2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0，解得n>40或n<－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.8．【解析】(1)由3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)得， 1a n －1a n －1＝3(n ≥2)，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列．(2)由(1)可得，1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2.∴a n ＝13n －2.(3)λa n ＋1a n ＋1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立，即λ3n －2＋3n ＋1≥λ对任意n ≥2(n ∈N *)恒成立．整理得λ≤（3n ＋1）（3n －2）3（n －1）(n ≥2，n ∈N *)，令C n ＝（3n ＋1）（3n －2）3（n －1），C n ＋1－C n ＝（3n ＋4）（3n ＋1）3n －（3n ＋1）（3n －2）3（n －1）＝（3n ＋1）（3n －4）3n （n －1）因为n ≥2，所以C n ＋1－C n ＞0， ∴{C n }为单调递增数列，C 2最小，且C 2＝283， 故λ的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，283. 9．【解析】(1)当n ＝1时，由2a 1－S 1＝1⇒a 1＝1，又2a n ＋1－S n ＋1＝1，与2a n －S n ＝1相减得a n ＋1＝2a n ，故数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n －1.(2)设a n 和a n ＋1两项之间插入n 个数后，这n ＋2个数构成的等差数列的公差为d n ，则d n ＝a n ＋1－a n n ＋1＝2n －1n ＋1， 又(1＋2＋3＋…＋62)＋62＝2 015，故b 2 015＝a 63－d 62＝262－26163＝125126×261； (3)依题意，b 1＋b 2＋b 3＋…＋b m＝3（a 1＋a 2）2＋4（a 2＋a 3）2＋5（a 3＋a 4）2＋…＋（n ＋1）（a n －1＋a n ）2－(a 2＋a 3＋…＋a n －1)＝12[3a 1＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n ＋1)a n ]－12na n ， 考虑到a n ＋1＝2a n ，令M ＝3a 1＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n ＋1)a n ，则2M ＝3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n ＋1)a n ＋12M －M ＝－2(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )－a 1＋(2n ＋1)a n ＋1⇒M ＝(2n －1)2n ＋1，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b m ＝12M －12na n ＝(3n －2)·2n －2＋12.。
等比数列知识点总结
等比数列知识点总结知识点是在教育实践中，对某一个知识的泛称，多用于口语化，特指教科书上或考试的知识。
下面是等比数列知识点总结，请参考！等比数列知识点总结1、等比数列的定义：2、通项公式：a n =a 1q n -1=a 1n q =A B n (a 1q ≠0, A B ≠0)，首项：a 1；公比：qa n q =n a m a n =q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)，q 称为公比 a n -1推广：a n =a m q n -m q n -m =3、等比中项：（1）如果a , A , b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：A 2=ab 或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（（2）数列{a n }是等比数列a n 2=a n -1a n +14、等比数列的前n 项和S n 公式：（1）当q =1时，S n =na 1（2）当q ≠1时，S n ==a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q a 1a -1q n =A -A B n =A ' B n -A ' （A , B , A ', B ' 为常数） 1-q 1-q5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有a n +1=qa n 或a n +1=q (q 为常数，a n ≠0) {a n }为等比数列 a n（2）等比中项：a n 2=a n +1a n -1(a n +1a n -1≠0) {a n }为等比数列（3）通项公式：a n =A B n (A B ≠0){a n }为等比数列6、等比数列的证明方法： a 依据定义：若n =q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)或a n +1=qa n {a n }为等比数列 a n -17、等比数列的性质：（2）对任何m , n ∈N *，在等比数列{a n }中，有a n =a m q n -m 。
等比数列中知识点总结
等比数列中知识点总结一、等比数列的概念等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
具体而言，如果一个数列满足an=ar^(n-1)，其中a是首项，r是公比，n是项数，那么这个数列就是等比数列。
公比r是等比数列中相邻两项的比值，它代表着数列中每一项与前一项的比例关系。
二、等比数列的通项公式对于等比数列an=a1*r^(n-1)，我们可以通过求出前n项和来求解其通项公式。
等比数列的前n项和Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)。
通过这两个公式，我们可以方便地求解等比数列的通项公式，从而推导出数列中任意一项的值。
三、等比数列的性质1. 等比数列的前n项和公式在等比数列中，前n项和Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中a1是首项，r是公比，n是项数。
这个公式可以帮助我们快速计算出数列的前n项和，从而对数列进行更深入的分析和应用。
2. 等比数列的性质等比数列具有许多重要的性质，例如任意一项与它的前一项的比值都是相等的，序列中相邻两项的比值等于公比r等。
这些性质使得等比数列可以在实际问题中被广泛地应用，例如在金融、生物、工程等领域中。
3. 等比数列的图像等比数列的图像是一条直线，其斜率等于公比r。
通过绘制等比数列的图像，我们可以更直观地理解数列中项与项之间的比例关系，从而更深入地理解等比数列的性质和应用。
四、等比数列的应用等比数列在实际问题中有许多重要的应用，下面我们就来介绍一些常见的应用领域。
1. 财务投资在财务投资中，等比数列可以用来描述利息的增长规律。
例如，如果某个投资方案的收益率是一个固定的百分比，那么这个投资方案的收益可以用等比数列来描述。
通过等比数列的通项公式，我们可以轻松地计算出不同时间段内的收益总额。
2. 生物学在生物学研究中，等比数列可以用来描述生物种群的增长规律。
例如，如果某种动植物的数量每一代都以相同的比例增长，那么这个生物种群的数量可以用等比数列来描述。
通过等比数列的通项公式，我们可以预测未来某一时刻该种群的数量。
高中数学《等比数列的概念及通项公式》知识点讲解及重点练习
§4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念及通项公式学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形．知识点一等比数列的概念1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．递推公式形式的定义：a na n－1＝q(n∈N *且n>1)⎝⎛⎭⎫或a n＋1a n＝q，n∈N*.思考为什么等比数列的各项和公比q均不能为0?答案由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为0，因此q也不能为0.知识点二等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.思考当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？答案不一定，如数列0,0,5就不是等比数列．知识点三等比数列的通项公式若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则a n＝a1q n－1(n∈N*)．知识点四等比数列通项公式的推广和变形等比数列{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1①＝a m q n－m②＝a1 q·qn.③其中当②中m＝1时，即化为①.当③中q>0且q≠1时，y＝a1q·qx为指数型函数．1．数列1，－1,1，－1，…是等比数列．( √ )2．若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．( × )3．等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．( × )4．常数列一定为等比数列．( × )一、等比数列中的基本运算例1 在等比数列{a n }中：(1)a 1＝1，a 4＝8，求a n ；(2)a n ＝625，n ＝4，q ＝5，求a 1；(3)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .解 (1)因为a 4＝a 1q 3，所以8＝q 3，所以q ＝2，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1.(2)a 1＝a n q n －1＝62554－1＝5， 故a 1＝5.(3) 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ①a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ② 由②①，得q ＝12，从而a 1＝32. 又a n ＝1，所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，故n ＝6.反思感悟 等比数列的通项公式涉及4个量a 1，a n ，n ，q ，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．跟踪训练1 在等比数列{a n }中：(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a 5；(2)若a 4＝2，a 7＝8，求a n .解 (1)因为a 5＝a 1q 4，而a 1＝5，q ＝a 2a 1＝－3， 所以a 5＝405.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ② 由②①得q 3＝4， 从而q ＝34，而a 1q 3＝2，于是a 1＝2q 3＝12， 所以a n ＝a 1q n －1＝2532n -.二、等比中项的应用例2 如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝__________，ac ＝___________. 答案 －3 9解析 因为b 是－1，－9的等比中项，所以b 2＝9，b ＝±3.又等比数列奇数项符号相同，得b <0，故b ＝－3，而b 又是a ，c 的等比中项，故b 2＝ac ，即ac ＝9.反思感悟 (1)由等比中项的定义可知G a ＝b G⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab ，所以只有a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．(3)a ，G ，b 成等比数列等价于G 2＝ab (ab >0)．跟踪训练2 在等比数列{a n }中，a 1＝－16，a 4＝8，则a 7等于( )A ．－4B ．±4C ．－2D ．±2答案 A解析 因为a 4是a 1与a 7的等比中项，所以a 24＝a 1a 7，即64＝－16a 7，故a 7＝－4.三、等比数列通项公式的推广及应用例3 在等比数列{a n }中．(1)已知a 3＝4，a 7＝16，且q >0，求a n ；(2)若{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，求通项公式a n .解 (1)∵a 7a 3＝q 7－3＝q 4＝4， ∴q 2＝2，又q >0，∴q ＝2，∴a n ＝a 3·q n －3＝4·(2)n －3＝122n +(n ∈N *)．(2)由a 25＝a 10＝a 5·q 10－5，且a 5≠0， 得a 5＝q 5，即a 1q 4＝q 5，又q ≠0，∴a 1＝q .由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1得，2a n (1＋q 2)＝5qa n ，∵a n ≠0，∴2(1＋q 2)＝5q ，解得q ＝12或q ＝2. ∵a 1＝q ，且{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2. ∴a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)．反思感悟 (1)应用a n ＝a m q n －m ，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a 1.(2)等比数列的单调性由a 1，q 共同确定，但只要单调，必有q >0.跟踪训练3 已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( )A ．21B ．42C ．63D ．84答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.四、灵活设元求解等比数列问题例4 (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．答案 45解析 (1)设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3，则a －1，aq －1，aq 2－4，aq 3－13成等差数列．即⎩⎪⎨⎪⎧ 2(aq －1)＝(a －1)＋(aq 2－4)，2(aq 2－4)＝(aq －1)＋(aq 3－13)，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a (q －1)2＝3，aq (q －1)2＝6， 解得a ＝3，q ＝2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数．解 方法一 设前三个数分别为a q，a ，aq ， 则a q·a ·aq ＝216， 所以a 3＝216.所以a ＝6.因此前三个数为6q，6,6q . 由题意知第4个数为12q －6.所以6＋6q ＋12q －6＝12，解得q ＝23. 故所求的四个数为9,6,4,2.方法二 设后三个数为4－d,4,4＋d ，则第一个数为14(4－d )2， 由题意知14(4－d )2×(4－d )×4＝216， 解得4－d ＝6.所以d ＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.反思感悟 几个数成等比数列的设法(1)三个数成等比数列设为a q，a ，aq . 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，a q 2，a q，a ，aq ，aq 2，… (2)四个符号相同的数成等比数列设为a q 3，a q，aq ，aq 3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，a q 5，a q 3，a q，aq ，aq 3，aq 5，… (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a ，aq ，aq 2，aq 3.跟踪训练4 在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或352B ．4或352C ．4D.352答案 B解析 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22. 由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20. ∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5.当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝352.1．在等比数列{a n }中，若a 2＝4，a 5＝－32，则公比q 应为( )A ．±12B ．±2 C.12D ．－2 答案 D解析 因为a 5a 2＝q 3＝－8，故q ＝－2. 2．(多选)已知a 是1,2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( )A ．6B ．－6C ．－12D ．12答案 AB解析 ∵a ＝1＋22＝32，b 2＝(－1)×(－16)＝16，b ＝±4， ∴ab ＝±6.3．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )A ．4B ．8C ．6D ．32答案 C解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6.4．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n 等于( )A ．(－2)n －1B ．－(－2n －1) C ．(－2)nD ．－(－2)n 答案 A解析 设公比为q ，则a 1q 4＝－8a 1q ，又a 1≠0，q ≠0，所以q 3＝－8，q ＝－2，又a 5＞a 2，所以a 2＜0，a 5＞0，从而a 1＞0，即a 1＝1，故a n ＝(－2)n －1.5．在等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则数列{a n }的公比为________，通项公式为a n ＝______________.答案 ±2 (－2)n 或－2n解析 ∵a 3a 1＝q 2， ∴q 2＝－8－2＝4，即q ＝±2. 当q ＝－2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n ；当q ＝2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×2n －1＝－2n .1．知识清单：(1)等比数列的概念．(2)等比数列的通项公式．(3)等比中项的概念．(4)等比数列的通项公式推广．2．方法归纳：方程(组)思想、构造法、等比数列的设法．3．常见误区：(1)x ，G ，y 成等比数列⇒G 2＝xy ，但G 2＝xy ⇏x ，G ，y 成等比数列．(2)四个数成等比数列时设成a q 3，a q，aq ，aq 3，未考虑公比为负的情况． (3)忽视了等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同而出错．1．在数列{a n }中，若a n ＋1＝3a n ，a 1＝2，则a 4为( )A ．108B ．54C ．36D ．18答案 B解析 因为a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }是公比为3的等比数列，则a 4＝33a 1＝54.2．(多选)在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项为( ) A ．－4 B ．4 C ．－14 D.14答案 AB解析 由题意得a 26＝a 4a 8，因为a 1＝18，q ＝2， 所以a 4与a 8的等比中项为±a 6＝±4.3．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．81答案 B解析 ∵a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍去)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.4．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为( ) A. 2 B ．4 C ．2 D.12答案 C解析 因为a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中的连续三项，所以a 23＝a 1a 7，设数列{a n }的公差为d ，则d ≠0，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，所以a 1＝2d ，所以公比q ＝a 3a 1＝4d 2d＝2. 5．若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则数列{a n }的通项公式a n 等于( )A ．22n －1B ．2nC ．22n ＋1D ．22n －3答案 A解析 由a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0， 得(a n ＋1－4a n )·(a n ＋1＋a n )＝0.又{a n }是正项数列，所以a n ＋1－4a n ＝0，a n ＋1a n＝4. 由等比数列的定义知数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列．由等比数列的通项公式，得a n ＝2×4n －1＝22n －1.6．若{a n }为等比数列，且a 3＋a 4＝4，a 2＝2，则公比q ＝________.答案 1或－2解析 根据题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＋a 1q 3＝4，a 1q ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，q ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－1，q ＝－2.7．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，且a 1＝________，d ＝________.答案 23－1 解析 ∵a 2，a 3，a 7成等比数列，∴a 23＝a 2a 7，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，即2d ＋3a 1＝0.①又∵2a 1＋a 2＝1，∴3a 1＋d ＝1.②由①②解得a 1＝23，d ＝－1. 8．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________.答案 4×⎝⎛⎭⎫32n －1解析 由已知可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，所以a 1＝4，a 2＝6，所以q ＝a 2a 1＝64＝32， 所以a n ＝4×⎝⎛⎭⎫32n －1.9．在等比数列{a n }中，a 3＝32，a 5＝8.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若a n ＝12，求n . 解 (1)因为a 5＝a 3q 2，所以q 2＝a 5a 3＝14.所以q ＝±12.当q ＝12时，a n ＝a 3q n －3＝32×⎝⎛⎭⎫12n －3＝28－n ；当q ＝－12时，a n ＝a 3q n －3＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －3.所以a n ＝28－n 或a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －3.(2)当a n ＝12时，即28－n ＝12或32×⎝⎛⎭⎫－12n －3＝12，解得n ＝9.10．在等比数列{a n }中：(1)已知a 3＝2，a 5＝8，求a 7；(2)已知a 3＋a 1＝5，a 5－a 1＝15，求通项公式a n .解 (1)因为a 5a 3＝q 2＝82，所以q 2＝4，所以a 7＝a 5q 2＝8×4＝32.(2)a 3＋a 1＝a 1(q 2＋1)＝5，a 5－a 1＝a 1(q 4－1)＝15，所以q 2－1＝3，所以q 2＝4，所以a 1＝1，q ＝±2，所以a n ＝a 1q n －1＝(±2)n －1.11．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于()A ．3B ．2C ．1D ．－2答案 B解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.12．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A ．2B ．1 C.12 D.18答案 C解析 方法一 ∵a 3，a 5的等比中项为±a 4，∴a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12.方法二 ∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12.13．(多选)已知等差数列a ，b ，c 三项之和为12，且a ，b ，c ＋2成等比数列，则a 等于() A ．－2 B ．2 C ．－8 D. 8答案 BD解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，a ＋b ＋c ＝12，a (c ＋2)＝b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝4，c ＝0.故a ＝2或a ＝8.14．若数列{a n}的前n项和为S n，且a n＝2S n－3，则{a n}的通项公式是________．答案a n＝3·(－1)n－1解析由a n＝2S n－3得a n－1＝2S n－1－3(n≥2)，两式相减得a n－a n－1＝2a n(n≥2)，∴a n＝－a n－1(n≥2)，又a1＝3，故{a n}是首项为3，公比为－1的等比数列，∴a n＝3·(－1)n－1.15．已知在等差数列{a n}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列．则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________．答案275或8解析设公差为d，由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，①由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，化简得a1－d＝－1或d＝0，②当d＝3时，a n＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{a n}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.当d＝0时，a n＝8，a92＝8.16．设数列{a n}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝a n(n＋2－λ)，且数列{b n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．解(1)设数列{a n}的公比为q.由题意，可得a n＝8q n－1，且0＜q＜1.由a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列，知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2，解得q＝12或152(舍去)，所以a n＝8×⎝⎛⎭⎫12n－1＝24－n，n∈N*.(2)b n＝a n(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n，由b n＞b n＋1，得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n，即λ＜n＋1，所以λ＜(n＋1)min＝2，故实数λ的取值范围为(－∞，2)．。
等比数列的概念及基本运算ppt课件
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
点评：(1)解决等比数列问题，关键是抓住首项 a1 和 公比 q，求解时，要注意方程思想的运用．
(2)运用等比数列求和公式时，要注意公比 q 是否为 1.当 n 较小时，直接利用前 n 项和的意义展开，不仅可避 开公比 q 的讨论，还可使求解过程简捷．
q3＝－2， 所以a1＝1，
或q3＝－12， a1＝－8.
所以 a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
a111－－qq10＝10， (2)(方法一)设公比为 q，则a111－－qq20＝30， 得 1＋q10＝3，所以 q10＝2. 所以 S30＝a111－－qq30＝a111－－qq10(1＋q10＋q20) ＝10(1＋2＋22)＝70. (方法二)因为 S10，S20－S10，S30－S20 仍成等比数列， 又 S10＝10，S20＝30， 所以 S30－30＝30－10102＝40，所以 S30＝70. 答案：(1)D (2)70
A．8
B．9
C．10
D．11
解：因为 a5a7＝a62，a7a9＝a82， 所以 a5a7＋2a6a8＋a7a9＝a62＋2a6a8＋a28＝(a6＋a8)2＝100.又 an＞ 0，所以 a6＋a8＝10.
答案：C
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
2．(2015·新课标卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1＝3，a1＋a3
[数学]2014届高三数学文一轮总复习等比数列ppt课件
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(2)各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2,S3n=14,则 S4n 等于( ) (A)80 (B)30 (C)26 (D)16 解析:(1)根据等比数列的性 质,a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=a1a10,∴ a2a3a4a5a6a7a8a9=(a1a10)4=34=81,故选 A.
∴
1
=
1
n
1
,
an 2
∴
1 an
的前
5
项和为
1
1
1
5
2 31 .
1 1
16
2
故选 B.
4.(2012 年高考新课标全国卷)等比数列{an}的
前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q=
.
解析:由 S3+3S2=0 得 4a1+4a2+a3=0, 有 4+4q+q2=0,解得 q=-2.
22 解:当 q=1
时,a1=a2=a3= 3 ,S3=3× 3 = 9 ,符合题
2
22
意,此时 an= 3 ,Sn= 3 n. 22
当 q≠1 时,由已知得
a1q2
3 2
,
a1
(1
q3)
9
,
1 q 2
即
a1q
2
3， 2
①
a（11 q q2）
9， 2
②
由①②两式相除得 2q2-q-1=0,
等比数列的基本运算
【例 1】 (2013 温州十校联考)已知数列{an} 的前 n 项和为 Sn,点(an+2,Sn+1)在直线 y=4x-5 上,其中 n∈N*.令 bn=an+1-2an,且 a1=1. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{nbn}的前 n 项和 Tn.
高中数学总复习考点知识讲解课件32 等比数列
an=kan 的形式,则 k=() A. B. C.6D.
【解析】选 C.数列的通项公式为 an=3×
=6× ,因此 k=6.
2.(忽视隐含条件)若数列 1,a,b,c,9 是等比数列,则实数 b 的值为()
A.5B.-3
C.3D.3 或-3
【解析】选 C.因为数列 1,a,b,c,9 是等比数列,
所以 a1=-2,由 Sk=
=- ,解得 k=5.
答案:5
3.(2022·武汉模拟)设正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若
2S3=3a2+8a1,S8=2S7+2,则 a2=()
A.4B.3C.2D.1
【解析】选 A.设正项等比数列{an}的公比为 q, 因为 2S3=3a2+8a1,
所以 2(a1+a2+a3)=3a2+8a1, 即 6a1+a2-2a3=0,所以 6a1+a1q-2a1q2=0. 因为 a1>0,所以 6+q-2q2=0,解得 q=2 或 q=- (舍去).因为 S8=2S7+2,
【题型一】等比数列基本量的计算 [典例 1](1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前 3 项和为 168,a2-a5=42, 则 a6=() A.14B.12C.6D.3 【解析】选 D.设等比数列{an}的公比为 q,q≠0, 若 q=1,则 a2-a5=0,与题意矛盾,所以 q≠1,
奇
偶
(4)若
或
则等比数列{an}是递增数列;
若
或
则等比数列{an}是递减数列.
- 2 - / 16
点睛性质(1)由 am·an=ap·ak 不一定推出 m+n=p+k,因为有非零常数列的存 在.
高考一轮复习理科数学课件等比数列的概念及基本运算
通过绘制等比数列的图像，可以更直观地了解放射性元素的衰变速度。
等比数列在解决实
04
际问题中应用
增长率问题建模
复合增长率计算
利用等比数列的求和公式 ，可以计算一定时期内的 复合增长率，从而预测未 来的发展趋势。
连续增长问题
当某个量按照固定的比例 连续增长时，可以利用等 比数列的通项公式求解任 意时刻的数值。
02
通过设定方程，利用求和公式解出首项或公比。
等比数列在实际问题中的应用
03
如分期付款、复利计算等场景，可转化为等比数列求和问题进
行求解。
乘除法运算规则
等比数列的乘法运算
两个等比数列对应项相乘，得到的新数列仍为等比数列，且公比为原两数列公比之积。
等比数列的除法运算
一个等比数列除以另一个等比数列，得到的新数列仍为等比数列，且公比为原两数列公比 之商（分母数列公比不能为0）。
生物学中细胞分裂模型
细菌繁殖
细菌在适宜的环境下会进行二分裂繁殖，即一个细菌分裂成 两个细菌，然后这两个细菌再分别分裂成四个细菌，以此类 推。这种繁殖方式可以用等比数列来描述。
放射性物质衰变
放射性物质会不断地放出射线并衰变成其他物质。在衰变过 程中，放射性物质的原子数会按照固定的比例减少，这种变 化也可以用等比数列来描述。
。
这个相等的比值被称为公比，通 常用字母q表示。
等比数列的一般形式为：a, aq, aq^2, aq^3, ...，其中a是首项
，q是公比。
等比中项概念
01
等比中项是指在一个等比数列中 ，如果两项a和b的等比中项为c， 则c的平方等于a和b的乘积。
02
等比中项的性质是：若a、G、b 依次为等比数列的三项，则G叫 做的等比中项，且G^2=a+b（ 等比中项的平方等于前项与后项 之积）。
2014版高考数学一轮总复习 第31讲 等差数列的概念及基本运算课件 理 新人教A版
nn－1 d 2 d 方法 2：由 Sn＝na1＋ 2 d＝2n ＋(a1－2)n(d<0)， 利用二次函数的图象解决问题． d 2 d 因为 Sn＝2n ＋(a1－2)n(d<0)， 所以 Sn 的图象是开口向下的抛物线上一群孤立的点， 9＋17 最高点横坐标为 2 ＝13，即 S13 最大．
1.通过实例，理解等差数列的概念.
2.探索并掌握等差数列的通项公式与 前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的 等差关系，并能用有关知识解决相应的 问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系.
1. 等 差 数 列 定 义 ① an+1-an=d(常数) .(n∈N*),这是证明一 个数列是等差数列的依据，要防止仅由 前若干项，如a3-a2=a2-a1=d(常数),就说 {an}是等差数列这样的错误，判断一个 数 列 是 否 是 等 差 数 列 , 还 可 由 an+an+2=2an+1,即an+2-an+1=an+1-an来判断.
三
等差数列的综合应用
【例 3】设{an}是公差不为零的等差数列，Sn 为其前 n 项和，满足 a2＋a2＝a2＋a2，S7＝7. 2 3 4 5 (1)求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn； amam＋1 (2)试求所有的正整数 m， 使得 为数列{an}中的项． am＋2
【分析】 将已知条件用等差数列的基本量 a1 和 d 表示， 即可求得 a1 和 d，代入公式即可求得 an 和 Sn.
a1＋2da1＋6d＝－16 则 ， a1＋3d＋a1＋5d＝0 a2＋8da1＋12d2＝－16 1 即 a1＝－4d a1＝8 . d＝－2 a1＝－8 ，解得 d＝2
，或
高考数学一轮复习32数列的概念与通项学案理
第三十二课时 数列的概念及通项公式课前预习案1.了解数列的概念和几种简单的表示方法 （列表、图象、通项公式）。
2.了解数列是自变量为正整数的一类函数。
1.数列：按 排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项，记作n a ，序号为n 的项叫第n 项，也叫通项，即n a ；数列一般简记作{}n a 。
2.通项公式：如果数列 可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
用()n a f n =表示数列的通项公式，这里要注意同一个数列的通项公式的形式不一定唯一，不是每个数列都有通项公式。
3.从函数观点看，数列实质上是定义域为 的函数，其图象是 。
4.数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列，数列， 数列， 数列。
5递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
1．已知数列{}n a 的前4项分别为2,0,20，，则下列各式不可以作为数列{}n a 的通项公式的一项是( )A ．11(-1)n n a +=+ B ．=2sin2n n a πC ．1-cos n a n π=D ．2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数，0，为偶数2．已知数列的通项公式为2-815n a n n =+，则3( )A ．不是数列{}n a 中的项B ．只是数列{}n a 中的第2项C ．只是数列{}n a 中的第6项D ．是数列{}n a 中的第2项或第6项 3．在数列{}n a 中，1-1111(2)n n a a n a ==+≥，，则5a ＝( ) 3578A. B. C. D.23454，，…，根据数列的规律，_____项．5．若数列{}n a 的前n 项和2-10(1,2,3)n S n n n ==，，则此数列的通项公式为n a ＝________；数列{}n na 中数值最小的项是第________项．课堂探究案考点1 观察写通项【典例1】根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： （1）–1，7，–13，19，…； （2）,9910,638,356,154,32…；（3）,225,8,29,2,21…； （4）5，55，555，5555，…；（5）5，0，–5，0，5，0，–5，0，…； （6）1，3，7，15，31，….【变式1】（1）数列112-⨯，123⨯，134-⨯，145⨯，…的一个通项公式是 。
数列等比数列等比数列的概念及通项公式ppt
在电路设计中，电阻、电容、电感等元件的参数 可以用等比数列表示。
计算机领域的应用
数据压缩
在数据压缩过程中，等比数列可以用来表示重复的数据模式，从 而减少数据的大小。
加密算法
在加密算法中，等比数列可以用来生成密钥序列，提高加密的安 全性。
图像处理
在图像处理中，等比数列可以用来表示像素值的变化情况，从而 实现图像的缩放和平移等操作。
等比数列的特性
等比数列的每一项都是前一项 的常数倍。
在等比数列中，常数被称为公 比(ratio)，通常用字母 q 表示
。
如果第一项为 a1，公比为 q， 那么第 n 项 an = a1 × q^(n-
1)。
等比数列的应用
1
等比数列在金融领域的应用：如复利计算、投 资回报等。
2
等比数列在物理和工程领域的应用：如放射性 衰变、电路中的电阻等。
05
等比数列的拓展知识
等比数列与等差数列的关联
等比数列和等差数列是两种常见的数列类型，它们之 间存在一定的关联。
如果一个等差数列的公差为0，那么它就变成了一个等 比数列，其中每一项都等于前一项乘以1。
等差数列的每一项与其前一项的差是一个常数，而等 比数列的每一项与其前一项的比值是一个常数。
在等比数列中，如果存在一项为0，那么这个等比数列 就变成了一个有有限项的等差数列。
应用场景
变形的通项公式可以用于解决一些特定的问题，例如求解等 比数列的前n项和，或者在密码学中生成伪随机数等。
03
等比数列的求和公式
等比数列求和公式的推导
定义初始项和公比
通常设等比数列的初始项为 a1，公比为r。
推导求和公式
等比数列的求和公式可以通过错 位相减法推导得到，即利用等比 数列的通项公式和求和公式之间 的迭代关系进行推导。
等比数列知识点总结
等比数列知识梳理：1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m n m m ma a a a q q q a a ---=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A ab =±注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式： （1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n，都有11(0){}n n n nn na a q aq qa a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列7、等比数列的性质： （1）当1q ≠时①等比数列通项公式()1110n nn n a a a q q A B A B q-===⋅⋅≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q ； ②前n项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A qq q q--==-=-⋅=-----，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q 。
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三
等比数列综合
【例 3】(2013· 山东省济宁市期末检测)设数列{an}是各项
1 1 均为正数的等比数列，且 a1＋a2＝2( ＋ )， a1 a2 1 1 a3＋a4＝32( ＋ )． a3 a4 (1)求数列{an}的通项公式； (2)bn＝a2＋log2an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. n
解析：(1)由题意得 a1a2＝2，a3a4＝32，
2 即 a1q＝2，a2q5＝32，解得 a1＝1，q＝2. 1
所以 an＝2n 1. (2)因为 bn＝4n 1＋(n－1)， 所以 Sn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(1＋0)＋(41＋1)＋(42＋2)＋…＋[4n 1＋(n－1)] ＝(1＋41＋42＋…＋4n 1)＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)] 4n－1 n－1n ＝ ＋ . 3 2
第32讲 等比数列的概念及基本运算
1．(原创)数列 1,37,314,321，……中，398 是这个数列 的( C ) A．第 13 项 C．第 15 项 B．第 14 项 D．不在此数列中
解析： 观察易知数列是首项为 1， 公式为 37 的等比数 列，故由 398＝1· 7)n 1，解得 n＝15，故选 C. (3
a1＝－8 a1＝1 解得 3 或 3 1 q ＝－2 q ＝－2
.
a1＝1 当 3 时，a1＋a10＝a1(1＋q9)＝1＋(－2)3＝－7； q ＝－2 a1＝－8 当 3 1 q ＝－2
13 时，a1＋a10＝a1(1＋q )＝(－8)×[1＋(－ ) ]＝－7. 2
3 3 解析：(1)由 Sn＋1＝ Sn＋1，得当 n≥2 时，Sn＝ Sn－1＋1， 2 2 3 所以 Sn＋1－Sn＝ (Sn－Sn－1)， 2 an＋1 3 3 即 an＋1＝ an，所以 ＝ ， 2 an 2 3 又 a1＝1，得 S2＝ a1＋1＝a1＋a2， 2 3 a2 3 所以 a2＝ ，所以 ＝ ， 2 a1 2 3 所以数列{an}是首项为 1，公比为 的等比数列， 2 3 n －1 所以 an＝( ) . 2
3．(改编) 5＋2 与 5－2，两数的等比中项是( C ) A．1 C．± 1 B．－1 1 D. 2
解析：G2＝( 5＋2)( 5－2)＝1，所以 G＝± 1，故选 C.
4．(改编)等比数列{an}的各项都是正数， 若 a1＝2，a5＝32，则它的前 5 项和是( D ) A．31 C．61 B．32 D．62
a1q2－a1＝8 a1q5－a1q3＝216 ② a11－qn 1－q ＝40 ③
① ，
由②得(a1q2－a1)q3＝216，④ 将①代入④得 8q3＝216，故 q＝3， 代入①得，a1＝1， 将 a1＝1，q＝3 代入③得 3n＝81，故 n＝4， 所以 q＝3，a1＝1，n＝4.
5.(2012· 辽宁卷)已知等比数列{an}为递增数列，且 a2＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1， 则数列的通项公式 an＝ 5 .
2 解析：因为 a5＝a10，所以(a1q4)2＝a1q9，
所以 a1＝q，所以 an＝qn. 因为 2(an＋an＋2)＝5an＋1，所以 2an(1＋q2)＝5anq， 1 所以 2(1＋q )＝5q，解得 q＝2 或 q＝ (舍去)， 2
1.(2013· 江西卷)等比数列 x,3x＋3,6x＋6，…的第 4 项等于 ( A ) A．－24 C．12 B．0 D．24
解析：由等比数列的性质得(3x＋3)2＝x· (6x＋6)， 解得 x＝－3.所以等比数列为－3， －6， －12， －24， …， 故选 A.
2.(2013· 福建卷)已知等比数列{an}的公比为 q， bn＝am(n 记
【拓展演练 1】 已知等比数列{an}中， 1＝2， 3＋2 是 a2 和 a4 的等差中项， a a 求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn.
解析：设数列{an}的公比为 q. 由题意知，2(a3＋2)＝a2＋a4， 所以 q3－2q2＋q－2＝0，即(q－2)(q2＋1)＝0， 所以 q＝2，即 an＝2·n 1＝2n. 2 21－2n n＋1 Sn＝ ＝2 －2. 1－2
n＋1
2 n an＋1－3＝ (2 an－3)， 3
4 2 故数列{bn}是首项 b1＝2a1－3＝－ ，公比为 的等比数 3 3 列． 4 2 n－1 (2)由(1)知：bn＝2 an－3＝(－ )· ) ， ( 3 3
n
1n 1n 所以 an＝3· ) －2· ) . ( ( 2 3
【拓展演练 2】 (2012· 广东省六校高三第二次联考)已知 Sn 是数列{an}的 前 n 项和，且 a1＝2，当 n≥2 时，有 Sn＝3Sn－1＋2. (1)求证：{Sn＋1}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．
－
1 2．(改编)等比数列{an}中，a1＝20，公比 q＝ ，则数列 5 {an}的通项公式是( D ) 1 n＋1 A．an＝4· ) ( 5 1 n－1 C．an＝4· ) ( 5 1n B．an＝4· ) ( 5 1 n－2 D．an＝4· ) ( 5
解析：由等比数列的通项公式得 1 n－1 1 n－2 an＝20×( ) ＝4· ) ，故选 D. ( 5 5
3.(2012· 全国新课标卷)已知{an}为等比数列， a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则 a1＋a10＝( D ) A．7 C．－5 B．5 D．－7
解 析 ： 设 数 列 {an} 的 公 比 为 q ， 由 题 意 ， a1q3＋a1q6＝2 4 ， 5 3 6 a1q ×a1q ＝a1q ×a1q ＝－8
21－25 解析：ห้องสมุดไป่ตู้5＝a1q4⇒2·4＝32⇒q＝2⇒S5＝ a q ＝62， 故 1－2 选 D.
5． (2012· 广东惠州市第四次调研)等比数列{an}中，3＝6， a 前三项和 S3＝18，则公比 q 的值为( C ) A．1 1 C．1 或－ 2 1 B．－ 2 1 D．－1 或－ 2
3 (2)因为数列{an}是首项为 1，公比为 的等比数列， 2 1 2 所以数列{ }是首项为 1，公比为 的等比数列， an 3 2n 1－ 3 2n 所以 Tn＝ ＝3[1－( ) ]， 2 3 1－ 3 3n 又因为 Sn＝2· ) －2， ( 2 12 2n 1 所以不等式 Tn＜ ，即得( ) ＞ ， 3 3 Sn＋2 所以 n＝1 或 n＝2.
a3 解析：因为 S3＝18，所以 a1＋a2＝ 2(1＋q)＝12 q 1 ⇒2q －q－1＝0⇒q＝1 或 q＝－ ，故选 C. 2
2
一
等比数列的基本运算
【例1】 在等比数列{an}中，已知 a3－a1＝8， a6－a4＝216，Sn＝40，求公比 q，a1 及 n.
解析：显然，公比 q≠1，由已知可得
2
所以 an＝2n.
解析：由于数列{an}是公比为 q 的等比数列，那么 cn＋1 amn＋1amn＋2· amn＋m …· ＝ cn amn－1＋1amn－1＋2· amn－1＋m …· amn＋1amn＋2· amn＋m …· ＝ amn－m＋1amn－m＋2· amn …· ＝(qm)m＝qm2， 则数列{cn}为等比数列，公比为 qm2，故 C 正确．
解析：(1)因为 Sn＝3Sn－1＋2， Sn＋1 所以 Sn＋1＝3Sn－1＋2＋1，所以 ＝3. Sn－1＋1 又因为 S1＋1＝a1＋1＝3， 所以{Sn＋1}是以 3 为首项，3 为公比的等比数列． (2)由(1)得 Sn＋1＝3×3n 1＝3n，所以 Sn＝3n－1. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n 1－1)＝2·n 1. 3 又当 n＝1 时，a1＝2 也满足上式， 所以，数列{an}的通项公式为 an＝2·n 1. 3
9
综上，a1＋a10＝－7，故选 D.
4.(2012· 浙江卷)设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项 和为 Sn，若 S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则 q＝ .
解析：当 q＝1 时，由 S2＝3a2＋2 得 a1＝－2， 由 S4＝3a4＋2 得 a1＝2，两者矛盾，舍去，则 q≠1. S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)， 所以 2a4＝3a2＋a3，所以 2q2＝3＋q， 3 3 所以 q＝ 或 q＝－1(舍去)．故应填 . 2 2
－1)＋1
＋am(n－1)＋1＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·m(n－1)＋2· am(n－ a …·
1)＋m
(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是( C ) A．数列{bn}为等差数列，公差为 qm B．数列{bn}为等比数列，公比为 q2m C．数列{cn}为等比数列，公比为 qm2 D．数列{cn}为等比数列，公比为 qmm
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【拓展演练 3】 (2013· 黄冈市期末考试)已知数列{an}中， 1＝1， n 项和 a 前 3 为 Sn，且 Sn＋1＝ Sn＋1(n∈N*) 2 (1)求数列{an}的通项公式； 1 12 (2)设数列{ }的前 n 项和为 Tn， 求满足不等式 Tn< 的 an Sn＋2 n 的值．
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二
递推数列与等比数列的证明与判断
【例 2】 (2012· 甘肃省天水第四阶段段考)已知数列{an}中，
5 1 1 n＋1 a1＝ ，an＋1＝ an＋( ) . 6 3 2 (1)记 bn＝2n·n－3，证明数列{bn}是等比数列； a (2)求数列{an}的通项公式．
1 1 n＋1 解析：(1)证明：由 an＋1＝ an＋( ) ， 3 2 得2