高中数学：分类讨论思想、转化与化归思想
高中数学常见解题思想方法——思想篇(高三适用)十、转化与化归思想 含解析
我们时常会遇到这样一些问题，若要直接解决会较为困难，若通过问题的转化、归类，就会使问题变得简单，这类问题的解决方法就是转化与化归思想，它在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归.转化与化归思想,指的是在研究和解决有关数学问题时，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终使问题得到解决的一种思想。
利用化归与转化的思想可以实现问题的规范化、模式化，以便应用已知的理论、方法和技巧来解决问题.数学解题过程，就是不断转化的过程，不断把问题由陌生转化成熟悉的来解决，几乎所有问题的解决都离不开转化与化归。
在其他的数学思想中明显体现了转化与化归的思想,比如，数形结合思想体现了数与形的相互转化,函数与方程思想体现了函数、方程、不等式等问题之间的相互转化,分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化.一、常见的转化与化归的形式常见的有：陌生问题向熟悉问题的转化，复杂问题向简单问题的转化，不同数学问题之间的互相转化,实际问题向数学问题转化等。
二、常见的转化策略常见的有：正与反的转化、数与形的转化、整体与局部的转化、常量与变量的转化、相等与不等的转化、空间与平面的转化、数学语言之间的转化等。
三、常见的实现转化与化归的方法:1.直接转化法：把原问题直接转化为学过的基本定理、基本公式或基本图形问题.2.换元法：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。
3。
数形结合法，即数与形的转化。
将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决.例如在函数与图象的联系中可以体现出，把繁琐的代数问题转化为直观的几何图形来解决4。
特殊化方法:即特殊与一般的转化，把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的问题、结论适合原问题。
5。
补集法，即正与反的相互转化.当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，正难则反，设法从问题的反面去探讨,使问题获解.6.等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，即原问题的充要条件，达到化归的目的.7。
转化与化归思想在高中数学中的应用
考 点 聚 焦
管 昭 岛 昭 国 圆圈 宙 岛 （ ０ ） 团 昏（ ０ ） 圈 国 国
■ 曹利 霞
转化就 是数学命题 由一种形式 向另一种形式 的 变换过 程 ，化 归就是把待解决 的问题通过某种转化 过程归结 为一类 已经解决 或 比较容 易解决 的问题 。 转化与化 归思想是 中学数 学最基本 的思想方 法 ， 堪 称数学思想的精髓 所在 ， 因为数形结合思想 、 函数与 方程思想 、分类讨论 思想都是转化与化 归思 想的具 体体现 ， 各种变换 的方法 、 分析法 、 反证法 、 待定系数 法、 构造法等都是转化与化归 的手段 。 下面谈 谈转 化与化归思想 在高中数 学应 用中主 要 涉及 的 基 本类 型 。
１ ． 正 与 反 的 相 互 转 化
表 面看来似乎 只有相 等的数量关 系 ，根据这些相 等 关系又难以解决 问题 ， 但若能挖掘其 中的不等关系 ， 建立不等式（ 组） ， 往往能获得简捷求解的效果 。
例３ 已知都是实数 ，且０ 、 ｖ ／ Ｔ 二 ＋ ６ 、 嚼 ＝ １ ， 求证 ： ａ ２ ＋ ｂ ２ ： １ 。 分析 ： 利用均值不等式先得到一个不等关系 ， 再 结合已知中的相等关系寻求ｎ 与６ 之 间的关系 。
解： ． ． ． ０ ～
’ ． ．
≤
２
， ６ ～
≤
２
．
ａ ｘ ／ １ 一 ｂ ＋ ６ ｘ ／ １ 一 ａ ２ ≤１ 。又 ａ ｘ ／ １ 一 ｂ ＋ ６ 、 ／ １ 一 ＝
对于那些从“ 正面进攻 ” 很难奏效或运算 比较繁 琐的问题 ， 可先攻其反 面， 运用补集思想从而使正面 得 以解 决 。 例 １ 某 射手射击 １ 次击 中目标 的概率 是０ ． ９ ， 他 连续射击４ 次且 他各次射击 是否击 中 目标是相 互独 立 的， 则他至少击 中 目标 １ 次的概率为— — 。 分析 ： 至少击 中 目标一次 的情况包括 １ 次、 ２ 次、 ３ 次、 ４ 次击 中 目标 共 四种情 况 ，可转 化 为其对 立事 件—— “ 一次都未 中” 来求解 。 略解 ： 由上述 分析可知 ， 他 四次射击 未中 １ 次 的 概率Ｐ ｉ ＝ Ｃ ４ ０ ． １ ＝ Ｏ ． １ ４ ， 他至少 射击 击 中 目标 １ 次 的概率 为 １ 一 Ｐ １ ＝ １ —
中学数学教学原则
中学数学中，方程、数列、不等式等问 题都可利用函数思想得以简解； 几何量的变化问题也可以通过对函数值 域的考察加以解决。
2、数形结合思想
“数”——方程、函数、不等式及表达式，代 数 中的一切内容； “形”就是图形、图象、曲线等。 数形结合的本质是数量关系决定了几何图 形的性质，几何图形的性质反映了数量关系。 数形结合就是抓住数与形之间的内在联系，以 “形”直观地表达数，以“数”精确地研究形。
3、分类讨论思想
数学中的分类有现象分类和本质分类两种， 前一种分类是以分类对象的外部特征、外部 关系为根据的，如复数分为实数与虚数等， 这种分法看上去一目了然，但不能揭示所分 对象之间的本质联系； 后一种分类是按对象的本质特征、内部联系 进行分类的，如函数按单调性或有界性分类， 多面体按柱、锥、台分类等。
渗透数学思想方法教学的途径
1、在基础知识的教学过程中，适时渗透数学 思想方法 （1）重视概念的形成过程； （ 2 ）引导学生对定理、公式的探索、发现、 推导的过程 。 2、在小结复习的教学过程中，揭示、提炼概 括数学思想方法； 3 、抓好运用，不断巩固和深化数学思想方法。
数学教学原则
数学教学的原则
学习数学化原则
适度形式化原则
1．中学数学中的主要思想： 函数与方程思想
数形结合思想
分类讨论思想 化归与转化思想
1、函数与方程思想
用函数的观点、方法研究问题，将非函
数问题转化为函数问题，通过对函数的研究， 使问题得以解决。即：将问题转化为函数问 题，建立函数关系，研究这个函数，得出相 应的结论。
4、化归与转化思想
在教学研究中，使一种对象在一定条件下转 化为另一种研究对象的数学思想称为转化思 想。体现在数学解题中，就是将原问题进行 变形，使之转化为我们所熟悉的或已解决的 或易于解决的问题，就这一点来说，解题过 程就是不断转化的过程。
数学思想之一转化与化归思想(概述)
数学思想之一：转化与化归思想（概述）
1、转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中一切问题的解决（当然包括解题）都离不开转化与化数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方归，
程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。
各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化
的手段。
所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂。
2、转化包括等价转化和非等价转化等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，不等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，不等价变形要对所得结论进行必要的修改。
3、转化与化归的原则将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决。
4、转化与化归的基本类型
（1）正与反、一般与特殊的转化；
（2）常量与变量的转化；
（3）数与形的转化；
（4）数学各分支之间的转化；
（5）相等与不相等之间的转化；
（6）实际问题与数学模型的转化。
分类讨论思想转化与划归思想ppt课件
思想概述·应用点拨
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
2.中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的 定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为 零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数 运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三 角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单 调性、基本不等式等.
思想概述·应用点拨
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞)
综上所述：当 m≥0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
当 m≤－1 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，当－1＜m＜0 时，f(x)
在 0，－1＋m1－m2 和 －1－m1－m2，＋∞ 上 单 调 递 减 ， 在
高中数学_必须掌握的六种常用的数学思想方法
高中数学_必须掌握的六种常用的数学思想方法数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。
数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。
而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。
常用数学思想方法有：1、数形结合的思想方法2、分类讨论的思想方法3、函数与方程的思想方法4、转化（化归）的思想方法5、分类讨论的思想方法6、整体的思想方法。
更多数学思维方法，请参阅《高中数学_快速解题的六种数学思维方法》。
一、数形结合的数学思想方法数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。
如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
1、导读：2、相关内容：3、再现性题组：1.如果θ是第二象限的角，且满足cos θ2－sinθ2＝1-sinθ,那么θ2是_____。
A.第一象限角B.第三象限角C.可能第一象限角，也可能第三象限角D.第二象限角2.如果实数x、y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么yx的最大值是_____。
A. 12B.33C.32D. 34、巩固性题组：1.已知5x＋12y＝60，则x y22+的最小值是_____。
A. 6013 B. 135C. 1312D. 12.方程2x＝x2＋2x＋1的实数解的个数是_____。
A. 1B. 2C. 3D.以上都不对3.方程x＝10sinx的实根的个数是_______。
二、分类讨论的数学思想方法①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。
如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。
这种分类讨论题型可以称为概念型。
②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。
高考数学复习 分类讨论思想、转化与化归思想
第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想数学思想解读1.分类讨论的思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.热点一 分类讨论思想的应用应用1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【例1】 (1)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________； (2)在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________. 解析 (1)若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，解得a ＝2，m ＝12. 此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意. 若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ， 故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意.(2)当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92，显然成立.当q ≠1时，由a 3＝32，S 3＝92，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32， ①a 1（1＋q ＋q 2）＝92， ②由①②，得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0， 所以q ＝－12或q ＝1(舍去).当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6， 综上可知，a 1＝32或a 1＝6. 答案 (1)14 (2)32或6探究提高 1.指数函数、对数函数的单调性取决于底数a ，因此，当底数a 的大小不确定时，应分0<a <1，a >1两种情况讨论.2.利用等比数列的前n 项和公式时，若公比q 的大小不确定，应分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n 项和公式决定的.【训练1】 (1)(2017·长沙一中质检)已知S n 为数列{a n }的前n 项和且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( ) A.8 B.10 C.16D.32(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧sin （πx 2），－1<x <0，e x －1，x ≥0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能取值的集合是________.解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2. 因为S n ＝2a n －2，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，两式相减得，a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，则数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列， 则S 5－S 4＝a 5＝25＝32. (2)f (1)＝e 0＝1，即f (1)＝1. 由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，所以a ＝1. 当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， 所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z ).所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12， 因为－1<a <0，所以a ＝－22. 则实数a取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1.答案 (1)D(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1 应用2 由图形位置或形状引起的分类讨论【例2】 (1)(2017·昆明一中质检)已知双曲线的离心率为233，则其渐近线方程为________；(2)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于________. 解析 (1)由于e ＝c a ＝233，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝43，则a 2＝3b 2， 若双曲线焦点在x 轴上，渐近线方程y ＝±33x . 若双曲线焦点在y 轴上，渐近线方程y ＝±3x .(2)不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0. 若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32. 答案 (1)y ＝±3x ，或y ＝±33x (2)12或32探究提高 1.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论.2.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.【训练2】 设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________.解析 若∠PF 2F 1＝90°.则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2， 又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20， 所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.答案 72或2应用3由变量或参数引起的分类讨论【例3】已知f(x)＝x－a e x(a∈R，e为自然对数的底).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.解(1)f′(x)＝1－a e x，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)是(－∞，＋∞)上的单调递增函数；当a>0时，由f′(x)＝0得x＝－ln a，所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上的单调递增，在(－ln a，＋∞)上的单调递减.(2)f(x)≤e2x⇔a≥xe x－ex，设g(x)＝xe x－ex，则g′(x)＝1－e2x－xe x.当x<0时，1－e2x>0，g′(x)>0，∴g(x)在(－∞，0)上单调递增.当x>0时，1－e2x<0，g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减.所以g(x)max＝g(0)＝－1，所以a≥－1.故a的取值范围是[－1，＋∞).探究提高 1.(1)参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.本题中参数a与自变量x的取值影响导数的符号应进行讨论.(2)解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在，涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论.2.分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”.【训练3】(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a－1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1). 热点二 转化与化归思想 应用1 特殊与一般的转化【例4】 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( ) A.2a B.12a C.4aD.4a(2)(2017·浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.解析 (1)抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a .过焦点F 作直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a ，∴1p ＋1q ＝4a .(2)由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)， 则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ). 令y ＝|a ＋b |＋|a －b | ＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20].由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25， (|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5. 答案 (1)C (2)4 2 5探究提高 1.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.2.对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.【训练4】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________.解析 令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝12＋121＋12×12＝45.答案 45应用2 函数、方程、不等式之间的转化【例5】 已知函数f (x )＝3e |x |，若存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得对任意的x ∈[1，m ]，m ∈Z 且m >1，都有f (x ＋t )≤3e x ，试求m 的最大值. 解 ∵当t ∈[－1，＋∞)且x ∈[1，m ]时，x ＋t ≥0， ∴f (x ＋t )≤3e x ⇔e x ＋t ≤e x ⇔t ≤1＋ln x －x .∴原命题等价转化为：存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得不等式t ≤1＋ln x －x 对任意x ∈[1，m ]恒成立.令h (x )＝1＋ln x －x (1≤x ≤m ). ∵h ′(x )＝1x －1≤0，∴函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数， 又x ∈[1，m ]，∴h (x )min ＝h (m )＝1＋ln m －m . ∴要使得对任意x ∈[1，m ]，t 值恒存在， 只需1＋ln m －m ≥－1.∵h (3)＝ln 3－2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·3e >ln 1e ＝－1， h (4)＝ln 4－3＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·4e 2<ln 1e ＝－1，又函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数， ∴满足条件的最大整数m 的值为3.探究提高 1.函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助.2.解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.【训练5】 (2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上.若P A → ·PB → ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________.解析 设点P (x ，y )，且A (－12，0)，B (0，6).则P A → ·PB → ＝(－12－x ，－y )·(－x ，6－y )＝x (12＋x )＋y (y －6)≤20， 又x 2＋y 2＝50， ∴2x －y ＋5≤0，则点P 在直线2x －y ＋5＝0上方的圆弧上(含交点). 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋5，x 2＋y 2＝50，解得x ＝－5或x ＝1，结合图形知，－52≤x ≤1.故点P 横坐标的取值范围是[－52，1]. 答案 [－52，1]应用3 正与反、主与次的转化【例6】 (1)若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________；(2)对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，不等式x 2＋px >4x ＋p －3恒成立，则x 的取值范围是________.解析 (1)g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数， 则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立. 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x .当x ∈(t ，3)时恒成立，∴m ＋4≥2t －3t 恒成立， 则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373. ∴使函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. (2)设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0.所以x ≠1.f (p )在0≤p ≤4上恒正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）（x －1）>0，x 2－1>0，解得x >3或x <－1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 (2)(－∞，－1)∪(3，＋∞)探究提高 1.第(1)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从后面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.2.第(2)题是把关于x 的函数转化为在[0，4]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是参数.【训练6】 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数.对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________.解析 由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）<0，φ（－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x <1.故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，11.分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思想，降低问题难度.常见的分类讨论问题：(1)集合：注意集合中空集∅讨论.(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分a ＞1和0＜a ＜1的讨论，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论，对称轴位置的讨论，判别式的讨论.(3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n ＞1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论.(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论.(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论.(7)平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论.(8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.2.转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.。
数学四大思想
数学重要的思想方法:
1．数形结合的思想
2.函数与方程的思想：函数与方程可以相互转化，注意运用函数与方程的思想解决问题；3。
分类讨论的思想在求解数学问题中,遇到下列情形常常要进行分类讨论．
①涉及的数学概念是分类定义的；
②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；
③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性;
④由运算的限制条件引起的分类．
⑤由实际问题的实际意义引起的分类．
⑥数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值会导致不同的结果．
⑦较复杂的或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的．
⑧由图形的不确定性引起分类
4．转化与化归的思想
在处理问题时，把待解决或难解决的问题,采用某种手段通过某种转化过程，将问题进行变换和转化，归结为一类已经解决或容易解决的熟知问题，进而实现解决问题的目的，就是转化与化归的思想方法．这种思想方法一般总是将复杂的问题变换转化为简单的问题,把抽象的问题转化为具体的问题，把未知的问题转化为已知的问题，把难解的问题转化为容易求解的问题，从而找到解决问题的突破口，转化在高中数学中具有神奇的威力，要在今后的学习中不断体会、总结、积累，逐步形成能力．。
第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想1
A.-
3
3 2
B.
3
3 2
C.-
3
4 2
D.
3
4 2
关闭
若 q=1,则有 S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1,但 a1≠0,即得 S3+S6≠2S9,与题设矛 盾,故 q≠1.又依题意 q3(2q6-q3-1)=0,即(2q3+1)· (q3-1)=0,因为 q≠1, 所以 q3-1≠0,则 2q3+1=0, 解得 q=- 2 . C
第一部分
应用一 应用二 应用三
一、分类讨论思想
思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳
-14-
突破训练x 3若函数f(x)=aex-x-2a有两个零点 ,则实数a的取值范围 x 函数 f(x)=ae -x-2a 的导函数 f'(x)=ae -1, 是( ) 当 a≤0 时,f'(x)≤0 恒成立,函数 f(x)在 R 上单调,不可能有两个零点;
当 a>0 时,g(x)的对称轴 x=-2������<0,g(x)在(0,1)内单调递增,符合题 意, 当 a<0 时,需满足 g(x)的对称轴
1 x=-2������
≥1,解得
1 a≥-2,综上
1 a≥-2.
1 - ,+∞ 2
关闭
解析
答案
第一部分
应用一 应用二 应用三
一、分类讨论思想
思想方法诠释 思想分类应用 应用方法归纳
1
综上:①当 0<a< 时,f(x)在区间 1, , + ∞ 上单调递增;
1 1 1 1-2 ������ ������
上单调递减,在区间(0,1)和
②当 a=3时,f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增; ③当3<a<2时,f(x)在区间
2020.2.8分类讨论、转化与化归思想
的取值范围是( D ).
( A) (, 1) (B) (0, 1) (C) (,0) (D) (0, )
e
e
例 2.( P8 例 3) 在△ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为
a、b、c, 已知 a
5, △ABC
的面积 S△ABC
25 4
3
,
且 b2 c2 a2 ac cosC c2 cos A, 则 sin B sinC (C ).
3. 若关于 x 的方程 x2 1 x2 kx 0 在 (0, 2) 上有 两个不同的实数解,则实数 k 的取值范围为_(_1_,_72. )
4.( P5 对 2)已知抛物线 x2 2 y 上一点 P 到焦点 F 的距 离为 1， M、N 是直线 y 2 上的两点，且 MN 2 ，
分类讨论、转化与化归思想
专题点拔(3分钟）及学生练习(15分钟）
例1(7分钟）
例2(7分钟）
补充练习1，2，3，4
补充练习5，6，7
分类讨论、转化与化归思想
分类讨论，就是对研究对象进行分类讨论求解的思想。
转化与化归,就是利用各种转化处理问题的思想。
注:1.能不分类就不分;分类先易后难、标准统一、层次分明.
2.不通思变、化陌生为熟悉；能简则简、化难为易.
数学大师波利亚强调：“不断地变换你的问题”，“我们 必须一再变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找 到某些有用的东西为止”.
思考: P6 对 3、 P8 例 3
例 1.( P6 对 3) 若函数 f ( x) ae x x 2a 有两个零点，则实数 a
(D) 2 3 3
6.已知函数 f ( x) ( x 1)ln x a( x 1) . 2x y 2 0
高中数学：统计中的数学思想
高中数学：统计中的数学思想统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据。
进行统计分析数据时，往往蕴含着许多数学思想。
一、转化与化归思想统计的基本思想是用样本去估计总体，也就是用有代表性的一部分来估计整体的情况，再由分析得出的整体情况去解决问题。
这正体现了转化与化归的思想方法。
例1 北京市某机构要调查2008年北京市高考试题的解答情况，需要对所有参加高考的北京市考生一一进行分析吗？解：显然不是，因为考生太多，全部分析工作量大，费时长。
实际做法是抽取部分考生的解答情况（比如在各区或各类不同学校中抽取），然后估计所有考生的解答情况。
由此可见，从普查（整体）到抽样调查（部分）是社会生活中常用的、省时省力的有效办法，体现出由部分向整体转化的思想方法在统计领域中应用的普遍性。
［点评］在统计中，需要细致地研究样本数据的数字特征，以便对总体做准确的估计。
由于样本选取的随机性，会带来样本数据的随机性，但为了研究它，就要尽量的把它转化为确定的问题加以解决。
二、数形结合思想数形结合是统计内容的一个很突出的特点，获取了一个科学样本后，需要对样本数据进行整理分析，为了使样本的数据特征更直观，我们经常需要做图、读图。
通过图看出样本数据的分布状况、数据的变化趋势、变量间的关系，进而估计总体的状况。
例2 如下表中给出5组数据（x，y），从中选出4组使其线性相关系数最大，且保留第1组（－5，－3），那么，应去掉第___________组。
1 2 3 4 5－5 －4 －3 －2 4－3 －2 4 －1 6 解：画出散点图，如图所示，应去掉第3组。
［点评］解决此类问题直接从表中不容易观察到，而通过画散点图，借助于图形的直观性可简捷获解。
三、分类讨论思想分类讨论是解决统计问题的一种重要的数学思想，体现在进行抽样调查时，根据不同的样本数据抽取情况选择不同的抽样方法。
例3 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点。
数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合
数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；函数与方程函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。
有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。
宇宙世界，充斥着等式和不等式。
我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。
而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。
可以说，函数的研究离不开方程。
列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。
它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。
一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。
在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。
对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。
另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。
我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
高中数学基本数学思想
高中数学基本数学思想1.转化与化归思想:是把那些待解决或难解决的问题化归到已有知识范围内可解问题的一种重要的基本数学思想.这种化归应是等价转化,即要求转化过程中的前因后果应是充分必要的,这样才能保证转化后所得结果仍为原题的结果. 高中数学中新知识的学习过程,就是一个在已有知识和新概念的基础上进行化归的过程.因此,化归思想在数学中无处不在. 化归思想在解题教学中的的运用可概括为:化未知为已知,化难为易,化繁为简.从而达到知识迁移使问题获得解决.但若化归不当也可能使问题的解决陷入困境. 例证2.逻辑划分思想(即分类与整合思想):是当数学对象的本质属性在局部上有不同点而又不便化归为单一本质属性的问题解决时,而根据其不同点选择适当的划分标准分类求解,并综合得出答案的一种基本数学思想.但要注意按划分标准所分各类间应满足互相排斥,不重复,不遗漏,最简洁的要求. 在解题教学中常用的划分标准有:按定义划分;按公式或定理的适用范围划分;按运算法则的适用条件范围划分;按函数性质划分;按图形的位置和形状的变化划分;按结论可能出现的不同情况划分等.需说明的是: 有些问题既可用分类思想求解又可运用化归思想或数形结合思想等将其转化到一个新的知识环境中去考虑,而避免分类求解.运用分类思想的关键是寻找引起分类的原因和找准划分标准. 例证3. 函数与方程思想(即联系思想或运动变化的思想):就是用运动和变化的观点去分析研究具体问题中的数量关系,抽象其数量特征,建立函数关系式,利用函数或方程有关知识解决问题的一种重要的基本数学思想.4. 数形结合思想:将数学问题中抽象的数量关系表现为一定的几何图形的性质(或位置关系);或者把几何图形的性质(或位置关系)抽象为适当的数量关系,使抽象思维与形象思维结合起来,实现抽象的数量关系与直观的具体形象的联系和转化,从而使隐蔽的条件明朗化,是化难为易,探索解题思维途径的重要的基本数学思想.5. 整体思想:处理数学问题的着眼点或在整体或在局部.它是从整体角度出发,分析条件与目标之间的结构关系,对应关系,相互联系及变化规律,从而找出最优解题途径的重要的数学思想.它是控制论,信息论,系统论中“整体—部分—整体”原则在数学中的体现.在解题中,为了便于掌握和运用整体思想,可将这一思想概括为:记住已知(用过哪些条件?还有哪些条件未用上?如何创造机会把未用上的条件用上?),想着目标(向着目标步步推理,必要时可利用图形标示出已知和求证);看联系,抓变化,或化归;或数形转换,寻求解答.一般来说,整体范围看得越大,解法可能越好.在整体思想指导下,解题技巧只需记住已知,想着目标, 步步正确推理就够了.中学数学中还有一些数学思想,如：集合的思想;补集思想;归纳与递推思想;对称思想;逆反思想;类比思想;参变数思想有限与无限的思想；特殊与一般的思想。
专题七讲分类讨论思想、转化与化归思想课件理
物理中的应用实例
分类讨论思想
在物理学中，分类讨论思想同样有着广泛的应用。例如，在研究物体的运动时， 可以根据物体的运动状态（静止、匀速直线运动、变速运动）进行分类讨论；在 研究电路时，可以根据电路的连接方式（串联、并联）进行分类讨论。
转化与化归思想
在物理学中，转化与化归思想的应用也很多。例如，在研究能量守恒定律时，可 以将复杂的能量转化过程转化为简单的能量计算；在研究力学问题时，可以将复 杂的受力分析转化为简单的力矩平衡问题。
在分类讨论中，需要明确分类的标准 和原则，将问题划分为具有相同性质 的子问题，然后逐一分析、解决。
分类讨论思想的重要性
分类讨论思想能够使问题更加清 晰、具体，有助于深入理解问题
的本质。
通过分类讨论，可以将复杂问题 分解为简单问题，降低问题的难
度，提高解决问题的效率。
分类讨论有助于发现新的解题思 路和方法，促进数学思维的发展
在物理、化学等学科中，转化与化归思想同样适用，如将复杂物理现象转化为数学 模型，化学反应方程式的配平等。
在生活中，转化与化归思想也有很多应用，如将复杂问题分解为多个简单问题，将 繁琐事务整理为有序的工作流程等。
如何培养转化与化归思想
培养转化与化归思想需要多做练习， 通过不断尝试和总结，提高自己的思 维能力和解决问题的能力。
04 分类讨论思想与转化与化 归思想的综合应用
综合应用的步骤和方法
明确问题
首先需要明确问题的类型和涉 及的知识点，确定是否需要采 用分类讨论或转化与化归思想
。
制定策略
根据问题的特点，制定合适的 分类标准或转化途径，将复杂 问题分解为若干个简单问题或 等价问题。
实施解决
对分类后的子问题进行逐一解 决，或对转化后的等价问题进 行求解，注意保持逻辑严密和 推理准确。
新数学二轮总复习第3讲分类讨论思想转化与化归思想学案含解析
第3讲分类讨论思想、转化与化归思想分类讨论思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题中发挥着重要作用,大大提高了学生的解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透,并快速找准突破点.充分利用分类讨论思想将复杂问题分解成若干题目涉及的知识角度进行求解。
解题时要注意,按主元分类的结果应求并集,按参数分类的结果要分类给出.思想方法诠释1。
分类讨论的思想含义分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的结果.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.2.分类讨论的原则(1）不重不漏；(2)标准要统一，层次要分明;(3)能不分类的要尽量避免,决不无原则地讨论.3。
分类讨论的常见类型（1）由数学概念而引起的分类讨论;(2)由数学运算要求而引起的分类讨论;（3）由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论；(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论；（5)由参数的变化而引起的分类讨论；（6)由实际意义引起的讨论。
思想分类应用应用一 由数学的概念、定理、公式引起的分类讨论【例1】(1）(2020安徽合肥二模，文10）记F 1，F 2为椭圆C :x 2x+y 2=1的两个焦点，若C 上存在点M 满足xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则实数m 的取值范围是( )A.(0,12]∪［2，+∞） B.[12,1)∪［2,+∞)C 。
(0,12]∪（1,2］D 。
[12,1)∪(1，2］（2）设等比数列{a n ｝的公比为q ，前n 项和S n 〉0(n=1,2,3,…),则q 的取值范围是 。
思维升华1.在中学数学中，一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，基本不等式，等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.2。
数学思想有哪些
一、转化与化归思想转化与化归思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中。
转化与化归思想是在研究和解决数学问题时采用某种方式，如借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将，问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。
转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。
应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化。
常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化。
二、数形结合思想在数学学习中，我们会运用到很多数学思想方法，其中数形结合是数学解题中最常用的思想方法之一。
运用数形结合的思想，我们可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，这样很多问题便迎刃而解，且解法容易理解和消化。
数形结合思想当中“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。
数形结合思想在中学数学中占有非常重要的地位，我们在应用数形结合思想解决问题，应充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。
三、分类讨论思想分类讨论思想也是我们接触接触比较多的数学思想，它是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决。
分类讨论思想方法我们在很多数学内容里都能找到它的影子，它依据一定的标准，对问题进行分类、求解。
分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的表述时，按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论，分类讨论思想有利于学会完整地考虑问题，化整为零地解决问题。
浅析高考数学的四种常见思想
ａ ． ＋ａ ３ ＝５ ， ａ １ ａ ３ ＝４由递 增 ，
，
（ ｂ － ａ ３ ） ． ｆ ６ － ａ ３ － ￣ － ） ＝ ０ ， 选 ｃ ．
本 题 主 要 考 查 的 知 识 点是 直 线 与 圆 的 位置关 系， 对 于 直 角位 置 的 不 确 定 性 分 情 况 分 析 运 用 的 是 分 类讨 论 的 数 学 思 想 ， 试
一
２
ｃ： ＋ ＝ｌ （ ａ ＞ｂ ＞０ ） 的 左 焦 点 为 Ｆ， ｃ与 题 ； （ ２ ） 对 由数 学 概念 引起 的 分 类讨 论 问题 ，
日 Ｄ一
过 原 点 的直 线 相 交 于 Ｂ两 点 ， 连 接 Ｆ ，
ＢＦ
。
若 ｌ Ａ Ｂ １ ＝ １ ０ ， ｌ Ａ Ｆ ｌ ＝ ６ ，
学策略 ， 在 高 考 命 题 中 有 着 非 常 重 要 的 地 位， 主要考查“ 以形 助数” 和“ 以数助形 ” 在
考 查 数 形 结 合 思 想 在 意 识 的 培 养 学 生 应 用 数 学 思 想 方 法 分 析 解 决 问 题 中 的 应 用 ， 问题 和 解 决 问题 ， 这 对 于 解 题 往 往 起 着 事半功倍 的效果。 高 考 试 题 主 要 考 查 的 数 学 思 想 方 法 有 函 数 与 方程 的 思 想 、 数 形 结 合的 思想 、 分 类讨论 的思想 、 以 及 转 化 与
解析 ： 易 知 Ａ…Ｏ Ｏ （ ｄ ， ａ 一ｂ ） ， 且ｂ
≠ ０． 口≠ ０．
ｃ． （ 一Ｏ ０ ， 一 １ ） Ｄ． （ ～。 。 ， ＋ｏ 。 ）
设ｌ ， Ｉ ： ， 由 余弦 定 理 ， 得：
解析 ： 此 题 考 查 不 等式 的 解 法 ， 考 查 学
【高中数学】高中数列知识蕴含的主要数学思想
【高中数学】高中数列知识蕴含的主要数学思想1.函数思想由于一般的项公式、第一个n项和序列的公式都是关于n的函数的，所以可以从函数的角度，利用函数的思想来解决一些序列问题，相关的问题有：序列的单调性、求基本量、最大值、，利用序列对应函数的特征和序列对应函数的性质可以解决上述问题2.方程思想在等差和等比的顺序中有五个基本量。
利用方程的思想，我们可以“知三求二”，当一些量已知时，其他量可以通过一系列方程或方程来求解。
此外，本章中常用的待定系数法实际上是方程思想的体现3.转化与化归思想本章中变换思想的应用主要体现在将非特殊序列问题转化为特殊序列问题求解上。
例如，递归序列的通项公式可以通过构造转化为特殊序列的通项公式，而非特殊序列的求和问题可以转化为特殊序列的求和问题，它是指将相等数量的项目或研究对象转化为相等数量的点，例如相等数量序列或最差数量序列的基础4.分类讨论思想本章分类讨论的思想主要体现在解决一些参数级数问题，尤其是比例级数的求和或相关问题上。
如果包括参数，我们不能忽视q=1的讨论5.数形结合思想借助于序列对应函数的图像，解决一些问题将非常直观和快速。
例如，为了解决算术序列前n项之和的最大值问题，我们可以组合二次函数的图像6.归纳思想归纳思维是指从本章中的个别事实中归纳出一般结论的数学思维，根据序列的前几项归纳出序列的一般术语公式，图的归纳数是根据图的归纳数或归纳数在图中的应用7.类比思想类比思维指的是一种数学思维，即一种对象具有某些特征，而一个相似的对象也具有这些特征。
它的推理方式是从特殊推理到特殊推理，作为两种特殊数列，等差数列和等比数列有许多相似之处。
例如，在等差数列中，if，then；在比例数列中，如果，那么通过类比可以得出许多有用的结论，并且可以发现许多有趣的性质8.整体思想在研究序列（即等距或比例序列的前k项之和）时，我们使用整体思想，即将其视为序列中的一项，依此类推，我们可以得到序列的特征首页上一页12下一页末页共2页。
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[微题型 2]
由图形或图象位置不同引起的分类讨论
x2 y2 【例 1－2】 设 F1，F2 为椭圆 9 ＋ 4 ＝1 的两个焦点，P 为椭圆 上一点． 已知 P， F1， F2 是一个直角三角形的三个顶点， 且|PF1| |PF1| ＞|PF2|，求|PF |的值． 2
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[微题型4] 由字母参数引起的分类讨论
【例1－4】 已知函数f(x)＝ln x－a2x2＋ax(a∈R)．
(1)求f(x)的单调区间与极值； (2)若函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范 围．
解 (1)函数 f(x)＝ln x－a2x2＋ax 的定义域为(0，＋∞)，
＋ －1
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nqn 1－n＋1qn＋1 于是，S1＋2＋3＋„＋n＝ 2 . nn＋1 2 所以，Sn＝ n＋1 n nq － n ＋ 1 q ＋1 2 q － 1 q＝1， q≠1.
－
Sn＝1· q0＋2· q1＋3· q2＋„＋n· qn－1. 若 q≠1，将上式两边同乘 q，得 qSn＝1· q1＋2· q2＋„＋(n－1)· qn－1＋n· qn. 两式相减，得(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－„－qn
n n 1 n q － 1 nq － n ＋ 1 q ＋1 n ＝nq － ＝ . q－1 q－1
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(2)由(1)可知：(ⅰ)当 a＝0 时，f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增， 不合题意， (ⅱ)当 a＞0 时，
1 f(x)的单调递减区间为a，＋∞，
1 ≤1， 依题意，得a 得 a≥1. a＞0，
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2 2 － 2 a x ＋ax＋1 1 2 f ′(x)＝x－2a x＋a＝ x
－2ax＋1ax－1 ＝ x
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1 (ⅰ)当 a＝0 时，f ′(x)＝x ＞0， 所以 f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)， 此时 f(x)无极值． 1 1 (ⅱ)当 a＞0 时，令 f′(x)＝0，得 x＝a或 x＝－2a(舍去)．
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若∠F1PF2＝90° ，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2， ∴|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20， ∴|PF1|＝4，|PF2|＝2， |PF1| ∴|PF |＝2. 2 |PF1| 7 综上知，|PF |＝2或 2. 2
1 f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 0，－2a ， 单 调 递 减 区 间 为
1 － ，＋∞，所以 2a
f(x)有极大值为
1 f－2a＝
1 3 3 ln－2a－4＝－ln(－2a)－4，无极小值．
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探究提高 (1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按
直角顶点不同的位置进行讨论．(2)涉及几何问题时，由于几何 元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行 分类讨论．
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解 (1)设数列{an}的公差为 d，由已知，得
3a1＋3d＝6， 8a1＋28d＝－4， a1＝3， 解得 d＝－1.
故 an＝3－(n－1)＝4－n.
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(2)由(1)可得 bn＝n· qn 1，于是
1 1 f(x)的单调递增区间为0，a， 单调递减区间为a，＋∞， 所以 f(x)
有极大值为
1 fa＝－ln
a，无极小值．
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1 1 (ⅲ)当 a＜0 时，令 f′(x)＝0，得 x＝a(舍去)或 x＝－2a， 所以
数的底数与真数的限制，方程(不等式)的运算与根的大小比较，
含参数的取值不同会导致所得结果不同等．
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(4)由图形的不确定性引起的分类：有的图形的形状、位置关系
需讨论，如二次函数图象的开口方向，点、线、面的位置关 系，曲线系方程中的参数与曲线类型等． 分类讨论思想，在近年高考试题中频繁出现，涉及各种题型， 已成为高考的热点，考查的重点是含参数函数性质、不等式(方 程 ) 问题，与等比数列的前 n 项和有关的计算推理，点、线、面 的位置以及直线与圆锥曲线的位置关系不定问题等．
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热点一 分类讨论思想在解题中的应用 [微题型 1] 数学概念与运算引起的分类讨论
2 sinπx ，－1＜x＜0， f(x)＝ x－1 e ，x≥0.
【例 1－1】函数
若 f(1)＋f(a)＝2，
则 a 的所有可能值为________．
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(ⅲ)当 a＜0 时，
1 f(x)的单调递减区间为－2a，＋∞，
1 － ≤1， 1 2 a 依题意，得 得 a≤－2. a＜0， 综上，实数 a
1 的取值范围是－∞，－2∪[1，＋∞)．
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探究提高 (1)利用等比数列的前 n项和公式时，需要分公比q＝1
和q≠1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n项和公式决定 的．一般地，在应用带有限制条件的公式时要小心，根据题目 条件确定是否进行分类讨论． (2)由性质、定理、公式等引起的讨论，主要是应用的范围受限 时，存在多种可能性．
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解析
(1)f(1)＝e0＝1，即 f(1)＝1.
由 f(1)＋f(a)＝2，得 f(a)＝1. 当 a≥0 时，f(a)＝1＝ea 1，∴a＝1.
－
当－1＜a＜0 时，f(a)＝sin(πa2)＝1， π ∴πa ＝2kπ＋2(k∈Z)．
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2．转化与化归思想 化归与转化是指在处理问题时，把待解决或难解决的问题通
过某种方式转化为一类已解决或比较容易解决的问题的一种
思想方法，它是研究和解决数学问题的核心思想，化归与转 化思想方法的特点是具有灵活性和多样性．在应用化归与转 化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式，它 可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换．在实际解题
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【训练1】 (2014·洛阳统一考试)已知圆心为F1的圆的方程为(x＋
2)2＋y2＝32，F2(2,0)，C是圆F1上的动点，F2C的垂直平分线 交F1C于M. (1)求动点M的轨迹方程； (2)设N(0,2)，过点P(－1，－2)作直线l，交M的轨迹于不同于 N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1 ＋k2为定值．
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[微题型3] 由定理、性质、公式等引起的分类讨论
【例1－3】 已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{an}的通项公式； (2) 设 bn ＝ (4 － an)qn － 1(q≠0 ， n∈N*) ，求数列 {bn} 的前 n 项和 Sn.
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安全文明网 / 2016安全文明驾驶常识模拟考试 安全文明驾驶常识2016 年安全文明驾驶常识模拟 2016文明驾驶 2016文明驾驶考题 安全文明网 /kaoshi/mn/ 科四安全文明驾驶考试 安全文明网 /kaoshi/c1/ c1安全文明驾驶考试 安全文明网 /kaoshi/b2/ b2安全文明驾驶考试 安全文明网 /kaoshi/a1/ a1安全文明驾驶考试 科目4考试 /kaoshi/a2/ a2安全文明驾驶考试 科目四考试 /kaoshi/cs/ 安全文明驾驶常识考试
2
1 1 2 ∴a ＝2k＋2(k∈Z)，k 只取 0，此时 a ＝2，
2
2 ∵－1＜a＜0，∴a＝－ 2 .
2 答案 1，－ 2
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探究提高 (1)分段函数在自变量不同取值范围内，对应关系不
同，必需进行讨论．由数学定义引发的分类讨论一般由概念内 涵所决定，解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外 延．(2)在数学运算中，有时需对不同的情况作出解释，就需要 进行讨论，如解二次不等式涉及到两根的大小等．
过程中，实施化归与转化时，我们要遵循以下五项基本原
则： (1) 化繁为简的原则； (2) 化生为熟的原则； (3) 等价性原 则；(4)正难则反原则；(5)形象具体化原则．