数学实验-实验报告-概率与频率
概率和频率
(Classical Probability)
一、 古典概型（等可能概型） “概型”是指某种概率模型。“古典概型” 是一种最简单、最直观的概率模型。如果 做某个随机试验时，只有有限个事件可能 发生，且事件满足下面三条：
1 发生的可能性相等(等可能性)； 2 在任意一次试验中至少有一个发生(完备性)； 3 在任意一次试验中至多有一个发生(互不相容). 具有上述特性的概型称为古典概型。
n n
第1次选取
第2次选取
B
A C D B C D
第3次选取 C 例如：n=4, D B D B C
k =3
P 4 3 2 24
3 4
……
P4 4 3 2 1 24
从n个不同元素取 k个（允许重复）
（1k n)的不同排列总数为：
n n n n
k
例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张
F ( A) P lim n
稳定性 某一定数
频率稳定性的实例
蒲丰( Buffon )投币
投一枚硬币观察正面向上的次数． n = 4040， nH =2048，F( H ) = 0.5069
皮尔森( Pearson )投币 n = 12000，nH =6019，F( H ) = 0.5016 n = 24000，nH =12012，F( H ) = 0.5005
M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776
Q: 0.0009
U: 0.0280 Y: 0.0202
R: 0.0594
V: 0.0102 Z: 0.0006
S: 0.0634
T: 0.0987
W: 0.0214 X: 0.0016
频率与概率知识点总结
频率与概率知识点总结频率与概率是概率论中非常重要的概念，它们在统计学、数据分析、风险管理等领域都有着广泛的应用。
本文将对频率与概率的概念、性质、常见计算方法以及应用进行全面的总结。
一、频率的概念频率是指某一事件在一定时间或次数内发生的次数。
频率通常由次数除以总数得到，可以用来描述某一事件出现的概率大小。
频率的计算通常使用简单的数学方法，适用于各种具体的事件。
频率的性质1. 频率的取值范围为[0, 1]。
因为频率是事件发生的次数与总数的比值，所以其取值范围必然在0到1之间，表示事件发生的概率。
2. 频率的和为1。
在多次实验中，各个事件的频率之和等于1，这是因为所有事件发生的可能性都包括在内。
3. 频率与事件的发生次数成正比。
频率是事件的发生次数与总数的比值，所以事件发生的次数增加时，其频率也会增加。
频率的计算方法频率的计算通常使用下面的公式：频率 = 事件发生的次数 / 总数频率的应用频率广泛应用于统计学、数据分析、市场调研等领域。
通过对样本进行频率统计，可以得到样本中各个事件发生的概率大小，从而为决策提供参考依据。
二、概率的概念概率是描述某一事件发生可能性的数值，表示事件发生的可能性大小。
概率的分析通常使用概率分布、基本概率、条件概率等方法，适用于各种抽样实验、随机变量等概率事件。
概率的性质1. 概率的取值范围为[0, 1]。
因为概率是事件发生的可能性大小，所以其取值范围必然在0到1之间，表示事件发生的概率。
2. 概率的和为1。
在多个互斥事件的情况下，各个事件的概率之和等于1，这是因为所有事件发生的可能性都包括在内。
3. 概率与频率有关。
概率也可以用频率表示，即概率等于事件发生的频率。
在多次实验中，事件的频率趋于稳定时，可用频率代替概率。
概率的计算方法概率的计算通常使用下面的公式：概率 = 事件发生的次数 / 总数概率的应用概率广泛应用于统计学、概率论、数据分析、风险管理等领域。
通过对概率的分析，可以评估各种事件发生的可能性大小，为风险管理、模型建立、决策制定等提供参考依据。
随机事件的频率与概率
随机事件的频率与概率概率论与数理统计就是研究随机现象的统计规律的数学学科，因随机现象具有普遍性特点，概率论和数理统计也因此具有广泛的应用环境。
而在研究概率之前，我们必须先要清楚随机试验中关于随机事件发生可能性大小的度量问题，这就涉及随机事件的概率和频率。
首先必须明确随机事件的概念，即，在条件一定时，测验或观察研究对象，每进行一次条件组称为一次性试验，得到的结果为事件，在一次试验中对无法准确判断发生结果的事件为随机事件。
接着我们来分别了解频率及概率：一、频率的概念及性质举例引入：一个盒子中有10个相同的球，但5个是白色的，另外5个是黑色的，搅匀后从中任意摸取一球。
在该实验中，未将球取出来前，我们无法对实验结果进行判断，即取出的球是黑是白是未知的，但是实践经验告诉我们，如果我们从盒子中反复多次取球，会获得这样一种结果：当实验次数足够多，即n足够大时，黑、白两球出现次数几乎是相等的，即，黑、白球出现次数的比值趋于1。
条件相同时，如试验次数为n，那么这n次试验中事件A共发生的次数为nA，nA为事件A的发生频数。
而事件A的发生频率用nA/n这一比值表示，记作fn（A），即，不同对象出现的次数和总次数间的比值。
当试验次数n不断增大时，频率逐渐趋向于稳定，并与某常数接近，这一常数就是所说的时间A的概率，而频率稳定性即为统计规律性（统计规律性是指在大量试验中呈现出的数量规律），但频率与概率并不相同，由伯努利大数理论可知，当n为无穷大时，在一定意义下频率fn（A）和概率P（A）较为接近。
其中频率的值即为频数与总体数量的比值。
在n次试验中随机事件发生m次的相对频率为m/n。
而在物理学中频率用于衡量每秒物体振动次数的多少是确定的。
二、概率的概念及性质概率用于衡量事件发生的可能性大小，而随机事件A发生概率表示为P（A），取值范围在0和1之间。
在一定条件下，当P （A）=1时表示事件A一定发生；当P（A）=0时，表示事件A 没有发生的可能。
实用数学实验报告
一、实验目的1. 通过实验，加深对数学理论知识的理解，提高实际应用能力。
2. 培养学生动手操作、观察分析、实验设计等综合能力。
3. 增强学生对数学实验的重视程度，提高实验报告撰写水平。
二、实验原理本实验主要涉及以下数学原理：1. 微积分基本定理：如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，且其原函数F(x)在开区间(a, b)内可导，那么F(b) - F(a) = ∫[a, b]f(x)dx。
2. 线性代数基本定理：一个n阶方阵A的行列式值不为零，当且仅当A可逆。
3. 概率论基本定理：若事件A与B相互独立，则P(A∩B) = P(A)P(B)。
三、实验内容1. 实验一：微积分基本定理的应用（1）实验步骤：① 给定一个函数f(x)，确定其定义域；② 计算函数f(x)在闭区间[a, b]上的积分∫[a, b]f(x)dx；③ 求函数f(x)的原函数F(x)；④ 计算F(b) - F(a)；⑤ 比较计算结果与∫[a, b]f(x)dx，验证微积分基本定理。
（2）实验结果与分析：以函数f(x) = x^2为例，取闭区间[a, b] = [0, 1]，计算过程如下：∫[0, 1]x^2dx = [1/3x^3] |[0, 1] = 1/3；F(x) = 1/3x^3；F(1) - F(0) = 1/3 - 0 = 1/3；∫[0, 1]x^2dx = 1/3；验证微积分基本定理。
2. 实验二：线性代数基本定理的应用（1）实验步骤：① 给定一个n阶方阵A；② 计算方阵A的行列式值；③ 判断方阵A是否可逆；④ 如果方阵A可逆，求其逆矩阵A^-1。
（2）实验结果与分析：以3阶方阵A为例，计算过程如下：A = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}\)；计算行列式值：|A| = 1(59 - 68) - 2(49 - 67) + 3(48 - 57) = 0；由于|A| = 0，方阵A不可逆。
频率和概率知识点
频率和概率是数学中非常重要的概念，它们帮助我们理解事物发生的可能性大小。
在这篇文章中，我将逐步介绍频率和概率的概念以及它们之间的关系。
频率是指某个事件在一系列试验中发生的次数与试验总次数的比值。
可以将频率看作是一种统计现象，它可以通过大量的实验数据来计算。
例如，我们可以通过抛硬币实验来计算正面朝上的频率。
概率是指某个事件发生的可能性大小，它的取值范围在0到1之间。
概率可以通过频率来估计，当试验次数足够大时，频率趋近于概率。
例如，在抛硬币实验中，正面朝上的概率为0.5，即50%。
我们可以通过以下步骤来计算频率和概率：第一步，明确事件和试验。
我们需要明确我们要计算频率和概率的事件是什么，以及进行了多少次试验。
例如，我们可以考虑抛硬币实验，事件是硬币正面朝上，试验次数是100次。
第二步，记录事件发生的次数。
在每次试验中，我们记录事件发生的情况。
例如，在100次抛硬币实验中，我们记录正面朝上的次数。
第三步，计算频率。
我们将事件发生的次数除以试验次数，得到频率。
在这个例子中，如果正面朝上的次数是60次，那么频率就是60/100 = 0.6，即60%。
第四步，估计概率。
当试验次数足够大时，频率可以作为概率的估计。
在这个例子中，我们可以认为正面朝上的概率为0.6，即60%。
通过这个例子，我们可以看到频率和概率之间的关系。
频率是实验数据的统计结果，而概率是对于事件发生可能性的估计。
当试验次数足够大时，频率可以很好地估计概率。
频率和概率在实际生活中有很多应用。
例如，在医学研究中，频率和概率可以用来估计某种疾病的患病率。
在金融领域，频率和概率可以用来计算风险和收益的比例。
总结起来，频率和概率是数学中非常重要的概念，它们帮助我们理解事物发生的可能性大小。
通过计算频率和估计概率，我们可以更好地理解和应用这些知识点。
希望这篇文章对你理解频率和概率有所帮助。
初中数学 频率和概率之间有什么关系
初中数学频率和概率之间有什么关系频率和概率是统计学中两个相关但不完全相同的概念。
它们之间的关系可以通过大数定律来解释。
下面我们详细介绍频率和概率之间的关系。
频率是指某个事件在一定条件下重复出现的次数。
通过观察和统计事件发生的次数，我们可以得到频率。
频率是通过实验数据来计算的，是实际观测到的相对频数。
概率是指某个事件在理论上发生的可能性大小。
概率是一个理论上的数值，表示某个事件发生的可能性。
概率是基于某种假设或模型来计算的，是一种推断或估计。
频率和概率之间的关系可以通过大数定律来理解。
大数定律是统计学中的一个重要定律，它指出当实验次数足够多时，频率会逐渐接近概率。
也就是说，当实验次数足够多时，频率的平均值会趋近于概率的理论值。
大数定律的数学表达如下：lim(n→∞) P(|频率-概率| < ε) = 1其中，n表示实验次数，ε表示一个很小的正数。
这个定律表明，当实验次数足够多时，频率与概率之间的差异会趋于很小，几乎可以认为它们相等。
举个例子来说明频率和概率之间的关系。
假设我们要计算投掷一个骰子出现数字6的概率。
我们进行了100次实验，记录下骰子出现数字6的次数为20次。
那么频率为20/100=0.2。
根据大数定律，当实验次数足够多时，频率会逐渐接近概率。
也就是说，当我们进行足够多次的实验时，骰子出现数字6的频率会逐渐接近真实的概率。
因此，通过频率我们可以估计出概率的大小。
需要注意的是，频率是通过实验数据来计算的，具有一定的随机性，而概率是一个理论上的数值，不受具体实验数据的影响。
因此，在实际应用中，我们通常会根据频率来估计概率的大小，但不能认为频率就等于概率。
频率只是一种用来近似概率的方法，而概率是一个理论上的数值。
概率统计基础实验报告
概率统计基础实验报告实验报告：概率统计基础实验1. 引言概率统计是一门研究随机现象的学科，广泛应用于各个领域，如金融、医疗、工程等。
本实验旨在通过设计一个简单实验，来理解概率统计的基本概念和方法。
2. 实验目的通过投掷一个均匀骰子，进行概率统计的实验，探索概率、事件、样本空间、频数、频率等基本概念及其计算方法。
3. 实验步骤1) 准备一个均匀骰子。
2) 进行一定次数的投掷，并记录每次投掷的结果。
3) 统计各种投掷结果的频数和频率。
4) 分析并总结实验结果。
4. 实验结果本实验进行了100次骰子投掷，记录了每次投掷的结果。
投掷结果为1的次数：15次投掷结果为2的次数：14次投掷结果为3的次数：17次投掷结果为4的次数：20次投掷结果为5的次数：18次投掷结果为6的次数：16次5. 计算与分析(1) 频数的计算投掷结果为1的频数= 15投掷结果为2的频数= 14投掷结果为3的频数= 17投掷结果为4的频数= 20投掷结果为5的频数= 18投掷结果为6的频数= 16(2) 频率的计算投掷结果为1的频率= 频数/ 投掷次数= 15 / 100 = 0.15 投掷结果为2的频率= 频数/ 投掷次数= 14 / 100 = 0.14投掷结果为3的频率= 频数/ 投掷次数= 17 / 100 = 0.17投掷结果为4的频率= 频数/ 投掷次数= 20 / 100 = 0.20投掷结果为5的频率= 频数/ 投掷次数= 18 / 100 = 0.18投掷结果为6的频率= 频数/ 投掷次数= 16 / 100 = 0.166. 结论与讨论通过实验结果的统计与计算，我们可以得到以下结论：(1) 在这100次的投掷中，每个骰子数字出现的频数并不完全一样，即每个数字的出现机会并不相同。
(2) 在这100次的投掷中，投掷结果为4的次数最多，也就是数字“4”的概率最大。
(3) 这个结果符合理论上均匀骰子的预期，即每个数字出现的概率应该相等，为1/6或约0.1667。
10.3频率与概率
现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数
，称事件A出现的比例
fn
(
A)
nA n
为事件A出现的频率．
事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大,，
在重复试验中，相应的频数一般也越大；
事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重
复试验中，相应的频数一般也越小．
在初中，我们利用频率与概率的这种关系，通过大
练习
－ － － － － － － －教材－25－4页
1.判断下列说法是否正确，并说明理由: (1) 抛掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5，则抛掷两枚硬币， 一定是一次正面朝上，一次反面朝上; (2) 抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果是4次正面朝上， 所以事件“正面朝上”的概率为0.4; (3) 当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近其概率; (4) 在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以 事件发生和不发生的概率各是0.5.
练习
－ － － － － － － －教材－25－4页
3. 据统计ABO血型具有民族和地区差异. 在我国H省调查 了30488人，四种血型的人数如下:
血型
A
B
O
AB
人数/人 7704 10765 8970 3049
频率 0.253 0.353 0.294 0.100
(1)计算H省各种血型的频率并填表(精确到0.001);
(2)根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能
的”这个判断可靠吗?
115.88
解：(1)2014年男婴出生频率为 115.88100 0.537
113.51
2015年男婴出生频率为 113.51100 0.532
由此估计，2014年男婴出生率约为0.537，2015年男婴出生率约为
小学数学实验报告概率
一、实验目的通过本次实验，让学生了解概率的基本概念，掌握计算概率的方法，培养学生的动手操作能力和观察分析能力。
二、实验原理概率是反映随机事件发生可能性大小的一个数值。
事件发生的概率是介于0和1之间的一个数，0表示事件不可能发生，1表示事件必然发生。
在本次实验中，我们将通过抛掷硬币、掷骰子等随机实验来观察和计算事件的概率。
三、实验材料1. 硬币一枚2. 骰子一个3. 记录表格4. 计算器四、实验步骤1. 抛掷硬币实验（1）将硬币抛掷10次，记录正面向上和反面向上的次数。
（2）计算正面向上的概率：正面向上次数/总次数。
（3）计算反面向上的概率：反面向上次数/总次数。
2. 掷骰子实验（1）将骰子掷10次，记录每个数字出现的次数。
（2）计算每个数字出现的概率：该数字出现次数/总次数。
五、实验结果与分析1. 抛掷硬币实验结果正面向上次数：5次反面向上次数：5次正面向上的概率：5/10 = 0.5反面向上的概率：5/10 = 0.52. 掷骰子实验结果数字1出现次数：2次数字2出现次数：1次数字3出现次数：2次数字4出现次数：2次数字5出现次数：2次数字6出现次数：1次数字1出现的概率：2/10 = 0.2数字2出现的概率：1/10 = 0.1数字3出现的概率：2/10 = 0.2数字4出现的概率：2/10 = 0.2数字5出现的概率：2/10 = 0.2数字6出现的概率：1/10 = 0.1通过本次实验，我们可以得出以下结论：1. 抛掷硬币实验中，正反两面出现的概率相等，均为0.5。
2. 掷骰子实验中，每个数字出现的概率不相等，但总体上接近相等。
3. 随着实验次数的增加，事件的概率趋于稳定。
六、实验心得本次实验让我深刻理解了概率的概念，学会了如何计算事件的概率。
在实验过程中，我注意到了以下几点：1. 实验次数越多，事件的概率越稳定。
2. 在实际操作中，要确保实验的随机性，减少人为因素的影响。
3. 通过实验，我们可以更好地理解数学知识，提高自己的动手操作能力和观察分析能力。
概率数学实验实验报告
一、实验目的1. 了解概率数学的基本概念和原理。
2. 掌握概率数学在现实生活中的应用。
3. 培养学生的实验操作能力和数据分析能力。
二、实验内容1. 抛掷硬币实验2. 抛掷骰子实验3. 箱子抽球实验4. 概率计算与应用三、实验器材1. 硬币一枚2. 骰子一个3. 箱子一个4. 球若干5. 记录表四、实验步骤1. 抛掷硬币实验（1）将硬币抛掷10次，记录正面朝上和反面朝上的次数。
（2）计算正面朝上和反面朝上的概率。
（3）分析实验结果，验证概率理论。
2. 抛掷骰子实验（1）将骰子抛掷10次，记录每个面出现的次数。
（2）计算每个面出现的概率。
（3）分析实验结果，验证概率理论。
3. 箱子抽球实验（1）将不同颜色的球放入箱子中，共5个球，其中红球2个，蓝球2个，黄球1个。
（2）从箱子中随机抽取球，记录抽取结果。
（3）计算每种颜色球被抽中的概率。
（4）分析实验结果，验证概率理论。
4. 概率计算与应用（1）根据实验结果，计算每种情况的概率。
（2）分析概率在现实生活中的应用，如彩票、保险等。
五、实验结果与分析1. 抛掷硬币实验实验结果显示，正面朝上的次数为5次，反面朝上的次数为5次。
计算概率为：P(正面朝上) = 5/10 = 0.5P(反面朝上) = 5/10 = 0.5实验结果与概率理论相符。
2. 抛掷骰子实验实验结果显示，每个面出现的次数如下：1面1次，2面1次，3面1次，4面1次，5面1次，6面1次。
计算概率为：P(1面) = 1/10 = 0.1P(2面) = 1/10 = 0.1P(3面) = 1/10 = 0.1P(4面) = 1/10 = 0.1P(5面) = 1/10 = 0.1P(6面) = 1/10 = 0.1实验结果与概率理论相符。
3. 箱子抽球实验实验结果显示，红球被抽中的次数为2次，蓝球被抽中的次数为2次，黄球被抽中的次数为1次。
计算概率为：P(红球) = 2/5 = 0.4P(蓝球) = 2/5 = 0.4P(黄球) = 1/5 = 0.2实验结果与概率理论相符。
概率大学实验报告
一、实验目的1. 理解概率论的基本概念，掌握概率的基本性质。
2. 熟悉概率论中的一些常用公式和定理。
3. 通过实验，加深对概率论理论知识的理解，提高实际应用能力。
二、实验原理概率论是研究随机现象规律性的数学分支。
在实验中，我们通过模拟随机事件，观察其发生的频率，进而估计事件发生的概率。
三、实验内容1. 抛硬币实验2. 抛骰子实验3. 抽签实验四、实验步骤1. 抛硬币实验（1）将一枚均匀硬币抛掷若干次，记录正面朝上的次数。
（2）计算正面朝上的频率。
（3）根据频率估计正面朝上的概率。
2. 抛骰子实验（1）将一枚均匀骰子抛掷若干次，记录每个点数出现的次数。
（2）计算每个点数出现的频率。
（3）根据频率估计每个点数出现的概率。
3. 抽签实验（1）准备若干张卡片，分别写上不同的数字或字母。
（2）将卡片放入一个袋子中，搅拌均匀。
（3）从袋子中抽取一张卡片，记录其上的数字或字母。
（4）计算抽到某个数字或字母的频率。
（5）根据频率估计抽到某个数字或字母的概率。
五、实验结果与分析1. 抛硬币实验（1）实验次数：100次（2）正面朝上次数：53次（3）正面朝上频率：53%（4）根据频率估计正面朝上的概率为0.53。
2. 抛骰子实验（1）实验次数：100次（2）每个点数出现的次数：1，2，3，4，5，6（3）每个点数出现的频率：1%，2%，3%，4%，5%，6%（4）根据频率估计每个点数出现的概率为1/6。
3. 抽签实验（1）实验次数：100次（2）抽到某个数字或字母的次数：10次（3）抽到某个数字或字母的频率：10%（4）根据频率估计抽到某个数字或字母的概率为0.1。
通过实验，我们可以看到，在实际操作中，频率与概率具有一定的关联性。
随着实验次数的增加，频率逐渐趋于稳定，接近于理论概率。
六、实验结论1. 在抛硬币实验中，正面朝上的频率为53%，与理论概率0.5接近。
2. 在抛骰子实验中，每个点数出现的频率为1/6，与理论概率一致。
用频率估计概率实验报告
用频率估计概率实验报告
要解决这个问题首先要了解频率和概率的定义以及它们之间的相互关系:
在相同的条件下做大量重复试验，一个事件A出现的次数和总的试验次数n之比，称为事件A在这n次试验中出现的频率．当试验次数n很大时，频率将稳定在一个常数附近n 越大，频率偏离这个常数较大的可能性越小．这个常数称为这个事件的概率．
下面我再给你举个例子：掷一枚质地均匀的硬币，硬币正、反两面向上的可能性会相等，如果我只抛掷一次且正面朝上，得出结论硬币正面向上的概率为1，显然这是不准确的；随着抛掷次数的增多，出现正面向上的频率越来越接近于1/2，那么我们就说硬币正面向上的概率为1/2。
原创1：10.3 频率与概率
10.3 频率与概率
问题引入
我们知道，事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，
在重复试验中，相应的频率越大；
事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，
在重复试验中，相应的频率就越小.
那么，在重复试验中，
频率的大小是否就决定了概率的大小呢？
频率与概率之间是一种什么样的关系呢？
观察历史上抛掷硬币的试验统计，尝试回答这个问题.
=1.192 5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
典例精析
题型三：利用随机模拟法估计概率
例3 盒中有大小，形状相同的5个白球，2个黑球，用随机模拟法求下列事件的概率：
(1)任取一球，得到白球. (2)任取三球，都是白球.
解 用1，2，3，4，5表示白球，6，7表示黑球.
(1)步骤：①利用计算器或计算机可以产生1到7的整数随机数，
续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如表所示：
上年度出
险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值.
中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，
也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；
10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，
数学实践活动教案1频率与概率
初中数学实践课教案1课题频率与概率教学目标：1、知识目标：学习用列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率。
2、能力目标：(1)培养学生合作交流的意识和能力。
(2)提高学生对所研究问题及所用方法进行反思和拓广的能力，以及将实际问题化归为数学问题的能力。
3、情感目标：积极参与数学活动，经历成功与失败，获得成就感，提高学生学习数学的兴趣。
教学重点：用列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率。
教学难点：正确地用列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率。
教学方法：引导——探索法教具准备：多媒体课件教学过程：一、创设情境，引入新课[师]也许你曾被大幅的彩票广告所吸引，也许你曾经历过各种摇奖促销活动，不少同学会感到十分神秘，其实这只是一个概率问题。
针对这一问题，我们一起做一个有趣的游戏：玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看周杰伦的演唱会，可手头只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”结果倩倩欣然答应。
请问：你觉得这个游戏公平吗？（学生思考、讨论，教师巡视，并不时对部分学生进行启发）。
[生1]我觉得不公平。
理由如下：向空中掷两枚硬币有三种情形出现：正、正；反、反；一正一反。
出现一正一反的概率为1/3，因此，倩倩听了当然非常高兴，因为他获胜的概率为2/3。
[生2]我觉得这个游戏对双方是公平的。
玲玲和倩倩获胜的概率都为1/2，分析如下：开始正反正反正反(正，正) (正，反) (反，正) (反，反)所以由上面的树状图可知，向空中抛两枚同样的一元硬币，出现（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）的可能性是相同的，而出现两面一样的概率为1/2，出现一正一反的概率也为1/2。
[师]两位同学积极思考，大胆发言的精神值得肯定。
不过这只是个数学游戏，老师只是想用此介绍一些概率问题，国家规定中小学生是不能参与购买彩票的，而赌博更是有百害而无一益的噢！那么谁的分析正确呢？（引导学生分析，生1分析的三种情形发生的可能性是不相等的，（正，反）、（反，正）是两种不同情况；生2的分析是正确的。
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数学实验报告
日期：6/5
班级
信科
姓名
学号
实验名称 概率与频率
问题背景描述： 概率，又称为几率、或然率，是反映某种事件发生的可能性大小的一种数量
指标。它介于 0 和 1 之间。这里的事件是指随机现象中出现的某个可能结果。
实验目的：
概率论是研究随机现象统计规律的一门数学分支学科，它有着悠久的历史。 通过本实验的学习，加深对频率和概率等概念的理解和认识，并帮助掌握一些概 率统计的原理。
的近似值 3.1485 3.1287 3.1560 3.1586 3.1335
实验 5：生日问题，设某班有 m 个学生，则该班至少有两人同一天生日的概率为 多少？
表6
试000 1000
班级人数 m
50
50
50
50
50
至少有两人生 日相同的频率 0.9690 0.9740 0.9760 0.9650 0.9600
可以看出[程序甲]和[程序乙]的取等情况及不等式的顺序不同，不过很显 然，这两种逻辑并不影响实验结果。
经过分析[程序甲]和[程序乙]的不同之处我们可以认为，由于[程序甲]没有用变
量 x 和 y 事先定义 rand(1)*a 和 rand(1)*b 而引起甲乙两结果不同，所以 Monte Carlo 投点法在使用过程中应事先定义，再进行 if 语句的运行。
4．分析附录中的[程序丙]和[程序丁]的设计本意。请问他们为什么都是错误的？
[程序丙]
结果
[程序丁]
结果
通过分析对比[程序丙]和[程序丁]与[程序乙]的区别，我们可以看出：
[程序丙]的 a 的赋值是错误的，曲线
与
为 ，纵坐标为 1，所以在对初始值 a,b 赋值时应分别赋为
的交点横坐标
[程序丁]不仅没有事先定义rand(1)*a和rand(1)*b，而且[程序丁]的if条件句 rand(1)<1-rand(1)^2&rand(1)>=rand(1)^2也是错误的，rand(1)没有乘以a或b，使得 结果偏小很多。
（1）[程序甲]没有分别用变量 x 和 y 事先定义 rand(1)*a 和 rand(1)*b （2）[程序甲]的 if 条件句：rand(1)*b>=(rand(1)*a)^2&rand(1)*b<1-(rand(1)*a)^2
[程序乙]的if条件句：y<=1-x^2&y>x^2 即：rand(1)*b<=1-(rand(1)*a)^2&rand(1)*b>(rand(1)*a)^2
实验原理与数学模型：
相关函数（命令）简介
1．
:生成
的随机矩阵,每个元素都在(0,1)间,生成方式为均匀分布
2．
: 生成
的随机矩阵,每个元素都在(0,1)间,生成方式为正态分布
3.
：生成一个 的随机整数排列。
4．
：生成 1 到 n 的全排列，共 n！个。
5．一系列取整的函数：
(1)
：截尾法取整；
(2)
5．设计一个三维投点的蒙特卡罗法计算 。并比较运行结果与二维投点的蒙特卡 罗法的运行结果，哪个更准确些。
提示：随机投点落在单位正方体的内切球体内部。
实验过程记录（含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）： 1．通过实验，填写完成表格 2~6 的数据
实验 1：随机投掷均匀骰子，验证各点数出现的概率是否为 1/6 表2
实验 4：蒲丰（buffon）投针实验
表5
试验次数 n 100000 100000 100000 100000 100000
针长 l/平行
线间距 d
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
相交频率 0.3176 0.3196 0.3169 0.3166 0.3191
相交概率的
理论值
3.1415 3.1415 3.1415 3.1415 3.1415
：退一法取整(不超过 x 的最大整数)；
(3)
：进一法取整(=floor(x)+1)；
(4)
：四舍五入法取整。
6．
：合并 a 中相同的项。
7．
表达式
case 情况 1
命令系列 1
case 情况 2
命令系列 2
……
otherwise
命令系列
end
8．
：向量 x 的所有分量元素的积。
9.
生成一个 1 到 n 的随机整数。
0.1676
0.1712
0.168
10000 0.166 0.1648 0.1676 0.166 0.1658 0.1698
10000 0.1683 0.1673 0.1748 0.1616 0.1634 0.1646
实验 3：利用蒙特卡罗（monte carlo）投点法计算 。
表4 试验次数 n 100000 100000 100000 100000 100000 100000 所得 的近似值 3.1384 3.1452 3.1382 3.1385 3.1422 3.1321
实验所用软件及版本：
Matlab 2009 主要内容（要点）：
1．通过实验，填写完成表格 2~6 的数据
3．用 Monte Carlo 方法求两平面曲线
与
及 轴所围成的
区域的面积。试分析[程序甲]和[程序乙]的不同之处。试问：哪一个程序是对的？
为什么？
4．分析附录中的[程序丙]和[程序丁]的设计本意。请问他们为什么都是错误的？
至少有两人生 日相同的概率 的理论值
0.9704 0.9704 0.9704 0.9704 0.9704
3．用 Monte Carlo 方法求两平面曲线
与
及 轴所围成的
区域的面积。试分析[程序甲]和[程序乙]的不同之处。试问：哪一个程序是对的？
为什么？
[程序甲]
结果
[程序乙]
结果
从实验结果我们可以看出[程序乙] 的误差要小很多，所以我们有理由认为[程 序乙]正确，另一方面，分析[程序甲]和[程序乙]的不同之处：
试验次数 n
10000
出现一点频率 0.1715
出现二点频率 0.1661
出现三点频率 0.1629
出现四点频率 0.1723
出现五点频率
0.161
出现六点频率 0.1662
表3
10000
10000
0.1675
0.1704
0.1628
0.1617
0.1656
0.1685
0.1629
0.1638
0.17
试验次数/n 10000 10000 10000 10000 10000 10000 国徽朝上频率 0.4968 0.5078 0.4936 0.4999 0.5007 0.5004 国徽朝下频率 0.5031 0.4978 0.4991 0.4943 0.5017 0.5019
实验 2：随机投掷均匀骰子，验证各点数出现的概率是否为 1/6