练习一 多元函数微分法及其应用同步测试
第八章 多元函数微分学及其应用测试题
多元函数微分学及其应用（时间：150分钟）一、选择题(每小题3分，共15分)1、二重极限21lim 1x x y x y a x +→∞→⎛⎫- ⎪⎝⎭之值为（ ）．（A ） 0; （B ） 1; （C ） 1e -; （D ） e .2、设函数),(y x f 在),(00y x 处的偏导数),(y x f x 与),(y x f y 存在，则（ ）.（A ） ),(y x f 在),(00y x 处可微;（B ） ),(y x f 在),(00y x 处连续;（C ） ),(y x f 在),(00y x 处沿任意方向的方向导数存在;（D ） 以上三个结论都不正确.3、已知矩形的周长为2p ,将它绕其一边旋转而形成一个旋转体,当此旋转体的体积为最大时,矩形两边长分别为（ ）.（A ）,22p p ; （B ）2,33p p ; （C ） 3,44p p ; （D ） 23,55p p . 4、假设曲线2121522y x z x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩在点（1，-1，-2）处的切线与直线533903210,x y z x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩的夹角ϕ=（ ）.（A ） 0 ; （B ）4π; （C ） 3π; （D ）2π. 5、设(),()f x g x 是可微函数，且满足(,)(25)(25)u x y f x y g x y =++-, (,0)sin 2u x x =,(,0)0y u x =，则(,)u x y =（ ）.（A ）sin 2cos5x y ; （B ）sin 5cos 2x y ; （C ）cos5sin 2x y ; （D ）cos 2sin 5x y .二、填空题(每小题3分，共15分)1、设y x e u xsin -=，则y x u ∂∂∂2在点)1,2(π处的值为 ． 2、设y x y x y x z -+++=arctanln 22，则dz = ． 3、函数z y x u 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=在点(1,1,1)处的梯度为 ． 4、已知⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y z x ϕ，其中ϕ为可微分函数，则=∂∂+∂∂yz y x z x ． 5、已知曲面xy z =上点p 处的法线l 平行于直线2121326:1-=--=-z y x l ，则法线l 的方程为 ． 三、计算题(每小题6分，共30分)1、设)sin ,2(x y y x f z -=，其中),(v u f 具有连续的二阶偏导数，求yx z ∂∂∂2． 2、已知),(),,(z y x y x f z ϕ==，其中ϕ,f 均为可微分函数，求dxdz ． 3、假设函数(,,)w f x y z =，其中f 具有二阶连续偏导数，(,)z z x y =由方程5551z xy z -+=所确定，求w x ∂∂，22w x ∂∂． 4、设n 是曲面222y x z +=在P （1，2，3）处指向外侧的法向量，求函数xz y x u 22233++=在点P 处沿方向n 的方向导数．5、在曲面222316x y z ++=上求一点，使曲面在此点处的切平面平行于下列两条直线：1361:458x y z l --+==，2:l x y z ==．四、(8分) 设),,(z y x f u =有连续偏导数，且ϕϕθϕθcos ,sin sin ,cos sin r z r y r x ===， 证明：若0=∂∂+∂∂+∂∂z u z y u y x u x ，则u 与r 无关． 五、(8分)一正圆锥的半径以每分钟7厘米的速度增大，而它的高以每分钟20厘米的速度减小，求当半径45r =厘米，高100h =厘米时该正圆锥的体积的变化率，此时体积是在增大还是减小？六、(8分)设椭圆12322=+y x 的内接等腰三角形之底边平行于椭圆长轴，求其最大面积．七、（8分） 试证光滑曲面0),(=--z y x z F 的所有切平面均与一固定非零向量平行．八、(8分)已知,,x y z 为实数，且2||3x e y z ++=，证明不等式2||1x e y z ⋅⋅≤．。
第9章多元函数微分法及其应用近年试题.
0809 B一、填空题（每小题3分，共18分）2、设z=ln（xy）,则其全微分dz=1 1dx dyx yC …A y • 2x , _ …,一3、函数u =1------- 的所有间断点是y2 -2x2{( x, y)| y =2x, x R, y R}、选择题（每小题3分，共15分）1、f (x, y) = 2xy 2 ,则极限lim f (x, y) = ( A ) x y x0x yy「0（A）不存在(B) 1 (C) 2 (D)0A当点P（x,y）沿曲y =kx趋向(0,0)时,m f(x,y)叩0 y zkxkx2x2 k2x2k ....................显然，当k取值不同是，极限也不相同。
1 k所以（x,y m0,0）说y不存在•2 32、在曲线x=t,y =—t ,z = t所有切线中，与平面x + 3y+3z = 4平行的切线（A ）（A）只有一条；（B）只有两条；（C）至少有3条；（D）不存在曲线的切向量T =(5'(t),5’(t), »(t))=(1,—2t,3t2),平面的法向量n = (1,3,3)9 9 9 1 1 ...............(1 -2t,3t2) (1,3,3) =1—6t +9t2 =0 ,(3t —1)2 = 0,彳#t =一.所以只有一条切线满足条件.3、点（0,0诞函数2=乂丫的（B ）（A）极值点；（B）.驻点但不是极值点；（C）是极值点但不是驻点；（D）以上都不对分析：令zx=y=0, zy=x = 0，得（0,0）是驻点，但点（0,0）是z = xy的鞍点，不是极值点.四、计算题（每小题8分，共32分）1、& z =e u sin v, u =xy, v = x + y,求三和必ex tyz f 二f 二u 二f 二v解一=——■——■——■ ——x 二x 二u 二x v二x: e u sin v y , e u cosv = e x y[ y sin( x y) cos( x y)]u v u . u xy — —— 一 —— —— =e sin v x e cosv =e [x sin(x y) cos(x y)] y .:u .:y .:v .:y五、解答题(每小题分10,共20分)1、要造一个容积为定数 a 的长方形无盖容器，如何设计它的尺寸才能使它的表面积最小?此时最小表面积为多少？解：设长方体的长宽高分别为x, y, z,则问题就是在条件 中(x, y, z) = xyz — a =0下求函数 S = xy 2xz 2yz (x . 0, y . 0, z . 0)的最小值.作拉格朗日函数L(x, y, z)= xy 2xz 2yz ——..(xyz - a),y + 2z + 九 yz = 0 , x + 2z + ?一 xz = 0 ,2 (x y ) - xy = 0 , xyz -a = 0.，口 11..、 …得 z = —x =-y,代入xyz —a = 0彳导2 21 3 二z = - J 2a,这是唯一可能的极值点.由问题本身可知最小值一 2定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得.即长宽高为 疮 疡 工病时，最小2表面积 S =33(2a)2.0910B一、填空题(每小题2分，共10分)2、设函数z = f (x, y)是 由方程x 2+y 2 +z 2=4z 给出，则 全微分 dz =.一 一 一 xdx ydy 2xdx 2 ydy 2zdz =4dz , dz2 z3、曲面x 2十y 2+z 2=14在点P(1,2,3)处的切平面方程为 .切平面得法向量 汗⑼)=(2x,2y,2z)(1,2,3)=(2,4,6),切平面方程为 2(x —1)+4( y-2)+6(z — 3) = 0,或x + 2y + 3z —14 = 0. 二、选择题(每小题2分，共10分)1、二元函数f(x,y)在点(x 0,y 。
第9章多元函数微分法及其应用近年试题
0809 B一、填空题（每小题3分，共18分）2、设)ln(xy z =，则其全微分dz = ． 11dx dy x y+ 3、函数xy x y u 2222-+=的所有间断点是 .2{(,)|2,,}x y y x x R y R =∈∈二、选择题（每小题3分，共15分）1、22),(y x xyy x f +=，则极限=→→),(lim 00y x f y x （ Ａ ）（A ）不存在 （B ）1 （C ）2 （D ）0A当点(,)P x y 沿曲线y kx =趋向(0,0)时，222200lim (,)lim x x y kxk x f x y x k x →→==+21kk =+显然，当k 取值不同是，极限也不相同。
所以22(,)(0,0)limx y xyx y →+不存在．2、在曲线32,,t z t y t x =-==所有切线中，与平面433=++z y x 平行的切线（ Ａ ）（A ）只有一条； （B ） 只有两条； （C ）至少有3条； （D ） 不存在曲线的切向量2((),(),())=(12,3)T t t t t t ϕψω'''=-，,平面的法向量(1,3,3)n = 22(12,3)(1,3,3)1690t t t t -⋅=-+=，,2(31)0t -=,1.3t =得所以只有一条切线满足条件.3、点()0,0是函数xy z =的（ Ｂ ）（A ）极值点；（B ）.驻点但不是极值点；（C ）是极值点但不是驻点；（D ）以上都不对 分析: 令0,0x y z y z x ====,得(0,0)是驻点,但点(0,0)是xy z =的鞍点,不是极值点.四、计算题（每小题8分，共32分）1、设, , ,sin y x v xy u v e z u+===求xz∂∂和y z ∂∂ 解z f f u f vx x u x v x∂∂∂∂∂∂=+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂e sin e cos e [sin()cos()]u u x y v y v y x y x y =⋅+=⋅+++e sin e cos u u zf f u f v v x v y y u y v y∂∂∂∂∂∂=+⋅+⋅=⋅+∂∂∂∂∂∂e [sin()cos()]x y x x y x y =⋅+++ 五、解答题（每小题分10，共20分）1、要造一个容积为定数a 的长方形无盖容器，如何设计它的尺寸才能使它的表面积最小？此时最小表面积为多少？解：设长方体的长宽高分别为,,,z y x 则问题就是在条件(,,)0x y z xyz a ϕ=-=下求函数 22S xy xz yz =++ )0,0,0(>>>z y x的最小值. 作拉格朗日函数(,,)22(),L x y z xy xz yz xyz a λ=++++-求其对,,,x y z λ的偏导数，并使之为零，得到 20,20,2()0,0.y z yz x z xz x y xy xyz a λλλ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪-=⎩因为z y x ,,都不等于零， 得 11,22z x y ==代入0xyz a -=,得x y z ===这是唯一可能的极值点. 由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得.时, 最小表面积S =0910B一、填空题（每小题2分，共10分）2、设函数),(y x f z =是由方程z z y x 4222=++给出，则全微分=dz ．2d 224x x ydy zdz dz ++=,2xdx ydydz z+=-.3、曲面14222=++z y x 在点)3,2,1(P 处的切平面方程为 .切平面得法向量(1,2,3)(1,2,3)(2,2,2)n x y z =(2,4,6),=切平面方程为2(1)+4(2)6(3)0,23140.x y z x y z --+-=++-=或 二、选择题（每小题2分，共10分）1、二元函数),(y x f 在点),(00y x 处可微是两个偏导数),(',),('0000y x f y x f y x 都存在的 （ Ａ ）（A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件.四、计算题（每小题10分，共40分） 1、设v u z ln 2=，而y x u =、y x v 23-=，求:xz∂∂、y z ∂∂． 解：()()22223323ln 2y y x x y x y x x z -+-=∂∂，()()223223223ln 2y y x x y x yx y z ----=∂∂1011B一、填空题（每小题3分，共15分）(1) 设二元函数)1ln()1(y x xez yx +++=+，则=)0,1(|dz .(1,0)(1,0)(1,0)1|(ln(1))|()|1x y x y x y x dz e xe y dx xe dy y++++=++++++ (1,0)d 2ed (e 2)d zx y ∴=++(2) 旋转抛物面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的法线方程是 . 法线的方向向量(2,1,4)(2,1,4)(2,2,1)s x y =-(4,2,1),=-法线方程是214421x y z ---==-. 二、单项选择题（每小题3分，共15分）(4) 设),(y x f z =的全微分为ydy xdx dz += 则点 )0,0( ( C ) .A 不是),(y x f 的连续点；.B 不是),(y x f 的极值点；.C 是),(y x f 的极小值点；.D 是),(y x f 的极大值点.分析:z ,x y x z y ==,得z 1,1,0xx yy xy z z ===,由210,10AC B A -=>=>,则点 )0,0(是),(y x f 的极小值点.三、求偏导数（每小题10分，共20分）（1）设),(3xyxy f x z =，其中f 具有二阶连续偏导数.求 y z ∂∂；22y z ∂∂；y x z ∂∂∂2.解:231223(())z yx f x yf f x x∂''=++-∂23123x f x yf xyf ''=+-3121(())z x xf f y x∂''=+∂ 4212x f x f ''=+ 242122()z x f x f y y ∂∂''=+∂∂421112212211(())(())x f x f x f x f x x ''''''''=⋅++⋅+ 531112222x f x x f xf ''''''=⋅++ y x z ∂∂∂22z y x ∂=∂∂4212()x f x f x∂''=+∂ 3421111222122224(())2(())y y x f x f y f xf x f y f x x ''''''=+⋅+⋅-+++- 3412112242.x f xf x yf yf ''''=++- (2)设),(y x z z =是方程)arc tan(z y x xyz ++=在)1,1,0(-点确定的隐函数，求xz∂∂及)1,1,0(-∂∂yz解:令)arctan(),,(z y x xyz z y x F ++-= …1分则 2)(11z y x xy F z +++-= 2)(11z y x yz F x +++-=2)(11z y x xz F y+++-= …6分 1])(1[1])(1[22-+++-+++-=-=∂∂z y x xy z y x yz F F x z z x ； …8分 11])(1[1])(1[22)1,1,0(-=-+++-+++-=-=∂∂-z y x xy z y x xz F F yz z y…10分六、应用题（本题满分10分）从斜边长为l 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形，并求出最大周长.解：设另两边长分别为y x ,，则 222l y x =+，周长 l y x C ++= …2分 设拉格朗日函数 )(),,(222l y x l y x y x F -++++=λλ …4分令 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=0021021222l y x F y F x F y x λλλ …6分解方程组得l y x 22==为唯一驻点，且最大周长一定存在 …8分 故当l y x 22==时，最大周长为l C )21(+= …10分1112B一、填空题（每小题2分，共10分）1. y x z 2=在点)1,1(处的._______________=dz22,dz xydx x dy =+112.x y dzdx dy ===+2. 设函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-取得极值，则常数_____=a .211(1,1)(4)0x x y f x a y ==--=++=,11(1,1)220y x y f xy ==--=+=,所以 5.a =-例36 设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在(1,1)-处取得极值，试求常数a ，并确定极值的类型．分析 这是二元函数求极值的反问题， 即知道(,)f x y 取得极值，只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题．解 因为(,)f x y 在(,)x y 处的偏导数均存在，因此点(1,1)-必为驻点， 则有 2(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)40220fx a y x f xy y ----⎧∂=++=⎪∂⎪⎨∂⎪=+=⎪∂⎩，因此有410a ++=，即5a =-． 因为22(1,1)4f A x-∂==∂，2(1,1)(1,1)22fB y x y--∂===-∂∂， 22(1,1)(1,1)22fC x y--∂===∂，2242(2)40AC B ∆=-=⨯--=>，40A =>，所以，函数(,)f x y 在(1,1)-处取得极小值．二、选择题（每小题2分，共10分）3. 在点P 处函数),(y x f 的全微分df 存在的充分条件为 （ Ｃ ） (A) y x f f ,均存在 (B) f 连续(C) f 的全部一阶偏导数均连续 (D) f 连续且y x f f ,均存在三、计算题（每小题8分，共40分）1. 设),(y x z z =是由方程z z y x 2222=++所确定的隐函数，计算22,x z x z ∂∂∂∂的值. 解:设 222(,,)2F x y z x y z z =++-，则2x F x =，2y F y = ，22,z F z '=-2,221z x x x z z ∂=-=∂--22()1z xx x z∂∂=∂∂-21(1)x z xz z -+=-22231(1)1(1)(1)xz xz x z z z -+-+-==-- 4. 求函数zx yz xy u ++=在点)3,1,2(沿着从该点到点)15,5,5(的方向导数.解 方向(3,4,12)l = 03412{,,}.13133l =1312cos ,134cos ,133cos ===γβα3)3,1,2(,5)3,1,2(,4)3,1,2(===z y x u u u ,1368cos cos cos =++=∂∂γβαz y x u u u l z . 五、证明题（每小题7分，共7分）证明(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)x y f x y x y ≠==⎩在)0,0(点偏导数存在，但不可微.证: (,0)0,(0,)0f x f y ==,0(0,0)(0,0)(0,0)limlim00.x x x f x f f x∆→→+∆-===∆ 00(0,0)(0,0)(0,0)limlim 00.y y y f y f f y∆→∆→+∆-===∆ (,)(0,0)f x y 所以函数在处可导....................3分2202200lim ),(lim )0,0()0,0(limy x y x yx y x f y f x f z y x ∆∆∆∆∆∆∆∆ρ∆∆∆ρρρ+=+=--→→→当点(,)P x y ∆∆沿曲线y kx =趋向(0,0)时，22222222000()lim lim lim ()()()()x x y k xx y x y k x x y x y x k x ρ→∆→→∆=∆∆∆∆∆∆==∆+∆∆+∆∆+∆21kk =+. 显然，当k 取值不同是，极限也不相同。
(完整版)多元函数微分法及其应用习题及答案
第八章 多元函数微分法及其应用(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，xy z∂∂∂2 ，则在D 上，xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。
(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。
(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。
2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23y x z∂∂∂。
5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。
6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。
7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。
8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？9．求方程1222222=++cz b y a x 所确定的函数z 的偏导数。
10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂。
12．设x y e e xy =+，求dxdy 。
13．设()y x f z ,=是由方程03=+-xy z e z确定的隐函数，求xz∂∂，y z ∂∂，y x z ∂∂∂2。
(整理)多元函数微分法及其应用模拟练习
《多元函数微分法及其应用》模拟练习一、填空题：1.函数)ln(1),(2x y y x y x f --+=的定义域是________________________。
2.已知xy x y x y x f +=-+2),(，则=),(y x f ______________________。
3.x xy y x 2sin lim)2,0(),(→=_______________;=--→12lim )0,0(),(xy y x e xy ________________。
4.设函数),(y x f 在点),(00y x 的偏导数存在，且),(00|y x xz ∂∂=a ，b y z y x =∂∂),(00|，_____;3),(),2(lim 00000=-+→h y x f y h x f h _____;3),(),(lim 00000=--→hy x f h y x f h 5.设x y xey x f 2),(=，则._____________|_____;__________)1,1(==dz dz 6.设)()(22y x h y x g z -++=，则____________________;__________=∂∂=∂∂yz x z ； y x z xz ∂∂∂=∂∂222__;____________________=______________________. 7.设),()(x y xg y x yf u +=其中g f ,具有连续二阶导数，则._____222=∂∂∂+∂∂y x u y xu x 8设),,()2(xy x g y x f z +-=其中f 具有连续二阶导数，其中),(v u g 具有连续二阶偏导数，则._____________________2=∂∂∂yx z 9.设z 是方程ze z y x =-+所确定的x 与y 的函数，._____________________2=∂∂∂y x z 10.曲面32=+-xy e z x在点（1，2，0）处的切平面方程为________________________,法线方程为________________________.11.在曲线32,,t z t y t x =-==的所有切线中，与42=++z y x 平行的切线有______条。
第9章 多元函数微分法及其应用(题库)
共计 8 页
24.（8-5）已知 ln x y arctan
2 2
dy y ，求 . x dx
25.（8-5）设 x y z 4 z 0 ，求
2 2 2
z . x
x t sin t 26.（8-6）曲线 y 1 cos t 在点 1,1, 2 2 处的切线方程是（ 2 t z 4sin 2
z . x
11.（8-2）求 z x 3 xy y 在点 1, 2 处的偏导数
2 2
z . y
12.（8-2）已知理想气体的状态方程 pV RT （ R 为常数） ，求 A.
p （ V
）.
RT V2
3 2
B.
R p
3
C.
V R
D. 1
2 z 13.（8-2）设 z x y 3 xy xy 1 ，求 2 . x
45.（8-8）某工厂要制一个体积 2 m 的有盖的长方体水箱，问长、宽、高各取多少尺寸， 可使用料最省？最省为多少？
3
第 9 章 多元函数微分法及其应用（题库）
第 7 页
共计 8 页
B 组 提高题
xy 2 2 1. 设 f x, y x y 0
x, y 0, 0 x, y 0, 0
第 9 章 多元函数微分法及其应用（题库）
第 4 页
共计 8 页
C.
x 1 y 2 z 2 1 0
2 2
D. x 2 y 4 0 ）.
30.（8-6）旋转抛物面 z x y 1 在点 2,1, 4 处切平面的一般方程为（ A. 4 x 2 2 y 1 z 4 0 C. 4 x 2 y z 6 0
第八章多元函数微分法及其应用自测题与答案.doc
第八章多元函数微分法及其应用A组1、填空题1)设/(»)=兀2+),2‘ gky) = /_y2,则f[g(x9y\y2 = ______________________2)设z = x + y + /(x- y),且当y = 0时，z = ，则z= ______________3)ix f(x, y) = x2 - arctan y - y2 arctan —,贝'J^-|(() v) = ____________y dx l4)设z = 1 + x + (1 + x2\p{ax + y),若己知：当x = 0时，z - \n(ey2\则虫= _________5)设z = /(兀,y)，由z5 +xz4 +yz3 = 1 所确定,则f x(0,0)= ___________6)设z = y + ln-,则在点M°(l,l,l)的法线方程为 ___________27)曲血，+2y2 +3# =12上点(1,一2,1)处的切平面方程为__________—> —> —> —>8)设/(x,y,z) =兀+ +必，则f(x,y,z)在(1,0,1)沿方向1 = 2 i-2 j+k的方向导数为_______2、下列函数的定义域并图示、1 11)2 = / — + /Qx + y y]x-y2) z = ln(y - 兀)+arccos3、求下列各极限1)(枫启2) lim匕逅卫(儿沪(O・O)xy3) lim 如(x』)_>(2,()) yv2 + 2Y4、问函数"匕在何处间断.5.求下列函数的偏导数uv2 z = sin(秽)+ cos2(xy)3)z = In tan —y2 2_ x + y6、曲线―4 —在点（2,4,5）处的切线对于x轴的倾角是多少?y = 4■ ■7、设/(x, y) = x + (y- l)arcsin Jy ,求人(兀」)•8、求下列函数的与，与，空dx1 dy2 dxd)^y1)z = arctan —x9、求下列函数的全微分2) u = x yz10、求函数£= / Q 当兀=2, y = l, Ar = 0.01, Ay = 0.03时的全增量和全微分.11、计算』0。
多元函数的微分法及其应用试题
多元函数微分学练习题一、判断题（正确的在括号内打√，错误 的在括号内打⨯）（ ）1.(,)lim2x y →=（ ）2.z =的定义域为221x y +≥（ ）3. 若函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处0000(,),(,)x y f x y f x y 存在，则(,)z f x y =在点00(,)x y 连续.（ ）4. 函数z =2x 2+4y 2在点(0, 0)处有极大值.（ ）5. 在有界闭区域D 上的多元连续函数, 必定在D 上有界, 且能取得它的最大值和最小值.（ ）6. 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.（ ）7. 函数2222222 0(,)0 0x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0,0)连续（ ）8. 设函数(,)z f x y =的全微分为2(1)dz x dx y dy =--，则(,)f x y 在(1,0)点处无极值（ ）9. 若二元函数z =f (x , y )在点(x , y ) 偏导数x z ∂∂、yz ∂∂连续，则函数在该点可微.（ ）10. 若二元函数z =f (x , y )的全微分dz xdx ydy =+，则(0,0)不是z =f (x , y )的连续点. （ ）11. 二元函数的驻点一定是极值点. （ ）12. 设44z x y =+，则(0,0)0dz=二、选择题（将最佳答案的序号填写在括号内）1. 函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 都存在是 函数(),f x y 在该点可微的( )A 、 充分条件B 、 必要条件C 、 充要条件D 、无关条件2. 二元函数()222222,0,0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在()0,0处( )A 、 极限存在B 、 连续C 、 可微D 、 关于,x y 得偏导数存在 3 设函数2x z x y y =+，则z x∂=∂( ) A 、2yxy x+B 、 2xy y +C 、 22x xy y -D 、12xy y +4. 曲面()2222321,0x y z z ++=>上某点的切平面平行于已知平面460x y z ++=则该点的坐标为( )A 、()1,2,2B 、 ()1,2,2---C 、()1,2,2±±±D 、()1,2,2-5. 点()2,2-为函数()()22,4f x y x y x y =---的（ ）A 、极大值点B 、极小值点C 、临界点但非极值点D 、无法确定6. 设(,)x yf x y x y+=-，则下列命题不正确的是( ) A 、00lim (,)x y f x y →→不存在 B 、0lim (,)1x f x y →=C 、0lim (,)1x f x y →=- D 、0lim (,)1y f x y →=7.设(,)f x y 在00(,)x y 点的充分小邻域内可微，且(,)f x y 在00(,)x y 点 取得极值，则下列命题正确的是( )A 、(,)f x y 在00(,)x y 点不连续B 、(,)f x y 在00(,)x y 点可能连续，也可能不连续C 、00(,)0df x y =D 、0000(,)(,)f f x y x y x y∂∂≠∂∂ 8. 若Z=f(x,y)有连续的二阶偏导数，且(,)()xyx y Kf =''常数，则(,)y f x y '=（ ）A 、22kB 、K yC 、 )(x ky ϕ+D 、)(y kx ϕ+9. 下列结论不正确的是（ ） A、函数z =在点(0, 0)处有极小值.B 、函数(1)(1)z x y =--在点(1, 1)处既取不到极大值也取不极小值.C 、若二元函数z =f (x , y )在点(x , y ) 可微，则函数在该点的偏导数x z ∂∂、yz ∂∂存在且连续.D 、22z x y =-在(0,0)点处有极小值三、填空题（将最佳答案填写在横线中）1. ()101lim 1xx y xy →→+= .2. 设函数z=x 2+y 2,当x=1,y=1,时01.0,02.0=∆=∆y x ，全微分dz= . 3.()22(,)(0,0)1limsinx y xy y→+= 4. 函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)具有偏导数, 则在点(x 0, y 0)处有极值的必要条件是 5. 设ln(1)xz y =+，则11x y dz === 6. 若点1(,1)4是函数2ln ()()z y x x y a x y b =+++-的一个极值点，则a = 7. 设(,)f x y xy =，其中221x y +=，则(,)f x y 的极大值为 8. 设函数()y f x =由方程2cos()1x y e xy e +-=-确定，则曲线()y f x =在点(0,1)处的法线方程为9. 设ln cos z u v t =+，其中,cos tu e v t ==，则dzdt= 10. 若cos xz e y =，则zx∂=∂ ,z y ∂=∂11. 若22arctan()z x y =+，则zx∂=∂ ,z y ∂=∂12.若z =，则22z z x y ⎛⎫∂∂⎛⎫+= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 13. 若sin xz y y =则2z x y∂∂∂在点(,2)π处的值为14. 若sin xz xye=，则22zx∂=∂15、设cos ,uz e v =而,,y x v xy u +==则zx∂=∂ ，z y ∂=∂16、设(,)z z x y =而cos ,sin x r y r θθ==，则zr∂=∂ zθ∂=∂ 17、设22ln()xyz x y e =-+，则zx∂=∂ ，z y ∂=∂18、设y z u xye -=，其中3sin ,,x t y t z t ===，则dudt= 四、证明题1. 若1111,f z x y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭证明：222z z xy z x y ∂∂+=∂∂. 2. 设()()y x at x at ϕψ=++- （其中ϕ，ψ具有二阶连续导数）证明：22222y y a t x∂∂=∂∂ 3. 已知 (,)0(,),(,),(,)x yF z z x y F u v z x y z z==确定其中均有连续编导数，求证z yz y x z x=∂∂+∂∂ 4. 函数22ln y x z +=满足方程02222=∂∂+∂∂y z x z 五、计算题1. 设3xyz x y e =+，求 222,z zx x y∂∂∂∂∂. 2. 设()sin ln tz t =，求dz dt. 3. 设arctan 0x y y -+=，求22d ydx.4. 求曲线226,12y x z x ==在12x =处的切线方程及法平面方程. 5. 已知2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z ,求zy∂∂6. 设23,sin ,u vzeu x v x -===，求全导数dzdx.7. 设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极小值(1)1g =，求211x y zx y==∂∂∂.8.设2ln(zz y y x∂=+∂∂求9. 设()x y z x y z e-++++=确定(,)z z x y =，求全微分dz10 求曲线 2223023540x y z x x y z ++-=⎧⎨⎩-+-= 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程11. 设 ),(v u f 具有二阶连续偏导数，且满足,12222=∂∂+∂∂v fu f2222221(,),(),2g g g x y f xy x y x y ∂∂⎡⎤=-+⎢⎥∂∂⎣⎦求 12. 求函数22442y xy x y x z ---+=的极值第十章 重积分一、填空题1． 交换⎰⎰--21222),(x x xdy y x f dx 得2． 求曲线2,422ayx ax y ==所围成图形的面积为 ，（a >0） 3． 设D 为0),0(222≥>≤+y a a y x 围成闭区域，则dxdy x D⎰⎰2化为化为极坐标下的二次积分的表达式为 4． 设Ω：2222R z y x ≤++，则dxdydz z D⎰⎰⎰2= 二、选择题1． 设积分区域D ：是圆环：,4122≤+≤y x 则二重积分⎰⎰+Ddxdy y x 22=（A ）dr r d ⎰⎰πθ2012（B ）dr d r⎰⎰πθ204（C ）dr r d ⎰⎰πθ20212（D ）dr r d ⎰⎰πθ20212.下列结果中正确的是（ ）A 、若D ：122≤+y x ，D 1：122≤+y x ，x,y ≥0，则⎰⎰--Ddxdy y x 221=4⎰⎰--1221D dxdy y xB 、若D ：122≤+y x ，D 1：122≤+y x ，x,y ≥0，则⎰⎰Dxydxdy =4⎰⎰1D xydxdyC 、二重积分⎰⎰D dxdy y x f ),(的几何意义是以Z=f(x,y)为曲顶，以O 为底的曲顶柱体的体积。
（完整版）多元函数微分法及其应用习题及答案
（完整版）多元函数微分法及其应⽤习题及答案第⼋章多元函数微分法及其应⽤(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z 2，xy z2 ，则在D 上，xy zy x z =22。
(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。
(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的条件。
2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z 23及23y x z。
5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。
6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。
7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。
8．曲线??=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾⾓是多少？9．求⽅程1222222=++c11．设()y x f z ,=是由⽅程y z z x ln =确定的隐函数，求xz，y z ??。
12．设x y e e xy =+，求dxdy 。
13．设()y x f z ,=是由⽅程03=+-xy z e z确定的隐函数，求xz，y z ??，y x z 2。
14．设y ye z x cos 2+=，求全微分dz 。
15．求函数()222ln y x z ++=在点()2,1的全微分。
第八章 多元函数微分法及其应用测试题
第七章 多元函数微分法及其应用测试题姓名： 学号：一、选择题（每小题3分，共15分）1、设2(,)()x f xy x y y=+，则(,)f x y =( ) （A ）221()x y y +; （B ）2(1)x y y+; （C ）221()y x x +; （D ）2(1)y y x +. 2、设函数sin z xy =，则22z x∂=∂( ) （A ）2sin y xy -; （B ）2sin y xy ; （C ）2sin x xy -; （D ）2sin x xy . 3、设函数222222,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩，则(,)f x y 在(0,0)点处（ ）（A ）连续，偏导数存在； （B ）连续，偏导数不存在；（C ）不连续，偏导数存在； （D ）不连续，偏导数不存在。
4、考虑二元函数(,)f x y 的下面4 条性质：①函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续；②函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数连续； ③函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微；④函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数存在. 则下面结论正确的是（ ）（A ）②⇒③⇒①；（B ）③⇒②⇒①；（C ）③⇒④⇒①； D ）③⇒①⇒④。
5、设函数(,)z f x y =是由方程2320x y xyz +-=确定,则z x∂=∂( ) （A ）222x yz xyz +; （B ）222x yz xyz -; （C ）2232y xz xyz -; （D ）2232y xz xyz+. 二、填空题（每空3分，共15分）1、2222(,)4ln(1)f x y x y x y =--++-的定义域是 。
2、22)0,1(),()ln(lim yx e x y y x ++→ 。
3、若23(,)5f x y x y =, 则(0,1)x f = ，(1,0)y f = 。
多元函数微分法及其应用习题
• 多元函数微分法概述 • 多元函数极值问题 • 多元函数微分法的几何意义 • 多元函数微分法的应用实例 • 习题解析与解答
01
多元函数微分法概述
定义与性质
定义
多元函数微分法是研究多元函数在某 点附近的变化的一种方法，包括偏导 数、全微分、方向导数和梯度等概念 。
性质
习题二解析与解答
总结词
抽象思维能力
详细描述
这道题目考察了学生的抽象思维能力，需要 学生通过分析问题，将实际问题转化为数学 模型，并运用多元函数微分法进行求解。通 过解答这道题目，学生可以培养自己的抽象
思维能力，提高数学建模的能力。
习题二解析与解答
要点一
总结词
综合应用能力
要点二
详细描述
这道题目考察了学生对多元函数微分法的综合应用能力， 需要学生将理论知识与实际问题相结合，通过解决实际问 题来提高自己的应用能力。通过解答这道题目，学生可以 加深对多元函数微分法的理解，提高自己的综合应用能力 。
多元函数极值问题
无约束极值问题
无约束极值问题是指在定义域内， 函数值不受任何限制的极值问题。 求解无约束极值问题通常采用梯 度法、牛顿法等。
梯度法的基本思想是通过不断迭 代，沿着函数值下降最快的方向 逼近极值点。在每一步迭代中， 都需要计算函数的梯度，并根据 梯度信息更新迭代点。
牛顿法的基本思想是通过不断迭 代，逼近函数的零点，从而找到 极值点。在每一步迭代中，需要 计算函数的Hessian矩阵（二阶 导数矩阵）和梯度向量，并根据 这些信息更新迭代点。
多元函数的微分法具有一系列性质， 如可加性、可乘性和可线性化等，这 些性质在解决实际问题中具有重要应 用。
偏导数与全微分
《高等数学》第九章 多元函数微分法及其应用自测题
第九章 多元函数微分法及其应用自测自检题第一部分:必做题一、选择填空题1. 设(0,1)y z x x x =>≠，则z x ∂=∂ , z y∂=∂ 。
2. 设22ln(1)z x y =++在点(1,2)处的全微分是 。
3. 设221(,)()2f x y x y =+，则(1,1)grad f = . 4. (,)f x y 的偏导数f x ∂∂及f y ∂∂在点(,)x y 处存在且连续是(,)f x y 在该点可微分的 ( ). (A) 必要条件而非充分条件 (B) 充分条件而非必要条件(C) 充分且必要条件 (D) 既非充分又非必要条件5. (,)f x y 在点00(,)x y 处偏导数存在且0000(,)(,)0x y f x y f x y ==,则点00(,)x y ( ).(A) 不是极值点 (B) 是极大值点 (C) 是极小值点 (D) 是驻点6. 设54444440(,)=,00x xyx y f x y x yx y ⎧++≠⎪+⎨⎪+=⎩则()()0,0 x f =(A) 0 (B) 1 (C) ∞ (D) 不存在,但不是∞7. 设333143,x y z xyz ++-=求,z z x y∂∂∂∂在()1,2,1-处的值分别为( ) (A) 3, 5 (B) 5, 3 (C) 0, 5 (D) 3,0三、计算题1. 3sin ln 2,yz x x y e =+++求222,.z z x x y ∂∂∂∂∂ 2. ,32,23.u z u x y v x y v ==+=-求.z y ∂∂3. 2sin ,,xy z e x t y t ===求.dz dt 4. 设2,,xy z u e z x y +==求,.u u x y∂∂∂∂5. 设0.ze z xy +-=求.z x ∂∂ 6. 设(,),zf xy x y =+其中f 具有二阶连续偏导数，求2,.z z x x y ∂∂∂∂∂7．求函数2u xy z =在0(1,1,2)P -处变化最快的方向，并求沿这个方向的方向导数.8.求曲线23,,x t y t z t ==-=上一点的切线, 9若曲面224z x y =--上点P 处切平面平行 使得与平面240x y z ++-=相平行. 于平面2210x y z ++-=，求P 的坐标.10.试求球面2221x y z ++=上一点, 使得该点到平面22100x y z -+-=距离最远.第二部分:选做题(考试不作要求)1.设222222221()sin 0(,)=,00x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+⎨⎪+=⎩试讨论在(0,0)处的连续性、偏导存在性、可微性、偏导连续性.2.求椭球面2221345x y z ++=第一卦限上一点,使得过该点的切平面与三个坐标平面所围立体体积最小. 3.设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f =满足等式22220z z x y∂∂+=∂∂ (Ⅰ)验证()()0f u f u u'''+=. (Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式.。
多元函数微分法及其应用同步测试
练习一 多元函数微分法及其应用同步测试测试1一、填空题（3分×4=12分）1、设22,y x x y y x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则=),(y x f 。
2、=+→222)0,0(),(sin limy x yx y x 。
3、设xyze z y xf =),,(，则=∂∂∂∂zy x f3 。
4、曲线⎪⎩⎪⎨⎧==zx x y 22在点)1,1,1(0P 处的切线方程为 。
二、选择题（4分×3=12分）1、设有二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=),0,0(),(,0),0,0(),(,),(242y x y x y x yx y x f 则 [ ]。
A 、),(lim )0,0(),(y x f y x →存在， ),(y x f 在(0,0)处不连续；B 、),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在， ),(y x f 在(0,0)处不连续；C 、),(lim )0,0(),(y x f y x →存在， ),(y x f 在(0,0)处连续；D 、),(lim)0,0(),(y x f y x →不存在， ),(y x f 在(0,0)处连续。
2、函数),(y x f 在),(000y x P 连续是),(y x f 在),(000y x P 各一阶偏导数存在的[ ]。
A 、必要条件；B 、充分条件；C 、充要条件；D 、既非必要也非充分条件。
3、点)0,0(O 的函数xy z=的[ ]。
A 、极小值点；B 、驻点但非极值点；C 、极大值点；D 、最大值点。
三、计算题（6分×5=30分） 1、设⎩⎨⎧=+≠++=.00,0),ln(),(222222y x y x y x x y x f 求),(y x f 各一阶偏导数。
2、设⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=y x x y x f ln ),(，求此函数在点)1,1(0P 处的全微分。
3、设),(y x f z=由方程0=-++++y x z e y x z 所确定，求dz 。
多元函数微分法及其应用(习题和详细解答)
多元函数微分法及其应用（习题）(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，x y z∂∂∂2 ，则在D 上，xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。
(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。
(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。
2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23y x z∂∂∂。
5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。
6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。
7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。
8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程1222222=++cz b y a x 所确定的函数z 的偏导数。
10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求x z ∂∂，yz∂∂。
12．设x y e e xy =+，求dxdy。
13．设()y x f z ,=是由方程03=+-xy z e z确定的隐函数，求x z ∂∂，y z ∂∂，yx z∂∂∂2。
多元函数的微分和积分单元测试
多元函数的微分和积分单元测试1. 本题考查多元函数的偏导数计算。
给定函数$f(x,y)=3x^2y-2xy^3$，求$f_x$和$f_y$。
2. 计算二重积分$\iint_D e^{x+y} \,dx\,dy$，其中积分区域$D$为$0\leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 1$。
3. 利用二重积分的性质计算$\iint_D (x^2+y^2) \,dx\,dy$，其中积分区域$D$为$x^2+y^2 \leq 1$。
4. 求曲线积分$\int_C x\,dy$，其中曲线$C$由$y=x^2$和$y=1$所围成。
5. 计算三重积分$\iiint_E xyz \,dx\,dy\,dz$，其中积分区域$E$为$0\leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 2, 0 \leq z \leq 3$。
6. 计算球体$x^2+y^2+z^2 \leq 1$的体积。
7. 求梯度算子$\nabla f$，其中$f(x,y,z)=x^2y^2z^2$。
8. 利用Green公式计算曲线积分$\oint_C (x^2+y^2) \,dx+(xy^2) \,dy$，其中曲线$C$为$x^2+y^2=1$。
9. 求二重积分$\iint_D (x+y) \,dx\,dy$，其中积分区域$D$由曲线$y=x^2$和$y=2x$所围成。
10. 计算曲面积分$\iint_S z \,dS$，其中曲面$S$为$z=x^2+y^2, 0 \leqx \leq 1, 0 \leq y \leq 1$。
以上为多元函数的微分和积分单元测试题目，希朇考生认真答题，对于不会的题目可以在草稿纸上作答。
祝各位考生顺利完成考试！。
《多元函数微分法及其应用》单元测试题（一）
《多元函数微分法及其应用》单元测试题（一）
单元测试题试题
【注1】本次测试主要内容为高等数学教材中多元函数微分学章节的主要内容，建议自己在
草稿纸上动手做完以后再参见下面给出的参考答案！
【注2】参考解题过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！
希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望您能不吝指出！
如果您有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给我
们，我们将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
单元测试题参考答案
相关推荐
更多测试与练习请参见“高数线代”菜单下的“大纲总结公式练习”选项中“综合练习”列表的总列
表，或者直接进入相应课程的内容导航列表中查看！。
第九章多元函数微分法及其应用+单元自测题
第九章多元函数微分法及其应用+单元自测题第八章多元函数微分法及其应用B 题1、填空题1) 设()x y y x z -+=22arcsin ，其定义域为2) 函数223z x xy y =++的偏导数x z = ，y z =3) 函数xy z e =在点(2,1)处的全微分dz =4) 设sin z uv t =+，而,cos t u e v t ==，则dz dt= 5) ()y x f z ,=在点()y x ,的偏导数x z ??及y z ??存在是()y x f ,在该点可微分的条件 6) ()()xy xy y x 42lim0,0,+-→= 7)8) 函数xy x y z 2222-+=在间断 9) 设2lnx y z +=，则在点()1,1,10M 的法线方程为10) 曲面1232222=++z y x 上点()1,2,1-处的切平面方程为11) 设()222ln z y x u ++=在点()2,2,1-M 处的梯度=M gradu12) 设()xz y x z y x f ++=2,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→→→→+-=k j i l 22的方向导数为2、求ln()z x x y =+的二阶偏导数3、 sin u z e v =，而,u xy v x y ==+，求z x ??和z y4、已知20xy ze z e --+=，求z x ??，z y ??，22x z ?? 5、设0,1,xu yv yu xv -=??+=?求,,,u u v v x y x y6、求曲线=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点()1,1,1处的切线及法平面方程.7、求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面及法线方程.8、求函数2y z xe =在点(1,0)P 处沿从点(1,0)P 到点)1,2(Q 的方向的方向导数.9、问函数z xy u 2=在点()2,1,1-P 处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值.10、求函数y x y x y x f 44),(22+-+=的极值11、欲选一个无盖的长方形水池，已知底部造价为每平方米a 元，侧面造价为每平方米b 元，现用A 元造一个容积最大的水池，求它的尺寸.12、抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圆，求原点到这个椭圆的最长与最短距离.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
EMBED Equation.3 即 EMBED Equation.3
解出 EMBED Equation.3
2、 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
A、必要条件； B、充分条件；
C、充要条件； D、既非必要也非充分条件。
3、点 EMBED Equation.3 的函数 EMBED Equation.3 的[ ]。
A、极小值点； B、驻点但非极值点；
3、求函数 EMBED Equation.3 在点 EMBED Equation.3 处，从 EMBED Equation.3 指向 EMBED Equation.3 (2,1,-1)方向的方向导数，并求函数在 EMBED Equation.3 点处的最大方向导数。
4、设 EMBED Equation.3 ，式中 EMBED Equation.3 二阶可导，求 EMBED Equation.3
5、设 EMBED Equation.3 各函数都具有连续的一阶偏导数，
且 EMBED Equation.3 ，求 EMBED Equation.3 。
在给定点 EMBED Equation.3 处，两偏导数均连续，故该函数在此点可微分。
又由于
EMBED Equation.3 ，故所求全微分为
EMBED Equation.3
3、利用微分形式不变性，在所给方程
EMBED Equation.3
（A）必要条件； （B）充分条件；
（C）充要条件； （D）既非必要亦非充分条件。
3、曲面 EMBED Equation.3 在点P(2,1,0)处的切平面方程是 [ ]
（A） EMBED Equation.3 ； （B） EMBED Equation.3 ；
EMBED Equation.3
故
EMBED Equation.3
即 EMBED Equation.3
将直线L写成对称式方程，有
EMBED Equation.3
进一步写成参数式，有
EMBED Equation.3
二、选择题（4分×3=12分）
1、函数 EMBED Equation.3 在(0,0)点处 [ ]。
（A）极限值为1； （B）极限值为-1；
（C）连续； （D）无极限。
2、 EMBED Equation.3 在 EMBED Equation.3 处 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 存在是函数在该点可微分的 [ ]
2、设 EMBED Equation.3 是曲面 EMBED Equation.3 在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量，求函数 EMBED Equation.3 在点P处沿方向 EMBED Equation.3 的方向导数。
3、试分解正数 EMBED Equation.3 为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。
3、设函数 EMBED Equation.3 由方程 EMBED Equation.3 所确定，则全微分 EMBED Equation.3 。
4、曲线 EMBED Equation.3 在点(1,1,1)处的切线方程为 。
EMBED Equation.3 当 EMBED Equation.3 时，有
EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3
2、 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3
2、设 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 具有连续的二阶偏导数， EMBED Equation.3 可导，求 EMBED Equation.3 。
3*、设 EMBED Equation.3 确定函数 EMBED Equation.3 ，求 EMBED Equation.3 。
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
3、设 EMBED Equation.3 由方程 EMBED Equation.3 所确定，求 EMBED Equation.3 。
4、设 EMBED Equation.3 ，式中 EMBED Equation.3 具有各二阶连续导数，求 EMBED Equation.3
C、极大值点； D、最大值点。
三、计算题（6分×5=30分）
1、设 EMBED Equation.3 求 EMBED Equation.3 各一阶偏导数。
2、设 EMBED Equation.3 ，求此函数在点 EMBED Equation.3 处的全微分。
C、 EMBED Equation.3 存在， EMBED Equation.3 在(0,0)处连续；
D、 EMBED Equation.3 不存在， EMBED Equation.3 在(0,0)处连续。
2、函数 EMBED Equation.3 在 EMBED Equation.3 连续是 EMBED Equation.3 在 EMBED Equation.3 各一阶偏导数存在的[ ]。
5、设 EMBED Equation.3 具有各二阶连续偏导数，求 EMBED Equation.3 和 EMBED Equation.3 。
四、综合题（8分×4=32分）
1、设直线 EMBED Equation.3 在平面 EMBED Equation.3 上，而平面 EMBED Equation.3 与曲面 EMBED Equation.3 相切于点M(1,-2,5)，求 EMBED Equation.3 的值。
4*、研究函数 EMBED Equation.3 是否有极值。
五、证明题（7分×2=14分）
1*、设函数 EMBED Equation.3
试证： EMBED Equation.3 在P(0,0)处不可微分。
2、设 EMBED Equation.3 都具有连续的一阶和二阶各偏导数，且
EMBED Equation.3
证明： EMBED Equation.3 。
测试2
一、填空题（3分×4=12分）
1、设 EMBED Equation.3 则 EMBED Equation.3 。
2、设 EMBED Equation.3 ，则 EMBED Equation.3 。
4*、试求底边平行于椭圆 EMBED Equation.3 的长轴的内接等腰三角形面积的最大值。
五、证明题（7分×2=14分）
1、试证：曲面 EMBED Equation.3 上任一点处的切平面都平行于一条直线，式中 EMBED Equation.3 连续可导。
2、试证： EMBED Equation.3 在点(0,0)处连续，偏导数存在，但是不可微分。
3、设 EMBED Equation.3 ，则 EMBED Equation.3 。
4、曲线 EMBED Equation.3 在点 EMBED Equation.3 处的切线方程为 。
二、选择题（4分×3=12分）
EMBED Equation.3
5、 EMBED Equation.3
E
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
四、1、曲面 EMBED Equation.3 在点M(1,-2,5)处切平面的法向量为
四、综合题（8分×4=32分）
1、利用变换 EMBED Equation.3 把方程 EMBED Equation.3 化简为 EMBED Equation.3 ，试求 EMBED Equation.3 的值。
2、求曲线 EMBED Equation.3 ，在点 EMBED Equation.3 处的切线方程。
练习一 多元函数微分法及其应用同步测试
测试1
一、填空题（3分×4=12分）
1、设 EMBED Equation.3 ，则 EMBED Equation.3 。
2、 EMBED Equation.3 。
（C） EMBED Equation.3 ； （D） EMBED Equation.3
三、计算题（6分×5=30分）
1、设 EMBED Equation.3 求 EMBED Equation.3 和 EMBED Equation.3 。
1、设有二元函数 EMBED Equation.3 则 [ ]。
A、 EMBED Equation.3 存在， EMBED Equation.3 在(0,0)处不连续；
B、 EMBED Equation.3 不存在， EMBED Equation.3 在(0,0)处不连续；
测试题答案
测试1
一、1、 EMBED Equation.3 ； 2、0； 3、 EMBED Equation.3
4、 EMBED Equation.3
二、1、B 2、D 3、B
三、1、由于极限
EMBED Equation.3 不存在，故 EMBED Equation.3 不存在，而
两端取微分，则有
EMBED Equation.3
当 EMBED Equation.3 时，有
EMBED Equation.3
4、 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ，
EMBED Equation.3