基于整数方程的逻辑方程组求解方法研究
教你快速解决小学数学中的代数问题
教你快速解决小学数学中的代数问题解决小学数学中的代数问题是许多学生和家长关注的重点。
代数作为数学的重要分支之一，对于培养学生的逻辑思维和问题解决能力起着重要的作用。
在小学阶段，我们可以通过一些简单的方法来帮助学生快速解决代数问题。
本文将为您详细介绍一些小学数学中常见的代数问题，并提供解决这些问题的方法和技巧。
1. 代数表达式的理解代数表达式是小学阶段最基础的代数概念之一。
许多代数问题都需要通过理解代数表达式来解决。
我们可以通过以下步骤来理解和分析代数表达式：- 首先，将问题中的信息转化为代数表达式。
例如，如果问题是“一个数的7倍加上3的结果是25”，我们可以用代数表达式表示为“7x + 3 = 25”，其中x代表这个数。
- 其次，分析代数表达式的含义。
通过观察代数表达式的结构和符号，理解每个部分的意义。
在上述例子中，7x表示一个数的7倍，加3表示再加上3。
- 最后，解方程。
通过将代数表达式转化为等式，我们可以用方程的解来解决问题。
在这个例子中，我们可以通过计算得到x的值，从而得出这个数是多少。
2. 代数方程的求解代数方程是小学数学中常见的代数问题类型之一。
在解决代数方程时，可以采用以下方法：- 首先，整理方程。
将方程中的项按照同类项进行整理，使得同类项在一起，从而更容易进行计算。
例如，对于方程“2x + 3 = 7”，我们可以将方程整理为“2x = 7 - 3”。
- 其次，消去未知数的系数。
将方程中的未知数系数通过运算规则逐步消去，从而只剩下未知数。
在上述例子中，我们可以通过除以2将方程变为“x = (7 - 3) / 2”。
- 最后，计算未知数的值。
根据方程计算出未知数的值，并验证是否满足原方程。
在这个例子中，计算得到x的值为2，然后将2代入原方程进行验证。
3. 代数方程组的求解代数方程组是由多个代数方程组成的问题类型。
解决代数方程组时，可以采用以下策略：- 首先，将方程组中的每个方程按照同类项进行整理，使得同类项在一起，从而更容易进行计算。
数值方程组求解方法
数值方程组求解方法数值方程组是指一组包含多个方程的方程组，其中未知数为向量或者矩阵。
求解数值方程组是数学和工程等领域的关键问题之一，有着广泛的应用。
本文将介绍几种常用的数值方程组求解方法。
一、直接法直接法是指通过一系列数学变换和运算，将原始的数值方程组转化为简化形式，进而得到其解的方法。
其中最经典的直接法是高斯消元法。
以下是高斯消元法的基本步骤：1. 将方程组写成增广矩阵形式。
2. 利用初等行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵。
3. 从最后一行开始，依次回代求解各个未知数。
高斯消元法的优点是简单易懂，适用于一般的线性方程组。
但对于大规模和稀疏矩阵来说，其计算量较大，效率较低。
二、迭代法迭代法是指通过不断迭代逼近方程组的解。
迭代法的核心思想是从一个初始猜测的解开始，利用迭代公式逐步改进，直到达到预设的精度要求。
以下是两种常见的迭代法：1. 雅可比迭代法：雅可比迭代法是最简单的迭代法之一。
它通过将方程组的每个未知数表示为其他未知数的函数，并通过迭代更新每个未知数的值，逐步逼近方程组的解。
2. 高斯-赛德尔迭代法：高斯-赛德尔迭代法在雅可比迭代法的基础上进行改进。
它与雅可比迭代法不同之处在于，在计算新的未知数时，利用前面已经计算出的新值而不是旧值。
迭代法的优点是适用范围广，可以解决很多类型的方程组。
但其收敛速度较慢，可能会出现振荡现象，并且需要事先确定迭代次数。
因此，选择适当的初始猜测解对迭代法的成功与否十分重要。
三、矩阵分解法矩阵分解法是将方程组的系数矩阵分解为几个简化的矩阵相乘形式，从而简化求解过程的方法。
以下是两种常用的矩阵分解法：1. LU分解法：LU分解法将系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积形式。
通过LU分解，可以将原始的方程组转化为两个简化的方程组，进而求解出方程组的解。
2. Cholesky分解法：Cholesky分解法是用于解对称正定方程组的一种分解方法。
它将系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和其转置的乘积形式。
数学解方程的基本技巧
数学解方程的基本技巧解方程是数学中常见的计算方法之一，它是研究数学问题和解决实际问题的重要工具。
掌握解方程的基本技巧对于我们的数学学习和应用都具有重要意义。
本文将介绍解方程的基本技巧，帮助读者提升解方程的能力。
一、一元一次方程的解法一元一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a和b都是已知的常数，x为未知数。
解一元一次方程的基本思路是通过逆运算消去常数项，并求得未知数的值。
以下是解一元一次方程的步骤：1. 如果方程中存在合并项，则将合并项化简；2. 将常数项移到方程的另一侧，使方程变为ax = -b的形式；3. 通过除以系数a，消去x前的系数，并得到x的值。
二、一元二次方程的解法一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b和c都是已知的常数，x为未知数。
解一元二次方程的基本思路是利用配方法、因式分解、求根公式等方法求解方程。
以下是解一元二次方程的步骤：1. 将方程化为标准形式，即将方程移项并合并同类项；2. 利用配方法将方程化简成一个完全平方；3. 如果方程可以因式分解，则利用因式分解求解；4. 如果方程不能因式分解，可以利用求根公式求解。
三、方程组的解法方程组是包含多个方程的一组方程，其中每个方程的未知数相同。
解方程组的基本思路是通过联立方程，消去未知数的系数，从而得到未知数的值。
以下是解方程组的步骤：1. 对方程组进行整理，使得未知数的系数对齐；2. 选择一个方程，并通过消元的方法，将其他方程的未知数消去；3. 重复步骤2，直到最后剩下一个无关方程；4. 解出最后一个无关方程，得到一个未知数的值；5. 将该未知数的值代入其他方程，求解其他未知数的值。
四、绝对值方程的解法绝对值方程是形如|ax + b| = c的方程，其中a、b和c都是已知的常数，x为未知数。
解绝对值方程的基本思路是根据绝对值的定义，将方程拆分成正负两种情况，从而得到一个或多个解。
以下是解绝对值方程的步骤：1. 如果方程中只含有一个绝对值，则将方程拆分成正负两个方程，每个方程中的绝对值去掉；2. 如果方程中含有两个绝对值，则将方程拆分成四个方程，分别取正负号，并且绝对值去掉；3. 求解每个拆分后的方程，得到所有可能的解。
求解整数线性规划问题的一种新算法
[收稿日期]20061020 [基金项目]国家自然科学基金项目(70371032);高等学校博士学科与专项科研基础项目(20020486035)。
[作者简介]燕子宗(1964),男,1984年大学毕业,博士,副教授,现主要从事最优化理论方面的教学与研究工作。
求解整数线性规划问题的一种新算法 燕子宗 (长江大学信息与数学学院,湖北荆州434023)[摘要]提出了一种求解整数线性规划问题的新方法。
利用流动等值面技术的原单纯形方法,从初始整数可行解出发,逐步寻找下一个更好的整数可行解,直到找到原问题的最优解,必要时通过G omory 割平面来寻找整数可行解。
该方法不但保留了原割平面法保持整数可行解的特点,而且继承了对偶割平面法灵活利用割平面的优点。
[关键词]整数线性规划;G omory 割平面技术;线性规划;流动等值面;对偶间隙[中图分类号]O22112[文献标识码]A [文章编号]16731409(2007)01N00504割平面算法以及结合分支定界技术的分支割算法,目前已经变成求解(混合)整数线性规划问题的非常有用的工具[1～3]。
事实上,这些算法绝大部分都是通过引入对偶割平面,逐步压缩原问题的相应松弛线性规划问题的可行域,然后利用对偶单纯形算法求得问题的整数最优解,必要时通过分支定界技术加快收敛速度,这些方法本质上都是以G o mory 的割平面法为基础的[4]。
笔者讨论求解整数线性规划问题: max c T x s 1t 1A x =b x ∈Z n +(1)式中,c ∈Z n ,A ∈Z m ×n 和b ∈Z m 是已知的参数;Z n +代表n 维非负整数集合。
对应的松弛线性规划问题为: max c T x s 1t 1A x =b x ≥0(2)借助对偶单纯形算法的割平面技术在求解整数线性规划问题方面取得巨大成功,但该方法的处理策略也是有明显缺点的。
它必须要在求得相应松弛问题的最优解后,通过割平面压缩其可行域后逐步求得原问题的整数最优解。
整数规划的两种数学模型解法
规划模型求解指导老师：组员：组员分工实际的内容：1·简要介绍线性规划的历史线性规划是运筹学中最基本、应用最广泛的分支。
规划模型是一类有着广泛应用的确定性的系统优化模型，1939年，苏联数学家康托洛维奇出版《生产组织和计划中的数学方法》一书.1947年，美国数学家丹兹格提出了线性规划问题的单纯形求解方法.1951年，美国经济学家库普曼斯（J.C.Koopmans,1910—1985）出版《生产与配置的活动分析》一书.1950～1956年，线性规划的对偶理论出现.1960年，丹兹格与沃尔夫（P.Wolfe）建立大规模线性规划问题的分解算法.1975年，康托洛维奇与库普曼斯因“最优资源配置理论的贡献”荣获诺贝尔经济学奖.1978年，苏联数学家哈奇扬（L.G.Khachian）提出求解线性规划问题的多项式时间算法（内点算法），具有重要理论意义.1984年，在美国贝尔实验室工作的印度裔数学家卡玛卡（N.Karmarkar）提出可以有效求解实际线性规划问题的多项式时间算法——Karmarkar算法.线性规划的基本点就是在满足一定约束条件下，使预定的目标达到最优. 现在线性规划已不仅仅是一种数学理论和方法，而且成了现代化管理的重要手段，是帮助管理者与经营者做出科学决策的一个有效的数学技术.历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看 函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念 对数学发展，数学学习的巨大作用。
2·线性规划的原理：线性规划是合理利用、调配资源的一种应用数学方法。
它的基本思路就是在满足一定的约束条件下，使预定的目标达到最优。
它的研究内容可归纳为两个方面：一是系统的任务已定，如何合理筹划，精细安排，用最少的资源(人力、物力和财力)去实现这个任务；二是资源的数量已定，如何合理利用、调配，使任务完成的最多。
基于整数规划的选课模型求解方法
基于整数规划的选课模型求解方法符祖峰，王海英【摘要】对文献［1］中的选课策略模型，利用计算机软件MATLAB编写运算程序，获得了模型的多组最优解。
与该模型的已有算法相比，简化了运算步骤，提高了运算速度。
【期刊名称】贵阳学院学报（自然科学版）【年(卷),期】2014(009)003【总页数】4【关键词】MATLAB选课模型；整数规划；最优解选课是大学学习的一个非常重要的组成部分。
如何合理地选课，不但是学生最优限度地学习知识和顺利完成学业的必要条件，而且可避免学校资源的浪费。
文献［1］提出了一个选课问题：某高校关于选修课，对运筹学专业的学生作了如下相关规定，即学生毕业时必须至少学过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课。
这些课程的编号、名称、学分、所属类别和课程之间的相应信息如表1所示。
那么，问题一：为了选修课程门数最少，应学习哪些课程？问题二：在选修课程门数最少的前提下，使学分尽量多，应学习哪些课程？问题三：既希望选修课程数少，又希望所获得的学分数尽可能多，如学分数和课程数三七开，应学习哪些课程？针对问题一，文献［1］建立了选课策略模型，具体如下：其中χi表示按编号顺序的9门课程，并借助LINGO软件对建立的模型进行求解，得到了一组最优解χ1＝χ2＝χ3＝χ6＝χ7＝χ9＝1，但模型的最优解并不唯一，从而在一定程度上限制了学生的选课策略。
关于选课模型的求解，人们已经做了一些研究［1-7］，提出了多种可行的算法，例如文献［2］采用0／1编码的克隆选择算法，对选课策略模型进行仿真，获得了多组最优解；文献［3］通过VB编程及对变量的约束进行隐式枚举的方法获得选课模型的多组最优解；文献［4］通过LINDO编程及对变量的约束进行隐式枚举的方法获得模型的多组最优解。
我们在文献［1-7］的基础上，应用MATLAB软件编程求解文献［1］中所建立的选课策略模型，不但获得了多组最优解决方案，同时简化了运算步骤，提高了运算速度。
方程思想方法总结
方程思想方法总结方程是数学中重要的概念，它描述了一个或多个未知量与常数之间的关系。
方程的思想方法是解决方程问题的一种途径，可以帮助我们找到方程的根或解。
在解决方程问题时，我们可以采用多种方法，例如代入法、消元法、配方法等。
下面我将总结这些方法并进行详细介绍。
第一种思想方法是代入法。
这种方法常用于一元方程的求解中，主要步骤包括将已知的某个值代入方程中，然后求解这个方程。
例如，对于方程x + 3 = 5，我们可以将x取为2，代入方程中得到2+3=5，验证结果正确。
代入法简单直观，适用于一些简单的方程求解，但对于一些复杂的方程，可能需要进行多次尝试才能找到正确的解。
第二种思想方法是消元法。
这种方法常用于解决多元方程组的问题。
消元法的基本思想是通过逐步消除未知量，从而简化方程组，最终得到求解方程组的解。
消元法通常有两种形式：减法消元法和代入消元法。
减法消元法是通过连续相减将两个方程的某个未知量消除，从而得到新的方程组。
代入消元法是在一个方程中求出某个未知量的表达式，然后将该表达式代入另一方程，从而得到新的方程组。
这两种消元法在不同情况下都能起到有效的作用，需要根据具体问题选择使用。
第三种思想方法是配方法。
配方法是一种通过变换方程形式以便于求解的方法。
配方法常用于解决一些特殊类型的方程，例如二次方程、三角方程等。
常见的配方法有配方法、配方法、倍角公式等。
配方法的基本思想是通过变换方程形式，将原方程变为一些已知的方程形式，然后进行求解。
例如，对于二次方程x^2-6x+8=0，可以通过配方将其变为(x-4)(x-2)=0，从而得到x的两个解为4和2。
配方法在解决某些特殊方程时非常有效，但在应用时需要对所给方程具有一定的了解。
除了以上三种思想方法，还有其他一些方程求解的思想方法。
例如，因式分解法、公式法等。
因式分解法是将方程的左边和右边都变为多项式的乘积形式，从而找到方程的解。
公式法是通过应用已知的数学公式，将方程变为已知公式的形式，从而求解方程。
整数线性规划问题解法探究
2005年第4期No.4.2005 湖州职业技术学院学报Jour nal of Huzhou Vocational and Technological College 2005年12月Dec.2005整数线性规划问题解法探究3张天鹤(无锡商业职业技术学院基础部,无锡214063)摘要:整数线性规划是线性规划问题的重要组成部分,由于整数线性规划问题还没有找到一种有效的解法,目前只能求解中小规模的整数线性规划问题,而建立在线性规划理论基础上的整数解集筛选法是求解整数线性规划问题的一种比较简洁而有效的方法。
关键词:整数线性规划;松弛问题;整数点;整数解集筛选法中图分类号:O221.1文献标识码:A文章编号:16722388(2005)007403 On Solutions to Integer Linear ProgrammingZHAN G Tian2he(Wuxi Vocational Institute of Commercial Technology,Wuxi214063,China)Abstract:Integer liner programming is an important part of linear programming.As no effective solution to integer linear programming has been found,we only can solve such medium scale or small scale problems.Integral solutions set screening,which is based on Linear Pro2 gramming Theory,is a more convenient and effective solution to such problems.K ey w ords:integer linear programming;relaxation;integer point;integral solution set screening1引言整数线性规划是线性规划问题的重要组成部分,自1947年美国数学家G.B.Dantziy提出线性规划问题的单纯形方法以来,线性规划理论获得了迅速发展。
几何方程与方程组的解法与应用
几何方程与方程组的解法与应用一、几何方程1.定义：几何方程是含有几何图形性质的方程，通常涉及长度、面积、体积等几何量。
2.基本类型：(1)直角三角形中的勾股定理：a² + b² = c²(2)圆的方程：x² + y² = r²(3)相似三角形：若两个三角形对应边的比例相等，则这两个三角形相似。
(4)直接法：直接根据几何方程的性质，找出未知数的值。
(5)代换法：将几何图形中的某个参数用另一个参数表示，从而简化方程。
(6)转换法：将几何问题转换为代数问题，利用代数方法求解。
3.定义：方程组是由多个方程组成的求解问题，通常涉及多个未知数。
4.基本类型：(1)二元一次方程组：含有两个未知数的一次方程组。
(2)三元一次方程组：含有三个未知数的一次方程组。
(3)二次方程组：未知数的最高次数为二的方程组。
(4)代入法：将一个方程的未知数用另一个方程的未知数表示，从而简化方程组。
(5)消元法：通过加减乘除运算，消去方程组中的一个或多个未知数。
(6)矩阵法：利用矩阵求解方程组，适用于多元方程组。
三、几何方程与方程组的应用1.几何问题求解：利用几何方程与方程组求解实际问题，如计算三角形面积、求解几何图形的边长等。
2.实际生活中的应用：如测量土地面积、计算建筑设计中的各种参数等。
3.数学竞赛与研究：几何方程与方程组在数学竞赛和研究中具有广泛的应用。
四、注意事项1.掌握几何方程与方程组的基本概念和性质。
2.熟悉各种解法，并能灵活运用。
3.培养解决实际问题的能力，将几何方程与方程组应用于实际生活中。
4.注重数学思维的培养，提高逻辑推理和运算能力。
习题及方法：1.习题：已知直角三角形的两条直角边长分别为3m和4m，求斜边长。
答案：根据勾股定理，斜边长= √(3² + 4²) = 5m解题思路：直接运用勾股定理，求出斜边长。
2.习题：一个圆的半径为r，求该圆的面积。
方程的数学实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过对方程进行数学实验，加深对一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组等方程的理解，提高解决实际问题的能力。
二、实验内容1. 一元一次方程（1）实验步骤：①随机生成一组一元一次方程；②利用公式法或代入法求解方程；③验证解的正确性。
（2）实验结果：实验过程中，随机生成了10组一元一次方程，其中5组采用公式法求解，5组采用代入法求解。
经过验证，所有方程的解均正确。
2. 一元二次方程（1）实验步骤：①随机生成一组一元二次方程；②利用配方法、公式法或因式分解法求解方程；③验证解的正确性。
（2）实验结果：实验过程中，随机生成了10组一元二次方程，其中4组采用配方法求解，3组采用公式法求解，3组采用因式分解法求解。
经过验证，所有方程的解均正确。
3. 二元一次方程组（1）实验步骤：①随机生成一组二元一次方程组；②利用代入法、消元法或矩阵法求解方程组；③验证解的正确性。
（2）实验结果：实验过程中，随机生成了10组二元一次方程组，其中5组采用代入法求解，3组采用消元法求解，2组采用矩阵法求解。
经过验证，所有方程组的解均正确。
三、实验总结1. 通过本次实验，我们对一元一次方程、一元二次方程和二元一次方程组有了更深入的理解，掌握了解题方法。
2. 实验结果表明，采用不同的方法求解方程，可以得到相同的解。
在实际应用中，可以根据方程的特点选择合适的求解方法。
3. 在实验过程中，我们发现了一些规律：（1）一元一次方程的解为实数；（2）一元二次方程的解可能为实数或复数；（3）二元一次方程组的解可能为唯一解、无解或无数解。
四、实验拓展1. 对不同类型的方程，尝试使用计算机编程进行求解，提高实验效率。
2. 研究方程在实际问题中的应用，如经济、工程等领域。
3. 探讨方程在数学建模中的应用，提高解决实际问题的能力。
五、实验反思本次实验过程中，我们对方程的求解方法进行了深入研究，取得了一定的成果。
但在实验过程中，也存在一些不足之处：1. 实验数据量较小，可能无法全面反映各种方程的求解规律。
用讨论的方法求出整数解
用讨论的方法求出整数解
用讨论的方法求出整数解是一种有利的方法，它能帮助我们找出
数学问题的精确整数解。
在处理这些数学问题时，能都采用讨论法十
分有必要。
讨论法可以从几个方面来解决整数解问题，例如：
第一，利用排序和筛选来发现可能的解决方案。
通过将相关数据
排序和筛选，可以省去大量的时间和精力，也可以避免枯燥的搜索和
试探过程。
第二，可以运用相关的数学公式和方程来求解整数解。
在数学公
式中，我们可以使用乘法、除法或幂运算来求整数解。
第三，可以尝试使用对偶算法来求取整数解。
使用对偶算法，我
们可以将复杂的数学问题转换为简单的组合问题，进而求出整数解。
此外，还可以尝试使用动态规划来解决整数解。
动态规划可以通
过将大问题分解为小问题，运用递归、迭代等策略来求解和优化问题，有效地解决复杂整数解问题。
总之，讨论法是一种有效的求解整数解的方法，能够有效地避免
搜索和试探的过程，可以大大节省精力。
在实际应用中，应根据问题
的实际情况选择合适的讨论方法，以便有效地求取出整数解。
【CN110069747A】基于整数线性规划的本体逻辑矛盾处理方法【专利】
(19)中华人民共和国国家知识产权局(12)发明专利申请(10)申请公布号 (43)申请公布日 (21)申请号 201910280411.3(22)申请日 2019.04.09(71)申请人 南京邮电大学地址 210003 江苏省南京市新模范马路66号(72)发明人 季秋 漆桂林 依曼 (74)专利代理机构 南京纵横知识产权代理有限公司 32224代理人 董建林(51)Int.Cl.G06F 17/15(2006.01)G06F 16/36(2019.01)(54)发明名称基于整数线性规划的本体逻辑矛盾处理方法(57)摘要本发明公开一种基于整数线性规划(Integer Linear Programming ,ILP)解决本体中逻辑矛盾的方法，给出了解决逻辑矛盾的ILP 模型，即通过将给定的冲突集合转变为ILP表示，进而使用传统的ILP求解器获取最佳解决方案。
每个方案对应一个公理集合，从本体中移除一个这样的集合，便可解决给定的冲突。
本发明首次提出一个计算基数最小解决方案的算法，使得删除的公理尽可能少，还提出保留尽可能多权重信息的算法。
本发明提出的基于ILP解决冲突的方法是一个通用的逻辑矛盾处理方法，不仅可以用于修复单个本体和本体映射，还可以用于做本体修正或本体演化。
本发明通过丰富的实验，说明了提出的算法具有非常高的效率，并且删除的公理具有基数最小或权重和最小的性质。
权利要求书1页 说明书8页 附图2页CN 110069747 A 2019.07.30C N 110069747A权 利 要 求 书1/1页CN 110069747 A1.基于整数线性规划的本体逻辑矛盾处理方法，其特征在于，包括以下步骤：步骤1、给出本体的来源；步骤2、通过本体调试工具计算冲突，并对每个不可满足概念的冲突计算设置时间阈值；步骤3、根据实际应用构建目标函数，以及根据每个冲突构建约束；步骤4、调用已有的整数线性规划求解器进行求解，将得到的第一个变量指派作为输出；步骤5、根据求解器返回的变量指派构建最终的解决方案，从本体中删除该方案中的公理便可以解决给定的逻辑矛盾。
数学建模应用中整数线性规划问题的常用解法初探
［摘要］在数学建模应用中，整数线性规划问题是一种常见的运筹学问题，其常用的解法有分支定界法、割平面法、蒙特卡罗法等。
试图从数学建模实践的角度，淡化理论证明，仅对这几种典型方法的原理、优缺点、应用范围等作一个简要的分析比较，以供读者在实际的数学建模过程中灵活应用。
［关键词］整数线性规划；分支定界法；割平面法；蒙特卡罗法［中图分类号］O151.2［文献标志码］A［文章编号］2096-0603（2021）07-0178-02数学建模应用中整数线性规划问题的常用解法初探①徐晓辉（阳江职业技术学院数学系，广东阳江529566）一、整数线性规划问题规划问题是运筹学的一个重要分支，从表达形式上看，可以分为线性规划（linear programming ，LP ）和非线性规划（non-linear programming ，NLP ）；从变量的可行域要求来看，也可以分为整数规划（integer programming ，IP ）和非整数规划（non -integer programming ，NIP ），若既有表达式上的线性特征，又有变量的取整要求，这样的规划问题我们一般称之为整数线性规划（integerlinear programming ，ILP ）问题[1]。
整数线性规划问题的传统解法是先求解与之对应的松弛问题（即先不考虑变量的整数约束而形成的新的线性规划问题），若刚好得到整数解，则求解过程结束；否则，再通过适当方法（切割平面或分支定界）生成一个或多个新的松弛问题（最初松弛问题加上新的切割或分支条件），重复以上步骤直至求得最优解。
一般而言，整数线性规划问题的求解难度要比普通线性规划问题大，其根本原因在于自变量取值增加了离散特性，但在工程上，离散特性恰好可以被计算机利用。
蒙特卡罗算法是一类随机方法的统称。
这类方法的基本思路是，可以通过随机采样进行计算而得到近似结果，随着采样的增多，得到正确结果的概率将逐渐加大，经过一定的步骤之后，就会尽可能趋近最佳结果。
整数一次不定方程组的矩阵解法与程序设计
整数一次不定方程组的矩阵解法与程序设计
晏林
【期刊名称】《西南交通大学学报》
【年(卷),期】2004(039)003
【摘要】用欧几里德算法和整数环上的可逆线性变换,从理论上对整数一次不定方程组的解进行了深入研究,提出了用矩阵的初等变换求解整数一次不定方程组的矩阵解法,并利用MATLAB数学软件开发了相应的计算机程序.
【总页数】5页(P403-407)
【作者】晏林
【作者单位】文山师范高等专科学校数学系,云南,文山,663000
【正文语种】中文
【中图分类】O122.1
【相关文献】
1.高斯整环上一次不定方程组的矩阵解法与程序设计 [J], 晏林
2.高斯整环上一次不定方程的矩阵解法与程序设计 [J], 晏林
3.整数多元一次不定方程的矩阵解法与程序设计 [J], 晏林
4.多项式环上一次不定方程组的矩阵解法与程序设计 [J], 晏林
5.多项式环上一次不定方程的矩阵解法与程序设计 [J], 晏林
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0_1整数线性规划的一种组合直接搜寻法
显然有 &-)!&$)+.$-"$( -( $’!(%( … (%&， 且 "&-)+&)。于 %#( 个分量取 " 的向量集合 $(’!(%( … (%& ，
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是， 从 (’" 开始， 依次在 &) 的每个子集中搜寻 $-.& 的相对局部最优点。根据对 "#! 线性规划 （-. ） 所作的假设， 当 (’! ， 可以通过表 ! 直接计算判 &") 中的唯一向量 #’$"("( … ("& 不是可行解； 断中 &,) 的$-.&相对局部最优点。首先， 设 /$ ’ 0-% */-$ +$ $’!(%(… (%& ， 对满足 /$ $" 所在行， 从左
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寻优计算过程终止， 比较前面获得的各个子集的局部最优值， 其中最小的值就是 $-.& 的最优值
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即 30’ 0-% *36$4&,36$4 存在 +， 与 30 相应的解 #0 为 （-. ） 的最优解； 如果 30$(#!&$ 30，
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表3 初始计算表
显然， 则由上表， 只有变量 )< 所在的列满 !) 中的唯一向量 )#%.+.+ … +.& 不是 %)*& 的可行解； 足判别式： 故 %)*& 在 !" 中的相对局部最优解及最优目标值为： )!4),#)3#)74 !< # %&# $,&< --&(".，
求不定方程整数解的方法浅析
求不定方程整数解的方法浅析摘要:第一章：引言所谓不定方程，是指未知数的个数多于独立方程式的个数的方程或方程组.因此，要求一个不定方程的全部的解抑或是其全部整数解都是相当困难的，有时甚至是不可能的或不现实的.然而，在现实生活中，特别是一些具体的生活实例中，它的应用又是非常的广泛的；另外，不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分体现，每年世界各地的数学竞赛中，不定方程问题都占有一席之地；它也是培养和考查学生数学思维的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求选手对初等数论的一般理论、方法要有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决相关问题.数千年来，不定方程问题一直是一些数学家甚至草根阶级的数学爱好者研究的热点问题，仿佛它是一块资源丰富的土地，每个人都能有希望在这占有自己的一席之地.也正是由于它具有这样一个特点，不定方程的类型，以及解各类不定方程的各种方法层出不穷，求解各类不定方程也几乎毫无固定章法可循，而本文，只针对于不定方程整数解问题做一个初步的探索，归纳提炼出一些解这类题的常规方法和技巧，对解不定方程具有一定的指导意义；并且着重针对中学数学竞赛中的不定方程整数解问题进行分析，研究其方法，思想，具有一定的教学意义；另外，还根据自己的积累，总结，发掘出一些新的方法，技巧，具有创新和学习的意义.第二章：解决某些不规则类不定方程的常规思想方法1、不等式分析法其一般操作步骤：想办法通过构造不等式求出其中某个（某些）变量的范围；根据该变量的范围求出该变量的整数解；分情况讨论该变量分别取某个整数解时其他变量的取值.常见的构造不等式的技巧：注意题中的隐含条件，常见的如：1）若给出的是对称形式的不定方程，解题是可增加一个“不妨设x _ y _ z _上”的条件.2）若题目要求是正整数解，则有“ x_1,y_1,z_1,上”若要求是相异的正整数，则有“ x_1,y _2,z_3,上” 利用基本不等式求变元范围，常见的如“x • y 2 _4xy ”分离变量：可将某个变量分离出来，并通过该变量的范围求其他变量的范围.④可利用二次方程有整数解的条件，即“也＞0 ”，或更强点的“，为完全平方数”.常规应用：一般在某些对称式中能用到此方法进行放缩估值；在具体的限制某个（或某些）变量的范围时，可分离变量利用此方法对其他变量进行估值；对于方程“ UX2 vx w=O （其中u,v,w是常数或者是含其他变量的式子）”可利用关于x的方程有整数根的条件，即“厶_ 0 ”,或更强点的“厶为完全平方数”对其他变量进行估值；④具体能通过变形转化为关于某些整体的表达式，再利用常规不等式进行估值，比如”转化为关于x+y与xy的表达式，用（x +y 律4xy等“例1求不定方程（x + yf=x3+y3的正整数解.解：方法1：由于此不定方程是对称的，这里不妨设x_y_1，则x3+ y3 =（x + y j M（2x 予二x2（4-x）Ky3y3二 4 - x K —> 0x:、x = 1,2,3.1）当x=1 时,1 乞y 乞x2（4 一x） = 1y= 1经检验：x, y = 1,1不满足方程；2）当x=2 时，1空y x2（4 — x） = 2y = 1,2.经检验：x,y二2,1满足方程，2"二2,2满足方程；1 < x2(4 — x) =3y = 1,2,3.经检验：X, y二3,1不满足方程，x, y i=】3,2不满足方程，x, y = 3,3不满足方程；二综上所述：取消不妨设，由对称性知：不定方程的正整数解为(x, y )= (2,1)，1,2 )，2,2 ). 方法2：已知方程化为(x+ y)2 =(x + y Xx2-xy+y2)◎ x 0, y 0, x y = x2- xy y2令x t，贝St = x2 _ xy + y2 = (x + y )2 - 3xy (即t2 _ 3xy = t)t2-1二xy = -------- .3即「x + y = t< (t启2且为整数)t2 -1 1 “丄八I xy = --------- = —t(t -1)3 3利用不等式：(x+yf兰4xy 贝y：21t- 4 11 - 11)当t=2时,3- 2 4, 又t为工2的正整数.2 ,3 ,4 .1)当t=2时,r x 十y = 22l xy = _3此方程无正整数解;2) 当t=3时，「x + y = 3〔xy=2* 1 *2!=> \ {[y=2 , [ y=13) 当t=4时，I x y = 4xy = 4『x = 2.y = 2 .二综上所述：不定方程的正整数解为x,y二2,1 ,1,2 ,2,2 .例2:求不定方程yx2-6yx • 2x • 9y-1 = 0的整数解.解：方法1：已知方程可化为:yx2-2(3y-1)x 9y-1 =0,则此方程可看成关于x的一元二次方程有整数解的情况=4 (1-5y)/. : =4(3y T)2-4y(9y T)ii）若x 0,由X为整数则有X—1,则（*）式化为:ii ）若x 0,由X 为整数则有X —1,则（*）式化为:则飞必是一个完全平方数，这里不妨设: 令（1-5k ） = m 2（m _ 2且m N ） 2 • i 1 -m ..k = 5 5 m 1c 5 L X 2 = 3 + ------ m-1 故方程要有整数根，当且仅当m T = 5或m —1=1,5 经检验：m =4或m =6符合题意 14 当 m=4 时，捲=2 , X 2 工一 ,y - -3 3 当 m=6 时，捲=弓,X 2=4 , y--7 •••综上所述：原方程的整数解为（x, y ） =（2,一3）,（4,一7）方法2：i ）若x 乞0, 则有: 1-2x _ x 2 -6x 9 (x-2)2r0 无解(x-4)16 由求根公式：「X i =3 已知方程化为: y(x —3)2 =1 —2x 分离y ： 1 -2x y =(^37 事实上当y=0时，x=!,不合题意，则有: 2 y -1，即上卑-1 （x -3） • 1 -2x (*)/. x = 2 ,4,5 ,6.当x=2时，y=-3；当x=4时，y=-7；当x =5时，5不合题意舍去；当x=6时，11y 二不合题意舍去;•••综上所述：原方程的整数解为（x,y） =（2,一3）,（4,一7）2、同余分析法其一般操作步骤：方程两边同时取特殊数的模，消去部分未知数，将等式化为同余式；由同余式来估计剩下未知数的取值范围（或特征），从而达到解不定方程的目的.注意：实现这一过程的关键在于取什么数作为模，这需要较强的观察力！常规的取模原则：能消去某些未知数时，取它的系数（或底数）作模；由费马小定理有“ x3二x（mod 3）”频率较高者有模3,模4,模8.常规应用：事实上，同余理论在证明一个不定方程无整数解时有广泛而方便的应用；一般对于某些指数不定方程，或某些系数较大的方程应用 同余理论能起到一个很好的简化作用；具体的：它能解决“ Ax+By 二C"型整数解问题.例1:求不定方程7x+19y=213的正整数解.解：方程两边同时mod7得：-2y 三 3(mod 7)两边同时乘以3： -6y = 2(mod7)二 y 三 2(mod 7)7k 2, 代入原方程得：7x 19(7k 2) = 213/. x = 25 - 19ky = 7k 2,■- x=25-19k（其中k 为整数） 令 x>0,y>0,得 7k 2 0,25-19k 0 ,-2* 25719••• k=0 ,1.•••方程的正整数解为x,y二25,2 , 6,9.例2：证明：4 4 4X1 X2 X1厂无整数解.1599(*) 证明：1599 =1600-1 三-1 三15(mod16)设x1,x2,x3^ ,x14是方程的整数解，1)若X i=2n，贝y x：=!6n4=0(mod16),2)若X j=2 n 1，贝S X i 三1(mod8)，故x：=8k • 1 , 从而x4 (8k 1)2=64k216k 1 三1(mod16),二X；+x：+A +x；4'1( mod16)与(* )式矛盾该方程无整数解.例3：求不定方程12X-5^7的全部正整数解.解：i)若12X-5、7，则方程两边模4得：1 = 3( mod 4)，矛盾；ii)若12X-5—7，则方程两边模3,得:-(-1)二1( mod 3),二y为奇数若x>1,方程两边模8得：-5y三-1( mod 8)即5y- 1( mod8)，又52三1(mod8)二2y，这与y为奇数矛盾二x = 1，从而y = 1综上所述：原方程有唯一的整数解x,^ 1,1 .3、约数倍数分析法：此方法经常结合整除理论，是解决不定方程整数解十分有效的方法，在数学竞赛中也是出现频率高，实用性强的一类方法常规的次方法分为两类:因式分解法：1）将含未知数的代数式置于方程一边作因式分解；2）将方程另一边化为常数，并对其做质因数分解；3）考虑各因数的取值，分解成若干方程（组）来求解. 分离未知量法：1）将方程的某个（或某些）未知量分离出来，目的是将其他未知量转化到某个常数的分母位置；2）将处于分子位置的常数作质因数分解；3）考虑分母的取值，分解成若干方程（组）来求解部分未知量.常规应用：多半是解决某些能进行因式分解（或部分因式分解）的整数不定方程问题，并且，有时要求学生因式分解功底十分扎实；具体的：它能解决“ Axy Bx Cy ^0 （A = 0）”型不定方程.例1：一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的旅客人数相等，起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上，已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少俩汽车？有多少个旅客？解：设起初有m俩汽车；开走一辆后，平均每辆汽车的人数为n根据人数相等可列方程:22m 1 = (m _1) n (m _ 2, n _32)；整理为：mn-n-22m-1=0 (m _ 2, n 乞32)；分析：属于类型Axy Bx Cy ^0 (A = 0)思路一(部分因式分解)：Axy Bx Cy D = 0 (A = 0)B C D 门xy x y 0A A ABC(xA7(Ax C)(Ay B) =BC _ AD这就化成了例1 :求不定方程2 x y = xy 7的整数解解：分离变量:x4=2y 一2° x,y为整数二(y-2)3二此方程的解为 (-1,3 ), (5,1 ), (1,5 ), (3, -1 )。
求多元方程整数解的方法
合作协议书甲方：__________乙方：__________甲乙双方经友好协商，就甲方为乙方提供志愿服务事项达成如下协议：一、甲乙双方基本情况1. 甲方为一家具有合法资质的志愿者组织，致力于为老年人、残障人士等弱势群体提供志愿服务。
2. 乙方为一家依法成立的敬老院，主要从事老年人的收养、照料、康复等服务。
二、合作目的甲乙双方本着“关爱老人、共建和谐”的原则，通过甲方提供志愿服务，共同提升乙方敬老院的服务质量，为老年人创造一个温馨、舒适的生活环境。
三、合作内容1. 甲方定期组织志愿者到乙方敬老院开展志愿服务活动，为老年人提供生活照料、心理关爱、文化娱乐等方面的服务。
2. 甲方协助乙方开展敬老院内的各类活动，如庆祝节日、举办生日会、开展健身活动等，丰富老年人的精神文化生活。
3. 甲方为乙方提供志愿者培训服务，提高乙方工作人员的服务水平，共同提升乙方敬老院的服务质量。
4. 甲方应乙方要求，协助乙方解决其他相关问题。
四、合作期限本协议自双方签字之日起生效，有效期为____年，自合作协议生效之日起计算。
合作期满后，如双方愿意继续合作，可续签。
五、违约责任1. 甲乙双方应严格按照本协议约定履行各自的权利和义务，如一方违约，应承担违约责任。
2. 甲乙双方应确保合作过程中的安全和顺利进行，如因一方原因导致合作中断，责任方应承担相应责任。
六、争议解决1. 甲乙双方在履行本协议过程中发生的争议，应首先通过友好协商解决。
2. 如协商无果，甲乙双方可向有管辖权的人民法院提起诉讼。
七、其他约定1. 本协议一式两份，甲乙双方各执一份。
2. 本协议未尽事宜，可由甲乙双方另行签订补充协议。
甲方（盖章）：__________乙方（盖章）：__________签订日期：__________以上模板仅供参考，具体内容需根据双方实际情况进行调整。
在签订协议时，请务必仔细阅读条款，确保双方权益。
整数线性规划的求解
求解后状态窗口中与整数相关的三个域有了相关结果: 求解后状态窗口中与整数相关的三个域有了相关结果 “Best IP ：94”表示当前 表示当前 得到的最好的整数解的目 标函数值为94（ 标函数值为 （人）。 “IP Bound ：93.5” 表示 该整数规划目标值的下界 为93.5 （人）。 “Branches ：1”表示分 表示分 枝数为1（即在第1个分枝 枝数为 （即在第 个分枝 中就找到了最优解）。 中就找到了最优解）。
我们前面说过， 求解IP 我们前面说过，LINDO求解 求解 用的是分枝定界法。 用的是分枝定界法。 显然，上面第二条“整数规划目标值的下界为 显然，上面第二条“整数规划目标值的下界为93.5 （人）”表明至少要 聘用93.5名员工，由于员工人数只能是整数，所以至少要聘用 （人）。 名员工， 聘用 名员工 由于员工人数只能是整数，所以至少要聘用94（ 而第一条说明目前得到的解就是聘用94（ ），所以已经是最优的了 所以已经是最优的了。 而第一条说明目前得到的解就是聘用 （人），所以已经是最优的了。
TWIN= -93.50
1 PIVOT
18
18
AT BRANCH
BOUND ON OPTIMUM: 93.50000 DELETE X2 AT LEVEL 1 ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 1 PIVOTS= LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND RE-INSTALLING BEST SOLUTION...