高等数学(同济大学第六版)第9章多元函数微分法小结

D
f ( P ) − A = f ( x, y ) − A < ε
成立, 则称常数 A 为函数 f ( x, y ) 当 ( x, y ) → ( x0 , y 0 ) 时的极限, 记为
lim f ( x, y ) = A ( x , y )→ ( x 0 , y 0 )
设二元函数 f (P ) = f ( x, y ) 的定义域为 D , P0 ( x0 , y 0 ) 为 D 的聚点, 且 P0 ∈ D . 如果
Fy' Fx' ∂z ∂z =− ' , =− ' . ∂x Fz ∂y Fz
3)一个四元方程组确定两个二元隐函数的情形 设 F ( x, y , u , v ) 、 G ( x, y , u , v ) 在点 P ( x 0 , y 0 , u 0 , v0 ) 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 , 又
F ( x0 , y 0 , z 0 ) = 0, Fz' (x 0 , y 0 , z 0 ) ≠ 0, 则方程 F ( x, y, z ) = 0 在点 (x 0 , y 0 , z 0 ) 的某一邻域内唯一确定一个连
续且具有连续偏导数的函数 z = f ( x, y ) ,它满足条件 z 0 = f ( x 0 , y 0 ) ,并有
Gu' Gv'
Gu' Gv'
Fy' Fv'
' Gy Gv' 1 ∂ (F , G ) ∂u =− =− ' ' ∂y J ∂ ( y, v ) Fu Fv
Fu' Fy
,
' Gu' G y ∂v 1 ∂ (F , G ) =− =− ' ' ∂y J ∂ (u, y ) Fu Fv
'
Gu' Gv'
Gu' Gv'
,或 f
'
x
(x0 , y 0 ) 平
如果函数 z = f ( x, y ) 在区域 D 内每一点 ( x, y ) 处对 x 的偏导数都存在,那么这个偏导数就是 x, y 的函 数, 称为函数 z = f ( x, y ) 对自变量 x 的偏导函数,记作
∂z , ∂f , z ' ,或 f ' ( x, y ) . x x ∂x ∂x
学习重点
1．二元函数的极限与连续性； 2．函数的偏导数和全微分； 3．方向导数与梯度的概念及其计算； 4．多元复合函数的偏导数； 5．隐函数的偏导数； 6．曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线； 7．二元函数极值和条件极值的求法； 8．二元函数的最大值和最小值.
内容提要
一、二元函数的极限与连续
1．定义： 设二元函数 f (P ) = f ( x, y ) 的定义域为 D , P0 ( x0 , y 0 ) 是 D 的聚点. 如果存在常数 A ,对于任意给定的 正数 ε ，总存在正数 δ , 使得当 P ( x, y ) ∈ D ∩ U (P0 , δ ) 时, 都有
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第九章多元函数的微分法及其应用
第九章 多元函数的微分法及其应用
学习内容和要求
1．理解多元函数的概念。 2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭域上连续函数的性质。 3．理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。 4．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5．掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。 6．会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7．了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念。会求它们的方程。 8．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存 在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最 小值并会解决一些简单的应用问题。
(u, v ) 具有连续偏导数,
关系图） ：
则复合函数 z = f [ϕ ( x, y ),ψ ( x, y )] 在点 ( x, y ) 的两个偏导数存在, 且有（参考函数
∂z = ∂z ⋅ ∂u + ∂z ⋅ ∂v , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂z = ∂z ⋅ ∂u + ∂z ⋅ ∂v . ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
Δz = f ( x + Δx, y + Δy )
Δz = AΔx + BΔy + ο (ρ )⎛ ⎜ρ = ⎝
(Δx )2 + (Δy )2 ⎞ ⎟,
⎠
其中 A 、B 不依赖于 Δx 、Δy 而仅与 x、y 有关, 则称函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 可微分,而称 AΔx + BΔy 为函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 的全微分, 记作 dz , 即
设 z 0 = f ( x 0 , y 0 ) , 则 f x ( x0 , y 0 ) 和 f y ( x 0 , y 0 ) 在几何上分别表示曲面 ⎨
'
'
⎧ z = f ( x, y ) ⎧ z = f ( x, y ) 和⎨ 在 ⎩ y = y0 ⎩ x = x0
点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的切线对 x 轴和对 y 轴的斜率. 2．高阶偏导数
法平面方程为
⎧x = x ⎧ F ( x, y , z ) = 0 ⎪ 情况 2．若空间曲线的方程为： ⎨ ，可化为情况 1 的形式为 ⎨ y = y ( x ) , 可得曲线在 ⎩G (x, y, z ) = 0 ⎪ z = z (x ) ⎩
f ( x0 + Δx, y 0 ) − f ( x0 , y 0 ) Δx
存在,则称此极限为函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处对 x 的偏导数,记作
' ∂f ∂z z x = x0 , x = x0 , x ∂x y = y0 ∂x y = y0 x = x0 y = y0
∂z ∂z du + dv , 即无论 u , v 是自变 ∂u ∂v
d (u ± v ) = du ± dv ; d (uv ) = vdu + udv ;
d (cu ) = cdu , c 为常数;
⎛u⎞ 1 d ⎜ ⎟ = 2 (vdu − udv ) (v ≠ 0 ) . ⎝v⎠ v
四、复合函数求导法则 如果函数 u = ϕ (t ) 及 v = ψ (t ) 都在点 t 可导,函数 z = f (u , v ) 在对应点 (u , v ) 具有连续偏导数,则复合函 数 z = f [ϕ (t ),ψ (t )] 在点 t 可导,且有
u 0 = u ( x0 , y 0 ) , v0 = v( x0 , y 0 ) 并有
Fx' Fv'
' Gx Gv' 1 ∂ (F , G ) ∂u =− ' ' =− J ∂ ( x, v ) ∂x Fu Fv
Fu' Fx'
，
' Gu' G x 1 ∂ (F , G ) ∂v =− ' ' =− J ∂ (u, x ) ∂x Fu Fv
z 0 = z (t 0 ) ,则曲线在 P0 点处切线的方向向量为 x ' (t 0 ), y ' (t 0 ), z ' (t 0 )
切线方程为
{
}
x − x0 y − y 0 z − z 0 = ' = x ' (t 0 ) y (t 0 ) z ' (t 0 )
x ' (t 0 )( x − x 0 ) + y ' (t 0 )( y − y 0 ) + z ' (t 0 )( z − z 0 ) = 0 .
y 0 = f ( x0 ) ,并有
F' dy = − x' . dx Fy
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2)一个三元方程确定一个二元隐函数的情形 设 函 数 F ( x, y , z ) 在 点 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的 某 一 邻 域 内 具 有 连 续 的 偏 导 数 , 且
∂2z ∂2z 如果函数 z = f ( x, y ) 的两个二阶混合偏导数 及 在区域 D 内连续,那么在该区域内这两个 ∂y∂x ∂x∂y
二阶混合偏导数必相等.
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三、全微分 如果函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 的全增量 可表示为
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( x , y )→( x0 , y0 )
lim
f ( x, y ) = f ( x 0 , y 0 ) ,
则称函数 f (P ) = f ( x, y ) 在点 P0 ( x0 , y 0 ) 连续. 2．有界闭区域上连续函数的性质 (1) 有界性与最大值最小值定理 在有界闭区域 D 上的多元连续函数,必定在 D 上有界,且能取得它的 最大值和最小值. (2) 介值定理 在有界闭区域 D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.
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六、空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线 1．空间曲线的切线与法平面
⎧ x = x(t ) ⎪ 情况 1．设曲线方程为 ⎨ y = y (t ) , P0 ( x0 , y 0 , z 0 ) 是曲线上对应于 t = t 0 的点： x0 = x(t 0 ) , y 0 = y (t 0 ) , ⎪ z = z (t ) ⎩
u z
x
v
五、隐函数的求导法则 1)一个二元方程确定一个一元隐函数的情形
y
设函数 F ( x, y ) 在点 P ( x0 , y 0 ) 的某一邻域内具有连续偏导数, F ( x0 , y 0 ) = 0, Fy ( x 0 , y 0 ) ≠ 0, 则方程
'
F ( x, y ) = 0 在点 (x 0 , y 0 ) 的某一邻域内唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 y = f ( x ) , 它满足条件
dz = AΔx + BΔy .
可微的必要条件 如果函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 可微分,则函数在该点的偏导数 且函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 的全微分为
∂z 、 ∂z 必定存在, ∂x ∂y
dz =
∂z ∂z dx + dy . ∂x ∂y
可微的充分条件 如果函数 z = f ( x, y ) 的偏导数
∂z 、 ∂z 在点 ( x, y ) 连续,则函数在该点可微分. ∂x ∂y
全微分的形式不变性 设 z = f (u , v ) , u = u ( x, y ) , v = v ( x, y ) , 如果 f (u , v ) , u ( x, y ) , v( x, y ) 分别有连 续偏导数, 则复合函数 z = f (u , v ) 在 ( x, y ) 处的全微分仍可表为 dz = 量还是中间变量, 上式总成立. 全微分四则运算法则 设 u = u ( x, y ) , v = v ( x, y ) 在 ( x, y ) 可微, 则
二、偏导数 1．偏导数定义 设函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内有定义,当 y 固定在 y 0 而 x 在 x0 处有增 量 Δx 时,相应地函数有增量
f ( x 0 + Δx, y 0 ) − f ( x0 , y 0 ) .
如果极限
Δx → 0
lim
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dz = ∂z ⋅ du + ∂z ⋅ dv , dt ∂u dt ∂v dt
也把
dz 称为全导数（参考函数关系图）. dt
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u z v t
如果函数 u = ϕ ( x, y ), v = ψ ( x, y ) 都在点 ( x, y ) 具有对 x 及 y 的偏导数 , 函数 z = f (u , v ) 在对应点
F ( x0 , y 0 , u 0 , v 0 ) = 0, G ( x0 , y 0 , u 0 , v0 ) = 0, 且偏导数所组成的函数行列式:
∂F ∂F ∂ ( F , G ) ∂u ∂v = J= ∂G ∂G ∂ ( u, v ) ∂u ∂v
在点 P ( x 0 , y 0 , u 0 , v0 ) 不等于零 , 则方程组 F ( x, y , u , v ) = 0, G ( x, y, u , v ) = 0, 在点 P ( x 0 , y 0 , u 0 , v0 ) 的某一 邻 域 内 唯 一 确 定 一 组 连 续 且 具 有 连 续 偏 导 数 的 函 数 u = u ( x, y ), v = v( x, y ) , 它 们 满 足 条 件