基本几何体的投影讲解
第3章-基本立体的投影
第3章 基本立体的投影
3.2.2 圆锥
1. 圆锥面的形成 圆锥面是由一条直母线绕与它相交的轴线旋转而 成的。圆锥体由圆锥面和底面组成。 2. 圆锥的投影 图3-4表示一直立圆锥，它的正面投影和侧面投影 为同样大小的等腰三角形。正面投影s′a′和s′b′是圆锥面 的最左和最右素线的投影，它们把圆锥面分为前、后 两半；侧面投影s″c″和s″d″是圆锥面最前和最后素线的 投影，它们把圆锥面分为左、右两半。
第3章 基本立体的投影
图3-4(b)中，已知K点的正面投影k′，求点 K的其他两个投影。可用辅助圆法作图，即过 点K在锥面上作一水平辅助纬圆，该圆与圆锥 的轴线垂直，点K的投影必在纬圆的同面投影 上。作图时，先过k′作平行于X轴的直线，它 是纬圆的正面投影，再作出纬圆的水平投影。 由k′向下作垂线与纬圆交于点k，再由k′及k求 出k″。因点K在锥面的右半部，所以k″不可见。第3章 基ຫໍສະໝຸດ 立体的投影2. 棱柱表面上的点
在平面立体表面上的点，实质上就是平面上的点。 正六棱柱的各个表面都处于特殊位置，因此在表面上的 点可利用平面投影的积聚性来作图。
如已知棱柱表面上M点的正面投影m′，求水平、侧 面投影m、m″。由于正面投影m′是可见的，因此M点必 定在棱柱的前半部平面ABCD上，而平面ABCD为铅垂 面，水平投影abcd具有积聚性，因此m必在abcd上。根 据m′和m，由点的投影规律可求出m″，如图3-1(b)所示。
第3章 基本立体的投影
3.2 曲面立体
由一母线绕轴线回转而形成的曲面称为回转面， 由回转面或回转面与平面所围成的立体称为曲面立体。 母线在回转面上的任一位置称为素线。常见的曲面立 体有圆柱、圆锥和圆球等。
第3章 基本立体的投影
3.2.1 圆柱 1. 圆柱面的形成 圆柱面是由一条直母线绕与它平行的轴线旋转而
3 基本几何体的投影
回转轴
W
X
素线圆
母线圆
俯视轮廓圆 平行H面 Y
球面上取点——辅助纬圆法（作图一）
已知圆球表面点M的水平投影m，求其他两面投影。
作图方法：采用辅助圆法。过点M在球面上作一平行于投 影面的辅助圆。点的投影必在辅助圆的同面投影上。
Z m' d' X O
m"
（d" ） YW
圆锥体表面上的点
例：已知圆锥体表面上一点K的正面投影k'，求另两个投影。
s'
k'
1' 2'
s"
解2、辅助圆法：
k"
过已知点K作纬圆，该圆 垂直于轴线，过k' 作纬圆
s
k
的正面投1'2'，然后作出 水平投影k在此圆周上，
由k' 求出k，最后求出k"。
四、球体的投影
形成：圆球可看作是一圆(母线)围绕直径回转而成。 投影：球体的各面投影为三个不同的回转圆。
90° X1
p=1
135°
Z O Y Y X1
Z1 O1
P
O1
45°
135°
X
Y1
Y1
例4：已知正方体的正投影图，画其斜二轴测图。
Z
Z1 X X O O X1 Y O1 Y1
例5：已知圆台正投影图，画圆台的斜二轴测图。
Z
X O1
Z1
X1
X
O11 Y1
Y
小结:
掌握基本体的三视图画法及表面找点的方法
(n') n"
因为m'为可见，在前半圆柱面上；n'为 不可见，在后半圆柱面上。两点的侧 面投影积聚在圆周上。
空间几何体的投影
空间几何体的投影投影是一种常用的几何概念，它在日常生活和工程学中都有广泛的应用。
投影是指将三维空间中的物体投射到一个或多个平面上，以便更好地理解和分析物体的形状、大小和位置关系。
本文将介绍几种常见的空间几何体的投影方法。
一、点的投影点是空间中最简单的几何体，它没有大小和形状。
点的投影即是将点沿垂直方向投射到一个平面上，得到该点在平面上的投影点。
投影点的坐标等于原点的坐标，因为点没有大小和形状，只有位置。
二、直线的投影直线是由无数个点组成的，因此直线的投影是将直线上的所有点都投影到平面上，得到一条线段。
直线的投影可以通过两种方法来计算，一种是选择直线上的两个点，将这两个点分别投影到平面上，然后连接两个投影点，得到投影线段；另一种是选择直线上的一个点和直线的方向向量，将该点和方向向量的起点分别投影到平面上，然后连接两个投影点，得到投影线段。
三、平面的投影平面是由无数个点组成的，因此平面的投影是将平面上的所有点都投影到另一个平面上，得到一个新的平面。
平面的投影可以通过选择平面上的三个点，将这三个点分别投影到另一个平面上，然后连接三个投影点，得到一个新的平面。
四、立方体的投影立方体是一种常见的空间几何体，它有六个面，每个面都是一个正方形。
投影立方体时，可以选择立方体上的一条边，将这条边上的所有点都投影到一个平面上，然后连接投影点，得到一个新的正方形。
再选择立方体上的另一条边，进行同样的投影操作，得到另一个正方形。
继续按照这种方法，将立方体的所有边都进行投影，最终可以得到一个新的立方体。
五、圆锥的投影圆锥是一种具有圆形底面和尖顶的几何体。
投影圆锥时，可以选择圆锥底面上的一条直径，将这条直径上的所有点都投影到一个平面上，然后连接投影点，得到一个新的圆。
再选择圆锥底面上的另一条直径，进行同样的投影操作，得到另一个新的圆。
继续按照这种方法，将圆锥的所有直径都进行投影，最终可以得到一个新的圆锥。
六、球体的投影球体是一种具有无数个点的几何体，其上的每个点到球心的距离都相等。
工程制图03基本体的三视图讲解
二、回转体
1.圆柱体
⑴ 圆柱体的组成 由圆柱面和两底面组成。
圆柱面是由直线AA1绕与
它平行的轴线OO1旋转而成。
直线AA1称为母线。 圆柱面上与轴线平行的任
a
c
一直线称为圆柱面的素线。
(b)
⑵ 圆柱体的三视图
b
⑶ 轮廓圆线柱素面线的的俯投视影图与积曲聚面成的一 ⑷个两示可圆圆 个 。见柱， 方性面在 向的上另 的判取两 轮断点个廓视素图线上的分投别影以表
部分，弄清各部分的形状和它们的相对位 置及组合形式，分别画出各部分的投影。
例：画出所给叠加体的三视图。
立板 肋板
分解形体
叠加方式
底板和立板右面平齐叠加
底板
肋板与底板和立板对称叠加
投影作图 分块画图 ①底板 ②立板 ③肋板
看得见的线画实线 看不见的线画虚线
表面平齐， 应无线。
三、已知两视图，求作第三视图。
主视俯视长相等且对正 主视左视高相等且平齐 左 俯视左视宽相等且对应
长对正
高平齐
左
宽相等 三等关系
上 右
下 长对正
后
右
前
高平齐
上
后
前
下
3.三视图之间的方位对应关系
主视图反映：上、下 、左、右 俯视图反映：前、后 、左、右 左视图反映：上、下 、前、后
3.2 基本体的形成及其三视图
常见的基本几何体
⒈ 分析投影，想象出物体的形状。 ⒉ 根据投影规律及“三等”关系，画出第三视图
㈠ 投影分析
圆柱轮廓素线 直线 平面
⒈ 视图上图线的意义
① 一个平面的投影
② 面与面的交线
③ 回转体轮廓素线 的投影
工程制图课件——第3章 立体的投影
1′ 3′ a
⑵ 圆柱体的三视图
2′ 4′
⑶ 轮圆廓柱线面素的线俯的视投图影积分聚析成与一曲
⑷个 两 示圆个。圆面，方柱的在 向面可另 的上见两 轮取性个 廓点的视素判图线断上的分投别影以表
1(2)
a3(4)
O A
O1 A1 1″ 3″ a
2″ 4″
利用投影 的积聚性
已知圆柱表面上的点M及N正面投影m′和n′，求它们 的其余两投影。
• 平面与立体表面的交线，称为截交线； 当平面切割立体时，由截交线围成的平 面图形，称为断面。 • 用平面与立体相交，截去体的一部分—截切。
• 用以截切立体的平面——截平面。
五棱柱被切割后的三面投影
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1 (4)2 3
4● ●1 ● 2 ● 3
ⅣⅠ
Ⅱ Ⅲ
4
●
3
三视图
（2）正面与侧面投影 是以轴线为对称线的、 大 小完全相同的矩形。
投影特性
圆
圆 锥
底 成下 看面 是底 成圆围 由圆面 是锥成 一柱围 由是。 直由成 一由圆 母圆。 直圆锥 线柱圆 母锥面面柱 线A面可和A面BB绕和看上可绕、
⑴ 棱柱的组成
由两个底面和若干侧棱面
组成。侧棱面与侧棱面的交线
叫侧棱线，侧棱线相互平行。
⑵ 棱柱的三视图
⑶ 棱在柱图示面位上置取时点，六棱柱
的点两的底可面见为性水规平定面：，在俯视 图中反若映由点实于所形棱在。柱的前的平后表面两面的侧都投棱 面影是是可正平见平面，面，点，所的其以投余在影四棱也个柱可侧的见棱； 面若是表平铅面面垂上的面取投，点影它与积们在聚的平成水面直平上线投， 影点都取的积点投聚的影成方也直法可线相见，同。与。六边形 的边重合。
基本几何体的投影
对W面的转向轮廓线的投影，该转向轮廓线是侧平线，水平投影是垂直于X轴
的半径，V面的转向轮廓线和轴线重合。
已知锥面上M 点的V面投影m′， 求M点的其他两面 投影的方法有两种。
辅助素线法 辅助圆法
方法一：辅助素线法
辅助素线法的作图原理是过锥顶和M点作一条素线，求出该素线的三面投影，则 M点的投影一定在该素线的投影上。作图步骤如下（参见图（a））：
③ 根据“高平齐、宽相等”，即可求出M点的侧 以F点的W面投影f1''，f2''，f3''均不可见。
面投影m ′ ′ 。
机械制图
圆环的水平投影是两个圆，分别是上、下半环表面的外形轮廓线的水平投影，也是环 面对H面的转向轮廓线的投影，细点画线圆是母线圆心轨迹的投影。圆环的V面投影由两个 小圆和切线组成，两个小圆是环面对V面转向轮廓线的投影。
其中，虚线半圆是内环面上前、后内 半环面的分界线，实线半圆是外环面上前、 后外半环面的分界线，两个圆的切线是环 面上最高和最低纬线圆的投影。圆环在W 面上的投影和在V面上的投影类似，圆环对 W面的转向轮廓线将环面分为左、右两个 内、外半环面，内半环面不可见，如右图 所示。
已知柱面上M点的V面投影m′，该点的其他两面投影可以求出来。即由于圆柱面的水平投影 积聚成圆，所以M点的水平投影一定在该圆上，又因为m′可见（不可见时，需用圆括号括起来）， 所以M点的水平投影一定在前半个柱面上；根据“长对正”即可求出M点的水平投影m；根据 “高平齐、宽相等”即可求出M点的侧面投影m''。因为M点在左半个柱面上，所以m''可见。
分的交点到轴线的距离为辅助平面与外环面的交
线圆半径，与小圆虚线部分的交点到轴线的距离
几何体的投影
几何体的投影在几何学中，投影是指由三维空间中的一个物体到一个二维平面上的映射。
几何体的投影可以帮助我们更好地理解其形状和特征，并在实际应用中起到重要的作用。
本文将介绍几何体的投影原理、常见几何体的投影特征以及投影在不同领域的应用。
一、投影原理几何体的投影是指将三维物体的每个点沿着一个特定的方向映射到一个平面上的点。
这个过程可以类比为日光通过云层投射在地面上形成的阴影。
在几何学中，常用的投影方法有平行投影和透视投影。
1. 平行投影平行投影是指将几何体的每个点沿着平行于投影平面的方向进行投影。
在平行投影中，我们可以得到一个保持距离和角度不变的二维投影。
例如，当我们将一个立方体进行平行投影时，其投影形状将仍然是一个正方形。
2. 透视投影透视投影是指将几何体的每个点沿着一个特定的方向进行投影，使得远离观察平面的点被投影到平面上的点集更远离观察点的呈现更小。
透视投影是模拟人眼在观察物体时产生的效果。
在透视投影中，远离观察平面的部分将更小，而靠近观察平面的部分将更大。
二、常见几何体的投影特征不同的几何体在投影过程中会呈现出不同的特征和形状。
下面将介绍一些常见几何体的投影特征。
1. 点的投影点是几何学中最简单的几何体，其投影将落在投影平面上的一个点。
由于点本身没有具体的形状和大小，其投影将保持与原点位置相同的特点。
2. 直线的投影直线在投影平面上的投影将是一条直线，与原直线平行。
这是由于投影过程中直线的每个点都会在投影平面上形成一个对应的投影点。
3. 平面的投影平面的投影将在投影平面上形成一个与原平面平行的平面。
由于平面本身没有体积，其投影将保持原平面的形状和大小。
4. 三角形的投影三角形投影的特点是在投影平面上形成一个与原三角形相似的三角形。
其形状和大小取决于观察角度和投影方向。
5. 立方体的投影立方体在平行投影中的投影形状将是一个正方形，其边长与原立方体的边长相等。
在透视投影中，立方体的投影将呈现出近大远小的效果，与实际观察到的立方体形状一致。
基本体的投影-平面立体
截交线的性质
立体的形状不同，截平面与立体的相对
位置不同，截交线的形状均不同。
截交线性质：
截面
截平面
1、截交线是截平面与立 体表面的共有线，截交线上 的点是两者的共有点；
2、立体表面占有一定的
空间范围，所以截交线是封
闭的平面图形。
截交线
二、平面立体的截交线
由于平面立体的截交线是一个平面多边 形，多边形的顶点是截平面与平面立体棱 线或底边的交点，多边形的每一条边是截 平面和立体表面的交线，因此，求平面立 体的截交线，只需求出棱线或底边与截平 面的交点，然后依次连接各交点。
4.左边正垂面的截 交线
5.加粗、补全棱线 的投影。
5
42
S
3
1
S”
2”
1” 3”
4”
5”
基本体的投影 §1 平面立体的投影
一.平面立体的投影
1.平面立体的投影
2.画图方法
摆正 分析
表面组成 投影特性
画各表面投影
3.表面上的点 4.去轴 5.表面取线（自学） 二.带切口平面立体的投影 1.截交线的定义 2.带切口平面立体的投影
一、平面立体的投影
1.平面立体的投影 正面投影
2.画图方法 摆正 分析
画各表面投影 3.表面上的点 4.去轴
水平投影 侧面投影
主视图 俯视图 左视图
主、左高平齐 主、俯长对正 俯、左宽相等
方位关系？ 主视图：反映上 下、左右 俯视图：反映左 右、前后 左视图：反映上 下、前后 注意：前后的度 量关系
60
(k’) a’
b’ c’
(k”)
a” b”
(c”)
k
c a
b
02-8基本几何体投影
一 平面基本体
平面立体的表面是由点、直线、平面等几何元素构成，因 此平面体的投影就是绘制平面体表面各点、直线、平面的投影， 并判断可见性。在投影图中，当多种图线发生重叠时，应以粗 实线、虚线、点画线等顺序优先绘制。
Z
(一)棱柱 1、 棱柱的组成
由两个底面和几个侧棱面 组成。侧棱面与侧棱面的交线 叫侧棱线，侧棱线相互平行。
转向轮廓线
转向轮廓线
(一) 圆柱
圆柱表面由圆柱面和顶面、底面所组成。圆柱面是 由一直母线绕与之平行的轴线回转而成。
1、圆柱的投影
如图所示，圆柱的轴线垂直于 H面，其上下底圆为水平面，水平 投影反映实形，其正面和侧面投影 重影为一直线。而圆柱面则用曲面 投影的转向轮廓线表示。 V a’
c’d’ A c’d’ A d b’
棱锥处于图示位置时， 其底面ABC是水平面，在 Y 俯视图上反映实形。侧棱 面SAC为侧垂面，另两个 侧棱面为一般位置平面。
A
a
b
正三棱锥的投影
2、 棱锥的投影特点
Z V s' S a' X A s" W b' Ca" c" s Bc b" Y
底边AB、BC 为水平线，AC为 侧垂线，棱线SB为 侧平线，SA、SC为 一般位置直线，它 们的投影可根据不 同位置直线的投影 特性进行分析。
Z
a'
d'
e' a" d" e" c"
b'
c'
A
D
E b"
X a
B
C e Y
b
dc
正六棱柱的投影
3、 作六棱柱的三视图
第二讲 基本立体的投影
无轴投影图及方位对应关系
1.无轴投影图
无轴投影图及方位对应关系
1.无轴投影图
高 长 宽
宽
在投影图中不再画投影轴，将按照点的投影规律， 使各点的正面投影和水平投影的连线位于同一条铅直 线上，正面投影和侧面投影位于同一条水平线上，任 意两点的水平投影和侧面投影保持前后方向的宽度相 等即可。
---无轴投影图
s s
S
B b b s a c c b(c) a A
C
a
棱锥处于图示位 置时,其底面ABC是水 平面，在水平投影图 上反映实形。侧棱面 SAC为侧垂面，另两 个侧棱面为一般位置 平面。
(3)棱锥表面上取点
s s 2 2 m 1 b b (3) 3 1 a
n
m s 1 n a
（2）圆锥的投影图
如图示位置，水平投影图为一圆。另 两个投影图为等腰三角形，三角形的底边 为圆锥底圆的投影，两腰分别为圆锥面不 同方向的两条轮廓素线的投影。
•圆锥的投影特点
轮廓线的投影 底圆的投影
•圆锥可见性的判别—V面 曲面的可见 性的判断。
后半面 不可见
前半面 可见
注意：轮廓线的投影与曲面的可见性的判断
在生产实际பைடு நூலகம்，球形的零件也较为 常见。不过大都是部分球面，如图中所 示的球阀芯、螺钉。
•圆球的投影
三个投影均为与圆球的直径相等的圆，它 们分别是圆球三个方向轮廓素线的投影。
•圆球的投影特点
圆球的轮廓线的投影
•圆球可见性的判别
4.圆环面
一圆母线绕其所在平面内的一条轴线作回 转而成。
4.圆环面
S
O
圆锥面是由直母线SA 绕与它相交的轴线OO1 旋转而成。
几何体的投影
第六节几何体的投影机器上的零件，不论形状多么复杂，都可以看作是由基本几何体按照不同的方式组合而成的。
1、基本几何体——表面规则而单一的几何体。
按其表面性质，可以分为平面立体和曲面立体两类。
2、平面立体——立体表面全部由平面所围成的立体，如棱柱和棱锥等。
2、曲面立体——立体表面全部由曲面或曲面和平面所围成的立体，如圆柱、圆锥、圆球等。
曲面立体也称为回转体。
一、平面立体的投影及表面取点1、棱柱棱柱由两个底面和棱面组成，棱面与棱面的交线称为棱线，棱线互相平行。
棱线与底面垂直的棱柱称为正棱柱。
本节仅讨论正棱柱的投影。
（1）棱柱的投影以正六棱柱为例。
如图（a）所示为一正六棱柱，由上、下两个底面（正六边形）和六个棱面（长方形）组成。
设将其放置成上、下底面与水平投影面平行，并有两个棱面平行于正投影面面。
上、下两底面均为水平面，它们的水平投影重合并反映实形，正面及侧面投影积聚为两条相互平行的直线。
六个棱面中的前、后两个为正平面，它们的正面投影反映实形，水平投影及侧面投影积聚为一直线。
其他四个棱面均为铅垂面，其水平投影均积聚为直线，正面投影和侧面投影均为类似形。
（a）立体图（b）投影图正六棱柱的投影及表面上的点总结正棱柱的投影特征：当棱柱的底面平行某一个投影面时，则棱柱在该投影面上投影的外轮廓为与其底面全等的正多边形，而另外两个投影则由若干个相邻的矩形线框所组成。
（2）棱柱表面上点的投影方法：利用点所在的面的积聚性法。
（因为正棱柱的各个面均为特殊位置面，均具有积聚性。
）平面立体表面上取点实际就是在平面上取点。
首先应确定点位于立体的哪个平面上，并分析该平面的投影特性，然后再根据点的投影规律求得。
举例：如图（b）所示，已知棱柱表面上点M的正面投影m′，求作它的其他两面投影m、m″。
因为m′可见，所以点M必在面ABCD上。
此棱面是铅垂面，其水平投影积聚成一条直为可见，故m″也为可见。
特别强调：点与积聚成直线的平面重影时，不加括号。
(完整版)第三章基本体的投影
3基本体投影立体的形状是各种各样的，但任何复杂立体都可以分析成是由一些简单的几何体组成，如棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等，这些简单的几何体统称为基本几何体。
根据基本几何体表面的几何性质，它们可分为平面立体和曲面立体。
立体表面全是平面的立体称为平面立体；立体表面全是曲面或既有曲面又有平面的立体称为曲面立体。
3.1平面立体投影3.1.1平面立体的投影平面立体的各个边都是平面多边形，用三面投影图表示平面立体，可归纳为画出围成立体的各个表面的投影，或者是画出立体上所有棱线的投影。
注意作图时可见棱线应画成粗实线，不可见棱线应画成虚线。
（1）五棱柱如图3-1-1所示，分析五棱柱：五棱柱的顶面和底面平行于H面，它在水平面上的投影反映实形且重合在一起，而他们的正面投影及侧面投影分别积聚为水平方向的直线段。
五棱柱的后侧棱面EE1D1D为一正平面，在正平面上投影反映其实形，EE1 、D D1直线在正面上投影不可见，其水平投影及侧面投影积聚成直线段。
五棱柱的另外四个侧棱面都是铅垂面，其水平投影分别汇聚成直线段，而正面投影及侧面投影均为比实形小的类似体。
（a）立体图（b）五棱柱的投影（c）三面投影图图3-1-1投影图如图3-1-1所示，立体图形距离投影面的距离不影响各投影图形的形状及它们之间的相互关系。
为了作图简便、图形清楚，在以后的作图中省去投影轴。
作图步骤如图3-1-2所示：1.布置图面，画作图基线，如图3-1-2（a）所示；2.画出反映真实形状的面，如图3-1-2（b）所示；3.根据投影规律画出其他视图，如图3-1-2（c）所示；4.检查整理底稿后，加深三视图的可见线，将不可见线绘制成虚线，如图3-1-2（d）所示。
b）画V面投影（a）画作图基线（（c）根据投影规律画出其他视图图3-1-2（2）三棱锥（a）立体图（b）投影图（c）三面投影图图3-1-3如图3-1-3所示，分析三棱锥：三棱锥的底面ABC平行于平面H在水平投影上反映真实形状；BCS垂直于V面，在正平面上投影为一条直线。
基本几何体的投影
由曲面或曲面与平面共同围成 的立体称为曲面立体，如圆柱、 圆锥、球等。 由于这些曲面都是由一母线 （直线或曲面）绕同一定轴线 旋转一周而形成的，因此曲面 又称为回转面，曲面立体又称 为回转体。
母线在回转面上的任一位置称为素线，母 线上任意一点随母线旋转后形成的圆称为 纬圆。
1.圆柱
圆柱是由圆柱面与垂直其轴线的两个平面 上，即上、下底面所围成的。圆柱面是一 条直母线绕与其平行的轴线回转而形成的。 （1）圆柱的视图分析【P48例2-5】
2.圆锥
圆锥是由圆柱面与垂直其轴线的底圆平面 所围成的。圆锥面是由一条直母线绕与其 相交的轴线回转而形成的。 （1）圆锥的视图分析【P49例2-6】
基本几何体的投影
1.平面立体的投影
由平面围成的立体称为平面立体。 平面立体上相邻表面的交线称为 棱线。常见的基本平面立体有棱 柱和棱锥两类。棱柱的棱线彼此 平行，棱锥的棱线交于一点。
(1) 棱柱的三面投影 棱柱（正六棱柱）上一点的三面 投影。 （2）棱锥的三面投影 棱锥（正三棱锥）上一点的三面 投影。 作图的方法：长对正；高平齐； 宽相等。
3.圆球
圆球是由球面所围成的。球面是以圆为母 线绕与其直径回转形成的。母线上任一点 随母线回转的轨迹为垂直轴线的纬圆。
基本几何体的投影
⒉ 回转体与平面体叠加 形体之间 一般有轮廓线 分界
⒊ 平面体与平面体叠加
有实线 有实线
有虚线
无线
两体表面共面时，中间无分界线。
二、简单叠加体的画图方法
例：画出所给叠加体的三视图。 ⑴ 分解形体，弄清它们的叠加方式。
立板 肋板
底板和立板右侧面共面叠加 肋板与底板和立板前后对称叠加
底板
⑵ 逐块画三视图并分析表面过渡关系。
a (b)m
d
n
平面立体的投影-棱锥
s' s"
S
C
a' a s
b'
c'
c
a"(c")
b"
A
B
b
平面立体的投影-棱锥
s'
s"
m
(n )
(n)
1'
a' a 1 m 2' s b' n c' c
m
a"(c")
b"
2
b
辅助直线法
利用积聚性
曲面立体的投影-圆柱
a c (d)
b
d
a (b)
曲面立体的投影-环
Z
V
W
X
Y
曲面立体的投影-环
b
a
d
c
曲面立体的投影-环
m （n'） （n ） m
（n）
N m
辅助圆法
M
内容
体的三面投影-三视图
基本体的三视图 简单叠加体的三视图 小结
3.3 简单叠加体的三视图
一、简单叠加体的叠加形式及表面过渡关系
几何体及其上点的投影
4.1.3 棱台的投影 ❖ 棱台:用平行于棱锥底面的平面切割棱锥，
底面和截面之间的部分称为棱台。
❖现以正四棱台为例进行分析，如下图 所示。
四棱台的投影
❖ 平面体的投影，实质上就是其各个侧面的投 影，而各个侧面的投影实际上是用其各个侧 棱投影来表示，侧棱的投影又是其各顶点投 影的连线而成。
平面体的投影特点
❖ 当底面为三角形、四边形、五 边形……时，所组成的棱柱分 别为三棱柱、四棱柱、五棱柱 等。见右图为三棱柱的示意图。
现以下图所示正三棱柱为例分析棱柱投影特性
正三棱柱的投影
4.1.2 棱锥的投影
❖ 棱锥是由一个多边形平面与多个有公共顶点的三角 形平面所围成的几何体。根据不同形状.1所示
圆柱体的投影 ，如下图所示
4.2.2 圆锥体的投影
❖ 概念 圆锥是由圆锥面和底面围成。圆锥面是一条直线 （母线）绕一条与其相交的直线（轴线）回转一 周所形成的曲面。
❖ 圆锥的投影如图4.2所示
图4.2 圆锥体的投影
❖ 圆台轴线与水平投影面垂直。 圆台的投影
4.2.3 球体的投影
❖ 球是由一个球面围成，圆球面是由一半圆绕其轴线回转一周 形成的曲面。如下图所示。
球体的投影
4.2.4曲面体表面上求点的方法
❖ 圆柱体表面取点:
在圆柱表面上取 点，可利用圆柱 表面对某一面的 积聚性进行作图。 如下图所示。
正圆柱体表面上点的投影
❖ 圆锥体表面取点 素线法 ：用素线作为辅助线作图的方法 纬圆法：用垂直于轴线的圆作为辅面的方法如图所示
圆锥体表面上点的投影
❖球体表面取点和线
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(n') m'
n （m）
n" m"
因为m'为可见，在前半圆柱面 上；n'为不可见，在后半圆柱面 上。两点的侧面投影积聚在圆 周上。
作图：过m'作水平线交右半圆 周于m"，过（n'）作水平线交 左半圆周于n"，再由m'和m"， （n'）和n"求出（m）、n
三、圆锥体的投影
圆锥体是由圆锥面和底面所围成的立体。圆锥面是 一直母线绕与它相交的回转轴旋转而成的。
a(a1)
b(b1)
E F
A F1
A1
作图时先画反映底面实形的那个投影， 然后再画其它两面投影。
D C
B
C1 B1
2、平面立体表面上的点：
a' (b')
b
a" b"
a
平面立体表面上的点与平面
上取点的方法相同，要判别
投影的可见性。
三、棱锥体的投影
S'
k'
a' 1' b'
a
1 kS
b
S"
S
k"
c' a"(c'')
A
b"。
结论
1、由于平面立体的棱线是直线，所以画平面立体的 投影图，就是先画出各棱线交点的投影，然后顺 次连线，并注意区别可见性。
2、分析围成立体表面的平面图形的投影特性。 3、平面立体投影图中的每一条线，表达的是立体表
面上一条棱线或是一个有积聚性面的投影。 4、平面立体投影图，都是由封闭的线框组成，一个
第三章 基本几何体的投影
第一节 三面投影与三视图 第二节 平面立体的投影 第三节 回转体的投影
§3--1 三面投影与三视图
一、体的投影——视图
体的投影实质上是构成该体的所有表面的投影总和。
二、三面投影与三视图
体在三投影面体系中投影所得图形，称为三视图。
正面投影为主视图 水平面投影为俯视图 侧面投影为左视图
四、球体的投影 球是圆母线绕其直径回转轴旋转而成的。 球的三面投影均为圆，且与球的直径相等。
例：已知A、B两点在球面上，并知a和b的投影， 求A、B其余两点的其它投影。
解：
利用辅助纬圆作图。
a'
(a")
b'
b"
作图：过a作直线∥OX得水 平投影12，正面投影为直径 为12的圆，a'必在此圆周上。 因a可见，位于上半球，求得 a'，由a、a' 求出a"，因a 在 右半球，所以a"不可见。
一、 常见的平面几何体
它们的表面都是由平面形围成的，因此，绘制平面立 体的三视图，实质是画出组成平面立体各表面的平面形及 交线的投影。
二、棱柱体的投影 1、分析： 2、作图：
a`(e`) b`(d`) c` f`
f1` a1`(e1`)
e(e1)
b1`(d1`) c1`
d(d1)
f(f1)
c(c1)
长
Z 宽
高
高
X
O YW
宽
长
三视图对应关系为：
YH
主、俯视图长相等（简称长对正）
主、左视图高相等（简称高平齐）
俯、左视图宽相等且前后对应
(宽相等）
上
上
左
右后 前
下
下
后
左
右
前
三视图之间方位对应关系 主视图反映物体的上、下、左、右 俯视图反映物体的前、后、左、右 左视图反映物体的上、下、前、后
§3--2 平面体的投影
封闭的线框一般代表着立体的某个面的投影。
§3--3 回转体的投影
一、常见的回转体
回转体——一动线绕一定直线旋转而成的曲面，称 为回转面。由回转面或回转面与平面所围成的立体称 为回转体。
二、圆柱体的投影
回转轴
D
A
B
C
水平投影为一圆，反 映顶、底圆的实形，
圆柱面上所有素线都 积聚在该圆周上。
母线
圆柱体表面上的点：
(b) 1 a2
因为b处于正面投影外形线上， 可由b'直接求得b、b"。
小
结
基本体的三视图画法及面上找点的方法 1、平面体表面找点，利用平面上找点的方法。
2、 圆柱体表面找点，利用投影的积聚性。 3、 圆锥体表面找点，用辅助线法和辅助圆法。 4、 圆球体表面找点，用辅助纬圆法。
母线
回转轴
圆锥体表面上的点
例：已知圆锥体表面上一点K的正面投影k'，求另两个投影。
s'
s"
k'
1'
s
k 1
k"
解1、辅助素线法： 过锥顶S和已知点
1"
K作直线S1，连 s'k'与底边交于1'，
然后求出该素线
的H面和W面投影
s1和s" 1 "，最后
由k'求出k和k"。
s'
k'
2'
1'
s
k
s"
k"
解2、辅助圆法：过 已知点K作纬圆，该 圆垂直于轴线，过k' 作纬圆的正面投1'2'， 然后作出水平投影k 在此圆周上，由k' 求 出k，最后求出k"。
(n') m'
n m
n" (m")
已知：正面投影上的n'、 m'的投影，求其它两面的投影。
分析：m'为可见，在前半 圆柱面上，n' 为不可见，在后 半圆柱面上。其水平投影积聚 在圆周上，先求出m、n，再求 m"、n"。
例：已知圆柱体表面上M、N两点的正面 投影 m'、 (n') ，求其它两面投影。