七升八数学暑假衔接讲义
七年级升八年级数学暑期衔接班讲义第十八讲第十九讲专题六全等、等腰三角形综合运用拔高
第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（拔高）第一部分【能力提升】一、如图， BD＝ CD，∠ B＝∠ C，求证： AD均分∠ BAC.ADB C二、如图， Rt △ ABC，∠ C＝ 90°， AB的垂直均分线交（ 1）求证：△ ADE≌△ BDC；（ 2）求∠ A 的度数 .三、如图，在△ABC中， AB=2BC，∠ B=2∠ A，求证：△AC于点 D，连接 BD， BD均分∠ ABC.AEDB C ABC为直角三角形 .AB C四、如图，在Rt △ ABC中，∠ ACB=90°， AD均分∠ BAC， DE⊥ AB， F 为 AC上一点，DF=DB，求证： CF=BE.CDFA E B第二部分【综合运用】五、如图，在Rt △ ABC中，∠ C=90°， AC=BC， D是斜边 AB上任意一点， AE⊥ CD于点 E， BF⊥CD交 CD的延长线于点 F， CH⊥AB 于点 H，交 AE于点 G，求证： BD=CG.CEGDA H BF六、如图，在△ ABC中，∠ BAC的均分线与BC的垂直均分线 PQ订交于点 P，过点 P 分别作AB、AC(或它们的延长线 ) 的垂线，垂足分别为 N、 M，求证： BN=CM.NB PQA M C七．如图，△ ABC中，∠ A=50°， AB＞ AC，D、E 分别在 AB、AC上，且 BD=CE，∠ BCD=∠ CBE，若 BE、 CD订交于 O点，求∠ BOC的度数 .AEDOB C八、如图， AB⊥ BC，EC⊥ BC，D 在 BC上， AD=DE， AB=a，CE=b，∠ ADB=75°，∠ EDC=45°，求 BD的长 . （用含 a、 b 的代数式表示）AEB D C九、如图，正方形ABCD中， E、 F 分别为 BC、 CD上的两点，∠EAF=45° .（ 1）求证： BE+DF=EF；（若正方形的连长为a，则△ CEF的周长等于2a）（ 2）求证： AE均分∠ BEF； AF 均分∠ DFE；A（ 3）作 AH⊥ EF，求证： AH=AB.45DFB E C十、如图，正方形 ABCD中， E 为 BC边上一点，沿直线AE折叠正方形 ABCD，使点 B 落在形内的点 H，延长 EH交 CD于点 F.A D （ 1）求证：∠ EAF=45°；（ 2）求证： BE+DF=EF；（ 3）求证： AF均分∠ DFE.FB E HC十一、研究与猜想：（1）如图 1，等腰 Rt△ ABC和等腰 Rt△ ADE，∠ ACB=∠ ADE=90°， D 点在 AB 上， E 点在 AC上， P 为 BE 的中点，则线段 PD、PC能否存在某种确立的数目关系和位置关系？请写出你的结论（不需要证明）；（ 2）若将图 1 中的等腰 Rt△ ADE绕 A 点逆时针旋转 45°获得图2（此时点 E 在 AB 上），其他条件不变，试问：线段PD、PC能否存在某种确立的数目关系和地点关系？写出你的结论并证明；B BPD PDEA E C AC图1图2（ 3）若将图 1 中的等腰 Rt △ADE绕 A点顺时针任意旋转一个角度获得图3（此时点 E 在 AC的下方），其他条件不变，试问：线段 PD、PC能否存在某种确立的数目关系和地点关系？请你完成图3，写出你的结论并证明；BA CE图3。
七升八暑期衔接班数学讲义
2017年七升八暑期衔接班数学培优讲义目录1.第一讲：与三角形有关的线段；2.第二讲：与三角形有关的角；3.第三讲：与三角形有关的角度求和；4.第四讲：专题一：三角形题型训练(一)；5.第五讲：专题二：三角形题型训练(二)；6.第六讲：全等三角形；7.第七讲：全等三角形的判定（一）SAS；8.第八讲：全等三角形的判定（二）SSS，ASA，AAS；9.第九讲：全等三角形的判定（三）HL；10.第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11.第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练；12.第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理；13.第十三讲：轴对称；14.第十四讲：等腰三角形；15.第十五讲：等腰直角三角形；CB A16.第十六讲：等边三角形（一）； 17.第十七讲：等边三角形（二）; 18.第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一） 19.第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二） 20. 第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；第 一 讲 与三角形有关的线段【知识要点】一、三角形1．概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连.2．几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形.3．三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线.二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形）三、三角形的三边关系(教具)引例：已知平面上有A 、B 、C 三点.根据下列线段的长度判断A 、B 、C 存在的位置情况：(1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A 、B 、C 存在的位置情况是：(5)若AB=4，AC=6，BC=12，则A 、B 、C 存在的位置情况是： 总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围.1．已知BC=a ，AC=b ，AB=c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ；（2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ；2．已知BC=a ，AC=b ，AB=c ，且a ＜b ＜c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ；（2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ；【新知讲授】例一、如图，在△ABC 中. ①AD 为△ABC 的中线，则线段 = =21②AE 为△ABC 的角平分线，则 = =21 ； ③AF 为△ABC 的高线，则 = =90°；④以AD 为边的三角形有 ；⑤∠AEC 是 的一个内角；是 的一个外角.例二、已知，如图，BD ⊥AC ，AE ⊥CG ，AF ⊥AC ，AG ⊥AB ，则△ABC 的BC 边上的高线是线段( ).(A)BD (B) AE (C) AF (D) AG 例三、（1）以下列各组长度的线段为边，能．构成三角形的是( ). AE D E A BC FG(A)7cm，5cm，12cm (B)6cm，8cm，15cm(C)4cm，6cm，5cm (D)8cm，4cm，3cm（2）满足下列条件的三条线段不能．．组成三角形的是 .（a、b、c均为正数）①a=5，b=9，c=7；②a∶b∶c=2∶3∶5；③1，a，b，其中1+a＞b；④a，b，c，其中a+b＞c；⑤a+2，a+6，5；⑥a＜b ＜c，其中a+b＞c.例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x，则x的取值范围是 . 发散：①已知三角形的三边长分别为2，5，2x-1，则x的取值范围是 .②已知三角形的三边长分别为2，5，243x，则x的取值范围是 .③已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为( ).(A)2 (B)3 (C)5 (D)13④已知三角形的两边长分别为2，5，则三角形周长l的取值范围是 .⑤已知一个三角形中两边长分别为a、b，且a＞b，那么这个三角形的周长l的取值范围是 .(A)3b＜l＜3a (B)2a＜l＜2a+2b (C)a+2b＜l＜2a+b (D)a+2b＜l＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5，11-x，3x-1.（1）则x的取值范围是；（2）则它的周长l的取值范围是；（3）若它是一个等腰三角形，则x 的值是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5-x ，x-1，则x 的取值范围是 .②已知三角形两边的长分别为3和7，则第三边a 的取值范围是 ；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共有个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为 .③已知等腰三角形腰长为2， 则三角形底边a 的取值范围是 ；周长l 的取值范围是 .④已知三角形三边的长a 、b 、c 是三个连续正整数，则它的周长l 的取值范围是 .若它的周长小于19，则满足条件的三角形共有 个.⑤若 a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简||c b a -++|c b a --|的结果为( ).(A)2b (B)0 (C)2a (D)22a c -⑥已知在△ABC 中，AB=7，BC ∶AC=4∶3，则△ABC 的周长l 的取值范围为 .【题型训练】1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ).(A)2cm ，3cm ，5cm (B)5cm ，6cm ，10cm (C)1cm ，1cm ，3cm (D)3cm ，4cm ，9cm2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶4∶5；⑤3∶3∶6.其中能组成三角形的有( ).(A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组3．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）(A)中线 (B)角平分线 (C)高线 (D)角平分线或中线4．已知三角形的三边长分别为6，7，x ，则x 的取值范围是( ).(A)2＜x ＜12 (B)1＜x ＜13 (C)6＜x ＜7(D)1＜x ＜7DAB C DA B C5．已知三角形的两边长分别为3和5，则周长l 的取值范围是( ).（A ）6＜l ＜15 （B ）6＜l ＜16 （C ）11＜l ＜13 （D ）10＜l ＜166．已知等腰三角形的两边长分别为5和11，则周长是( ).（A ）21 （B ）27 （C ）32 （D ）21或27 7．等腰三角形的底边长为8，则腰长a 的范围为 . 8．等腰三角形的腰长为8，则底边长a 的范围为 .9．等腰三角形的周长为8，则腰长a 的范围为 ；底边长b 的范围为 .10．三角形的两边长分别为6，8，则周长l 的范围为 .11．三角形的两边长分别为6，8，则最长边a 的范围为 .12．等腰三角形的周长为14，一边长为3，则另两边长分别为 .13．若a 、b 、c 分别为△ABC 的三边长，则｜a+b-c ｜-｜b-c-a ｜+｜c-b-a ｜= .14．已知在ΔABC 中，AB=AC ，它的周长为16厘米，AC 边上的中线BD 把∆ABC 分成周长之差为4厘米的两个三角形，求∆ABC 各边的长. 15．等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，BD 为△ABC 的中线）把它的周长分为15厘米和6厘米两部分，求该三角形各边长. 综合探究、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系 1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系； 2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.ABC DEII I I C B D A C B DA A DBC II I C B D AC BD A EA E DB EC I I I C BD A C B AE A EDB F D E F F C12CB A 例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系. 第 二 讲 与三角形有关的角 【知识要点】 一、三角形按角分类:①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形； 二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠A+∠B+∠1=180°）； 三、 三角形的内角和定理的推论：①直角三角形两锐角互余；②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠2=∠A+∠B ）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角；四、n 边形的内角和定理：（n-2）×180°；五、n 边形的外角和为360°.【新知讲授】例一、①正方形的每个内角的度数为 ；正五边形的每个内角的度数为 ；正六边形的每个内角的度数为 ；正八边形的每个内角的度数为 ；正十边形的每个内角的度数为 ；正十二边形的每个内角的度数为 .DA BEF C D A CB H DA B C E HED C BA ②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的5倍，则它的边数是 .③若一个正多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数是 .④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍°，则它的边数是 .例二、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条高线BD 、CE 所在直线交于点H ，求∠BHC的度数. 例三、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条角平分线BD 、CE 交于点I ，求∠BIC 的度数. 例四、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C ，∠B=∠D ，求证：AB ∥CD ，AD ∥BC. 例五、如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，求证：∠BAD+∠EAF=180°.例六、如图，六边形ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A=∠D ，∠B=∠E ，求证：BC ∥EF.例七、如图，在凸六边形ABCDEF 中，∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E ，求证：BC ∥EF. 【题型训练】1．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，求∠A. 2．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC ，求∠A 的度数.3．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC=125°，∠E=40°，求∠BAC 的度数. 4．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC 与∠E 互补，求∠BAC 的度数.M EDC B AM EDC B AA B C D E I第二讲作业1．如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ).(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)锐角三角形(D)钝角三角形2.如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ).(A)∠A＞∠1＞∠2 (B)∠2＞∠1＞∠A(C)∠A＞∠2＞∠1 (D)∠2＞∠A＞∠13．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( ).(A) (B) (C) (D)4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ).A．75°B．90°C．105°D．120°5.在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠ =( ).(A)30° (B)45° (C)60°(D)75°6．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度数为( ).(A)120°(B)180°(C)240°(D)300°7．如图，在△ABC中，∠C＝70o，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2=( ).A B O C B D AF E(A)360o (B)250o (C)180o (D)140o8．如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=( ).(A)150° (B)210° (C)105° (D)75°9．如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD 是△ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为（ ）(A)40° (B)45° (C)50° (D)55°10．已知ΔABC 的三个内角∠A、∠B、∠C 满足关系式∠B +∠C =3∠A，则此三角形( ).(A)一定有一个内角为45?(B)一定有一个内角为60? (C)一定是直角三角形 (D)一定是钝角三角形11．将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为( ). (A)75° (B)95° (C)105° (D)120°12．若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是( ).(A)正十六形 (B)正十七形 (C)正十八边形 (D)正十九边形13．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为( ).(A)7 (B)8 (C)9 (D)1014. 已知：在△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)90°15．如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是 .16．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两点，BE 、CD 相交于点F ，∠A=62°，∠ACD=40°，∠ABE=20°，求∠BFC 的度数.17．如图，已知直线DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E 两点，交边BC 的延长线IIICBACDAAD于点F ，若∠B =67°，∠ACB =74°，∠AED =48°，求∠BDF 的度数．第三讲：与三角形有关的角度求和【知识要点】1．与三角形有关的四个基本图及其演变； 2．星形图形的角度求和. 【新知讲授】例一、如图，直接写出∠D 与∠A 、∠B 、∠C 之间的数量关系.箭形： ；蝶形： ；四边形： .请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）： 例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD I ，探求∠I 与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间AB C IA B C D IA BCD EII IC BACBDAEA ED BECII A C BAE DE F BAMECDODQPCBADB CEA 的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索三：如图，∠ABD的邻补角∠DBE平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分A 、∠D 之间的数量关系.BP 、BQ 三等分∠ABC ，CP 、°，直接写出：∠BPC BQC 的度数（2）连接PQ 并延长交BC 于点D BQD=63°，∠CQD=80°，求△ABC三个内角的度数. 例五、如图，BD 、CE 交于点M ，OB 平分∠ABD ，OC 平分∠ACE ，OD 平分∠ADB ，OE平分∠AEC ，求证：∠BOE=∠COD ；【题型训练】1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数和. 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和. 3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=； ②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= . ④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= . ⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；CBDAF E ⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑦如图，BC ⊥EF ，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.第 三 讲 作 业1．如图，B 岛在A 岛的南偏西30°，A 岛在C 岛的北偏西35°，B 岛在C 岛的北偏西78°，则从B 岛看A 、C 两岛的视角∠ABC 的度数为( ). (A)65° (B)72° (C)75° (D)78° 2．如图，D 、E 分别是AB 、AC 上一点，BE 、CD 相交于点F ，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠A 等于( ).(A)50° (B)85° (C)70° (D)60° 3．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠ 的度数是( ).(A)75° (B)60° (C)65°(D)55°4．如图，在△ABC 中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AF ∥BC ，交BD 的延长线于点F ，AE 平分∠CAF 交DF 于E 点.我们定义：在一个三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有( ).(A)8个 (B)7个 (C)6个 (D)5个 5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D 的度数是( ).O 2O 1A BC 图1CBA 图2图3OO 1O 2O n-1(A)35° (B)45° (C)55° (D)65°6．如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO 平分∠ABC ，DO 平分∠ADC ，则∠BOD=( ).(A)40° (B)60° (C)70° (D)80° 7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠2= ． 8.如图，在△ABC 中，∠A=80°，点D 为边BC 延长线上的一点，∠ACD=150°，则∠B= . 9．将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 .10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB 上，BC 与DE 交于点M ．若∠ADF=100°，则∠BMD 为 ． 11．如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=______.12．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD的平分线交于点A 2，…，如此下去，∠A n ﹣1BC 的平分线与∠A n ﹣1CD 的平分线交于点n A ．设∠A=θ．则∠A 1= ；n A = ．13．已知：如图1，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则1902BOC A ∠=︒+∠1118022A =⨯︒+∠；如图2，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的两条三等分角线分别对应交于点1O 、2O ，则12118033BOC A ∠=⨯︒+∠，21218033BO C A ∠=⨯︒+∠；……；根据以上阅读理解，当n 等分角时，内部有1n -个交点，你以猜想1n BO C -∠=( ).(A)21180A n n⨯︒+∠(B)12180A n n⨯︒+∠ (C)118011n A n n ⨯︒+∠-- (D)11180n A nn-⨯︒+∠ 14．在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，BE 平分∠ABC ，求∠DBE 度数.第 四 讲 专题一：三角形题型训练（一）【知识要点】平行线、三角形内角和的综合运用 【新知讲授】例一、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC ，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例二、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论. 例三、 如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC 的外角，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论. 例四、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例五、如图，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC 的的外角，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例六、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，FED CBA M E DCB AFNMEDCBAED C BAFM EDCB ANMEDC请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例七、如图，△ABC 中，P 为BC 边上任一点，PD ∥AB ，PE ∥AC.（1）若∠A=60°，求∠DPE 的度数；（2）若EM 平分∠BEP ，DN 平分∠CDP ，试判断EM 与DN 之间的位置关系，写出你的结论并证明.例八、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠BDE ＝∠BED ，∠CDF ＝∠CFD.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.例九、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠DBE ＝∠DEB ，∠DCF ＝∠DFC.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数. 【题型训练】1．如图1、图2是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完全打开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的5个锐角的度数均为( ). (A) 36° (B) 42° (C) 45° (D) 48° 2．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 上一点，DE ⊥BC 交AC 于点E ，DF ⊥AB ，垂足为F ，若∠AED=160°，则∠EDF 等于( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°3．如图，△ABC 中，∠B=∠C ，∠BAD=32°，∠ADE=∠AED ，则∠CDE= .N MPEDCBANMFE DCBANMFEDCBA4．已知△ABC中，∠ACB—∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于E，∠BAC的外角的平分线交BC的延长线于F，则△AEF的形状是 .5．如图，AB∥CD，∠A=∠C，AE⊥DE，∠D=130°，则∠B的度数为 . 6．如图：点D、E、F为△ABC三边上的点，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ．7．若一束光线经过三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中的字母表示相应的度数，若60+的值为，x的c=︒，∠P=110°，则d e值 .8．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点M，连接MD，且MD 恰好平分∠AMC，若∠MDC=45°，则∠BAD= ，∠ABC= .第四讲作业1.如图，已知△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是( ).(A)40° (B)60° (C)80°(D)120°2．如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF的大小为( ).(A)60°(B)75°(C)90°(D)105°3．如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为( ).(A)100°(B)90°(C)80°(D)70°4．已知，直线l1∥l2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( ).(A)30° (B)35° (C)40° (D)45°5．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°6．小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线m n，上，测得α∠=120°，则β∠的度数是( ).(A)45°(B)55°(C)65°(D)75°7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上的一点，DE‖AB,∠ADE=42°，则∠B的大小为( ).(A) 42° (B) 45° (C) 48° (D)58°8．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（）(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°9．如图，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是( ).(A)63° (B)83° (C)73° (D)53°10．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为．11．如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=70°，∠A=60°.（1）求∠EDC的度数；（2）求∠BDC度数.12．如图，∠DAB+∠D=180°，AC 平分∠DAB ，且∠CAD=25°，∠B=95°.(1)求∠DCA 的度数； (2)求∠FEA 的度数.13．如图，B 处在A 处的南偏西57°的方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C处在B 处的北偏东82°方向，求∠C 的度数.第五讲 专题一：三角形题型训练（二）知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°典型例题：1、已知ΔABC 的周长为10，且三边长为整数，求三边的长。
七升八暑期衔接班数学讲义(word版)
七升八暑期衔接班数学培优讲义目录1.第一讲：与三角形有关的线段；2.第二讲：与三角形有关的角；3.第三讲：与三角形有关的角度求和；4.第四讲：专题一：三角形题型训练(一)；5.第五讲：专题二：三角形题型训练(二)；6.第六讲：全等三角形；7.第七讲：全等三角形的判定（一）SAS；8.第八讲：全等三角形的判定（二）SSS，ASA，AAS；9.第九讲：全等三角形的判定（三）HL；10.第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11.第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练；12.第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理；13.第十三讲：轴对称；14.第十四讲：等腰三角形；15.第十五讲：等腰直角三角形；16.第十六讲：等边三角形（一）；17.第十七讲：等边三角形（二）;18.第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一）19.第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二）20.第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；CB A第 一 讲 与三角形有关的线段【知识要点】 一、三角形1．概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连. 2．几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形. 3．三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线. 二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形）()⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩不等边三角形腰底不相等的等腰三角形三角形等腰三角形腰底相等的等腰三角形等边三角形 三、三角形的三边关系(教具)引例：已知平面上有A 、B 、C 三点.根据下列线段的长度判断A 、B 、C 存在的位置情况： (1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (5)若AB=4，AC=6，BC=12，则A 、B 、C 存在的位置情况是： 总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围. 1．已知BC=a ，AC=b ，AB=c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ； （2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ； 2．已知BC=a ，AC=b ，AB=c ，且a ＜b ＜c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ； （2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ； 【新知讲授】例一、如图，在△ABC 中.①AD 为△ABC 的中线，则线段 = =21；②AE 为△ABC 的角平分线，则 = =21； ③AF 为△ABC 的高线，则 = =90°；④以AD 为边的三角形有 ；⑤∠AEC 是 的一个内角；是 的一个外角.例二、已知，如图，BD ⊥AC ，AE ⊥CG ，AF ⊥AC ，AG ⊥AB ，则△ABC 的BC 边上的高线是线段( ).(A)BD (B) AE (C) AF(D) AG 例三、（1）以下列各组长度的线段为边，能．构成三角形的是( ). (A)7cm ，5cm ，12cm (B)6cm ，8cm ，15cm(C)4cm ，6cm ，5cm (D)8cm ，4cm ，3cm （2）满足下列条件的三条线段不能．．组成三角形的是 .（a 、b 、c 均为正数） AB CD E FDEA BCFG①a=5，b=9，c=7； ②a ∶b ∶c=2∶3∶5； ③1，a ，b ，其中1+a ＞b ；④a ，b ，c ，其中a+b ＞c ； ⑤a+2，a+6，5； ⑥a ＜b ＜c ，其中a+b ＞c.例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x ，则x 的取值范围是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5，2x-1，则x 的取值范围是 . ②已知三角形的三边长分别为2，5，243x-，则x 的取值范围是 . ③已知三角形三边长分别为2，x ，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为( ). (A)2 (B)3(C)5(D)13④已知三角形的两边长分别为2，5，则三角形周长l 的取值范围是 .⑤已知一个三角形中两边长分别为a 、b ，且a ＞b ，那么这个三角形的周长l 的取值范围是 . (A)3b ＜l ＜3a (B)2a ＜l ＜2a+2b (C)a+2b ＜l ＜2a+b (D)a+2b ＜l ＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5，11-x ，3x-1.（1）则x 的取值范围是 ； （2）则它的周长l 的取值范围是 ； （3）若它是一个等腰三角形，则x 的值是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5-x ，x-1，则x 的取值范围是 .②已知三角形两边的长分别为3和7，则第三边a 的取值范围是 ；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共有 个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为 .③已知等腰三角形腰长为2， 则三角形底边a 的取值范围是 ；周长l 的取值范围是 . ④已知三角形三边的长a 、b 、c 是三个连续正整数，则它的周长l 的取值范围是 .若它的周长小于19，则满足条件的三角形共有 个.⑤若a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简||c b a -++|c b a --|的结果为( ). (A)2b (B)0 (C)2a (D)22a c -⑥已知在△ABC 中，AB=7，BC ∶AC=4∶3，则△ABC 的周长l 的取值范围为 . 【题型训练】1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ).(A)2cm ，3cm ，5cm (B)5cm ，6cm ，10cm (C)1cm ，1cm ，3cm (D)3cm ，4cm ，9cm2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶4∶5；⑤3∶3∶6.其中能组成三角形的有( ). (A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组 3．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）(A)中线 (B)角平分线 (C)高线 (D)角平分线或中线 4．已知三角形的三边长分别为6，7，x ，则x 的取值范围是( ).(A)2＜x ＜12 (B)1＜x ＜13 (C)6＜x ＜7 (D)1＜x ＜7 5．已知三角形的两边长分别为3和5，则周长l 的取值范围是( ).（A ）6＜l ＜15 （B ）6＜l ＜16 （C ）11＜l ＜13 （D ）10＜l ＜16 6．已知等腰三角形的两边长分别为5和11，则周长是( ).（A ）21 （B ）27 （C ）32 （D ）21或27 7．等腰三角形的底边长为8，则腰长a 的范围为 . 8．等腰三角形的腰长为8，则底边长a 的范围为 .9．等腰三角形的周长为8，则腰长a 的范围为 ；底边长b 的范围为 . 10．三角形的两边长分别为6，8，则周长l 的范围为 . 11．三角形的两边长分别为6，8，则最长边a 的范围为 . 12．等腰三角形的周长为14，一边长为3，则另两边长分别为 . 13．若a 、b 、c 分别为△ABC 的三边长，则｜a+b-c ｜-｜b-c-a ｜+｜c-b-a ｜= .DAB CD ABC IIICBDACBDAADB CIIICBAC BD A EA EDBECAAAD14．已知在ΔABC 中，AB=AC ，它的周长为16厘米，AC 边上的中线BD 把∆ABC 分成周长之差为4厘米的两个三角形，求∆ABC各边的长.15．等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，BD 为△ABC 的中线）把它的周长分为15厘米和6厘米两部分，求该三角形各边长.综合探究、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系 发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.A BCD I A B C DEIA BCI12CB AD A CB A FDH DAB C EHE D C B A第 二 讲 与三角形有关的角【知识要点】一、三角形按角分类:①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形； 二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠A+∠B+∠1=180°）； 三、三角形的内角和定理的推论：①直角三角形两锐角互余；②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠2=∠A+∠B ）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 四、n 边形的内角和定理：（n-2）×180°； 五、n 边形的外角和为360°. 【新知讲授】例一、①正方形的每个内角的度数为 ；正五边形的每个内角的度数为 ；正六边形的每个内角的度数为 ；正八边形的每个内角的度数为 ；正十边形的每个内角的度数为 ；正十二边形的每个内角的度数为 .②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的5倍，则它的边数是 . ③若一个正多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数是 .④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍°，则它的边数是 . 例二、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条高线BD 、CE 所在直线交于点H ，求∠BHC 的度数.例三、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条角平分线BD 、CE 交于点I ，求∠BIC 的度数.例四、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C ，∠B=∠D ，求证：AB ∥CD ，AD ∥BC.例五、如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，求证：∠BAD+∠EAF=180°.A B C D E IDABE F C D E A FC B 例六、如图，六边形ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A=∠D ，∠B=∠E ，求证：BC ∥EF.例七、如图，在凸六边形ABCDEF 中，∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E ，求证：BC ∥EF.【题型训练】1．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，求∠A.2．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC ，求∠A 的度数.3．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC=125°，∠E=40°，求∠BAC 的度数.4．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC 与∠E 互补，求∠BAC 的度数.ED C B AM EDC B AMEDCBAED C B AA BOD AE第二讲作业1．如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ).(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)锐角三角形(D)钝角三角形2.如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ).(A)∠A＞∠1＞∠2 (B)∠2＞∠1＞∠A(C)∠A＞∠2＞∠1 (D)∠2＞∠A＞∠13．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( ).(A) (B) (C) (D)4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ).A．75°B．90°C．105°D．120°5.在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠=( ).(A)30° (B)45° (C)60°(D)75°6．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度数为( ).(A)120° (B)180° (C)240° (D)300°7．如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2=( ).(A)360º (B)250º (C)180º (D)140º8．如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=( ).(A)150° (B)210° (C)105° (D)75°9．如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（）(A)40° (B)45° (C)50° (D)55°10．已知ΔABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角形( ).(A)一定有一个内角为45︒ (B)一定有一个内角为60︒(C)一定是直角三角形 (D)一定是钝角三角形11．将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为( ).(A)75° (B)95° (C)105° (D)120°12．若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是( ).(A)正十六形 (B)正十七形 (C)正十八边形 (D)正十九边形13．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为( ).(A)7 (B)8 (C)9 (D)1014. 已知：在△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)90°15．如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是 .16．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的两点，BE、CD相交于点F，∠A=62°，∠ACD=40°，∠ABE=20°，求∠BFC 的度数.αCB DA CB D A A DB C 17．如图，已知直线DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E 两点，交边BC 的延长线于点F ，若∠B =67°，∠ACB =74°，∠AED =48°，求∠BDF 的度数．第三讲：与三角形有关的角度求和【知识要点】1．与三角形有关的四个基本图及其演变； 2．星形图形的角度求和. 【新知讲授】例一、如图，直接写出∠D 与∠A 、∠B 、∠C 之间的数量关系. 箭形： ；蝶形： ；四边形： . 请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）：例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；A B C I ABCDIIIICBDACBDAADB CIIICBAC BD A EA EDBECI I I C BD A CBA E A E DB FD E F F C A3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系 发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.例四、如图，在△ABC 中， BP 、BQ 三等分∠ABC ，CP 、CQ 三等分∠ACB.（1）若∠A=60°，直接写出：∠BPC 的度数为 ，∠BQC 的度数为 ；（2）连接PQ 并延长交BC 于点D ，若∠BQD=63°，∠CQD=80°，求△ABC 三个内角的度数.A B CD EBA MECD OD BCEADBCF E A例五、如图，BD 、CE 交于点M ，OB 平分∠ABD ，OC 平分∠ACE ，OD 平分∠ADB ，OE 平分∠AEC ，求证：∠BOE=∠COD ；【题型训练】1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数和.2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= . ④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ⑦如图，BC ⊥EF ，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.CBDAFE第三讲作业1．如图，B岛在A岛的南偏西30°，A岛在C岛的北偏西35°，B岛在C岛的北偏西78°，则从B岛看A、C两岛的视角∠ABC 的度数为( ).(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°2．如图，D、E分别是AB、AC上一点，BE、CD相交于点F，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠A等于( ).(A)50° (B)85° (C)70° (D)60°3．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠ 的度数是( ).(A)75° (B)60° (C)65° (D)55°4．如图，在△ABC中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD平分∠ABC交AC于点D，AF∥BC，交BD的延长线于点F，AE平分∠CAF交DF于E点.我们定义：在一个三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有( ).(A)8个 (B)7个 (C)6个 (D)5个5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D的度数是( ).(A)35° (B)45° (C)55° (D)65°6．如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，则∠BOD=( ).(A)40° (B)60° (C)70° (D)80°7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠2= ．8.如图，在△ABC中，∠A=80°，点D为边BC延长线上的一点，∠ACD=150°，则∠B= .9．将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 .10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．若∠ADF=100°，则∠BMD为．O 2O 1A BC 图1CB A 图2图3OO 1O 2O n-111．如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=______.12．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，如此下去，∠A n ﹣1BC 的平分线与∠A n ﹣1CD 的平分线交于点n A ．设∠A=θ．则∠A 1= ；n A = ．13．已知：如图1，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则1902BOC A ∠=︒+∠1118022A =⨯︒+∠；如图2，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的两条三等分角线分别对应交于点1O 、2O ，则12118033BOC A ∠=⨯︒+∠，21218033BO C A ∠=⨯︒+∠；……；根据以上阅读理解，当n 等分角时，内部有1n -个交点，你以猜想1n BO C -∠=( ).(A)21180A n n ⨯︒+∠ (B)12180A n n ⨯︒+∠(C)118011n A n n ⨯︒+∠--(D)11180n A n n-⨯︒+∠14．在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，BE 平分∠ABC ，求∠DBE 度数.第 四 讲 专题一：三角形题型训练（一）【知识要点】平行线、三角形内角和的综合运用 【新知讲授】例一、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC ，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例二、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例三、 如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC 的外角，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例四、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例五、如图，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC 的的外角，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论. FED C BAMEDBAFNME DCBA EDCBA例六、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例七、如图，△ABC 中，P 为BC 边上任一点，PD ∥AB ，PE ∥AC.（1）若∠A=60°，求∠DPE 的度数；（2）若EM 平分∠BEP ，DN 平分∠CDP ，试判断EM 与DN 之间的位置关系，写出你的结论并证明.例八、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠BDE ＝∠BED ，∠CDF ＝∠CFD.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.例九、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠DBE ＝∠DEB ，∠DCF ＝∠DFC.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.【题型训练】 1．如图1、图2是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完全打开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的5个锐角的度数均为( ).(A) 36° (B) 42° (C) 45° (D) 48°2．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 上一点，DE ⊥BC 交AC 于点E ，DF ⊥AB ，垂足为F ，若∠AED=160°，则∠EDF 等于( ). (A)50° (B)60° (C)70° (D)80°3．如图，△ABC 中，∠B=∠C ，∠BAD=32°，∠ADE=∠AED ，则∠CDE= . NME D CBA NMPEDCBANMFEDCBAN M FED C B AA DCMBBD A ECDB AC E F4．已知△ABC 中，∠ACB—∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于E ，∠BAC 的外角的平分线交BC 的延长线于F ，则△AEF 的形状是 . 5．如图，AB ∥CD ，∠A=∠C ，AE ⊥DE ，∠D=130°，则∠B 的度数为 .6．如图：点D 、E 、F 为△ABC 三边上的点，则∠1 +∠2 +∠3+∠4 +∠5 +∠6 = ．7．若一束光线经过三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中的字母表示相应的度数，若60c =︒，∠P=110°，则d e +的值为 ，x 的值 .8．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交边BC 于点M ，连接MD ，且MD 恰好平分∠AMC ，若∠MDC=45°，则∠BAD= ，∠ABC= .第 四 讲 作 业1.如图，已知△ABC 的三个顶点分别在直线a 、b 上，且a ∥b ，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是( ). (A)40° (B)60° (C)80° (D)120°2．如图，BD ∥EF ，AE 与BD 交于点C ，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF 的大小为( ). (A)60° (B)75° (C)90° (D)105°3．如图，已知D 、E 在△ABC 的边上，DE ∥BC ，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为( ). (A)100° (B)90° (C)80° (D)70°4．已知，直线l 1∥l 2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( ). (A)30° (B)35° (C)40° (D)45°5．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a 上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°6．小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线上，测得α∠=120°，则的度数是( ). (A)45° (B)55° (C)65° (D)75°m n ，β∠7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上的一点，DE‖AB,∠ADE=42°，则∠B的大小为( ).(A) 42° (B) 45° (C) 48° (D)58°8．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（）(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°9．如图，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是( ).(A)63° (B)83° (C)73° (D)53°10．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为．11．如图，已知DE∥BC ，CD是∠ACB的平分线，∠B=70°，∠A=60°.（1）求∠EDC的度数；（2）求∠BDC度数.12．如图，∠DAB+∠D=180°，AC平分∠DAB，且∠CAD=25°，∠B=95°.(1)求∠DCA的度数；(2)求∠FEA的度数.13．如图，B处在A处的南偏西57°的方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东82°方向，求∠C的度数.北南ABC第五讲专题一：三角形题型训练（二）知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°典型例题：1、已知ΔABC的周长为10，且三边长为整数，求三边的长。
七升八暑假数学衔接学习讲义
1. 定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形.观察右面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？2. 由全等图形类比得出：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
比如，在图中，△ABC与△DEF能够完全重合，它们是全等的。
其中顶点A，D重合，它们是对应顶点；AB边与DE边重合，它们是对应边；A与 D 重合，它们是对应角.△ABC与△ DEF全等，我们把它记作“△ABC≌△DEF”.记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.A D A(D)B C E F B(E) C(F)一、图形的全等观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？全等三角形的对应边全等三角形的对应边上的中线形的周长，面积几何语言：，对应角。
，对应边上的高，对应角的角平分线；全等三角∵△ ABC≌△ DEF （已知）∴AB= ，AC= ，BC= （）∠A= , ∠C=，∠B= .（）练习：1．如图6，△ABC≌△AEC，∠B=75°, ∠ACB=55°, 求出△AEC各内角的度数。
解： ABEC( 图6)2．如图7，△ ABD≌△ EBC，AB=3 cm，AC=8 cm，求DE的长。
D解：E3. 判断：A B C(图7)○1 全等三角形的边相等，角相等，中线相等，角平分线相等.（）○2 全等三角形的周长相等.（）○3 周长相等的两个三角形是全等三角形.（）○4 全等三角形的面积相等.（）CBD5.如图 3，已知 CD ⊥ AB 于 D ， BE ⊥ AC 于 E,△ ABE ≌△ ACD ，∠ C=20°, AB=10，AD=4， G 为 AB 延长线上的一点，求∠ ABE 的度数和 CE 的长 .CEFA二、三角形的判定定理：边角边公理DB G定理： 两个三角形的两组对应边相等且它们的夹角相等，那么这两个三角形全等，简记为 " 边角边 " ，符号表示： "SAS"例 1. 下列哪组三角形能完全重合（全等）？例 2. 如图，在△ ABC 和△ A ′ B ′C ′中，已知 AB ＝ A ′ B ′，∠ B ＝∠ B ′， BC ＝ B ′ C ′．这两个三角形全等吗 ?○5 面积相等的两个三角形是全等三角形 .（ ）4. 填空：如图所示，已知△AOB ≌△ COD ，∠ C=∠ A,AB=CD ,则另外两组对应边为，另外两组对应角为。
七年级升八年级数学 暑期衔接班讲义 第六讲 全等三角形 新人教版
ADB C E FOA DEB CF平移型对称型第 五 讲 全等三角形【知识要点】1．全等三角形的定义：（1）操作方式：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形； （2）几何描述：大小、形状完全相同的两个三角形叫全等三角形；（几何中就是借助于边、角以及其它可度量的几何量来描述几何图形的大小和形状）2．全等三角形的几何表示：如图，△ABC ≌△DEF ；（注意对应点、对应边、对应角） 3．全等的性质：（求证线段相等、求证角相等的常规思维方法） 性质1：全等三角形对应边相等； 性质2：全等三角形对应角相等； 几何语言 ∵△ABC ≌△DEF∴AB=DE ；AC=DF ，BC=EF ；∠A=∠D ，∠B=∠E ，∠C=∠F. 性质3：全等三角形的对应边上的高、对应角平分线、对应边上的中线相等 性质4：全等三角形的周长、面积相等 4.三角形全等的常见基本图形【新知讲授】例1．如图，△OAB ≌△OCD ，AB ∥EF ，求证：CD ∥EF.巩固练习：已知△ABC ≌△DEF ，且∠B ＝700，∠F －∠D ＝600，求△DEF 各内角的度数。
例2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE交于点F，△ADC ≌△BDF.（1）∠C=50°，求∠ABE的度数.（2）若去掉原题条件“AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E”，仅保持“△ADC≌△BDF”不变，试问：你能证明：“AD⊥BC于点D，BE⊥AC”吗？巩固练习：1．如图，△ABC≌△ADE，延长边BC交DA于点F，交DE于点G.（1）求证：∠DGB=∠CAE；（2）若∠ACB=105°，∠CAD=10°，∠ABC=25°，求∠DGB的度数.2．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCDE内部的点F处.（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）（3）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律.3．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′.（1）图中有全等三角形吗？请写出来；（2）图中有等腰三角形吗？请写出来；（3）延长A A′、B B′交于点P，求证：∠P=∠AOB.AD BCE例3.如图，△ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 上的一点，若△ABD ≌△EBD ，AB=8，AC=6，BC=10.（1）求CE 的长； （2）求△DEC 的周长.巩固练习:1.如图，将△ABC 沿直线l 向右平移得到△DEF. （1）图中有全等三角形吗？请写出来； （2）图中有平行线吗？请写出来；（3）请补充一个条件，使得AF=3CD ，并你的理由.2．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，将Rt △ABC 沿DE 折叠，使A 点与B 点重合，折痕为DE. （1）图中有全等三角形吗？请写出来； （2）若∠A=35°，求∠CBD 的度数；（3）若AC=4，BC=3，AB=5，求△BCD 的周长.3．如图，在△ABC 中，△BDF ≌△ADC. （1）求证：BE ⊥AC ；（2）若BD=5，CD=2，求△ABF 的面积.例4．如图，△ABF ≌△CDE.（1）求证：AB ∥CD ；AF ∥CE ；（2）若△AEF ≌△CFE ，求证：∠BAE=∠DCF ；（3）在（2）的条件下，若∠B=35°，∠CED=30°，∠DCF=20°，求∠EAF 的度数.【课后练习】 一、选择题1．小明去照相复印社，用一张A4的底稿复印了两张A4和两张B4的复印件，下列说法：①A4的底稿和A4的复印件是全等形；②A4的底稿和B4的复印件是全等形；③两张A4的复印件之间是全等形；④两张B4的复印件之间是全等形，其中正确结论的个数是( ).（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 2．下面结论是错误的是（ ）.（A ）全等三角形对应角所对的边是对应边 （B ）全等三角形两条对应边所夹的角是对应角 （C ）全等三角形是一个特殊的三角形（D ）如果两个三角形都与另一个三角形全等，那么这两个三角形全等 3．如图，△ABC ≌△AEF ，则下列结论中不一定成立的是( ).（A ）AC=AF （B ）∠EAB=∠FAC （C ）EF=BC （D ）EF 平分∠AFB4．如图，已知△ABC ≌△DEF ，AB=DE ，AC=DF ，则下列结论：①BC=EF ；②∠A=∠D ；③∠ACB=∠DEF ；④BE=CF ，其中正确结论的个数是（ ）.（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 5．如图，△ABD ≌△EFC ，AB=EF ，∠A=∠E ，AD=EC ，若BD=5，DF=2.2则CD=（ ）. （A ）2.2 （B ）2.8 （C ）3.4 （D ）4（第3题图） （第4题图） （第5题图） 6.如图，已知△ABD≌△ACD，下列结论：①△ABC 为等腰三角形；②AD 平分∠BAC ；③AD ⊥BC ；④AD=BC.AEF CAAF其中正确结论的个数是( ).(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 二、填空题7．已知：如图，△ACD ≌△AEB ，其中CD=EB ，AB=AD ，则∠ADC 的对边是 ，AC 的对应边是 ，∠C 的对应角是 .8．如图，已知△ABD ≌△DCA ，AB 的对应边是DC ，AD 的对应边是 ，∠BAD 的对应角是 ，AB 与CD 的位置关系是 .9．如图，若△OAD ≌△OBC ，且∠O=65°，∠C=20°则∠OAD= ．（第7题图） （第8题图） （第9题图）10．将一个无盖正方体纸盒展开（如图①），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片） 拼成一个正方形（如图②）。
北师版七升八数学暑假衔接班补课讲义
（2）（3x－1）2＝（－5）2．
3．求下列各式的值：
（1） (12)2 52 ；
（2） (7)2 ；
3
B组
一.填空题
1. 若 a2 (5)2 , b 5 ，则 a b 的所有可能值为 ________.
2. 若 (a 1)2 b 1 0 ，则 a b ______________ .
(2) (3 a )3 a
(3) (3 a3 ) a
D、 a 1
8、若 m 2 3 ，且 m 为任意一个数，则 m 等于（ ）
A、1
B、-5
C、5
D、1 或-5
9、当-1<x<2 时，化简 (x 1)2 (x 2)2
10、若 9 m2 m2 9 3 n ，求 m+n 的值。 m3
11、若 a、b、c、d 是不相等的整数，且 abcd=9,求 a b c d 的值。
12、已知 2a-1 的平方根是±3，3a+b-1 的平方根是±4，求 a+2b 的平方根。
反馈栏
家长签字
家长意见及建议
5
第二讲 立方根
一、【基础知识精讲】
1. 立方根的概念：若 x3 a ，则 x 叫做 a 的立方根；记作 3 a
2．立方根的性质： (1) 正数有一个立方根，仍为正数.
如：8 的立方根是 2，记作 3 8 2 ；
初一升初二暑假讲义目录
第一讲 无理数与平方根 第二讲 立方根 第三讲 实数 第四讲 实数的运算 第五讲 探索勾股定理 第六讲 能得到直角三角形吗 第七讲 蚂蚁怎样走最近 第八讲 图形的平移 第九讲 图形的旋转 第十讲 平行四边形的性质 第十一讲 平行四边形的判定 第十二讲 菱形 第十三讲 矩形、正方形 第十四讲 几种特殊平行四边形的关系 第十五讲 梯形 第十六讲 多边形的内角和与外角和 第十七讲 中心对称图形
七年级升八年级数学 暑期衔接班讲义 第十三讲 轴对称 新人教版
E D CA B M NF CAPQB M第十三讲：轴对称第一局部【能力提高】一、 上图中的图形都是轴对称图形，请你试着画出它们的对称轴．二、如图，△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，BC 与DE 的交点F 在直线MN 上．• ①指出两个三角形中的对称点；②图中还有对称的三角形吗？三、如等腰三角形ABC ，AB 边的垂直平分线交AC 于D ，AB=AC=8，BC=6，求△BDC 周长．四、三角形三边垂直平分线的必交于一点.如图，在△ABC 中，边AB 和AC 的垂直平分线MP 、MQ 交于点M ，求证：M 必在线段BC 的垂直平分线上.五、如以下列图小河边有两个村庄，要在河对岸建一自来水厂向A 村与B 村供水，•要符合条件：〔1〕假设要使厂部到A 、B 的距离相等，那么应选在哪儿？〔2〕假设要使厂部到A 村、B 村的水管最省料，应建在什么地方？AHPCQBCAP QD BM第二局部【综合运用】六、〔1〕在图中所示编号为①、②、③、④的四个三角形中，关于y 轴对称的两个三角形的编号为 ；关于x 轴对称的两个三角形的编号为 ；〔2〕在图4中，画出与△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1七、如图，AM 平分∠PAQ ，B 为AM 上任一点，BC ⊥AP 于点C ，BD ⊥AQ 于点Q ，求证：AB 垂直平分线段CD.八、如图，△ABC 中，∠BAC 的平分线交边BC 的垂直平分线PQ 于点P.〔1〕求证：AB-AC=2BH ；〔2〕求AB ACAH的值.AFEDCB第 13 讲 作 业一．选择题1．国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴对称图形的是( ). (A)加拿大、哥斯达黎加、乌拉圭 (B)加拿大、瑞典、澳大利亚 (C)加拿大、瑞典、瑞士 (D)乌拉圭、瑞典、瑞士加拿大 哥斯达黎加 澳大利亚 乌拉圭 瑞典 瑞士2．对称现象无处不在，请你观察下面的四个图形，它们表达了中华民族的传统文化，其中，可以看作是轴对称图形的有( ). (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 3．以下列图形中，不是轴对称图形的是( ).(A)一条线段 (B)两条相交的直线(C)有公共端点的两条相等的线段 (D)有公共端点的两条不相等的线段 4．以下列图形中，不是轴对称图形的是( ).(A)平行四边形 (B)长方形 (C)正方形 (D)圆 5．以下说法错误的选项是 〔 〕(A)关于某条直线对称的两个三角形一定全等 (B)轴对称图形至少有一条对称轴 (C)全等三角形一定能关于某条直线对称 (D)角是关于它的平分线对称的图形 6. 以下命题中，不正确的选项是( ). (A)关于直线对称的两个三角形一定全等.(B)两个大小一样的圆形纸片随意平放在水平桌面上构成轴对称图形. (C)假设两图形关于直线对称，那么对称轴是对应点所连线段的垂直平分线. (D)等腰三角形一边上的高、中线及这边对角平分线重台. 7．图中是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影 局局部别表示四个入球孔.如果一个球按图中所示的方向被击出〔球 可以经过屡次反射〕，那么该球最后将落入的球袋是( ). (A)1 号袋 (B)2 号袋 (A)3 号袋 (D)4 号袋 8.在平面直角坐标系中，点(3，4)关于x 轴对称点的坐标是( ).(A)(4，3) (B)(3，-4) (C)(-3， 4) (D)(-3，-4)9．如图,六边形ABCDEF 是轴对称图形,CF 所在的直线是它的对称轴，假设∠AFC+∠BCF=150°，那么∠AFE+∠BCD 的大小是( ). (A)150° (B)300° (C)210° (D)330°41号袋E D C B A 1E 2F D C B A10．以下列图形中，△A ’B ’C ’与△ABC 关于直线MN 成轴对称的是( ).11．在平面直角坐标系中，将点A 〔1，2〕的横坐标乘以-1，纵坐标不变，得到点A '，那么点A 与点A '的关系是( ).(A)关于x 轴对称 (B)关于y 轴对称(C)关于原点对称 (D)将点A 向x 轴负方向平移一个单位得点A ' 12．如图，Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，AC=5，将△ABC 折叠，使点C 与A 重合，得折痕DE ，那么△ABE 的周长等于( ).(A)9cm (B)8cm (C)7cm (D)1213．如图，是用平行四边形纸条沿对边AB 、CD 的中点E 、F 所在直线折成的V 字形图案，图中∠1=68°，那么∠2的度数为( ).(A)56° (B)44° (C)68° (D)52°14．如图，是一个风筝的图案，它是轴对称图形，量得∠AEB=140°，AC ⊥AE ，∠C=60°，那么∠CFD 的度数为( ).(A)140° (B)150° (C)160° (D)170° 15．如图，把矩形ABCD 沿EF 对折，假设∠1=50°，那么∠AEF 等于( ).(A)115°(B)130°(C)120°(D)65° 16如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，假设∠BAD ′=20°，那么∠CED ′等于( ).(A)40°(B)50° (C)60°(D)70°17．图，将五边形ABCDE 按如图方式折叠，折痕为AF ，点E 、D 分别落在点E '、D '.∠AFC=76°，那么∠CFD '等于〔 〕.(A)31° (B)28° (C)24° (D)22°FE D C BA FE'D'EDCBACD E B A18．把一个图形先沿着一条直线进展轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．．．．．．．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换〔如图1〕．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换．．．．．．过程中，两个对应三角形〔如图2〕的对应点所具有的性质是( ). (A)对应点连线与对称轴垂直 (B)对应点连线被对称轴平分(C)对应点连线被对称轴垂直平分 (D)对应点连线互相平行二．填空题19.把一个图形沿某一条直线_________，如果它能够与另一个图形________，•那么就说这两个图形关于这条直线____________．20. 角的对称轴是 .线段是轴对称图形，有 条对称轴，对称轴是 .21.如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的局部能够互相重合，这个图形就叫做__________． 22.如图，在△ABC 中，AC ＝8cm ，ED 垂直平分AB ，假设△EBC 的 周长是14cm ，那么BC 的长度为 。
初一升初二暑假衔接班数学教材(共15讲)
目录第一部分——温故知新专题一整式运算 (1)专题二乘法公式 (3)专题三平行线的性质与判定 (9)专题四三角形的基本性质 (11)专题五全等三角形 (14)专题六如何做几何证明题 (17)专题七轴对称 (22)第二部分——提前学习专题一勾股定理 (25)专题二平方根与算数平方根 (29)专题三立方根 (32)专题四平方根与立方根的应用 (35)专题五实数的分类 (39)专题六最简二次根式及分母有理化 (42)专题七非负数的性质及应用 (46)专题八二次根式的复习 (49)第一部分——温故知新专题一 整式运算1.由数字与字母 组成的代数式叫做单项式。
单独一个数或字母也是单项式。
单项式中的 叫做单项式的系数单项式中所有字母的 叫做单项式的次数 2.几个单项式的和叫做多项式多项式中 叫做这个多项式的次数 3.单项式和多项式统称为4.整式加减实质就是 后5.同底数幂乘法法则：nm n m a a a +=·（m .n 都是正整数）；逆运算=+nm a6.幂的乘方法则：()=nma （m .n 都是正整数）；逆运算=mna 7.积的乘方法则：()=nab （n 为正整数）；逆运算=nnb a8.同底数幂除法法则：nm n m a a a -=÷（a ≠0，m .n 都是正整数）；逆运算=-nm a9.零指数的意义：()010≠=a a ；10.负指数的意义：()为正整数p a aap p,01≠=- 11.整式乘法：（1）单项式乘以单项式；（2）单项式乘以多项式；（3）多项式乘以多项式 12.整式除法：（1）单项式除以单项式；（2）多项式除以单项式知识点1.单项式多项式的相关概念归纳：在准确记忆基本概念的基础上，加强对概念的理解，并灵活的运用 例1.下列说法正确的是（ ）A ．没有加减运算的式子叫单项式B .35abπ-的系数是35-C .单项式－1的次数是0D .3222+-ab b a 是二次三项式 例2.如果多项式()1132+---x n xm 是关于x 的二次二项式，求m ，n 的值知识点2.整式加减归纳：正确掌握去括号的法则，合并同类项的法则 例3.多项式()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--8313322xy y kxy x 中不含xy 项，求k 的值知识点3.幂的运算归纳：幂的运算一般情况下，考题的类型均以运算法则的逆运算为主，加强对幂的逆运算的练习，是解决这类题型的核心方法。
七升八数学衔接讲义
七升八数学衔接讲义第一讲与三角形有关的线段知识点1、三角形的概念☑ 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
☑ 三角形的表示方法 三角形用符号“△〞表示，顶点是A,B,C 的三角形，记作“△ABC 〞 三角形ABC 用符号表示为△ABC 。
三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示. 知识点2、三角形的三边关系【探究】任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？☑ 三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为a+b ＞c ，b+c ＞a ，a+c ＞b拓展：a+b ＞c ，根据不等式的性质得c-b ＜a ，即两边之差小于第三边。
即a-b ＜c ＜a+b 〔三角形的任意一边小于另二边和，大于另二边差〕 【练习1】一个三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，那么此三角形的第三边的长可能是〔 〕 A ．3cmB ．4cmC ．7cmD ．11cm【练习2】有以下长度的三条线段能否组成三角形？为什么？(1)3，5，8； (2)5，6，10； (3)5，6，7. (4)5,6,12【辨析】有三条线段a 、b 、c ，a+b ＞c ，扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗？为什么？【小结】三角形的两边之和是指任意两边之和【例1】用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。
〔1〕如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？〔2〕能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？知识点3 三角形的三条重要线段 ☑ 三角形的高(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高〔简称三角形的高〕 (2)高的表达方法 AD 是△ABC 的高 AD ⊥BC ，垂足为D点D 在BC 上，且∠BDA=∠CDA=90度[练习]画出①、②、③三个△ABC 各边的高,并说明是哪条边的高.abc (1)CB A A A A①②③AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ BC 边上的高是_________ BC 边上的高是_________ BC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ [辨析] 高与垂线有区别吗？_____________________________________________[探究] 画出图1中三角形ABC 三条边上的高，看看有什么发现？如果△ABC 是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？试着画一画【结论】________________________________________ ☑ 三角形的中线〔1〕定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线 [练习]画出①、②、③三个△ABC 各边的中线,并说明是哪条边的中线.①②③AB 边上的中线是线段____ AB 边上的中线是线段____ AB 边上的中线是线段____ BC 边上的中线是_________ BC 边上的中线是_________ BC 边上的中线是_________ AC 边上的中线是________ AC 边上的中线是_________ AC 边上的中线是_________ 图中有相等关系的线段：___________________________________________________[探究1]观察△ABC 的三条边上的中线，看看有什么发现？如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？【结论】_________________________________[探究2]如图，AD 为三角形ABC 的中线，△ABD 和△ACD 的面积相比有何关系？【结论】__________________________________________ 【例2】如图，△ABC 的周长为16厘米，AD 是BC 边上的中线，AD=45AB ，AD=4厘米，△ABD 的周长是12厘米，求△ABC 各边的长。
七升八数学暑假衔接
七升八数学暑假讲义目录第一讲相交线与平行线的相关概念第二讲直线相交时有关角的求法第三讲相交线与平行线中的拐角问题第四讲相交线与平行线中的折叠问题第五讲平面直角坐标系中的相关结论第六讲图形的平移及点的坐标的变化第七讲实数中分类讨论的数学思想第八讲实数中数形结合的数学思想第九讲实数中整体代入的数学思想第十讲方程组的解法（代入、加减）第十一讲用二元一次方程组解应用题第十二讲不等式的解及不等式的解集第十三讲实际问题与一元一次不等式组第十四讲抽样调查与频数分布直方图第一讲：相交线与平行线的相关概念一、知识框架二、典型例题1.下列说确的有( )①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图所示,下列说法不正确的是( )A.点B到AC的垂线段是线段AB;B.点C到AB的垂线段是线段ACC.线段AD是点D到BC的垂线段;D.线段BD是点B到AD的垂线段3.下列说确的有( )①在平面,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;②在平面,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;③在平面,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;④在平面,有且只有一条直线垂直于已知直线.A.1个B.2个C.3个D.4个4．一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）A. 第一次向左拐30°第二次向右拐30°B. 第一次向右拐50°第二次向左拐130°C. 第一次向右拐50°第二次向右拐130°D. 第一次向左拐50°第二次向左拐130°5．6．如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于E,F,EG•平分∠BEF,若∠1=72°, 则∠2=_________.7．如图,AB∥EF∥CD,EG∥BD,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( ) •A.6个 B.5个 C.4个 D.3个8．如图，直线l1、l2、l3交于O点，图中出现了几对对顶角，若n条直线相交呢？10. 如图所示,L1,L2,L3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.( 方程思想)11．如图所示,已知AB∥CD,分别探索下列四个图形中∠P与∠A,∠C的关系,•请你证明所得的四个关系.(1) (2) (3) (4)12．如图，若AB//EF，∠C= 90°，求x+y-z 度数.分析：如图，添加辅助线A B1 EF 2 CPD证出：x+y-z=90°13．已知：如图，∠+∠=∠=∠BAP APD 18012， 求证：∠=∠E F第二讲：平面直角坐标系一、知识要点：1、特殊位置的点的特征（1）各个象限的点的横、纵坐标符号（2）坐标轴上的点的坐标：x 轴上的点的坐标为)0,(x ,即纵坐标为0;y 轴上的点的坐标为),0(y ，即横坐标为0;2、具有特殊位置的点的坐标特征 设),(111y x P 、),(222y x P1P 、2P 两点关于x 轴对称⇔21x x =，且21y y -=; 1P 、2P 两点关于y 轴对称⇔21x x -=，且21y y =; 1P 、2P 两点关于原点轴对称⇔21x x -=，且21y y -=。
七升八数学暑假衔接讲义
三角形第一讲与三角形有关的线段1.定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.2.三角形三边的不等关系三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。
3.三角形的高：从三角形的向它的作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,〔注意八字形〕注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
三角形的三条高相交于一点。
．．．．．．．．．．．．．4.三角形的中线：三角的三条中线相交于一点。
〔三角形中线分三角形面积相等的两个三角形〕5.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，与之间的线段,叫做三角形的角平分线.三角形三个角的平分线相交于一点．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6.三角形的稳定性:例1.一个等腰三角形的周长为32 cm，腰长的3倍比底边长的2倍多6 cm.求各边长.例2.：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC的各边的长。
例3.△ABC的周长是24cm，三边a、b、c满足c+a=2b，c-a=4cm，求a、b、c的长.例4.等腰三角形的周长是16cm．〔1〕假设其中一边长为4cm，求另外两边的长；〔2〕假设其中一边长为6cm，求另外两边长；〔3〕假设三边长都是整数，求三角形各边的长．例5.等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角形各边的长。
七升八数学暑假衔接讲义
三角形第一讲与三角形有关的线段1.定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.2.三角形三边的不等关系三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。
3.三角形的高：从三角形的向它的作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,（注意八字形）注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
三角形的三条高相交于一点。
．．．．．．．．．．．．．4.三角形的中线：三角的三条中线相交于一点。
（三角形中线分三角形面积相等的两个三角形）5.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，与之间的线段,叫做三角形的角平分线.三角形三个角的平分线相交于一点．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6.三角形的稳定性:例1.一个等腰三角形的周长为32 cm，腰长的3倍比底边长的2倍多6 cm.求各边长.例2.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC 的各边的长。
例3.已知△ABC的周长是24cm，三边a、b、c满足c+a=2b，c-a=4cm，求a、b、c的长.例4.已知等腰三角形的周长是16cm．（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．例5.已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角形各边的长。
初一升初二暑假数学教材讲义
第1讲 平方根 月 日 姓名：【学习目标】1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示；2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。
【知识要点】1、算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做的算 术平方根，记作“a ” ，读作“根号a ”。
注意：（1）规定0的算术平方根为0，即00=；（2）负数没有算术平方根，也就是a 有意义时，a 一定表示一个非负数；（3）a 0≥（0≥a ）。
2、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫二次方根）。
注意：（1）一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ” ，另外一个是“-a ”,读作“负根号a ” ，它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，是它本身；（3）负数没有平方根。
3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。
其中a 叫做被开方数。
⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a ()a a =2()0≥a观察二者的特征，注意他们的区别与联系。
【典型例题】例1、 求下列各数的算术平方根与平方根（1）25 （2）100 （3）1（4）0 （5）94 （6）7例2、 计算（1）81 （2）41 （3）-169例3、计算（1）()264 （2）24925⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（3）()22.7 （4）()22-（5）2544369++ （6）416925-⨯例4、当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是多少？【经典练习】1、求下列各数的算术平方根和平方根（1）16 （2）225121 （3）12（4）0.01 （5）()25-2、计算（1）28116⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （2）()25.0-（3）146449+ （4）41225.0+⨯3、判断 （1）－52的平方根为－5 （ ）（2）正数的平方根有两个，它们是互为相反数 （ ）（3）0和负数没有平方根 （ ）（4）4是2的算术平方根 （ ） （5）9的平方根是±3 （ ） （6）因为161的平方根是±41,所以161=±41 （ ） 4、121---x x 有意义，则x 的范围___________5、如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ）A.a 2=±mB.a =±m 2C.a =±mD.±a =±m【课后作业】1、下列各数中没有平方根的数是（ ）A.－(－2)3B.3－3C.a0 D.－（a 2+1） 2、2a 等于（ ）A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对3、若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ）A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a 4、当x ___________时，x 31-是二次根式． 5、要使21-+x x 有意义，则x 的范围为___________ 6、计算 （1）- 16964 （2）2243+记一记100102= 121112= 144122= 169132=196142= 225152= 256162= 289172=324182= 361192= 400202= 625252=第6讲 立方根 月 日 姓名：【学习目标】1. 掌握立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根。
七年级升八年级数学暑期衔接班讲义第十八讲第十九讲专题六等等腰三
AEDCB ACB 第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用〔拔高〕第一局部【才能进步】一、如图，BD ＝CD ，∠B ＝∠C ，求证：AD 平分∠BAC.二、如图，Rt △ABC ，∠C ＝90°，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，连结BD ，BD 平分∠ABC.〔1〕求证：△ADE ≌△BDC ；〔2〕求∠A 的度数.三、如图，在△ABC 中，AB=2BC ，∠B=2∠A ，求证：△ABC 为直角三角形.四、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，F 为AC 上一点，DF=DB ，求证：CF=BE.DCBAFDC第二局部【综合运用】五、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，D 是斜边AB 上任意一点，AE ⊥CD 于点E ，BF⊥CD 交CD 的延长线于点F ，CH ⊥AB 于点H ，交AE 于点G ，求证：BD=CG.六、如图，在△ABC 中， ∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线PQ 相交于点P ，过点P 分别作AB 、AC(或者它们的延长线)的垂线， 垂足分别为N 、M ， 求证：BN=CM.HGF E DC BAQP NM CBABCEDA45F七．如图，△ABC 中，∠A=50°，AB ＞AC ，D 、E 分别在AB 、AC 上，且BD=CE ，∠BCD=∠CBE ，假设BE 、CD 相交于O 点，求∠BOC 的度数.八、如图，AB ⊥BC ，EC ⊥BC ，D 在BC 上，AD=DE ，AB=a ，CE=b ，∠ADB=75°，∠EDC=45°，求BD 的长.〔用含a 、b 的代数式表示〕九、如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 上的两点，∠EAF=45°. 〔1〕求证：BE+DF=EF ；〔假设正方形的连长为a ，那么△CEF 的周长等于2a 〕〔2〕求证：AE 平分∠BEF ；AF 平分∠DFE ； 〔3〕作AH ⊥EF ，求证：AH=AB.ABCDEABCDEOBCHEDAFBDPPB十、如图，正方形ABCD 中，E 为BC 边上一点，沿直线AE 折叠正方形ABCD ，使点B 落在形内的点H ，延长EH 交CD 于点F. 〔1〕求证：∠EAF=45°；〔2〕求证：BE+DF=EF ； 〔3〕求证：AF 平分∠DFE.十一、探究与猜测：〔1〕如图1，等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE ，∠ACB=∠ADE=90°，D 点在AB 上，E点在AC 上，P 为BE 的中点，那么线段PD 、PC 是否存在某种确定的数量关系和位置关系？请写出你的结论〔不需要证明〕；〔2〕假设将图1中的等腰Rt △ADE 绕A 点逆时针旋转45°得到图2〔此时点E 在AB上〕，其它条件不变，试问：线段PD 、PC 是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明；图3AE〔3〕假设将图1中的等腰Rt △ADE 绕A 点顺时针任意旋转一个角度得到图3〔此时点E 在AC 的下方〕，其它条件不变，试问：线段PD 、PC 是否存在某种确定的数量关系和位置关系？请你完成图3。
七升八数学暑假衔接
七升八数学暑假讲义目录第一讲相交线与平行线的相关概念第二讲直线相交时有关角的求法第三讲相交线与平行线中的拐角问题第四讲相交线与平行线中的折叠问题第五讲平面直角坐标系中的相关结论第六讲图形的平移及点的坐标的变化第七讲实数中分类讨论的数学思想第八讲实数中数形结合的数学思想第九讲实数中整体代入的数学思想第十讲方程组的解法（代入、加减）第十一讲用二元一次方程组解应用题第十二讲不等式的解及不等式的解集第十三讲实际问题与一元一次不等式组第十四讲抽样调查与频数分布直方图第一讲：相交线与平行线的相关概念一、知识框架二、典型例题1.下列说法正确的有( )①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.个个个个2.如图所示,下列说法不正确的是( )A.点B到AC的垂线段是线段AB;B.点C到AB的垂线段是线段ACC.线段AD是点D到BC的垂线段;D.线段BD是点B到AD的垂线段3.下列说法正确的有( )①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.个个个个4．一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）A. 第一次向左拐30°第二次向右拐30°B. 第一次向右拐50°第二次向左拐130°C. 第一次向右拐50°第二次向右拐130°D. 第一次向左拐50°第二次向左拐130°5．6．如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于E,F,EG•平分∠BEF,若∠1=72°,则∠2=_________.7．如图,AB∥EF∥CD,EG∥BD,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( )•个个个个A B1 EF 2 CPD8．如图，直线l 1、l 2、l 3交于O 点，图中出现了几对对顶角，若n 条直线相交呢？10. 如图所示,L 1,L 2,L 3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.( 方程思想)11． 如图所示,已知AB ∥CD,分别探索下列四个图形中∠P 与∠A,∠C 的关系,•请你证明所得的四个关系.(1) (2) (3) (4)12．如图，若AB 分析：如图，添加辅助线证出：x+y-z=90°13．已知：如图，∠+∠=∠=∠BAP APD 18012ο， 求证：∠=∠E F第二讲：平面直角坐标系一、知识要点：1、特殊位置的点的特征（1）各个象限的点的横、纵坐标符号（2）坐标轴上的点的坐标：x 轴上的点的坐标为)0,(x ,即纵坐标为0;y 轴上的点的坐标为),0(y ，即横坐标为0;2、具有特殊位置的点的坐标特征 设),(111y x P 、),(222y x P1P 、2P 两点关于x 轴对称⇔21x x =，且21y y -=; 1P 、2P 两点关于y 轴对称⇔21x x -=，且21y y =; 1P 、2P 两点关于原点轴对称⇔21x x -=，且21y y -=。
七升八数学暑假衔接
C．第二、第四象限D．第一、第四象限
2．点P（
A．x轴正半轴上B．x轴负半轴上C．y轴正半轴上D．y轴负半轴上
3．已知点A（a，b）在第四象限，那么点B（b，a）在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．点P（1，-2）关于y轴的对称点的坐标是（）
七升八数学暑假讲义之迟辟智美创作
第一讲相交线与平行线的相关概念
第二讲直线相交时有关角的求法
第三讲相交线与平行线中的拐角问题
第四讲相交线与平行线中的折叠问题
第五讲平面直角坐标系中的相关结论
第六讲图形的平移及点的坐标的变动
第七讲实数中分类讨论的数学思想
第八讲实数中数形结合的数学思想
第九讲实数中整体代入的数学思想
由题意：3a>1所以
12．解下列不等式（1） （2）
解：（1）
不等式解集为：
（2）
不等式解集为
思考题：解下列含绝对值的不等式.
（1） （2）
第
一、能力要求：
1．能够灵活运用有关一元一次不等式（组）的知识，特别是有关字母系数的不等式（组）的知识解决有关问题.
2．能够从已知不等式（组）的解集，反过来确定不等式（组）中的字母系数取值范围，具备逆向思维的能力.
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
分析：
13．如图，三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为（-4，-6），（-6，-3），求三角形AOB的面积．
解：做辅助线如图．
14．如图，四边形ABCD各个极点的坐标分别为
（–2，8），（–11，6），（–14，0），（0，0）．
（1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的?
（2）如果把原来ABCD各个极点纵坐标坚持不变，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形第一讲与三角形有关的线段1.定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b 表示,顶点A所对的边BC可用a表示.2.三角形三边的不等关系三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。
3.三角形的高：从三角形的向它的作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,（注意八字形）注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
三角形的三条高相交于一点。
．．．．．．．．．．．．．4.三角形的中线：三角的三条中线相交于一点。
（三角形中线分三角形面积相等的两个三角形）5.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，与之间的线段,叫做三角形的角平分线.三角形三个角的平分线相交于一点．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6.三角形的稳定性:例1.一个等腰三角形的周长为32 cm，腰长的3倍比底边长的2倍多6 cm.求各边长.例2.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC的各边的长。
例3.已知△ABC的周长是24cm，三边a、b、c满足c+a=2b，c-a=4cm，求a、b、c的长.例4.已知等腰三角形的周长是16cm．（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．例5.已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角形各边的长。
例6.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC的各边的长。
※例7.如图所示，已知在△ABC中，AB=AC=8，P是BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E.若△ABC 的面积为14，问：PD+PE的值是否确定？若能确定，是多少？若不能确定，请说明理由.【课堂练习】1.下列说法错误的是( ).A.三角形的三条高一定在三角形内部交于一点；B.三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C.三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点；D.三角形的三条高可能相交于外部一点2.有下列长度的三条线段,能组成三角形的是( )A.1、2、3B.1、2、4C.2、3、4D.2、3、63.已知三角形的周长为15cm，且其中的两边都等于第三边的2倍，则此三角形的最短边为（）A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm4.已知三角形的三边长分别为4、5、x，则x不可能是（）A．3 B．5 C．7 D．95.等腰三角形的底边BC=8 cm，且|AC－BC|=2 cm，则腰长AC为( )A.10 cm或6 cmB.10 cmC.6 cmD.8 cm或6 cm6.如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为（）A.5B.6C.7D.87.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是[ ]A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形8.如图,在△ABF中，∠B的对边是（）A.ADB.AEC.AFD.AC9.图中三角形的个数是（）A．8 B．9 C．10 D．1110.已知，如图所示，△ABC的顶点坐标分别为A(-4,-3),B(0,-3),C(-2,1)，如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设△ABC的面积为S1,△AB1C的面积为S2,则S1,S2的大小关系为（）A. S1>S2B. S1=S2C.S1<S2D. 不能确定11.如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，点A,B是方格纸的两个格点（即正方形的顶点），在这个的方格纸中，找出格点C，使△ABC的面积为1个平方单位的三角形的个数是( ).A.8B.9C.10D.1112.图中有个三角形，用符号表示为13.图中共有个三角形。
14.如图，AD是△ABC的角平分线，则∠ =∠ =∠；E在AC上，且AE=CE,则BE是△ABC的；CF是△ABC的高，则∠ =∠ =900，CF AB.15.如图,AD是△ABC的中线,AE是△ABC的角平分线,若BD=2cm,则BC= ;若∠BAC=600,则∠CAE=16.如图,以AD为高的三角形共有17.如图，AB⊥BD于B, DC⊥AC于C,AC与BD交于点E,则△ADE的边DE上的高为，AE上的高为18.长为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形有种选法，它们分别是19.已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长x的取值范围是____．•若x是奇数，则x的值是______；这样的三角形有______个；•若x•是偶数，则x•的值是______；这样的三角形又有________个．20.现有8根木棒，它们的长分别是1,2,3,4,5，6,7,8，若从8根木棒中抽取3根拼成三角形，要求三角形的最长边为8，另两边之差大于2，那么可以拼成的不同的三角形的有种。
21.一个三角形的两边长分别是3和8，则第三边的范围是22.如上图，BD=DE=EF=FC，那么，AE是_____的中线。
23.三角形三边的比是3∶4∶5，周长是96cm，那么三边分别是________cm.24.已知等腰三角形的周长是25cm，其中一边长为10cm，求另两边长________25.已知a,b,c是三角形的三边长，化简|a-b+c|+|a-b-c|.26.已知a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b-2）2+│c-3│=0，且a为方程│x-4│=2的解，求△ABC的周长，判断△ABC的形状．27.已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为5，•若此三角形周长为奇数，则第三边长的最小值为多少？28.已知，△ABC的周长为18 cm，BE、CF分别为AC、AB边上的中线，BE、CF相交于点O，AO的延长线交BC于D，且AF=3 cm,AE=2 cm，求BD的长.29.在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm, 求AD的长.30.在△ABC中,高CE,角平分线BD交于点O, ∠ECB=50°,求∠BOC的度数.31.如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB=6厘米，AC=8厘米，BC＝10厘米，∠CAB=900,试求：（1）AD的长；（2）△ABE的面积；（3）△ACE与△ABE的周长的差。
【课后练习】1.如图，以BC为公共边的三角形的个数是（）Ａ.2 Ｂ.3 Ｃ.4 Ｄ.52.如图，AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,AD、CE交于点O,OF⊥CE,则下列说法中正确的是（）A.OE为△ABD中AB边上的高B.OD为△BCE中BC边上的高C.AE为△AOC中OC边上的高D.OF为△AOC中AC边上的高3.如图，在△ABC中EF∥AC，BD⊥AC于D，交EF于G，则下面说话中错误的是（）A.BD是△ABC的高B.CD是△BCD的高C.EG是△ABD的高D.BG是△BEF的高4.在△ABC中，D，E分别为BC上两点，且BD=DE=EC,则图中面积相等的三角形有（）A.4对B.5对C.6对D.7对5.若三条线段中a=3，b=5，c为奇数，那么由a,b,c为边组成的三角形共有（）A．1个 B.3个 C.无数多个 D.无法确定6.如果线段能组成三角形，那么它们的长度比可能是（）A. B. C. D.7.三角形的一条高是一条（）A.直线B.垂线C.垂线段D.射线8.下列说法中，正确的是（）A.三角形的角平分线是射线B.三角形的高总在三角形的内部C.三角形的高、中线、角平分线一定是三条不同的线段D.三角形的中线在三角形的内部9.下列说法正确的是〔〕A.直角三角形只有一条高B.三角形的三条中线相交于一点C.三角形的三条高相交于一点D.三角形的角平分线是射线10.现有两根木棒,它们的长度分别为20cm和30cm,若不改变木棒的长度, 要钉成一个三角形木架,应在下列四根木棒中选取〔〕的木棒.A.10cmB.20cmC.50cmD.60cm11.已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A.13cmB.6cmC.5cmD.4cm12.已知等腰三角形的两边长分别为4cm和7cm，则此三角形的周长为（）A.15cmB.18cmC.15cm或18cmD.不能确定13.下列各组给出的三条线段中不能组成三角形的是（）A.3，4，5B.3a，4a，5aC.3+a，4+a，5+aD.三条线段之比为3∶5∶814.在△ABC中,AD是BC上的中线,且S△ACD=12,则S△ABC=15.若为的三边，则______（填“＞，＝，＜”）．16.如图，在△ABC中，BC边上的高是________；在△AFC中，CF边上的高是________；在△ABE中，AB边上的高是________17.如图，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则△ABH的三条高是_______，这三条高交于________.BD是△________、△________、△________的高.18.两根木棒的长分别为7cm和10cm．要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，那么，第三根木棒长（cm）的范围是______19.若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围是________;若等腰三角形的底边长为4,则它的腰长b的取值范围是_______.20.用7根火柴首尾顺次连结摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数是__________21.小鹏同学有长分别为10cm，8cm，9cm，2cm的四根小木棒，用来钉成三角形.请你帮他设计，可钉成几种不同的三角形.22.已知△ABC的周长是36cm，a、b、c是三边长，且a+b=2c,a:b=1:2,求△ABC的三边长.23.已知BD是△ABC的中线，AC长为5cm，△ABD与△BDC的周长差为3cm.AB长为3cm，求BC的长.24.在△ABC中,AB=AC, AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长。