可靠性工程课件第四节寿命分布

（3）指数分布的无记忆性
假设某产品经过一段时间t0的工作后，仍然如同新的一 样，不影响它的将来的可靠度，即在t0时刻后剩余寿命 与t0无关，而与原来的工作寿命具有相同的分布，则称 此性质为“无记忆性”
证明：设某一指数分布的产品已经工作了t0 小时，现在 分析t0后再工作t小时的可靠度。
R(t0,t) PT t0 t T t0
由于暴露而造成的腐蚀等失效机理，在一定
的应力条件下，随时间的延长、微小因素逐
x
渐增加而最后使产品失效，这样的规律是正
态分布和对数正态分布的又一个物理背景
三、正态分布和对数正态分布
正态分布（Normal) 1970以后发展起来的。 应用：是概率和数理统计最基本的分布，应用非
常广泛。测量、机械、环境、产品强度等等。
A
B
C
G
D
E
F
H
数学表达方式：失效率不随时间而变化的连续寿 命分布（或者，失效密度函数具有以下形式的分 布，称为指数分布
失效率
(t)
失效密度函数
f (t) et
t
失效率 (t)
R(t) exp( (t)dt)
0
可 (t)
f (t)
t
f (t) (t) exp( (t)dt)
应用：主要在材料疲劳、真空失效、轴承失效和 非参数寿命数据模型等方面。范围纺织、化工、
电气、电子机械、航空等领域。
应用
表示一个串联系统，如果每个元件的寿命分布相同，而每个 元件的失效都互相独立，那么系统的寿命决定于寿命最小的元 件，这样的系统分布就是威布尔分布，这也是威布尔的物理背 景
数学表达式：随机变量具有如下的失效密度函数和累积概 率分布函数时，称为威布尔分布
可靠度函数
R(t) 1 F (t)
失效率函数
(t) f (t)
R(t)
特征寿命，中位寿命，平均寿命，上述各函数难以积分，
因而一般查表
T1 e
T0.5 ln 21 m
威布尔分布的性质
从形状函数m的变化讨论威布尔的性质
当m 1, m 1 0
属于早期失效模型，产品初期失效 (t) 当m 1时，m 1 0,这是(t) 1
属于常数，这是失效率是常数，属
于恒定分布，也是早期分布
m1 m 1 m 1
0
F (t) 1 R(t) 1 et
平均寿命：


m E(t) t f (t)dt t etdt
0
0
1



e t
0


1

指数分布的方差
D(T
)

(T

E(T
))2

1
2
指数分布的性质
（1）从平均寿命和失效率可以看出，两者互为倒
1

m2
m 1
m 0.5
1 2 3t
威布尔分布结束
三、正态分布
最早是由德漠夫（Demoivre)发现，后来由Laplace， Gauss等发现概率曲线，
物理背景：描述试验数据的分布，以及误差分布规律。
N
此外，在可靠性工程中，反映这样一种寿命
规律：有的产品失效是由于微小因素积累而
造成的，如材料的磨损、元件的疲劳、断裂、
失效密度函数f(t)
f (t) m t e m1 t m
m为形状参数 为特征寿命，
m和都是正常数
威布尔分布的特征量
可靠度函数
R(t) et m
累积失效概率
失效率函数 平均寿命 特征寿命 中位寿命
F(t) 1 R(t) 1 et m
(t) m t m1 E(T ) 1 m 1
由条件概率公式
R(t0 ,t)

PT
t t0 (T
P(T t0 )

t0

R(t t0 ) R(t0 )
产品服从指数分布，因此
R(t0 t) R(t0 )

e t0t e t0

et

R(t)
这样的性质称指数为无记忆性。
（4）可靠度寿命和中位寿命
t(R) 1 ln 1
R
t(0.5) 1 ln 2

威尔分布
指数分布结束
二、威布尔分布
是瑞典物理学家威布尔（W.Weibull)为了表示材 料的破坏强度而提出的。
在1960－1970开始普遍研究。1956和 1958Lieblein和Kao 提出研究（Weibull)分布的 统计方法。1978年Lawless发表了有关威布尔寿 命分布文章。
数。即
属于恒定失效模式
m E(T ) 1

（2）服从指数分布的产品其特征寿命和平均寿命相等
R(m)
et
em
1
e

1
e
由第二节已知，当R0=1/e时所对应的时间为特征寿命
反过来，产品达到平均寿命时，可靠度有多大？
R(m) 1 0.368 e
上式说明：若产品的寿命T服从指数分布，则只有一小部 分产品（约占36.8）的寿命超过了平均寿命；可靠度只 有37%。而大部分产品（约占63.2%）在平均寿命前就 失效了。
集于一个失效分布条件下的结果如何
一、指数分布
最早提出的寿命分布（1952年开始， Davis ,Epstein ,AGREE,概述）
现象：如果系统（器件或零件）受到一种环境应力 得影响，经常发生某种类型得“冲击”，电力、温 度、机械等等，并且这种冲击一发生，系统就失效， 当这种冲击不发生时，该系统就正常。那么系统的 失效分布就服从参数为 的指数分布
若产品的寿命的失效密度函数具有
f (t)

12 2 2
)
式中，为常数 ，这两个参数决定了分布的形状，常记为
X～N, 数学期望， 为均方差，决定了分散程度
正态分布的特征量
累积失效概率
F (t) 1
t
e

t 2
2 2
dt
2
第四节 寿命分布（失效分布）
一、指数分布 二、威布尔分布 三、正态分布 四、截尾正态分布 五、对数正态分布
本 节 要求
目的：通过研究特殊寿命分布函数，掌握 分布参数同特征量的关系，进而了解分布 类型与产品的失效机理、失效形式以及应 力类型有关。 重点：掌握指数分布的有关可靠性指标 难点：根据物理现象确定元件的失效分布 教学过程 知识引入：讨论特征量的物理意义
0
靠
R(t)
性
R(t)
f (t)
指 可靠度函数
寿命（失效）密度 函数
标
总
F (t) 1 R(t) f (t) F(t) 平均寿命
结
图
寿命
, ,T T1 e T0.5
r
累积失效概率

m t f (t)dt
0
指数分布 特征量的表达式
可靠度： 累积失效概率:
t
R(t) exp( (t)dt) et
t－代替t，例如可靠度函数为
t
R(t) e
位置参数或起始参数
失效密度函数 f (t) m (t ) e m1 (t ) m
1 1
R(t)
m 0.5 1 1
m 1
1
m3
e
12 3
t
f (t)
m3
当m 1, m 1 0这是 (t)升函数，
图形变化
损耗失效
t
威布尔分布能完整描述产品失效的更个过程。反过来，只要 看m的大小，就可以辨别产品处于怎样的失效期
失效时间的起始时刻不是0，而是 ,即在时间内不会产生失效，
那么得到的威布尔分布将是三参数，在威布尔的分 布中各特征量函数表达式应以