江苏省海头高级中学2013-2014学年高二10月月考数学试题Word版含答案

江苏省海头高级中学2012级高二数学综合练习二
2013.10
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．） 1．在ABC ∆中，
sin cos A B
a b
=，则=∠B ； 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于 ； 3．在ABC ∆中，若2
2
2
b c a bc +-=，则A = ； 4．不等式0122
<--x x 的解集是 ；
5．已知数列{}n a 的前n 项和为13-=n n S ，则通项公式=n a ；
6．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若
60=A 2=a ，3
3
2=
b ，则边
c 的长为 ；
7．已知数列4,,,121--a a 成等差数列，4,,,,1321--b b b 成等比数列，则2
1
2b a a -的值为 ； 8．若数列{}n a 满足111,
1
n n a n
a a n +==
+，则8a = ； 9．已知正数y x ,满足
11
8=+y
x ，则y x 2+的最小值是 ； 10．设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，若11=a ,公差2=d ,242=-k k S S ，则k 的值等于 ；
11．等比数列{}n a 中，12435460,236a a a a a a a <++=，则35a a += ；
12．已知变量y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥-+≥+-,03,05,03x y x y x 则y x z +=2的最大值为 ；
13．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，给出下列结论：
①若A B C >>，则C B A sin sin sin >>； ②若
sin cos cos A B C
a b c
==，则ABC ∆为等边三角形；
③必存在,,A B C ，使C B A C B A tan tan tan tan tan tan ++<成立； ④若︒===25,20,40B b a ，则ABC ∆必有两解． 其中，结论正确的编号为 ；
14．已知关于x 的一元二次不等式0112)2(2>+-+-x b x a 的解集为R ，若4≤a ，则
b
a b
a +-2的取值范围是 。

二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）
在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知2
222a bc c b =-+，22=b
c
，
（1）求角A ； （2）求B tan 的值。

16．（本题满分14分）
已知函数2)(2
+-+=a bx ax x f
（1）若1=a ，4-=b ，解关于x 的不等式0)(>x f ；
（2）若关于x 的不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-，求实数b a ，的值。

17．（本题满分14分）
若等比数列{}n a 的前n 项和1
2n n
S a =-． （1）求实数a 的值；
（2）求数列{}n na 的前n 项和n R ．
18．（本题满分16分）
在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且C B A ,,成等差数列。

（1）若32=b ，2=c ，求ABC ∆的面积；
（2）若C B A sin ,sin ,sin 成等比数列，试判断ABC ∆的形状。

19．（本题满分16分）
如图，某海域内的岛屿上有一直立信号塔AB ，设AB 延长线与海平面交于点O ．测量船在点O 的正东方向点C 处，测得塔顶A 的仰角为30︒，然后测量船沿CO 方向航行至D
处，当1)CD =米时，测得塔顶A 的仰角为45．
（1）求信号塔顶A 到海平面的距离AO ； （2）已知52AB =米，测量船在沿CO 方向航行的过程中，设DO x =，则当x 为何值时，使得在点D 处观测信号塔AB 的视角ADB ∠最大．
B A
O
D
C
20．（本题满分16分）
已知数列}{n a 的前n 项和bn n S n +=2（b 为常数），且对于任意的*
N k ∈，
k k k a a a 42，，构成等比数列。

（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设数列}1
{1
+n n a a 的前n 项和为n T ，求使不等式133<n T 成立的n 的最大值。

参考答案
1． 45 2．2 3．
60 4．)12
1(，
- 5．132-⋅n 6．334 7．2
1
8．81 9．18 10．4 11．-6 12．12 13．①④ 14．]5
272(，-
15．
16．略 17．解⑴111122a a a =
=-⇒=； （2）222
n n n R +=-． 18．解：因为A ，B ，C 成等差数列，所以C A B +=2。

又A ＋B ＋C ＝π，所以3
π
=B 。

（1）解法一：因为32=b ，2=c ，所以 由正弦定理得
C
c
B b sin sin =，即B c
C b s i n s i n =，
即2
3
2sin 32⨯
=C ，得21sin =C 。

因为c b >，所以C B >，即C 为锐角，所以6
π
=
C ，从而2
π
=
A 。

所以
322
1
==
bc S ABC △。

解法二：由余弦定理得B ac c a b cos 22
2
2
-+=， 即0822
=--a a ，得4=a 。

所以322
3
2421sin 21=⨯⨯⨯==
B ac S AB
C △。

（2）因为A sin ，B sin ，C sin 成等比数列，所以C A B sin sin sin 2
⋅=。

由正弦定理得ac b =2； 由余弦定理得222c a b +=ac c a B ac -+=-2
2cos 2。

所以ac c a ac -+=2
2，即()02
=-c a ，即c a =。

又因为3
π
=
B ，所以△AB
C 为等
边三角形。

19．⑴由题意知，在ACD ∆中，30,15ACD DAC ∠=∠=， ………2分
所以
sin15sin 30
CD AD
=
，得AD = ………5分
在直角AOD ∆中，45ADO ∠=，所以100AO =（米）； ………7分 ⑵设,ADO BDO αβ∠=∠=，由⑴知，48BO =米，
则10048
tan ,tan x x
αβ=
=， ………9分 210048
tan tan 52tan tan()100481tan tan 4800
1x x x ADB x x x
αβαβαβ-
-∠=-==
=+⋅++⋅， 11分
所以52tan 480060ADB x x ∠=
≤=
+ ……13分 当且仅当4800
x x
=
即x =
DO = tan ADB ∠取得最大值， ………14分
此时点D 处观测信号塔AB 的视角ADB ∠最大． ………15分 20．。