北师大数学八年级上册第六章6.4数据的离散程度

6.4数据的离散程度（解析）知识精讲

极差一组数据中最大值与最小值

之间的差

极差= 数据中的最大值– 最小值

方差（1）方差是各个数据与其算

术平均数的差的平

方和的平均数

（2）反映组内个体间的离散

程度

①基本公式：

2222

12

1

[()()()]

n

S x x x x x x

n

=-+-++-

②简化公式：2

2222

12

1

[()]

n

S x x x nx

n

=+++-

标准差（1）方差的算术平方根

（2）反映组内个体间的离散

程度

计算公式：

2222

12

1

[()()()]

n

S S x x x x x x

n

==-+-++-

一组数据：x1、x2、x3方差：5

一组数据：x1-1、x2-1、x3-1方差：5

一组数据：2x1-1、2x2-1、2x3-1方差：22×5=20

一组数据：ax1+b、ax2+b、ax3+b方差：a2×5=5a2

三点剖析

一．考点：方差、标准差、极差．

二．重难点：方差、标准差、极差

三．易错点：方差的计算公式，标准差与方差之间的关系．

方差，标准差，极差

例题1、若一组数据﹣1，0，2，4，x的极差为7，则x的值是（）

A.﹣3

B.6

C.7

D.6或﹣3【答案】D

【解析】∵数据﹣1，0，2，4，x的极差为7，

∴当x是最大值时，x﹣（﹣1）=7，

解得x=6，

当x 是最小值时，4﹣x=7， 解得x=﹣3， 故选：D ．

例题2、 在一次定点投篮训练中，五位同学投中的个数分别为3，4，4，6，8，则关于这组数据的说法不正确的是（ ） A.平均数是5 B.中位数是6 C.众数是4 D.方差是3.2 【答案】 B

【解析】 A 、平均数34468

55

++++==，此选项正确；

B 、3，4，4，6，8中位数是4，此选项错误；

C 、3，4，4，6，8众数是4，此选项正确；

D 、方差22221

[(35)(45)(85)] 3.25

S =-+-+⋯+-=，此选项正确。

例题3、 已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差为2，则x 1－2，x 2－2，x 3－2，x 4－2，x 5－2的方差是________． 【答案】 2

【解析】 ∵数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差为2， ∴x 1－2，x 2－2，x 3－2，x 4－2，x 5－2的方差是2．

例题4、 已知数据1x ，2x ，3x 的方差为5，则数据121x -，221x -，321x -的方差为________ 【答案】 20

【解析】 根据方差的意义分析，数据都加-1，方差不变，原数据都乘2，则方差是原来的4倍．∵样本1x ，2x ，3x 的方差是215S =，则样本121x -，221x -，321x -的方差为

2221420S S ==． 例

题5、 小丽计算数据方差时，使用公式2222221

[(5)(8)(13)(14)(15)]5

S x x x x x =-+-+-+-+-，则公式中x =________．

【答案】 11

【解析】 ∵2222221

[(5)(8)(13)(14)(15)]5

S x x x x x =-+-+-+-+-，

∴58131415115

x ++++==．

例题6、 某校要从甲、乙、丙、丁四名学生中选一名参加“汉字听写”大赛，选拔中每名学生的平均成绩_

x 及其方差s 2如表所示，如果要选拔一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是（ ）

A.甲

B.乙

C.丙

D.丁 【答案】 B

【解析】 根据平均成绩可得乙和丙要比甲和丁好，根据方差可得甲和乙的成绩比丙和丁稳

定，

因此要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，因选择乙

随练1、 现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高为170cm ，方程分别是S 甲2、S 乙2，且S

甲 乙 丙 丁 8.9 9.5 9.5 8.9 s 2 0.92

0.92

1.01

1.03

甲

2

＞S 乙2，则两个队的队员的身高较整齐的是（ ） A.甲队 B.乙队 C.两队一样整齐 D.不能确定 【答案】 B

【解析】 根据方差的意义，方差越小数据越稳定；

因为S 甲2＞S 乙2，故有甲的方差大于乙的方差，故乙队队员的身高较为整齐． 随练2、 下列统计量中，能够刻画一组数据的离散程度的是（ ） A.方差或标准差 B.平均数或中位数 C.众数或频率 D.频数或众数 【答案】 A

【解析】 由于方差和极差反映数据的波动情况，所以能够刻画一组数据离散程度的统计量

是方差或标准差．

随练3、 如果一组数据6、7、x 、9、5的平均数是2x ，那么这组数据的方差为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】 A

【解析】 根据题意，得：6795

25

x x ++++=，

解得：x ＝3，

则这组数据为6、7、3、9、5，其平均数是6，

所以这组数据的方差为()()()()()22222

1667636965645⎡⎤⨯-----⎣

⎦++++＝．

随练4、 某排球队6名场上队员的身高（单位：cm ）是：180，184，188，190，192，194．现

用一名身高为186cm 的队员换下场上身高为192cm 的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ）

A.平均数变小，方差变小

B.平均数变小，方差变大

C.平均数变大，方差变小

D.平均数变大，方差变大 【答案】 A

【解析】 原数据的平均数为180184188190192194

1886

+++++=，

则原数据的方差为 ()()()()()()222222

168[180188184188188188190188192188194188]63

⨯-+-+-+-+-+-=， 新数据的平均数为180184188190186194

1876

+++++=，

则新数据的方差为 ()()()()()()222222

159[180187184187188187190187186187194187]63⨯-+-+-+-+-+-=

，所以平均数变小，方差变小．

随练5、 如果数据x 1，x 2，…，x n 的方差是3，则另一组数据2x 1，2x 2，…，2x n 的方差是（ ）

A.3

B.6

C.12

D.5 【答案】 C

【解析】 ∵一组数据x 1，x 2，x 3…，x n 的方差为3， ∴另一组数据2x 1，2x 2，2x 3…，2x n 的方差为22×3=12．

随练6、 为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加今年六月份的全县中学生数学竞赛，每个月对他们的学习水平进行一次测验，如图是两人赛前5次测验成绩的折线统计图． （1）分别求出甲、乙两名学生5次测验成绩的平均数及方差；

（2）如果你是他们的辅导教师，应选派哪一名学生参加这次数学竞赛．请结合所学统计知识说明理由．