1-例题和习题

第一章 行列式• 要点和公式 •1 全排列及其逆序数、对换排列的逆序数=各元素的逆序数之和.(一个元素的逆序数是指排在其前面并且大于它的元素个数) n 个元素所有排列的种数P n =n !，其中奇、偶排列各占一半。

一次对换改变排列的奇偶性。

2 行列式n 阶行列式的定义： 或 或 行列式的性质： ⑴ D=DT⑵ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⇒++⨯⇒⨯⨯⇒↔↔不变符号外面的公因子可提到行列式列行列式某行或反号D kc c kr r k D k c k r D c c r r j i j i i i j i j i )( ])(,[ )( )(⑶ 以下都是行列式等于零的充分条件：①两行(列)完全相同； ②某一行(列)的元素全为零； ③两(列)的元素对应成比例.⑷ 若行列式的某一行(列)元素都是两数之和，则行列式可分解为两个行列式之和. 行列式按行(列)展开法则ij nk jkik D A a δ=∑=1或ij nk kj ki D A a δ=∑=1(i =1,2,…,n )(其中⎩⎨⎧≠==ji ji ij ,0 ,1δ，D 是原行列式的值)重要的特殊行列式⑴ 对角行列式 / 上三角行列式 / 下三角行列式n nλλλλλλΛO2121= (1-1)nn nnn n nn n na a a a a a a a a a a a a a a ΛΛO M M M OΛΛ22112122121122212111== (1-2) ⑵n n n nλλλλλλΛN212)1(21)1(--=(1-3)11,212)1(1,121,2111,22111,111)1(n n n n n nnn n n nn nn n n n a aa a a a a a a a a a a a a ΛΛM M N N M ΛΛ-------==(1-4)⑶ 分块对角行列式 / 分块上三角行列式 / 分块下三角行列式B A B OA B O A B O O A ⋅===** (1-5) ⑷B A B AOO B A O B A O km ⋅-===)1(** (1-6) 以上两式中，B A 、分别是k 阶、m 阶行列式.⑸ 范德蒙德行列式∏≤<≤-----=nni j j i n nn n n n n x x x x x x x x x x x x x x 111312112232221321)(1111ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ (1-7)3 克拉默法则和有关定理克拉默法则: 对于n 个变量n 个方程的线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.22112222212111212111n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 简记为i n j j ij b x a =∑=1 (i =1,2,…,n )若系数行列式D ≠0，则方程组有唯一解：DD x j j =(i =1,2,…,n )其中D j 是用方程组的常数项b 1, b 2, …, b n 替换系数行列式D 的第j 列得到的行列式。

定理：对于非齐次．．．线性方程组 i nj j ij b x a =∑=1(i =1,2,…,n )⑴ 方程组有唯一解 ⇔ 系数行列式D ≠0； ⑵ (等价命题) 方程组无解或有多组解 ⇔ D =0. 定理：对于齐次．．线性方程组 01=∑=nj j ij x a (i =1,2,…,n )⑴ 方程组只有零解⇔系数行列式D ≠0；⑵ (等价命题) 方程组(除零解外)有非零解 ⇔ D =0.∑-np p p t na a a Λ2121)1(∑+-nn qp q p q p t t a a a Λ221121)1(∑-n np p p ta a a Λ2121)1(• 典型题型 •1 全排列的逆序数、奇偶性计算n 元排列的逆序数的常用方法是：算出排列中每个元素前面比它大的元素的个数(即每个元素的逆序数)，这些元素的逆序数之和就是所求排列的逆序数.判断排列的奇偶性的常用方法有两种：方法一：算出排列的逆序数，若逆序数为奇数，则为奇排列；若逆序数为偶数，则为偶排列；方法二：将所给排列进行对换，使其变成标准排列(偶排列)，若所需对换次数为奇数，则为奇排列；若所需对换次数为偶数，则为偶排列. (因为每次对换都会改变排列的奇偶性)[练习1] 求排列13…(2n -1)24…(2n ) 的逆序数, 并讨论奇偶性. [答案] t =n (n -1)/2当n =4k ,4k +1时，为偶排列；n =4k +2, 4k +3时，为奇排列.2 求行列式中的项[练习2] 写出四阶行列式中所有带负号且包含a 23的项. [答案] -a 11a 23a 32a 44 -a 12a 23a 34a 41 -a 14a 23a 32a 41[练习3] 对例6中的行列式f (x )，求33)(dx x f d[提示] f (x )是x 的4次多项式，设f (x )=c 0+c 1x +c 2x 2+c 3x 3+c 4x 4，则d 3f (x )/dx 3= 6a 3+24a 4x ，故本题需先求行列式中x 4和x 3的系数. [答案]12144)(33+=x x f x d[练习4] 求44434241343332312423222114131211)(a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x x f ++++=中x 4、x 3的系数以及常数项。

[提示] 行列式中涉及x 4和x 3的项只有1项，即主对角线上四个元素的乘积(-1)t (1234)))()()((44332211a x a x a x a x ++++，其余的项至多含x 2；而f (x )的常数项就是f (0).[答案] 1, a 11+a 22+a 33+a 44, 44434241343332312423222114131211)0(a a a a a a a a a a a a a a a a f =3 行列式的性质[练习5] 设1212222111211==nn n n nn a a a a aa a a a D ΛΛΛΛΛΛΛ, 则==------111,111,11,1,111,~a a a a a a a a a D n nn n n n n n n n nnΛΛΛΛΛΛΛ … … … ( ) (A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (D)2[提示] 将D 左右翻转、再上下翻转(或者, 将D 依副对角线翻转) 可得到D ~，而左右或上下翻转可通过n (n -1)/2次相邻的列(行)对换实现. [答案] (A)4 行列式的计算和证明计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用. 除了本章介绍的方法，以后还会陆续学习到一些新的方法，平时应注意归纳、整理. 在计算行列式时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察是否能用常用的几种方法. ⑴ 对角线法则，只适用于二、三阶行列式 ⑵ 利用n 阶行列式的定义利用定义计算行列式是最基本的方法。

“要点和公式”中的公式(1-1)~ (1-4)就是用定义法证明的.[练习6] 用行列式的定义计算nn n 000000001000200020001000ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ-- (n ≥2) [答案] 行列式的n ！项中只有1项不等于0，即!)1()1(2)2)(1(,1,12,21,1]21)2)(1[(n a a a a D n n n n n n n n n n t --------=-=ΛΛ⑶ 利用行列式性质，化为三角形行列式利用性质将行列式化为三角形行列式是最常用的方法之一. “要点和公式”中的公式(1-5)和(1-6)就是用此法证明的.其基本步骤是，利用r i +kr j (c i +kc j )、提取公因子、r i ↔r j (c i ↔c j )等运算，将对角线以下或以上的元素化为零，然后利用公式(1-1)~(1-4)计算出结果.注 对于以上关于 型行列式的例题，它们的翻转、旋转等形式，可循类似的思路进行计算.[练习7] 计算n 阶行列式xxx xx x a a a a D n n n --+=-NNN Λ121[答案]112)1()1(-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∑n n i i n n x a x[练习8]. 计算4阶行列式xx x x +-----+---1111111111111111.[提示]利用各行元素之和相等的特点进行计算，或者化为爪型. [答案] 4x .[练习9] 计算(n ≥2)阶行列式)det(ij n a D =, 其中)1,max(+-=j n i a ij , ),,2,1,(n j i Λ= [提示] 依题意，有1111333122311231nnnnnn n n n n n n n n n n D n ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ-------=在副对角线及其上方，各行的对应元素相同. 从第一行开始，前行减后行，即r i -r i +1 (i =1, 2, …, n -1)，可将副对角线以上元素全化为0，即得公式(1-4)的形式. 或者，也可利用副对角线下方相邻列元素相同的特点计算. [答案]n n n ⋅-+-2)2)(1()1(⑷ 分块法若行列式是公式(1-5)和(1-6)所示的分块三角形，或者容易变换成这种形式，则可用分块法计算. 注意公式中的A 和B 必须是“行数=列数”的数表.[练习10] 用分块法计算“练习6”中的行列式.[练习11] 用分块法计算行列式443322110000000x y x y y x y x [提示] 对换第2,3行，再对换第2,3列，然后分块计算 [答案] ))((42423131y y x x y y x x -- ⑸ 拆分法若行列式的某些行(列)为几个数之和，则可以考虑将行列式按这些行(列)拆分为几个行列式之和，前面的例8采用的就是拆分法. 特别是，当每个元素都是两数之和时，行列式可拆分为2n 个行列式之和，在某些情况下，这个2n 个行列式中有很多等于零，那些不等于零的行列式也很容易计算.[练习12] 用拆分法计算nn n n nn n b a b a b a b a ba b a b a b a b a D ---------=ΛΛΛΛΛΛΛ212221212111(n ≥2) [答案] 当n =2时，))((21212b b a a D --=当n ≥3时，D n =0[练习13] 用拆分法计算“练习8”中的行列式.[练习14] 用拆分法解“练习4”.⑹ 降阶展开法 - 行列式按行(列)展开法则利用行列式的性质，将行列式的某行(列)元素尽可能多地化为零，然后将行列式按该行(列)展开，从而变成n -1阶行列式的计算，这称为降阶展开法，也是最常用的计算方法之一.[练习15] 用降阶展开法计算“练习6”中的行列式. [提示] 按最后一行(列)展开.[练习16] 用降阶展开法计算4433221100000000a b a b b a b a[提示] 按第一行(列)展开后分块计算. [答案] (a 2a 3-b 2a 3)(a 1a 4-b 1b 4) ⑺ 递推法当n 阶行列式的结构具有重复性时，可通过按某行(列)展开，得出它的线性递推公式，然后递推出结果.[练习17] 用递推法证明以下n 阶行列式的结论： ① nn aa a a a a a -------111111133221O OOn na a a a a a ΛΛ21211)1(1-+++-=② x a x a x a a x n 111321---+M OO n n n n n a x a x a x a x +++++=---12211Λ ③ 111323211nnb b b a a a b a OM Λ+∑=-++=ni i i b a b a b a 11111)([提示] 这三个行列式按最后一行展开，可得递推公式如下：①21)1(--+-=n n n n n D a D a D ⇒ n n n n a a a D D Λ211)1(-+=- ②n n n a xD D +=-1 ③n n n n b a D D -=-1[练习18] 试用递推法计算“例12-14”中的n 阶行列式.[练习19] 计算n 阶行列式 xyx y x y x y x xy x y x yx yx x y x y x y x y x x ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ---+--++-+++(n ≥2) [提示] 方法⑴：采用例25的方法，可得D n =-yD n -1+(x+y )y n-1和D n =yD n -1+(x-y )(-y )n -1；方法⑵：先“r 1-r 2”，“c 1-c 2”，然后按第一行展开，再按第一列展开，可得22-=n n D y D .[答案] n 为偶数时, D n =y n ; n 为奇数时, D n =xy n -1.⑻ 归纳法如果得出的递推公式难以计算，可考虑通过n =1,2,3…的低阶行列式去猜想一般结果，然后结合递推公式用归纳法证明猜想成立. 如果行列式已告诉结果，而要证明与自然数n 有关的结论时，也可考虑用数学归纳法证明.[练习20] 设a ≠b , 用数学归纳法证明：ab b x a a x b xbbba xb baa xb a a a x D nn n ----==)()(ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ [提示] 采用例25的方法，得递推公式11)()(---+-=n n n b x a D a x D⑼ 加边法加边法是一种升阶计算的方法：对行列式添加一行一列，构成与D n 相等的n +1阶行列式. 通常，所加的行(列)为 1, 0, …, 0，而所加的列(行)则根据具体情况而定.[练习21] 用加边法计算“例20”和“例21”中的行列式.⑽ 利用范德蒙德行列式法范德蒙德行列式是重要的特殊行列式，要善于识别其变式，得出展开结果.[练习22] 已知0121≠+n n a a a a Λ，计算如下的n +1阶行列式：nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn b b a b a b a a b b a b a b a a b b a b a b a a D 111212111112122222221221111212111111+-++-++-++------+=ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ[提示] 对各第1, 2, …, n +1行分别提取n n nn a a a 121,,,+Λ[答案]()∏∏∏+≤≤≤+≤≤≤+=-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111 n i j j i i j n i j j j i i n i n i b a b a a b a b a⑾ 析因子法如果行列式中某些元素是x 的多项式，则行列式可作为一个多项式f (x ).若通过某些变换，求出了多项式f (x )的全部互素线性因式(一次因式)，则这些因式的乘积g (x )与行列式多项式f (x )只相差常数乘因子k ，于是，根据多项式恒等的定义，通过比较g (x )和f (x )的某一项系数，可进一步求出k .[练习23] 用析因子法计算xa a a a a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x D n n nn n n n n n 13213211211211211----+=ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ [提示] D n +1是x 的n +1次多项式，其n +1个根分别是, , , , ,121∑=-ni i n a a a a Λ[答案] ∏∑==-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ni i n i i a x a x 11)( [注] 本题也可以利用行列式各行元素之和相等的特点进行计算.5 和代数余子式有关的计算[练习24] 对“例34”中的行列式，求: 423222126324M M M M +++- [提示] 将余子式变换成代数余子式，可看出所求的和式就是第三列元素与第二列对应元素的代数余子式乘积之和，或者，通过替换行列式的第二列元素进行计算.[答案] 0632463244232221242322212=+-+=+++-A A A A M M M M[练习25] 设nnD n 13121321O M Λ=, 求所有元素的代数余子式之和. [提示] 第一列元素的代数余子式之和就是D n ，而其它各列元素的代数余子式之和皆为0. [答案] n -2[练习26] 设行列式3165424532223335412311444=D , 求: ①232221A A A ++; ②2524A A +.[答案] ① 0; ② 06 克拉默法则⑴ 利用克拉默法则求线性方程组的解克拉默法则的适用条件是：①线性方程组的方程个数与未知数个数相等；②系数行列式不等于零.为了避免在计算中出现分数，可对某些方程乘以适当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数的线性方程组后再求解.例36 用克拉默法则求解:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+-=+--=+-5534125 23432 543 321421431432x x x x x x x x x x x x解 系数行列式0240534502332014310≠=----=D ，方程组有唯一解.用常数项分别替换系数行列式的各列，得24053550212320443151=------=D ； 48055450123324143502=------=D ；24053451223340145103=---=D ； 24553412023420153104-=-----=D于是，方程组的解为 111==D D x , 222==D D x , 133==D D x , 144-==DDx[练习27] 解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++---111132211232222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ,其中),,2,1, ,( n j i j i a a j i Λ=≠≠[提示] 系数行列式是范德蒙德行列式的转置行列式. [答案] x 1 =1, x 2=x 3=…=x n =0⑵ 已知线性方程组以及解的情况，求方程组的系数的条件练习28 当λ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=+02002043214131x x x x x x x x λλ有非零解？[提示] 齐次线性方程组有非零解 ⇔ 系数行列式D =0 [答案] 4/1=λ⑶ 克拉默法则的应用[练习 29] 求过点(1,1,2), (3,-2,0), (0,5,-5)三点的平面方程. [提示] 设平面方程为0=+++d cz by ax ，其中a ,b ,c 不全为零[答案]055516291550102312111=-++=--z y x z y x[练习30] 证明: 对平面上的n 个横坐标互不相同的点(x i , y i ) (1≤i ≤n )， 必存在唯一的一个次数不超过n -1的多项式f (x )通过此n 个点.[提示] 设112210)(--++++=n n x a x a x a a x f Λ，然后证明以a 0 , a 1 , a 2 , …, a n -1为未知量的齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++------n n n n n nn n n n yx a x a x a a y x a x a x a a y x a x a x a a 11221021212222101111212110 ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 有唯一解.。