高等数学(同济大学第六版)第9章多元函数微分法小结

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多元函数微分法及其应用总结

多元函数微分法及其应用总结多元函数微分法及其应用是高等数学中一个重要的内容。

多元函数是指自变量有两个或者多个的函数，如z=f(x,y)。

而微分法是研究函数的变化率的一种方法。

本文将对多元函数微分法及其应用进行总结。

1. 多元函数微分法的基本概念多元函数的微分可以分为偏导数和全微分两种形式。

对于多元函数z=f(x,y)，其偏导数表示函数在某一自变量上的变化率，可以记作∂z/∂x，∂z/∂y。

全微分表示函数在所有自变量上的变化率，可以记作dz。

多元函数的微分法有很多性质和定理，如链式法则、高阶偏导数、隐函数定理等。

2. 多元函数的极值与最值利用多元函数微分法，我们可以求多元函数的极值与最值。

对于多元函数z=f(x,y)，其极值、最值的求解步骤大致如下：（1）求函数的偏导数，得到所有的偏导数；（2）令所有的偏导数等于零，求解出关于x和y的方程；（3）求解方程组，得到x和y的解；（4）将解代回原函数，求得z的值；（5）比较求得的z值，得到最大值或最小值。

3. 多元函数的泰勒展开多元函数的泰勒展开是利用多元函数在某一点附近进行近似求解的一种方法。

对于多元函数z=f(x,y)，其泰勒展开公式为：f(x+Δx,y+Δy) = f(x,y) + (∂f/∂x)Δx + (∂f/∂y)Δy + 1/2(∂²f/∂x²)(Δx)² + 1/2(∂²f/∂y²)(Δy)² + (∂²f/∂x∂y)ΔxΔy + O(Δx²,Δy²)这里的O(Δx²,Δy²)表示高阶无穷小，Δx和Δy表示自变量的增量。

4. 多元函数微分法的应用多元函数微分法广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域。

具体应用如下：（1）在物理学中，多元函数微分法可以用于描述粒子在空间中的运动轨迹，求解最优路径等问题。

（2）在工程学中，多元函数微分法可以用于建模和优化设计，如求解最优结构、最优控制等问题。

《高等数学》(同济六版)教学课件★第9章.多元函数微分法及其应用(1)

例如, f ( x, y )
4
x2 y 2 2 2 xy 2 , x y 0 2 x y 0, x2 y 2 0
2 2 4
x 4x y y 2 2 y , x y 0 2 2 2 f x ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 x4 4x2 y 2 y 4 2 2 x , x y 0 2 2 2 f y ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 y f x (0, y ) f x (0, 0) lim 1 f x y (0,0) lim y 0 y y 0 y f y ( x, 0) f y (0, 0) x 1 lim f y x (0,0) lim x 0 x x 0 x
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r2
定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续, 则
f x y ( x0 , y0 ) f y Байду номын сангаас ( x0 , y0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
(证明略)
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续时, 有
x 0 y 0
0
得
x 0 y 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
即函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
z f ( x x, y y) f ( x , y ) 函数在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
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同济大学高等数学_第六篇_多元微积分学

第六篇多元微积分学第九章多元函数微分学及其应用我们以前学习的函数只有一个自变量,这种函数我们称为一元函数.一元函数的微积分解决了很多初等数学无法解决的问题.但就是,在实际问题中往往牵扯到多方面的因素,解决这类问题必须引进多元函数.本章将在一元函数微分学的基础上,讨论多元函数的微分及其应用.从一元函数的情形推广到二元函数时会产生一些新的问题,而从二元函数推广到二元以上的多元函数则可以类推.通过本章的学习,学生要掌握多元函数微分学的基本原理以及解决几何、经济与管理、工程等领域的实际问题的具体方法、第1节多元函数的基本概念1、1 平面点集为了介绍二元函数的概念,有必要介绍一些关于平面点集的知识,在一元函数微积分中,区间的概念就是很重要的,大部分问题就是在区间上讨论的.在平面上,与区间这一概念相对应的概念就是邻域.1.1.1 邻域设000(,)P x y 就是xOy 平面上的一定点,δ就是某一正数,与点000(,)P x y 的距离小于δ的点(,)P x y 的全体,称为点000(,)P x y 的δ邻域,记为0(,)δU P ,即{}00(,)U P P P P δδ=<,亦即 {}0(,)(,U P x y δδ=<.0(,)δU P 在几何上表示以000(,)P x y 为中心,δ为半径的圆的内部(不含圆周).上述邻域0(,)δU P 去掉中心000(,)P x y 后,称为000(,)P x y 的去心邻域,记作o0(,)U P δ.{}o0(,)(,)0U P x y δδ=<<、如果不需要强调邻域的半径δ,则用0()U P 表示点000(,)P x y 的邻域,用o0()U P 表示000(,)P x y 的去心邻域.1.1.2 区域下面用邻域来描述平面上的点与点集之间的关系.设E 就是xOy 平面上的一个点集,P 就是xOy 平面上的一点,则P 与E 的关系有以下三种情形:(1) 内点:如果存在P 的某个邻域()U P ,使得()⊂U P E ,则称点P 为E 的内点.(2) 外点:如果存在P 的某个邻域()U P ,使得()=∅U P E ,则称P 为E 的外点.(3) 边界点:如果在点P 的任何邻域内,既有属于E 的点,也有不属于E 的点,则称点P 为E 的边界点.E 的边界点的集合称为E 的边界,记作∂E .例如:点集(){}221,|01=<+<E x y xy ,除圆心与圆周上各点之外圆的内部的点都就是1E 的内点,圆外部的点都就是1E 的外点,圆心及圆周上的点为1E 的边界点;又如平面点集(){}2,|1=+≥E x y x y ,直线上方的点都就是2E 的内点,直线下方的点都就是2E 的外点,直线上的点都就是2E 的边界点(图9—1).图9—1显然,点集E 的内点一定属于E ;点集E 的外点一定不属于E ;E 的边界点可能属于E ,也可能不属于E .如果点集E 的每一点都就是E 的内点,则称E 为开集,点集(){}221,|01=<+<E x y xy 就是开集,(){}2,|1=+≥E x y x y 不就是开集.设E 就是开集,如果对于E 中的任何两点,都可用完全含于E 的折线连接起来,则称开集E 就是连通集(图9—2) .点集E 1与E 2都就是连通的,点集(){}3,|0=>E x y xy 不就是连通的(图9—2).图9—2连通的开集称为开区域(开域).从几何上瞧,开区域就是连成一片的且不包括边界的平面点集.如E 1就是开区域.开区域就是数轴上的开区间这一概念在平面上的推广.开区域E 连同它的边界E ∂构成的点集,称为闭区域(闭域),记作E (即=E E E +∂). 闭区域就是数轴上的闭区间这一概念在平面上的推广.如E 2及(){}224,|1=+≤E x y xy 都就是闭域,而(){}225,|12=≤+<E x y xy 既非闭域,又非开域.闭域就是连成一片的且包含边界的平面点集.本书把开区域与闭区域统称为区域.如果区域E 可包含在以原点为中心的某个圆内,即存在正数r ,使(),E U O r ⊂,则称E 为有界区域,否则,称E 为无界区域.例如E 1就是有界区域,E 2就是无界区域.记E 就是平面上的一个点集,P 就是平面上的一个点.如果点P 的任一邻域内总有无限多个点属于点集E ,则称P 为E 的聚点.显然,E 的内点一定就是E 的聚点,此外,E 的边界点也可能就是E 的聚点.例如,设(){}226,|01=<+≤E x y xy ,那么点()0,0既就是6E 的边界点又就是6E 的聚点,但6E 的这个聚点不属于6E ;又如,圆周221x y +=上的每个点既就是6E 的边界点,也就是6E 的聚点,而这些聚点都属于6E .由此可见,点集E 的聚点可以属于E ,也可以不属于E .再如点()7111111=1,1(,)(,),,(),2233，，E n n⎧⎫⎨⎬⎩⎭,原点()0,0就是它的聚点,7E 中的每一个点都不就是聚点.1.1.3 n 维空间R n一般地,由n 元有序实数组()12,,,n x x x 的全体组成的集合称为n 维空间,记作R n .即 (){}12,,,|,1,2,,n n i R x x x x R i n =∈=.n 元有序数组()12,,,n x x x 称为n 维空间中的一个点,数x i 称为该点的第i 个坐标.类似地规定,n 维空间中任意两点()12,,,n P x x x 与()12,,,n Q x x x 之间的距离为PQ =前面关于平面点集的一系列概念,均可推广到n 维空间中去,例如,0∈nP R ,δ就是某一正数,则点0P 的δ邻域为(){}00|,,n U P P PP P R δδ=<∈.以邻域为基础,还可以定义n 维空间中内点、边界点、区域等一系列概念.1、2 多元函数的概念1.2.1 n 元函数的定义定义1 设D 就是n R 中的一个非空点集,如果存在一个对应法则f , 使得对于D 中的每一个点()12,,,n P x x x ,都能由f 唯一地确定一个实数y ,则称f 为定义在D 上的n 元函数,记为()()1212,,,,,,,n n y f x x x x x x D =∈.其中12,,,n x x x 叫做自变量,y 叫做因变量,点集D 叫做函数的定义域,常记作()D f .取定()12,,,n x x x D ∈,对应的()12,,,n f x x x 叫做()12,,,n x x x 所对应的函数值.全体函数值的集合叫做函数f 的值域,常记为()f D ［或()R f ］,即()()()(){}1212|,,,,,,,n n f D y y f x x x x x x D f ==∈.当n =1时,D 为实数轴上的一个点集,可得一元函数的定义,即一元函数一般记作(),,y f x x D D R =∈⊂;当n =2时,D 为xOy 平面上的一个点集,可得二元函数的定义,即二元函数一般记作()()2,,,,z f x y x y D D R =∈⊂,若记(),P x y =,则也记作()z f P =.二元及二元以上的函数统称为多元函数.多元函数的概念与一元函数一样,包含对应法则与定义域这两个要素.多元函数的定义域的求法,与一元函数类似.若函数的自变量具有某种实际意义,则根据它的实际意义来决定其取值范围,从而确定函数的定义域、对一般的用解析式表示的函数,使表达式有意义的自变量的取值范围,就就是函数的定义域.例1 在生产中,设产量Y 与投入资金K 与劳动力L 之间的关系为Y AK L αβ=(其中,,A αβ均为正常数).这就是以K ,L 为自变量的二元函数,在西方经济学中称为生产函数.该函数的定义域为(){},|0,0K L K L >>.例2 求函数()ln z y x =-的定义域D ,并画出D 的图形.解要使函数的解析式有意义,必须满足220,0,10,y x x x y ->⎧⎪≥⎨⎪-->⎩即(){}22,|0,,1D x y x x y xy =≥<+<,如图9—3划斜线的部分.图9—3 图9—41.2.2、二元函数的几何表示设函数(),=z f x y 的定义域为平面区域D ,对于D 中的任意一点(),P x y ,对应一确定的函数值()(),=z z f x y .这样便得到一个三元有序数组(),,x y z ,相应地在空间可得到一点(),,M x y z .当点P 在D 内变动时,相应的点M 就在空间中变动,当点P 取遍整个定义域D 时,点M 就在空间描绘出一张曲面S (图9—4).其中()()(){},,|,,,S x y z z f x y x y D ==∈.而函数的定义域D 就就是曲面S 在xO y 面上的投影区域.例如z ax by c =++表示一平面;221z x y =--表示球心在原点,半径为1的上半球面.1、3二元函数的极限二元函数的极限概念就是一元函数极限概念的推广.二元函数的极限可表述为定义1 设二元函数()z f P =的定义域就是某平面区域D ,P 0为D 的一个聚点,当D 中的点P 以任何方式无限趋于Ｐ0时,函数值f (P )无限趋于某一常数A ,则称A 就是函数()f P 当P 趋于P 0时的(二重)极限.记为lim ()P P f P A →=或()0()f P A P P →→,此时也称当0→P P 时()f P 的极限存在, 否则称()f P 的极限不存在.若0P 点的坐标为00(,)x y ,P 点的坐标为(),x y ,则上式又可写为()()00,lim (,),→=x y x y f x y A 或 f (x , y )→A (x →x ０,y →y ０).类似于一元函数,()f P 无限趋于A 可用()f P A ε-<来刻画,点(),P P x y =无限趋于0000(,)P P x y =可用22000()()P P x x y y δ=-+-刻画,因此,二元函数的极限也可如下定义.定义2 设二元函数()(,)z f P f x y ==的定义域为D ,000(,)P x y 就是D 的一个聚点,A 为常数.若对任给的正数ε,不论ε多小,总存在0δ>,当(,)P x y D ∈,且0P P δ=时,总有(),f P A ε-<则称A 为()z f P =当0P P →时的(二重)极限.注 ①定义中要求0P 就是定义域D 的聚点,就是为了保证在P 0的任何邻域内都有D 中的点.②注意到平面上的点P 趋近于0P 的方式可以多种多样:P 可以从四面八方趋于0P ,也可以沿曲线或点列趋于0P .定义1指出:只有当P 以任何方式趋近于0P ,相应的()f P 都趋近于同一常数A 时,才称A 为()f P 当0P P →时的极限.如果(,)P x y 以某些特殊方式(如沿某几条直线或几条曲线)趋于000(,)P x y 时,即使函数值()f P 趋于同一常数A ,我们也不能由此断定函数的极限存在.但就是反过来,当P 在D 内沿不同的路径趋于0P 时,()f P 趋于不同的值,则可以断定函数的极限不存在.③二元函数极限有与一元函数极限相似的运算性质与法则,这里不再一一叙述.例3 设222222,0,(,)0,0,xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩判断极限()(),0,0lim (,)→x y f x y 就是否存在?解当(,)P x y 沿x 轴趋于(0,0)时,有y =0,于就是()()22,0,00lim (,)lim00→→===+x y x y f x y x ; 当(,)P x y 沿y 轴趋于(0,0)时,有x =0,于就是()()22,0,000lim (,)lim00→→===+x y y x f x y y .但不能因为(,)P x y 以上述两种特殊方式趋于(0,0)时的极限存在且相等,就断定所考察的二重极限存在.因为当(,)P x y 沿直线()0=≠y kx k )趋于(0,0)时,有()()2222,0,00lim(,)lim (1)1→→===++x y x y kxkx kf x y k x k, 这个极限值随k 不同而变化,故()(),0,0lim (,)→x y f x y 不存在.例4 求下列函数的极限:(1) ()(),0,0lim →x y()()222,0,0lim →+x y xy x y ; (3)()(,0,0ln 1lim →+x y xy . 解 (1)()()()(()(,0,0,0,0,0,01limlim lim 4→→→==-=-x y x y x y .(2)当0,0→→x y 时,220x y +≠,有222x y xy +≥.这时,函数22xyx y +有界,而y 就是当x →0且y →0时的无穷小,根据无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量,得()()222,0,0lim 0→=+x y xy x y . (3)()(()(()(,0,0,0,0,0,0ln 1limlimlim1→→→+===x y x y x y xy .从例4可瞧到求二元函数极限的很多方法与一元函数相同.1、4 二元函数的连续性类似于一元函数的连续性定义,我们用二元函数的极限概念来定义二元函数的连续性. 定义3 设二元函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域内有定义,如果()()()00,0,0lim.(,)→=x y f x y f x y ,则称函数(,)f x y 在点000(,)P x y 处连续,000(,)P x y 称为(,)f x y 的连续点;否则称(,)f x y 在000(,)P x y 处间断(不连续),000(,)P x y 称为(,)f x y 的间断点.与一元函数相仿,二元函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续,必须满足三个条件:①函数在点000(,)P x y 有定义;②函数在000(,)P x y 处的极限存在;③函数在000(,)P x y 处的极限与000(,)P x y 处的函数值相等,只要三条中有一条不满足,函数在000(,)P x y 处就不连续.由例3可知,222222,0,(,)0,0,xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0,0)处间断;函数1z x y =+在直线0x y +=上每一点处间断.如果(,)f x y 在平面区域D 内每一点处都连续,则称(,)f x y 在区域D 内连续,也称(,)f x y 就是D 内的连续函数,记为()(,)f x y C D ∈.在区域D 上连续函数的图形就是一张既没有“洞”也没有“裂缝”的曲面.一元函数中关于极限的运算法则对于多元函数仍适用,故二元连续函数经过四则运算后仍为二元连续函数(在商的情形要求分母不为零);二元连续函数的复合函数也就是连续函数.与一元初等函数类似,二元初等函数就是可用含,x y 的一个解析式所表示的函数,而这个式子就是由常数、x 的基本初等函数、y 的基本初等函数经过有限次四则运算及复合所构成的,例如()sin x y +,22xy x y +,arcsin xy等都就是二元初等函数.二元初等函数在其定义域的区域内处处连续.与闭区间上一元连续函数的性质相类似,有界闭区域上的连续函数有如下性质.性质1(最值定理) 若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续,则(,)f x y 在D 上必取得最大值与最小值.推论若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续,则(,)f x y 在D 上有界.性质2 (介值定理) 若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续,M 与m 分别就是(,)f x y 在D 上的最大值与最小值,则对于介于M 与m 之间的任意一个数C ,必存在一点00(,)x y D ∈,使得00(,)f x y C =.以上关于二元函数的极限与连续性的概念及有界闭区域上连续函数的性质,可类推到三元以上的函数中去.习题9—11.判断下列平面点集哪些就是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点组成的点集与边界、(1) (){},|0,0≠≠x y x y ; (2) (){}22,|14<+≤x y xy ;(3)(){}2,|>x y y x .2.求下列函数的定义域,并画出其示意图:(1)z = (2)1ln()z x y =-;(3)=z(4)=u .3.设函数()32,23f x y x xy y =-+,求 (1)()2,3f -; (2)12,f x y ⎛⎫⎪⎝⎭; (3) (),f x y x y +-、 4.讨论下列函数在点()0,0处的极限就是否存在: (1) 24xy z x y =+; (2)x yz x y+=-. 5.求下列极限: (1)()(),0,0sin lim→x y xyx; (2)()()22,0,11lim →-+x y xy x y ;(3)()(,1,0ln lim→+y x y x e ; (4)()(),0,0lim→x y .6.证明:二元函数()22220,,0,0.+≠=+=⎩x y f x y x y 在()0,0点连续.7.设二元函数()()11sin sin ,0,,0,0.⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩x y xy x y f x y xy ,试判断(),f x y 在点()0,0处的连续性.8.函数2222+=-y xz y x在何处就是间断的？第2节偏导数与全微分2、1 偏导数的概念 2.1.1 偏导数的定义在研究一元函数时,我们从研究函数的变化率引入了导数概念.由于二元函数的自变量有两个,关于某点处函数的变化率问题相当复杂,因此我们不能笼统地讲二元函数在某点的变化率.在这一节,我们考虑二元函数关于某一个自变量的变化率,这就就是偏导数的概念.设函数(),z f x y =在点()00,x y 的某邻域内有定义,x 在0x 有改变量()0x x ∆∆≠,而0y y =保持不变,这时函数的改变量为()()0000,,x z f x x y f x y ∆=+-,x z ∆称为函数(),f x y 在()00,x y 处关于x 的偏改变量(或偏增量).类似地可定义(),f x y 关于y 的偏增量为()()0000,,y z f x y y f x y ∆=+-.有了偏增量的概念,下面给出偏导数的定义.定义1 设函数(),z f x y =在()00,x y 的某邻域内有定义,如果000000(,)(,)limlimx x x z f x x y f x y x x ∆→∆→∆+∆-=∆∆ 存在,则称此极限值为函数(),z f x y =在()00,x y 处关于x 的偏导数,并称函数(),z f x y =在点()00,x y 处关于x 可偏导.记作000000,,,(,).======∂∂∂∂x x x x y y y y x x xy y x zf z f x y xx类似地,可定义函数(),z f x y =在点()00,x y 处关于自变量y 的偏导数为00000(,)(,)limlimy y y z f x y y f x y yy∆→∆→∆+∆-=∆∆,记作000000,,,(,).======∂∂∂∂x x x x y y y y x x yy y y z f z f x y yy如果函数(),z f x y =在区域D 内每一点(),x y 处的偏导数都存在,即(,)(,)(,)limx x f x x y f x y f x y x∆→+∆-=∆(,)(,)(,)limy y f x y y f x y f x y y∆→+∆-=∆存在,则上述两个偏导数还就是关于x ,y 的二元函数,分别称为z 对x ,y 的偏导函数(简称为偏导数).并记作,,,(,)(,)或或或，∂∂∂∂∂∂∂∂x y x y z z f fz z f x y f x y x y x y. 不难瞧出,(),z f x y =在()00,x y 关于x 的偏导数00(,)x f x y 就就是偏导函数(,)x f x y 在()00,x y 处的函数值,而00(,)y f x y 就就是偏导函数(,)y f x y 在()00,x y 处的函数值. 由于偏导数就是将二元函数中的一个自变量固定不变,只让另一个自变量变化,相应的偏增量与另一个自变量的增量的比值的极限;因此,求偏导数问题仍然就是求一元函数的导数问题.求fx∂∂时,把y 瞧做常量,将(),z f x y =瞧做x 的一元函数对x 求导;求f y ∂∂时,把x 瞧做常量,将(),z f x y =瞧做y 的一元函数对y 求导.三元及三元以上的多元函数的偏导数,完全可以类似地定义与计算,这里就不讨论了. 例1 求函数()sin +xyz x y e =在点()1,1-处的偏导数.解将y 瞧成常量,对x 求导得e [cos()sin()]xy zx y y x y x∂=+++∂; 将x 瞧成常量,对y 求导得e [cos()sin()]xy zx y x x y y∂=+++∂. 再将1,1x y ==-代入上式得111111e ,e x x y y z z xy--===-=-∂∂==∂∂.例2 求函数22ln 4z x y y x =++的偏导数.解 22z y xy x x ∂=+∂,22ln zx y x y∂=+∂. 例3 设()0,1yz xx x =>≠,求证:12ln x z zz y x x y∂∂+=∂∂.证因为1y zyx x-∂=∂,ln y z x x y ∂=∂,所以111ln 2ln ln y yy y x z z x yx x x x x z y x x y y x-∂∂+=+=+=∂∂. 例4 求函数()2sin x u x y e =+-的偏导数. 解将y 与z 瞧做常量,对x 求导得()2cos z ux y e x∂=+-∂, 同样可得()22cos x u y x y e y ∂=+-∂,()2cos z z u e x y e z∂=-+-∂. 2.1.2 二元函数偏导数的几何意义由于偏导数实质上就就是一元函数的导数,而一元函数的导数在几何上表示曲线上切线的斜率,因此,二元函数的偏导数也有类似的几何意义.设(),z f x y =在点()00,x y 处的偏导数存在,由于00(,)x f x y 就就是一元函数()0,f x y 在0x 处的导数值,即00(,)x f x y ＝00d (,)d x x f x y x =⎡⎤⎢⎥⎣⎦,故只须弄清楚一元函数()0,f x y 的几何意义,再根据一元函数的导数的几何意义,就可以得到00(,)x f x y 的几何意义.(),z f x y =在几何上表示一曲面,过点()00,x y 作平行于xz 面的平面0y y =,该平面与曲面(),z f x y =相截得到截线1Γ:0(,),.z f x y y y =⎧⎨=⎩若将0y y =代入第一个方程,得()0,z f x y =.可见截线Γ１就是平面0y y =上一条平面曲线,1Γ在0y y =上的方程就就是()0,z f x y =.从而00(,)x f x y ＝00d (,)d x x f x y x =⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示1Γ在点()()000001,,,M x y f x y Γ=∈处的切线对x 轴的斜率(图9-5).同理,00(,)y f x y ＝00d (,)d y y f x y y =⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示平面0x x =与(),z f x y =的截线 2Γ:0(,),.z f x y x x =⎧⎨=⎩在()()000002,,,M x y f x y Γ=∈处的切线对y 轴的斜率(图9—5).图9—5例5 讨论函数222222,0,(,)0,0,xyx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0,0)处的两个偏导数就是否存在.解 0(0,0)(0,0)(0,0)limx x f x f f x∆→+∆-=∆220(0)0(0)0lim 0x x x x ∆→+∆-+∆+==∆. 同样有(0,0)0=y f .这表明(),f x y 在(0,0)处对x 与对y 的偏导数存在,即在(0,0)处两个偏导数都存在.由上节例3知:该函数在(0,0)处不连续.本例指出,对于二元函数而言,函数在某点的偏导数存在,不能保证函数在该点连续.但在一元函数中,我们有结论:可导必连续.这并不奇怪,因为偏导数只刻画函数沿x 轴与y 轴方向的变化率,00(,)x f x y 存在,只能保证一元函数()0,f x y 在x 0处连续,即0y y =与(),z f x y =的截线1Γ在()0000,,M x y z 处连续.同时00(,)y f x y 只能保证2Γ在()0000,,M x y z 处连续,但两曲线1Γ,2Γ在()0000,,M x y z 处连续并不能保证曲面(),z f x y =在()0000,,M x y z 处连续.2、2 高阶偏导数设函数(),z f x y =在区域D 内具有偏导数zx∂∂=(,)x f x y ,(,)∂=∂y z f x y y ,那么在D 内(,)x f x y 及(,)y f x y 都就是x , y 的二元函数.如果这两个函数的偏导数还存在,则称它们就是函数(),z f x y =的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数:22()(,)∂∂∂==∂∂∂xx z zf x y x x x,2()(,)∂∂∂==∂∂∂∂xy z z f x y y x x y ,2()(,)∂∂∂==∂∂∂∂yx z z f x y x y y x ,22()(,)∂∂∂==∂∂∂yy z zf x y y y y, 其中xy f (或12f '')与yx f (或21f '')称为(),f x y 的二阶混合偏导数.同样可定义三阶,四阶,…,n 阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例6 求函数2sin =+z xy x y 的所有二阶偏导数与32zy x∂∂∂. 解因为zx∂∂=y +2x sin y , z y ∂∂=x +x 2cos y ,所以 22zx∂∂=2sin y , 2z x y ∂∂∂＝1＋2x cos y , 2z y x ∂∂∂=1+2x cos y , 22z y ∂∂=x 2sin y ,322cos zy y x ∂=∂∂. 从本例我们瞧到22z zx y y x∂∂=∂∂∂∂,即两个二阶混合偏导数相等,这并非偶然. 事实上,有如下定理.定理1 如果函数(),z f x y =的两个二阶混合偏导数2z x y ∂∂∂与2zy x∂∂∂在区域D 内连续,则在该区域内有22z zx y y x∂∂=∂∂∂∂. 定理1表明:二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关、对于二元以上的函数,也可以类似的定义高阶偏导数,而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关.例7 验证函数22ln z x y =+满足方程22220z zx y∂∂+=∂∂.解 ()22221ln 2z x y x y =+=+ 所以2222,,z x z y x x y y x y∂∂==∂+∂+()()()2222222222222x y x x z y x x x y x y +-⋅∂-==∂++, ()()()2222222222222x y y y z x y y x y x y +-⋅∂-==∂++, 故()()222222222222220z z y x x y x y x y x y ∂∂--+=+=∂∂++.2、3 全微分2.3.1 全微分的概念我们知道,一元函数()y f x =如果可微,则函数的增量Δ y 可用自变量的增量Δx 的线性函数近似求得.在实际问题中,我们会遇到求二元函数(),z f x y =的全增量的问题,一般说来,计算二元函数的全增量Δ z 更为复杂,为了能像一元函数一样,用自变量的增量Δx 与Δ y 的线性函数近似代替全增量,我们引入二元函数的全微分的概念.定义2 设函数(),z f x y =在()000,P x y 的某邻域内有定义,如果函数z 在0P 处的全增量()()0000,,z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示成()+ρ∆=∆+∆z A x B y o ,其中A ,B 就是与Δx ,Δy 无关,仅与00,x y 有关的常数,ρ＝22()()x y ∆+∆,o (ρ)表示当Δx →0,Δy →0时关于ρ的高阶无穷小量,则称函数(),z f x y =在()000,P x y 处可微,而称∆+∆A x B y 为(),f x y 在点()000,P x y 处的全微分,记作0d x x y y z==或00d x x y y f==,即00d ===∆+∆x x y y zA xB y .若(),z f x y =在区域D 内处处可微,则称(),f x y 在D 内可微,也称(),f x y 就是D 内的可微函数.(),z f x y =在(),x y 处的全微分记作d z ,即d =∆+∆z A x B y .二元函数(),z f x y =在点P (x ,y )的全微分具有以下两个性质: (1) d z 就是,∆∆x y 的线性函数,即d =∆+∆z A x B y ;(2) z d ∆≈z ,()()z d 0ρρ∆-=→z o ,因此,当,∆∆x y 都很小时,可将dz 作为计算Δ z的近似公式.多元函数在某点的偏导数即使都存在,也不能保证函数在该点连续.但就是对于可微函数却有如下结论:定理2 如果函数(),z f x y =在点(),x y 处可微,则函数在该点必连续. 这就是因为由可微的定义,得()()(),,+ρ∆=+∆+∆-=∆+∆z f x x y y f x y A x B y o()(),0,0lim 0x y z ∆∆→∆=,即()(),0,0lim (,)(,)x y f x x y y f x y ∆∆→+∆+∆=.即函数(),z f x y =在点(),x y 处连续.一元函数可微与可导就是等价的,那么二元函数可微与可偏导之间有何关系呢? 定理3 如果函数(),z f x y =在点(),x y 处可微,则(),z f x y =在该点的两个偏导数,z zx y∂∂∂∂都存在,且有 z z dz x y x y∂∂=∆+∆∂∂. 证因为函数(),z f x y =在点(),x y 处可微,故()+ρ∆=∆+∆z A x B y o , ρ令0y ∆=,于就是()(),,x z f x x y f x y A x o ∆=+∆-=∆+.由此得 ()()000(),,limlim lim x x x x x x f x x y f x y zx x x xοA A ∆→∆→∆→∆∆+∆-∆==+=∆∆∆∆,即zA x∂=∂. 同理可证得zB y∂=∂. 定理3的逆命题就是否成立呢? 即二元函数在某点的两个偏导数存在能否保证函数在该点可微分呢? 一般情况下答案就是否定的.如函数222222,0,(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在()0,0处两个偏导数都存在,但(),f x y 在()0,0处不连续,由定理2知,该函数在()0,0处不可微.但两个偏导数既存在且连续时,函数就就是可微的.我们不加证明地给出如下定理.定理 4 如果函数(),z f x y =在(),x y 处的偏导数,z z x y∂∂∂∂存在且连续,则函数(),z f x y =在该点可微.类似于一元函数微分的情形,规定自变量的微分等于自变量的改变量.即d ,d =∆=∆x x y y ,于就是由定理3有d d d z z z x y x y∂∂=+∂∂. 以上关于二元函数的全微分的概念及结论,可以类推到三元以上的函数中去.比如若三元函数(),,=u f x y z 在点(),,P x y z 处可微,则它的全微分为d d d d u u u u x y z x y z∂∂∂=++∂∂∂. 例8 求下列函数的全微分:(1) 2sin 2=z x y ; (2) =yzu x .解 (1) 因为2sin 2∂=∂zx y x,22cos 2∂=∂z x y y ,所以22sin 22cos 2=+dz x ydx x ydy .(2) 因为1-∂=∂yz uyzx x,ln ∂=∂yz u zx x y ln ∂=∂yz uyx x z, 所以 1ln ln -=++yz yz yz du yzx dx zx xdy yx xdz .例9 求xyz xy e =+在点()1,2处的全微分.解因xy zy ye x ∂=+∂,xy zx xe y ∂=+∂得 11222222e ,1e x x y y z z xy====∂∂=+=+∂∂,于就是 ()()1222d 22e d 1e d x y zx y ===+++ .3.1.2全微分的运算法则类似于一元函数微分的运算法则,有定理5 (全微分四则运算法则) 设(),f x y ,(),g x y 在(),P x y 处可微,则 1) ()()+±+f x y g x y 在(),x y 处可微,且[][][]()()()()+±+=+±+d f x y g x y d f x y d g x y ;2) 若k 为常数,()+kf x y 在点(),x y 处可微,且[][]()()+=+d kf x y kd f x y ;3) ()()+⋅+f x y g x y 在点(),x y 处可微,且[][][]()()()()()()+⋅+=+++++d f x y g x y g x y d f x y f x y d g x y ;4) 当g (x ,y )≠0时,()()f x yg x y ++在点(),x y 处可微,且 2()()d ()()d ()d ()()f x y g x y f x y f x y g x y g x y g x y ⎡⎤++++++=⎢⎥++⎣⎦. 例10 求()22sin z x x y =+的全微分.解()()22222sin 2cos zx y x x y x∂=+++∂,()222cos z xy x y y ∂=+∂,()()()222222sin sin sin dz d x x y xd x y x y dx ⎡⎤⎡⎤=+=+++⎣⎦⎣⎦ ()()()2222222sin 2cos 2cos x y x x y dx xy x y dy ⎡⎤=+++++⎣⎦习题9—21.求下列各函数的偏导数:(1) 22365z x xy y =++; (2) ln y z x=; (3) xyz xye =; (4) yz u x =.2.已知()(),2xf x y x y e =+,求()0,1x f ,()0,1y f .3.设z x y =+求()()3,40,5,z z xy∂∂∂∂.4.设11+=e x y z ⎛⎫- ⎪⎝⎭,求证:222z z xy z x y∂∂+=∂∂.5.求下列函数的所有二阶偏导数.(1) 44224z x y x y =+-; (2) ()cos sin x z e y x y =+;(3) ()ln z x xy =; (4) arctan x u y=. 6.设()222,,f x y z xy yz zx =++,求()()()0,0,1,1,0,2,0,1,0xx xz yz f f f -及()2,0,1zzx f .7.验证r =2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂.8.求下列函数的全微分、(1) 32645z xy x y =+; (2) x yz e =;(3 ) xz xyy=+; (4) z =.9.设()1,,zy f x y z x ⎛⎫=⎪⎝⎭,求()1,1,1|dz . 10.设,1,1,0.15,0.1,xyz e x y x y ===∆=∆=求dz .第3节多元复合函数与隐函数的求导法则3、1复合函数的求导法则 3.1.1 复合函数的求导法则现在要将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形,多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用.定理 1 设函数(),z f u v =), 其中()u x ϕ=,()v x ψ=.如果函数()u x ϕ=,()v x ψ=都在x 点可导,函数(),z f u v =在对应的点(),u v 处可微,则复合函数()()(),z f x x ϕψ=在x 处可导,且d d d d d d z z u z vx u x v x∂∂=+∂∂. (9-3-1) 证设自变量x 的改变量为Δx ,中间变量()u x ϕ=与()v x ψ=的相应的改变量分别为Δu 与Δv ,函数z 的改变量为Δz .因(),z f u v =在(),u v 处可微,由可微的定义有()()+z zz dz o u v o u vρρ∂∂∆=+=∆+∆∂∂,其中ρ=,()()00o ρρ→→,且0()lim0ρορρ→=,故有()z z u z v x u x v x xορρρ∆∂∆∂∆=++∆∂∆∂∆∆. 因为()u x ϕ=与()v x ψ=在点x 可导,故当x ∆→时,Δu →0,Δv →0,ρ→0,u x ∆∆→d d u x ,v x ∆∆→d d v x. 在上式中令Δx →0,两边取极限,得d d z z du z dvx u dx v dx∂∂=+∂∂. 注意,当Δx →0时,()xορρρ∆→0.这就是由于limlim x x xρ∆→∆→==∆这说明Δx →0时,xρ∆就是有界量,()ορρ为无穷小量.从而()ορρxρ∆→0(Δx →0). 用同样的方法,可以得到中间变量多于两个的复合函数的求导法则.比如(),,z f u v w =,而()u x ϕ=,()v x ψ=,()w w x =,则 d d d d d d d d z zu z v z wx u x v x w x∂∂∂=++∂∂∂. (9-3-2)例1 设2z u v =,cos u t =,sin v t =求.dz dt解利用公式(9-3-1)求导,因为22,=z zuv u u v ∂∂∂∂=, d sin d u t t =-, d cos d v t t=, 所以 223d d d sin cos 2cos sin cos d d d z z u z vuv t u t t t t t u t v t∂∂=+=-+=-+∂∂.本题也可将cos u t =,sin v t =代入函数2z u v =中,再用一元函数的取对数求导法,求得同样的结果.观察公式(9-3-1) ,(9-3-2)可以知道,若函数z 有2个中间变量,则公式右端就是2项之与,若z 有3个中间变量,则公式右端就是3项之与,一般地,若z 有几个中间变量,则公式右端就是几项之与,且每一项都就是两个导数之积,即z 对中间变量的偏导数再乘上该中间变量对x 的导数.公式(9-3-1),(9-3-2)可借助复合关系图来理解与记忆.图9—6公式(9-3-1) ,(9-3-2)称为多元复合函数求导的链式法则.上述定理还可推广到中间变量依赖两个自变量x 与y 的情形.关于这种复合函数的求偏导问题,有如下定理:定理 2 设(),=z f u v 在(u ,v )处可微,函数(),=u u x y 及(),=v v x y 在点(),x y 的偏导数存在,则复合函数()()(),,,z f u x y v x y =在(),x y 处的偏导数存在,且有如下的链式法则,.z z u z vx u x v xz z u z v y u y v y ∂∂∂∂∂⎧=+⎪∂∂∂∂∂⎪⎨∂∂∂∂∂⎪=+∂∂∂∂∂⎪⎩(9-3-3) 可以这样来理解(9-3-3):求zx∂∂时,将y 瞧做常量,那么中间变量u 与v 就是x 的一元函数,应用定理1即可得zx∂∂.但考虑到复合函数()()(),,,z f u x y v x y =以及(),=u u x y 与(),=v v x y 都就是x , y 的二元函数,所以应把(9-3-1)中的全导数符号“d ”改为偏导数符号“∂”.公式(9-3-3)也可以推广到中间变量多于两个的情形.例如,设(),u x y ϕ=,(),v x y ψ=,(),w w x y =的偏导数都存在,函数(),,z f u v w =可微,则复合函数()()()(),,,,,z f u x y v x y w x y =对x 与y 的偏导数都存在,且有如下链式法则,.z z u z v z wx u x v x w xz z u z v z w y u y v y w y∂∂∂∂∂∂∂⎧=++⎪∂∂∂∂∂∂∂⎪⎨∂∂∂∂∂∂∂⎪=++∂∂∂∂∂∂∂⎪⎩ (9-3-4) 特别对于下述情形:(),,z f u x y =可微,而(),u x y ϕ=的偏导数存在,则复合函数()(),,,z f x y x y ϕ=对x 及y 的偏导数都存在,为了求出这两个偏导数,应将f 中的变量瞧做中间变量:(),,,u x y v x w y ϕ===.此时,1,=0,0,=1v v w wx y x y∂∂∂∂∂∂∂∂==. 由公式(9-3-4)得,.z f f ux x u x z f f u y y u y ∂∂∂∂⎧=+⋅⎪∂∂∂∂⎪⎨∂∂∂∂⎪=+⋅∂∂∂∂⎪⎩(9-3-5) 注这里z x ∂∂与f x ∂∂的意义就是不同的.fx ∂∂就是把(),,f u x y 中的u 与y 都瞧做常量对x 的偏导数,而zx∂∂却就是把二元复合函数()(),,,f x y x y ϕ中y 瞧做常量对x 的偏导数.公式(9-3-3),(9-3-4),(9-3-5)可借助图9—7理解.图9—7例2 设sin ,,uz e v u xy v x y ===+, 求,z z x y∂∂∂∂. 解e sin e cos 1u u z z u z v v y v x u x v x∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂ ()()e sin cos xy y x y x y =+++⎡⎤⎣⎦,=e sin e cos 1u u z z u z vv x v y u y v y∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂ ()()e sin cos xy x x y x y =+++⎡⎤⎣⎦.例3 设(),z f u v =可微,求()22,xy z f x y e =-对x 及y 的偏导数.解引入中间变量22u x y =-,xyv e =,由(9-3-3)得2222122e 2(,e )e (,e )xy xy xy xy z f f x y xf x y y f x y x u v∂∂∂''=+=-+-∂∂∂,222212(2)e 2(,e )e (,e )xy xy xy xy z f f y x yf x y x f x y y u v∂∂∂''=-+=--+-∂∂∂. 注记号221(,e )xy f x y '-与222(,e )xyf x y '-分别表示(),f u v 对第一个变量与第二个变量在(22,e xyx y -)处的偏导数,可简写为1f '与2f ',后面还会用到这种表示方法.例4 设,x y z xyf y x ⎛⎫=⎪⎝⎭, 1221=(,(,)(,)()z x y x y x y y yf xy f f x y x y x yy x x ⎡⎤∂''+⎢⎥∂-⎣⎦)+ 212(,(,)(,)x y x y y x y yf xf f y x y x x y x''=-)+,1221=,,(),+z x y x y x x y xf +xy f f yy x y x y y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂''-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 212,,,x y x x y x y xf f yf y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.下面给出经济学中经常遇到的齐次函数的概念.设函数(),z f x y =的定义域为D ,且当(),x y D ∈时,对任给的t ∈R ,t ＞0,仍有(),tx ty D ∈.如果存在非负常数k ,使对任意的(),x y D ∈,恒有()(),,k f tx ty t f x y =,则称二元函数(),z f x y =为k 次齐次函数.k =1时,称为线性齐次函数.例5 证明k 次齐次函数(),f x y 满足(,)(,)(,)x y xf x y yf x y kf x y ''+=.证明在(),z f tx ty =中,令,u tx v ty ==,当取定一点(),x y 时(),f tx ty 就是t 的一元函数,于就是有d d d (,)(,)d d d x y z z u z v f tx ty x f tx ty y t u t v t∂∂''=+=+∂∂. 又因为(),kz t f x y =,所以有1d (,)d k zkt f x y t-=. 因此,对任意的t ,有1(,)(,)(,)k x y f tx ty x f tx ty y kt f x y -''+=、3.1.2 全微分形式不变性我们知道一元函数的一阶微分形式具有不变性,多元函数的全微分形式也具有不变性.下面以二元函数为例来说明.设(),z f u v =具有连续偏导数,则有全微分d d d z z z u v u v∂∂=+∂∂. 如果u ,v 就是中间变量,即(),u x y ϕ=,(),v x y ψ=,且这两个函数也具有连续偏导数,则复合函数()()(),,,z fx y x y ϕψ=的全微分为d d d z zz x y x y∂∂=+∂∂d d z u z v z u z v x y u x v x u y v y ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫=+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ d d d d z u u z v v x y x y u x y v x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂=+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ d d z z u v u v∂∂=+∂∂. 可见,无论z 就是自变量u ,v 的函数还就是中间变量u ,v 的函数,它的全微分形式都就是一样的,这种性质叫做多元函数的全微分形式的不变性.例6 利用一阶全微分形式的不变性求函数()22,xy z f x y e =-的偏导数与全微分. 解引入中间变量22,xyu x y v e =-=,则(),z f u v =.2212d d d d()d(e )xy z z z u v f x y f u v∂∂''=+=-+∂∂ 2212(d d )e d()xy f x y f xy ''=-+ 12(2d 2d )e (d d )xy f x x y y f y x x y ''=-++ 1212(2e )d (2e )d xy xy xf y f x yf x f y ''''=++-+.因此12=2e xy zxf y f x∂''+∂,12=2e xy z yf x f y ∂''-+∂.3、2 隐函数的偏导数在一元函数的微分学中,我们曾介绍了隐函数的求导方法:方程(),0F x y =两边对x 求导,再解出y ′.现在我们介绍隐函数存在定理,并根据多元复合函数的求导法导出隐函数的求导公式. 3.2.1 一个方程的情形定理3 设函数(),F x y 在点()000,P x y 的某一邻域内有连续的偏导数且()00,0F x y =,()00,0y F x y ≠,则方程(),0F x y =在点()000,P x y 的某邻域内惟一确定一个具有连续导数的函数()y f x =,它满足条件()00y f x =,并且有d d x y F yx F '=-'. (9-3-6) 公式(9-3-6)就就是隐函数的求导公式.这里仅对公式(9-3-6)进行推导.将函数()y f x =代入方程(),0F x y =得恒等式。

同济大学数学系《高等数学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(多元函数微分法及其应用)【圣才出品】

②闭集如果点集 E 的边界属于 E，则称 E 为闭集．
③连通集如果点集 E 内任何两点，都可用折线联结起来，且该折线上的点都属于 E，
则称 E 为连通集．
④区域（开区域）连通的开集称为区域或开区域．
⑤闭区域开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域．
⑥有界集对于平面点集 E，如果存在某一正数 r，使得
P 为 E 的边界点．
（4）聚点如果对任意给定的 δ＞0，点 P 的去心邻域
总有 E 中的点，则称
P 是 E 的聚点．
4．多元函数
（1）多元函数的定义
设 D 是 Rn 的一个非空子集，称映射 f：D→R 为定义在 D 上的 n 元函数，记作
或
其中点集 D 称为该函数的定义域，x1，x2，…，xn 称为自变量，u 称为因变量．当 n≥2 时， n 元函数就称为多元函数．
定存在，且函数 z＝f（x，y）在点（x，y）的全微分为
．
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3．全微分应用
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如果二元函数 z＝f（x，y）在点 P（x，y）的两个偏导数
连续，并且
都较小时，则有近似等式
，即
写成
四、多元复合函数的求导法则
1．一元函数与多元函数复合的情形
3．高阶偏导数
设函数 z＝f（x，y）在区域 D 内具有偏导数
于是
在 D 内 fx（x，y），fy（x，y）都是 x，y 的函数．如果这两个函数的偏导数也存在，则称它
们是函数 z＝f（x，y）的二阶偏导数．按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数
其中第二、三两个偏导数称为混合偏导数．同样可得三阶、四阶……以及 n 阶偏导数．二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．

大学高数第九章知识点总结

大学高数第九章知识点总结本章的内容可以分为多元函数的导数、方向导数和全微分、隐函数与参数方程、复合函数的偏导数等四个部分。

下面我将对第九章的主要知识点进行总结和归纳。

一、多元函数的导数1、定义：假设函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)附近有定义，当自变量x和y分别以x=x0,y=y0为自变量时，关于z的增量Δz=f(x0+Δx, y0+Δy)-f(x0,y0)与增量Δx,Δy之间的比值分别为：(1) 当Δx≠0,Δy=0时，称为f对x的偏导数，记为fx(x0, y0)，即f对x的偏导数是指在y=y0时，f对x的导数。

fx(x0, y0)=lim(Δx→0){f(x0+Δx, y0)-f(x0,y0)}/Δx;(2) 当Δx=0,Δy≠0时，称为f对y的偏导数，记为fy(x0, y0)，即f对y的偏导数是指在x=x0时，f对y的导数。

fy(x0, y0)=lim(Δy→0){f(x0, y0+Δy)-f(x0,y0)}/Δy.2、几何意义：函数f(x,y)在点P(x0,y0)处的偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)分别等于曲面z=f(x,y)在点(x0,y0,f(x0,y0))处沿着x轴、y轴的方向导数。

3、求导法则：多元函数的导数具有以下性质：（1）线性性：若z=f(x,y)可导，则对任何常数α、β，函数αf(x,y)+βg(x,y)也可导，并且有（αf(x,y)+βg(x,y))' = αf'(x,y) + βg'(x,y)；（2）乘积法则：如果z=u(x,y) v(x,y)可导，则z' = u(x,y) v'(x,y) + u'(x,y) v(x,y)；（3）复合函数的求导法则：如果z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)都可导，则z' = f_u(x,y) u' +f_v(x,y) v'。

二、方向导数和全微分1、方向导数：函数z=f(x,y)在点P(x0, y0)处沿任一方向l=(α,β)的方向导数是函数f在这一方向上的变化率，其定义为：D_uf(x0,y0)=fa(x0, y0)α+fb(x0,y0)β;2、全微分：若z=f(x,y)在点P(x0, y0)可导，Δz=f(x0+Δx, y0+Δy)-f(x0,y0)近似等于其全微分：df(x0,y0)=fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy.三、隐函数与参数方程1、隐函数存在定理：若z=f(x,y)在点(x0,y0)邻域内连续且fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在且至少有一个不为0，则z=f(x,y)=0在此点邻域内确定一个连续且具有连续导数的隐函数。

高等教育出版社高等数学同济第六版下册第九章PPTD9_1基本概念

1 y
又如, z sin( x y ) , ( x, y ) R 2
说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D 的图形一般为空间曲面 . 三元函数 u arcsin( x 2 y 2 z 2 ) 定义域为单位闭球
O
O
x
y
图形为
空间中的超曲面.
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则称 P 为 E 的外点 ; 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 . 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
目录上页下页返回结束
(2) 聚点
若对任意给定的 ,点P 的去心邻域
P D Rn
常用
二元函数 (图形一般为空间曲面)
三元函数
目录上页下页返回结束
3. 多元函数的极限
P P0
lim f ( P) A
ε 0 , δ 0 , 当0 PP0 δ 时，有 f ( P) A ε
4. 多元函数的连续性 1) 函数 f ( P) 在 P0 连续有界定理 ; 最值定理 ;
E
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
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(3) 开区域及闭区域
若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
y kx
k 值不同极限不同 !

多元函数微积分学总结

多元函数微积分学总结多元函数微积分学是微积分学的一个重要分支，研究多个变量之间的关系以及对这些变量的变化进行分析和计算。

本文将对多元函数微积分学的主要内容进行总结，并介绍常见的方法和技巧。

一、空间坐标系和极坐标系在多元函数微积分学中，我们通常使用空间坐标系和极坐标系来描述多维空间中的点和曲线。

空间坐标系是由三个相互垂直的坐标轴x、y、z组成，用来表示三维空间中的点。

我们可以通过向量运算、平面的方程等方式来研究空间中的曲线、曲面以及相关的计算方法。

极坐标系是在平面上建立的坐标系，由极径r和极角θ组成。

极坐标系可以用来描述平面上的点和曲线，通过坐标变换的方法可以与空间坐标系进行转换。

二、多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性是多元函数微积分学的基础概念。

类似于一元函数的极限和连续性，多元函数的极限和连续性也可以通过定义、性质等方式进行研究和计算。

对于多元函数的极限，我们需要考虑函数在不同方向上的极限以及函数在某点处的极限。

通过使用极限的定义和极限运算法则，我们可以判断多元函数在某点处的极限是否存在，并进行具体的计算。

多元函数的连续性与一元函数的连续性类似，即函数在某点附近的函数值和极限值之间存在一个足够小的常数δ，使得当自变量的取值在这个常数范围内时，函数值的变化足够小。

通过使用连续函数的定义和连续性的性质，我们可以判断多元函数在某点处是否连续，并进行具体的计算。

三、多元函数的偏导数和全微分多元函数的偏导数和全微分是研究多元函数变化的重要工具，在微积分学中有着广泛的应用。

对于多元函数的偏导数，我们可以通过定义和偏导数的性质来进行计算。

偏导数可以表示函数在某个方向上的变化率，它在多个方向上的值决定了函数的变化趋势和比例。

通过计算偏导数和一阶偏导数的矩阵，我们可以得到多元函数的梯度，进而进行更复杂的分析和计算。

多元函数的全微分则广义地描述了函数在某一点附近的变化情况。

全微分可以通过偏导数和偏导数向量的运算来进行计算，并可以表示函数值的一个线性近似。

多元函数微分学及其应用归纳总结

多元函数微分学及其应用归纳总结一、多元函数的微分与偏导数1. 多元函数的微分定义为函数在其中一点上的线性逼近。

对于二元函数，微分为 dz=f_x*dx+f_y*dy，其中 f_x 和 f_y 分别为函数的偏导数。

对于一般的 n 元函数也可类似定义。

2.多元函数的偏导数表示函数沿着其中一个变量的变化率。

对于二元函数f(x,y)，其偏导数f_x表示x方向上的变化率，f_y表示y方向上的变化率。

一般而言，当存在偏导数且连续时，函数在该点可微分。

3.偏导数的计算方法与一元函数相似，利用极限的定义求出偏导数表达式，对于高阶偏导数，可以反复求导。

4.混合偏导数表示函数在二个或二个以上变量上求偏导数后再对另外一个或另外几个变量求偏导数，其次序不影响结果。

二、多元函数的求导法则1. 多元函数的和、差、常数倍法则：设函数 f 和 g 在其中一点连续可导，则(f±g)'=f'±g'，(kf)'=kf'。

2.多元函数的乘积法则：设函数f和g在其中一点连续可导，则(f·g)'=f'·g+g'·f。

3.多元函数的商法则：设函数f和g在其中一点连续可导且g不为零，则(f/g)'=(f'·g-g'·f)/g^24. 复合函数求导法则：设函数 y=f(u) 和 u=g(x) 在其中一点可导，则复合函数 y=f(g(x)) 的导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)，其中 x 和 u 为中间变量。

三、多元函数的极值与梯度1.多元函数的极值包括极大值和极小值。

在二元函数中，极值的必要条件为偏导数为零，充分条件为偏导数存在且满足一定条件。

2.多元函数的梯度是一个向量，其方向与函数在其中一点上变化最快的方向一致，大小表示变化率的大小。

梯度为零的点可能为极值点。

高数(同济第六版)第九章总结

4
③当 AC
时，不能判断
2、条件极值，拉格朗日乘数法：
①构造 L(x,y)=f(x,y)+ (x,y)[其中，f 为原函数，为条件]
② (x0,y0)+
=0
(x0,y0)+
=0
(x0,y0)=0
5
1、方向导：
2、梯度：
=
3、 =(
) 其中为方向角，
记某点
处的方向导为记梯度为
则
[其中
]
① =0 时，f 增长最快
② = 时，f 增长最慢
③ = 时，f 不变
第八节多元函数的极值及其求法
1、极值存在必要条件：，
充要条件：有
C
①当 AC
A>0 时，有极小值
A<0 时，有极大值
②当 AC <0 时，无极值
1、偏导的符号不可拆
2、偏导数的几何意义
第三节全微分
1、全增量： z=f(x+ x,y+ y)-f(x,y)
可表示为： z=A x+B y+o( )[其中 o( )=
]
2、全微分：
[其中
]
3、全微分存在条件： 4、各个关系
函数连续
互推不出
推不出
推不出
函数可导
推得出
函数可导
推
推
得
不
出
出
推得出
偏导连续
记 Jacobi 式：J=
(在解方程组式的隐函数时，可用可不用 Jacobi 式) 第六节多元函数微分学几何应用
1、
3
[称其为一元向量值函数] 2、空间曲线的切线与法平面

高等数学(同济大学第六版)第9章多元函数微分法小结

法平面方程为
⎧x = x ⎧ F ( x, y , z ) = 0 ⎪ 情况 2．若空间曲线的方程为： ⎨ ，可化为情况 1 的形式为 ⎨ y = y ( x ) , 可得曲线在 ⎩G (x, y, z ) = 0 ⎪ z = z (x ) ⎩
y 0 = f ( x0 ) ,并有
F' dy = − x' . dx Fy
高等数学 -4-
高等数学阶段小结
第九章多元函数的微分法及其应用
2)一个三元方程确定一个二元隐函数的情形设函数 F ( x, y , z ) 在点 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的某一邻域内具有连续的偏导数 , 且
Fy' Fx' ∂z ∂z =− ' , =− ' . ∂x Fz ∂y Fz
3)一个四元方程组确定两个二元隐函数的情形设 F ( x, y , u , v ) 、 G ( x, y , u , v ) 在点 P ( x 0 , y 0 , u 0 , v0 ) 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 , 又
Gu' Gv'
Gu' Gv'
Fy' Fv'
' Gy Gv' 1 ∂ (F , G ) ∂u =− =− ' ' ∂y J ∂ ( y, v ) Fu Fv
Fu' Fy
,
' Gu' G y ∂v 1 ∂ (F , G ) =− =− ' ' ∂y J ∂ (u, y ) Fu Fv
'
Gu' Gv'
Gu' Gv'

多元函数微积分学总结

多元函数微积分学总结1. 引言多元函数微积分学是微积分学的一个重要分支，研究的是多元函数的极限、连续性、可导性以及相关的定理和方法。

在实际问题中，经常会遇到多个变量同时变化的情况，因此掌握多元函数微积分学对于解决实际问题具有重要意义。

2. 多元函数的极限多元函数的极限是多元函数微积分学的基础概念之一。

与一元函数不同的是，多元函数的极限需要考虑所有自变量的变化情况。

通过利用数列的极限概念以及极限运算法则，可以定义多元函数的极限。

3. 多元函数的连续性对于多元函数而言，连续性是一个重要的性质。

一个多元函数在某点连续意味着在该点的邻域内函数值变化不大，保持相对稳定。

通过定义和判定多元函数在某点连续的方法，可以分析多元函数在不同区域的连续性和不连续点的性质。

4. 多元函数的偏导数和全微分与一元函数一样，多元函数也存在导数的概念。

对于多元函数而言，导数被称为偏导数。

多元函数的偏导数可以用来刻画函数在某一方向上的变化速率。

全微分是多元函数的一个重要概念，它可以表示多元函数的微小增量与自变量的变化之间的关系。

5. 多元函数的极值与最值多元函数的极值和最值也是多元函数微积分学的重要研究内容。

通过求解多元函数的偏导数，并进行一定的约束条件，可以确定函数的极值和最值。

求解多元函数的极值和最值可以帮助我们找到函数的最优解，解决实际问题。

6. 多元函数的二重积分多元函数的二重积分是多元函数微积分学的另一个重要内容。

与一元函数的定积分类似，二重积分可以用来计算曲面下体积、质量等物理量。

通过将二重积分问题转化为累次积分问题，可以简化计算过程。

7. 多元函数的多重积分多元函数的多重积分扩展了二重积分的概念，可以用来计算多维空间中的体积、质量等物理量。

多重积分可以通过反复积分的方式进行计算，也可以使用适应性分割等方法简化计算过程。

8. 多元函数的曲线积分和曲面积分与一元函数的曲线积分和曲面积分类似，多元函数也存在曲线积分和曲面积分的概念。

高等数学同济六版第九章第1节

x
y
图形为
空间中的超曲面.
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三、多元函数的极限
定义2. 设 n 元函数 f ( P), P D R n , P0 是 D 的聚点 , 若存在常数 A , 对任意正数 , 总存在正数 , 对一切 P D U ( P0 ,δ ) , 都有
(介值定理)
* (4) f (P) 必在D 上一致连续 . (证明略)
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(一致连续性定理)
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例5.求 lim 解: 原式
x 0 y 0
xy 1 1 . xy
1 1 lim x 0 x y 1 1 2
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3. 多元函数的极限 lim f ( P) A ε 0 , δ 0 , 当0 PP0 δ 时， P P0 有 f ( P) A ε 4. 多元函数的连续性 lim f ( P) f ( P0 ) 1) 函数 f ( P) 在 P0 连续
例如,
x 0 y 0
显然
lim lim f ( x, y ) 0 ,
但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .
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四、多元函数的连续性
定义3 . 设 n 元函数 f ( P) 定义在 D 上, 聚点 P0 D ,
( x, y ) x y 0 ( x, y ) 1 x 2 y 2 4

多元函数微分学总结

多元函数微分学总结多元函数微分学是微积分的一个重要分支，主要研究多元函数的导数和微分。

在实际中，我们经常遇到的函数都是多元函数，如物体的速度、加速度、市场需求曲线等都是多元函数。

因此，研究多元函数微分学对于理解和解决实际问题具有重要意义。

多元函数微分学的基本概念包括偏导数、全微分、总微分和梯度。

偏导数是多元函数对于其中其中一个自变量的导数，表示了函数在该自变量上的变化率。

全微分是多元函数在其中一点上的局部线性逼近，可以准确描述函数在该点附近的变化情况。

总微分是将全微分与自变量的改变量相乘得到的函数值的改变量，表示了函数在其中一点上的整体变化情况。

梯度是偏导数向量，由多个偏导数组成，表示了函数在每个自变量上的变化速率和变化方向，是多元函数微分学中非常重要的概念。

多元函数微分学的重要应用之一是最优化问题的求解。

在实际问题中，我们经常需要求解一个函数在一定约束条件下的最大值或最小值。

通过求解函数的偏导数，并将其等于零得到的一组方程，可以找到函数的驻点。

然后通过二阶偏导数的判定准则判断驻点的性质，从而确定函数的最大值或最小值。

多元函数微分学还涉及到复合函数的求导，链式法则是求解复合函数导数的重要工具。

链式法则告诉我们，复合函数的导数等于外函数对于内函数的导数乘以内函数对于自变量的导数。

通过链式法则，我们可以将复杂的多元函数求导问题转化为简单的一元函数求导问题。

在高维空间中，我们常常需要研究函数在其中一个曲面上的变化情况，这就引出了偏导数的几何意义。

偏导数实际上是函数在其中一变量方向上的变化速率，可以表示曲面在该方向上的斜率。

通过偏导数的几何意义，我们可以得到曲面在各个方向上的切线方程和法线方程，从而更加深入地理解函数在高维空间中的行为。

最后，多元函数微分学还与微分方程的研究相关。

微分方程是描述自然现象中变量之间关系的数学模型，而多元函数微分学是求解微分方程的重要工具之一、通过将微分方程转化为多元函数的问题，并利用多元函数微分学的知识求解，可以得到微分方程的解析解。

多元函数知识点总结同济

多元函数知识点总结同济一、多元函数的定义在解释多元函数之前，先来回顾一下一元函数的定义。

在一元函数中，我们通常用一个变量来表示自变量，用另一个变量来表示因变量，即y=f(x)。

而在多元函数中，我们需要考虑多个自变量和一个因变量之间的关系，这时我们就需要用到多元函数。

多元函数可以表示为：z=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…,xn为自变量，z为因变量。

二、多元函数的性质1. 定义域和值域：在一元函数中，我们只需要考虑一个自变量的取值范围和对应的因变量取值范围。

而在多元函数中，则需要考虑多个自变量的取值范围以及对应的因变量取值范围，这就对定义域和值域提出了更高的要求。

2. 奇偶性：多元函数的奇偶性要根据每个自变量的奇偶性来判断，需要更加复杂的计算方法。

3. 函数的周期性：多元函数的周期性通常需要根据各个自变量的周期性来共同确定。

4. 函数的对称性：对于多元函数，除了考虑自变量和因变量之间的对称性外，还需要考虑自变量之间的对称性，对称性的判断更加复杂。

5. 导数和积分：多元函数的导数和积分需要根据各个自变量分别进行求导和积分，并考虑它们之间的关系。

以上是多元函数的一些基本性质，对于多元函数的研究来说，这些性质是基础且重要的。

在具体的应用中，我们需要根据实际问题的特点来综合考虑这些性质。

三、多元函数的极限1. 多元函数的极限定义：多元函数的极限定义与一元函数的极限定义类似，不同之处在于需要考虑多个自变量同时趋于某个值时，因变量的变化情况。

多元函数f(x1,x2,…,xn)在点(x01,x02,…,x0n)处的极限为A，即lim┬(x→(x0₁,x0₂,...,x0n))⁡f(x1,x2,…,xn)=A，当且仅当对于任意ε>0，存在δ>0，使得0＜√((x1-x0₁)²+(x2-x0₂)²+…+(xn-x0n)²)＜δ时，都有|f(x1,x2,…,xn)-A|＜ε成立。

多元函数微积分知识点

多元函数微积分知识点多元函数微积分是微积分的一个重要分支，它主要研究含有多个变量的函数的微分、积分和相关性质。

相比于一元函数微积分，多元函数微积分具有更高的复杂性和更丰富的应用领域。

以下是多元函数微积分的一些重要的知识点：1.多元函数的极限：多元函数的极限定义与一元函数相似，但需要考虑多个变量同时趋于一些点或正负无穷的情况。

可以使用极限运算定理、夹逼定理等方法求解多元函数的极限。

2.多元函数的连续性：多元函数的连续性与一元函数的连续性类似，也可以使用极限的性质证明多元函数的连续性。

此外，也有类似于一元函数的极限运算定理和连续函数的性质定理适用于多元函数。

3.多元函数的偏导数：多元函数的偏导数描述了函数在一些变量方向上的变化率。

对于二元函数，可以求出两个变量的偏导数；对于三元函数及以上的函数，可以求出每个变量的偏导数。

求偏导数时，将其他变量当作常数对待。

4.多元函数的全微分：多元函数的全微分也称为多元函数的导数。

通过偏导数可求得多元函数在特定点的各个方向的变化率，进而求得多元函数在特定点的全微分。

5.多元函数的方向导数：多元函数的方向导数描述了函数在一些给定方向上的变化率。

通过求解偏导数和方向向量的点积，可以求得多元函数在一些方向上的方向导数。

6.多元函数的梯度：多元函数的梯度是一个向量，它的方向指向函数在特定点变化最快的方向，大小表示这个变化的速率。

梯度的方向与等高线垂直。

7.多元函数的二阶偏导数：对于多元函数，可以求出其各个变量的一阶偏导数，进一步可以求出相应的二阶偏导数。

二阶偏导数刻画了多元函数在一些变量方向上的变化率的变化率，即函数的曲率。

8.多元函数的泰勒展开：多元函数的泰勒展开是将一个多元函数近似表示为以一些点为中心的多项式的形式。

泰勒展开可以用于函数求值的近似计算和函数性质的分析。

9.多元函数的极值与最值：类似于一元函数，多元函数也有极值和最值的概念。

可以通过求解偏导数和二阶偏导数来判断函数的极值和最值，并应用拉格朗日乘数法等方法求解约束条件下的最值问题。

多元函数微分法及其应用总结(K12教育文档)

多元函数微分法及其应用总结(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（多元函数微分法及其应用总结(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为多元函数微分法及其应用总结(word版可编辑修改)的全部内容。

第九章多元函数微分法及其应用总结多元函数的概念对应规则、定义域、值域、图形二重极限()()()00,,lim ,x y x y f x y →的定义、与()0lim x x f x →的区别极限的计算(P61、P62、P63（6））二元函数的连续性()()()()0000,,lim ,,x y x y f x y f x y →=二元函数(),f x y 在区域D 连续在有界闭区域上的连续函数(),f x y 的性质有界性、有最值、介值性多元初等函数多元初等函数在其定义域内是连续函数多元函数的偏导数(),z f x y =在点()00,x y 处对x，y的偏导数()00,x f x y ，()00,y f x y 的定义例如，计算()()00000,,lim x f x x y f x x y x ∆→+∆--∆∆(),z f x y =在点()00,x y 处对x ,y的偏导数()00,x f x y ，()00,y f x y 的几何解释(),z f x y =对x ，y 的偏导数(),x f x y ，(),y f x y 的定义算法练习（P69、1，4)多元函数的高阶偏导数(P69、6(1）,7，8)多元函数的全微分(),z f x y =，()(),,x y dz f x y dx f x y dy=+推广到更多元的函数算法练习(P75、1（1)，2，3）多元复合函数的求导法则树形法则（P82、1，3，8，10）隐函数求导法则若(),0F x y =,则x yF dy dx F =-若(),,0F x y z =，则x z F z x F ∂=-∂，y z F z y F ∂=-∂算法练习(P89、1,3（补充计算dz ））多元函数求极值算法练习（P118、2,5，7，P116、例7）曲面(),z f x y =或者 (),,0F x y z =在点()000,,x y z 的切平面方程、法线方程算法练习（P99、例6，例7，P100、8，9）曲线()x x t =,()y y t =,()z z t =或者()y y x =，()z z x =在点()000,,x y z 处的切线方程、法平面方程算法练习（P94、例4，P100、4)例如，求曲线x t =，22y t =，3z t =的点，满足条件：该点切向量平行于平面1x y z ++=。