2014年最全初中数学导学案——数学：人教版九年级上 22.1 一元二次方程(疑难分析)
2014秋季新人教版九年级上数学第二十一章一元二次方程导学案【定稿】
x 22.1 一元二次方程（1）学习目标：了解一元二次方程的概念；一般式ax 2+bx+c=0（a ≠0）及其派生的概念；•应用一元二次方程概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．解决一些概念性的题目．4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重点难点：重点：一元二次方程的概念及其一般形式、和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．一、一元二次方程定义：问题1 要设计一座2m 高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？分析：设雕像下部高x m ，则上部高________,得方程_____________________________整理得_____________________________ ①问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。
如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为________________,宽为_____________.得方程_____________________________整理得_____________________________ ②问题 3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。
根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为___________设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场。
人教版九年级数学上册《一元二次方程》导学案
课题：22.1.1一元二次方程学习目标：1.掌握一元二次方程的定义及一般形式，会判断方程是否为一元二次方程。
2.分清二次项，一次项，常数项。
3.能根据题意列一元二次方程并整理成一般形式。
教学重点：正比例函数的图象和性质教学难点：用数形结合的思想探究正比例函数的图象与性质。
教学过程：一、创设情境欣赏芭蕾舞视频二、自主学习问题(1):一位身高为2米的选手（人体的上身高度与下身高度的比和下身高度与身高的比相等）,她的下身应该有多高才让人觉得很美呢?问题(2) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形?三、探究新知1.思考x 2+2x-4=0，x 2-75x+350=0这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它A C B们有什么共同特点呢？2.一元二次方程的概念像这样的等号两边都是_________, 只含有_____未知数(一元)，并且未知数的最高次数是_____的方程叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown)3.请抢答下列各式是否为一元二次方程（每组3号作答）多媒体展示4.一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为_____________的形式,我们把_____________________(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.想一想：（1）指出 a x 2 + b x + c = 0（a≠0)中的二次项系数、一次项系数、常数项？___________________________________________________ ______（2）为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？四、巩固应用例1.将方程（3x-2）(x+1)=8x-3 化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项。
2014年秋季学期新版新人教版九年级数学上册21.1、一元二次方程导学案5
22.1 一元二次方程【学习目标】1、会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念。
2、会估算实际问题中方程的解，并理解方程解的实际意义。
学习重点：一元二次方程解的探索。
学习难点：理解一元二次方程解的多样性及方程解的实际意义。
【自习自疑】阅读教材相关内容，完成以下练习。
1、判断下列各数是不是方程963=-x 的解：3，4，5，6，72、猜测第一课时问题3中所列方程562=-x x 的解是什么？1、2、3、4、5、6、7、8、9、10思考：方程562=-x x 还有其他的解吗？【自主探究】探究一： 下面哪些数是方程2x 2+10x+12=0的解？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．归纳：什么叫做一元二次方程的解（根）？探究二：认真观察下列方程的结构形式，试写出下列方程的根，并说出你的理由。
⑴ x 2-16=0 ⑵ (x+3)(x-2)=0 ⑶ (x-2)2=49探究三：1、若x ＝2是方程0542=-+x ax的一个根，你能求出a 的值吗？【自结自测】：本节课的学习，你有哪些收获？1、方程x （x-1）=2的两根为（ ）．A ．x 1=0，x 2=1B ．x 1=0，x 2= -1C ．x 1=1，x 2=2D ．x 1=-1，x 2=22、下列哪些数是方程06-2=-x x 的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.3.试写出方程 02=-x x 的根，你能写出几个？4、已知方程5x 2+mx-6=0的一个根是x=3，则m 的值为________．5、若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为1，则a+b+c= ；若有一个根是-1，则b 与a 、c 之间的关系为 ；若有一个根为0，则c= 。
新人教版九年级数学第22章一元二次方程教案导学案(全章)
第22章一元二次方程教材内容1．本单元教学的主要内容．一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．2．本单元在教材中的地位与作用．一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．教学目标1．知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．过程与方法（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题．3．情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点1．一元二次方程及其它有关的概念．2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点1．一元二次方程配方法解题．2．用公式法解一元二次方程时的讨论．3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．2．用配方法解一元二次方程的步骤．3．解一元二次方程公式法的推导．课时划分本单元教学时间约需15课时，具体分配如下：22．1 一元二次方程2课时22．2 降次──解一元二次方程8课时22．3 实际问题与一元二次方程3课时《一元二次方程》小结与复习2课时第1课时一元二次方程（1）第2课时一元二次方程（2）第3课时解一元二次方程——配方法（1）第4课时解一元二次方程——配方法（2）第5课时解一元二次方程——配方法（3）第6课时解一元二次方程——公式法（1）第7课时解一元二次方程——公式法（2）第8课时解一元二次方程—因式分解法第9课时一元二次方程的根与系数的关系（1）第10课时一元二次方程的根与系数的关系（2）原式＝第11课时实际问题与一元二次方程（1）第12课时实际问题与一元二次方程（2）第13课时实际问题与一元二次方程（3）第14-15课时《一元二次方程》小结与复习。
《一元二次方程》教案(人教版数学九年级上)
课题：22.1一元二次方程一、教学目标1.经历一元二次方程概念的形成过程，知道什么是一元二次方程.2.会把一元二次方程化成一般形式，并知道各项及系数的名称.二、教学重点和难点1.重点：一元二次方程的概念.2.难点：把一元二次方程化成一般形式.三、教学过程（一）创设情境，导入新课师：（板书：3x-5=0）这是一个什么方程？（稍停）3x-5=0是一个一元一次方程（板书：一元一次方程）.师：哪位同学知道什么样的方程是一元一次方程？生：……（让几名同学回答）师：（指准3x-5=0）只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程，叫做一元一次方程.（指准“一元一次方程”）一元指的是含有一个未知数，一次指的是未知数的次数是1.师：一元一次方程是我们在初一已经学过的，从今天开始，我们要学习一种新的方程，叫做一元二次方程（板书：一元二次方程）.（二）尝试指导，讲授新课师：什么样的方程是一元二次方程？（板书：x2-x=56）x2-x=56是一个一元二次方程，（板书：4x2-9=0）4x2-9=0也是一元二次方程，（板书：x2+3x=0）x2+3x=0也是一元二次方程，（板书：3y2-5y=7）3y2-5y=7也是一元二次方程.师：从这些一元二次方程，哪位同学能概括什么样的方程是一元二次方程？（等到有一部分同学举手再叫学生）生：……（多让几名同学回答）师：（指准x2-x=56）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.（师出示下面的板书）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.师：请大家把一元二次方程的定义读两遍.（生读）师：根据一元二次方程的定义，（指准方程）我们很容易判断x2-x=56，4x2-9=0，x2+3x=0，3y2-5y=7这些方程都是一元二次方程.（板书：3x(x-1)=5(x+2)）现在请大家判断，这个方程是不是一元二次方程？为什么？（让生思考一会儿）生：……（让几名学生发表看法）师：把这个方程两边去括号，得到3x2-3x=5x+10（边讲边板书：3x2-3x=5x+10），去括号后容易看出，这个方程是一元二次方程.师：（指3x2-3x=5x+10）这个方程还可以继续整理，怎么继续整理？（指准方程）先把右边的5x和10都移到左边去，再合并，得到3x2-8x-10=0（边讲边板书：3x2-8x-10=0）.师：（指原方程和3x2-8x-10=0）大家可以比较这两个方程，这个方程是这个方程经过整理得到的，这个方程的形式又简单又整齐，我们把这种形式叫做一元二次方程的一般形式（板书：一元二次方程的一般形式）.师：从这个例子大家可以看到，任何一个一元二次方程，经过整理，都可以化成一般形式，一般形式就是ax2+bx+c=0这样的形式（边讲边板书：ax2+bx+c=0）.师：（指准ax2+bx+c=0）在一元二次方程的一般形式中，我们把ax2叫做二次项，a 是二次项系数（板书：其中a是二次项系数）；bx叫做一次项，b是一次项系数（板书：b 是一次项系数）；c叫做常数项（板书：c是常数项）.师：（指准3x2-8x-10=0）譬如，在这个方程中，二次项是3x2，二次项系数是3；一次项是-8x，一次项系数是-8；常数项是-10.师：（指x2+3x=0）大家看这个方程，它的二次项、二次项系数是什么？生：二次项是x2，二次项系数是1.（多让几名同学回答）师：（指x2+3x=0）它的一次项、一次项系数是什么？生：一次项是3x，一次项系数是3.（多让几名同学回答）师：（指x2+3x=0）它的常数项是什么？生：常数项是0.（多让几名同学回答，如有必要师作解释）师：（指4x2-9=0）大家再看这个方程，它的二次项、二次项系数是什么？生：二次项是4x2，二次项系数是4.师：（指4x2-9=0）它的一次项、一次项系数是什么？生：……（多让几名同学回答）师：这个方程的一次项可以写成0x（边讲边板书：0x），所以这个方程的一次项是0x，一次项系数是0.师：（指4x2-9=0）它的常数项是什么？生：常数项是-9.师：前面我们学习了一元二次方程的概念和一般形式，下面请大家利用这些知识来做几个练习.（三）试探练习，回授调节1.填空：(1)把5x2-1=4x化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(2)把4x2=81化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(3)把x(x+2)=15化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(4)把(3x-2)(x+1)=8x-3化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .2.填空：(1)一个一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-5，这个一元二次方程是；(2)一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为3，这个一元二次方程是；(3)一个一元二次方程，它的二次项系数为5，一次项系数为-1，常数项为0，这个一元二次方程是；(4)一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为-6，这个一元二次方程是 .（四）归纳小结，布置作业师：这节课我们学习了什么？哪位同学能帮老师小结一下？生：……（让一两名学生小结）（作业：P28习题1）四、板书设计课题：22.1一元二次方程（第2课时）一、教学目标1.知道什么是一元二次方程的解（根）.2.会用直接开平方法解一元二次方程，渗透转化思想.二、教学重点和难点1.重点：一元二次方程解（根）的概念，直接开平方法.2.难点：直接开平方法.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：(1)只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程；(2)ax2+bx+c=0(a≠0)这种形式叫做一元二次方程的形式，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项.2.填空：(1)把(x+3)(x-4)=0化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(2)把(2x+1)2=4x化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .（二）尝试指导，讲授新课师：（板书：2x-6=0）这是一个一元一次方程，这个方程的解是什么？生：（齐答）解是x=3.（师板书：解是x=3）师：（指准方程）2x-6=0的解是x=3，这话是什么意思？（稍停）把x=3代入方程，左边=2×3-6=0，右边=0，左边和右边恰好相等.2x-6=0的解x=3，意思是，x=3能使方程左右两边恰好相等.师：（板书：x2-x=0）这是一个一元二次方程，这个方程的解是什么？（让生思考一会儿再叫学生）生：解是x=0.（师板书：x=0）师：（指准方程）把x=0代入方程，左边和右边相等，所以x=0是这个一元二次方程的一个解.师：除了x=0，这个方程还有没有别的的解？生：x=1.（师板书：x=1）师：（指准方程）把x=1代入方程，左边和右边相等，所以x=1也是这个一元二次方程的一个解.师：可见x2-x=0有两个解，一个解x1=0（边讲边标下标），另一个解x2=1（边讲边标下标）.师：一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根（板书：（根）），所以也可以这样说，（指准板书）x2-x=0有两个根，一个根x1是0，另一个根x2是1.师：下面请同学们做一个练习.（三）试探练习，回授调节3.填空：在-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4这些数中，是一元二次方程x2-x-6=0的根的是 .4.填空：方程x2-36=0的根是x1= ，x2= .（四）尝试指导，讲授新课师：（板书：x2-36=0）刚才我们求了x2-36=0这个一元二次方程的两个根，x1=6，x2=-6.我们是怎么求的？我们是通过凑数字求的.大家可以想到，凑数字求根是有局限性的，什么局限性？（稍停）通过凑数字只能求那些很简单的一元二次方程的根，如果方程稍微复杂一点，数字就不好凑了.譬如，我们把右边的0改为2x（边讲边把x2-36=0中的0改为2x），x2-36=2x这个方程就很难用凑数字来求根.所以，求一元二次方程的根不能光靠凑数字，还需要有专门的方法.师：解一元二次方程的方法有好几种，下面我们先来介绍第一种方法，叫直接开平方法（板书：直接开平方法）.师：怎么用直接开平方法解一元二次方程？（稍停）让我们来看一个例子.（师出示例题）例解下列一元二次方程：(1)4x2-9=0； (2)3(2x-1)2=15.（师边讲解边板书，解题过程如下所示）解：(1)原方程化成29x=4.开平方，得3x=2±，x1=32，x2=-32.(2)原方程化成2(2x-1)=5.开平方，得2x-1=±，x1，x2师：（指准例题）从这两个题目，哪位同学会概括用直接开平方法解一元二次方程的步骤？生：……（让一两名好生概括）师：（指准例题）用直接开平方法解一元二次方程，有三步，第一步把原方程化成x2=常数，或者含x的式子的平方=常数的形式（板书：第一步：化成什么2＝常数）；第二步开平方，把一元二次方程化成一元一次方程（板书：第二步：开平方）；第三步解一元一次方程，得到两个根（板书：第三步：解一元一次方程）.师：下面请同学们按这三步来做两个题目.（五）试探练习，回授调节5.完成下面的解题过程：(1)解方程：2x2-6=0；解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .(2)解方程：9(x-2)2=1.解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .（六）归纳小结，布置作业师：（指准板书）本节课我们学习了一元二次方程根的概念，还学习了用直接开平方法解一元二次方程.用直接开平方法解一元二次方程有这么三步，第一步把原方程化成什么2=常数这种形式；第二步开平方，把一元二次方程化成一元一次方程，也就是把二次降为一次（板书：降次）；第三步解一元一次方程，得到两个根.（作业：P28习题3，P42习题1）四、板书设计学-优]中。
最新人教版九年级数学上册全册导学案
第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程——一元二次方程的相关概念一、新课导入1.导入课题：情景：要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全部(全身)的高度比,则雕像的下部应设计多少米高?问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？（导出审题的关键是寻找等量关系）问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？（用线段AB表示雕像的高度，雕像上部的高度表示为AC,下部的高度表示为BC,在黑板上画出示意图，把这个问题转化为数学问题）问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？（根据题意导出关系式BC2=2AC）问题4：设雕像下部高BC=x m,请说出你所列的方程，并化简.这个方程是一元一次方程吗？它有什么特点？这个方程就是本节课我们将要学习的一元二次方程.（板书课题）2.学习目标：（1）会设未知数，列一元二次方程.(2)了解一元二次方程及其根的概念.（3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数.3.学习重、难点：重点：一元二次方程的一般形式及相关概念.难点：寻找等量关系.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第1页到第2页的问题1、问题2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：先寻找问题中的等量关系，再根据等量关系列出方程.（4）自学参考提纲：①问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为x cm，则盒底的宽为(50-2x) cm，盒底的长为(100-2x) cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2可列方程为(100-2x)(50-2x)=3600，你能把它整理为课本上的方程②吗？试说明具体经过哪几步变形得到.先去括号5000-100x-200x+4x2=3600移项合并同类项4x2-300x+1400=0系数化为1(两边同除以4) x2-75x+350=0②问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为28场.设邀请x支队参赛，则每支队与其余(x-1) 支队都要赛一场.整个比赛中总比赛场数是多少？你是怎样算出来的？本题的等量关系是什么？你列出的方程是x(x-1)=28.你能把它整理为课本上的方程③吗？试说明具体经过哪几步变形得到.去括号x2-12x=28系数化为1(两边同乘以2) x2-x=562.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察了解学生是否会寻找等量关系，是否会化简方程.②差异指导：简要说明问题2中单循环比赛与双循环比赛的区别，对不会寻找等量关系的学生给予辅导，说明化简方程的基本要求.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化：（1）总结寻找等量关系的策略，简要指出哪些公式经常被我们作为寻找等量关系的依据.（2）练习：根据下列问题列方程①一个圆的面积是2πｍ2，求半径.πr2=2π②一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为9cm2，求较长的直角边的长.1x(x-3)=92③4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长x. 4x2=25④一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x. x(x-2)=100⑤把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.x=(1-x)21.自学指导：（1）自学内容：教材第3页的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：观察方程①②③，从方程所含的未知数的个数及其次数等方面找出它们共同的特点.（4）自学参考提纲：①结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.②一元二次方程的一般形式是a x2+b x+c=0(a≠0)，为什么要规定a≠0？因为a=0时，未知数的最高次数小于2.③同桌之间相互说说方程①②③的二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项各是什么.方程①x2+2x-4=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：2x 一次项系数：2常数项：-4方程②x2-75x+350=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-75x 一次项系数：-75 常数项：350方程③x2-x=56 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-x 一次项系数：-1常数项：-56④举例说明什么是一元二次方程的根.⑤自学例题，说说把一元二次方程化为一般形式，要经过哪些变形？去括号，移项，合并同类项.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察学生在回答一元二次方程各项及各项系数时，是否注意了符号.②差异指导：提醒学生一元二次方程的每一项（系数）都应包括它前面的符号.（2）生助生：生生互动交流、订正错误.4.强化:(1)交流总结：确定一元二次方程各项的系数时，若方程不是一般形式，要先经过去括号、移项、合并同类项等步骤把它化成一般形式，通常习惯把二次项系数化为正数，且各项系数均为整数且互质，在指出各项系数时，一定要带上各项前面的符号.(2)练习：①将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：5x2-1=4x；4x2=81；解：原式化为5x2-4x-1=0解：原式化为4x2-81=0二次项系数：5一次项系数：-4常数项：-1二次项系数：4一次项系数：0常数项：-81 4x（x+2）=25；(3x-2)(x+1)=8x-3.解：原式化为4x2+8x-25=0解：原式化为3x2-7x+1=0二次项系数：4一次项系数：8常数项：-25二次项系数：3一次项系数：-7常数项：1②若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≥0且m≠1.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？还有什么困惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生参与学习的情况，回答问题，小组互动情况以及存在的问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:(1)注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.(2)教师创设情境，给出实例，学生积极主动探究，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.(3)增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.(4)对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.（10分）一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是（C）A. 3，5B. 3，0C. 3，-5D. 5，02.（10分）下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3， 4.解：－4，33.（20分）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）3x2+1=6x；（2）4x2=81－5x；解：原式化为3x2-6x+1=0 解：原式化为4x2+5x-81=0二次项系数：3 二次项系数：4一次项系数：-6 一次项系数：5常数项：1 常数项：-81（3）x(x+5)=5x－10; （4）(3x－2)(x+1)=x(2x－1).解：原式化为x2+10=0 解：原式化为x2+2x-2=0二次项系数：1 二次项系数：1一次项系数：0 一次项系数：2常数项：10 常数项：-24.（30分）根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）一个长方形的长比宽多1cm,面积是132cm2,长方形的长和宽各是多少？解：设长方形的长为x cm，则宽为(x-1)cm，根据题意，得x(x-1)=132，整理，得x2-x-132=0.（2）有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的平方的长方形?解：设长方形的长为x m，则宽为(0.5-x)m.根据题意，得x(0.5-x)=0.06,整理，得50x2-25x+3=0.（3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会？解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得x(x-1)=10整理，得x2-x-20=0二、综合应用（20分）5.（20分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，则x满足的方程是（B）A. x2+130x-1400=0B. x2+65x-350=0C. x2-130x-1400=0D. x2-65x-350=0三、拓展延伸（10分）6.（10分）如果2是方程x2-c=0的一个根，求常数c及方程的另一个根.解：将2代入原方程中,得22-c=0，得c=4.将c=4代入原方程，得x2-4=0.解得x=±2.即方程的另一个根为-2.21.2解一元二次方程21.2.1配方法第1课时直接开平方法一、导学1.导入课题：情景：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，求盒子的棱长.问题1：本题的等量关系是什么？问题2：设正方体的棱长为x dm，请列出方程并化简.问题3：根据平方根的意义解方程x2=25.由此导入并板书课题直接开平方法.2.学习目标：(1)能根据平方根的意义解形如x2=p及a x2+c=0的一元二次方程.(2)能运用开平方法解形如(m x+n)2=p(p≥0)的方程.(3)体会“降次”的数学思想.3.学习重、难点：重点：运用开平方法解形如(m x+n)2=p(p≥0)的方程.难点：降次的数学思想.4.自学指导：(1)自学内容：教材第5页到第6页“练习”之前的内容.(2)自学时间：10分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究提纲：①根据平方根的意义，解方程：x2=36；2x2-4=0；3x2-4=8.x=±6，x2=2，x2=4，x1=6，x2= -6. x=±2，x2=±2，x1=，x2= -. x1=2，x2= -2.②当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根x1= -x2=.当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根x1=x2=0.当p<0时，方程x2=p无实数根.③探究方程(x+3)2=5的根：因为(x+3)2=5，所以x+3是5的平方根,所以x+3等于5或-5.即x+3=,或x+3= -.解x+3=,得x1=-3；解x+3=-,得x2= --3.于是，方程(x+3)2=5的根为x1=-3, x2= --3.解方程(x+3)2=5的过程实质上是把一个一元二次方程降次,转化为两个一元一次方程,再解两个一元一次方程即得原方程的解.二、自学学生可参考自学指导进行自学.三、助学1.师助生：(1)明了学情：看学生能否顺利解决所给问题，注意书写格式方面存在的问题.(2)差异指导：注意帮助学困生复习平方根等知识，紧扣平方根讨论p的符号与方程的解的个数的关系.2.生助生：同桌之间互相批改，相互讨论改正错误.四、强化1.教师示范：解方程x2+4x+4=1.分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x+2)2=1.解：由已知，得：(x+2)2=1直接开平方，得：x+2=±1即x+2=1或x+2=-1所以，方程的两根为x1= -1，x2= -3.2.练习：解下列方程：3.上面的方程都能化成x2=p或(m x+n)2=p(p≥0)的形式，那么可由“降次”得到x=±或m x+n=±p≥0)求解.4.以师生对话的形式讨论(m x+n)2=p的解的个数问题.五、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：你会解哪些形式的一元二次方程？怎样解？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生的学习态度、方法、积极性及存在的不足之处等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思)：(1)本课时通过创设问题情景，激发学生探究新知的欲望.(2)本课时还通过回忆旧知识为新知学习作好铺垫.(3)教师引导学生自主、合作、探究、验证，培养学生分析问题、解决问题的能力.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固(80分)1.(10分)一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是(D)A. x-6= -4B. x-6=4C. x+6=4D. x+6= -42.(10分)方程3x2+9=0的根为(D)A. 3B. －3C. ±3D. 无实数根3.(10分)若8x2-16=0，则x的值是±2.4.(10分)已知方程2(x-3)2=72，那么这个一元二次方程的两根是x1=9,x2= -3.5.(40分)解下列方程:(1) 4x2=81；(2) (x＋6)2－9=0；解：由已知，得：x2=，解：由已知，得：(x+6)2=9，直接开平方，得x=±，直接开平方，得x+6=±3，所以方程的两根为x1=，x2= -. 所以方程的两根为x1= -3, x2= -9.(3) x2+2x+1=4；(4) 9x2+6x+1=4.解：由已知，得：(x+1)2=4，解：由已知，得：(3x+1)2=4，直接开平方，得x+1=±2，直接开平方，得3x+1=±2，所以方程的两根为x1=1, x2= -3. 所以方程的两根为x1= -1, x2=.二、综合应用(10分)6.(10分)如果x=3是一元二次方程a x2=c的一个根，则方程的另一根是(B)A. 3B. -3C. 0D. 1三、拓展延伸(10分)7.(10分)解关于x的方程(x+m)2=n.解：①当n>0时，此时方程两边直接开方.得x+m=±，方程的两根为x1=-m,x2= --m.②当n=0时，此时(x+m)2=0,直接开方得x+m=0,方程的两根为x1=x2= -m.③当n<0时，因为对任意实数x，都有(x+m)2≥0，所以方程无实数根.21.2.1配方法第2课时配方法一、新课导入1.导入课题：情景：请把方程(x+3)2=5化成一般形式，并由一名学生口答.问题：(追问)那么你能将方程x2+6x+4=0转化为(x+3)2=5的形式吗？由此导入课题.(板书课题)2.学习目标：(1)知道用配方法解一元二次方程的一般步骤，会用配方法解一元二次方程.(2)通过配方进一步体会“降次”的转化思想.3.学习重、难点：重点：用配方法解一元二次方程.难点：配方的方法.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第6页“探究”到第7页例1上面的部分.(2)自学时间：6分钟.(3)自学方法：完成下面的探究提纲，如果觉得有困难就先完成②，③，再完成①.(4)探究提纲：①解方程x2+6x+4=0.移项：把常数项移到方程的右边，得x2+6x= -4；配方：两边都加9，使得左边配成x2+2b x+b2的形式，得x2+6x+9=；变形：把左边写成完全平方形式，得(x+3)2=5；降次：运用平方根的定义把方程转化为两个一元一次方程，得x+3=±；求解：解两个一元一次方程，得x1=-3, x2= --3.②回忆完全平方公式填空：a2+2ab+b2=(a+b )2，x2+6x+9=(x+3)2.③为什么要在x2+6x=-4两边加9而不是其他数？因为两边加9，式子左边可以恰好凑成完全平方式.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：了解学生配方时的难点和易错点.②差异指导：根据具体情况指导学生配方.(2)生助生：小组内相互交流研讨，订正错误.4.强化：(1)配方的依据和步骤.(2)试一试：对下列各式进行配方：1.自学指导：(1)自学内容：教材第7页到第9页的例1.(2)自学时间：10分钟.(3)自学方法：认真阅读分析和解答过程，注意把方程转化为你能解的形式.(4)自学参考提纲：①仿照方程x2+6x+4=0的解法解方程(1)，然后对照课本纠错.②方程(2)、(3)中是怎样化二次项系数为1的？方程两边同除以原二次项的系数③方程(3)没有实数根的依据是什么？实数的平方是非负数.④用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？移项时需注意改变符号.⑤请小结用配方法解一元二次方程的一般步骤.①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.⑥解方程(x+n)2=p.①当p>0时,则x+n=±,方程的两个根为x1=-n, x2= --n.②当p=0时,则(x+n)2=0,开平方得x+n=0,方程的两个根为x1=x2= -n.③当p<0时,则方程(x+n)2= p无实数根.2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：主要了解学生解方程配方时是否存在困难，计算是否错误，书写格式是否规范.②差异指导：针对学生在学习中出现的问题予以指导.(2)生助生：生生互动，交流研讨.4.强化：(1)用配方法解一元二次方程的一般步骤.(2)用配方法解方程：三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：你会用配方法解一元二次方程吗？本节课你学习了哪些知识？2教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生的学习参与情况、小组交流协作状况、学习效果及不足等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思):(1)本节课，重在让学生自主参与，进而获得成功的体验，在数学方法上，仍突出数学研究中转化的思想，激发学生产生合理的认知冲突，激发兴趣，建立自信心.(2)在练习内容上，有所改进，加强了核心知识的理解与巩固，提高了自己解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，提高教学效果.(3)用配方法解一元二次方程是学习解一元二次方程的基本方法，后面的求根公式是在配方法的基础上推出的，配方法在使用时又与原来学习的完全平方式联系密切，用配方法解一元二次方程既是对原来知识的巩固，又是对后面学习内容的铺垫.在二次函数顶点坐标的求解中也同样使用的是配方法，因此配方法是一种基本的数学解题方法.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固(70分)1.(10分)用配方法解方程-x2+6x+7=0时，配方后得的方程为(B)A. (x+3)2=16B. (x-3)2=16C. (x+3)2=2D. (x-3)2=22.(20分)填空.(1) 4x2+4x+1=(2x+1)2(2) x2－x+=(x-)23.(40分)用配方法解下列方程.(1)x2+10x+9=0；(2)4x2-12x－7=0;解：移项,x2+10x=-9, 解：移项，4x2-12x=7,配方,x2+10x+25=16, 系数化为1，x2-3x=,(x+5)2=16, 配方，x2-3x+=4,x+5=±4, ( x-2=4,方程的两个根为x1=-1，x2= -9. x-=±2,方程的两个根为x1=72，x2= -12.(3) x2+4x－9=2x－11; (4) x(x+4)=8x+12解：移项,x2+2x= -2, 解：化简移项,x2-4x=12,配方,x2+2x+1= -1, 配方,x2-4x+4=16,(x+1)2= -1, (x-2)2=16,方程没有实数根. x-2=±4,方程的两个根为x1=6,x2= -2.二、综合应用(10分)4.(10分)用配方法解方程4x2-x-9=0.三、拓展延伸(20分)5.(20分) 当a为何值时，多项式a2+2a+18有最小值？并求出这个最小值. 解：对原式进行配方，则原式=(a+1)2+17∵(a+1)2≥0,∴当a= -1时，原式有最小值为17.21.2.2公式法——根的判别式及求根公式一、新课导入1.导入课题：(1)用配方法解一元二次方程的步骤是什么？(2)你能用配方法解一般形式的一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)吗？我们继续学习另一种解一元二次方程的方法——公式法.2.学习目标：(1)知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式直接判断一元二次方程的根的情况.(2)会用公式法解一元二次方程.3.学习重、难点：重点：用求根公式解一元二次方程.难点：计算时的符号处理.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第9页到11页例2之前的内容.(2)自学时间：15分钟.(3)自学方法：认真阅读书上的内容，并动手推导出求根公式.(4)自学参考提纲：②Δ=b2－4ac叫做一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的根的判别式.当b2－4ac>0时，方程a x2+b x+c=0(a≠0)有两个不等的实数根；当b2－4ac=0时，方程a x2+b x+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；当b2－4ac<0时，方程a x2+b x+c=0(a≠0)无实数根.注意：上述的叙述，反过来也成立.③当Δ≥0时，一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的求根公式.④不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.x2+5x+6=0；9x2+12x+4=0；Δ=b2-4ac=52-4×1×6=1>0 Δ=b2-4ac=122-4×9×4=0方程有两个不等的实数根. 方程有两个相等的实数根.2x2+4x－3=2x－4；x(x+4)=8x+12.方程化为2x2+2x+1=0 方程化为x2-4x-12=0Δ=b2-4ac=22-4×2×1=-4<0 Δ=b2-4ac=(-4)2-4×(-12)=64>0方程无实数根. 方程有两个不等的实数根.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：了解学生配方的过程以及配方后是否讨论.②差异指导：指导学生配方变形；指导学生对b2－4ac的符号进行讨论.(2)生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：(1)公式的推导，判别式定义解读；(2)练习：不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况.1.自学指导：(1)自学内容：教材第11页到第12页的例2.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：阅读解答过程，注意解题步骤和格式.(4)自学参考提纲：①先独立运用公式法解所给方程，然后对照课本找错误、分析错因.x2-4x-7=0；2x2-22x+1=0；5x2-3x=x+1；x2+17=8x.x1=2+x1=x2=x1=1 无实数根x2=2-x2= -②说说运用公式法解一元二次方程的一般步骤，有哪些易错点？先将方程化为一般形式，确定a,b，c的值；计算判别式Δ=b2-4ac的值，判断方程是否有解；若Δ≥0，利用求根公式计算方程的根，若Δ<0，方程无实数根.计算Δ时，注意a,b,c符号的问题.③解答本章引言中的问题.2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：看学生能否从例2的学习中总结出用公式法解方程的一般步骤及注意事项.②差异指导：注意强调运用公式法解方程的前提条件.(2)生助生：同桌之间互相找错，分析错因.4.强化：(1)用公式法解一元二次方程的一般解题步骤及注意事项.(2)解下列方程：三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你学到了哪些知识？有何收获或不足？你知道一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的根的判别式与其根的个数有什么关系吗？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生的学习态度、积极性、学习效果、方法及不足之处等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思):(1)本课时容量较大，难度较大，计算的要求较高，因此教学设计各环节均围绕着利用公式法解一元二次方程这一重点内容展开，问题设计、课堂学习有利于学生强化运算能力、掌握基本技能，也有利于教师发现教学中存在的问题.(2)在教学设计中，引导学生自主探究一元二次方程的求根公式，在师生讨论中发现求根公式，并学会利用公式法解一元二次方程.(3)整个课堂都以学生动手训练为主，让学生积极介入探究活动，体验到成功的喜悦.(4)公式法是在配方法的基础上推出的一种解一元二次方程的基本方法，它使解一元二次方程更加简便，在公式的运用中，涉及到根的判别式，使公式法解一元二次方程得到延续和深化.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固(80分)1.(10分)一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根，则b2-4ac满足的条件是(B)A. b2-4ac=0B. b2-4ac＞0C. b2-4ac＜0D. b2-4ac≥02.(10分)已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0.下列说法正确的是(B)A. ①②都有实数解B. ①无实数解，②有实数解C. ①有实数解，②无实数解D. ①②都无实数解3.(10分)利用求根公式求5x2+＝6x的根时，a，b，c的值分别是(C)A. 5，，6B. 5，6，C. 5，-6，D. 5，-6，-4.(20分)不解方程，利用判别式判断下列方程的根的情况：(1)x2－3x－32=0；(2) 16x2－24x+9=0；方程有两个不等的实数根. 方程有两个相等的实数根.(3)x2－42x+9=0；(4)3x2+10=2x2+8x.解：Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×9= -4<0, 解：方程化为x2-8x+10=0方程无实数根. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×10=24>0方程有两个不等的实数根.5.(30分)用公式法解下列方程：二、综合应用(10分)6.(10分)解方程x2=3x+2时，有一位同学解答如下：请你分析以上解答有无错误，如有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解题过程.解：有错误，方程化为标准形式x2-3x-2=0, ∴a=1,b= -3,c= -2, b2-4ac=17.三、拓展延伸(10分)7.(10分)无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根吗？给出你的答案并说明理由.解：方程化简为x2-5x+6-p2=0.∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1,∴Δ>0.∴无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根.21.2.3 因式分解法一、新课导入1.导入课题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s后物体离地面的高度(单位：m)为：10x-4.9x2.问题1：你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？问题2：设物体经过x s落回地面，请说说你列出的方程.问题3：你能用配方法或公式法解这个方程吗？是否还有更简单的方法呢？(板书课题)2.学习目标：(1)会用因式分解法解一元二次方程.(2)能选用合适的方法解一元二次方程.3.学习重、难点：重点：用因式分解法解一元二次方程.难点：选择合适的方法解一元二次方程.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第12页到第13页的内容.(2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：可先解答②，再解答①.(4)自学参考提纲：①解方程10x-4.9x2=0.分解因式：左边提公因式，得x(10-4.9x)=0，降次：把方程化为两个一次方程，得x=0或10-4.9x=0，求解：解这两个一次方程，得x1=0, x2=.②将一个多项式进行因式分解，通常有哪几种方法？提公因式法，公式法，十字相乘法用因式分解法解一元二次方程的依据是：如果ab=0，则a=0或u.③请小结因式分解法解一元二次方程的步骤：移项，合并同类项，因式分解，写出一元二次方程的根.④解下列方程：(x-2)·(x-3)=0；4x2－11x=0.x1=2, x2=3 x1=0, x2=2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：是否理解用因式分解法解一元二次方程的依据，是否掌握用因式分解法解方程的步骤.②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.(2)生助生：小组内互相交流、研讨.4.强化：(1)用因式分解法解方程的一般步骤：第一步，把方程变形为x2+p x+q=0的形式；第二步，把方程变形为(x-x1)(x-x2)=0的形式；第三步，把方程降次为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式；第四步，解两个一次方程，求出方程的根.(2)点两名学生板演第④题，并点评.1.自学指导：(1)自学内容：教材第14页例3及“归纳”.(2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：先独立作业，然后小组互相改正.(4)自学参考提纲：①方程x(x-2)+x-2=0左边可用提公因式法进行因式分解，分解为(x+1)(x-2).②方程5x2-2x-=x2-2x+左右两边都有含未知数的项，无法因式分解，因此，可先将其化为一般形式4x2-1=0，再用平方差公式法对左边进行因式分解.③说说运用因式分解法解一元二次方程要注意哪些问题.④解下列方程:2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：了解学生对运用因式分解法解一元二次方程的方法是否掌握.②差异指导：指导学生观察题目特点，选用适当的方法分解因式.(2)生助生：同桌之间互相改错、分析错因.4.强化：(1)点6名学生板演自学参考提纲第④题，并点评.(2)说说运用因式分解法解一元二次方程要注意的问题.1.自学指导：(1)自学内容：选择合适的方法解一元二次方程.(2)自学时间：15分钟.(3)自学方法：完成探究提纲.(4)探究提纲：①直接开平方法适用于哪种形式的方程？x2=p；配方法适用于哪种形式的方程？(m x+n)2=p；公式法适用于哪种形式的方程？a x2+b x+c=0(a≠0)；因式分解法适用于哪种形式的方程？x2-(m+n)x+mn=0.②前面这些解法各有什么优缺点？③解一元二次方程的基本思想是什么？④选择适当的方法解下列方程：。
数学：22.1《一元二次方程》教案(人教版九年级上)
数学：22.1《一元二次方程》教案（人教版九年级上）一. 教学内容：一元二次方程教学目标：1. 理解一元二次方程的概念及一般形式。
2. 会利用概念的意义判断一个方程是否为一元二次方程。
3. 能确定未知数取值范围，能够列出简单的方程解决实际问题，从而体现建立方程模型刻画实际生活的这一思想。
二. 重点、难点：重点：一元二次方程的有关概念。
难点：对一元二次方程的理解及实际生活中的应用。
课堂教学：（一）知识要点：知识点1：整式方程的概念。
等式的左边和右边都是整式，这样的方程称整式方程，以前学过的一元一次方程及本章的一元二次方程都属于整式方程。
知识点2：一元二次方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。
如x2－2＝0，x2＋165x －1652＝0，它属于整式方程。
说明：1. “一元”指的是“只含有一个未知数”，“二次”是指未知数的最高指数是2，一般的整式方程都用“元”和“次”来定义。
2. 判断一元二次方程，先看形式是否为整式，然后化简后再判断是“一元”、“二次”，如，不是一元二次方程1x 1x 1x 2+=+。
3. 举例说明：下列哪些是一元二次方程？（1）x2－5x ＝0 （2）9x2＋6＝2x （2x ＋1） （3）4x2＝ x ＋5 （4）3x2＝7y（5）2212=x （6）x （5x －2）＝ x （x ＋1）＋4x2知识点3：一元二次方程的一般形式任何一个一元二次方程都可化为ax2＋bx ＋c ＝0（a ，b ，c 为常数，且a≠0）说明：1. 不能说可化为ax2＋bx ＋c ＝0（a ，b ，c 为常数，且a≠0）的方程是一元二次方程。
2. ax2＋bx ＋c ＝0的方程。
a≠0是一元二次方程，反之已知一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0就隐含a≠0这个条件。
3. 一元二次方程的各项系数很重要，三项的排列必须从左到右降幂排列，依次为二次项的系数a ，一次项的系数b ，和常数项c ，等式的右边必须是0。
2014秋新人教版九年级数学一元二次方程导学案
目录编制说明................................................................................................................................................. - 2 -21.1 一元二次方程⑴ .......................................................................................................................... - 3 -21.1 一元二次方程⑵ .......................................................................................................................... - 5 -21.2.1 直接开平方法解一元二次方程 .............................................................................................. - 7 -21.2.2 配方法解一元二次方程........................................................................................................... - 9 -21.2.3 用公式法解一元二次方程 .......................................................................................................- 11 -21.2.4 用因式分解法解一元二次方程 ............................................................................................ - 13 -21.2 用适当的方法解一元二次方程................................................................................................. - 15 -21.2.5一元二次方程根的判别式...................................................................................................... - 19 -21.2.6 一元二次方程根与系数的关系............................................................................................. - 21 -21.3 实际问题与一元二次方程⑴..................................................................................................... - 23 -21.3 实际问题与一元二次方程⑵..................................................................................................... - 25 -21 一元二次方程（复习课）............................................................................................................. - 27 -单元测试............................................................................................................................................... - 29 -新人教版数学2014年秋期九年级《一元二次方程》导学案编制说明1、本导学案的编写时间：2014年4月至5月。
数学人教九年级上册 一元二次方程优秀导学案
第二十一章一元二次方程21．1 一元二次方程学习目标1.正确理解一元二次方程的意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程；2.知道一元二次方程的一般形式是20(ax bx c a b c++=、、是常数，0a≠），能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项；3.理解并会用一元二次方程一般形式中a≠0这一条件；4.通过问题情境，进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性，体会数学知识来源于生活，又能为生活服务，从而激发学习热情，提高学习兴趣.重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念.难点：由实际问题列出一元二次方程.准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项..学习过程一、创设问题情境阅读以下问题:问题1:要设计一座高2 m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,则雕像的下部应设计为多少米?问题2:有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3 600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?问题3:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?思考:(1)全场共比赛__________场;(2)若设应邀请x个队参赛,则每个队要与其他__________个队各赛一场,全场共比赛__________场.由此,我们可以列方程__________.化简得__________.二、揭示问题规律观察并思考:x2+2x-4=0;x2-75x+350=0;x2-x=56.1.这三个方程都不是一元一次方程.整理后含有几个未知数?它的最高次数是几?它们有什么共同特点?2.对照一元一次方程,写出一元二次方程的定义: __________.三、尝试应用【例1】判断下列方程是否为一元二次方程。
数学：人教版九年级上 22.1 一元二次方程(教案)
九年级下册数学精品示范教案课题：22.1一元二次方程一、教学目标1.经历一元二次方程概念的形成过程，知道什么是一元二次方程.2.会把一元二次方程化成一般形式，并知道各项及系数的名称.二、教学重点和难点1.重点：一元二次方程的概念.2.难点：把一元二次方程化成一般形式.三、教学过程（一）创设情境，导入新课师：（板书：3x-5=0）这是一个什么方程？（稍停）3x-5=0是一个一元一次方程（板书：一元一次方程）.师：哪位同学知道什么样的方程是一元一次方程？生：……（让几名同学回答）师：（指准3x-5=0）只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程，叫做一元一次方程.（指准“一元一次方程”）一元指的是含有一个未知数，一次指的是未知数的次数是1.师：一元一次方程是我们在初一已经学过的，从今天开始，我们要学习一种新的方程，叫做一元二次方程（板书：一元二次方程）.（二）尝试指导，讲授新课师：什么样的方程是一元二次方程？（板书：x2-x=56）x2-x=56是一个一元二次方程，（板书：4x2-9=0）4x2-9=0也是一元二次方程，（板书：x2+3x=0）x2+3x=0也是一元二次方程，（板书：3y2-5y=7）3y2-5y=7也是一元二次方程.师：从这些一元二次方程，哪位同学能概括什么样的方程是一元二次方程？（等到有一部分同学举手再叫学生）生：……（多让几名同学回答）师：（指准x2-x=56）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.（师出示下面的板书）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.师：请大家把一元二次方程的定义读两遍.（生读）师：根据一元二次方程的定义，（指准方程）我们很容易判断x2-x=56，4x2-9=0，x2+3x=0，3y2-5y=7这些方程都是一元二次方程.（板书：3x(x-1)=5(x+2)）现在请大家判断，这个方程是不是一元二次方程？为什么？（让生思考一会儿）生：……（让几名学生发表看法）师：把这个方程两边去括号，得到3x2-3x=5x+10（边讲边板书：3x2-3x=5x+10），去括号后容易看出，这个方程是一元二次方程.师：（指3x2-3x=5x+10）这个方程还可以继续整理，怎么继续整理？（指准方程）先把右边的5x和10都移到左边去，再合并，得到3x2-8x-10=0（边讲边板书：3x2-8x-10=0）.师：（指原方程和3x2-8x-10=0）大家可以比较这两个方程，这个方程是这个方程经过整理得到的，这个方程的形式又简单又整齐，我们把这种形式叫做一元二次方程的一般形式（板书：一元二次方程的一般形式）.师：从这个例子大家可以看到，任何一个一元二次方程，经过整理，都可以化成一般形式，一般形式就是ax2+bx+c=0这样的形式（边讲边板书：ax2+bx+c=0）.师：（指准ax2+bx+c=0）在一元二次方程的一般形式中，我们把ax2叫做二次项，a 是二次项系数（板书：其中a是二次项系数）；bx叫做一次项，b是一次项系数（板书：b 是一次项系数）；c叫做常数项（板书：c是常数项）.师：（指准3x2-8x-10=0）譬如，在这个方程中，二次项是3x2，二次项系数是3；一次项是-8x，一次项系数是-8；常数项是-10.师：（指x2+3x=0）大家看这个方程，它的二次项、二次项系数是什么？生：二次项是x2，二次项系数是1.（多让几名同学回答）师：（指x2+3x=0）它的一次项、一次项系数是什么？生：一次项是3x，一次项系数是3.（多让几名同学回答）师：（指x2+3x=0）它的常数项是什么？生：常数项是0.（多让几名同学回答，如有必要师作解释）师：（指4x2-9=0）大家再看这个方程，它的二次项、二次项系数是什么？生：二次项是4x2，二次项系数是4.师：（指4x2-9=0）它的一次项、一次项系数是什么？生：……（多让几名同学回答）师：这个方程的一次项可以写成0x（边讲边板书：0x），所以这个方程的一次项是0x，一次项系数是0.师：（指4x2-9=0）它的常数项是什么？生：常数项是-9.师：前面我们学习了一元二次方程的概念和一般形式，下面请大家利用这些知识来做几个练习.（三）试探练习，回授调节1.填空：(1)把5x2-1=4x化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(2)把4x2=81化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(3)把x(x+2)=15化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(4)把(3x-2)(x+1)=8x-3化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .2.填空：(1)一个一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-5，这个一元二次方程是；(2)一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为3，这个一元二次方程是；(3)一个一元二次方程，它的二次项系数为5，一次项系数为-1，常数项为0，这个一元二次方程是；(4)一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为-6，这个一元二次方程是 .（四）归纳小结，布置作业师：这节课我们学习了什么？哪位同学能帮老师小结一下？生：……（让一两名学生小结）（作业：P28习题1）四、板书设计课题：22.1一元二次方程（第2课时）一、教学目标1.知道什么是一元二次方程的解（根）.2.会用直接开平方法解一元二次方程，渗透转化思想.二、教学重点和难点1.重点：一元二次方程解（根）的概念，直接开平方法.2.难点：直接开平方法.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：(1)只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程；(2)ax2+bx+c=0(a≠0)这种形式叫做一元二次方程的形式，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项.2.填空：(1)把(x+3)(x-4)=0化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(2)把(2x+1)2=4x化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .（二）尝试指导，讲授新课师：（板书：2x-6=0）这是一个一元一次方程，这个方程的解是什么？生：（齐答）解是x=3.（师板书：解是x=3）师：（指准方程）2x-6=0的解是x=3，这话是什么意思？（稍停）把x=3代入方程，左边=2×3-6=0，右边=0，左边和右边恰好相等.2x-6=0的解x=3，意思是，x=3能使方程左右两边恰好相等.师：（板书：x2-x=0）这是一个一元二次方程，这个方程的解是什么？（让生思考一会儿再叫学生）生：解是x=0.（师板书：x=0）师：（指准方程）把x=0代入方程，左边和右边相等，所以x=0是这个一元二次方程的一个解.师：除了x=0，这个方程还有没有别的的解？生：x=1.（师板书：x=1）师：（指准方程）把x=1代入方程，左边和右边相等，所以x=1也是这个一元二次方程的一个解.师：可见x2-x=0有两个解，一个解x1=0（边讲边标下标），另一个解x2=1（边讲边标下标）.师：一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根（板书：（根）），所以也可以这样说，（指准板书）x2-x=0有两个根，一个根x1是0，另一个根x2是1.师：下面请同学们做一个练习.（三）试探练习，回授调节3.填空：在-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4这些数中，是一元二次方程x2-x-6=0的根的是 .4.填空：方程x2-36=0的根是x1= ，x2= .（四）尝试指导，讲授新课师：（板书：x2-36=0）刚才我们求了x2-36=0这个一元二次方程的两个根，x1=6，x2=-6.我们是怎么求的？我们是通过凑数字求的.大家可以想到，凑数字求根是有局限性的，什么局限性？（稍停）通过凑数字只能求那些很简单的一元二次方程的根，如果方程稍微复杂一点，数字就不好凑了.譬如，我们把右边的0改为2x（边讲边把x2-36=0中的0改为2x），x2-36=2x这个方程就很难用凑数字来求根.所以，求一元二次方程的根不能光靠凑数字，还需要有专门的方法.师：解一元二次方程的方法有好几种，下面我们先来介绍第一种方法，叫直接开平方法（板书：直接开平方法）.师：怎么用直接开平方法解一元二次方程？（稍停）让我们来看一个例子.（师出示例题）例解下列一元二次方程：(1)4x2-9=0； (2)3(2x-1)2=15.（师边讲解边板书，解题过程如下所示）解：(1)原方程化成29x=4.开平方，得3x=2±，x1=32，x2=-32.(2)原方程化成2(2x-1)=5.开平方，得2x-1=，x1，x2师：（指准例题）从这两个题目，哪位同学会概括用直接开平方法解一元二次方程的步骤？生：……（让一两名好生概括）师：（指准例题）用直接开平方法解一元二次方程，有三步，第一步把原方程化成x2=常数，或者含x的式子的平方=常数的形式（板书：第一步：化成什么2＝常数）；第二步开平方，把一元二次方程化成一元一次方程（板书：第二步：开平方）；第三步解一元一次方程，得到两个根（板书：第三步：解一元一次方程）.师：下面请同学们按这三步来做两个题目.（五）试探练习，回授调节5.完成下面的解题过程：(1)解方程：2x2-6=0；解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .(2)解方程：9(x-2)2=1.解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .（六）归纳小结，布置作业师：（指准板书）本节课我们学习了一元二次方程根的概念，还学习了用直接开平方法解一元二次方程.用直接开平方法解一元二次方程有这么三步，第一步把原方程化成什么2=常数这种形式；第二步开平方，把一元二次方程化成一元一次方程，也就是把二次降为一次（板书：降次）；第三步解一元一次方程，得到两个根.（作业：P28习题3，P42习题1）四、板书设计x=3。
新人教版九年级数学上册22.1 一元二次方程导学案
新人教版九年级数学上册22.1 一元二次方程导学案学习目标：1、进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；2、正确理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。
难点：由实际问题列出一元二次方程。
准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。
学习过程：（一）学生预习教师导学根据题意列方程：（1）有一块正方形铁皮,周长为10,求边长? （2）有一块正方形铁皮,面积为12,求边长?（3）有一块长方形铁皮,长比宽多2，周长为14,求边长? （4）有一块长方形铁皮, 长比宽多3，面积为16,求边长?（二）学生探究（１）、问题：上述3个方程是不是一元一次方程？有何共同点？①_______________________；②____________________；③________________________。
（2）一元二次方程的概念：像这样的等号两边都是________,只含有_____个未知数，并且未知数的最高次数是________的方程叫做一元二次方程。
（3）任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 _______________(a,b,c为常数）的形式,我们把它称为一元二次方程的一般形式。
a为 _______，b为 ____，c为 ____ 。
（三）学生展示121、下列方程中，哪些是关于x 的一元二次方程？（1）250x-= （2223x x x -= （3）22=+y x （4）330x x -= (5)21x xx =+ (6) 2233x x x +=- 2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：(1) 2351xx =- (2) (2)(1)6x x +-= (3) 2470x -=3、完成课本练习（四）归纳（1）一元二次方程必须满足三个条件：1、 ______ ；2、 _____ ； 3、 ______ 。
2014年秋新版人教版九年级上第21章一元二次方程导学案
师生后记：
九年（
课型 班级 学 习 目 标
数学
新授 九
）导学案
主备人 小 组 授课人 姓 名
课题：21.2.1 直接开平方法导学案
审 核 人 授课时间
四、拓展延伸： 9月 日
1．解关于 x 的方程（x+m）2=n． 2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 25m） ， 另三边用木栏围成，木栏长 40m． （1）鸡场的面积能达到 180m2 吗？能达到 200m 吗？ （2）鸡场的面积能达到 210m2 吗？ 3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长 4 米的铁丝，由于需要， 现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同 学制成方框，并说明你制作的理由吗？
一、预习检测：
列方程． 1、 《九章算术》 “勾股”章有一题： “今有户高多于广六尺八寸，• 两隅 相去适一丈，问户高、广各几何？” 2、如图，如果
师生备注
AC CB ，那么点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点． AB AC
A
导 学 流 程
①3x2+7=0
②ax2+bx+c=0 B．2 个
老师点评： （1）问题 1 中 x=6 是 x2-36=0 的解，问题 2 中，x=10 是 x2+2x-120=0 的解． 活动 2：如果抛开实际问题，问题 1 中还有其它解吗？问题 2 呢？ 如果抛开实际问题，问题（1）中还有 x=-6 的解；问题 2 中还有 x=-12 的解．为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称： 一元二次方程的解叫做一元二次方程的根 巩固 1．下面哪些数是方程 2x2+10x+12=0 的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 2．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0 归纳小结（1）一元二次方程根的概念及它与以前的解的相同处与不同 处； （2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；
【人教版】九上数学：《一元二次方程》全章导学案
第二十一章一元二次方程21． 1一元二次方程1.认识一元二次方程的观点，应用一元二次方程观点解决一些简单问题．2．掌握一元二次方程的一般形式 ax2＋bx＋ c＝ 0(a≠0)及相关观点．3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的观点．重点：一元二次方程的观点及其一般形式；一元二次方程解的研究．难点：由本质问题列出一元二次方程；正确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．一、自学指导．(10 分钟 )问题 1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个相同的正方形，而后将周围突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．假如要制作的无盖方盒的底面积为3600 2cm ，那么铁皮各角应切去多大的正方形？剖析：设切去的正方形的边长为 x cm，则盒底的长为 __(100－ 2x) cm__，宽为 __(50 － 2x) cm__．列方程 __(100－ 2x) ·(50－ 2x)＝ 3600__，化简整理，得 __x2－ 75x ＋ 350＝ 0__．①问题 2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要竞赛一场．依据场所和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每日安排 4 场竞赛，竞赛组织者应邀请多少个队参赛？剖析：所有竞赛的场数为__4× 7＝28__．设应邀请 x 个队参赛，每个队要与其余__(x － 1)__ 个队各赛 1 场，所以所有竞赛共x（x－1）__场．列方程 __x（x－1）＝ 28__，化简整理，得__x 2－ x－ 56＝ 0__．②22研究：(1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1 个 __．(2)它们最高次数分别是几次？__2 次 __．概括：方程①②的共同特色是：这些方程的两边都是__整式 __，只含有 __一个 __未知数(一元 )，而且未知数的最高次数是__2__的方程．1．一元二次方程的定义等号两边都是__整式 __ ，只含有 __一 __个未知数 (一元 )，而且未知数的最高次数是__2__(二次 )的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个对于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成以下形式：ax2＋bx＋ c＝ 0(a≠ 0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．此中__ax2__是二次项， __a__是二次项系数，__bx__ 是一次项， __b__是一次项系数， __c__是常数项．点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包括它前方的符号．二次项系数 a≠ 0是一个重要条件，不可以遗漏．二、自学检测：学生自主达成，小组内展现，评论，教师巡视．(6分钟) 1．判断以下方程，哪些是一元二次方程？(1)x3－2x2＋ 5＝ 0；(2)x 2＝ 1；(3)5x 2－ 2x－1＝x2－2x＋3；45(4)2(x ＋ 1)2＝3(x＋ 1)；(5)x2－2x＝ x2＋ 1; (6)ax 2＋ bx ＋c＝ 0.解： (2)(3)(4) ．点拨精讲：有些含字母系数的方程，只管分母中含有字母，但只需分母中不含有未知数，这样的方程仍旧是整式方程．2．将方程 3x(x －1) ＝5(x ＋ 2)化成一元二次方程的一般形式，并写出此中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号，得 3x2－ 3x＝ 5x＋ 10.移项，归并同类项，得 3x2－ 8x － 10＝ 0.此中二次项系数是 3，一次项系数是－ 8，常数项是－ 10.点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，往常要将首项化负为正，化分为整．一、小组合作：小组议论沟通解题思路，小组活动后，小组代表展现活动成就． (8分钟)1．求证：对于 x 的方程 (m2－ 8m＋ 17)x 2＋ 2mx ＋ 1＝ 0，不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程．证明： m2－ 8m＋17＝ (m－ 4)2＋1，∵(m－ 4)2≥ 0，∴(m－ 4)2＋ 1>0，即 (m－ 4)2＋ 1≠0.∴不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程．2点拨精讲：要证明不论m 取何值，该方程都是一元二次方程，只需证明m －8m＋ 17≠ 0即可．2．下面哪些数是方程2x2＋ 10x＋ 12＝ 0 的根？－ 4，－ 3，－ 2，－ 1， 0， 1， 2，3， 4.解：将上边的这些数代入后，只有－ 2 和－ 3 知足等式，所以 x＝－ 2 或 x＝－ 3 是一元二次方程 2x2＋10x ＋ 12＝0 的两根．点拨精讲：要判断一个数是不是方程的根，只需把这个数代入等式，看等式两边能否相等即可．二、追踪练习：学生独立确立解题思路，小组内沟通，登台展现并解说思路． (9 分钟 )1．判断以下方程能否为一元二次方程．(1)1－ x2＝ 0; (2)2(x 2－1) ＝3y；212(3)2x － 3x－ 1＝0;(4) x2－x＝0；(5)(x ＋3)2＝ (x－3) 2;(6)9x2＝ 5－ 4x.解： (1)是； (2)不是； (3) 是；(4)不是； (5) 不是； (6) 是．22．若 x＝ 2 是方程 ax ＋ 4x－ 5＝ 0 的一个根，求 a 的值．∴4a＋ 8－ 5＝ 0，3解得 a ＝－ 4.3． 依据以下问题 ，列出对于 x 的方程 ，并将其化成一元二次方程的一般形式： (1)4 个完好相同的正方形的面积之和是 25，求正方形的边长x ；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是 100，求长方形的长x.222解： (1)4x ＝ 25， 4x － 25＝ 0； (2)x(x －2)＝ 100， x －2x － 100＝0.学生总结本堂课的收获与疑惑．(2 分钟)1． 一元二次方程的观点以及如何利用观点判断一元二次方程． 2． 一元二次方程的一般形式ax 2＋ bx ＋c ＝ 0(a ≠ 0)，特别重申 a ≠ 0.3． 要会判断一个数是不是一元二次方程的根．学习至此 ，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟 )21． 2解一元二次方程21． 2.1配方法 (1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程．2. 浸透转变思想 ，掌握一些转变的技术． 重点：运用开平方法解形如(x ＋ m) 2＝ n(n ≥0)的方程；领悟降次 —— 转变的数学思想．难点：经过依据平方根的意义解形如 x 2 ＝n(n ≥ 0)的方程 ，知识迁徙到依据平方根的意义解形如 (x ＋ m)2＝ n(n ≥ 0)的方程．一、自学指导． (10 分钟 )问题 1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm 2，小李用这桶油漆恰巧刷完10 个相同的正方体形状的盒子的所有表面面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为x dm ，则一个正方体的表面积为 __6x 2__dm 2，依据一桶油漆可刷的面积列出方程：__10×6x 2＝ 1500__， 由此可得 __x 2＝ 25__，依据平方根的意义 ，得 x ＝ __±5__，即 x 1＝ __5__， x 2＝ __－ 5__．能够考证 __5__和－ 5 都是方程的根 ，但棱长不可以为负值，所以正方体的棱长为 __5__dm.研究：比较问题1 解方程的过程 ，你以为应当如何解方程 (2x －1)2＝5 及方程 x 2＋ 6x ＋ 9＝4?方程 (2x － 1) 2＝ 5 左侧是一个整式的平方 ，右侧是一个非负数，依据平方根的意义 ，可将方程变形为 __2x －1＝ ± 5__，马上方程变成 __2x － 1＝ 5和__2x － 1＝－ 5__两个一元一次方程 ，进而获得方程 (2x － 1)2＝ 5 的两个解为 x 1＝ __1＋ 5， x 2＝ __1－ 5__．22在解上述方程的过程中 ，本质上是把一个一元二次方程“降次”，转变成两个一元一次方程 ，这样问题就简单解决了．方程 x 2＋6x ＋ 9＝ 4 的左侧是完好平方式 ，这个方程能够化成 (x ＋ __3__) 2＝4，进行降次 ，获得 __x ＋3＝ ±2__ ，方程的根为 x 1＝ __－ 1__，x 2＝ __－ 5__.概括：在解一元二次方程时往常经过“降次”把它转变成两个一元一次方程．假如方程22能化成 x ＝ p(p≥ 0)或 (mx ＋n) ＝ p(p≥ 0)的形式，那么可得 x＝± p或 mx＋ n＝± p.解以下方程：(1)2y 2＝ 8；(2)2(x －8)2＝ 50；(3)(2x － 1)2＋4＝ 0;(4)4x 2－ 4x＋ 1＝0.解： (1)2y 2＝ 8，(2)2(x － 8)2＝50，y2＝4，(x －8) 2＝25，y＝±2，x－ 8＝±5，∴y1＝ 2， y2＝－ 2；x－ 8＝5 或 x－8＝－ 5，∴x1＝ 13， x2＝ 3；(3)(2x － 1)2＋4＝ 0，(4)4x 2－ 4x＋ 1＝ 0，(2x － 1)2＝－ 4<0，(2x － 1)2＝ 0，∴原方程无解；2x－ 1＝ 0，1∴ x1＝ x2＝2.点拨精讲：察看以上各个方程可否化成 x2＝ p(p≥0)或 (mx ＋ n)2＝p(p≥ 0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．一、小组合作：小组议论沟通解题思路，小组活动后，小组代表展现活动成就．(8 分钟)1．用直接开平方法解以下方程：(1)(3x ＋ 1)2＝7;(2)y 2＋ 2y＋ 1＝ 24；(3)9n2－ 24n＋ 16＝ 11.－1± 7； (2) － 1±26； (3)4± 11解： (1)3.3点拨精讲：运用开平方法解形如(mx ＋ n)2＝ p(p≥ 0)的方程时，最简单犯错的是遗漏负根．222．已知对于x 的方程 x ＋ (a ＋ 1)x － 3＝0 的一个根是1，求 a 的值．二、追踪练习：学生独立确立解题思路，小组内沟通，登台展现并解说思路．(9 分钟 )用直接开平方法解以下方程：(1)3(x － 1)2－6＝ 0 ;(2)x 2－ 4x＋ 4＝ 5；(3)9x2＋ 6x＋ 1＝4;(4)36x 2－ 1＝ 0；(5)4x2＝ 81; (6)(x ＋5) 2＝ 25；(7)x2＋2x＋ 1＝4.解： (1)x 1＝ 1＋2， x2＝1－2；(2)x 1＝ 2＋5， x2＝ 2－5；1(3)x 1＝－ 1，x2＝3；(4)x 1＝1， x2＝－1；66(5)x 1＝9， x2＝－9；22(6)x 1＝ 0， x2＝－ 10；(7)x 1＝ 1， x2＝－ 3.学生总结本堂课的收获与疑惑．(2 分钟)1．用直接开平方法解一元二次方程．2．理解“降次”思想．3．理解 x2＝ p(p≥ 0)或 (mx ＋ n)2＝ p(p≥ 0)中，为何 p≥ 0?学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟 )21． 2.1配方法(2)1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．重点：掌握配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程转变成形如(x－a)2＝ b 的过程．(2分钟)1．填空：(1)x2－8x＋ __16__＝ (x－ __4__)2；(2)9x 2＋ 12x＋ __4__＝ (3x＋ __2__)2；2p 2p 2(3)x＋px＋ __( ) __＝ (x＋ __ __) .222．若 4x2－ mx ＋ 9 是一个完好平方式，那么 m 的值是 __±12__ ．一、自学指导．(10 分钟 )问题 1：要使一块矩形场所的长比宽多 6 m，而且面积为 16 m2，场所的长和宽分别是多少米？设场所的宽为x m，则长为 __(x ＋ 6)__m，依据矩形面积为 16 m2，获得方程 __x(x ＋ 6)＝16__ ，整理获得 __x2＋6x－ 16＝0__．研究：如何解方程 x2＋ 6x－ 16＝ 0?对照这个方程与前方议论过的方程 x2＋ 6x＋ 9＝4，能够发现方程 x2＋ 6x＋ 9＝ 4 的左侧是含有 x 的完好平方形式，右侧是非负数，能够直接降次解方程；而方程 x2＋ 6x－ 16＝0 不拥有上述形式，直接降次有困难，能想法把这个方程化为拥有上述形式的方程吗？解：移项，得 x2＋ 6x＝ 16，622b2的形式，得两边都加上 __9__即 __( ) __，使左侧配成x ＋ bx＋ ()22__x2__＋6__x__ ＋ 9＝ 16＋ __9__，左侧写成平方形式，得__(x ＋ 3)2＝ 25__，开平方，得__x ＋ 3＝±5__，(降次 )即 __x＋ 3＝ 5__或 __x ＋ 3＝－ 5__，解一次方程，得 x1＝__2__，x2＝__－ 8__．概括：经过配成完好平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次 ，把一元二次方程转变成两个一元一次方程．问题 2：解以下方程： (1)3x 2－ 1＝ 5；(2)4(x － 1)2－ 9＝ 0；(3)4x 2＋ 16x ＋ 16＝ 9.解： (1)x ＝ ± 2； (2)x 1＝－ 1， x 2＝ 5；2 27 1(3)x 1 ＝－ 2， x 2＝－ 2.概括：利用配方法解方程时应当依据的步骤： (1)把方程化为一般形式ax 2＋ bx ＋ c ＝0；(2)把方程的常数项经过移项移到方程的右侧； (3)方程两边同时除以二次项系数a ；(4)方程两边同时加前一次项系数一半的平方；(5) 此时方程的左侧是一个完好平方式 ，而后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．二、自学检测： 学生自主达成 ，小组内展现 ，评论 ，教师巡视． (8 分钟 ) 1． 填空：(1)x 2 ＋6x ＋ __9__＝ (x ＋ __3__) 2；21 1 2；(2)x － x ＋ __ __＝ (x － __ __)42(3)4x 2＋ 4x ＋ __1__＝ (2x ＋ __1__)2.2． 解以下方程：(1)x 2 ＋6x ＋ 5＝0; (2)2x 2＋ 6x ＋ 2＝ 0；(3)(1 ＋x) 2＋ 2(1＋ x)－ 4＝ 0.解： (1)移项 ，得 x 2＋ 6x ＝－ 5，2222配方得 x ＋ 6x ＋ 3 ＝－ 5＋ 3 ， (x ＋ 3) ＝ 4，(2)移项 ，得 2x 2＋ 6x ＝－ 2，二次项系数化为 1，得 x 2＋ 3x ＝－ 1，2323 2 5 ，配方得 x ＋ 3x ＋ () ＝ (x ＋ ) ＝224由此可得 x ＋ 3＝ ± 5，即 x 1＝5－ 3，2 2 2 25 3x 2＝－ 2 － 2.2(3)去括号 ，整理得 x ＋ 4x － 1＝ 0，配方得 (x ＋ 2)2＝ 5，x ＋ 2＝ ± 5，即 x 1＝ 5－ 2，x 2＝－ 5－ 2.点拨精讲：解这些方程能够用配方法来达成 ，即配一个含有 x 的完好平方式．一、小组合作： 小组议论沟通解题思路，小组活动后 ，小组代表展现活动成就．(5 分钟)如图 ，在 Rt △ ABC 中， ∠C ＝ 90°， AC ＝ 8 m ，CB ＝ 6 m ，点 P ， Q 同时由 A ， B 两点出发分别沿 AC ，BC 方向向点 C 匀速挪动 ，它们的速度都是 1 m/s ，几秒后△ PCQ 的面积为 Rt △ABC 面积的一半？解：设 x 秒后△ PCQ 的面积为 Rt △ ABC 面积的一半．依据题意可列方程：11 1×8× 6， (8－ x)(6 － x)＝ × 2 2 2 即 x 2－ 14x ＋ 24＝ 0，(x － 7)2＝ 25， x － 7＝ ±5，∴ x 1＝ 12，x 2＝ 2，x 1＝ 12， x 2＝2 都是原方程的根 ，但 x 1＝ 12 不合题意 ，舍去． 答： 2 秒后△ PCQ 的面积为 Rt △ ABC 面积的一半．点拨精讲：设 x 秒后△ PCQ 的面积为 Rt △ ABC 面积的一半 ，△ PCQ 也是直角三角形． 依据已知条件列出等式．二、追踪练习： 学生独立确立解题思路 ，小组内沟通 ，登台展现并解说思路．(8 分钟 )1． 用配方法解以下对于x 的方程：(1)2x 2－ 4x － 8＝0； (2)x 2－ 4x ＋ 2＝0；(3)x 2－12x － 1＝ 0 ; (4)2x 2＋ 2＝5.解： (1)x 1＝ 1＋ 5， x 2＝1－ 5； (2)x 1 ＝2＋ 2， x 2＝ 2－ 2； (3)x 1 ＝1＋17， x 2＝ 1－ 17； 4 4 44 (4)x 1 6 6＝ ， x 2＝－ 2 .22． 假如 x 2－ 4x ＋ y 2＋6y ＋ z ＋2＋ 13＝0，求 (xy) z 的值．解：由已知方程得 x 2－ 4x ＋ 4＋y 2＋ 6y ＋ 9＋ z ＋ 2＝ 0，即 (x － 2)2＋ (y ＋ 3)2＋ z ＋ 2＝ 0，∴ x ＝ 2， y ＝－ 3， z ＝－ 2.∴ (xy) z＝ [2× ( －3)] －2＝ 361.学生总结本堂课的收获与疑惑．(2 分钟)1． 用配方法解一元二次方程的步骤． 2． 用配方法解一元二次方程的注意事项．学习至此 ，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟 )21．2.2公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，认识公式法的观点．2.会娴熟应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式的推导．(2分钟)用配方法解方程：(1)x2＋3x＋ 2＝0；(2)2x 2－3x ＋ 5＝ 0.解： (1)x 1＝－ 2， x2＝－ 1；(2) 无解．一、自学指导． (8 分钟 )问题：假如这个一元二次方程是一般形式ax2＋ bx＋ c＝ 0(a≠ 0)，你可否用上边配方法的步骤求出它们的两根？问题：已知ax2＋ bx ＋ c＝ 0(a≠ 0) ，试推导它的两个根x1＝－ b＋ b2－ 4ac2a， x2＝－b－ b2－4ac2a.剖析：由于前方详细数字已做得好多，此刻不如把 a， b，c 也当作一个详细数字，依据上边的解题步骤就能够向来推下去．研究：一元二次方程ax2＋ bx＋c＝ 0(a≠ 0)的根由方程的系数 a， b，c 而定，所以：(1)解一元二次方程时，能够先将方程化为一般形式ax2＋ bx＋ c＝0，当 b2－ 4ac≥ 0 时，－ b± b2－ 4ac将 a，b，c 代入式子 x＝就获得方程的根，当 b2－ 4ac＜ 0 时，方程没有实数根．2a(2)x＝－ b± b2－ 4acax2＋ bx＋ c＝ 0(a≠ 0)的求根公式．2a叫做一元二次方程(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有 __2 个实数根，也可能有 __1__个实根或许 __ 没有__实根．(5)一般地，式子 b2－ 4ac 叫做方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0(a≠0)的根的鉴别式，往常用希腊字母表示，即＝ b2－4ac.二、自学检测：学生自主达成，小组内展现，评论，教师巡视．(5分钟)用公式法解以下方程，依据方程根的状况你有什么结论？(1)2x 2－ 3x＝ 0；(2)3x 2－ 2 3x＋1＝ 0；(3)4x 2＋ x＋ 1＝0.3解： (1)x 1＝ 0，x2＝；有两个不相等的实数根；(2)x 1＝ x2＝33；有两个相等的实数根；(3)无实数根．点拨精讲：＞ 0 时，有两个不相等的实数根；＝0时，有两个相等的实数根；＜0时，没有实数根．一、小组合作：小组议论沟通解题思路，小组活动后，小组代表展现活动成就．(8 分钟)1．方程 x2－ 4x＋ 4＝0 的根的状况是( B )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根2．当 m 为何值时，方程 (m＋ 1)x 2－ (2m－ 3)x ＋ m＋ 1＝ 0，(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？解： (1)m＜1；(2)m＝1；(3)m ＞1 .444223. 已知 x ＋ 2x＝ m－ 1 没有实数根，求证： x ＋ mx ＝ 1－ 2m 必有两个不相等的实数根.∴4－ 4(1－m)＜ 0，∴ m＜ 0.对于方程 x2＋ mx＝ 1－ 2m，即 x2＋ mx ＋ 2m－ 1＝0，＝ m2－ 8m＋ 4，∵ m＜ 0，∴＞ 0，∴x2＋ mx＝ 1－2m 必有两个不相等的实数根．二、追踪练习：学生独立确立解题思路，小组内沟通，登台展现并解说思路．(10 分钟 ) 1．利用鉴别式判断以下方程的根的状况：(1)2x 2－ 3x－3＝0;(2)16x 2－24x ＋ 9＝0；2(3)x2－4 2x ＋ 9＝ 0 ; (4)3x 2＋ 10x＝ 2x2＋ 8x.解： (1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)无实数根；(4)有两个不相等的实数根．2．用公式法解以下方程：(1)x2＋x－ 12＝0 ;(2)x2－ 2x－1＝ 0；4(3)x2＋4x＋ 8＝2x＋ 11;(4)x(x －4)＝ 2－ 8x；(5)x2＋2x＝ 0 ;(6)x 2＋ 2 5x＋ 10＝ 0.解： (1)x 1＝ 3，x2＝－ 4；2＋ 32－ 3(2)x 1＝， x2＝；22(3)x 1＝ 1， x2＝－ 3；(4)x 1＝－ 2＋6， x2＝－ 2－ 6；(5)x 1＝ 0， x2＝－ 2;(6) 无实数根．点拨精讲： (1) 一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0(a≠ 0)的根是由一元二次方程的系数a，b，c 确立的；(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，而后在 b2－ 4ac≥ 0 的前提下，把a，b， c 的值代入 x＝－ b± b2－ 4ac 2(b － 4ac≥ 0)中，可求得方程的两个根；2a(3)由求根公式能够知道一元二次方程最多有两个实数根．学生总结本堂课的收获与疑惑．(2 分钟)1.求根公式的推导过程．a，b， c 的值，再算出 b2－4ac 的值、2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确立．．最后辈入求根公式求解．．3.用鉴别式判断一元二次方程根的状况．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟 )21． 2.3因式分解法1.会用因式分解法 (提公因式法、公式法 )解某些简单的数字系数的一元二次方程．2.能依据详细的一元二次方程的特色，灵巧选择方程的解法，领会解决问题方法的多样性．重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．(2分钟)将以下各题因式分解：(1)am＋ bm＋ cm＝ (__a＋ b＋ c__)m；22(2)a －b ＝__(a＋ b)(a－ b)__；(3)a2±2ab＋ b2＝ __(a ±b)2__．一、自学指导．(8 分钟 )问题：依据物理学规律，假如把一个物体从地面以10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地的高度 (单位： m)为 10x－ 4.9x 2.你能依据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？ (精准到 0.01s)设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0，即 10x－ 4.9x 2＝0，思虑：除配方法或公式法之外，可否找到更简单的方法解方程①？剖析：方程①的右侧为 0，左侧能够因式分解得：①x(10 － 4.9x) ＝0，于是得 x＝ 0 或 10－ 4.9x＝ 0，②∴ x1＝ __0__， x2≈ 2.04．上述解中， x2≈ 2.04 表示物体约在 2.04 s 时落回地面，而 x1＝0 表示物体被上抛走开地面的时辰，即 0 s 时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m.点拨精讲：(1)对于一元二次方程，先将方程右侧化为0，而后对方程左侧进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，进而实现降次，这种解法叫做因式分解法．(2)假如 a·b＝ 0，那么 a＝ 0 或 b＝0，这是因式分解法的依据．如：假如 (x＋ 1)(x － 1)＝ 0，那么 __x＋ 1＝ 0 或 __x－ 1＝ 0__，即 __x ＝－ 1__或 __x＝ 1．二、自学检测：学生自主达成，小组内展现，评论，教师巡视．(5分钟)1． 说出以下方程的根：(1)x(x － 8)＝ 0；(2)(3x ＋ 1)(2x － 5)＝ 0.解： (1)x 1＝ 0，x 2＝8；(2)x 1＝－ 1，x 2＝53 2. 2． 用因式分解法解以下方程： (1)x 2 －4x ＝ 0; (2)4x 2－ 49＝ 0； (3)5x 2－ 20x ＋ 20＝ 0.解： (1)x 1＝ 0，x 2 ＝4;(2)x 1＝7， x 2＝－ 7；2 2(3)x 1 ＝x 2＝2.一、小组合作： 小组议论沟通解题思路，小组活动后 ，小组代表展现活动成就． (8 分钟)1． 用因式分解法解以下方程：(1)5x 2－ 4x ＝ 0； (2)3x(2x ＋ 1)＝4x ＋ 2；(3)(x ＋5) 2＝ 3x ＋ 15.4解： (1)x 1＝ 0，x 2＝5； (2)x 1 ＝2， x 2＝－ 1；3 2(3)x 1 ＝－ 5， x 2＝－ 2.点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的重点是方程的一边是0，另一边能够分解因式．2． 用因式分解法解以下方程： (1)4x 2－ 144＝ 0； (2)(2x － 1)2＝(3－ x)2 ；(3)5x 2－ 2x －14＝x2－2x ＋34；(4)3x 2－ 12x ＝－ 12. 解： (1)x 1＝ 6，x 2＝－ 6；4(2)x 1 ＝3， x 2＝－ 2；(3)x 1 ＝1， x 2＝－ 1；2 2 (4)x 1 ＝x 2＝2.点拨精讲：注意本例中的方程能够试用多种方法． 二、追踪练习： 学生独立确立解题思路，小组内沟通 ，登台展现并解说思路．(10 分钟 )1． 用因式分解法解以下方程：(1)x 2 ＋x ＝ 0; (2)x 2－2 3x ＝ 0； (3)3x 2－ 6x ＝－ 3;(4)4x 2－ 121＝ 0；(5)(x －4) 2＝ (5－2x) 2 .解： (1)x 1＝ 0，x 2＝－ 1；(2)x 1 ＝0， x 2＝ 2 3； (3)x 1 ＝x 2＝1；(4)x 1 ＝11， x 2＝－ 11；2 2(5)x 1 ＝3， x 2＝ 1.点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤： (1)将方程右侧化为 __0__； (2)将方程左侧分解成两个一次式的 __乘积 __；(3)令每个因式分别为 __0__，获得两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．2． 把小圆形场所的半径增添 5 m 获得大圆形场所 ，场所面积增添了一倍 ，求小圆形场所的半径．解：设小圆形场所的半径为x m.22解得 x 1＝5＋ 5 2， x 2＝ 5－5 2(舍去 )． 答：小圆形场所的半径为(5＋5 2) m.学生总结本堂课的收获与疑惑．(2 分钟)1． 用因式分解法解方程的依据由 ab ＝ 0 得 a ＝0 或 b ＝0，即“二次降为一次”．2． 正确的因式分解是解题的重点．学习至此 ，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟 )21． 2.4 一元二次方程的根与系数的关系1 ＋ x 2＝－b， x 1 2＝c1. 理解并掌握根与系数的关系： xaxa .2. 会用根的鉴别式及根与系数的关系解题．重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用． 难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．一、自学指导． (10 分钟 ) 自学 1：达成下表：方程x 1 x 2 x 1＋ x 2x 2－ 5x ＋ 6＝ 0 2 3 5 x 2＋ 3x － 10＝ 0 2－ 5－ 3问题：你发现什么规律？ ①用语言表达你发现的规律；答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项．② x 2＋ px ＋q ＝ 0 的两根 x 1， x 2 用式子表示你发现的规律 .答： x 1＋ x 2＝－ p ， x 1x 2＝ q.自学 2：达成下表：方程x 1 x 2 x 1＋ x 22x 2－3x － 2＝ 02－1322x 1x 2 6－ 10x 1x 2－ 13x 2－4x ＋ 1＝ 01 14 133 3问题：上边发现的结论在这里成立吗？ (不可立 )请完美规律：①用语言表达发现的规律；答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数 ，两根之积为常数项与二次项系数之比．② ax 2＋ bx ＋c ＝ 0 的两根 x 1， x 2 用式子表示你发现的规律．bc答： x 1＋ x 2＝－ a ， x 1x 2＝ a .自学 3：利用求根公式推导根与系数的关系． (韦达定理 )ax － b ＋ b 2－ 4ac － b － b 2 －4ac2＋ bx ＋ c ＝0 的两根 x 1＝ __ __，x 2＝ __ 2a __．2ab cx 1＋ x 2＝－ a ， x 1x 2 ＝a .二、自学检测： 学生自主达成 ，小组内展现 ，评论 ，教师巡视． (5 分钟 )依据一元二次方程的根与系数的关系，求以下方程的两根之和与两根之积．(1)x 2－3x － 1＝0 ；(2)2x 2＋ 3x － 5＝ 0；(3)13x 2－ 2x ＝ 0.解： (1)x 1＋ x 2＝ 3，x 1x 2＝－ 1；(2)x 1 ＋x 2＝－ 3， x 1x 2＝－ 5；2 2 (3)x 1 ＋x 2＝6， x 1x 2＝ 0.一、小组合作： 小组议论沟通解题思路 ，小组活动后 ，小组代表展现活动成就．(10 分钟)1． 不解方程 ，求以下方程的两根之和与两根之积． (1)x 2 －6x － 15＝0; (2)3x 2＋ 7x － 9＝ 0； (3)5x － 1＝ 4x 2 .解： (1)x 1＋ x 2＝ 6，x 1x 2＝－ 15； (2)x 1 ＋x 2＝－ 7， x 1x 2＝－ 3；351(3)x 1 ＋x 2＝4， x 1x 2＝ 4.点拨精讲：先将方程化为一般形式，找对 a ， b ， c.2． 已知方程 2x 2＋ kx － 9＝ 0 的一个根是－ 3，求另一根及 k 的值．3解：另一根为 2， k ＝ 3.点拨精讲：此题有两种解法，一种是依据根的定义 ，将 x ＝－ 3 代入方程先求k ，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答．3． 已知 α，β 是方程 x 2－ 3x － 5＝ 0 的两根 ，不解方程 ，求以下代数式的值．1122(3) α－β.(1)＋ ；(2) α＋ β；α β3解： (1)－5；(2)19；(3)29或－ 29.二、追踪练习：学生独立确立解题思路，小组内沟通，登台展现并解说思路．(8分钟)1．不解方程，求以下方程的两根和与两根积：(1)x2－3x＝ 15;(2)5x 2－ 1＝ 4x2；22(3)x －3x＋ 2＝10; (4)4x － 144＝ 0.(2)x1＋x2＝0， x1x2＝－ 1；(3)x1＋x2＝3， x1x2＝－ 8；(4)x1＋x2＝0， x1x2＝－ 36.2．两根均为负数的一元二次方程是( C)A． 7x2－ 12x ＋ 5＝ 0B． 6x2－ 13x －5＝ 0C．4x 2＋ 21x ＋ 5＝ 0D． x2＋ 15x－ 8＝ 0点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系知足两根之和为负数，两根之积为正数．学生总结本堂课的收获与疑惑．(2 分钟)不解方程，依据一元二次方程根与系数的关系和已知条件联合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值．1．先化成一般形式，再确立 a， b， c.2．当且仅当 b2－ 4ac≥0 时，才能应用根与系数的关系．3．要注意比的符号：b cx1＋ x2＝－(比前方有负号 )， x1x2＝(比前方没有负号 )．a a学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟 )21． 3 本质问题与一元二次方程(1)1．会依据详细问题(按必定流传速度流传的问题、数字问题等)中的数目关系列一元二次方程并求解．2．能依据问题的本质意义，查验所得结果能否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和重点．重点：列一元二次方程解决本质问题．难点：找出本质问题中的等量关系．一、自学指导．(12 分钟 )问题 1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121 人患了流感，每轮传染中均匀一个人传染了几个人？剖析：①设每轮传染中均匀一个人传染了x 个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人，第一轮后共有__(x ＋ 1)__人患了流感；②第二轮传染中，这些人中的每一个人又传染了 __x__人，第二轮后共有 __(x ＋ 1)(x＋ 1)__ 人患了流感．则列方程：__(x ＋ 1)2＝ 121__，解得 __x＝ 10 或 x＝－ 12(舍 )__，即均匀一个人传染了__10__个人．再思虑：假如依据这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？问题 2：一个两位数，它的两个数字之和为 6，把这两个数字互换地点后所得的两位数与原两位数的积是 1008，求本来的两位数．剖析：设本来的两位数的个位数字为 __x__ ，则十位数字为 __(6 －x)__ ，则原两位数为__10(6－x)＋ x，新两位数为 __10x＋ (6－ x)__ ．依题意可列方程： [10(6 － x)＋ x][10x ＋(6－ x)]＝1008__ ，送了解得x1＝ __2__， x2＝ __4__，∴本来的两位数为24 或 42.二、自学检测：学生自主达成，小组内展现，评论，教师巡视．(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其余同学各送一张表示纪念2550 张相片，假如全班有x 名学生，依据题意，列出方程为 ()A． x(x ＋ 1)＝ 2550B． x(x － 1)＝ 2550C．2x(x ＋ 1)＝ 2550D． x(x － 1)＝ 2550× 2剖析：由题意，每一个同学都将向全班其余同学各送一张相片，则每人送出，全班共(x－ 1)张相片，全班共送出x(x－ 1)张相片，可列方程为x(x－ 1)＝2550. 应选 B.一、小组合作：小组议论沟通解题思路，小组活动后，小组代表展现活动成就．(8 分钟)1．某栽种物的骨干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，骨干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x 个小分支，则有 1＋ x＋x2＝ 91，即 x2＋ x－ 90＝ 0，解得 x1＝ 9， x2＝－ 10(舍去 )，故每个支干长出 9 个小分支．点拨精讲：本例与传染问题的差别．2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为x，则列方程为： __x2＋ (x＋ 4)2＝ 10(x＋ 4)＋ x－4__．二、追踪练习：学生独立确立解题思路，小组内沟通，登台展现并解说思路．(7分钟)1．两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是 ( C )A．2和 4B．6和 8C．4和 6D．8 和 102．教材 P21第 2 题、第 3 题学生总结本堂课的收获与疑惑．(3 分钟)1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量；(2)“设”：即设__未知数 __，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(3)“列”：即依据题中__等量 __关系列方程；(4)“解”：即求出所列方程的__根 __；(5)“查验”：即考证根能否切合题意；(6)“答”：即回答题目中要解决的问题．2.对于数字问题应注意数字的地点．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟 )21． 3本质问题与一元二次方程(2)1.会依据详细问题 (增添率、降低率问题和收益率问题 )中的数目关系列一元二次方程并求解．2．能依据问题的本质意义，查验所得结果能否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和重点．重点：如何解决增添率与降低率问题．na 是原有量，x为增添 (或降低)率， n 为增添 (或降低 )的次数，b 为增添 (或降低 )后的量．一、自学指导．(10 分钟 )自学：两年前生产 1 吨甲种药品的成本是5000 元，生产 1 吨乙种药品的成本是6000元，跟着生产技术的进步，此刻生产 1 吨甲种药品的成本是3000 元，生产 1 吨乙种药品的成本是 3600 元，哪一种药品成本的年均匀降落率较大？(精准到 0.01)绝对量：甲种药品成本的年均匀降落额为(5000 － 3000) ÷2＝ 1000( 元 )，乙种药品成本的年均匀降落额为(6000 －3600) ÷2＝ 1200(元 )，明显，乙种药品成本的年均匀降落额较大．相对量：从上边的绝对量的大小可否说明相对量的大小呢？也就是可否说明乙种药品成本的年均匀降落率大呢？下面我们经过计算来说明这个问题．剖析：①设甲种药品成本的年均匀降落率为x，则一年后甲种药品成本为__5000(1 － x)__元，两年后甲种药品成本为__5000(1 －x)2 __元．2依题意，得 __5000(1 － x) ＝ 3000__ ．依据本质意义，甲种药品成本的年均匀降落率约为__0.23__．②设乙种药品成本的年均匀降落率为y.则，列方程： __6000(1 －y)2＝ 3600__ ．解得 __y1≈ 0.23， y2≈1.77( 舍 )__．答：两种药品成本的年均匀降落率__相同 __．点拨精讲：经过计算，成本降落额较大的药品，它的成本降落率不必定较大，应比较降前及降后的价钱．二、自学检测：学生自主达成，小组内展现，评论，教师巡视．(8分钟)某商铺 10 月份的营业额为5000 元，12 月份上涨到7200 元，均匀每个月增添百分率是多少？【剖析】假如设均匀每个月增添的百分率为x，则11 月份的营业额为__5000(1 ＋ x)__元，12月份的营业额为 __5000(1 ＋ x)(1 ＋x)__ 元，即__5000(1 ＋ x)2__元．由此便可列方程： __5000(1 ＋x) 2＝ 7200__．点拨精讲：此例是增添率问题，如题目无特别说明，一般都指均匀增添率，增添率是增长数与基准数的比．增添率＝增添数∶基准数设基准数为a，增添率为x，则一月 (或一年 )后产量为a(1＋ x)；2二月 (或二年 )后产量为a(1＋ x) ；n假如已知 n 月 (n 年 )后产量为M ，则有下面等式：M ＝a(1＋x) .一、小组合作：小组议论沟通解题思路，小组活动后，小组代表展现活动成就．(8 分钟)某人将 2000 元人民币按一年按期存入银行，到期后支取1000 元用于购物，剩下的 1000元及应得利息又所有按一年按期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．(利息税 20%)剖析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000 元取 1000 元，剩下的本金和利息是 1000＋ 2000x·80% ；第二次存，本金就变成 1000 ＋2000x·80%，其余依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x，则 1000＋ 2000x·80%＋(1000 ＋ 2000x·80%)x·80% ＝1320，整理，得 1280x 2＋ 800x＋ 1600x＝ 320，即 8x2＋ 15x－ 2＝ 0，解得 x1＝－ 2(不符，舍去 )， x2＝ 0.125＝ 12.5%.答：所求的年利率是12.5%.二、追踪练习：学生独立确立解题思路，小组内沟通，登台展现并解说思路．(6 分钟 )青山村种的水稻2011 年均匀每公顷产7200 kg， 2013 年均匀每公顷产8460 kg，求水稻每公顷产量的年均匀增添率．解：设年均匀增添率为x，则有 7200(1＋ x)2＝ 8460，解得 x1＝0.08， x2＝－ 2.08(舍 )．即年均匀增添率为8%.答：水稻每公顷产量的年均匀增添率为8%.点拨精讲：流传或传染以及增添率问题的方程适适用直接开平方法来解．学生总结本堂课的收获与疑惑．(3 分钟)1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要查验根能否切合本质意义．2.若均匀增添 (降低 ) 率为 x，增添 (或降低 )前的基数是 a，增添 (或降低 )n 次后的量是 b，则有： a(1 ±x)n＝ b(常有 n＝ 2)．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟 )21． 3本质问题与一元二次方程(3)1.能依据详细问题中的数目关系，列出一元二次方程，领会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．并能依据详细问题的本质意义，查验结果能否合理．2.列一元二次方程解相关特别图形问题的应用题．重点：依据面积与面积之间的等量关系成立一元二次方程的数学模型并运用它解决本质。
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22.1 一元二次方程
疑难分析
1．一元二次方程的概念:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown). 一元二次方程有三个特征:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2(且二次项的系数不能为0).
2．一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式20(0)ax bx c a ++=≠.这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax 2是二次项,a 是二次项系数;bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项. 3．一元二次方程的解:能够使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解.对于方程256x x -=,当x=8时,256x x -=.所以x=8是方程256x x -=的解. 一元二次方程的解也叫一元二次方程的根(root).
4.处理一元二次方程的问题时,先要把方程化成一般形式,并分清二次项及其系数、一次项及其系数、常数项各是什么；对于22(1)0k x bx c -++=这种形式的方程，必须对21k -进行讨论.
例题选讲
例 1 判断下列方程是否为一元二次方程,若是一元二次方程,请写出二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)(2)(2)1x x +-= （2）22310x y -+=
（3）21
3()20x x
-+= （4）2(21)(1)(1)x x x x x +++-= （5）222()()1(,,0,0)ax b bx a b a b a b +--=+≠≠常数且
解：（1）原方程整理得2
50x -=,是一元二次方程,它的系数是1,一次项系数是0,常数项是-5.
（2）不是一元二次方程,原方程中含有两个未知数． （3）不是一元二次方程, 一元二次方程是整式,而该方程分母中含有未知数.
（4）原方程化为10x +=,不是一元二次方程, 未知数的最高次数不是2.
（5）原方程化为2222()410a b x abx a -+--=, ①当22a b -=0,即a b =±时,该方程不是一元二次方程.
②220a b -≠,即a b ≠±时, 该方程是一元二次方程,此时二次项系数是22a b -,一次项系数是4ab,常数项是21a --.
评注：判断一个方程是否为一元二次方程,先把方程化成一般形式,再按照一元二次方程必须具备的几个条件进行判断.如果二次项系数是含字母的代数式,需要对这个代数式进行分类讨论.
例2 关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=有一根为0,求a 的值?
解： ∵22(1)10a x x a -++-=有一根为0,∴把x=0代入方程中得210a -= ∴1a =±.又∵此方程为一元二次方程, ∴10a -≠,∴1a ≠,∴1a =-.
评注：根据方程根的定义,将x=0代入原方程变为关于a 的一元二次方程,求得a 的值,再根据一元二次方程中,其二次项系数不为0的限制,从而确定a 的值.。