西交大苏州附中2013-2014学年度第一学期期中复习卷(5)

西交大苏州附中2013－2014学年度第一学期期中复习数学试卷卷（5）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．两个平面最多可以将空间分成 部分. 2．直线053=+-y x 的倾斜角是 .3．若一个球的表面积为12π，则该球的半径为 .4．两平行直线0962043=-+=-+y x y x 与的距离是 . 5．已/知圆044222=+-++y x y x 关于直线b x y +=2成轴对称，则b = .. 6．关于直线,m n 与平面,αβ，有以下四个命题：①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ；②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ； 其中正确命题的序号是 .7．正三棱锥的底面边长为3，则其体积为 .8．过点P(2,3)且在两轴上的截距相等的直线方程是_________________. 9．圆柱形容器的内壁底半径是10cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为 2cm . 10．圆心在y 轴上，且与直线y x =相切于点(1,1)的圆的方程为________ ___________．11．点P 在平面ABC 上的射影为O ，且PA 、PB 、PC 两两垂直，那么O 是△ABC 的 ．（填：外心，内心，重心，垂心）12．若直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围是 .13．已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线222:2440l x k y k +--=与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为 ．14．若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同的点到直线0ax by +=的距离为_______________________．ABCD D1C1B1A1二、解答题：本大题共6小题，共计14+14+15+15+16+16=90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案写在答卷纸．．．相应位置上． 15（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x -3y -6=0,点T (-1,1)在AD 边所在的直线上.（1）分别求AD 边，CD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.16．（本小题满分15分）如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11A B A D =，AB AD =.求证：（1）1AA BD ⊥；（2）11//BB DD .在如图所示的多面体中，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2，四边形ABDC 是菱形．(1)求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）求该多面体的体积.18．（本小题满分15分）过圆x2＋y2＝2外一点P(4，2)向圆引切线．（1）求过点P的圆的切线方程；（2）若切点为P1、P2,，求直线P1P2的方程；（3）求P1、P2两点间的距离．C1B1A1 DCBA设圆221:106320C x y x y +--+=，动圆222:22(8)4120 C x y ax a y a +---++=. （1）求证：圆1C 、圆2C 相交于两个定点；（2）设点P 是圆221x y +=上的点，过点P 作圆1C 的一条切线，切点为1T ，过点P 作圆2C 的一条切线，切点为2T ，问：是否存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足12PT PT =？如果存在，求出所有这样的点P ；如果不存在，说明理由.20．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)1x y -+-=．（1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 截得的弦长为6，求直线l 的方程；（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长． ①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．两个平面最多可以将空间分成 部分. 4 2．直线053=+-y x 的倾斜角是 .6003．若一个球的表面积为12π4．两平行直线0962043=-+=-+y x y x 与的距离是 。

205．已/知圆044222=+-++y x y x 关于直线b x y +=2成轴对称，则b = . 4 6．关于直线,m n 与平面,αβ，有以下四个命题：①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ；②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ； 其中正确命题的序号是 ②③7．正三棱锥的底面边长为3，则其体积为 . 答案： 9/48．过点P(2,3)且在两轴上的截距相等的直线方程是__________________.32050x y x y -=+-=与9．圆柱形容器的内壁底半径是10cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为 2cm .100π. 10．圆心在y 轴上，且与直线y x =相切于点(1,1)的圆的方程为________ ___________．22(2)2x y +-=11．点P 在平面ABC 上的射影为O ，且PA 、PB 、PC 两两垂直，那么O 是△ABC 的 心垂心；12．若直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围是 .(-2，2]⋃{-13．已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线222:2440l x k y k +--=与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为 ．1/8ABCD D1C1 B1A114．若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同的点到直线0axby +=的距离为_______________________．答案： [22-+二、解答题：（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.） 15（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x -3y -6=0,点T (-1,1)在AD 边所在的直线上．（1）求AD 边，CD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.解：(1) 因为AB 边所在直线的方程为x -3y -6=0，且AD 与AB 垂直， 所以直线AD 的斜率为-3．……………………………………2分又因为点T (-1，1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y -1=-3(x +1), 即3x +y +2=0．…………………………………………………………4分由360320{x y x y --=++=解得点A 的坐标为(0，-2). …………6分因为矩形ABCD 的两条对角线的交点为M (2，0),所以C(4,2) …………8分 所以CD 边所在直线的方程为x-3y+2=0, …………10分 (2) M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．又|AM =………………………………12分 从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x -2)2+y 2=8.…………………… 14分 16．（本小题满分14分）如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11A B A D =，AB AD =.求证：（1）1AA BD ⊥；（2）11//BB DD . 证明：（1）取线段BD 的中点M ，连结AM 、1A M ， 因为11A D A B =，AD AB =，所以BD AM ⊥，1BD A M ⊥．…………3分又1AM A M M = ，1AM A M ⊂、平面1A AM ， 所以BD ⊥平面1A AM ．而1AA ⊂平面1A AM ，所以1AA BD ⊥.……………………………7分 （2）因为11//AA CC ，1AA ⊄平面11D DCC ，1CC ⊂平面11D DCC ，所以1//AA 平面11D DCC ．…………………………………………………10分 又1AA ⊂平面11A ADD ，平面11A ADD 平面111D DCC DD =，……11分 所以11//AA DD ．同理得11//AA BB ，所以11//BB DD ．…………………………………………………14分 17．（本小题满分15分）在如图所示的多面体中，已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长均为2，四边形ABDC 是菱形.(1)求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1 （2）求该多面体的体积．（1）证:由正三棱柱111ABC A B C -,得1BB AD ⊥,而四边形ABDC 是菱形,所以AD BC ⊥,又1,BB BC ⊂平面11,BB C C 且1BC BB B = ,所以AD ⊥平面11BCC B …5分 则由AD ⊂平面1ADC ,得平面1ADC ⊥平面11BCC B …………………… 7分 (2)因为正三棱柱111ABC A B C -的体积为11ABC V S AA ∆=⨯=………10分 四棱锥11D B C CB -的体积为11211()32BCC B V S AD =⨯=3分所以该多面体的体积为V =5分 18．（本小题满分15分）过⊙：x 2＋y 2＝2外一点P(4，2)向圆引切线． （1）求过点P 的圆的切线方程．（2）若切点为P 1、P 2求过切点P 1、P 2的直线方程． （3）求P 1、P 2两点间的距离．解：(1)设过点P(4，2)的切线方程为y －2＝k(x －4) 即kx －y+2－4k ＝0 ① 则d ＝2142kk +-C 1B 1A 1DCBA∴2142k k +-＝2 解得k ＝1或k ＝71…………3分∴切线方程为：x －y －2＝0或x －7y ＋10＝0………………………………………5分(2) 设切点Ｐ1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则两切线的方程可写成l 1: x 1x ＋y 1y ＝2，l 2：x 2x ＋y 2y ＝２因为点(4，2)在l 1和l 2上．则有4 x 1＋2y 1＝2 4x 2＋2y 2＝2这表明两点都在直线4x ＋2y ＝2上，由于两点只能确定一条直线，故直线2 x ＋y －1＝0即为所求……………………………………10分 （3）12P P 5=……………………15分 19．（本小题满分16分）设圆221:106320C x y x y +--+=，动圆222:22(8)4120 C x y ax a y a +---++=， （1）求证：圆1C 、圆2C 相交于两个定点；（2）设点P 是圆221x y +=上的点，过点P 作圆1C 的一条切线，切点为1T ，过点P 作圆2C 的一条切线，切点为2T ，问：是否存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足12PT PT =？如果存在，求出所有这样的点P ；如果不存在，说明理由.19.解（1）将方程2222(8)4120 x y ax a y a +---++=化为221612(224)0x y y x y a +-++-++=，令22161202240x y y x y ⎧+-+=⎨-++=⎩得42x y =⎧⎨=⎩或64x y =⎧⎨=⎩，所以圆2C 过定点(4,2)和(6,4)，……………4分 将42x y =⎧⎨=⎩代入22106320x y x y +--+=，左边=1644012320+--+==右边，故点(4,2)在圆1C 上，同理可得点(6,4)也在圆1C 上，所以圆1C 、圆2C 相交于两个定点(4,2)和(6,4)；……………6分（2）设00(,)P x y，则1PT =8分2PT =， …………………………………10分 12PT PT =即00001063222(8)412x y ax a y a --+=---++，整理得00(2)(5)0x y a ---=（*）………………………………………………12分 存在无穷多个圆2C ，满足12PT PT =的条件为00220201x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩（1）有解， …………………14分而（1）无解，故不存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足12PT PT =.………………16分20(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)1x y -+-=．（1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 截得的弦长为65，求直线l 的方程；（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长． ①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．解：（1）设直线l 的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+= 因为直线l 被圆2C 截得的弦长为65，而圆2C 的半径为1，所以圆心2(3 4)C ，到l ：0kx y k -+=的45=．…………………………3分化简，得21225120k k -+=，解得43k =或34k =．所以直线l 的方程为4340x y -+=或3430x y -+=．…………………6分 （2）①证明：设圆心( )C x y ，，由题意，得12CCCC =，．化简得30x y +-=，即动圆圆心C 在定直线30x y +-=上运动．…………………………10分②圆C过定点，设(3)Cm m -，，则动圆C ．于是动圆C 的方程为2222()(3)1(1)(3)x m y m m m -+-+=+++-． 整理，得22622(1)0x y y m x y +----+=．…………………………14分由2210 620x y x y y-+=⎧⎨+--=⎩，，得1 2x y⎧=+⎪⎨⎪=+⎩或1 2x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以定点的坐标为(1，(1+．………16分。