材料力学7—应力状态分析

p =n σ
T T
p
τa
y σx α
n
切应力分量
τxy τyx σy
∆A
τα = p t = n σt
T
T
σ x τ xy − sinα τ α = (cosα sinα ) ⋅ ⋅ τ yx σ y cosα 1 τ α = − (σ x − σ y ) sin2α + τ xy cos2α 2
垂直于截面的应力称为 “ 正应力” 正应力”
(Normal Stress)； Stress)；
位于截面内的应力称为 “ 切应力” 切应力”
(Shearing
Stress).
应力状态概念
P1 ∆FQy ∆A y
若干概念和定义
应力的矢量表示
∆FR
∆FN x
σ x = σ ,τ = [τ xy τ xz ]
应力状态的概念及其描述
应力的三个重要概念 应力的点的概念; 应力的点的概念; 应力的面的概念; 应力的面的概念; 应力状态的概念. 应力状态的概念.
应力状态的概念及其描述
FQ FN x
M z
横截面上正应力分析和切应力分析 的结果表明： 的结果表明：同一面上不同点的应力 各不相同， 各不相同，此即应力的点的概念。
( px py ) = (nx
T
σx τxy τyx
∆A α px ∆A ∆A ny∆A ny∆A
σy
x
σ x τ xy ny ) τ yx σ y
T
p =n σ
px = nxσx + nyτ yx py = nxτ xy + nyσ y
正应力分量由公式可得：
p n
2
cos2 −τxy sin 2 θ θ
sin 2 +τxy cos2 θ θ
σx′＝ 0
τx′y′＝ 0
0=
σx −100 σx＋ 100
2 + 2
cos(2×30°) -τxysin 2×30°) (
0=
0+100 sin 2×30°) +τxycos(2×30°) ( 2
The First Kind of Exercise: The Analysis of the Stress-State
y
σx
θ θ
τ x'y'
x´
τ xy
σx'
τ yx
dA dA
σy
平面应力状态分析
平衡原理的应用
∑F
x xy
y′
=0
−τx´y ´ dA +σ (dA cos θ ) sin θ +τ (dA cos θ ) cos θ −τ (dA sin θ ) sin θ −σ (dA sin θ ) cos θ = 0
应力状态的概念及其描述
τ x'y'
σx'
τ x'y'
τ xy
τ yx
σx'
σx
微元平衡分析结果表明：即使同一 微元平衡分析结果表明： 点不同方向面上的应力也是各不相同 的，此即应力的面的概念。
应力状态的概念及其描述
应 力
指明
1.哪一个面上？ 哪一点？ 2.哪一点？ 哪个方向面？
过一点不同方向面上应力的集合，称 过一点不同方向面上应力的集合， 之为这一点的 应力状态（State of Point）。 the Stresses of a Given Point）。
Problem 3
0=
σx −100 σx＋ 100
2 + 2
cos(2×30°) -τxysin 2×30°) (
0+100 0= sin( 2×30°) +τxycos(2×30°) 2
σx = −33.3M Pa
τxy = − yx = −57.7M τ Pa
2、坐标变换，平面应力分析 应力分析
1
示例二 z
4 2 3 S平面
x
应力状态的概念及其描述
y
示例二
FQy
1
1
τ1 =
Mz σx1 = W z
z
4
Mx Wp
4 2 3
Mz
Mx τ3 = Wp
x
Mx
Mx τ3 = W p
3
Mz σx = − W z
3
平面应力状态分析
正负号规则
正 负 号 规 则
σx
正 应 力
σx
σx
拉为正
σx
压为负
平面应力状态分析
τ x'y'
σx'
σx
σx
拉 中 有 切
应力状态的概念及其描述
y'
根据微元的局部平衡
τ yx
x'
τ xy τ xy
τ x'y'
τ yx
σx'
切 中 有 拉
应力状态的概念及其描述
重要结论
不仅横截面上存在应力， 不仅横截面上存在应力 ， 斜截 面上也存在应力； 面上也存在应力 ； 不仅要研究横 截面上的应力， 截面上的应力 ， 而且也要研究斜 截面上的应力。 截面上的应力。
Problem 3
y´
y x´
30°
Solution：Us the coordinate ： conversion equation:
σx′ =
x
σx +σy σx −σy
2 +
2 Because the section AC is free surface, we have
τx′y′ =
σx −σy
2.1. 应力的符号规定
在法线方向沿坐标轴 正向的微元面上，与坐标 正向相同的应力分量为正； 反之为负。 在法线方向沿坐标轴负向 的微元面上，与坐标正向 相反的应力分量为正。反 之为负。 拉应力为正，压应力为负。
y
x
2.2. 数学准备
α n x cos 单位矢量 n：n = = n y sinα 矢量 a 在 n 方向上的投影
新疆大学机械工程学院力学教研室
材料力学
王 春 耀、闵 磊
授课教案—7 —应力状态分析
第8章 应力状态分析
1、应力状态概念，应力张量 应力状态概念， 2、坐标变换，平面应力分析 坐标变换， 3、主应力计算、最大切应力 主应力计算、 4、广义虎克定律 5、应变比能
应力状态概念
正应力和切应力
若干概念和定义
sin2α ′ = 2τ xy
σ x −σ y
2
tg2α ′ =
2τ xy
σ x −σ y
σ α ′ = (σ x + σ y ) ±

1 2
σ x −σ y 2
2 + τ xy
正负号规则
正负号规则
τ x'y'
τ xy
τ yx
切
应 力
使微元或其 局部顺时针方 向转动为正； 向转动为正； 反之为负。 反之为负。
平面应力状态分析
正负号规则
正负号规则
θ 角
由 x 轴正向 反时针转到 x ‘轴 正向者为正； 正向者为正；反 之为负。 之为负。
y' y
θ
x'
x
平面应力状态分析
平衡原理的应用
y n α x
an = ax cosα + ay sinα
= (ax nx ay ) ny
a
n
=a n
T
− n y n x
t
an
y
与 n 垂直方向上的单位矢量 t
t x t= = t y
− sin α cos α =
π/2 α
Problem 3
Problem: The element is shown in the figure blow and AC is a free surface (no stress in it).
Determine : x and τxy. :σ
The First Kind of Exercise: The Analysis of the Stress-State
x
2.4 主应力与主方向
1. 正应力的极值
σ α = (σ x + σ y ) + (σ x − σ y )cos2α + τ xysin2α
dσα =0 dα
cos2α ′
1 2
1 2
使法向应力取极值的角度应满足
1 (σ x − σ y ) ⋅ ( −2sin2α ′) + τ xy ( 2cos2α ′) = 0 2
特例
平 面 应 力 状 态
特例
单向应力状态
纯剪应力状态
应力状态的概念及其描述 铸 铁 低碳钢
韧性材料拉伸时为什么会出现 滑移线？ 滑移线？
应力状态的概念及其描述 低碳钢 铸 铁
为什么脆性材料扭转时沿45 为什么脆性材料扭转时沿45º螺 45º 旋面断开？ 旋面断开？
y'
σx
根据微元的局部平衡
x'
θ sin2 +τ xy cos2 θ
或写成
1 1 σ θ = (σ x + σ y ) + (σ x − σ y ) ⋅ cos2θ −τ xysin2θ 2 2 1 τ θ = (σ x − σ y ) ⋅ sin2θ + τ xy cos2θ 2
The First Kind of Exercise: The Analysis of the Stress-State