高考数学一轮总复习 课时跟踪检测(二十一) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 文 新人教A版
高考一轮复习---两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
高考一轮复习---两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式一、基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠+Z k k ,2,,ππβαβα 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠+≠Z k k k ，且42ππαππα 二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角． 二、常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. (2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=2222cos ,sin b a ab a b ϕϕ三、考点解析考点一 三角函数公式的直接应用例、(1)已知sin α＝35，α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211 B.211 C.112 D ．－112(2)若sin ()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( ) A ．－229 B ．－429 C.229 D.429[解题技法]应用三角公式化简求值的策略：(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．跟踪训练1．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，则)4sin(2cos παα+的值为( ) A ．－23 B.23 C ．－13 D.132．已知sin α＝45，且α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛23,2ππ，则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πα的值为________． 考点二 三角函数公式的逆用与变形用例、(1)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________.[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧：(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)公式的一些常用变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22；sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1； cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.跟踪训练1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b 2.已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＋sin α＝435，则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πα＝________. 3.化简sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＋sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πα－sin 2α的结果是________．考点三 角的变换与名的变换考法(一) 三角公式中角的变换典例、已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛--54,53，若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+ββα22a 等．考法(二) 三角公式中名的变换典例、已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解题技法]三角函数名的变换技巧：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．跟踪训练1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα＝( ) A.12 B.13 C.14 D.152．若sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πA ＝7210，A ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，4，则sin A 的值为( ) A.35 B.45 C.35或45 D.343．已知sin α＝－45，α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ223，，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝( ) A.613 B.136 C ．－613 D ．－136课后作业1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( )A ．1 B.12 C.32 D ．－122．若2sin x ＋cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 2π＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89 B ．－79 C.79 D ．－7253．若cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＝－33，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πα＋cos α＝( ) A ．－223 B ．±223C ．－1D ．±1 4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝( ) A. 3 B.2 C.22 D.335．若α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2，且3cos 2α＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ4，则sin 2α的值为( ) A ．－118 B.118 C ．－1718 D.17186．已知sin 2α＝13，则cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πα＝( ) A ．－13 B.13 C ．－23 D.237．已知sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2πα＝12，α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πα的值为________． 8．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________. 9．若tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πα＝16，则tan α＝________. 10．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________. 11．已知tan α＝2.(1)求tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13. (1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．。
高考数学(文)一轮精讲精练：21 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
学案21 两角和与差的正弦、余弦和正切公式导学目标： 1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用．自主梳理1．(1)两角和与差的余弦cos(α＋β)＝_____________________________________________， cos(α－β)＝_____________________________________________. (2)两角和与差的正弦sin(α＋β)＝_____________________________________________， sin(α－β)＝_____________________________________________. (3)两角和与差的正切tan(α＋β)＝_____________________________________________， tan(α－β)＝_____________________________________________.(α，β，α＋β，α－β均不等于k π＋π2，k ∈Z )其变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)， 其中⎩⎪⎨⎪⎧cos φ＝ ，sin φ＝ ，tan φ＝ba，角φ称为辅助角．自我检测1．(2010·福建)计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于 ( )A.12B.33C.22D.322．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是 ( )A ．－235 B.235 C ．－45 D.453．函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 的最小正周期是 ( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 4．(2011·台州月考)设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，3π25．(2011·广州模拟)已知向量a ＝(sin x ，cos x )，向量b ＝(1，3)，则|a ＋b |的最大值为( )A ．1 B. 3 C ．3 D ．9探究点一 给角求值问题(三角函数式的化简、求值) 例1 求值：(1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]2sin 280°； (2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3·cos(θ＋15°)．变式迁移1 求值：(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°；(2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)．探究点二 给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)例2 已知0<β<π4<α<3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．变式迁移2 (2011·广州模拟)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，tan β＝12. (1)求tan α的值；(2)求α＋β－2sin αcos β2sin αsin β＋α＋β的值．探究点三 给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)例3 已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值．变式迁移3 (2011·岳阳模拟)若sin A ＝55，sin B ＝1010，且A 、B 均为钝角，求A ＋B 的值．转化与化归思想的应用例 (12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255.(1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2<β<0<α<π2，且sin β＝－513，求sin α的值．【答题模板】解 (1)∵|a －b |＝255，∴a 2－2a·b ＋b 2＝45.[2分]又∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a 2＝b 2＝1， a·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，[4分]故cos(α－β)＝a 2＋b 2－452＝2－452＝35.[6分](2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.[8分]又∵sin β＝－513，－π2<β<0，∴cos β＝1213.[9分]故sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×1213＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝3365.[12分] 【突破思维障碍】本题是三角函数问题与向量的综合题，唯一一个等式条件|a －b |＝255，必须从这个等式出发，利用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第(1)问，在第(2)问中需要把未知角向已知角转化再利用角的范围来求，即将α变为(α－β)＋β.【易错点剖析】|a －b |平方逆用及两角差的余弦公式是易错点，把未知角转化成已知角并利用角的范围确定三角函数符号也是易错点．1．转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换，角的变换，“1”的变换，和积变换，幂的升降变换等等．2．变换则必须熟悉公式．分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相互联系和适用条件．3．恒等变形前需已知式中角的差异，函数名称的差异，运算结构的差异，寻求联系，实现转化．4．基本技巧：切割化弦，异名化同，异角化同或尽量减少名称、角数，化为同次幂，化为比例式，化为常数．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·佛山模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3等于 ()A ．－45B ．－35 C.35 D.452．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝233，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－7π6的值是 ()A ．－233 B.233 C ．－23 D.233．(2011·宁波月考)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3等于 ()A ．－34B ．－14 C.34 D.144．函数y ＝sin x ＋cos x 图象的一条对称轴方程是 ()A ．x ＝5π4B ．x ＝3π4C ．x ＝－π4D ．x ＝－π25．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 的大小为 ( ) A.π6 B.56π C.π6或56π D.π3或23π 题号 1 2 3 4 5 答案 6．(2010·重庆)如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等．设第i 段弧所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3)，则cos α13cosα2＋α33－sin α13·sin α2＋α33＝________.7．设sin α＝35 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)＝________. 8．(2011·惠州月考)已知tan α、tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则tan(α＋β)＝__________，α＋β的值为________． 三、解答题(共38分)9．(12分)(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π且sin(α＋β)＝3365，cos β＝－513.求sin α；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．10．(12分)(2010·四川)(1)①证明两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；②由C (α＋β)推导两角和的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.（2）已知△ABC 的面积S =12，AB →·AC →＝3，且cos B ＝35，求cos C .11．(14分)(2011·济南模拟)设函数f (x )＝a·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R .(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，求x ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．答案 自主梳理1．(1)cos αcos β－sin αsin β cos αcos β＋sin αsin β (2)sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β(3)tan α＋tan β1－tan αtan β tan α－tan β1＋tan αtan β 2.a a 2＋b 2 b a 2＋b 2 自我检测1．A 2.C 3.B 4.C 5.C课堂活动区例1 解题导引 在三角函数求值的问题中，要注意“三看”口诀，即(1)看角，把角尽量向特殊角或可计算的角转化，合理拆角，化异为同；(2)看名称，把算式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为弦，或把所有的弦都转化为切；(3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式．如果满足则直接使用，如果不满足需转化一下角或转换一下名称，就可以使用．解 (1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin 50°＋sin 10°·⎝⎛⎭⎪⎫1＋3sin 10°cos 10°·2sin 80°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°· 2 sin 80°＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°·2cos 10°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 50°＋2sin 10°sin 40°cos 10°·2cos 10° ＝2sin 60°cos 10°·2cos 10°＝22sin 60°＝22×32＝ 6. (2)原式＝sin[(θ＋45°)＋30°]＋cos(θ＋45°)－3·cos[(θ＋45°)－30°]＝32sin(θ＋45°)＋12cos(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)－32cos(θ＋45°)－32sin(θ＋45°)＝0.变式迁移1 解 (1)原式＝－－sin 20°sin 70°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°sin 70°＝ 3.(2)原式＝tan[(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan(π6－θ)·tan(π6＋θ)]＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)＝ 3.例2 解题导引 对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应分类讨论．应注意公式的灵活运用，掌握其结构特征，还要学会拆角、拼角等技巧．解 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35，∵0<β<π4<α<3π4，∴π2<π4＋α<π，3π4<3π4＋β<π. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－45， cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213. ∴sin[π＋(α＋β)]＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－45×513＝－5665. ∴sin(α＋β)＝5665.变式迁移2 解 (1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，得1＋tan α1－tan α＝2， 即1＋tan α＝2－2tan α，∴tan α＝13.(2)α＋β－2sin αcos β2sin αsin β＋α＋β＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β ＝－αcos β－cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝－α－βα－β＝－tan(α－β)＝－tan α－tan β1＋tan αtan β＝－13－121＋13×12＝17.例 3 解题导引 (1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好． (2)解这类问题的一般步骤： ①求角的某一个三角函数值； ②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．解 (1)∵tan α2＝12，∴sin α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2·α2＝2sin α2cos α2＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝2tan α21＋tan 2α2＝2×121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝45.(2)∵0<α<π2，sin α＝45，∴cos α＝35.又0<α<π2<β<π，∴0<β－α<π.由cos(β－α)＝210，得sin(β－α)＝7210. ∴sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α＝7210×35＋210×45＝25250＝22. 由π2<β<π得β＝34π. (或求cos β＝－22，得β＝34π) 变式迁移3 解 ∵A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010， ∴cos A ＝－1－sin 2A ＝－25＝－255，cos B ＝－1－sin 2B ＝－310＝－31010.∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B＝－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22.① 又∵π2<A <π，π2<B <π，∴π<A ＋B <2π.②由①②，知A ＋B ＝7π4.课后练习区1．D 2.D 3.B 4.A 5.A6．－12 7.－211 8. 3 －23π9．解 (1)∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos β＝－513， ∴sin β＝1213.…………………………………………………………………………(2分)又∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<3π2，又sin(α＋β)＝3365， ∴co s(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫33652＝－5665，…………………………………………………………(4分)∴sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝3365·⎝ ⎛⎭⎪⎫－513－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5665·1213＝35.…………………………………………………………(6分)(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171＋12×17＝13，……………………………………………………(8分) ∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋α－β1－tan αα－β＝13＋121－13×12＝1.……………………………………………………(10分)∵α，β∈(0，π)，tan α＝13<1，tan β＝－17<0，∴0<α<π4，π2<β<π，∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.……………………………………………………(12分)10．(1)①证明 如图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于点P 2；角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于点P 3；角－β的始边为OP 1，终边交⊙O 于点P 4.则P 1(1,0)，P 2(cos α，sin α)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P 4(cos(－β)，sin(－β))，…………………………………………………………………………………………(2分) 由|P 1P 3|＝|P 2P 4|及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin 2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2， 展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.……………………………………………………(4分)②解 由①易得，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α. sin(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－α＋β ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos(－β)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin(－β) ＝sin αcos β＋cos αsin β. ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.……………………………………………………(7分)(2)解 由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c .则S ＝12bc sin A ＝12，AB →·AC →＝bc cos A ＝3>0，∴A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，cos A ＝3sin A ，……………………………………………………………(9分)又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin A ＝1010，cos A ＝31010，由cos B ＝35，得sin B ＝45.∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝1010. ……………………………………………………………………………………………(11分)故cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－1010. ……………………………………………………………………………………………(12分)11．解 (1)依题设得f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1. 由2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＝1－3， 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－32.……………………………………………………………………(3分)∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6.∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4.………………………………………………………………(6分)(2)－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π (k ∈Z )，即－π3＋k π≤x ≤π6＋k π (k ∈Z )，得函数单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π (k ∈Z )．……………………………………(10分)列表：…………………………………………………………………………………………(14分)。
2020高考数学(理)一轮复习课时作业21两角和与差的正弦余弦和正切公式 含解析
答案：
8．[2019·洛阳统考]已知sinα＋cosα＝ ，则cos4α＝________.
解析：由sinα＋cosα＝ ，得sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝ ，所以sin2α＝ ，从而cos4α＝1－2sin22α＝1－2× 2＝ .
答案：
三、简答题
9．[2019·广东六校联考]已知函数f(x)＝sin ，x∈R.
A．－ B.
C．－ D.
解析：因为α是第三象限的角，tanα＝2，且 所以cosα＝－ ＝－ ，sinα＝－ ，则sin ＝sinαcos ＋cosαsin ＝－ × － × ＝－ ，选择C.
答案：C
3．[2019·河北三市联考]若2sin ＝3sin(π－θ)，则tanθ等于()
A．－ B.
C. D．2
＝ × ＝ .
10．已知α∈ ，tanα＝ ，求tan2α和sin 的值．
解析：∵tanα＝ ，
∴tan2α＝ ＝ ＝ .
且 ＝ ，即cosα＝2sinα.
又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1.
而α∈ ，
∴sinα＝ ，cosα＝ .
∴sin ＝sinαcos －cosαsin
＝ × － × ＝－ .
故选B.
答案：B
二、填空题
6．已知cos ＝－ ，则cosx＋cos ＝________.
解析：cosx＋cos ＝cosx＋ cosx＋ sinx＝ cosx＋ sinx＝ cos ＝ × ＝－1.
答案：－1
7．[2018·全国卷Ⅱ]已知tan ＝ ，则tanα＝________.
解析：tan ＝tan ＝ ＝ ，
(1)求f 的值；
课时跟踪检测 (二十一) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
课时跟踪检测 (二十一) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2017·西安质检)sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B ．12C ．32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12．2．(2016·河北三市第二次联考)若2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝3sin(π－θ)，则tan θ等于( ) A ．－33B ．32C ．233D ．2 3解析：选B 由已知得sin θ＋3cos θ＝3sin θ， 即2sin θ＝3cos θ，所以tan θ＝32．故选B ． 3．(2016·兰州实战考试)若sin 2α＝2425，0＜α＜π2，则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( ) A ．－15B ．15C ．－75D ．75解析：选D2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝2⎝⎛⎭⎫22cos α＋22sin α＝sin α＋cos α，又∵(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝4925，0＜α＜π2，∴sin α＋cos α＝75，故选D ． 4．(2017·广州模拟)已知cos(θ＋π)＝－13，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝________． 解析：cos(θ＋π)＝－13，所以cos θ＝13，sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－79． 答案：－795．(2017·贵阳摸底)设sin α＝2cos α，则tan 2α的值为________．解析：由题可知，tan α＝sin αcos α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43．答案：－43二保高考，全练题型做到高考达标1．(2017·南宁质量检测)已知π2<α<π，3sin 2α＝2cos α，则cos(α－π)等于( )A ．23B ．64C ．223D ．326解析：选C 由3sin 2α＝2cos α，得sin α＝13．因为π2<α<π，所以cos(α－π)＝－cos α＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223．2．设tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－4D ．4解析：选C ∵tan ⎝⎛⎭⎫α－π4 ＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝tan α－11＋tan α＝14，∴tan α＝53，∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－4．3．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝( ) A ．118B ．1718C ．89D ．29 解析：选B 由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718． 4．(2017·广东肇庆模拟)已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝( ) A ．－195 B ．－519 C ．－3117D ．－1731解析：选D 由题意得cos α＝－45，则sin 2α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725．∴tan 2α＝－247，∴tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝－247＋11－⎝⎛⎭⎫－247×1＝－1731． 5．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝( ) A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析：选C 由sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210得sin α－cos α＝75．① 由cos 2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725， 所以(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝725．② 由①②可得cos α＋sin α＝－15．③由①③可得sin α＝35．6．已知cos θ＝－513，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6的值为________． 解析：由cos θ＝－513，θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2得sin θ＝－1－cos 2θ＝－1213，故sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝sin θcos π6－cos θsin π6＝－1213×32－⎝⎛⎭⎫－513×12＝5－12326．答案：5－123267．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝________． 解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝3×⎝⎛⎭⎫－33 ＝－1． 答案：－18．计算sin 250°1＋sin 10°＝________．解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12．答案：129．(2017·广东六校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R ． (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12． (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以sin θ＝35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725， 所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ) ＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250．10．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62． (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12．又π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32． (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π2<α－β<π2．又由sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45．所以cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos(α－β)＝( ) A ．－12B ．12C ．－13D ．2327解析：选D 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2α∈(0，π)，因为cos α＝13，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－79，所以sin 2α＝1－cos 22α＝429．又α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝223，所以cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝⎝⎛⎭⎫－79×⎝⎛⎭⎫－13＋429×223＝2327．故选D ．2．(2017·合肥质检)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2． (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值． 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αsin ⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12． ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴ sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12． (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32．∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝23．。
课时跟踪检测两角和与差的正弦余弦正切公式
课时跟踪检测两角和与差的正弦余弦正切公式在学习三角函数时，我们已经了解了正弦、余弦和正切函数。
在本次课时跟踪检测中，我们将学习两个角度的和与差的正弦、余弦和正切公式。
通过这些公式，我们可以计算两个角度相加或相减的正弦、余弦和正切值。
首先，我们来看两角和的公式。
1.两角和的正弦公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的正弦之和可以表示为：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB2.两角和的余弦公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的余弦之和可以表示为：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB3.两角和的正切公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的正切之和可以表示为：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB)接下来，我们来看两角差的公式。
1.两角差的正弦公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的正弦之差可以表示为：sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB2.两角差的余弦公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的余弦之差可以表示为：cos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB3.两角差的正切公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的正切之差可以表示为：tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA * tanB)这些公式可以帮助我们在计算角度和或差的正弦、余弦和正切值时，避免重复计算。
通过将已知的角度的正弦、余弦和正切值带入公式，我们可以求解未知角度的正弦、余弦和正切值。
例如，如果我们知道sinA和cosA的值，我们可以使用两角和的正弦和余弦公式来计算任意角B的正弦和余弦值。
同样，如果我们知道tanA和tanB的值，我们可以使用两角和的正切公式计算角度(A + B)的正切值。
理解和掌握这些公式对于解决与三角函数相关的问题非常重要。
课时跟踪检测(二十一) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(重点高中)
课时跟踪检测（二十一） 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1.计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为( ) A.12 B.33 C.22D.32解析：选A －sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73° ＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17° ＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝12.2．(2018·陕西高三教学质量检测试)已知角α的终边过点P (4，－3)，则cos ⎝⎛⎫α＋π4的值为( )A ．－7210 B.7210 C ．－210D.210解析：选B 由于角α的终边过点P (4，－3)，则cos α＝45，sin α＝－35，故cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝45×22－⎝⎛⎭⎫－35×22＝7210.3.已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝( ) A.118 B.1718 C.89D.29解析：选B 由sin α＋cos α＝13两边平方，得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718. 4．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12B.12C.32D ．－32解析：选B sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12. 5.已知α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝17，那么sin 2α＋cos 2α 的值为( ) A ．－15B.75 C ．－75D.34解析：选A 由tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝17，知tan 2α＋11－tan 2α＝17， ∴tan 2α＝－34.∵2α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin 2α＝35，cos 2α＝－45，∴sin 2α＋cos 2α＝－15. 6．(2018·贵州适应性考试)已知α是第三象限角，且cos(α＋π)＝45，则tan 2α＝________.解析：由cos(α＋π)＝－cos α＝45，得cos α＝－45，又α是第三象限角，所以sin α＝－35，tan α＝34，故tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247. 答案：2477．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝________. 解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝3×⎝⎛⎭⎫－33 ＝－1. 答案：－18.(2018·洛阳第一次统一考试)若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝________. 解析：依题意得cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3－α＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α－1＝2×⎝⎛⎭⎫142－1＝－78.答案：－789．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝12，求tan 2α和sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值． 解：∵tan α＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43， 且sin αcos α＝12，即cos α＝2sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴5sin 2α＝1，而α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝55，cos α＝255. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×255＝45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 10．(2018·广东六校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以sin θ＝35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ) ＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250. B 级——拔高题目稳做准做1.已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝( ) A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选C 由sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210得sin α－cos α＝75.① 由cos 2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725， 所以(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝725.② 由①②可得cos α＋sin α＝－15.③由①③可得sin α＝35.2.(2018·福州质检)已知m ＝tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ)，若sin []2(α＋γ)＝3sin 2β，则m ＝( )A.12B.34C.32D ．2解析：选D 设A ＝α＋β＋γ，B ＝α－β＋γ， 则2(α＋γ)＝A ＋B ，2β＝A －B ， 因为sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β， 所以sin(A ＋B )＝3sin(A －B )，即sin A cosB ＋cos A sinB ＝3(sin A cos B －cos A sinB)，即2cos A sin B ＝sin A cosB ，所以tan A ＝2tanB ，所以m ＝tan Atan B＝2，故选D. 3.(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.解析：因为角α与角β的终边关于y 轴对称， 所以α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以cos(α－β)＝cos(2α－2k π－π)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－⎣⎡⎦⎤1－2×⎝⎛⎭⎫132＝－79. 答案：－794.(2018·安徽重点中学联考)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________. 解析：由已知得22(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)， 所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝14.由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1， 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以tan α＞0， 所以cos α＋sin α＝0不满足条件；由cos α－sin α＝14两边平方得1－sin 2α＝116，所以sin 2α＝1516.答案：15165．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 解：(1)已知sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得1＋2sin α2cos α2＝32，则sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，所以cos(α－β)＝45.则cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310.6．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αsin ⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴ sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3 ＝－12×12－⎝⎛⎭⎫－32×32＝12.(2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.。
【2019-2020】高考数学一轮复习配餐作业21两角和与差的正弦余弦和正切公式含解析理
教学资料范本【2019-2020】高考数学一轮复习配餐作业21两角和与差的正弦余弦和正切公式含解析理编辑：__________________时间：__________________配餐作业(二十一) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(时间：40分钟)一、选择题 1．(20xx·衡阳二联)2sin47°－3sin17°cos17°＝( )A．－ 3 B．－1 C. 3D．1解析 原式＝2×sin47°－sin17°cos30°cos17°＝2×cos17°＝2sin30°＝1，故选D 。
答案 D2．(20xx·广州二测)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ的值是( ) A.13 B.223C．－13D．－223解析 sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13。
故选A。
答案 A3．(20xx·河南适应性测试)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为( )A.12 B．2 C．2 2D．－2解析 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝12，解得tan α＝3，所以sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝42＝2，故选B。
答案 B4．(20xx·陕西二检)若tan α＝12，则sin 4α－cos 4α的值为( )A．－15B.15C.35 D．－35解析∵tan α＝12，∴sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)·(sin 2α－cos 2α)＝tan2α－11＋tan2α＝－35，故选D。
答案 D5．(20xx·福建模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫x＋π3＝13，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为( )A．－33B.33 C．－13D.13解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x＋π3＝12sin x ＋32cos x ＝13，所以cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cosx＋12sinx ＝33，故选B。
2020高考数学一轮复习 课时作业21 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 理
[基础达标]
一、选择题
1．计算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的结果为( )
A. B.
C. D.
解析：－sin133°cos197°－cos47°cos73°
＝－sin47°(－cos17°)－cos47°sin17°
＝sin(47°－17°)＝sin30°＝ .
A．－ B.
C. D．2
解析：由已知得sinθ＋ cosθ＝3sinθ，
即2sinθ＝ cosθ，所以tanθ＝ .故选B.
答案：B
4．[2019·福州市高三期末]若2sinx＋cos ＝1，则cos2x＝( 为2sinx＋cos ＝1，所以3sinx＝1，所以sinx＝ ，所以cos2x＝1－2sin2x＝ .故选C.
答案：C
5．[2018·全国卷Ⅰ]已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝ ，则|a－b|＝( )
A. B.
C. D．1
解析：由cos2α＝ ，得cos2α－sin2α＝ ，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴tanα＝± ，即 ＝± ，
∴|a－b|＝ .
sin ＝ ，
∴cos ＝ ，
于是sin2 ＝2sin cos ＝ .
又sin2 ＝－cos2β，
∴cos2β＝－ ，
又2β∈ ，
∴sin2β＝ ，
又cos2α＝ ＝ ，α∈ ，
∴cosα＝ ，sinα＝ .
∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β
＝ × － × ＝－ .
解得tanα＝ .
答案：
8．[2019·洛阳统考]已知sinα＋cosα＝ ，则cos4α＝________.
高考数学课时跟踪检测(二十一)两角和与差的正弦、余弦和正切公式文苏教版
课时跟踪检测（二十一） 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·无锡调研)已知sin(α＋30°)＝35，60°＜α＜150°，则cos α＝________.解析：∵60°＜α＜150°，∴90°＜α＋30°＜180°， ∵sin(α＋30°)＝35，∴cos(α＋30°)＝－1－sin2α＋＝－45，∴cos α＝cos[(α＋30°)－30°]＝cos(α＋30°)cos 30°＋sin(α＋30°)sin 30° ＝－45×32＋35×12＝3－4310.答案：3－43102．若2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝3sin(π－θ)，则tan θ＝________. 解析：由已知得sin θ＋3cos θ＝3sin θ， 即2sin θ＝3cos θ，所以tan θ＝32. 答案：323．(2018·苏锡常镇调研)若tan α＝12，tan(α－β)＝－13，则tan(β－2α)＝________.解析：tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan(α＋α－β)＝－tan α＋α－β1－tan αα－β＝－12－131－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－17.答案：－174．(2019·泰州调研)已知α∈(0，π)，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35，则tan α＝________. 解析：因为α∈(0，π)，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ －1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－45，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝34＝1＋tan α1－tan α，所以tan α＝－17.答案：－175．(2018·常州模拟)已知cos(θ＋π)＝－13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝________. 解析：cos(θ＋π)＝－13，所以cos θ＝13，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－79. 答案：－796．(2018·江苏太湖高级中学检测)设sin α＝2cos α，则tan 2α的值为________． 解析：由题可知，tan α＝sin αcos α＝2，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. 答案：－43二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·无锡一中检测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x ＋tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝________.解析：∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝89， 且sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x ＋tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝13＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝13＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13＋8919＝253.答案：2532．(2018·苏州暑假测试)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝13，sin(α＋β)＝－35，则 cos β＝________.解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos α＝13，所以sin α＝223.又α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，sin(α＋β)＝－35＜0，所以α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，故cos(α＋β)＝－45，从而cos β＝cos []α＋β－α＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×13－35×223＝－4＋6215. 答案：－4＋62153．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________.解析：由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718.答案：17184．(2018·通州模拟)已知P (2，m )为角α终边上一点，且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，则sin α＝________.解析：∵P (2，m )为角α终边上一点，∴tan α＝m2，再根据tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝m2＋11－m 2＝13，∴m ＝－1， 故x ＝2，y ＝－1，r ＝|OP |＝4＋m 2＝5，则sin α＝y r ＝－15＝－55.答案：－555．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝________. 解析：由sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210得sin α－cos α＝75. ①由cos 2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725，所以(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝725.②由①②可得cos α＋sin α＝－15.③由①③可得sin α＝35.答案：356．(2019·如东模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，则sin 2α的值为________．解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α，∴tan α＝2，则sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45. 答案：457．(2019·启东模拟)若sin α＋cos α＝233，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 解析：由sin α＋cos α＝233，可得sin 2α＝13， 故cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2＋12＝sin 2α＋12＝23. 答案：238．(2018·苏锡常镇调研)已知sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝________. 解析：由题意可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12－π12＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π12，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos π12－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π12＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12·cos π12＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π12，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－2tan π12＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝－23－21＋3＝23－4. 答案：23－49.(2019·南京调研)如图，已知OP Q 是半径为1，圆心角为π3的扇形，点A 在弧P Q 上(异于点P ，Q)，过点A 作AB ⊥OP ，AC ⊥O Q ，垂足分别为B ，C .记∠AOB ＝θ，四边形ACOB 的周长为l .(1)求l 关于θ的函数关系式；(2)当θ为何值时，l 有最大值，并求出l 的最大值． 解：(1)在Rt△OAB 中，∵OA ＝1，∠AOB ＝θ， ∴OB ＝cos θ，AB ＝sin θ.在Rt△OAC 中，∵∠PO Q ＝π3，∴∠AOC ＝π3－θ，∴OC ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ，AC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ.∴l ＝sin θ＋cos θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝sin θ＋cos θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ－12sin θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝3＋12sin θ＋3＋32cos θ ＝(3＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ＋32cos θ＝(3＋1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3. (2)由(1)知，l ＝(3＋1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3 ，∴θ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，∴当θ＋π3＝π2，即θ＝π6时，l 取得最大值3＋1.10．(2018·盐城调研)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，x ∈R.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4的值； (2)若cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3的值．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫2425－725＝17250. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·南通模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝________. 解析：由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，得sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12－π12＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π12，展开得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos π12－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π12＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos π12＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π12， 即－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos π12＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π12， ∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－2tan π12. 又tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝tan π3－tanπ41＋tan π3tanπ4＝2－3，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－2(2－3)＝23－4.答案：23－42．(2018·苏北四市一模)若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝23，则sin(α－β)的值为________．解析：因为tan β＝2tan α，所以sin βcos β＝2sin αcos α，即cos αsin β＝2sin αcos β.又因为cos αsin β＝23，所以sin αcos β＝13，从而sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13－23＝－13.答案：－133．(2019·海门中学检测)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32，所以 sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.(2)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，又由(1)知sin 2α＝12，所以cos 2α＝－32.所以tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.。
高考数学一轮复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式
思维升华
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟 悉公式的逆用及变形.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从 正向思维向逆向思维转化的能力.
跟踪训练 2 (1)(2022·咸阳模拟)已知 sinx－π6＝ 33，则 sin x＋sinx－3π等于
√A.1
B.－1
23 C. 3
A.－1
B.1
√C.0或－3
D.0或1
因为 α＋β＝π4， 所以 tan(α＋β)＝tan π4⇒1t－antαan＋αttaannββ＝1⇒1－1＋mmm＋＋m1＝1⇒m2＋3m＝0，
解得m＝0或m＝－3.
思维升华
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三 角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时， 特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.
b a2＋b2
，cos
φ＝
知识拓展
两角和与差的公式的常用变形： (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β. (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β). tan αtan β＝1－tatnanα＋α＋taβnβ＝tatnanα－α－taβnβ－1.
D. 3
因为 sinx－π6＝ 33，
所以
sin
x＋sinx－π3＝sin
x＋12sin
x－
3 2 cos
x＝
3sinx－π6＝1.
(2)满足等式(1＋tan α)(1＋tan β)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个 这样的数组__0_，__π4_(_答__案__不__唯__一__)_.
课时跟踪检测(二十一) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
数学
质量铸就品牌 品质赢得未来
课时跟踪检测(二十一) 两角和与差的正弦、 结束 余弦和正切公式
1 2× 2 1 2tan α 4 11．解：∵tan α＝2，∴tan 2α＝ ＝ ＝ 1 3， 1－tan2α 1－4 sin α 1 且cos α＝2，即 cos α＝2sin α， 又 sin α＋cos α＝1，∴5sin α＝1，而 5 2 5 ∴sin α＝ 5 ，cos α＝ 5 . 5 2 5 4 ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2× 5 × 5 ＝5， 4 1 3 cos 2α＝cos2α－sin2α＝5－5＝5，
2
2 2 ∴sin(α＋β)＝ 1－cos2α＋β＝ 3 ， ∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
7 1 4 2 2 2 23 ＝－9×(－3)＋ 9 × 3 ＝27.
答案：D
数学
质量铸就品牌 品质赢得未来
所以
24 2 7 2 17 2 ＝25× 2 －25× 2 ＝ 50 . 17 2 答案： 50
数学
质量铸就品牌 品质赢得未来
课时跟踪检测(二十一) 两角和与差的正弦、 结束 余弦和正切公式
10．解析：法一：原式＝
π 1－cos2α－3
2
＋
π 1－cos2α＋3
2
－sin2α
π π 1 π 2 ＝ 1 － 2 cos 2α－3 ＋cos 2α＋3 － sin α ＝ 1 － cos 2α· cos 3 －
cos 2α 1－cos 2α 1 sin α＝1－ 2 － ＝2. 2
2
1 1 1 法二：令 α＝0，则原式＝4＋4＝2. 1 答案：2
课时跟踪检测(二十一) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
课时跟踪检测(二十一) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1．化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为( ) A.12 B.32C ．－12D ．－322．(2015·山西四校联考)已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，－π2＜α＜0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值是( ) A.12 B.23 C ．－12D ．13．(2015·四川成都五校联考)已知锐角α满足 cos 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α等于( ) A.12 B ．－12C.22D ．－224．化简tan ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．15．(2015·兰州检测)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4 B.π3 C.π2D.3π46．(2015·广东中山一模)已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( )A ．－12B.12 C ．－13D.2327二、填空题7．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．8．计算sin 250°1＋sin 10°＝________.9．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． 10．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 三、解答题11．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝12，求tan 2α和sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值． 12．已知函数f (x )＝sin x2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x 2. (1)求函数f (x )在[－π，0]上的单调区间．(2)已知角α满足α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2f (2α)＋4f ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝1，求f (α)的值．答 案1．选A cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°＝cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°＝cos(15°＋45°)＝cos 60°＝12.2．选C 由已知得cos α＝12，sin α＝－32，cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32 sin α＝－12. 3．选A ∵cos 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α， ∴cos 2α－sin 2α＝cos π4cos α＋sin π4sin α .∵α为锐角， ∴cos α－sin α＝22， ∴sin 2α＝12. 4．选D tan ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α·2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝1.5．选A 由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.6．选D ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2α∈(0，π)． ∵cos α＝13，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－79，∴sin 2α＝1－cos 22α＝429，而α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)， ∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝223， ∴cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β) ＝⎝⎛⎭⎫－79×(－13)＋429×223＝2327. 7．解析：因为cos(α＋β)＝16，所以cos αcos β－sin αsin β＝16.①因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13.②①＋②得cos αcos β＝14.②－①得sin αsin β＝112.所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13.答案：138．解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12.答案：129．解析：因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425， cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝725， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝2425×22－725×22＝17250. 答案：1725010．解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－ sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12.答案：1211．解：∵tan α＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43，且sin αcos α＝12，即cos α＝2sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴5sin 2α＝1， 而α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝55，cos α＝255.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×255＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝45－15＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 12．解：f (x )＝sin x2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x 2 ＝sin x 2cos x 2＝12sin x .(1)函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π，－π2，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2，0. (2)2f (2α)＋4f ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝1 ⇒sin 2α＋2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝1 ⇒2sin αcos α＋2(cos 2α－sin 2α)＝1 ⇒cos 2α＋2sin αcos α－3sin 2α＝0 ⇒(cos α＋3sin α)(cos α－sin α)＝0. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α－sin α＝0⇒tan α＝1得α＝π4，∴f (α)＝12sin π4＝24.。
高三数学(理)一轮总复习课时跟踪检测(二十一) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 Word版含解析
课时跟踪检测（二十一）两角和与差的正弦、余弦和正切公式一抓基础，多练小题做到眼疾手快．(·全国卷Ⅰ改编) °°－°°＝.解析：°°－°°＝°°＋°°＝(°＋°)＝°＝.答案：．已知α＝，则＝.解析：依题意得＝( α＋α)＝(＋α)＝.答案：．已知＝，－＜α＜，则＝.解析：由已知得α＝，α＝－，∴＝α＋α＝－.答案：－．(·南京调研)已知(π－α)＝－，(β－α)＝－，则β＝.解析：依题意得α＝，β＝[(β－α)＋α]＝α－(β－α(· α)＝.答案：．设α＝α，则α的值为．解析：由题可知，α＝α α)＝，∴α＝α－α)＝－.答案：－二保高考，全练题型做到高考达标．(·南通一模)已知α＝＋α，则α＝.解析：∵(\\( α＝＋α，α＋α＝，))∴(\\( α＝，α＝－))或(\\( α＝()，α＝()，))∴α＝或α＝.答案：或．已知＝－，则＋＝.解析：∵＝－，∴＋＝＋·＋＝＋＝＋() ))＝＝×＝－.答案：－．(·南京四校联考)已知α＋α＝，则＝.解析：由α＋α＝两边平方得＋α＝，解得α＝－，所以＝＝α)＝＝.答案：．已知＝，α＝，则α＝.解析：由＝得α－α＝，①由α＝得α－α＝，所以( α－α)( α＋α)＝，②由①②可得α＋α＝－，③由①③可得α＝.答案：．在等式°－°－＝°°中，根号下的表示的正整数是．解析：由°－°－＝°°，得＝°－°＋° °)＝°＝，所以表示.答案：．已知α，β是(－＋)＝的两个实根，则(α＋β)＝.解析：由(－＋)＝，得－＋＝，∴由题意知α＋β＝，α·β＝，∴(α＋β)＝α＋β－α β)＝＝.答案：．计算°)＝.解析：°)＝°(＋°()＝°()＝°(＋°()＝.答案：．设α为锐角，若＝，则的值为．解析：因为α为锐角，＝，所以＝，＝，＝，所以＝＝×－×＝.答案：．已知α∈，α＝，求α和的值．解：∵α＝，∴α＝α－α)＝＝，。
高考数学总复习 课时跟踪检测21 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
课时跟踪检测(二十一) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．(2012·重庆高考)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．32．(2012·南昌二模)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的值是( )A ．－233B ．±233C ．－1D ．±13．(2012·乌鲁木齐诊断性测验)已知α满足sin α＝12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A.14 B ．－14C.12D ．－124．已知函数f (x )＝x 3＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为4，则函数g (x )＝3sin 2x ＋b cos 2x 的最大值和最小正周期为( )A ．1，πB ．2，π C.2，2πD.3，2π5．(2012·东北三校联考)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin ()α＋β＝35，则cos β＝( )A.2525B.255 C.2525或255D.55或5256．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.53 7．(2012·苏锡常镇调研)满足sin π5sin x ＋cos 4π5cos x ＝12的锐角x ＝________.8．化简2tan 45°－α1－tan 245°－α·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝________. 9．(2013·烟台模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________.10．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝12，求tan 2α和sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值．11．已知：0<α<π2<β<π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin 2β的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．12．(2012·衡阳模拟) 函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－x 2，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (α)＝2105，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．1．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( ) A ．1B.110C ．1或110D ．1或102．化简sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α的结果是________．3．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.(1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．[答 题 栏]A 级 1._________ 2._________ 3._________ 4._________5.__________6._________B 级 1.______ 2.______7. __________ 8. __________ 9. __________ 答 案课时跟踪检测(二十一)A 级1．选A 由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3.2．选C cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－1.3．选A 依题意得，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝12cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝14.4．选B 由题意得f ′(x )＝3x 2＋b ，f ′(1)＝3＋b ＝4，b ＝1.所以g (x )＝3sin 2x ＋b cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故函数的最大值为2，最小正周期为π. 5．选A 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin2α＋β＝±45.又α、β均为锐角，因此0<α<α＋β<π， cos α>cos(α＋β)，注意到45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525.6．选A 将sin α＋cos α＝33两边平方，可得1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝53.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋cos α＝－153，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)·(cos α＋sin α)＝－53. 7．解析：由已知可得cos 4π5cos x ＋sin 4π5sin x ＝12，即cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π5－x ＝12，又x 是锐角，所以4π5－x ＝π3，即x ＝7π15.答案：7π158．解析：原式＝tan(90°－2α)·12sin 2αcos 2α＝sin 90°－2αcos90°－2α·12sin 2αcos 2α＝cos 2αsin 2α·12sin 2αcos 2α＝12.答案：129．解析：依题设及三角函数的定义得： cos β＝－13，sin(α＋β)＝45.又∵0<β<π，∴π2<β<π，π2<α＋β<π，sin β＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋45×223＝3＋8215. 答案：3＋821510．解：∵tan α＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43， 且sin αcos α＝12，即cos α＝2sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴5sin 2α＝1，而α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝55，cos α＝255. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×255＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝45－15＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 11．解：(1)法一：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin β＝22cos β＋22sin β＝13，∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin 2β＝29，∴sin 2β＝－79. 法二：sin 2β＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4－1＝－79.(2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β<－π4<34π，π2<α＋β<3π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4>0，cos (α＋β)<0.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin (α＋β)＝45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝223， cos (α＋β)＝－35.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos (α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－35×13＋45×223＝82－315.12．解：(1)f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－x 2＝sin x 2＋cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4，故f(x)的最小正周期T ＝2π12＝4π.(2)由f(α)＝2105，得sin α2＋cos α2＝2105，则⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21052，即1＋sin α＝85，解得sin α＝35，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α＝1－sin 2α＝ 1－925＝45， 故tan α＝sin αcos α＝34，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtan π4＝34＋11－34＝7.B 级1．选C tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg10a ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a1－lg 10a ·l g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1⇒lg 2a ＋lg a＝0，所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或110.2．解析：原式＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π32＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12.答案：123．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45.又2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos 2α＝1－sin 22α＝35，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.(2)∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝45， 于是sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425.又sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos 2β， ∴cos 2β＝－2425，又∵2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin 2β＝725， 又∵cos 2α＝1＋cos 2α2＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos α＝255，sin α＝55.∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝255 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－55×725＝－11525.。
高考数学大一轮复习课时限时检测(二十一)两角和与差的正弦、余弦和正切公式
课时限时检测(二十一) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(时间：60分钟 满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1.3－sin 70°2－cos 210°＝( ) A.12 B.22 C ．2 D.32【答案】 C2．设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( ) A.22 B.12C ．0 D.－1 【答案】 C3．若sin ()α＋β＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β的值为( ) A ．5 B.－1 C ．6 D ．16【答案】 A4．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则C 等于( ) A.π3 B.2π3 C.π6 D ．π4【答案】 A5．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α是第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( )A ．7 B.－7 C.17D.－17【答案】 C6．(2013·浙江高考)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34D.－43 【答案】 C二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________．【答案】 498．设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝______. 【答案】 －799．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为________． 【答案】 12三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6， x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值； (2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． 【解】 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13×5π4－π6＝2sin π4＝ 2. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2－π6＝2sin α＝1013， ∴sin α＝513， f (3β＋2π)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13β＋2π－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π2 ＝2cos β＝65，∴cos β＝35. ∵α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴cos α＝1－sin 2α＝1213，sin β＝1－cos 2β＝45， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×35－513×45＝1665.图3－5－111．(12分)如图3－5－1，以Ox 为始边作角α与β(0＜β＜α＜π)，它们终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45. (1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值； (2)若OP ⊥OQ ， 求α＋β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β.【解】 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45， ∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αα＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825. (2)∵OP ⊥OQ ，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2. ∴sin β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos α＝35，cos β＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝sin α＝45. ∴α＋β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝sin αcos β＋cos αsin βcos β－sin β ＝45×45－35×3545－35＝72515＝75. 12．(13分)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2， 求证：[f (β)]2－2＝0.【解】 (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明 ∵cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45.∴cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加得2cos βcos α＝0. ∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫222－2＝0.。
2020届高考数学总复习课时跟踪练(二十一)两角和与差的正弦、余弦和正切公式文(含解析)新人教A版
课时跟踪练(二十一)A 组 基础巩固1．(2019·成都模拟)sin 20°cos 10°－cos 160°·sin 10°＝( ) A.32B ．－32C ．－12D.12解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.答案：D2．(2019·大庆模拟)已知α，β都是锐角，且sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：因为sin α cos β＝cos α(1＋sin β)，所以sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α， 所以α－β＝π2－α，即2α－β＝π2.答案：B3．(2019·合肥模拟)tan 70°·cos 10°(3tan 20°－1)等于( ) A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：tan 70°·cos 10°(3tan 20°－1) ＝sin 70°cos 70°·cos 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫3·sin 20°cos 20°－1 ＝cos 20°cos 10°sin 20°·3sin 20°－cos 20°cos 20°＝cos 10°·2sin（20°－30°）sin 20°＝－sin 20°sin 20°＝－1.答案：C4．(2019·广东省际名校联考)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝( )A.2325B ．－2325C.725D ．－725解析：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝45， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－725.答案：D5．(2019·信阳一模)已知α，β均为锐角，且sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，则β等于( )A.π3B.π4C.π6D.π12解析：因为α为锐角且sin α＝437，所以cos α＝17.因为α，β均为锐角，所以0<α＋β<π.又因为cos(α＋β)＝－1114，所以sin(α＋β)＝5314.所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－1114×17＋5314×437＝－11＋6098＝12. 又因为β为锐角，所以β＝π3.答案：A6．(2017·江苏卷)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________． 解析：因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，所以tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4tanπ4＝16＋11－16×1＝75.答案：757．(2019·长沙模拟)已知P ，Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P 点的纵坐标为45，Q 点的横坐标为513，则cos ∠POQ ＝________．解析：依题意，sin ∠xOP ＝45，cos ∠xOQ ＝513.所以cos ∠xOP ＝35，sin ∠xOQ ＝－1213.所以cos ∠POQ ＝cos(∠xOP ＋∠xOQ )＝cos ∠xOP ·cos ∠xOQ －sin ∠xOP ·sin ∠xOQ ＝35×513－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝6365.答案：63658．化简：2tan （45°－α）1－tan 2（45°－α）·sin αcos αcos 2 α－sin 2α＝________． 解析：原式＝tan(90°－2α)·12sin 2αcos 2α＝12·sin （90°－2α）cos （90°－2α）·sin 2αcos 2α＝12·cos 2αsin 2α·sin 2αcos 2α＝12. 答案：129．(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P (－35，－45)．(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．解：(1)由角α的终边过点P (－35，－45)，得sin α＝－45.所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P (－35，－45)，得cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.10．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．解：(1)因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，从而－π2<α－β<π2.又因为tan(α－β)＝－13<0，所以－π2<α－β<0.利用同角三角函数的基本关系可得sin 2(α－β)＋cos 2(α－β)＝1，且sin （α－β）cos （α－β）＝－13，解得sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.因为α为锐角，sin α＝35，所以cos α＝45.所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝91050. B 组 素养提升11．(2019·长沙一中调研)若点(θ，0)是函数f (x )＝sin x ＋2cos x 图象的一个对称中心，则cos 2θ＋sin θcos θ＝( )A.1110B ．－1110C ．1D ．－1解析：因为点(θ，0)是函数f (x )＝sin x ＋2cos x 图象的一个对称中心， 所以sin θ＋2cos θ＝0，即tan θ＝－2.所以cos 2θ＋sin θcos θ＝cos 2θ－sin 2θ＋sin θcos θsin 2 θ＋cos 2 θ＝1－tan 2θ＋tan θtan 2θ＋1＝1－4－24＋1＝－1.答案：D12．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( )A ．α<π4<βB ．β<π4<αC.π4<α<β D.π4<β<α 解析：因为α为锐角，sin α－cos α＝16>0，所以π4<α<π2.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，所以α＋β＝π3，又α>π4，所以β<π4<α.答案：B13．(2019·吉林模拟)已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝________． 解析：依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－35.又β是第三象限角，所以cos β＝－45.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4 ＝－sin βcos π4－cos βsin π4.＝35×22＋45×22＝7210. 答案：721014．已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值． 解：因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数， 而y ＝a ＋2cos 2x 为偶函数， 所以y ＝cos(2x ＋θ)为奇函数． 因为θ∈(0，π)，所以θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x (a ＋2cos 2x )．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－sin π2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2cos 2 π4＝－(a ＋1)＝0，所以a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－12sin 4x .因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25，所以sin α＝45. 又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝45×12－35×32＝4－3310.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时跟踪检测(二十一) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32B.32C ．－12D.12解析：选D sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.2．(2015·南宁二模)已知sin 2α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A ．－13B.13C ．－23D.23解析：选D 依题意得cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12(cos α＋sin α)2＝12(1＋sin 2α)＝23.3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，－π2＜α＜0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值是( )A.12 B.23C ．－12D ．1解析：选C 由已知得cos α＝12，sin α＝－32，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.4．(2015·邢台摸底)已知tan(3π－α)＝－12，tan(β－α)＝－13，则tan β＝________.解析：依题意得tan α＝12，tan β＝tan[(β－α)＋α]＝β－α＋tan α1－β－αα＝17.答案：175．(2016·贵阳摸底)设sin α＝2cos α，则tan 2α的值为________． 解析：由题可知，tan α＝sin αcos α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. 答案：－43二保高考，全练题型做到高考达标1．(2015·唐山一模)已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( ) A ．－43B.43 C ．－43或0D.43或0 解析：选D ∵⎩⎪⎨⎪⎧2sin 2α＝1＋cos 2α，sin 22α＋cos 22α＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＝0，cos 2α＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＝45，cos 2α＝35，∴tan 2α＝0或tan 2α＝43.2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝( )A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1解析：选C ∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，∴cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋cos x cos π3＋sin x sin π3＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－1.3．(2016·东北三省三校联考)已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( ) A.118B.1718C.89D.29解析：选B 由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718.4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选C 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210得sin α－cos α＝75， ① 由cos 2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725，所以(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝725， ②由①②可得cos α＋sin α＝－15， ③由①③可得sin α＝35.5．(2016·江西九校联考)已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( )A ．α<π4＜βB ．β<π4<αC.π4<α<β D.π4<β<α解析：选B ∵α为锐角，sin α－cos α＝16>0，∴α>π4.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π4<α.6．(2015·河南统考)已知tan α，tan β是lg(6x 2－5x ＋2)＝0的两个实根，则tan(α＋β)＝________.解析：由lg(6x 2－5x ＋2)＝0，得6x 2－5x ＋1＝0，∴由题意知tan α＋tan β＝56，tan α·tan β＝16，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1.答案：17．计算sin 250°1＋sin 10°＝________.解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°＋＝1－＋＋＝1＋sin 10°＋sin＝12. 答案：128．设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________． 解析：因为α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝725， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝2425×22－725×22＝17250. 答案：172509．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝12，求tan 2α和sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值．解：∵tan α＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43， 且sin αcos α＝12，即cos α＝2sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴5sin 2α＝1，而α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝55，cos α＝255. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×255＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝45－15＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 10．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π2<α－β<π2.又由sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．化简sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α的结果是________．解析：法一：原式＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π32＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12.答案：122．(2016·合肥质检)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． 解：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴ sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.。