导数习题汇总
导数27个专题学生版
目录专题1:切线问题 1专题2:函数的图像 3专题3:单调性问题 9专题4:函数的极值问题 11专题5:函数的最值 14专题6:三次函数 18专题7:零点问题 20专题8:恒成立与存在性问题 26专题9:构造函数解不等式 30专题10:有关距离问题 34专题11:参数的值或范围问题 36专题12:分离参数法 40专题13:数形结合法 44专题14:构造函数 45专题15:不等式放缩法 48专题16:卡根法专题 50专题17:数列不等式 53专题18:极值点偏移问题 61专题19:双变量问题 64专题20:凹凸反转问题 68专题21:与三角函数有关题 70专题22:隐零点设而不求 74专题23:端点效应专题 77专题24:最大最小函数问题 81专题25:恒成立专题 83专题26：筷子夹汤圆专题 87专题27:找点专题 91专题1:切线问题1.若函数f (x )=ln x 与函数g (x )=x 2+2x +a (x <0)有公切线，则实数a 的取值范围是()A.ln 12e,+∞ B.(-1,+∞)C.(1,+∞)D.(-ln2,+∞)2.已知直线y =2x 与曲线f x =ln ax +b 相切，则ab 的最大值为()A.e4B.e2C.eD.2e3.已知P 是曲线C 1：y =e x 上任意一点，点Q 是曲线C 2：y =ln x x上任意一点，则PQ 的最小值是()A.1-2ln 2B.1+ln22C.2D.24.若曲线y =ax +2cos x 上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是()A.[-3，3]B.[-1，1]C.(-∞，1]D.[-3，1]5.已知关于x 不等式ae x ≥x +b 对任意x ∈R 和正数b 恒成立，则a b 的最小值为()A.12B.1C.2D.26.若存在实数a ,b ，使不等式2e ln x ≤ax +b ≤12x 2+e 对一切正数x 都成立(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的最大值是()A.eB.2eC.2eD.27.若对函数f x =2x -sin x 的图象上任意一点处的切线l 1，函数g x =me x +m -2 x 的图象上总存在一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则m 的取值范围是()A.-e 2,0 B.0,e 2C.-1,0D.0,18.若过点P 1,m 可以作三条直线与曲线C :y =xe x 相切，则m 的取值范围是()A.-5e2,0 B.-5e2,e C.0,+∞D.-3e2,-1e9.已知y =kx +b 是函数f x =ln x +x 的切线，则2k +b 的最小值为______.10.存在k >0,b >0使kx -2k +b ≥x ln 对任意的x >0恒成立，则b k的最小值为________.11.若直线y =kx +b 是曲线y =e x 的切线，也是曲线y =x +2 ln 的切线，则k =.12.已知直线y =kx +b 与函数y =e x 的图像相切于点P x 1,y 1 ，与函数y =x ln 的图像相切于点Q x 2,y 2 ，若x 2>1，且x 2∈n ,n +1 ,n ∈Z ，，则n =_________.13.若直线y =kx +b 既是曲线y =x ln 的切线，又是曲线y =e x -2的切线，则b =______.14.已知实数a ,b ,c ,d ，满足aln b=2c d -1=1，那么a -c 2+b -d 2的最小值为.15.若直线y =kx +b 与曲线y =x ln +2相切于点P ，与曲线y =x +1 ln 相切于点Q ，则k =.专题2:函数的图像1.已知函数f (x )=ax 3+bx 2+c ，其导数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的极大值是()121OxyA.a +b +cB.8a +4b +cC.3a +2bD.c2.设函数y =f (x )可导，y =f (x )的图象如图所示，则导函数y =f ′(x )可能为()OxyA.Oxy B.Oxy C.Oxy D.Oxy3.函数y =sin2x 1-cos x的部分图象大致为()A.Oxy-π11π B.Oxy-π11πC.Oxy-π11π D.Oxy-π11π4.若函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是()11O xyA.f (x )=x2ln |x |B.f (x )=ln |x |-x 2C.f (x )=1x+ln |x |D.f (x )=x ln |x ||x |5.函数f (x )=x ln |x |x 2+1的图象大致为()A.OxyB.OxyC.OxyD.Oxy6.函数f (x )=x ln x x 2+1,x >0x ln (-x )x 2+1,x <0的图象大致为()A.OxyB.OxyC.OxyD.Oxy7.函数f (x )=x ln |x ||x |的大致图象是()A.O xyB.O xyC.OxyD.Oxy8.函数f (x )=x -1xcos x (-π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为()A.Oxy-ππ B.Oxy-ππ C.Oxy-ππ D.Oxy-ππ9.已知f (x )=14x 2+sin π2+x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(x )的图象是()A.OxyB.OxyC.OxyD.Oxy10.下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是()OxyOxyOxyOxyA.①②B.③④C.①③D.①④11.已知R 上的可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x -2)f (x )>0的解集为()2121O xyA.(-∞，-2)∪(1，+∞)B.(-∞，-2)∪(1，2)C.(-∞，1)∪(2，+∞)D.(-1，1)∪(2，+∞)12.函数f (x )=x 3+bx 2+cx +d 的大致图象如图所示，则x 21+x 22等于()Oxyx 1x 2-12A.89 B.109 C.169D.28913.如图是函数f (x )=x 3+bx 2+cx +d 的大致图象，则x 1+x 2=()Oxyx 1x 2-12A.23 B.109 C.89 D.28914.函数f (x )=ax +b (x +c )2的图象如图所示，则下列结论成立的是()OxyA.a <0，b >0，c <0B.a >0，b <0，c <0C.a >0，b <0，c >0D.a <0，b >0，c >015.函数f (x )=ax +b (x +c )2的图象大致如图所示，则下列结论正确的是()OxyA.a >0，b >0，c >0B.a <0，b >0，c <0C.a <0，b <0，c >0D.a >0，b >0，c <016.函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图所示，则下列结论成立的是()OxyA.a >0，b <0，c >0，d >0B.a >0，b <0，c <0，d >0C.a <0，b <0，c >0，d >0D.a >0，b >0，c >0，d <017.函数y =x 2sin x(2x 2-e |x |)在[-2，2]的图象大致为()A.1111O xyB.1111O xyC.1111OxyD.1111O xy18.函数y =2x 2-2|x |在[-2，2]的图象大致为()A.O xy-2-112-4B.OxyC.Oxy-2-1124D.Oxy 19.已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是()Oxy 1A.f (x )=ln |x |-x 2B.f (x )=ln |x |-|x |C.f (x )=2ln |x |-x 2D.f (x )=2ln |x |-|x |21111OxA.f (x )=ln |x |-1x B.f (x )=ln |x |+1x C.f (x )=1x-ln |x |D.f (x )=ln |x |+1|x |21.函数f (x )的图象如图所示，则它的解析式可能是()212111OxyA.f (x )=x 2-12x B.f (x )=2x (|x |-1) C.f (x )=|ln |x || D.f (x )=xe x -122.已知函数f (x )的图象如图所示，则该函数的解析式可能是()O xyA.f (x )=ln |x |e xB.f (x )=e x ln |x |C.f (x )=ln |x |xD.f (x )=(x -1)ln |x |23.已知某函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是()96342423OxyA.f (x )=2xln |x |B.f (x )=2|x |ln |x |C.f (x )=1x 2-1D.f (x )=1|x |-1|x |14321321321OxA.f (x )=e |x |∙cos xB.f (x )=ln |x |∙cos xC.f (x )=e |x |+cos xD.f (x )=ln |x |+cos x25.已知函数f (x )的局部图象如图所示，则f (x )的解析式可以是()13π2ππ23π2ππ21OxyA.f (x )=e 1|x |∙sin π2xB.f (x )=e 1|x |∙cos π2xC.f (x )=ln |x |∙sin π2xD.f (x )=ln |x |∙cos π2x专题3:单调性问题1.已知函数f (x )=ln x +ln (a -x )的图象关于直线x =1对称，则函数f (x )的单调递增区间为()A.(0,2)B.[0，1)C.(-∞，1]D.(0，1]2.若函数f (x )的定义域为D 内的某个区间I 上是增函数，且F (x )=f (x )x在I 上也是增函数，则称y =f (x )是I 上的“完美函数”，已知g (x )=e x +x -ln x +1，若函数g (x )是区间m 2，+∞ 上的“完美函数”，则正整数m 的最小值为()A.1B.2C.3D.43.设函数f (x )=e 2x +ax 在(0,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为()A.[-1，+∞)B.(-1,+∞)C.[-2，+∞)D.(-2,+∞)4.若函数f (x )=2x 2-ln x 在其定义域内的一个子区间[k -1，k +1]内不是单调函数，则实数k 的取值范围是()A.[1，2)B.(1,2)C.1,32D.1,325.若函数f (x )=ln x +ax 2-2在区间12,2 内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是()A.(-∞，-2]B.(-2,+∞)C.-2,-18D.-18,+∞6.若函数f (x )=ln x +(x -b )2(b ∈R )在区间12，2上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是()A.-∞,32B.-∞,94C.-32，94D.32，+∞ 7.设1<x <2，则ln x x 、ln x x 2、ln x 2x 2的大小关系是()A.ln x x 2<ln x x <ln x 2x2B.ln x x <ln x x 2<ln x 2x 2C.ln x x 2<ln x 2x2<ln x x D.ln x 2x2<ln x x 2<ln x x8.已知函数y =f (x -1)的图象关于直线x =1对称，且当x ∈(0,+∞)时，f (x )=ln x x .若a =f -e 2，b=f (2)，c =f 23 ，则a ，b ，c 的大小关系是()A.b >a >cB.a >b >cC.a >c >bD.c >b >a9.下列命题为真命题的个数是()①e 2e >2；②ln2>23；③lnππ<1e ；④ln22<lnππ.A.1B.2C.3D.410.下列命题为真命题的个数是()①ln3<3ln2；②lnπ<πe；③215<15；④3e ln2<42A.1B.2C.3D.411.已知函数f (x )=e x ln x -ae x (a ∈R )，若f (x )在(0,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是.12.已知函数f (x )=e -x -2,x ≤02ax -1,x >0(a >0)，对于下列命题：(1)函数f (x )的最小值是-1；(2)函数f (x )在R 上是单调函数；(3)若f (x )>0在12，+∞ 上恒成立，则a 的取值范围是a >1，其中真命题的序号是.13.已知函数f (x )=ln x +(x -a )2(a ∈R )在区间12，2上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是14.设函数f (x )=3x 2+ax e x(a ∈R )，f (x )在[3，+∞)上为减函数，则a 的取值范围是.专题4:函数的极值问题1.若函数f(x)=e x(x-3)-13kx3+kx2只有一个极值点，则k的取值范围为()A.(-∞,e)B.[0，e]∪12e2C.(-∞,2)D.(0，2]2.已知函数f(x)=e x x-k12x2-1x，若x=1是函的f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为() A.(-∞，e] B.-∞,-1eC.-∞，-1e∪{0} D.-∞，-1e∪{0，e}3.已知函数f(x)=e x(x2-4x-4)+12k(x2+4x)，x=-2是f(x)的唯一极小值点，则实数k的取值范围为() A.[-e2，+∞) B.[-e3，+∞) C.[e2，+∞) D.[e3，+∞)4.已知函数f(x)=x2-2x+a ln x有两个极值点x1，x2，且x1<x2，则()A.f(x1)<3+2ln24 B.f(x1)<-1+2ln24C.f(x1)>1+2ln24 D.f(x1)>-3+2ln245.已知函数f(x)=x2-2x+1+a ln x有两个极值点x1，x2，且x1<x2，则()A.f(x2)<-1+2ln24 B.f(x2)<1-2ln24C.f(x2)>1+2ln24 D.f(x2)>1-2ln246.已知t为常数，函数f(x)=(x-1)2+t ln x有两个极值点a、b(a<b)，则()A.f(b)>1-2ln24 B.f(b)<1-2ln24 C.f(b)>1+2ln24 D.f(b)<1-3ln247.若函数y=ae x+3x在R上有小于零的极值点，则实数a的取值范围是()A.(-3,+∞)B.(-∞,-3)C.-13，+∞D.-∞,-138.若函数f (x )=e x -ax -b 在R 上有小于0的极值点，则实数a 的取值范围是()A.(-1,0)B.(0,1)C.(-∞,-1)D.(1,+∞)9.已知函数f (x )=x ln x -ax 2有两个极值点，则实数a 的取值范围为()A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.0,12D.(0,1)10.已知函数f (x )=x ln x -12ax 2-x +3a 3-4a 2-a +2(a ∈R )存在两个极值点.则实数a 的取值范围是()A.(0,+∞)B.0,1eC.1e,+∞ D.1e,e 11.若函数f (x )=e x (e x -4ax )存在两个极值点，则实数a 的取值范围为()A.0,12B.(0,1)C.12,+∞ D.(1,+∞)12.若函数f (x )=ax 22-(1+2a )x +2ln x (a >0)在区间12,1 内有极大值，则a 的取值范围是()A.1e,+∞ B.(1,+∞) C.(1,2) D.(2,+∞)13.已知f (x )=a 2x 2-(1+2a )x +2ln x (a >0)在区间(3,4)有极小值，则实数a 的取值范围是()A.(4-1，3-1)B.(3,4)C.(3-1，4)D.(4-1，3)14.已知a ∈R ，函数f (x )=-32x 2+(4a +2)x -a (a +2)ln x 在(0,1)内有极值，则a 的取值范围是()A.(0,1)B.(-2，0)∪(0，1)C.-2，-12 ∪-12，1D.(-2,1)15.已知函数f (x )，对∀a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )为一个三角形的三边长，则称f (x )为“三角形函数”，已知函数f (x )=m cos 2x +m sin x +3是“三角形函数”，则实数m 的取值范围是()A.-67，1213B.-2，1213C.0，1213D.(-2,2)16.已知x=0是函数f(x)=(x-2a)(x2+a2x+2a3)的极小值点，则实数a的取值范围是.17.已知x=1是函数f(x)=(x-2)e x-k2x2+kx(k>0)的极小值点，则实数k的取值范围是.18.若函数f(x)在区间A上，对∀a，b，c∈A，f(a)，f(b)，f(c)为一个三角形的三边长，则称函数f(x)为“三角形函数”.已知函数f(x)=x ln x+m在区间1e2,e上是“三角形函数”，则实数m的取值范围为.专题5:函数的最值1.已知函数f (x )=e x -3，g (x )=12+ln x 2，若f (m )=g (n )成立，则n -m 的最小值为()A.1+ln2B.ln2C.2ln2D.ln2-12.已知函数f x =x +ln x -1 ，g x =x ln x ，若f x 1 =1+2ln t ，g x 2 =t 2，则x 1x 2-x 2 ln t 的最小值为().A.1e2B.2eC.-12eD.-1e3.若对任意x ∈0,+∞ ，不等式2e 2x -a ln a -a ln x ≥0恒成立，则实数a 的最大值为()A.eB.eC.2eD.e 24.已知函数f (x )=ln x x，g (x )=xe -x ，若存在x 1∈(0,+∞),x 2∈R ，使得f (x 1)=g (x 2)=k (k <0)成立，则x 2x 1 3e k的最小值为()A.-1e2B.-4e2C.-9e3D.-27e 35.已知函数f (x )=-1x ,x <0e 2x,x ≥0，若关于x 的方程f (x )-a =0(a ∈R )恰有两个不等实根x 1，x 2，且x 1<x 2，则e x 2-x 1的最小值为()A.12ln2+12B.2+eC.2eD.2e6.已知函数f x =e xx-ax +ln x (1)a =1时,求函数f (x )的极值；(2)若a ∈1，e 24+12,求f (x )的最小值g (a )的取值范围.7.已知函数f x =e x -x +t 2x 2(t ∈R ，e 为自然对数的底数)，且f x 在点1,f 1 处的切线的斜率为e ，函数g x =12x 2+ax +b a ∈R ,b ∈R .(1)求f x 的单调区间和极值；(2)若f x ≥g x ，求b a +12的最大值.8.已知函数f x =x -a ln x +1(a ∈R ).(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当1<a <e 时，记函数f (x )在区间1,e 的最大值为M .最小值为m ，求M -m 的取值范围.9.已知函数f (x )=x 2-ax +2ln x (a ∈R )两个极值x 1,x 2x 1<x 2 点.(1)当a =5时，求f x 2 -f x 1 ；(2)当a ≥2e +2e时，求f x 2 -f x 1 的最大值.10.已知函数f(x)=ln x x+1x+a.(1)当a=-1时，求f x 的最大值；(2)对任意的x>0，不等式f(x)≤e x恒成立，求实数a的取值范围.11.已知函数f x =xe x(其中e为自然对数的底数).(1)求函数f x 的最小值；(2)求证：f x >e x+ln x-12.12.已知函数f(x)=ax2-x+(1+b)ln x(a、b∈R).(1)当a=1，b=-4时，求y=f(x)的单调区间；(2)当b=-2，x≥1时，求g(x)=|f(x)|的最小值.13.已知函数f (x )=12(x +a )2+b ln x ，a ,b ∈R .(1)若直线y =ax 是曲线y =f (x )的切线，求a 2b 的最大值；(2)设b =1，若函数f (x )有两个极值点x 1与x 2，且x 1<x 2，求f x 2x 1的取值范围.14.已知函数f x =ae x -x .(1)求f x 的极值；(2)求f x 在0,1 上的最大值.15.已知函数f x =14x 3-x 2+x .(1)当x ∈-2，4 时，求证：x -6≤f x ≤x ；(2)设F x =f x -x +a a ∈R ，记F x 在区间-2，4 上的最大值为M a .当M a 最小时，求a 的值.专题6:三次函数1.已知f (x )=x 3+3ax 2+bx +a 2在x =-1时有极值0，则a -b =()A.-7B.-2C.-7和-2D.以上答案都不对2.已知函数f (x )=x 3-3x 2+5，g (x )=m (x +1)(m ∈R )，若存在唯一的正整数x 0，使得f (x 0)<g (x 0)，则实数m 的取值范围是()A.0,54B.13,54C.13,54D.0,133.设函数f (x )=x 3-3x 2-ax +5-a ，若存在唯一的正整数x 0，使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是()A.0,13B.13，54C.13，32D.54，324.已知函数f (x )=-x 3+ax 2-x -1在(-∞,+∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是()A.(-∞,-3]∪[3,+∞)B.[-3,3]C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-3,3)5.若函数f (x )=x 33-a 2x 2+x +1在区间12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是()A.2,52B.2，52C.2,103D.2，1036.若f (x )=x 3+ax 2+bx -a 2-7a 在x =1处取得极大值10，则b a 的值为()A.-32或-12B.-32或12C.-32D.-127.如果函数f (x )=13x 3-12ax 2+(a -1)x +1在区间(1,4)上为减函数，在(6,+∞)上为增函数，则实数a的取值范围是()A.a ≤5B.5≤a ≤7C.a ≥7D.a ≤5或a ≥78.已知函数f (x )=13x 3-12ax 2+x 在区间12，3上既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是()A.(2,+∞)B.[2，+∞)C.2,52D.2,1039.已知函数f (x )=a 3x 3-12x 2-x (a ≥0)在区间(0,1)上不是单调函数，则实数a 的取值范围是()A.(0,2)B.[0，1)C.(0,+∞)D.(2,+∞)10.函数f (x )=13x 3-12(m +1)x 2+2(m -1)x 在(0,4)上无极值，则m =.11.设函数f (x )=x 3+(1+a )x 2+ax 有两个不同的极值点x 1，x 2，且对不等式f (x 1)+f (x 2)≤0恒成立，则实数a 的取值范围是.12.若函数f (x )=x 33-a 2x 2+x +1在区间12,3上单调递减，则实数a 的取值范围是.13.若函数f (x )=13x 3+x 2-23在区间(a ,a +5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是.14.已知函数f (x )=13x 3-12(a +1)x 2+ax +1，a ∈R .若函数f (x )在区间(-1,1)内是减函数，则实数a 的取值范围是.专题7:零点问题1.设函数f (x )=x 2-2ex -ln x x+a (其中e 为自然对数的底数，若函数f (x )至少存在一个零点，则实数a的取值范围是()A.0,e 2-1eB.0,e 2+1eC.e 2-1e ,+∞D.-∞,e 2+1e2.设函数f (x )=x 3-2ex 2+mx -ln x ，记g (x )=f (x )x，若函数g (x )至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是()A.-∞，e 2+1eB.0，e 2+1eC.e 2+1e，+∞ D.-e 2-1e ，e 2+1e3.已知函数f (x )=me x2与函数g (x )=-2x 2-x +1的图象有两个不同的交点，则实数m 取值范围为()A.[0，1)B.[0,2)∪-18e 2C.(0,2)∪-18e 2D.[0,2e )∪-18e 24.已知函数f (x )的定义域为R ，且对任意x ∈R 都满足f (1+x )=f (1-x )，当x ≤1时，f (x )=ln x ,0<x ≤1e x ,x ≤0 .(其中e 为自然对数的底数)，若函数g (x )=m |x |-2与y =f (x )的图象恰有两个交点，则实数m 的取值范围是()A.m ≤0或m =eB.0<m ≤32C.32<m <eD.m >e5.定义：如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上存在x 1，x 2(a <x 1<x 2<b )，满足f ′(x 1)=f (b )-f (a )b -a，f ′(x 2)=f (b )-f (a )b -a，则称函数y =f (x )在区间[a ，b ]上的一个双中值函数，已知函数f (x )=x 3-65x 2是区间[0，t ]上的双中值函数，则实数t 的取值范围是()A.35,65B.25,65C.25,35D.1,656.定义：如果函数y =f (x )在定义域内给定区间[a ，b ]上存在(a <x 0<b )，满足f (x 0)=f (b )-f (a )b -a，则称函数y =f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点.则下列叙述正确的个数是()①y =x 2是区间[-1，1]上的平均值函数，0是它的均值点；②函数f (x )=-x 2+4x 在区间[0，9]上是平均值函数，它的均值点是5；③函数f (x )=log 2x 在区间[a ，b ](其中b >a >0)上都是平均值函数；④若函数f (x )=-x 2+mx +1是区间[-1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是(0,2)A.1B.2C.3D.47.若存在正实数m ，使得关于x 的方程x +a (2x +2m -4ex )[ln (x +m )-ln x ]=0有两个不同的根，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是()A.(-∞,0)B.0,12eC.(-∞，0)∪12e，+∞ D.12e，+∞ 8.已知函数u (x )=(2e -1)x -m ，υ(x )=ln (x +m )-ln x 若存在m ，使得关于x 的方程2a ∙u (x )∙υ(x )=x 有解，其中e 为自然对数的底数则实数a 的取值范围是()A.(-∞,0)∪12e,+∞ B.(-∞,0)C.0,12eD.(-∞,0)∪12e ,+∞9.若关于x 的方程x e x +e x x +e x+m =0有三个不相等的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1<0<x 2<x 3，其中m ∈R ，e 为自然对数的底数，则x 1e x 1+1 2x 2e x 2+1 x3e x 3+1 的值为()A.1+mB.eC.m -1D.110.若关于x 的方程|e x -1|+2|e x-1|+1+m =0有三个不相等的实数解x 1、x 2、x 3，(x 1<0<x 2<x 3)其中m ∈R ，e =2.71828⋯，则(|e x 1-1|+1)∙(|e x 2-1|+1)∙(|e x 3-1|+1)2的值为()A.eB.4C.m -1D.m +111.已知函数f (x )=-2x ,x <0-x 2+2x ,x ≥0若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是()A.0,34B.0,34C.0,916D.0,91612.已知函数f (x )=(3x +1)e x +1+mx (m ≥-4e )，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是()A.5e ，2B.-52e ，-83e2 C.-12，-83e2 D.-4e ，-52e13.已知函数f (x )=ln (x +1)-ax x +a，a 是常数，且a ≥1.(Ⅰ)讨论f (x )零点的个数；(Ⅱ)证明：22n +1<ln 1+1n <33n +1，n ∈N +.14.已知函数f (x )=ae 2x +(a -2)e x -x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.15.已知函数f (x )=(ex -e )e x +ax 2，a ∈R .(Ⅰ)讨论f (x )的单调性；(Ⅱ)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.16.已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.17.已知函数f(x)=e x[ax2+(a-2)]-x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.18.已知函数f(x)=x3+ax+14，g(x)=-ln x(i)当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；(ii)用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)=min{f(x)，g(x)}(x>0)，讨论h(x)零点的个数.19.已知函数f(x)=-x2+a-14x(a∈R),g(x)=ln x x.(1)当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线，(2)用max{m，n}表示m，n中的最大值，设函数h(x)=max{xf(x)，xg(x)}(x>0)，当0<a<3时，讨论h(x)零点的个数.20.已知函数f(x)=-x2+a-14x.(1)当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；(2)设函数g(x)=xf(x)，讨论g(x)在区间(0,1)上零点的个数.21.已知函数f(x)=2x2-1x-a ln x(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)=e x-sin x，若h(x)=g(x)(f(x)-2x)且y=h(x)有两个零点，求a的取值范围.22.已知函数f(x)=ae x-ln(x+1)+ln a-1.(1)若a=1，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)有且仅有两个零点，求a的取值范围.专题8:恒成立与存在性问题1.设函数f (x )=e x (2x -1)-ax +a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是()A.-32e ,1B.-32e ,34C.32e ,34D.32e ,12.设函数f (x )=e x (2x -1)-ax +a ，其中a <1，若存在两个整数x 1，x 2，使得f (x 1)，f (x 2)都小于0，则a 的取值范围是()A.53e 2，32eB.-32e ，32eC.53e 2，1 D.32e ，1 3.已知函数f (x )=(x 2-a )ln x ，曲线y =f (x )上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是()A.-1e2,0 B.(-1,0)C.-1e2,+∞ D.(-1,+∞)4.已知函数f (x )=x a -1ex ，曲线y =f (x )上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是()A.(-e 2，+∞)B.(-e 2，0)C.-1e2，+∞ D.-1e2，0 5.已知f (x )=a ln x +12x 2(a >0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2≥2恒成立，则a的取值范围是()A.(1,+∞)B.[1，+∞)C.(0，1]D.(0,1)6.已知f (x )=a ln x +12x 2，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0成立，则实数a 的取值范围是()A.[0，+∞)B.(0,+∞)C.(0,1)D.(0，1]7.已知函数f(x)=a ln(x+1)-x2，若对∀p，q∈(0,1)，且p≠q，有f(p+1)-f(q+1)p-q>2恒成立，则实数a的取值范围为() A.(-∞,18) B.(-∞，18] C.[18，+∞) D.(18,+∞)8.已知函数f(x)=a ln(x+1)-12x2，在区间(0,1)内任取两个数p，q，且p≠q，不等式f(p+1)-f(q+1)p-q>3恒成立，则实数a的取值范围是()A.[8，+∞)B.(3，8]C.[15，+∞)D.[8，15]9.设函数f(x)=e x(x3-3x+3)-ae x-x(x≥-2)，若不等式f(x)≤0有解，则实数a的最小值为()A.2e-1B.2-2eC.1-1eD.1+2e210.设函数f(x)=x(ln x)3-(3x+1)ln x+(3-a)x，若不等式f(x)≤0有解，则实数a的最小值为()A.2e-1B.2-2eC.1+2e2D.1-1e11.设函数f(x)=e x x3+32x2-6x+2-2ae x-x，若不等式f(x)≤0在[-2，+∞)上有解，则实数a的最小值为()A.-32-1eB.-32-2eC.-34-12eD.-1-1e12.已知函数f(x)=ln x+(x-b)2x(b∈R)，若存在x∈12，2，使得f(x)>-x∙f′(x)，则实数b的取值范围是() A.(-∞,-2) B.-∞,32C.-∞,94D.(-∞,3)13.已知f (x )=xe x ，g (x )=-(x +1)2+a ，若存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围为()A.1e ，+∞ B.-1e ，+∞ C.(0,e )D.-1e ，0 14.设过曲线g (x )=ax +2cos x 上任意一点处的切线为l 1，总存在过曲线f (x )=-e x -x 上一点处的切线l 2，使得l 1⎳l 2，则实数a 的取值范围为()A.[1，+∞)B.[1，+∞]C.(-∞，-3]D.(-∞,-3)15.设函数f (x )=x 2+4x ,g (x )=xe x ，若对任意x 1，x 2∈(0，e ]，不等式g (x 1)k +1≤f (x 2)k恒成立，则正数k 的取值范围为()A.4e e +1,1eB.(e ，4]C.0,e e +14-eD.0,4e e +1-416.设e 表示自然对数的底数，函数f (x )=(e x -a )24+(x -a )2(a ∈R )，若关于x 的不等式f (x )≤15有解，则实数a 的值为.17.已知f (x )=a ln x +12x 2+x ，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2，都有f (x 1)-f (x 2)x 12-x 22<1恒成立，则a 的取值范围是.18.(1)设函数f (x )=e x (2x -1)-ax +a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是.(2)已知f (x )=xe x ，g (x )=-(x +1)2+a ，若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围.19.当x∈(0,+∞)时，不等式c2x2-(cx+1)ln x+cx≥0恒成立，则实数c的取值范围是.20.若关于x的不等式(ax+1)(e x-aex)≥0在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围是.21.关于x的不等式(ax-1)(ln x+ax)≥0在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围是.22.已知关于x的不等式ax3+x2+x≤ln x+1x在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围是.23.已知函数f(x)=x-1-a ln x(a<0)，g(x)=4x，若对任意x1，x2∈(0，1]都有|f(x1)-f(x2)|≤|g(x1)-g(x2)|成立，则实数a的取值范围为.24.若f(x)=x-1-a ln x，g(x)=exe x，a<0，且对任意x1，x2∈[3，4](x1≠x2)，|f(x1)-f(x2)|<1 g(x1)-1 g(x2)的恒成立，则实数a的取值范围为.25.设过曲线f(x)=-e x-x+3a上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g(x)=(x-1)a+2cos x上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为.26.设函数f(x)=e2x2+1x,g(x)=e2xe x，对任意x1、x2∈(0,+∞)，不等式f(x1)k+1≥g(x2)k，恒成立，则正数k的取值范围是.27.已知函数f(x)=x-1-a ln x(a∈R)，g(x)=e x x，当a<0时，且对任意的x1，x2∈[4，5](x1≠x2)，|f(x1)-f(x2)|<|g(x1)-g(x2)|恒成立，则实数a的取值范围为.专题9:构造函数解不等式1.设函数f (x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，xf (x)-f(x)>0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A.(-∞，-1)∪(-1，0)B.(0，1)∪(1，+∞)C.(-∞，-1)∪(0，1)D.(-1，0)∪(1，+∞)2.函数f(x)的定义域是R，f(0)=2，对任意x∈R，f(x)+f (x)<1，则不等式e x f(x)>e x+1的解集为() A.{x|x>0} B.{x|x<0}C.{x|x<-1，或x>1}D.{x|x<-1，或0<x<1}3.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=1，且f(x)的导函数f′(x)>x-1，则不等式f(x)<12x2-x+1的解集为() A.{x|-2<x<2} B.{x|x>2} C.{x|x<2} D.{x|x<-2或x>2}4.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)<f(x)，且f(x+2)为偶函数，f(4)=1，则不等式f(x)<e x的解集为() A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,e4) D.(e4，+∞)5.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数f′(x)，满足f′(x)<f(x)，且f(x+2)=f(x-2)，f(4)=1，则不等式f(x)<e x的解集为()A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(4,+∞)D.(-2,+∞)+1(e为自然对数的底数6.若定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f′(x)>1，f(0)=4，则不等式f(x)>3e x)的解集为() A.(0,+∞) B.(-∞，0)∪(3，+∞)C.(-∞，0)∪(0，+∞)D.(3,+∞)7.已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4-x)，且当x≠2时其导函数f′(x)满足xf′(x)> 2f′(x)若2<a<4则() A.f(2a)<f(3)<f(log2a) B.f(log2a)<f(3)<f(2a)<f(3)<f(2a)C.f(3)<f(log2a)<f(2a)D.f(log2a)<f(2a)<f(3)8.已知函数y=f(x)对于任意的x∈-π2,π2满足f′(x)cos x+f(x)sin x>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式不成立的是()A.2fπ3 <fπ4B.2f-π3<f-π4C.f(0)<2fπ4D.f(0)<2fπ39.已知函数y=f(x)对于任意的x∈-π2，π2满足f (x)cos x+f(x)sin x>0(其中f (x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是()A.2f-π3>f(0) B.f(0)>2fπ4 C.f(-1)>f(1) D.f(1)>f(0)cos110.函数f(x)的导函数为f′(x)，对∀x∈R，都有2f′(x)>f(x)成立，若f(ln4)=2，则不等式f(x)>e x2的解是()A.x>1B.0<x<1C.x>ln4D.0<x<ln411.函数f(x)的导函数f′(x)，对∀x∈R，都有f′(x)>f(x)成立，若f(2)=e2，则不等式f(x)>e x的解是()A.(2,+∞)B.(0,1)C.(1,+∞)D.(0,ln2)12.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0，当x>0时，有xf′(x)-f(x)x2<0恒成立，则不等式xf(x)>0的解集是() A.(-2，0)∪(2，+∞) B.(-2，0)∪(0，2)C.(-∞，-2)∪(0，2)D.(-∞，-2)∪(2，+∞)13.已知一函数满足x>0时，有g′(x)=2x2>g(x)x，则下列结论一定成立的是()A.g(2)2-g(1)≤3 B.g(2)2-g(1)≥2 C.g(2)2-g(1)<4 D.g(2)2-g(1)≥414.定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)使不等式2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立，其中f′(x)为f(x)的导数，则()A.8<f(2)f(1)<16 B.4<f(2)f(1)<8 C.3<f(2)f(1)<4 D.2<f(2)f(1)<315.已知函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，图象关于y轴对称，且当x<0时，f′(x)>f(x)x恒成立，设a>1，则4af(a+1)a+1，2a f(2a)，(a+1)f4aa+1的大小关系为()A.4af(a+1)a+1>2a f(2a)>(a+1)f4aa+1B.4af(a+1)a+1<2a f(2a)<(a+1)f4aa+1C.2a f(2a)>4af(a+1)a+1>(a+1)f4aa+1D.2a f(2a)<4af(a+1)a+1<(a+1)f4aa+116.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若∀x∈(0,+∞)，都有xf′(x)<2f(x)成立，则()A.2f(3)>3f(2)B.2f(1)<3f(2)C.4f(3)<3f(2)D.4f(1)>f(2)17.已知函数f(x)的导函数为f (x)，若f(x)<xf (x)<2f(x)-x对x∈(0,+∞)恒成立，则下列不等式中，一定成立的是()A.f(2)3+12<f(1)<f(2)2 B.f(2)4+12<f(1)<f(2)2C.3f(2)8<f(1)<f(2)3+12 D.f(2)4+12<f(1)<3f(2)818.若a=67 -14，b=76 15，c=log278，定义在R上的奇函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞)且x1≠x2都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0，则f(a)，f(b)，f(c)的大小顺序为()A.f(b)<f(a)<f(c)B.f(c)>f(b)>f(a)C.f(c)>f(a)>f(b)D.f(b)>f(c)>f(a)19.设定义在R上的奇函数f(x)满足，对任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有f(x2)-f(x1)x2-x1<1，且f(3)=3，则不等式f(x)x>1的解集为()A.(-3，0)∪(0，3)B.(-∞，-3)∪(0，3)C.(-∞，-3)∪(3，+∞)D.(-3，0)∪(3，+∞)20.设函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有3f(x)+xf′(x)>0，则不等式(x+2015)3f(x+2015)+27f(-3)>0的解集是.21.设函数f(x)在R上存在导数f′(x)，∀x∈R，有f(-x)+f(x)=x2，在(0,+∞)上f′(x)<x，若f(4-m)-f(m)≥8-4m，则实数m的取值范围是.22.已知定义在R上函数f(x)满足f(2)=1，且f(x)的导函数f′(x)<-2，则不等式f(ln x)>5-2ln x的解集为.23.若定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f (x)<1，f(0)=4，则不等式e x[f(x)-1]>3(e为自然对数的底数)的解集为.24.定义在R上的函数f(x)满足：f(x)>1-f′(x)，f(0)=0，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式e x f(x)>e x-1(其中e为自然对数的底数)的解集为.25.函数f(x)，g(x)(g(x)≠0)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，f(-3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为26.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(-1)=0，若不等式x1f(x1)-x2f(x2)x1-x2<0对区间(-∞,0)内任意两个不相等的实数x1，x2都成立，则不等式xf(2x)<0解集是.专题10:有关距离问题1.设点P在曲线y=12e x上，点Q在曲线y=ln(2x)上，则|PQ|最小值为()A.1-ln2B.2(1-ln2)C.1+ln2D.2(1+ln2)2.设点P在曲线y=e2x上，点Q在曲线y=12ln x上，则|PQ|的最小值为()A.22(1-ln2)B.2(1-ln2)C.2(1+ln2)D.22(1+ln2)3.设点P在曲线y=x上，点Q在曲线y=ln(2x)上，则|PQ|的最小值为()A.1-ln22 B.22(1-ln2) C.1+ln22 D.2(1+ln2)24.设动直线x=m与函数f(x)=x3，g(x)=ln x的图象分别交于点M、N，则|MN|的最小值为()A.13(1+ln3)B.13ln3C.13(1-ln3)D.ln3-15.设动直线x=m与函数f(x)=e x，g(x)=ln x的图象分别交于点M，N，则|MN|最小值的区间为()A.12,1B.(1,2)C.2,52D.52,36.已知直线y=a分别与函数y=e x+1和y=x-1交于A，B两点，则A，B之间的最短距离是()A.3-ln22 B.5-ln22 C.3+ln22 D.5+ln227.若实数a，b，c，d满足|b+a2-4ln a|+|2c-d+2|=0，则(a-c)2+(b-d)2的最小值为()A.3B.4C.5D.68.已知函数f(x)=e x-1,x≤012x-1,x>0，若m<n且f(m)=f(n)，则n-m的最小值为()A.2ln2-1B.2-ln2C.1+ln2D.29.已知函数f (x )=x 3+sin x ，g (x )=12x +1,x <0ln (x +1),x ≥0，若关于x 的方程f (g (x ))+m =0有两个不等实根x 1，x 2，且x 1<x 2，则x 2-x 1的最小值是()A.2B.3-ln2C.4-2ln2D.3-2ln210.已知函数f (x )=-32x +1,x ≥0e -x-1,x <0，若x 1<x 2且f (x 1)=f (x 2)，则x 2-x 1的取值范围是()A.23，ln2B.23，ln 32+13C.ln2，ln 32+13D.ln2,ln 32+1311.已知点M 在曲线y =3ln x -x 2上，点N 在直线x -y +2=0上，则|MN |的最小值为.12.已知直线y =b 与函数f (x )=2x +3和g (x )=ax +ln x 分别交于A ，B 两点，若AB 的最小值为2，则a +b =.13.若实数a ，b ，c ，d 满足2a 2-ln a b =3c -2d=1，则(a -c )2+(b -d )2的最小值为.14.若实数a 、b 、c 、d 满足a 2-2ln a b =3c -4d=1，则(a -c )2+(b -d )2的最小值为.15.已知实数a ，b ，c ，d 满足a -2e a b =1-c d -1=1，则(a -c )2+(b -d )2的最小值为.专题11:参数的值或范围问题1.已知函数f (x )=x -ln x ，g (x )=x 2-ax .(1)求函数f (x )在区间[t ，t +1](t >0)上的最小值m (t )；(2)令h (x )=g (x )-f (x )，A (x 1，h (x 1))，B (x 2，h (x 2))(x 1≠x 2)是函数h (x )图象上任意两点，且满足h (x 1)-h (x 2)x 1-x 2>1，求实数a 的取值范围；(3)若∃x ∈(0，1]，使f (x )≥a -g (x )x成立，求实数a 的最大值.2.已知函数f (x )=x ln x ，g (x )=-x 2+ax -3.(Ⅰ)求f (x )在[t ，t +2](t >0)上的最小值；(Ⅱ)若存在x ∈1e ，e(e 是常数，e =2.71828⋯)使不等式2f (x )≥g (x )成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)证明对一切x ∈(0,+∞)都有ln x >1ex -2ex 成立.3.已知函数f (x )=x ln x ，g (x )=-x 2+ax -2(Ⅰ)求函数f (x )在[t ，t +2](t >0)上的最小值；(Ⅱ)若函数y =f (x )+g (x )有两个不同的极值点x 1，x 2(x 1<x 2)且x 2-x 1>ln2，求实数a 的取值范围.4.已知函数f(x)=ln x，g(x)=12x2-bx+1(b为常数).(1)函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与函数g(x)的图象相切，求实数b的值；(2)若b=0，h(x)=f(x)-g(x)，∃x1、x2[1，2]使得h(x1)-h(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；(3)当b≥2时，若对于区间[1，2]内的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g (x2)|成立，求b的取值范围.5.设函数f(x)=ax2-a-ln x，g(x)=1x-e⋯为自然对数的底数.e x，其中a∈R，e=2.718(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x>1时，g(x)>0；(3)确定a的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.6.已知函数f(x)=x+a ln x在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直.(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)函数g(x)=f(x)+12x2-bx，若函数g(x)存在单调递减区间，求实数b的取值范围；(Ⅲ)设x1，x2(x1<x2)是函数g(x)的两个极值点，若b≥72，求g(x1)-g(x2)的最小值.7.已知函数f (x )=a ln x +a +12x 2+1(1)当a =12时，求f (x )在区间1e ,e上的最值(2)讨论函数f (x )的单调性(3)当-1<a <0时，有f (x )>1+2aln (-a )恒成立，求a 的取值范围.8.已知函数f (x )=ax +x ln x 的图象在点x =e (e 为自然对数的底数)处的切线的斜率为3.(Ⅰ)求实数a 的值；(Ⅱ)若f (x )≤kx 2对任意x >0成立，求实数k 的取值范围；(Ⅲ)当n >m >1(m ,n ∈N *)时，证明：nm m n>m n .9.已知函数f (x )=x -ln (x +a )的最小值为0，其中a >0.设g (x )=ln x +m x，(1)求a 的值；(2)对任意x 1>x 2>0，g (x 1)-g (x 2)x 1-x 2<1恒成立，求实数m 的取值范围；(3)讨论方程g (x )=f (x )+ln (x +1)在[1，+∞)上根的个数.10.设函数f(x)=ln x+a(1-x).(Ⅰ)讨论：f(x)的单调性；(Ⅱ)当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围.专题12:分离参数法1.已知函数f x =e x -ae -x ，若f (x )≥23恒成立，则实数a 的取值范围是.2.已知函数f x =ln x -a x ，若f x <x 2在1,+∞ 上恒成立，则a 的取值范围是.3.若对任意x ∈R ，不等式3x 2-2ax ≥x -34恒成立，则实数a 的范围是.4.设函数f (x )=x 2-1，对任意的x ∈32,+∞ ,f x m -4m 2f (x )≤f (x -1)+4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是.5.若不等式x 2+2+x 3-2x ≥ax 对x ∈0,4 恒成立，则实数a 的取值范围是.6.设正数f x =e 2x 2+1x ,g x =e 2x ex ，对任意x 1,x 2∈0,+∞ ，不等式g x 1 k ≤f x 2 k +1恒成立，则正数k 的取值范围是.7.已知函数f x =ax 2-2a +1 x +ln x ,a ∈R ,g x =e x -x -1，若对于任意的x 1∈0,+∞ ,x 2∈R ，不等式f x 1 ≤g x 2 恒成立，求实数a 的取值范围.8.若不等式x +22xy ≤a x +y 对任意正数x ,y 恒成立，则正数a 的最小值是()A.1B.2C.2+12D.22+19.已知函数f x =1+ln x x ，如果当x ≥1时，不等式f x ≥k x +1恒成立，求实数k 的取值范围.10.已知函数f x =x +x ln x ,若k ∈Z ,且k <f x x -1对任意x >1恒成立,则k 的最大值为________.。
导数应用精选50题(含有答案)
)
99
A. a b c
B. c > b > a
C. c > a > b
D. a > c > b
10. f (x)是函数f (x)的导函数, 将y f (x)和y f (x) 的图象画在同一直角坐标系中，不
可能正确的是
()
11.已知函数 y xf (x) 的图象如图 3 所示（其中 f (x) 是函数 f (x) 的导函数）．下面四个图 象中， y f (x) 的图象大致是（ ）
30.(本大题满分 14 分) 设 x=3 是函数 f（x）=（x2+a+b）e3-x(x∈R)的一个极值点． (1)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b)，并求 f（x）的单调区间；(2)a>0，g(x)=( a+ 25 ) ex．若
4 存在 x1、x2∈[0，4]使得| f（x1）- g(x2)|<1 成立，求 a 的取值范围．
（3）若函数 y=f(x)+g(x)有两个不同的极值点 x1，x2（xl <x2），且 x2 －xl >1n2，求实数 a 的取值范围．
28.（本题满分 14 分）
5
已知函数 f x a ln x 1 a x 1 x2, a R
2
（1）当 0 a 1时，求函数 f x 的单调区间；
（2）已知 f x 0 对定义域内的任意 x 恒成立，求实数 a 的范围.
（1）求 a, b 的值；（2）求函数 f (x) 的极小值.
26.（本小题满分 13 分）已知定义在正实数集上的函数 f (x) 1 x2 2ex , g(x) 3e2 ln x b （其中 e 为常数， e 2.71828 ）,若这两个函数
导数复习题(含答案)
因为 ，所以 ，即 ，
所以 化为 ，
当 时，不等式 等价于 ，即 ，解得 ；
当 时，不等式 等价于 ，即 ，解得 ；
综上，不等式 的解集为 .
点睛：本题考查了与函数有关的不等式的求解问题，其中解答中涉及到利用条件构造新函数和利用导数研究函数的单调性，以及根据单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，解答中一定要注意函数值为零是自变量的取值，这是题目的一个易错点，试题综合性强，属于中档试题.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得 ，令
，选A.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
故答案为B。
11．已知函数 有两个零点，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数 的定义域为 ，因为 ，当 时， ，则函数 在 上单调递增，不满足条件；当 时，令 ，得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 为极小值点，要使 有两个零点，即要 ，即 ，则 的取值范围是 ，故选D.
6．函数 的图象是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由函数 ，则 ，所以函数 为奇函数，
图象关于原点对称，
又 时， ，
所以当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
综上，函数的图象大致为选项A，故选A.
7．已知函数 是函数 的导函数， ，对任意实数都有 ，设 则不等式 的解集为（）
关于导数的29个典型习题
关于导数的29个典型习题习题1设函数在0=x 的某邻域内1C 类(有一阶连续导数)，且.0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h f b h f a -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值。
解 由题设知 0)0()1()]0()2()([lim 0=-+=-+→f b a f h f b h f a h . .01,0)0(=-+∴≠b a f 由洛比达法则知).0()2(1)2(2)(lim )0()2()(lim 000f b a h f b h f a h f h bf h af h h '+='+'=-+=→→洛,0)0(≠'f 故.02=+b a 联立可解出.1,2-==b a习题2 设,0,00,)()(⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-x x x e x g x f x 其中)(x g 有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g .(1) 求);(x f '(2) 讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性.解 (1) 当0≠x 时，用公式有,)1()()()(])([)(22xe x x g x g x x e x g e x g x xf xx x ---++-'=+-+'=' 当0=x 时，用定义求导数，有 .21)0()(lim )0(20-''=-='-→g x e x g f x x 二次洛 ⎪⎩⎪⎨⎧=-''≠++-'='∴-.0,21)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x(2) 因在0=x 处有).0(21)0(2)(lim 2)1()()()(lim )(lim 000f g e x g x e x e x g x g x x g x f x x xx x x '=-''=-''=+-+'-''+'='-→--→→洛而)(x f '在0≠x 处连续，故).,()(+∞-∞∈'C x f习题3 证明：若022=++++c y b x a y x （圆），其中c b a ,,为定数),04(22>-+c b a 则 =+x d yd dx dy 22232])(1[定数。
导数习题+答案
一．解答题（共9小题）1．已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax2，x＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β﹣α≥1，使f（α）=f（β），证明．2．已知函数f（x）=xlnx﹣2x+a，其中a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若方程f（x）=0没有实根，求a的取值范围；（3）证明：ln1+2ln2+3ln3+…+nlnn＞（n﹣1）2，其中n≥2．3．已知函数f（x）=axlnx（a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和最值；（Ⅱ）若m＞0，n＞0，a＞0，证明：f（m）+f（n）+a（m+n）ln2≥f（m+n）4．已知函数f（x）=2e x﹣x（1）求f（x）在区间[﹣1，m]（m＞﹣1）上的最小值；（2）求证：对时，恒有．5．设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的单调区间及极值；（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．6．已知函数f（x）=ln（x+2）﹣a（x+1）（a＞0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若x＞﹣2，证明：1﹣≤ln（x+2）≤x+1．7．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若x＞﹣1，证明：．8．已知函数（1）当a=1时，利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，1]内是单调减函数；（2）当x∈（0，+∞）时f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．9．已知函数f（x）=（1）当a＜0，x∈[1，+∞）时，判断并证明函数f（x）的单调性（2）若对于任意x∈[1，+∞），不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一．解答题（共9小题）1．已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax2，x＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β﹣α≥1，使f（α）=f（β），证明．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性。
导数的练习题
导数的练习题第一篇：导数的练习题1、1）f(x)=xx-x+32,则f(x)=2）已知f(x)=ln2x,则f’(2)=,[f(2)]’=2'(2x+3)'=；[sin(x+2x)]'=25[ln(-2x+1)]'=；[(2x+1)]'=2.曲线y=xx+2在点（-1，-1）处的切线方程为3.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0，则4、已知曲线f(x)=x3+x-2在点P处的切线平行于直线4x-y-1=0，则点P5、已知曲线f(x)=x4在点P处的切线与直线2x+y+1=0垂直，则切线方程为6．曲线y=e2x在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为11-⎛7.若曲线y=x2在点 a,a2⎝-⎫⎪处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a=⎭8.若f(x)=ax4+bx2+c满足f'(1)=2，则f'(-1)=9、已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值（1）讨论f(1)和f(-1)是极大值还是极小值（2）过点（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求切线方程10、函数y=ax3+3x2-x+1在R上单调递减，则a11、若f(x)=围。
12、函数f(x)=x+bx+cx+d的图像过点P（0，2），且在点M（-1，f(-1)）处的切线方程为6x-y+7=0（1）求函数解析式（2）写出单调区间3213x-312ax2+(a-1)x+1在(1,4)上是减函数，在(6,+∞)上为增函数，则a的范13、已知函数f(x)=x+ax32+bx+c在x=-23与x=1时都取得极值2（1）求a,b的值与函数的单调区间（2）若对x∈[-1,2]，不等式f(x)<c恒成立，求c的范围14、x=3是f(x)=aln(1+x)+x-10x的一个极值点（1）求a（2）求f(x)的单调区间（3）若y=b与y=f(x)有三个交点，求b的范围15、用导数证明：lnx+1x-12(x-1)≥1+2223(1-x)3316、已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1时都取得极值（1）求a,b的值与函数的单调区间（2）若对x∈[-1,2]，不等式f(x)<c2恒成立，求c的范围第二篇：导数--函数的极值练习题导数--函数的极值练习题一、选择题1.下列说法正确的是()A.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极大值B.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极小值C.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极值D.当f(x0)为函数f(x)的极值且f′(x0)存在时，则有f′(x0)=0 2.下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是()①y=x3②y=x2+1③y=|x|④y=2x A.①②B.②③C.③④D.①③ 3.函数y=6x1+x2的极大值为()A.3B.4C.2D.54.函数y=x3－3x的极大值为m,极小值为n,则m+n为()A.0B.15.y=ln2x+2lnx+2的极小值为()A.e－B.0C.－1 D.16.y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于()A.6B.0C.5D.17．对可导函数,在一点两侧的导数异号是这点为极值点的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.下列函数中, x=0是极值点的函数是()A.y=-x3B.y=cos2xC.y=tanx-xD.y=1x 9.下列说法正确的是()A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大;B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值;C.对于f(x)=x3+px2+2x+1,若|p|<6,则f(x)无极值;D.函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值.10.函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1处有极值10, 则点(a,b)为()A.(3,-3)B.(-4,11)C.(3,-3)或(-4,11)D.不存在 11.函数f(x)=|x2-x-6|的极值点的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个 12.函数f(x)=lnxx()A.没有极值B.有极小值C.有极大值D.有极大值和极小值C.2D.4二．填空题：13.函数f(x)=x2lnx的极小值是14.定义在[0,2π]上的函数f(x)=e2x+2cosx-4的极值情况是15.函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的减区间是216.下列函数①y=x3,②y=tanx,③y=|x3+x+1|,④y=xex,其中在其定义区间上存在极值点的函数序号是17.函数f(x)=x3－3x2+7的极大值为___________.18.曲线y=3x5－5x3共有___________个极值.19.函数y=－x3+48x－3的极大值为___________；极小值为___________.20.若函数y=x3+ax2+bx+27在x=－1时有极大值，在x=3时有极小值，则a=___________,b=___________.三．解答题21.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,当x=－1时，取得极大值7；当x=3时，取得极小值.求这个极小值及a、b、c的值.22.函数f(x)=x+a x+b有极小值2，求a、b应满足的条件.23.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=2处有极值，其图象在x＝1处的切线垂直于直线y=1x-2（1）设f(x)的极大值为p，极小值为q，求p-q的值；（2）若c为正常数，且不等式f(x)>mx2在区间（0,2）内恒成立，求实数m的取值范围。
导数基础练习题
导数基础练习题1.与直线2x-y+4=的平行的抛物线y=x的切线方程是A。
2x-y+3=B。
2x-y-3=C。
2x-y+1=D。
2x-y-1=2.函数y=(x+1)(x-1)在x=1处的导数等于A。
1B。
2C。
33.过抛物线y=x上的点M（-π/4，11/4）的切线的倾斜角为A。
π/24B。
3π/42C。
3π/144.函数y=1+3x-x^2有（）A。
极小值-1，极大值1 B。
极小值-2，极大值3 C。
极小值-2，极大值2 D。
极小值-1，极大值35.已知f(x)=x，则f'(3)等于A。
2B。
6C。
1D。
96.f(x)=的导数是A。
1B。
不存在C。
2x7.y=3x^2的导数是A。
3x^2B。
x^2/11C。
-2/3x^38.曲线y=x^n在x=2处的导数是12，则n等于A。
1B。
2C。
3D。
49.若f(x)=3x，则f'(1)等于A。
-3B。
3C。
1D。
610.y=x^2的斜率等于2的切线方程是A。
2x-y+1=B。
2x-y+1=或2x-y-1=C。
2x-y-1=D。
2x-y=11.在曲线y=x^2上的切线的倾斜角为π/4的点是A。
(0,0)B。
(2,4)C。
(11/24,11/16)D。
(11/16,11/24)12.已知f(x)=x-5+3sinx，则f'(x)等于A。
-5x-6-3cosxB。
x-6+3cosxC。
-5x-6+3cosxD。
x-6-3cosx13.函数y=cos^-2x的导数是A。
-2cosxsinxB。
sin2xcos^-4xC。
-2cos^2xD。
-2sin^2x14.设y=f(sinx)是可导函数，则y'等于A。
f'(sinx)B。
f'(sinx)cosxC。
f'(sinx)sinxD。
f'(cosx)cosx15.函数y=4(2-x+3x^2)的导数是A。
8(2-x+3x^2)B。
2(-1+6x)^2C。
导数练习题含答案完整版
导数练习题含答案HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】导数练习题班级姓名一、选择题1．当自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的变化量D．在区间[x0，x1]上的导数2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )A．0.40 B．0.41 C．0.43D．0.443．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率ΔyΔx等于( )A．4 B．4＋2ΔxC．4＋2(Δx)2D．4x4．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )A． 6 B．18C．54D．815．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝32处的瞬时变化率是( )A．3 B．－3C． 2D．－26．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直7．曲线y＝－1x在点(1，－1)处的切线方程为( )A．y＝x－2 B．y＝xC．y＝x＋ 2D．y＝－x－28．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为( )A．4 B．16 C．8D．29．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )A．(0,0) B．(2,4)C．(14，116)D．(12，14)10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )A．a＝1，b＝ 1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－ 1D．a＝－1，b＝－111．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝( )A．0 B．2xC． 6D．912．已知函数f(x)＝1x，则f′(－3)＝( )A． 4 B.19C ．－14D ．－1913．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x x ＋3?2B.x 2＋6x x ＋3C.－2xx ＋3?2D.3x 2＋6x x ＋3?2 14．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．215．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，17．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( )A ．a ≥13B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤18．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，1)C ．(12，＋∞)D ．(1，19．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取极值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 20．设x 0为可导函数f (x )的极值点，则下列说法正确的是( )A ．必有f ′(x 0)＝B ．f ′(x 0)不存在C ．f ′(x 0)＝0或f ′(x 0)不存在D ．f ′(x 0)存在但可能不为022．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3C ．4D ．523．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个24．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取极小值时，x 的值是( )A ．2B ．2，－ 1C ．－1D ．－325．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A ．f (2)，f (3) B ．f (3)，f (5)C ．f (2)，f (5)D ．f (5)，f (3)26．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．427．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )A ．－10B．－71C ．－15D ．－22 28．(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y (单元：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件29．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒运动的距离为s ＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A ．1秒末B ．0秒C ．4秒末D ．0,1,4秒末二、填空题1．设函数y ＝f (x )＝ax 2＋2x ，若f ′(1)＝4，则a ＝________.2．若曲线y ＝2x 2－4x ＋a 与直线y ＝1相切，则a ＝________.3．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________.4．令f (x )＝x 2·e x ，则f ′(x )等于________．5．函数y ＝x 2＋4x 在x ＝x 0处的切线斜率为2，则x 0＝________. 6．若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________.7．一物体的运动方程是s (t )＝1t，当t ＝3时的瞬时速度为________．8．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12，则a ＝________，b ＝________.9．y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为________．10．函数y ＝x e x 的最小值为________．11．做一个容积为256 dm 3的方底无盖水箱，它的高为______dm 时最省料．12．有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2.三、解答题1．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋x cos x； (2)y＝x1＋x；(3)y＝lg x－e x.2．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x ＋10，求：(1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程．3．求下列函数的单调区间：(1)y＝x－ln x；(2)y＝12x .4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x＝－1时，取得极大值7；当x＝3时，取得极小值，求这个极小值及a、b、c的值．5．已知函数f(x)＝13x3－4x＋4.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．导数练习题答案班级姓名一、选择题1．当自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的变化量D．在区间[x0，x1]上的导数答案：A2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44解析：选 B.Δy＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.3．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率ΔyΔx等于( )A． 4B．4＋2ΔxC．4＋2(Δx)2D．4x解析：选B.因为Δy＝[2(1＋Δx)2－1]－(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2，所以ΔyΔx＝4＋2Δx，故选B.4．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )A． 6B．18C．54D．81解析：选B.ΔsΔt＝3?3＋Δt2－3×32Δt，s′＝li mΔt→0ΔsΔt＝li mΔt→0(18＋3Δt)＝18，故选B.5．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝32处的瞬时变化率是( )A． 3B．－3C． 2D．－2解析：选B.6．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直解析：选 B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．7．曲线y＝－1x在点(1，－1)处的切线方程为( )A．y＝x－ 2B．y＝xC．y＝x＋ 2D．y＝－x－2解析：选 A.f′(1)＝li mΔx→0－11＋Δx＋11Δx＝li mΔx→011＋Δx＝1，则在(1，－1)处的切线方程为y＋1＝x－1，即y＝x－2.8．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A 处的切线斜率为( )A． 4B．16C．8D．2解析：选C.9．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )A．(0,0)B．(2,4)C．(14，116)D．(12，14)故选D.10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝ 1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a＝1，b＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1 解析：选A.11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( )A ．0B ．2xC ．6D ．9解析：选 C.∵f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6.12．已知函数f (x )＝1x，则f ′(－3)＝( )A ．4B.19C ．－14D ．－19解析：选 D.∵f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(－3)＝－19.13．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x x ＋3?2B.x 2＋6x x ＋3C.－2x x ＋3?2D.3x 2＋6x x ＋3?2解析：选A14．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( ) A ．0B ．－1C ．1D ．2解析：选 B.∵f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3， ∴f ′(x )＝f ′(－1)x －2.∴f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2.∴f ′(－1)＝－1.15．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.16．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选 D.f ′(x )＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x，令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.17．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( )A ．a ≥13B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤0解析：选D.因为y ′＝3ax 2－1，函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，所以y ′＝3ax 2－1≤0恒成立，即3ax 2≤1恒成立．当x ＝0时，3ax 2≤1恒成立，此时a ∈R ；当x ≠0时，若a ≤13x2恒成立，则a ≤0.综上可得a ≤0. 18．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，C ．(12，＋∞)D ．(1，＋解析：选 C.∵y′＝8x－1x2＝8x3－1 x2>0，∴x>12.即函数的单调递增区间为(12，＋∞)．19．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.20．设x0为可导函数f(x)的极值点，则下列说法正确的是( )A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0答案：A22．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选D.f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f(x)在x＝－3处取得极值，∴f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5.23．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如题图所示，函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．24．函数f(x)＝－13x3＋12x2＋2x取极小值时，x的值是( )A．2 B．2，－1C．－1 D．－3解析：选 C.f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)．∵在x＝－1的附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，如图所示：∴x＝－1时取极小值．25．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )A．f(2)，f(3)B．f(3)，f(5)C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)解析：选B.∵f′(x)＝－2x＋4，∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，故f(x)在[3,5]上单调递减，故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．26．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A．－2 B．0C．2 D．4解析：选C.f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0可得x＝0或x＝2(舍去)，当－1≤x<0时，f′(x)>0，当0<x≤1时，f′(x)<0.所以当x＝0时，f(x)取得最大值为2. 27．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )A．－10 B．－71C．－15 D．－22解析：选B.f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x －3)(x＋1)．由f′(x)＝0得x＝3，－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.28．(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A．13万件B ．11万件C．9万件D ．7万件解析：选C29．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝14t4－53t3＋2t2，那么速度为零的时刻是( )A．1秒末B ．0秒C．4秒末D ．0,1,4秒末解析：选D.∵s′＝t3－5t2＋4t，令s′＝0，得t1＝0，t2＝1，t3＝4，此时的函数值最大，故选D.二、填空题1．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________.答案：12．若曲线y＝2x2－4x＋a与直线y＝1相切，则a＝________.答案：33．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________.答案：24．令f(x)＝x2·e x，则f′(x)等于________．解析：f′(x)＝(x2)′·e x＋x2·(e x)′＝2x·e x＋x2·e x＝e x(2x＋x2)．答案：e x(2x＋x2)5．函数y＝x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，则x0＝________.解析：2＝li mΔx→0x＋Δx2＋4?x0＋Δx－x20－4x0Δx＝2x0＋4，∴x0＝－1.答案：－16．若y＝10x，则y′|x＝1＝________.解析：∵y′＝10x ln10，∴y′|x＝1＝10ln10.答案：10ln107．一物体的运动方程是s(t)＝1t，当t＝3时的瞬时速度为________．解析：∵s′(t)＝－1t2，∴s′(3)＝－132＝－19.答案：－198．设f(x)＝ax2－b sin x，且f′(0)＝1，f′(π3)＝12，则a＝________，b＝________.解析：∵f′(x)＝2ax－b cos x，f′(0)＝－b＝1得b＝－1，f ′(π3)＝23πa ＋12＝12，得a ＝0.答案：0 －19．y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为________．解析：y ′＝3x 2－6＝0，得x ＝± 2.当x <－2或x >2时，y ′>0；当－2<x <2时，y ′<0.∴函数在x ＝－2时，取得极大值a ＋4 2.答案：a ＋4210．函数y ＝x e x 的最小值为________．解析：令y ′＝(x ＋1)e x ＝0，得x ＝－1.当x <－1时，y ′<0；当x >－1时，y ′>0.∴y min ＝f (－1)＝－1e.答案：－1e11．做一个容积为256 dm 3的方底无盖水箱，它的高为______dm 时最省料．解析：设底面边长为x ，则高为h ＝256x 2，其表面积为S ＝x 2＋4×256x2×x ＝x 2＋256×4x，S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0，则x ＝8，则高h ＝25664＝4 (dm)．答案：412．有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2.解析：设矩形的长为x m ，则宽为16－2x2＝(8－x ) m(0<x <8)， ∴S (x )＝x (8－x )＝－x 2＋8x∴S ′(x )＝－2x ＋8，令S ′(x )＝0，则x ＝4，又在(0,8)上只有一个极值点，且x∈(0,4)时，S(x)单调递增，x∈(4,8)时，S(x)单调递减，故S(x)max＝S(4)＝16.答案：16三、解答题1．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋x cos x；(2)y＝x1＋x；(3)y＝lg x－e x.解：(1)y′＝6x＋cos x－x sin x.(2)y′＝1＋x－x1＋x2＝11＋x2.(3)y′＝(lg x)′－(e x)′＝1x ln10－e x.2．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由⎩⎨⎧y＝x2＋4，y＝x＋10，得x2＋4＝10＋x，即x2－x－6＝0，∴x＝－2或x＝3.代入直线的方程得y＝8或13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y＝x2＋4，∴y′＝limΔx→0x＋Δx2＋4－x2＋4?Δx＝limΔx→0Δx2＋2x·ΔxΔx＝limΔx→0(Δx＋2x)＝2x.∴y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.3．求下列函数的单调区间：(1)y＝x－ln x；(2)y＝1 2x .解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)．其导数为y′＝1－1 x .令1－1x>0，解得x>1；再令1－1x<0，解得0<x<1.因此，函数的单调增区间为(1，＋∞)，函数的单调减区间为(0,1)．4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x ＝－1时，取得极大值7；当x＝3时，取得极小值，求这个极小值及a、b、c的值．解：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意可知－1,3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，则有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－23a，－1×3＝b3，解得⎩⎨⎧a＝－3，b＝－9，∴f(x)＝x3－3x2－9x＋c.由f(－1)＝7，得－1－3＋9＋c＝7，∴c＝2.∴极小值为f(3)＝33－3×32－9×3＋2＝－25.5．已知函数f(x)＝13x3－4x＋4.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．解：(1)f′(x)＝x2－4，解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：从上表可看出，当x＝－2时，函数有极大值，且极大值为283；而当x＝2时，函数有极小值，且极小值为－4 3 .(2)f(－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，f(4)＝13×43－4×4＋4＝283，与极值比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是283，最小值是－43.。
函数求导练习题(含解析)
一．解答题（共15小题）1．请默写基础初等函数的导数公式：（1）（C）′＝，C为常数；（2）（xα）′＝，α为常数；（3）（a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（4）（log a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（5）（sin x）′＝；（6）（cos x）′＝．2．求下列函数的导数（1）y＝x2﹣7x+6；（2）y＝x+2sin x，x∈（0，2π）．3．求下列函数的导数：（1）f（x）＝3x4+sin x；（2）．4．求下列函数的导数：（1）y＝ln（2x+1）；（2）．5．求下列函数的导数：（1）；（2）g（x）＝（8﹣3x）7；（3）p（x）＝5cos（2x﹣3）；（4）w（x）＝ln（5x+6）2．6．求下列函数的导数．（Ⅰ）；（Ⅱ）．7．求下列函数的导数．（1）f（x）＝sin x cos x；（2）y＝．8．求下列函数的导数．（1）y＝；（2）y＝（2x2+3）（3x﹣2）．9．求下列函数的导数：（1）；（2）．10．求下列函数的导数：（1）S（t）＝；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2）．11．求下列函数的导数．（1）；（2）．12．求下列函数的导数：（1）y＝；（2）y＝．13．求下列函数的导数：（1）y＝sin x+lnx；（2）y＝cos x+x；（3）y＝x sin x；（4）；（5）y＝3x2+x cos x；（6）．14．求下列函数的导数．（1）y＝x3﹣2x+3；（2）y＝x sin（2x+5）．15．求下列函数的导数：（1）y＝（x2+3x+3）e x+1；（2）解析一．解答题（共15小题）1．请默写基础初等函数的导数公式：（1）（C）′＝0，C为常数；（2）（xα）′＝αxα﹣1，α为常数；（3）（a x）′＝a x lna，a为常数，a＞0且a≠1；（4）（log a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（5）（sin x）′＝cos x；（6）（cos x）′＝﹣sin x．分析：根据初等函数的导数公式，直接求解即可．解答：解：（1）（C）′＝0，（2）（xα）′＝αxα﹣1，（3）（a x）′＝a x lna，（4）（log a x）′＝，（5）（sin x）′＝cos x，（6）（cos x）′＝﹣sin x．故答案为：（1）0；（2）αxα﹣1；（3）a x lna；（4）；（5）cos x；（6）﹣sin x．点评：本题主要考查初等函数的导数公式，比较基础．2．求下列函数的导数（1）y＝x2﹣7x+6；（2）y＝x+2sin x，x∈（0，2π）．分析：利用导数的运算性质逐个化简即可求解．解答：解：（1）由已知可得y′＝2x﹣7；（2）由已知可得y′＝1+2cos x．点评：本题考查了导数的运算性质，属于基础题．3．求下列函数的导数：（1）f（x）＝3x4+sin x；（2）．分析：（1）（2）由基本初等函数的导数公式及导数加减、乘法法则求导函数即可．解答：解：（1）f（x）＝3x4+sin x则f′（x）＝12x3+cos x；（2），则f′（x）＝+﹣2e2x﹣1．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．4．求下列函数的导数：（1）y＝ln（2x+1）；（2）．分析：根据导数的公式即可得到结论．解答：解：（1）∵y＝ln（2x+1），∴y′＝×2＝，（2）∵，∴y′＝﹣sin（﹣2x）×（﹣2）＝2sin（﹣2x）＝﹣2sin（2x﹣）．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．5．求下列函数的导数：（1）；（2）g（x）＝（8﹣3x）7；（3）p（x）＝5cos（2x﹣3）；（4）w（x）＝ln（5x+6）2．分析：根据复合函数的求导法则、基本初等函数的求导公式求导计算即可．解答：解：（1）∵，∴．（2）∵g（x）＝（8﹣3x）7，∴g'（x）＝7（8﹣3x）6⋅（8﹣3x）'＝﹣21（8﹣3x）6．（3）∵p（x）＝5cos（2x﹣3），∴p'（x）＝﹣5sin（2x﹣3）⋅（2x﹣3）'＝﹣10sin（2x﹣3）．（4）∵w（x）＝ln（5x+6）2，∴点评：本题考查导数的计算，注意复合函数的导数计算，属于基础题．（Ⅰ）；（Ⅱ）．分析：根据导数的公式即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）＝．（Ⅱ）．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．7．求下列函数的导数．（1）f（x）＝sin x cos x；（2）y＝．分析：利用导数的运算性质化简即可求解．解答：解：（1）因为f（x）＝sin x cos x＝sin2x，所以f′（x）＝cos2x×＝cos2x，（2）∵y＝，∴y′＝＝．点评：本题考查了导数的运算性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．8．求下列函数的导数．（1）y＝；（2）y＝（2x2+3）（3x﹣2）．分析：根据导数的公式，即可依次求解．解答：解：（1）y'＝＝．（2）因为y＝（2x2+3）（3x﹣2）＝6x3﹣4x2+9x﹣6，所以y′＝18x2﹣8x+9．点评：本题主要考查导数的运算，属于基础题．（1）；（2）．分析：（1）先展开f（x），然后求导即可；（2）根据基本初等函数和商的导数的求导公式求导即可．解答：解：（1），；（2）．点评：本题考查了基本初等函数和商的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．10．求下列函数的导数：（1）S（t）＝；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2）．分析：结合基本初等函数的求导公式及求导法则求解即可．解答：解：（1）S（t）＝＝t+，所以S′（t）＝1﹣；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2），所以h′（x）＝4x（3x﹣2）+3（2x2+3）＝18x2﹣8x+9．点评：本题主要考查了基本初等函数的求导公式及求导法则，属于基础题．11．求下列函数的导数．（1）；（2）．分析：利用复合函数的导函数的求法，结合导数的运算求解即可．解答：解：（1），所以；（2）所以．点评：本题考查了导函数的求法，重点考查了导数的运算，属基础题．12．求下列函数的导数：（1）y＝；（2）y＝．分析：直接利用基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算求解即可．解答：解：（1）令t＝1﹣2x2，则，所以；（2）．点评：本题考查了导数的运算，解题的关键是掌握基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算，考查了运算能力，属于基础题．13．求下列函数的导数：（1）y＝sin x+lnx；（2）y＝cos x+x；（3）y＝x sin x；（4）；（5）y＝3x2+x cos x；（6）．分析：由已知结合函数的求导公式即可求解．解答：解：（1）y′＝cos x+；（2）y′＝﹣sin x+1；（3）y′＝sin x+x cos x；（4）y′＝＝；（5）y′＝6x+cos x﹣x sin x；（6）y′＝＝﹣．点评：本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．14．求下列函数的导数．（1）y＝x3﹣2x+3；（2）y＝x sin（2x+5）．分析：根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导即可．解答：解：（1）y′＝3x2﹣2；（2）y′＝sin（2x+5）+2x cos（2x+5）．点评：本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．15．求下列函数的导数：（1）y＝（x2+3x+3）e x+1；（2）．分析：利用导数的运算法则以及常见函数的导数进行求解即可．解答：解：（1）因为y＝（x2+3x+3）e x+1，所以y'＝[（x2+3x+3）e x+1]'＝（x2+3x+3+2x+3）e x+1＝（x2+5x+6）e x+1＝（x+2）（x+3）e x+1；（2）因为，所以．点评：本题考查了导数的运算，主要考查了导数的运算法则以及常见函数的导数公式，考查了化简运算能力，属于基础题．。
导数练习题(含答案)
导数练习题1．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝±1处取得极值，在x ＝0处的切线与直线3x ＋y ＝0平行．(1)求f (x )的解析式；(2)已知点A (2，m )，求过点A 的曲线y ＝f (x )的切线条数． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0，f ′(－1)＝3a －2b ＋c ＝0，f ′(0)＝c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－3.所以f (x )＝x 3－3x .(2)设切点为(t ，t 3－3t )，由(1)知f ′(x )＝3x 2－3，所以切线斜率k ＝3t 2－3， 切线方程为y －(t 3－3t )＝(3t 2－3)(x －t )．又切线过点A (2，m )，代入得m －(t 3－3t )＝(3t 2－3)(2－t )，解得m ＝－2t 3＋6t 2－6. 设g (t )＝－2t 3＋6t 2－6，令g ′(t )＝0， 即－6t 2＋12t ＝0，解得t ＝0或t ＝2.当t 变化时，g ′(t )与g (t )的变化情况如下表：作出函数草图(图略)，由图可知：①当m >2或m <－6时，方程m ＝－2t 3＋6t 2－6只有一解，即过点A 只有一条切线； ②当m ＝2或m ＝－6时，方程m ＝－2t 3＋6t 2－6恰有两解，即过点A 有两条切线； ③当－6<m <2时，方程m ＝－2t 3＋6t 2－6有三解，即过点A 有三条切线． 2．已知函数f (x )＝a ln x －bx 2.(1)当a ＝2，b ＝12时，求函数f (x )在[1e，e]上的最大值；(2)当b ＝0时，若不等式f (x )≥m ＋x 对所有的a ∈[0，32]，x ∈(1，e 2]都成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意知，f (x )＝2ln x －12x 2，f ′(x )＝2x －x ＝2－x2x ，当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0得1e≤x <2；令f ′(x )<0，得2<x ≤e，∴f (x )在[1e ，2)上单调递增，在(2，e]上单调递减，∴f (x )max ＝f (2)＝ln 2－1.(2)当b ＝0时，f (x )＝a ln x ，若不等式f (x )≥m ＋x 对所有的a ∈[0，32]，x ∈(1，e 2]都成立，则a ln x ≥m ＋x 对所有的a ∈[0，32]，x ∈(1，e 2]都成立，即m ≤a ln x －x ，对所有的a ∈[0，32]，x ∈(1，e 2]都成立，令h (a )＝a ln x －x ，则h (a )为一次函数，m ≤h (a )min .∵x ∈(1，e 2]，∴ln x >0，∴h (a )在[0，32]上单调递增，∴h (a )min ＝h (0)＝－x ，∴m ≤－x 对所有的x ∈(1，e 2]都成立．∵1<x ≤e 2，∴－e 2≤－x <－1，∴m ≤(－x )min ＝－e 2.即实数m 的取值范围为(－∞，－e 2]． 3．设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数． (1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N *，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N *，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明． 解 由题设得，g (x )＝x1＋x(x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x1＋x ，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x1＋x 1＋x 1＋x＝x 1＋2x ，g 3(x )＝x1＋3x，…，可得g n (x )＝x1＋nx. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x1＋x，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k (x )1＋g k (x )＝x1＋kx 1＋x 1＋kx＝x 1＋(k ＋1)x，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N *成立．(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax 1＋x 恒成立．设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a (1＋x )2＝x ＋1－a(1＋x )2，当a ≤1时，φ′(x )≥0(当且仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)，∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增．又φ(0)＝0，∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立(当且仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)． 当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )≤0，∴φ(x )在(0，a －1)上单调递减∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0，故知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立，综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋n n ＋1，n －f (n )＝n －ln(n ＋1)，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)． 证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x 1＋x ，x >0.令x ＝1n ，n ∈N *，则1n ＋1<ln n ＋1n.下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N *成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x 1＋x ，x >0.令x ＝1n ，n ∈N *，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，…，ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1，上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．D1、已知函数()2f x m x =+与函数()11ln 3,22g x x x x ⎛⎫⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图像上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（ ）。
导数练习题(含标准答案)
导数练习题(含标准答案)选择题：1.已知 $f(x)=ax+3x+2$，若 $f'(-1)=4$，则 $a$ 的值等于$\frac{19}{3}$。
2.已知直线$y=kx+1$ 与曲线$y=x+ax+b$ 切于点$(1,3)$，则 $b$ 的值为 $-3$。
3.$(x+2a)(x-a)$ 的导数为 $3x$，则函数 $y$ 可以表示为$3(x^2-a^2)$。
4.曲线 $y=\frac{1}{9}x+\sqrt{x}$ 在点$(1,\frac{4}{3})$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为$\frac{1}{2}$。
5.已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的导数为 $f'(x)$，$f'(0)>0$，对于任意实数 $x$，有 $f(x)\geq f(1)$，则最小值为$\frac{3}{2}$。
6.已知函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的导数为 $3$，则 $f(x)$ 的解析式可能为 $f(x)=2(x-1)$。
7.下列求导数运算正确的是：$(x+\sqrt{x})' =1+\frac{1}{2\sqrt{x}}$。
8.曲线 $y=2x-x^2+5$ 在 $x=1$ 处的切线的倾斜角为 $-\frac{\pi}{3}$。
9.曲线 $y=x^3-3x^2+5$ 在点 $(1,3)$ 处的切线方程为 $y=-2x+5$。
10.设函数 $y=x\sin x+\cos x$ 的图像上的点 $(x,y)$ 处的切线斜率为 $k$，若 $k=g(x)$，则函数 $k=g(x)$ 的图像大致为$y=\cos x$。
11.一质点的运动方程为 $s=5-3t$，则在一段时间$[1,1+\Delta t]$ 内相应的平均速度为 $-3\Delta t+6$。
12.曲线 $f(x)=\ln(2x-1)$ 上的点到直线 $2x-y+3=0$ 的最短距离是 $5$。
(完整版)导数求导练习题
1．若f （x ）=sin α－cos x ，则f ′（α）等于A ．sin αB ．cos αC ．sin α+cos αD ．2sin α 2．f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f ′（－1）=4，则a 的值等于A ．319B ．316C ．313D ．3103．函数y =x sin x 的导数为A ．y ′=2x sin x +x cos xB ．y ′=xx 2sin +x cos xC ．y ′=xx sin +x cos x D ．y ′=xx sin －x cos x4．函数y =x 2cos x 的导数为 A ．y ′=2x cos x －x 2sin x B ．y ′=2x cos x +x 2sin x C ．y ′=x 2cos x －2x sin x D ．y ′=x cos x －x 2sin x5.若y =(2x 2-3)(x 2-4),则y ’= .6. 若y =3cosx -4sinx ,则y ’= .7．与直线2x －6y +1=0垂直，且与曲线y =x 3+3x 2－1相切的直线方程是______．8．质点运动方程是s =t 2（1+sin t ），则当t =2时，瞬时速度为___________．9.求曲线y=x3+x2-1在点P （-1，-1）处的切线方程.1．函数y =22x ax +（a >0）的导数为0，那么x 等于A ．aB ．±aC ．－aD ．a 22．函数y =xxsin 的导数为A ．y ′=2sin cos x xx x +B ．y ′=2sin cos x xx x -C ．y ′=2cos sin x xx x -D ．y ′=2cos sin x xx x +3.若21,2xy x+=-则y ’= . 4.若423335,x x y x-+-=则y ’= . 5.若1cos ,1cos xy x+=-则y ’= .6．已知f （x ）=354337xx x x ++，则f ′（x ）=___________．7．已知f （x ）=xx++-1111，则f ′（x ）=___________．8．已知f （x ）=xx2cos 12sin +，则f ′（x ）=___________．9．求过点（2，0）且与曲线y =x1相切的直线的方程．10.质点的运动方程是23,s t t=+求质点在时刻t=4时的速度.1．函数y =2)13(1-x 的导数是 A ．3)13(6-x B ．2)13(6-x C ．－3)13(6-x D ．－2)13(6-x2．已知y =21sin2x +sin x ，那么y ′是 A ．仅有最小值的奇函数 B ．既有最大值，又有最小值的偶函数 C ．仅有最大值的偶函数 D ．非奇非偶函数3．函数y =sin 3（3x +4π）的导数为A ．3sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）B ．9sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）C ．9sin 2（3x +4π）D ．－9sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）4.若y=（sinx-cosx 3)，则y ’= .5. 若y=2cos 1x +，则y ’= .6. 若y=sin 3(4x+3)，则y ’= .7．函数y =（1+sin3x ）3是由___________两个函数复合而成．8．曲线y =sin3x 在点P （3π，0）处切线的斜率为___________．9.求曲线2211(2,)(3)4y M x x =-在处的切线方程.10. 求曲线sin 2(,0)y x M π=在处的切线方程.同步练习1．函数y =cos （sin x ）的导数为A ．－［sin （sin x ）］cos xB ．－sin （sin x ）C ．［sin （sin x ）］cos xD ．sin （cos x ）2．函数y =cos2x +sin x 的导数为A ．－2sin2x +xx2cos B ．2sin2x +xx 2cosC ．－2sin2x +xx 2sin D ．2sin2x －xx 2cos3．过曲线y =11+x 上点P （1，21）且与过P 点的切线夹角最大的直线的方程为 A ．2y －8x +7=0 B ．2y +8x +7=0 C ．2y +8x －9=0 D ．2y －8x +9=04．函数y =x sin （2x －2π）cos （2x +2π）的导数是______________．5．函数y =)32cos(π-x 的导数为______________．6．函数y =cos 3x 1的导数是___________．同步练习1．函数y =ln （3－2x －x 2）的导数为A ．32+xB ．2231x x --C ．32222-++x x xD ．32222-+-x x x2．函数y =lncos2x 的导数为A ．－tan2xB ．－2tan2xC ．2tan xD ．2tan2x3．函数y =x ln 的导数为A ．2x x lnB ．xx ln 2C ．xx ln 1 D ．xx ln 214．在曲线y =59++x x 的切线中，经过原点的切线为________________． 5．函数y =log 3cos x 的导数为___________． 6.函数y =x 2lnx 的导数为 .7. 函数y =ln （lnx ）的导数为 . 8. 函数y =lg (1+cosx )的导数为 . 9. 求函数y =ln 22132x x +-的导数．10. 求函数y =12．求函数y =ln （21x +－x ）的导数．同步练习1．下列求导数运算正确的是A ．（x +x 1）′=1+21xB ．（log 2x ）′=2ln 1xC ．（3x ）′=3x log 3eD ．（x 2cos x ）′=－2x sin x 2．函数y =xxa 22-（a >0且a ≠1），那么y ′为A ．xxa 22-ln aB ．2（ln a ）xx a 22-C ．2（x －1）xxa 22-·ln aD ．（x －1）xxa 22-ln a3．函数y =sin32x 的导数为 A ．2（cos32x ）·32x ·ln3B ．（ln3）·32x ·cos32xC ．cos32xD ．32x ·cos32x4．设y =xx e e 2)12(+，则y ′=___________．5．函数y =x22的导数为y ′=___________．6．曲线y =e x －e ln x 在点（e ，1）处的切线方程为___________．7.求函数y=e 2x lnx 的导数.8．求函数y =x x （x >0）的导数．。
导数高中试题及解析答案
导数高中试题及解析答案1. 计算函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。
解析：首先，我们需要找到函数 \( f(x) \) 的导数。
根据导数的定义，我们有：\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x) \]对每一项分别求导，我们得到：\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \]现在，将 \( x = 1 \) 代入 \( f'(x) \) 得到：\[ f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 \]答案：函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数为 \( -1 \)。
2. 已知函数 \( g(x) = \sin(x) \)，求 \( g'(x) \)。
解析：根据三角函数的导数规则，我们知道 \( \sin(x) \) 的导数是\( \cos(x) \)。
因此，我们可以直接写出 \( g(x) \) 的导数：\[ g'(x) = \cos(x) \]答案：函数 \( g(x) \) 的导数是 \( \cos(x) \)。
3. 计算复合函数 \( h(x) = (x^2 - 1)^4 \) 的导数。
解析：这是一个复合函数，我们可以使用链式法则来求导。
首先，设\( u = x^2 - 1 \)，那么 \( h(x) = u^4 \)。
对 \( u \) 求导得到：\[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x \]然后，对 \( h(x) \) 求导：\[ h'(x) = \frac{d}{dx}(u^4) = 4u^3 \cdot u' = 4(x^2 - 1)^3\cdot 2x \]答案：复合函数 \( h(x) \) 的导数是 \( 8x(x^2 - 1)^3 \)。
导数考试题型及答案详解
导数考试题型及答案详解一、选择题1. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是：A. 2x + 3B. x^2 + 2C. 2x + 6D. 3x + 2答案：A2. 若f(x) = sin(x)，则f'(π/4)的值是：A. 1B. √2/2C. -1D. -√2/2答案：B二、填空题1. 求函数g(x) = x^3 - 2x^2 + x的导数，g'(x) = __________。
答案：3x^2 - 4x + 12. 若h(x) = cos(x)，求h'(x) = __________。
答案：-sin(x)三、解答题1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的导数，并求f'(2)的值。
解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
然后将x = 2代入得到f'(2) = 3 * 2^2 - 12 * 2 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3。
2. 已知函数y = ln(x)，求y'。
解：根据对数函数的导数公式，y' = 1/x。
四、证明题1. 证明：若函数f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
证明：根据幂函数的导数公式，对于任意实数n，有f'(x) = n * x^(n-1)。
五、应用题1. 某物体的位移函数为s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 5，求该物体在t = 3时的瞬时速度。
解：首先求位移函数的导数s'(t) = 3t^2 - 12t + 9。
然后将t = 3代入得到s'(3) = 3 * 3^2 - 12 * 3 + 9 = 27 - 36 + 9 = 0。
因此，该物体在t = 3时的瞬时速度为0。
六、综合题1. 已知函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 5，求f'(x)，并求曲线y = f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率。
完整版)导数大题练习带答案
完整版)导数大题练习带答案1.已知 $f(x)=x\ln x-ax$，$g(x)=-x^2-2$，要求实数 $a$ 的取值范围。
Ⅰ）对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $f(x)\geq g(x)$，即$x\ln x-ax\geq -x^2-2$，整理得 $a\leq \ln x +\frac{x}{2}$，对于 $x\in(0,+\infty)$，$a$ 的取值范围为 $(-\infty。
+\infty)$。
Ⅱ）当 $a=-1$ 时，$f(x)=x\ln x+x$，求 $f(x)$ 在 $[m。
m+3]$ 上的最值。
$f'(x)=\ln x+2$，令 $f'(x)=0$，解得 $x=e^{-2}$，在 $[m。
m+3]$ 上，$f(x)$ 单调递增，所以最小值为$f(m)=me^{m}$。
Ⅲ）证明：对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $\lnx+1>\frac{1}{x}$。
证明：$f(x)=\ln x+1-\frac{1}{x}$，$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x^2}(x-1)>0$，所以$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，即对于所有$x\in(0,+\infty)$，都有 $\ln x+1>\frac{1}{x}$。
2.已知函数 $f(x)=\frac{2}{x}+a\ln x-2(a>0)$。
Ⅰ）若曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(1,f(1))$ 处的切线与直线$y=x+2$ 垂直，求函数 $y=f(x)$ 的单调区间。
$f'(x)=-\frac{2}{x^2}+a$，在点 $P(1,f(1))$ 处的切线斜率为 $f'(1)=a-2$，由于切线垂直于直线 $y=x+2$，所以 $a-2=-\frac{1}{1}=-1$，解得 $a=1$。
导数专项训练及答案
导数专项训练 例题讲解【1】导数的几何意义及切线方程1．已知函数()a f x x =在1x =处的导数为2-,则实数a 的值是________.2. 曲线y =3x -x 3上过点A （2,-2）的切线方程为___________________.3. 曲线xy 1=和2x y =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是 ． 4．若直线y =kx -3与曲线y =2ln x 相切,则实数k =_______.5．已知直线2+=x y 与曲线()a x y +=ln 相切,则a 的值为 _______. 6. 等比数列{}n a 中,120121,9a a ==,函数122012()()()()2f x x x a x a x a =---+,则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为_____________.7．若点P 是曲线y=x 2-ln x 上的任意一点,则点P 到直线y=x-2的最小距离为________. 8. 若点P 、Q 分别在函数y =e x 和函数 y =ln x 的图象上,则P 、Q 两点间的距离的最小值是_____. 9. 已知存在实数a ,满足对任意的实数b ,直线y x b =-+都不是曲线33y x ax =-的切线,则实数a 的取值范围是_________.10. 若关于x 的方程3x e x kx -=有四个实数根,则实数k 的取值范围是_____________. 11. 函数f (x)=ax 2+1(a >0),g (x )=x 3+bx .若曲线y =f (x )与曲线y =g(x )在它们的交点(1, c )处具有公 共切线,则c 的值是___________.【2】常见函数的导数及复合函数的导数1．f(x)=2 , 则f ’(2) =______. 2. 设曲线y =ln 1xx +在点(1, 0)处的切线与直线x －ay ＋1＝0垂直，则a ＝_______.3．函数333()(1)(2)(100)f x x x x =+++在1x =-处的导数值为___________.4. 已知函数f (x )在R 上满足f (x )=2f (2-x )-x 2+8x -8,则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线方程是____________.5. 若函数()1*()n f x x n N +=∈的图像与直线1x =交于点P ，且在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则20131201322013320132012log log log log x x x x ++++的值为 ．6. 设f 1(x )=cos x ,定义)(1x f n +为)(x f n 的导数,即)(' )(1x f x f n n =+,n ∈N *,若ABC ∆的内角A 满足1220130f A f A f A ()()()+++=,则sin A 的值是______.【3】导数与函数的单调性22x xe e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭1. 函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为______. 2. 已知函数()ln ()f x x a R =∈，若任意12[2,3]x x ∈、且12x x >，t =()2121()f x f x x x --,则实数t的取值范围____________.3. 已知函数f (x )=x 3-6x 2+9x +a 在x R ∈上有三个零点，则实数a 的取值范是 ．4.设'()f x 和'()g x 分别是f (x )和()g x 的导函数，若'()'()0f x g x ≤在区间I 上恒成立，则称f (x )和g (x )在区间I 上单调性相反.若函数f(x)=3123x ax -与g (x )=x 2+2bx 在开区间(a , b )上单调性相反(a >0)，则b -a 的最大值为 ． 【4】导数与函数的极值、最值1. 已知函数322()3f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，则m n += ． 2. 已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为 .3. 已知函数f (x )=x 4+ax 3+2x 2+b ,其中a , b R ∈.若函数f (x )仅在x =0处有极值,则a 的取值范围是______________.4. 设曲线(1)x y ax e =-在点()10,y x A 处的切线为1l ,曲线()x e x y --=1在点02(,)B x y 处的切 线为2l .若存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得12l l ⊥,则实数a 的取值范围为____________.5.已知函数f (x )=e x -1, g(x )= -x 2+4x -3若有f (a )=g (b ),则b 的取值范围为______.6. '()f x 是函数3221()(1)3f x x mx m x n =-+-+的导函数，若函数['()]y f f x =在区间[m ，m+1]上单调递减，则实数m 的取值范围是__________. 【解答题】1. 某企业拟建造如上图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左 右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为803π立方米,且2l r ≥.假设该容器的建造 费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米 建造费用为()3c c >.设该容器的建造费用为y 千元. (1)写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的r2. 已知函数f （x ）＝2ax －（a ＋2）x ＋ln x .（1）当a ＝1时，求曲线y = f(x )在点(1, f(1))处的切线方程；（2）当a ＞0时，若f (x )在区间[1，e ）上的最小值为－2，求a 的取值范围．3. 已知函数x a x x f ln )()(-=,(0≥a ).(1)当0=a 时,若直线m x y +=2与函数)(x f y =的图象相切,求m 的值; (2)若)(x f 在[]2,1上是单调减函数,求a 的最小值;(3)当[]e x 2,1∈时,e x f ≤)(恒成立,求实数a 的取值范围.(e 为自然对数的底).4.已知函数2()ln ,af x x a x=+∈R ． （1）若函数()f x 在[2,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为3，求实数a 的值．5.设函数2()1x f x e x ax =---（1）若0a =，求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围导数专项练习答案 【1】导数的几何意义及切线方程1. 2；2. y =-2或9x +y -16=03.34； 4. 2e ； 5. 3； 6.201232y x =+; 7. 2； 8. 2； 9. 13a < 10. ()0,3e -11. 4【2】常见函数的导数及复合函数的导数 1. e -1e; 2. 12- 3. 3⨯99! 4. 2x -y -1=0； 5. -1 ; 6. 1;【3】导数与函数的单调性1. (0, 1);2. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭; 3. (-4, 0); 4. 12【4】导数与函数的极值、最值1. 11；2. 2ln2-2；3. 88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦; 4. 312a ≤≤; 5. []1,3 ; 6.0m ≥[5] 解答题 1. 答案解:(1)由题意可知()23480233r l r l r πππ+=≥,即2804233l r r r =-≥,则02r <≤. 容器的建造费用为2228042346433y rl r c r r r c rππππ⎛⎫=⨯+⨯=-+ ⎪⎝⎭, 即2216084y r r c rπππ=-+,定义域为{}02x r <≤. (2)2160168y r rc r πππ'=--+,令0y '=,得3202r c =-.令32022r c ==-,得92c =,①当932c <≤时,32022c ≥-,当02r <≤时,0y '<,函数单调递减,∴当2r =时y有最小值;②当92c >时,32022c <-,当32002r c <<-时,0y '<;当3202r c >-时,0y '>, ∴当3202r c =-时y 有最小值. 综上所述,当932c <≤时,建造费用最小时2r =;当92c >时,建造费用最小时3202r c =-2. 答案()()()()()()()22(2)2ln 0+22110220......5f x ax a x x ax a a f x ax a x x x =-++∞-+-'>=-++=>函数的定义域是，，当时，分()()()()()22212110=0,11..............................................................62ax a x ax f x f x x xx x a -+---''=====⋯⋯⋯令，即所以或分3. 解答4.若21a <，则20x a ->，即()0f x '>在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上是增函数．5. 解答导数专题复习（配详细答案）体型一:关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。
导数的基本公式14个例题
导数的基本公式14个例题一、导数的基本公式。
1. 常数函数的导数：若y = C（C为常数），则y^′=0。
- 例如：y = 5，求y^′。
- 解析：根据常数函数导数公式，y^′ = 0。
2. 幂函数的导数：若y=x^n，则y^′ = nx^n - 1。
- 例如：y=x^3，求y^′。
- 解析：根据幂函数导数公式，n = 3，所以y^′=3x^2。
- 例如：y = x^(1)/(2)，求y^′。
- 解析：n=(1)/(2)，根据公式y^′=(1)/(2)x^(1)/(2)-1=(1)/(2)x^-(1)/(2)=(1)/(2√(x))。
3. 正弦函数的导数：若y = sin x，则y^′=cos x。
- 例如：y=sin x，求y^′。
- 解析：根据正弦函数导数公式，y^′=cos x。
4. 余弦函数的导数：若y=cos x，则y^′ =-sin x。
- 例如：y = cos x，求y^′。
- 解析：根据余弦函数导数公式，y^′=-sin x。
5. 指数函数y = a^x的导数（a>0,a≠1）：y^′=a^xln a。
- 例如：y = 2^x，求y^′。
- 解析：根据指数函数导数公式，a = 2，所以y^′=2^xln2。
6. 对数函数y=log_ax的导数（a>0,a≠1,x>0）：y^′=(1)/(xln a)。
- 例如：y=log_2x，求y^′。
- 解析：根据对数函数导数公式，a = 2，所以y^′=(1)/(xln2)。
- 特别地，当a = e时，y=ln x，y^′=(1)/(x)。
- 例如：y=ln x，求y^′。
- 解析：根据自然对数函数导数公式，y^′=(1)/(x)。
7. 正切函数的导数：若y=tan x=(sin x)/(cos x)，则y^′=sec^2x=(1)/(cos^2)x。
- 例如：y = tan x，求y^′。
- 解析：根据正切函数导数公式，y^′=sec^2x=(1)/(cos^2)x。
高等数学导数求导练习题
高等数学导数求导练习题一、基本初等函数求导1. 求函数 f(x) = x^3 3x^2 + 2x 5 的导数。
2. 求函数 f(x) = (3x + 1)^4 的导数。
3. 求函数 f(x) = 1/(x^2 1) 的导数。
4. 求函数f(x) = √(x^2 + 3) 的导数。
5. 求函数 f(x) = 2^x 3^x 的导数。
二、复合函数求导6. 求函数 f(x) = (x^2 + 1)^3 的导数。
7. 求函数 f(x) = sin(2x + 1) 的导数。
8. 求函数 f(x) = ln(e^x + 1) 的导数。
9. 求函数 f(x) = cos^2(x) 的导数。
10. 求函数 f(x) = (1 + x^2)^5 的导数。
三、隐函数求导11. 已知 y = x^3 + y^3，求 dy/dx。
12. 已知 x^2 + y^2 = 25，求 dy/dx。
13. 已知 e^y = x^2 + y^2，求 dy/dx。
14. 已知 sin(x + y) = y^2，求 dy/dx。
15. 已知 ln(x^2 + y^2) = 2x，求 dy/dx。
四、参数方程求导16. 已知参数方程 x = t^2，y = t^3，求 dy/dx。
17. 已知参数方程 x = cos(t)，y = sin(t)，求 dy/dx。
18. 已知参数方程 x = 2t + 1，y = 3t^2 2，求 dy/dx。
19. 已知参数方程 x = e^t，y = e^(2t)，求 dy/dx。
20. 已知参数方程 x = asin(t)，y = acos(t)，求 dy/dx。
五、高阶导数21. 求函数 f(x) = x^4 2x^3 + 3x^2 的二阶导数。
22. 求函数 f(x) = e^x sin(x) 的一阶和二阶导数。
23. 求函数 f(x) = ln(x^2 + 1) 的一阶和二阶导数。
24. 求函数 f(x) = (x^2 + 1)^(3) 的一阶和二阶导数。
导数经典综合题(原题版)
导数综合题经典百题1．已知函数()ln ,f x x a x =+其中a 为常数，且1a ≤-.（Ⅰ）当1a =-时，求()f x 在2[e,e ]（e=2.71828…）上的值域；（Ⅱ）若()e 1f x ≤-对任意2[e,e ]x ∈恒成立,求实数a 的取值范围.2.已知函数.,1ln )(R ∈-=a xx a x f （I ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线02=+y x 垂直，求a 的值；（II ）求函数)(x f 的单调区间；（III ）当a=1，且2≥x 时，证明：.52)1(-≤-x x f 3.已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．4．已知函数).,()1(31)(223R ∈+-+-=b a b x a ax x x f （I ）若x=1为)(x f 的极值点，求a 的值；（II ）若)(x f y =的图象在点（1，)1(f ）处的切线方程为03=-+y x ，（i ）求)(x f 在区间[-2，4]上的最大值；（ii ）求函数)(])2()('[)(R ∈+++=-m em x m x f x G x的单调区间5．已知函数.ln )(xa x x f +=（I ）当a<0时，求函数)(x f 的单调区间；（II ）若函数f （x ）在[1，e]上的最小值是,23求a 的值.6．已知函数∈-++=b a m x b ax mx x f ,,,)1(3)(223R （1）求函数)(x f 的导函数)(x f '；（2）当1=m 时，若函数)(x f 是R 上的增函数，求b a z +=的最小值；（3）当2,1==b a 时，函数)(x f 在（2，+∞）上存在单调递增区间，求m 的取值范围.7．已知函数()2ln .pf x px x =--（1）若2p =，求曲线()(1,(1))f x f 在点处的切线；（2）若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围；（3）设函数2(),[1,]eg x e x =若在上至少存在一点0x ，使得00()()f x g x >成立，求实数p 的取值范围。
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瑞恒阳光培训学校导数习题汇总
一、填空题
1、若函数的导函数，则的单调递减区间是 .
2、已知函数，则．
3、若，则等于 .
4、若函数，则
5、曲线的切线中,斜率最小的切线方程为___________.
6、曲线在点（-1，-1）处的切线方程__________
7、若函数在内有极小值，则实数的取值范围是
8、曲线y＝e2x在点(0,1)处的切线方程为________________．
9、曲线在处的切线方程为
10、函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝处取得极小值.
11、曲线在点处的切线方程为_______________
12、函数在时取得极值，则实数_______ .
13、函数f(x)＝－x4＋2x2＋3的最大值为．
14、已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴相切于(1,0)，则极小值为________．
15、若y＝a ln x＋bx2＋x在x＝1和x＝2处有极值，则a＝________，b＝________.
16、已知y＝x3－x－1＋1，则其导函数的值域为________．
17、函数y=的导数是．
18、若f（x）=x3+2，则过点P（1，3）的切线方程为．
19、若函数f（x）=在x=1处取极值，则a= ．
20、函数y=x2﹣x3的单调增区间为，单调减区间为．
21、曲线y=﹣x3+2x在点（﹣1，﹣1）处的切线的倾斜角是．
22、函数y=x 3
﹣x
2
﹣x的单调增区间为．
23、函数f（x）=x 3
﹣15x
2
﹣33x+6的单调减区间为．
24、函数y＝2x 3
－2x
2
在区间[－1,2]上的最大值是________．
25、函数在区间上最大值为
26、曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为.
27、函数在区间上的最小值是＿＿＿＿．
28、函数在闭区间［－３，０］上的最大值为__________．
29、曲线在点（-1，-1）处的切线方程为。
30、曲线在点处的切线方程是
31、设曲线在点处的切线与直线垂直，则
32、过曲线上一点P的切线平行与直线，则切点的坐标为。
参考答案
一、填空题
1
、（0,2）2、. 3、-4 4、5、
6、y=2x+1
7、
8、 y＝2x＋1.
9、 3x﹣y﹣1=0 10、2
11、 12、-2 13、4 14、0 15、 16、[2，＋∞)
17、 18、3x﹣y=0或3x﹣4y+9=0．19、3 20、（0，）；（﹣∞，0）和（，+∞）．21、． 22、（﹣∞，﹣），（1，+∞） 23、（﹣1，11） 24、8
25、 26、， 27、－16 28、7 30、
31、 32、（1,0）或（-1,-4）。