九下3.7切线的相关定理
北师大版九年级数学下册：3.7《切线长定理》教学设计
北师大版九年级数学下册：3.7《切线长定理》教学设计一. 教材分析《切线长定理》是北师大版九年级数学下册第3章第7节的内容。
本节课主要介绍切线长定理及其应用。
切线长定理是初中数学中的一个重要定理，它涉及到圆的切线性质和几何图形的对称性。
在学习本节课时，学生需要掌握切线与圆的位置关系，以及如何运用切线长定理解决实际问题。
教材通过生动的例题和丰富的练习，帮助学生理解和掌握切线长定理，并能够灵活运用它解决相关问题。
二. 学情分析在学习本节课之前，学生已经掌握了相似三角形的性质、圆的性质等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力。
然而，对于部分学生来说，理解和运用切线长定理解决实际问题仍存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对性地进行辅导，帮助学生克服学习中的困难。
三. 教学目标1.理解切线长定理的含义，掌握切线长定理的证明过程。
2.能够运用切线长定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的空间想象力，提高学生的逻辑思维能力。
4.激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和合作精神。
四. 教学重难点1.重点：切线长定理的证明过程，切线长定理的应用。
2.难点：切线长定理的证明过程，以及如何运用切线长定理解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究切线长定理。
2.运用几何画板等教学软件，直观展示切线与圆的位置关系，帮助学生理解切线长定理。
3.通过例题讲解和练习，巩固学生对切线长定理的理解和运用。
4.鼓励学生相互讨论、交流，培养学生的合作精神和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关教学课件，包括切线与圆的位置关系示意图、切线长定理的证明过程等。
2.准备一些实际问题，用于巩固和拓展学生对切线长定理的应用。
3.准备几何画板等教学软件，用于直观展示切线与圆的位置关系。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用几何画板展示一个圆和一条切线，引导学生观察切线与圆的位置关系，提出问题：“切线与圆有什么特殊的性质？”让学生回顾已学过的知识，为新课的学习做好铺垫。
3.7北九数学下第三章圆第七节切线长定理
A D
O
F
例题1图
E
C
2015.01
• 变式1：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA,AB分 别相切于点 D，E，F，且AB=9cm,BC=14cm, CA=13cm,求AF,BD,CE的长。(知识技能2)
A F O E
B
D 第 2题
C
2015.01
随堂练习
已知O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm，过P 作O的两条切线，求这两条切线的长。
2015.01
2、由（6）得出定理：
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切 线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 .
A
O B
P
2015.01
证明：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切 线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 已知：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点。 求证：PA=PB，PO平分∠APB 证明：连接OA、OB ∵PA、PB是⊙O的切线 ∴∠PAO=∠PBO=90° 在Rt△POA和Rt△POB中 ∵OA=OB，OP=OP ∴Rt△POA ≌Rt△POB ∴PA=PB ,PO平分∠APB A
∴AB= AB BC 10 24 26
2 2 2 2
∵⊙O分别与AB，BC，CA相切于D,E,F ∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC， BE=BD， AF=AD，CE=CF 又∵∠C=90°∴四边形OECF为正方形 ∴EC=FC=r∴BE=24-r,AF=10-r ∴AB=BD+AD=BE+AF=34-2r=26 ∴r=4 即⊙O半径为4
切线是到圆心距离等于圆的半径的直线，
而切线长是线段的长度，指过圆外一点做圆的切 线，该点到切点的距离。
北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》说课稿1
北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》说课稿1一. 教材分析北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》是本节课的主要内容。
切线长定理是初中数学中的一个重要定理，它揭示了圆的切线与半径之间的关系。
在本节课中，学生将学习如何运用切线长定理解决实际问题，为后续学习圆的性质和几何问题打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了基本的代数和几何知识，具备一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。
但是，对于圆的切线性质和切线长定理的理解还需要进一步引导和培养。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习兴趣，激发他们的探究欲望，并通过实例演示和动手操作，让学生更好地理解切线长定理的应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解和掌握切线长定理，并能够运用切线长定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：学生通过观察、操作和思考，培养直观思维和推理能力。
3.情感态度与价值观目标：学生培养对数学的兴趣和自信心，培养合作意识和问题解决能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解和掌握切线长定理，并能够运用切线长定理解决实际问题。
2.教学难点：学生对于圆的切线性质和切线长定理的理解，以及如何运用切线长定理解决复杂问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何模型和黑板进行教学。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考圆的切线与半径之间的关系，激发学生的学习兴趣。
2.探究：学生分组讨论，观察和操作几何模型，发现切线长定理的规律。
3.讲解：教师引导学生总结切线长定理的定义和证明过程，并解释切线长定理的应用。
4.练习：学生独立完成一些练习题，巩固对切线长定理的理解和运用。
5.拓展：学生分组讨论，探索切线长定理在实际问题中的应用，并进行展示和交流。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出切线长定理的主要内容。
可以采用以下板书设计：切线长定理：1.定义：从圆外一点引出的切线与圆的半径垂直。
北师大版丨九下数学3.7切线长定理知识点精讲！
北师大版丨九下数学3.7切线长定理知识点精讲！
知识点总结
(一）切线的判定定理和性质定理
1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
（二）切线长定理
1.切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.注意：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.
2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
3.圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.
（三）三角形的内切圆
1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
注意：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
切线长的定义
1.切线长的定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长．
2.切线长与切线的区别在哪里？
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
几何语言:
切线的性质。
2024北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》教案
2024北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》教案一. 教材分析《切线长定理》是北师大版数学九年级下册第3.7节的内容，主要讲述了圆的切线与圆内的点到切线的距离之间的关系。
本节内容是在学生已经掌握了圆的基本概念、切线的定义以及点与圆的位置关系的基础上进行学习的，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对圆的概念和性质有一定的了解。
但是，对于圆的切线长定理的理解和运用还需要通过实例进行引导和巩固。
三. 教学目标1.理解切线长定理的内容，能够运用切线长定理解决实际问题。
2.培养学生的空间想象力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.培养学生的团队协作能力和语言表达能力。
四. 教学重难点1.切线长定理的证明和理解。
2.运用切线长定理解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究切线长定理。
2.运用多媒体课件，直观展示圆的切线和切线长定理。
3.采用小组讨论法，培养学生的团队协作能力和语言表达能力。
4.通过实例讲解，巩固学生对切线长定理的理解。
六. 教学准备1.多媒体课件。
2.圆规、直尺、彩色粉笔。
3.练习题和实例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一个圆和它的切线，引导学生回顾切线的定义。
然后提出问题：“圆内的点到切线的距离与切线有什么关系？”2.呈现（10分钟）利用多媒体课件呈现切线长定理的证明过程，引导学生直观地理解切线长定理。
同时，解释切线长定理的意义和应用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，运用切线长定理进行解答。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固对切线长定理的理解。
教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。
5.拓展（10分钟）提出一些与切线长定理相关的问题，引导学生进行思考和讨论。
例如：在圆中，到一个定点等距离的点的轨迹是什么？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容和收获，强调切线长定理的应用。
北师大版九年级数学下册：第三章 3.7《切线长定理》精品说课稿
北师大版九年级数学下册：第三章 3.7《切线长定理》精品说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章3.7《切线长定理》是本章的重要内容。
切线长定理是圆的性质定理之一，它揭示了圆上一点到圆外一点的切线长与该点到圆心的距离之间的关系。
这一定理在解决几何问题时具有广泛的应用，是学生进一步学习圆的性质和解决实际问题的关键。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了圆的基本概念和性质，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力。
但是，对于切线长定理的理解和应用，部分学生可能会感到抽象和难以理解。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和解答。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握切线长定理的内容，理解切线长、圆心角和圆周角之间的关系。
2.过程与方法：通过观察、实验、证明等方法，培养学生探究和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：切线长定理的内容及其应用。
2.教学难点：切线长定理的证明和灵活运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作探究法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入切线长定理的概念。
2.自主学习：学生阅读教材，了解切线长定理的内容。
3.小组讨论：学生分组讨论，探究切线长定理的证明方法。
4.教师讲解：讲解切线长定理的证明过程，引导学生理解定理的含义。
5.应用练习：学生进行课堂练习，巩固切线长定理的应用。
6.拓展提高：引导学生思考切线长定理在实际问题中的应用，进行拓展训练。
7.课堂小结：总结本节课的主要内容和收获。
七. 说板书设计板书设计如下：1.定义：圆上一点到圆外一点的切线长等于该点到圆心的距离。
2.证明：利用圆的性质和几何变换进行证明。
3.应用：解决实际问题，如圆的切割、角度计算等。
北师大版九年级下册数学3.7《切线长定理》教案
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“切线长定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《切线长定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要求点到圆上某点的距离的情况？”（例如，测量圆形花园中两点间的最短距离）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索切线长定理的奥秘。
-重点举例：
a.通过画图，让学生直观感受切线长定理，如从圆外一点引两条切线，观察两条切线长的关系。
b.结合教材例题，讲解如何利用切线长定理求解实际问题，如求解线段长度、角度等。
2.教学难点
-理解切线长定理的本质：学生需要从几何直观过渡到逻辑推理，理解切线长定理的本质，并能够运用定理解决相关问题。
-运用切线长定理解决复杂问题：在解决实际问题时，学生可能难以找到合适的切点，或者在面对复杂图形时不知道如何运用切线长定理。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解切线长定理的基本概念。切线长定理是指在圆外一点引两条切线，它们的切线长相等。这个定理在几何学中非常重要，可以帮助我们解决与圆相关的各种问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何利用切线长定理求解实际问题，以及它如何帮助我们找到点到圆上某点的最短距离。
3.7 切线长定理+课件+2023—2024学年北师大版数学九年级下册
别为D,E,F,如图,设☉O的半径为r,
∵☉O与△ABC中AB,AC的延长线及BC边相切,
∴OE=OF=r,BD=BE,CE=CF,AD=AF,∵∠ACB=90°,
∴四边形OECF为正方形,
∴CE=CF=r,∴BD=BE=BC-EC=3-r,
∴AD=AB+BD=5+3-r=8-r,AF=AC+CF=4+r, Nhomakorabea( C )
A.40°
B.140°
C.70°
D.80°
数学
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4.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B是切点,若∠P=80°,则∠ABO的
度数是
A.30°
( B )
B.40°
C.50°
D.60°
数学
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4.B 解析:∵PA,PB是☉O的切线,∴PA=PB,OB⊥PB,即∠PBO=90°,
1
∵∠OED=90°,DE=1,∴r2=(4-r)2+12,
17
17
解得r= ,即☉O的半径是 .
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北师大版 九年级数学下册
证明:∵四边形ADCH是圆内接四边形,
∴∠ADC+∠AHC=180°,
又∵∠AHC+∠AHB=180°,
∴∠ADC=∠AHB,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ADC=∠B,∴∠AHB=∠B,∴AB=AH,
∴△ABH是等腰三角形.
数学
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(2)求证:直线PC是☉O的切线;
3.7 切线长定理
x＋r＝b 则有 y＋r＝a
x＋y＝c
解得
r＝
a＋b－c
2
A
D
F O·
CE
B
新课讲解
知识与拓展
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的
内切圆的半径 r＝
a＋2b－c或r＝
ab a＋b＋c
(前面课时已
证明).
随堂即练
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，
如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO=20 ° ,PB=4 .
运用切线长定理，将相 等线段转化集中到某条 边上，从而建立方程.
重要结论
r abc 2
只适合于直角三角形
B
∵PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，
∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO=90°.
∠AOB=360°－∠PAO－∠PBO－∠P=140°.
新课讲解
又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点，
∴DC=DA.同理可得CE=EB.
l△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.
∵OA=OC，OD=OD，
∴△AOD≌△COD，
∴∠DOC=∠DOA= 1 ∠AOC.
2
P
同理可得∠COE= 1 ∠COB.
2
∠DOE=∠DOC+∠COE=
12（∠AOC+
∠COB）=70°.
DA
C
O
E B
归纳总结
切线长问题辅助线添加方法 （1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和圆外一点.
北师大版数学九年级下册第三章 3.7 切线长定理
北师大版数学九年级下册第三章 3.7 切线长定理概述在数学中，切线是与曲线相切且只有一个交点的直线。
切线长定理指出了当直线与圆相切时，切线在圆上所切割的弧长与切线外部的剩余弧长之间存在着一种特殊的关系。
在本文中，我们将详细讨论切线长定理在数学中的应用。
切线长定理的表述设在平面直角坐标系中，原点为圆心，半径为r的圆的方程为x^2 + y^2 =r^2。
对于圆上的任意一点P(x, y)，若以圆心O为顶点，OP的斜率为k且通过P 点，则切线的方程为y = kx + b，其中b为常数。
则点P处的切线在圆上所切割的弧长等于切点到圆心的距离所对应的圆心角的弧长的一半。
切线长定理的证明首先，我们先证明切线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = r^2相切。
设点P(x, y)为圆上的一点。
由于切线与圆相切，则切线过点P且与圆的切点只有一个交点，也就是说切线与圆只有一个交点。
因此，我们可以通过解方程组来判断切线与圆是否相切。
将切线方程代入圆的方程中，得到(x^2 + (kx + b)^2) - r^2 = 0. 经过化简，得到(k^2 + 1)x^2 + 2bkx + (b^2 - r^2) = 0。
由于切线与圆只有一个交点，所以该方程只有一个解，即判别式D = (2bk)^2 - 4(k^2 + 1)(b^2 - r^2) = 0。
解方程D = 0，得到b = r^2 / (2k)。
代入切线方程y = kx + b，得到切线方程为y = kx + r^2 / (2k)。
同时，由于切线过点P(x, y)，所以点P满足切线方程，即y = kx + r^2 / (2k)。
将此方程代入圆的方程x^2 + y^2 = r2中，得到x2 + (kx + r^2 / (2k))^2 = r2。
经过化简，得到x2 + k^2*x^2 + r22 / (4k^2) + 2k2x r2 / (2k) = r^2。
合并同类项，得到(k^2 + 1)x^2 + r22 / (4k^2) + k2r^2 = r^2。
北师大版九年级数学下册：第三章 3.7《切线长定理》精品教学设计
北师大版九年级数学下册：第三章 3.7《切线长定理》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章3.7《切线长定理》的内容是在学生掌握了直线与圆的位置关系、圆的方程等知识的基础上，进一步研究圆的切线性质。
本节内容主要介绍了切线长定理，即从圆外一点引出两条切线，分别与圆相交，那么这两条切线的长度相等。
教材通过例题和练习题，使学生掌握切线长定理的应用，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了直线、圆的基本知识，对几何图形的认识有一定的基础。
但是，对于切线长定理的理解和应用，还需要通过实例和练习来进一步巩固。
学生在学习过程中，需要充分调动已有的知识储备，进行逻辑推理和空间想象，从而掌握切线长定理。
三. 教学目标1.理解切线长定理的内容，掌握切线长定理的证明过程。
2.能够运用切线长定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和几何思维。
四. 教学重难点1.重点：切线长定理的理解和应用。
2.难点：切线长定理的证明过程，以及如何运用切线长定理解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过问题引导，激发学生的思考；通过案例分析，使学生理解并掌握切线长定理；通过小组讨论，促进学生之间的交流与合作，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：内容包括切线长定理的定义、证明过程和应用实例。
2.练习题：包括基础题和拓展题，用于巩固所学知识。
3.教学工具：直尺、圆规、三角板等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个生活中的实例：在圆形操场跑步时，从同一点出发，沿两条不同的路径跑完全程，问两条路径的长度是否相等？引发学生的思考，引出本节课的内容——切线长定理。
2.呈现（15分钟）讲解切线长定理的定义和证明过程。
通过PPT展示切线长定理的图形，引导学生观察、思考，然后给出证明过程。
在此过程中，强调切线长定理的关键点：圆外一点引出两条切线，分别与圆相交，这两条切线的长度相等。
九年级数学下册第三章圆3.7切线长定理初中九年级下册数学
第二十五页，共二十七页。
12/11/2021
第二十六页，共二十七页。
内容(nèiróng)总结
3.7 切线(qiēxiàn)长定理。(1)这个图形是轴对称图形吗。(1)由切线(qiēxiàn)长定理既可以得到线段相 等，又可以得到角相。②AO⊥AP，BO⊥BP。∴ CE=CF=r.。(2)如图②，过点B作BH⊥AM于点H，。∵直
∴PO＝ ，∠AOB＝180°－∠APB＝120°.
∴PA＝ 2 3
＝3，∠DOE＝
PO2 AO2
∠A1 OB＝60°. 2
12/11/2021
第十五页，共二十七页。
总结
利用切线长定理进行几何计算时，要注意构成切线长定 理的基本(jīběn)图形，作过切点的半径、连接圆外一点与圆心 是常用的作辅助线的方法．由于切线长定理涉及的线段、 角较多，因此熟记基本图形的相关结论是解题的关键， 而三角形的有关性质在解决有关切线问题时，也起到了 很好的辅助作用．
B．∠APO＝20° C．∠OBP＝70° D．∠AOP＝70°
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第二十三页，共二十七页。
3 (2015·南充)如图，PA和PB是⊙O的切线(qiēxiàn)，点A和B
是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则 ∠ACB的大小是( )
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
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第二十七页，共二十七页。
A．过任意一点总可以作圆的两条切线 B．圆的切线长就是(jiùshì)圆的切线的长度
C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆
的半径
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第二十二页，共二十七页。
北师大版九年级下册数学：3.7切线长定理
△PRQ的周长为17，RQ=5,
∴ AB=AD+BD 即 26 = (10-r) + (24-r)
A 直径所对的圆周角是直角.
已知：如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点. 求证： PA=PB. 已知：如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点.
∵ PA，PB是
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=24，O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，求⊙O的半径.
O
➢PO垂直 平分AB
P
N B
➢C△PMN=2PA
切线长定理
R AMM
△PRQ的周长为 17，RQ=5, 求△PMN周长
E
O
PP
NN B Q
想一想
如图，四边形ABCD的四条边都与⊙O相
切，AB=10， CD=16，则四边形ABCD的
周长是多少？
B
H A
E
O
G
C
F
D
用一用
例 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=10，BC=24，O是△ABC的内切圆， 切点分别为D，E，F，求⊙O的半径.
S△ABC = S△AOB + S△AOC + S△BOC ，
解得：r = 4 ∴ 四边形OECF是矩形，
过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等.
∴ ⊙O的半径为4. 直径所对的圆周角是直角.
S△ABC = S△AOB + S△AOC + S△BOC ， ∴ ∠OEC=∠OFC=∠ECF=90° △PRQ的周长为17，RQ=5,
B是切点，
九年级数学下册 第三章 圆 3.7 切线长定理_1
∵AB，BC，CD分别(fēnbié)与☉O相切于E，F，G， ∴OF⊥BC，∴OF= BO=C4O.8. 68
BC 10
第四十一页，共四十二页。
内容(nèiróng)总结
*7 切线长定理。如图，∵AB，AC都是。是点B、点C.。∴∠OCP=90°，在Rt△OPC中，。
No 1.(2019·深圳模拟(mónǐ))如图，AB是☉O的直径，点C为。1.(2019·常州金坛区期中)如图，AB，AC，
PA=10，CD切☉O于点E，交PA，PB于C，D两点，则
△PCD的周长(zhōu 是C chánɡ) (
)
A.10
B.18
C.20
D.22
第十五页，共四十二页。
★3.如图，PA，PB是☉O的两条切线，A，B是切点，若 ∠APB=60°，PO=2，则☉O的半径等于______1. 世纪(shìjì)金榜导学号
第十六页，共四十二页。
★★4.如图，PA，PB是☉O的切线(qiēxiàn)，CD切☉O于点E， △PCD的周长为12，∠APB=60°.求： 世纪金榜导学号 (1)PA的长.
(2)∠COD的度数.
第十七页，共四十二页。
解：(1)∵CA，CE都是圆O的切线(qiēxiàn)，∴CA=CE，同理 DE=DB，PA=PB，∴三角形PCD的周长 =PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=PA+PB=2PA=12，即PA的长为6.
3.如图，PA，PB是☉O的切线(qiēxiàn)，切点为A，B，若OP=4，
PA=2 ，3 则∠AOB的度数为
A.60°
B.90°
( C)
C.120°
D.无法确定
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O
。
P
B
继 续 探 知
（切线长：PA和PB的长）
切线长定理：PA=PB 即：过圆外一 点所画的圆的 两条切线长相 等。
O ·
A
P
B
B
牢记本节课重点三： 切线长定理：
过圆外一点所画 的圆的两条切线长相 等。
·
归纳小结
●
一、圆的切线定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径。
二、弦切角定理：
O ┐
A l
第三章 第7节
复 习 提 一、直线与圆的位置关系 问 （d表示圆心O到直线l的距离，r ： 表示⊙O的半径）
当d>r ， 那么直线l与⊙O相离 当d=r ， 那么直线l与⊙O相切
当d<r ，那么直线l与⊙O相交
复 习 提 问 ：
二、识别直线与圆的位置关系的两种方法：
（1）一种是根据定义（公共点的个数）进行识别： 直线L与⊙o没有公共点 直线L与⊙o相离。 直线L与⊙o只有一个公共点 直线L与⊙o相切。 直线L与⊙o有两个公共点 直线L与⊙o相交。 （2）另一种是根据圆心到直线的距离d与圆半径r数量关系 比较来进行识别： d>r 直线L与⊙o相离； d=r 直线L与⊙o相切； d<r 直线L与⊙o相交。
·Leabharlann 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
三、切线长定理：
过圆外一点所画的圆的两条切线长相等。
l
复习填空：
1、已知⊙O的半径为5cm，O到直线a的 距离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系 相交 。直线a与⊙O的公共点个数是_ 是_____ _两个_。 2、已知⊙O的半径是4cm，O到直线a的 距离是4cm，则⊙O与直线a的位置关系 相切_。 是 ___
探 索 如图，直线l是圆O的切线，切点为A，圆O的半径为r 新 . ⑴圆心O到切线l的垂线段的长度等于什么? 知 一
图1
图2
图3
图4
已知：AB是弦，AD是切线，判断弦切角∠CAD 与圆周角∠ABC之间的关系并证明。
B
E
发现：
∠CAD=∠B， ∠CAD=∠E，
C
A D
即：弦切角=圆周角
牢记本节课知识点二： 弦切角定理： 弦切角等于它所 夹的弧所对的圆周角。
B
C A D
探 索 新 知 三
过圆外一点可以引圆的几条切线？
A O · C · B
即：C为AB的中点。
探 索 新 知 二
已知：AB是弦，AD是切线，判断弦切角∠CAD 与圆周角∠ABC之间的关系并证明。
B
E
弦切角：顶点在圆上，一 边和圆相交、另一边和圆 相切的角叫做弦切角。
C
A D
如：∠CAD， ∠EAD， ∠BAD ......
判别下列图形中的角是不是弦切角， 并说明理由。
因此l1_____________ ∥ l2. ( 垂直同一条直线的两条直线平行 )
实 际 应 用 三
如图,这是手表的圆形表盘,两个圆的圆心都是O,
大圆的弦AB所在直线是小圆的切线,切点为C,
求证:C是线段AB的中点. 证明: 连接OA,OB 有OA=OB ∴△OAB为等腰三角形 C为切点,OC⊥AB 即：OC为△ABO的高, 由等腰三角形三线合一得： OC为△ABO的中线
40°
O ·
B
A
l
实 际 应 用 二
证明：经过直径两端点的切线互相平行.
已知:如图,AB是圆O的直径, l1 分别是经过点A,B的切线.
l1∥l2 求证: __________. 证明: ∵OA是圆O的半径,l是过点A的切线, ∴l1 _______ ⊥ OA. (切线判定定理） O· A l1
⊥ OB 同理l2 _________ 从而l1_______ ⊥ AB, 且 l2_______AB. ⊥ B l2
O · l
圆的切线垂直于
过点的半径。
A
小窍门： 看见切线，就作出过切点的半径，就必定 有垂直。
实 际 应 用 一
如图, 直线l是圆O的切线, 切点为A, ∠OBA=40°,求∠AOB. 解: 由于线段OA是过切点的半径 , 因此 OA ⊥l,从而∠OAB=90°, 于是∠AOB=90°－40° =50°
圆心O到切线l的垂线 段的长度是圆心O到 切线l的距离d,从而它 等于半径r. O· l A
⑵由于圆心O到切线l垂线段的 长度等于半径OA的长度，且点 A在切线l上，因此圆心O到切线 半径 l的垂线段就是________.
O· l
从第⑵点的结论得出：
A
切线的性质定理： 圆的切线垂直于过点的半径.
牢记本节课重点一： 切线的性质定理：