北师大版八年级数学下册第二章 因式分解第一节 提公因式法 第二课时教案
数学北师大版八年级下册因式分解教学设计
教学目标1、知识与技能：使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系．会用提取公因式的方法分解因式．2、过程与方法：在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法．.3、情感态度：通过综合运用提公因式法分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力．教学重难点◆重点：会用提公因式法分解因式◆难点：如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式教学过程一．提出问题，创设情境[师]请同学们完成下列计算，看谁算得又准又快．（出示投影片）[师]在上述运算中，大家或将数字分解成两个数的乘积，或者逆用乘法公式使运算变得简单易行，类似地，在式的变形中，•有时也需要将一个多项式写成几个整式的乘积形式，这就是我们从今天开始要探究的内容──因式分解．二．导入新课1．分析讨论，探究新知．把下列多项式写成整式的乘积的形式出示投影片[生]根据整式乘法和逆向思维原理，可以做如下计算：[师]像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．可以看出因式分解是整式乘法的相反方向的变形，所以需要逆向思维．再观察上面的第（1）题和第（3）题，你能发现什么特点．[生]我发现（1）中各项都有一个公共的因式x，（2）中各项都有一个公共因式m，是不是可以叫这些公共因式为各自多项式的公因式呢？[师]你分析得合情合理．因为ma+mb+mc=m（a+b+c）．于是就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，•其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式a+b+c是ma+mb+mc除以m所得的商，•像这种分解因式的方法叫做提公因式法．2．例题教学，运用新知．出示投影片：把6（x-2）+x（2-x）分解因式．（让学生利用提公因式法的定义尝试独立完成，然后与同伴交流解题心得，•教师深入到学生中去发现问题，并对有困难的学生进行适时的引导和启发，最后师生共同评析、总结）总结：提取公因式后，要满足另一个因式不再有公因式才行．[例]分析：（b+c）是这两个式子的公因式，可以直接提出．这就是说，公因式可以是单项式，也可以是多项式，是多项式时应整体考虑直接提出．解：2a（b+c）-3（b+c）=（b+c）（2a-3）．注意：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．在提出“－”号时，多项式的各项都要变号．可以用一句话概括：首项有负常提负．[例]分析：先找6（x-2）与x（2-x）的公因式，再提取公因式．因为2-x=-（x-2），•所以x-2即公因式．解：6（x-2）+x（2-x）=6（x-2）-x（x-2） =（x-2）（6-x）．总结：有时多项式的各项从表面上看没有公因式，但将其中一些项变形后，•但可以发现公因式，然后再提取公因式．三．随堂练习 1．课本练习1、2．四．作业必做题：作业本（2）15.4.1提公因式法选做题：自己出3道因式分解的题目做一做板书◆板书设计◆提公因式法1、因式分解的概念2、因式分解与整式乘法的关系．3、提取公因式的方法。
北师大版八年级数学下册42《提公因式法》优质教案
北师大版八年级数学下册42《提公因式法》优质教案XXX《提公因式法》教案教学目标一、知识与技能让学生了解多项式公因式的意义；初步学会用提公因式法分解因式．二、过程与方法通过找公因式，培养学生的观察能力和类比推理能力．三、情感态度和价值观在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的惯，同时培养学生的合作交流意识．教学重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来．教学难点：让学生识别多项式的公因式教学过程：一、导入新课1、分解因式的概念：2、整式的乘法与因式分解有什么关系吗？学生回忆回答：把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式分解因式.分解因式与整式乘法是互逆运算.3、近年来，我国土地沙漠化问题严重，有3队青年志愿者向沙漠宣战，组织了一次植物造林活动．每队都种树37行，其中一队种树102列，二队种树93列，三队种树105列，完成这次植树活动共需要多少棵树苗？学生阐发题意，列出算式：37×102+37×93+37×105提出问题：有没有简便的运算？学生讨论分析，找出简便的方法并计算：共同的因数3737×102+37×93+37×105=37×（102+93+105）=37×300=（棵）想一想：如果m·a+m·b+m·c进行因式分解能用这种方法吗？分析：这个算式也有共同的因数m，所以可用此方法因式分解m·a+m·b+m·c=m (a+b+c)这种方法就是我们这节课要研究的内容-----提公因式法2、新课研究（一）探究提公因式法的界说1、做一做：多项式ma+mb+m有共同的因式m，多项式ab+bc各项都含有不异的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式mb2+nb-b呢？测验考试将这几个多项式划分写成几个因式的乘积，并与同伴交换．学生分析讨论，归纳如下：ab+bc：不异的因式是b；ab+bc=b(a+c)3x2+x：相同的因式是x；3x2+x=x(3x+1)mb2+nb-b：不异的因式是b；mb2+nb-b=b(m+n+1)分析：以上多项式的特点是都有共同的因式归纳：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.2、议一议：（1）多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？（2）你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗？与同伴交流．引导学生分析，找出公因式：两项都有系数，系数应是2，是2与6的最大公约数.两项都有含有不异的字母x，x的指数是2与3，应取字母的最低次幂.以是，多项式2x2+6x3中各项的公因式是2x2 据此由学生自主完成第二问的问题：2x2+6x3=2x2(1+2x)以长进行的因式分化，都是应用的提公因式法，你能总结提公因式法的界说吗？学生观察分析，归纳总结：假如一个多项式的各项含有公因式，那末就能够把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的方式．这种因式分化的方法叫做提公因式法．引导学生总结出找公因式的普通步骤：首先：找各项系数的最大公约数，如2和6的最大公约数是2；其次：找各项中含有的不异的字母，不异字母的指数取次数最低的．（二）例题解析例1、将下列各式分解因式：（1）3x+6；（2）7x2-x；（3）8a3b2-12ab3c+abc；（4）-24x3-12x2+28x．分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来．学生自主完成，解题过程：解：（1）3x +x3=x⋅3+x⋅x2=x(3+x2)；（2）7x3-x2=7x2⋅x-7x2⋅3=7x2(x-3)（3）8a3b2-12ab3c+ab=ab⋅8a2b-ab⋅12b2c+ab⋅1=ab(8a2b-12b2c+1)；(4)- 24x3+12x2-28x=-(24x3-12x2+28x)=-(4x⋅6x2-4x⋅3x+4x⋅7)=-4x(6x2-3x+7)按照以上的做题进程。
《提公因式法》第2课时示范公开课教案【八年级数学下册北师大版】
《因式分解》教学设计4.2 提公因式法第2课时一、教学目标1.经历探索公因式是多项式的因式分解方法，并在具体问题中确定多项式各项的公因式.2.熟练运用提公因式法分解较复杂的多项式.3.经历从公因式是单项式到公因式是多项式的提公因式探索过程，体会数学知识之间的联系.4.培养学生独立思考的习惯，同时又要培养大家合作交流和勇于探索的意识.二、教学重难点重点：用提公因式法把多项式分解因式.难点：探索多项式因式分解方法的过程.三、教学用具多媒体课件四、教学过程设计解：(1)ax+2bx=x·a+x·2b=x(a+2b)；(2) yx+y2x2=yx·1+yx·yx=yx(1+yx).其中一个因式由单项式变成了多项式，怎么计算呢？【典型例题】(1)2–a= (a–2)；(2) y–x= (x–y)；(3)b+a= (a+b)；(4)(b–a)2= (a–b)2；(5) –m–n= (m+n)；(6)–s2+t2= (s2–t2).答案：–– + + – –问题：你发现了什么规律？【总结】添括号：如果括号前是“＋”，那么括号内的每一项都不改变符号；如果括号前是“－”，那么括号内的每一项都改变符号.把–4m3+12m2–6m因式分解.分析：这个多项式的最大公因式是“2m”.解：–4m3+12m2–6m= –(4m3–12m2+6m)= –(2m·2m²–2m·6m+2m·3)= –2m(2m²–6m+3)总结：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“–”号，使括号内第一项的系数成为正数.在提出“–”号时，多项式的各项都要变号.学生自主完成并集体交流、总结.学生自主完成并积极回答问题.学习如何将添括号知识应用在因式分解中.趁热打铁，通过练习及时巩固新知.环节三方法归纳【方法归纳】提公因式法因式分解的注意事项：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数为正数，在提出“－”号时，多项式各项都变号；多项式有几项，提公因式后所剩的因式也有几项，由此可以检验是否漏项；若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式先统一成相同的学生小组交流，汇总并回答问题.总结概括提公因式法因式分解的注意事项，加深学生对因式分解的理解，同时也培养学生的语言表达能力可思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第98页习题4.3第1、2、3题.。
北师大版八年级数学下册 因式分解 教案
因式分解【教学目标】一、教学知识点使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系。
二、能力训练要求通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力。
三、情感与价值观要求通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系。
【教学重点】1．理解因式分解的意义。
2．识别分解因式与整式乘法的关系。
【教学难点】通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系。
【教学方法】观察讨论法【课时安排】6课时【教学准备】投影片一张【教学过程】【第一课时】一、创设问题情境，引入新课［师］大家会计算（a+b）（a－b）吗？［生］会。
（a+b）（a－b）=a2－b2．［师］对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的。
从式子（a+b）（a－b）=a2－b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2－b2=（a+b）（a－b）是否成立呢？［生］能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2－b2与（a+b）（a－b）既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立。
［师］很好，a2－b2=（a+b）（a－b）是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题。
二、讲授新课1．讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流。
［生］993－99能被100整除。
因为993－99=99×992－99=99×（992－1）=99×9800=99×98×100其中有一个因数为100，所以993－99能被100整除。
［师］993－99还能被哪些正整数整除？［生］还能被99，98，980，990，9702等整除。
［师］从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式。
三、议一议你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流。
［师］大家可以观察a3－a与993－99这两个代数式。
《因式分解--提公因式法》教案
《因式分解——提公因式法》教案
一、教学目标
㈠、知识与技能：（1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。
（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法。
㈡、过程与方法：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观
察能力，进一步发展学生的类比思想。
（2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力。
（3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力。
㈢、情感态度与价值观：让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。
二、教学重点和难点
重点：因式分解的概念及提公因式法。
难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系。
-1)=
个整式的。
北师大版八年级数学下册_第2章_总结
第二章分解因式一．分解因式1．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
2．因式分解与整式乘法是互逆关系：（1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；（2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘。
二．提公因式法1．如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化为两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
如，ab+ac=a(b+c).2．概念内涵：（1）因式分解的最后结果应当是“积”；（2）公因式可能是单项式，也可能是多项式；（3）提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配率。
3．易错点：（1）注意项的符号与幂指数是否搞错，如，-ab+ac=-a(b-c), a3b+ab3=ab(a2+b2);（2）公因式是否提“干净”；（3）多项式中某一项恰为公因式，提出后，括号中这一项为+1，不漏掉，如，ab+a=a(b+1)。
三．运用公式法1．如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
2．主要公式：（1）平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)（2）完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)21.易错点：因式分解要分解到底：如，x4-y4=(x2+y2)(x2-y2)，就没有分解到底1．因式分解的解题步骤：（1）先看各项有没有公因式，若有，先提取公因式；（2）再看能否使用公式法；（3）用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或用公式法来达到分解的目的；（4）因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；（5）因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止。
四．分组分解法：1．分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。
如，am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n)2．概念内涵：分组分解法的关键是如何分组，要尝试通过分组后是否有公因式可提，并且可以继续分解，分组后是否可以利用公式法继续分解因式。
北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》教学设计
北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》教学设计一. 教材分析《4.1 因式分解》是北师大版八年级下册数学的一章内容。
本章主要介绍了因式分解的概念、方法和应用。
因式分解是初中学过的最复杂的整式运算，也是中学数学中重要的思想方法。
本章内容对于学生来说，既是对之前所学知识的巩固，也是为之后学习更高级数学打下基础。
二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经掌握了整式的加减、乘法、除法等基本运算，同时也学习过一些简单的因式分解方法。
但是，对于八年级的学生来说，因式分解仍然是一个比较困难的问题，需要通过实例讲解和练习来进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法，能够运用因式分解解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例讲解和练习，培养学生观察、分析、归纳的能力，提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和毅力，使学生感受到数学的美丽和实用性。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的概念和方法。
2.难点：如何运用因式分解解决实际问题。
五. 教学方法采用讲解法、示例法、练习法、讨论法等教学方法，通过实例讲解、练习和讨论，使学生理解和掌握因式分解的方法和应用。
六. 教学准备1.准备相关教学材料，如PPT、教案、练习题等。
2.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出因式分解的概念和方法。
例如，讲解“分解因数”的概念，让学生初步了解因式分解的意义。
2.呈现（15分钟）讲解因式分解的基本方法，如提公因式法、公式法等。
通过示例，让学生观察和分析因式分解的过程，引导学生主动思考和探究。
3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，互相讨论和交流因式分解的方法。
教师巡回指导，解答学生的疑问，及时给予反馈和评价。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些因式分解的题目，巩固所学知识。
教师选取部分学生的作业进行讲解和分析，指出其中的错误和不足。
北师大版八年级数学下册教案 4-2 提公因式法
4.2提公因式法教学目标【知识与技能】1.了解公因式的意义,能够确定多项式中各项的公因式;2.了解因式分解的提公因式法,能够用提公因式法对多项式进行因式分解.【过程与方法】经历对多项式各项的公因式的意义和因式分解的提公因式法的探究过程.对公因式是多项式的情况,能够用整体思想因式分解.【情感、态度与价值观】养成独立思考的习惯,培养合作交流的意识,在因式分解过程中感受因式分解在简化计算中所起到的作用.教学重难点【教学重点】用提公因式法因式分解.【教学难点】能观察出公因式是多项式的情况,并能合理地进行分解因式.教学过程一、情境导入问题:一块场地由三个矩形组成,这些矩形的长分别为43,32,74,宽都是12,求这块场地的面积.解法一:S=12×43+12×32+12×74=23+34+78=5524;解法二:S=12×43+12×32+12×74=12×(43+32+74)=12×5512=5524.观察上面的解题过程,你发现哪种方法更简便?二、合作探究探究点1公因式典例1多项式6ab2c-3a2bc+12a2b2中各项的公因式是()A.abcB.3a2b2C.3a2b2cD.3ab[解析]系数的最大公约数是3,相同字母的最低指数次幂是ab,所以公因式为3ab.[答案]D多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式.确定多项式中各项的公因式,可概括为三“定”:(1)定系数,即确定各项系数的最大公约数;(2)定字母,即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式);(3)定指数,即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂.探究点2用提公因式法进行因式分解典例2因式分解:(1)4a2+6ab+2a;(2)-5x 3+10x 2-15x ;(3)14a 3b 2-2a 2b 3. [解析] (1)原式=2a ·2a +2a ·3b +2a ·1=2a (2a +3b +1).(2)原式=-5x ·x 2+(-5x )·(-2x )+(-5x )·3=-5x (x 2-2x +3).(3)原式=14(a 3b 2-8a 2b 3)=14a 2b 2(a -8b ).提公因式法的基本步骤:(1)找出公因式;(2)把多项式各项写成公因式与另一项乘积的形式;(3)提公因式并确定另一因式.探究点3 提取多项式公因式进行因式分解典例3 下列因式分解正确的是 ( )A.mn (m -n )-m (n -m )=-m (n -m )(n +1)B.6(p +q )2-2(p +q )=2(p +q )(3p +q -1)C.3(y -x )2+2(x -y )=(y -x )(3y -3x +2)D.3x (x +y )-(x +y )2=(x +y )(2x +y )[解析] mn (m -n )-m (n -m )=-m (n -m )(n +1),A 项正确;6(p +q )2-2(p +q )=2(p +q )(3p +3q -1),B 项错误;3(y -x )2+2(x -y )=(y -x )(3y -3x -2),C 项错误;3x (x +y )-(x +y )2=(x +y )(2x -y ),D 项错误.[答案] A【误区警示】当公因式是形如(a -b )n 或(b -a )n 时,要注意幂指数n 的奇偶性:当n 为偶数时,(a -b )n =(b -a )n ;当n 为奇数时,(a -b )n =-(b -a )n .因此,在确定公因式的时候,“互为相反数的因式”是可以变为“相同的因式”的,这样就可以作为公因式,利用提公因式法因式分解.三、板书设计提公因式法{ 公因式{系数的最大公约数相同字母的最低次幂提公因式法的步骤{①确定公因式②提取公因式③确定另一个因式提取多项式公因式进行因式分解教学反思本节运用类比的数学方法,使学生易于理解和掌握.如学生在接受提取公因式法时,由提公因数到找公因式,由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念,都是利用了类比的数学思想,从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然,容易理解.。
北师大版初二数学下册《2提公因式法》教案
2 提公因式法》教案第 1 课时教学目标1、经历探索多项式因式分解方法的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项的公因式.2、会用提公因式法把多项式分解因式(多项式中的字母指数仅限于正整数的情况) .教学重难点教学重点：用提公因式法把多项式分解因式. 教学难点：探索多项式因式分解方法的过程.教学过程一、创设情景，导出问题张老师准备给航天建模竞赛中获奖的同学颁发奖品，他来到文具商店，经过选择决定买单价16元的钢笔10支，5元一本的笔记本10 本，4元一瓶的墨水10 瓶，由于购买物品较多，商品售货员决定以9 折出售，问共需多少钱？(让学生独立完成，然后选取两种比较多用的方法展示) 关于这一问题两位同学给出了各自的做法：方法一：16X10X90%+5< 10X90%+4< 10刈0%=144+45+36=225 (元)方法二：16X10X90%+< 10X90%+4< 10<90%=1< 90% (16+5+4) =225 (元) 请问：两位同学计算的方法哪一位更好？为什么？答案：第二位同学(第二种方法)更好，因为第二种方法将因数10 <90%放在括号外，只进行过一次计算，很明显减小计算量.二、探索交流，概括概念1 、议一议：( 1 )多项式ab+bc 各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+ x 呢？多项式mb2+nb-b 呢？( 2)将上面的多项式分别写成几个因式的乘积，说明你的理由，并与同位交流. 2、讨论概括：(1)多项式ab+bc各项都含有相同的因式b，我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式，如b就是多项式ab+bc的公因式.同样，多项式3X2+X各项都含有相同的公因式x,多项mb2+ nb-b各项都含有相同的公因式b.(2)如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.三、巩固应用,拓展研究例：将下列各式分解因式：2 3 2 3 3 2(1) 3x+6；(2)7x -21x ；(3)8a b -12ab c+abc ；(4) -24x -12x +28x.2 答案：(1) 3x+6=3x+3 X2=3 (x+2 ); (2) 7x-21x=7xx-7x 3=7x (x -3);3 2 3 2 2 2 2(3) 8a b - 12ab c+abc=ab -8a b -ab -12b c+ab c=ab (8a b - 12b c+c );3 23 2 2 2(4) -24x 3-12x 2+28= -( 24x 3+12x 2-28) =-(4x?6x 2+4x?3x -4x?7) =-4x (6x 2+3x -7)想一想：提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？(进一步体会分解因式与整式乘法的互逆关系)四、练习巩固，促进迁移 1 、写出下列多项式的公因式：( 1 ) ma+mb ( 2) 4kx-8ky ( 3) 5y 3+20y 2 ( 4) a 2b-2ab 2+ab2、把下列各式分解因式：( 1 ) 3x 2-6xy+x ( 2) -4m 3 + 1 6m 2-26m3、利用分解因式计算：(1) 33X0.48+85X 0. 48-18 >0.48(2) 7. 18X2. 25+28. 5X). 225-2. 03X2. 25五、回顾联系，形成结构想一想：这节课我们学了写什么？ (通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完 善学生的认知结构，加深对所学知识的理解 . )第 2 课时教学目标1 、会用提公因式法把多项式分解因式(多项式中的字母指数仅限于正整数的情况)2、进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法教学重难点重点：用提公因式法把多项式分解因式. 难点：掌握多项式因式分解方法的过程 .教学过程一、课前热身，复习回顾 想一想：什么是公因式？怎样提取公因式？ 做一做：1 、下列用提取公因式法分解因式正确的是(3 2 2 A 、a +2a +a=a ( a +2a )C 、6( x-2)+x ( 2-x )=(x-2)( x+6)2、 ( -3)2005+ ( -3)2004等于 _________ . 通过提问和几个练习使学生回忆上节课的内容，为本节课的学习作好准备、应用拓展，深化研究 把下列各式分解因式：(1)a (x-3)+2b (x-3)；(2)5(x-y )3+10(y-x )2.) 2 2 2 B 、-x y+4x y -7xy=-xy ( x-4xy+7) 2 D 、a ( a-b ) +ab (a-b )=( a+ab )( a-b ).)答案：(1) a (x-3) +2b (x-3) = (x-3) (a+2b);3 2 3 2 3 2 2(2)5(x-y) 3+10(y-x) 2=5(x-y) 3+10[-(x-y) ]2=5(x-y) 3+10(x-y) 2=5(x-y) 2(x-y+2) (此题是上节课的延伸，公因式由前节课的单项式过渡到多项式，难度逐渐提高，符合学生的认知规律. )第(1)小题在教学时引导学生把(x-3)看作一个整体，从而解决公因式是多项式的情况；第( 2)小题是在第( 1 )小题的基础上，进一步解决符号问题，教学时要引导学生正确理解(x-y )与(y-x)，(x- y) 2与(y-x) 2的关系.三、巩固应用，拓展研究1 、把下列各式分解因式：( 1 ) 3x2-6xy+x ( 2) -4m3+16m2-26m答案：(1) 3x2-6xy+x=x (3x-6y+1 ) ( 2) -4m3+16m2-26m=-2m(2m2-8m+13)2、把下列各式分解因式：(1) 4q(1-p) 3+2(p-1) 2( 2) 3m( x-y) -n( y-x)( 3) m( 5ax+ay-1 ) -m( 3ax-ay-1 )答案：(1) 4q(1-p) 3+2(p-1) 2=2(1-p) 2(2q-2pq+1 )(2)3m( x-y) -n( y-x) =( x-y)(3m+n )(3)m(5ax+ay-1 ) -m(3ax-ay-1 ) =2am(x+y)3、计算：(1)已知a+b=13，ab=40，求a2b+ab2的值•(2)1998+1998 2-19992.答案：(1) a b+ab =ab (a+b ),当a+b=13 时，原式=40 X13=52O.(2) 1998+1998 2- 1 999 2= - 1 999 .四、回顾联系，形成结构想一想：这节课我们学了写什么？(通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解. )。
提公因式法因式分解教案
提公因式法因式分解教案今天我们要研究的因式分解,与整式乘法有什么不同呢?请看下面的例子：示范】(x+2)(x+3)=x^2+5x+6这是一个整式乘法的例子,现在我们来看一个因式分解的例子：示范】x^2+5x+6=(x+2)(x+3)你们可以看到,这两个式子的形式是一样的,但是它们的意义不同,整式乘法是求出多项式的积,而因式分解则是把一个多项式拆分成几个整式的积的形式.这就是因式分解与整式乘法的区别.设计意图】通过比较整式乘法和因式分解的例子,让学生理解因式分解的概念和与整式乘法的区别.师】那么,如何进行因式分解呢?我们来看下面这个例子：示范】6x^2+9x=3x(2x+3)这个式子是如何得出的呢?我们先找到这个多项式的公因式3x,然后把剩下的部分因式分解成2x+3的形式,最后把公因式和因式分解的部分相乘.这就是提公因式法因式分解的方法.设计意图】通过示范例子,让学生了解提公因式法因式分解的方法,并培养寻找公因式的能力.三）巩固练问题3：对下列多项式进行因式分解：1)4x^2+4x2)6a^2-9ab设计意图】巩固提公因式法因式分解的方法,让学生掌握应用.师】请大家自己尝试对这两个多项式进行因式分解.学生】(1)4x^2+4x=4x(x+1)2)6a^2-9ab=3a(2a-3b)师】非常好,你们已经掌握了提公因式法因式分解的方法.那么,我们来看下面这个问题：问题4：用提公因式法因式分解下列多项式：1)ax+bx+ay+by2)2x^2-2xy-3x+3y设计意图】提高难度,让学生运用提公因式法因式分解多项式.师】请大家尝试对这两个多项式进行因式分解.学生】(1)ax+bx+ay+by=(a+b)x+(a+b)y=(a+b)(x+y)2)2x^2-2xy-3x+3y=2x(x-y)-3(x-y)=(2x-3)(x-y)师】非常好,你们已经掌握了提公因式法因式分解多项式的方法.问题3：填写下列式子的右边空白部分。
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教案
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教案一. 教材分析北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握因式分解的方法和应用。
因式分解是代数运算的基础，对于提高学生的数学思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
本节课的内容包括提公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，通过这些方法的学习，使学生能够灵活运用因式分解解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法运算，具备了一定的代数基础。
但因式分解较为抽象，对于部分学生来说，理解起来存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要关注学生的学习差异，针对不同层次的学生进行教学，提高他们的学习兴趣和自信心。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握因式分解的方法，能够灵活运用各种方法进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的方法。
2.难点：灵活运用各种方法进行因式分解，解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设生活情境，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生主动思考，培养学生的创新能力。
3.小组合作学习：培养学生团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关教案、PPT、教学素材等。
2.准备黑板、粉笔、投影仪等教学用品。
3.提前让学生预习本节课的内容，了解因式分解的基本概念。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）利用生活实例或趣味数学问题，引入因式分解的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 呈现（10分钟）通过PPT展示因式分解的方法，包括提公因式法、公式法、分组分解法等。
引导学生了解各种方法的特点和应用。
3. 操练（10分钟）对学生进行分组，每组选定一个因式分解问题，运用所学的methods进行解决。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
北师大版数学八年级下册第二章-因式分解-全章精品导学案
第二章 《因式分解》§2.1 分解因式学习重点：1．理解因式分解的意义.2．识别分解因式与整式乘法的关系.学习难点：通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系. 一、自主复习：【填空】公式类：()()a b a b +-= 2()a b += （1）单⨯单：3a×4 （2） 单⨯多：(35)a a b -= （3） 多⨯多：(3)(2)x y x y -+= （4） 混合乘：x （1）（1） = 二、独立探究问题：分解因式的概念1．自主学习教材p4344，其中p44做一做的前（1）—（5）是什么运算？做一做的后（1）—（5）与前（1）—（5）的关系是什么？2．分解因式的概念：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式3．掌握分解因式概念应注意： （1）被分解对象是（2）分解因式的结果必须是几个 的形式.（3）分解因式要一直分解到每个因式不能再 为止. 4．与时反馈：完成书p45随堂练习三、小组合作探究：分解因式与整式乘法的关系1．议一议（1）由(1)(1)a a a +-=3a a -的变形是 运算. （2）由3a a -=(1)(1)a a a +-的变形与（1）有什么不同？ 2．想一想分解因式与整式乘法有什么关系？()ma mb mcm a b c ++++因式分解整式乘法.因式分解与整式乘法是的变形.四、知识的运用例：下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？（1）1（1+x1） （2）()222424ab ac a b c +=+ （3）24814(2)1x x x x --=-- （4）222()ax ay a x y -=- （5）2224(2)a ab b a b -+=- （6）2(3)(3)9x x x +-=-五、课堂小结1．分解因式的概念：2．分解因式应注意：3．分解因式与整式乘法的关系六、课堂过关1．下列从左到右的变形，是分解因式的为（ ）A ．x 2－（x －1）B ．a （a －b ）2－ C ．（3）（a －3）2－9D ．x 2－21（x －2）+12．下列各式分解因式正确的是（ ） A. 223633(2)a x bx x x a b -+=- B. ()22xy x y xy x y +=+C.2()a ab ac a a b c -+-=-+-D.22963(32)abc a b abc ab -=-3.（1） 22()()a b a b a b +-=-的运算是（2） 3222(2)x x x x -=-的运算是 4．计算下列各式： （1）（）（a －b ）.（2）（）2.（3）8y （1）. （4）a （1）.根据上面的算式填空：（5）（ ）（ ）（6）a 2－b 2=（ ）（ ）（7）a 2+22=（ ）（ ）（8）8y 2+8（ ）（ ）§ 提公因式法（一）学习重点： 能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.学习难点：让学生识别多项式的公因式. 一、自主回顾：1、分解因式的概念.2、分解因式概念应注意什么？3、分解因式与整式乘法的关系 二、自主学习1．公因式与提公因式法分解因式的概念. 自主学习教材p47，然后回答以下问题：⑴公因式：多项式的各项中都含有 叫做这个多项式各项的公因式⑵提公因式法：把多项式中的提取出来的分解因式方法叫做提公因式法.2．独立将下列各式分解因式（1）32－3a2b; （2）2x3+2x2－6x;（3）－12a2242; （4）－x2y2－x3y3;三、小组合作探究：（1）怎么样确定一个多项式的公因式？确定公因式的步骤有哪些？答：①、②（2）提公因式要注意些什么？答：①、②（3）提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？四、知识运用：独立完成，教材的随堂练习、知识技能 P48~49五、课堂小结1．提公因式法分解因式的一般形式，如：（）.2．提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.3．找公因式的一般步骤（1）若各项系数是整系数，取系数的；（2）取相同的，的指数取的；4．特别注意：①不要漏项②要防止出现符号问题六、课堂过关：将下列各式分解因式1．321510a a-；2．224x y xy-；3．64x y x z-； 4．222261530m n mn m n-+；5．432163256x x x--+；6．322462a b a b ab-+-；7．3174m m mx x x++++（m是自然数）；8．112416m n m nu v u v++-+（m，n是自然数）.§提公因式法（二）教学重点：能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式.学习难点：准确找出公因式，并能正确进行分解因式 一、自主回顾：1．怎么样确定一个多项式的公因式？ 2．提公因式要注意些什么？ 二、自主学习：1．请在下列各式等号右边的括号前填入“＋”或“―”，使等式成立：（1）()____a b b a -=-； （2）()()22___m n n m -=-；（3）()()33___y x x y -=-； （4）()___b c b c --=+； （5）()2222___s t s t -+=-； （6）()()22___p q p q --=+.（7）m －n － （n －m ＋p ）； （8）（1－x ）（x －2）= （x －1）（x －2）（9）)(=-4y x )(4x y - （10）)(=-5y x)(5x y -2．根据1题情况进行归纳总结：一般地，关于幂的指数与底数的符号有如下规律（填“＋”或“―”号）：3．指出下列各式中的公因式： （1）()()23a b c b c +-+（2）()()23279a x y b x y +-+ （3）()()235m a b n b a ---4．自主学习教材p47，特别注意例2、3中用数学的什么思想？例3提公因式前做了什么样的变化？5．与时反馈：㈠完成教材第51的随堂练习题 ㈡把下列各式分解因式（1）5（x －y ）3+10（y －x ） （2）（b －a ）2（a －b ）（b －a ）（3）()()()222ab a b a b a ac a b --+---（4）m （m －n ）（p －q ）－n （n －m ）（p －q ） 三、合作探究将()()()22331218y x x y y y x -+---分解因式，总结用提公因式法分解因式应注意什么？ 四、过关训练题1．把下列各式分解因式：（1）x 2y －323; （2）a （x －y ）－b （y －x ）（x －y ）;（3）2（x －y ）2+3（y －x ）; （4）()()23515m n n m -+-. （5）（－c ）（a －）+（b －）·（b －a －c ） （6）()()222kk x y y x +-+-；（7）()()2121k k x y y x +--+-. 2．不解方程组23431m n m n -=⎧⎨+=⎩求()()235222n m n n m ---的值.§ 运用公式法（一）学习重点：让学生掌握运用平方差公式分解因式.学习难点：将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.一、自主回顾：独立回顾，整式乘法中的平方差公式是；其特点是 . 二、新课合作探究学习1．先独立自主学习教材p54，例1、例2用了怎样的方法分解因式？2．合作探究回答以下问题：①例2中解第1题用了什么思想？告诉我们还要注意些什么？解第2题告诉我们分解因式应先做什么再做什么？②公式a 2－b 2=（）（a －b ）特点：等号左边：（1）是一个_ ；（2）每项都可以化成数（或式）的_ ； （3）这两项的符号_等号右边：（1）是两数（或式）的和与这两数（或式）的差的积.（2）被减数是左边平方项为_ 的那个数（或式）3．独立完成教材第55页的练习题.三、理论知识运用例1 判断下列分解因式是否正确. （1）()222222a b c a ab b c +-=++- （2）()()()242221111a a a a -=-=+⋅-例2 分解因式（1）()()223649x y x y +--； （2）()()211x b x -+-（x －1）2（1－x ）;（3）（x 21）2－1. （4） 44a b -（5）()23228x x x +-； （6）()()2244x x x +++-. 四、课时小结1．①分解时先看是否有公因式，再考虑平方差公式. ②分解时一定要分解完整彻底.2．运用平方差公式应注意： 五、课堂过关1、把下列各式分解因式：（1）49x 2－121y 2; （2）－25a 2+16b 2; （3）144a 2b 2－0.81c 2; （4）－36x 264492; （5）（a －b ）2－1; （6）9x 2－（2）2;（7）（2m －n ）2－（m －2n ）2;（8）49（2a －3b ）2－9（）2.2、利用分解因式说明257―512能被120整除.§ 运用公式法（二）学习重点：让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.学习难点：让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式 一、自主回顾：1．整式乘法中的完全平方公式是；2．乘法中的完全平方公式的特点 二、新课合作探究学习1、先独立自主学习教材p57，例3、例4用了怎样的方法分解因式？其具备条件是什么？2、合作探究回答以下问题：①例4中解第1、2题分别告诉我们分解因式应先做什么再做什么？②公式a2+22=（）2; a2－22=（a－b）2特点左边的特点有（1）多项式是；（2）其中有，且此两项能写成两数（或两式）的形式；（3）另一项是这两数（或两式） .右边的特点：两数（或两式子）的和（或差）的平方，当中间的乘积项与首末两项的符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方；③形如的式子称为完全平方式3．独立完成教材第58页的练习题.三、理论知识运用例1、将下列各式分解因式（1）a2b2+816c2; （2）4（2a）2－12（2a）+9;（3）1442m－6mn2; （4）51x2y－x4－1002y （5）()422422412x x y y x y++-；（6）()()2222221m n m n-+-+例2、（1）若21y ky++是完全平方式，则k.（2）若23x x k-+是完全平方式，则k.（3）若2930a a m-+是完全平方式，则m.例3、在△中，已知三边a、b、c满足4224332220a ab b a b ab++--=，试判断△的形状.四、课时小结1、用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：（1）要求多项式有.（2）其中两项，且都可以写成某数（或某式）的，另一项则是这两数（或两式）的倍，符号可正可负.2、分解因式要一提（公因式）二套（公式）三要（分解要彻底）五、课堂过关1、把下列各式分解因式（1）－4－4x 2－y 2; （2）32+6a 23a 3; （3）（）2－10（）+25;（4）0.25a 2b 2－2; （5）x 2y －69y; （6）2x 3y 2－16x 232x; （7）16x 5+8x 3y24（8）()22241x x -+ （9）()()x x 2221619---+2、（1）若2210049x kxy y -+是完全平方式，则k . （2）若()292416x a x +-+是完全平方式，则a . （3）已知1x y -=，则221122x xy y -+的值为 ．§2.4 因式分解（二）——分组分解法一、分组分解法1、将多项式采用“先部分，后整体”的方法，将一个多项式分成若干个组，先在各组中因式分解，然后把各组的公因式提出，达到整体因式分解.2、用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性. 也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式.注意：多项式分组有多种，哪种分组是成功的分组，要经过尝试才能知道，这也正是分组分解法的难点. 有些多项式可以有多种分组的方法，而一些多项式的分组方法是唯一的. 因此，用分组分解法分解因式时，尝试分组是必要的步骤. 也许第一次就成功了，也许要经过几次才能找到成功的路子.3、分组分解法一般有两种情况（1）等项分组. 把多项式分成项数一样多的几组，先在每组中提公因式，再在各组间提公因式.如223322(33)(22)x xy xz yz x xy xz yz +--=+-+（2）按公式分组. 把多项式按公式分组后，各组分解后，再提公因式按其他方法因式分解.如222221(2)1a ab b a ab b -+-=-+- 4、分组分解应注意以下几个问题（1）在一个多项式用提公因式，公式法都不能分解时，应考虑用分组分解法因式分解.（2）分组时应考虑到分组后，各组是否有公因式或各组能用公式法继续分解，若不能即为分组不合适，应重新分组.（3）有的多项式分组方法并不唯一，但因式分解的结果是唯一的. 二、典型例题 例1、分解因式：（1）2ab bc ac b --+ （2）393am bm b a -+- （3）22234334x y axz y z ax -+- （4）24144914m mx nx mn -+- 例2、分解因式：（1）2222a b a b -+- （2）22241299x xy z y --+ （3）224484x xy y --- （4）2244241m mn n m n ++--+ 三 、课堂练习把下列各式分解因式：1.2323 axy ax ax y ay --+2. 222444 x xy y z -+-3. 322333 x x y xy y -+-4.2222224 b c b c a -+-（）四、课后作业 1.选择题：（1）下列分解因式，结果正确的是（ ）A ．55()(5)m n my ny m n y +--=+- B. 22()(1)m n m n m n m n +--=++- C. 2233()(3)a a b b a b a b ++-=++- D. 2221(2)(1)(1)x x y x x y y -+-=-+-+（2）分解因式后,结果等于(2)(3)a b +-的多项式是（ ）A. 236ab a b -+-B. 623b a ab --++C. 326ab b a -+-D. 623b a ab -+-+（3）把多项式233x xy y x -+-分解因式，下列分组不能得到最后结果的是（ ）A ．2(3)(3)x x y xy -+- B. 2(3)3x x y -+ C. 2()(33)x xy y x -+- D. 2(3)(3)x x y xy ---+ 2.填空题： （1）分解因式：ax by bx ay -+-= ；（2）分解因式：22x y ax ay --+= ；（3）分解因式：2221a ab b --+= ；（4）分解因式：2244(4)a ab b -++= ；（5）若2a b +=，则222a ab b a b ++++= ； 3.解答题：（1）若0a b +=，求332222a b a b ab -+-的值 （2）若2222()(10)250x y x y ++-+=，求22x y +的值 （3）计算：22621769473148-⨯-（4）分解因式(1)(2)6x x x --- （5）分解因式22()()ax by bx ay ++-§2.5 因式分解（二）——十字相乘法一、十字相乘法1、使用十字相乘法把二次三项x 2因式分解，如果常数项q分解成a 、b 两个因数的积，并且等于一次项系数p ，则二次三项式2x 2+（）（）（）2、使用十字相乘法把二次三项式2分解因式，如果二次项系数a 分解成a 1、a 2;常数项c 分解成c 1、c 2；并且1 c 2 a 2 c 1等于一次项系数b ,则二次三项式a x 21a 2x 2+（ a 1 c 2+ a 2 c 1） c 1c 2= （a 1 c 1）（ a 22）借助于画十字交叉线排列如下： 二、典型例题例1、把下列各式分解因式：（1）256x x ++ （2）26x x -- （3）256x x +-例2、把下列各式分解因式：（1）26136x x ++ （2）2384a a -+ （3）22584y xy x --例3、把2()3()2x y x y ---+分解因式 ※例4、把2222(2)5(2)3x x x x ----分解因式三、课堂练习： 将下列各式分解因式： 1. 2568x x +-2. 2221012x xy y --3. 222430x xy y --4. 25398x x --5. 262x x --6. 23415x x --7. 4223x x +- 8. 2222248x xy y x y ++--- 9. 222(2)(3)13x x x +++- 四、课后作业 1.选择题：（1）把多项式2151263x x --+分解因式的结果是（ ） A ．1(2)(31)6x x --+ B. 1(1)(32)6x x ---C. 1(2)(31)6x x -+-D. 1(1)(32)6x x -++（2）把多项式432235x x x +-分解因式的结果是（ ） A ．22(5)(7)x x x x -+ B. 22(235)x x x +- C. 2(5)(7)x x x +- D. 2(5)(7)x x x -+（3）在多项式 ①276x x ++；②243x x ++；③268x x ++；④2710x x ++⑤21544x x ++中，有相同因式的是（ ）A ．①② B. ②④ C. ②⑤ D.以上都不正确.（4）若二次三项式212(4)(3)x mx x x --+-分解成，则实数m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．1-D ． 2-2.填空题： （1）分解因式：2121115x x --= ；（2）分解因式：22910a b ab --= ；（3）分解因式：282221x x --= ；（4）分解因式：222(5)16x x x --= ；3.把下列各式因式分解（1）225-6+73x xy y -（2）217366x x -++（3）222(2)7(2)8x x x x +-+-4.已知222314x xy y -+=，且7x y -=；求2x y -的值.5.若二次三项式23235(0)kx x k +-≠有一个因式是27x +；求k 的值与另一因式.第二章 分解因式（单元归纳）学习重、难点：用提公因式法和公式法分解因式. 学习过程： 一、自主复习： 【回顾】1．分解因式的定义：把一个多项式化成 ，这种变形叫做把这个多项式分解因式.2．分解因式与整式乘法是 变形. 3分解因式的主要方法是 ， ，4．（1）平方差公式：a 22= （2）完全平方公式a 2±22=二、例题精讲（一）利用提公因式法分解因式例1 用提公因式法将下列各式因式分解.（1）34x z x y -+； （2）3x （）+2y （）；（3）（2a ）（2a -3b ）+（2a +5b ）（2a ）； （4）()()324121p q q -+-.（二）利用公式法分解因式例2 把下列各式分解因式.（1）（）2-4a 2； （2）1-1025x 2； （3）（）2-6（）+9.（4）（x 2+4）2-2（x 2+4）+1； （5）（）2-4（1）.（三）利用分组分解法分解因式例3 把下列各式分解因式.（1）bc ac ab a -+-2（2）bx by ay ax -+-5102（3）22144a ab b --- （4） a 2－b 2－a ＋b（四）利用十字相乘法分解因式 例4 把下列各式分解因式.（1）22421x xy y --； （2） 2295x x +- （3）()()267a b a b +-+-； （4）()()22524x x -+-+（五）综合运用例5 ： 用适当的方法把下列各式分解因式.（1）x 3-2x 2；（2）x 2（）2（）；（3）（x 2－2x ）2－4（x 2－2x ）－5 （4） a 2＋2＋b 2－－例6（1）试用简便方法计算：1982-396202⨯+2022 （2）若（1012+25）2－（1012－25）2=10n ，求n ．（3）若9m 2－128n 2－42p 2－44=0，求的值．（4）若x 220能在整数范围内因式分解，则k 可取的整数值有多少个（六）课后作业：1．下列因式分解正确的是（ ）A ．x 22=（）（x －y ）B ．x 2－y 2=（）（x －y ）C ．x 22=（）2D ．x 2－y 2=（x －y ）2 2．下列各式不是完全平方式的是（ ）A ．x 2+41 B ．x 2－22C ．x 2y 2+21 D ．m 2－1423．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ） A ．m 2－2 B ．（）2－4 C ．x 2－214D ．x 2+2x －1 4．某同学粗心大意，分解因式时，把等式x 4－■=（x 2+4）（2）（x －▲）•中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是（ ）A ．8，1B ．16，2C ．24，3D ．64，85．若129x 2是一个完全平方式，则k 应为（ ）A.2B.4C.2y2D.4y 26.若x 2+2（3）16, 是一个完全平方式，则m 应为（ ）5 B.3C.7D.7或-17.若n 为正整数，（11）22的值总可以被k 整除，则k 等于（ ）A.11B.22C.11或22D.11的倍数.8．多项式4x 2+1加上一个单项式后，使它成为一个整式的平方，则加上的单项式可以是．（填上一个你认为正确的即可） 9. 用适当的方法把下列各式分解因式.（1）（x 2－3）2＋（x 2－3）－2 （2）a 4－2a 2b 2－8b 4 （3）4－6x 3＋9x 2－16 （4） 12+22分解因式（5）()22241x x -+ （6）（x 42-4）（x 42+3）+10.。
4.2 提公因式法 第1课时 北师大版数学八年级下册教案
4.2提公因式法（第1课时公因式是单项式的因式分解）教学目标1.学会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解.2.通过与因数分解的类比，感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想.教学重点难点重点：理解公因式的意义.难点：会用提公因式法因式分解.教学过程复习巩固1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.2. 因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式.导入新课活动1（学生交流，教师点评）【问题1】观察下列各算式有什么共同的特点？（1）5×3+5×(-6)+5×2；（2）2πR+2πr；（3）ma+mb；（4）cx-c y+cz.公共特点：各式中的各项都含有一个公共的因数或因式.教师：多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式mb2+nb-b呢？学生：都含有相同的因式依次为b, x,b.探究新知探究点一公因式的定义把多项式各项都含有的相同的因式，叫做这个多项式的各项的公因式.活动2（学生交流，教师点评）【问题2】（师生互动）教师：尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积.学生：ab+bc＝b（a+c），3x2+x＝x（3x+1），mb2+nb-b＝b(mb+n-1).【思考】如何找3x 2– 6 xy的公因式分析：系数：3，6的最大公约数是3.字母：相同的字母x.指数：相同字母x的最低次幂.解：3x 2– 6 xy的公因式是3x.探究点二确定公因式的方法活动3（学生交流，教师点评）确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂.【例1】多项式6ab2c-3a2bc+12a2b2中各项的公因式是()A.abcB.3a2b2C.3a2b2cD.3ab解析：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，可知公因式为3ab.故选D.答案：D【即学即练】多项式6ab2-8a4b3c中各项的公因式是_________.答案：2ab2探究点三提公因式法活动4（学生交流，教师点评）【例2】因式分解：（1）8a3b2+12ab3c；（2）-24x3-12x2+28x .分析：将原式各项提取公因式即可得到结果.解：(1) 8a3b2+12ab3c＝4ab2(2a2+3bc).（2）-24x3-12x2+28x＝-(24x³+12x²-28x)＝-(4x·6x²+4x·3x-4x·7)＝-4x(6x²+3x-7).【题后总结】(学生总结，老师点评)提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式.【总结】提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.【思考】提公因式法因式分解的步骤?(小组交流，教师点评)【总结】第一步，找出公因式；第二步，提取公因式，即用公因式去除这个多项式,所得的商式作为另一个因式，将多项式化为两个因式的积.【即学即练】计算：(1)39×37-13×91；(2)29×20.15+72×20.15+13×20.15-20.15×14.分析：(1)首先提取公因式13，进而求出即可；(2)首先提取公因式20.15，进而求出即可.解：(1)39×37-13×91＝3×13×37-13×91＝13×(3×37-91)＝13×20＝260；(2)29×20.15+72×20.15+13×20.15-20.15×14＝20.15×(29+72+13-14)＝2015.【方法总结】在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便.课堂练习1.多项式−9x2y+3xy2−6xyz各项的公因式是()A.−3xyB.3yzC.3xzD.−3x2.多项式mx+n可分解为m(x−y)，则n表示的整式为()A.mB.myC.−yD.−my3.将3x(a−b)−9y(a−b)因式分解，应提的公因式是()A.3x−9yB.3x+9yC.a−bD.3(a−b)4.(−2)2 017+(−2)2 018的值为()A.2B.−2C.−22 017D.22 0175.将多项式−6a3b2−3a2b2+12a2b3因式分解时，应提取的公因式是()A.−3a2b2B.−3abC.−3a2bD.−3a3b3参考答案：1.A解析：因为−9x2y＝−3xy·3x，3xy2＝−3xy·(−y)，−6xyz＝−3xy·2z，所以多项式−9x2y+3xy2−6xyz各项的公因式为−3xy.2.D解析：∵m(x−y)＝mx−my，∴n＝−my.故选D.3.D解析：各项系数的最大公约数是3，相同的因式是a−b，所以应提的公因式是3(a−b).4.D解析：(−2)2 017+(−2)2 018＝(−2)2 017×(1−2)＝22 017.故选D.5. A解析：各项系数的最大公约数是−3，相同字母的最低指数次幂是a2b2，所以应提取的公因式是−3a2b2.故选A.课堂小结(学生总结，老师点评)一、公因式把多项式各项都含有的相同的因式，叫做这个多项式的各项的公因式.二、确定公因式的方法三、提公因式法的定义：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.布置作业教材第96页习题4.2板书设计2提公因式法第1课时公因式是单项式的因式分解一、公因式的定义【问题1】观察下列各算式有什么共同的特点？（1）5×3+5×(-6)+5×2；（2）2πR+2πr；（3）ma+mb；（4）cx-c y+cz.例1多项式6ab2c-3a2bc+12a2b2中各项的公因式是() A.abc B.3a2b2 C.3a2b2c D.3ab例2因式分解：（1）8a3b2+12ab3c；（2）-24x3-12x2+28x .二、提公因式法1.定义2.步骤。
《公式法》第2课时示范公开课教案【八年级数学下册北师大版】
《公式法》教学设计第2课时一、教学目标1.能够理解并熟练运用完全平方公式分解因式，体会转化思想．2.能够综合运用提公因式法、完全平方公式法分解因式．3.经历通过整式乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的逆向变形得出公式法因式分解的方法的过程，发展逆向思维和推理能力．4.通过对平方差公式特点的辨析过程，培养观察、理解、概括和应用能力、语言表达能力．二、教学重难点重点：理解并熟练运用平方差公式分解因式．难点：能够综合运用提公因式法、平方差公式法分解因式．三、教学用具多媒体等．四、教学过程设计【探究】教师活动：通过观察具体的式子，体验这些多项式所具有的完全平方式的特征，再对比乘法公式，得到因式分解的完全平方式公式.计算下列各式:(1)(x+2)2= ________ ,(2)(2x+1)2= ________，(3)(x-3)2= ________ ,(4)(3x-1)2= ________，预设：（1）x2+4x+4；（2）4x2+4x+1(3)x2-6x+9；(4)9x2-6x+1根据上面算式填空:(1) x2+4x+4=_____________,(2)4x2+4x+1=_____________,(3)x2-6x+9=_______________，(4)9x2-6x+1=_____________.预设：（1）(x+2)2；（2）(2x+1)2;(3)(x-3)2;(4)(3x-1)2.提问：你有什么发现呢？预设：前四个形如(a±b)2=a2±2ab+b2，是整式的乘法，后两个形如a2±2ab+b2=(a±b)2，是因式分解，而且它们是左右调换的.【归纳】完全平方公式:两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.通常我们把运用乘法公式进行因式分解的方法叫做公式法.【想一想】能用完全平方公式分解因式的多项式的特点？预设：(1)是三项式(或可以看成三项)；(2)有两个同号的数或式的平方；(3)中间是这两个数的积的±2倍.简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式.【做一做】观察下面的拼图过程，验证完全平方和公式是否正确？预设：a2+2ab+b2=(a+b)2)，是正确的.提问：你能验证完全平方差公式吗？以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容: 教科书第103页习题4.5 第2、3、4题.。
北师大版八年级下册数学《提取公因式法》因式分解说课教学复习课件
活动探究
探究点二
问题1：请在下面各式等号的右边的括号前填入“+”或“-”使等式成立：
（1）2－a=___－______（a－2） （3）b+a=___＋_______（a+b） （5）-m-n=____－_____（m+n）
（2）y－x=_____－_____（x－y）
（4）（b-a）²=____＋_____（a-b）²
（ D）
A. m+1
B．2m C．2
D．m+2
2．把多项式（3a-4b）（7a-8b）+（11a-12b）（8b-7a）因式分解的结果是
（C ）
A.8（7a-8b）（a-b）
B．2（7a-8b）²
C．8（7a-8b）（b-a）
D．－2（7a-8b）
前置学习
3. 请在下面各式等号的右边的括号前填入“+”或“-”使等式成立： （1）x-y= － （y-x） （2）（x-y）²= ＋ （y-x）² （3）（x-y）³= － （y-x）³ （4）（x-y）4 = ＋ （y-x）4
（6）-
－
（7）（y-x）³=___－___（x-y）³ （ 8）（-
＋
活动探究
问题2：一般地，关于幂的指数与底数的符号有如下规律（填“ +”或“-”）： （1）（y-x）n=__＋_____（x-y）n（n为偶数） （2）（y-x）n=__－_____（x-y）n（n为奇数）
活动探究
探究点三 问题1：把下列各式分解因式 （1）a (x-y)+b(y-x) 解：(1) a(x-y)+b(y-x)
活动探究
探究点二
问题1：把下列各式因式分解：
《提公因式法(2)》教学案
（ 3） a（ x－ y） +b（y－ x） ; （ 4） 6（m－ n） 3－ 12（n－ m） 2. 讨
（ 8）m（ m－ n）（ p－ q）－ n（ n－m）（ p－q）
延 伸 拓 展 总结 反思
把（ a+b－ c）（ a－ b+c） +（b－ a+c） ·（ b－ a－ c）分解因式 .
1、本节课你有哪些收获？ 2、预习时的疑难解决了吗？你还有哪些疑惑？
准确找出公因式，并能找出公因式。
学习内容
补充调整
1、 公因式的定义 2、把下列各式因式分解：
（ 1） am+an
（2） a2b–5ab
（ 3） m2 n+mn2–mn
（ 4） –2x2y+4xy2–2xy
当 1、请在下列各式等号右边的括号前填入 “ +或”“－ ”号，使等式成立 :
堂 （ 1） 2－ a=__________ （a－ 2） ; （ 2） y－ x=_________ （x－ y） ;
检 （ 3） b+a=_________ （ a+b） ;
（
4
）（
b－
a
）
2
=____
（
a
－
b
）
2
;
测
（ 5）－ m－ n=______－（ m+ n） （ 6）－ s2+t2=_________ （ s2－ t2）.
2、把下列各式分解因式 （ 1） x（ a+b） +y（ a+b）
（2） 3a（ x－ y）－（ x－ y）
（ 2） a（ x－5） +2b（x－ 5）
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北师大版八年级数学下册第二章因式分解第一节提公因式法第二课时教案
第二课时
整体设计
学情分析
学生已经学习了用提公因式法分解因式，所提取的公因式是单项式．今天要学习所提公因式为多项式的因式分解，这里使用整体方法实现化归，将新知转化为旧知来解决．另外，解决问题的策略开放性训练有助予发展学生的求异思维．
教学目标
(1)掌握用提公因式法分解因式的方法．
(2)培养学生的观察能力和化归转化能力．
(3)通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点．
教学重难点
教学重点：含有公因式是多项式的分解因式．
教学难点：整体思想的运用以及代数式的符号变换的处理．
教学方法
因为上一节课已经学习了所提取的公因式是单项式的分解因式，有这些知识作基础，采用化归的数学思想，解决所提取的公因式为多项式的分解因式问题就比较容易了．同时在教学时，注重前后知识的联系．
教学过程
一、复习回顾
二、讲授新课
1．利用整体方法分解因式
三、巩固训练
问题1：把下列各式分解因式：
(1)x(a十b)+y（a+6）；(2)3a(x-y)- (x-y)，(3)6( p+q)2 -12(q+p);(4)a(m-2)+6(2一m)；
评价与反思
本节课的教学设计以问题为载体展开，让学生在一系列问题解决的过程中学习到新知识．从复习回顾公因式为单项式的分解因式人手，逐步深化提高到公因式为多项式的分解因式，采用整体方法，运用化归思想最终达成目标，其中还进一步完善了寻找公因式的一般步骤，又一次体会了整式乘法与分解因式的互逆关系，这样设计符合学生的认知特点．。