高考数学 数列求和的8种常用方法(最全)

23n1
例5求和：Sn13x5x7x(2n1)x…………①
解：由题可知，{(2n1)xn1}的通项是等差数列2n1的通项与等比数列{xn1}的通项之积
设xSn1x3x
5x3
7x4
(2n1)xn
………………②（设制错位）
①－②得
(1x)Sn
12x2x22x32x42xn1(2n1)xn
n1
（错位相减）
1(11)1(11)1(11)1(11)
23235257279
1(11)(11)(11)(11)
2
3355779
1(11)
29
4
9
五
例10在等差数列an中a1023,a2522，求：（1）数列an前多少项和最大；（2）数列an
前n项和.
六.分组求和法:有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列， 可把数列的每一项分成多个 项或把数列的项重新组合，使其转化成常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
3.可转化为等差、等比数列的数列；
4.常用公式:
n
（1）k123L
k1
n
n1n(n1)；
2
（2）k2122232Ln21n(n1)(2n1)1n(n1)(n1)；
k1
n
（3）k3132333L
k1
n
632
n3[n(n1)]2；
2
（4）(2k1)135L
k1
(2n1)n2.
例1已知log3x
1log23
2n2n1
………………………②（设制错位）
①－②得，(11)S
2n
22
222
22
2324
2
2n
2n2n1
（错位相减）
21
2n
∴Sn
4n2
2n1
2n12n1
四.裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。这是分解
与组合思想（分是为了更好地合）在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通
即：(1x)Sn
12x1x
1x
(2n1)xn
∴Sn
(2n1)xn1(2n1)xn(1x)
(1x)2
变式求数列2,4,6,,2n,前n项的和.
222232n
解：由题可知，2n的通项是等差数列2n的通项与等比数列{
1}的通项之积
2n
设Sn
24
222
62n…………………………①
232n
1S2
222
46
2324
＝
Sn
(n32)Sn1
1
＝n
n234n64
＝11
n3464
n
(8
n
)25050
∴ 当
8，即n8时，f(n)
8
max
1.
50
二.倒序相加法:如果一个数列an，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那
么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n项和即是用此法推导的，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an).
例11求数列的前n项和：11,14,1
aa2
7,,
1
an1
3n2，…
解：设S
(11)(14)(1
7)(1
3n2)
naa2
an1
将其每一项拆开再重新组合得
S(111
naa2
1
an1
)(1473n2)
（分组）
当a1a＝1时，S
n(3n1)n＝(3n1)n
（分组求和）
n2
11
2
1n
（裂项求和）
n22334
＝8(11)
nn1
＝8n
n1
n1
例9求证：11
1
cos1
cos0cos1
cos1cos2
cos88cos89
sin21
解：设S
1
cos0cos1
sin1
1
cos1cos2
1
cos88cos89
∵
cosncos(n1)
tan(n1)tann
（裂项）
∴S
1
cos0cos1
1
cos1cos2
，求xx2x3
的前n项和.
解：由log3x
1
log23
log3
xlog3
2x1
2
由等比数列求和公式得
Sxx2x3L
1
xn
1
＝x(1x
1x
)＝2
(1)
2n
11
2
＝1－1
2n
*Sn
例2设Sn123n，nN
,求f(n)
(n32)Sn1
的最大值.
解：易知
S1n(n1)，
n2
Sn1
1(n1)(n2)
2
∴f(n)
1
cos88cos89
（裂项求和）
＝1s百度文库n1
{(tan1tan0)(tan2tan1)(tan3tan2)[tan89tan88]}
＝1(tan89tan0)＝1cot1＝cos1
sin1
∴原等式成立
变式求S1111.
n3153563
1111
3153563
sin1
sin21
解：1111
13355779
2(n1)n1
n(n1)2n
1
n2n1
1
(n1)2n
,则Sn
1
1；
(n1)2n
（6）
sin1
cosncos(n1)
tan(n1)tann；
（7）n11；
(n1)!n!(n1)!
（8）常见放缩公式：2(
n1
n)
21
22(n
n1).
例6求数列 解：设an
1,
12
1
1
23
,,1
,的前n项和.
（裂项）
n
1
则Sn
n1
1
1
nn1
（裂项求和）
＝(
＝
)(
1
)(
n1)
例7求和S111.
n133557
例8在数列an中，an
1
n1
2
n1
n n1
，又bn
2
anan1
，求数列bn的前n项的和.
解： ∵
an
1
n1
2
n1
nn
n12
∴bn
28(11)
（裂项）
nn1
nn1
22
∴数列bn的前n项和
S8[(11)(11)(11)(1
1)]
例3求sin21sin22sin23sin288sin289的值
解：设Ssin21sin22sin23sin288sin289…………① 将①式右边反序得
Ssin289sin288sin23sin22sin21…………②（反序）
又因为
sinxcos(90x),sin2xcos2x1
①+②得（反序相加）
求数列前n项和的8种常用方法
一
1.等差数列求和公式：
Sn(a1an)nan(n1)d
n212
特别地，当前n项的个数为奇数时，S2k1(2k1)ak1，即前n项和为中间项乘以项数。这个公
式在很多时候可以简化运算；2.等比数列求和公式：
（1）q1，Snna1；
a11qn
（2）q1，Sn
1q
，特别要注意对公比的讨论；
an1
（2）11(
).（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和）；
aad
nn1
（3）1
1[1
1]；
n(n1)(n1)2n(n1)(n1)(n2)
（4）a1
1(1
1)；a
(2n)2
11(1
1)；
n(2n1)(2n1)22n12n1
n(2n1)(2n1)
2 2n1
2n1
（5）an
n21
n(n1)2n
c
项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.适用于
，其中a
an
n
n1
是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。其基本方法是
anfn1fn.常见裂项公式：
（1）1
11，1
1(1
1)；1
1(1
)（an的公差为d）；
n(n1)
nn1
n(nk)
knnk
anan1
dan
2S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin289cos289)＝89
∴S＝44.5
例4函数fxx，求
1x
f1f2
2012
2011
2
的值.
三.错位相减法：适用于差比数列（如果an等差，bn等比，那么anbn叫做差比数列）即把
每一项都乘以bn的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，即可转化为等比数列求和.如：等比数列的前n项和就是用此法推导的.