湖南省长郡中学2011届高三暑期分班考试(数学理)(pdf版)答案

长郡中学2011届高三分班考试试卷
理科数学参考答案
一㊁选择题:本大题共8小题,每小题3分,满分24分.
题 号12345678
答 案A B C C D A B C
二㊁填空题:本大题共7小题,每小题3分,共21分.
9.823 10.(-∞,-54] 11.4 12.②④ 13.ρ=2c o sθ 14.10 15.13
三㊁解答题:本大题共6小题,满分55分.
16.解:(1)∵m∥n,∴c(c-a)=(b-a)(a+b),
∴c2-a c=b2-a2,∴a2+c2-b2
a c=1.
由余弦定理得c o s B=12,B=π3.(4分)
………………………………(2)∵A+B+C=π,∴A+C=2π3,
∴s i n A+s i n C=s i n A+s i n(2π3-A)=s i n A+s i n2π3c o s A-c o s2π3s i n A=
3
2s i n A+3
2c o s A=3s i n(A+
π
6).
∵0<A<2π3,∴π6<A+π6<5π6,
∴12<s i n(A+π6)≤1,∴32<s i n A+s i n C≤3.(8分)
……………
17.解:(1)设 世博会会徽”卡有n张,由C2n C2
10=215,得n=4.(1分)
………
故 海宝”卡有6张,抽奖者获奖的概率为C26C210=13.(3分)
……………(2)ξ可能取的值为0,1,2,3,4,则(4分)
………………………………
P(ξ=0)=(23)4=1681;
P(ξ=1)=C1413(23)3=3281;
P(ξ=2)=C24(13)2(23)2=2481;
P(ξ=3)=C34(13)323=881;
P(ξ=4)=(13)4=181.
所以ξ的分布列为ξ01234 P168132812481881181
Eξ=0×1681+1×3281+2×2481+3×881+4×181=43.(8分)
…………18.解:方法一(1)取E C的中点F,连结B F,
则B F//D E,∴∠F B A或其补角即为异面直线D E与A B所成的角.在△B A F中,A B=42,B F=A F=25,∴c o s∠A B F=105,
∴异面直线D E与A B所成的角的余弦值为105.(3分)
……………(2)A C⊥平面B C E,过C作C G⊥D E交D E于G,连结A G,可得D E⊥平面A C G,从而A G⊥D E,
∴∠A G C为二面角A E D B的平面角.
在△A C G中,∠A C G=90°,A C=4,C G=855,
∴t a n∠A G C=52,∴s i n∠A G C=53,
∴二面角A E D B的正弦值为53.(6分)
…………………………(3)V=13㊃S B C E D㊃A C=16,∴几何体的体积V为16.(9分)
………
方法二:(坐标法)(1)以C为原点,以C A,C B,C E所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,
则A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,2),E(0,0,4),
→D E=(0,-4,2),→A B=(-4,4,0),∴c o s<→D E,→A B>=-10
5,
∴异面直线D E与A B所成的角的余弦值为105.(3分)
……………(2)平面B D E的一个法向量为→C A=(4,0,0),
设平面A D E的一个法向量为n=(x,y,z),
n⊥→A D,n⊥→D E,→A D=(-4,4,2),→D E=(0,-4,2),
∴n㊃→A D=0,n㊃→D E=0,
从而-4x+4y+2z=0,-4y+2z=0,令y=1,
则n=(2,1,2),c o s<→C A,n>=23,
∴二面角A E D B的正弦值为53.(6分)
…………………………(3)V=13㊃S B C E D㊃A C=16,∴几何体的体积V为16.(9分)
………
19.解:(1)∵f(t)=3
4+a㊃2-t×100%(t为学习时间),且f(2)=60%,则3
4+a㊃2-2×100%=60%,可解得a=4,
∴f(t)=3㊃-t㊃100%=3(-t)(t≥0),
∴f (0)=34(1+1
)=38=37.5%.f (
0)表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5%.(4分)………………………………………………………………………(2
)令学习效率指数y =f (t )t
,即y =f (t )t =34t (1+2-t )=34(t +t 2
t
)
(t >0),现研究g (t )=t +t 2
t 的单调性,g '(t )=1+2t -t ㊃2t l n 2(2t )2=2t
-t l n 2+12t (t >0).(6分)…………………又已知x >0时,2x
>x l n 2恒成立,∴2t
-t l n 2>0,即g (t )>0恒成立,
∴g (t )在(0,+∞)上为增函数且g (t
)为正数,∴y =f (t )t =34(t +t 2t )
(t >0)在(0,+∞)上为减函数.(8分)………而y |t =1=f (1)1=12,y |t =2=f (2)2=310,∴y =f (t
)t ∈(310,12
).
故所求学习效率指数的取值范围是(310,12
).(10
分)………………20.解:(1)∵f '(x )=1x
,直线l 是函数f (x )=
l n x 的图象在点(1,0)处的切线,
∴其斜率为k =f '(1)=1,
∴直线l 的方程为y =x -1.(1分)……………………………………又因为直线l 与g (x )的图象相切,∴
y =x -1
y =12x 2+m x +{
72
⇒12x 2+(m -1)x +92=0,得Δ=(m -1)2
-9=0⇒m =-2(m =4不合题意,舍去).(3分)
……(2)由(1)知g (x )=12x 2-2x +72
,
∴h (x )=f (x +1)-g '(x )=l n (x +1)-x +2(x >-1),∴h '(x )=1x +1-1=-x x +1(x >-1).(4分)…………………………当-1<x <0时,h '(x )>0;当x >0时,h '(x )<0.
于是,h (x )在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减.(5分)…所以,当x =0时,h (x )取得最大值h (0)=2.(6分)
…………………(3)由(2)知:当-1<x <0时,h (x )<2,即l n (1+x )<x ;(8分)……当0<a <1时,-1<a -12
<0
,∴f (1+a )-f (2)=l n 1+a 2=l n (1+a -12)<a -12.(10分)…………
21.解:(1
)由题意知e =c a =12,所以e 2
=c 2a 2=a 2-b 2
a
2
=14,即a 2=43b 2.又因为b =
61+1
=3,所以a 2=4,b 2
=3.
故椭圆C 的方程为x 24+y 2
3
=1.(2分)
…………………………………(2)由题意知直线P B 的斜率存在,设直线P B 的方程为y =k (x -4).由y =
k (x -4),x 24+y
23
=1{
.得(4k 2+3)x 2-32k 2x +64k 2-12=0.①…………设点B (x 1,y 1),E (x 2,y
2),则A (x 1,-y 1).直线A E 的方程为y -y 2=y 2+y 1
x 2-x 1(x -x 2)
.令y =0,得x =x 2-y 2(x 2-x 1)y 2+y
1.将y 1=k (x 1-4),y
2=k (x 2-4)代入整理,得x =2x 1x 2-4(x 1+x 2)x 1+x 2-8.②
……………………………………………………………………由①得x 1+x 2=32k 24k 2+3,x 1x 2=64k 2
-124k 2+3
代入②整理,得x =1.所以直线A E 与x 轴相交于定点Q (1,0).(6分)……………………(3
)当过点Q 的直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程为y =m (x -1),且M (x M ,y M ),N (x N ,y N )在椭圆C 上.
由y =m (
x -1)x 24+y
23
{
=1得(4m 2+3)x 2-8m 2x +4m 2-12=0,易知Δ>0,所以x M +x N =8m 24m 2+3,x M x N =4m 2-124m 2+3,y M y N =-9m 24m 2+3,则→O M ㊃→O N =x M x N +y M y N =-5m 2+124m 2+3=-54-334(4m 2+3
).因为m 2≥0,所以-114≤-334(4m 2+3)<0,所以→O M ㊃→O N ∈[-4,-54
).
当过点Q 的直线MN 的斜率不存在时,其方程为x =1.解得M (1,32),N (1,-32),此时→O M ㊃→O N =-54
,
所以→O M ㊃→O N 的取值范围是[-4,-54
].(10分)
……………………。