多元函数微分习题课课件
多元函数微积分(课件)
D {(r,h) | r＞0,h＞0} 。
二元以及二元以上的函数统称为多元函数。
5
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
2．二元函数的定义域 二元函数的定义域比较复杂，可以是坐标系中全部的区域，也可以是由曲线所围成的 部分区域。围成区域的曲线称为区域的边界。不包括边界的区域称为开区域，连同边 界在内的区域称为闭区域；开区域内的点称为内点，而边界上的点称为边界点。 如果一个区域 D 内任意两点之间的距离都不超过某一正常数 M ，则 D 称为有界区域， 否则称为无界区域。
、
【例 3】 求二元函数 z ln(x y) 的定义域 D 。 解 由对数函数性质可知 x 、 y 必须满足 x y＞0 。直线 x y 0 是它的边界，定义域 为不包括边界在内的开区域。
D {(x, y) | x y＞0}
二、多元函数的极限
定义 5.2 设二元函数 z f (x, y) ，如果当点 P(x, y) 以任意方式趋向于点 P0 (x0 , y0 ) 时，f (x, y) 总趋向于一个确定的常数 A ，则称 A 是二元函数 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0 ) 时的极限，记为
4
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
一、多元函数的概念 1．二元函数的定义
定义 5.1 设 D 是平面上的一个非空点集，如果对于每个点 (x, y) D ，变量 z 按照一定的法 则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、y 的二元函数，记为 z f (x, y) 。其中 x、y 称 为自变量， z 称为因变量，自变量 x、y 的取值范围 D 称为函数的定义域。 【例 1】设圆锥体的底面半径为 r ，高为 h ，则体积V 1 πr2h 。这是一个以 r 、h 为自变量，
则多元函数微分学习题课公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
x2 y2
(sin cos )cos 2 ,
故 lim ( y x)x 0.
x y x0
2
2
y0
第12页
例2 已知 w f ( x y, y z,t z)
求
w w w w x y z t
解
w x
f1
w y
f1
f2
w
w
z f2 f3 t f3
w x
w y
w z
w t
即
x y z 3
第31页
切平面在三个坐标轴上截距分别为
3 3 , 3 3 , 3 3
故切平面与三个坐标面所围成四周体体积为
V 1 底面积 高 1[1 | 3 | | 3 | | 3 |]
3
32
9 | | 9 是一个常量
2
2
第32页
例13 设 y = f ( x ,t ) 而 t 是由 F (x ,y ,t) 拟定
0
例3 已知 z sin(ax by c) 求
mnz x m y n
第13页
解 z a cos(ax by c)
x a sin(ax by c )
2z
x2
a2
sin(ax
by
c
2
2 )
2
mz xm
am
sin(ax
by
c
m
2
)
m 1 z
xmy
a m b sin(ax
by
c
边所正确圆心角，则
x yz
三角形面积
A 1 R2(sin x sin y sin z) 2
第21页
问题就是求A在条件
x y z (0 x, y,z )
多元函数微分学习题课精品PPT课件
(0, y) y
f
(0, 0)
lim
y0
0 y
0
可微性 在点(0, 0)处，
z fx(0, 0)x f y(0, 0)y
f
(x,yxx)(aarrcctta0xannarc(t(anxx))221x121((yyy)2)22,
2(xx, y) 2()x, y)
(0, 0) (0, 0)
1
3. 利用一阶微分形式不变性
例3 设 z x3 f ( xy, y ), ( f 具有二阶连续偏导数 )， x
求 z , 2z , 2z . y y2 xy
解
z y
x3 ( f1x
f
2
1 x
)
x4 f1
x2 f2,
2z y 2
x4 ( f11x
f12
1 x
)
x2
(
f
21
x
f
22
1 x
)
x5
f11
第七章 习题课
• 主要内容 • 典型例题
主要内容
平面点集 和区域
极限运算
多元连续函数 的性质
多元函数概念
多元函数 的极限
多元函数 连续的概念
方向导数
复合函数 求导法则
全微分形式 的不变性
全微分 概念
偏导数 概念
多元函数的极值
全微分 的应用
高阶偏导数
隐函数 求导法则 微分法在 几何上的应用
问题：1求极限，判断函数极限存在性 2、函数连续性、偏导数存在性、可微性的判别
x0
x0
y0
y0
x2 y2 0 f (0, 0)
所以函数f (x, y)在(0, 0)点连续.
高等数学第九章第六节多元函数微分学的几何应用课件.ppt
当J (F,G) 0时, 可表示为 (y, z)
, 且有
dy 1 (F,G) , dz 1 (F,G) , dx J (z, x) dx J (x, y) 曲线上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为
T 1, (x0 ), (x0 )
1 ,
1 J
(F,G) (z , x)
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
➢定义
设向量值函数 f (t )在点 t0的某一邻域内有定义, 如果
x x0 Fx (x0 , y0 , z0 )
y y0 Fy (x0 , y0 , z0 )
z z0 Fz (x0 , y0 , z0 )
T
M
特别, 当光滑曲面 的方程为显式
F(x, y, z) f (x, y) z
时, 令
则在点 (x, y, z),
故当函数
在点 ( x0, y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
f (t)的三个分量函数 f1(t), f2(t), f3(t)都在 t0 可导.
当f (t)在 t0 可导时, f (t) f1(t)i f2(t) j f3(t)k.
➢运算法则
设u(t), v(t),(t)可导, C是常向量, c是任一常数，则
(1) d C 0 dt
(2) d [cu(t)] cu(t) dt
例1. 求圆柱螺旋线
在
对应点处的切线方程和法平面方程.
解: 由于
对应的切向量为 T (R , 0, k), 故
多元函数微分学习题课 (2)
a
D，使
f
(最值定理)
(a) ;
(介值定理)
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思考与练习
1. 讨论二重极限 lim
xy
时, 下列算法是否正确?
(x,y)(0,0) x y
解法1
原式
lim
x0
y0
1 y
1
1 x
0
解法2 令 y kx,
解法3 令 x r cos , y r sin ,
f3
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例. 设 u f (x,t) , 而 t 是由 Fx, y, z 0确定，
其中f、F具有一阶连续偏导，
证明：
du dx
f F f F x t t x
f F F
t y t
三、多元函数微分法的应用
1. 极值与最值问题 • 极值的必要条件与充分条件 • 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法)
f2 (x1, x2 , x3, y1, y2 ) y2 cos y1 6 y1 2x1 x3
x求0 由 (3,f2(,7x),Ty,)y0
0
(0,1)T
确定的隐函数
y
g(
x)在x0处的导数
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多元函数微分法
显式结构 1. 分析复合结构 隐式结构
自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则 注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性
x y ( x, y)(0,0) 2
2
而其中 lim (x2 y2 ) ln( x2 y2 ) 0 ( x, y)(0,0)
lim
第八章多元函数微分学课件
四.多元函数的连续性
习题
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第一节 多元函数的基本概念
一、区域
1.邻域 设 P0(x0, y0) 是xOy平面上的一个点，δ是某一
正数.与点 P0(x0, y0) 距离小于δ的点 P(x, y) 的全体 称为P0 的邻域，记为U (P0, )，即
U (P0, ) {P PP0 }
也就是
U (P0, ) {(x, y) (x x0 )2 ( y y0 )2 }
也称为因变量,数集
{z z f (x, y),(x, y)D}
称为该函数的值域.
把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集 D.则可类似的定义n元函数 u f (x1, x2, , xn ) .当 n=1时，n元函数就是一元函数.当n≥2时n元函 数统称为多元函数.
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三、多元函数的极限
M 0Tx 对y轴的斜率.
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x
z y
2z yx
fyx (x,
y), y
z y
2z y2
fyy (x,
y)
其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数.同 样可得三阶、四阶、···以及n阶偏导数.二阶及 二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
例题
定理 如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏
,
x
x x0 y y0
,
zx
xx0 或fx (x0, y0 )
y y0
如果函数 z f (x, y) 在区域D内每一点(x,y)
处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是
x、y函数,它就称为函数 z f (x, y) 对自变量x
的偏导函数，记作
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第九章 多元函数微分法及其应用例题课件.ppt.-文档资料
例13．证明函数
f
x,
y
x2y2
若x2y20
0
若x2y20
分别对每个自变量 x 或 y （另一
个看作常数）都连续，但作为二元
函数在原点 0 ，0 不连续。
例14．求函数
f
x,ysinx2
1 y2
1
的间断点。
例15． 求
lim x y x, y 1,2 xy
例16．求
xy 11
lim
则方程 F x ,y ,z= 0 在 点 x 0 ,y 0 ,z 0 的某
一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有
连续偏导数的函数 z f x, y,它满足条
件 z0 f x0,y0,并有 z Fx , z Fy
x Fz y Fz
例2．设
x2+y2+z24z0
2z
求 x2
。
例3．设 Z zx, y 为由
x, y0,0
xy
§9-2偏导数
例1．求函数
x2y2 当x0 或y0
f
x,
y
1
当xy0
例2．求
Z x2sin2y
的偏导数。
例3．设
Zxyx0,x1
求证
x z 1 z 2z y x lnx y
例4．求
r x2 y2 z2
的偏导数。
例5．求
Zx23xyy2
在点 1 , 2 处的偏导数。
x,y 0,0
例10．求
x2y2
xyl im
xy x2 y2
例11．设 f x,ysinx ，
证明 f x, y 是 R 2 上的连续
函数。
例12．为了使函数在原点 0 , 0
第八章_则多元函数微分学_习题课知识课件
求z,
2z ,
2z
.
y y2 xy
解
yzx3(f1xf21x) x4f1 x2f2 ,
y 2z 2x 4(f1 x 1f1 1 x 2)x 2(f2 x 1f2 1 x 2)
x 5 f 1 1 2 x 3 f 1 2x f 2 ,2
x 5 f 1 1 2 x 3 f 1 2x f 2 ,2
x
2
x 2z2a2sia n x(b yc22)
x m m zam sia n xb ( ycm 2)
x m m 1zyam bsian xb ( ycm 2 2)
x m m n y znam bnsian x b ( y c(m 2n ))
例4 设z x3 f(xy, y),( f 具有二阶连续偏)，导数 x
例6 设 xyze (xy z) 求
2z 2z 2z x2 ,xy,y2
解一 记 F ( x ,y ,z ) x y z e ( x y z )
则 FxFyFz 1e(xyz)
z z 1 x y
x2z2 x2zyy2z2
0
解二 方程两边对 x 求偏导
1ze(xyz)(1z)
x
x
(1z)1 [e(xyz)]0 x
2z 2z xy yx
x(x4f1x2f2)
4x3 f1x4[f11y f12(xy2)]2xf2 x2[f21yf22(xy2)]
4 x 3 f 1 2 x f 2 x 4 y f 1 1 y f 2 .2
例5 设uf(x,y,z),(x2,ey,z)0,ysix n,
(f,具有一阶连 )， 且续 偏 0,求 导 du . 数
称为全导数.
v
设 zfu (x ),v(x ,y),y u x
第六章多元函数微分学基础课件
O
y (见图6 10)
x
图6 10 空间直线L
例6 下列方程表示什么曲线:
x2 y2 z2 25
x 0
x y 0
(1)
z
4
;
(2)
y
; 0
(3)
x
y
. 0
解 (1)方程x2 y2 z2 25表示以原点为球心,以5为半径的球面,
方程z 4表示平行xOy平面的一个平面.
将z 4代入x2 y2 z2 25得x2 y2 9
z
z
z1
O
y
图6-6 例4示意图 x
3.球面方程
•M 0
y O
x
图6-7 球面示意图
空间一动点M 到定点M 0的距离为一定值R, 该动点的运动轨 迹叫作球面,定点M 0叫球心,定值R叫作球面半径.
下面建立该球面方程(见图6-7)
解 设球心M 0坐标为(x0 , y0 , z0 )在球面上任取一点M (x, y, z). 由两点距离公式知 M0M (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 故得 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
下面建立以xOy平面上的曲线为准线,以平行于z 轴的直线 为母线的柱面方程(见图6-8)
z
•M
l O
y
x M'
图6-8 柱面示意图
在柱面上任取一点M (x, y, z),过M点作平行于z轴的直线l, 该直线l与xOy平面交于一点M '(x, y,0),由柱面定义可知, M '(x, y,0)一定在准线c上,准线c的方程已知,设为f (x, y) 0,则M '一 定满足准线c的方程.因为f (x, y) 0不含变量z,所以柱面上的点 M (x, y, z)的坐标也满足方程f (x, y) 0;而不在柱面上的点,过该 点平行于z轴的直线时,该直线与xOy平面的交点一定不在准线c 上,所以该点坐标不满足方程f (x, y) 0,即不在柱面上的点坐标 一定不满足方程f (x, y) 0.由柱面上点M的任意性可知,柱面上 任意点都满足方程f (x, y) 0.因此,方程f (x, y) 0在空间表示以 xOy平面上曲线c为准线.以平行于z轴的直线为母线的柱面.
《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学概述 • 多元函数的导数与偏导数计算 • 多元函数微分学在几何上的应用 • 多元函数微分学在极值问题中的应
用
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学在约束最优化问题 中的应用
• 多元函数微分学在实际问题中的应 用
01
多元函数微分学概述
04
多元函数微分学在极值问题中的应用
极值的第一充分条件
总结词
极值的第一充分条件是多元函数微分 学中用于判断函数极值的重要定理。
详细描述
极值的第一充分条件表明，如果一个 多元函数在某一点的偏导数等于零， 并且这个点的海森矩阵（Hessian matrix）是正定的或负定的，那么这 个点就是函数的极值点。
多元函数的概念
80%
多元函数
设D是n维空间的一个区域，对D 中的任意点P，若存在实数x、y、 z...与之对应，则称f(x,y,z...)是D上 的多元函数。
100%
多元函数的定义域函数f(x Nhomakorabeay,z...)中所有自变量x、y 、z...的取值范围共同构成的集合 称为多元函数的定义域。
80%
多元函数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y)表 示曲面上的点P(x,y,f(x,y))的轨迹 。
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
对于多元函数f(x,y,z...)，如果当 其他变量保持不变时，函数关 于某个特定变量的一阶导数存 在，则称这个导数为该函数在 该特定变量上的偏导数。
偏导数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y) 在点(x0,y0)处关于x的偏导数 表示曲面在点(x0,y0)处沿x轴 方向的切线斜率。
多元函数微分学习题课(高数课件)超经典
唯一驻点
b2 b2 y Fy = −2( ) 2 + 2λ 2 = 0 y y b
c2 c2 z Fz = −2( ) 2 + 2λ 2 = 0 z z c
由实际意义可知 为所求切点 .
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例5. 求旋转抛物面
与平面
之间的最短距离. 之间的最短距离 则 解： 设 上任一点， 为抛物面 z = x2 + y2 上任一点， P 到平面 x + y − 2z − 2 = 0 的距离为 问题归结为
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而
∆f
(0,0)
=
(∆x)2(∆ y)2 [(∆x) + (∆ y) ]
2 2 3 2
, 当∆x → 0， y → 0时 ∆
∆f
(0,0)
(∆x)2 + (∆ y)2
(∆x)2(∆ y)2 = [(∆x)2 + (∆ y)2 ]2
0
在点(0,0)不可微 ! 所以 f 在点 不可微
2. 同济 下) P73 题12 同济(下
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解答提示: 解答提示 第 1 题
y2 (1) z = x f ( ) : x
= 2y f ′
y2 2y3 2 y f ′′ ⋅ (− 2 ) = − 2 f ′′ x x
y2 (2) z = f ( x + ) : x
2y 2y y2 f ′′ (1 − 2 ) − 2 f′+ ⋅ x x x
求
∂z ∂u ∂v =v +u ∂x ∂x ∂x ∂z ∂u ∂v =v +u ∂y ∂y ∂y
u u
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习题课第九章 多元函数微分法及其应用一、 基本概念二、多元函数微分法三、多元函数微分法的应用1. 多元函数的定义、极限 、连续• 定义域及对应规律• 判断极限不存在及求极限的方法• 函数的连续性及其性质1. 多元函数的定义、极限 、连续• 定义域及常见的几种规律：()()()()()()()()()2),( ),,(tan 1, ,,arccos ,arcsin 0, ,,ln 0, ,,0, ,,12ππ+≠≤>≥≠k y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u n其中其中）（其中其中其中1. 多元函数的定义、极限 、连续• 判断极限不存在及求极限的几种方法：1. 多元函数的定义、极限 、连续• 函数的连续性及其性质()()()(),,,,lim 00y x f y x f y x y x =→有界性最值定理介值定理一致连续性定理()上连续在有界闭区域若D P f2. 几个基本概念的关系连续偏导数存在偏导数连续可微方向导数存在例1 求函数 的定义域，并求 。
()⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=221ln 22,y x yx y x f ()()()y x f y x ,lim 0,0,→解定义域：{}{}10),(01),(222222<+<=≠+<+=y x y x y x y x y x D 且22yx t +=设()1111lim 1ln lim 0-=--=-=→→tt t t t 原式洛必达法则思考与练习例2 讨论极限解法1解法2 时, 下列算法是否正确？yx xyy x +→→00lim 0111lim0=+=→→xy y x 原式01lim ,0=+==→kkx kx y x 原式令11100=+==xy y x ××()1lim ,222-=-+-=-=→xx x x x x x x y x 原式令例3 证明函数 在点 处的两个偏导数都存在，()xy y x f z ==,()0,0但 在点 处不可微。
()0,0()y x f ,证()()()()()()00lim 0,00,0lim 0,000lim 0,00,0lim 0,00000=∆=∆-∆+=∂∂==∆=∆-∆+=∂∂=→∆→∆==→∆→∆==yy f y f yzf xx f x f x zf y y y x yx x y x x例3 证明函数 在 处的两个偏导数都存在，()xy y x f z ==,()0,0但 在点 处不可微。
()0,0()y x f ,证()()yx f y x f z ∆∆=-∆+∆+=∆0,00,0()()00,00,00=∆+∆===y f x f dzyxy x ()()212lim lim 022≠=∆∆=∆+∆-∆→∆=∆→∆=∆x x y x dz z x y x y 即()()()ρo y f x f z yx+∆+∆≠∆0,00,0可微：()())(d 22y x o z z ∆+∆+=∆二、多元函数微分法显式结构1. 分析复合结构(画变量关系图)隐式结构自变量个数 = 变量总个数 – 关系式总数自变量与因变量由所求对象判定2. 正确使用求导法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”注意正确使用求导符号3. 利用一阶微分形式不变性或偏导数, 求 .xzd d =∴xzd d )0(23≠'+''F F f x =xzd d +'1F23F F f x '-''-=1 32F F f x '''-12F F f x f f x '-''+'-221F f f F x f F x '-''-''f x f xzx y f x '+=+'-d d d d 132d d d d F xz F x y F '-='+'+f ⋅'f x )d d 1(xy ++'xy F d d 20d d 3='x zF解法2 方程两边求微分, 得()y x f x x f z d d d d +⋅'+=0d d d 321='+'+'z F y F x F ()0d d d =-'+'+z y f x x f x f 0d d d 321='+'+'z F y F x F 或偏导数, 求 .xzd d例5 设 而 是由方程 所确定(),,t x f y =()0,,=t y x F ()y x t t ,=的函数， 其中 都具有一阶连续偏导数，试证明F f ,t F y F t f x Ft f t F x f x y ∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂=d d 解()t x f y ,=()0,,=t y x F xt t f x fx y d d d d ∂∂+∂∂=0d d d d =∂∂+∂∂+∂∂xt t F x y y F x Fxt t f x f x y d d d d ∂∂+∂∂=0d d d d =∂∂+∂∂+∂∂xtt F x y y F x F 整理xf x t t f x y ∂∂=∂∂-d d d d xFx t t F x y y F ∂∂-=∂∂+∂∂d d d d 当 01≠∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂∂-=yF t f t F tF y F t f D tFy F t f x Ft f t F x f t F x Ft f x f D x y ∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂=∂∂∂∂-∂∂-∂∂⋅=1d d例6 设 有二阶连续偏导数，且 ()z y x f u ,,=()y x t t xz +==ln ,sin 2求 . yx ux u ∂∂∂∂∂2,x y zf x t x y解⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+⋅'+'=∂∂y x t x t x f f x u 1cos sin 2231⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅''+''=∂∂∂y x t x f f y x u 1cos 213122⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅''+''+y x t x t x y x t x f f cos sin 21cos 223332()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⋅-++⋅-++⋅⋅'+2231cos 1sin 1cos 2y x t y x yx t x y x t x f 321,,f f f '''123例7 设 具有二阶连续偏导数，求()y x xy f z 22,=22222,,yz y x z x z ∂∂∂∂∂∂∂解2122f xy f y xz'+'=∂∂2212f x f xy yz'+'=∂∂()()222122121122222222f xy f y xy f y f xy f y y xz''+''+'+''+''=∂∂22221231142442f y x f xy f y f y ''+''+''+'=()()2222121221121222222f x f xy xy f x f x f xy y f y yx z''+''+'+''+''+'=∂∂∂22312221132125222f y x f y x f xy f x f y ''+''+''+'+'=()()222212122111222222f x f xy x f x f xy xy f x yz''+''+''+''+'=∂∂22412311221442f x f y x f y x f x ''+''+''+'=f 2xyyx 212xy21,f f ''例8 设 有连续的一阶偏导数，又函数 ()z y x f u ,,=()x y y =及 分别由以下两式确定()x z z =dttte xy e z x xxy⎰-==-0sin ,2求 . xu d d 0d d d d =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y x y x y x y e xy()⎪⎭⎫⎝⎛---=x z z x z x e xd d 1sin 求出 x z x y d d ,d d xzf x y f f x u d d d d d d 321'+'+'=答案：()()321sin 1d d f z x z x e f x y f x u x'⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+'-'=代入三、多元函数微分法的应用1.在几何中的应用2.极值与最值问题• 极值的必要条件与充分条件• 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) • 求解最值问题• 曲线的切线及法平面（关键如何求切向量）• • 方向导数与梯度()()0,,00ly x gradz lz y x⋅=∂∂例9 求曲线 在点 的切线方程。
()()x x y xy =-+ln sin ()1,0解设()()()x x y xy y x F --+=ln sin ,则()()()111c 1,01,0-=⎪⎭⎫⎝⎛---=x y xy os y F x()()()11c 1,01,0=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y xy os x F y()()()11,01,0d d 1,0=-==yx F F xy k 1+=x y例10 在第一卦限作椭球面 的切平面，使其在1222222=++c z b y a x 三坐标轴上的截距的平方和最小，并求切点。
解设()1,,222222-++=c z b y a x z y x F 切点为()000,,z y x M 则切平面的法向量为：()⎪⎭⎫ ⎝⎛==2020202,2,2,,c z b y a x F F F n M z y x 切平面方程为：()()()0222020020020=-+-+-z z c z y y b y x x a x 即122020=++z c z y b y x a x切平面在三坐标轴上的截距为020202z c y b x a ，，问题归结为求222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=z c y b x a S 在条件1222222=++cz b y a x 下的条件极值问题。