运筹学作业3(第二章部分习题)答案
管理运筹学作业 韩伯棠第3版高等教育出版社课后答案
课程：管理运筹学管理运筹学作业第二章线性规划的图解法P23：Q2：（1）－（6）；Q3：(2)Q2：用图解法求解下列线性规划问题，并指出哪个问题具有唯一最优解，无穷多最优解，无界解或无可行解。
（1）Min f＝6X1+4X2约束条件：2X1+X2>=1,3X1+4X2>=3X1, X2>=0解题如下：如图1Min f＝3.6X1=0.2, X2=0.6本题具有唯一最优解。
图1（2）Max z＝4X1+8X2约束条件：2X1+2X2<=10-X1+X2>=8X1,X2>=0解题如下：如图2：Max Z 无可行解。
图2（3） Max z ＝X1+X2 约束条件 8X1+6X2>=24 4X1+6X2>=-12 2X2>=4 X1,X2>=0 解题如下：如图3： Max Z=有无界解。
图3（4） Max Z ＝3X1-2X2 约束条件：X1+X2<=1 2X1+2X2>=4 X1,X2>=0 解题如下：如图4： Max Z 无可行解。
图4(5)Max Z＝3X1+9X2 约束条件：X1+3X2<=22-X1+X2<=4X2<=62X1-5X2<=0X1,X2>=0解题如下：如图5：Max Z =66；X1=4 X2=6本题有唯一最优解。
图5(6)Max Z=3X1+4X2 约束条件：-X1+2X2<=8X1+2X2<=122X1+X2<=162X1-5X2<=0X1,X2>=0解题如下：如图6Max Z =30.669X1=6.667 X2=2.667本题有唯一最优解。
图6Q3：将线性规划问题转化为标准形式（2）min f＝4X1+6X2约束条件：3X1-2X2>=6X1+2X2>=107X1-6X2=4X1,X2>=0解题如下：1）目标函数求最小值化为求最大值：目标函数等式左边min改为max，等式右边各项均改变正负号。
2016春北航《运筹学》在线作业3
正确答案:[hide]——ABC——[/hide]
3.下面命题不正确的是( )。 (满分:4)
A. 线性规划标准型要求右端项非负
B. 任何线性规划都可化为标准形式
C. 线性规划的目标函数可以为不等式
A. 错误
B. 正确
正确答案:[hide]——A——[/hide]
2.线性规划求最优解，目标规划求满意解 ( ) (满分:3)
A. 错误
B. 正确
正确答案:[hide]——B——[/hide]
3.LP问题的每一个基可行解对应可行域的一个顶点( ) (满分:3)
正确答案:[hide]——C——[/hide]
2.在一个运输方案中，从任一数字格开始，( )一条闭合回路。 (满分:3)
A. 可以形成至少
B. 不能形成
C. 可以形成
D. 有可能形成
正确答案:[hide]——B——[/hide]
A. 错误
B. 正确
正确答案:[hide]——B——[/hide]
6.线性规划无可行解是指进基列系数非正 ( ) (满分:3)
A. 错误
B. 正确
正确答案:[hide]——A——[/hide]
7.简单图G（V, E）是树图，有n个点和恰好(n-1)条边。( ) (满分:3)
A. 若变量组B包含有闭回路，则B中的变量对应的列向量线性无关
B. 运输问题的对偶问题不一定存在最优解
C. 平衡运输问题的对偶问题的变量非负
D. 第i行的位势ui是第i个对偶变量
正确答案:[hide]——ABC——[/hide]
三、判断题：
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
运筹学作业28272
第一章 导论1.简述运筹学的定义。
运筹学利用计划方法和有关多学科的要求，把复杂功能关系表示成数学模型，其目的是通过定量分析为决策和揭露新问题提供数量根据。
2. 决策方法可以分为哪几类。
定性决策，定量决策，混合性决策。
3. 应用运筹学进行决策过程的步骤有哪些。
（1）观察待决策问题所处的环境；（2）分析和定义待决策的问题；（3）拟定模型；（4）选择输入资料；（5）提出解并验证它的合理性；（6）实施最优解。
实践能力考核选例根据本章学习的内容，结合实际例子，说明在应用运筹学进行决策过程中的六个步骤有哪些？（1）观察待决策问题所处的环境；（2）分析和定义待决策的问题；（3）拟定模型；（4）选择输入资料；（5）提出解并验证它的合理性；（6）实施最优解。
第二章 预测1.比较特尔斐法和专家小组法这两种定性预测法的特点。
特尔斐法的特点是：第一，专家发表意见是匿名的；第二，进行多次信息反馈；第三，由调研人员整理并归纳专家们的总结意见，将比较统一的意见和比较特殊的意见一起交给有关部门，以供他们决策。
专家小组法的优点是可以做到相互协商、相互补充；但当小组会议组织得不好时，也可能会使权威人士左右会场或多数人的意见湮没了少数人的创新见解。
2.简述指数平滑预测法的原理。
1()t t t t F F x F α+=+-，其中1t F +、t F 是1t +期、t 期的预测值，t x 是t 期的实际值，α是平滑系数。
3.简述一元线性回归模型预测的过程。
先根据x 、y 的历史数据，求出a 和b 的值，建立起回归模型，再运用模型计算出不同的x 所相对的不同的y 值。
实践能力考核选例应用简单滑动平均预测法，加权滑动平均预测法，指数平滑预测法，来预测中国2012年的居民消费指数（CPI ）水平。
（资料可由历年中国统计年鉴获得）（1）滑动平均预测法：（1270.8+1191.8+1239.9+1265）/4=1241.875（2）加权滑动平均预测法：（1270.8*1+1191.8*2+1239.9*3+1265*4）/（1+2+3+4）=1243.41第三章决测1.试述不确定条件下各种决策的标准，并比较各种决策标准的特点。
运筹学》习题答案运筹学答案
《运筹学》习题答案一、单选题1.用动态规划求解工程线路问题时，什么样的网络问题可以转化为定步数问题求解（）B A.任意网络B.无回路有向网络C.混合网络D.容量网络2.通过什么方法或者技巧可以把工程线路问题转化为动态规划问题？（）B A.非线性问题的线性化技巧B.静态问题的动态处理C.引入虚拟产地或者销地D.引入人工变量3.静态问题的动态处理最常用的方法是？B A.非线性问题的线性化技巧B.人为的引入时段C.引入虚拟产地或者销地D.网络建模4.串联系统可靠性问题动态规划模型的特点是（）D A.状态变量的选取B.决策变量的选取C.有虚拟产地或者销地D.目标函数取乘积形式5.在网络计划技术中，进行时间与成本优化时，一般地说，随着施工周期的缩短，直接费用是( )。
C A.降低的B .不增不减的C .增加的D .难以估计的6.最小枝权树算法是从已接接点出发，把( )的接点连接上C A.最远B.较远C.最近D.较近7.在箭线式网络固中，( )的说法是错误的。
D A.结点不占用时间也不消耗资源B.结点表示前接活动的完成和后续活动的开始C.箭线代表活动D.结点的最早出现时间和最迟出现时间是同一个时间8.如图所示，在锅炉房与各车间之间铺设暖气管最小的管道总长度是( )。
C A.1200 B.1400 C.1300 D.1700 9.在求最短路线问题中，在求最短路线问题中，已知起点到已知起点到A ，B ，C 三相邻结点的距离分别为15km ，20km,25km ，则（）。
D A.最短路线—定通过A 点B.最短路线一定通过B 点C.最短路线一定通过C 点D.不能判断最短路线通过哪一点10.在一棵树中，如果在某两点间加上条边，则图一定( )A A.存在一个圈B.存在两个圈C .存在三个圈D .不含圈11.网络图关键线路的长度( )工程完工期。
C A.大于B.小于C.等于D.不一定等于600 700 300 500 400 锅炉房12 312.在计算最大流量时，我们选中的每一条路线( )。
运筹学习题集(第二章)
判断题判断正误，如果错误请更正第二章线形规划的对偶理论1.原问题第i个约束是<=约束,则对偶变量yi>=0.2.互为对偶问题,或则同时都有最优解,或则同时都无最优解.3.原问题有多重解,对偶问题也有多重解.4.对偶问题有可行解,原问题无可行解,则对偶问题具有无界解.5.原问题无最优解,则对偶问题无可行解.6.设X,Y分别为｛minZ=CX｜AX>=b,X>=0｝和｛maxw=Yb｜YA<=C,Y>=0｝的可行解,则有(1)CX<=Yb;(2)CX是w的上界;(3)当X,Y为最优解,CX=Yb;(4)当CX=Yb 时,有YXs+YsX=0;(5)X为最优解且B是最优基时,则Y=CB-1是最优解;(6)松弛变量Ys的检验数是λs,则X=-λs是基本解,若Ys是最优解, 则X=-λs是最优解.7.原问题与对偶问题都可行,则都有最优解.8.原问题具有无界解,则对偶问题可行.9.若X,Y是原问题与对偶问题的最优解.则X=Y.10.若某种资源影子价格为0,则该资源一定有剩余.11影子价格就是资源的价格.12.原问题可行对偶问题不可行,可用对偶单纯形法计算.13.对偶单纯形法比值失效说明原问题具有无界解.14.对偶单纯形法是直接解对偶问题的一种解法.15.减少一个约束,目标值不会比原来变差.16.增加一个约束,目标值不会比原来变好.17增加一个变量, 目标值不会比原来变差.18.减少一个非基变量, 目标值不变.19.当Cj(j=1,2,3,……，n)在允许的最大范围内同时变化时，最优解不变。
选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第二章线性规划的对偶理论1.如果决策变量数列相等的两个线规划的最优解相同，则两个线性规划 A约束条件相同B目标函数相同 C最优目标函数值相同 D以上结论都不对2.对偶单纯形法的最小比值规则是为了保证 A使原问题保持可行 B使对偶问题保持可行C逐步消除原问题不可行性 D逐步消除对偶问题不可行性3.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 A若最优解存在，则最优解相同 B原问题无可行解，则对偶问题也无可行解 C对偶问题无可行解，原问题可能无可行解 D一个问题无界，则另一个问题无可行解 E一个问题无可行解，则另一个问题具有无界解4.已知规范形式原问题（max）的最优表中的检验数为（λ1，λ2，……λn），松弛变量的检验数为（λn+1,λn+2,……λn+m）,则对偶问题的最优解为 A—（λ1，λ2，……λn） B （λ1，λ2，……λn） C —（λn+1,λn+2,……λn+m）D（λn+1,λn+2,……λn+m）5.原问题与对偶问题都有可行解，则 A原问题有最优解，对偶问题可能没有最优解B原问题与对偶问题可能都没有最优解 C可能一个问题有最优解，另一个问题具有无界解D 原问题与对偶问题都有最优解计算题线性规划问题和对偶问题对于如下的线性规划问题min z = 3x1 + 2x2+x3. x1 + x2+ x3 ≤ 15 (1)2x1 - x2+ x3≥ 9 (2)-x1 + 2x2+2x3≤ 8 (3)x1 x2x3 ≥ 01、写出题目中线性规划问题的对偶问题；2、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；解答：1、写出题目中线性规划问题的对偶问题；解：max w = 15y1 + 9y2 + 8y3. y1 + 2y2- y3 ≤ 3 (1)y1 - y2+ 2y3≤ 2 (2)y1 + y2+ 2y3≤ 1 (3)y1≤0、 y2 ≥0、y3 ≤02、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；解：先将原问题化成以下形式，则有mi n z = 3x1 + 2x2 + x3. x1 + x2+ x3+ x4= 15 (1)-2x1 + x2- x3+ x5= -9 (2)-x1 + 2x2+2x3+x6= 8 (3)x1 x2x3x4x5x6 ≥ 0原始问题的最优解为（X1 X2 X3 X4 X5 X6）=（2，0，5，8，0，0），minz=11对偶问题的最优解为（y1 y2 y3 y4 y5 y6）=（0，7/5，-1/5，0，19/5，0），maxw=11对于以下线性规划问题max z = -x1 - 2x2. -2x1 + 3x2≤ 12 (1)-3x1 + x2≤ 6 (2)x1 + 3x2≥ 3 (3)x1≤ 0， x2≥ 01、写出标准化的线性规划问题；2、用单纯形表求出这个线性规划问题的最优解和最优的目标函数值；3、写出这个（极大化）线性规划问题的对偶问题；4、求出对偶问题的最优解和最优解的目标函数值；5、第（2）个约束右端常数b2=6在什么范围内变化，最优解保持不变。
运筹学第三版课后习题答案 (2)
运筹学第三版课后习题答案第一章：引论1.1 课后习题习题1a)运筹学是一门应用数学的学科，旨在解决实际问题中的决策和优化问题。
它包括数学模型的建立、问题求解方法的设计等方面。
b)运筹学可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、流程优化等。
它可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
c)运筹学主要包括线性规划、整数规划、指派问题等方法。
习题2运筹学的应用可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
它可以帮助制定最佳的生产计划，优化供应链管理，提高运输效率等。
运筹学方法的应用还可以帮助解决紧急情况下的应急调度问题，优化医疗资源分配等。
1.2 课后习题习题1运筹学方法可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、供应链管理、流程优化等。
在物流管理中，可以使用运筹学方法优化仓储和运输的布局，提高货物的运输效率。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化产品的生产数量和生产周期，降低生产成本。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化订单配送和库存管理，提高供应链的效率。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程，提高整体效率。
习题2在物流管理中，可以使用运筹学方法优化车辆的调度和路线规划，以提高运输效率和降低成本。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化生产线的安排和产品的生产量，以降低生产成本和提高产能利用率。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化供应链各个环节的协调和调度，以提高整体效率和减少库存成本。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程的排布和资源的分配，以提高流程效率和客户满意度。
第二章：线性规划基础2.1 课后习题习题1线性规划是一种数学优化方法，用于解决包含线性约束和线性目标函数的优化问题。
其一般形式为：max c^T*xs.t. Ax <= bx >= 0其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束矩阵，b是约束向量。
习题2使用线性规划方法可以解决许多实际问题，如生产计划、供应链管理、资源分配等。
运筹学第二章作业的参考答案
第二章作业的参考答案73P 4、将下面的线性规划问题化成标准形式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤-+≥+-+-613032632..2max 21321321321x x x x x x x x t s x x x解：将max 化为 min ，3x 用54x x -代替，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤-≤≤≤--+≥-+---+-0,61303)(26)(32..)(2min 5421542154215421x x x x x x x x x x x x t s x x x x令122+='x x ，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤'≤≤≤≤---'+≥-+-'----'+-0,70303)()1(26)(3)1(2..)(21min 5421542154215421x x x x x x x x x x x x t s x x x x将线性不等式化成线性等式，则可得原问题的标准形式⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥'=+'=+=++-'+=--+'--+-'+-0,,,,,,,73424332..122min 98765421928175421654215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x73P 5、用图解法求解下列线性规划问题：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥++212620..3min 212121x x x x t s x x解：图2.1的阴影部分为此问题的可行区域。
将目标函数的等值线c x x =+213（c 为常数）沿它的负法线方向T），（31--移动到可行区域的边界上。
于是交点T），（812就是该问题的最优解，其最优值为36。
74P 12、对于下面的线性规划问题，以),,(632A A A B =为基写出对应的典式。
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=+++-=++-=++-+-6,,1,010 83412 427 23..2min 63215214321321 j x x x x x x x x x x x x t s x x x j 解：先将方程组中基变量632,,x x x 的系数向量化成单位向量⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥-=+---=++-=++++-6,,1,039 47 4 2253 41 21581 21 45..2min 65415215431321 j x x x x x x x x x x x x t s x x x j 利用线性方程组的典式，把32,x x 用541,,x x x 表示，再带入目标函数，则可得原问题相应于基),,(632A A A B =的典式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥-=+---=++-=++++---6,,1,039 47 4 2253 41 21581 21 45..8321451min 65415215431541 j x x x x x x x x x x x x t s x x x j75P 16、用单纯形法求解下列线性规划问题：(1)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤-+≤+-≤+++--=3,2,1,020102603..2min 321321321321j x x x x x x x x x x t s x x x z j解：将此问题化成标准形式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=+-+=++-=++++--=6,5,4,3,2,1,020102603..2min 632153214321321j x x x x x x x x x x x x x t s x x x z j以654,,x x x 为基变量，可得第一张单纯形表为以1x 为以2x 为进基变量，6x 为离基变量旋转得 解为Tx )0,5,15(*=，最所以最优优值为-35。
运筹学第二章答案.
2.1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-≤+≤++=0,84821234..2max 2121212121x x x x x x x x t s x x z解：首先划出平面直角坐标系4 x 1 +3x 2X 1⎩⎨⎧=+=-1234842121x x x x 解：⎪⎩⎪⎨⎧=14921x x 所以：2111492max =+⨯=z 所以有唯一解(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-≤+≤+-+=0,414234223max 2121212121x x x x x x x x x x 解：2=41⎩⎨⎧=+=+-1423422121x x x x 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==4132521x x 所以:144132253max =⨯+⨯=z 因为直线02321=+x x 与直线142321=+x x 平行， 所以有无穷多最优解，max z=14（3） ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-+=0,432..32max 21212121x x x x x x t s x x z 解：（4）⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≥-+=0,330..max 21212121x x x x x x t s x x z解：2.2将下列线性规划问题化为标准形式(1) s.t.⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-+-=++-+-=无约束321321321321,0,0624322min x x x x x x x x x x x x z (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥-=-+-≤+-≥--+=0,0232132..23min 3213213132321x x x x x x x x x x t s x x x z 无约束， 解：（1）令011≥-=x x )0'','('''33333≥-=x x x x x则上述形式可化为：)'''(32'2m ax 3321x x x x z --+=⎪⎩⎪⎨⎧≥=+--+=-++0,'',',,'6)'''('24)'''('..43321433213321x x x x x x x x x x x x x x t s（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥-=-+-≤+-≥--+=0,0232132..23min 3213213132321x x x x x x x x x x t s x x x z 无约束， 解：令33'x x -= )0','','(322≥x x x 则上述形式可化为：')'''(23m ax 3221x x x x z ----=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=---=+--=+---0,,','',',2')'''(321')'''(3')'''(2..543221322153224322x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s 2.3. 在下列线性规划问题中，找出所有基解，指出哪些是基可行解并分别代入目标函数，比较找出最优解。
《运筹学》课堂作业及相应答案解析
第一部分绪论第二部分线性规划与单纯形法1 判断下列说法是否正确：(a)图解法同单纯形法虽然求解的形式不同,但从几何上理解,两者是一致的；(b)线性规划模型中增加一个约束条件,可行域的范围一般将缩小,减少一个约束条件,可行域的范围一般将扩大；(c)线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点；(d)如线性规划问题存在可行域,则可行域一定包含坐标的原点；(e)对取值无约束的变量x i,通常令其中,在用单纯形法求得的最优解中有可能同时出现(f)用单纯形法求解标准型的线性规划问题时,与对应的变量都可以被选作换入变量；(g)单纯形法计算中,如不按最小比值原则选取换出变量,则在下一个解中至少有一个基变量的值为负；(h)单纯形法计算中,选取最大正检验数δk对应的变量x k作为换入变量,将使目标函数值得到最快的增长；(i)一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后,则该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除,而不影响计算结果；(j)线性规划问题的任一可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示；(k)若x1,x2分别是某一线性规划问题的最优解,则也是该线性规划问题的最优解,其中λ1,λ2可以为任意正的实数；(1)线性规划用两阶段法求解时,第一阶段的目标函数通常写为X ai为人工变量),但也可写为,只要所有k i均为大于零的常数；(m)对一个有n个变量、m个约束的标准型的线性规划问题,其可行域的顶点恰好为个；(n)单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转转换到目标函数值更大的另一个可行解；(o)线性规划问题的可行解如为最优解,则该可行解一定是基可行解；(p)若线性规划问题具有可行解,且其可行域有界,则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解；(q)线性规划可行域的某一顶点若其目标函数值优于相邻的所有顶点的目标函数值,则该顶点处的目标函数值达到最优；(r)将线性规划约束条件的“≤”号及“≥”号变换成“＝”号,将使问题的最优目标函数值得到改善；(s)线性规划目标函数中系数最大的变量在最优解中总是取正的值；(t)一个企业利用3种资源生产4种产品,建立线性规划模型求解得到的最优解中,最多只含有3种产品的组合；(u)若线性规划问题的可行域可以伸展到无限,则该问题一定具有无界解；(v)一个线性规划问题求解时的迭代工作量主要取决于变量数的多少,与约束条件的数量关系相对较小。
运筹学_第2章_对偶理论习题
第二章线性规划的对偶理论2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题max z=2x1+2x2－4x3x1 + 3x2 + 3x3 ≤304x1 + 2x2 + 4x3≤80x1、x2，x3≥0解：其对偶问题为min w=30y1+ 80y2y1+ 4y2≥23y1 + 2y2 ≥23y1 + 4y2≥－4y1、y2≥02.2 写出下列线性规划问题的对偶问题min z=2x1+8x2－4x3x1 + 3x2－3x3 ≥30－x1 + 5x2 + 4x3 = 804x1 + 2x2－4x3≤50x1≤0、x2≥0，x3无限制解：其对偶问题为max w=30y1+80 y2+50 y3y1－y2 + 4 y3≥23y1+5y2 + 2y3≤8－3y1 + 4y2－4y3 =－4y1≥0，y2无限制，y3≤02.3已知线性规划问题max z=x1+2x2+3x3+4x4x1 + 2x2 + 2x3 +3x4≤202x1 + x2 + 3x3 +2x4≤20x1、x2，x3，x4≥0其对偶问题的最优解为y1*=6/5，y2*=1/5。
试用互补松弛定理求该线性规划问题的最优解。
解：其对偶问题为min w=20y1+ 20y2y1 + 2y2≥1 （1）2y1 + y2 ≥2 （2）2y1 +3y2≥3 （3）3y1 +2y2≥4 （4）y1、y2≥0将y1*=6/5，y2*=1/5代入上述约束条件，得（1）、（2）为严格不等式；由互补松弛定理可以推得x1*=0，x2*=0。
又因y1*>0，y2*>0，故原问题的两个约束条件应取等式，所以2x3*+3x4* = 203x3* +2x4* = 20解得x3* = x4* = 4。
故原问题的最优解为X*=（0，0，4，4）T2.4用对偶单纯形法求解下列线性规划min z=4x1+2x2+6x32x1 +4x2 +8x3 ≥244x1 + x2 + 4x3≥8x1、x2，x3≥0解将问题改写成如下形式max（－z）=－4x1－2x2－6x3－2x1－4x2 －8x3 + x4=－24－4x1－x2－4x3+x5 =－8x1、x2，x3，x4，x5≥0显然，p4、p5可以构成现成的单位基，此时，非基变量在目标函数中的系数全为负数，因此p4、p5构成的就是初始正侧基。
运筹学第二章答案
1．某人根据医嘱，每天需补充A 、B 、C 三种营养，A 不少于80单位，B 不少于150单位，C 不少于180单位．此人准备每天从六种食物中摄取这三种营养成分．已知六种食物每百克的营养成分含量及食物价格如表2-22所示．（1）试建立此人在满足健康需要的基础上花费最少的数学模型；（2）假定有一个厂商计划生产一中药丸，售给此人服用，药丸中包含有A ，B ，C 三种营养成分．试为厂商制定一个药丸的合理价格，既使此人愿意购买，又使厂商能获得最大利益，建立数学模型．表2-22【解】（1）设x j 为每天第j 种食物的用量，数学模型为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥++++≥+++++≥++++++++++=01801034217181501512253092480118401425132.03.09.08.04.05.0min 65432154321654321654321654321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z 、、、、、（2）设y i 为第i 种单位营养的价格，则数学模型为12312312312312312312123m ax 801501801324180.525970.41430210.84025340.9812100.311150.5,,0w y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪++≤⎪++≤⎨⎪++≤⎪⎪++≤⎪≥⎩2．写出下列线性规划的对偶问题 （1）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤+-+-=0,451342max 21212121x x x x x x x x 【解】12121212m in 42354,0w y y y y y y y y =-+-+≥-⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+--=++-=0,8310232min 32132121321x x x x x x x x x x x Z 无约束， 【解】121212212m ax 108223130w y y y y y y y y y =+-=⎧⎪-=-⎪⎨≤⎪⎪≥⎩无约束；（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤++-≥--+=--+-++=无约束43214321432143214321,0,0,66841052678410342max x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z 【解】123123123123123123m in 8106107416822644530,0w y y y y y y y y y y y y y y y y y y =++++≥⎧⎪+-≥⎪⎪--+≤⎨⎪--+=-⎪≤≥⎪⎩无约束； （4）12341234134123411234m ax 236732696562225100,,,Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-++--+-=⎧⎪+-≥⎪⎪-+-+≤-⎨⎪≤≤⎪≥⎪⎩无约束【解】123412341341234111234m ax 236732696562225100,,,Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-++--+-=⎧⎪+-≥⎪⎪-+-+≤-⎪⎨≥⎪⎪≤⎪≥⎪⎩无约束对偶问题为： 12345123451212312312345m in 962+510362223566270,000w y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x =--+--+-≥-⎧⎪-+=⎪⎪--=⎨⎪-++=-⎪≤≥≤≥⎪⎩无约束；，，， 3．考虑线性规划⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥++=0,73225442012min 2121212121x x x x x x x x x x Z(1)说明原问题与对偶问题都有最优解；(2)通过解对偶问题由最优表中观察出原问题的最优解； (3)利用公式C B B －1求原问题的最优解； (4)利用互补松弛条件求原问题的最优解． 【解】(1)原问题的对偶问题为123123123m ax 427212453200,1,2,3jw y y y y y y y y y y j =++⎧++≤⎪++≤⎨⎪≥=⎩容易看出原问题和对偶问题都有可行解，如X ＝(2，1)、Y ＝(1，0，1)，由定理2.4知都有最优解。
运筹学_第2章_对偶理论习题
运筹学_第2章_对偶理论习题第⼆章线性规划的对偶理论2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题max z=2x1+2x2－4x3x1 + 3x2 + 3x3 ≤304x1 + 2x2 + 4x3≤80x1、x2，x3≥0解：其对偶问题为min w=30y1+ 80y2y1+ 4y2≥23y1 + 2y2 ≥23y1 + 4y2≥－4y1、y2≥02.2 写出下列线性规划问题的对偶问题min z=2x1+8x2－4x3x1 + 3x2－3x3 ≥30－x1 + 5x2 + 4x3 = 804x1 + 2x2－4x3≤50x1≤0、x2≥0，x3⽆限制解：其对偶问题为max w=30y1+80 y2+50 y3y1－y2 + 4 y3≥23y1+5y2 + 2y3≤8－3y1 + 4y2－4y3 =－4y1≥0，y2⽆限制，y3≤02.3已知线性规划问题max z=x1+2x2+3x3+4x4x1 + 2x2 + 2x3 +3x4≤202x1 + x2 + 3x3 +2x4≤20x1、x2，x3，x4≥0其对偶问题的最优解为y1*=6/5，y2*=1/5。
试⽤互补松弛定理求该线性规划问题的最优解。
解：其对偶问题为min w=20y1+ 20y2y1 + 2y2≥1 （1）2y1 + y2 ≥2 （2）2y1 +3y2≥3 （3）3y1 +2y2≥4 （4）y1、y2≥0将y1*=6/5，y2*=1/5代⼊上述约束条件，得（1）、（2）为严格不等式；由互补松弛定理可以推得x1*=0，x2*=0。
⼜因y1*>0，y2*>0，故原问题的两个约束条件应取等式，所以2x3*+3x4* = 203x3* +2x4* = 20解得x3* = x4* = 4。
故原问题的最优解为X*=（0，0，4，4）T2.4⽤对偶单纯形法求解下列线性规划min z=4x1+2x2+6x32x1 +4x2 +8x3 ≥244x1 + x2 + 4x3≥8x1、x2，x3≥0解将问题改写成如下形式max（－z）=－4x1－2x2－6x3－2x1－4x2 －8x3 + x4=－24－4x1－x2－4x3+x5 =－8x1、x2，x3，x4，x5≥0显然，p4、p5可以构成现成的单位基，此时，⾮基变量在⽬标函数中的系数全为负数，因此p4、p5构成的就是初始正侧基。
最新版2016年秋北航《运筹学》在线作业3满分答案2016年
北航《运筹学》在线作业3一、单选题（共 10 道试题，共 30 分。
）1. 基本可行解是满足非负条件的基本解。
（）A. 正确B. 错误C. 不一定D. 无法判断正确答案：A2. 不满足匈牙利法的条件是A. 问题求最小值B. 效率矩阵的元素非负C. 人数与工作数相等D. 问题求最大值正确答案：D3. 连通图G有n个点，其部分树是T，则有A. T有n个点n条边B. T的长度等于G的每条边的长度之和C. T有n个点n－1条边D. T有n－1个点n条边正确答案：C4. 线性规划标准型中，决策变量（）是非负的。
A. 一定B. 一定不C. 不一定D. 无法判断正确答案：A5. 运输问题可以用( )法求解。
A. 定量预测B. 单纯形C. 求解线性规划的图解D. 关键线路正确答案：B6. 下列说法正确的是A. 割集是子图B. 割量等于割集中弧的流量之和C. 割量大于等于最大流量D. 割量小于等于最大流量正确答案：C7. 动态规划求解的一般方法是什么？（）A. 图解法B. 单纯形法C. 逆序求解D. 标号法正确答案：C8. 运输问题的数学模型属于A. 0-1规划模型B. 整数规划模型C. 网络模型D. 以上模型都是正确答案：C9.通过什么方法或者技巧可以把产销不平衡运输问题转化为产销平衡运输问题( )A. 非线性问题的线性化技巧B. 静态问题的动态处理C. 引入虚拟产地或者销地D. 引入人工变量正确答案：C10. 下列结论正确的有A.运输问题的运价表第r行的每个Cij同时加上一个非零常数k，其最优调运方案不变B.运输问题的运价表第p列的每个Cij同时乘以一个非零常数k，其最优调运方案不变C. 运输问题的运价表的所有Cij同时乘以一个非零常数k,其最优调运方案变化D. 不平衡运输问题不一定存在最优解正确答案：A北航《运筹学》在线作业3二、多选题（共 10 道试题，共 40 分。
）1. 下列结论不正确的有A.运输问题的运价表第r行的每个Cij同时加上一个非零常数k，其最优调运方案不变B.运输问题的运价表第p列的每个Cij同时乘以一个非零常数k，其最优调运方案不变C. 运输问题的运价表的所有Cij同时乘以一个非零常数k,其最优调运方案变化D. 不平衡运输问题不一定存在最优解正确答案：BCD2. 下面命题不正确的是（）。
运筹学习题答案(第二章)
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第二章习题解答
minW b1y1 b2y2 bmym
m
aijyi
cj
( j 1,2,,n1)
对偶问题： stim1 aijyi cj
( j n1 1,n1 2,,n)
i1 yi 0
(i 1,,m1)
yi无约束（ j m1 1,,m）
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第二章习题解答
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max W 2 y 1 4 y 2 3 y 3
(1) 对偶问题：
3 y1 4 y 2 2 y 3 60
st
2 y1 y1 3
y2 y2
2 2
y3 y3
40 80
y 1 , y 2 , y 3 0
max Z x1 2 x2 x3
x1 x2 x3 2
st
x1 2 x1
x
2
x
2
x
3
x
1 3
2
.
x1 0, x2 0, x3无约束
(1)写出其对偶问题；(2)利用对偶问题性质证明 原问题目标函数值z≤1。
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Cj－Zj
32 2 0 0 0
┆ ┆ ┆ ┆┆ ┆ ┆ ┆ ┆
0 X4 5/4 0 0 (d) (l) -1/4 -1/4
3 X1 25/4 1 0 (e) 0 3/4 (i)
2 X2 5/2 0 1 (f) 0 (h) 1/2
Cj－Zj
0 (k) (g) 0 -5/4 (j)
《运筹学教程》第二章习题答案
《运筹学教程》第二章习题答案1、（1）解：引入松弛变量x4≥0,x5≥0,化不等式为等式为：minz=2X1 +3X2+4X3s.t. X1+3X2+2X3+X4=74X1+2X2+X5=9X1,X2,X4,X5≥0化自由变量为非负，令X3=X3′-X3〞，X3′，X3〞≥0 ：minz=2X1 +3X2+4X3′-4X3〞s.t. X1+3X2+2 X3′-2 X3〞+X4=74X1+2X2+X5=9X1,X2, X3′，X3〞，X4,X5 ≥0(2)解：引入松弛变量x5≥0,剩余变量X6≥0，化不等式为等式为：maxz=X1 -5X2+4X3- X4s.t. X1+2X3+X5=7X2-2X4-X6=9X1,X2，X4,X5 ，X6≥0化自由变量为非负，令X3=X3′-X3〞，X3′，X3〞≥0 ：maxz=X1 -5X2+4X3′-4X3〞- X4s.t. X1+2 X3′-2 X3〞+X5=7X2-2X4-X6=9X1,X2, X3′，X3〞，X4,X5 , X6≥0化极大的目标函数为极小的目标函数：minz=-X1+5X2-4X3′+4X3〞+X4s.t. X1+2 X3′-2 X3〞+X5=7X2-2X4-X6=9X1,X2, X3′，X3〞，X4,X5 , X6≥02、(1)是不等式表示下图阴影区域，过阴影部分任意两点的直线仍在该区域内。
(2)不是不等式表示下图阴影区域，过阴影部分且通过曲线上部的直线上的点不完全在该区域内。
(3)不是 不等式表示下图阴影区域，过阴影部分且通过圆内部的直线上的点不完全在该区域内。
3、在以下问题中，指出一组基础变量，求出所有基础可行解以及最优解。
（1）123123123123m ax 2..2644,,0z x x x s t x x x x x x x x x =+-⎫⎪++≤⎪⎬+-≤⎪⎪≥⎭解：将上式化成标准形式，如下：1231234123512345m in 2..2644,,,,0p x x x s t x x x x x x x x x x x x x =--+⎫⎪+++=⎪⎬+-+=⎪⎪≥⎭从上式中可以得出系数矩阵为[]12345112101411A P P P P P ⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦， 取基础变量为45,x x ，令非基变量123,,x x x =0，解方程组123412352644x x x x x x x x +++=+-+=得基础可行解(1)(0,0,0,6,4)T x =同理得基础解：(2)(0,6,0,0,20)T x =-，(3)(0,0,3,0,7)T x =，(4)(0,0,4,24,0)T x =-，(5)(0,1,0,5,0)Tx =，(6)1420(0,,,0,0)99Tx =，(7)(6,0,0,0,2)T x =-，(8)(4,0,0,2,0)Tx=，(9)202(,,0,0,0)33Tx =-，(10)142(,0,,0,0)33Tx =。
2-9章运筹学课后题及答案
第二章决策分析2.1 某公司面对五种自然状态、四种行动方案的收益情况如下表：假定不知道各种自然状态出现的概率，分别用以下五种方法选择最优行动方案：1、最大最小准则2、最大最大准则3、等可能性准则4、乐观系数准则（分别取α=0.6、0.7、0.8、0.9）5、后悔值准则解：1、用最大最小准则决策S4为最优方案；2、用最大最大准则决策S2为最优方案；3、用等可能性准则决策S4为最优方案；4、乐观系数准则决策(1) α=0.6，S1为最优方案；(2) α=0.7，S1为最优方案；(3) α=0.8，S1为最优方案；(4) α=0.9，S2为最优方案；可见，随着乐观系数的改变，其决策的最优方案也会随时改变。
5、用后悔值准则决策S4为最优方案。
2.2 在习题1中，若各种自然状态发生的概率分别为P（N1）=0.1、P（N2）=0.3、P（N3）=0.4、P（N4）=0.2、P（N5）=0.1。
请用期望值准则进行决策。
解：期望值准则决策S1为最优方案。
3.3 市场上销售一种打印有生产日期的保鲜鸡蛋，由于确保鸡蛋是新鲜的，所以要比一般鸡蛋贵些。
商场以35元一箱买进，以50元一箱卖出，按规定要求印有日期的鸡蛋在一周内必须售出，若一周内没有售出就按每箱10元处理给指定的奶牛场。
商场与养鸡场的协议是只要商场能售出多少，养鸡场就供应多少，但只有11箱、12箱、15箱、18箱和20箱五种可执行的计划，每周一进货。
1、编制商场保鲜鸡蛋进货问题的收益表。
2、分别用最大最小准则、最大最大准则、等可能性准则、乐观系数准则（α=0.8）和后悔值准则进行决策。
3、根据商场多年销售这种鸡蛋的报表统计，得到平均每周销售完11箱、12箱、15箱、18箱和20箱这种鸡蛋的概率分别为：0.1、0.2、0.3、0.3、0.1。
请用期望值准则进行决策。
1、收益表2、用各准则模型求解（1）最大最小准则得S5为最优方案；（2）最大最大准则得S1为最优方案；（3）等可能性准则得S4为最优方案；（4）乐观系数（ =0.8）准则得S1为最优方案；（5）后悔值准则得S3为最优方案。
运筹学习题答案
第一章习题1.思考题（1）微分学求极值的方法为什么不适用于线性规划的求解（2）线性规划的标准形有哪些限制如何把一般的线性规划化为标准形式（3）图解法主要步骤是什么从中可以看出线性规划最优解有那些特点（4）什么是线性规划的可行解，基本解，基可行解引入基本解和基可行解有什么作用（5）对于任意基可行解，为什么必须把目标函数用非基变量表示出来什么是检验数它有什么作用如何计算检验数（6）确定换出变量的法则是什么违背这一法则，会发生什么问题（7）如何进行换基迭代运算（8）大M法与两阶段法的要点是什么两者有什么共同点有什么区别（9）松弛变量与人工变量有什么区别试从定义和处理方式两方面分析。
（10）如何判定线性规划有唯一最优解，无穷多最优解和无最优解为什么2.建立下列问题的线性规划模型：（1）某厂生产A，B，C三种产品，每件产品消耗的原料和设备台时如表1-18所示：润最大的模型。
（2）某公司打算利用具有下列成分（见表1-19）的合金配制一种新型合金100公斤，新合金含铅，锌，锡的比例为3：2：5。
如何安排配方，使成本最低（3）某医院每天各时间段至少需要配备护理人员数量见表1-20。
表1-20假定每人上班后连续工作8小时，试建立使总人数最少的计划安排模型。
能否利用初等数学的视察法，求出它的最优解（4）某工地需要30套三角架，其结构尺寸如图1-6所示。
仓库现有长6.5米的钢材。
如何下料，使消耗的钢材最少图1-63. 用图解法求下列线性规划的最优解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≥+≥++=0,425.134 12 64 min )1(2121212121x x x x x x x x x x z⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+-≤++=0,82 5 1032 44 max )2(2121212121x x x x x x x x x x z⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤-≤+-≤++=0,6054 4 22232 96 max )3(21221212121x x x x x xx x x x xz⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥++=0,1 1234 3 max )4(21212121x x x x x x x x z4. 把下列线性规划化为标准形式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=-++-≥-+≤-+-+-=无约束432143213214313210,,01 32 212 min )1(x x x x x x x x x x x x x x x x x z⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≥+-≤++=无约束211212121,02182 32 max )2(x x x x x x x x x z5. 判定下列集合是否凸集：（1）R 1=｛(x 1,x 2)|x 12+2x 22≤2｝（2）R 2=｛(x 1,x 2)|x 12－2x 2+3≥0,x 2≥0,|x 1|≤1｝ （3）R 3=｛(x 1,x 2)|x 1x 2≥1,x 1≥1,x 2≥0｝6. 求出下列线性规划的所有基本解，并指出其中的基可行解和最优解。
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运筹学作业2（第二章部分习题）答案
2．4 给出线性规划问题
123412341234min 2356232..
2330,1,2,3,4
j z x x x x x x x x s t x x x x x j =+++⎧+++≥⎪
-+-+≤-⎨⎪≥=⎩
（1）写出其对偶问题；（2）用图解法解对偶问题；（3）利用（2）的结果及根据对偶问
题性质写出原问题的最优解。
解：（1）原问题的对偶问题为：
12
12121212
12max 2322
23..
35
36
0,0
w y y y y y y s t y y y y y y =--≤⎧⎪+≤⎪⎪
-≤⎨⎪+≤⎪⎪≥≤⎩ 或者等价变形为：
12
12121212
12max 232223..3536
0,0
w y y y y y y s t y y y y y y =++≤⎧⎪-≤⎪⎪
+≤⎨⎪-≤⎪⎪≥≥⎩
（2）用图解法求解对偶问题
12
12121212
max 2322
23..
3536
w y y y y y y s t y y y y =++≤⎧⎪-≤⎪⎪
+≤⎨⎪-≤
如图示，可行区域为四边形OABC ，最优顶点为B 点，即(1.6,0.2)y *
=， 3.8w *
=
（3）利用互补松紧定理及（2）的结果求解原问题：
设原问题的最优解为(
)1
23
4x x x x x **
***=。
由于121.60,
0.20y y *
*
=>=>，故在最优解()12
3
4x x x x x **
*
**=处有：
1234
1234232
2330,1,2,3,4j x x x x x x x x x j ********
*
⎧+++=⎪⎪-+-+=-⎨⎪≥=⎪⎩
又因对偶问题第4个约束方程为：1.6-0.6=1<6，故40x *
=，代入上式得到：
123
123232
230,1,2,3,4j
x x x x x x x j ******
*
⎧++=⎪⎪-+-=-⎨⎪≥=⎪⎩ 原问题有无穷多个最优解。
令30x *=得到解为1 1.6x *=，20.2x *=
即()1.60.200x *
=， 3.8z *
=
2．8题解答见课堂讲解。
2．9 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题：
（2）
123
123123123min 524324
..
63510,,0z x x x x x x s t x x x x x x =++++≥⎧⎪
++≥⎨⎪≥⎩
, 解：先将原问题进行标准形化：
1231234123512345max()524324
..
63510,,,,0
z x x x x x x x s t x x x x x x x x x -=---++-=⎧⎪
++-=⎨⎪≥⎩
选45,x x 为基变量，并将问题化为：
1231234123512345max()524324
..
63510,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x x x -=------+=-⎧⎪
---+=-⎨⎪≥⎩
列表计算如下：
因所有检验数小于等于0且右边常数大于0，故此基可行解为最优解，即
(2/3,2,0),22/2x z **==。