2014人教A版高中数学必修四2.3.4《平面向量的基本定理及坐标表示》导学案2
人教A版高中数学必修四 2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》导学案2
湖北省洪湖市贺龙高级中学高中数学人教版必修4： 2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》导学案【学习目标】1、知道平面向量的基本定理及其坐标表示；2﹑能准确的用坐标表示平面向量的加、减和数乘运算并进行有关的运算.3、知道向量共线的坐标表示；【重点难点】 ▲重点：平面向量基本定理及向量的坐标表示▲难点：平面向量基本定理【知识链接】1、 向量的数乘；实数λ与向量的积是一个向量，记为λ，长度和方向规定如下：（1）λ=（2）当0>λ时，a λ的方向与a 相同；当0<λ时，a λ与向量a 的方向相反，0=λ时0=aλ. 2、共线向量定理； 向量（≠）与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 λ= .【学习过程】阅读课本第93页到94页的内容，尝试回答以下问题：知识点1:平面向量基本定理问题1、请叙述平面向量基本定理的内容.问题2、把不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的__________，同一平面可以有不同的基底。
问题3、不共线的向量有不同方向，它们的位置关系可用夹角来表示,请给出向量的夹角的定义。
问题4、向量的夹角θ的范围是__________;特别的，当与同向时，夹角为______;与反向时，夹角为______;当与的夹角为_____时，我们说与垂直，记作⊥.阅读课本第94页到第96页的内容，尝试回答以下问题：知识点2: 平面向量的正交分解及坐标表示 问题1﹑在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i 作为基底，对于平面上任一向量，有且只有一对实数y x ,使得y x +=，把有序实数对),(y x 叫做向量的坐标，记作),(y x = =（ ， ），=（ ， ），=（ ， ） 问题2、若(),OA x y = ，则点A 的坐标是_________，即以原点为起点的向量坐标就是该向量终点的坐标,反过来终点A 的坐标就是向量OA 的坐标。
阅读课本第96页到98页的内容，尝试回答以下问题：知识点3:平面向量坐标运算 问题1﹑已知),(11y x =，),(22y x =，则a b += _______________________，a b -= _____________________，a λ= ______________________.问题2﹑已知),(),,(2211y x B y x A ，则=______________________. 问题3﹑已知()()1,2,3,4a b ==- ，请尝试求43,,+-+的坐标阅读课本第98页的内容，尝试回答以下问题：知识点4:共线向量的坐标表示问题1、如果),(11y x a =，),(22y x b =则当a 与b 共线时，用坐标如何表示它们共线的条件？问题2﹑当x 为何值时，)3,2(=与)6,(-=x 共线.问题3、已知()1,1A--,()1,3B ,()2,5C ,试判断A,B,C 三点之间的位置关系。
人教A版高中数学必修4精选优课教案2.3平面向量的基本定理及坐标表示(通用)
2．3．1-----2.3.2平面向量基本定理、正交分解及坐标表示一、教材分析：本节课是在学生学习了向量的概念及表示向量的线性运算后对向量知识的进一步学习。
平面向量基本定理和坐标表示及综合前面的向量知识，同时又是后续向量的坐标运算奠定了基础，起到了承前启后的作用。
过程与方法借助于由特殊到一般的方式得出平面向量基本定理及坐标表示的过程，培养分析问题和解决问题的能力。
二、学习目标1、理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题。
2、理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示了。
情感态度价值观1、感受数学的精确性、概括性和同一性。
2、体会数形结合的思想三、重点、难点教学重点：平面向量的基本定理及坐标表示教学难点：平面向量的基本定理。
教学方法：引导探究式教学手段：多媒体教学四、教学过程：(一)复习提问：1．向量的加法运算（三角形法则、平行四边形法则）。
2．实数与向量的积3．向量共线定理设计意图：为让学生更好的理解问题做好铺垫。
（二）引入新知设计意图：使学生自然进入探索新知环节（二）新课讲解1AB u r ，， 问题：已知非零向量那么对于同一平面内的任意向量是否能用线性表示？a a 2， 问题：如果平面内的向量不能由单个向量线性表示 又该如何具体表示呢？121233 、，问题：已知向量求作向量2e e e e向量的合成 向量的分解问题4、对于平面内任意向量，是不是都可以用 e 1 e 2 来表示呢教师引导学生思考问题，引出本节课的教学内容并用幻灯片演示分解过程向量的合成与分解是互逆过程，向量的合成适用平行四边形法则，分解当然也适合平行四边形法则，进而引导学生用平行四边形分解向量。
设计意图：通过幻灯片演示分解过程；使学生理解平面内任意向量都可以按向量e1、e2进行分解 经过之前几节课的学习，学生已经基本掌握了向量的线性运算及加减法元算，此处的思考题意在使学生更深入地思考：是否任意的向量都可以用任意的两个向量来表示，进而说明了平面向量基本定理的必要性。
人教A版高中数学必修四2.3 平面向量的基本定理及坐标表示(2-3课时)
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量 的坐标区分开来.
填要点·记疑点
(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若 A(x，y)，则
O→A＝
(x，y)
→ ；若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝
(x2－x1，y2－y1) .
2.平面向量的坐标运算 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2)，即两 个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.
探究点一 平面向量的坐标表示
思考1 如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作 a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？ 答 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底.
思考2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量， 叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂 直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4， 以向量i、j为基底，向量a如何表示？
＝－12，1－23，13＝－76，23.
例2 已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c. 解 设c＝xa＋yb， 则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1) ＝(－2x＋3y,3x＋y)，
∴10＝－2x＋3y， －4＝3x＋y，
解得x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b.
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
高中数学必修四人教A版 教案2-3平面向量的基本定理及
2.3.4平面向量共线的坐标表示1.知识与技能(1)理解两向量共线的坐标表示.(2)会用两向量共线的坐标表示解决向量共线、点共线、直线平行等问题.2.过程与方法通过对平面向量共线定理的坐标表示形式的探究和应用,培养学生的分析问题、解决问题的能力和体会化归与转化的数学思想方法.3.情感、态度与价值观通过本节学习和运用实践,培养学生的探索精神,体会数学的科学价值与应用价值.重点:用坐标表示两向量共线.难点:两向量共线坐标表示的灵活应用.1.已知平面向量a=(x,1),b=(-x,x2),则向量a+b()A.平行于x轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y轴D.平行于第二、四象限的角平分线解析:∵a=(x,1),b=(-x,x2),∴a+b=(0,1+x2).∵a+b的横坐标为0,纵坐标为1+x2>0,∴a+b平行于y轴.答案:C2.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且,连接DC延长至E,使||=|,则点E的坐标为.解析:∵,∴A为BC的中点.∴点C坐标为(3,-6).又||=|,且E在DC的延长线上,∴=-.设E(x,y),则(x-3,y+6)=-(4-x,-3-y),得解得答案:3.如图所示,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于E,M为CE的中点,用向量的方法证明:(1)DE∥BC;(2)D,M,B三点共线.证明:如图,以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立直角坐标系,设||=1,则||=1,||=2.∵CE⊥AB,而AD=DC,∴四边形AECD为正方形.∴可求得各点坐标分别为E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0).(1)∵=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),=(0,1)-(1,0)=(-1,1),∴.∴,即DE∥BC.(2)连接MB,MD,∵M为EC的中点,∴M,∴=(-1,1)-,=(1,0)-.∴=-.∴.又有公共点M,∴M,B,D三点共线.。
人教A版高中数学必修四人教平面向量的基本定理及坐标表示
第一课时 平面向量基本定理教学要求：了解平面向量基本定理；理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 教学过程：一、新课准备：1.复习向量加法.减法及其几何意义.2.运算定律：结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa+λb 3.向量共线定理向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .二、讲授新课： 1. 问题的提出①给定平面的任意两个向量1e ，2e ，作出12123,e e e e -+.②对于平面上两个不共线向量1e ，2e ，是不是平面上的所有向量都可以表示为λ11e +λ22e .？ 2.平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e . （讨论指出：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；（2） 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解，(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量） 3.例1：已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e .（教师板演→学生反复画图）练习：已知向量1e ，2e 求作向量41e -3.52e .（学生板演→教师修订→学生修正）4.出示例2：如图ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a ，=b ，用a ，b表示，，和5..思考：已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+、使与c 共线.6.小结：平面向量基本定理 三.巩固练习1. 已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .2. 已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).3. 已知如图ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点， 求证：OA +OB +OC +OD =4OE4.如图，不共线=t (t ∈R)用，表示.5.作业：课本P111 练习 （2）第二课时 2.3.2～2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算教学要求：理解平面向量的坐标的概念；掌握平面向量的坐标运算. 教学重点：平面向量的坐标运算．教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程：. 一、复习准备：1.平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e2.向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa.3.提问：如何进行力的分解？ 二、讲授新课：1. 教学平面向量的坐标表示①如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i .j 作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi y j =+…○1我们把),(y x 叫做向量a的（直角）坐标，记作(,)a x y =…○2其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x . (特别地，(1,0)i =，(0,1)j =，0(0,0)=)②出示例2：如图（略）分别用基底I ,j 表示向量...a b c d 并求出它们的坐标.2. 教学平面向量的坐标运算①若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b +),(2121y y x x ++=，a b -),(2121y y x x --= 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.②若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. =-=( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)③若(,)a x y =和实数λ，则(,)a x y λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i .j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即(,)a x y λλλ=④例4：已知a =(2，1)，b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.练习：已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 4)， C(4， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.2. 小结：平面向量的坐标表示 ；平面向量的坐标运算 三.练习1. 若M(3， -2) ，N(-5， -1) 且 21=MN，求P 点的坐标.2. 已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =，求3F 的坐标.3. 已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) 求证：四边形ABCD 是梯形. 4．课本P111 练习 2 . 3第三课时 2.3.4 平面向量共线的坐标表示教学要求：掌握平面向量的坐标运算；会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性 教学过程： 一、复习准备：1.提问：平面向量的坐标表示及运算.2.思考：如何用坐标表示两个共线向量？ 二、讲授新课：1. 教学平面向量共线的坐标表示：①设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2)，其中b ≠a .由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0 这时向量ab 共线.（注：消去λ时不能两式相除；要注意什么；向量共线的有两种条件）②讲解例6：已知a =(4，2)，b =(6， y)，且a ∥b，求y.练习：已知a =(3，6)，b =(x ， 4)，且a ∥b，求x.( 学生板演→教师修订→小结公式应用)③讲解例7：已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系. （教师画图→师生探究→教师板演→探究：当12p p pp ⇒时，求p 点坐标. ）练习：已知A(-1， -1)，B(1，3)，C(1，5) ，D(2，7) ，向量与平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？④思考：设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).（1）当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.（教师分析→教师画图→学生板演） ⑤小结：平面向量共线的坐标表示 二.练习①.已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .②.已知□ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = .③.若向量a=(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，求x .④.小结：1．平面向量共线的坐标表. 2.向量共线条件的适用类型. 五．作业1.课本P111 （5）（6）（7）.2.已知点A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1),试判断AB 与CD 的位置关系，并给出证明.3.若=i +2j ， =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x 、y 的值可能分别为多少？4.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为多少?5.作业：P111 (1).。
【教育学习文章】高中数学必修四2.3 平面向量基本定理及坐标表示 小结导学案
高中数学必修四2.3 平面向量基本定理及坐标表示小结导学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址2.3平面向量基本定理及坐标表示小结【学习目标】.了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．2．会用坐标表示平面向量的线性运算；会用坐标表示的平面向量共线的条件.【知识重温】．平面向量基本定理如果，是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，，使＝__________.向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴______的两个单位向量、作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数x，y，使得＝__________，则有序数对叫做向量的坐标，记作__________，其中x，y分别叫做在x轴、y轴上的坐标，＝叫做向量的坐标表示。
相等的向量其______相同，______相同的向量是相等向量．3．平面向量的坐标运算已知点A，B，则＝__________________，2)已知＝，=，则＋=____________，－=___________，λ＝___________；∥______________.＝，=，＝⇔________________.思考感悟．基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，故基底的选取是不唯一。
平面内任意向量都可被这个平面的一组基底，线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．2．向量坐标与点的坐标区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量＝，此时点A的坐标与的坐标统一为，但应注意其表示形式的区别，如点A，向量＝＝．当平面向量平行移动到时，向量不变即＝＝，但的起点o1和终点A1的坐标都发生了变化．对点练习：．已知向量=，=，则12等于A．B．c．D．2．已知向量=，=，若＋与4－2平行，则实数x的值是A．－2B．0c．1D．23．已知向量=，＝，＝．若λ为实数，∥，则λ＝A.14B.12c．1D．24．下列各组向量中，能作为基底的是①=，＝②=，＝③=，＝④=，=．A．①②B．②③c．③④D．②④【自学探究】考点一平面向量基本定理例1、如图所示，在平行四边形ABcD中，m，N分别为Dc，Bc的中点，已知＝，＝，试用，表示，.规律总结：应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．解题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．变式1：如图，在△ABc中，＝13，P是BN上的一点，若＝m＋211，则实数m的值为__________．考点二平面向量的坐标运算例2、已知A，B，c，设＝，＝，＝，且＝3，＝－2.求3＋－3；求满足＝m＋n的实数m，n；求m，N的坐标及向量的坐标．规律总结：若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用．变式2 在ABcD中，Ac为一条对角线，若＝，＝，则＝A．B．c．D．考点三平面向量共线的坐标表示例3、平面内给定三个向量＝，=，＝．回答下列问题：若∥，求实数k；设＝满足∥且|－|＝1，求.规律总结：用坐标来表示向量平行，实际上是一种解析几何的思想，其实质是用代数计算来代替几何证明，这样就把抽象的逻辑思维转化为了计算．变式3、已知向量＝，=，若∥，则实数m等于A．－2c．－2或2D．0已知梯形ABcD，其中AB∥cD，且Dc＝2AB，三个顶点A，B，c，则点D的坐标为__________．【课堂小结】．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理．3．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．4．要注意区分点的坐标与向量的坐标有可能。
人教A版高中数学必修四平面向量的基本定理及坐标表示教案(1)
§2.3.4 平面向量共线的坐标表示教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=二、讲解新课：a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a .由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)01221=-=⇔y x y x b a λ三、讲解范例： 例1已知a =(4，2)，b =(6， y)，且a ∥b ，求y.例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系. 例3设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).(1) 当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；(2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.例4若向量a =(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，求x解：∵a =(-1，x)与b =(-x ， 2) 共线 ∴(-1)×2- x •(-x )=0∴x=±2 ∵a 与b 方向相同 ∴x=2例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB 与CD 平行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？解：∵AB =(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， CD =(2-1，7-5)=(1，2)又 ∵2×2-4×1=0 ∴AB ∥CD又 ∵ AC =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，AB =(2， 4)，2×4-2×6≠0 ∴AC 与AB 不平行∴A ，B ，C 不共线 ∴AB 与CD 不重合 ∴AB ∥CD四、课堂练习：1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（ ）A.6 B .5 C.7 D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（）A.-3B.-1C.1D.33.若AB=i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). AB与DC共线，则x、y的值可能分别为（）A.1，2B.2，2C.3，2D.2，44.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y= .5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为 .6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x= .五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：。
2014人教A版高中数学必修四2.3.1《平面向量的基本定理及坐标表示》导学案2
§2.3.1平面向量基本定理§2.3.2平面向量正交分解及坐标表示 学习目标1. 掌握平面向量基本定理；了解平面向量基本定理的意义；.学习过程一、课前准备（预习教材P93—P96）复习1：向量b 、()0a a ≠是共线的两个向量，则a 、b 之间的关系可以表示为 . 复习2：给定平面内任意两个向量1e 、2e ，请同学们作出向量1232e e +、122e e -.二、新课导学※ 探索新知探究：平面向量基本定理问题1：复习2中，平面内的任一向量是否都可以用形如1122e e λλ+的向量表示呢？1. 平面向量的基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内两个 的向量，a 是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数,21,λλ使 。
其中，不共线的这两个向量,1e 2e 叫做表示这一平面内所有向量的基底。
注意：(1) 我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底1e ，2e 的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量问题2：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？2.两向量的夹角与垂直：:我们规定：已知两个非零向量,a b ，作=OA ,a =OB b ，则叫做向量a 与b 的夹角。
如果,θ=∠AOB 则θ的取值范围是 。
当 时，表示a 与b 同向； 当 时，表示a 与b 反向； 当 时，表示a 与b 垂直。
记作：a b ⊥.在不共线的两个向量中，90θ=，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为_____________，叫做把向量正交分解。
问题3：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示. 对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？3、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个_______作为基底。
高中数学人教A版必修4PPT课件：平面向量的基本定理及坐标表示
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2020年12月27日星期日
解：1OP 1 2
OP1 OP2
x1
2
x2
,
y1
2
y2
，
所以点P的坐标为
x1
2
x2
,
y1
2
y2
.
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2 如果P1P
1 2
PP2，那么
OP
OP1
P1P
OP1
1 2
P1P2
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高中数学人教A版必修4PPT课件：平面 向量的 基本定 理及坐 标表示
向量的坐标表示
• 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方 向相同的两个单位向量i、j作为基底， 则对于平面内的一个向量a，有且只有
一对实数x、y使得a=xi+yj，
• 把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记 作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标，y 叫做a在y轴上的坐标，显然， i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
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练一练 • 已知O是坐标原点，点A在第 • 一象限，xOA 60 ,
| OA | 4 3 ，求向量 OA 的坐标.
解：设点A x, y ，则
x 4 3 cos 60 2 3, y 4 3 sin 60 6
即A 2 3, 6 ，所以OA 2 3, 6 .
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人教A版高中数学必修4教学案2.3平面向量的基本定理及坐标表示
第1课时平面向量基本定理1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P93～P94的内容，回答下列问题．(1)观察教材P93图2.3－2的作图过程，思考：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任意向量a能否用e1，e2表示？根据是什么？提示：可以．根据是数乘向量和平行四边形法则．(2)平面内的任意两个向量都可以平移至公共起点，它们存在夹角吗？提示：存在．(3)两个非零向量夹角θ的取值范围是什么？当非零向量a与b共线时，它们的夹角是多少？提示：两个非零向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°.当非零向量a与b共线时，它们的夹角是0°或180°.2．归纳总结，核心必记(1)平面向量基本定理e1、e2是同一平面内的两个不共线向量．条件结论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.条件两个非零向量a和b作向量＝a，＝b，则∠AOB叫做向量产生过程a与b的夹角续表范围[0，π]特殊情况 θ＝0°a 与b 同向 θ＝90°a 与b 垂直，记作a ⊥bθ＝180°a 与b 反向 [问题思考](1)0能与另外一个向量a 构成基底吗？提示：不能．基向量是不共线的，而0与任意向量是共线的． (2)平面向量的基底是唯一的吗？提示：不是．平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，基底一旦确定，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示．(3)如果e 1，e 2是共线向量，那么向量a 能否用e 1，e 2表示？为什么？ 提示：不一定，当a 与e 1共线时可以表示，否则不能表示．[课前反思](1)平面向量基本定理： ； (2)基底： ；(3)基向量： ；(4)向量的夹角： ．讲一讲1.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若试用a ，b 表示[尝试解答]如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形．用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至能用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．练一练1．如图所示，已知在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点．若，试用a，b为基底表示向量解：∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，讲一讲2．已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.两个向量夹角的实质及求解的关键(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角．(2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角．练一练2．如图，已知△ABC是等边三角形．(1)求向量的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量的夹角．解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.如图，延长AB至点D，使AB＝BD，∵∠DBC＝120°，(2)∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，∴的夹角为90°.讲一讲3．如图，在矩形OACB 中，E 和F 分别是边AC 和BC 上的点，满足AC ＝3AE ，BC ＝3BF ，若，其中λ，μ∈R ，求λ，μ的值．(1)平面向量基本定理唯一性的应用设a ，b 是同一平面内的两个不共线向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2.(2)重要结论设e 1，e 2是平面内一组基底，练一练3．如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.所以λ⎝⎛⎭⎫12b ＋12c －μ⎝⎛⎭⎫23c －b ＝b ， 即⎝⎛⎭⎫12λ＋μb ＋⎝⎛⎭⎫12λ－23μc ＝b . 又因为b 与c 不共线，所以⎝ ⎛12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎝ ⎛λ＝45，μ＝35.故即AP ∶PM ＝4∶1.——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是平面向量基本定理及其应用、平面向量的夹角，难点是平面向量基本定理的应用．2．本节课要重点掌握以下三个问题 (1)用基底表示向量，见讲1； (2)求向量的夹角，见讲2；(3)用平面向量基本定理解决相关问题，见讲3. 3．本节课的易错点有两处(1)向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是[0，π]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(2)两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点所成的角如练2.课下能力提升(十七) [学业水平达标练]题组1 用基底表示向量1．已知e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是( )A ．e 1，e 1＋e 2B ．e 1－2e 2，e 2－2e 1C ．e 1－2e 2，4e 2－2e 1D ．e 1＋e 2，e 1－e 2解析：选C 因为4e 2－2e 1＝－2(e 1－2e 2)，从而e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线．A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c3．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．试以a ，b 为基底表示向量题组2 向量的夹角问题4．若向量a 与b 的夹角为60°，则向量－a 与－b 的夹角是( ) A ．60° B ．120° C ．30° D ．150°解析：选A 平移向量a ，b 使它们有公共起点O ，如图所示，则由对顶角相等可得向量－a 与－b 的夹角也是60°.5．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为________．解析：由题意可画出图形，如图所示．在△OAB 中，因为∠OAB ＝60°，|b |＝2|a |， 所以∠ABO ＝30°，OA ⊥OB ， 即向量a 与c 的夹角为90°. 答案：90°解：如图，以OA ，OB 所在射线为邻边，OC 为对角线作平行四边形ODCE ，在Rt △OCD 中，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6. 题组3 平面向量基本定理的应用7．设向量e 1与e 2不共线，若3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，则实数x ，y 的值分别为( )A ．0，0B ．1，1C ．3，0D ．3，4 解析：选D ∵向量e 1与e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝4y －7，10－y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4. 8．在▱ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若,其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值为________．答案：439．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为以a ，b 为基向量的线性组合，即e 1＋e 2＝________．解析：设e 1＋e 2＝m a ＋n b (m ，n ∈R )， ∵a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2， ∴e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2) ＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2. ∵e 1与e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝23，n ＝－13.∴e 1＋e 2＝23a －13b .答案：23a －13b10．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ， 则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝m a ＋n b (m 、n ∈R )，则 3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b . (3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1. 故所求λ，μ的值分别为3和1.[能力提升综合练]1．以下说法中正确的是( )A ．若a 与b 共线，则存在实数λ，使得a ＝λbB ．设e 1和e 2为一组基底，a ＝λ1e 1＋λ2e 2，若a ＝0，则λ1＝λ2＝0C ．λa 的长度为λ|a |D ．如果两个向量的方向恰好相反，则这两个向量是相反向量 解析：选B A 错，a ≠0，b ＝0时，λ不存在． C 错，λ＜0时不成立．D 错，相反向量的模相等，故选B .2．A ，B ，O 是平面内不共线的三个定点，且，点P 关于点A 的对称点为Q ，点Q 关于点B 的对称点为R ，则等于( )A ．a －bB ．2(b －a )C ．2(a －b )D ．b －a3. 已知e 1，e 2不共线，且a ＝k e 1－e 2，b ＝e 2－e 1，若a ，b 不能作为基底，则k 等于________．解析：向量a ，b 不能作为基底，则向量a ，b 共线，可设a ＝λb ，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－λ，－1＝λ，则k ＝1.答案：14．如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若则λ＋μ＝________．解析：因为AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°， AH ⊥BC ， 所以BH ＝1，BH ＝13BC .因为点M 为AH 的中点，即λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23.答案：235．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 是以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BD ︵上的任意一点，设∠PAB ＝θ，向量 (λ，μ∈R )，若μ－λ＝1，则θ＝________．所以－λ＋μsin θ＝1，μsin θ＝1＋λ＝μ， 所以sin θ＝1，θ＝90°. 答案：90°6．如图所示，平行四边形ABCD 中，M 为DC 的中点，N 是BC 的中点，(1)试以b ，d 为基底表示； (2)试以m ，n 为基底表示.7.如图所示，在△ABC 中，点M 是AB 的中点，且，BN 与CM 相交于点E ，设＝a ，＝b ，试用基底a ，b 表示向量.解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝45，所以AE ―→＝25a ＋15b .第2课时 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算 平面向量共线的坐标表示[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P94～P100的内容，回答下列问题．(1)在平面内，规定e1，e2为基底，那么一个向量关于e1，e2的分解是唯一的吗？提示：唯一．(2)在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一向量.根据平面向量基本定理，＝x i＋y j，那么(x，y)与A 点的坐标相同吗？提示：相同．(3)如果向量也用(x，y)表示，那么这种向量与实数对(x，y)之间是否一一对应？提示：一一对应．(4)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何求a＋b，a－b，λa的坐标？提示：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．(5)若A(x1，y1)，B (x2，y 2)，你能求出的坐标吗？提示：能．＝(x2－x1，y2－y1)．2．归纳总结，核心必记(1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．(2)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝x i＋y j，则(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐标表示．(3)向量i，j，0的坐标表示i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0)．(4)平面向量的坐标运算文字符号加法两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)减两个向量差的坐标等于这两个向量相应若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a－b＝(x1－x2，(1)在平面直角坐标系中，若a ＝b ，那么a 与b 的坐标具有什么特点？为什么？ 提示：若a ＝b ，那么它们的坐标相同，根据平面向量基本定理，相等向量在平面直角坐标系中的分解是唯一的，所以相等向量的坐标相同．(2)与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？提示：与x 轴平行的向量的纵坐标为0，即a ＝(x ，0)，与y 轴平行的向量的横坐标为0，即b ＝(0，y )．(3)点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？提示：区别：①表示形式不同，向量a ＝(x ，y )中间用等号连接，而点的坐标A (x ，y )中间没有等号．②意义不同，点A (x ，y )的坐标表示点A 在平面直角坐标系中的位置，向量a ＝(x ，y )的坐标既表示大小，又表示方向；另外(x ，y )既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x ，y )或向量(x ，y )．联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点坐标相同． (4)两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的坐标条件能表示为x 1x 2＝y 1y 2吗？提示：不一定，为使分式有意义，需分母不为0，可知只有当x 2y 2≠0时才能这样表示． (5)如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？提示：将b 写成λa 的形式，根据λ的符号判断，如a ＝(－1，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫16，－13＝－16(－1，2)＝－16a ，故a ，b 反向．[课前反思](1)平面向量的正交分解： ；(2)平面向量的坐标表示： ；(3)平面向量的坐标运算： ；(4)平面向量共线的坐标表示： ．讲一讲1．如图所示，在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角．求点B 和点D 的坐标和的坐标．[尝试解答] 由题知B 、D 分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点． 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)． 由三角函数的定义，得 x 1＝cos 30°＝32，y 1＝sin 30°＝12，∴B ⎝⎛⎭⎫32，12. x 2＝cos 120°＝－12，y 2＝sin 120°＝32，∴D ⎝⎛⎭⎫－12，32.∴＝⎝⎛⎭⎫32，12，＝⎝⎛⎭⎫－12，32.求点和向量坐标的常用方法(1)在求一个向量时，可以先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．(2)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．练一练1．已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝43，∠xOA＝60°，(1)求向量的坐标；(2)若B(3，－1)，求的坐标．解：(1)设点A(x，y)，则x＝43cos 60°＝23，y＝43sin 60°＝6，即A(23，6)，＝(23，6)．(2)＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).讲一讲2．(1)已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b，3a，2a＋3b 的坐标；(2)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且，，求M，N及的坐标．[尝试解答](1)a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)，3a＝3(－1，2)＝(－3，6)，2a＋3b＝2(－1，2)＋3(3，－5)＝(－2，4)＋(9，－15)＝(7，－11)．(1)平面向量坐标运算的方法①若已知向量的坐标，则直接利用向量和、差及向量数乘运算的坐标运算法则求解． ②若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再利用向量的坐标运算法则求解．(2)坐标形式下向量相等的条件及其应用①条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．②应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可求某些参数的值． 练一练 2．已知a ＝，B 点坐标为(1，0)，b ＝(－3，4)，c ＝(－1，1)，且a ＝3b －2c ，求点A 的坐标．解：∵b ＝(－3，4)，c ＝(－1，1)，∴3b －2c ＝3(－3，4)－2(－1，1)＝(－9，12)－(－2，2)＝(－7，10)，即a ＝(－7，10)＝.又B (1，0)，设A 点坐标为(x ，y )，则＝(1－x ，0－y )＝(－7，10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－7，0－y ＝10⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－10，即A 点坐标为(8，－10)．讲一讲3．(1)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12 B.13 C ．1 D ．2 (2)设向量＝(k ，12)，＝(4，5)，＝(10，k )，求当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线．[尝试解答] (1)法一：a ＋2b ＝(1，2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1，2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)．由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12.法二：假设a ，b 不共线，则由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得a ＋2b ＝μ(2a －2b )，从而⎩⎪⎨⎪⎧1＝2μ，2＝－2μ，方程组显然无解，即a ＋2b 与2a －2b 不共线，这与(a ＋2b )∥(2a －2b )矛盾，从而假设不成立，故应有a ，b 共线，所以1λ＝21，即λ＝12.∴(4－k ，－7)＝λ(10－k ，k －12)，即⎩⎪⎨⎪⎧4－k ＝λ（10－k ），－7＝λ（k －12），解得k ＝－2或k ＝11. ∴当k ＝－2或11时，A 、B 、C 三点共线．∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0，即k 2－9k －22＝0，解得k ＝－2或k ＝11. ∴当k ＝－2或11时，A 、B 、C 三点共线． 答案：(1)A(1)向量共线的判定方法①利用向量共线定理，由a ＝λb (b ≠0)推出a ∥b . ②利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解． (2)三点共线的实质与证明步骤①实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．②证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(ⅰ)证明向量平行；(ⅱ)证明两个向量有公共点．练一练3．(1)已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，当实数k 为何值时，(k a ＋b )∥(a －3b )？这两个向量的方向是相同还是相反？(2)已知点A (x ，0)，B (2x ，1)，C (2，x )，D (6，2x )．①求实数x 的值，使向量 共线；②当向量共线时，点A ，B ，C ，D 是否在一条直线上？解：(1)∵a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，∴k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)． 由题意得(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.此时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，∴当k ＝－13时，(k a ＋b )∥(a －3b )，并且它们的方向相反．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是平面向量的坐标表示及运算、平面向量共线的坐标表示． 2．本节课要重点掌握以下三个问题 (1)向量的坐标表示，见讲1； (2)向量的坐标运算，见讲2； (3)向量共线的坐标表示，见讲3. 3．要正确理解向量平行的条件(1)a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb .这是几何运算，体现了向量a 与b 的长度及方向之间的关系． (2)a ∥b ⇔a 1b 2－a 2b 1＝0，其中a ＝(a 1，b 1)，b ＝(a 2，b 2)．这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化代数运算．(3)a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2，其中a ＝(a 1，b 1)，b ＝(a 2，b 2)且b 1≠0，b 2≠0.即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．课下能力提升(十八)[学业水平达标练]题组1向量的坐标表示1．已知＝(－2，4)，则下面说法正确的是()A．A点的坐标是(－2，4)B．B点的坐标是(－2，4)C．当B是原点时，A点的坐标是(－2，4)D．当A是原点时，B点的坐标是(－2，4)解析：选D由任一向量的坐标的定义可知：当A点是原点时，B点的坐标是(－2，4)．()A．(－2，3) B．(2，－3)C．(2，3) D．(－2，－3)3．若A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，则解析：∵A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，＝(2，3)＋(－6，6)＝(－4，9)．答案：(－4，9)题组2平面向量的坐标运算4．设平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)，则a－2b＝()A．(6，3) B．(7，3)C．(2，1) D．(7，2)解析：选B∵a＝(3，5)，b＝(－2，1)，∴a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(3，5)－(－4，2)＝(7，3)．5．若向量a ＝(x －2，3)与向量b ＝(1，y ＋2)相等，则( ) A ．x ＝1，y ＝3 B ．x ＝3，y ＝1 C ．x ＝1，y ＝－5 D ．x ＝5，y ＝－1解析：选B 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝1，3＝y ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.6．已知A (－3，0)，B (0，2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4.设 (λ∈R )，则λ＝________．解析：过C 作CE ⊥x 轴于点E ，由∠AOC ＝π4知，|OE |＝|CE |＝2，所以(－2，0)＝λ(－3，0)， 故λ＝23.答案：23∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3，6)＝(1，2)，(－1－x 2，2－y 2)＝－13(－3，－6)＝(1，2)．则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2，⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0. ∴C ，D 的坐标分别为(0，4)和(－2，0)，因此＝(－2，－4)．题组3 向量共线的坐标表示8．已知A (2，－1)，B (3，1)，则与AB ―→平行且方向相反的向量a 是( ) A ．(2，1) B ．(－6，－3) C ．(－1，2) D ．(－4，－8) 解析：选D＝(1，2)，向量(2，1)、(－6，－3)、(－1，2)与(1，2)不平行；(－4，－8)与(1，2)平行且方向相反．9．已知A (－1，4)，B (x ，－2)，若C (3，3)在直线AB 上，则x ＝________． 解析：＝(x ＋1，－6)，＝(4，－1)，∵∥，∴－(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23.答案：23证明：设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，所以(x 1＋1，y 1)＝⎝⎛⎭⎫23，23，故E ⎝⎛⎭⎫－13，23；所以(x 2－3，y 2＋1)＝⎝⎛⎭⎫－23，1， 故F ⎝⎛⎭⎫73，0. 所以＝⎝⎛⎭⎫83，－23. 又因为4×⎝⎛⎭⎫－23－83×(－1)＝0，11．平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)，回答下列问题： (1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3，2)＋(－1，2)－2(4，1) ＝(9，6)＋(－1，2)－(8，2) ＝(9－1－8，6＋2－2)＝(0，6)． (2)∵a ＝m b ＋n c ，∴(3，2)＝m (－1，2)＋n (4，1)＝(－m ＋4n ，2m ＋n )． ∴－m ＋4n ＝3且2m ＋n ＝2，解得m ＝59，n ＝89.(3)∵(a ＋k c )∥(2b －a )，又a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)， ∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－1613.[能力提升综合练]1．已知A (7，1)，B (1，4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且，则实数a等于( )A ．2B ．1 C.45 D.53解析：选A 设C (x 0，y 0)，则y 0＝12ax 0，∴＝⎝⎛⎭⎫x 0－7，12ax 0－1，＝⎝⎛⎭⎫1－x 0，4－12ax 0，∵，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0－7＝2（1－x 0），12ax 0－1＝2⎝⎛⎭⎫4－12ax 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，a ＝2. 2．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a ，4b －2c ，2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2，6)B ．(－2，6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析：选D ∵四条有向线段首尾相接构成四边形，则对应向量之和为零向量，即4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，∴d ＝－6a －4b ＋4c ＝－6(1，－3)－4(－2，4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6)．3．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：选D ∵a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，若k ＝1，则c ＝a ＋b ＝(1，1)，d ＝a －b ＝(1，－1)，显然c 与d 不平行，排除A 、B.若k ＝－1，则c ＝－a ＋b ＝(－1，1)，d ＝a －b ＝－(－1，1)，即c ∥d 且c 与d 反向．4．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn 等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2解析：选A 由向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，得m a ＋n b ＝(2m －n ，3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12.∴x (－y ＋2)－(－x －4)y ＝0，即x ＋2y ＝0. 答案：06．已知P 1(2，－1)，P 2(－1，3)，P 在直线P 1P 2上，且.则P 点的坐标为________．∴(x －2，y ＋1)＝23(－1－x ，3－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋23×（－1）1＋23，y ＝－1＋23×31＋23，即⎩⎨⎧x ＝45，y ＝35.故P 点坐标为⎝⎛⎭⎫45，35.∴(x －2，y ＋1)＝－23(－1－x ，3－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－23×（－1）1－23，y ＝－1－23×31－23，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－9.故P 点坐标为(8，－9)．综上可得，P 点坐标为⎝⎛⎭⎫45，35或(8，－9)． 答案：⎝⎛⎭⎫45，35或(8，－9)7．已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)，且，试问：(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 可能为平行四边形吗？若可能，求出相应的t 值；若不可能，请说明理由．解：由题可知＝(1，2)，＝(3，3)，＝(1，2)＋t (3，3)＝(1＋3t ，2＋3t )． (1)若P 在x 轴上， 则有2＋3t ＝0，t ＝－23；若P 在y 轴上，则有1＋3t ＝0， t ＝－13；若P 在第二象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，解得－23＜t ＜－13.(2)＝(－1－3t ，－2－3t )＋(4，5)＝(3－3t ，3－3t )．若四边形OABP 是平行四边形，则有即⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，方程组显然无解． ∴四边形OABP 不可能是平行四边形．8．如图所示，已知△AOB 中，A (0，5)，O (0，0)，B (4，3)，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标．∴74x －4⎝⎛⎭⎫y －54＝0， 即7x －16y ＝－20.②联立①②，解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫127，2.。
2014年人教A版必修四课件 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
1. 设非零向量 a, b, c, 满足 |a||b||c|, abc, 则 a 与 b 的夹角等于 ( B ) (A) 150 (B) 120 (C) 60 (D) 30
解: 由三角形法则作 abc,
由 |a||b||c| 得三角形是等边三角形. 得 a 与 b 的夹角应是 120.
练习: (补充) 1. 如图, 已知向量 e1、e2, 求作下列向量: (1) 3e12e2; (2) 4e1-e2; e1 e2 (3) - 2e1 1 e2 . 2
习题 2.3 B组 第 3 题.
练习: (补充) 1. 如图, 已知向量 e1、e2, 求作下列向量: (1) 3e12e2; (2) 4e1-e2; e1 e2 1 2 e e2 . (3) 1 2
问题2: 下面标注的角中, 哪些角等于向量 a 与 b 的夹角? a a b a a b a b b b b b b b a ① ② ③ ④ ⑤ 标注的角等于向量 a 与 b 的夹角的有 ① ④ ②③⑤中, 标注的角与向量 a 与 b 的夹角互补.
问题3. 在等边三角形ABC中, D是BC的中点. (1) 向量 AB与 AC 的夹角是多少? 60 (2) 向量 AB与 AD的夹角是多少? 30 (3) 向量 AD与 BC 的夹角是多少? 90 (4) 向量 AB与 BC 的夹角是多少? 120
A a (1) 作OA a, O E e (2) 作OB e1 , 2 C e1 (3) 作CA e2 , B (4) 作 EA 2CA 2e2 , 使点E在OB上, (5) 取一个实数1, 使 OE 1OB 1e1, 则 a OE EA 1e1 2e2 .
(二) 向量的夹角
设两非零向量 OA a, OB b , 则∠AOBq 叫向量 a 与 b 的夹角.
高中数学人教A版必修4第二章平面向量的基本定理及坐标表示导学案
如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x . 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作 ，则点A 的位置由a 唯一确定.设 ，则向量 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.考点3 平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --= （2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=三、例题精析【例题1】已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.【例题2】设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b【例题3】已知平面向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，c ＝(3，－5)，则用a ，b 表示向量c 为( )A ．2a －bB ．－a ＋2bC ．a －2bD ．a ＋2b【例题4】已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与b 垂直，则λ等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2【例题5】已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( )A.12B ．2C ．－12D ．－2【例题6】在平面直角坐标系中，O 为原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC →＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，C 点的所有可能位置区域用阴影表示正确的是( )四、课堂运用【基础】1.设向量a ＝(1，x －1)，b ＝(x ＋1,3)，则“x ＝2”是“a ∥b ”的________条件．2.已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2 C.2D.22【巩固】1.已知向量a ＝(2cos θ，2sin θ)，b ＝(0，－2)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则向量a ，b 的夹角为( )A.3π2－θB ．θ－π2C.π2＋θD ．θ2.已知O(0,0)、A(2，－1)、B(1,3)、OP →＝OA →＋tAB →，求(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第四象限？ (2)四点O 、A 、B 、P 能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由．（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； （2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
人教A版高中数学必修四《平面向量的基本定理及坐标表示》3学案
湖南省隆回县万和实验学校高中数学《平面向量的基本定理及坐标表示2》学案 新人教A 版必修4学习目的：让学生掌握平面向量的和、差、积的运算，理解向量的坐标与端点的坐标换算，会用向量的运算求多边形在平面直角坐标系中的坐标。
学习重点： 平面向量的和、差、积的运算。
学习难点：用向量的运算求坐标系中的坐标。
学习过程1，知识回顾：1.向量的加、减法运算及其几何意义2.平面向量的正交分解及坐标表示2，思 考1、 平面向量和与差的运算 已知a (x 1, y 1) ，b (x 2, y 2)，如何求a +b ，a b 的坐标。
两个向量和（差）的坐标分别等于这丙个向量相应坐标的和（差）2、平面向量的数乘 已知a ＝(x 1, y 1)和实数λ,求λa 的坐标， λa ＝λ(x 1i +y 1j )＝λx 1i +λy 1j ＝（λx 1，λy 1）。
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
3、向量的坐标与端点的坐标换算例3 已知A （x 1, y 1) ，B (x 2, y 2)，求 AB 的坐标。
解：-=＝(x 2, y 2)－（x 1, y 1)＝(x 2－x 1, y 2－ y 1)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。
【典例剖析】例4见书97页例5， 已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A( 2, 1), B( 1, 3), C(3, 4)， 试求顶点D 的坐标。
解法一：设顶点D 的坐标为（x ，y ），AB ＝（－1－（－2），3－1）＝（1,2），DC ＝（3－x ，4－y ），由AB ＝DC ，得：（1,2）＝（3－x ，4－y ），所以⎩⎨⎧-=-=y x 4231，解得：x ＝2，y ＝2，所以顶点D 的坐标为（2,2）。
【知识梳理】 1、在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量=OA A 点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与向量a 的坐标统一为（x,y ） 2、两个向量相等等价于它们对应的坐标相等。
人教A版高中数学必修四《平面向量的基本定理及坐标表示》4学案
湖南省隆回县万和实验学校高中数学《平面向量的基本定理及坐标表示4》学案 新人教A 版必修4学习目的： 复习巩固平面向量坐标的概念，掌握共线向量充要条件的坐标表示，并且能用它解决向量平行（共线）的有关问题。
学习重点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解。
学习难点：定比分点的理解和应用（例8）。
学习过程：一、回顾旧知：1．向量的坐标表示；2．平面向量的坐标运算法则。
二，新课预习1．思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得b =λa ，那么这个条件如何用坐标来表示呢？2．推导：设a =(x 1, y 1)，b =(x 2, y 2)（ b 0），其中b a ，由a =λb ，(x 1, y 1) =λ(x 2, y 2)⎩⎨⎧==⇒,,2121y y x x λλ消去λ得x 1y 2－x 2y 1=0。
结论：a ∥b (b 0)⇔x 1y 2-x 2y 1=0。
注意：（1）消去λ时不能两式相除，因为y 1, y 2有可能为0，因为b 0，所以x 2, y 2中至少有一个不为0；（2）充要条件不能写成2211x y x y =，因为x 1, x 2有可能为0； 【典例剖析】例6 已知a ＝（4,2），b ＝（6，y ），且a ∥b ，求y 。
例7 已知A (-1, -1) ，B (1,3)， C (2,5)，试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系。
例8 设点P 是线段P 1P 2上的点，P 1、P 2的坐标分别是（x 1，y 1），（x 2，y 2）。
（1）当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；（2）当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标。
【知识梳理】1、建立平面向量的坐标，基础是平面向量的基本定理及正交分解，对所给向量应会根据条件X 轴和y 轴进行分解求出其坐标。
2、向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来了，这样，很多几何问题就转化为我们毫熟知的数量的运算。
人教A版高中数学必修四 2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》导学案1
2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》导学案【学习目标】1．了解平面向量基本定理；2．理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【导入新课】 复习引入： 1． 实数与向量的积实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa .（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时，λa与a 方向相同；λ<0时，λa 与a 方向相反；λ=0时，λa=. 2．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa+λb .3. 向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .新授课阶段一、平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e .探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量. 二、平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += (1)1我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作 ),(y x a = (2)2其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与a 相等的向量的坐标也为),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=. 如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a =，则点A 的位置由a 唯一确定.设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.三、平面向量的坐标运算 （1）若),(11y x a=，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则ba +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=，即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=.（2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB -OA =( x 2，y 2) -(x 1，y 1)= (x 2- x 1，y 2- y 1).（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=.例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB的坐标.例2 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：例4 已知三个力1F (3，4)，2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =0，求3F 的坐标.解：例5 已知a =(2,1), b =(－3,4),求 a ＋b ，a －b，3a ＋4b 的坐标.解：例6 已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）（3，4），求顶点D 的坐标。
人教A版高中数学必修四课件：2-3平面向量的基本定理及坐标表示 2-3-4
(2)x1y2－x2y1＝0. 这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从 而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和，程序化的特征． x1 y1 (3)当 x2y2≠0 时， ＝ . x2 y2 即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示， 而且不易出现搭配错误．
→ → 〔跟踪练习 2〕如果向量AB＝i－2j，BC＝i＋mj，其中 i、j 分别是 x 轴、y 轴 正方向上的单位向量， 试确定实数 m 的值， 使 A、 B、 C 三点共线. 导学号 14434766
[解析] 依题意知 i＝(1,0)，j＝(0,1)， → → 则AB＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，BC＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)． → → ∵AB、BC共线，∴1×m－(－2)×1＝0.∴m＝－2. 即当 m＝－2 时，A、B、C 三点共线．
→ → → [解析] ∵AB＝OB－OA＝(4,5)－(k,12)＝(4－k，－7)， → → → BC＝OC－OB＝(10，k)－(4,5)＝(6，k－5)． → → ∵A、B、C 三点共线，∴AB与BC共线， ∴(4－k)(k－5)－6×(－7)＝0， 解得 k＝11，或 k＝－2.
→ → → → 『规律总结』 使用 A、 B、 C 三点共线这一条件时， AC＝λBC， 或AB＝λAC等， → → 都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式，故用AB和BC.
1 即 λa－b＝－ (a＋2b)． 2 1 故当 λ＝－ 时，λa－b 与 a＋2b 平行； 2 平行时它们反向．
• 『规律总结』 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) ，其中b≠0.当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量 a，b共线．对条件的理解有两方面的含义 ：由x1y2－x2y1＝0，可判定a，b共线；反之 ，若a，b共线，则x1y2－x2y1＝0.
人教A版高中数学必修四《平面向量的基本定理及坐标表示》学案
湖南省隆回县万和实验学校高中数学《平面向量的基本定理及坐标表示》学案 新人教A 版必修4【学习目标】要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个或一个向量分解为两个向量．【学习重点】 .平面向量的基本定理及其应用． 【学习难点】平面向量的基本定理．一、课前回顾1.向量共线定理：2．向量的加法运算（平行四边形法则）；3给定平面内的任意俩个向量1e ，2e ，作出向量31e +22e ，1e —22e . 二、新课讲授1平面向量基本定理思考1;一个平面内的俩个不共线的向量1e ，2e 平面内与任意一个向量a 的关系1e ，2e 是不共线向量，a 是平面内任一向量，=1e ，OM =λ12e ，=a =OM +ON =λ11e +λ22e ，=2e ，ON =λ22e ．得平面向量基本定理：如果1e，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ 1 ，λ2使a ＝λ11e +λ22e ．我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 合作探究（1）假如1e,2e 共线，那么对于这一平面内的任一向量a ，是否也有且只有一对实数λ 1 ，λ2使a ＝λ11e +λ22e ．向量与非零向量共线，当且仅当有唯b a λλ一的一个实数，使=.b a（2）λ1，λ2是被a ，1e，2e 唯一确定的数量吗？（3）平面内的任一向量a 都可以由平面内的俩个不共线的向量1e ，2e 表示出来吗 2.向量的夹角:显然，不共线的向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：已知两个非零向量,a b，作=OA ,a =OB b ，则 叫做向量a 与b的夹角。
如果,θ=∠AOB 则θ的取值范围是 。
当 时，表示a 与b同向； 当 时，表示a 与b反向。
3.垂直向量如果 ，就称a 与b垂直，记作【典例剖析】例1 已知向量1e ,2e ，求作向量-2.51e+32e ．作法：（1）取点O ，作=-2.51e，=32e ， （2）作平行四边形OACB ，即为所求． 思考：此题还有其他的做法吗？三．知识梳理： １．平面向量的基本定理告诉我们，平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的。
高中数学新课标人教A版必修四《2.3.4平面向量的基本定理及坐标表示》课件2
课堂讲练互第十动七页，编辑于星活期一页：点规十范一分训。练
【变式 2】 已知 A(2,4)、B(－4,6)，如果A→C＝32A→B，B→D＝43B→A， 求 C，D，C→D的坐标． 解 设 C(x，y)，则由A→C＝32A→B得， (x－2，y－4)＝32(－6,2)，解得 x＝－7，y＝7， 即点 C 的坐标为 C(－7,7)． 又设 D(m，n)，则由B→D＝43B→A得， (m＋4，n－6)＝43(6，－2)，
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课堂讲练互第二动十六页，编辑于活星期页一：规点范十一训分练。
若是平行四边形 ACBD，则由A→C＝D→B得， 可得(6－3,7－2)＝(5－x,4－y)，解得 x＝2，y＝－1. 故所求顶点 D 的坐标为 D(2，－1)． 综上可得，以 A、B、C 为顶点的平行四边形的另一个顶点 D 的坐标是(4,5)或(8,9)或(2，－1)．
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课堂讲练互第十动八页，编辑于星活期一页：点规十范一分训。练
解得 m＝4，n＝130，即 D 点的坐标为4，130. 故C→D＝4，130－(－7,7)＝11，－131.
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课堂讲练互第十动九页，编辑于星活期一页：点规十范一分训。练
题型三 向量坐标运算的综合应用 【例 3】 如图，正方形 ABCD 中， P 为对角线 BD 上的一点，四边形 PECF 是矩形，用向量法证明 PA＝EF. 审题指导 本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标 系，用向量坐标法来解决，为此只要写出P→A和E→F的坐标，证明 其模相等即可．
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课堂讲练互第二动十页，编辑于星活期一页：点规十范一分训。练
[规范解答] 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边
长为 a，则 A(0，a)．设D→P＝λ(λ>0)，则 F 22λ，0，P 22λ， 22λ，
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§2.3.4 平面向量共线的坐标表示
1、在理解向量共线的概念的基础上，学习用坐标表示向量共线的条件。
2、利用向量共线的坐标表示解决有关问题。
（预习教材P98—P100）
复习：
⑴若点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y 那么向量AB 的坐标为 . ⑵若()()1122,,,a x y b x y ==，则a b += ，a b -= ，a λ=
二、新课导学
※ 探索新知
探究：平面向量共线的坐标表示
问题1：两向量平行（共线）的条件是什么？ 若,a b （0b ≠）共线，当且仅当存在实数λ，使 。
问题2：假设()()1122,,,a x y b x y ==（0b ≠），用坐标该如何表示这两个向量共线呢？
2、设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠，则//a b 等价于______________________。
※ 典型例题 例1、已知()2,4-=，()6,b y =，且//a b ，求y .
变式：判断下列向量a 与b 是否共线
①(2,3) (3,4)a b ==
②8(2,3) (,4)3
a b ==
例2、向量(),12OA k =，()4,5OB =，()10,OC k =，
当k 为何值时，,,A B C 三点共线.
变式：证明下列各组点共线：
（1）7(1,2) (3,4)(2,)2A B C --，、
、 （2）1(9,1) Q(1,3)(8,)2
P R -、
、
例3、设点P 是线段12P P 上的一点，12,P P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y . ⑴当点P 是线段12P P 的中点时，求点P 的坐标；
⑵当点P 是线段12P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标.
*变式： 当1
2PP PP λ=，点P 的坐标是什么？
三、小结反思
1．熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式；
2．会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行；
3．明白判断两直线平行与两向量平行的异同。
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1已知(2,3),(2,1),C(1,4)(7,4)A B D ----，判断AB 与CD 是否共线？
2、已知()()()2,1,,2,3,a b x c y =-==-，且////a b c ，求,x y 的值.
3、平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，求：
(1)求3a ＋b －2c ；
(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；
(3)若(a ＋k )// (2b －a )，求实数k .。