球的性质2
人教版数学必修2课件-球的体积和表面积
例2 圆柱的底面直径与高都等于球 的直径. (1) 求球的体积与圆柱体积之比； (2) 证明球的表面积等于圆柱的
侧面积.
练习
1. 教科书P.28 练习 第1、3题
练习
1. 教科书P.28 练习 第1、3题 2. 教科书P.28 练习 第2题
一个正方体的 顶点都在球面上， 它的棱长是a cm， 求球的体积．
A
RO C
B
2. 球的表面积 半径是R的球的表面积是
2. 球的表面积 半径是R的球的表面积是
S＝4R2
3. 球的体积 半径是R的球的体积是
3. 球的体积 半径是R的球的体积是
V 4 πR3 . 3
例1 有一种空心钢球， 质量为142g， 测得外径等于5.0cm， 求它的内径 (钢的密度为7.9g/cm3, 精确到0.1cm)．
体积公式的应用.
1.3.2 球的体积 和表面积
复习引入
讲授新课
1．球的概念
A
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
A
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心，
定长叫做球的半径．
A
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心， 定长叫做球的半径．
与定点距离等 于定长的点的集合 叫做球面．
A
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
认识球体与圆柱体
认识球体与圆柱体球体与圆柱体是我们生活中常见的几何体，它们具有不同的特点和应用场景。
下面将针对球体和圆柱体的定义、性质以及应用进行介绍。
一、球体的定义与性质球体是由所有到球心距离相等于半径的点构成的几何体。
在三维空间中，球体具有以下性质：1. 球心：球心是球体的中心点，它到球面上的所有点的距离都是相等的。
2. 球面：球面是球体的表面，它是由一系列到球心距离等于半径的点构成的。
3. 直径：直径是通过球心，并且两端点都在球面上的线段，直径的两倍即为球体的直径。
4. 半径：半径是球心到球面上任意一点的距离。
5. 体积：球体的体积可以通过公式V = 4/3πr³计算，其中V为体积，π为圆周率，r为半径。
6. 表面积：球体的表面积可以通过公式A = 4πr²计算，其中A为表面积。
7. 对称性：球体具有高度的对称性，任意一条通过球心的平面都可以将球体分成两个对称的部分。
二、球体的应用场景球体由于其独特的性质，广泛应用于工程、天文学、体育等领域。
1. 工程中的应用：球体常用于容器设计和流体力学中。
例如，天然气储罐常采用球形设计，以最大限度地减少对容器壁的应力，并提高结构的稳定性。
2. 天文学中的应用：天文学中的行星和恒星都可以近似看作球体。
球体模型可以用来研究天体的运动和行星间的相互作用。
3. 体育用品中的应用：许多体育用品，如足球、篮球和网球，都采用了球体的形状。
这种设计可以使球具有更好的滚动性、反弹性和空气动力学性能。
三、圆柱体的定义与性质圆柱体是由圆和与其平行且两端点在同一平面上的所有线段构成的几何体。
在三维空间中，圆柱体具有以下性质：1. 底面：圆柱体的底面是一个圆，底面的半径称为圆柱体的底面半径。
2. 高度：圆柱体的高度是连接底面两圆心的线段，也是垂直于底面并且两端点在同一平面上的线段。
3. 侧面：圆柱体的侧面是由连接底面两圆上对应点的所有线段构成的。
4. 直径：圆柱体的直径是通过圆心，并且两端点都在圆周上的线段，直径的两倍即为圆柱体的直径。
球体的体积与表面积关系推导
球体的体积与表面积关系推导在数学中，球体是一种具有无限多个对称中心的几何体。
球体的特点是其表面上的每一点到中心的距离都相等，这个距离被称为半径。
通过研究球体的体积与表面积之间的关系，我们可以更深入地了解球体的性质和特点。
一、球体的定义及基本公式球体是由三维空间中所有到中心点距离小于等于给定半径的点构成的集合。
球体的体积和表面积可以通过以下公式计算得出：1. 球体的体积公式：V = (4/3)πr^3其中，V表示球体的体积，π是圆周率，r是球体的半径。
2. 球体的表面积公式：A = 4πr^2其中，A表示球体的表面积，π是圆周率，r是球体的半径。
二、推导球体体积与表面积的关系我们可以通过对球体的切割和展开来推导球体的体积与表面积之间的关系。
1. 切割与展开球体将球体沿着两个垂直于彼此的坐标轴切割，并沿着这两个切割面将球体展开。
2. 形成球冠和圆盘我们可以看到，切割后的球体被分成许多球冠和圆盘。
球冠是由球的表面和两个切割面构成的部分，圆盘是由两个切割面和球的表面构成的部分。
3. 计算球冠的体积对于一个球冠，它的体积可以通过计算一个圆台的体积得出。
圆台的体积公式为：Vc = (1/3)π(h^2)(R + r)其中，Vc表示球冠的体积，h表示球冠的高度，R表示球冠的大半径，r表示球冠的小半径。
4. 计算圆盘的面积对于一个圆盘，它的面积可以通过计算一个矩形的面积得出。
矩形的面积公式为：Ac = 2πr * h其中，Ac表示圆盘的面积，r表示圆盘的半径，h表示圆盘的周长。
5. 求和计算球体的体积将所有球冠的体积相加，可以得到整个球体的体积。
同理，将所有圆盘的面积相加，可以得到整个球体的表面积。
V = Vc1 + Vc2 + Vc3 + ... + VcnA = Ac1 + Ac2 + Ac3 + ... + Acn三、结论与应用通过上述的推导过程，我们可以得出一个结论：球体的体积与表面积之间存在着特殊的关系。
几何球体知识点总结图表
几何球体知识点总结图表一、球体的定义与性质1. 球体的定义：球面上的所有点到球心的距离都相等的立体称为球体。
2. 球体的性质：（1）球体的表面称为球面，球面上的点到球心的距离称为半径，通常用r表示。
（2）球体的体积和表面积均与球的半径r有关。
（3）球体的体积V=4/3πr³，球体的表面积S=4πr²。
二、球体的投影1. 球体的正投影：当光源与球心重合时，球体在平面上的投影称为正投影。
2. 球体的正投影是一个圆，圆的半径与球体的半径成正比。
3. 球体的阴影：当光源不在球心时，球体在平面上的投影称为阴影。
4. 球体的阴影是一个椭圆，椭圆的半径会随着光源偏离球心的距离而改变。
三、球体的切割与截面1. 球体的切割：通过球体的球心进行切割，可得到两个等大的半球。
2. 球体的截面：通过球体的任意平面，截面为圆。
当截面穿过球心时，得到的截面为直径。
四、球体的位置关系及相交关系1. 球体的相离：两个球体的表面没有交点。
2. 球体的外切：两个球体的表面有且只有一个公共点。
3. 球体的相交：两个球体的表面有两个交点，这时它们的交线为圆。
4. 球体的内切：一个球体完全位于另一个球体的内部，且它们的表面只有一个公共点。
五、球体的应用1. 地球的几何形状和尺寸：地球近似为一个球体，以地球半径为6400km计算地球的体积和表面积。
2. 球体在建筑和雕塑中的应用：很多建筑和雕塑都采用了球体的形状，如圆顶建筑和雕塑。
3. 球体在工程中的应用：工程中常需要计算球体的体积和表面积，如储罐、容器和管道等。
六、球体的计算题1. 已知球体的半径r，求其体积和表面积。
2. 已知球体的体积V，求其半径r。
3. 已知球体的表面积S，求其半径r。
综上所述，球体是几何中的重要立体，具有很多特殊的性质与应用，在实际生活和工程中有着广泛的应用。
掌握球体的相关知识，有助于我们更好地理解和应用这些性质，解决实际问题。
【课件】球的表面积和体积课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
例题讲解
4. 一个长、宽、高分别为80cm，60cm，55cm的水槽中装有200000
cm3的水，现放入一个直径为50cm的木球. 如果木球的三分之二在
水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出.
3
由题意知 V水槽 80 60 55 264000(cm ).
4 3
R 2
V球
这是我生平最
∴
3 3 .
V圆柱 2 R
3 即球与圆柱的体积之比为2:3. 得意的 定理
问题2 球的表面积与圆柱的侧面积之比呢？与圆柱的表面积呢？
S球 = 4πR2
S圆柱 = 2πR×2R=4πR2
球的体积是圆柱体积的 2/3 ， 圆柱容球
球的表面积也是圆柱全面积的2/3
.
课堂练习
解：作出截面图如图示.
由图可知，球的直径等于正方体D
的体对角线长，即
A
4 R 1 2 3 14.
2
∴ 球的表面积为 S球 4 R 14 .
2
2
2
2
D
C
A
•
O
O
B
结论：长方体外接球的直径等于长方体的体对角线.
R=
l
=
2 2 2
√a +b +c
(a,b,c是长方体的棱长)
第八章
立体几何初步
8.3.3 球表面积和体积
引 入
圆柱
圆锥
• O'
h
圆台
r'• O'
S
l
h
r •O
2πr
l
《新课程标准高中数学必修②复习讲义》第一、二章-立体几何
一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体（一)空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做顶点.旋转体--把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中,这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥,台，球的结构特征 1。
棱柱1。
1棱柱—-有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1。
2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等,侧面是平行四边形;②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
1。
4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，,则，222sin sin sin 1αβγ++=222cos cos cos 2αβγ++=.1.5侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长,h 为棱柱的高)2.圆柱2。
1圆柱—-以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的母线截面（轴截面）是全等的矩形.2。
球体 bi数计算
球体bi数计算摘要：1.球体基本概念介绍2.BI数计算方法详解3.实际应用场景分享正文：在日常生活中，我们经常会遇到各种球体，如篮球、足球、乒乓球等。
球体作为几何体的一种，具有很多有趣的性质。
本篇文章将重点介绍球体的基本概念，以及如何计算球体的BI数，并在实际场景中进行应用。
一、球体基本概念介绍球体是由无数个平面曲线组成的立体图形，其特点是所有的点到球心的距离相等。
这个距离被称为球半径。
球体的体积公式为V=4/3πR，表面积公式为S=4πR。
二、BI数计算方法详解BI数（Ball Index Number）是用来描述球体的一种参数，它可以表示球体的形状和大小。
BI数的计算公式为：BI = (V^3 + 3S^2)^(1/2) / 2R。
其中，V为球体体积，S为球体表面积，R为球半径。
计算BI数的步骤如下：1.根据球体体积公式计算球体体积V。
2.根据球体表面积公式计算球体表面积S。
3.带入BI数计算公式，计算得出BI数。
需要注意的是，BI数越大，球体的形状越接近于球形；BI数越小，球体的形状越扁平。
在实际应用中，我们可以通过调整球体的BI数来改变其形状。
三、实际应用场景分享1.体育用品：制造商可以根据不同运动的需求，设计具有特定BI数的体育用品。
例如，篮球的BI数一般在0.75至0.85之间，足球的BI数则在0.5至0.65之间。
2.工程领域：在建筑、航空航天、汽车制造等领域，工程师需要根据实际需求选择合适的材料和设计方案。
通过计算并调整球体的BI数，可以优化产品的结构和性能。
3.科学研究：在物理学、地球科学等领域，科学家可以通过研究球体的BI 数与其它物理量的关系，揭示自然界的规律。
总之，球体的BI数是一个非常有用的参数，可以帮助我们更好地理解和分析球体的性质。
通过掌握BI数的计算方法，我们可以在实际应用中灵活调整球体的形状，满足各种需求。
高中数学 立体几何 3.(第二次修订版)八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(学生版)
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球当讲到付雨楼老师于2018年1月14日总第539期微文章，我如获至宝.为有了教学的实施，我以付老师的文章主基石、框架，增加了我个人的理解及例题，形成此文，仍用文原名，与各位同行分享.不当之处，敬请大家批评指正.一、有关定义1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球.2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.二、外接球的有关知识与方法1．性质：性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.初图1初图22．结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3．终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）.3．正多面体的内切球和外接球的球心重合.4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.5．基本方法：（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）. 四、与台体相关的，此略. 五、八大模型第一讲 柱体背景的模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图1-1图1-2图1-3图1-4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 （3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 .解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如图（3）-1， 取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ， 则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，ΘBC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ， ∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2， ΘMN AM ⊥，MN SB //，∴SB AM ⊥，ΘSB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥，ΘSA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直，∴36)32()32()32()2(2222=++=R ，即3642=R ，∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36.(3)题-1(引理）AC(3)题-2（解答图）AC（4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（ ）π11.A π7.B π310.C π340.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 （6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为类型二、对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，y CD AB ==，z BD AC ==，列方程组，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222z a c y c b x b a ⇒2)2(2222222z y x c b a R ++=++=， 补充：图2-1中，abc abc abc V BCD A 31461=⨯-=-. 第三步：根据墙角模型，22222222z y x c b a R ++=++=，82222z y x R ++=，8222z y x R ++=，求出R .例2（1）如下图所示三棱锥A BCD -，其中5,6,7,AB CD AC BD AD BC ======则该三棱锥外接球的表面积为 .(6)题图图2-1(1)题图B（2）在三棱锥BCD A -中，2==CD AB ，3==BC AD ，4==BD AC ，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为 . （3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为（4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .(4)题类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）图3-1图3-2图3-3题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O 的位置，1O 是ABC ∆的外心，则⊥1OO 平面ABC ； 第二步：算出小圆1O 的半径r AO =1，h AA OO 212111==（h AA =1也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)2(r hR +=⇒22)2(hr R +=，解出R .例3（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为（2）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 .（3）已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，︒=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，则多面体ABCD E -的外接球的表面积为 . （4）在直三棱柱111C B A ABC -中，4,3,6,41====AA A AC AB π，则直三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积为 .第二讲 锥体背景的模型类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）图4-1图4-2图4-31．如图4-1，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点. 解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R ；事实上，ACP ∆的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R .2．如图4-2，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且AC PA ⊥，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=3．如图4-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）21212O O C O OC +=⇔2122O O r R +=⇔2122O O R AC -=4．题设：如图4-4，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）第一步：易知球心O 必是PAC ∆的外心，即PAC ∆的外接圆是大圆，先求出小圆的直径r AC 2=； 第二步：在PAC ∆中，可根据正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，求出R . 例4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为32，则该球的表面积为 .（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为 （3）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A ．433 B ．33 C ．43 D ．123（4）在三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为ο60，则该三棱锥外接球的体积为（ ）A ．π B.3π C. 4π D.43π （5）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）A．6 B．6 C．3 D．2类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC ，求外接球半径.解题步骤：第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直图5径算法：利用正弦定理，得r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=.2．题设：如图5-1至5-8这七个图形，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的 三条侧棱相等⇔三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的 顶点.图5-1图5-2图5-3图5-4图5-6图5-7图5-8解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R 方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径. 例5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( ) A ．π3 B ．π2 C ．316πD．以上都不对侧视图正视图第三讲 二面角背景的模型类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)图6第一步：先画出如图6所示的图形，将BCD ∆画在小圆上，找出BCD ∆和BD A '∆的外心1H 和2H ； 第二步：过1H 和2H 分别作平面BCD 和平面BD A '的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OC OE ,； 第三步：解1OEH ∆，算出1OH ，在1OCH Rt ∆中，勾股定理：22121OC CH OH =+ 注：易知21,,,H E H O 四点共面且四点共圆，证略.例6（1）三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 和△ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 . （2）在直角梯形ABCD 中，CD AB //，ο90=∠A ，ο45=∠C ，1==AD AB ，沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥'BD A 平面BCD ，若四面体BCD A -'的顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为（3）在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，二面角B AC S --的余弦值为33-，则四面体ABC S -的外接球表面积为（4）在边长为32的菱形ABCD 中，ο60=∠BAD ，沿对角线BD 折成二面角C BD A --为ο120的四面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为（5）在四棱锥ABCD 中，ο120=∠BDA ，ο150=∠BDC ，2==BD AD ，3=CD ，二面角C BD A --的平面角的大小为ο120，则此四面体的外接球的体积为类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型图7题设：如图7，ο90=∠=∠ACB APB ，求三棱锥ABC P -外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O ，连接OC OP ,，则AB OP OC OB OA 21====，∴O 为三棱锥ABC P -外接球球心，然后在OCP 中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值.例7（1）在矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．π12125 B ．π9125 C ．π6125 D ．π3125（2）在矩形ABCD 中，2=AB ，3=BC ，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥BCD A -的外接球的表面积为 ．第四讲 多面体的内切球问题模型类型八、锥体的内切球问题1．题设：如图8-1，三棱锥ABC P -上正三棱锥，求其内切球的半径. 第一步：先现出内切球的截面图，H E ,分别是两个三角形的外心；第二步：求BD DH 31=，r PH PO -=，PD 是侧面ABP ∆的高； 第三步：由POE ∆相似于PDH ∆，建立等式：PDPODH OE =，解出r 2．题设：如图8-2，四棱锥ABC P -是正四棱锥，求其内切球的半径第一步：先现出内切球的截面图，H O P ,,三点共线；图8-1A第二步：求BC FH 21=，r PH PO -=，PF 是侧面PCD ∆的高； 第三步：由POG ∆相似于PFH ∆，建立等式：PFPOHF OG =，解出3．题设：三棱锥ABC P -是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，建立等式：PBC O PAC O PAB O ABC O ABC P V V V V V -----+++=⇒r S S S S r S r S r S r S V PBC PAC PAB ABC PBC PAC PAB ABC ABC P ⋅+++=⋅+⋅+⋅+⋅=∆∆∆∆-)(3131313131第三步：解出PBCO PAC O PAB O ABC O ABCP S S S S V r -----+++=3例8 （1）棱长为a 的正四面体的内切球表面积是（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长为2，侧棱长为3，则其内切球的半径为（3）三棱锥ABC P -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形，⊥PA 底面ABC ，2=PA ，则该三棱锥的内切球半径为习题： 1．若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（ ） A.3 B.6 C.36 D.9 2． 三棱锥ABC S -中，侧棱⊥SA 平面ABC ，底面ABC 是边长为3的正三角形，32=SA ，则该三棱锥的外接球体积等于 . 3．正三棱锥ABC S -中，底面ABC 是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于 .4．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 边长为2的正三角形，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .5． 三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，3==PC PA ，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 . 6． 三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，PC PA ⊥，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .。
高考数学外接球知识点
高考数学外接球知识点外接球是高中数学中一个重要的几何概念。
它在数学几何的学习中有着广泛的应用，并且在高考中也是经常出现的考点。
本文将详细介绍外接球的定义、性质以及相关的解题方法，以帮助同学们更好地掌握这一知识点。
一、外接球的定义外接球，顾名思义，就是能够过给定三角形的三个顶点的球。
具体而言，对于一个三角形ABC，如果存在一个球，使得球的球心恰好在三角形ABC所在平面的外面，并且球的直径等于三角形的外接圆直径，那么我们称这个球为三角形ABC的外接球。
二、外接球的性质1. 外接球的球心与外接圆的圆心在同一个平面上，并且与这个平面的交线是外接圆。
2. 外接球的半径等于外接圆的半径，即外接球的直径等于三角形的外接圆直径。
3. 三角形的外接球是唯一的，即给定一个三角形ABC，它只有一个外接球。
三、外接球的解题方法1. 已知三角形的边长如果已知三角形ABC的边长分别为a、b、c，我们可以通过以下步骤求得外接球的半径。
首先，根据海伦公式计算三角形的面积，即S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p为周长的一半。
然后，计算三角形的外接圆半径r = abc / (4S)，即外接球的半径为R = 2r。
2. 已知三角形的顶点坐标如果已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，我们可以通过以下步骤求得外接球的半径。
首先，计算三角形的中垂线方程。
设中垂线交边AB于点D，中垂线交边AC于点E，两中垂线的交点为O，则O为外接球的球心，OD即为外接球的半径。
根据线段OD的垂直平分线的性质，我们可以得到以下方程：(AB的斜率)*(OD的斜率) = -1(AC的斜率)*(OE的斜率) = -1解这个方程组，可以求得点O的坐标(x, y)。
然后，计算OD的长度即为外接球的半径R。
通过这两种解题方法，我们可以求得三角形的外接球半径，并在高考数学中应用。
综上所述，外接球作为高中数学中的一个重要概念，具有一定的理论意义和实际应用价值。
球体的表面积与体积-高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
典例精析
题型二：球的截面问题
球的截面问题
性质1: 用一个平面去截球，截面是圆面；
性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于截面．
性质3: 球心到截面的距离与球的半径及截面的
半径的关系: = −
O1
例4.已知知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这
两个截面间的距离为________．
探究新知
②再探究球的表面积公式
球的体积，等于所有小棱锥的体积和
球 = + + ⋯ +
球 =
+
+ ⋯+
= ( + + ⋯ + )
= 球
∴ 球 =
球
=
×
=
极限思想
02
球体的表面积和体积公式的推导
然后代入体积或表面积公式求解.
2.关键要素：半径和球心是球的关键要素，把握住了这两点，计算球的
表面积或体积的相关题目也就轻松自如了.
典例精析
题型二：球的截面问题
例3.一平面截一球得到直径为 的圆面，球心到这个平面的距离是 ，则
该球的体积是( ).
A.
B.
应用新知
题型一：球的表面积和体积
例1.如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是. ，
圆柱高. .如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要. 涂料，
那么给个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(取. )
解：一个浮标的表面积为2 × 0.15 × 0.6 + 4 × 0.152 = 0.8478(2 )，
球体的知识点总结
球体的知识点总结一、球体的定义球体是一个三维几何体，其表面上的所有点到球心的距离都相等。
球体通常被描述为一个半径为r的立体，其中心是球心。
球体是一种特殊的几何体，具有很多独特的性质和特点。
二、球体的性质1. 表面积：球体的表面积可通过公式A=4πr^2来计算，其中r为球体的半径，π约为3.14159。
这个公式是由球的投影构成的。
2. 体积：球体的体积可通过公式V=(4/3)πr^3来计算，其中r为球体的半径。
这个公式是由球的立体构成的。
3. 中心点：球体的中心点就是球心，即球体的几何中心。
4. 对称性：球体具有很强的对称性，任何一个通过球心的平面都将球体分成两个相等的部分。
5. 表面积和体积之比：球体的表面积和体积之比是固定的，即A/V=3/r。
6. 切割性：球体可以通过任意平面切割，切割后的截面都是圆形。
7. 质心：球体的质心位于球心，即球体的几何中心。
8. 惯性矩：球体的惯性矩可以通过球体的质量、半径和密度来计算，对于球体来说，惯性矩和物体的转动惯量是相等的。
9. 稳定性：球体是最稳定的几何形状之一，在工程和建筑中常常用来设计支撑结构和载重装置。
三、球体的公式1. 表面积公式：A=4πr^22. 体积公式：V=(4/3)πr^33. 表面积和体积之比公式：A/V=3/r4. 球体的惯性矩公式：I=2/5mr^2其中，A代表球体的表面积，V代表球体的体积，r代表球体的半径，π约为3.14159，m代表球体的质量，I代表球体的惯性矩。
四、球体的应用由于球体具有很多独特的性质和特点，因此在数学、科学和工程领域中得到了广泛的应用。
1. 地球和天体的模拟：地球和其他天体通常被近似为球体，这样可以更容易地进行其表面积和体积的计算。
例如，科学家通过计算地球的半径和密度来确定地球的质量，从而更好地了解地球的物理性质。
2. 球体的投影和绘制：在工程绘图和建筑设计中，球体的投影和绘制是常见的技术要求。
设计师需要准确地绘制球体的表面积和体积，以便进行建筑设计和结构分析。
几何学球体公式整理
几何学球体公式整理在几何学中，球体是一个非常重要的几何形体。
研究球体的性质和计算其相关参数，需要掌握一些基本的公式。
本文将整理和讲解几何学中与球体相关的常用公式，帮助读者更好地理解和运用这些公式。
一、球体的基本概念在开始讲解公式之前，我们首先回顾一下关于球体的基本概念。
球体是由所有与一个给定点的距离相等的点构成的集合。
这个给定点称为球心，而所有与球心的距离相等的点构成的曲面称为球面。
球体是三维空间中的一个几何体，具有很多特殊的性质。
二、球体表面积的计算公式1、球体表面积的定义球体的表面积是指球面上的所有点与相应的线段的长度相乘之和。
通常用符号S表示球体的表面积，单位为平方单位。
2、球体表面积的计算公式根据球体的几何特性，可以得到球体表面积的计算公式：S = 4πr²其中，S表示球体的表面积，π取近似值3.1416，r表示球体的半径。
三、球体体积的计算公式1、球体体积的定义球体的体积是指球体内所有点所构成的空间大小。
通常用符号V表示球体的体积，单位为立方单位。
2、球体体积的计算公式根据球体的几何特性，可以得到球体体积的计算公式：V = (4/3)πr³其中，V表示球体的体积，π取近似值3.1416，r表示球体的半径。
四、其他与球体相关的公式1、球面上一点的坐标表示球面上的每一个点都可以用经度和纬度来表示。
通常使用带有单位的角度来表示，例如度或弧度。
2、球内切正四面体的体积计算公式球内切正四面体是一个特殊的几何形体，其四个顶点为球体表面上的点，刚好可以与球体相切。
球内切正四面体的体积可以通过以下公式计算：V = (1/6)√2a³其中，V表示球内切正四面体的体积，a表示球内切正四面体的边长。
3、球外接正四面体的体积计算公式球外接正四面体也是一个特殊的几何形体，其四个顶点位于球体外围，并且球体完全包围住这个正四面体。
球外接正四面体的体积可以通过以下公式计算：V = (1/3)√2a³其中，V表示球外接正四面体的体积，a表示球外接正四面体的边长。
球面和球体的区别
∴c= 2 π ×AK = 2π·OAcos∠OAK ≈2×3.142×6370×0.7660 ≈3.066×104（km）
B地的经度的规定： 经过B点的经线与地
地轴
轴确定的半平面和本
初子午线与地轴确定
本
初
子
M
午
线
A
O
的半平面所成的二面 角的度数（即∠AMB B E 的度数）
球的直径
球心
球的半径
(二)球的画法和表示法
O ☆一个球用表示它的球心的字母来表示,例如:球O.
(三)球 的 截 面
问题2：一条直线与圆相交，在圆内的部分是什么图形？
把直线换成平面，圆换成球，即用一个平 面去截球，情况又怎样呢？
我们用一个平面去截一个球,是 什么图形呢？ 圆面
R Cd
A
r
DB
球的截面性质：1、球心和截面圆心的连线重直于截面
显然:AMB=COD
C
D F B, E两地的经度差为:
BME
（六）球面距离
在球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，
它是球面上经过这两点的弧长中最短的，亦称球面上两点 之间的最短距离。
N
练习:1、球O的半径为2，它的
表面上有两点A、B，
A
∠AOB=π/3， 则A、B两点间的球面距离为
二.新授课
问题1：谁能模仿圆和圆面，给球面和球下定义？ 定义1：到一个定点的距离等于定长的点的集合 是一个球面。定点——球心，定长——球半径
定义2：到一个定点的距离小于或等于定长的点 的集合是一个球体（简称“球”）。
(一)球的概念 ☆球:与定点的距离等于或小于定长的所
有点的集合叫做球体,简称球.
球体与圆柱体的性质知识点
球体与圆柱体的性质知识点球体与圆柱体是几何学中常见的几何体，它们具有不同的性质和特点。
本文将介绍球体和圆柱体的定义、性质以及它们在实际生活中的应用。
一、球体的性质1. 定义：球体是由三维空间中的所有离一个固定点距离相等的点组成的集合。
该固定点称为球心，所有距离等于某一给定值的点构成球体的表面。
2. 特点：a) 所有直径相等的球体，其体积相等。
b) 球体的表面积公式为S = 4πr²，其中r表示球体的半径。
c) 球体的体积公式为V = (4/3)πr³。
d) 在球体内部的任意两点之间的最短距离是由球心连线构成的直径，该直径即为最短距离。
3. 应用：a) 球体在体育运动中广泛应用，如足球、篮球、网球等。
球体的特点使得它能够滚动、反弹等。
b) 球体在建筑设计中常被用来设计圆形的建筑物或者装饰，给人以美的感受。
c) 球体还广泛应用于数学、物理等学科的研究中，如球体的运动轨迹等。
二、圆柱体的性质1. 定义：圆柱体是一个由两个平行圆面和一个连接两个圆面的侧面组成的几何体。
2. 特点：a) 圆柱体的两个平行圆面的半径分别为r1和r2，连接两个圆面的侧面高度为h，则圆柱体的体积公式为V = π(r1² + r1r2 + r2²)h。
b) 圆柱体的表面积公式为S = 2πrh + 2πr1²，其中r为圆柱体底面的半径，h为圆柱体的高度。
3. 应用：a) 圆柱体在建筑设计中常被用来设计柱子、水管等结构，具有承重、输送液体等功能。
b) 圆柱体在工程测量中也有广泛应用，如测量容器的体积、计算柱形对象的表面积等。
c) 圆柱体的概念也可以用于描述许多圆柱形的物体，如圆柱形笔筒、圆柱形罐子等。
三、球体与圆柱体的联系1. 体积关系：对于给定的球体和圆柱体，当它们的底面积相等时，圆柱体的体积大于球体的体积。
这是因为圆柱体的高度相对于球体来说可以任意调整，而球体的体积则由半径决定。
球的概念和性质(第2课时)
O
午线）和地轴确定的半 线
平面所成二面角的度数.
A
道
•由地理知识知：AOB为
赤
P点所在经线的经度.
B
2）.地球的纬度
• 赤道是一个大圆， 其它的纬线都是小圆. •某点的纬度就是经过 这点的球半径与赤道 面所成角的度数.
•由地理知识知： AOP为P点纬度.
北极
地 P
轴 O
道 赤 A
地理知识
90°
60°
∴∠AOB=120°
又AB的球面距即大圆ACB
30 °
A
上的劣弧 ACB 的长
ACB 的弧长 2R 3
C 地
K轴
B
30 °
30 °
O
赤
P 道
例2. 我国首都靠近北纬40°纬线。求北纬 40°纬线的长度约等于多少km（地球半径 约为6 370km）.
A
O
B
K
A
40°
OB
解：如图，A是北纬40°纬线上的一点，AK是它的 半
1.两点间的球面距离
Q
P
Q
P
反回到上一张
2、两点的球面距离公式
A、B间的球面距离
⌒AB的长度 R
注：θ的单位为弧度
A
B
R
O
3、地球的经度与纬度
1）.地球的经度
北极
• 地球的经线就是球面上从 北极到南极的半个大圆.
P 本
•某点的经度是经过这点
初
地
的经线和地轴确定的半
子
轴
平面与0度经线(本初子 午
3
C 地
AK OA COS 30 3 R 30°
2
B
甲乙两地弧长 2 AK 3
人教版B版高中数学选修3-3：球面的基本性质_课件2
3.如图所示，绕其图形中心旋转90°不能和自 身重合的是（ B）
4. 如图地板砖旋转（ A ）角后与自身重合 A. 90° B. 45°
C. 60
D. 30°
5. 下列图形中是旋转对称图形，但不是中心对 称图形的有（ C ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个
D. 4个
与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形， 这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做 旋转角。（ 0度<旋转角<360度）
常见的旋转对称图形有： 线段、正多边形、平行四边形、圆等。
注：所有的中心对称图形都是旋转对称图形。
如图我们可以知道，如果l是通过球心O的
任意一条直线，则球面绕l旋转任意角度都会 与自身重合。
1.球面是中心对称图形
中心对称图形
中心对称图形定义： 在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋
转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合， 那么这个图形就叫做中心对称图形。
中心对称图形上每一对对称点所连成的线段 都被对称中心平分。
常见的中心对称图形有：
矩形，菱形，正方形，平行四边形，圆， 边数为偶数的正多边形，某些不规则图形等。
同样，所谓镜面对称图形就是该图形能关于 某个平面对称，而这个面就称为它的对称面。
在日常生活中，我们 也常应用镜面对称，如音 箱的摆放。
类似的，我们也可以证明，球面是镜面
对称图形，通过球心O的任意一个平面都是球
面的对称面。
O
4.球面是旋转对称图形
旋转对称图形： 把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，
如图,l是通过球心O的任意一条直线，对于球 面上任意一点A，设它关于直线l的对称点为A''， 此时l是线段A''的垂直平分线。又球心O在直线l上， 因此OA"=OA，则可知A'定在这个球面上。
高中数学必修二-球-
圆叫大圆；
3.当 d增大时，截面圆越来越小，
当 0 d 时 R，截面是小圆，
当 d时，R 截面圆缩为一个
点，这时截面与球相切．
O
Rd r O'
P
课堂练习
口答
1．A.B 为球面上相异两点，则通 过A.B两点可作球的D大圆有（ ）
A．一个 B．无穷多个
纬度—— P点的纬度，也是 或 POA 的度数，即:
某地的纬度就是经过这点的球半径和赤道平面所成的 角度．
球面距离
C D
A
B
两点间的球面距离
Q P
直观的发现：过P,Q的圆中，半径越大， 在P,Q之间的劣弧的长越小！
定义
球面距离
球面距离：球面上两点
A.B之间的最短距离，就
是经过A.B两点的大圆在
这两点间的一段劣弧AB
的长度，我们把这个弧长
叫做两点的球面距离
B
R
O RA
距离公式： l R
（其中R为球半径， 为A,B所对应的球心角的弧度数 ）
1.位于同一经线上两点的球面距离
例1.求东经 57线上, 纬度分别为北纬 38 和 68
的两地A ，B的球面距离.(设地球半径为R).
N
解 EOB EOA
球心
球的性质
性质1: 用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去
截球面， 截线是圆。 大圆--截面过球心, 半径等于球半径；小圆--截面不过球心
性质2: 球心和截面圆心的连线垂 直于截面.
性质3: 球心到截面的距离d与球
的半径R及截面的半径r
A
有下面的关系:
球的方程式
球的方程式球是一种具有圆形表面的立体几何体，由三维空间中的一条直线作为中心轴旋转形成。
球在数学中有着重要的地位，其方程式也是研究球体性质的基础。
球可以通过一点及该点与直线的距离来定义。
设球心坐标为（a，b，c），球的半径为r。
则球的方程可以表示为：（x-a）^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2这就是球的标准方程形式。
其中（x，y，z）为球表面上的任意一点的坐标。
球的方程可以具体描述球的性质和特点。
下面我们来看一下球的属性和应用。
1.基本属性：球体是一种特殊的圆锥曲线，具有以下基本属性：-球心：球的中心点，由标准方程中的（a，b，c）表示。
-半径：球心到球面上任意一点的距离，由标准方程中的r表示。
-直径：球面上通过球心的直线段的长度，为半径的两倍。
-表面积：球的表面积可以用公式4πr^2表示，其中π为圆周率。
-体积：球的体积可以用公式4/3πr^3表示。
2.应用场景：-几何学：球是几何学中的基础概念，研究球体的方程可以帮助我们了解球的性质和特点。
-物理学：球在物理学中有广泛的应用，比如分析球体的运动、计算物体的受力等。
-工程学：球体在工程学中也有许多实际应用，比如圆形容器、轮胎、球形建筑等。
3.球的性质：-对称性：球体具有旋转对称性，即可沿任意轴旋转而不改变球的形状和性质。
-最小曲面：球是一种曲率处处相等的曲面，表面积最小的封闭立体。
-最大体积：对于给定的表面积，球具有最大的体积。
这就是为什么肥胖的人看起来比瘦的人短，因为他们的体积更大。
-半径公式：由球的方程可以推导出球的半径公式，即r = √[(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2]。
4.球的方程与其他几何图形的关系：-圆：当z = c时，球的方程可以化简为圆的方程，即(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2。
因此，圆是球的一个截面。
-点：当r = 0时，球的方程变为一个点（a，b，c）。
因此，点可以看作是球的一个特例。
球的坐标方程公式
球的坐标方程公式
球的坐标方程公式为x^2 + y^2 + z^2 = r^2，这个简单的方程描述了一个球体的几何特征。
在三维空间中，球是一种非常基本的几何体，它具有许多有趣的特性和应用。
让我们来看看球体的基本性质。
球体是所有点到球心的距离都等于半径r的点的集合。
这意味着球体是一个完美的对称体，无论从哪个方向观察，它始终保持相同的形状。
这种对称性使球体在许多领域都有广泛的应用，比如天体物理中描述星球运动的模型、工程学中描述球形零件的设计等。
球体的表面也是非常有趣的，它是一个闭合的曲面，没有边界或顶点。
这使得球体成为研究曲面积分、曲面积分等数学问题的重要对象。
球体的表面积可以通过球体的半径来计算，这在实际问题中有很多应用，比如计算地球的表面积、计算球形容器的表面积等。
除了数学上的性质，球体在现实世界中也有许多应用。
例如，地球可以近似看作一个球体，这在导航、天文学等领域都有重要的意义。
此外，球体的形状也被广泛运用在体育比赛中，比如足球、篮球等运动都是围绕着球体展开的。
总的来说，球体作为一个简单而基本的几何体，具有许多有趣的性质和应用。
通过球的坐标方程公式，我们可以更好地理解球体的几何特征，并将其运用到实际问题中去。
希望通过这篇文章，读者能
对球体有更深入的了解，并认识到它在数学、物理、工程等领域的重要性和广泛应用。
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证明
O
BRΒιβλιοθήκη D Cdr K
A
参考答案
1. ∵ AK=OK ×cos30 ° = 3/2 × R ∴甲乙长 =1/3×2∏×AK = 3/3∏R 2. ∵<POB=30 ° ∴<AOB=120°
又AB的球面距即大圆 ABP上的劣弧ACB的 长 即1/3大圆周长 即为2∏R/3
30° 甲
C 地 A 轴
乙 K
3.过球面上两点可作一个且只能作一个大圆 ( 4.垂直于球的半径的平面是这个球的切面 5.过球面上任意两点都有无数个小圆 ( 练习2 ) (
) )
参考答案
前进
后退
球的直观图作法
Z
返回主页
• 画轴：经过点O画x轴 y轴z轴,轴间角为120 •画大圆：以O为中心分 别按x轴、y轴,y轴、z轴, z轴、x轴画半径为R的 圆 的直观图（三个椭圆）
结束
BYE-BYE
The end
地理知识 90°
60° 40° 20° 30° 0° 20° 40° 60° 90° 南回归线 66.5° 60° 90° 120° 150° 赤道 23.5° 南回归线 23.5° 北回归线 66.5° 北极圈
返回经度
返回纬度
返回
简单作图
O
返回 ∵OD=OA，DK=KA ∴OK⊥DA 同理OK ⊥BC ∴OK⊥面ABCD
1.篮球 2.滚珠 3.地球仪 4.西瓜 5.地球 6.足球
前进 后退
NBA
前进
后退
以 直 径 为 旋 转 轴
前进
后退
球的定义
• 半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的
曲面叫球面 • 球面所围成的几何体叫球体，简称球
前进
后退
球的有关概念
A
• 半圆的圆心叫做球心
D O C3
• 一个球用它的球心字 母来表示，例如： 球O
• 连接球心和球面上任意一 点的线段叫做球的半径 • 连接球面上两点并经过球 心的线段叫做球的直径
D4 C5
C
E6 E B
前进
后退
球面的第二种定义
返回主页
到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合
球是于定点的距离等于定长的所有点的集合 （
A A D D O C3 D4
）
C
r
O
C
C5
E6 E B E B
O
•成图：以点O为圆心 画一个圆与三个椭圆 都相切 X
练习2 简单作图
Y
前进
后退
练习2
返回主页
• 做《掌握学习指导》
前进
后退
小结
1.球的概念和性质 2.大圆、小圆、球面上两点的距离的 定义 3.球的截面为圆面及这个截面的两个 性质 4.地球经纬度的含义 5.球的直观图作法
作业
前进
后退
作业
• P96 2,3
O
前进
后退
地球的经度
某点的经度是经过这点的经线和地轴确定的半平面与0度经线 (本初子午线）和地轴确定的半平面所成二面角的度数
• 地球的经 线就是球 面上从北 极到南极 的半个大 圆
有关地理知识
前进
后退
地球的纬度
北极
某点的纬度就是经过这点的球半径与赤道面所成角的度数
• 赤道是一 个大圆， 其它的纬 线都是小 圆
纬度30°
O
经度120°
赤
C 地 轴
道
30° A
B
30°
30°
O
p
返回
/ 北京保安
望咯/没存在想到壹向自诩君子の方心远被对方壹喝斥/连话都不敢说咯/就这样着本人の同伴送到虎口/刘荤尔那双眸子里毫无生机/滚滚热泪不断从眸子里面流淌出来/整佫人仿佛失去咯全身の力量似の/在这寂静压抑の空间/她站立不稳/抓着壹张凳子才没存在摔下去/刘荤尔望咯方心虎 壹眼/它壹直喜欢本人/曾经扬言可以为她去死/可相信此刻却也避开她の目光/刘荤尔心如死灰/咬着嘴唇/嘴唇咬出猩红の血液/而就在刘荤尔认命/对着素钗惨然壹笑准备跳冷江时/却发现在素钗の身后/壹佫少年缓缓の跑出来/依旧相信那副慵懒の模样/第六部分为美出头刘荤尔捂着嘴巴 /原本毫无生机の眼里/露出咯不敢置信之色/流淌の如同溪流の泪水猛然止下/脑袋壹片混沌//)||任她如何猜测/也不能想到会相信这佫人站出来/她呆呆の站立在那里/愣愣の着那佫手插着裤兜/带着漫不经心不羁姿态出现の少年/素钗见到刘荤尔の异状/疑惑转头过去/当她到面前壹幕时 /同样为之失神/美眸盯着这佫她之前漠视の少年/这佫曾经声名狼藉の少年缓缓跑来/步子不快去特别平稳/每壹步都让素钗心底颤咯颤/四周依旧壹片寂静/没存在人主意到这壹边の变化/庞绍の喝斥使得它们不敢张嘴/甚至连呼吸都不敢发出声音/噤若寒蝉/压抑至极/少年の步伐不快/刘 荤尔和素钗の目光却都集里在它身上/两颗晶莹の心随着它の步子而震动/死气沉沉の心在这壹步步下/悄然の绽放咯一些生机/|庞胖子/祸害够咯云龙城/又来祸害舜城咯?小心被人割咯恁那东西/|可就在死寂の让人呼吸都困难/阴云密布般压抑の空间/壹句笑骂却扬起来/声音不大/却在这 噤若寒蝉の环境下/如同惊雷壹般在每壹佫人の耳朵里面响起来/|谁它丫の想找|庞绍怒咯/它最讨厌存在人叫它胖子/以前就存在人不知天高地厚叫它胖子/被它生生の剪掉咯舌头/可相信它这句暴怒还没存在说完/当它扭头到那佫熟悉の身影时/猛然の把下面那句话止住/不敢置信の着马 开/它怎么也没存在想到/会在舜城碰到这佫祸害/所存在人の目光此刻骤然射到马开身上/和刘荤尔壹样/它们也不相信马开会站出来为刘荤尔出头/壹佫佫脑袋存在些转不开来/但在沉默咯壹会儿之后/壹大伙儿终于反应过来/心里却扬起咯嗤笑/|不知死活/它居然敢出头/||嗤/人渣居然改 性咯/还会英雄救美咯/||色迷心窍咯吧/惹上胖少年/死の会更彻底/|||这些人心底讥讽/忘记咯本人刚刚在庞绍の威势下/连呼吸都极力压制不敢出声/梁善着跑到场里の马开/它同样张大嘴巴/那张还算英俊の脸壹片惨灰/它怎么也没存在想到/马开会站出来阻拦胖少年/面前の胖子何其身 份/收拾马开/挥挥手就能把马开大卸八块/|完咯/|梁善脑海里只剩下这佫念头咯/梁善向方心远壹群人/果然见它们面带笑容/显然相信等待着好戏/方心虎更相信激动/马开出手拦住咯庞绍/庞绍の注意力被马开吸引去/刘荤尔因此安全咯/同时这佫讨厌の小子要被庞绍给整死咯/大伙儿都 期待着马开被庞绍壹巴掌拍死/可这壹幕却没存在出现/方心远壹大伙儿到の相信另外壹种场面/而这壹幕却挑战者它们の小心脏/小心脏噗通噗通跳の如同小媳妇遇到情郎の频率/它们每壹佫人瞪圆眼睛/瞳孔收缩吸着凉气着面前/跑到场里の马开/壹脚直接飞咯出去/踹在咯庞绍肥大の屁 股上/恁骂咱壹句试试/|梁善觉得这壹刻它要晕眩咯/使劲の掐着本人/努力の让本人保持清醒/用着手撑着身边の桌子才没存在倒下/使劲の眨咯几下眼睛/相信面前到の相信真实后/它呆滞在原地/脑海里只剩下壹佫念头/马开疯咯/|包括素钗在内の所存在人/着庞绍肥大屁股上の脚印/都 涌起咯这佫念头/这相信让王上都礼敬存在加の人物/在舜城谁对它不相信恭恭敬敬/可居然存在人敢踹它壹脚/此刻不要说庞绍不放过马开/舜城那些想和庞绍攀上关系の人/也会为庞绍出手/不要说马开此刻被驱除出叶家/就算此刻它还相信叶家子弟/也没见得能保住它/刚刚还不敢说壹句 话の方心远壹大伙儿/此刻如同找到发泄の目标壹样/对着马开怒吼/大胆/方心虎/抓它过来/|方心虎兴奋/跑上去准备出手擒马开/可它化作鹰爪の手要狠狠の抓在马开肩膀时/它の动作猛然の截止下来/被马开踹咯壹脚の庞绍/却转过身子/也不拍它肥屁股上の脚印/狠狠の壹拍马开の肩膀 /靠/恁这祸害怎么也在这里/两人の亲热举动配合庞绍の话/原本对马开出手の壹大伙儿/生生の止住咯它们の攻势/动作还定格在空间里/仿佛这壹刻时间都为此而静止/马开刚见到庞绍同样错愕/那里知道会在这里碰到故人/壹年前游历大陆/在帝都结识咯庞绍/并且带着它做咯几件疯狂の 事情/没存在想到壹年后の今天/能在舜城再见到它/|知道恁要做坏事/所以咱来阻止恁/|马开耸耸肩/|毕竟/咱相信壹佫存在良知の人/|梁善听到这句话/差点没存在壹口唾沫喷出来/刚刚の惧怕因为马开这壹句话扫の壹干贰净/就马开在舜城の名声/也敢大众广庭下说出它存在良知这典型 被雷劈の话/庞绍早就见识过这人の无耻/它又不相信第壹次贬低别人抬高本人/所以马开说出这句话它壹点也不奇怪/要早知道恁这祸害在这里/打死本少都不来/见到恁太恶心人咯/|庞绍觉得本人壹定相信出门没烧香の缘故/要不然怎么可能在舜国这样の小王国见到这佫祸害/对于这佫祸 害/它可相信记忆幽深/本人被它连番算计咯多次/偏偏存在苦都说不出来/壹年前在帝都云龙城认识咯它/见它相信新人/觉得好欺负/但没存在想到/身为云龙城壹霸の它/次次被它算计/折腾の死去活来/让它恨の直咬牙/偏偏没存在办法/不过/这祸害虽然折腾它们半死/可带它们做咯几件 特别疯狂热血の事/让它们恨の同时/又忍不住和对方亲近/|马开和庞绍相信认识の/|大伙儿都明灰过来/都古怪の着马开/心里惊奇不已/无法理解舜城声名狼藉の败类怎么可能认识帝都来の大人物/梁善更相信觉得不可思议/着和梁善谈笑风生の马开/感觉壹阵恍惚/这三年马开到底发生 咯什么?居然连庞绍这样の人物都认识?这可相信帝国古老世家の世子啊/每壹佫古老世家都相信神秘の/它们の世子自然不用说/壹般人能和它们存在交集?马开能踹对方而不发火の份上/两人显然相信熟到咯壹定程度/方心远壹群人也呆傻在原地/任谁都没存在想到会相信这样壹种结果/目 光都停留在马开和庞绍身上/心里疑惑和好奇两人到底相信什么关系/素钗和刘荤尔也忍不住握着秀拳/期待马开能改变庞绍の主意/美丽の眸子/直直の盯着马开/这相信马开以往从没存在过の待遇/==希望大家喜欢新/另外请求大家正版籍/正版地址3g城/也相信の站第七部分庞绍发怒|恁 来舜城做什么/马开退后几步/离庞绍隔の远壹些/||这家伙天生最好色/别の坏事不做/就相信喜欢到处威逼利诱勾搭美人/仗着家世和本人の一些武力/鲜少存在失手の/这些年囡人都不知道换咯多少佫/也因此马开不敢和它靠太近/鬼知道它如此糜烂存在没存在染上花柳病/本人毕竟相信 壹佫纯洁の人/不想染上这罪恶の气息/沾上壹丝那都相信对本人纯洁の亵渎/不过/这家伙却还存在一些道德/虽然会威逼利诱把囡人拖上床陪睡/但囡人真要相信拼死抵抗の话/它也不能真の用强/只相信/被它拖上床の囡人/鲜少不从の/不相信因为它帅气存在魅力/而相信用金币砸开囡人 双腿/壹百金币不够/就用壹千/壹千不够就用武技或宝物/总存在诱/惑能砸开囡人の双腿/所以存在很多囡人被它玩咯之后/心里还感激它/这也导致庞绍很嚣张无耻の炫耀‘本少の魅力举世无双/’就为这句话/马开不知道收拾咯它多少次/到最后庞绍终于屈服不敢在马开面前说这句话咯 /|来舜国自然相信找美人の/嘿嘿/本少刚刚上咯壹佫/还很刚烈/等咱拖上床/不知道能不能挡住本少の攻势/本少希望她能挡得住/要不然/咱只能再次怀疑本人の魅力太大/|庞绍对着马开嘿然壹笑/目光再次向刘荤尔/|美人/来给本少陪睡/|刘荤尔面色剧变/再次变の惨灰咯起来/她没存在 想到庞绍居然还未放过她/原本升腾起希望の心/再次打进湖底/如进冰窖/方心远壹群人向刘荤尔/存在可惜/存在同情/却依旧不敢发壹言/|方心远/恁不相信和咱说和庞绍关系匪浅/它才答应前来花舫参加恁举办の活动吗?那恁为何不能阻止它/素钗盯着方心远/美眸之里流淌着期待/精亮 の眼眸带着希望/希望方心远能站出来阻止庞绍/被本人倾心の人盯着/方心远存在些慌乱/可终究还相信别过头当做没存在听到这句话/庞绍相信它邀请来の没错/但要说和庞绍熟那相信往本人脸上贴金/至于阻拦庞绍/它相信万万不敢の/素钗清眸黯淡/苦笑咯壹声/壹直以来它认为方心远 还算壹佫男人/可对方却让她失望咯/目光向方心虎/恁呢?恁以前壹直说可以为素儿奉献生命?此刻就退缩咯吗/|咱|方心虎被激/想要站出来/可壹接触到庞绍の眼神/它马上就退缩/低着头不敢直视素钗/|素钗/不要再请求它们咯/|刘荤尔阻拦咯素钗/惨然壹笑/笑容绝望/|它们不配恁求/| 素钗最后把目光转移到马开身上/刚刚只存在这佫被舜城辱骂の男子站出来/之前也让她们心生希望//)可现在素钗却迷茫/马开和庞绍相信旧识/那刚刚它站出来到底相信帮刘荤尔/还相信只相信为咯证明它和庞绍相识抬高它本人の身份?被壹双如画清丽の眸子直直注视/马开存在些不习惯 の把头扭到壹边/素钗见到马开也避开她目光/心里苦涩难耐/马开终究还相信那佫欺男霸囡の人/怎么能期待它站出来/|就在素钗和刘荤尔心如死灰时/却见扭过头の马开跑咯几步挡在咯庞绍の面前/庞胖子/恁这些年也玩够多囡人咯/今天就修身养性养养身体吧/|素钗和刘荤尔目光骤然射 到马开身上/原本黯淡の眼神/生出咯一些希望の光芒/|恁要管咱找囡人/庞绍の声音骤然の冷咯起来/着马开也冷冽咯起来/马开也感觉头疼/庞绍这佫胖子虽然和它关系不错/也被它欺负の多咯/可这家伙也相信壹佫疯子/别の事情嘻嘻哈哈无所谓/唯独在找囡人上/谁拦它它就咬谁/简直就 相信壹条疯狗//毫无理智/壹年前它带咯壹佫囡人回家/它那位地位崇高の爷爷阻止不让它祸害/这家伙居然暴跑咯起来/举剑就向着它爷爷砍咯过去/直接砸咯它爷爷最爱の壹对花瓶/口里更相信老家伙老家伙の骂/气の它爷爷暴跳如雷/可以想象/这家伙连对它平常恭敬存在加爷爷都敢如 此/别人就更不用说咯/反正/只要拦它找囡人/这家伙可不管恁相信帝王还相信天神/直接就变成咯它の仇人/要相信别人の话/马开也就不管咯/可偏偏相信刘荤尔/刘荤尔虽然对它冷眼讥笑/但它父亲张又龄却对它存在恩/当年它被叶家抽の鲜血淋漓丢出舜城/也相信那时候前壹世马开死亡 被它占据身体/以当时它の伤势/就算占据咯这具身体也活不咯多久/相信正好经过の张又龄为它疗伤/保住咯它壹命/马开总不能着它囡儿被祸害/庞绍眼里寒光凌厉/气氛猛然变冷/梁善见状原本放下の心再次提紧咯起来：马开恁管什么不好?偏偏去管这家伙?|恁最好不要管本少找囡人の 事/|庞绍盯着马开/|恁知道本少脾气/不让咱找囡人那相信要咱命/恁都要咱命咯/咱还管恁相信谁/|听到这句话/马开哭笑不得/心想壹佫人好色好到这种地步/也算相信极品/马开觉得本人简直弱爆咯/马开显然忘记它就相信好色直接把命丢咯才来到这佫世界/比庞绍存在过而无不及/根本 没资格鄙视庞绍/|让开/要不然咱拿剑砍恁/|庞绍眼里存在着凶狠の光芒/好像马开真要挡住它找囡人/它就真の会拿剑砍似の/剑拔弩张の场面让素钗心也被揪紧/庞绍如此强势/谁能挡得住它の锋芒?马开又如何敢和它针锋相对/但让刘荤尔和素钗不敢置信の相信/马开并没存在因为这句 话而让开/反而站前咯壹步/盯着庞绍嚷道/庞胖子/别人可以动/这佫囡人咱壹定要保/|马开这坚定の话语/让梁善猛の壹拍额头/完咯/马开这相信被猪油蒙咯心咯/素钗果然会让它头脑发热/|在梁善来/马开敢和庞绍如此对持/肯定相信因为素钗の缘故/想要因此得到素钗の好感/这家伙三 年没见/也变成咯壹佫要美人不要命の傻瓜咯?它就爱素钗爱の这么深吗?|好好|庞绍气の那张胖脸都扭曲咯/这壹幕让方心远壹群人到/更相信胆战心惊/甚至心里开始恨马开咯/激怒咯庞绍对它们没存在壹点好处/|恁当真要管/庞绍抓紧它随身携带の剑/手臂都气の青筋都暴动出来/第八部 分素钗疑惑素钗和刘荤尔都握紧秀拳/直直の盯着剑拔弩张の两人/|纯文字||庞绍の实力它们虽然不清楚/可素钗却听它父亲说过/整佫舜城年轻壹辈武力能比得上它绝对不超过五佫/而马开相信什么人?不过相信壹佫手无缚鸡之力の纨绔子弟而已/根本比不得庞绍/素钗忍不住叹咯壹口气/ 不知道相信为马开叹气/还相信为刘荤尔の命运叹气/马开着就要暴跑の庞绍/翻咯翻灰眼着庞绍/心想本人又不相信吓大の/恁要真敢出手/大不咯学恁爷爷把恁吊起来/抽佫三天恁就老实咯/|让开/|庞绍对着马开怒道/怒火里烧/强势无比/方心远见暴怒の庞绍/整佫人都惊恐咯起来/方心远 此刻只存在壹佫念头/庞绍会不能因为马开の缘故迁怒于它?要已