第一章生命表2

1 = [l x +1 − l x + 2 + 2(l x + 2 − l x +3 ) + 3(l x +3 − l x + 4 )] + lx
1 = [l x +1 + l x + 2 + l x +3 + lx ]
lx+k =∑ k =1 l x
1-14
∞
习题


1、已知20岁的生存人数为1 000人，21岁 的生存人数为998人，22岁的生存人数为 992人，则 1 | q20 为（ ）。 A. 0.008 B. 0.007 C. 0.006 D. 0.005
1 1− t t = + , 0 < t <1 s ( x + t ) s ( x) s ( x + 1)
1-21
均匀分布假定(线性插值)

假设生存函数在x + t 的值可由在x 的值和 x + 1的值进行线性插值得到，即
s ( x + t ) = (1 − t ) s ( x) + ts ( x + 1) , 0 < t < 1
k
= 1 − (1 − q x )(1 − q x +1 )
k |m
q x = k p x ⋅m q x + k
1-5
生命表的构造

lx
: l 个新生生命能生存到年龄x的期望人数 0
lx = l0 ⋅ s ( x)

理解：对于每个新生儿来说，到x岁还活着的 概率是
x
p0 = s ( x )
到x岁还活着的人数就是一个随机变量。 这个随机变量服从参数为 l 0 和 s ( x) 的二项 分布，用 l x 表示它的期望值，则
−0.5u
1-28
答案
2、5.25 q50 = 5 q50 + 5 p50 ⋅ 0.25 q55 ∵
5
q50 = 0.1
5
p50 = 0.9
1 q55 = 45
1 ∴ 5.25 q50 UDD 0.1 + 0.9 ⋅ 0.25 = 0.105 45 0.25 44 ) = 0.1050422 5.25 q50 CF 0.1 + 0.9 ⋅ (1 − 45 0.25 = 0.1050847 5.25 q50 Balducci 0.1 + 0.9 44 + 0.25
★
二、生命表的构造

生命表的特点：
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不
依赖总体分布假定（非参数方法）。

构造原理：

在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄 人群的生存概率。（用频数估计频率） 新生生命组个体数：l0 年龄： 极限年龄：ω

常用符号：
? ? ?
x
1-3
生命表的构造

对寿险公司来说，一个最重要的也是最基本的统计数据是某 个人在未来一年内死亡的概率 q x 。 查表求如下的概率： q 年龄 x 未来一年内的死亡概率 x 1、34岁的人在35岁前 0.00133 30 死亡的概率； 0.00134 31 2、34岁的人到35岁仍 0.00137 32 活着的概率； 0.00142 33 3、 34岁的人两年后仍 0.00150 34 活着的概率； 0.00159 35 0.00170 36 4、 34岁的人两年内死 亡的概率； 0.00183 37 0.00197 38 5、 34岁的人在36岁至 37岁之间死亡的概率。 0.00214 39
q x = n p x ⋅m q x + n
lx+n − lx+n+m m d x+n = = lx lx
1-8
生命表实例（美国全体人口生命表）
年龄
0 1 2 3 4 5
x 死亡率 q x 生存人数 l x 死亡人数 d x 平均余寿 ex
0.01260 0.00093 0.00065 0.00050 0.00040 0.00037 100000 98740 98648 98584 98535 98495 1260 92 64 49 40 36 73.88 73.82 72.89 71.93 70.97 70.00
1-4
生命表的构造

一般来说，只要知道各个年龄的基本概率 可以用下列的式子求其他概率：
k
q x，就
p x = p x ⋅ p x +1
q x = 1− k p x
p x + k −1
(1 − q x + k −1 )
(1 − q x + k −1 )
= (1 − q x )(1 − q x +1 )
t t
q x = tq x p x = 1 − tq x
yq x 1 − tq
x
y
q x +t =
1-26
例：

已知：
x l x = 10000(1 − ) 100

分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值：
0.5 q30
5.25
q50
1-27
答案
l30 − l31 1 69 −u 1、q30 = = ⇒ e = p30 = 70 70 l30 1 0.5 q30 UDD 0.5q30 = 140 69 = 1− 0.5 q30 CF 1 − e 70 0.5q30 1 = 0.5 q30 Balducci p30 + 0.5q30 139
生命表中的重要关系式（P15）
生命表中列有 l x 和 d x 的值会给计算各种概率带来方便：
n
d x = lx − lx + n = lx ⋅ n qx
lx − lx+n n d x = n qx = lx lx
d x = lx − lx +1 = lx ⋅ qx
lx+n n px = lx
n|m
第二节
生命表
1
一、生命表起源

生命表的定义：

根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编 制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表。
生命表的发展历史
1662年，Jone Graunt，根据伦敦瘟疫时期 的洗礼和死亡名单，写过《生命表的自然和政治 观察》。这是生命表的最早起源。 ★ 1693年，Edmund Halley，《根据 Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的 估计》，在文中第一次使用了生命表的形式给出 了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley（哈 雷）称为生命表的创始人。 1-2
1-29
课后作业

P31：14、15
1-30
1-20
三种假定

均匀分布假定(线性插值)——常用
s ( x + t ) = (1 − t ) s ( x) + ts ( x + 1) , 0 < t < 1

常数死亡力假定(几何插值)
s ( x + t ) = s ( x)
(1−t )
⋅ s ( x + 1) , 0 < t < 1
t

Balducci假定(调和插值)
= l0 q 0 = 1260
q0 = 0.01260
l1 =l 0 −d 0 = 98740 q1 = 0.00093 1岁的人在2岁以前死亡的概率为：
则在1岁与2岁之间死亡的人数预计为： d1 到2 岁时预计的生存人数为：
l2 =l 1−d1 = 98648
= l1q1 = 92
1-10
例1.1：
px p x + tq x yq x p x + (t + y ) q x
μ x +t
μ = −(ln p x )
fT(t)
qx
− (ln p x )( p x )
t
pxqx ( p x + tq x ) 2
1-25
例 1.3


设某人在3个月前满75岁，根据本章所列生 命表P10，在年龄内均匀分布假设下求其在5 年内死亡的概率。 年龄内均匀分布假设
lx lx = l0 ⋅ s ( x) ⇒ s( x) = l0
1-6
生命表的构造

d x : l 个新生生命中在年龄x与x+n之间死 0 亡的期望人数
n
特别：n=1时，记作
dx 。
n
d x = lx − lx + n = lx ⋅ n qx
d x = lx − lx +1 = lx ⋅ qx
1-7
1-17
课后作业

P30:7、11、12、13
1-18
第三节
各年龄内的寿命分布
19
有关分数年龄的假设


使用背景: 生命表提供了整数年龄上的寿命分布，但有时我 们需要分数年龄上的生存状况，于是我们通常依 靠相邻两个整数生存数据，选择某种分数年龄的 生存分布假定， 估计分数年龄的生存状况。 比如：由上节的生命表知 q 69 = 0.02806，但69 岁的人在未来3个月内死亡的概率 0 .25 q 69 是多少 呢？ 基本原理:插值法 常用方法 均匀分布假定(线性插值)——UDD 常数死亡力假定(几何插值)——CF Balducci假定(调和插值)
o
问题：已知死亡率 q x，l x 和 d x 的各数值是怎样计算出来的？
1-9
生命表实例（美国全体人口生命表）
年龄
0 1 2
x 死亡率 q x 生存人数 l x 死亡人数 d x