高中数学第一章-集合 11. 集合的含义与表示课时作业-北师大版必修
高中数学北师大版必修一1.1【同步练习】《集合的含义与表示 》
《集合的含义与表示》同步练习1、已知集合S ＝{a，b ，c}中的三个元素为△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是________三角形。
所有整数，④函数y ＝2x 的图像上的点。
能构成集合的个数为____。
4、设a ，b∈R，集合{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b ，b a ，则b －a 等于 。
1、已知集合A ＝{x|－3＜x ＜3，x ∈Z}，B ＝{(x ，y)|y ＝x2＋1，x ∈A}，则集合B 用列举法表示。
2、若2∉{x|x －a ＞0}，求实数a 的取值范围。
3、用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A ；(2)方程x 2－9＝0的实数根组成的集合B ；(3)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合D 。
1、已知集合A ＝{1,0，a}，若a2∈A ，求实数a 的值。
2。
(创新拓展)对于a ，b ∈N ＋，现规定a*b ＝+（与的奇偶性相同）（与的奇偶性不同）a b a b a b a b ⎧⎨⨯⎩集合M ＝{(a ，b)|a*b ＝36，a ，b ∈N ＋}(1)用列举法表示a ，b 奇偶性不同时的集合M ；(2)当a 与b 的奇偶性相同时集合M 中共有多少个元素？3、已知集合A ＝{x|ax 2＋3x ＋1＝0，x ∈R}，(1)若A 中只有一个元素，求实数a 的值；(2)若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围。
4、集合A ＝{x |x ＝3n ＋1，n ∈Z }，B ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈Z }，C ＝{x |x ＝6n ＋3，n ∈Z }。
(1)若c ∈C ，是否存在a ∈A ，b ∈B ，使c ＝a ＋b 成立？(2)对于任意a ∈A ，b ∈B ，是否一定有(a ＋b )∈C ？请证明你的结论。
答案与解析1、【解析】本题考查元素的三要素之一互异性，集合中a 、b 、c 为三个不同的元素，所以△ABC 的三边均不相等，故应填“等腰”。
2024-2025学年高一数学必修第一册(北师版)教学课件第一章-§1集合-1.1 集合的概念与表示
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2.描述法
描述法是通过描述元素满足的条件表示集合的方法.
一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件},即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围,再画一条
竖线“|”,在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征.
第一章
§1
集 合
1.1
集合的概念与表示
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学习目标
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系.
2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.
3.在具体情境中，了解空集的含义.
核心素养：数学抽象
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新知学习
情境导学
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典例剖析
一 集合的概念
例1
给出下列各组对象:
①我们班比较高的同学;②无限接近于0的数的全体;③比较小的正整数的全体;
④平面上到点O的距离等于1的点的全体;⑤正三角形的全体;⑥ 2 的近似值的全体.
其中能够组成集合的有( B )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
分析:判断一组对象能否组成集合,就看判断标准是否明确.
(2)解:①将x=0代入方程,得02-a×0-5=-5≠0,所以0不是集合A中的元素;
②若-5∈A,则有(-5)2-(-5)a-5=0,解得a=-4.
③若1∉A,则12-a×1-5≠0,解得a≠-4.
(3)解:是.因为-6+2 2=3×(-2)+ 2×2,此时a=-2∈Z,b=2∈Z,所以-6+2 2是集合A中的元素.
高中数学 第一章《集合的含义与表示》参考教案 北师大版必修1
2014高中数学第一章《集合的含义与表示》参考教案北师大版必修1教学目标：使学生初步理解集合的基本概念，了解“属于”关系的意义、常用数集的记法和集合中元素的特性. 了解有限集、无限集、空集概念，教学重点：集合概念、性质；“∈”，“ ”的使用教学难点：集合概念的理解；课型：新授课教学手段：教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论，它不仅是数学的一个基本分支，在数学中占据一个极其独特的地位，如果把数学比作一座宏伟大厦，那么集合论就是这座宏伟大厦的基石。
集合理论创始者是由德国数学家康托尔，他创造的集合论是近代许多数学分支的基础。
（参看阅教材中读材料P17）。
下面几节课中，我们共同学习有关集合的一些基础知识，为以后数学的学习打下基础。
二、新课教学“物以类聚,人以群分”数学中也有类似的分类。
如：自然数的集合 0，1，2，3，……如：2x-1>3，即x>2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。
如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合，标记：A，B，C，D，…集合中的每个对象叫做这个集合的元素，标记：a，b，c，d，…2、元素与集合的关系a是集合A的元素，就说a属于集合A ，记作 a∈A ，a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作 a∉A思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
例1：判断下列一组对象是否属于一个集合呢？（1）小于10的质数（2）著名数学家（3）中国的直辖市（4）m aths中的字母（5）book中的字母（6）所有的偶数（7）所有直角三角形（8）满足3x-2>x+3的全体实数（9）方程210++=的实数解x x评注：判断集合要注意有三点：范围是否确定；元素是否明确；能不能指出它的属性。
高中数学 1-1集合的含义与表示 北师大版必修1
4．要注意从实际出发，从感性认识提高到理性认识；要 注意运用对比的方法，反复比较几个意义相近或有从属关系 的概念，要注意结合直观图形来说明较抽象的概念和性质； 要注意将知识的学习和能力的培养紧密结合起来；努力在知 识发生的过程中和运用知识解决问题的过程中提高自己的能 力．
§1 集合的含义与表示
学习方法指导 思路方法技巧 课堂巩固训练
(2)一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对 象的全体，而非个别对象．例如对于集合{x∈R|x≥0}，就是 指“所有不小于 0 的实数”，而不是指“x 可以在不小于 0 的 实数范围内取值”，也不是指“x 是不小于 0 的一个实数或某 些实数”，也不是指“x 是不小于 0 的任一实数值”…….
一、集合与元素 1．对集合概念的理解 . 集合是现代数学中不加定义的基本概念，学习这个概念 应注意以下几点： ①集合是一个“整体”． ②构成集合的对象必须是“确定”的且“不同”的．其 中“确定”是指构成集合的对象具有非常明确的特征，这个 特征不是模棱两可的；“不同”是指构成集合的各个对象互 不相同．
3．无序性：组成集合的元素没有次序，如集合{1,2,3}和 {3,2,1}表示同一个集合．
给定一个集合，它的元素必须具有确定性和互异性，这 是判定某些对象是否构成集合的标准．
三、集合的表示 1．列举法 列举法是把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的 方法．使用列举法时，必须注意以下几点：
(1)元素与元素之间必须用“，”隔开；(2)集合的元素必 须是明确的；(3)不必考虑元素出现的先后顺序；(4)集合的元 素不能重复；(5)集合的元素可以表示任何事物；(6)对含有较 多元素的集合，如果构成该集合的元素具有明显的规律，可 用列举法表示，但是必须把元素间的规律，显示清楚后，才 能用省略号表示，如 N＋＝{1,2,3，…}．
北师大版高一数学必修1第一单元集合的含义与表示常见考点
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(新)高中数学第一章集合第1节集合的含义与表示基础知识素材北师大版必修11
§1 集合的含义与表示1．理解集合的概念，会判断元素与集合的关系．2．理解并记住集合中元素的性质．3．熟记常用数集的符号．4．理解列举法和描述法，能运用它们表示集合．1．集合一般地，指定的某些对象的__________称为集合，集合中的每个对象叫作这个集合的__________．集合常用大写字母A，B，C，D，…标记．2．元素与集合的关系(1)关系：__________或_________．(2)表示：若元素a在集合A中，就说元素a属于集合A，记作a__________A；若元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A，记作a__________A.集合中元素的性质：①确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必为其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．②互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．③无序性：集合中的元素是没有顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分．3．数集(1)定义：________________的集合简称数集．(2)常见数集：自然数集记为_______________；整数集记为_______________；正整数集记为_______________；有理数集记为_______________；实数集记为_______________．【做一做1】下列关系正确的是( )．A．0∈N＋ B．πR C．1Q D．0∈Z 4．集合的表示法(1)列举法：把集合中的________________一一列举出来写在大括号内的方法．(2)描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 这种用确定的____表示某些对象是否____这个集合的方法叫作描述法．在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集合用描述法表示时，可省去竖线及其代表元素．如所有直角三角形组成的集合，可以表示为{直角三角形}，但不能表示为{所有直角三角形}，因为{ }本身就有“所有”“全部”的意思．【做一做2－1】集合{x∈N|x＜5}的另一种表示法是( )．A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}【做一做2－2】 3和4的所有正的公倍数的集合为__________．5．集合的分类按所含元素的个数分为：有限集和无限集．含________个元素的集合叫有限集，含________个元素的集合叫无限集．6．空集不含有任何__________的集合叫作空集，记作.数0，{0}，，{}的关系：数0不是集合，{0}是含一个元素0的集合，而是不含任何元素的集合，{}是指以为元素的集合．答案：1．全体元素2．(1)属于不属于(2)∈3．(1)数(2)N Z N＋Q R【做一做1】 D4．(1)元素(2)条件属于【做一做2－1】 A【做一做2－2】 {x|x＝12k，k∈N＋}5．有限无限6．元素1．对于集合定义的理解剖析：(1)集合中的元素是具体的，它的属性是明确的，即对于某一集合而言，任何一个元素要么是这个集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必为其一．(2)对于一个集合，应该从整体的角度来看待它，例如由“我们班的学生”组成的一个集合A，这就是一个整体．(3)要注意组成集合的对象的广泛性：一方面，任何一个确定的对象，都可以组成一个集合，如人、物、数、方程、不等式等都可以作为构成集合的对象；另一方面，集合本身也可以作为集合的对象．2．结合实例说明集合中元素的性质特征剖析：(1)确定性．作为集合的元素，必须是确定的，对于集合A和元素a，要么a∈A，要么a A，二者必为其一，且只为其一．如：所有大于100的数组成一个集合．集合中的元素是确定的，而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的．再如：“很大的树”“较高的人”等都不能构成集合．(2)互异性．对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的，任何两个相同的对象在同一集合中只能出现一次．如：由a，a2组成一个集合，则a的取值不能是0或1.(3)无序性．集合中元素的次序无先后之分，如：小于3的正整数，可以表示为{1,2}，也可以表示为{2,1}，它们都表示同一个集合．由此可见，利用集合的三个特征性质来判定元素是否能构成集合，是非常有效的方法．题型一 集合的判定【例1】 判断下列每组对象能否构成一个集合．(1)美丽的小鸟；(2)不超过20的非负整数；(3)立方接近零的正数；(4)直角坐标系中，第一象限内的点．分析：要判定每组对象能否构成集合，可先分析各组对象所具有的条件是否明确，若明确，再结合元素所必须具备的特征作出判断．反思：判定元素能否构成集合，关键看这些元素是否具有确定性和互异性．如果条件满足就可以断定这些元素可以构成集合，否则不能构成集合．题型二 集合中元素的性质的应用【例2】 已知x 2∈{1,0，x}，求实数x 的值．分析：分类讨论x 2是集合中的哪个元素，要根据集合中元素的互异性进行取舍．反思：本题是应用集合中元素的性质来解决的．这类问题既要讨论元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否，初学者解题时易忽视元素的互异性，必须在学习中高度重视．另外，本类问题往往涉及分类讨论的数学思想．题型三 集合的表示【例3】 用适当的方法表示下列集合．(1)化简式子x |x|＋y |y|(x ，y 为非零实数)所得结果构成的集合； (2)大于4的所有奇数组成的集合；(3)直角坐标系内第二象限的点组成的集合；(4)方程(x －1)(x 2－5)＝0的根组成的集合．分析：(1)根据x ，y 值的符号，两项分别可得1或－1，化简的结果有3种情形，用列举法表示集合；(2)奇数的表达式为2k ＋1(k∈N )，由于有无数个元素，可用描述法表示；(3)代表的元素是有序实数对(x ，y )，用描述法表示；(4)只有3个根，用列举法表示．反思：1.用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出取值范围，如(2)小题．2．对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法．应用列举法时要注意：①元素之间用“，”而不是用“、”隔开；②元素不能重复；③不考虑元素顺序．题型四 求参数的取值范围【例4】 已知集合A ＝{x |ax 2－2x －1＝0，x ∈R }，若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．分析：由描述法可知集合A 是关于x 的方程ax 2－2x －1＝0的实数解集，首先应考虑方程是不是一元二次方程．反思：已知集合中元素的个数，求其中某参数的取值范围时，关键是对集合的表示法的正确理解．本题中，由于集合A 是方程的解集，所以转化为讨论方程根的问题．答案：【例1】 解：(1)中“美丽”的范畴太广，不具有明确性，因此不能构成集合；(2)中的元素可以列举出来：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共21个数；(3)中接近零的界限不明确；(4)中元素具有无限个，但条件明确，即所有横、纵坐标均大于0的点均在该集合中．综上可知(2)(4)能构成集合，(1)(3)不能构成集合． 【例2】 解：若x 2＝0，则x ＝0，此时集合为{1,0,0}，不符合集合中元素的互异性，舍去．若x 2＝1，则x ＝±1.当x ＝1时，集合为{1,0,1}，不符合集合中元素的互异性，舍去；当x ＝－1时，集合为{1,0，－1}，符合要求．若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1，不符合集合中元素的互异性，都舍去．综上可知，x ＝－1.【例3】 解：(1){0,2，－2}．(2){x |x ＝2k ＋1，k ≥2且k ∈N }．(3){(x ，y )|x ＜0且y ＞0}．(4){－5，1，5}．【例4】 解：当a ＝0时，方程只有一个根－12，则a ＝0符合题意． 当a ≠0时，则关于x 的方程ax 2－2x －1＝0是一元二次方程．由于集合A 中至多有一个元素，则一元二次方程ax 2－2x －1＝0有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝ 4＋4a ≤0.解得a ≤－1.综上可得，实数a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≤－1}．1 下列所给的对象不能构成集合的是( )．A ．某公司的全体员工B ．2009年全国经济百强县C ．2010年考入北京大学的全体学生D ．美国NBA 的篮球明星2 给出下列关系：①12∈R ；②2Q ；③|－3|N ＋；④|3-∈N .其中正确关系的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．43 集合{x ∈N ＋|x －3＜2}用列举法可表示为( )．A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}4 集合A ＝{x |mx 2＋2x ＋2＝0}中只有一个元素，则m 的值构成的集合为__________．5 选择适当的方法表示下列集合：(1)绝对值不大于3的整数组成的集合；(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解组成的集合；(3)一次函数y ＝x ＋6图像上所有点组成的集合．答案：1．D 根据集合中元素的确定性来判断是否构成集合．因为选项A ，B ，C 中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而选项D 中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位美国NBA 球员是否为篮球明星，所以不能构成集合．2．B ①②正确，③④错误．3．B {x ∈N ＋|x －3＜2}＝{x ∈N ＋|x ＜5}＝{1,2,3,4}．4.10,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭当m ＝0时，A ＝{－1}满足题意； 当m ≠0时，由Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，A ＝{－2}满足题意． 5．解：(1)绝对值不大于3的整数是－3，－2，－1,0,1,2,3，共有7个元素，用列举法表示为{－3，－2，－1,0,1,2,3}．(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是53，－2，用列举法表示为5,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.(3)一次函数y ＝x ＋6图像上有无数个点，用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x ＋6}．。
高中数学必修1(北师)第一章1-1集合的含义与表示含同步练习与答案
描述：例题：描述：例题：高中数学必修1(北师版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 集合 1.1 集合的含义与表示一、知识清单集合的概念集合中元素的性质 元素和集合的关系集合的表示法常见的数集及其记法 集合的分类空集的概念二、知识讲解1.集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（set）（或集）．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（element）．集合通常用英语大写字母 ，，， 来表示，它们的元素通常用英语小写字母 ， ，， 来表示．2.集合中元素的性质集合中元素的性质包括：集合中元素的确定性给定集合中的元素必须是确定的，也就是任何一个对象或者在给定集合中，或者不在给定集合中，二者必居其一．集合中元素的互异性给定集合中的元素是互不相同的，也就是说集合中的元素是不可能重复出现的．集合中元素的无序性集合中的元素不考虑顺序，只要构成两个集合的对象是一样的，就称这两个集合是相同的．A B C ⋯a b c ⋯判断下面的语句能否确定一个集合，能构成集合的，写出其中的元素．（1）小于 的所有正偶数；（2）方程 的实数解．解：（1）能构成集合，其中的元素有 ，，，；（2）能构成集合，其中的元素有 ，．10−1=0x 22468−11下面表述中的对象可以构成集合的是______．（1）高中数学中所有难题；（2）中国体重超过 的人的全体；（3）大于 的自然数全体．解：（2）（3）构成集合．（1）不符合集合中元素的确定性．100kg 5描述：例题：描述：例题：6.集合的分类含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．我们通常用 来表示有限集合 中元素的个数．7.空集的概念空集不含任何元素的集合叫做空集（empty set），记为 ．高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
card(A )A 判断下面集合是有限集，还是无限集，是有限集的，写出集合中元素的个数：（1）英文字母全体构成的集合；（2）全体偶数构成的集合；（3） 的正因数构成的集合；（4）方程 的解集．解：（1）有限集，个元素；（2）无限集；（3）有限集，个元素；（4）有限集，个元素．12−2x +1=0x 22661∅ 下列四个集合中，是空集的是（ ）A． B．C． D． 解：D对于 ， ，所以 是空集．{x | x +3=3}{(x , y ) | =−, x , y ∈R }y 2x 2{x | <x }x 2{x | −x +1=0}x 2−x +1=0x 2Δ<0{x | −x +1=0}x 2关于 的不等式 的解集为空集，求实数 的取值范围．解：（1）当 时，原不等式化为 ，显然符合题意．（2）当 时，要使二次不等式的解集为空集，则必须满足解得 ，综上，得 的取值范围为 ．x k −6kx +k +8<0x 2k k =08<0k ≠0{k >0,Δ=−4×k (8+k )⩽0,(6k )20<k ⩽1k {k |0⩽k ⩽1}。
高中数学第一章集合 集合的含义与表示学案含解析北师大版必修1
第一章 集 合§1 集合的含义与表示知识点一 元素与集合的相关概念[填一填][答一答]1．(1)集合中的元素可以是相同的吗？提示：不可以．集合中的元素必须是不同的,同一个元素在一个集合中只可以出现一次,即集合中的元素是互异的．(2)判断一组对象能否构成集合的关键是什么？提示：关键是这些对象是否满足确定性与互异性．知识点二 元素与集合的关系及元素的特性[填一填](1)元素a 与集合A 的关系：关系⎩⎪⎨⎪⎧ 属于：a 是集合A 的元素，记作a ∈A ，读作“a 属于A ”.不属于：a 不是集合A 的元素，记作a ∉A ，读作“a 不属于A ”.(2)集合元素的特性：集合中元素的特性为确定性、互异性、无序性．[答一答]2．(1)元素与集合之间除了“∈”和“∉”外,还有其他关系吗？提示：没有．元素与集合之间只有两种关系,任何一个元素与一个集合间,两种关系必有一种成立．(2)如何判定一个元素是否属于某个集合？提示：判定一个元素是否属于某个集合,关键是看这个元素是否符合集合中元素的特征性质,只有符合其特征性质才是这个集合中的元素．知识点三列举法[填一填]把集合中的所有元素都列举出来,写在大括号“{}”内表示集合的方法．[答一答]3．(1)列举法是否可以表示所有的集合呢？说明理由．提示：不可以．对于集合中元素个数有无限个且没有规律的集合是不可以用列举法表示的．(2)用列举法表示集合的关键是什么？提示：关键是找到集合中的所有元素,并把它们一一列举出来或找到其呈现的规律．知识点四描述法[填一填]集合的特征性质及描述法(1)集合的特征性质：如果在集合I中,属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质．(2)描述法表示集合：[答一答]4．(1)是否存在集合既可以用列举法表示又可以用描述法表示？请举例说明．提示：存在．比如正奇数的集合可以表示为{1,3,5,7,…},也可以表示为{x|x＝2n＋1,n∈N}．但是也有些集合是不可以的,如大于1的实数只能用描述法表示为{x|x>1,x∈R}．(2)集合A＝{x|x>1}与B＝{t|t>1}是否表示同一个集合？提示：是．虽然表示代表元素的字母不同,但都表示由大于1的所有实数组成的集合,因而表示同一个集合．1．对集合概念的两点说明(1)集合是数学中不加定义的原始概念,我们只对它进行描述性说明．(2)集合是一些能够确定的不同的对象的整体,其中“整体”已暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦构成集合,那么这个集合就是这些对象的全体,而并非个别对象．2．0、含有一个元素0的集合A、∅,三者之间的区别与联系(1)0与A是不同的,0只是一个数字,而集合A则表示含有一个元素0的集合,它们的关系是0∈A.(2)∅与A是不同的,∅中没有任何元素,而A则表示含有一个元素0的集合,它们之间的关系是两个集合之间的关系．3．对集合的分类的两点说明(1)集合通常是按照集合中元素个数来分类,如果集合中有有限个元素,则为有限集；如果是有无限个元素,则为无限集．(2)常见的自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集都是无限集,它们的表示符号一定要牢记．4．列举法表示集合时应关注的五点(1)用列举法表示集合时首先要注意元素是数、点,还是其他的对象,即确定性．(2)元素之间用“,”隔开而非“；”．(3)元素不能重复且无遗漏．(4)“{}”本身带有“所有的…”或“…的全体(全部)”的意思,因此在大括号内表示内容时,应把“所有”“全部”或“全体”等词语删去．(5)表示有特殊规律的无限集时,必须把元素间的规律表示清楚后才可以用省略号．5．描述法表示集合应关注的五点(1)写清楚集合中代表元素的符号,如实数或有序实数对(点),注意集合中对代表元素符号的范围进行限制,若没有注明范围,一般是在实数范围内考虑问题．(2)说明该集合中元素具有的性质,如方程、不等式、函数或几何图形等．(3)描述部分若出现元素符号以外的字母时,要对新字母说明其含义并指出其取值范围．(4)所有描述的内容都要写在大括号内,用于描述的语句力求简明、确切．(5)多层描述时,应当准确使用“且”和“或”,并且所有描述的内容都要写在集合符号内.类型一集合的概念【例1】判断下列每组对象能否构成一个集合：(1)数学必修1课本中所有的难题；(2)满足不等式2x－1≥1的x的值；(3)方程x2－3x＋1＝0在实数范围内的解；(4)π的近似值的全体．【思路探究】此类题目应先分析各组对象是否具有确定性和互异性,然后再作判断．【解】(1)“难题”无明确的标准,对于某个题是否“难”无法客观地判断,故“数学必修1课本中所有的难题”不能构成一个集合．(2)任意给一个实数x,可以明确地判断x是不是“满足不等式2x－1≥1的x的值”,即“x≥1”与“x<1”两者必居其一,且仅居其一,故“满足不等式2x－1≥1的x的值”能构成一个集合．(3)任意给一个实数x,可以明确地判断x是不是方程x2－3x＋1＝0在实数范围内的解,即“x2－3x＋1＝0”与“x2－3x＋1≠0”两者必居其一,且仅居其一,故“方程x2－3x＋1＝0在实数范围内的解”能构成一个集合．(4)“π的近似值”没有明确精确到什么程度,因此很难判断一个数是不是π的近似值,故“π的近似值的全体”不能构成一个集合．规律方法判断指定的对象的全体能否构成集合,关键在于能否找到一个明确的标准,对于任何一个对象,都能确定它是否是给定集合的元素．下列各组对象能构成集合的有1个．(1)平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手；(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像上的若干个点；(3)不超过2 019的非负数．解析：(1)“滑得很快”无明确的标准,对于某位选手是否“滑得很快”无法客观地判断,因此,“平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手”不能构成一个集合．(2)“若干个点”是模糊的概念,因此与之对应的对象都是不确定的,自然它们不能构成集合,故“一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像上的若干个点”不能构成一个集合．(3)任给一个实数x,可以明确地判断x是不是“不超过2 019的非负数”,即“0≤x≤2 019”与“x<0或x>2 019”,两者必居其一,且仅居其一,故“不超过2 019的非负数”能构成一个集合．类型二元素和集合的关系【例2】(1)若3∈{m－1,3m,m2－1},则m＝____.(2)若2∉{x|x－a≥0},则实数a的取值范围是________．【思路探究】当a∈A时,若集合A是用描述法表示的,则a一定满足集合中元素的共同特征．若集合A是用列举法表示的,则a一定等于集合A中的某个元素．当a∉A时,结论相反．【解析】(1)因为3∈{m－1,3m,m2－1},所以当m－1＝3时,m＝4,此时3m＝12,m2－1＝15,符合题意．当3m＝3时,m＝1,此时,m－1＝0,m2－1＝0,不符合集合中元素的互异性．当m2－1＝3时,m＝2或－2,若m＝2,则m－1＝1,3m＝6,符合题意；若m＝－2,则m－1＝－3,3m＝－6,符合题意．综上知m＝4,2或－2.(2)由2∉{x|x－a≥0}得2－a<0,所以a>2.【答案】(1)4,2或－2(2)a>2规律方法a∈A与a∉A取决于a是不是集合A中的元素．根据集合中元素的确定性,可知对任何a与A,在a∈A与a∉A这两种情况中必有一种且只有一种成立．已知集合M 中有两个元素3,m ＋1,又4∈M ,则实数m 的值为( B )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：由题意得m ＋1＝4,即m ＝3.类型三 集合的表示【例3】 用适当的方法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A ；(2)式子|a |a ＋|b |b(a ≠0,b ≠0)的所有值组成的集合C ； (3)不等式2x －7<3的解集A ；(4)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．【思路探究】 (1)用列举法表示集合的关键是把集合的元素全部找出来,再按列举法的规则正确表示．(2)用描述法表示集合的关键是正确描述出集合元素的共同特征,再按描述法的格式正确表示．【解】 (1)大于1且小于6的整数有2,3,4,5,所以集合A ＝{2,3,4,5}．(2)当a >0,b >0时,|a |a ＋|b |b ＝2.当a <0,b <0时,|a |a ＋|b |b ＝－2.当a >0,b <0时,|a |a ＋|b |b＝0.当a <0,b >0时,|a |a ＋|b |b＝0.所以集合C ＝{－2,0,2}． (3)解2x －7<3得x <5,所以A ＝{x |x <5}．(4)平面直角坐标系中坐标轴上的点的共同特征是至少有一个坐标为0,所以D ＝{(x ,y )|x ·y ＝0,x ∈R ,y ∈R }．规律方法 列举法表示集合时要注意集合元素的互异性、无序性和确定性,元素与元素之间用“逗号”隔开．集合所含元素较少或所含元素不易表述时适用列举法．描述法表示集合时要表述清楚元素的属性．集合所含元素较多或所含元素较易表述时适用描述法．常用的点集与数集的表示要区分开．用适当的方法表示下列集合．(1)所有能被3整除的整数；(2)满足方程x ＝|x |的所有x 的值构成的集合．解：(1)能被3整除的整数可以表示为3n (n ∈Z ),所以用描述法表示为{x |x ＝3n ,n ∈Z }．(2){x |x ＝|x |}或{x |x ≥0}．类型四 集合表示法的综合应用【例4】 已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0}．(1)若A 中没有任何元素,求实数a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素,求实数a 的取值范围；(3)若A 中至少有一个元素,求实数a 的取值范围；(4)若A 中至多有一个元素,求实数a 的取值范围．【思路探究】 集合A 是由方程ax 2＋2x ＋1＝0的解构成的集合．二次项系数a 在整个实数范围内取值,要对a ＝0和a ≠0进行分类讨论．A 中只有一个元素,可以是方程只有一个根,也可以是方程有两个等根．【解】 (1)若A 中没有任何元素,则关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0无实根．当a ＝0时,x ＝－12,不符合题意； 当a ≠0时,由Δ＝4－4a <0,解得a >1,∴当a >1时,A 中没有任何元素．(2)若A 中只有一个元素,则关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0只有一个实数根或有两个相等的实数根．当a ≠0时,由Δ＝4－4a ＝0,得a ＝1；当a ＝0时,x ＝－12,符合题意． ∴当a ＝0或1时,A 中只有一个元素．(3)由(2)知,A 中只有一个元素时,a ＝0或a ＝1.A 中有两个元素时,有⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ>0，解得a <1,且a ≠0, 综上,当a ≤1时,A 中至少有一个元素．(4)若A 中至多有一个元素,综合(1)(2)知a 的取值范围为a ≥1或a ＝0.规律方法 本题考查了数学建模、数据分析及数学运算的素养．分类讨论思想适用于解决从整体上难以解决的数学问题．运用该思想时,把问题进行科学规划非常必要,必须遵循不重、不漏和最简的原则．(1)设集合A ＝{－1,0,1},B ＝{0,1,2},若x ∈A ,且x ∉B ,则x ＝( A )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：只有元素－1满足x ∈A ,且x ∉B .(2)若集合P 含有两个元素1,2,集合Q 含有两个元素1,a 2,且P ,Q 相等,则a ＝±2.解析：由P ,Q 相等,得a 2＝2,从而a ＝±2.经检验,符合题意．——易错误区——忽略集合中元素的互异性【例5】 已知集合A 是由1,3,a 2＋a ,a ＋1四个元素构成的,若a ∈A ,求实数a 的值．【错解】 ①若a 2＋a ＝a ,则a ＝0；②若a ＋1＝a ,则a ∈∅.所以实数a 的值为0,1,3.【正解】①当a＝1时,集合A中元素为1,3,2,2,不满足集合中元素的互异性,舍去；②当a＝3时,集合A中元素为1,3,12,4,符合题意；③当a＝a2＋a,即a＝0时,集合A中元素为1,3,0,1,不满足集合中元素的互异性,舍去；④当a＝a＋1时,a不存在．综上所述,实数a的值为3.【错因分析】错解忽略了当a＝0或a＝1时,集合A中的元素不满足互异性．【防范措施】集合中元素要求具备“确定性”“互异性”“无序性”,在解题时应特别留意互异性,否则极易出现增解．已知集合A中含有三个元素0,1,x,若x2∈A,求实数x的值．分析：既然x2是集合中的元素,则它既可能是1,也可能是0,或者是x,需对其进行分类讨论．解：(1)当x2＝0时,得x＝0,此时集合A中有两个相同的元素,舍去．(2)当x2＝1时,得x＝±1.若x＝1,此时集合A中有两个相同的元素,舍去；若x＝－1,此时集合A中有三个元素0,1,－1,符合题意．(3)当x2＝x时,得x＝0或x＝1,由上可知都不符合题意．综上可知,符合题意的x的值为－1.一、选择题1．下列语句所描述的对象的全体能构成集合的是(C)A．校内喜欢体育的学生B．本班视力良好的学生C．参与国庆60周年大阅兵的所有徒步方队D．本班身材高大的学生解析：判断所给的对象能否构成集合,关键是理解集合的概念,明晰集合中元素的性质,其中“确定性”是关键．选项A中“喜欢”,选项B中“良好”,选项D中“高大”均没有明确的评判标准,所描述的对象不满足集合中元素的确定性,不能构成集合,只有C选项描述的对象可以构成集合．2．已知集合A表示不等式3－3x>0的解集,则有(C)A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1∉A解析：3－3x>0可化为x<1,0<1,－1<1,所以0∈A,－1∈A.二、填空题3．方程x2－2x＋1＝0的解集中,有1个元素．解析：解方程x2－2x＋1＝0得x＝1,共有1个元素．4．用符号“∈”或“∉”填空：(1)π∉Q；(2)3.14∈Q；(3)x 2＋1＝0的根∉R ；(4)1π∈R . 解析：(1)π是无理数,故π∉Q ；(2)3.14是有理数,故3.14∈Q ；(3)x 2＋1＝0无实根,故x 2＋1＝0的根∉R ； (4)1π为无理数也是实数,故1π∈R . 三、解答题5．设集合B ＝{x ∈Z |63－x∈N }． (1)试判断元素1,－1与集合B 的关系；(2)用列举法表示集合B .解：(1)当x ＝1时,63－1＝3∈N . 当x ＝－1时,63＋1＝32∉N . 因此1∈B ,－1∉B .(2)∵x ∈Z ,63－x∈N ,∴3－x ＝1,2,3,6. 此时x ＝2,1,0,－3.∴B ＝{2,1,0,－3}．。
高中数学第一章集合与函数概念11集合111集合的含义与表示课后导练1
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1 集合的含义与表示课后导练基础达标1.给出的对象不能构成集合的是（)A。
直角坐标系中横纵坐标互为相反数的点B.平方后不等于9的实数C。
无限靠近2的实数xD。
方程x+y=3的解解析：C中元素不满足确定性。
答案：C2。
下列集合中，不是方程(x—1）x（x+1)=0解集的集合是（）A。
{1，0,—1｝ B.｛0,—1，1｝C。
{x|x（x+1)（x—1）=0} D。
{（-1,0，1）｝解析：｛(—1,0,1）}表示是一个有序数组的集合，该集合只含一个元素,不是方程（x—1）x(x+1)=0的解集。
答案：D3。
下列表示的关系中正确的个数有（)①0∉N ②3.14∉Q ③π∈R ④32∈{x｜x≤17}A.1个B.2个C。
3个D。
4个解析：①0∈N，②3。
14是有理数,∴3.14∈Q，③π∈R显然正确，④32=18，∴32∉{x｜x≤17},∴正确命题只有③。
答案:A4。
集合｛x ｜x=a a ||+||b b ｝中元素的个数有…（ ） A.2个 B 。
3个 C.4个 D 。
无法说清 解析：当a 〉0,b 〉0时,x=2；当a 〉0，b<0时，x=1-1=0；当a 〈0,b>0时，x=0；当a<0,b 〈0时，x=-1-1=-2，∴集合中含有3个元素,故选B.答案:B5.用列举法写出与集合A 、B 相等的集合.A={x ∈N|x ≥1且x ≤2}=________________;B={x ｜x=1或x=2}=__________________。
答案：{1，2｝ {1，2｝6.集合M=｛x ∈N|x=5—m,m ∈N ｝中元素的个数为_________________。
答案：67。
用描述法表示在自然数中被7除余2的数为__________________。
答案:｛x ｜x=7m+2，m ∈N}8.若1∈A=｛x ｜x 2-a=0｝，则B={y ｜y=x+1，x ∈A ｝=___________________。
高中数学(必修1)第一章《集合》课时强化训练1 集合的含义及其表示
高中数学（必修1）第一章《集合》课时强化训练一——《集合的含义及其表示》（附答案）一．填空题1．下面有四个命题：①集合N 中最小的数是1；②若－a 不属于N ，则a 属于N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2； ④x 2＋1＝2x 的解集可以表示为{1,1}． 其中正确命题的个数为________．2．集合A ＝{x 2,3x ＋2,5y 3－x}，B ＝{周长等于20 cm 的三角形}，C ＝{x|x －3 ＜2，x ∈R}，D ＝{(x ，y)|y ＝x 2－x －1}，其中用描述法表示集合的有________．3．已知集合A 中含有三个元素2,4,6，且当a ∈A 时，有6－a ∈A ，那么a 为________． 4．设P 、Q 是两个非空集合，定义P*Q ＝{ab|a ∈P ，b ∈Q}，若P ＝{0,1,2}，Q ＝{1,2,3}，则P*Q 中元素的个数是________．5．已知集合M ＝{x|x ＝7n ＋1，n ∈N}，则2010________M,2011________M ．(填∈或∉)．6．已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝{m|m ＝x |x|＋y |y|＋xy|xy|}为________．7．已知集合A ＝{(x ，y)|y ＝2x ＋1}，B ＝{(x ，y)|y ＝x ＋3}，若a ∈A ，a ∈B ，则a 的值为________．8．已知集合A ＝{0,2,3}，定义集合运算A ※A ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈A}，则A ※A ＝________.9．由下列对象组成的集体属于集合的是________． ①不超过π的正整数； 成套免费加q465010203 ②高一数学课本中所有的难题； ③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考成绩在500分以上的学生． 10．用符号“∈”或“∉ ”填空．(1)0________N ，5________N ，16________N ；(2)－12________Q ，π________Q ；(3)2－3＋2＋3________{x|x ＝a ＋6b ，a ∈Q ，b ∈Q}．11．方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝3x －y ＝1的解集用集合表示为_____12．集合{1,3,5,7,9}用描述法表示是____________．二．解答题13．用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集．(1)由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；(2)由平面直角坐标系中所有第三象限内的点组成的集合；(3)由方程x2＋x＋1＝0的实数根组成的集合；(4)由所有周长等于10 cm的三角形组成的集合．14．已知集合A＝{x|126－x∈N，x∈N}，试用列举法表示集合A.15．已知集合A＝{a－3,2a－1，a2＋1}，a∈R.(1)若－3∈A，求实数a的值；(2)当a为何值时，集合A的表示不正确．课时强化训练一《集合的含义及其表示》参考答案一．填空题1. 解析：①集合N 中最小的数应该是0；②反例：－0.5/∈N ，但0.5∉ N ；③当a ＝0，b ＝1时，a ＋b ＝1；④由元素的互异性知④错．答案：02．解析：集合A 是用列举法描述的． 答案：B 、C 、D3．解析：若a ＝2，则6－2＝4∈A ；若a ＝4,6－4＝2∈A ；若a ＝6，则6－6＝0∉ A . 答案：2或44．解析：若a ＝0，则ab ＝0；若a ＝1，则ab ＝1,2,3；若a ＝2，则ab ＝2,4,6.故P *Q ＝{0,1,2,3,4,6}． 答案：65．解析：令7n ＋1＝2010，解得n ＝287∈N ，∴2010∈M .令7n ＋1＝2011，解得n ＝28717∉ N ，∴2011/∈M .答案：∈ ∉6．解析：当x >0，y >0时，m ＝1＋1＋1＝3， x >0，y <0时，m ＝1－1－1＝－1， x <0，y <0时，m ＝－1－1＋1＝－1， x <0，y >0时，m ＝－1＋1－1＝－1. 故M ＝{－1,3}． 答案：{－1,3}7．解析：由题意知，a ∈A ，a ∈B ，所以a 是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋1y ＝x ＋3的解，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝5. 答案：(2,5)8．解析：∵A ＝{0,2,3}，a ∈A ，b ∈A ， 故有以下情况： ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝3， ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝3， ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝3. 则a ＋b 的情况有0,2,3,4,5,6. 答案：{0,2,3,4,5,6}9．解析：②③中的元素没有明确的标准，即不具备确定性． 答案：①④⑤10．解析：0是自然数，5是无理数，不是自然数，16＝4是自然数．(2－3＋2＋3)2＝6， ∴2－3＋2＋3＝6，令a ＝0，b ＝1，故6在集合中． 答案：(1)∈ ∉ ∈ (2)∈ ∉ (3)∈11．解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x －y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1. 答案：{(2,1)}12．解析：1,3,5,7,9是不大于9的非负奇数．答案：{x|x＝2k－1,1≤k≤5，k∈Z}或{x|x是不大于9的非负奇数}二．解答题13．解：(1)满足条件的数为3,5,7，所以所求集合为B＝{3,5,7}．集合B是有限集．(2)所求集合可表示为C＝{(x，y)|x<0且y<0}．集合C是无限集．(3)因为方程x2＋x＋1＝0的判别式Δ<0，故无实根，所以由方程x2＋x＋1＝0的实数根组成的集合是空集．(4)由所有周长等于10 cm的三角形组成的集合可表示为P＝{x|x是周长等于10 cm的三角形}．P为无限集．成套免费加q46501020314．解：∵126－x∈N(x∈N)，∴6－x＝1,2,3,4,6(x∈N)，即x＝5,4,3,2,0.故A＝{0,2,3,4,5}．15．解：(1)由题意知，A中的任意一个元素都有等于－3的可能，所以需要讨论．当a－3＝－3时，a＝0，集合A＝{－3，－1,1}，满足题意；当2a－1＝－3时，a＝－1，集合A＝{－4，－3,2}，满足题意；当a2＋1＝－3时，a无解．综上所述，a＝0或a＝－1.(2)若元素不互异，则集合A的表示不正确．若a－3＝2a－1，则a＝－2；若a－3＝a2＋1，则方程无解；若2a－1＝a2＋1，则方程无解．综上所述，a＝－2.。
高中数学第1章集合1.1集合的含义与表示课后篇巩固提升含解析北师大版必修1
⾼中数学第1章集合1.1集合的含义与表⽰课后篇巩固提升含解析北师⼤版必修1§1集合的含义与表⽰课后篇巩固提升A组基础巩固1.下列各组对象能组成⼀个集合的是()①某中学⾼⼀年级所有聪明的学⽣;②在平⾯直⾓坐标系中,所有横坐标与纵坐标相等的点;③所有不⼩于3的正整数;④√3的所有近似值.A.①②B.③④C.②③D.①③解析:①④不符合集合中元素的确定性.故选C.答案:C2.下列集合中为?的是()A.{0}B.{?}C.{x|x2+4=0}D.{x|x+1≤2x}解析:集合{0}中有⼀个元素0;集合{?}中有⼀个元素?;集合{x|x+1≤2x}表⽰满⾜不等式x+1≤2x的x的集合,不是空集;集合{x|x2+4=0}表⽰⽅程x2+4=0的解集,⽽该⽅程⽆解,故该集合为?.答案:C3.(改编题)下列集合的表⽰⽅法中,不同于其他三个的是()A.{x|x=2 018}B.{2 018}C.{x=2 018}D.{y|(y-2 018)2=0}解析:A,B,D对应的集合中只有⼀个元素2018,故它们是相同的集合,⽽C中虽只有⼀个元素,但该元素是⽤等式作为元素,⽽不是实数2018,故选项C与其他三个选项不同.答案:C4.由a2,2-a,4组成⼀个集合A,A中含有3个元素,则实数a的取值可以是()A.1B.-2C.6D.2解析:当a=1时,由a2=1,2-a=1,4组成⼀个集合A,A中含有2个元素;当a=-2时,由a2=4,2-a=4,4组成⼀个集合A,A中含有1个元素;当a=6时,由a 2=36,2-a=-4,4组成⼀个集合A ,A 中含有3个元素;当a=2时,由a 2=4,2-a=0,4组成⼀个集合A ,A 中含有2个元素.故选C .答案:C5.定义集合运算A ☉B={z|z=xy (x+y ),x ∈A ,y ∈B },设集合A={0,1},B={2,3},则集合A ☉B 的所有元素之和为( )A .0B.6C.12D.18 解析:根据A ☉B 的定义,当x=0时z=0;当x=1时,若y=2,则z=6,若y=3,则z=12.因此集合A ☉B 的所有元素和为18.答案:D6.由下列对象组成的集体属于集合的是 (填序号).①不超过10的所有正整数;②⾼⼀(6)班中成绩优秀的同学;③中央⼀套播出的好看的电视剧;④平⽅后不等于⾃⾝的数.解析:①④中的对象是确定的,可以组成集合,②③中的对象是不确定的,不能组成集合. 答案:①④7.⽤列举法写出集合{33-x ∈Z |x ∈Z }= .解析:∵33-x ∈Z ,x ∈Z , ∴3能被3-x 整除,即3-x 为3的因数.∴3-x=±1或3-x=±3.∴33-x =±3或33-x =±1.综上可知,-3,-1,1,3满⾜题意.答案:{-3,-1,1,3}8.已知集合A={x|mx 2+2x+2=0}中有两个元素,则实数m 满⾜的条件为 .解析:由题意知m ≠0且Δ=4-8m>0,解得m<12,且m ≠0. 答案:m<12,且m ≠09.⽤另⼀种⽅法表⽰下列集合:(1){-3,-1,1,3,5};(2){1,22,32,42,…};(3)已知M={2,3},P={(x,y)|x∈M,y∈M},写出集合P;(4)集合A={x∈Z|-2≤x≤2},B={x2-1|x∈A},写出集合B.解:(1){x|x=2k-1,k∈Z,且-1≤k≤3}.(2){x|x=n2,n∈N+}.(3)P={(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)}.(4)因为A={-2,-1,0,1,2},所以B={3,0,-1}.10.导学号85104002已知集合A由3个元素:a2,a+1,0构成,且1∈A,试求实数a的值.解:因为1∈A,所以a2=1或a+1=1.若a2=1,则a=±1.当a=1时,集合A中的元素是1,2,0,符合要求;当a=-1时,集合A中的元素是1,0,0,不符合元素的互异性.若a+1=1,则a=0,集合A中的元素是0,1,0,不符合元素的互异性.综上可知,实数a的值为1.B组能⼒提升1.若{b}={x|ax2-4x+1=0}(a,b∈R),则a+b等于()A.92B.92或14C.85D.14或85解析:∵{b}={x|ax2-4x+1=0},∴ax2-4x+1=0只有⼀个实数根.当a=0时,{b}={14},此时a+b=14;当a≠0时,Δ=16-4a=0, ∴a=4,此时b=12.∴a+b=4+12=92.故a+b=14或a+b=92.答案:B2.已知集合A 的元素满⾜条件:若a ∈A ,则1+x 1-x ∈A (a ≠1),当13∈A 时,则集合A 中元素的个数是( ) A .1B .2C .3D .4 解析:∵13∈A ,∴1+131-13=2∈A.∵2∈A ,∴1+21-2=-3∈A.∵-3∈A ,∴1-31+3=-12∈A.∵-12∈A ,∴1-121+12=13∈A.∴集合A 中有-3,-12,13,2四个元素.答案:D3.已知集合A={x|x=2a ,a ∈Z },B={x|x=2a+1,a ∈Z },C={x|x=4a+1,a ∈Z }.若m ∈A ,n ∈B ,则有( ) A .m+n ∈AB .m+n ∈BC .m+n ∈CD .m+n 不属于A ,B ,C 中的任意⼀个解析:由m ∈A ,可设m=2a 1,a 1∈Z .由n ∈B ,可设n=2a 2+1,a 2∈Z .所以得到m+n=2(a 1+a 2)+1,且a 1+a 2∈Z ,所以m+n ∈B ,故选B .答案:B4.已知x ,y ,z 为⾮零实数,代数式x |x |+x |x |+x |x |+xxx|xxx |的值所组成的集合是M ,则M= .解析:若x ,y ,z 都⼤于零,则代数式的值为4;若x ,y ,z 都⼩于零,则代数式的值为-4;其他情况均为0,故M={-4,0,4}.答案:{-4,0,4}5.定义⾮空数集的⼀种运算:A*B={x|x=x 1+x 2,x 1∈A ,x 2∈B }.若A={1,2,3},B={1,2},则A*B 的所有元素之和为 .解析:由定义可知A*B={2,3,4,5},故A*B 的所有元素之和为2+3+4+5=14.答案:146.(开放题)对于⼀个集合S ,若a ∈S 时,有1x ∈S ,则称这样的数集为“可倒数集”,试写出⼀个“可倒数集”: .答案:{1,2,12}(答案不唯⼀) 7.给定集合A ,若对于任意a ,b ∈A ,有a+b ∈A 且a-b ∈A ,则称集合A 为闭集合,给出如下四个结论:①集合A={-4,-2,0,2,4}为闭集合;②正整数集是闭集合;③⽆理数集是闭集合;④集合A={x|x=3k ,k ∈Z }为闭集合,其中正确的是 .(填序号)解析:①中取a=-4,b=4,则a-b=-8?A ,故①不成⽴;②中取a=1,b=3,此时a-b=-2不是正整数,故②不成⽴;③中取a=1+√2,b=1-√2,则a+b=2?A ,故③不成⽴;④中取a=3k 1(k 1∈Z ),b=3k 2(k 2∈Z ),则a+b=3(k 1+k 2)∈A ,a-b=3(k 1-k 2)∈A ,故④成⽴.答案:④8.(信息题)设A 是整数集的⼀个⾮空⼦集,对于k ∈A ,若k-1?A ,且k+1?A ,则称k 是A 的⼀个“孤⽴元”.给定集合S={1,2,3,4,5,6,7,8},在由S 的三个元素构成的所有集合中,不含“孤⽴元”的集合个数为 .解析:题⽬中的“孤⽴元”的含义就是不相邻,所以不含“孤⽴元”的集合中的元素必是连续的三个数,共有{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5}, {4,5,6},{5,6,7},{6,7,8}这6个.答案:69.设A 是由⼀些实数构成的集合,若a ∈A ,则11-x ∈A ,且1?A.(1)若3∈A ,求集合A ;(2)证明:若a ∈A ,则1-1x ∈A ;(3)集合A 能否只有⼀个元素?若能,求出集合A ;若不能,说明理由.(1)解:∵3∈A ,∴11-3=-12∈A , ∴11-(-12)=23∈A ,∴11-23=3∈A ,∴A={3,-12,23}. (2)证明:∵a ∈A ,∴11-x ∈A , ∴11-11-x =1-x -x=1-1x ∈A. (3)解:假设集合A 只有⼀个元素,记A={a },则a=11-x ,即a 2-a+1=0有且只有⼀个实数解.∵Δ=(-1)2-4=-3<0,∴a 2-a+1=0⽆实数解.这与a 2-a+1=0有且只有⼀个实数解相⽭盾, ∴假设不成⽴,即集合A 不能只有⼀个元素.10.导学号85104003已知集合M={x|(x-a )(x 2-ax+a-1)=0}中各元素之和等于3,求实数a 的值,并⽤列举法表⽰集合M.解:根据集合中元素的互异性知,当⽅程(x-a )(x 2-ax+a-1)=0有重根时,重根只能算作集合的⼀个元素,⼜M={x|(x-a )(x-1)[x-(a-1)]=0}.当a=1时,M={1,0},不符合题意;当a-1=1,即a=2时,M={1,2},符合题意;当a ≠1,且a ≠2时,a+1+a-1=3,则a=32,M={12,1,32},符合题意.综上所述,实数a 的值为2或32,当a=2时,M={1,2};当a=32时,M={12,1,32}.。
高中数学 第一章 集合 1.1 集合的含义与表示学案 北师大版必修1
1.1 集合的含义与表示[核心必知]1．集合的含义与标记一般地，指定的某些对象的全体称为集合，常用大写字母A ，B ，C ，D ，…标记．2．元素的定义、标记与特性(1)定义与标记：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，常用小写字母a ，b ，c ，d ，…标记．(2)特征：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．3．元素与集合的关系4.常见集合的符号表示5.集合的常用表示方法(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法．(2)描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．这种用确定的条件表示某些对象属于这个集合的方法叫作描述法．6．集合的分类按所含元素的个数分为：(1)有限集：含有限个元素的集合． (2)无限集：含无限个元素的集合． (3)空集∅：不含有任何元素的集合．[问题思考]1．通过对集合含义的学习，你认为“我们班中聪明的同学”，“时尚的同学”，“所有的小河”，“很小的数”能组成一个集合吗？为什么？提示：不能，因为没有明确的标准．2．下列关系正确吗？①0∈N ＋；②π∈R ；③1∈Q ；④0∈Z ；⑤0∈N .提示：②③④⑤正确．3．你认为列举法和描述法分别适合表示什么特点的集合？ 提示：一般地，列举法适合表示有限集合(当元素个数不太多时)，描述法适合表示无限集或其元素不宜一一列举的集合．讲一讲1．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈A ，试求实数a 的值．[尝试解答] 因为－3∈A ，所以－3＝a －3或－3＝2a －1，若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3和－1，符合要求；若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时，集合A 含有两个元素－4，－3，符合要求．综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.利用集合元素互异性求参数问题 (1)根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．(2)利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．练一练1．由实数x 2,1,0，x 所组成的集合里最少有________个元素．解析：若x 2＝x ＝1，即x ＝1，则集合中有2个元素；若x 2＝x ＝0，即x ＝0，则集合中也有2个元素，故集合里最少有2个元素．答案：22．若集合A 中有且仅有三个数1,0，a ，若a 2∈A ，求a 的值．解：若a 2＝0，则a ＝0，不符合集合中元素的互异性，所以a 2≠0.若a 2＝1，则a ＝±1，由元素的互异性知a ≠1，所以当a ＝－1时适合．若a 2＝a ，则a ＝0或1，由上面讨论知均不符合集合中元素互异性的要求．综上可知，a ＝－1.讲一讲2．集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}(A ，B 中x ∈R ，y ∈R ), 选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈B B ．(1,2)∈A ，且(1,2)∈BC．2∈A，且(3,10)∈BD．(3,10)∈A，且2∈B[尝试解答] 选C 集合A中元素y是实数，不是点，故B、D不正确；集合B的元素(x，y)是点而不是实数，所以A不正确，选项C经验证正确．(1)判断一个元素是不是某个集合的元素就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征，若具有共同的特征，则属于这个集合，否则不属于．(2)当集合是用列举法表示时，若某一元素属于该集合，则该元素与集合中的某一元素相等，解决此问题时要注意集合中元素的互异性，故求解后要检验．练一练3．已知6∈{2,4，x，x2＋x}，则x等于( )A．2 B．6C．2或6 D．－3或6解析：选D当x＝6时，集合为{2,4,6,42}；当x2＋x＝6，即x＝2或x＝－3，易知x ＝2不合题意；当x＝－3时，集合为{2,4，－3,6}所以a＝6或－3.4．用符号∈或∉填空．(1)23________{x|x＜11}，2＋5 ________{x|x≤2＋3}；(2)3________{x|x＝n2＋1，n∈N}，(－1,1) ________{y|y＝x2}；(3)设x＝13－52，y＝3＋2π，M＝{m|m＝a＋b2，a∈Q，b∈Q}，则x________M，y________M.解析：(1)23＝12＞11；2＋5＝(2＋5)2＝7＋210＜7＋212＝(2＋3)2＝2＋3；∴填∉，∈.(2)设n2＋1＝3，n＝±2∉N，∴填∉.把(－1,1)代入y＝x2成立，但(－1,1)是有序实数对，而{y|y＝x2}是y的取值集合，∴填∉.(3)x＝13－52＝－341－5241，－341∈Q，－541∈Q.∴x∈M.∵π∉Q，∴y∉M.∴填∈，∉.答案：(1)∉∈(2)∉∉(3)∈∉讲一讲3．用适当的方法表示下列集合：(1)大于2且小于16的质数组成的集合A；(2)方程x2－2x＋1＝0的解组成的集合B；(3)平面直角坐标系中直线y＝x上的点组成的集合C；(4)所有被3除余1的整数组成的集合D；(5)E＝{}(x ，y )|x ＋y ＝4，x ∈N ＋，y ∈N ＋；(6)F ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫61＋x ∈Z x ∈N . [尝试解答] (1)大于2且小于16的质数有3,5,7,11,13，故A ＝{}3，5，7，11，13.(2)方程x 2－2x ＋1＝0有两个相等的解1，故B ＝{1}．(3)平面直角坐标系中直线y ＝x 上的点组成的集合是点集，故C ＝{}x ，y y ＝x ，x ∈R .(4)这一集合中元素的属性为被3除余1且为整数，所以D ＝{}x |x ＝3n ＋1，n ∈Z .(5)∵x ＋y ＝4，x ∈N ＋，y ∈N ＋，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.∴E＝{}，，，，，.(6)∵61＋x ∈Z ，且x ∈N ，∴1＋x ＝1,2,3,6.∴x ＝0,1,2,5.即61＋x＝6,3,2,1.∴F ＝{}6，3，2，1.(1)当集合中的元素个数较少时往往采用列举法表示．用列举法表示集合时，必须注意以下几点：①元素之间必须用“，”隔开；②集合的元素必须是明确的；③不必考虑元素出现的先后顺序；④集合中的元素不能重复；⑤集合中的元素可以是任何事物．(2)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．练一练5．给出下列说法：①在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x ，y )|xy ＞0}；②方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{－2,2}；③集合{(x ，y )|y ＝1－x }与{x |y ＝1－x }是同一集合．其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．0个解析：选A 在直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x ，y )，故①正确；方程x －2＋|y ＋2|＝0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，解为有序实数对(2，－2)，即解集为{(2，－2)}或⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2，故②不正确； 集合{(x ，y )|y ＝1－x }的代表元素是(x ，y )，集合{x |y ＝1－x }的代表元素是x ，一个是实数对，一个是实数，故这两个集合不相 同．③不正确．已知集合A＝{x|ax2－2x－1＝0，x∈R}，若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．[错解] 由于集合A中至多有一个元素，则一元二次方程ax2－2x－1＝0有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝4＋4a≤0，解得：a≤－1，[错因] 涉及关于x的方程ax2＋bx＋c ＝0的问题，易误认为其一定是关于x的一元二次方程，即a≠0，而丢掉二次项系数a ＝0的情况，导致错误，解决这类含参数的问题，一定要注意二次项，一次项系数是否为0的情况．[正解] 当a＝0时，方程只有一个根－12，则a＝0符合题意．当a≠0时，则关于x的方程ax2－2x－1＝0是一元二次方程．由于集合A中至多有一个元素，则一元二次方程ax2－2x－1＝0有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1.综上可得，实数a的取值范围是{a|a＝0或a≤－1}．1．下列各组对象中能构成集合的是( )A ．2016年中央电视台春节联欢晚会中吸引观众的演员B ．某校高一年级高个子的学生 C.2的近似值D ．2015年全国经济百强县 答案：D2．给出以下结论：①{2,4,6,8}与{4,8,2,6}是同一集合；②{y |y ＝x 2，x ∈R }与{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R }是同一集合； ③{0,1}与{(0,1)}是不同集合． 其中正确的结论个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选C ①正确；②中的两个集合不是同一集合，元素不一样；③中的两个集合也不是同一集合，也是元素不一样．3．给出下列关系：①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∉N ＋； ④|－3|∈N .其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B 由元素与集合的关系知①②正确，③④错误．4．集合A ＝{x |mx 2＋2x ＋2＝0}中只有一个元素，则m 的值构成的集合为________． 解析：当m ＝0时，A ＝{－1}满足题意；当m ≠0时，由Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，A ＝{－2}，满足题意，综上可知．m ＝0，12.∴m 的值构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，125．设A ＝{x －2,2x 2＋5x,12}，若－3∈A ，则x ＝________. 解析：由题意可知：x －2＝－3或2x 2＋5x ＝－3.当x －2＝－3时，x ＝－1，把x ＝－1代入集合A 中，x －2＝2x 2＋5x ＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去．当2x 2＋5x ＝－3时，x ＝－32满足已知条件(x ＝－1舍去)，所以x ＝－32.答案：－326．选择适当的方法表示下列集合： (1)绝对值不大于3的整数组成的集合；(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解组成的集合； (3)一次函数y ＝x ＋6图像上所有点组成的集合． 解：(1)绝对值不大于3的整数是－3，－2，－1,0,1,2,3，共有7个元素，用列举法表示为{－3，－2，－1,0,1,2,3}；(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是53，－2，用列举法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，－2；(3)一次函数y ＝x ＋6图像上有无数个点，用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x ＋6}．一、选择题1．下列四个关系式中，正确的是( ) A ．∅∈{a } B ．a ∉{a } C ．a ∈{a ，b } D ．{a }∈{a ，b } 答案：C 2．有下列说法：(1)0与{0}表示同一个集合；(2)由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}； (3)方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}； (4)集合{x |4<x <5}是有限集． 其中正确的说法是( ) A ．只有(1)和(4) B ．只有(2)和(3) C ．只有(2)D ．以上四种说法都不对解析：选C 0∈{0}；方程(x －1)2(x －2)＝0的解集为{1,2}；集合{x |4<x <5}是无限集，只有(2)正确．3．(新课标全国卷)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为 ( )A ．3B ．6C ．8D ．10解析：选D 列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．4．下面六种表示法：①{x ＝2，y ＝1}；②⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1；③{(2,1)}；④(－1,2)；⑤{2,1}；⑥{(x ，y )|x ＝2，或y ＝1}，能正确表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1的解集的是( )A ．①②③④⑤⑥B ．②③④⑤C ．②③D ．②③⑥解析：选 C 方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1的解是一对有序实数，即是一个点，因此解集应是一个点的集合．用列举法表示为{(2,1)}，用描述法表示为{(x ，y )|x ＝2，且y ＝1}或⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.①和⑤是列举法，①中代表两个方程，而不是一个点，⑤中代表两个数．⑥为描述法，但⑥中元素是无数个点，表示两条直线x ＝2及y ＝1上的所有点．④不是集合．二、填空题5．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示B ＝________. 解析：由已知B ＝{4,9,16}． 答案：{4,9,16} 6．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa ∈Z ，且65－a ∈N ＋，则M ＝________.解析：5－a 整除6，故5－a ＝1,2,3,6， 所以a ＝4,3,2，－1. 答案：{4,3,2，－1}7．已知含有三个实数的集合既可表示成⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1，又可表示成{a 2，a ＋b,0}，则a2 012＋a2 013＝________.解析：依题意b ＝0，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a,0,1}，{a 2，a ＋b,0}＝{a,0，a 2}， 于是a 2＝1，∴a ＝－1或a ＝1(舍去)，故a ＝－1， ∴a2 012＋a2 013＝0.答案：08．集合A ＝{x |x 2＋ax －2≥0，a ∈Z }，若－4∈A,2∈A ，则满足条件的a 组成的集合为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧16－4a －2≥0，4＋2a －2≥0，解得－1≤a ≤72.又∵a ∈Z ，∴满足条件的a 组成的集合为{－1,0,1,2,3}． 答案：{－1,0,1,2,3} 三、解答题9．设集合A 含有3个元素a 2＋2a －3,2,3，集合B 含有2个元素2，|a ＋3|，已知5∈A 且5∉B ，求a 的值．解：因为5∈A ，所以a 2＋2a －3＝5， 解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，|a ＋3|＝5，不符合题意，应舍去． 当a ＝－4时，|a ＋3|＝1，符合题意，所以a ＝－4. 10．数集A 满足条件：若a ∈A ，a ≠－1，则11＋a ∈A .(1)若2∈A ，写出A 中的两个元素； (2)若A 为单元素集合，求出A 和a . 解：(1)若a ∈A ，a ≠－1，则11＋a∈A ， ∴当2∈A 时，11＋2＝13∈A ；当11＋a ＝2即a ＝－12时，2∈A . 综上可知，A 中还有的两个元素为－12和13.(2)∵A 为单元素集合，则必有：a ＝11＋a ，即a 2＋a －1＝0，解得：a ＝－1－52或a ＝－1＋52，∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1－52，a ＝－1－52或A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1＋52，a ＝－1＋52.。
高中数学 第一章 集合 1.1 集合的含义与表示课时作业 北师大版必修1
10．用列举法表示下列集合：
(1) ；
(2)
.
解：(1)因为 ∈Z，所以|2－x|是6的因数，则|2－x|＝1,2,3,6，即x＝1,3,4,0，－1，5，－4,8.
所以原集合可用列举法表示为{－4，－1,0,1,3,4,5,8}．
(2)由a∈Z，|a|<2，知a＝－1,0,1.
由b∈N*，b≤3，知b＝1,2,3.
所以y＝ 的值为 ＝－ ， ＝0， ＝ ， ＝－ ， ＝0， ＝ ， ＝－ ， ＝0， ＝ .
考虑到集合中元素的互异性，原集合可用列举法表示为 .
11．已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值．
解：①若a＋3＝1，则a＝－2，
答案：B
解析：因为{x|x＝1}＝{1}，{x|x2＝1}＝{－1,1}，{y|(y－1)2＝0}＝{1}，所以B选项的集合不同于另外三个集合．
5．方程组 的解集为
①{2,1,3}；②(2,1,3)；③{(2,1,3)}，其中正确的表示方法是()
A．①②B．①③C．③源自．①②③答案：C解析：本题的计算不是难点，难点在于这个方程组的解集如何表示，首先应为集合的形式，其次分析集合中元素的形式与属性：有序实数组．
所以元素个数为2的所有的集合M为{0,8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}．
(3)满足条件的集合M是由集合{4}，{0,8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}中的元素组成，它包括以下情况：
①{4}，{0,8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}，共5个；
②{4,0,8}，{4,1,7}，{4,2,6}，{4,3,5}，{0,8,1,7}，{0,8,2,6}，{0,8,3,5}，{1,7,2,6}，{1,7,3,5}，{2,6,3,5}，共10个；
必修一高中数学课时作业,集合的含义
高中数学课时作业第一章 集合与函数概念§1.1 集 合1．1.1 集合的含义与表示第1课时 集合的含义 课时目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．1．元素与集合的概念(1)把________统称为元素，通常用__________________表示．(2)把________________________叫做集合(简称为集)，通常用____________________表示．2．集合中元素的特性：________、________、________.3．集合相等：只有构成两个集合的元素是______的，才说这两个集合是相等的．45.符号____ ________ ____ 一、选择题1．下列语句能确定是一个集合的是( )A ．著名的科学家B ．留长发的女生C ．2010年广州亚运会比赛项目D ．视力差的男生2．集合A 只含有元素a ，则下列各式正确的是( )A ．0∈AB ．a ∉AC ．a ∈AD ．a ＝A3．已知M 中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．由a 2,2－a,4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( )A ．1B ．－2C ．6D ．25．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( )A ．2B ．3C ．0或3D ．0,2,3均可6．由实数x 、－x 、|x |、x 2及－3x 3所组成的集合，最多含有( )A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素二、填空题7．由下列对象组成的集体属于集合的是______．(填序号)①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．8．集合A 中含有三个元素0,1，x ，且x 2∈A ，则实数x 的值为________．9．用符号“∈”或“∉”填空 －2_______R ，－3_______Q ，－1_______N ，π_______Z .三、解答题10．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素； (4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．11．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .能力提升12．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A (a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2．集合中元素的三个性质(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．第一章集合与函数概念§1.1集合1．1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义知识梳理1．(1)研究对象小写拉丁字母a，b，c，…(2)一些元素组成的总体大写拉丁字母A，B，C，… 2.确定性互异性无序性3．一样 4.a是集合A a不是集合A 5.N N*或N＋Z Q R作业设计1．C[选项A、B、D都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．]2．C[由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”，故选C.]3．D [集合M 的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.]4．C [因A 中含有3个元素，即a 2,2－a,4互不相等，将选项中的数值代入验证知答案选C.]5．B [由2∈A 可知：若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，这与m 2－3m ＋2≠0相矛盾； 若m 2－3m ＋2＝2，则m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，与m ≠0相矛盾，当m ＝3时，此时集合A ＝{0,3,2}，符合题意．]6．A [方法一 因为|x |＝±x ，x 2＝|x |，－3x 3＝－x ，所以不论x 取何值，最多只能写成两种形式：x 、－x ，故集合中最多含有2个元素．方法二 令x ＝2，则以上实数分别为：2，－2,2,2，－2，由元素互异性知集合最多含2个元素．]7．①④解析 ①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④.8．－1解析 当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈A ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故答案为－1.9．∈ ∈ ∉ ∉10．解 (1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素．(4)不正确．因为个子高没有明确的标准．11．解 由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32. 则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3， ∴a ＝－32. 12．解 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8；当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．13．证明 (1)若a ∈A ，则11－a∈A . 又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A . ∵－1∈A ，∴11－(－1)＝12∈A . ∵12∈A ，∴11－12＝2∈A . ∴A 中另外两个元素为－1，12.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴A不可能为单元素集．。
2022_2022学年高中数学课时分层作业1集合的含义与表示北师大版必修1
课时分层作业(一) 集合的含义与表示(建议用时：60分钟)一、选择题1．以下选项中的对象能构成集合的是( )A．一切很大的数B．聪明人C．全体正三角形D．高一教材中的所有难题C[只有“正三角形〞的标准是明确的，应选C.]2．M＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，那么有( )A．1M B．0∈MC．2∈M D．－1∈MD[由n∈Z，得x是奇数，应选D.]3．由“book〞中的字母构成的集合中元素个数为( )A．1 B．2C．3 D．4C[因为集合中的元素具有互异性，所以选C.]4．以下集合中，是空集的是( )A．{x∈R|x2－1＝0} B．{(x，y)|y＝－x2，x，y∈R}C．{x∈R|x2＋1＝0} D．{y|y＝－x2，x∈R}C[当x∈R时，x2＋1≥1，所以方程x2＋1＝0无实数解，所以{x∈R|x2＋1＝0}＝.] 5．集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形D[由于集合中的元素具有互异性，所以选D.]二、填空题6．假设2{x|x－a>0}，那么实数a的取值范围是________．a≥2[由2{x|x－a>0}，得2－a≤0，解得a≥2.]7．用列举法表示集合{x|x2－6x＋9＝0}，其表示结果为________．{3}[解方程x2－6x＋9＝0得x1＝x2＝3，故可用列举法表示为{3}．]8．用描述法表示被3除余2的所有整数组成的集合，其表示结果为________．[答案]{x|x＝3n＋2，n∈Z}三、解答题9．－3∈{a－3,2a－1，a2－1}，求实数a的值．[解]∵a2－1≥－1，∴a－3＝－3，或2a－1＝－3，当a －3＝－3时，a ＝0，此时，2a －1＝－1＝a 2－1，舍去；当2a －1＝－3时，a ＝－1，符合题意．∴a 的值为－1.10．集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }．(1)假设A 有且只有一个元素，求a 的值；(2)假设A 恰有两个元素，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23；当a ≠0时，Δ＝9－8a ＝0，a ＝98.综上得，a ＝0或98. (2)依题意，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠0，Δ＝9－8a >0，解得a <98且a ≠0. 1．集合A ＝{0,1,2}，B ＝{x ＋y |x ，y ∈A }，那么集合B 中的所有元素之和为( )A ．7B ．8C ．9D ．10D [由上表知，B ＝{0,1,2,3,4}，故其元素之和为10.]2．集合A ＝{2,4,6}，假设a ∈A ，且6－a ∈A ，那么a 为( )A ．2B ．2或4C ．4D ．0B [当a ＝2时，6－a ＝4∈A ；当a ＝4时，6－a ＝2∈A ；当a ＝6时，6－a ＝0A . 所以，a 为2或4.]3．集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示集合B ＝________. {1,0} [t ＝－1时，x ＝1；t ＝0时，x ＝0；t ＝1时，x ＝1.所以，B ＝{1,0}．]4．方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝3的解集用列举法可表示为________．{(2，－1)} [解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1，故该方程组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，故用列举法表示为{(2，－1)}．]5．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪⎪ 62＋x ∈N .(1)试判断元素1和2与集合A 的关系；(2)用列举法表示集合A .[解] (1)当x ＝1时，62＋x ＝63＝2∈N ；当x ＝2时，62＋x ＝64＝32N ；所以1∈A,2A .(2)由x ∈N ，得2＋x ∈N ，且2＋x ≥2.又62＋x ∈N ，那么2＋x 是6的正约数．所以2＋x ＝2，或3，或6，即x ＝0，或1，或4，所以A ＝{0,1,4}．。
高中数学 第一章 集合 1.1 集合的含义与表示素材 北师大版必修1(2021年最新整理)
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1。
1 集合的含义与表示1.为什么要学数学：数学是各科之研究工具，渗透到各个领域；活脑，训练思维；计算机等高科技应用的需要;生活实践应用的需要。
2.如何学数学：请几个同学发表自己的看法→共同完善归纳为四点：抓好自学和预习;带着问题认真听课;独立完成作业;及时复习.注重自学能力的培养，在学习中有的放矢，形成学习能力。
高中数学由于高考要求，学习时与初中有所不同，精通书本知识外，还要适当加大难度，即能够思考完成一些课后练习册，教材上每章复习参考题一定要题题会做.适当阅读一些课外资料，如订阅一份数学报刊，购买一本同步辅导资料.3.高中数学知识结构：书本:高一上期(必修①、②），高一下期（必修③、④），高二上期（必修⑤、选修系列）,高二下期(选修系列）,高三年级:复习资料。
知识:密切联系，必修（五个模块）＋选修系列（4个系列，分别有2、3、6、10个模块）能力：运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力、应用能力。
4.新课程标准的基本理念：①构建共同基础，提供发展平台；②提供多样课程，适应个性选择；③倡导积极主动、勇于探索的学习方式；④注重提高学生的数学思维能力；⑤发展学生的数学应用意识；⑥与时俱进地认识“双基”；⑦强调本质，注意适度形式化; ⑧体现数学的文化价值；⑨注重信息技术与数学课程的整合；⑩建立合理、科学的评价体系.5.本期数学教学、活动安排：本期学习内容：高一必修①、②,共72课时,必修①第一章13课时(4+4+3+1+1）＋第二章14课时(6+6+1+1）＋第三章9课时（3+4+1+1)；必修②第一章8课时(2+2+2+1+1）＋第二章10课时（3+3+3+1）＋第三章9课时（2+3+3+1)＋第四章9课时（2+4+2+1).上课方式:每周新授5节，问题集中1节.学习方式：预习后做节后练习；补充知识写在书的边缘；6。
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④{4,0,8,1,7,2,6}，{4,0,8,1,7,3,5}，{4,0,8,2,6,3,5}，{4,1,7,2,6,3,5}，{0,8,1,7,2,6,3,5}，共5个；
2．集合M＝{(x，y)|xy＜0，x∈R，第三象限内的点集
C．第四象限内的点集
D．第二、四象限内的点集
答案：D
解析：∵xy＜0.∴x与y异号，故点(x，y)在第二或第四象限，故选D.
3．下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；② ∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.
此时A＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.
当a＝0时，A＝{3,1,2}，满足题意；
当a＝－2时，A＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1，
此时A＝{2,0,1}，满足题意．
综上所述，实数a的值为－1或0.
⑤{4,0,8,1,7,2,6,3,5}，共1个．
于是满足题设条件的集合M共有5＋10＋10＋5＋1＝31个．
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
解析：①π是实数，所以π∈R正确；② 是无理数，所以 ∉Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N*错误．故选B.
4．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )
A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1}
C．{1} D．{y|(y－1)2＝0}
答案：B
解析：因为{x|x＝1}＝{1}，{x|x2＝1}＝{－1,1}，{y|(y－1)2＝0}＝{1}，所以B选项的集合不同于另外三个集合．
5．方程组 的解集为
①{2,1,3}；②(2,1,3)；③{(2,1,3)}，其中正确的表示方法是( )
A．①②B．①③
C．③D．①②③
答案：C
解析：本题的计算不是难点，难点在于这个方程组的解集如何表示，首先应为集合的形式，其次分析集合中元素的形式与属性：有序实数组．
答案：3个
解析：分四类，即x、y、z全为正数，二正一负，二负一正，全为负数。
设 ＋ ＋ ＋ 可能取值为{－4、0、4}．
9．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，定义A*B＝{x|x∈A，且x∉B}，则集合A*B＝________.
答案：{1,3}
解析：由定义，知集合A*B中的元素是集合A中的元素1,2,3除去集合B中的元素2得到的，所以A*B＝{1,3}．
1 集合的含义与表示
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．下列各组对象不能构成集合的是( )
A．所有的直角三角形
B．不超过10的非负数
C．著名的艺术家
D．方程x2－2x－3＝0的所有实数根
答案：C
解析：A，B，D中的元素是确定的，都能构成集合．但C中的“著名艺术家”的标准不明确，不满足确定性，所以不能构成集合．故选C.
由b∈N*，b≤3，知b＝1,2,3.
所以y＝ 的值为 ＝－ ， ＝0， ＝ ， ＝－ ， ＝0， ＝ ， ＝－ ， ＝0， ＝ .
考虑到集合中元素的互异性，原集合可用列举法表示为 .
11．已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值．
解：①若a＋3＝1，则a＝－2，
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．用列举法表示下列集合：
(1) ；
(2)
.
解：(1)因为 ∈Z，所以|2－x|是6的因数，则|2－x|＝1,2,3,6，即x＝1,3,4,0，－1，5，－4,8.
所以原集合可用列举法表示为{－4，－1,0,1,3,4,5,8}．
(2)由a∈Z，|a|<2，知a＝－1,0,1.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知x∈N，且 ∈Z，若x的所有取值构成集合M，则集合M中的元素为________．
答案：0,1,2,5
解析：因为x∈N，且 ∈Z，则x＋1＝1,2,3,6，即x＝0,1,2,5，所以集合M中的元素是0,1,2,5.
8．设x、y、z为非零实数，则 ＋ ＋ ＋ 的值组成的集合的元素个数________．
12．集合M中的元素为自然数，且满足若x∈M，则8－x∈M.试回答下列问题：
(1)写出只有一个元素的集合M；
(2)写出元素个数为2的所有的集合M；
(3)满足题设条件的集合M共有多少个？
解：(1)M中只有一个元素，根据已知必须满足x＝8－x，所以x＝4.
所以含一个元素的集合M＝{4}．
(2)当M中只含两个元素时，其元素只能是x和8－x，
6．定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为( )
A．0 B．6
C．12 D．18
答案：D
解析：由于A＝{0,1}，B＝{2,3}，x∈A，y∈B，故需对x、y的取值分类讨论．当x＝0，y∈B时，z＝0；当x＝1，y＝2时，z＝6；当x＝1，y＝3时，z＝12.故所有元素之和为0＋6＋12＝18.故选D.
所以元素个数为2的所有的集合M为{0,8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}．
(3)满足条件的集合M是由集合{4}，{0,8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}中的元素组成，它包括以下情况：
①{4}，{0,8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}，共5个；
②{4,0,8}，{4,1,7}，{4,2,6}，{4,3,5}，{0,8,1,7}，{0,8,2,6}，{0,8,3,5}，{1,7,2,6}，{1,7,3,5}，{2,6,3,5}，共10个；