几何体外接球常用结论及方法(如何求几何体的外接球半径)

几何体外接球常用结论及方法（如何求几何体的外接球半径）

一、在涉及球的问题中，经常用到结论：

（1）在三棱锥P ABC -中，PA PB ⊥，PA PC ⊥，PB PC ⊥，则该三棱锥外接球半径

2R =

（2倍． （3）直角三角形的三角形外接圆的半径等于斜边的一半．

（4）一般的三角形ABC 可由正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C

===（R 为外接圆半径）求得外接圆半径，内切圆的半径通过：12

S C r =⋅多边形多边形的周长（r 为内切圆的半径）求得． （5）已知三棱锥P ABC -，PA ⊥面ABC ，若PA a =，ABC △的外接圆半径为r ，则该三棱锥

P ABC -的外接球半径为()()22222R r a =+．

（6）正方体的外接球、内切球、棱切球的直径分别为正方体的体对角线长2R =、棱长2R a =、

面对角线长2R =．

（7）在四面体P ABC -，若90APC ∠=︒，90ABC ∠=︒，则四面体P ABC -的外接球的直径是

AC ．

（8）对于正棱锥的外接球的半径计算，也可借用几何法求出.如针对正三棱锥V ABC -，可根据平

面几何中射影定理22VA VO VH Rh '=⋅=（h 为正三棱锥的高，VA 为侧棱长，即正棱锥侧棱长的平方等于正棱锥的高与外接球直径的乘积．

（9）正四面体的高、外接球的半径与内切球的半径之间关系： ①高：a h 36=；②球心把高分成3：1；③内切球半径：a 126；外接球半径：a 4

6. （10）有内切球的多面体的内切球的半径计算方法：13V S r =全

． （11）三棱锥的两个侧面互相垂直，已知两个相互垂直的面的外接圆半径的长及其公共棱的长度的情

形：已知三棱锥A BCD -中，面ABD ⊥面BCD ，且ABD ∆，BCD ∆的外接圆半径分别记为12,r r ，公共棱BD a =，则该三棱锥的外接球半径满足：()()()222

212222R r r a =+- 证明：分别在ABD ∆，BCD ∆所在的圆面上调整这两个三角形的开关，如图

在ABD ∆的外接圆周上调整A 点的位置到G 点，使GD BD ⊥，在BCD ∆的外接圆周上调整其形状，将B 调整到E ，C 调整到F ，使得EDF ∆是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，从而得到新的三棱锥G EDF -，则GD DE ⊥，GD DF ⊥，DE DF ⊥，2214GD r a =-22DE DF r ==，三棱锥G EDF -的外接球与A BCD -的三棱锥外接球是重合的，因此所求得外接球半径满足()()()222

212222R r r a =+-． （12）三棱锥给出两个侧面的夹角大小（夹角），及其相应两个侧面的三角形外接圆半径和公共弦长

的情形：

P ABC -，已知面PAC 与ABC 所形成二面角为()090θθ<≤︒，且已知PAC ∆和ABC ∆的外接圆的半径分别为1r ，2r ，AC a =，则该棱锥P ABC -的外接球半径R 满足： ()()()2222222222

212121222cos 22cos 244a a a R R r R r r r r r ⎛⎫⎛⎫+--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭证明：如图，取PAC ∆，ABC ∆的外接圆圆心分别为12,O O ，分别过12,O O 作面PAC ，ABC 垂线，两条垂线必交于一点O ，该O 即为该三棱锥外接球球心．

再取公共棱AC 的中点为K ，连接1O K ，2O K ，则四点12,,,O O K O 共圆

且12O KO θ∠=，12O OO πθ∠=-

在直角三角形1AOO 中，根据勾股定理得：2211OO R r =

-，同理可得2222OO R r =-2

22

211124a a O K r r ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭222222224a a O K r r ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭

在12O KO ∆和12O OO ∆中，根据12O KO θ∠=，12O OO πθ∠=-，结合余弦定理可得到：12,,,R r r a 之间的等量关系 ()()()2222222222

212121222cos 22cos 244a a a R R r R r r r r r ⎛⎫⎛⎫+--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ （13）计算球的表面积或体积，必须求出球的半径，一般方法有（核心：补体定心）

①根据球心到内接多面体各顶点的距离相等确定球心，然后求出半径；（当涉及的多面体较多垂直时，考虑此法，充分利用直角三角形斜边的中点，找出小圆圆心或球心位置，进而求出球的半径.）

②考虑补体法，求出多面体的外接球的直径.当三棱锥S ABC -中，三对对棱分别相等时，可构造一个长方体；当三棱锥S ABC -有三条（可不相邻）两两垂直的线段时，也可构造一个长方体，正四面体可将其补成正方体，有侧棱垂直底面棱锥可构造直棱柱．

③有时可借用球性质（球心与小圆圆心相连垂直小圆所在的平面），根据几何关系求出球半径.