高考物理二轮复习 板块一 专题突破复习 专题三 电场与磁场 第二讲 磁场及带电粒子在磁场中的运动学案

第二讲磁场及带电粒子在磁场中的运动[知识建构][高考调研]1.考查方向：①结合电流周围的磁场分布特点考查磁场的性质．②结合现代科学技术考查带电粒子在磁场中的运动．③结合几何关系考查带电粒子在有界磁场中的临界问题．2.常用的思想方法：①对称思想．②等效思想．③极限思想．④放缩法．⑤平移法．⑥旋转法．(2)(3)几种典型电流周围磁场分布考向一磁场对通电导体的作用力[归纳提炼]求解磁场中导体棒运动问题的思路(多选)(2017·全国卷Ⅰ)如图，三根相互平行的固定长直导线L1、L2和L3两两等距，均通有电流I，L1中电流方向与L2中的相同，与L3中的相反．下列说法正确的是( )A．L1所受磁场作用力的方向与L2、L3所在平面垂直B．L3所受磁场作用力的方向与L1、L2所在平面垂直C．L1、L2和L3单位长度所受的磁场作用力大小之比为1∶1∶ 3D．L1、L2和L3单位长度所受的磁场作用力大小之比为3∶3∶1[思路点拨] 首先判断直线电流的磁场及安培力，或者记住平行直线电流间作用规律，运用平行四边形法则，结合三角形知识解决．[解析] 同向电流相互吸引，反向电流相互排斥．对L1进行受力分析，如下图所示，可知L1所受磁场力的方向与L2、L3所在的平面平行；对L3进行受力分析，如右图所示，可知L3所受磁场力的方向与L1、L2所在的平面垂直．任意两根导线间的作用力的大小是相等的，若两根导线间相互作用力为F，L1、L2受到的磁场力的合力大小相同，根据平行四边形定则作出几何图形，根据几何知识可求解，经分析知B、C正确．[答案] BC[熟练强化]1．(2017·上海卷)如图，一导体棒ab静止在U形铁芯的两臂之间．电键闭合后导体棒受到的安培力方向( )A ．向上B ．向下C ．向左D ．向右[解析] 本题考查电流的磁效应、安培力及左手定则．根据图中的电流方向，由安培定则知U 形铁芯下端为N 极，上端为S 极，ab 中的电流方向由a →b ，由左手定则可知导体棒受到的安培力方向向右，选项D 正确．[答案] D2．(2017·金华十校第三次联合调研)如右图所示，光滑的金属轨道分水平段和圆弧段两部分，O 点为圆弧的圆心．两金属轨道之间的宽度为0.5 m ，匀强磁场方向如右图所示，磁感应强度大小为0.5 T ．质量为0.05 kg 、长为0.5 m 的金属细杆置于金属轨道上的M 点．当在金属细杆内通以电流为2 A 的恒定电流时，金属细杆可以沿杆向右由静止开始运动．已知MN ＝ON ＝OP ＝1 m ，g ＝10 m/s 2，则( )A ．金属细杆开始运动时的加速度大小为5 m/s 2B ．金属细杆运动到P 点时的速度大小为5 m/sC ．金属细杆运动到P 点时的向心加速度大小为10 m/s 2D ．金属细杆运动到P 点时对每一条轨道的作用力大小为0.75 N[解析] 金属细杆在水平方向受到安培力作用，安培力大小F 安＝BIL ＝0.5×2×0.5 N ＝0.5 N ，金属细杆开始运动时的加速度大小为a ＝F 安m＝10 m/s 2，选项A 错误；对金属细杆从M 点到P 点的运动过程，安培力做功W 安＝F 安·(MN ＋OP )＝1 J ，重力做功W G ＝－mg ·ON ＝－0.5 J ，由动能定理，得W 安＋W G ＝12mv 2，解得金属细杆运动到P 点时的速度大小v ＝2 5m/s ，选项B 错误；金属细杆运动到P 点时的向心加速度大小为a ′＝v 2r＝20 m/s 2，选项C错误；在P 点金属细杆受到轨道水平向左的作用力F N ，水平向右的安培力F 安，由牛顿第二定律，得F N －F 安＝mv 2r，解得F N ＝1.5 N ，每一条轨道对金属细杆的作用力大小为0.75 N ，由牛顿第三定律，可知金属细杆运动到P 点时对每一条轨道的作用力大小为0.75 N ，选项D 正确．[答案] D考向二 带电粒子在磁场中的运动[归纳提炼]1．带电粒子在匀强磁场中的运动(1)若v ∥B ，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做匀速直线运动．(2)若v ⊥B ，且带电粒子仅受洛伦兹力作用，则带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度v 做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力．由qvB ＝m v 2R ，可得半径R ＝mvqB，则周期T＝2πR v ＝2πmqB.周期T 与粒子运动的速度v 或半径R 无关．角速度ω＝2πT ＝qBm，角速度ω只取决于粒子的比荷和磁感应强度，与粒子运动的速度v 和半径R 无关．动量p ＝mv ＝qBR ，动能E k ＝12mv 2＝q 2B 2R22m ，粒子的动量和动能与磁感应强度B 、轨道半径R 、粒子的属性(q 、m )有关．2．解决带电粒子在有界磁场中的运动问题的思路“画轨迹，定圆心，求半径”是解决带电粒子在磁场中运动问题的一般思路，其中“画轨迹”是处理临界与极值问题的核心．对于这类区域判断题，要善于进行动态分析，即首先选一个速度方向(如水平方向)，然后从速度方向的改变分析轨迹的变化，从而找出角度变化时可能出现的临界值与极值或各物理量间的联系．(2017·全国卷Ⅱ)如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点，在纸面内沿不同方向射入磁场．若粒子射入速率为v 1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v 2，相应的出射点分布在三分之一圆周上．不计重力及带电粒子之间的相互作用．则v 2∶v 1为( )A.3∶2B.2∶1C.3∶1D ．3∶ 2[思路点拨] 粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，找圆心、定半径是解题的常规方法，本题中只要找到半径之间的关系则问题迎刃而解。

当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场的位置最远，求出半径得出正确答案．[解析] 设速率为v 1的粒子最远出射点为M ，速率为v 2的粒子最远出射点为N ，如图所示，则由几何知识得r 1＝PM 2＝R 2，r 2＝PN 2＝32Rr 2r 1＝31由qvB ＝mv 2r 得r ＝mv qB ，故v 2v 1＝r 2r 1＝31，选项C 正确．[答案] C处理带电粒子在匀强磁场中运动问题时常用的几何关系(1)四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点． (2)六条线：两段轨迹半径，入射速度直线和出射速度直线，入射点与出射点的连线，圆心与两条速度直线交点的连线，前面四条边构成一个四边形，后面两条为对角线．(3)三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的两倍．[熟练强化]迁移一 矩形有界磁场1．(多选)(2017·沈阳质监)如图所示，正方形abcd 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O 点是cd 边的中点．一个带正电的粒子(重力忽略不计)从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形区域内，经过时间t 0刚好从c 点射出磁场．现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°的方向(如题图中虚线所示)，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法正确的是( )A ．该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场B ．若该带电粒子从ab 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t 0C ．若该带电粒子从bc 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是3t 02D ．若该带电粒子从cd 边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是5t 03[解析] 根据题述一个带正电的粒子(重力忽略不计)从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形区域内，经过时间t 0刚好从c 点射出磁场，则时间t 0为带电粒子在磁场中运动的半个周期．使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°的方向(如题图中虚线所示)，以各种不同的速率射入正方形内，画出各种可能的运动轨迹，可以看出不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场，选项A 正确．若该带电粒子从ab 边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定小于t 0，选项B 错误．若该带电粒子从bc 边射出磁场，它在磁场中经历的时间不可能是3t 02，可能是t 0，选项C 错误．若该带电粒子从cd 边射出磁场，它在磁场中运动轨迹为56圆弧，经历的时间一定是5t 03，选项D 正确．[答案] AD迁移二 三角形有界磁场2．(多选)(2017·内蒙古杭锦后旗奋斗中学摸底)如图所示，直角三角形ABC 区域中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒子(不计重力)沿AB 方向射入磁场，分别从AC 边上的P 、Q 两点射出，则( )A ．从P 点射出的粒子速度大B ．从Q 点射出的粒子向心加速度大C ．从P 点射出的粒子角速度大D ．两个粒子在磁场中运动的时间一样长[解析] 粒子的运动轨迹如图所示，粒子在磁场中做圆周运动，分别从P 点和Q 点射出，洛伦兹力提供向心力qvB ＝m v 2r ，轨迹半径r ＝mvqB ，两粒子比荷相等，r P <r Q ，所以v P <v Q ，A 错误．向心加速度a ＝v 2r ＝qvBm，v P <v Q ，所以a P <a Q ，B 正确．粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝2πr v ＝2πm qB ，角速度ω＝2πT ＝qBm，两粒子比荷相等，所以周期相等、角速度相等，C 错误．根据几何关系可知，粒子在磁场中偏转的圆心角相等，粒子在磁场中运动的时间t ＝θ2πT ＝θmqB，所以粒子在磁场中运动的时间相等，D 正确．[答案] BD迁移三 直线边界有界磁场3．如图所示，两相邻且范围足够大的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ的磁感应强度方向平行、大小分别为B 和2B .一带正电粒子(不计重力)以速度v 从磁场分界线MN 上某处射入磁场区域Ⅰ，其速度方向与磁场方向垂直且与分界线MN 成60°角，经过t 1时间后粒子进入到磁场区域Ⅱ，又经过t 2时间后回到区域Ⅰ，设粒子在区域Ⅰ、Ⅱ中的角速度分别为ω1、ω2，则( )A ．ω1∶ω2＝1∶1B ．ω1∶ω2＝2∶1C ．t 1∶t 2＝1∶1D ．t 1∶t 2＝2∶1[解析] 粒子在区域Ⅰ、Ⅱ中运动的周期分别为T 1＝2πm qB 、T 2＝πm qB ，结合ω＝2πT得ω1∶ω2＝1∶2，A 、B 错误；t 1＝2×60°360°T 1，t 2＝2×60°360°T 2，得t 1∶t 2＝2∶1，D 正确，C 错误．[答案] D高考题型预测——带电粒子在磁场中运动的临界和极值问题[考点归纳]处理有界匀强磁场中临界问题的技巧1．从关键词、语句找突破口，审题时一定要抓住题干中“恰好”“最大”“至少”“不脱离”等词语，挖掘其隐藏的规律．如：(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，据此可以确定速度、磁感应强度、轨迹半径、磁场区域面积等方面的极值．(2)当速度v 一定时，弧长(或弦长)越大，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长(前提条件是弧是劣弧)．(3)当速率变化时，圆心角大的，运动时间长．(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)．2．数学方法和物理方法的结合．如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值．3．临界问题的一般解题模式：(1)根据粒子的运动轨迹，运用动态思维，作出临界轨迹图；(2)寻找几何关系，分析临界条件，总结临界点的规律；(3)应用数学知识和相应物理规律分析临界量列出方程．[典题示例](2017·江西六校联考)如图所示，在边长为L 的正方形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感强度大小为B .在正方形对角线CE 上有一点P ，其到CF 、CD 距离均为L /4，且在P 点处有一个发射正离子的装置，能连续不断地向纸面内的各方向发射出速率不同的正离子．已知离子的质量为m ，电荷量为q ，不计离子重力及离子间相互作用力．(1)速率在什么范围内的所有粒子均不可能射出正方形区域？ (2)求速率为v ＝13qBL 32m的粒子在DE 边的射出点距离D 点的范围．[审题指导]第一步 读题干—提信息题干信息1)发射正离子的装置说明粒子转动方向已知 2)各方向发射出速率不同的正离子 说明粒子的半径不相同 3)不计离子重力及离子间相互作用力 说明仅受洛伦兹力 4)不可能射出正方形区域 说明临界条件是与边相切[解析] 因粒子以垂直于磁场的速度射入磁场，故其在洛伦兹力作用下必做匀速圆周运动．(1)依题意可知粒子在正方形区域内做圆周运动不射出该区域做圆周运动的半径为r ≤L 8对粒子，由牛顿第二定律有qvB ＝m v 2r ⇒v ＝qBr m ≤qBL8m(2)当v ＝13qBL32m时，设粒子在磁场中做圆周运动半径为R ，则由：qvB ＝m v 2R 可得R ＝mv qB ＝m qB ·13qBL 32m ＝13L 32要使粒子从DE 射出，则其必不能从CD 射出，其临界状态是粒子轨迹与CD 边相切，设切点与C 点距离为x ，其轨迹如右图所示，由几何关系得：R 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x －L 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫R －L 42计算可得：x ＝58L设此时DE 边出射点距D 点为d 1，则由几何关系有： (L －x )2＋(R －d 1)2＝R 2解得：d 1＝L4而当粒子轨迹与DE 边相切时，粒子必将从EF 边射出，设此时切点与D 点距离为d 2，其轨迹如右图所示，由几何关系有：R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34L －R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫d 2－L 42 解得：d 2＝2＋3L8故速率为v ＝13qBL 32m 的粒子在DE 边的射出点距离D 点的范围为：L 4≤d ≤2＋3L8[答案] (1)v ＝qBr m ≤qBL 8m (2)L 4≤d ≤2＋3L8解决此类问题关键是找准临界点，审题应抓住题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语作为突破口，挖掘隐含条件，分析可能的情况，如有必要则画出几个不同半径相应的轨迹图，从而分析出临界条件.寻找临界点的两种有效方法1轨迹圆的缩放：当粒子的入射方向不变而速度大小可变时，粒子做圆周运动的轨迹圆心一定在入射点所受洛伦兹力所表示的射线上，但位置半径R 不确定，用圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中即可发现“临界点”.2轨迹圆的旋转：当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋转作图中，也容易发现“临界点”.[预测题组]1．(多选)(2017·沈阳质监)如图所示，以直角三角形AOC 为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B ，∠A ＝60°，AO ＝a ，在O 点放置一个粒子源，粒子源可以向纸面内各个方向发射某种带负电的粒子，粒子的比荷为qm ，发射速度大小都为v 0，且满足v 0＝qBam，发射方向用速度与OC 的夹角θ表示．对于粒子进入磁场后的运动(不计重力作用)，下列说法正确的是( )A ．粒子有可能从A 点飞出磁场B ．粒子在磁场中运动的最长时间为πa3v 0C ．粒子在磁场中运动的最短时间为πm3BqD ．在AC 边界上只有一半区域有粒子射出[解析] 依题意可知粒子在磁场中运动轨迹的半径为a ，当θ＝60°时粒子从A 点飞出，A 正确．分析可知粒子运动的轨迹皆为劣弧，沿OC 和与OC 成60°角的方向入射的粒子在磁场中运动的时间最长，为πa3v 0，B 正确．沿OA 方向运动的粒子，在磁场中运动的时间最短，最短时间为0，选项C 错误．因为沿OC 方向入射的粒子恰好从AC 边的中点射出，故在AC 边界上只有一半区域有粒子射出，选项D 正确．[答案] ABD2．(2017·河北六校联考)如图所示，竖直线MN ∥PQ ，MN 与PQ 间距离为a ，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，O 是MN 上一点，O 处有一粒子源，某时刻放出大量速率均为v (方向均垂直磁场方向)、比荷一定的带负电粒子(粒子重力及粒子间的相互作用力不计)，已知沿图中与MN 成θ＝60°角射出的粒子恰好垂直PQ 射出磁场，则粒子在磁场中运动的最长时间为( )A.πa 3vB.23πa3v C.4πa3vD.2πav[解析] 当θ＝60°时，粒子的运动轨迹如图甲所示，则a ＝R sin30°，即R ＝2a .设带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为α，则其在磁场中运行的时间为t ＝α2πT ，即α越大，粒子在磁场中运行时间越长，α最大时粒子的运行轨迹恰好与磁场的右边界相切，如图乙所示，因R ＝2a ，此时圆心角αm 为120°，即最长运行时间为T 3，而T ＝2πR v ＝4πa v，所以粒子在磁场中运动的最长时间为4πa3v，C 正确．[答案] C3．(2017·浙江五校联考)如下图所示，O 为三个半圆的共同圆心，半圆Ⅰ和Ⅱ间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B 1＝1.0 T ，Ⅱ和Ⅲ间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小未知，半圆Ⅰ的半径R 1＝0.5 m ，半圆Ⅲ的半径R 3＝1.5 m ．一比荷为4.0×107C/kg 的带正电粒子从O 点沿与水平方向成θ＝30°角的半径OC 方向以速率v ＝1.5×107m/s 垂直射入磁场B 1中，恰好能穿过半圆Ⅱ的边界而进入Ⅱ、Ⅲ间的磁场中，粒子再也不能穿出磁场，不计粒子重力，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6.求：(1)半圆Ⅱ的半径R 2.(2)粒子在半圆Ⅰ、Ⅱ间的磁场中的运行时间t . (3)半圆Ⅱ、Ⅲ间磁场的磁感应强度B 2应满足的条件．[解析] (1)由题意可知粒子的轨迹如下图所示，设粒子在半圆Ⅰ、Ⅱ间的磁场中的运行半径为r 1，则由洛伦兹力提供向心力得B 1qv ＝m v 2r 1，代入数值得r 1＝38m由图知(R 2－r 1)2＝R 21＋r 21，代入数值得R 2＝1.0 m.(2)由图可知tan α＝R 1r 1＝43，α＝53°粒子在半圆Ⅰ、Ⅱ间的磁场中运行的周期为T ＝2πr 1v ＝2πmB 1q粒子在半圆Ⅰ、Ⅱ间的磁场中的运行时间t ＝180°－53°360°T ≈5.54×10－8 s.(3)因粒子不能射出磁场，而粒子进入半圆Ⅱ、Ⅲ间的磁场中的速度方向沿半圆Ⅱ的切线方向，若粒子恰好不穿过半圆Ⅲ边界，则对应的磁场的磁感应强度最小，设粒子在半圆Ⅱ、Ⅲ间的磁场中运动的轨迹圆的半径为r 2，则r 2＝R 3－R 22＝0.25 m ，由B 2min qv ＝m v 2r 2知B 2min ＝mv qr 2＝1.5 T，即半圆Ⅱ、Ⅲ间磁场的磁感应强度B2应满足B2≥1.5 T.[答案] (1)1.0 m (2)5.54×10－8 s (3)B2≥1.5 T。