北师大版高中数学必修5《二章 解三角形 1 正弦定理与余弦定理》赛课导学案_2
北师大版高中数学必修5《二章 解三角形 1 正弦定理与余弦定理 1.1正弦定理》赛课导学案_6
“正弦定理”教学设计一、教学内容解析《正弦定理》是高中课程人教A版数学(必修5)第一章第一节内容，教学安排二个课时，本节为第一课时内容。
学生在初中已经学习了直角三角形的边角关系。
教师带领学生从已有知识出发，通过对实际问题的探索，构建数学模型，利用观察-猜想-验证-发现正弦定理，并从理论上加以证实，最后进行简单的应用。
课本按照从简原则和最近发展区原则，采用“作高法”证明了正弦定理。
教学过程中，为了发展学生思维，再引导学生从向量，作外接圆，三角形面积计算等角度找到证明的途径，让学生感受数学知识相互紧密联系的特点。
正弦定理是研究任意三角形边角之间关系的重要开端；用正弦定理解三角形，是典型的用代数的方法来解决的几何问题的类型；正弦定理作为三角形中的一个定理，在日常生活和工业生产中的应用又十分广泛。
因此，正弦定理的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。
二、学生学情分析我所任教的学校是一所普通高中，大多数学生基础相对薄弱，对一些重要的数学思想和数学方法的应用意识和技能还不高。
正弦定理是学生在已经系统学习了平面几何，解直角三角形，三角函数，平面向量等知识基础上进行的。
虽然对于学生来说，有一定观察、分析、解决问题的能力，但正弦定理的发现，探索、证明还是有一定的难度，教师恰当引导调动学生学习主动性，注重前后知识间的联系，激起学生学习新知的兴趣和欲望，发现并探索正弦定理。
三、教学目标定位1、掌握正弦定理的内容及其证明方法；能用正弦定理解决一些简单的三角度量问题；2、让学生从已有的几何知识出发,探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、猜想、推导，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力。
3、通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现及探索过程，逐步学生培养探索精神和创新意识。
教学重点：正弦定理的探索与发现。
教学难点：正弦定理证明及简单应用。
四、教学策略“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维的活动”，新课标也在倡导独立自主，合作交流，积极主动，勇于探索的学习方式。
北师大版高中数学必修5《二章 解三角形 1 正弦定理与余弦定理 1.2余弦定理》赛课导学案_19
过程与方法
电子白板
（特效交互功能）
教师演示
教师制作
课堂练习
知识与技能
过程与方法
电子白板（特效交互功能、钢笔）
学生操作
教师制作
师生活动
设计意图
批注
教
学
活
动
设
计
复习：
1.正弦定理
2.正弦定理使用类型
问题提出
在三角形中,已知两边及其夹角,怎么求出此角的对边?
已知三条边,怎么求出它的三个角呢?
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
教学重难点
教学重点余弦定理的发现和证明过程及基本运用
教学难点余弦定理的探索及证明
教法
与
学法
类比法、探究法、讲练结合
信息技术应用分析
知识点
学习目标
媒体内容与形式
使用方式
媒体来源
课程导入
情感、态度与价值观
PPT
教师播放
Байду номын сангаас制作
创设情境，揭示课题
知识与技能
过程与方法
电子白板
（时钟计时器）
教师演示
教师制作
归纳出公式
小结
（1）余弦定理的内容．
（2）余弦定理的证明
（3）余弦定理的应用
复习正弦定理并指出其使用范围为本节课的学习做铺垫
引导学生通过向量的数量积来证明出余弦定理.
通过余弦定理的表达形式总结出余弦定理的定义.
指出余弦定理的使用条件
例题展示，让学生练习余弦定理，掌握其用法.
当堂检测
有效练习
1.在ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.
理一：同上
【K12学习】北师大版高二数学必修5第二章《解三角形》正弦定理教案14
北师大版高二数学必修5第二章《解三角形》正弦定理教案14北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》全部教案课时§2.1.1正弦定理一、教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
二、教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。
教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定ABc的边cB及B，使边Ac绕着顶点c转动。
思考：c的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？A显然，边AB的长度随着其对角c的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？cBⅡ.探析新[探索研究]在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在RtABc中，设Bc=a,Ac=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又,A则bc从而在直角三角形ABc中，caB思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当ABc是锐角三角形时，设边AB上的高是cD，根据任意角三角函数的定义，有cD=,则，c 同理可得，ba从而AcB思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
过点A作，c由向量的加法可得则AB∴∴，即同理，过点c作，可得从而类似可推出，当ABc是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
北师大版高中数学必修5《二章 解三角形 1 正弦定理与余弦定理 1.2余弦定理》赛课导学案_1
《余弦定理》教学设计一、教材分析（一）地位与作用我采用的是北京师范大学出版的普通高中课程标准实验教科书，本节内容位于必修五的第二章第2节，在此之前学生已经学习过了勾股定理、平面向量、正弦定理等相关知识，这为本节内容的学习奠定了基础。
本节的主要内容是余弦定理，它是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广。
余弦定理描述了三角形重要的边角关系，为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具。
学习了余弦定理之后，对于三角形中任意给定的三个元素（除三个角外），我们都可以解三角形。
余弦定理同时也为在日后学习中判断三角形类型，证明与三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据。
（二）教学重点与难点重点：余弦定理的推导过程与余弦定理的简单应用；难点：余弦定理的证明方法的发现。
（三）教学目标知识与技能：通过对余弦定理及其推论的推导过程的学习，能够掌握余弦定理，并能运用余弦定理解已知“边，角，边”和“边，边，边”两类三角形以及与之有关的实际问题；培养学生运用已有知识分析、解决问题的能力。
过程与方法：通过回顾旧知识，引出问题，从而引起学生好奇，学生通过合作交流，探究用向量法推导余弦定理，提高学生对数形结合、类比等数学思想方法的认识。
情感态度与价值观:在推导余弦定理的过程中，培养学生自主探新、实践创新能力，使学生感受探索的乐趣和成功的体验；通过类比得到余弦定理，使学生获得知识的同时，领会数学的对称美。
二、学情分析知识准备：本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理等有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。
在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。
认知能力：总体上，学生已具有较强的逻辑思维能力，但应用数学知识的意识不够，看待与分析问题不深入，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度；经历余弦定理的推导过程有助于学生形成严谨的逻辑思维能力。
生理和心理特征：高中生的注意力能够较长时间集中，兴趣范围进一步扩大，并具有一定的稳定性，所以在教学中要抓住学生的这一特征，创造条件和机会，让学生发表己见，发挥学生的主体作用，激发学生的数学学习兴趣。
北师大版高中数学必修5《二章 解三角形 1 正弦定理与余弦定理 1.1正弦定理》赛课导学案_4
北师大版数学必修五第二章解三角形1.1正弦定理一、教学目标1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
2、过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
3、情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
二、教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。
教学难点：正弦定理的应用三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程Ⅰ.课题导入：我们初中学习过特殊的三角形是直角三角形，直角三角形边角之间有什么关系？Ⅱ.探析新课[探索研究]如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c==, A 则sin sin sin a b c c A B C=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == C a B (图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B =，C同理可得sin sin c b C B =， b a 从而sin sin ab A B =sinc C = A c B(图1．1-3)同理在钝角三角形中也成立（略）课后思考：是否可以用其它方法证明这一等式？（由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题）。
北师大版高中数学必修5《二章 解三角形 1 正弦定理与余弦定理 1.1正弦定理》赛课导学案_25
【北师大版高中数学必修5】正弦定理（第一课时）教学设计【北师大版高中数学必修5】正弦定理（第一课时）教学设计一、教学内容分析“正弦定理”是新课标北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》第一节的内容，从学习内容上它是初中“解直角三角形”内容的延续，是解斜三角形的主要工具，从学习方法上它体现了向量知识在解决三角问题上的工具性，体现了化归、数形结合、分类讨论等多种数学思想。
作为本章、本节教学的第一课，其主要任务是发现在三角形中存在正弦定理，其次是要引导学生思考证明定理的方法，最后是要指导学生正确使用定理解决两类解三角形的问题。
因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的知识，体会联系、发展、转化等辩证观点，而且通过对定理的探究，可以使学生体验到数学定理发现与发展的过程，体会数学源于生活，用于生活的工具性，培养学生发现问题、提出问题、解决问题的学习能力。
二、学生学习情况分析从知识储备上学生已有了解直角三角形的基础、平面几何的相关知识、向量的数量积的概念与求法；从数学思想方法上学生也有了转化与化归、分类讨论的经验；教学时，教师只需从解决问题的思想方法上加以引导即可。
三、设计思想正弦定理是高中数学解三角形的主要工具，它是初中解直角三角形知识的延续，它的学习，应体现新旧的转化、由特殊到一般的学习方式，让学生通过实际操作、猜想、归纳、证明等步骤，体会正弦定理的发现、美化、证明、使用的过程，实现知识的自然产生，合理应用，突出知识产生、发展的过程。
本着“培养学生学会学习、学会探究、全面发展能力”的设计理念，我在进行本节教学设计时，没有照本宣科，而是对教材内容进行了一定的修订，特别是在正弦定理的引入与证明上，改变较大。
之所以这么做，我主要基于以下考虑，（1）课本中正弦定理的引入是通过直角三角形中的三角函数变形成正弦定理形式，再进行验证及证明，教材中有将定理内容强加给学生的嫌疑，没有从本质上引导学生自己发现正弦定理，缺少学生的自主探究。
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第七节正弦定理和余弦定理
【知识与技能】：
1、掌握正弦定理、余弦定理及它们的常见变形形式。
2、能够运用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题。
3、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和
几何计算有关的实际问题．
【教学重点】正弦定理、余弦定理及它们的常见变形形式。
【教学难点】利用正弦定理、余弦定理解三角形，判断三角形
形状，求三角形面积等。
【基本知识梳理】
一、正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则：
思考：正弦定理，余弦定理解决的问题？
二、三角形的面积公式
1．S ＝12
a ·h a ，(h a 表示a 边上的高)． 2．S ＝12
bc sin A ＝ ＝ . 3．S ＝12
(a ＋b ＋c )·r (r 为三角形内切圆半径)． 【本节考点研究】
考点一：利用正弦、余弦定理解三角形
例1、(1)(2013·抚顺模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为（B ）
A.π6 B ．π3 C.π2 D ．3π2
解析：由p ∥q 得()()()0a c c a b b a +---=， ∴a 2＋b 2－c 2＝ab .
∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12, 又0<C <π， ∴C ＝π3
. (2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于（ B ）
A ．1
B ．2 C.3－1 D ．3
思路一：利用正弦定理求解。
思路二：利用余弦定理求解。
【变式训练】
(1)若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( D ) A.154 B ．34 C.31516 D ．1116
(2) 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos A ＝35
，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝_145
_. 考点二：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
例2、(1)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且三内角A ，B ，C 成等差数列，三边长a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为（A ）
A ．等边三角形
B ．非等边的等腰三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形
(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，
且2asin A ＝(2b ＋c)sin B ＋(2c ＋b)sin C. ①求A 的大小； ②若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．
解：①由已知和正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，
∴a 2＝b 2＋c 2＋bc ，
由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12
， 又0<A <π，∴A ＝120°.
②由①知，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 即34
＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，∴sin C ＝1－sin B ，
代入上式，(2sin B －1)2＝0， ∴sin B ＝12， ∴sin B ＝sin C ＝12
. 又0°<B ，C <90°， ∴B ＝C ， ∴ △ABC 是等腰的钝角三角形
【变式训练】
(1)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
且222222c a b ab =++ ，则△ABC 是( A )
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．等边三角形
(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2bcos C ，则此三角形一定是( C )
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
【本节课堂小结】
1、掌握正弦定理、余弦定理及它们的常见变形式。
2、能够运用正弦定理、余弦定理解三角形，并且能判断三角形的形状。
【作业】
1、(2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；
(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．
2、(2012·安徽名校模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边
分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos 2A 2，cos 2A ，且m ·n ＝72
. (1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判 断△ABC 的形状．。