6-基本几何体的投影
03-01 基本几何体的投影.
2. 圆锥体的投影
圆锥体的投影和圆柱 体的投影类似,俯视图为圆, 这个圆表示圆锥体底面的 投影,主视图和左视图为等 腰三角形,主视图的两腰为 锥面对V面的转向轮廓线的 投影,左视图的两腰,为锥面 对W面的转向轮廓线的投 影。 请思考下列问题： （1）锥面对V面和W面的 转向轮廓线对投影面的位 置关系？ （2）柱面对V面转向轮廓 线的俯、左视图是什么？ （3）已知锥面上一点M的 V面投影m',如何求出M的水 平投影和侧面投影？
主视 图投 射方 向
２．三棱锥的投影
三棱锥的底面ABC平行于H面，主 视图的投影方向沿三角形ABC的底边AB 的高线方向，所以AB垂直于W面，SAB 是侧平面，而左、右两个侧面是一般位 置平面。底面ABC的水平投影反映实形， V、W面的投影聚积为直线；后面SAB的 W面投影聚积为一条直线，H、V面的投 影是类似形；左、右侧面的三个投影均 为类似形。
主视 图投 射方 向
Hale Waihona Puke ５．平面与平面立体相交在四棱台切一个长 方形槽，第一步要先画 出四棱台的投影，然后 再画长方形槽的投影。 画长方形槽的投影，要 先画主视图，请你分析 一下这个模型，思考下 列问题：（1）长方形 槽的俯视图和左视图应 该先画哪个视图？ （2）画长方形槽的俯 视图和左视图时，要不 要从模型或立体图上测 量尺寸？
3. 圆球体的投影
球体的三个视 图均为圆，但这三 个圆代表球体上三 个不同方向的纬圆， 这三个纬圆分别平 行于三个投影面。
３．三棱锥的投影
三棱锥的底面 ABC平行于H面，主 视图的投影方向沿三 角形ABC的底边AB的 高线方向，所以AB垂 直于W面，SAB是侧 平面，而左、右两个 侧面是一般位置平面。 底面ABC的水平投影 反映实形，V、W面的 投影聚积为直线；后 面SAB的W面投影聚 积为一条直线，H、V 面的投影是类似形； 左、右侧面的三个投 影均为类似形。
工程制图-第三章基本立体的投影
本章是这门课程的一个难点，教师为了自身业务的提高，要试做一定数目的练习，这对于讲课、辅导答疑、画好黑板图等都有很大的帮助，下面是教师在教学过程中的部分练习，虽然不要求学生掌握到这种难度，但教师要能绘制这种图样。
在讲解本章内容时可作为参考案例。
教师绘制的作业（三棱住切割）教师绘制的作业（长方体切割）教师绘制的作业（五棱柱切割）教师绘制的作业（长方体切割）教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业教师绘制的作业学生作业学生作业学生作业学生作业学生作业学生作业返回第一讲基本立体的投影1．知识要点（1）平面基本立体的投影（2）圆柱体的投影（3）圆锥体的投影（4）球体的投影2．教学设计本讲的内容不多，表面上容易，实际上同学掌握起来比较难，所以教学上要注意直观教学和空间想象能力培养的关系，明确教学目的。
虽然在上一章介绍了平面立体三视图的画法，在本章开始时还要进一步归纳平面基本体的投影，及其与平面相交时交线的画法，这是一个难点，要逐步掌握。
通过对圆柱体、圆锥体和球体在三面投影体系中投影的研究，进一步巩固三视图的投影规律，通过研究曲面上点、线的投影，暗示线面分析法的思想方法。
在介绍基本曲面立体的投影时，要紧紧抓住转向轮廓线的概念和投影，这对于接下来的截交线和相贯线的学习也是非常重要的，在讲圆柱截交线时，利用动画、模型、虚拟现实等多媒体技术介绍基本概念和作图方法。
把粗实线圆规铅心的修理、圆规的使用放在这里介绍，目的是分散难点，学生有了绘制粗实线直线的经验，学习绘制粗实线圆弧就容易些。
3．课前准备准备教具、熟悉教学内容和要使用的教学课件，课前最好将要布置的作业试做一遍，对学生作业中的问题作到心中有数。
基本几何体的三视图
画出长方体的轮廓线
添加长方体的投影线，以表示 其深度和高度
检查并修正三视图的一致性和 完整性
圆柱体三视图的绘制实例
绘制主视图：先画出圆柱体的顶面和底面，确保它们是圆形的，并保持平行。 绘制左视图：从左侧观察圆柱体，画出其侧面，保持与主视图垂直。 绘制俯视图：从上面观察圆柱体，画出其顶面和底面，确保它们是圆形的。 检查与修正：根据三视图的投影规律，检查绘制的三视图是否符合要求，并进行必要的修正。
掌握三视图的基本概念和投影规律 熟悉各种基本几何体的三视图特征 学会根据三视图想象出几何体的形状和结构 通过实践练习提高识别能力
三视图在工程制图中的应用
定义：三视图是工程制图中常用的表达方式，通过正视图、侧视图和俯视图三个角度展示物体 的形状和尺寸。
应用场景：三视图广泛应用于工程设计、施工和制造等领域，用于准确表达物体的结构特征和 尺寸要求。
重要性：三视图是工程技术人员必备的基本技能，熟练掌握三视图能够提高设计效率、降低制 造成本和保证工程质量。
实际案例：通过实际案例分析，如房屋建筑、机械零件等，说明三视图在工程制图中的具体应 用和重要性。
三视图在生活中的应用
机械制造：用于设计和制造机械零件，确保零件的精确度和互换性。
建筑设计：在建筑设计中，三视图是表达建筑外观、结构和功能的重要工具。
圆锥体三视图的绘制实例
圆锥体三视图：主 视图、左视图和俯 视图
主视图：呈现圆锥 体的正面形状，为 等腰三角形
左视图：呈现圆锥 体的侧面形状，为 等腰三角形
俯视图：呈现圆锥 体的底部形状，为 圆形
球体三视图的绘制实例
主视图：圆形轮廓，表示球 体的正面
球体三视图：主视图、左视 图、俯视图
认识常见的几何体投影及阴影
认识常见的几何体投影及阴影几何体是我们日常生活中常见的物体，它们具有不同的形状和结构。
当这些几何体遇到光线时，它们会产生投影和阴影。
本文将介绍一些常见的几何体投影及阴影的特点和应用。
一、直线的投影与阴影首先，我们来讨论直线的投影与阴影。
当一条直线与光线相交时，它的投影将是一条与之平行的直线，长度与原直线相等。
这是因为光线在直线上的每个点上都会形成一个投影，而这些投影都是平行的。
而直线的阴影则是指当直线所在的物体遇到光线时，在背后产生的暗影。
阴影的形状与直线所在的物体形状有关，如果物体是透明的，阴影将呈现出直线的形状。
但如果物体是不透明的，阴影将呈现出物体的轮廓。
二、平面的投影与阴影接下来，我们来讨论平面的投影与阴影。
平面的投影通常是一个与平面平行的形状，长度和宽度与原平面相等。
这是因为光线在平面上的每个点上都会形成一个投影，而这些投影都是平行的。
平面的阴影则是指当平面所在的物体遇到光线时，在背后产生的暗影。
阴影的形状与平面所在的物体形状有关，如果物体是透明的，阴影将呈现出平面的形状。
但如果物体是不透明的，阴影将呈现出物体的轮廓。
三、立体的投影与阴影最后，我们来讨论立体的投影与阴影。
立体的投影通常是一个与立体形状相似的形状，但长度、宽度和高度可能会有所改变。
这是因为光线在立体上的每个点上都会形成一个投影，而这些投影的形状和位置与立体的形状和位置有关。
立体的阴影则是指当立体所在的物体遇到光线时，在背后产生的暗影。
阴影的形状与立体所在的物体形状有关，如果物体是透明的，阴影将呈现出立体的形状。
但如果物体是不透明的，阴影将呈现出物体的轮廓。
四、几何体投影与阴影的应用几何体投影与阴影的应用非常广泛。
在建筑设计中，对于不同形状的建筑物，我们需要考虑它们在不同光线条件下的投影和阴影，以确定最佳的建筑设计方案。
在艺术创作中，艺术家经常利用几何体的投影和阴影来创造有趣的视觉效果。
通过合理运用光线和阴影的关系，他们能够营造出立体感和层次感，使作品更加生动和立体。
建筑形体的投影—基本几何体的投影(建筑制图)
2、球体的投影 球体的H投影是球面上最大的纬圆 (即上、下半球的分界线)的投影； 球体的V投影是球面上最左、最右 素线（即前、后半球的分界线)的 投影；球体的W投影是球面上最 前、最后素线（即左、右半球的 分界线基本几何体的投影
3.1.2曲面体的投影
2、圆锥体的投影 圆锥体的三个投影分别是：一个圆和两个全等的等腰三角形。
3.1 基本几何体的投影
3.1.2曲面体的投影
三、圆台体
1、圆台体的形成 圆台体由圆台面和上、下底面所围成。 如图所示，将圆锥用平行于底面的平面 切割，截面和底面之间的部分即为圆台， 截面和底面之间的距离即为圆台的高。
3.1 基本几何体的投影
3.1.1平面立体投影
六棱柱的投影
3.1 基本几何体的投影
3.1.1平面立体投影
六棱柱的投影
3.1 基本几何体的投影
3.1.1平面立体投影
棱柱体投影规律 棱柱的一个投影为多边形，另两个投影为一个或多个矩形； 反之，当一个形体的三面投影中有一个投影为多边形，另两个投影为一个或 多个矩形时，就可判定该形体为棱柱体，从多边形的边数可得出棱柱的棱数。
3.1 基本几何体的投影
3.1.1平面立体投影
四棱锥
3.1 基本几何体的投影
3.1.1平面立体投影
四棱锥投影图分析：
底面：水平面ABCD 四个侧面：
△SAB 一般位置平面 △SBC 一般位置平面 △SCD 一般位置平面 △SAD 一般位置平面
3.1 基本几何体的投影
3.1.1平面立体投影
棱锥体投影规律 棱锥的投影中有一个投影外轮廓为多边形，内部 是以该多边形的各边为底边的多个三角形，另两个 投影是有公共顶点的三角形。 反之，当一个形体的三个投影，其中一个投影外 轮廓为多边形，内部是以该多边形为底边的三角形， 另两个投影都是有公共顶点的三角形，则可以判断 该形体为棱锥体，多边形的边数为棱锥体的棱数。
基本体三面投影-PPT
20
21
回转体
工程中常见的曲面立体是回转体，主要有圆柱、圆锥、 球、环等。回转体是一动线（直线、圆弧或其它曲线）绕 一定线（直线）回转一周形成的曲面。 回转体（面）的形成
22
轴线
母线
顶圆 素线
赤道圆
回转面的术语
喉圆 纬圆 底圆
23
在投影图上表示回转 体，就是把组成立体的 回转面或平面表示出来， 然后判断可见性。如图 所示。
建筑制图与施工图识读
基本体三面投影
常见的基本几何体
平面基本体
曲面基本体
2
立体表面是由若干面所组成。表面均为平面
的立体称为平面立体；表面为曲面或平面与曲 面的立体称为曲面立体。
在投影图上表示一个立体，就是把这些平面 和曲面表达出来，然后根据可见性原理判断那 些线条是可见的或是不可见的，分别用实线和
m”
b’
过m’s’作圆锥
d” a’(b’)1” c” 表面上的素线，延长
交底圆为1’。
a
s
b
m
1 c
图3-14 圆锥的投影及表面上的点
求出素线的水平投 影s1及侧面投影 s”1”。
求出M点的水平投 影和侧面投影。
32
方法二：辅助圆法
Z
过M点作一平行与底 面的水平辅助圆，该圆 的正面投影为过m’且平 行于a’b’的直线 2’3’，它们的水平投 影为一直径等于2’3’ 的圆，m在圆周上，由此 求出m及m”。
根据其它投影规律画出其它的两个投影。如图3-2所示。
Z
a’ d’ e’
a” d”
b’ c’
X
棱柱具有这样b”的投c”影Y特W
点：一个投影反映底面实
Z
a (b)
空间几何体的投影
空间几何体的投影投影是一种常用的几何概念，它在日常生活和工程学中都有广泛的应用。
投影是指将三维空间中的物体投射到一个或多个平面上，以便更好地理解和分析物体的形状、大小和位置关系。
本文将介绍几种常见的空间几何体的投影方法。
一、点的投影点是空间中最简单的几何体，它没有大小和形状。
点的投影即是将点沿垂直方向投射到一个平面上，得到该点在平面上的投影点。
投影点的坐标等于原点的坐标，因为点没有大小和形状，只有位置。
二、直线的投影直线是由无数个点组成的，因此直线的投影是将直线上的所有点都投影到平面上，得到一条线段。
直线的投影可以通过两种方法来计算，一种是选择直线上的两个点，将这两个点分别投影到平面上，然后连接两个投影点，得到投影线段；另一种是选择直线上的一个点和直线的方向向量，将该点和方向向量的起点分别投影到平面上，然后连接两个投影点，得到投影线段。
三、平面的投影平面是由无数个点组成的，因此平面的投影是将平面上的所有点都投影到另一个平面上，得到一个新的平面。
平面的投影可以通过选择平面上的三个点，将这三个点分别投影到另一个平面上，然后连接三个投影点，得到一个新的平面。
四、立方体的投影立方体是一种常见的空间几何体，它有六个面，每个面都是一个正方形。
投影立方体时，可以选择立方体上的一条边，将这条边上的所有点都投影到一个平面上，然后连接投影点，得到一个新的正方形。
再选择立方体上的另一条边，进行同样的投影操作，得到另一个正方形。
继续按照这种方法，将立方体的所有边都进行投影，最终可以得到一个新的立方体。
五、圆锥的投影圆锥是一种具有圆形底面和尖顶的几何体。
投影圆锥时，可以选择圆锥底面上的一条直径，将这条直径上的所有点都投影到一个平面上，然后连接投影点，得到一个新的圆。
再选择圆锥底面上的另一条直径，进行同样的投影操作，得到另一个新的圆。
继续按照这种方法，将圆锥的所有直径都进行投影，最终可以得到一个新的圆锥。
六、球体的投影球体是一种具有无数个点的几何体，其上的每个点到球心的距离都相等。
基本几何体的投影
对W面的转向轮廓线的投影，该转向轮廓线是侧平线，水平投影是垂直于X轴
的半径，V面的转向轮廓线和轴线重合。
已知锥面上M 点的V面投影m′， 求M点的其他两面 投影的方法有两种。
辅助素线法 辅助圆法
方法一：辅助素线法
辅助素线法的作图原理是过锥顶和M点作一条素线，求出该素线的三面投影，则 M点的投影一定在该素线的投影上。作图步骤如下（参见图（a））：
③ 根据“高平齐、宽相等”，即可求出M点的侧 以F点的W面投影f1''，f2''，f3''均不可见。
面投影m ′ ′ 。
机械制图
圆环的水平投影是两个圆，分别是上、下半环表面的外形轮廓线的水平投影，也是环 面对H面的转向轮廓线的投影，细点画线圆是母线圆心轨迹的投影。圆环的V面投影由两个 小圆和切线组成，两个小圆是环面对V面转向轮廓线的投影。
其中，虚线半圆是内环面上前、后内 半环面的分界线，实线半圆是外环面上前、 后外半环面的分界线，两个圆的切线是环 面上最高和最低纬线圆的投影。圆环在W 面上的投影和在V面上的投影类似，圆环对 W面的转向轮廓线将环面分为左、右两个 内、外半环面，内半环面不可见，如右图 所示。
已知柱面上M点的V面投影m′，该点的其他两面投影可以求出来。即由于圆柱面的水平投影 积聚成圆，所以M点的水平投影一定在该圆上，又因为m′可见（不可见时，需用圆括号括起来）， 所以M点的水平投影一定在前半个柱面上；根据“长对正”即可求出M点的水平投影m；根据 “高平齐、宽相等”即可求出M点的侧面投影m''。因为M点在左半个柱面上，所以m''可见。
分的交点到轴线的距离为辅助平面与外环面的交
线圆半径，与小圆虚线部分的交点到轴线的距离
6-1 基本形体的投影
• • • • 6.1 6.2 6.3 6.4 基本形体的投影 平面体截交线 曲面立体的截交线 直线与立体表面相交
6.1
基本形体的投影
体的投影，实质上是构ห้องสมุดไป่ตู้该体的所 有表面的投影总和。
V
基本体的形成及其投影
常见的基本几何体 平面基本体 曲面基本体
平面体及其表面上的点和线
一、棱柱 1、 棱柱的组成
返回
2. 圆柱表面上取点
( ) ( )
(D)
特殊点
C
A
B
返回
二、圆锥
1 圆锥的投影 在图示位置，水平投影为一圆。另两个投影为等腰三角 形，三角形的底边为圆锥底面的投影，两腰分别为圆锥面不 同方向的两条轮廓素线的投影。 s s
● ●
s
注意：转向轮廓素线的投影与可见性的判断
2.圆锥体表面上取点
圆环表面上取点
1' 2' （n'） m'
1
2
m
K b b
PV
h'
h"
（1）素线法：
面上取点法。 （2）截平面法 ：
k"
c c a(c) b
s
h
利用辅助平面作图
课堂练习
1、求三棱柱与直线AB的交点
n'
m'
b'
b"
n"
m"
2、求三棱台的水平投影及 表面上的点。
k'
k"
a'
b
a"
a'
b'
a"
b"
几何体的投影
几何体的投影在几何学中，投影是指由三维空间中的一个物体到一个二维平面上的映射。
几何体的投影可以帮助我们更好地理解其形状和特征，并在实际应用中起到重要的作用。
本文将介绍几何体的投影原理、常见几何体的投影特征以及投影在不同领域的应用。
一、投影原理几何体的投影是指将三维物体的每个点沿着一个特定的方向映射到一个平面上的点。
这个过程可以类比为日光通过云层投射在地面上形成的阴影。
在几何学中，常用的投影方法有平行投影和透视投影。
1. 平行投影平行投影是指将几何体的每个点沿着平行于投影平面的方向进行投影。
在平行投影中，我们可以得到一个保持距离和角度不变的二维投影。
例如，当我们将一个立方体进行平行投影时，其投影形状将仍然是一个正方形。
2. 透视投影透视投影是指将几何体的每个点沿着一个特定的方向进行投影，使得远离观察平面的点被投影到平面上的点集更远离观察点的呈现更小。
透视投影是模拟人眼在观察物体时产生的效果。
在透视投影中，远离观察平面的部分将更小，而靠近观察平面的部分将更大。
二、常见几何体的投影特征不同的几何体在投影过程中会呈现出不同的特征和形状。
下面将介绍一些常见几何体的投影特征。
1. 点的投影点是几何学中最简单的几何体，其投影将落在投影平面上的一个点。
由于点本身没有具体的形状和大小，其投影将保持与原点位置相同的特点。
2. 直线的投影直线在投影平面上的投影将是一条直线，与原直线平行。
这是由于投影过程中直线的每个点都会在投影平面上形成一个对应的投影点。
3. 平面的投影平面的投影将在投影平面上形成一个与原平面平行的平面。
由于平面本身没有体积，其投影将保持原平面的形状和大小。
4. 三角形的投影三角形投影的特点是在投影平面上形成一个与原三角形相似的三角形。
其形状和大小取决于观察角度和投影方向。
5. 立方体的投影立方体在平行投影中的投影形状将是一个正方形，其边长与原立方体的边长相等。
在透视投影中，立方体的投影将呈现出近大远小的效果，与实际观察到的立方体形状一致。
第二章-正投影法及基本体视图
3. 一般位置直线的投影特性
b'
b"
a'
O
b
a"
a
投影特性（1） a b、 a' b' 、a " b"均小于实长。 （2） a b、a' b' 、a" b"均倾斜于投影轴。
（3）不反映 、 、 实角。
物体上一般直线的投影分析
三. 属于直线的点的投影
f'
e'
F
图3-7 三视图的“三等”对应关系
三视图的投影规律
主左视图高平齐
主俯视图长对正
俯左视图宽相等
主、俯视图中相应投影的长度相等——长对正； 主、左视图中相应投影的高度相等——高平齐； 俯、左视图中相应投影的宽度相等——宽相等
3 方位关系
三视图不仅反映了物体的长、宽、高，同时也反映了物体的上、下、左、 右、前、后六个方位的位置关系。
1. 投影面平行线的投影特性
a' b'
A B
a b
a" b"
a' b'
a" b"
a βγ
b
b'
a' A
B b" a"
O
ab
b' a' α γ
b" a"
O
ab
a' A
b'
B a
b
a" b"
a'
a"
β
b'
α b"
O
a
b
工程图学与CAD基础教程第6章 几何体的构型及其投影
作图过程： 1. 用细点画线画出轴线的正面投影和侧面投影，水平投影的 对称中心线。 2. 绘制上、下底面的三面投影。先画出反映实形的水平投影 圆，再画有积聚性的正面投影和侧面投影。 3.绘制圆柱面的正面投影和侧面投影。
2．圆柱体表面取点
利用圆柱面投影的积聚性
例：已知圆柱表面上点M、N的正面投影m′、n′，点E 的水平投影e，分别求其另外两个投影。
解法2：过平面上的一点作面 上一已知直线的平行线，即 过m′作2′3′∥a′b′， 2 3∥a b(2″3″∥a″b″)，同理 可求得m和m″。 点N位于棱面SAC上，利 用积聚性，求n″，再由n和n″ 可求得n′。 判断可见性：棱面SAB的水 平投影和侧面投影均可见， 故点m和m″也可见。棱面 SAC的正面投影不可见，故 点（n′）也不可见。
2．圆锥体表面取点 圆锥表面上取辅助线的方法有两种：
（1）辅助素线法，即过锥顶作辅助素线，其三面投 影均为直线； （2）辅助纬圆法，即做平行于底圆的辅助圆，其三 面投影或为圆或为直线。
例：已知圆锥表面上点M的正面投影m′，求其另外 两个投影。
解法1：辅助素线法， 即过锥顶S和点M作一 辅助素线SⅠ。 1.点M的正面投影(m′)不 可见，所以点M位于后 半圆锥面上，连s′、m′ 并延长交底面圆于1′。
3. 棱锥的截切 例：求作带切口的正三棱锥 的投影。 分析： 水平面P与棱线SA、SB分别 相交于点Ⅵ、Ⅴ，与棱面 SAC、SAB、SBC相交；正 垂面Q与棱线SA、SB分别相 交于点Ⅰ、Ⅱ，与棱面SAC、 SAB、SBC相交；两截平面 的交线Ⅲ Ⅳ为正垂线。
作图过程： 1.用作图线画出正三棱锥的 侧面投影。 2.在正面投影中标出截交线 上各点的投影1′、2′、3′、4′、 5′、6′。 3.求截交线上各点的水平投 影和侧面投影。
第三章基本几何体的投影
第三章 基本几何体的投影通常所说的基本几何体，包括棱柱体、棱锥体、圆柱体、圆锥体、球体和环等。
前两种立体的表面都是平面，称为平面立体；其余四种的表面是回转面或回转面与平面，称为回转体。
本章主要研究这些基本几何体的投影特性及其作图方法。
§3－1 平面立体的投影一、棱柱体的投影图３－１是五棱柱体和它的投影图。
该五棱柱体的顶面和底面均处于水平位置，其水平投影反映实形，正面和侧面投影均积聚成水平直线。
棱柱的五个侧棱面中最后的棱面DEE１D１处于正平面的位置，其正面投影反映实形，是不可见的面，故DD１、EE１两条棱线的正面投影d′d′１、e′e′１画成虚线，该棱面的水平投影和侧面投影积聚成直线。
其余四个侧棱面均为铅垂面，它们的水平投影都积聚成直线，正面投影和侧面投影为比实形小的矩形（类似形）。
图３－１ 五棱柱体的投影画图时，一般先画反映底面实形的那个投影（即水平投影），然后再画正面和侧面投影，如图３－１ｂ所示。
在实际生产中所用的图纸都不必画出投影轴，如图３－１ｃ所示，但三个投影必须保持左右、上下、前后的对应关系，即V 、H 两面投影左右对正，V 、W 两面投影上下平齐，H 、W 两面投影前后相等。
二、棱锥体的投影图３－２是正三棱锥体和它的投影图。
该三棱锥体的底面处于水平位置，其水平面投影反映实形，正面和侧面投影积聚成水平直线。
三棱锥的右侧棱面SBC 为正垂面，其正面投影s ′b ′c ′积聚成直线，水平面投影sbc 和侧面投影s ″b ″c ″为类似形。
前棱面SAB 和后棱面SAC 均为一般位置平面，因而，它们的三面投影均为类似形（正面投影两个三角形重合）。
图３－２ 正三棱锥体的投影画图时，先画出底面三角形ABC 和锥顶S 的投影，然后顺次连接各棱线SA 、SB 、SC 的同面投影，如图３－２ｂ所示。
通过棱柱和棱锥体的投影分析，可归纳如下几点：１）由于平面立体的棱线是直线，所以画平面立体的投影图就是先画出各棱线交点的投影，然后顺次连线，并注意区分可见性。
几何体的投影
第六节几何体的投影机器上的零件，不论形状多么复杂，都可以看作是由基本几何体按照不同的方式组合而成的。
1、基本几何体——表面规则而单一的几何体。
按其表面性质，可以分为平面立体和曲面立体两类。
2、平面立体——立体表面全部由平面所围成的立体，如棱柱和棱锥等。
2、曲面立体——立体表面全部由曲面或曲面和平面所围成的立体，如圆柱、圆锥、圆球等。
曲面立体也称为回转体。
一、平面立体的投影及表面取点1、棱柱棱柱由两个底面和棱面组成，棱面与棱面的交线称为棱线，棱线互相平行。
棱线与底面垂直的棱柱称为正棱柱。
本节仅讨论正棱柱的投影。
（1）棱柱的投影以正六棱柱为例。
如图（a）所示为一正六棱柱，由上、下两个底面（正六边形）和六个棱面（长方形）组成。
设将其放置成上、下底面与水平投影面平行，并有两个棱面平行于正投影面面。
上、下两底面均为水平面，它们的水平投影重合并反映实形，正面及侧面投影积聚为两条相互平行的直线。
六个棱面中的前、后两个为正平面，它们的正面投影反映实形，水平投影及侧面投影积聚为一直线。
其他四个棱面均为铅垂面，其水平投影均积聚为直线，正面投影和侧面投影均为类似形。
（a）立体图（b）投影图正六棱柱的投影及表面上的点总结正棱柱的投影特征：当棱柱的底面平行某一个投影面时，则棱柱在该投影面上投影的外轮廓为与其底面全等的正多边形，而另外两个投影则由若干个相邻的矩形线框所组成。
（2）棱柱表面上点的投影方法：利用点所在的面的积聚性法。
（因为正棱柱的各个面均为特殊位置面，均具有积聚性。
）平面立体表面上取点实际就是在平面上取点。
首先应确定点位于立体的哪个平面上，并分析该平面的投影特性，然后再根据点的投影规律求得。
举例：如图（b）所示，已知棱柱表面上点M的正面投影m′，求作它的其他两面投影m、m″。
因为m′可见，所以点M必在面ABCD上。
此棱面是铅垂面，其水平投影积聚成一条直为可见，故m″也为可见。
特别强调：点与积聚成直线的平面重影时，不加括号。
基本几何体的投影
1
小结
重点掌握：
基本体的三面投影的画法及面上取点的方法
⒈ 平面体表面取点，利用平面上取点的方法。 ⒉ 圆柱体表面取点，利用投影的积聚性。 ⒊ 圆锥体表面取点，用辅助素线法或辅助纬圆法。 ⒋ 球体表面取点，用辅助纬圆法。
1
作业：P16 4-1（1）（3）； 4-2；
P17 4-5 （1）—（6）。 注意： 1、4-2（2）（5）：表面上线的投影如果可见 加深成粗实线；不可见用虚线连接。 2、4-5 (2) （4）（6）：表面上线是规则曲线用直
A A
平行圆的柱轴面线是OO由1旋直转线而AA成1绕。与它最左素线
W
V
最右素线 OO1 1 A1
直线AA1称为母线,母线在
回转面的任一位置称为素线 。
a
圆柱面上的素线都是平行于轴 Nhomakorabeaa
线的直线。
2. 圆柱柱面体的的水三平面投投影积影聚成一个圆，
另线3两的.轮个投廓投影影表线分示素别。线用的两投个影方向与的曲轮廓素
1
4.2 平面基本几何体的投影及其表面取点
平面基本几何体的投影就是把组成它的平 面和棱线的投影画出来,并判别可见性。
一、 棱柱(如:正六棱柱)
1. 正六棱柱的组成 由顶面和底面及六个侧棱面
组成。侧棱面与侧棱面的交线叫 侧棱线，侧棱线相互平行。
2. 正六棱柱的三面投影 六棱柱的顶面和底面为水平面，水平投影反
面可见性的判断
a
最后素线
最前素线
利用投影的积聚性
1
圆柱轴线侧垂时分析其轮廓素线的投影
1
4 圆柱面上取点 利用投影的积聚性
(a)
( b)
a b
a
b×
基本几何体的投影
⒉ 回转体与平面体叠加 形体之间 一般有轮廓线 分界
⒊ 平面体与平面体叠加
有实线 有实线
有虚线
无线
两体表面共面时，中间无分界线。
二、简单叠加体的画图方法
例：画出所给叠加体的三视图。 ⑴ 分解形体，弄清它们的叠加方式。
立板 肋板
底板和立板右侧面共面叠加 肋板与底板和立板前后对称叠加
底板
⑵ 逐块画三视图并分析表面过渡关系。
a (b)m
d
n
平面立体的投影-棱锥
s' s"
S
C
a' a s
b'
c'
c
a"(c")
b"
A
B
b
平面立体的投影-棱锥
s'
s"
m
(n )
(n)
1'
a' a 1 m 2' s b' n c' c
m
a"(c")
b"
2
b
辅助直线法
利用积聚性
曲面立体的投影-圆柱
a c (d)
b
d
a (b)
曲面立体的投影-环
Z
V
W
X
Y
曲面立体的投影-环
b
a
d
c
曲面立体的投影-环
m （n'） （n ） m
（n）
N m
辅助圆法
M
内容
体的三面投影-三视图
基本体的三视图 简单叠加体的三视图 小结
3.3 简单叠加体的三视图
一、简单叠加体的叠加形式及表面过渡关系
教案立体几何的投影
教案立体几何的投影教案：立体几何的投影【引言】在学习几何学时，我们已经了解了立体几何的基本概念和性质，如平行四边形、正方体等等。
然而，在现实生活中，我们常常遇到需要将立体物体投影到平面上的情况。
本教案将介绍立体几何的投影原理及应用，帮助学生理解和掌握这项重要的几何学技能。
【主体】一、投影的定义与基本概念（字数：200字左右）在几何学中，投影是指将三维空间中的物体通过平行于某个方向的光线投影到一个平面上形成的二维图形。
在投影过程中，原来的三维物体被称为投影体，而二维图形则称为投影。
二、立体几何的投影原理（字数：300字左右）1. 平行光线投影原理：当光线与投影平面平行时，投影呈现出真实大小和形状。
换句话说，投影与投影体相似。
2. 中心投影原理：当光线自无限远处沿着垂直方向射向投影体，且光线通过一个固定点时，形成的投影为中心投影。
中心投影的特点是投影体比例不变，但形状可能会发生变化。
3. 正交投影原理：当光线自无限远处沿着特定方向射向投影体，并且光线与投影平面相交于直角时，形成的投影为正交投影。
正交投影中，线段平行于投影平面的边长比例保持不变，但角度可能会变化。
三、投影方法与技巧（字数：400字左右）1. 垂直投影：将投影平面选择为垂直于视线的平面，可以得到较为简单的投影图形。
垂直投影一般适用于正交投影方法。
2. 平行投影：将投影平面选择为与视线平行的平面，可以得到具有真实大小和形状的投影图形。
平行投影方法适用于平行光线投影原理。
3. 斜投影：将投影平面与视线夹角不为90度时，可以获得更多有趣和复杂的投影图形。
斜投影方法需要进行透视变换。
四、几何体的投影实例与问题解决（字数：400字左右）1. 立方体投影：立方体是最基本的几何体之一，其投影形象或者是一个正方形，或者是一个菱形。
通过练习解决与立方体投影相关的问题，可以帮助学生理解投影原理。
2. 圆柱体投影：圆柱体的投影形象是一个椭圆。
通过比较圆柱体在不同视角下的投影图形，可以帮助学生进一步理解投影原理。
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系
X
d
b
最左轮
a
c
Y
A
廓素线
O
圆锥体的投影图形
辽
宁
省
圆锥轮廓
最后
交 通
素线的投影
高
最右
等
专 科
最左
学
校
最前
机 电 系
辽
2. 属于圆锥表面的点
宁 已知圆锥表面点M的正面投影m′，求m和m″。
省 交
方法：(1)辅助素线法
通 高
s'
Z
s"
等
专
科 学
m'
s
校
m"
1'
机
X
O
电 系
s
1m
YH
YW M
o Ⅰ
辽 (2) 辅助圆法
宁
省
s'
Z
交
通
高
等
m'
专
科
学
校
X
O
s"
m"
YW
机
s
电
系
m
M
YH
辽
3.2.3 圆球
宁 省 交
形成：圆球可看作是一圆(母线)围绕直径回转而成。 投影：球体的各面投影为三个不同的回转圆。
通
高 等
专 回转轴
主视轮廓圆 平行V面
Z
左视轮廓圆
平行W面
科
学
校
W
机
电
X
系
素线圆
母线圆
俯视轮廓圆 平行H面
Y
辽 宁 省 交 通 高 等 专 科 学 校
交
通
高
等
专
科
学
校
机 电 系
辽
宁 省
例6-5-1
交
通
高
等
专
科
学
校
机 电 系
a
c
机
电
s
系
b
YH
三面投影体系的展
开、三视图的布置
2. 属于棱锥表面上的点
辽
宁
正三棱锥的表面有特殊位置平面，也有一般位置平面。
省 交
属于特殊位置平面的点的投影，可利用该平面的积聚性作
通 图。属于一般位置平面的点投影，可通过在平面上作辅助
高 等
线的方法求得。
Z
专
科 学
V s'
校
S
s"
如图：己知属
机 电
最前Y轮 廓素线
圆柱的投影图
辽
宁
省
a'
b'
交
通
高
等
专
科
学
校
c'
d'
机 电 系
辽
分析圆柱轮廓素线的投影
宁
省
交
通
高
等
专
科
学
校 V面投影
轮廓素线
机
电
系
圆柱轮廓
素线(转向 轮廓线）
辽
3.2.2 圆柱体表面上取点
宁 省
若已知属于圆柱体表面的点M的正面投影m'，
交 通
求另两面投影。
高 等
根据所给定的m'的
辽 宁
第3章 基本几何体的投影
省
交
通
高
等
专
科
学 校
• 3.1 平面立体的投影
• 3.2 回转体的投影
机 电 系
3.1平面立体的投影
辽
宁
平面立体是平面围成，平面是由直线段组成，而每条线段
省 交 通
都可由其两端点确定，因此作平面立体的三视图,即是绘制其各 表面的交线及各顶点的投影。
高 等
3.1.1棱柱体
m'
(m")
等 专 科
M点在左 側，W面投
学
影不可见
校
f
e
机
M
电
a
d
系
m
b
c
辽 3.2.1圆柱体 3.2 回转体的投影
宁 省
1.圆柱体表面由圆柱面和上、下两个平面组成。
交 通
圆柱面由直线AB绕与它平行的轴线等距旋转而成。
高
Z
等 专
O
科
学 校
A
素线
b'
V a'
B
机
电
系
B
母线
O
d' A
c'
C
X 最左轮 廓素线
专 科 学
V b'
a'
Z e'
校
1.棱柱体的三视图
（1）分析物体的形状及各表面间 的相对位置；
B
E (e") （2）确定主视图的投射方向，
机 电 X c' d'
A
b"
a" W
常以物体主要面与投影面平行；
（3）先画物体形状特征明显的视图；
系
C b(c)
c" （4）按“三等”规律完成其他两视图
F (f") e(f)
交
视图分析：圆锥俯视图是一个圆线框，主、左视图是
通 高 等
两个全等的三角形线框。 俯视图的圆线框，反映
Z 最前轮 廓素线
专 圆锥底面的实形，同时也表
科 学
示圆锥的投影。主、左视图
V
s'
S
s"
校 的等腰三角形线框，其下边
为圆锥底面的积聚性投影。
b'
O
c'
d"
机 电
母线 S 素线
a' (d') A
a" C (b") c"
X
机
电
系
圆球的投影图形
Z
回转圆的 另两面投 影分别在 中心线上！
O
YW
YH
2. 属于球体表面的点
辽 宁
已知圆球表面点M的水平投影m，求其他两面投影。
省 交
作图方法：采用辅助圆法。过点M在球面上作一
通 平行于投影面的辅助圆。点的投影必在辅助圆的同
高 等
面投影上。
Z
专
科 学
m'
m"
校
d'
（d" ）
机
X
辽
宁 省
例6-2-1
交
通
高
等
专
科
学
素线法
校
机 电 系
辽
宁 省
例6-3
交
通
高
等
专
科
学
校
机
电
系
补全立体表面
的点线的投影
辽
宁 省
例6-3-1
交
通
高
等
专
科
学
校
机
素线法
电
系
辽
宁 省
例6-4
交
通
高
等
专
科
学
校
补全立体表面上
的线的投影
机 电 系
辽
宁 省
例6-4-1
交
通
高
等
专
科
学
校
机 电 系
辽
宁 省
例6-5
省 交
在它所从属表面的各同面投影范围内。
通 高
若该表面的投影可见，则该点同面投影也可见；
等 专
反之为不可见。
Z
科
学
a'
a"
校
b'
(b")
机
X
O
YW
电
系
a b
YH
3.1.2 棱锥
辽 宁
分析：它由底面ΔABC和三个相等的棱面Δ SAB，
省 ΔSBC，ΔSAC所组成。底面的水平投影反映实形，
交 通
正面和侧面投影积聚为一条直线。ΔSAC为侧垂面，
六棱柱的投影 E
（f'） （e'） （e" ）（d" ）（c" ）
a' b'
c' d' f" a" b"
D
高 等
BC
专
科
学
校
机 先画H面投 电 影（反映六 系 棱柱特征）
f a
e d
积聚 b
c
六棱柱表面上取点
辽
宁 省 交 通 高
（f'） （e'） （e" ）（d" ）（c" ）
a' b'
c' d' f" a" b"
专
科 学
m'
位置，可断定点M在前 m" 半圆柱的左半部分；因
校
圆柱的水平投影有积聚
性，故m在前半圆周的
机
左部，m"(可见）可由
电
m'和m求得。
系
注意：判别可见性。
m
辽
例：圆柱表面上取点
宁
省 交
a'
a"
通
高
等
专
(c')
c"
科
学
校
c
机 电 系
A C
a
3.2.3 圆锥体
辽 宁 省
形成：锥面可看作直线SA绕与它相交的轴线旋转而成。 构成：圆锥体由圆锥面，底面（平面）所围成。