【数学】2015年江苏省无锡市高三(上)期末数学试卷和解析

2014-2015学年江苏省无锡市高三上学期数学期末试卷二、填空题（本大题共有14个小题，每小题5分，共70分）1．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z=1+i，则z的模为．2．（5分）已知集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|﹣1≤x≤3}，则A∩B=．3．（5分）已知角α的终边经过点P（x，﹣6），且tanα=﹣，则x的值．4．（5分）根据如图所示的流程图，则输出的结果i为．5．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．6．（5分）若一组样本数据8，x，10，11，9，的平均数为10，则该组样本数据的方差为．7．（5分）已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率等于．8．（5分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE 的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=．9．（5分）将函数的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是．10．（5分）已知菱形ABCD边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC 上，=，=，若•=﹣1，则λ=．11．（5分）已知正实数a，b满足9a2+b2=1，则的最大值为．12．（5分）已知数列{a n}的首项a1=1，前n项的和为S n，且满足2a n+1+S n=2（n ∈N*）．则满足＜＜的n的最大值为．13．（5分）已知点A（0，2）为圆M：x2+y2﹣2ax﹣2ay=0外一点，圆M上存在点T使得∠MAT=45°，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共有6个小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．（1）当∥时，求tan（x﹣）的值；（2）设函数f（x）=2（+）•，当x∈[0，]时，求f（x）的值域．16．（14分）如图，过四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形木块上底面内的一点P和下底面的对角线BD将木块锯开，得到截面BDEF．（1）请在木块的上表面作出过P的锯线EF，并说明理由；（2）若该四棱柱的底面为菱形，四边形BB1D1D是矩形，试证明：平面BDEF⊥平面A1C1CA．17．（14分）某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？18．（16分）已知椭圆C：+=1的上顶点为A，直线l：y=kx+m交椭圆P，Q两点，设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2．（1）若m=0，时求k1•k2的值；（2）若k1•k2=﹣1时，证明直线l：y=kx+m过定点．19．（16分）在数列{a n}、{b n}中，已知a1=0，a2=1，b1=1，b2=，数列{a n}的=n2，2T n+2=3T n+1﹣T n，前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n，且满足S n+S n+1其中n为正整数．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；成立？若存在，求出所有符（2）问是否存在正整数m，n，使＞1+b m+2合条件的有序实数对（m，n）若不存在，请说明理由．20．（16分）设函数f（x）=x2lnx﹣ax2+b在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣x+b．（Ⅰ）求实数a及x0的值；（Ⅱ）求证：对任意实数b∈（0，），函数f（x）有且仅有两个零点．附加题选做题：请在21-24题选定其中两题，若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明或演算步骤。

选修4-1几何证明选讲21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-2：矩阵与变换22．已知矩阵M=，试求：（Ⅰ）矩阵M的逆矩阵M﹣1；（Ⅱ）直线y=2x在矩阵M﹣1对应的变换作用下的曲线方程．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知半圆C的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，]．（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C的极坐标方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设T是半圆C上一点，且OT=，试写出T点的极坐标．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（I）当a=2时，解不等式f（x）≥4．（Ⅱ）若不等式f（x）≥2a恒成立，求实数a的取值范围．【必做题】每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤25．如图，抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（2，1），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若∠APB的平分线垂直于y轴，证明直线AB的斜率为定值．26．已知整数n≥3，集合M={1，2，3，…，n}的所有含有3个元素的子集记为A 1，A2，A3，…，A，设A1，A2，A3，…，A中所有元素之和为S n．（Ⅰ）求S3，S4，S5，并求出S n；（Ⅱ）证明：S3+S4+S…+S n=6C n+25．2014-2015学年江苏省无锡市高三上学期数学期末试卷参考答案与试题解析二、填空题（本大题共有14个小题，每小题5分，共70分）1．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z=1+i，则z的模为1．【解答】解：∵（1﹣i）z=1+i，∴===i．∴|z|=1．故答案为：1．2．（5分）已知集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|﹣1≤x≤3}，则A∩B={﹣1，1，3} ．【解答】解：∵A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|﹣1≤x≤3}，∴A∩B={﹣1，1，3}，故答案为：{﹣1，1，3}．3．（5分）已知角α的终边经过点P（x，﹣6），且tanα=﹣，则x的值．【解答】解：由三角函数的定义可知，==，所以x=10．故答案为：10．4．（5分）根据如图所示的流程图，则输出的结果i为7．【解答】解：执行程序框图，可得i=0，s=0满足条件s≤20，s=0，i=1满足条件s≤20，s=1，i=2满足条件s≤20，s=3，i=3满足条件s≤20，s=6，i=4满足条件s≤20，s=10，i=5满足条件s≤20，s=15，i=6满足条件s≤20，s=21，i=7不满足条件s≤20，退出循环，输出i的值为7．故答案为：7．5．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．【解答】解：2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有共有=6种结果，其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故本数学书相邻的概率P=．故答案为：．6．（5分）若一组样本数据8，x，10，11，9，的平均数为10，则该组样本数据的方差为2．【解答】解：∵该组样本数据的平均数为10，∴（8+x+10+11+9）÷5=10，∴x=12，∴s2=（4+4+01+1）=2，故答案为：2．7．（5分）已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率等于．【解答】解：焦点在x轴上的双曲线=1的渐近线方程为y=x，由题意可得，=，即b=a，c===a，即有e==．故答案为：．8．（5分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=．【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，∴A到底面PBC的距离不变，底面BDE底面积是PBC面积的=，∴==．故答案为：．9．（5分）将函数的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是．【解答】解：设化简得=2sin（x+）令x+=+kπ，（k∈Z）可得函数图象的对称轴方程为x=+kπ（k∈Z），取k=0得x=是y轴右侧且距离y轴最近的对称轴因此，将函数图象向左平移m（m＞0）个长度单位后得到的图象关于y轴对称，m的最小值是故答案为：10．（5分）已知菱形ABCD边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，=，=，若•=﹣1，则λ=．【解答】解：由已知，，，因为•=﹣1，即（）（）=+=﹣1，已知菱形ABCD边长为2，∠BAD=120°，所以上式=2×2×cos120°﹣4λ+4λ+λ2×2×2×cos60°=﹣1，解得λ=11．（5分）已知正实数a，b满足9a2+b2=1，则的最大值为．【解答】解：∵正实数a，b满足9a2+b2=1，∴=≤=，当且仅当=时取等号．∴的最大值为．故答案为：．12．（5分）已知数列{a n}的首项a1=1，前n项的和为S n，且满足2a n+1+S n=2（n ∈N*）．则满足＜＜的n的最大值为9．+S n=2，【解答】解：∵2a n+1∴当n≥2时，2a n+S n﹣1=2，两式相减得2a n+1+S n﹣2a n﹣S n﹣1=2a n+1+a n﹣2a n=0，即2a n+1=a n，则=，（n≥2），当n=1时，2a2+S1=2，即2a2+1=2，则a2=，满足，即=，（n≥1），则数列数列{a n}是公比q=的等比数列，则S n==2[1﹣（）n]，S2n=2[1﹣（）2n]，则==1+（）n，由＜＜得＜1+（）n＜，即＜（）n＜，∵（）9=，（）8=，（）10=，∴满足条件的n=9，故答案为：9．13．（5分）已知点A（0，2）为圆M：x2+y2﹣2ax﹣2ay=0外一点，圆M上存在点T使得∠MAT=45°，则实数a的取值范围是≤a＜1或a≤．【解答】解：化圆的方程为标准方程可得（x﹣a）2+（y﹣a）2=2a2，∴圆的圆心为M（a，a），半径r=|a|，∴AM=，TM=|a|，∵AM和TM长度固定，∴当T为切点时，∠MAT最大，∵圆M上存在点T使得∠MAT=45°，∴若最大角度大于45°，则圆M上存在点T使得∠MAT=45°，∴=≥sin∠MAT=sin45°=，整理可得a2+2a﹣2≥0，解得a≥或a≤，又=≤1，解得a≤1，又点A（0，2）为圆M：x2+y2﹣2ax﹣2ay=0外一点，∴02+22﹣4a＞0，解得a＜1综上可得≤a＜1或a≤故答案为：≤a＜1或a≤14．（5分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是（，）．【解答】解：当0≤x≤2时，y=﹣x2递减，当x＞2时，y=﹣（）x﹣递增，由于函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，则f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递减，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递增，当x=0时，函数取得极大值0；当x=±2时，取得极小值﹣1．当0≤x≤2时，y=﹣x2∈[﹣1，0]．当x＞2时，y=﹣（）x﹣∈[﹣1，﹣）要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+=0的两根均在（﹣1，﹣）．则有，即为，解得＜a＜．即有实数a的取值范围是（，）．故答案为：（，）．三、解答题（本大题共有6个小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．（1）当∥时，求tan（x﹣）的值；（2）设函数f（x）=2（+）•，当x∈[0，]时，求f（x）的值域．【解答】解：（1）∥即有cosx+sinx=0，即tanx=﹣，tan（x﹣）===﹣7；（2）f（x）=2（+）•=2cosx（sinx+cosx）+=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，当x∈[0，]时，2x+∈[，]，即，则f（x）≤+，则f（x）的值域为[+]．16．（14分）如图，过四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形木块上底面内的一点P和下底面的对角线BD将木块锯开，得到截面BDEF．（1）请在木块的上表面作出过P的锯线EF，并说明理由；（2）若该四棱柱的底面为菱形，四边形BB1D1D是矩形，试证明：平面BDEF⊥平面A1C1CA．【解答】解：（1）在上底面内过点P作B1D1的平行线分别交A1D1、A1B1于F、E 两点，则EF即为所作的锯线．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱BB1∥DD1，且BB1=DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1∥BD．又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面BDFE∩平面ABCD=BD，平面BDFE∩平面A1B1C1D1=EF，所以EF∥BD，从而EF∥B1D1；（2）证明：由于四边形BB1D1D是矩形，所以BD⊥B1B．又A1A∥B1B，∴BD⊥A1A．又四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC．∵AC∩A1A=A，AC⊂平面A1C1CA，A1A⊂平面A1C1CA，∴BD⊥平面A1C1CA．∵BD⊂平面BDFE，∴平面BDFE⊥平面A1C1CA．17．（14分）某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？【解答】解：（Ⅰ）由题意知，y=（4+）p﹣x﹣6（p+），将p=代入化简得：y=19﹣﹣x（0≤x≤a）；（Ⅱ）y=22﹣（+x+2）≤22﹣3=10，当且仅当=x+2，即x=2时，上式取等号；当a≥2时，促销费用投入2万元时，该公司的利润最大；y=19﹣﹣x，y′=﹣，∴a＜2时，函数在[0，a]上单调递增，∴x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，该公司的利润最大．18．（16分）已知椭圆C：+=1的上顶点为A，直线l：y=kx+m交椭圆P，Q两点，设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2．（1）若m=0，时求k1•k2的值；（2）若k1•k2=﹣1时，证明直线l：y=kx+m过定点．【解答】解：（1）若m=0时，直线l：y=kx代入椭圆方程得到x2+2k2x2=4，∴P（﹣，﹣），Q（，），∴k1=，k2=，∴k1•k2=•=﹣；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l：y=kx+m代入椭圆C：+=1，整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∵k1•k2=﹣1，∴，∴（kx1+m）（kx2+m）﹣（kx1+m+kx2+m）+x1x2+2=0，代入化简可得3m2﹣2m﹣2=0，∴m=（舍）或m=﹣，∴直线l：y=kx+m过定点（0，﹣）．19．（16分）在数列{a n}、{b n}中，已知a1=0，a2=1，b1=1，b2=，数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n，且满足S n+S n+1=n2，2T n+2=3T n+1﹣T n，其中n为正整数．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）问是否存在正整数m，n，使＞1+b m+2成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对（m，n）若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵S n+S n+1=n2，∴n≥2时，S n﹣1+S n=（n﹣1）2，两式相减可得a n+a n+1=2n﹣1，a2+a1=1符合，∴a n+a n+1=2n﹣1，∴n≥2时，a n﹣1+a n=2n﹣3，两式相减可得a n+1﹣a n﹣1=2，∴数列{a n}的奇数项、偶数项都是公差为2的等差数列，∵a1=0，a2=1，∴a n=n﹣1．∵2T n+2=3T n+1﹣T n，∴2T n+2﹣2T n+1=T n+1﹣T n，∴2b n+2=b n+1，∵2b2=b1，∴2b n+1=b n，∴数列{b n}是公比为的等比数列，∴b n=；（2）由（1）T n=2﹣，∵＞1+b m+2成立，∴＞1+，∴2m+1＞（2﹣m）2n﹣2＞0，∴2＜（2﹣m）2n＜2+2m+1，∴m＜2，即m=1，此时，n=2，综上，所有符合条件的有序实数对（m，n）为（1，2）．20．（16分）设函数f（x）=x2lnx﹣ax2+b在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣x+b．（Ⅰ）求实数a及x0的值；（Ⅱ）求证：对任意实数b∈（0，），函数f（x）有且仅有两个零点．【解答】（Ⅰ）解：f′（x）=2xlnx+x﹣2ax，即有在点（x0，f（x0））处的切线斜率为k=2x0lnx0+x0﹣2ax0，由于在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣x+b，则有2x0lnx0+x0﹣2ax0=﹣1，x02lnx0﹣ax02+b=b﹣x0，解得x0=1，a=1；（Ⅱ）证明：函数f（x）=x2lnx﹣x2+b，b∈（0，），f′（x）=2xlnx﹣x，令f′（x）=0，解得x=，0＜x＜，f′（x）＜0，f（x）递减，x＞，f′（x）＞0，f（x）递增．即有f（x）在x=处取得极小值，也为最小值，且为f（）=e﹣e+b＜0，f（e）=e2﹣e2+b＞0，即有f（x）在（，e）一定有一解．下证f（x）在0＜x＜时，f（x）＞0．令h（x）=xlnx﹣x，h′（x）=lnx，0＜x＜1，h（x）递减，h（x）＞h（1）=﹣1，由f（x）=x（xlnx﹣x）+b=xh（x）+b，即有f（x）＞b﹣x，f（x1）＞b﹣x1＞0，可取b＜b的值，使f（x）＞0，且x趋向于0时，f（x）＞0，则有f（x）在（x1，）上一定有一解．综上所述，可得对任意实数b∈（0，），函数f（x）有且仅有两个零点．附加题选做题：请在21-24题选定其中两题，若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明或演算步骤。