高数实验报告

高等数学实验报告

实验一

一、实验题目

观察数列极限

二、实验目的和意义

利用数形结合的方法观察数列的极限，可以从点图上看出数列的收敛性，以及近似地观察出数列的收敛值；通过编程可以输出数列的任意多项值，以此来得到数列的收敛性。

通过此实验对数列极限概念的理解形象化、具体化。

三、计算公式

lim n→∞(1+

1

n

)

n

=e

四、程序设计

五、程序运行结果

六、结果的讨论和分析

由运行结果和图像可知，重要极限在2.5到2.75之间，无限趋近于e 。

实验二

一、

实验题目

作出函数)4

4

( )sin ln(cos 2π

π

≤

≤-+=x x x y 的函数图形和泰勒展开式（选取不同的0x 和n

值）图形，并将图形进行比较。 二、 实验目的和意义

1. 尝试使用数学软件Mathematica 计算函数)(x f 的各阶泰勒多项式。

2. 通过绘制其曲线图形，进一步理解泰勒展开与函数逼近的思想。

三、 程序设计

f[x_]:=Log[Cos[x^2]+Sin[x]]; Plot[f[x],{x,-Pi/4,Pi/4},PlotLabel →"A grapj of f[x]"]; For[i=1,i ≤10,a=Normal[Series[f[x],{x,0,i}]]; Print["n=",i];

Plot[{a,f[x]},{x,-Pi/4,Pi/4},PlotStyle →{RGBColor[0,0,1],RGBColor[1,0,0]}]; i=i+1];

For[x0=-Pi/4,x0≤Pi/4,a=Normal[Series[f[x],{x,x0,10}]];Print["x0=", x0];Plot[{a,f[x]},{x,-Pi/4,Pi/4},PlotStyle→{RGBColor[0,1,0],RGBCo

lor[1,0,0]}];x0=x0+Pi/8]

四、程序运行结果

A grapj of f x

-0.75-0.5-0.250.250.5

-0.5

-1

-1.5

-2

n=1

n=2 n=3

n=4 n=5

n=6 n=7

n=8 n=9

-0.75-0.5-0.250.250.5

-5108

-1109

-1.5109

-2109 n=10 Xo =-(π/4)

Xo =-(π/8) Xo=0

Xo =π/8 Xo =π/4

五、 结果的讨论与的分析

分析：由实验结果可知：泰勒多项式的阶数n 越大，多项式的图像与函数图像越接近。

实验三

一、实验名称：定积分的近似计算

分别用梯形法、抛物线法计算定积分dx

x ⎰

20

2sin π

的近似值（精确到0.0001）

二、实验目的：

为了解决实际问题中遇到的一些被积函数不能用算式给出，而通过图形或表格给出，或是一些虽然能够用算出，它的的原函数却很困难的甚至于原函数可能是非初等函数的定积分。

三、实验程序：

（1） 梯形法：

f[x_]:=Sin[x^2];

a=0;b=Pi/2;m2=f''[0];dalta=10^(-4);n0=100;

t[n_]:=(b-a)/n*((f[a]+f[b])/2+Sum[f[a+i*(b-a)/n,{i,1,n-1}]]); Do[Print[n," "N[t[n]]]];

If[(b-a)^3/(12n^2)*m2

（2） 抛物线法:

f[x_]:=Sin[x^2];

a=0;b=Pi/2;m4=D[f[x],{x,4}/.x]→0;

dalta=10^(-4);k0=100; p[k_]:=

(b-a)/(6k)*

(f[a]+f[b]+2Sum[f[a+i*(b-a)/(2k)],{i,2,2k-2,2}]+ 4Sum[f[a+i*(b-a)/(2k)],{i,1,2k-1,2}]); Do[Print[k," ",N[p[k]]];

If[((b-a)^5)/(180*(2k)^4)*m4

-0.75-0.5-0.25

0.250.5

-2

-1.5

-1-0.5-0.75-0.5-0.25

0.250.5

-2.5

-2

-1.5-1-0.5

四、运行结果：

五、结果的讨论和分析：

实验过程中，当用不同的方法，要求的精度相同时，输出的数据数可能不同；当用同一种方法时，如果改变循环次数则输出的数据个数也随之改变，当改变a和b的值时，出的结果也会不同。