高中数学必修1 必修一指数函数测试题
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数必练题总结(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数必练题总结单选题1、函数①y =a x ；②y =b x ；③y =c x ；④y =d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，√3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．54，√3，13，12B ．√3，54，13，12 C ．12，13，√3，54，D ．13，12，54，√3，答案：C分析：根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.由题图，直线x =1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而√3>54>12>13.故选：C ．2、基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ） A ．1.2天B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天答案：B分析：根据题意可得I (t )=e rt =e 0.38t ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天，根据e 0.38(t+t 1)=2e 0.38t ，解得t 1即可得结果. 因为R 0=3.28，T =6，R 0=1+rT ，所以r =3.28−16=0.38，所以I (t )=e rt =e 0.38t ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天， 则e 0.38(t+t 1)=2e 0.38t ，所以e 0.38t 1=2，所以0.38t 1=ln2， 所以t 1=ln20.38≈0.690.38≈1.8天.故选：B.小提示：本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 3、下列函数中是增函数的为（ ）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍. 对于D ，f (x )=√x 3为R 上的增函数，符合题意， 故选：D.4、已知函数f(x)={x −2,x ∈(−∞,0)lnx,x ∈(0,1)−x 2+4x −3,x ∈[1,+∞) ，若函数g(x)=f(x)−m 恰有两个零点，则实数m 不可能．．．是（ ）A ．−1B ．0C ．1D ．2 答案：D解析：依题意画出函数图象，函数g(x)=f(x)−m 的零点，转化为函数y =f(x)与函数y =m 的交点，数形结合即可求出参数m 的取值范围；解：因为f(x)={x −2,x ∈(−∞,0)lnx,x ∈(0,1)−x 2+4x −3,x ∈[1,+∞)，画出函数图象如下所示， 函数g(x)=f(x)−m 的有两个零点，即方程g(x)=f(x)−m =0有两个实数根，即f(x)=m ，即函数y =f(x)与函数y =m 有两个交点，由函数图象可得m ≤0或m =1，故选：D小提示：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 5、化简√−a 3·√a 6的结果为（ ） A ．−√a B ．−√−a C ．√−a D ．√a 答案：A分析：结合指数幂的运算性质，可求出答案. 由题意，可知a ≥0，∴√−a3·√a6=(−a)13⋅a16=−a13⋅a16=−a13+16=−a12=−√a.故选：A.6、声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12).若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍答案：B分析：设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，由声强级得95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，求出I1、I2相除可得答案.设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，因为普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，所以95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12)，解得−2.5=lgI1，所以I1=10−2.5，45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12)，解得−7.5=lgI2，所以I2=10−7.5，两式相除得I1I2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍.故选：B.7、下列说法正确的个数是（）（1）49的平方根为7；（2）√a nn＝a(a≥0)；（3）(ab )5=a5b15；（4）√(−3)26=(−3)13．A．1B．2C．3D．4答案：A分析：（1）结合指数运算法则判断，49平方根应有两个；（2）正确；（3）应为a5b−5；（4）符号错误49的平方根是±7，（1）错；（2）显然正确；(ab )5=a5b−5，（3）错；√(−3)26=313，(4)错，正确个数为1个， 故选：A8、若ln2=a ，ln3=b ，则log 818=（ ） A ．a+3b a 3B ．a+2b 3aC ．a+2b a 3D ．a+3b 3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得. log 818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a 3a.故选：B 多选题9、已知函数f (x )=log 3(x 2−1)，g (x )=x 2−2x +a ，∃x 1∈[2,+∞)，∀x 2∈[13,3]有f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的可能取值是（ ）A ．12B ．1C ．52D ．3 答案：CD分析：将问题转化为当x 1∈[2,+∞)，x 2∈[13,3]时，f (x 1)min ≤g (x 2)min ，然后分别求出两函数的最小值，从而可求出a 的取值范围，进而可得答案∃x 1∈[2,+∞)，∀x 2∈[13,3]有f (x 1)≤g (x 2)等价于当x 1∈[2,+∞)，x 2∈[13,3]时，f (x 1)min ≤g (x 2)min ．当x ∈[2,+∞)时，令t =x 2−1，则y =log 3t ，因为t =x 2−1在[2,+∞)上为增函数，y =log 3t 在定义域内为增函数，所以函数f (x )=log 3(x 2−1)在[2,+∞)上单调递增，所以f (x )min =f (2)=1． g (x )=x 2−2x +a 的图象开口向上且对称轴为x =1， ∴当x ∈[13,3]时，g (x )min =g (1)=a −1，∴1≤a −1，解得a ≥2． 故选：CD ．10、已知x 1+log 3x1=0，x 2+log 2x2=0，则（ ）A．0<x2<x1<1B．0<x1<x2<1C．x2lgx1−x1lgx2<0D．x2lgx1−x1lgx2>0答案：BC分析：根据对数函数的性质可判断AB正误，由不等式的基本性质可判断CD正误.由x1=−log3x1>0可得0<x1<1，同理可得0<x2<1，因为x∈(0,1)时，恒有log2x<log3x所以x1−x2=log2x2−log3x1<0，即x1<x2，故A错误B正确；因为0<x1<x2<1，所以lgx1<lgx2<0，即0<−lgx2<−lgx1，由不等式性质可得−x1lgx2<−x2lgx1，即x2lgx1−x1lgx2<0，故C正确D错误.故选：BC小提示：关键点点睛：利用对数函数的真数大于零及对数函数的图象与性质可得0<x1<x2<1是解题的关键，根据不等式的基本性质可判断CD，属于中档题.11、已知函数f(x)=log a(x+1),g(x)=log a(1−x)(a>0,a≠1)，则（）A．函数f(x)+g(x)的定义域为(−1,1)B．函数f(x)+g(x)的图象关于y轴对称C．函数f(x)+g(x)在定义域上有最小值0D．函数f(x)−g(x)在区间(0,1)上是减函数答案：AB解析：求出函数f(x)+g(x)和f(x)−g(x)的解析式，再判断函数的定义域、奇偶性、借助复合函数的单调性与最值即可得出结论．解：∵f(x)=log a(x+1)，g(x)=log a(1−x)(a>0,a≠1)，∴f(x)+g(x)=log a(x+1)+log a(1−x)，由x+1>0且1−x>0得−1<x<1，故A对；由f(−x)+g(−x)=log a(−x+1)+log a(1+x)=f(x)+g(x)得函数f(x)+g(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，B对；∵−1<x<1，∴f(x)+g(x)=log a(1−x2)，∵y=1−x2在[0,1)上单调递减，由复合函数的单调性可知，当0<a<1时，函数f(x)+g(x)在[0,1)上单调递增，有最小值f(0)+g(0)=log a(1−0)=0；当a>1时，函数f(x)+g(x)在[0,1)上单调递减，无最小值；故 C错；∵f(x)−g(x)=log a(x+1)−log a(1−x)，当0<a<1时，f(x)=log a(x+1)在(0,1)上单调递减，g(x)=log a(1−x)在(0,1)上单调递增，函数f(x)−g(x)在(0,1)上单调递减；当a>1时，f(x)=log a(x+1)在(0,1)上单调递增，g(x)=log a(1−x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)−g(x)在(0,1)上单调递增；故D错；故选：AB．小提示：本题主要考查函数奇偶性与单调性的性质应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．填空题12、若f(x)=1+a3x+1(x∈R)是奇函数，则实数a=___________.答案：−2分析：利用f(0)=0可求得a，验证可知满足题意.∵f(x)定义域为R，且f(x)为奇函数，∴f(0)=1+a2=0，解得：a=−2；当a=−2时，f(x)=1−23x+1=3x−13x+1，∴f(−x)=3−x−13−x+1=1−3x1+3x=−f(x)，∴f(x)为R上的奇函数，满足题意；综上所述：a=−2.所以答案是：−2.13、心理学家有时用函数L(t)=A(1−e−kt)测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为（ln0.9≈−0.105，ln0.1≈−2.303）______．答案：0.021分析：该生在5min内能够记忆20个单词，将A=200，L(5)=20带入即可得出结论. 由题意可知200(1−e−5k)=20，所以，e−5k=0.9，所以ln e−5k=ln0.9≈−0.105，解得k≈0.021．所以答案是：0.021.14、已知函数f(x)={e x−1,x≥0，ax2+x+a,x<0恰有2个零点，则a=__________．答案：12##0.5分析：先求得f(x)在[0，+∞)上恰有1个零点，则方程ax2+x+a=0有1个负根，a=0时不成立，a≠0时，由一元二次方程的性质分Δ=0和Δ>0讨论求解即可.当x≥0时，令f(x)=e x−1=0，解得x=0，故f(x)在[0，+∞)上恰有1个零点，即方程ax2+x+a=0有1个负根.当a=0时，解得x=0，显然不满足题意；当a≠0时，因为方程ax2+x+a=0有1个负根，所以Δ=1−4a2≥0.当Δ=1−4a2=0，即a=±12时，其中当a=12时，12x2+x+12=0，解得x=−1，符合题意；当a=−12时，−12x2+x−12=0，解得x=1，不符合题意；当Δ=1−4a2>0时，设方程ax2+x+a=0有2个根x1，x2，因为x1x2=1>0，所以x1，x2同号，即方程ax2+x+a=0有2个负根或2个正根，不符合题意．综上，a=12．所以答案是：0.5.解答题15、已知函数f(x)=log2(2x+1).（1）求不等式f(x)>1的解集；（2）若函数g(x)=log2(2x−1)(x>0)，若关于x的方程g(x)=m+f(x)在[1,2]有解，求m的取值范围.答案：（1）{x|x>0}；（2）[log213,log235].分析：（1）由f(x)>1可得2x+1>2，从而可求出不等式的解集，（2）由g(x)=m+f(x)，得m=g(x)−f(x)=log2(1−22x+1)，再由x∈[1,2]可得log2(1−22x+1)的范围，从而可求出m的取值范围（1）原不等式可化为2x+1>2，即2x>1,∴x>0，所以原不等式的解集为{x|x>0}（2）由g(x)=m+f(x)，∴m=g(x)−f(x)=log2(1−22x+1)，当1≤x≤2时，25≤22x+1≤23，13≤1−22x+1≤35，m∈[log213，log235]。
全国通用2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数必考考点训练
全国通用2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数必考考点训练单选题1、下列计算中结果正确的是（ ） A ．log 102+log 105=1B ．log 46log 43=log 42=12C ．(log 515)3=3log 515=−3D ．13log 28=√log 283=√33答案：A分析：直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；解：对于A ：log 102+log 105=log 10(2×5)=log 1010=1，故A 正确； 对于B ：log 46log 43=log 36，故B 错误；对于C ：(log 515)3=(log 55−1)3=(−log 55)3=−1，故C 错误； 对于D ：13log 28=13log 223=13×3log 22=1，故D 错误； 故选：A2、中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C =Wlog 2(1+SN )，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ､信道内信号的平均功率S ､信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN 从1000提升至5000，则C 大约增加了（ ）（附：lg2≈0.3010） A ．20%B ．23%C ．28%D ．50% 答案：B分析：根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解. 将信噪比SN 从1000提升至5000时，C 大约增加了Wlog 2(1+5000)−Wlog 2(1+1000)Wlog 2(1+1000)=log 25001−log 21001log 21001≈lg5000lg2−lg1000lg2lg1000lg2=lg53=1−lg23≈0.23=23%.故选：B.3、设函数f (x )=lg (x 2+1)，则使得f (3x −2)>f (x −4)成立的x 的取值范围为（ ）A．(13,1)B．(−1,32)C．(−∞,32)D．(−∞,−1)∪(32,+∞)答案：D分析：方法一 :求出f(3x−2),f(x−4)的解析式,直接带入求解.方法二 : 设t=x2+1，则y=lgt，判断出f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数,由f(3x−2)>f(x−4)得|3x−2|>|x−4|，解不等式即可求出答案.方法一 :∵f(x)=lg(x2+1)∴由f(3x−2)>f(x−4)得lg[(3x−2)2+1]>lg[(x−4)2+1]，则(3x−2)2+1>(x−4)2+1，解得x<−1或x>32.方法二 :根据题意，函数f(x)=lg(x2+1)，其定义域为R，有f(−x)=lg(x2+1)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，设t=x2+1，则y=lgt，在区间[0,+∞)上，t=x2+1为增函数且t≥1，y=lgt在区间[1,+∞)上为增函数，则f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数，f(3x−2)>f(x−4)⇒f(|3x−2|)>f(|x−4|)⇒|3x−2|>|x−4|，解得x<−1或x>32，故选：D．4、Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=K1+e−0.23(t−53)，其中K为最大确诊病例数．当I(t∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t∗约为（）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．69答案：C分析：将t=t∗代入函数I(t)=K1+e−0.23(t−53)结合I(t∗)=0.95K求得t∗即可得解.∵I(t)=K1+e−0.23(t−53)，所以I(t∗)=K1+e−0.23(t∗−53)=0.95K，则e0.23(t∗−53)=19，所以，0.23(t∗−53)=ln19≈3，解得t∗≈30.23+53≈66.小提示：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 5、若2a +log 2a =4b +2log 4b ，则（ ） A ．a >2b B ．a <2b C ．a >b 2D ．a <b 2 答案：B分析：设f(x)=2x +log 2x ，利用作差法结合f(x)的单调性即可得到答案.设f(x)=2x +log 2x ，则f(x)为增函数，因为2a +log 2a =4b +2log 4b =22b +log 2b所以f(a)−f(2b)= 2a +log 2a −(22b +log 22b)= 22b +log 2b −(22b +log 22b) =log 212=−1<0，所以f(a)<f(2b)，所以a <2b .f(a)−f(b 2)= 2a +log 2a −(2b 2+log 2b 2)= 22b +log 2b −(2b 2+log 2b 2)= 22b −2b 2−log 2b ， 当b =1时，f(a)−f(b 2)=2>0，此时f(a)>f(b 2)，有a >b 2当b =2时，f(a)−f(b 2)=−1<0，此时f(a)<f(b 2)，有a <b 2，所以C 、D 错误. 故选：B.【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题. 6、已知函数f(x)=3|x|+x 2+2，则f(2x −1)>f(3−x)的解集为（ ） A ．(−∞,43)B ．(43,+∞)C ．(−2,43)D ．(−∞,−2)∪(43,+∞)答案：D分析：根据函数奇偶性可得f(x)为偶函数，根据解析式直接判断函数在[0,+∞)上的单调性，则可结合奇偶性与单调性解不等式得解集.解：因为f(x)=3|x|+x 2+2，则x ∈R所以f(−x)=3|−x|+(−x)2+2=3|x|+x 2+2=f(x)，则f(x)为偶函数，当x ⩾0时，f(x)=3x +x 2+2，又y =3x ，y =x 2+2在[0,+∞)上均为增函数，所以f(x)在[0,+∞)上为增函数，所以f(2x −1)>f(3−x)，即|2x −1|>|3−x|，解得x <−2或x >43， 所以f(2x −1)>f(3−x)的解集为(−∞,−2)∪(43,+∞).7、已知幂函数y =x a 与y =x b 的部分图象如图所示，直线x =14，x =12与y =x a ，y =x b 的图象分别交于A ､B ､C､D 四点，且|AB|=|CD|，则12a +12b =（ ）A ．12B ．1C ．√2D ．2答案：B分析：把|AB |=|CD |用函数值表示后变形可得．由|AB |=|CD |得(14)a−(14)b=(12)a−(12)b，即[(12)a−(12)b][(12)a+(12)b]=(12)a−(12)b≠0， 所以(12)a+(12)b=1，故选：B ．8、若2x =3，2y =4，则2x+y 的值为（ ） A ．7B ．10C ．12D ．34 答案：C分析：根据指数幂的运算性质直接进行求解即可. 因为2x =3，2y =4，所以2x+y =2x ⋅2y =3×4=12， 故选：C9、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）A．10名B．18名C．24名D．32名答案：B分析：算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.由题意，第二天新增订单数为500+1600−1200=900，90050=18，故至少需要志愿者18名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.10、已知实数a,b∈(1,+∞)，且log2a+log b3=log2b+log a2，则（）A．a<√b<b B．√b<a<b C．b<√a<a D．√a<b<a答案：B分析：对log2a−log a2<log2b−log b2，利用换底公式等价变形，得log2a−1log2a <log2b−1log2b，结合y=x−1 x 的单调性判断b<a，同理利用换底公式得log2a−1log2a<log3b−1log3b，即log2a>log3b，再根据对数运算性质得log2a>log2√b，结合y=log2x单调性，a>√b，继而得解.由log2a+log b3=log2b+log a2，变形可知log2a−log a2<log2b−log b2，利用换底公式等价变形，得log2a−1log2a <log2b−1log2b，由函数f(x)=x−1x在(0,+∞)上单调递增知，log2a<log2b，即a<b，排除C，D；其次，因为log2b>log3b，得log2a+log b3>log3b+log a2，即log2a−log a2>log3b−log b3，同样利用f(x)=x−1x的单调性知，log2a>log3b，又因为log3b=log√3√b>log2√b，得log2a>log2√b，即a>√b，所以√b<a<b.故选：B.填空题11、已知a=lg5，用a表示lg20=__________.答案：2−a分析：直接利用对数的运算性质求解因为a=lg5，所以lg20=lg1005=lg100−lg5=2−a，所以答案是：2−a12、函数y=a x+1(a>0,a≠1)恒过定点___________．答案：(−1,1)分析：利用指数型函数的特征，求解函数恒过的定点坐标.当x+1=0，即x=−1时，y=a0=1，所以y=a x+1(a>0,a≠1)恒过定点(−1,1).所以答案是：(−1,1)13、函数y＝log a(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图象恒过点________．答案：(0，－2)分析：由对数函数的图象所过定点求解．解：依题意，x+1=1，即x＝0时，y＝log a(0＋1)－2＝0－2＝－2，故图象恒过定点(0，－2)．所以答案是：(0，－2)解答题14、已知a 12+a−12=3，求下列各式的值.(1)a+a−1；(2)a2+a−2；(3)a 32+a−32+2a2+a−2+3.答案：(1)7(2)47(3)25分析：(1)将所给的等式两边平方，整理即可求得a+a−1的值；(2)将(1)中所得的结果两边平方，整理即可求得a2+a−2的值；(3)首先利用立方差公式可得a 32+a−32=(a12+a−12)(a−1+a−1)，然后结合(1)（2）的结果即可求得代数式的值.（1）将a 12+a−12=3两边平方，得a +a −1+2=9，所以a +a −1=7． （2）将a +a −1=7两边平方，得a 2+a −2+2=49， 所以a 2+a 2=47． （3）∵a 12+a −12=3，a +a −1=7，a 2+a 2=47， ∴a 32+a−32=(a 12)3+(a −12)3=(a 12+a −12)(a −1+a −1)=3×(7−1)=18，∴a 32+a−32+2a 2+a −2+3=18+247+3=25．15、已知函数f (x )=log a (a x −1)（a >0，a ≠1） （1）当a =12时，求函数f (x )的定义域；（2）当a =2时，存在x ∈[1,3]使得不等式f (x )−log 2(1+2x )>m 成立，求实数m 的取值范围. 答案：（1）(−∞,0)；（2）m <log 279,.分析：（1）利用真数大于0，即可求解定义域；（2）令g (x )=f (x )−log 2(1+2x )=log 2(2x −12x +1)，由题意可知m <g (x )max ，令t =2x −12x +1，求解t 的取值范围，然后可求g (x )max ，从而求出m 的取值范围.（1）当a =12时，f (x )=log 12(12x −1)，故：12x −1>0，解得：x <0，故函数f (x )的定义域为(−∞,0)；（2）由题意知，f (x )=log 2(2x −1)（a >1），定义域为x ∈(0,+∞)，易知f (x )为x ∈(0,+∞)上的增函数， 设g (x )=f (x )−log 2(1+2x )=log 2(2x −12x +1)，x ∈[1,3]，设t =2x −12x +1=1−22x +1，x ∈[1,3]，故2x +1∈[3,9]，t =1−22x +1∈[13,79]，因为g (x )=log 2t 单调递增，则g (x )∈[log 213,log 279].因为存在x ∈[1,3]使得不等式f (x )−log 2(1+2x )>m 成立故：m <g (x )max ,即m <log 279.。
(压轴题)高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测题(包含答案解析)
一、选择题1．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．211x y x -=-与1y x =+B ．y x =与log xa y a =（0a >且1a ≠）C．y =1y x =-D ．lg y x =与21lg 2y x =2．2017年5月，世界排名第一的围棋选手柯洁0：3败给了人工智能“阿法狗”.为什么人类的顶尖智慧战胜不了电脑呢？这是因为围棋本身也是一个数学游戏，而且复杂度非常高.围棋棋盘横竖各有19条线，共有1919361⨯=个落子点.每个落子点都有落白子､落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的上限3613M ≈.科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数8010N ≈.则下列各数中与MN最接近的是（ ）(参考数据：lg30.48≈) A ．3310B ．5310C ．7310D ．93103．已知0.20.33log 0.2,3,0.2a b c ===，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．已知函数||()2x f x =，记131(())4a f =，37(log )2b f =，13(log 5)c f =，则a ，b，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c a b >>5．已知函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A ．12-B ．-1C ．-5D ．126．已知函数3131()(),()log ,()(0)2xf x xg x x xh x x x x =-=-=->的零点分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小顺序为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>7．已知函数 ()lg 2x xe ef x --=，则f (x )是（ ）A ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递增B ．奇函数，且在R 上单调递增C ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递减D ．偶函数，且在R 上单调递减8．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数2y x =，x ∈[1，2]与函数.2y x =，[]2,1x ∈--即为同族函数，下面函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（ ）A ．y =xB ．1y x x=+ C ． 22x x y -=- D ．y ＝log 0.5x 9．如图是指数函数①y =x a ；②y =x b ；③y =c x ；④y =d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是（ ）A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c10．已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是( ) A ．52a - B ．2a -C ．23(1)a a -+D ．231a a --11．函数()22x xxf x -=+的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．12．已知函数()2,01,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若()()10f a f +=，则实数a 的值等于（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．3二、填空题13．函数12()log (2)f x x =-的定义域为______.14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，2log (1),01,()31,1,x x f x x x +<⎧=⎨--⎩则方程1()2f x =的所有实根之和为________. 15．已知函数log (3)a y ax =-在(1,2)上单调递减，则实数a 的取值范围为___________. 16．已知函数22()log ()f x ax x a =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是_________ 17．若函数11x y a+=+()0,1a a >≠恒过点(,)P m n ，则函数()11142x xf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[],m n 上的最小值是_____.18．函数()()212log 56f x x x =-+的单调递增区．．．间是__________． 19．设函数()f x =，则()()()()()()543456f f f f f f -+-+-++++=_____.20．已知奇函数()()y f x x R =∈满足：对一切x ∈R ，()()11f x f x +=-且[]0,1x ∈时，()1xf x e =-，则()2019f f =⎡⎤⎣⎦__________.三、解答题21．已知函数2()46f x ax x =-+．（1）若函数2log ()y f x =的值域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数log ()a y f x =在区间(1,3)上单调递增，求实数a 的取值范围． 22．设131()log 1axf x x -=-为奇函数，a 为常数． （1）求a 的值．（2）若[2,4]x ∀∈，不等式1()3xf x x m ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．23．设函数()()1xxf x a k a -=--，(0a >且1a ≠)是定义域为R 的奇函数，且()312f =. （1）求k ，a 的值；（2）求函数()f x 在[)1,+∞上的值域； （3）设()()222xx g x a a m f x -=+-⋅，若()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-，求m 的值；（4）对于（3）中函数()g x ，如果()0g x >在[)1,+∞上恒成立，求m 的取值范围. 24．（1）已知12x y +=，9xy =，且x y <，求11221122x y x y-+值；（2）求值：2(lg 2)lg5lg 20+⋅.25．已知函数()442xx f x =+；（1）若01a <<，求()()1f a f a +-的值； （2）求12320202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值． 26．已知函数()21log 1x f x x +=-， （1）求函数()y f x =的定义域； （2）证明：()y f x =是奇函数； （3）设()()()14h x f x f x =+，求函数()y h x =在[]3,7内的值域；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】分析各个选项中每组函数的定义域和对应关系，若定义域和对应关系均相同则为同一个函数，由此判断出正确选项. 【详解】A ．211x y x -=-的定义域为{}1x x ≠，1y x =+的定义域为R ，所以不是同一个函数；B ．y x =与log xa y a =的定义域均为R ，且log xa y a =即为y x =，所以是同一个函数；C ．y =(][),11,-∞-+∞，1y x =-的定义域为R ，所以不是同一个函数；D ．lg y x =的定义域为()0,∞+，21lg 2y x =的定义域为{}0x x ≠，所以不是同一个函数， 故选：B. 【点睛】思路点睛：同一函数的判断步骤：（1）先判断函数定义域，若定义域不相同，则不是同一函数；若定义域相同，再判断对应关系；（2）若对应关系不相同，则不是同一函数；若对应关系相同，则是同一函数.2．D解析：D 【分析】设36180310M x N ==，两边取对数，结合对数的运算性质进行整理，即可求出M N . 【详解】解：设36180310M x N ==，两边取对数36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，故选：D . 【点睛】 关键点睛:本题考查了对数的运算，关键是结合方程的思想令36180310x =，两边取对数后进行化简整理.3．B解析：B 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果 【详解】因为33log 0.2log 10<=，0.20331>=，...030002021<<=，a cb ∴<<． 故选：B ． 【点睛】比较大小问题，常见思路有两个：一是利用中间变量；二是利用函数的单调性直接解答4．A解析：A 【分析】首先判断函数()f x 的性质，再比较133317,log ,log 542⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系，从而利用单调性比较a ，b ，c 的大小关系. 【详解】()2xf x =是偶函数，并且当0x >时，2x y =是增函数，()133log 5log 5c f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为1310()14<<，3371log log 52<<，即1333170log log 542⎛⎫<<< ⎪⎝⎭ 又因为()y f x =在()0,∞+是增函数，所以a b c <<. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小，本题的关键是判断函数()2xf x =的性质，后面的问题迎刃而解.5．A解析：A 【分析】根据分段函数解析式，依次计算255log 122f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23log 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即可得选项.【详解】因为函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，所以2253log log 2122f ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，23log 2531222222f f⎡⎤⎛⎫∴=-=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查根据分段函数求解函数值，关键在于根据解析式分段求解，由内到外，准确认清自变量的所在的范围和适用的解析式.6．B解析：B 【分析】将函数3131()(),()log ,()(0)2xf x xg x x xh x x x x =-=-=->的零点，转化为函数y x =的图象分别与函数3131(),log ,(0)2xy y x y x x ===>的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解. 【详解】函数3131()(),()log ,()(0)2x f x x g x x x h x x x x =-=-=->的零点，即为函数y x =的图象分别与函数3131(),log ,(0)2xy y x y x x ===>的图象交点的横坐标， 如图所示：由图象可得：c a b >>， 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的零点以及指数函数，对数函数和幂函数的图象的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.7．A解析：A 【分析】本题考查函数的奇偶性和和单调性的概念及简单复合函数单调性的判定. 【详解】要使函数有意义，需使0,2x x e e -->即21,1,x xx e e e >∴>解得0;x >所以函数()f x 的为(0,);+∞定义域不关于原点对称，所以函数()f x 是非奇非偶函数；因为1,xxx y e y ee-==-=-是增函数，所以2x xe e y --=是增函数，又lg y x =是增函数，所以函数()lg 2x xe ef x --=在定义域(0,)+∞上单调递增.故选：A 【点睛】本题考查对数型复合函数的奇偶性和单调性，属于中档题.8．B解析：B 【分析】由题意，能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调，由此判断各个函数在其定义域上的单调性即可.【详解】对A ：y x =在定义域R 上单调递增，不能构造“同族函数”，故A 选项不正确；对B ：1y x x=+在(),1-∞-递增，在()1,0-递减，在()0,1递减，在()1,+∞递增，能构造“同族函数”，故B 选项正确； 对C ：22xxy -=-在定义域上递增，不能构造“同族函数”，故C 选项不正确； 对D ：0.5log y x =在定义域上递减，不能构造“同族函数”，故D 选项不正确. 故选：B. 【点睛】本题给出“同族函数”的定义，要求我们判断几个函数能否被用来构造“同族函数”，考查基本初等函数的单调性的知识点，属于基础题.9．B解析：B 【分析】根据指数函数的图象与性质可求解. 【详解】根据函数图象可知函数①y =x a ；②y =x b 为减函数，且1x =时，②y =1b <①y =1a ， 所以1b a <<，根据函数图象可知函数③y =c x ；④y =d x 为增函数，且1x =时，③y =c 1>④y =d 1， 所以1c d >> 故选：B 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，指数函数的图象，数形结合的思想，属于中档题.10．B解析：B 【解析】试题分析：33333333log 82log 6log 22log 233log 22(log 2log 3)-=-⨯=-+3log 222a =-=-,所以答案选B .考点：指数对数的计算11．B解析：B 【分析】根据函数为奇函数排除C ，取特殊值排除AD 得到答案. 【详解】 当()22x xx f x -=+，()()22x x xf x f x ---==-+，函数为奇函数，排除C ； 2221(2)22242f -=<=+，排除A ；3324(3)22536f -==+，4464(4)224257f -==+，故()()34f f >，排除D. 故选：B. 【点睛】 本题考查了函数图象的识别，意在考查学生的计算能力和识图能力，取特殊值排除是解题的关键.12．A解析：A 【分析】先求得()1f 的值，然后根据()f a 的值，求得a 的值. 【详解】由于()1212f =⨯=，所以()()20,2f a f a +==-，22a =-在()0,∞+上无解，由12a +=-解得3a =-，故选A.【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查已知分段函数值求自变量，属于基础题.二、填空题13．【分析】根据二次根式和对数式有意义的条件得到不等式组求解函数的定义域即可得结果【详解】根据题意可得：解得所以函数的定义域为故答案为：【点睛】该题考查的是有关求函数的问题涉及到的知识点有求给定函数的定 解析：(2,3]【分析】根据二次根式和对数式有意义的条件，得到不等式组求解函数的定义域即可得结果. 【详解】根据题意可得：1220log (2)0x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得23x <≤，所以函数()f x =(2,3]，故答案为：(2,3]. 【点睛】该题考查的是有关求函数的问题，涉及到的知识点有求给定函数的定义域，在解题的过程中，注意二次根式和对数式需要满足的条件即可得结果.14．【分析】画出分段函数的图像根据图像结合解析式进行求解【详解】根据分段函数的解析式以及函数为奇函数作图如下：由图容易知因为在区间上关于对称且在区间上关于对称故其与直线的所有交点的横坐标之和为0故所有根解析：21-【分析】画出分段函数的图像，根据图像，结合解析式，进行求解. 【详解】根据分段函数的解析式，以及函数为奇函数，作图如下：由图容易知，因为31y x =--在区间[)1,+∞上，关于3x =对称， 且31y x =---+在区间(],1-∞上，关于3x =-对称， 故其与直线12y =的所有交点的横坐标之和为0. 故1()2f x =所有根之和，即为当()0,1x ∈时的根， 此时()21log 12x +=，解得21x =. 21. 【点睛】本题考查函数图像的交点，涉及函数图像的绘制，函数奇偶性的应用，属函数综合题.15．【分析】由复合函数的单调性：同增异减由于递减因此必须递增即有还要考虑函数定义域即在时恒成立【详解】∵∴是减函数又在上是减函数所以且∴故答案为：【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性掌握复合函数单调性 解析：3(1,]2【分析】由复合函数的单调性：同增异减，由于3u ax =-递减，因此log a y u =必须递增，即有1a >，还要考虑函数定义域，即在(1,2)x ∈时，30ax ->恒成立．【详解】∵0a >，∴3u ax =-是减函数，又log (3)a y ax =-在(1,2)上是减函数，所以1a >， 且320a -≥，∴312a <≤． 故答案为：3(1,]2．【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，掌握复合函数单调性是解题关键，同时要考虑函数的定义域．16．【分析】设值域为根据题意对分类讨论结合根的判别式即可求解【详解】设值域为函数的值域为当时值域为满足题意；当时须解得综上实数a 的取值范围是故答案为:【点睛】本题考查对数函数的性质复合函数的性质二次函数 解析：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】设2()u x ax x a =++值域为A ，根据题意(0,)A +∞⊆，对a 分类讨论，结合根的判别式，即可求解. 【详解】设2()u x ax x a =++值域为A ，函数22()log ()f x ax x a =++的值域为,(0,)R A +∞⊆，当0a =时，2()log f x x =值域为R ，满足题意；当0a ≠时，须20140a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得102a <≤， 综上，实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为:10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查对数函数的性质，复合函数的性质，二次函数的取值和根的判别式的关系，属于中档题.17．【分析】先利用指数型函数恒过定点问题求定点得到换元令利用二次函数的单调性即可求解【详解】函数恒过点则区间变为由函数令则利用二次函数的单调性当时则函数在上的最小值是故答案为：【点睛】关键点睛：把指数型解析：34【分析】先利用指数型函数恒过定点问题求定点，得到1,2m n =-=，换元，令11,224xt t ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，利用二次函数的单调性，即可求解. 【详解】 函数11x y a+=+()0,1a a >≠恒过点()1,2-，则1,2m n =-=，区间[],x m n ∈变为[]1,2x ∈-，由函数()11142x xf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令11,224xt t ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭， 则()2213124f t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 利用二次函数的单调性，当12t =时，()min 34f t =，则函数()11142xxf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[],m n 上的最小值是34.故答案为：34. 【点睛】关键点睛：把指数型复合函数求最值问题转化为二次函数求最值问题是解决本题的关键.18．【分析】求出函数的定义域利用复合函数法可求得函数的单调递增区间【详解】对于函数有解得或所以函数的定义域为内层函数在区间上单调递减在区间上单调递增外层函数为减函数所以函数的单调递增区间为故答案为：【点 解析：(),2-∞【分析】求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()()212log 56f x x x =-+的单调递增区间. 【详解】对于函数()()212log 56f x x x =-+，有2560x x -+>，解得2x <或3x >.所以，函数()()212log 56f x x x =-+的定义域为()(),23,-∞+∞，内层函数256u x x =-+在区间(),2-∞上单调递减，在区间()3,+∞上单调递增， 外层函数12log y u =为减函数，所以，函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞.故答案为：(),2-∞. 【点睛】复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的单调性规律是“同则增，异则减”，即()y f u =与()u g x =.若具有相同的单调性，则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦为增函数，若具有不同的单调性，则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦必为减函数．19．【分析】根据指数的运算律计算出的值由此可计算出所求代数式的值【详解】因此故答案为【点睛】本题考查指数幂的化简计算解题的关键在于观察代数式结构并计算出为定值考查计算能力属于中等题解析：【分析】根据指数的运算律计算出()()1f x f x +-=的值，由此可计算出所求代数式的值. 【详解】()f x =()1122xx f x ∴-====， ()()12x x x f x f x ∴+-=+===，因此，()()()()()()5434566f f f f f f -+-+-++++==.故答案为 【点睛】本题考查指数幂的化简计算，解题的关键在于观察代数式结构并计算出()()1f x f x +-为定值，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】根据题意求得的周期性则可求再结合函数解析式求得函数值即可【详解】由题可知：因为对一切故关于对称；又因为是奇函数则可得故可得故函数是周期为的函数则又当故则故答案为：【点睛】本题考查利用函数周期 解析：31e e --【分析】根据题意，求得()f x 的周期性，则()2019f 可求，再结合函数解析式，求得函数值即可. 【详解】由题可知：因为对一切x R ∈，()()11f x f x +=-， 故()f x 关于1x =对称； 又因为()f x 是奇函数，则可得()()()()()21111f x f x f x f x f x +=++=--=-=-， 故可得()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=， 故函数()f x 是周期为4的函数. 则()()()201911f f f =-=-，又当[]0,1x ∈，()1x f x e =-，故()()201911f f e =-=-，则()()()()()320191131eff f e f e f e e-=-=--=--=-.故答案为：31e e --. 【点睛】本题考查利用函数周期性求函数值，属综合中档题；难点在于求得函数的周期.三、解答题21．（1）20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）[)2,+∞.【分析】（1）根据条件分析出2()46f x ax x =-+的值域包含()0,∞+，由此根据a 与0的关系分类讨论，求解出结果；（2）根据1,01a a ><<两种情况结合复合函数单调性的判断方法进行分类讨论，然后求解出a 的取值范围. 【详解】（1）因为()22log 46y ax x =-+的值域为R ，所以246y ax x =-+的值域包含()0,∞+，当0a =时，246y ax x =-+即46y x =-+，此时46y x =-+的值域为R ，满足； 当0a ≠时，则有016240a a >⎧⎨∆=-≥⎩，所以203a <≤，综上可知：20,3a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）当1a >时，log a y x =在()0+∞，上单调递增，所以2()46f x ax x =-+在()1,3上递增，所以()2110a f ⎧≤⎪⎨⎪>⎩，所以2a ≥，当01a <<时，log a y x =在()0+∞，上单调递减，所以2()46f x ax x =-+在()1,3上递减，所以()2330a f ⎧≥⎪⎨⎪>⎩，此时a 无解，综上可知：[)2,a ∈+∞. 【点睛】思路点睛：形如()()()2lg 0f x ax bx ca =++≠的函数，若函数的定义域为R ，则有0a >⎧⎨∆<⎩； 若函数的值域为R ，则有0a >⎧⎨∆≥⎩. 22．（1）1a =-；（2）89m <. 【分析】（1）由奇函数的性质()()0f x f x ，代入运算后可得1a =±，代入验证即可得解；（2）转化条件为131log 113xx x m x +<⎛⎫- ⎝+⎪⎭-对于[2,4]x ∀∈恒成立，令()[]131log ,2,4113xx g x x x x ⎛⎫-+=+⎝⎭∈- ⎪，结合函数的单调性求得()min g x 即可得解.【详解】（1）因为131()log 1axf x x -=-为奇函数， 则1113331111()()log log log 1111ax ax ax ax f x f x x x x x +-⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()21231log 01ax x-==-， 则()22111ax x -=-，所以21a =即1a =±， 当1a =时，()11331()log log 11xf x x -==--，不合题意； 当1a =-时，131()log 1x f x x +=-，由101xx +>-可得1x >或1x <-，满足题意； 故1a =-；（2）由1()3xf x x m ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭可得131log 113xx x m x ⎛⎫>+ +⎪⎭+⎝-，则131log 113xx x m x +<⎛⎫- ⎝+⎪⎭-对于[2,4]x ∀∈恒成立，令()[]131log ,2,4113xx g x x x x ⎛⎫-+=+⎝⎭∈- ⎪，因为函数12111x y x x +==+--在[2,4]上单调递减，所以函数131log 1xy x +=-在[2,4]上单调递增， 所以()g x 在[2,4]上单调递增，所以()()1min 32log 182993g x g -===+， 所以89m <. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将恒成立问题转化为求函数的最值. 23．（1）2a =，2k =；（2）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）2m =；（4）17,12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由奇函数性质求得k ，由3(1)2f =可求得a ； （2）利用函数的单调性得值域；（3）换元，设22x x t -=-，则3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()g x 转化为()222k t t mt =-+，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，由二次函数的性质求得最小值，再由最小值为2-可得m ， （4）在（3）基础上，由()k t 的最小值大于0可得m 的取值范围．【详解】解：（1）∵函数()()1xxf x a k a -=--，(0a >且1a ≠)是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，即()110k --=，2k =， ∵()312f =.∴132a a -=，2a =， ∴2a =，2k =， （2）1()2222xxx x f x -=-=-是增函数，∴1≥x 时，13()222f x ≥-=，即值域中3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； （3）()()2222222xx x x g x m --=+--，设22xxt -=-，[)1,x ∈+∞，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭， ∴()222k t t mt =-+，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，∵若()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-，∴()222k t t mt =-+，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭的最小值为2-，∴23222m m ⎧≥⎪⎨⎪-+=-⎩或3293224m m ⎧<⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩ 即2m =，或2512m =(舍去)， 故2m =；（4）()222k t t mt =-+，3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭， ∵()0g x >在[)1,+∞上恒成立， ∴()0k t >在3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，∴23220m m ⎧≥⎪⎨⎪-+>⎩或3293204m m ⎧<⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩， 解不等式得出x ∈∅或1712m <， ∴m 的取值范围为17,12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：本题考查指数函数的性质，考查奇偶性，由奇偶性同函数解析式，由单调性是函数的值域，在求函数()g x 的最值问题，不等式恒成立问题时，解题方法是换元法，即设22x x t -=-，把指数函数转化为二次函数，然后利用二次函数性质求解．24．（1）2）1. 【分析】（1）求出x y -的值，再化简11221122x y x y-+即得解；（2）利用对数的运算法则化简求解. 【详解】（1）因为222()()41249108x y x y xy -=+-=-⨯=，又x y <，所以x y -=-所以1111222221122()3x y x yx yx y--====--+.（2）原式22(lg2)lg5(1lg2)(lg2)lg5lg2lg5=+⋅+=+⋅+lg2(lg2lg5)lg5lg2lg51=++=+=.【点睛】关键点点睛：解答指数对数运算题的关键是通过观察式子的特点，再熟练利用指数对数的运算法则和性质求解.25．（1）1；（2）1010．【分析】（1）根据4()42xxf x=+的表达式，求出()(),1f a f a-的表达式，再进行分式通分运算，可得()()11f a f a+-=．（2）设12320202021202120212021S f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再把S的表达式运用加法交换律改写成20201202120212021202321S f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，把两式相加利用()(1)1f x f x+-=求出S的值．【详解】（1）4()42xxf x=+，x∈R．∴()()1f a f a+-1144444442424224a a a aa a aa--=+=+++++4214224aa a=+=++，（2）设12320202021202120212021S f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则20201202120212021202321S f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相加得：12[][][]92022020220120201202120212022120211021S f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由（1）得：202022011 09211,1,,221202120212021202120220101f f f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴220201010S S=⇒=.【点睛】本题考查指数幂运算，分式运算，利用函数的性质进行式子求值，考查运算求解能力. 26．（1）见解析；（2）见解析；（3）[]4,5 【分析】 （1）由不等式101x x +>-即可求出()f x 的定义域； （2）证明()()f x f x -=-可得()f x 为奇函数；（3）先求出()f x 在[]3,7上的值域，令()t f x =，求()14h t t t=+的值域. 【详解】 （1）由101x x +>-得：1x >或1x <-， ()f x ∴的定义域为()(),11,-∞-+∞；（2）()()222111log log log 111x x x f x f x x x x -+-+-===-=---+-， ()f x ∴为奇函数；（3）()22log 11f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭在[]3,7上单调递减，令()t f x =，则24log ,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 而()14h t t t=+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递减，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()2411log 15,4342h h h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴函数()h x 在[]3,7内的值域为[]4,5.【点睛】本题主要考查了对数型函数的定义域，奇偶性，考查了复合函数的单调性，值域求解，属于中档题.。
高一数学必修1《21-指数函数》单元检测题(含答案)
指数函数单元测试题一、选择题（共12小题，60分）1．根式11a a（式中0a >）的分数指数幂形式为 （ ） A ．43a- B ．43a C ．34a - D ．34a 2．若12a <，则化简24(21)a -的结果是 （ ） A ．21a - B ．21a -- C ．12a - D ．12a --3．值域为()0,+∞的函数是 （） A ．21y x x =-- B ．11()3x y -= C ．1321x y -=+ D ．24y x =-4．设123()4a -=，144()3b =，343()2c -=则,,a b c 的大小顺序是 （ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<5．若{}|2x M y y ==,{}|1N x y x ==-则M N = ( )A ．{}|1y y >B ．{}|1y y ≥C ．{}|0y y >D ．{}|0y y ≥6．已知2222x x -+=且1x >则22x x --= （） A ．2或-2 B ．-2 C ．6 D ．27．为了得到函数13()3x y =⨯的图象，可以把函数1()3xy =的图象 （） A ．向左平移3个单位长度 B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度8．使不等式31220x -->成立的x 的取值范围是 （） A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9．已知函数121,02,0()x x x x f x -->≤⎧=⎨⎩，则1(())9f f =（ ）A ．4B ．14 C ．4- D ．14-10．函数91()3x x f x -=的图象（ ） A ．关于原点对称 B ．关于直线y x =对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称 11．11－230＋7－210＝( ) A.6＋2－2 5B.2－ 6C.6－ 2 D ．25－6－ 2 12 若关于x 的方程323()25x a a +=-有负数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,5,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B ．()3,5,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ C ． 2,53⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．23,34⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上13．函数()12x f x =-的值域为__________.14．方程21124x -=的解x =__________. 15． 已知2323x =-++，x __________{}6|,a b a b Q +∈.(填∈、∉) 16．已知函数4()42xx f x =+，则(5)(4)(0)(6)f f f f -+-+++=__________. 三解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．求值：（1）6323 1.512⨯⨯；（2）433331733246339--+. （10分）18．对于函数2()()21x f x a a R =-∈+ （12分） （1）探索函数()f x 的单调性；（2）是否存在实数a ，使函数()f x 为奇函数？19 ．已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x (e ＝2.718…)．（12分）(1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值；(2)设f (x )f (y )＝4，g (x )g (y )＝8，求g (x ＋y )g (x －y )的值．20．已知()x x f x a a -=-（其中1a >，x R ∈）（12分）（1）判断并证明()f x 的奇偶性与单调性；（2）若22(23)()0f x x f m x x -++-->对任意的[]0,1x ∈均成立，求实数m 的取值范围.21．若函数()y f x =满足以下条件：（12分）①对于任意的,x R y R ∈∈，恒有()()()f x y f x f y +=⋅；②()0,x ∈+∞时，()()1,f x ∈+∞.（1）求(0)f 的值； （2）求证()()(()0)()f x f x y f y f y -=≠.22．已知函数f (x )＝(13)x ，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝f 2(x )－2af (x )＋3的最 小值为h (a )．(1)求h (a )；(2)是否存在实数m ，n ，同时满足以下条件：①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]．若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．（12分）1-----12 CCBBBDDABACD13 [)0,1 14 12- 15 ∈ 16 6 17 （1） 6. （2） 018 (1)任意实数a ，()f x 是定义域上的增函数；(2)存在实数a =1，使函数()f x 为奇函数19(1)[f (x )]2－[g (x )]2＝[f (x )＋g (x )]·[f (x )－g (x )]＝2·e x ·(－2e －x )＝－4e 0＝－4.(2)f (x )f (y )＝(e x －e －x )(e y －e －y )＝e x ＋y ＋e －(x ＋y )－e x －y －e －(x －y )＝g (x ＋y )－g (x －y )＝4① 同法可得g (x )g (y )＝g (x ＋y )＋g (x －y )＝8. ②解由①②组成的方程组得，g (x ＋y )＝6，g (x －y )＝2.∴g (x ＋y )g (x －y )＝62＝3. 20 （1）()f x 是奇函数且单调递增；证明略.（2）m 的取值范围()1,+∞.21 （1）(0)1f =.（2）证明略.22(1)因为x ∈[－1,1]，所以(13)x ∈[13，3]． 设(13)x ＝t ，t ∈[13，3]， 则g (x )＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2.当a <13时，h (a )＝φ(13)＝289－2a 3； 当13≤a ≤3时，h (a )＝φ(a )＝3－a 2； 当a >3时，h (a )＝φ(3)＝12－6a .所以h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 289－2a 3 (a <13)3－a 2 (13≤a ≤3)12－6a (a >3).(2)因为m >n >3，a ∈[n ，m ]，所以h (a )＝12－6a .因为h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，且h (a )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12－6m ＝n 212－6n ＝m 2，两式相减得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，因为m >n ，所以m －n ≠0，得 m ＋n ＝6，但这与“m >n >3”矛盾，故满足条件的实数m ，n 不存在．。
【金版教程】人教版高中数学必修一练习：2.1.2.1指数函数的基本内容(含答案解析)
1． [2015 ·福建六校高一联考 ]函数 f(x) ＝ 2x 的图象 ( )
A．关于原点对称
B ．关于直线 y＝ x 对称
C．关于 x 轴对称 D．关于 y 轴对称
答案 D
解析
f(x)
4x ＋ ＝x
2
1 ＝
2x ＋
2－
x
.
f(－
x)
＝
－
2
x＋
2x＝
f(x)
，
∴ f(x) 为偶函数，图象关于 y 轴对称． 2．如图是指数函数① y＝ ax，② y ＝bx，③ y ＝ cx，④ y＝ dx 的图象，则 a， b， c， d 与 1
解法二：作直线 x＝ 1，与四个图象分别交于 A ，B， C，D 四点，由于 x＝ 1 代入各个函
数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知
b＜ a
＜ 1＜ d＜ c.故选 B.
3．若 a>1，－ 1<b<0 ，则函数
y＝
x
a
＋限
B ．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限
D ．第一、二、四象限
答案 A
解析 ∵ a>1，且－ 1<b<0，故其图象如图所示．
ex ＋e－ x
4．函数 y＝ ex－ e－ x的图象大致为 (
)
的大小关系是 ( )
A． a＜ b＜1＜ c＜ d B． b＜ a＜ 1＜ d＜ c C． 1＜ a＜ b＜ c＜ d D． a＜ b＜1＜ d＜ c 答案 B 解析 解法一：在 y 轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大． 由指数函数图象的升降，知 c＞ d＞1， b＜ a＜ 1.
高中数学必修一2.2指数函数测试题
2.2指数函数重难点：对分数指数幂的含义的理解，学会根式与分数指数幂的互化并掌握有理指数幂的运算性质；指数函数的性质的理解与应用，能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题．考纲要求：①了解指数函数模型的实际背景；②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；③理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图像通过的特殊点；④知道指数函数是一类重要的函数模型．经典例题：求函数y=3的单调区间和值域．当堂练习：1．数的大小关系是（）A．B．C．D．2．要使代数式有意义,则x的取值范围是（）A．B．C．D．一切实数3．下列函数中，图象与函数y=4x的图象关于y轴对称的是（）A．y=－4x B．y=4－x C．y=－4－x D．y=4x+4－x4．把函数y=f(x)的图象向左、向下分别平移2个单位长度，得到函数的图象，则（）A．B．C．D．5．设函数，f(2)=4，则（）A．f(-2)>f(-1) B．f(-1)>f(-2) C．f(1)>f(2) D．f(-2)>f(2)6．计算.．7．设，求．8．已知是奇函数，则= ．9．函数的图象恒过定点．10．若函数的图象不经过第二象限，则满足的条件是．11．先化简,再求值: (1),其中；(2) ,其中．12．(1)已知x[-3,2]，求f(x)=的最小值与最大值．(2)已知函数在[0,2]上有最大值8,求正数a的值．(3)已知函数在区间[-1,1]上的最大值是14,求a的值．13．求下列函数的单调区间及值域:(1) ；(2)；(3)求函数的递增区间．14．已知(1)证明函数f(x)在上为增函数；(2)证明方程没有负数解．参考答案：经典例题：解：由题意可知，函数y=3的定义域为实数R．设u=－x2+2x+3（x∈R），则f（u）=3u，故原函数由u=－x2+2x+3与f（u）=3u复合而成．∵f（u）=3u在R上是增函数，而u=－x2+2x+3=－（x－1）2+4在x∈（－∞，1）上是增函数，在［1，+∞］上是减函数．∴y=f（x）在x∈（－∞，1）上是增函数，在［1，+∞］上是减函数．又知u≤4，此时x=1，∴当x=1时，ymax=f（1）=81，而3＞0，∴函数y=f（x）的值域为（0，81）当堂练习：1.A ;2. C ;3. B ;4. A ;5. A ;6. ;7. ;8. ;9. （1，0）;10. ;11.(1) 原式=(2)原式=12. (1)解：f(x)=, ∵x[-3,2], ∴．则当2-x=,即x=1时,f(x)有最小值；当2-x=8,即x=-3时，f(x)有最大值57．(2)解:设,当[0,2]时,,当0<a<1时,,矛盾;当a>1时,.综上所述,a=2．(3)原函数化为,当a>1时，因,得,从而,同理, 当0<a<1时,．13. (1)由得时单调递增，而是单调减函数，所以原函数的递减区间是,递增区间是; 值域是. (2),所以值域是;单调减区间是,单调增区间. (3)．设的定义域是，当时，单调递增，又是单调增函数，所以原函数的递增区间是．14.解: (1)任取且,则,又=,,故f(x)在上为增函数．(2)设存在,满足,则,由得,即与假设矛盾,所以方程无负数解．。
高中必修一指数和指数函数练习题及答案
指数和指数函数一、选择题 1．（369a ）4（639a ）4等于（ ）（A ）a16（B ）a8（C ）a4（D ）a 22.若a>1,b<0,且a b+a -b=22,则a b-a -b的值等于（ ）（A ）6 （B ）±2 （C ）-2 （D ）23．函数f （x ）=(a 2-1)x在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2<a （C ）a<2 （D ）1<2<a4.下列函数式中，满足f(x+1)=21f(x)的是( ) (A)21(x+1) (B)x+41 (C)2x (D)2-x5.下列f(x)=(1+a x )2xa-⋅是（ ）（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既奇且偶函数6．已知a>b,ab 0≠下列不等式（1）a 2>b 2,(2)2a>2b,(3)b a 11<,(4)a 31>b 31,(5)(31)a <(31)b中恒成立的有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个7．函数y=1212+-x x 是（ ）（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数 8．函数y=121-x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）⋃（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）⋃（0，+∞）9．下列函数中，值域为R +的是（ ） （A ）y=5x-21 （B ）y=(31)1-x （C ）y=1)21(-x （D ）y=x 21- 10.函数y=2xx e e --的反函数是（ ）（A ）奇函数且在R +上是减函数 （B ）偶函数且在R +上是减函数（C ）奇函数且在R +上是增函数 （D ）偶函数且在R +上是增函数 11．下列关系中正确的是（ ）（A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51）32（C ）（51）32<（21）31<（21）32（D ）（51）32<（21）32<（21）3112．若函数y=3+2x-1的反函数的图像经过P 点，则P 点坐标是（ ） （A ）（2，5） （B ）（1，3） （C ）（5，2） （D ）（3，1）13．函数f(x)=3x +5,则f -1(x)的定义域是（ ） （A ）（０，＋∞） （B ）（５，＋∞） （C ）（６，＋∞） （D ）（－∞，＋∞）14.若方程a x-x-a=0有两个根，则a 的取值范围是（ ） （A ）（1，+∞） （B ）（0，1） （C ）（0，+∞） （D ）φ15．已知函数f(x)=a x+k,它的图像经过点（1，7），又知其反函数的图像经过点（4，0），则函数f(x)的表达式是（ ）(A)f(x)=2x +5 (B)f(x)=5x +3 (C)f(x)=3x +4 (D)f(x)=4x+3 16.已知三个实数a,b=a a ,c=aaa ,其中0.9<a<1,则这三个数之间的大小关系是（ ）（A ）a<c<b （B ）a<b<c （C ）b<a<c （D ）c<a<b17．已知0<a<1,b<-1,则函数y=a x+b 的图像必定不经过（ ） (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 二、填空题 1．若a 23<a2,则a 的取值范围是 。
(必考题)高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(含答案解析)
一、选择题1．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．211x y x -=-与1y x =+B ．y x =与log xa y a =（0a >且1a ≠）C ．21y x =-与1y x =-D ．lg y x =与21lg 2y x =2．函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大致图象是（ ）. A ． B ．C ．D ．3．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，页常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数()22xy xx R =-∈的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数()()3,<1log ,1a a x a x f x x x ⎧--=⎨≥⎩的值域．．是R ，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()1,+∞C ．()()0,11,3D ．3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R ．则实数a 的取值范围是（ ） A ．5[1,]3B ．5(1,]3C ．(]5,1(,)3-∞-⋃+∞D ．()5,1[1,)3-∞-6．已知：23log 2a =，42log 3b =，232c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<7．函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为（ ）. A ．(0,+∞)B ．(-,0)C ．(2,+∞)D ．(-,-2)8．已知函数()f x 是定义在R 上的单调递增的函数，且满足对任意的实数x 都有[()3]4x f f x -=，则()()f x f x +-的最小值等于（ ）.A ．2B ．4C ．8D ．129．函数1()1x f x a +=-恒过定点（ ）A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,0)-D ．(1,1)--10．如图是指数函数①y =x a ；②y =x b ；③y =c x ；④y =d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是（ ）A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c11．函数2()ln(43)f x x x =+-的单调递减区间是（ ）A ．32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦12．已知函数()2,01,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若()()10f a f +=，则实数a 的值等于（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．3二、填空题13．下列命题中所有正确的序号是_____________.①函数1()3x f x a -=+(0a >且1)a ≠的图像一定过定点(1,4)P ； ②函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)； ③若1log 12a>，则a 的取值范围是112⎛⎫⎪⎝⎭，； ④若22ln ln()x y x y -->-- (0x >,0y <)，则0x y +<.14．函数()log 31a y x =+-.（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上（其中m ，0n >），则12m n+的最小值等于__________. 15．设函数2()ln(1)f x x x =+，若()23(21)0f a f a +-<，则实数a 的取值范围为_____.16．函数()()cos1log sin f x x =的单调递增区间是____________. 17．函数()()212log 56f x x x =-+的单调递增区．．．间是__________． 18．已知奇函数()()y f x x R =∈满足：对一切x ∈R ，()()11f x f x +=-且[]0,1x ∈时，()1xf x e =-，则()2019f f =⎡⎤⎣⎦__________.19．设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是_______________.20．如果()231log 2log 9log 64x x x f x =-+-，则使()0f x <的x 的取值范围是______.三、解答题21．已知函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--，（0a >且1a ≠） （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性，并予以证明； （3）求使()0f x >的x 取值范围. 22．已知函数122()log 2xf x x-=+． （1）求函数()f x 的定义域，并判断其奇偶性；（2）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用单调性定义证明． 23．已知函数()421()x x f x a a R =-+⋅-∈. （1）当1a =时，求()f x 的值域； （2）若()f x 在区间[]1,0-的最大值为14-，求实数a 的值. 24．已知函数35()log 5xf x x-=+． （1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 奇偶性，并证明你的结论.25．已知集合(){}2log 33A x x =+≤，{}213B x m x m =-<≤+. （1）若2m =-，求AB ；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.26．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x 时，()121xaf x =++. （1）求实数a 的值及()f x 的解析式； （2）求方程4|(1)|5f x -=的解.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】分析各个选项中每组函数的定义域和对应关系，若定义域和对应关系均相同则为同一个函数，由此判断出正确选项. 【详解】A ．211x y x -=-的定义域为{}1x x ≠，1y x =+的定义域为R ，所以不是同一个函数；B ．y x =与log xa y a =的定义域均为R ，且log xa y a =即为y x =，所以是同一个函数； C．y =(][),11,-∞-+∞，1y x =-的定义域为R ，所以不是同一个函数；D ．lg y x =的定义域为()0,∞+，21lg 2y x =的定义域为{}0x x ≠，所以不是同一个函数， 故选：B. 【点睛】思路点睛：同一函数的判断步骤：（1）先判断函数定义域，若定义域不相同，则不是同一函数；若定义域相同，再判断对应关系；（2）若对应关系不相同，则不是同一函数；若对应关系相同，则是同一函数.2．A解析：A 【分析】去绝对值符号后根据指数函数的图象与性质判断． 【详解】由函数解析式可得：1,022,0xx x y x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩可得值域为：01y <≤，由指数函数的性质知：在(),0-∞上单调递增；在()0,∞+上单调递减. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.3．A解析：A 【分析】分析函数()()22xf x xx R =-∈的奇偶性，结合()01f =可得出合适的选项.【详解】令()22=-xf x x ，该函数的定义域为R ，()()()2222xxf x x x f x --=--=-=，函数()22=-xf x x 为偶函数，排除B 、D 选项；又()010f =>，排除C 选项. 故选：A. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．A解析：A 【分析】当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，,从而可得答案. 【详解】由题意，()f x 的值域为R ，当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 所以不满足()f x 的值域为R .当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，， 所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，, 若3a =时，当1x <时，3y a =-=-，不满足()f x 的值域为R .若3a >时，当1x <时，()3y a x a =--单调递减，()332y a x a a =-->- 所以不满足()f x 的值域为R .若13a <<时，当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 要使得()f x 的值域为R ，则320a -≥，即32a ≤ 所以满足条件的a 的取值范围是：312a <≤， 故选：A ．【点睛】关键点睛：本题考查根据函数的值域求参数的范围，解答本题的关键是当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，，属于中档题. 5．A解析：A 【分析】当函数的值域为R 时，命题等价于函数()()22111y a x a x =-+++的值域必须包含区间()0+∞，得解 【详解】22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R令()()22111y a x a x =-+++，则()()22111y a x a x =-+++的值域必须包含区间()0+∞，当210a -=时，则1a =± 当1a =时，21y x =+符合题意； 当1a =-时，1y =不符合题意；当1a ≠±时，()()222101410a a a ⎧->⎪⎨∆=+--≥⎪⎩，解得513a <≤ 513a ∴≤≤，即实数a 的取值范围是5[1,]3故选：A 【点睛】转化命题的等价命题是解题关键.6．A解析：A 【分析】由换底公式和对数函数的性质可得112b a <<<，再由指数函数的性质可得102c <<，即可得解. 【详解】23ln3ln12log =02ln 2ln 2a ==>，4212ln ln 2ln1323log =03ln 4ln 2ln 2b ====<， a b ∴>22223231log log 410,239222a c -⎛⎫⎛⎫<===< ⎪ ⎪⎭=⎝>⎭=⎝，b c a ∴<<， 故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查了对数式、指数式的大小比较，比较大小的常用方法为同底的对数式和指数式利用其单调性进行比较，也可以借助于中间值0和1进行比较，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于常考题.7．D解析：D 【分析】求出函数的定义域，根据对数型复合函数的单调性可得结果. 【详解】函数()212()log 4f x x =-的定义域为()(),22,-∞-+∞，因为函数()f x 是由12log y u =和24u x =-复合而成，而12log y u =在定义域内单调递减，24u x =-在(),2-∞-内单调递减，所以函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为(),2-∞-， 故选：D. 【点睛】易错点点睛：对于对数型复合函数务必注意函数的定义域.8．B解析：B 【分析】根据()3x f x -为定值，可假设()3xf x m =+，然后计算()()f x f x +-，并计算m 的值，然后使用基本不等式，可得结果. 【详解】由题可知：()3xf x -为定值故设()3xf x m -=，即()3xf x m =+又[()3]4xf f x -=，所以()341mf m m m =+=⇒= 则()31xf x =+()()3131x x f x f x -+-=+++则1()()32243x x f x f x +-=++≥= 当且仅当133xx =时，取等号 所以()()f x f x +-的最小值为：4故选：B 【点睛】本题考查基本不等式的应用，还考查镶嵌函数的应用，难点在于()3xf x -为定值，审清题意，细心计算，属中档题.9．C解析：C 【分析】根据指数函数性质求定点. 【详解】因为01a =,所以()011f a -=-=0,因此过定点()1,0-,选C.【点睛】本题考查指数函数性质以及定点问题，考查基本分析求解能力，属于基础题.10．B解析：B 【分析】根据指数函数的图象与性质可求解. 【详解】根据函数图象可知函数①y =x a ；②y =x b 为减函数，且1x =时，②y =1b <①y =1a ， 所以1b a <<，根据函数图象可知函数③y =c x ；④y =d x 为增函数，且1x =时，③y =c 1>④y =d 1， 所以1c d >> 故选：B 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，指数函数的图象，数形结合的思想，属于中档题.11．B解析：B 【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性同增异减，即可求解. 【详解】由2430x x +->得2340x x --<，解得：14x -<<，2()ln(43)f x x x =+-由ln y t =和234t x x =-++复合而成，ln y t =在定义域内单调递增，234t x x =-++对称轴为32x =，开口向下， 所以 234t x x =-++在31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增，在3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减， 所以2()ln(43)f x x x =+-的单调减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：B 【点睛】本题主要考查了利用同增异减求复合函数的单调区间，注意先求定义域，属于中档题12．A解析：A 【分析】先求得()1f 的值，然后根据()f a 的值，求得a 的值. 【详解】由于()1212f =⨯=，所以()()20,2f a f a +==-，22a =-在()0,∞+上无解，由12a +=-解得3a =-，故选A.【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查已知分段函数值求自变量，属于基础题.二、填空题13．①③④【分析】由指数函数的图象函数的定义域对数函数的性质判断各命题①令代入判断②利用函数的定义求出的定义域判断③由对数函数的单调性判断④引入新函数由它的单调性判断【详解】①令则即图象过点①正确；②则解析：①③④ 【分析】由指数函数的图象，函数的定义域，对数函数的性质判断各命题．①，令1x =代入判断，②利用函数的定义求出()f x 的定义域判断，③由对数函数的单调性判断，④引入新函数1()ln 2ln 2xxg x x x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由它的单调性判断．【详解】①令1x =，则(1)4f =，即()f x 图象过点(1,4)，①正确； ②13x <<，则012x <-<，∴()f x 的定义域是(0,2)，②错；③1log 1log 2a a a ，∴0112a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩，∴112a <<．③正确；④由22ln ln()x y x y -->-- (0x >,0y <)，得ln 2ln()2x y x y --<--， 又1()ln 2ln 2xx g x x x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭是(0,)+∞上的增函数， ∴由ln 2ln()2x y x y --<--，得x y <-，即0x y +<，④正确． 故答案为：①③④【点睛】关键点点睛：本题考查指数函数的图象，对数函数的单调性，函数的定义域问题，定点问题：（1）指数函数(0x y a a =>且1)a ≠的图象恒过定点(0,1)；（2）对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠的图象恒过定点(1,0)，解题时注意整体思想的应用．14．8【分析】根据函数平移法则求出点得再结合基本不等式即可求解【详解】由题可知恒过定点又点在直线上故当且仅当时取到等号故的最小值等于8故答案为：8【点睛】本题考查函数平移法则的使用基本不等式中1的妙用属 解析：8【分析】根据函数平移法则求出点A ()2,1--，得21m n +=，再结合基本不等式即可求解【详解】由题可知，()log 31a y x =+-恒过定点()2,1--，又点A 在直线 10mx ny ++=上，故21m n +=，()121242448n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当122n m ==时取到等号，故12m n+的最小值等于8 故答案为：8【点睛】本题考查函数平移法则的使用，基本不等式中“1”的妙用，属于中档题15．【分析】根据已知可得为奇函数且在上单调递增不等式化为转化为关于自变量的不等式即可求解【详解】的定义域为是奇函数设为增函数在为增函数在为增函数在处连续的所以在上单调递增化为等价于即所以实数的取值范围为 解析：1(1,)3- 【分析】根据已知可得()f x 为奇函数且在R 上单调递增，不等式化为()23(12)f a f a <-，转化为关于自变量的不等式，即可求解.【详解】()f x 的定义域为R ，()()))ln10f x f x x x +-=+==，()f x ∴是奇函数，设,[0,)()x u x x =∈+∞为增函数，()f x 在[0,)+∞为增函数，()f x 在(,0)-∞为增函数，()f x 在0x =处连续的，所以()f x 在R 上单调递增，()23(21)0f a f a +-<，化为()23(12)f a f a <-，等价于2312a a <-，即213210,13a a a +-<-<<， 所以实数a 的取值范围为1(1,)3-.故答案为: 1(1,)3-【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，熟练掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题. 16．【分析】根据对数型复合函数单调性列不等式再根据正弦函数性质得结果【详解】单调递增区间为单调递减区间且所以故答案为：【点睛】本题考查对数型复合函数单调性以及正弦函数性质考查基本分析求解能力属基础题 解析：[2,2),()2k k k Z ππππ++∈ 【分析】根据对数型复合函数单调性列不等式，再根据正弦函数性质得结果.【详解】()()cos1cos1(0,1)log sin f x x ∈∴=单调递增区间为sin y x =单调递减区间且sin 0x >， 所以22,()2k x k k Z ππππ+≤<+∈， 故答案为：[2,2),()2k k k Z ππππ++∈【点睛】 本题考查对数型复合函数单调性以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 17．【分析】求出函数的定义域利用复合函数法可求得函数的单调递增区间【详解】对于函数有解得或所以函数的定义域为内层函数在区间上单调递减在区间上单调递增外层函数为减函数所以函数的单调递增区间为故答案为：【点 解析：(),2-∞【分析】求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()()212log 56f x x x =-+的单调递增区间.【详解】对于函数()()212log 56f x x x =-+，有2560x x -+>，解得2x <或3x >. 所以，函数()()212log 56f x x x =-+的定义域为()(),23,-∞+∞，内层函数256u x x =-+在区间(),2-∞上单调递减，在区间()3,+∞上单调递增， 外层函数12log y u =为减函数，所以，函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞. 故答案为：(),2-∞.【点睛】复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的单调性规律是“同则增，异则减”，即()y f u =与()u g x =.若具有相同的单调性，则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦为增函数，若具有不同的单调性，则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦必为减函数．18．【分析】根据题意求得的周期性则可求再结合函数解析式求得函数值即可【详解】由题可知：因为对一切故关于对称；又因为是奇函数则可得故可得故函数是周期为的函数则又当故则故答案为：【点睛】本题考查利用函数周期 解析：31e e --【分析】根据题意，求得()f x 的周期性，则()2019f 可求，再结合函数解析式，求得函数值即可.【详解】由题可知：因为对一切x R ∈，()()11f x f x +=-，故()f x 关于1x =对称；又因为()f x 是奇函数，则可得()()()()()21111f x f x f x f x f x +=++=--=-=-，故可得()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=，故函数()f x 是周期为4的函数.则()()()201911f f f =-=-，又当[]0,1x ∈，()1x f x e =-，故()()201911f f e =-=-， 则()()()()()320191131e f f f e f e f e e -=-=--=--=-.故答案为：31e e --.【点睛】本题考查利用函数周期性求函数值，属综合中档题；难点在于求得函数的周期. 19．【分析】根据分段函数分段解不等式最后求并集【详解】当时因为解得：∴当时解得：所以综上原不等式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式涉及指数与对数运算属于基础题解析：[0,)+∞【分析】根据分段函数，分段解不等式，最后求并集.【详解】当1x ≤时，1()2x f x -=，因为11x -≤，解得：0x ≥，∴01x ≤≤ ，当1x >时，2()1log 2f x x =-≤，2log 1x ≥-，解得：12x ≥，所以1x >， 综上，原不等式的解集为[)0,+∞.故答案为：[)0,+∞.【点睛】 本题主要考查了解分段函数不等式，涉及指数与对数运算，属于基础题.20．【分析】可结合对数化简式将化简为再解对数不等式即可【详解】由由得即当时故；当时无解综上所述故答案为：【点睛】本题考查对数化简公式的应用分类讨论求解对数型不等式属于中档题 解析：81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】可结合对数化简式将()f x 化简为()1log 2log 3log 4x x x f x =-+-，再解对数不等式即可【详解】由()2323231log 2log 9log 641log 2log 3log 4x x x x x x f x =-+-=-+- 31log 2log 3log 41log 8x x x x =-+-=+，由()0f x <得81log 03x -<， 即8log log 3x x x >， 当1x >时，83x <，故81,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；当()0,1x ∈时，83x >，无解 综上所述，81,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 故答案为：81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查对数化简公式的应用，分类讨论求解对数型不等式，属于中档题三、解答题21．（1）{|11}x x -<<；（2）函数()f x 是奇函数，证明见解析；（3）当1a >时，01x <<；当01a <<时，10x -<<【分析】（1）根据对数的真数为正数列式可解得结果；（2）函数()f x 是奇函数，根据奇函数的定义证明即可；（3）不等式化为log (1)log (1)a a x x +>-后，分类讨论底数a ，根据对数函数的单调性可解得结果.【详解】（1）要使函数数()f x 有意义，则必有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<， 所以函数()f x 的定义域是{|11}x x -<< .（2）函数()f x 是奇函数，证明如下：∵(1,1)x ∈-，(1,1)x -∈-，()log (1)log (1)a a f x x x -=--+[]log (1)log (1)a a x x =-+--()f x =-，∴函数()f x 是奇函数（3）使()0f x >，即log (1)log (1)a a x x +>-当1a >时，有111010x x x x +>-⎧⎪->⎨⎪+>⎩，解得01x <<，当01a <<时，有111010x x x x +<-⎧⎪->⎨⎪+>⎩，解得10x -<<.综上所述：当1a >时，01x <<；当01a <<时，10x -<<.【点睛】方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法：有分式时：分母不为0；有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0；有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0；有指数函数形式时：底数和指数都含有x ，指数底数大于0且不等于1；有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1.22．（1）定义域为(2,2)-，奇函数（2）函数()f x 在(2,2)-上为增函数，证明见解析【分析】（1）根据真数大于0可得定义域，根据奇函数的定义可得函数为奇函数；（2）设1222x x -<<<，根据对数函数的单调性可得12()()f x f x <，再根据定义可证函数()f x 在(2,2)-上为增函数.【详解】（1）由函数有意义得202x x->+，解得22x -<<， 所以函数的定义域为(2,2)-， 因为1112222()log log ()22x x f x f x x x -+-⎛⎫-===- ⎪-+⎝⎭， 所以函数为奇函数.（2）因为124()log 12f x x ⎛⎫=-+⎪+⎝⎭，所以函数()f x 在(2,2)-上为增函数， 证明：设1222x x -<<<，则120224x x <+<+<，则1244122x x >>++，则124411022x x -+>-+>++， 因为1012<<，所以12()()f x f x <，所以函数()f x 在(2,2)-上为增函数， 【点睛】思路点睛：判断函数的奇偶性的思路：①求出定义域，并判断其是否关于原点对称；②若定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再判断()f x -与()f x 的关系，若()()f x f x -=-，则函数为奇函数；若()()f x f x -=，则函数为偶函数.23．（1）3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；（2）a =【分析】（1）令()20,xt =∈+∞，可得21y t t =-+-，利用二次函数的性质可求出； （2）令12,12x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，可得21y t at =-+-，讨论对称轴2a t =的取值范围结合二次函数的性质即可求出.【详解】（1）()2()421221x x x x f x a a =-+⋅-=-+⋅-.令()20,xt =∈+∞，21y t at =-+-，1a =时，2213124y t t t ⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ∴当12t =时，max 34y =-，∴3,4y ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦， 所以()f x 的值域为3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. （2）令12,12x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，22211124a y t at t a ⎛⎫=-+-=---+ ⎪⎝⎭， 其图象的对称轴为2a t =. ①当122a ≤，即1a ≤时，函数y 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 当12t =时，max 1111424y a =-+-=-，解得2a =，与1a ≤矛盾； ②当12a ≥，即2a ≥时，函数y 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 当1t =时，max 1114y a =-+-=-，解得74a =，与2a ≥矛盾， ③当1122a <<，即12a <<时，函数y 在1,22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.当2a t =时，2max 11144y a =-=-，解得a =，舍去a =综上，a =【点睛】思路点睛：求二次函数在闭区间[],a b 的最值的思路；（1）二次函数开口向上时，求函数的最大值，讨论对称轴和2a b +的大小求解； （2）二次函数开口向上时，求函数的最小值，讨论对称轴在(]()[),,,,,a a b b -∞+∞三个区间的范围求解.24．（1）(5,5)- （2）奇函数，见解析【分析】（1）若()f x 有意义,则需满足505x x->+,进而求解即可； （2）由（1）,先判断定义域是否关于原点对称,再判断()f x -与()f x 的关系即可.【详解】（1）由题,则505x x->+,解得55x -<<,故定义域为()5,5-（2）奇函数,证明:由（1）,()f x 的定义域关于原点对称,因为()()33355log log log 1055x x f x f x x x +--+=+==-+,即()()f x f x -=-, 所以()f x 是奇函数【点睛】本题考查具体函数的定义域,考查函数的奇偶性的证明.25．（1）{}31A B x x ⋂=-<≤；（2）[][)1,24,m ∈-+∞ 【分析】（1）计算{}35A x x =-<≤，{}51B x x =-<≤，再计算交集得到答案.（2）A B A ⋃=，故B A ⊆，讨论B =∅和B ≠∅，计算得到答案.【详解】（1）(){}{}2log 3335A x x x x =+≤=-<≤，{}51B x x =-<≤， 故{}31A B x x ⋂=-<≤.（2）{}35A x x =-<≤，A B A ⋃=，故B A ⊆， 当B =∅时，213m m -≥+，解得4m ≥；当B ≠∅时，4m <，故21335m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得12m -≤≤. 综上所述：[][)1,24,m ∈-+∞.【点睛】本题考查交集运算，根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 26．(1) 2a =-,()2121x x f x -=+;(2) 212log 3x =+或212log 3x =- 【分析】(1)根据奇函数(0)0f =求解a ,再根据奇函数的性质求解()f x 的解析式即可.(2)根据(1)可得()2121x x f x -=+为奇函数,可先求解4|()|5f t =的根,再求解4|(1)|5f x -=即可. 【详解】(1)因为()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()121x a f x =++,故0(0)1021a f =+=+,即102a +=,解得2a =-.故当0x ≥时,()22112121x x x f x -=-=++. 所以当0x < 时, ()()211221211221x x x x x x f x f x -----=--=-=-=+++.故()2121x x f x -=+ (2) 先求解4|()|5f t =,此时()214215t t f t -==±+. 当()()214421521215t t t t -=⇒+=-+,即29t =解得22log 92log 3t ==. 因为()2121x x f x -=+为奇函数,故当214215t t -=-+时, 22log 3t =-. 故4|(1)|5f x -=的解为212log 3x -=或212log 3x -=-, 解得212log 3x =+或212log 3x =-【点睛】本题主要考查了根据奇函数求解参数的值以及解析式的方法,同时也考查了根据函数性质求解绝对值方程的问题,属于中档题.。
高中数学必修一《指数函数》典型习题(含答案解析)
高中数学必修一《指数函数》典型习题（含答案解析）一、选择题1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是()A．y＝(－4)x B．y＝πxC．y＝－4x D．y＝a x＋2(a>0且a≠1)2．函数f(x)＝(a2－3a＋3)a x是指数函数，则有()A．a＝1或a＝2B．a＝1C．a＝2D．a>0且a≠13．函数y＝a|x|(a>1)的图象是()4．已知f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝3x，那么f(2)的值为()A．－9B.1 9C．－19D．95．右图是指数函数①y＝a x；②y＝b x；③y＝c x；④y＝d x的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是()A．a<b<1<c<dB．b<a<1<d<cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c6．函数y ＝(12)x －2的图象必过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限7．设P ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则( )A ．Q PB ．Q PC ．P ∩Q ＝{2,4}D ．P ∩Q ＝{(2,4)}8．函数y ＝16－4x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)9．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( )A ．6B ．1C ．3D.3210．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则( )A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数11．函数y ＝f (x )的图象与函数g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝－e x －2B ．f (x )＝－e －x ＋2C ．f (x )＝－e －x －2D ．f (x )＝e －x ＋212．已知a ＝1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1235-⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝1243-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 三个数的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC．a<b<c D．b<a<c二、填空题13．函数f(x)＝a x的图象经过点(2,4)，则f(－3)的值为________．14．若函数y＝a x－(b－1)(a>0，a≠1)的图象不经过第二象限，则a，b必满足条件________________．15．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．16．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．17．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－12的解集是________________．18．函数y＝2212x x-+⎛⎫⎪⎝⎭的单调递增区间是________．三、解答题19．比较下列各组数中两个值的大小：(1)0.2－1.5和0.2－1.7；(2)1314⎛⎫⎪⎝⎭和2314⎛⎫⎪⎝⎭；(3)2－1.5和30.2.20．定义运算a ⊕b ＝⎩⎨⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是( )21．定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足对任意的实数x ，y 都有f (x y )＝yf (x )．(1)求f (1)的值；(2)若f (12)>0，解不等式f (ax )>0.(其中字母a 为常数)．参考答案与解析知识梳理1．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1) R 2.(0,1) 0 1 y >10<y <1 0<y <1 y >1 增函数 减函数作业设计1．B [A 中－4<0，不满足指数函数底数的要求，C 中因有负号，也不是指数函数，D 中的函数可化为y ＝a 2·a x ，a x 的系数不是1，故也不是指数函数．]2．C [由题意得⎩⎨⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1. 解得a ＝2.]3．B [该函数是偶函数．可先画出x ≥0时，y ＝a x 的图象，然后沿y 轴翻折过去，便得到x <0时的函数图象．]4．C [当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝3－x ，即－f (x )＝(13)x ，∴f (x )＝－(13)x .因此有f (2)＝－(13)2＝－19.]5．B [作直线x ＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1，a )、(1，b )、(1，c )、(1，d )，由图象可知纵坐标的大小关系．]6．D [函数y ＝(12)x 的图象上所有的点向下平移2个单位，就得到函数y ＝(12)x－2的图象，所以观察y ＝(12)x －2的图象知选D.]7．C8.C 9.A10．B [∵函数y ＝(12)x 在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12.]11．C [由已知条件得0<a <b <1，∴a b <a a ，a a <b a ，∴a b <a a <b a .]12．C13.18解析 由题意a 2＝4，∴a ＝2.f (－3)＝2－3＝18.14．a >1，b ≥2解析 函数y ＝a x －(b －1)的图象可以看作由函数y ＝a x 的图象沿y 轴平移|b －1|个单位得到．若0<a <1，不管y ＝a x 的图象沿y 轴怎样平移，得到的图象始终经过第二象限；当a >1时，由于y ＝a x 的图象必过定点(0,1)，当y ＝a x 的图象沿y 轴向下平移1个单位后，得到的图象不经过第二象限．由b －1≥1，得b ≥2.因此，a ，b 必满足条件a >1，b ≥2.15．[0,8)解析 y ＝8－23－x ＝8－23·2－x ＝8－8·(12)x＝8[1－(12)x ]．∵x ≥0，∴0<(12)x ≤1，∴－1≤－(12)x <0， 从而有0≤1－(12)x <1，因此0≤y <8.16．19解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关系为y ＝2x －1，当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．17．(－∞，－1)解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.当x >0时，由1－2－x <－12，(12)x >32，得x ∈∅；当x ＝0时，f (0)＝0<－12不成立；当x <0时，由2x －1<－12，2x <2－1，得x <－1.综上可知x ∈(－∞，－1)．18．[1，＋∞)解析 利用复合函数同增异减的判断方法去判断．令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝(12)u 在u ∈R 上为减函数，问题转化为求u ＝－x 2＋2x 的单调递减区间，即为x ∈[1，＋∞)．19．解 (1)考查函数y ＝0.2x .因为0<0.2<1，所以函数y ＝0.2x 在实数集R 上是单调减函数．又因为－1.5>－1.7，所以0.2－1.5<0.2－1.7.(2)考查函数y ＝(14)x .因为0<14<1，所以函数y ＝(14)x 在实数集R 上是单调减函数．又因为13<23，所以(3)2－1.5<20，即2－1.5<1；30<30.2，即1<30.2，所以2－1.5<30.2.20．A [由题意f (x )＝1⊕2x ＝⎩⎨⎧1， x ≥0；2x ，x <0.] 21．解 (1)令x ＝1，y ＝2，可知f (1)＝2f (1)，故f (1)＝0.(2)设0<x 1<x 2，∴存在s ，t 使得x 1＝(12)s ，x 2＝(12)t ，且s >t ，又f (12)>0，∴f (x 1)－f (x 2)＝f [(12)s ]－f [(12)t ]＝sf (12)－tf (12)＝(s －t )f (12)>0， ∴f (x 1)>f (x 2)．故f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 又∵f (ax )>0，x >0，f (1)＝0， ∴0<ax <1，当a ＝0时，x ∈∅，当a >0时，0<x <1a ，当a <0时，1a <x <0，不合题意．故x ∈∅.综上：a ≤0时，x ∈∅；a >0时，不等式解集为{x |0<x <1a }．。
高一数学必修一2.1指数与指数函数测试题
高一数学必修一 2.1指数与指数函数测试题、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题 5分，共50分).1.下列各式中成立的一项()1A . (―)7 n 7m 7B . 12 ( 3)433m_________ 3_ __C . g x 3 y 3 (x y)4D . 7^9 V32111“151 -2•化简(a 3b 2)( 3a 2b 3) ( a 6b 6)的结果()3A . 6aB . aC .9a D..9a 2 3.设指数函数f(x) a x (a 0, a 1），则下列等式中不正确的是( )A . f(x+y)=f(x) • f(y)B . f (x、f(x) y )f(y)C . f (nx) [f(x)]n (nQ) D . f(xy)n[f(x)]n [•f(y)]n(n N )4.函数 y (x5)0 (x 2)12( )A . {x|x5,x2}B .{x|x 2}C . {x|x 5}D . {x|2 x 5或 x 5}5•若指数函数y a x 在［—1,1］上的最大值与最小值的差是 1,则底数a 等于（）151 、51、.5. 5 1A .B .C .D .2 2 2 2(0,1]A . B.C . (0, )D . R&函数 f(x)2 xx 2,x1,x (0,1) 0 ，满足 f （x ） 1的x 的取值范围A . C . 9.函数 (1,1) {x| x 0或x2}y (2)2 (1, {x|x )1 或 X 1}1A . [ 1,-1B . (, 1]C. [2,)1D.[护x x已知f (x) e e，则下列正确的是()A .奇函数， 在 R 上为增函数B . 偶函数，在 R 上为增函数C .奇函数， 在 R 上为减函数D . 偶函数，在R 上为减函数若函数y ， x a (b 1)( a 0且 a 1)的图象不经过第二象限，则有 ( )()—2X x 2得单调递增区间是 C 、0 a 1 且 b 0F(x)=(1+ -^)2x 1A 、是奇函数 C 、是偶函数 f(x)(x 0）是偶函数，且f （x ）不恒等于零，则f （x ）（B 、可能是奇函数，也可能是偶函数 D 、不是奇函数，也不是偶函数 填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 5分，共20分） x 已知函数f （x ）的定义域是（1，2），则函数f （2 ）的定义域是 ___________________ 当a > 0且a 丰1时，函数f （x ）=a x 2— 3必过定点 计算Va 4 8Vab 3a 2—2齢厂展a 4 1已知一1<a<0，则三个数3a ,a 3,a 3由小到大的顺序是 _____________________ 解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （共70分）. （10分）求函数y —— 的定义域. x577 1 (112分)若 a >0, b >0，且 a+b=c , 求证：(1)当 r > 1 时，a r +b r v c r ; (2)当 r v 1 时，a r +b r > c r . （12分）已知函数y2x xa 2a 1(a1）在区间［—1,1］上的最大值是14,求a 的值.(12分)(1)已知 f(x) m 是奇函数，求常数 m 的值;10. 11、 12, _ 、13. 14. 15. 16.三、 17. 18. 19.20.(2)画出函数y |3x 1 |的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3X-1|= k无解？有一解？有两解？21. (14分)有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量•现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合用g(t) - [g(0) -]e v (p 0)，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克r r数(我们称其湖水污染质量分数)，g(0)表示湖水污染初始质量分数•(1 )当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；(2)分析g(0)卫时，湖水的污染程度如何.22. (14分)已知函数f (x)1普 >1) 2 3.参考答案一、DCDDD AAD D A二、11. (0,1)；12. (2，—2); 13.114. a3a33a15.解：要使函数有意义必须:16 .定义域为：0, xr . r解:a brc其中01,0 b 1.c当r > 1时,所以a r+b r v c r;时,1,所以a r+b r> c r.17.解：y a2x2a x1(a 1)，换元为y t22t11 ( t a)，对称轴为t 1. a当a解得18.解:t a，即x=1时取最大值，略1 ,a=3 (a= —5 舍去)(1)常数m=1(2)当k<0时，直线y=k与函数y | 3x 1 |的图象无交点，即方程无解；当k=0或k 1时，直线y=k与函数y 13 11的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k<1时，直线y=k与函数y | 3 11的图象有两个不同交点，所以方程有两解。
(压轴题)高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(包含答案解析)(3)
一、选择题1．设a ，b ，c 为正数，且3a =4b =6c ，则有（ ）A ．111c a b =+ B ．221c a b =+ C ．122c a b =+ D ．212c a b =+ 2．设()|lg |f x x =，且0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，则（ ）A ．(1)(1)0a c -->B ．1ac >C ．1ac =D ．01ac <<3．已知1311531log ,log ,363a b c π-===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<4．函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为（ ）. A ．(0,+∞)B ．(-,0)C ．(2,+∞)D ．(-,-2)5．一种放射性元素最初的质量为500g ，按每年10%衰减．则这种放射性元素的半衰期为（ ）年.（注：剩余质量为最初质量的一半，所需的时间叫做半衰期），（结果精确到0.1，已知lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．5.2B ．6.6C ．7.1D ．8.36．若函数ya >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．设52a -=，5log 2b =，8log 5c =，则（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<8．在数学史上，一般认为对数的发明者是苏格兰数学家——纳皮尔（Napier ，1550-1617年）．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现． 比如，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字:64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384,按照这样的方法计算：16384×32768=（ ）A ．134217728B ．268435356C ．536870912D ．5137658029．已知()243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，那么a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．函数()22x xxf x -=+的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．11．如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．实数,a b 满足2510a b ==，则下列关系正确的是（ ） A ．212a b+= B ．111a b+= C ．122a b+= D ．1212a b += 二、填空题13．设函数123910()lg 10x x x x x af x +++++=,其中a 为实数,如果当(,1]x ∈-∞时()f x 有意义,则a 的取值范围是________.14．定义{},,max ,,x x y x y y x y≥⎧=⎨<⎩，设{}()max ,log xa f x a a x=--(),1x R a +∈>.则不等式()2f x ≥的解集是_____________.15．若函数()()20.2log 1f x kx kx =-+的定义域是R ，则实数k 的取值范围是______.16．设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.17．若幂函数()2()57m f x m m x =-+在R上为增函数则1log 2log 2lg5lg4mm m+-=_____．18．设实数x 满足01x <<，且2log 4log 1x x -=，则x =______.19．设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是_______________.20．设函数()122,12log ,1x x f x x x +⎧≤=⎨->⎩，若()()04f f x =则0x ______.三、解答题21．已知函数()x x f x a k a -=-⋅（0a >且1a ≠）是定义域为R 的奇．函数，且3(1)2f =. （1）求k 的值，并判断()f x 的单调性（不要求证明）； （2）是否存在实数()2,3mm m >≠，使函数()()22(2)log 1x xm g x a a mf x --⎡⎤=+-+⎣⎦在[]1,2上的最大值为0？如果存在，求出实数m 所有的值；如果不存在，请说明理由.22．已知函数22()log (23).f x x x =-++（1）求函数()f x 的定义域和值域；（2）写出函数()f x 的单调增区间和减区间（不要求证明）. 23．已知函数()()()ln 1ln 1f x x k x =++-，0k ≠. （1）当()f x 分别为奇函数和偶函数时，求k 的值；（2）若()f x 为奇函数，证明：对任意的m 、()1,1n ∈-，()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+=⎪+⎝⎭.24．（1）已知12x y +=，9xy =，且x y <，求11221122x y x y-+值；（2）求值：2(lg 2)lg5lg 20+⋅.25．已知函数()2()log log 2(0,1)a a f x x x a a =-->≠.（1）当2a =时，求(2)f ； （2）求解关于x 的不等式()0f x >；（3）若[2,4],()4x f x ∀∈≥恒成立，求实数a 的取值范围.26．已知函数()442xx f x =+；（1）若01a <<，求()()1f a f a +-的值； （2）求12320202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先根据指对互化求出,,a b c ，再根据换底公式表示111,,a b c，最后根据对数运算法则化简. 【详解】设3a =4b =6c =k ， 则a =log 3k ， b =log 4k ， c =log 6k ， ∴311log 3log k a k ==， 同理1log 4k b =，1log 6k c=， 而11log 2,log 3log 22k k k b c ==+， ∴1112c a b =+，即221c a b =+． 故选：B 【点睛】本题考查指对数运算，换底公式，以及对数运算的性质，关键是灵活应用对数运算公式，公式1log log a b b a=是关键. 2．D解析：D 【分析】作出()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】∵函数()|lg |f x x =，作出()f x 的图象如图所示，∵0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，∴0＜a ＜1，c ＞1，即f （a ）＝|lga |＝﹣lga ，f （c ）＝|lgc |＝lgc ，∵f （a ）＞f （c ），∴﹣lga ＞lgc ，则lga +lgc ＝lgac ＜0，则01ac <<. 故选：D ．【点睛】关键点点睛：利用对数函数的图象和性质，根据条件确定a ，c 的取值范围.3．D解析：D 【分析】根据指数函数和对数函数性质，借助0和1进行比较． 【详解】由对数函数性质知151log 16>，13log 03π<，由指数函数性质知13031-<<，∴b c a <<． 故选：D ． 【点睛】方法点睛：本题考查指数式、对数式的大小比较，比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小．4．D解析：D 【分析】求出函数的定义域，根据对数型复合函数的单调性可得结果. 【详解】函数()212()log 4f x x =-的定义域为()(),22,-∞-+∞，因为函数()f x 是由12log y u =和24u x =-复合而成，而12log y u =在定义域内单调递减，24u x =-在(),2-∞-内单调递减，所以函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为(),2-∞-，故选：D. 【点睛】易错点点睛：对于对数型复合函数务必注意函数的定义域.5．B解析：B 【分析】先根据题意列出关于时间的方程，然后利用指对互化以及对数换底公式并结合所给数据可计算出半衰期. 【详解】设放射性元素的半衰期为x 年，所以()500110%250x-=， 所以()1110%2x-=，所以0.91log 2x =，所以109log 2x =， 所以lg 2lg10lg9x =-，所以lg 212lg 3x =-，所以0.3010120.4771x =-⨯，所以 6.6x ≈，故选：B. 【点睛】思路点睛：求解和对数有关的实际问题的思路： （1）根据题设条件列出符合的关于待求量的等式；（2）利用指对互化、对数运算法则以及对数运算性质、对数换底公式求解出待求量的值.6．C解析：C 【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0， 所以a ＝2， 所log a 56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7．A【分析】由551112,2332log -<<<，8152log >，即可得出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】52112243--<=<，11325551152532log log log =<<=，12881582log log >=，a b c ∴<<.故选：A 【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，对数的运算性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.8．C解析：C 【分析】先找到16384与32768在第一行中的对应数字，进行相加运算，再找和对应第二行中的数字即可. 【详解】由已知可知，要计算16384×32768，先查第一行的对应数字: 16384对应14，32768对应15，然后再把第一行中的对应数字加起来：14＋15＝29，对应第二行中的536870912， 所以有：16384×32768＝536870912, 故选C. 【点睛】本题考查了指数运算的另外一种算法，关键是认真审题，理解题意，属于简单题.9．C解析：C 【分析】判断函数的单调性．利用分段函数解析式，结合单调性列出不等式组求解即可． 【详解】解：243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩（）满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＜成立， 所以分段函数是减函数，所以：0121442a a a a<<⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，解得12,23a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选C ． 【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用，函数的单调性的定义的理解，考查转化思想以及计算10．B解析：B 【分析】根据函数为奇函数排除C ，取特殊值排除AD 得到答案. 【详解】当()22x xx f x -=+，()()22x x xf x f x ---==-+，函数为奇函数，排除C ； 2221(2)22242f -=<=+，排除A ；3324(3)22536f -==+，4464(4)224257f -==+，故()()34f f >，排除D.故选：B. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，意在考查学生的计算能力和识图能力，取特殊值排除是解题的关键.11．C解析：C 【分析】由题意求得1a >，再结合对数函数的图象与性质，合理排除，即可求解. 【详解】因为函数(0,1)xy a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数xy a =为增函数，所以1a >， 所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ； 又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及指数函数与对数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．B解析：B 【分析】根据指数式与对数的互化公式，求得11lg2,lg5a b==，再结合对数的运算公式，即可求解. 【详解】因为2510a b ==，可得25log 10,log 10a b ==，所以11lg2,lg5a b==，则11lg 2lg5lg101a b +=+==. 故选：B. 【点睛】本题主要考查指数式与对数的互化，以及对数的运算公式的化简、求值，其中解答中熟记指数式与对数的互化公式，以及对数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.二、填空题13．【分析】由题意可得对任意的恒成立分离变量后利用函数的单调性求得在上的范围即可得解【详解】根据题意对任意的恒成立即恒成立则因为函数在上为增函数所以故答案为：【点睛】本题考查对数函数的定义域指数函数的单 解析：[ 4.5,)-+∞【分析】由题意可得对任意的(,1]x ∈-∞，10210x x a ⋅+⋯++>恒成立，分离变量a 后利用函数的单调性求得981()101010x x xg x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上的范围，即可得解. 【详解】根据题意对任意的(,1]x ∈-∞，123910010x x x x x a+++++>恒成立，即10210x x a ⋅+⋯++>恒成立，则981101010x x xa ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为函数981()101010xxxg x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上为增函数，所以111981 4.5101010a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：[ 4.5,)-+∞【点睛】本题考查对数函数的定义域，指数函数的单调性，不等式恒成立问题，属于基础题.14．【分析】利用分段函数列出不等式求解即可【详解】解：在上为单调递增函数又当时当时不等式或解得或故答案为：【点睛】本题考查分段函数的应用函数值的求法考查转化思想以及计算能力 解析：21(0,][log (2),)a a a++∞ 【分析】利用分段函数列出不等式求解即可.【详解】解：()log log xxa a a a x a a x ---=-+，1a >，()log xa g x a a x =-+在()0,∞+上为单调递增函数，又1(1)log 10a g a a =-+=， 当()0,1x ∈时，log 0xa a a x -+<，当()1,x ∈+∞时，log 0xa a a x -+>，,1()log ,01x a a a x f x x x ⎧->∴=⎨-<<⎩不等式()2f x ≥，21x a a x ⎧-≥∴⎨>⎩或log 201a x x -≥⎧⎨<<⎩，解得log (2)a x a ≥+或210x a <≤， 故答案为：21(0,][log (2),)a a a ++∞. 【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力.15．【分析】由题可知恒成立再分情况讨论即可【详解】由题可知恒成立当时成立当时当时不等式不恒成立故实数k 的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题属于中等题型 解析：[)0,4【分析】由题可知210kx kx -+>恒成立.再分情况讨论即可. 【详解】由题可知210kx kx -+>恒成立.当0k =时成立.当0k >时,24004k k k ∆=-<⇒<<. 当k 0<时，不等式不恒成立. 故实数k 的取值范围是[)0,4. 故答案为：[)0,4 【点睛】本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题.属于中等题型.16．【分析】根据题意由韦达定理得进而得再结合换底公式得【详解】解：因为､是方程的两个实根所以由韦达定理得所以所以所以故答案为：【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算其中两个公式的转化是解析：37±【分析】根据题意由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，进而得()2log log 37c c a b -=，再结合换底公式得1log log b acc b a==【详解】解：因为log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根， 所以由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-， 所以()()22log log log log 4log log 37c c c c c c a b a b a b -=+-⋅=，所以log log c c b a -=所以11log log log log b c c acc b b a a===-故答案为： 【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算，其中()()22log log log log 4log log c c c c c c a b a b a b -=+-⋅，1log log b acc b a=两个公式的转化是核心，考查运算求解能力，是中档题.17．3【分析】利用幂函数的定义与性质求得将代入利用对数的运算法则化简得解【详解】在上为增函数解得(舍去）故答案为：3【点睛】正确理解幂函数的定义求得的值和熟练运用对数恒等式是关键解析：3 【分析】利用幂函数的定义与性质求得3m =，将3m =代入，利用对数的运算法则化简得解. 【详解】()()257m f x m m x =-+在R 上为增函数，25710m m m ⎧-+=∴⎨>⎩，解得3,2m m ==(舍去），1log 2log 2lg 5lg 4mm m∴+-=31log 23l l og 3g1003+=故答案为：3.【点睛】正确理解幂函数的定义求得m 的值和熟练运用对数恒等式是关键.18．【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为解方程求得或进而结合的范围求得结果【详解】即解得：或或故答案为：【点睛】本题考查对数方程的求解问题涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应解析：14【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为222log 1log x x-=，解方程求得2log 2x =-或2log 1x =，进而结合x 的范围求得结果.【详解】22log 42log 2log x x x ==2222log 4log log 1log x x x x∴-=-= 即()222log log 20x x +-=，解得：2log 2x =-或2log 1x = 14x ∴=或2x = 01x << 14x ∴=故答案为：14【点睛】本题考查对数方程的求解问题，涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应用能力.19．【分析】根据分段函数分段解不等式最后求并集【详解】当时因为解得：∴当时解得：所以综上原不等式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式涉及指数与对数运算属于基础题 解析：[0,)+∞【分析】根据分段函数，分段解不等式，最后求并集. 【详解】当1x ≤时，1()2xf x -=，因为11x -≤，解得：0x ≥，∴01x ≤≤ ，当1x >时，2()1log 2f x x =-≤，2log 1x ≥-，解得：12x ≥，所以1x >， 综上，原不等式的解集为[)0,+∞. 故答案为：[)0,+∞. 【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式，涉及指数与对数运算，属于基础题.20．或2【分析】已知复合函数值求自变量从外层求出里层设求出对应的的值再由求出即可【详解】令则当若若当（舍去）故答案为：或【点睛】本题考查由函数值求自变量涉及到简单指数和对数方程考查分类讨论思想和数学计算解析：1-或2 【分析】已知复合函数值求自变量，从外层求出里层，设0()t f x =，求出()4f t =对应的t 的值，再由0()t f x =求出0x 即可. 【详解】令0()t f x =，则()4f t =，当11,24,1tt t +≤==，若010001,()21,1x x f x x +≤===-，若00202001,()2log 1,log 1,2x f x x x x >=-===， 当2211,()2log 4,log 2,4t f t t t t >=-==-=（舍去） 故答案为：1-或2. 【点睛】本题考查由函数值求自变量，涉及到简单指数和对数方程，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于中档题.三、解答题21．（1）1k =；()f x 为R 上的增函数；（2）存在，176m =. 【分析】（1）根据奇函数的性质和()312f =，代入求函数的解析式，并判断单调性；（2）由（1）可知()()2(2)2log 22221xx x x m g x m ---=+--+⎡⎤⎣⎦，并通过换元22x x t -=-，转化为()()()22log 3m g t t mt -=-+，讨论底数21m ->，和021m <-<两种情况，并讨论内层函数的对称轴和定义域的关系，结合外层函数的单调性，确定内层函数的最值，最后确定函数的最大值求m . 【详解】（1）∵函数()x xf x a k a -=-⋅（0a >且1a ≠）是定义域为R 的奇函数，0R ∈，∴(0)0f =，10k -=，∴1k =. 因为3(1)2f =，∴132a a -=，22320a a --=，2a =或12a =-， ∵0a >，∴2a =，()22x x f x -=-，因为2x 为增函数，2x -为减函数，所以()f x 为R 上的增函数.（Ⅱ）()()22(2)log 1xx m g x aa mf x --⎡⎤=+-+⎣⎦()22(2)log 22221x x x x m m ---=+--+⎡⎤⎣⎦()()2(2)log 22223x x x x m m ---⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦， 设22x x t -=-，则()()22222233x x x x m t mt -----+=-+，∵[]1,2x ∈，∴315,24⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，记()23h t t mt =-+， （1）当021m <-<，即23m <<时，要使()g x 最大值为0，则要min ()1h t =，∵22()()(3)24m m h t t =-+-，312m <<，315,24⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，∴()h t 在315,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴min 3213()()242h t h m ==-，由min ()1h t =，得176m =，因17(2,3)6∈，所以176m =满足题意. （2）当21m ->，即3m >时，要使()g x 最大值为0，则要max ()1h t =，且min ()0h t >. ∵322m >， ①若321228m <≤ ，则max 1522515()()314164h t h m ==-+=，25760m =，又2min ()()3024m m h t h ==->，∴3m <<25760>∴25760m =不合题意. ②若2128m > ，即214m >，则max 32132132121()()02424248h t h m ==-<-⨯=-<，max ()1h t ≠，综上所述，只存在176m =满足题意. 【点睛】关键点点睛：本题考查对数型复合函数根据最值，求参数的取值范围，属于中档题型，本题的第一个关键点是换元化简函数，设22x x t -=-，则()()22222233x x x x m t mt -----+=-+，第二个关键点是需分析外层函数的单调性，并讨论内层函数的对称轴和定义域的关系.22．（1）定义域为(1,3)-,值域为(,2]-∞（2）递增区间为(1,1)-，递减区间为[1,3) 【分析】（1）由2230x x -++>解得结果可得定义域，根据二次函数知识求出真数的值域，根据对数函数的单调性可求得()f x 的值域；（2）在定义域内求出真数的单调区间，根据底数大于1可得函数()f x 的单调区间.【详解】（1）由函数有意义可得2230x x -++>，即2230x x --<， 解得13x ，所以函数()f x 的定义域为(1,3)-， 因为13x，所以2223(1)4x x x -++=--+(0,4]∈，所以()(,2]f x ∈-∞，即函数()f x 的值域为(,2]-∞.（2）因为函数()f x 的定义域为(1,3)-，且函数2y x 2x 3=-++在(1,1)-上递增，在(1,3)上递减，又对数函数的底数为21>，所以函数()f x 的递增区间为(1,1)-，递减区间为[1,3). 【点睛】方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法： 有分式时：分母不为0；有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0； 有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0； 有指数函数形式时：底数和指数都含有x ，指数底数大于0且不等于1；有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1. 23．（1）()f x 为奇函数时，1k =-，()f x 为偶函数时，1k =；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出函数的定义域，利用函数的奇偶性的定义列等式即可求得k 的值； （2）根据函数解析式分别求得()()+f m f n ，1m n f mn +⎛⎫⎪+⎝⎭，即可证明结论.【详解】（1）由1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，得函数()f x 的定义域为()1,1-，当()f x 为奇函数时，()()0f x f x +-=，即()()()()ln 1ln 1ln 1ln 10x k x x k x ++-+-++=， 整理可得()()()1ln 1ln 10k x x +-++=⎡⎤⎣⎦， 因为上式恒成立，所以10k +=，所以1k =-； 当()f x 为偶函数时，()()0f x f x --=，即()()()()ln 1ln 1ln 1ln 10x k x x k x ++----+=， 整理得()()()1ln 1ln 10k x x -+--=⎡⎤⎣⎦， 因为上式恒成立，所以10k -=，所以1k =.综上，当()f x 为奇函数时，1k =-，当()f x 为偶函数时，1k =；（2）由（1）知，1k =-，()()()1ln 1ln 1ln1xf x x x x+=+--=-， ()()()()()()1111ln ln ln 1111m n m nf m f n m n m n +++++=+=----，()()()()11111ln ln ln 111111m nm n m n mn m n mn f m n mn mn m n m n mn++++++++⎛⎫+=== ⎪+++----⎝⎭-+， 所以()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭.【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数值一般思路是：（1）利用函数的奇偶性的定义转化为()()f x f x -=（偶函数）或()()f x f x -=-（奇函数），从而建立方程，使问题获得解决；（2）取一对互为相反数的自变量的函数值，建立等式求出参数的值，但同时要对此时函数的奇偶性进行验证. 24．（1）3-2）1. 【分析】（1）求出x y -的值，再化简11221122x y x y-+即得解；（2）利用对数的运算法则化简求解. 【详解】（1）因为222()()41249108x y x y xy -=+-=-⨯=，又x y <，所以x y -=-所以1111222221122()3x y x y x y x y--====--+. （2）原式22(lg 2)lg5(1lg 2)(lg 2)lg5lg 2lg5=+⋅+=+⋅+lg2(lg2lg5)lg5lg2lg51=++=+=.【点睛】关键点点睛：解答指数对数运算题的关键是通过观察式子的特点，再熟练利用指数对数的运算法则和性质求解.25．（1）2-；（2）当1a >时，()0f x >的解集为()210,,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，当01a <<时；()210,,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3）(31,2⎫⎤⎪⎦⎪⎣⎭.【分析】（1）将2a =直接代入解析式计算即可.（2）将()2()log log 20a a f x x x =-->整理为()()log 2log 10a a x x -+>，解得log 1<-a x 或log 2a x >，再对a 讨论即可解不等式.（3）将问题转化为min ()4f x ≥，分别分1a >和01a <<讨论，求()f x 最小值，令其大于4，即可求解.【详解】（1）当2a =时，()()222log log 2f x x x =--()21122f ∴=--=-（2）由()0f x >得：()()()2log log 2log 2log 10a a a a x x x x --=-+>log 1a x ∴<-或log 2a x >当1a >时，解不等式可得：10x a<<或2x a > 当01a <<时，解不等式可得：1x a>或20x a << 综上所述：当1a >时，()0f x >的解集为()210,,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当01a <<时，()0f x >的解集为()210,,aa ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3）由()4f x ≥得：()()()2log log 6log 3log 20a a a a x x x x --=-+≥log 2a x ∴≤-或log 3a x ≥①当1a >时，()max log log 4a a x =，()min log log 2a a x =2log 42log a a a -∴≤-=或3log 23log a a a ≥=，解得：1a <≤②当01a <<时，()max log log 2a a x =，()min log log 4a a x =2log 22log a a a -∴≤-=或3log 43log a a a ≥=1a ≤<综上所述：a 的取值范围为(3,11,22⎫⎤⎪⎦⎪⎣⎭【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性、考查函数的最值和恒成立问题、考查分类讨论的思想，属于中档题. 26．（1）1；（2）1010． 【分析】（1）根据4()42xx f x =+的表达式，求出()(),1f a f a -的表达式，再进行分式通分运算，可得()()11f a f a +-=． （2）设12320202021202120212021S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再把S 的表达式运用加法交换律改写成20201202120212021202321S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，把两式相加利用()(1)1f x f x +-=求出S 的值．【详解】 （1）4()42xxf x =+，x ∈R ． ∴()()1f a f a +-1144444442424224aaaa a a a a--=+=+++++4214224a a a=+=++，（2）设12320202021202120212021S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则 20201202120212021202321S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 两式相加得：12[][][]92022020220120201202120212022120211021S f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由（1）得：20202201109211,1,,221202120212021202120220101f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴220201010S S =⇒=.【点睛】本题考查指数幂运算，分式运算，利用函数的性质进行式子求值，考查运算求解能力.。
最新人教A版高中数学必修一第四章指数函数与对数函数质量检测试卷及解析
章末质量检测(四) 指数函数与对数函数考试时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知a>0，则a 14·34a-等于( )A ．12a - B ．316a - C ．a 13D ．a2．方程2x －1＋x ＝5的解所在的区间是( )A ．()0，1B ．()1，2C ．()2，3D ．()3，4 3．函数y ＝lg x ＋lg (5－3x)的定义域是( )A ．⎣⎡⎭⎫0，53B ．⎣⎡⎦⎤0，53C ．⎣⎡⎭⎫1，53D ．⎣⎡⎦⎤1，53 4．设a ＝log 20.3，b ＝30.2，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a>c>b B ．a>b>c C ．c>a>b D ．b>c>a5．函数f(x)＝211()2x -的单调递增区间为( )A ．(]－∞，0B ．[)0，＋∞C ．()－1，＋∞D ．()－∞，－16．函数f(x)＝e x ＋1|x|（e x －1）(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )7．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻．若2x ＝52，lg 2＝0.301 0，则x 的值约为( )A ．1.322B ．1.410C ．1.507D ．1.6698．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≤0ln ()x ＋1，x>0 ，若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．若a>b>0，0<c<1，则( )A ．log c a<log c bB ．c a >c bC ．a c >b cD ．log c (a ＋b)>0 10．下列说法正确的是( )A ．函数f ()x ＝1x在定义域上是减函数B ．函数f ()x ＝2x －x 2有且只有两个零点C ．函数y ＝2|x|的最小值是1D ．在同一坐标系中函数y ＝2x 与y ＝2－x 的图象关于y 轴对称11．已知函数f ()x ＝log a x ()a>0，a ≠1 图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有( ) A ．函数为增函数 B ．函数为偶函数 C ．若x>1，则f(x)>0D ．若0<x 1<x 2，则f （x 1）＋f （x 2）2 <f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22 .12．已知函数f(x)＝2x ＋log 2x ，且实数a>b>c>0，满足f(a)f(b)f(c)<0，若实数x 0是函数y ＝f(x)的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是( )A ．x 0<aB ．x 0>aC ．x 0<bD ．x 0<c三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．)13．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，2x ，x ≤0， 则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14 ＝________． 14．已知3a ＝5b ＝A ，且b ＋a ＝2ab ，则A 的值是________．15．已知函数f(x)＝log a (－x ＋1)(a>0且a ≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0].若函数g(x)＝a x ＋m －3的图象不经过第一象限，则m 的取值范围为________．16．已知函数f(x)＝3|x ＋a|(a ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，则实数a 的值为________；若f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)求下列各式的值：(1) 31log 43＋2log 92－log 329(2)⎝⎛⎭⎫278 －23 ＋π0＋log 223 －log 416918.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 2(x ＋3)－2x 3＋4x 的图象在[－2，5]内是连续不(2)从上述对应填表中，可以发现函数f (x )在哪几个区间内有零点？说明理由．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)若函数f (x )在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之和为6，求实数a 的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3，求3x＋3－x 的值．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 4(4x －1). (1)求函数f (x )的定义域；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤12，2 ，求f (x )的值域． 21．(本小题满分12分)科技创新在经济发展中的作用日益凸显．某科技公司为实现9 000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3 000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%.(1)现有三个奖励函数模型：①f (x )＝0.03x ＋8，②f (x )＝0.8x ＋200，③f (x )＝100log 20x ＋50，x ∈[3 000，9 000].试分析这三个函数模型是否符合公司要求？(2)根据(1)中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象经过点⎝⎛⎭⎫12，3 . (1)若函数F (x )＝－3f (x )＋10－m 在区间(0，2)内存在零点，求实数m 的取值范围； (2)若函数f (x )＝g (x )＋h (x )，其中g (x )为奇函数，h (x )为偶函数，若x ∈(0，1]时，2ln h (x )－ln g (x )－t ≥0恒成立，求实数t 的取值范围．章末质量检测(四) 指数函数与对数函数1．解析：14a ·34a -＝1344a -＝12a -. 故选A. 答案：A2．解析： 设f (x )＝2x －1＋x －5，则由指数函数与一次函数的性质可知，函数y ＝2x －1与y ＝x 在R 上都是递增函数，所以f (x )在R 上单调递增，故函数f (x )＝2x －1＋x －5最多有一个零点，而f (2)＝22－1＋2－5＝－1<0，f (3)＝23－1＋3－5＝2>0，根据零点存在定理可知，f (x )＝2x －1＋x －5有一个零点，且该零点处在区间(2,3)内．故选C. 答案：C3．解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧lg x ≥05－3x >0，解得1≤x <53，则函数的定义域为⎣⎡⎭⎫1，53. 故选C. 答案：C4．解析：a ＝log 20.3<log 21＝0，b ＝30.2>30＝1，c ＝0.30.2<0.30＝1，且0.30.2>0，∴b >c >a . 故选D. 答案：D5．解析：令t ＝x 2－1，则y ＝⎝⎛⎭⎫12t，因为y ＝⎝⎛⎭⎫12t 为单调递减函数，且函数t ＝x 2－1在(]－∞，0上递减，所以函数f (x )＝211()2x -的单调递增区间为(]－∞，0.故选A.答案：A6．解析：由题意，函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (－x )＝e －x ＋1|－x |(e －x －1)＝e x (e －x ＋1)|－x |(e －x －1)e x ＝e x ＋1|x |(1－e x )＝－f (x )，即f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x →＋∞时，e x ＋1e x －1→1，1|x |→0，即x →＋∞时，e x ＋1|x |(e x －1)→0，可排除D ， 故选C. 答案：C7．解析：∵2x ＝52，∴x ＝log 252＝lg 5－lg 2lg 2＝1－2lg 2lg 2＝1－2×0.301 00.301 0≈1.322.故选A. 答案：A8．解析：作出y ＝||f (x )的图象如图， 由对数函数图象的变化趋势可知，要使ax ≤|f (x )|，则a ≤0，且ax ≤x 2－2x (x <0)，即a ≥x －2对任意x <0恒成立，所以a ≥－2，综上－2≤a ≤0.故选D. 答案：D9．解析：A 中，因为0<c <1，所以y ＝log c x 为单调递减函数，由a >b >0得log c a <log c b ，故A 正确；B 中，因为0<c <1，所以y ＝c x 为单调递减函数，由a >b >0，得c a <c b ，故B 错误；C 中，因为a >b >0,0<c <1，所以⎝⎛⎭⎫a b c >1，所以a c >b c，故C 正确；D 项，取c ＝12，a ＋b ＝2，则log c (a ＋b )＝12log 2＝－1<0，D 错误．故选AC. 答案：AC10．解析：对于A ，f ()x ＝1x在定义域上不具有单调性，故命题错误；对于B ，函数f ()x ＝2x －x 2有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误； 对于C ，∵|x |≥0，∴2|x |≥20＝1，∴函数y ＝2|x |的最小值是1，故命题正确；对于D ，在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝2－x 的图象关于y 轴对称，命题正确． 故选CD.答案：CD11．解析：由题2＝log a 4，a ＝2，故f (x )＝log 2x . 对A ，函数为增函数正确． 对B, f (x )＝log 2x 不为偶函数．对C ，当x >1时， f (x )＝log 2x >log 21＝0成立．对D ，因为f (x )＝log 2x 往上凸，故若0<x 1<x 2，则f (x 1)＋f (x 2)2<f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22成立．故选ACD. 答案：ACD12．解析：易知函数f (x )＝2x ＋log 2x 在(0，＋∞)为增函数，由f (a )f (b )f (c )<0, 则f (a )，f (b )，f (c )中为负数的个数为奇数，对于选项A ，B ，C 可能成立．故选ABC. 答案：ABC13．解析：f ⎝⎛⎭⎫14＝log 214＝－2，又f (－2)＝2－2＝14， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝14. 答案：1414．解析：由 3a ＝5b ＝A ，得a ＝log 3A ，b ＝log 5A . 当a ＝b ＝0时，A ＝1，满足条件．当ab ≠0时，由b ＋a ＝2ab ，即1a ＋1b＝2，将a ，b 代入得：1log 3A ＋1log 5A＝2，即log A 3＋log A 5＝log A 15＝2，得A ＝15， 所以A ＝15或1. 答案：15或115．解析：函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a >0且a ≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]． 当a >1时，f (x )＝log a (－x ＋1)单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝log a 3＝0，f (0)＝log a 1＝－1，无解； 当0<a <1时，f (x )＝log a (－x ＋1)单调递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝log a 3＝－1，f (0)＝log a 1＝0，解得a ＝13.∵g (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ＋m－3的图象不经过第一象限，∴g (0)＝⎝⎛⎭⎫13m －3≤0，解得m ≥－1，即m 的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)16．解析：(1)∵f (x )＝f (2－x )，取x ＝0得，f (0)＝f (2)，∴3|a |＝3|2＋a |，即|a |＝|2＋a |，解得a ＝－1；(2)由(1)知f (x )＝3|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ≥1，31－x ，x <1，f (x )在(－∞，1)上单调递减， 在[1，＋∞)上单调递增．∵f (x )在[m ，＋∞)上单调递增， ∴m ≥1，m 的最小值为1. 答案：－1 117．解析：(1)原式＝14＋(log 32－log 329)＝14＋2＝94；(2)原式＝⎝⎛⎭⎫232＋1＋log 223－log 243 ＝49＋1＋log 212 ＝49. 18．解析：(1)由题意可知a ＝f (－2)＝log 2(－2＋3)－2·(－2)3＋4·(－2)＝0＋16－8＝8， b ＝f (1)＝log 24－2＋4＝4.(2)∵f (－2)·f (－1)<0，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，∴函数f (x )分别在区间(－2，－1)，(－1,0)，(1,2)内有零点．19．解析：(1)f (x )＝2x 为R 上的增函数，则f (x )在区间[a,2a ]上为增函数， ∴f (x )min ＝2a ，f (x )max ＝22a ，由22a ＋2a ＝6，得22a ＋2a －6＝0，即2a ＝－3(舍去)，或2a ＝2，即a ＝1；(2)若f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3，则21x ＝3，即1x ＝log 23＝lg 3lg 2＝1lg 2lg 3＝1log 32，则x ＝log 32， ∴3x ＋3－x ＝3log 32＋3－log 32＝2＋12＝52.20．解析：(1)∵f (x )＝log 4(4x －1)， ∴4x －1>0解得x >0，故函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)令t ＝4x －1，∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，∴t ∈[1,15]， ∴y ＝log 4t ∈[0，log 415]， ∴f (x )∈[0，log 415]，即函数f (x )的值域为[0，log 415]．21．解析：(1)由题意符合公司要求的函数f (x )在[3 000,9 000]为增函数，且对∀x ∈[3 000,9 000]，恒有f (x )≥100且f (x )≤x5.①对于函数f (x )＝0.03x ＋8，当x ＝3 000时，f (3 000)＝98＜100，不符合要求； ②对于函数f (x )＝0.8x ＋200为减函数，不符合要求； ③对于函数f (x )＝100log 20x ＋50在[3 000,10 000 ]，显然f (x )为增函数，且当x ＝3 000时，f (3 000)>100log 2020＋50≥100； 又因为f (x )≤f (9 000)＝100log 209 000＋50<100log 20160 000＋50＝450；而x 5≥3 0005＝600，所以当x ∈[3 000,9 000]时，f (x )max ≤⎝⎛⎭⎫x 5min . 所以f (x )≤x5恒成立；因此，f (x )＝100log 20x ＋50为满足条件的函数模型．(2)由100log 20x ＋50≥350得：log 20x ≥3，所以x ≥8 000， 所以公司的投资收益至少要达到8 000万元．22．解析：(1)因为函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象经过点⎝⎛⎭⎫12，3， 所以a 12＝3，解得a ＝3，则f (x )＝3x ，因为x ∈(0,2)，故1＜3x ＜9， 令t ＝3x ，则1＜t ＜9，函数F (x )＝－3f (x )＋10－m 在区间(0,2)内存在零点， 即函数G (t )＝－3t ＋10－m 在区间(1,9)内有零点，所以G (1)·G (9)＜0，即(7－m )(－17－m )＜0，解得－17＜m ＜7， 所以实数m 的取值范围为(－17,7)；(2)由题意可得，函数f (x )＝g (x )＋h (x )，其中g (x )为奇函数，h (x )为偶函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝g (x )＋h (x )＝3x f (－x )＝g (－x )＋h (－x )＝3－x ，即⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋h (x )＝3x －g (x )＋h (x )＝3－x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＝3x －3－x2h (x )＝3x＋3－x2，因为2ln h (x )－ln g (x )－t ≥0，所以t ≤ln h 2(x )g (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫3x＋3－x 223x －3－x2＝ln (3x －3－x )2＋42(3x －3－x )， 设a ＝3x －3－x ，因为0＜x ≤1，且a ＝3x －3－x 在R 上为单调递增函数，所以0＜a ≤83，所以t ≤ln a 2＋42a ＝ln ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫a ＋4a ， 因为a ＋4a ≥2a ·4a＝4，当且仅当a ＝4a，即a ＝2时取等号，所以t ≤ln 2，故实数t 的取值范围为(－∞，ln 2]．。
高一数学必修一《指数函数》测试题
高一数学必修一《指数函数》测试题一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合，，则M∩N=（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，2）C．（﹣1，2）D．[﹣1，2]2．已知集合A={y|y=﹣x2+1，x∈R}，B={y|y=2x，x∈R}则（）A．A⊆B B．B⊆A C．∁R A⊆B D．B⊆∁R A3．若a＞1，b＜0，且a b+a﹣b=2，则a b﹣a﹣b的值等于（）A．B．±2 C．﹣2 D．24．若f（x）=﹣x2+2ax与g（x）=（a+1）1﹣x（a＞﹣1且a≠0）在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1]C．（0，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）5．函数（0＜a＜1）的图象的大致形状是（）A． B．C．D．6．随着市场的变化与生产成本的降低，每隔4年计算机的价格降低，则2000年价格为8100元的计算机到2016年价格应为（）A．3000元B．2400元C．1600元D．1000元7．函数y=a x﹣（b+1）（a＞0且a≠1）的图象在第一、三、四象限，则必有（）A．0＜a＜1，b＞0 B．0＜a＜1，b＜0C．a＞1，b＜0 D．a＞1，b＞08．函数y=a x﹣2（a＞0且a≠1，﹣1≤x≤1）的值域是，则实数a=（）A．3 B．C．3或D．或9．已知奇函数如果f（x）=a（a＞0且a≠1）对应的图象如图所示，那么g（x）=（）A．B．C．2﹣x D．﹣2x10．函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b 的大致图象是（）A．B．C．D．11．若函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（D）A．B．C．D．12．已知关于x的方程|3x﹣1|=k，则下列说法错误的是（D）A．当k＞1时，方程的解的个数为1个；B．当k=0时，方程的解的个数为1个C．当0＜k＜1时，方程的解的个数为2个；D．当k=1时，方程的解的个数为2个二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时．f（x）=2x，则满足f（1﹣2x）＜f（3）的x取值范围是．14．如果函数y=a2x+2a x﹣1（a＞0，a≠1）在区间[﹣1，1]上的最大值是14，则实数a 的值为．15．已知函数f（x）=，若f（a﹣2）＞f（a），则实数a的取值范围是．16．若x1，x2∈R，x1≠x2，则下列性质对函数f（x）=2x成立的是．（把满足条件的序号全部写在横线上）①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）③[f（x1）﹣f（x2）]•（x1﹣x2）＞0④．三、解答题（共6小题，共70分）17．（本小题10分）（1）化简；（2）已知x+y=12，xy=9，且0＜x＜y，求的值．18．（本小题12分）我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫做集合A与B的差集，记作A﹣B．据此回答下列问题：（Ⅰ）若A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，求A﹣B；（Ⅱ）在下列各图中用阴影部分表示集合A﹣B；（Ⅲ）若A={x|0＜x≤a}，B={x|﹣1≤x≤2}，且A﹣B=∅，求a的取值范围．19．（本小题12分）设函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为常数，且a＞0），f（﹣1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若g（x）=f（x）﹣kx（x∈[﹣2，2]）是单调函数，求实数k的取值范围．20．（本小题12分）某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气后4分钟测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm（ppm为浓度单位，一个ppm表示百万分之一），再过4分钟又测得浓度为32ppm．由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时间t（分钟）存在函数关系y=c（）mt（c，m为常数）．（1）求c，m的值（2）若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？21．（本小题12分）已知奇函数f（x）=的定义域为R，其中g（x）为指数函数且过点（2，9）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并用函数单调性定义证明．22．（本小题12分）已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．（1）求f（x）；（2）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．详解答案一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（2015•成都模拟）设集合，，则M∩N=（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，2）C．（﹣1，2）D．[﹣1，2]解：由题意，，∴M∩N={x|﹣1≤x＜2}∩{x|x＞﹣1}=（﹣1，2），故选C．2．（2014•七里河区校级三模）已知集合A={y|y=﹣x2+1，x∈R}，B={y|y=2x，x∈R}则（）A．A⊆B B．B⊆A C．∁R A⊆B D．B⊆∁R A解：∵集合A={y|y=﹣x2+1，x∈R}={x|y≤ 1}，B={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}；∴C R A={y|y＞1}，∴C R A ⊆ B．故选：C．3．（2014•埇桥区校级学业考试）若a＞1，b＜0，且a b+a﹣b=2，则a b﹣a﹣b的值等于（）A．B．±2 C．﹣2 D．2解：∵a b+a﹣b=2，∴（a b+a﹣b）2=a2b+a﹣2b+2=8，∴a2b+a﹣2b=6，∴=a2b+a﹣2b﹣2=6﹣2=4，∵a＞1，b＜0，∴a b﹣a﹣b＜0，∴a b﹣a﹣b=﹣2．故选C．4．（2014秋•巢湖校级期中）若f（x）=﹣x2+2ax与g（x）=（a+1）1﹣x（a＞﹣1且a≠0）在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1]C．（0，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）解：f（x）=﹣x2+2ax在区间[1，2]上是减函数，故对称轴x=a，有a≤1；g（x）=（a+1）1﹣x在区间[1，2]上是减函数，只需a+1＞1，即a＞0，综上可得0＜a≤1．故选B．5．（2014•东阳市二模）函数（0＜a＜1）的图象的大致形状是（）A．B．C．D．解：因，且0＜a＜1，故选D．6．（2013秋•文登市期末）随着市场的变化与生产成本的降低，每隔4年计算机的价格降低，则2000年价格为8100元的计算机到2016年价格应为（）A．3000元B．2400元C．1600元D．1000元解：∵每隔4年计算机的价格降低，∴第n年的价格a n=．∴2000年价格为8100元的计算机到2016年价格==1600元．故选：C．7．（2014•漳州二模）函数y=a x﹣（b+1）（a＞0且a≠1）的图象在第一、三、四象限，则必有（）A．0＜a＜1，b＞0 B．0＜a＜1，b＜0 C．a＞1，b＜0 D．a＞1，b＞0解：由题意，画出草图如下图：结合图形，可得a＞1且b+1＞1，∴a＞1，b＞0．故选D．8．（2014秋•梓潼县校级期中）函数y=a x﹣2（a＞0且a≠1，﹣1≤x≤1）的值域是，则实数a=（）A．3 B．C．3或D．或解：当a＞1时，函数y=a x﹣2（a＞0且a≠1，﹣1≤x≤1）是增函数，∵值域是[a﹣1﹣2，a﹣2]，∴⇒a=3；当0＜a＜1时，函数y=a x﹣2（a＞0且a≠1，﹣1≤x≤1）是减函数，∵值域是[a﹣2，a﹣1﹣2]，∴⇒．综上所述，可得实数a=3或故选C．9．（2015•珠海校级四模）已知奇函数如果f（x）=a x（a＞0且a≠1）对应的图象如图所示，那么g（x）=（）A．B．C．2﹣x D．﹣2x解：当x＞0时，函数单调递减，则0＜a＜1，∵f（1）=，∴a=，即函数f（x）=（）x，当x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）=（）﹣x=﹣f（x），则y=﹣（）﹣x=﹣2x，即g（x）=﹣2x，x＜0，故选：D10．（2015•泉州模拟）函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的大致图象是（）A．B．C．D．解：由f（x）的图象可知0＜a＜1，b＜﹣1，则函数g（x）为减函数，且g（0）=1+b＜0，故选：A11．（2013秋•信阳期末）若函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．解：∵，当x≥﹣1时，f（x）=a﹣x，则必有a＞0，此时f（x）=a﹣x，而当x＜﹣1时，f（x）=a（x﹣1）+1，由于a＞0，则其为增函数，故f（x）=a﹣x=（）x，（x≥﹣1）必为增函数，则有，即a＜1，且﹣2a+1≤a，∴a≥∴；故选D．12．（2014•上海模拟）已知关于x的方程|3x﹣1|=k，则下列说法错误的是（）A．当k＞1时，方程的解的个数为1个B．当k=0时，方程的解的个数为1个C．当0＜k＜1时，方程的解的个数为2个D．当k=1时，方程的解的个数为2个解：画出函数y=|3x﹣1|，和y=k的图象，如图；结合函数的图象，得当k＞1时，两函数的图象有1个交点，∴方程|3x﹣1|=k的解有1个，∴A正确；当k=0时，两函数的图象有1个交点，∴方程|3x﹣1|=k的解有1个，∴B正确；当0＜k＜1时，两函数的图象有2个交点，∴方程|3x﹣1|=k的解有2个，∴C正确；当k=1时，两函数的图象有1个交点，∴方程|3x﹣1|=k的解有1个，∴D错误；故选：D．二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（2015•衢州一模）定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时．f（x）=2x，则满足f（1﹣2x）＜f（3）的x取值范围是（﹣1，2）．解：∵定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时．f（x）=2x，即偶函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数∴自变量的绝对值越大函数值越大∴f（1﹣2x）＜f（3）⇔|1﹣2x|＜3⇔﹣3＜1﹣2x＜3⇔﹣1＜x＜2故答案为（﹣1，2）14．（2015春•常州期中）如果函数y=a2x+2a x﹣1（a＞0，a≠1）在区间[﹣1，1]上的最大值是14，则实数a的值为3或．解：设t=a x，则函数等价为y=f（t）=t2+2t﹣1=（t+1）2﹣2，对称轴为t=﹣1，若a＞1，则0＜≤t≤a，此时函数的最大值为f（a）=（a+1）2﹣2=14，即（a+1）2=16，即a+1=4或a+1=﹣4，即a=3或a=﹣5（舍），若0＜a＜1，则0＜a≤t≤，此时函数的最大值为f（）=（+1）2﹣2=14，即（+1）2=16，即+1=4或+1=﹣4，即=3或=﹣5（舍），解得a=，综上3或；故答案为：3或；15．（2014•北京模拟）已知函数f（x）=，若f（a2﹣2）＞f（a），则实数a的取值范围是﹣1＜a＜2．解：f（x）=2﹣x﹣1在（﹣∞，0）上单调递减函数f（x）=﹣x2﹣2x在（0，+∞）上单调递减函数而函数在x=0处连续，∴函数f（x）在R上是单调递减函数而f（a2﹣2）＞f（a），∴a2﹣2＜a，解得a∈（﹣1，2）．故答案为：﹣1＜a＜2．16．（2014•开福区校级模拟）若x1，x2∈R，x1≠x2，则下列性质对函数f（x）=2x成立的是①③④．（把满足条件的序号全部写在横线上）①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）③[f（x1）﹣f（x2）]•（x1﹣x2）＞0④．解：①f（x1+x2）===f（x1）•f（x2）①对②f（x1•x2）=，f（x1）+f（x2）=，f（x1•x2）≠f（x1）+f（x2）②错③f（x）在定义域R上是增函数，对于任意的两不等实数x1，x2，若x1＞x2 则f（x1）f（x2），若x1＜x2 则f（x1）＜f（x2），总之必有[f（x1）﹣f（x2）]•（x1﹣x2）＞0．③＞对④如图A，B为函数图象上任意不同两点，M为线段AB的中点，过M且与x轴垂直的直线与图象交与点P．各点坐标如图所示．由图可知，两边同时乘以2，即知④对．故答案为：①③④．三、解答题（共6小题，共70分）17．（本小题10分）（1）化简；（2）已知x+y=12，xy=9，且0＜x＜y，求的值．解：（1）原式=（0.0081）﹣[3×（）0]﹣1•[81﹣0.25+（3）]﹣10×0.027=×[+]﹣10×=3﹣3=0；（2）号==，∵x+y=12，xy=9，且0＜x＜y，∴=﹣=﹣=﹣；∴===．18．（本小题12分）我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫做集合A与B的差集，记作A﹣B．据此回答下列问题：（Ⅰ）若A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，求A﹣B；（Ⅱ）在下列各图中用阴影部分表示集合A﹣B；（Ⅲ）若A={x|0＜x≤a}，B={x|﹣1≤x≤2}，且A﹣B=∅，求a的取值范围．解：（Ⅰ）若A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则A﹣B={1}；（Ⅱ）在下列各图中用阴影部分表示集合A﹣B；（Ⅲ）若A={x|0＜x≤a}，B={x|﹣1≤x≤2}，且A﹣B=∅，则a≤2，又0<a∴a的取值范围是（0，2]19．（本小题12分）设函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为常数，且a＞0），f（﹣1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若g（x）=f（x）﹣kx（x∈[﹣2，2]）是单调函数，求实数k的取值范围．解：（1）∵f（﹣1）=0，∴b=a+1；∴f（x）=ax2+（a+1）x+1，又∵对任意实数x均有f（x）≥0，∴△=（a﹣1）2≤0，故a=1；故f（x）=x2+2x+1；（2）g（x）=x2+（2﹣k）x+1，∵g（x）=f（x）﹣kx（x∈[﹣2，2]）是单调函数，∴≤﹣2或≥2；故k≤﹣2或k≥6．20．（本小题12分）某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气后4分钟测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm（ppm为浓度单位，一个ppm表示百万分之一），再过4分钟又测得浓度为32ppm．由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时间t（分钟）存在函数关系y=c（）mt（c，m为常数）．1）求c，m的值2）若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？解：（1）∵函数y=c（）mt（c，m为常数）经过点（4，64），（8，32），∴解得m=，c=128，（2）由（1）得y=128，∴128＜，解得t=32．故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．21．（本小题12分）已知奇函数f（x）=的定义域为R，其中g（x）为指数函数且过点（2，9）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并用函数单调性定义证明．解：（Ⅰ）设g（x）=a x，由g（x）的图象过点（2，9），可得a2=9，∴a=3，g（x）=3x．故函数f（x）==．再根据f（x）为奇函数，可得f（0）===0，∴m=g（0）=1，即f（x）=．（Ⅱ）∵f（x）===﹣1，．设x1＜x2，则0＜＜，由于f（x1）﹣f（x2）=﹣=，结合0＜＜，可得2（﹣）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故f（x）在R上单调递减．22．（本小题12分）已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．（1）求f（x）；（2）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）把A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•a x，得结合a＞0且a≠1，解得：，∴f（x）=3•2x．（2）要使（）x+（）x≥m在（﹣∞，1]上恒成立，只需保证函数y=（）x+（）x在（﹣∞，1]上的最小值不小于m即可．∵函数y=（）x+（）x在（﹣∞，1]上为减函数，∴当x=1时，y=（）x+（）x有最小值．∴只需m≤即可．。
人教(A)版高中数学必修第一册指数函数综合练习题
指数函数综合练习题1、求函数()1,011≠>+-=a a a a y x x 且的值域。
2、求下列函数的单调区间：（1）32231+-⎪⎭⎫⎝⎛=x x y（2）17218212+⎪⎭⎫ ⎝⎛•-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y3、解下列不等式：（1）2211-x 3≤⎪⎭⎫ ⎝⎛（2）)10(61322≠><+-a a a a x x x 且4、已知函数())0(22>+-=m n mx mx x f 在区间[1,3]上的最大值为5，最小值为1，设()()xx f x g =。
（1）求m,n 的值； （2）若函数()()x x k g x F 22•-=，()0=x F 在区间[-1,1]上能成立，求实数k 的取值范围。
5、已知函数()R m m x f x x∈+-=,122 （1）判断函数()x f 在()0-，∞上的单调性，并证明你的结论； （2）是否存在m ，使得()x f 为奇函数？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。
6、设函数()ax x f -1021⎪⎭⎫ ⎝⎛=，a 是不为零的常数。
（1）当()213=f ，求使()4≥x f 的x 的取值范围。
（2）当[]2,1-∈x 时，()x f 的最大值是16，求a 的值。
7、已知函数()xx a x f 22-=（R a ∈） （1）若函数()x f 为偶函数，求实数a 的值；（2）设函数()22222--+-=x x ax g ，且()()()x g x f x h +=，已知()a x h 32+>对任意的()+∞∈,0x 恒成立，求a 的取值范围。
(典型题)高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测题(答案解析)
一、选择题1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：35]4[--．＝，[]2.12＝，已知函数21()12x x e f x e =++，()[()]g x f x =，则下列叙述正确的是（ ） A ．()g x 是偶函数 B ．()f x 在R 上是增函数C ．()f x 的值域是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()g x 的值域是{1,0,1}-2．已知函数()()2log 23a f x x x =--+，若()00f <，则此函数的单调递增区间是（ ） A ．(],1-∞-B ．[)1,-+∞C ．[)1,1-D ．(]3,1--3．函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为（ ）.A ．(0,+∞)B ．(-,0)C ．(2,+∞)D ．(-,-2)4．已知函数3131()(),()log ,()(0)2xf x xg x x xh x x x x =-=-=->的零点分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小顺序为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>5．已知函数()()2ln f x ax bx c =++的部分图象如图所示，则a b c -+的值是（ ）A ．1-B ．1C ．5-D ．56．设函数()21xf x =-，c b a <<，且()()()f c f a f b >>，则22a c +与2的大小关系是（ ） A ．222a c +> B ．222a c +≥ C ．222a c +≤D ．222a c +<7．已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是( ) A ．52a -B ．2a -C ．23(1)a a -+D ．231a a --8．已知函数()2,01,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若()()10f a f +=，则实数a 的值等于（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．39．若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为（ ） A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．函数()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()1+∞， B ．()01，C ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．()3+∞， 11．函数()log 1a f x x =+（且）．当(1,0)x ∈-时，恒有()0f x >，有（ ）．A ．()f x 在(,0)-∞+上是减函数B ．()f x 在(,1)-∞-上是减函数C ．()f x 在(0,)+∞上是增函数D ．()f x 在(,1)-∞-上是增函数12．函数2ln 8x y x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知()(3),1log ,1aa x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么实数a 的取值范围是_________．14．已知常数0a >，函数()22xx f x ax =+的图象经过点65P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．若236p q pq +=，则a =______．15．函数x )是_________（奇、偶）函数.16．定义{},,max ,,x x y x y y x y≥⎧=⎨<⎩，设{}()max ,log x a f x a a x =--(),1x R a +∈>.则不等式()2f x ≥的解集是_____________.17．函数()()()212log 24f x ax x a R =-+∈，若()f x 的值域为(],1-∞，则a 的值为______.18．对于函数()f x 定义域中任意的1x 、()212x x x ≠，有如下结论： ①()()()1212f x x f x f x +=⋅；②()()()1212f x x f x f x ⋅=+；③()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦；④()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭． 当()2xf x =时；上述结论正确的是__________．（写出所有正确的序号）19．设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得00(1)()(1)f x f x f +=+，则称0x 为函数()f x 的“可拆点”.若函数22()log 1af x x =+在(0,)+∞上存在“可拆点”，则正实数a 的取值范围为____________.20．若函数1log 12a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有最小值-2，则实数a =_______. 三、解答题21．已知函数()421()x x f x a a R =-+⋅-∈. （1）当1a =时，求()f x 的值域； （2）若()f x 在区间[]1,0-的最大值为14-，求实数a 的值. 22．已知函数()ln(32)f x x =+，()ln(32)g x x =-.设函数()()()F x f x g x =-. （1）求函数()F x 的定义域； （2）判断()F x 奇偶性并证明； （3）若()0F x >成立，求x 的取值范围.23．设函数()()22()log 4log 2f x x x =⋅的定义域为1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（1）求()y f x =的最大值和最小值，并求出最值时对应的x 值； （2）解不等式()60f x ->.24．已知函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，且(4)(2)1f f -=. （1）求函数()f x 的表达式；（2）判断函数()(2)(2)g x f x f x =++-的奇偶性，并说明理由.25．已知函数210(),22,01xx ax a x f x a a x ⎧+--≤<=⎨-≤≤⎩，其中a >0且a ≠1. （1）当12a =时，求f (x )的值域；（2）函数y =f (x )能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数a 的范围；如果不能，则给出理由；（3）()2f x -在其定义域上恒成立，求实数a 的取值范围.26．已知222log ()log log x y x y +=+，则x y +的取值范围是__________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】计算(2),(2)g g -得出()()22g g ≠-判断选项A 不正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出()f x 在R 上是增函数，判断选项B 正确；由x y e =的范围，利用不等式的关系，可求出15()22f x <<，进而判断选项CD 不正确，即可求得结果. 【详解】对于A ，根据题意知，2152()1221x x xe f x e e =+=-++. ∵252(2)[(2)]221g f e ⎡⎤==-=⎢⎥+⎣⎦， 2222121(2)[(2)]01212e g f e e --⎡⎤⎡⎤-=-=+=+=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦， (2)(2)g g ∴≠-，∴函数()g x 不是偶函数，故A 错误；对于B ，1x y e =+在R 上是增函数，则21xy e =+在R 上是减函数，则52()21xf x e =-+在R 上是增函数，故B 正确； 对于C ，0xe >，11x e ∴+>，2202,20,11x x e e <<-<-<++ 15()22f x ∴<<，即()f x 的值域是15,22⎛⎫⎪⎝⎭，故C 错误；对于D ，()f x 的值域是15,22⎛⎫⎪⎝⎭，则()g x 的值域是{0,1,2}，故D 错误. 故选：B. 【点睛】本题要注意对函数的新定义的理解，研究函数的单调性和值域常用分离常数，属于较难题.2．C解析：C 【分析】由()00f <求得01a <<，求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()f x 的单调递增区间. 【详解】由题意可得()0log 30log 1a a f =<=，01a ∴<<.对于函数()()2log 23a f x x x =--+，2230x x --+>，可得2230x x +-<，解得31x -<<.所以，函数()f x 的定义域为()3,1-.由于内层函数223u x x =--+在区间(]3,1--单调递增，在区间[)1,1-单调递减. 外层函数log a y u =单调递减，由复合函数法可知，函数()f x 的单调递增区间为[)1,1-. 故选：C. 【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：（1）定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论；（2）图象法：如果函数()f x 是以图象的形式给出或者函数()f x 的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间； （4）复合函数法：先将函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦分解为内层函数()u g x =和外层函数()y f u =，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定. 3．D解析：D 【分析】求出函数的定义域，根据对数型复合函数的单调性可得结果. 【详解】函数()212()log 4f x x =-的定义域为()(),22,-∞-+∞，因为函数()f x 是由12log y u =和24u x=-复合而成，而12log y u =在定义域内单调递减，24u x =-在(),2-∞-内单调递减，所以函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为(),2-∞-， 故选：D. 【点睛】易错点点睛：对于对数型复合函数务必注意函数的定义域.4．B解析：B 【分析】将函数3131()(),()log ,()(0)2x f x x g x x x h x x x x =-=-=->的零点，转化为函数y x =的图象分别与函数3131(),log ,(0)2xy y x y x x ===>的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解. 【详解】函数3131()(),()log ,()(0)2x f x x g x x x h x x x x =-=-=->的零点，即为函数y x =的图象分别与函数3131(),log ,(0)2x y y x y x x ===>的图象交点的横坐标， 如图所示：由图象可得：c a b >>，故选：B 【点睛】本题主要考查函数的零点以及指数函数，对数函数和幂函数的图象的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.5．D解析：D 【分析】由图中函数的单调性可得方程20ax bx c ++=的两根为2和4，利用根与系数的关系结合(1)0f =列式求得,,a b c 的值，则答案可求.【详解】解：由图可知，函数()f x 的减区间为(,2)-∞，增区间为(4,)+∞， ∴内层函数2t ax bx c =++的减区间为(,2)-∞，增区间为(4,)+∞， ∴方程20ax bx c ++=的两根为2和4， 又(1)0f =，68ln()0ba ca abc ⎧-=⎪⎪⎪∴=⎨⎪++=⎪⎪⎩，解得13283a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎩. 182533a b c ∴-+=++=.故选：D. 【点睛】本题考查函数的图象与图象变换，考查复合函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题.6．D解析：D 【分析】运用分段函数的形式写出()f x 的解析式，作出()21xf x =-的图象，由数形结合可得0c <且0a >，21c <且21a >，且()()0f c f a ->，去掉绝对值，化简即可得到结论．【详解】()21,02112,0x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩， 作出()21xf x =-的图象如图所示，由图可知，要使c b a <<且()()()f c f a f b >>成立， 则有0c <且0a >， 故必有21c <且21a >，又()()0f c f a ->，即为()12210c a--->，∴222a c +<． 故选：D ． 【点睛】本题考查指数函数单调性的应用，考查用指数函数单调性确定参数的范围，本题借助函数图象来辅助研究，由图象辅助研究函数性质是函数图象的重要作用，以形助数的解题技巧必须掌握，是中档题．7．B解析：B 【解析】试题分析：33333333log 82log 6log 22log 233log 22(log 2log 3)-=-⨯=-+3log 222a =-=-,所以答案选B .考点：指数对数的计算8．A解析：A 【分析】先求得()1f 的值，然后根据()f a 的值，求得a 的值. 【详解】由于()1212f =⨯=，所以()()20,2f a f a +==-，22a =-在()0,∞+上无解，由12a +=-解得3a =-，故选A.【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查已知分段函数值求自变量，属于基础题.9．C解析：C 【分析】求得函数()y f x =的定义域，利用复合函数法求得函数()y f x =的单调递增区间，根据题意可得出区间的包含关系，由此可求得实数m 的取值范围. 【详解】解不等式2450x x -++>，即2450x x --<，解得15x -<<，内层函数245u x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减， 而外层函数12log y u =在定义域上为减函数，由复合函数法可知，函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5， 由于函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+上单调递增，所以，32232225m m m m -≥⎧⎪-<+⎨⎪+≤⎩，解得423m ≤<.因此，实数m 的取值范围是4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.10．D解析：D 【分析】由题意可得可得1a >，且30a ->，由此求得a 的范围． 【详解】解：函数()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，而函数()3t x ax =-在[]13，上单调递增，根据复合函数的单调性可得1a >，且30a ->，解得3a >，即()3a ∈+∞，故选：D ． 【点睛】本题主要考查对数函数的定义域、单调性，复合函数的单调性，属于基础题．11．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意，当(1,0)x ∈-时，1(0,1)x +∈，而此时log 10a x +>，所以有01a <<，从而能够确定函数在(,1)-∞-上是增函数，在区间(1,)-+∞上是减函数，故选D ．考点：函数的单调性．12．D解析：D 【分析】先根据偶函数性质排除B ，再考虑当0x >且0x →时，y →+∞，排除A.再用特殊值法排除C ，即可得答案. 【详解】解：令()2ln 8x f x y x ==-，则函数定义域为{}0x x ≠ ，且满足()()f x f x -=，故函数()f x f (x )为偶函数，排除选项B ； 当0x >且0x →时，y →+∞，排除选项A ；取特殊值x =1ln 1ln 0y e =-<-=，排除选项C. 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数解析式选函数图象问题，考查函数的基本性质，是中档题.二、填空题13．【分析】分类讨论和结合已知和对数函数及一次函数的单调性得a 的不等式组求解即可【详解】解：若当时当时此时的值域不为R 不符合题意；若当时当时要使函数的值域为R 需使解得综上所述故答案为：【点睛】本题考查分解析：31,2⎛⎤⎥⎝⎦【分析】分类讨论01a <<和1a >，结合已知和对数函数及一次函数的单调性，得a 的不等式组求解即可． 【详解】 解：若01a <<， 当1≥x 时，log 0a x ≤，当1x <时，()3332a x a a a a --<--=-，此时f x （）的值域不为R ，不符合题意；若1a >，当1≥x 时，log 0a x ≥，当1x <时，要使函数f x （）的值域为R ，需使30log 13a a a a ->⎧⎨≤--⎩，解得332a a <⎧⎪⎨≤⎪⎩，312a ∴<≤， 综上所述，312a <≤，故答案为：31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】本题考查分段函数的值域及对数函数的性质，考查分类讨论思想与数学运算能力，是中档题.14．6【分析】直接利用函数的关系式利用恒等变换求出相应的a 值【详解】函数f （x ）=的图象经过点P （p ）Q （q ）则：整理得：=1解得：2p+q=a2pq 由于：2p+q=36pq 所以：a2=36由于a ＞0故解析：6 【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a 值． 【详解】函数f （x ）=22xx ax+的图象经过点P （p ，65），Q （q ，15-）．则：226112255p q pq ap aq +=-=++， 整理得：22222222p q p q p qp qp q aq ap aq ap a pq+++++++++=1， 解得：2p+q =a 2pq ， 由于：2p+q =36pq ， 所以：a 2=36， 由于a ＞0， 故：a=6． 故答案为6 【点睛】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．15．奇【解析】又所以函数f(x)是奇函数点睛:判断函数的奇偶性其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称这是函数具有奇偶性的必要不充分条件所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等解析：奇 【解析】210x x x x x x R +->=-≥∴∈又()()))lglglg10f x f x x x -+=+==所以函数f(x) 是奇函数.点睛: 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．16．【分析】利用分段函数列出不等式求解即可【详解】解：在上为单调递增函数又当时当时不等式或解得或故答案为：【点睛】本题考查分段函数的应用函数值的求法考查转化思想以及计算能力 解析：21(0,][log (2),)a a a++∞ 【分析】利用分段函数列出不等式求解即可. 【详解】解：()log log xxa a a a x a a x ---=-+，1a >，()log x a g x a a x =-+在()0,∞+上为单调递增函数，又1(1)log 10a g a a =-+=， 当()0,1x ∈时，log 0xa a a x -+<，当()1,x ∈+∞时，log 0xa a a x -+>，,1()log ,01x a a a x f x x x ⎧->∴=⎨-<<⎩不等式()2f x ≥，21x a a x ⎧-≥∴⎨>⎩或log 201a x x -≥⎧⎨<<⎩，解得log (2)a x a ≥+或210x a <≤， 故答案为：21(0,][log (2),)a a a ++∞. 【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力.17．【分析】根据对数的性质可知且最小值为即可求得的值【详解】因为的值域为所以函数的最小值为即解得故答案为：【点睛】本题考查对数函数的值域考查对数的性质合理转化是解题的关键考查了运算能力属于中档题 解析：27【分析】根据对数的性质可知2240y ax x =-+>，且最小值为1，即可求得a 的值. 【详解】因为()()()212log 24f x ax x a R =-+∈的值域为(],1-∞，所以2240ax x -+>，函数224y ax x =-+的最小值为12，即()20442142a a a >⎧⎪⎨⨯--=⎪⎩，解得27a =，故答案为：27【点睛】本题考查对数函数的值域，考查对数的性质，合理转化是解题的关键，考查了运算能力，属于中档题.18．①④【分析】根据指数幂的运算法则判断①；采用举例子的方法判断②；根据指数函数的单调性判断③；利用指数幂的运算并采用作差法判断④【详解】对于①：因为所以故①正确；对于②：取所以所以不恒成立故②错误；对解析：①④ 【分析】根据指数幂的运算法则判断①；采用举例子的方法判断②；根据指数函数的单调性判断③；利用指数幂的运算并采用作差法判断④. 【详解】对于①：因为()()()12121212122,222x x x x x x f x x f x f x +++=⋅=⋅=，所以()()()1212f x x f x f x +=⋅，故①正确；对于②：取121,2x x ==，所以()()()()121224,246f x x f f x f x ⋅==+=+=，所以()()()1212f x x f x f x ⋅=+不恒成立，故②错误；对于③：因为()2xf x =是R 上的增函数，所以()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦，故③错误；对于④：因为()()121212122222,=222x x x x f x f x x x f ++++⎛⎫= ⎪⎝⎭，且12121212121222222222222422220242x x x x x x x x x x x x ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅-⋅--==> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，故④正确， 所以正确的有：①④， 故答案为：①④. 【点睛】结论点睛：可直接判断函数单调性的几种变形形式：（1）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->或()()12120f x f x x x ->- 成立，则()f x 为单调递增函数；（2）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x --<或()()12120f x f x x x -<- 成立，则()f x 为单调递增函数.19．【分析】首先根据定义列出的等式转化为再根据分离常数和换元法求的取值范围【详解】函数为可分拆函数存在实数使得且设当时等号成立即故答案为：【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题解析：[3【分析】首先根据定义，列出()()()0011f x f x f +=+的等式，转化为()()20202111x a x +=++，再根据分离常数和换元法，求a 的取值范围. 【详解】 函数()22log 1af x x =+为“可分拆函数”，∴存在实数00x >，使得()2222200log log log 1211aa a x x =++++且0a >，()()222002111a a x x ∴=+++，()()()2220000002222000000021*********222222211x x x x x x a x x x x x x x +++--++∴====-++++++++， 设0422x t +=>，024t x -∴=， 2161622204204t a t t t t∴=-=-++++ ，20444t t ++≥=，当t =即32a <. 故答案为：)32⎡⎣ 【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题型，首先正确利用新定义，并正确表示()()20202111x a x +=++，利用01x >，转化为求函数的值域，即求a 的取值范围.20．或2【分析】根据复合函数的单调性及对数的性质即可求出的值【详解】当时在为增函数求得即;当时在为减函数求得即故答案为:或【点睛】本题考查复合函数单调性对数方程的解法难度一般解析：12或2 【分析】根据复合函数的单调性及对数的性质即可求出a 的值. 【详解】当1a >时, 1log 12a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为增函数,min 33log 1-224a y f ⎛⎫⎛⎫=-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求得-214a=,即=2a ; 当01a <<时, 1log 12a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数,()()min 6log 31-2a y f ==+=,求得-24a =,即1=2a . 故答案为:12或2. 【点睛】本题考查复合函数单调性,对数方程的解法,难度一般.三、解答题21．（1）3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；（2）a =【分析】（1）令()20,xt =∈+∞，可得21y t t =-+-，利用二次函数的性质可求出；（2）令12,12xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，可得21y t at =-+-，讨论对称轴2at =的取值范围结合二次函数的性质即可求出. 【详解】（1）()2()421221x x xx f x a a =-+⋅-=-+⋅-.令()20,xt =∈+∞，21y t at =-+-，1a =时，2213124y t t t ⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ∴当12t =时，max 34y =-，∴3,4y ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，所以()f x 的值域为3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.（2）令12,12xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，22211124a y t at t a ⎛⎫=-+-=---+ ⎪⎝⎭， 其图象的对称轴为2at =. ①当122a ≤，即1a ≤时，函数y 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 当12t =时，max 1111424y a =-+-=-，解得2a =，与1a ≤矛盾；②当12a ≥，即2a ≥时，函数y 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 当1t =时，max 1114y a =-+-=-，解得74a =，与2a ≥矛盾， ③当1122a <<，即12a <<时，函数y 在1,22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.当2at =时，2max 11144y a =-=-，解得a =，舍去a =综上，a = 【点睛】思路点睛：求二次函数在闭区间[],a b 的最值的思路； （1）二次函数开口向上时，求函数的最大值，讨论对称轴和2a b+的大小求解； （2）二次函数开口向上时，求函数的最小值，讨论对称轴在(]()[),,,,,a a b b -∞+∞三个区间的范围求解. 22．（1）33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）奇函数，证明见解析；（3）302x <<【分析】（1）由320320x x +>⎧⎨->⎩可解得结果；（2）()F x 是奇函数，根据奇函数的定义可证结论正确； （3）根据对数函数的单调性可解得结果. 【详解】（1）由320320x x +>⎧⎨->⎩，解得3322x -<<，所以函数()F x 的定义域为33(,)22-.（2）()F x 是奇函数. 证明如下：x ∀∈33(,)22-，都有x -∈33(,)22-，因为 ()ln(32)ln(32)()F x x x F x -=--+=-， ∴()F x 是奇函数.（3）由()0F x >可得()()0f x g x ->，得ln(32)ln(32)0x x +-->， 即ln(32)ln(32)x x +>-， 由对数函数的单调性得32320x x ，解得302x <<. 【点睛】易错点点睛：利用对数函数的单调性解对数不等式时，容易忽视函数的定义域.23．（1）当x =时，()f x 取得最小值14-；当4x =时，()f x 取得最大值12；（2）{}24x x <≤【分析】（1）令2log t x =，可得[]2,2t ∈-，从而()()22log 4log 2x x ⋅232t t =++，结合二次函数的性质，可求出最大值和最小值，及取得最值时对应的x 值；（2）由（1）知，2()32f x t t =++，[]2,2t ∈-，则不等式可化为2340t t +->，可求出t 的范围，结合2log t x =，可求出x 的范围. 【详解】 （1）由题意，()()()()222222log 4log 2log 4log log 2log x x x x ⋅=+⋅+=()()222log 1log x x +⋅+，令2log t x =，∵1,44x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，∴[]2log 2,2t x =∈-则()()22132y t t t t =++=++，根据二次函数的性质，可得当32t =-，即322x -==232y t t =++取得最小值，最小值为233132224⎛⎫⎛⎫-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 当2t =时，即224x ==时，232y t t =++取得最大值，最大值为2232212+⨯+=. （2）由（1）知，2()32f x t t =++，[]2,2t ∈-， 则()60f x ->可化为2340t t +->，解得1t >或4t <-， 因为[]2,2t ∈-，所以12t <≤， 则222log 2log log 4x <≤，即24x <≤， 故不等式()60f x ->的解集为{}24x x <≤. 【点睛】关键点点睛：本题考查求复合函数的最值，及函数不等式的解.解决本题的关键是利用换元法，令2log t x =，可将()f x 转化为关于t 的二次函数232y t t =++，进而可求出最值，并解不等式即可，注意不要漏掉[]2,2t ∈-.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.24．（1）2()log f x x =（2）偶函数.见解析 【分析】（1）根据(4)(2)1f f -=，代入到函数的解析式中可求得2a =，可求得函数()f x 的解析式; （2）由函数()f x 的解析式，求得函数()g x 的解析式，先求得函数()g x 的定义域，再由函数的奇偶性的判断方法证得函数的奇偶性. 【详解】（1）因为()log (0,1)a f x x a a =>≠，且(4)(2)1f f -=，所以log 4log 21a a -=，即log 21a =.，解得2a =，所以2()log f x x =;（2）因为()log a f x x =，所以22()log (2)log (2)g x x x =++-,由2020x x +>⎧⎨->⎩,得22x -<<,所以()g x 的定义域为()22-，， 又因为22()log (2)log (2)()g x x x g x -=-++=， 所以22()log (2)log (2)g x x x =++-为偶函数. 【点睛】本题考查对数函数的函数解析式的求解，函数的奇偶性的证明，属于基础题. 25．（1）()f x 的值域为9[16-，1]；（2）能，a 的取值集合为{2}；（3）232a -. 【分析】（1）由二次函数和指数函数的值域求法，可得()f x 的值域；（2）讨论1a >，01a <<，结合指数函数的单调性和二次函数的单调性，即可得到所求范围；（3）讨论x 的范围和a 的范围，结合参数分离和对勾函数的单调性、指数函数的单调性，计算可得所求范围． 【详解】（1）当10x -<时，21122y x x =+-，对称轴为1[14x =-∈-，0)， 可得y 的最小值为916-，y 的最大值为0； 当01x 时，12?()1[02xy =-∈，1]；综上()f x 的值域为9[16-，1]；（2）当1a >时，函数22x y a a =-在[0，1]递增， 故二次函数2y x ax a =+-在[1-，0]也要递增，1222aa a⎧--⎪⎨⎪--⎩，故只有2a =符合要求； 当01a <<时，函数22x y a a =-在[0，1]递减， 故二次函数2y x ax a =+-在[1-，0]也要递减，0222aa a⎧-⎪⎨⎪--⎩，无解． 综上，a 的取值集合为{2}；（3）①当[1x ∈-，0]时，22x ax a +--恒成立，即有2(1)2a x x ---，即221x a x+-，由221x y x+=-，令1t x =-，[1t ∈，2]，可得32232y t t=+--，当且仅当t = 可得232a -；②当[0x ∈，1]时，①当1a >时，22x y a a =-，222x a a --，即有222a -，求得2a ，故12a <； ②当01a <<时，成立， 综上可得a 的范围为232a -． 【点睛】本题考查分段函数的值域和单调性的判断和运用，考查分类讨论思想方法和化简运算能力，以及不等式恒成立问题解法，属于中档题．26．[4,)+∞【分析】利用对数式的运算性质把给出的等式变形，去掉对数符号后利用基本不等式转化为关于(x +y )的二次不等式，求解后即可得到x +y 的取值范围. 【详解】222log ()log log x y x y +=+，x y xy ∴+=，0,0x y >>，2()2x y x y xy +∴+=≤，当且仅当2x y ==时，等号成立。
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题单选题1、如图所示，函数y =|2x −2|的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x −2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1，∴x =1时，y =0,x ≠1时，y >0. 故选：B.2、函数f(x)=2x −1x 的零点所在的区间可能是（ ） A ．(1,+∞)B ．(12，1)C ．(13，12)D ．(14，13)答案：B分析：结合函数的单调性，利用零点存在定理求解.因为f(1)=2−11=1>0,f(12)=√2−2<0,f(13)=√23−3<0f(14)=√24−4<0， 所以f(12)⋅f(1)<0，又函数f(x)图象连续且在(0,+∞)单调递增， 所以函数f(x)的零点所在的区间是(12，1)， 故选：B ．小提示：本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用，属于基础题.3、已知函数f (x )={−2x,x <0−x 2+2x,x ≥0 若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（ ） A ．[0,34]B ．(0,34) C ．[0,916]D ．(0,916) 答案：D分析：根据题意，作出函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0 与y =12x +m 的图像，然后通过数形结合求出答案.函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0的图像如下图所示：若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解， 则函数f (x )的图像与直线y =12x +m 有三个交点，若直线y =12x +m 经过原点时，m ＝0，若直线y =12x +m 与函数f (x )=12x +m 的图像相切，令−x 2+2x =12x +m ⇒x 2−32x +m =0，令Δ=94−4m =0⇒m =916. 故m ∈(0,916). 故选：D ．4、函数y =2x −2−x （ ）A ．是R 上的减函数B ．是R 上的增函数C ．在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数D ．无法判断其单调性 答案：B分析：利用指数函数的单调性结合单调性的性质可得出结论.因为指数函数f (x )=2x 为R 上的增函数，指数函数g (x )=2−x =(12)x为R 上的减函数， 故函数y =2x −2−x 是R 上的增函数. 故选：B.5、若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数，且y =a −x 也为增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(√33,1)B ．(0,12)C ．(√33,√63)D ．(√63,1) 答案：D分析：根据函数单调性，列出不等式组{3a 2−1>10<a <1求解，即可得出结果. 若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数，则3a 2−1>1，由y =a −x 为增函数得0<a <1．解不等式组{3a 2−1>10<a <1，得a 的取值范围是(√63,1)．故选：D.小提示：本题主要考查由对数函数与指数函数的单调性求参数，涉及不等式的解法，属于基础题型. 6、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（ ） A ．90<a <100B ．90<a <110C ．100<a <110D ．80<a <100 答案：A分析：首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据y >0，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .要使商家利润有所增加，则必须使y >0，即x 2−10x <0，得0<x <10,∴90<x +90<100，所以a 的取值为90<a <100. 故选：A7、已知a =lg2，10b =3，则log 56=（ ） A ．a+b 1+aB ．a+b 1−aC ．a−b 1+aD ．a−b 1−a答案：B分析：指数式化为对数式求b ，再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a =lg2, 10b =3， ∴b =lg3， ∴log 56=lg6lg5=lg2×3lg 102=lg2+lg31−lg2=a+b 1−a．故选：B ．8、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（ ） A ．25B ．5C ．259D ．53 答案：C分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 因为2a =5，b =log 83=13log 23，即23b =3，所以4a−3b =4a 43b=(2a )2(23b )2=5232=259．故选：C. 多选题9、已知函数f (x )={e x −1,x ≥a,−(x +1)2,x <a (a ∈R ) ，则（ ） A ．任意a ∈R ，函数f (x )的值域为R B ．任意a ∈R ，函数f (x )都有零点C ．任意a ∈R ，存在函数g (x )满足g (−|x |)=f (x )D ．当a ∈(−∞,−4]时，任意x 1≠x 2,(x 1−x 2)(f (x 1)−f (x 2))>0答案：BD分析：画出分段函数图像，根据图像逐项分析即可得到结果设函数y=e x−1和y=−(x+1)2的左右两交点坐标为(x1,y1)，(x2,y2)对于选项A，由图像可知，当a<x1时，f(x)的值域不为R，故A错误对于选项B，由图像可知，无论a取何值，函数f(x)都有零点，故B正确对于选项C，当x>0时g(−|x|)=g(−x)，g(−|−x|)=g(−x)由图像可知f(−x)≠f(x)所以不存在函数g(x)满足g(−|x|)=f(x)对于选项D，若x1<a，x2<a，因为y=−(x+1)2为增函数，所以对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立若x1>a，x2>a因为y=e x−1为增函数，所以对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立当x1，x2不在同一区间时，因为a∈(−∞,−4]，所以y=e x−1(x>a)的图像在y=−(x+1)2(x<a)的图像的上方，所以也满足对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立故D正确故选：BD10、已知实数a，b满足等式2a=3b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a=b=0其中有可能成立的关系式有（）A．①B．②⑤C．②③D．④答案：AB分析：画出指数函数y=2x，y=3x的图象，利用单调生即可得出答案.如图所示，数y=2x，y=3x的图象，由图象可知：( 1 ) 当时x>0，若2a=3b，则a>b；( 2 ) 当x=0时，若2a=3b，则a=b=0；( 3 ) 当x<0时，若2a=3b，则a<b.综上可知，有可能成立的关系式是①②⑤ .故选：AB11、某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为（）A．2.5元B．3元C．3.2元D．3.5元答案：BC分析：设每册杂志定价为x(x>2)元，根据题意由(10−x−2×0.5)x≥22.4，解得x的范围，可得答案.0.2依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，×0.5万册，设每册杂志定价为x(x>2)元，则发行量为10−x−20.2则该杂志销售收入为(10−x−2×0.5)x万元，0.2所以(10−x−2×0.5)x≥22.4，化简得x2−6x+8.96≤0，解得2.8≤x≤3.2，0.2故选：BC小提示：关键点点睛：理解题意并求出每册杂志定价为x (x >2)元时的发行量是解题关键. 填空题 12、化简：(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)=________．答案：2−1263分析：分析式子可以发现，若在结尾乘以一个(1−12)，则可以从后到前逐步使用平方差公式进行计算，为保证恒等计算，在原式末尾乘以(1−12)×2即可﹒ 原式=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)×(1−12)×2=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)×(1−122)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)×(1−124)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)×(1−128)×2 =(1+1232)(1+1216)×(1−1216)×2 =(1+1232)×(1−1232)×2 =(1−1264)×2 =2−1263所以答案是：2−1263﹒13、√a ⋅√a ⋅√a 3的分数指数幂表示为____________答案：a 34分析：本题可通过根式与分数指数幂的互化得出结果.√a ⋅√a ⋅√a 3=√a ⋅√a ⋅a 123=√a ⋅√a 323=√a ⋅a 12=√a 32=a 34， 所以答案是：a 34.14、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)=________.①定义域为R；②值域为(−∞,1)；③对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，均有f(x1)−f(x2)x1−x2>0.答案：f(x)=1−12x（答案不唯一）分析：直接按要求写出一个函数即可.f(x)=1−12x ，定义域为R；12x>0，f(x)=1−12x<1，值域为(−∞,1)；是增函数，满足对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，均有f(x1)−f(x2)x1−x2>0.所以答案是：f(x)=1−12x（答案不唯一）.解答题15、已知函数f(x)=1−2a|x|+1(a>0，a≠1)．（1）判断f(x)的奇偶性并证明；（2）若f(x)在[−1,1]上的最大值为13，求a的值．答案：（1）偶函数；证明见解析；（2）a=2．解析：（1）利用奇偶函数的定义证明；（2）讨论去绝对值，并分a>1和0<a<1两种情况讨论函数的单调性，求函数的最大值，建立方程，求a的值.解：（1）f(x)的定义域为R，又f(−x)=1−2a|−x|+1=1−2a|x|+1=f(x)⇒f(−x)=f(x)，所以f(x)为偶函数；（2）因为f(x)为偶函数，当0≤x≤1时，f(x)=1−2a|x|+1=1−2a x+1，若a∈(0,1)，f(x)=1−2a x+1，函数单调递减，f(x)max=f(0)=0，若a∈(1,+∞)，f(x)=1−2a x+1，函数单调递增，f(x)max=f(1)=1−2a+1=13⇒a=2，当−1≤x<0，f(x)=1−2a|x|+1=1−2a−x+1，若a∈(0,1)，f(x)=1−2a−x+1，函数单调递增，f(x)max=f(0)=0，若a∈(1,+∞)，f(x)=1−2a−x+1，函数单调递减，f(x)max=f(−1)=1−2a+1=13⇒a=2，综上，a=2．小提示：关键点点睛：本题考查指数型复合函数证明奇偶性以及根据函数的最值，求参数的取值范围，本题的关键是求函数的单调性，关键是利用函数是偶函数，先去绝对值，再利用复合函数的单调性求函数的单调性，从而确定函数的最值.。
高中数学必修一-指数与指数函数
指数与指数函数练习一、选择题： 1、若R a ∈,*1N n n ∈>且则下列各式中正确的是（ ）A 、25a =B 、10=a C 、22a an n= D 、321213)()(a a =2、下列各式中错误的是（ ）A 、2552222⨯=B 、131()327-= C = D 、2311()84-=3．下列各式中成立的一项（ ）A ．7177)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．43433)(y x y x +=+ D ．3339=4．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（ ）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a5．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x，则下列等式中不正确的是（ ）A ．f (x +y )=f(x )·f (y )B ．)()(y f x f y x f =-）（ C ． )()]([)(Q n x f nx f n∈= D ．)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f nn n6．函数21)2()5(--+-=x x y 的定义城是（ ）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><<x x x 或 7．下列函数中是指数函数的是( )12+=x y A 、 2x y B =、 x y C -=3、 x y D 23⋅=、8．当时，函数和的图象只可能是 （ ）9、若指数函数xa y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于（ ）A ．251+ B ． 251+- C ．251± D ． 215± 10、已知1()3x f x a+=-的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为（ ）A 、（0,3）B 、(-1,2)C 、(-1,3)D 、(3,-1)11、如果指数函数xa x f )1()(2-=在R x ∈上是减函数,则a 的取值范围是( )A. |a|>1B. |a|<2C. |a|>2D. 1<|a|<212、已知函数11()2xy =，22xy =，31()10xy =,410x y =则下列函数图象正确的是（13、下列关系式中正确的是 （ ）3231312121.21232.5.1⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-B AC .3231313221212.212125.15.1⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<--D 14、已知1)21()21(21<<<a b ，则（ ）A 、1>>b aB 、10<<<a bC 、1>>a bD 、10<<<b a 15．当[]1,1-∈x 时函数23)(-=xx f 的值域是（ ）[][]1,0.35,1.1,1.1,35.D C B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-16．函数xa y =在[]1,0上的最大值与最小值的和为3，则a =( ) A.21 B.2 C.4 D.41 17．已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的（ ）A ．奇函数B 非奇非偶函数C 既是奇函数又是偶函数D ．偶函数二、解答题：15、求下列函数的定义域①23-=x y ②xy 121⎪⎭⎫ ⎝⎛=③123+=x y ④x y 21-=16、比较下列各题中两个数的大小①35.27.1,7.1②2.01.08.0,8.0--③1.33.09.0,7.1④21323143,2,34⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛17、证明函数110110)(-+=xx x f 在),0(+∞上是减函数.。
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数考点题型与解题方法(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数考点题型与解题方法单选题1、若2x =3，2y =4，则2x+y 的值为（ ） A ．7B ．10C ．12D ．34 答案：C分析：根据指数幂的运算性质直接进行求解即可. 因为2x =3，2y =4，所以2x+y =2x ⋅2y =3×4=12， 故选：C2、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（ ） A ．25B ．5C ．259D ．53 答案：C分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 因为2a=5，b =log 83=13log 23，即23b=3，所以4a−3b=4a 43b=(2a )2(23b )2=5232=259．故选：C.3、已知实数a,b ∈(1,+∞)，且log 2a +log b 3=log 2b +log a 2，则（ ） A ．a <√b <b B ．√b <a <b C ．b <√a <a D ．√a <b <a 答案：B分析：对log 2a −log a 2<log 2b −log b 2，利用换底公式等价变形，得log 2a −1log 2a<log 2b −1log 2b，结合y =x −1x 的单调性判断b <a ，同理利用换底公式得log 2a −1log 2a<log 3b −1log 3b，即log 2a >log 3b ，再根据对数运算性质得log 2a >log 2√b ，结合y =log 2x 单调性， a >√b ，继而得解. 由log 2a +log b 3=log 2b +log a 2，变形可知log 2a −log a 2<log 2b −log b 2， 利用换底公式等价变形，得log 2a −1log2a<log 2b −1log 2b ， 由函数f (x )=x −1x 在(0,+∞)上单调递增知，log 2a <log 2b ，即a <b ，排除C ，D ；其次，因为log 2b >log 3b ，得log 2a +log b 3>log 3b +log a 2，即log 2a −log a 2>log 3b −log b 3，同样利用f (x )=x −1x的单调性知，log 2a >log 3b ，又因为log 3b =log √3√b >log 2√b ，得log 2a >log 2√b ，即a >√b ，所以√b <a <b . 故选：B.4、设函数f(x)=ln|2x +1|−ln|2x −1|，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B ．是奇函数，且在(−12,12)单调递减 C ．是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D ．是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减答案：D分析：根据奇偶性的定义可判断出f (x )为奇函数，排除AC ；当x ∈(−12,12)时，利用函数单调性的性质可判断出f (x )单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，利用复合函数单调性可判断出f (x )单调递减，从而得到结果.由f (x )=ln |2x +1|−ln |2x −1|得f (x )定义域为{x |x ≠±12}，关于坐标原点对称，又f (−x )=ln |1−2x |−ln |−2x −1|=ln |2x −1|−ln |2x +1|=−f (x )， ∴f (x )为定义域上的奇函数，可排除AC ；当x ∈(−12,12)时，f (x )=ln (2x +1)−ln (1−2x )，∵y =ln (2x +1)在(−12,12)上单调递增，y =ln (1−2x )在(−12,12)上单调递减， ∴f (x )在(−12,12)上单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，f (x )=ln (−2x −1)−ln (1−2x )=ln 2x+12x−1=ln (1+22x−1)， ∵μ=1+22x−1在(−∞,−12)上单调递减，f (μ)=lnμ在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：f (x )在(−∞,−12)上单调递减，D 正确.故选：D.小提示：本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据f (−x )与f (x )的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.5、已知函数f(x)={a x ,x <0(a −2)x +3a,x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，则a 的取值范围是（ ）A ．a ∈(0,1)B ．a ∈[34,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[34,2)答案：C分析：根据条件知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1a −2<03a ≤1，求a 的范围即可．∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，∴f(x)在R 上是减函数，∴{0<a <1a −2<0(a −2)×0+3a ≤a 0，解得0<a ≤13， ∴a 的取值范围是(0,13]． 故选：C ．6、2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太空，发射取得圆满成功．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v =v 0⋅ln Mm 计算火箭的最大速度v(m /s )，其中v 0(m /s )是喷流相对速度，m(kg )是火箭（除推进剂外）的质量，M(kg )是推进剂与火箭质量的总和，Mm 称为“总质比”．若某型火箭的喷流相对速度为1000m /s ，当总质比为625时，该型火箭的最大速度约为（ ）（附：lge ≈0.434,lg2≈0.301）A ．5790m /sB ．6219m /sC ．6442m /sD ．6689m /s 答案：C分析：根据对数的换底公式运算可得结果. v =v 0 ln Mm =1000×ln625=1000×4lg5lg e=1000×4(1−lg2)lg e≈6442m/s .故选：C ．7、荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把(1−1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255.若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过(参考数据：lg 101≈2.0043，lg 99≈1.9956) （ ）天．A ．200天B ．210天C ．220天D ．230天 答案：D分析：根据题意可列出方程100×0.99x =1.01x ，求解即可.设经过x 天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则100×0.99x=1.01x，即(1.010.99)x =100，∴x =log 1.010.99100=lg 100lg 1.010.99=lg 100lg 10199=2lg 101−lg 99 ≈22.0043−1.9956=20.0087≈230．故选：D ． 8、已知函数f(x)=11+2x，则对任意实数x ，有（ ）A ．f(−x)+f(x)=0B ．f(−x)−f(x)=0C ．f(−x)+f(x)=1D ．f(−x)−f(x)=13 答案：C分析：直接代入计算，注意通分不要计算错误．f (−x )+f (x )=11+2−x +11+2x =2x1+2x +11+2x =1，故A 错误，C 正确； f (−x )−f (x )=11+2−x−11+2x =2x1+2x −11+2x =2x −12x +1=1−22x +1，不是常数，故BD 错误； 故选：C ． 多选题9、已知函数f (x )=lg (x 2+ax −a −1)，下列结论中正确的是（ ） A ．当a =0时，f (x )的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞) B ．f (x )一定有最小值C ．当a =0时，f (x )的值域为RD ．若f (x )在区间[2,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是{a |a ≥−4} 答案：AC分析：A 项代入参数，根据对数型函数定义域求法进行求解；B 项为最值问题，问一定举出反例即可；C 项代入参数值即可求出函数的值域；D 项为已知单调性求参数范围，根据二次函数单调性结合对数函数定义域求解即可.对于A，当a=0时，f(x)=lg(x2−1)，令x2−1>0，解得x<−1或x>1，则f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)，故A正确；对于B、C，当a=0时，f(x)=lg(x2−1)的值域为R，无最小值，故B错误，C正确；对于D，若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增，则y=x2+ax−a−1在[2,+∞)上单调递增，且当x=2时，y> 0，则{−a2≤24+2a−a−1>0，解得a>−3，故D错误．故选：AC．10、已知函数f(x)=3x−3−x，则（）A．f(x)的值域为RB．f(x)是R上的增函数C．f(x)是R上的奇函数D．f(x)有最大值答案：ABC分析：g(x)=3x∈(0,+∞)，而ℎ(x)=−3−x∈(−∞,0)得到f(x)的值域为R，判断A正确，D错误，根据增函数加增函数还是增函数进行判断B选项，根据函数奇偶性定义判断得到C选项.g(x)=3x∈(0,+∞)，而ℎ(x)=−3−x∈(−∞,0)，所以f(x)=3x−3−x值域为R，A正确，D错误；因为g(x)=3x是递增函数，而ℎ(x)=−3−x是递增函数，所以f(x)=3x−3−x是递增函数，B正确；因为定义域为R，且f(−x)=3−x−3x=−f(x)，所以f(x)是R上的奇函数，C正确；故选：ABC11、函数f(x)=2x+a2x(a∈R)的图象可能为（）A．B．C．D．答案：ABD解析：根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给a赋值，判断选项.当a=0时，f(x)=2x，图象A满足；当a=1时，f(x)=2x+1，f(0)=2，且f(−x)=f(x)，此时函数是偶函数，关于y轴对称，图象B满足；2x，f(0)=0，且f(−x)=−f(x)，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满当a=−1时，f(x)=2x−12x足；图象C过点(0,1)，此时a=0，故C不成立.故选：ABD小提示：思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 填空题12、里氏震级M 的计算公式为：M =lgA −lgA 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_________级. 答案：6分析：将A =1000，A 0=0.001代入等式M =lgA −lgA 0计算即可得解.将A =1000，A 0=0.001代入等式M =lgA −lgA 0得M =lg1000−lg0.001=lg106=6. 所以答案是：6.13、已知函数f (x )=x 2−2|x |−1，若关于x 的方程f (x )=x +m 有四个根，则实数m 的取值范围为______． 答案：(−54,−1)分析：分离变量，画出特定函数的图像即可.由f (x )=x +m ，得m =f (x )−x =x 2−2|x |−x −1 令g (x )=x 2−2|x |−x −1={x 2−3x −1,x ≥0x 2+x −1,x <0，画出图像由图可知，当−54<m <−1时，方程m =f (x )−x 有四解， 即方程f (x )=x +m 有四个根. 故答案为:(−54,−1)14、已知log a x =2，log b x =3，log c x =5，则log abc x =______ 答案：3031分析：根据换底公式得到log x a =12，log x b =13，log x c =15，进而求出log x abc ，再用换底公式求出log abc x . 由log a x =2，log b x =3，log c x =5得：log x a =12，log x b =13，log x c =15，log x abc =log x a +log x b +log x c =12+13+15=3130，所以log abc x =3031所以答案是：3031解答题15、数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算,数的威力无限;没有运算,数就只是一个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.(1)对数的运算性质降低了运算的级别,简化了运算,在数学发展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有很多方法.请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质:如果a >0,且a ≠1,M >0,那么log a M n =nlog a M (n ∈R );(2)请你运用上述对数运算性质计算lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)的值; (3)因为210=1024∈(103,104),所以210的位数为4(一个自然数数位的个数,叫做位数).请你运用所学过的对数运算的知识,判断20192020的位数.(注lg2019≈3.305) 答案：(1)见解析(2)1712 (3)20192020的位数为6677解析：(1)根据指数与对数的转换证明即可.(2)根据对数的运算性质将真数均转换成指数幂的形式再化简即可. (3)分析lg20192020的值的范围再判断位数即可. (1)方法一: 设x =log a M 所以M =a x所以M n =(a x )n =a nx所以log a M n =nx =nlog a M ,得证.设x=nlog a M所以xn=log a M所以a xn=M所以a x=M n所以x=log a M n所以nlog a M=log a M n方法三:因为a log a M n=M na nlog a M=(a log a M)n=M n 所以a log a M n=a nlog a M所以log a M n=nlog a M得证.(2)方法一:lg3 lg4(lg8lg9+lg16lg27)=lg3lg22(lg23lg32+lg24lg33) =lg32lg2(3lg22lg3+4lg23lg3)=lg32lg2⋅17lg26lg3=1712.方法二:lg3 lg4(lg8lg9+lg16lg27)=log43(log98+log2716) =log223(log3223+log3324)=12log23(32log32+43log32)=12log23⋅176log32=1712.设10k<20192020<10k+1,k∈N∗所以k<lg20192020<k+1所以k<2020lg2019<k+1所以k<2020×3.305<k+1所以6675.1<k<6676.1因为k∈N∗所以k=6676所以20192020的位数为6677方法二:设20192020=N所以2020lg2019=lgN所以2020×3.305=lgN所以lgN=6676.1所以N=106676.1=100.1×106676因为1<100.1<10,所以N有6677位数,即20192020的位数为6677小提示：本题主要考查了对数的运算以及利用对数的运算求解数字位数的问题,需要取对数分析对数值进行分析,属于中档题.。
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必修一指数函数测试题
班级：高一( ) 姓名： 学号： 得分：
一、选择题(每题3分，共30分)
1．已知0a b >>，则2,,3a b a b 的关系为………………………………………………………（ ）
A ．23a
b
a
b >> B ．322a
a
b
>> C ．232a
a
b
>> D ．232b
a
a
>> 2．若指数函数()
21x
y a =-在x R ∈上是减函数，则a 的取值范围是………………………（ ）
A ．1a >或1a <-
B ．a <
C ．a a
D ．1a <或1
a <<- ３．下列函数值域是R +
的是……………………………………………………………………（ ）
A ． 113x
y -⎛⎫= ⎪⎝⎭
B ．1
25x y -= C ．y D ．y 4．函数()
2
10,1x ya a a -=+>≠的图像必经过点……………………………………………（ ）
A ．()0,1
B ．()2,0
C ． ()2,1
D ．()2,2
5．若函数()0,1x
y a a a =>≠与()
0,1x
y b b b =>≠的图像关于y 轴对称,则有………（ ） A ． a b > B ．a b < C ．1a b = D ．,a b 无确定关系 6．下列说法正确的是：①任取x R ∈，都有32x
x
>；②当1a >，任取x R ∈，都有x
x
a a ->；
③x
y -=
是增函数；④2x y =的最小值是1；⑤在同一坐标系中，2x y =与2x
y -=的图
像关于y 轴对称……………………………………………………………………………………（ ）
A ．①②④
B ．④⑤
C ．②③④
D ．①⑤
7．若函数()
1()0,1x
fx a a a -=>≠,当1x >时,恒有()1f x <，则()f x 在R 上的单调性是（ ）
A ．增函数
B ．减函数
C ．非单调函数
D ．不能确定 8．若集合2
{2,},{,},x
M y y x R N y y x x R ==∈==∈则………………………………（ ） A ．{2,4}
MN = B ．M N = C ． N M Ø D ．M N Ø 9．函数()
()0,1x
fx aa a =>≠满足(2)81f =，则1
()2
f 的值为……………………………（ ）
A ．13±
B ．3±
C ．1
3 D ．3 10．设01
a <<，则下列不等式正确的是………………………………………………………
（ ）
A ．3
2
B ．1a
+ C ． 1a
- D ．1
132
二、填空题(每空2分，共8分)
11．函数21
x
y k =+-的图像不经过第四象限的条件是
12．函数y 的定义域是[,0]-∞，则a 的取值范围是
13．函数1
21
x y =
+的值域为 14．若函数()2()2
x x
b f x x e e -=+-，且()f a b =，则()f a -=
三、解答题(15~19题每题10分，20题12分，共60分)
15．求函数2
23
3x x y -++=的单调区间和最值
16．求函数[]111,3,242x x
y x ⎛⎫⎛⎫
=-+
∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的单调区间，并求它的值域
17．已知2
231
()x x f x a
-+=，2
25
()x x gx a
+-=，(0,1)a a >≠试确定x 的取值范围，使得
()()f x gx ≥
18．已知函数2
())
21
x
f x a a R =-∈+，(是奇函数 （1）求a 的值
（2）求证()f x 是R 上的增函数 （3）求证()0x f x ≥恒成立
19．比较下列各组数的大小 （1）1
0.3
3
2,2； （2）()()
1
0.3
30.3,0.3；
（3）()2
0.3
2,0.3。
20．作出函数122x
y -=-的图。